Kaip rasti trupmeninės racionalios lygties šaknį. „trupinių racionaliųjų lygčių sprendimas“

„Trupmenų sprendimas racionalios lygtys"

Pamokos tikslai:

Švietimas:

trupmeninių racionaliųjų lygčių sampratos formavimas; svarstyti įvairius trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdus; apsvarstykite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą, įskaitant sąlygą, kad trupmena lygi nuliui; mokyti spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis naudojant algoritmą; temos įvaldymo lygio patikrinimas atliekant testą.

Vystomasis:

ugdyti gebėjimą teisingai operuoti su įgytomis žiniomis ir logiškai mąstyti; intelektinių įgūdžių ugdymas ir psichinės operacijos- analizė, sintezė, palyginimas ir sintezė; iniciatyvos ugdymas, gebėjimas priimti sprendimus ir tuo neapsiriboti; plėtra kritinis mąstymas; tyrimo įgūdžių ugdymas.

Švietimas:

auklėjimas pažintinis susidomėjimasį temą; skatinant savarankiškumą priimant sprendimus edukacines užduotis; ugdyti valią ir užsispyrimą siekiant galutinių rezultatų.

Pamokos tipas: pamoka - naujos medžiagos paaiškinimas.

Pamokos eiga

1. Organizacinis momentas.

Sveiki vaikinai! Lentoje surašytos lygtys, atidžiai jas pažiūrėkite. Ar galite išspręsti visas šias lygtis? Kurie ne ir kodėl?

Lygtys, kuriose kairė ir dešinė pusės yra trupmeninės racionalios išraiškos, vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis. Kaip manai, ką šiandien mokysimės klasėje? Suformuluokite pamokos temą. Taigi, atsiverskite sąsiuvinius ir užsirašykite pamokos temą „Trupmenų racionaliųjų lygčių sprendimas“.

2. Žinių atnaujinimas. Priekinė apklausa, žodinis darbas su klase.

O dabar pakartosime pagrindinę teorinę medžiagą, kurią turime išstudijuoti nauja tema. Prašome atsakyti į šiuos klausimus:

1. Kas yra lygtis? ( Lygybė su kintamuoju ar kintamaisiais.)

2. Kaip vadinasi lygtis Nr. 1? ( Linijinis.) Tiesinių lygčių sprendimo būdas. ( Viską su nežinomuoju perkelkite į kairę lygties pusę, visus skaičius į dešinę. Švinas panašius terminus. Raskite nežinomą veiksnį).

3. Kaip vadinasi lygtis Nr. 3? ( Kvadratas.) Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. ( Atranka pilna aikštė, pagal formules, naudojant Vietos teoremą ir jos pasekmes.)

4. Kas yra proporcija? ( Dviejų santykių lygybė.) Pagrindinė proporcijos savybė. ( Jei proporcija teisinga, tada jos kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.)

5. Kokios savybės naudojamos sprendžiant lygtis? ( 1. Jei lygties narį perkelsite iš vienos dalies į kitą, pakeisdami jo ženklą, gausite lygtį, lygiavertę duotajai. 2. Jei abi lygties pusės padauginamos arba padalijamos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite lygtį, lygiavertę duotajai..)

6. Kada trupmena lygi nuliui? ( Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nėra nulis.)

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskite lygtį Nr. 2 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 10.

Kuris trupmeninė racionalioji lygtis Ar galite pabandyti išspręsti naudodami pagrindinę proporcijos savybę? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Išspręskite lygtį Nr. 4 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 1,5.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti padauginę abi lygties puses iš vardiklio? (Nr. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Atsakymas: 3;4.

Dabar pabandykite išspręsti 7 lygtį naudodami vieną iš šių metodų.

Paaiškinkite, kodėl taip atsitiko? Kodėl vienu atveju yra trys šaknys, o kitu – dvi? Kokie skaičiai yra šios trupmeninės racionalios lygties šaknys?

Iki šiol studentai nesusidūrė su pašalinės šaknies sąvoka, jiems iš tiesų labai sunku suprasti, kodėl taip atsitiko. Jei klasėje niekas negali aiškiai paaiškinti šios situacijos, mokytojas užduoda pagrindinius klausimus.

Kuo lygtys Nr. 2 ir 4 skiriasi nuo lygčių Nr. 5,6,7? ( 2 ir 4 lygtyse yra skaičiai vardiklyje, 5-7 yra išraiškos su kintamuoju.) Kas yra lygties šaknis? ( Kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa teisinga.) Kaip sužinoti, ar skaičius yra lygties šaknis? ( Padarykite čekį.)

Kai kurie studentai testuodami pastebi, kad jie turi dalytis iš nulio. Jie daro išvadą, kad skaičiai 0 ir 5 nėra šios lygties šaknys. Kyla klausimas: ar yra būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, leidžiančias pašalinti ši klaida? Taip, šis metodas pagrįstas sąlyga, kad trupmena lygi nuliui.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jei x=5, tai x(x-5)=0, o tai reiškia, kad 5 yra pašalinė šaknis.

Jei x=-2, tai x(x-5)≠0.

Atsakymas: -2.

Pabandykime tokiu būdu suformuluoti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą. Vaikai patys suformuluoja algoritmą.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Viską perkelkite į kairę pusę.

2. Konvertuokite trupmenas į bendras vardiklis.

3. Sukurkite sistemą: trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui.

4. Išspręskite lygtį.

5. Patikrinkite nelygybę, kad neįtrauktumėte pašalinių šaknų.

6. Užsirašykite atsakymą.

Diskusija: kaip formalizuoti sprendimą, jei naudojate pagrindinę proporcijos savybę ir padauginate abi lygties puses iš bendro vardiklio. (Pridėkite prie sprendimo: pašalinkite iš jo šaknų tuos, dėl kurių bendras vardiklis išnyksta).

4. Pradinis naujos medžiagos suvokimas.

Darbas poromis. Studentai patys pasirenka, kaip išspręsti lygtį, atsižvelgdami į lygties tipą. Užduotys iš vadovėlio „Algebra 8“, 2007: Nr.000 (b, c, i); Nr. 000(a, d, g). Mokytojas stebi užduoties atlikimą, atsako į kylančius klausimus, teikia pagalbą prastai besimokantiems mokiniams. Savikontrolė: atsakymai užrašomi lentoje.

b) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 3.

c) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 1.5.

a) Atsakymas: -12.5.

g) Atsakymas: 1;1.5.

5. Namų darbų ruošimas.

2. Išmokti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą.

3. Spręsti sąsiuviniuose Nr.000 (a, d, e); Nr. 000(g, h).

4. Pabandykite išspręsti Nr. 000(a) (neprivaloma).

6. Kontrolinės užduoties atlikimas nagrinėjama tema.

Darbas atliekamas ant popieriaus lapų.

Užduoties pavyzdys:

A) Kurios iš lygčių yra trupmeninės racionalios?

B) Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis yra ______________________, o vardiklis yra _______________________.

K) Ar skaičius -3 yra lygties skaičiaus 6 šaknis?

D) Išspręskite lygtį Nr.

Užduoties vertinimo kriterijai:

„5“ suteikiama, jei mokinys teisingai atliko daugiau nei 90% užduoties. „4“ - 75%-89% „3“ - 50%-74% „2“ skiriama mokiniui, kuris atliko mažiau nei 50% užduoties. 2 įvertinimas žurnale nenurodytas, 3 – neprivaloma.

7. Refleksija.

Ant savarankiško darbo lapų uždėkite:

1 – jei pamoka jums buvo įdomi ir suprantama; 2 – įdomu, bet neaišku; 3 – neįdomu, bet suprantama; 4 – neįdomu, neaišku.

8. Pamokos apibendrinimas.

Taigi, šiandien pamokoje susipažinome su trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, išmokome išspręsti šias lygtis įvairiais būdais, pasitikrino savo žinias mokymų pagalba savarankiškas darbas. Savarankiško darbo rezultatus sužinosite kitoje pamokoje, o namuose turėsite galimybę įtvirtinti žinias.

Kuris trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdas, jūsų nuomone, yra lengvesnis, prieinamesnis ir racionalesnis? Nepriklausomai nuo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo metodo, ką turėtumėte atsiminti? Kas yra trupmeninių racionaliųjų lygčių „gudrumas“?

Ačiū visiems, pamoka baigėsi.

Susipažinkime su racionaliosiomis ir trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, pateikime jų apibrėžimą, pateiksime pavyzdžių, taip pat išanalizuokime dažniausiai pasitaikančias problemų rūšis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalioji lygtis: apibrėžimas ir pavyzdžiai

Pažintis su racionaliais posakiais prasideda 8-oje mokyklos klasėje. Šiuo metu algebros pamokose mokiniai vis dažniau pradeda susidurti su užduotimis su lygtimis, kurių užrašuose yra racionalių išraiškų. Atnaujinkime savo atmintį, kas tai yra.

1 apibrėžimas

Racionali lygtis yra lygtis, kurios abiejose pusėse yra racionalių išraiškų.

IN įvairių privalumų galima rasti dar vieną formulę.

2 apibrėžimas

Racionali lygtis yra lygtis, kurios kairėje pusėje yra racionali išraiška, o dešinysis yra nulis.

Apibrėžimai, kuriuos pateikėme racionaliosioms lygtims, yra lygiaverčiai, nes jie kalba apie tą patį. Mūsų žodžių teisingumą patvirtina tai, kad bet kokiems racionaliems posakiams P Ir K lygtys P = Q Ir P − Q = 0 bus lygiavertės išraiškos.

Dabar pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys

Racionalios lygtys:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionaliosiose lygtyse, kaip ir kitų tipų lygtyse, gali būti bet koks kintamųjų skaičius nuo 1 iki kelių. Pirmiausia pažiūrėsime paprasti pavyzdžiai, kurioje lygtyse bus tik vienas kintamasis. Ir tada mes pradėsime palaipsniui apsunkinti užduotį.

Racionalios lygtys skirstomos į dvi dalis didelės grupės: sveikieji skaičiai ir trupmenos. Pažiūrėkime, kokios lygtys bus taikomos kiekvienai grupei.

3 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus sveikasis skaičius, jei jos kairėje ir dešinėje pusėse yra visos racionalios išraiškos.

4 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus trupmeninė, jei vienoje ar abiejose jos dalyse yra trupmena.

Trupmeninės racionalios lygtys būtinai turi dalijimąsi iš kintamojo arba kintamasis yra vardiklyje. Rašant visas lygtis tokio padalijimo nėra.

2 pavyzdys

3 x + 2 = 0 Ir (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x = - y + 0, 5– ištisos racionalios lygtys. Čia abi lygties pusės vaizduojamos sveikųjų skaičių išraiškomis.

1 x - 1 = x 3 ir x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 yra trupmeninės racionalios lygtys.

Visos racionalios lygtys apima tiesines ir kvadratines lygtis.

Spręsti visas lygtis

Norint išspręsti tokias lygtis, jas paprastai reikia konvertuoti į lygiavertes algebrines lygtis. Tai galima pasiekti atlikus lygiavertes lygčių transformacijas pagal šį algoritmą:

• pirmiausia gauname nulį dešinėje lygties pusėje, kad tai padarytume, reikia perkelti išraišką, esančią dešinėje lygties pusėje, į kairę pusę ir pakeisti ženklą;
• tada kairėje lygties pusėje esančią išraišką transformuojame į daugianarį standartinis vaizdas.

Turime gauti algebrinė lygtis. Ši lygtis bus lygiavertė pradinei lygčiai. Paprasti atvejai leidžia mums sumažinti visą lygtį į tiesinę arba kvadratinę, kad išspręstume problemą. IN bendras atvejis sprendžiame algebrinę laipsnio lygtį n.

3 pavyzdys

Būtina rasti visos lygties šaknis 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Sprendimas

Transformuokime pradinę išraišką, kad gautume lygiavertę algebrinę lygtį. Norėdami tai padaryti, dešinėje lygties pusėje esančią išraišką perkelsime į kairę ir ženklą pakeisime priešingu. Rezultate gauname: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Dabar paverskime kairėje pusėje esančią išraišką į standartinės formos daugianarį ir sukurkime būtinus veiksmus su šiuo daugianario:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Mums pavyko sumažinti sprendinį iki pradinės lygties iki sprendinio kvadratinė lygtis malonus x 2 − 5 x − 6 = 0. Šios lygties diskriminantas yra teigiamas: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tai reiškia, kad bus dvi tikros šaknys. Raskime juos naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 arba x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 arba x 2 = - 1

Patikrinkime lygties šaknų teisingumą, kurią radome sprendimo metu. Tam mes pakeičiame gautus skaičius pradinė lygtis: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 Ir 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. Pirmuoju atveju 63 = 63 , antrajame 0 = 0 . Šaknys x=6 Ir x = −1 iš tikrųjų yra lygties, pateiktos pavyzdinėje sąlygoje, šaknys.

Atsakymas: 6 , − 1 .

Pažiūrėkime, ką reiškia „visos lygties laipsnis“. Mes dažnai susidursime su šiuo terminu tais atvejais, kai turime pavaizduoti visą lygtį algebrine forma. Apibrėžkime sąvoką.

5 apibrėžimas

Visos lygties laipsnis yra algebrinės lygties laipsnis, lygiavertis pradinei sveikųjų skaičių lygčiai.

Jei pažvelgsite į lygtis iš aukščiau pateikto pavyzdžio, galite nustatyti: visos šios lygties laipsnis yra antras.

Jei mūsų kursas apsiribotų antrojo laipsnio lygčių sprendimu, temos aptarimas galėtų tuo ir baigtis. Bet tai nėra taip paprasta. Trečiojo laipsnio lygčių sprendimas yra kupinas sunkumų. O lygtims, aukštesnėms nei ketvirtasis laipsnis, nėra bendrosios formulėsšaknys. Šiuo atžvilgiu norint išspręsti visas trečiojo, ketvirtojo ir kitų laipsnių lygtis, reikia naudoti daugybę kitų metodų ir metodų.

Dažniausiai naudojamas ištisų racionaliųjų lygčių sprendimo būdas yra pagrįstas faktorizavimo metodu. Veiksmų algoritmas šiuo atveju yra toks:

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės į kairę, kad įrašo dešinėje liktų nulis;
• Kairėje pusėje esančią išraišką pavaizduojame kaip veiksnių sandaugą, o tada pereiname prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

Raskite lygties (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) sprendinį.

Sprendimas

Perkeliame išraišką iš dešinės įrašo pusės į kairę su priešingas ženklas: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Kairiosios pusės konvertavimas į standartinės formos daugianarį yra netinkamas, nes taip gausime ketvirtojo laipsnio algebrinę lygtį: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Konvertavimo paprastumas nepateisina visų sunkumų sprendžiant tokią lygtį.

Daug lengviau eiti kitu keliu: išimkime jį iš skliaustų bendras daugiklis x 2 – 10 x + 13 . Taigi gauname formos lygtį (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Dabar gautą lygtį pakeičiame dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 – 10 x + 13 = 0 Ir x 2 − 2 x − 1 = 0 ir raskite jų šaknis per diskriminantą: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Atsakymas: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Lygiai taip pat galime naudoti naujo kintamojo įvedimo metodą. Šis metodas leidžia pereiti prie lygiaverčių lygčių, kurių laipsniai yra mažesni už laipsnius pradinėje sveikųjų skaičių lygtyje.

5 pavyzdys

Ar lygtis turi šaknis? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Sprendimas

Jei dabar bandysime visą racionalią lygtį redukuoti į algebrinę, gausime 4 laipsnio lygtį, kuri neturi racionalios šaknys. Todėl mums bus lengviau eiti kitu keliu: įvesti naują kintamąjį y, kuris pakeis išraišką lygtyje x 2 + 3 x.

Dabar dirbsime su visa lygtimi (y + 1) 2 + 10 = – 2 · (y – 4). Suplanuokime dešinėje pusėje lygtis į kairę su priešingu ženklu ir atlikti reikiamas transformacijas. Mes gauname: y 2 + 4 y + 3 = 0. Raskime kvadratinės lygties šaknis: y = – 1 Ir y = – 3.

Dabar atlikime atvirkštinį pakeitimą. Gauname dvi lygtis x 2 + 3 x = – 1 Ir x 2 + 3 · x = – 3 . Perrašykime juos į x 2 + 3 x + 1 = 0 ir x 2 + 3 x + 3 = 0. Naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę, kad surastume pirmosios lygties šaknis iš gautų: - 3 ± 5 2. Antrosios lygties diskriminantas yra neigiamas. Tai reiškia, kad antroji lygtis neturi realių šaknų.

Atsakymas:- 3 ± 5 2

Ištisos lygtys aukšti laipsniai gana dažnai susiduriama atliekant užduotis. Nereikia jų bijoti. Norėdami juos išspręsti, turite būti pasirengę naudoti nestandartinį metodą, įskaitant daugybę dirbtinių transformacijų.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Šios potemės svarstymą pradėsime nuo p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmo, kur p(x) Ir q(x)– ištisos racionalios išraiškos. Kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendimas visada gali būti redukuojamas į nurodyto tipo lygčių sprendinį.

Dažniausiai naudojamas lygčių p (x) q (x) = 0 sprendimo būdas yra pagrįstas kitas pareiškimas: skaitinė trupmena u v, Kur v- tai skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, lygus nuliui tik tais atvejais, kai trupmenos skaitiklis yra lygus nuliui. Vadovaudamiesi aukščiau pateikto teiginio logika, galime teigti, kad lygties p (x) q (x) = 0 sprendinį galima redukuoti iki dviejų sąlygų: p(x)=0 Ir q(x) ≠ 0. Tai yra p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmo sudarymo pagrindas:

• rasti visos racionalios lygties sprendimą p(x)=0;
• patikriname, ar tenkinama sąlyga sprendimo metu rastoms šaknims q(x) ≠ 0.

Jei ši sąlyga yra įvykdyta, tada rasta šaknis Jei ne, tada šaknis nėra problemos sprendimas.

6 pavyzdys

Raskime lygties 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 šaknis.

Sprendimas

Turime reikalą su trupmenine racionalia lygtimi, kurios forma yra p (x) q (x) = 0, kurioje p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Pradėkime spręsti tiesinę lygtį 3 x − 2 = 0. Šios lygties šaknis bus x = 2 3.

Patikrinkime rastą šaknį, ar ji atitinka sąlygą 5 x 2 - 2 ≠ 0. Norėdami tai padaryti, pakeiskime skaitinė reikšmėį išraišką. Gauname: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Sąlyga įvykdyta. Tai reiškia, kad x = 2 3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: 2 3 .

Yra dar vienas trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo variantas p (x) q (x) = 0. Prisiminkite, kad ši lygtis yra lygiavertė visai lygčiai p(x)=0 regione priimtinos vertės pradinės lygties kintamasis x. Tai leidžia mums naudoti sekantis algoritmas sprendžiant lygtis p (x) q (x) = 0:

• išspręskite lygtį p(x)=0;
• rasti kintamojo x leistinų verčių diapazoną;
• imame šaknis, esančias kintamojo x leistinų verčių diapazone, kaip norimas pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis.

Išspręskite lygtį x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Sprendimas

Pirmiausia išspręskime kvadratinę lygtį x 2 − 2 x − 11 = 0. Norėdami apskaičiuoti jo šaknis, naudojame lyginio antrojo koeficiento šaknų formulę. Mes gauname D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ir x = 1 ± 2 3 .

Dabar galime rasti pradinės lygties kintamojo x ODZ. Tai visi skaičiai, kuriems x 2 + 3 x ≠ 0. Tai tas pats kaip x (x + 3) ≠ 0, iš kur x ≠ 0, x ≠ − 3.

Dabar patikrinkime, ar šaknys x = 1 ± 2 3, gautos pirmajame sprendimo etape, yra leistinų kintamojo x verčių diapazone. Matome, kad jie ateina. Tai reiškia, kad pradinė trupmeninė racionali lygtis turi dvi šaknis x = 1 ± 2 3.

Atsakymas: x = 1 ± 2 3

Aprašytas antrasis sprendimo būdas lengviau nei pirmasis tais atvejais, kai lengvai randamas kintamojo x leistinų verčių diapazonas ir lygties šaknys p(x)=0 neracionalus. Pavyzdžiui, 7 ± 4 · 26 9. Šaknys gali būti racionalios, bet su dideliu skaitikliu arba vardikliu. Pavyzdžiui, 127 1101 Ir − 31 59 . Taip sutaupoma laiko tikrinant būklę q(x) ≠ 0: Daug lengviau pašalinti šaknis, kurios netinka pagal ODZ.

Tais atvejais, kai lygties šaknys p(x)=0 yra sveikieji skaičiai, p (x) q (x) = 0 formos lygtims spręsti tikslingiau naudoti pirmąjį iš aprašytų algoritmų. Greičiau raskite visos lygties šaknis p(x)=0, tada patikrinkite, ar tenkinama sąlyga q(x) ≠ 0, o ne rasti ODZ ir tada išspręsti lygtį p(x)=0šiame ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais dažniausiai lengviau patikrinti, nei surasti DZ.

8 pavyzdys

Raskite lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 šaknis = 0.

Sprendimas

Pradėkime nuo visos lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ir surasti jo šaknis. Norėdami tai padaryti, taikome lygčių sprendimo metodą faktorizuojant. Pasirodo, pradinė lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, iš kurių trys yra tiesinės ir vienas yra kvadratinis. Šaknų paieška: iš pirmosios lygties x = 12, nuo antrojo - x=6, iš trečio – x = 7 , x = – 2 , iš ketvirto – x = −1.

Patikrinkime gautas šaknis. Nustatykite ADL šiuo atveju Mums tai sunku, nes tam turėsime išspręsti penktojo laipsnio algebrinę lygtį. Bus lengviau patikrinti sąlygą, pagal kurią trupmenos vardiklis, esantis kairėje lygties pusėje, neturėtų eiti į nulį.

Paeiliui reiškinyje pakeisime kintamąjį x šaknimis x 5 – 15 x 4 + 57 x 3 – 13 x 2 + 26 x + 112 ir apskaičiuokite jo vertę:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 30 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Atliktas patikrinimas leidžia nustatyti, kad pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys yra 1 2, 6 ir − 2 .

Atsakymas: 1 2 , 6 , - 2

9 pavyzdys

Raskite trupmeninės racionalios lygties 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 šaknis.

Sprendimas

Pradėkime dirbti su lygtimi (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Raskime jo šaknis. Mums lengviau įsivaizduoti šią lygtį kaip kvadratinių ir tiesinių lygčių rinkinį 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 Ir x − 2 = 0.

Norėdami rasti šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę. Iš pirmosios lygties gauname dvi šaknis x = 7 ± 69 10, o iš antrosios x = 2.

Mums bus gana sunku pakeisti šaknų reikšmę į pradinę lygtį, kad patikrintume sąlygas. Bus lengviau nustatyti kintamojo x ODZ. Šiuo atveju kintamojo x ODZ yra visi skaičiai, išskyrus tuos, kurių sąlyga yra įvykdyta x 2 + 5 x - 14 = 0. Gauname: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Dabar patikrinkime, ar rastos šaknys priklauso kintamojo x leistinų verčių diapazonui.

Šaknys x = 7 ± 69 10 - priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys ir x = 2- nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: x = 7 ± 69 10 .

Atskirai panagrinėkime atvejus, kai p (x) q (x) = 0 formos trupmeninės racionalios lygties skaitiklyje yra skaičius. Tokiais atvejais, jei skaitiklyje yra ne nulis, o kitas skaičius, lygtis neturės šaknų. Jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis bus bet koks skaičius iš ODZ.

10 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį – 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Sprendimas

Ši lygtis neturės šaknų, nes trupmenos skaitiklyje kairėje lygties pusėje yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad jokios x reikšmės problemos teiginyje pateiktos trupmenos reikšmė nebus lygi nuliui.

Atsakymas: jokių šaknų.

11 pavyzdys

Išspręskite lygtį 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Sprendimas

Kadangi trupmenos skaitiklyje yra nulis, lygties sprendimas bus bet kokia x reikšmė iš kintamojo x ODZ.

Dabar apibrėžkime ODZ. Jame bus visos x reikšmės, kurioms x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Lygties sprendiniai x 4 + 5 x 3 = 0 yra 0 Ir − 5 , nes ši lygtis yra lygiavertė lygčiai x 3 (x + 5) = 0, o tai savo ruožtu yra lygiaverčiai dviejų lygčių deriniui x 3 = 0 ir x + 5 = 0, kur matomos šios šaknys. Darome išvadą, kad norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet kuris x, išskyrus x = 0 Ir x = – 5.

Pasirodo, trupmeninė racionali lygtis 0 x 4 + 5 x 3 = 0 turi begalinis rinkinys sprendiniai, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir – 5.

Atsakymas: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Dabar pakalbėkime apie trupmenines racionaliąsias lygtis savavališkas tipas ir jų sprendimo būdus. Jie gali būti parašyti kaip r(x) = s(x), Kur r(x) Ir s(x)– racionalios išraiškos, ir bent viena iš jų yra trupmeninė. Išsprendus tokias lygtis, išsprendžiamos lygtys, kurių forma yra p (x) q (x) = 0.

Jau žinome, kad lygiavertę lygtį galime gauti perkeldami išraišką iš dešinės lygties pusės į kairę su priešingu ženklu. Tai reiškia, kad lygtis r(x) = s(x) yra lygiavertis lygčiai r (x) − s (x) = 0. Taip pat jau aptarėme būdus, kaip racionalią išraišką paversti racionalia trupmena. Dėl to lygtį galime lengvai transformuoti r (x) − s (x) = 0į identišką formos p (x) q (x) racionaliąją trupmeną.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x) = s(x)į p (x) q (x) = 0 formos lygtį, kurią jau išmokome išspręsti.

Reikėtų atsižvelgti į tai, kad atliekant perėjimus iš r (x) − s (x) = 0į p(x)q(x) = 0 ir tada į p(x)=0 galime neatsižvelgti į kintamojo x leistinų verčių diapazono išplėtimą.

Visai įmanoma, kad pradinė lygtis r(x) = s(x) ir lygtis p(x)=0 dėl transformacijų jie nustos būti lygiaverčiai. Tada lygties sprendimas p(x)=0 gali suteikti mums šaknų, kurios bus svetimos r(x) = s(x). Šiuo atžvilgiu kiekvienu atveju būtina atlikti patikrinimą naudojant bet kurį iš aukščiau aprašytų metodų.

Kad jums būtų lengviau išnagrinėti temą, mes apibendriname visą informaciją į algoritmą, skirtą išspręsti trupmeninę racionaliąją formos lygtį r(x) = s(x):

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu, o dešinėje gauname nulį;
• pradinę išraišką paversti racionalia trupmena p (x) q (x) , nuosekliai atliekant operacijas su trupmenomis ir daugianariais;
• išspręskite lygtį p(x)=0;
• pašalines šaknis nustatome patikrindami jų priklausymą ODZ arba pakeisdami pradinę lygtį.

Vizualiai veiksmų grandinė atrodys taip:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → pašalinimas IŠORINĖS ŠAKNYS

12 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį x x + 1 = 1 x + 1 .

Sprendimas

Pereikime prie lygties x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Kairėje lygties pusėje esančią trupmeninę racionaliąją išraišką transformuokime į formą p (x) q (x) .

Norėdami tai padaryti, turėsime sumažinti racionaliąsias trupmenas iki bendro vardiklio ir supaprastinti išraišką:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Norėdami rasti lygties šaknis - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, turime išspręsti lygtį − 2 x − 1 = 0. Mes gauname vieną šaknį x = - 1 2.

Viskas, ką turime padaryti, tai patikrinti naudodami bet kurį iš metodų. Pažvelkime į juos abu.

Pakeiskime gautą reikšmę pradine lygtimi. Gauname - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Mes pasiekėme teisingą skaitinę lygybę − 1 = − 1 . Tai reiškia, kad x = − 1 2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar patikrinkime ODZ. Nustatykime kintamojo x leistinų verčių diapazoną. Tai bus visa skaičių rinkinys, išskyrus −1 ir 0 (esant x = −1 ir x = 0, trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis, kurį gavome x = − 1 2 priklauso ODZ. Tai reiškia, kad tai yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: − 1 2 .

13 pavyzdys

Raskite lygties x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x šaknis.

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmenine racionalia lygtimi. Todėl veiksime pagal algoritmą.

Perkelkime išraišką iš dešinės pusės į kairę su priešingu ženklu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Atlikime reikiamas transformacijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Prieiname prie lygties x = 0. Šios lygties šaknis lygi nuliui.

Patikrinkime, ar ši šaknis yra pašalinė iš pradinės lygties. Pakeiskime reikšmę į pradinę lygtį: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kaip matote, gauta lygtis neturi prasmės. Tai reiškia, kad 0 yra pašalinė šaknis, o pradinė trupmeninė racionali lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: jokių šaknų.

Jei į algoritmą neįtraukėme kitų lygiavertės transformacijos, tai nereiškia, kad jų negalima naudoti. Algoritmas yra universalus, tačiau jis skirtas padėti, o ne riboti.

14 pavyzdys

Išspręskite lygtį 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Sprendimas

Lengviausias būdas yra išspręsti pateiktą trupmeninę racionaliąją lygtį pagal algoritmą. Tačiau yra ir kitas būdas. Pasvarstykime.

Iš dešinės ir kairės pusės atimkite 7, gausime: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Iš to galime daryti išvadą, kad išraiška kairiosios pusės vardiklyje turi būti lygi skaičiui abipusis skaičius iš dešinės pusės, tai yra, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Iš abiejų pusių atimkite 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogiškai 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, iš kur 1 5 - x 2 = 1 3, o tada 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Patikrinkime, ar rastos šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Atsakymas: x = ± 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Dabar išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.

Kas yra racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos yra išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų, jų galių ir matematinių operacijų simbolių.

Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur - racionalios išraiškos.

Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į tiesines. Dabar pažvelkime į tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines lygtis.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Trupmena lygi 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus 0, o vardiklis nelygus 0.

Gauname tokią sistemą:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padalinkime iš 3. Gauname:

Gauname dvi šaknis: ; .

Kadangi 2 niekada nelygu 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su neteisingos vertės kintamieji, kurie buvo gauti sprendžiant antrąją nelygybę, jie abu yra šios lygties sprendiniai.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:

1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje pusėje būtų 0.

2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį.

3. Gautą trupmeną prilyginkite 0, naudodami šį algoritmą: .

4. Užrašykite tas šaknis, kurios buvo gautos pirmoje lygtyje, ir tenkinkite antrąją nelygybę atsakyme.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas

Pačioje pradžioje visas sąlygas perkelkime į kairėje pusėje, kad 0 liktų dešinėje.

Dabar priveskime kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:

Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.

Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:

Gauname dvi šaknis: ; .

Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.

Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Pastebime, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena – 3.

Atsakymas:.

Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis.

Kitoje pamokoje pažvelgsime į racionaliąsias lygtis kaip modelius realias situacijas, taip pat apsvarstykite judėjimo užduotis.

Nuorodos

1. Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
2. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra, 8. 5 leid. - M.: Švietimas, 2010 m.
3. Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Pamoka skirta švietimo įstaigos. - M.: Švietimas, 2006 m.

1. Festivalis pedagoginės idėjos "Atvira pamoka" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Namų darbai

Kalbėkime toliau apie sprendžiant lygtis. Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime racionalios lygtys ir racionaliųjų lygčių su vienu kintamuoju sprendimo principus. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokio tipo lygtys vadinamos racionaliosiomis, apibrėžkime visas racionaliąsias ir trupmenines racionaliąsias lygtis ir pateikime pavyzdžių. Toliau gausime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmus ir, žinoma, apsvarstysime sprendimus tipiniai pavyzdžiai su visais reikalingais paaiškinimais.

Puslapio naršymas.

Remdamiesi nurodytais apibrėžimais, pateikiame keletą racionalių lygčių pavyzdžių. Pavyzdžiui, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , yra racionalios lygtys.

Iš pateiktų pavyzdžių aišku, kad racionalios lygtys, kaip ir kitų tipų lygtys, gali būti su vienu kintamuoju arba su dviem, trimis ir pan. kintamieji. Tolesnėse pastraipose kalbėsime apie racionaliųjų lygčių sprendimą su vienu kintamuoju. Dviejų kintamųjų lygčių sprendimas ir juos didelis skaičius nusipelno ypatingo dėmesio.

Be to, kad racionalios lygtys dalijamos iš nežinomų kintamųjų skaičiaus, jos taip pat skirstomos į sveikuosius ir trupmeninius. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Racionalioji lygtis vadinama visa, jei jo kairioji ir dešinioji pusės yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos.

Apibrėžimas.

Jei bent viena iš racionaliosios lygties dalių yra trupmeninė išraiška, tada ši lygtis vadinama trupmeniškai racionalus(arba trupmeninis racionalus).

Aišku, kad visose lygtyse nėra dalybos iš kintamojo, priešingai, trupmeninėse racionaliosiose lygtyse būtinai yra dalijimas iš kintamojo (arba kintamojo vardiklyje). Taigi 3 x+2=0 ir (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– tai ištisos racionalios lygtys, abi jų dalys yra vientisos išraiškos. A ir x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 yra trupmeninių racionaliųjų lygčių pavyzdžiai.

Baigdami šį klausimą, atkreipkime dėmesį į tai, kad iki šiol žinomos tiesinės ir kvadratinės lygtys yra ištisos racionalios lygtys.

Spręsti visas lygtis

Vienas iš pagrindinių ištisų lygčių sprendimo būdų yra jas sumažinti iki lygiaverčių algebrines lygtis. Tai visada galima padaryti atliekant tokias lygiavertes lygties transformacijas:

• pirma, išraiška iš dešinės pradinės sveikųjų skaičių lygties pusės perkeliama į kairę pusę su priešingu ženklu, kad būtų gautas nulis dešinėje;
• po to kairėje lygties pusėje gaunama standartinė forma.

Rezultatas yra algebrinė lygtis, lygiavertė pradinei sveikųjų skaičių lygčiai. Taigi daugiausia paprasti atvejai ištisų lygčių sprendimas redukuojasi į tiesinių arba kvadratinių lygčių sprendimą, o bendruoju atveju į n laipsnio algebrinės lygties sprendimą. Kad būtų aiškumo, pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite visos lygties šaknis 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Sprendimas.

Visos šios lygties sprendinį sumažinkime iki ekvivalentinės algebrinės lygties sprendinio. Norėdami tai padaryti, pirmiausia perkeliame išraišką iš dešinės pusės į kairę, todėl gauname lygtį 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Ir, antra, kairėje pusėje suformuotą išraišką paverčiame standartinės formos polinomu, užpildydami būtiną: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x −9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Taigi pradinės sveikųjų skaičių lygties sprendimas redukuojamas iki kvadratinės lygties x 2 −5·x−6=0.

Apskaičiuojame jo diskriminantą D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, jis yra teigiamas, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis, kurias randame naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

Kad būtume visiškai tikri, padarykime tai tikrinant rastas lygties šaknis. Pirmiausia patikriname šaknį 6, pakeiskite ją vietoj kintamojo x pradinėje sveikojo skaičiaus lygtyje: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, kuris yra tas pats, 63=63. Tai galiojanti skaitinė lygtis, todėl x=6 iš tikrųjų yra lygties šaknis. Dabar mes patikriname šaknį −1, turime 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, iš kur, 0=0 . Kai x=−1, pradinė lygtis taip pat virsta teisinga skaitine lygybe, todėl x=−1 taip pat yra lygties šaknis.

Atsakymas:

6 , −1 .

Čia taip pat reikėtų pažymėti, kad terminas „visos lygties laipsnis“ yra susijęs su visos lygties vaizdavimu algebrinės lygties pavidalu. Pateikiame atitinkamą apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Visos lygties galia vadinamas ekvivalentinės algebrinės lygties laipsniu.

Pagal šį apibrėžimą visa ankstesnio pavyzdžio lygtis turi antrąjį laipsnį.

Tai galėjo būti visų racionalių lygčių sprendimo pabaiga, jei ne vienas dalykas…. Kaip žinoma, algebrinių laipsnio lygčių, viršijančių antrąjį, sprendimas yra susijęs su dideliais sunkumais, o aukštesnio nei ketvirtojo laipsnio lygtims apskritai nėra bendrųjų šaknies formulių. Todėl norint išspręsti ištisas trečiojo, ketvirto ir aukštesnio laipsnio lygtis, dažnai tenka griebtis kitų sprendimo būdų.

Tokiais atvejais požiūris į ištisas racionalias lygtis, pagrįstas faktorizavimo metodas. Tokiu atveju laikomasi šio algoritmo:

• pirma, jie užtikrina, kad dešinėje lygties pusėje būtų nulis, kad tai padarytų, jie perkelia išraišką iš dešinės visos lygties pusės į kairę;
• tada gauta išraiška kairėje pusėje pateikiama kaip kelių veiksnių sandauga, leidžianti pereiti prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

Pateiktas algoritmas, skirtas išspręsti visą lygtį per faktorizavimą, reikalauja išsamaus paaiškinimo naudojant pavyzdį.

Pavyzdys.

Išspręskite visą lygtį (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Sprendimas.

Pirmiausia, kaip įprasta, išraišką perkeliame iš dešinės pusės į kairę lygties pusę, nepamirštant pakeisti ženklo, gauname (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Čia visiškai akivaizdu, kad nepatartina gautos lygties kairiosios pusės transformuoti į standartinės formos daugianarį, nes taip bus gauta ketvirtojo formos laipsnio algebrinė lygtis. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, kurio sprendimas yra sunkus.

Kita vertus, akivaizdu, kad gautos lygties kairėje pusėje galime x 2 −10·x+13 , taip pateikdami ją kaip sandaugą. Turime (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Gauta lygtis yra lygi originaliai visai lygčiai ir, savo ruožtu, gali būti pakeista dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 −10·x+13=0 ir x 2 −2·x−1=0. Jų šaknų radimas pagal žinomos formulėsšaknys per diskriminantą nėra sunku, šaknys yra lygios. Jie yra norimos pradinės lygties šaknys.

Atsakymas:

Taip pat naudinga sprendžiant visas racionalias lygtis naujo kintamojo įvedimo metodas. Kai kuriais atvejais tai leidžia pereiti prie lygčių, kurių laipsnis yra mažesnis už pradinės visos lygties laipsnį.

Pavyzdys.

Raskite tikrąsias racionalios lygties šaknis (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).

Sprendimas.

Visą šią racionaliąją lygtį redukuoti į algebrinę lygtį, švelniai tariant, nėra labai gera mintis, nes šiuo atveju mes priartėsime prie poreikio išspręsti ketvirtojo laipsnio lygtį, kuri neturi racionalių šaknų. Todėl teks ieškoti kito sprendimo.

Čia nesunku pastebėti, kad galite įvesti naują kintamąjį y ir juo pakeisti išraišką x 2 +3·x. Šis pakeitimas veda į visą lygtį (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , kuri, perkėlus išraišką −2·(y−4) į kairę pusę ir vėliau pakeitus išraišką ten suformuota, redukuojama į kvadratinę lygtį y 2 +4·y+3=0. Šios lygties y=−1 ir y=−3 šaknis rasti lengva, pavyzdžiui, jas galima pasirinkti remiantis teorema, atvirkštine Vietos teoremai.

Dabar pereiname prie antrosios naujo kintamojo įvedimo metodo dalies, tai yra, prie atvirkštinio pakeitimo. Atlikę atvirkštinį keitimą, gauname dvi lygtis x 2 +3 x=−1 ir x 2 +3 x=−3, kurias galima perrašyti į x 2 +3 x+1=0 ir x 2 +3 x+3 =0. Naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę, randame pirmosios lygties šaknis. O antroji kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, nes jos diskriminantas yra neigiamas (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Atsakymas:

Apskritai, kai susiduriame su ištisomis aukštų laipsnių lygtimis, visada turime būti pasirengę ieškoti nestandartinis metodas arba dirbtiniu būdu joms išspręsti.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Pirma, bus naudinga suprasti, kaip išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis formos , kur p(x) ir q(x) yra sveikosios racionalios išraiškos. Ir tada parodysime, kaip kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendinį redukuoti į nurodyto tipo lygčių sprendinį.

Vienas iš lygties sprendimo būdų yra pagrįstas tokiu teiginiu: skaitinė trupmena u/v, kur v yra ne nulis skaičius (kitaip susidursime su , kuris yra neapibrėžtas), yra lygi nuliui tada ir tik tada, jei jos skaitiklis yra lygus nuliui, tada yra tada ir tik tada, kai u=0 . Remiantis šiuo teiginiu, lygties sprendimas sumažinamas iki dviejų sąlygų p(x)=0 ir q(x)≠0.

Ši išvada atitinka toliau pateiktą trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti trupmeninę racionaliąją formos lygtį, jums reikia

• išspręsti visą racionaliąją lygtį p(x)=0 ;
• ir patikrinkite, ar kiekvienos rastos šaknies sąlyga q(x)≠0 tenkinama, o
• jei tiesa, tai ši šaknis yra pradinės lygties šaknis;
• jei ji nepatenkinama, tai ši šaknis yra pašalinė, tai yra, ji nėra pradinės lygties šaknis.

Pažiūrėkime į paskelbto algoritmo panaudojimo pavyzdį sprendžiant trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Tai trupmeninė racionali lygtis, kurios formos p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Pagal šio tipo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą pirmiausia reikia išspręsti lygtį 3 x−2=0. Tai tiesinė lygtis, kurio šaknis x=2/3.

Belieka patikrinti šią šaknį, tai yra patikrinti, ar ji tenkina sąlygą 5 x 2 −2≠0. Išraiškoje 5 x 2 −2 vietoj x pakeičiame skaičių 2/3 ir gauname . Sąlyga įvykdyta, todėl x=2/3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

2/3 .

Galite išspręsti trupmeninę racionalią lygtį iš šiek tiek kitos padėties. Ši lygtis atitinka sveikųjų skaičių lygtį p(x)=0 pradinės lygties kintamajame x. Tai yra, galite laikytis to trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas :

• išspręsti lygtį p(x)=0 ;
• rasti kintamojo x ODZ;
• paimkite šaknis, priklausančias priimtinų verčių sričiai - tai yra norimos pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys.

Pavyzdžiui, naudodamiesi šiuo algoritmu išspręskime trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Pirmiausia išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 −2·x−11=0. Jo šaknis galima apskaičiuoti naudojant lyginio antrojo koeficiento šaknies formulę, kurią turime D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ir.

Antra, randame pradinės lygties kintamojo x ODZ. Jį sudaro visi skaičiai, kurių x 2 +3·x≠0, kuris yra toks pat kaip x·(x+3)≠0, iš kur x≠0, x≠−3.

Belieka patikrinti, ar pirmame žingsnyje rastos šaknys yra įtrauktos į ODZ. Akivaizdu, kad taip. Todėl pradinė trupmeninė racionali lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad šis metodas yra pelningesnis nei pirmasis, jei ODZ lengva rasti, ir ypač naudingas, jei, pavyzdžiui, lygties p(x) = 0 šaknys yra neracionalios arba racionalios, bet su gana dideliu skaitikliu ir /arba vardiklis, pavyzdžiui, 127/1101 ir −31/59. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais norint patikrinti sąlygą q (x)≠0, reikės didelių skaičiavimo pastangų, o pašalines šaknis lengviau pašalinti naudojant ODZ.

Kitais atvejais, sprendžiant lygtį, ypač kai lygties šaknys p(x) = 0 yra sveikieji skaičiai, naudingiau naudoti pirmąjį iš pateiktų algoritmų. Tai yra, patartina iš karto rasti visos lygties p(x)=0 šaknis, o tada patikrinti, ar joms tenkinama sąlyga q(x)≠0, o ne rasti ODZ, o tada spręsti lygtį. p(x)=0 šiame ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais dažniausiai lengviau patikrinti, nei surasti DZ.

Siekdami iliustruoti nurodytus niuansus, panagrinėkime dviejų pavyzdžių sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Pirmiausia suraskime visos lygties šaknis (2 x–1) (x–6) (x 2–5 x+14) (x+1) = 0, sudarytas naudojant trupmenos skaitiklį. Kairė pusėšios lygties sandauga, o dešinioji ranka lygi nuliui, todėl pagal lygčių sprendimo faktorizavimo metodą ši lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0, x+1=0. Trys iš šių lygčių yra tiesinės, o viena – kvadratinė, jas galime išspręsti. Iš pirmosios lygties randame x=1/2, iš antrosios - x=6, iš trečiosios - x=7, x=−2, iš ketvirtosios - x=−1.

Turint rastas šaknis, gana lengva patikrinti, ar pradinės lygties kairėje pusėje esančios trupmenos vardiklis išnyksta, tačiau nustatyti ODZ, priešingai, nėra taip paprasta, nes tam turėsite išspręsti penktojo laipsnio algebrinė lygtis. Todėl atsisakysime ODZ paieškos ir patikrinsime šaknis. Norėdami tai padaryti, mes juos pakeičiame po vieną, o ne kintamąjį x išraiškoje x 5 –15 x 4 +57 x 3 –13 x 2 +26 x+112, gautus po pakeitimo, ir palyginkite juos su nuliu: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 –15·6 4 +57·6 3 –13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 -15,7 4 +57,7 3 -13,7 2 +26,7 + 112=0;
(−2) 5 −15 · (−2) 4 +57 · (−2) 3 −13 · (−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 · (−1) 4 +57 · (−1) 3 −13 · (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Taigi, 1/2, 6 ir –2 yra norimos pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys, o 7 ir –1 yra pašalinės šaknys.

Atsakymas:

1/2 , 6 , −2 .

Pavyzdys.

Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis.

Sprendimas.

Pirma, suraskime lygties šaknis (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ši lygtis yra lygi dviejų lygčių rinkiniui: kvadratinė 5 x 2 −7 x−1=0 ir tiesinė x−2=0. Naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę randame dvi šaknis, o iš antrosios lygties gauname x=2.

Patikrinti, ar vardiklis eina į nulį esant rastoms x reikšmėms, yra gana nemalonu. O nustatyti kintamojo x leistinų verčių diapazoną pradinėje lygtyje yra gana paprasta. Todėl veiksime per ODZ.

Mūsų atveju pradinės trupmeninės racionalios lygties kintamojo x ODZ susideda iš visų skaičių, išskyrus tuos, kuriems tenkinama sąlyga x 2 +5·x−14=0. Šios kvadratinės lygties šaknys yra x=−7 ir x=2, iš kurių darome išvadą apie ODZ: ji susideda iš visų x tokių, kad .

Belieka patikrinti, ar rastos šaknys ir x=2 priklauso priimtinų reikšmių diapazonui. Šaknys priklauso, vadinasi, yra pradinės lygties šaknys, o x=2 nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas:

Taip pat bus naudinga atskirai pasilikti prie atvejų, kai trupmeninėje racionaliojoje formos lygtyje skaitiklyje yra skaičius, tai yra, kai p(x) vaizduojamas kokiu nors skaičiumi. Tuo pačiu metu

• jei šis skaičius yra ne nulis, tai lygtis neturi šaknų, nes trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus nuliui;
• jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis yra bet koks skaičius iš ODZ.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Kadangi trupmenos skaitiklyje kairėje lygties pusėje yra skaičius, kuris nėra nulis, tai bet kurio x atveju šios trupmenos reikšmė negali būti lygi nuliui. Vadinasi, duota lygtis neturi šaknų.

Atsakymas:

jokių šaknų.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Trupmenos skaitiklyje, esančiame kairėje šios trupmeninės racionalios lygties pusėje, yra nulis, todėl šios trupmenos reikšmė yra lygi nuliui bet kuriam x, kuriam ji yra prasminga. Kitaip tariant, šios lygties sprendimas yra bet kokia x reikšmė iš šio kintamojo ODZ.

Belieka nustatyti šį priimtinų verčių diapazoną. Tai apima visas x reikšmes, kurių x 4 +5 x 3 ≠0. Lygties x 4 +5 x 3 =0 sprendiniai yra 0 ir -5, nes ši lygtis yra lygi lygčiai x 3 (x+5)=0, o savo ruožtu yra lygiavertė dviejų lygčių x deriniui 3 =0 ir x +5=0, iš kur šios šaknys matomos. Todėl norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet kuris x, išskyrus x=0 ir x=−5.

Taigi trupmeninėje racionaliojoje lygtyje yra be galo daug sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir minus penkis.

Atsakymas:

Galiausiai atėjo laikas pakalbėti apie savavališkos formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimą. Jas galima parašyti kaip r(x)=s(x), kur r(x) ir s(x) yra racionalios išraiškos, o bent viena iš jų yra trupmeninė. Žvelgiant į ateitį, tarkime, kad jų sprendimas priklauso nuo mums jau žinomos formos lygčių sprendimo.

Yra žinoma, kad perkėlus terminą iš vienos lygties dalies į kitą su priešingu ženklu gaunama lygiavertė lygtis, todėl lygtis r(x)=s(x) yra lygiavertė lygčiai r(x)−s(x) )=0.

Taip pat žinome, kad bet koks , identiškai lygus šiai išraiškai, yra įmanomas. Taigi, racionaliąją išraišką kairėje lygties r(x)−s(x)=0 pusėje visada galime paversti identiškai lygia formos racionalia trupmena.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x)=s(x) prie lygties, o jos sprendimas, kaip sužinojome aukščiau, redukuojamas iki lygties p(x)=0 išsprendimo.

Bet čia reikia atsižvelgti į tai, kad pakeitus r(x)−s(x)=0 į , o po to p(x)=0, kintamojo x leistinų reikšmių diapazonas gali išsiplėsti. .

Vadinasi, pradinė lygtis r(x)=s(x) ir lygtis p(x)=0, kurią gavome, gali pasirodyti nelygios ir išsprendę lygtį p(x)=0, galime gauti šaknis. kurios bus pašalinės pradinės lygties r(x)=s(x) šaknys. Galite nustatyti ir neįtraukti pašalinių šaknų atsakyme atlikdami patikrinimą arba patikrindami, ar jie priklauso pradinės lygties ODZ.

Apibendrinkime šią informaciją trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas r(x)=s(x). Norint išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį r(x)=s(x) , reikia

• Gaukite nulį dešinėje, perkeldami išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu.
• Atlikite operacijas su trupmenomis ir daugianariais kairėje lygties pusėje, taip paversdami ją racionalia formos trupmena.
• Išspręskite lygtį p(x)=0.
• Identifikuokite ir pašalinkite pašalines šaknis, o tai daroma pakeičiant jas į pradinę lygtį arba patikrinant jų priklausomybę pradinės lygties ODZ.

Siekiant didesnio aiškumo, parodysime visą trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo grandinę:
.

Pažvelkime į kelių pavyzdžių sprendimus su išsamiu sprendimo proceso paaiškinimu, kad paaiškintume pateiktą informacijos bloką.

Pavyzdys.

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį.

Sprendimas.

Veiksime pagal ką tik gautą sprendimo algoritmą. Ir pirmiausia perkeliame terminus iš dešinės lygties pusės į kairę, todėl pereiname prie lygties.

Antrame etape turime paversti trupmeninę racionaliąją išraišką gautos lygties kairėje pusėje į trupmenos formą. Norėdami tai padaryti, atliekame liejimą racionalios trupmenosį bendrą vardiklį ir supaprastinkite gautą išraišką: . Taigi mes prieiname prie lygties.

Kitame žingsnyje turime išspręsti lygtį −2·x−1=0. Randame x=−1/2.

Belieka patikrinti, ar rastas skaičius yra −1/2 pašalinė šaknis pradinė lygtis. Norėdami tai padaryti, galite patikrinti arba rasti pradinės lygties kintamojo x VA. Parodykime abu būdus.

Pradėkime nuo patikrinimo. Pradinėje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame skaičių −1/2 ir gauname tą patį, −1=−1. Pakeitimas suteikia teisingą skaitinę lygybę, todėl x=−1/2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar parodysime, kaip paskutinis algoritmo taškas atliekamas per ODZ. Pradinės lygties priimtinų reikšmių diapazonas yra visų skaičių, išskyrus −1 ir 0, rinkinys (esant x = −1 ir x = 0 trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis x=−1/2, rasta ankstesniame žingsnyje, priklauso ODZ, todėl x=−1/2 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

−1/2 .

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Turime išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį, pereikime prie visų algoritmo žingsnių.

Pirma, perkeliame terminą iš dešinės pusės į kairę, gauname .

Antra, transformuojame kairėje pusėje suformuotą išraišką: . Dėl to gauname lygtį x=0.

Jo šaknis akivaizdi – ji lygi nuliui.

Ketvirtajame žingsnyje belieka išsiaiškinti, ar rasta šaknis yra pašalinis iš pradinės trupmeninės racionalios lygties. Kai ji pakeičiama į pradinę lygtį, gaunama išraiška. Akivaizdu, kad tai nėra prasmės, nes jame yra dalijimas iš nulio. Iš čia darome išvadą, kad 0 yra pašalinė šaknis. Todėl pradinė lygtis neturi šaknų.

7, kuris veda į lygtį. Iš to galime daryti išvadą, kad kairiosios pusės vardiklio išraiška turi būti lygi dešiniosios pusės vardiklyje, tai yra. Dabar iš abiejų trigubo pusių atimame: . Pagal analogiją, iš kur ir toliau.

Patikrinimas rodo, kad abi rastos šaknys yra pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys.

Atsakymas:

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.