Kaip išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis. Racionalios lygtys

Šiame straipsnyje aš jums parodysiu septynių tipų sprendimo algoritmai racionalios lygtys , kuris keičiant kintamuosius gali būti sumažintas iki kvadratinio. Daugeliu atvejų transformacijos, lemiančios pakeitimą, yra labai nereikšmingos, ir gana sunku apie jas atspėti savarankiškai.

Kiekvienam lygties tipui paaiškinsiu, kaip joje pakeisti kintamąjį, o tada parodysiu išsamų sprendimą atitinkamame vaizdo įrašo vadove.

Jūs turite galimybę toliau spręsti lygtis patys, o tada patikrinti savo sprendimą vaizdo pamokoje.

Taigi pradėkime.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2) = 40

Atkreipkite dėmesį, kad kairėje lygties pusėje yra keturių skliaustų sandauga, o dešinėje - skaičius.

1. Sugrupuokime skliaustus po du, kad laisvųjų terminų suma būtų vienoda.

2. Padauginkite juos.

3. Įveskime kintamojo kaitą.

Savo lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuosime su trečiuoju, o antrąjį su ketvirtuoju, nes (-1)+(-4)=(-7)+2:

Šiuo metu kintamojo pakeitimas tampa akivaizdus:

Gauname lygtį

Atsakymas:

2 .

Šio tipo lygtis yra panaši į ankstesnę su vienu skirtumu: dešinėje lygties pusėje yra skaičiaus ir sandauga. Ir tai išspręsta visiškai kitaip:

1. Sugrupuojame skliaustus po du, kad laisvųjų terminų sandauga būtų vienoda.

2. Padauginkite kiekvieną skliaustų porą.

3. Iš kiekvieno faktoriaus išimame x.

4. Padalinkite abi lygties puses iš .

5. Įvedame kintamojo kaitą.

Šioje lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuojame su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, nes:

Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename skliaustelyje yra ir koeficientas nemokamas narys identiškas. Iš kiekvieno skliausto išimkime veiksnį:

Kadangi x=0 nėra šaknis pradinė lygtis, padalykite abi lygties puses iš . Mes gauname:

Gauname lygtį:

Atsakymas:

3 .

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų trupmenų vardikliai yra kvadratiniai trinariai, kurių pirmaujantis koeficientas ir laisvasis terminas yra vienodi. Išimkime x iš skliausto, kaip ir antrojo tipo lygtyje. Mes gauname:

Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš x:

Dabar galime įvesti kintamąjį pakeitimą:

Gauname kintamojo t lygtį:

4 .

Atkreipkite dėmesį, kad lygties koeficientai yra simetriški centrinio atžvilgiu. Ši lygtis vadinama grąžinamas .

Norėdami tai išspręsti,

1. Padalinkite abi lygties puses iš (Tai galime padaryti, nes x=0 nėra lygties šaknis.) Gauname:

2. Sugrupuokime terminus taip:

3. Kiekvienoje grupėje iš skliaustų išimkime bendrą veiksnį:

4. Pristatykime pakeitimą:

5. Išreikškite per t išraišką:

Iš čia

Gauname t lygtį:

Atsakymas:

5. Homogeninės lygtys.

Su lygtimis, kurios turi vienalytę struktūrą, galima susidurti sprendžiant eksponentinę, logaritminę ir trigonometrines lygtis, todėl jūs turite mokėti jį atpažinti.

Homogeninės lygtys turi tokią struktūrą:

Šioje lygybėje A, B ir C yra skaičiai, o kvadratas ir apskritimas žymi identiškas išraiškas. Tai yra, kairėje homogeninės lygties pusėje yra monomijų suma, tas pats laipsnis(V šiuo atveju monomijų laipsnis yra 2), o laisvo termino nėra.

Norėdami nuspręsti vienalytė lygtis, padalinkite abi puses iš

Dėmesio! Dalijant dešinę ir kairę lygties puses iš išraiškos, kurioje yra nežinomasis, galite prarasti šaknis. Todėl reikia patikrinti, ar išraiškos, kuria dalijame abi lygties puses, šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Eikime pirmu keliu. Gauname lygtį:

Dabar pristatome kintamąjį pakeitimą:

Supaprastinkime išraišką ir gaukime bi kvadratinė lygtis palyginti su t:

Atsakymas: arba

7 .

Ši lygtis turi tokią struktūrą:

Norėdami tai išspręsti, turite pasirinkti visą kvadratą kairėje lygties pusėje.

Norėdami pasirinkti visą kvadratą, turite pridėti arba atimti du kartus sandaugą. Tada gauname sumos arba skirtumo kvadratą. Tai labai svarbu norint sėkmingai pakeisti kintamąjį.

Pradėkime surasdami dvigubai didesnį produktą. Tai bus raktas į kintamojo pakeitimą. Mūsų lygtyje du kartus sandauga yra lygi

Dabar išsiaiškinkime, ką mums patogiau turėti - sumos kvadratą ar skirtumą. Pirmiausia apsvarstykime išraiškų sumą:

Puiku! Ši išraiška lygi dvigubai sandaugai. Tada, norėdami gauti sumos kvadratą skliausteliuose, turite pridėti ir atimti dvigubą sandaugą:

Paprasčiau tariant, tai lygtys, kurių vardiklyje yra bent vienas kintamasis.

Pavyzdžiui:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Pavyzdys Ne trupmeninės racionalios lygtys:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kaip sprendžiamos trupmeninės racionalios lygtys?

Svarbiausia prisiminti trupmenines racionaliąsias lygtis– į juos reikia įrašyti. Ir suradę šaknis, būtinai patikrinkite jų leistinumą. Priešingu atveju gali atsirasti pašalinių šaknų, o visas sprendimas bus laikomas neteisingu.

Trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas:

Užsirašykite ir „išspręskite“ ODZ.

Padauginkite kiekvieną lygties narį iš bendras vardiklis ir sumažinti gaunamas frakcijas. Vardikliai išnyks.

Parašykite lygtį neatplėšdami skliaustų.

Išspręskite gautą lygtį.

Patikrinkite rastas šaknis su ODZ.

Savo atsakyme užrašykite šaknis, kurios išlaikė testą 7 veiksme.

Neįsimink algoritmo, 3-5 išspręstas lygtis ir ji įsimins savaime.

Pavyzdys . Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Sprendimas:

Atsakymas: \(3\).

Pavyzdys . Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis \(=0\)

Sprendimas:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Užrašome ir „išsprendžiame“ ODZ. Išplečiame \(x^2+7x+10\) į pagal formulę: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Laimei, mes jau radome \(x_1\) ir \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Akivaizdu, kad bendrasis trupmenų vardiklis yra \((x+2)(x+5)\). Iš jo padauginame visą lygtį.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Mažinančios frakcijos
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Skliaustų atidarymas
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Pristatome panašius terminus
\(2x^2+9x-5=0\)		Lygties šaknų radimas
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Viena iš šaknų netinka ODZ, todėl atsakyme rašome tik antrąją šaknį.

Atsakymas: \(\frac(1)(2)\).

Smirnova Anastasija Jurievna

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymosi pamoka.

Organizacijos forma švietėjiška veikla : priekinė, individuali.

Pamokos tikslas: supažindinti su naujo tipo lygtimis - trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, susidaryti supratimą apie trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą.

Pamokos tikslai.

Švietimas:

trupmeninės racionalios lygties sampratos formavimas;
apsvarstykite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą, įskaitant sąlygą, kad trupmena lygi nuliui;
mokyti spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis naudojant algoritmą.

Vystomasis:

sudaryti sąlygas ugdyti įgytas žinias taikomus įgūdžius;
skatinti vystymąsi pažintinis susidomėjimas studentams dalyką;
ugdyti mokinių gebėjimą analizuoti, lyginti ir daryti išvadas;
savitarpio kontrolės ir savikontrolės, dėmesio, atminties, žodinio ir rašymas, nepriklausomybė.

Švietimas:

kognityvinio susidomėjimo dalyku skatinimas;
skatinant savarankiškumą priimant sprendimus edukacines užduotis;
ugdyti valią ir užsispyrimą siekiant galutinių rezultatų.

Įranga: vadovėlis, lenta, kreidelės.

Vadovėlis „Algebra 8“. Yu. N. Makarychev, N. G. Neshkov, S. B. Suvorova, redagavo S. A. Telyakovsky. Maskvos „Švietimas“. 2010 m

Įjungta ši tema skiriamos penkios valandos. Ši pamoka yra pirmasis. Svarbiausia yra ištirti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą ir praktikuoti šį algoritmą pratybose.

Pamokos eiga

1. Organizacinis momentas.

Sveiki vaikinai! Šiandien norėčiau pradėti mūsų pamoką ketureiliu:
Kad visiems būtų lengviau gyventi,
Kas būtų nuspręsta, kas būtų įmanoma,
Šypsokis, sėkmės visiems,
Kad nekiltų problemų,
Nusišypsojome vienas kitam ir kūrėme gera nuotaika ir pradėjo dirbti.

Lentoje surašytos lygtys, atidžiai jas pažiūrėkite. Ar galite išspręsti visas šias lygtis? Kurie ne ir kodėl?

Lygtys, kurių kairė ir dešinė pusės yra trupmeninės racionalios išraiškos, vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis. Kaip manai, ką šiandien mokysimės klasėje? Suformuluokite pamokos temą. Taigi, atsiverskite sąsiuvinius ir užsirašykite pamokos temą „Trupmenų racionaliųjų lygčių sprendimas“.

2. Žinių atnaujinimas. Priekinė apklausa, žodinis darbas su klase.

O dabar pakartosime pagrindinę teorinę medžiagą, kurią turime išstudijuoti nauja tema. Prašome atsakyti į šiuos klausimus:

Kas yra lygtis? ( Lygybė su kintamuoju arba kintamaisiais.)
Koks yra lygties numeris 1 pavadinimas? ( Linijinis.) Tiesinių lygčių sprendimo būdas. ( Perkelkite viską, kas yra nežinoma kairėje pusėje lygtys, visi skaičiai yra dešinėje. Pateikite panašias sąlygas. Raskite nežinomą veiksnį).
Kaip vadinasi lygtis numeris 3? ( Kvadratas.) Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. (P apie formules)
Kas yra proporcija? ( Dviejų santykių lygybė.) Pagrindinė proporcijos savybė. ( Jei proporcija teisinga, tada jos kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.)
Kokios savybės naudojamos sprendžiant lygtis? ( 1. Jei lygties narį perkelsite iš vienos dalies į kitą, pakeisdami jo ženklą, gausite lygtį, lygiavertę duotajai. 2. Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite lygtį, lygiavertę duotajai..)
Kada trupmena lygi nuliui? ( Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nėra nulis.)

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskite lygtį Nr. 2 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 10.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite pabandyti išspręsti naudodami pagrindinę proporcijos savybę? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Išspręskite lygtį Nr. 4 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 1,5.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti padauginę abi lygties puses iš vardiklio? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Atsakymas: 3;4.

Tolesnėse pamokose apžvelgsime lygčių, tokių kaip lygtis Nr. 7, sprendimą.

Paaiškinkite, kodėl taip atsitiko? Kodėl vienu atveju yra trys šaknys, o kitu – dvi? Kokie skaičiai yra šios trupmeninės racionalios lygties šaknys?

Iki šiol studentai nesusidūrė su pašalinės šaknies sąvoka, jiems iš tiesų labai sunku suprasti, kodėl taip atsitiko. Jei klasėje niekas negali aiškiai paaiškinti šios situacijos, mokytojas užduoda pagrindinius klausimus.

Kuo 2 ir 4 lygtys skiriasi nuo 5 ir 6 lygčių? ( 2 ir 4 lygtyse yra skaičiai vardiklyje, 5-6 - išraiškos su kintamuoju.)
Kas yra lygties šaknis? ( Kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa teisinga.)
Kaip sužinoti, ar skaičius yra lygties šaknis? ( Padaryti čekį.)

Kai kurie studentai testuodami pastebi, kad jie turi dalytis iš nulio. Jie daro išvadą, kad skaičiai 0 ir 5 nėra šaknys duota lygtis. Kyla klausimas: ar yra būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, leidžiančias pašalinti ši klaida? Taip, šis metodas pagrįstas sąlyga, kad trupmena lygi nuliui.

Pabandykime tokiu būdu suformuluoti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą. Vaikai patys suformuluoja algoritmą.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

Viską perkelkite į kairę pusę.
Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio.
Sukurkite sistemą: trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui.
Išspręskite lygtį.
Patikrinkite nelygybę, kad neįtrauktumėte pašalinių šaknų.
Užsirašykite atsakymą.

4. Pradinis naujos medžiagos suvokimas.

Darbas poromis. Studentai patys pasirenka, kaip išspręsti lygtį, atsižvelgdami į lygties tipą. Užduotys iš vadovėlio „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600(b,c); 601(a,e). Mokytojas stebi užduoties atlikimą, atsako į kylančius klausimus, teikia pagalbą prastai besimokantiems mokiniams. Savikontrolė: atsakymai užrašomi lentoje.

b) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 3.

c) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 1.5.

a) Atsakymas: -12.5.

5. Namų darbų ruošimas.

Perskaitykite vadovėlio 25 pastraipą, išanalizuokite 1-3 pavyzdžius.
Išmokite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą.
Spręsti sąsiuviniuose Nr.600 (d, d); Nr. 601(g,h).

6. Pamokos apibendrinimas.

Taigi, šiandien pamokoje susipažinome su trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, išmokome išspręsti šias lygtis įvairiais būdais. Nepriklausomai nuo to, kaip sprendžiate trupmenines racionaliąsias lygtis, ką turėtumėte turėti omenyje? Kas yra trupmeninių racionalių lygčių „gudrumas“?

Ačiū visiems, pamoka baigėsi.

Pirmiau pateiktą lygtį pristatėme § 7. Pirmiausia prisiminkime, kas yra racionali išraiška. tai - algebrinė išraiška, sudarytas iš skaičių ir kintamojo x, naudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos didinimo su natūraliuoju rodikliu operacijas.

Jei r(x) yra racionali išraiška, tai lygtis r(x) = 0 vadinama racionalia lygtimi.

Tačiau praktikoje patogiau naudoti kiek platesnį sąvokos „racionalioji lygtis“ aiškinimą: tai lygtis, kurios formos h(x) = q(x), kur h(x) ir q(x) yra racionalios išraiškos.

Iki šiol negalėjome išspręsti jokios racionalios lygties, o tik tokią, kuri dėl įvairių transformacijų ir samprotavimų buvo sumažinta iki tiesinė lygtis. Dabar mūsų galimybės yra daug didesnės: galėsime išspręsti racionalią lygtį, kuri redukuojasi ne tik iki tiesinės
mu, bet ir į kvadratinę lygtį.

Prisiminkime, kaip anksčiau sprendėme racionaliąsias lygtis, ir pabandykime suformuluoti sprendimo algoritmą.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. Perrašykime lygtį į formą

Šiuo atveju, kaip įprasta, pasinaudojame tuo, kad lygybės A = B ir A - B = 0 išreiškia tą patį ryšį tarp A ir B. Tai leido perkelti terminą į kairę lygties pusę su priešingas ženklas.

Transformuokime kairę lygties pusę. Turime

Prisiminkime lygybės sąlygas trupmenomis nulis: tada ir tik tada, kai vienu metu tenkinami du santykiai:

1) trupmenos skaitiklis lygus nuliui (a = 0); 2) trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio).
Kairėje lygties (1) pusėje esančios trupmenos skaitiklį prilyginę nuliui, gauname

Belieka patikrinti, ar įvykdyta antroji aukščiau nurodyta sąlyga. Ryšys reiškia (1) lygčiai, kad . Reikšmės x 1 = 2 ir x 2 = 0,6 atitinka nurodytus ryšius ir todėl yra (1) lygties šaknys, o kartu ir pateiktos lygties šaknys.

1) Transformuokime lygtį į formą

2) Transformuokime kairę šios lygties pusę:

(tuo pačiu metu pasikeitė ženklai skaitiklyje ir
trupmenomis).
Taigi, duota lygtisįgauna formą

3) Išspręskite lygtį x 2 - 6x + 8 = 0. Raskite

4) Dėl rastų verčių patikrinkite sąlygos įvykdymą . Skaičius 4 tenkina šią sąlygą, bet skaičius 2 – ne. Tai reiškia, kad 4 yra pateiktos lygties šaknis, o 2 yra pašalinė šaknis.
ATSAKYMAS: 4.

2. Racionaliųjų lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį

Naujo kintamojo įvedimo metodas yra jums pažįstamas, mes jį naudojome ne kartą. Pavyzdžiais parodykime, kaip jis naudojamas sprendžiant racionaliąsias lygtis.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 4 + x 2 - 20 = 0.

Sprendimas. Įveskime naują kintamąjį y = x 2 . Kadangi x 4 = (x 2) 2 = y 2, tada duotą lygtį galima perrašyti kaip

y 2 + y - 20 = 0.

Tai kvadratinė lygtis, kurios šaknis galima rasti naudojant žinomus formules; gauname y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y = x 2, o tai reiškia, kad problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo:
x 2 = 4; x 2 = -5.

Iš pirmosios lygties matome, kad antroji lygtis neturi šaknų.
Atsakymas:.
Formos ax 4 + bx 2 +c = 0 lygtis vadinama bikvadratine lygtimi ("bi" yra du, t. y. savotiška "dviguba kvadratinė" lygtis). Ką tik išspręsta lygtis buvo tiksliai bikvadratinė. Bet kuri bikvadratinė lygtis sprendžiama taip pat, kaip lygtis iš 3 pavyzdžio: įveskite naują kintamąjį y = x 2, išspręskite gautą kvadratinę lygtį kintamojo y atžvilgiu ir grįžkite prie kintamojo x.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad ta pati išraiška x 2 + 3x čia pasirodo du kartus. Tai reiškia, kad prasminga įvesti naują kintamąjį y = x 2 + 3x. Tai leis mums perrašyti lygtį paprastesne ir malonesne forma (tai iš tikrųjų yra naujos įvedimo tikslas kintamasis- ir supaprastinti įrašymą
tampa aiškesnė, o lygties struktūra tampa aiškesnė):

Dabar naudokime racionaliosios lygties sprendimo algoritmą.

1) Perkelkime visus lygties narius į vieną dalį:

= 0
2) Transformuokite kairę lygties pusę

Taigi, mes transformavome pateiktą lygtį į formą

3) Iš lygties - 7y 2 + 29y -4 = 0 randame (jūs ir aš jau išsprendėme gana daug kvadratinių lygčių, todėl tikriausiai neverta visada vadovėlyje pateikti išsamių skaičiavimų).

4) Patikrinkime rastas šaknis naudodami 5 sąlygą (y - 3) (y + 1). Abi šaknys atitinka šią sąlygą.
Taigi naujojo kintamojo y kvadratinė lygtis išspręsta:
Kadangi y = x 2 + 3x, o y, kaip nustatėme, įgyja dvi reikšmes: 4 ir , vis tiek turime išspręsti dvi lygtis: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Pirmosios lygties šaknys yra skaičiai 1 ir - 4, antrosios lygties šaknys yra skaičiai

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose naujo kintamojo įvedimo būdas, kaip mėgsta sakyti matematikai, buvo adekvatus situacijai, tai yra, gerai ją atitiko. Kodėl? Taip, nes ta pati išraiška aiškiai pasirodė lygtyje kelis kartus ir buvo priežastis priskirti šią išraišką naujas laiškas. Bet taip nutinka ne visada, kai kada naujas kintamasis „atsiranda“ tik transformacijos proceso metu. Kaip tik tai atsitiks kitame pavyzdyje.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Sprendimas. Turime
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

Tai reiškia, kad pateiktą lygtį galima perrašyti į formą

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Dabar „pasirodė“ naujas kintamasis: y = x 2 - 3x.

Jos pagalba lygtį galima perrašyti į formą y (y + 2) = 24 ir tada y 2 + 2y - 24 = 0. Šios lygties šaknys yra skaičiai 4 ir -6.

Grįžtant prie pradinio kintamojo x gauname dvi lygtis x 2 - 3x = 4 ir x 2 - 3x = - 6. Iš pirmosios lygties randame x 1 = 4, x 2 = - 1; antroji lygtis neturi šaknų.

ATSAKYMAS: 4, - 1.

Pamokos turinys pamokų užrašai remiančios kadrinės pamokos pristatymo pagreitinimo metodus interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savęs patikrinimo seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai ginčytinus klausimus retorinius klausimus iš studentų Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai, grafika, lentelės, diagramos, humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai gudrybės smalsiems lopšiai vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas, naujovių elementai pamokoje, pasenusių žinių keitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams metodinės rekomendacijos diskusijų programos Integruotos pamokos

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Nuorodų vadovas

Racionaliosios lygtys yra lygtys, kurių kairėje ir dešinėje pusėse yra racionalios išraiškos.

(Prisiminkime: racionalios išraiškos yra sveikieji skaičiai ir trupmeninės išraiškos be radikalų, sudėjimo, atimties, daugybos ar dalybos operacijos – pavyzdžiui: 6x; (m – n)2; x/3y ir kt.)

Trupmeninės racionalios lygtys paprastai redukuojamos į formą:

Kur P(x) Ir K(x) yra daugianariai.

Norėdami išspręsti tokias lygtis, padauginkite abi lygties puses iš Q(x), todėl gali atsirasti pašalinės šaknys. Todėl sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis, būtina patikrinti rastas šaknis.

Racionalioji lygtis vadinama visuma arba algebrine, jei ji nesidalija iš išraiškos, kurioje yra kintamasis.

Visos racionalios lygties pavyzdžiai:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Jei racionaliojoje lygtyje yra dalijimasis iš išraiškos, kurioje yra kintamasis (x), tada lygtis vadinama trupmenine racionalia.

Trupmeninės racionalios lygties pavyzdys:

15
x + - = 5x - 17
x

Trupmeninės racionalios lygtys paprastai sprendžiamos taip:

1) raskite bendrąjį trupmenų vardiklį ir padauginkite iš jo abi lygties puses;

2) išspręskite gautą visą lygtį;

3) iš savo šaknų išbraukti tuos, kurie bendrąjį trupmenų vardiklį sumažina iki nulio.

Sveikųjų ir trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžiai.

1 pavyzdys. Išspręskime visą lygtį

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Sprendimas:

Mažiausio bendro vardiklio radimas. Tai yra 6. Padalinkite 6 iš vardiklio ir gautą rezultatą padauginkite iš kiekvienos trupmenos skaitiklio. Gauname lygtį, lygiavertę tai:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Kadangi kairėje ir teisingos dalys tas pats vardiklis, jo galima praleisti. Tada gauname paprastesnę lygtį:

3 (x – 1) + 4x = 5x.

Mes tai išsprendžiame atidarydami skliaustus ir sujungdami panašių narių:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Pavyzdys išspręstas.

2 pavyzdys. Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Bendro vardiklio radimas. Tai x(x – 5). Taigi:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Dabar vėl atsikratome vardiklio, nes jis yra vienodas visoms išraiškoms. Sumažiname panašius terminus, lygtį prilyginame nuliui ir gauname kvadratinę lygtį:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Išsprendę kvadratinę lygtį, randame jos šaknis: –2 ir 5.

Patikrinkime, ar šie skaičiai yra pradinės lygties šaknys.

Esant x = –2, bendras vardiklis x(x – 5) neišnyksta. Tai reiškia, kad –2 yra pradinės lygties šaknis.

Kai x = 5, bendras vardiklis tampa nuliu, o dvi iš trijų išraiškų netenka prasmės. Tai reiškia, kad skaičius 5 nėra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: x = –2

Daugiau pavyzdžių

1 pavyzdys.