Kaip sužinoti taisyklingos trikampės piramidės tūrį. Piramidės aukštis

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslai.

Edukacinis: Išveskite piramidės tūrio skaičiavimo formulę

Ugdomasis: ugdyti studentų pažintinį domėjimąsi akademinėmis disciplinomis, gebėjimą pritaikyti savo žinias praktikoje.

Ugdomasis: ugdyti dėmesį, tikslumą, plėsti mokinių akiratį.

Įranga ir medžiagos: kompiuteris, ekranas, projektorius, prezentacija „Piramidės tūris“.

1. Priekinė apklausa. Skaidrės 2, 3

Tai, kas vadinama piramide, piramidės pagrindas, briaunos, aukštis, ašis, apotema. Kuri piramidė vadinama taisyklingąja, tetraedrine, nupjautąja piramide?

Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš plokščio daugiakampis, taškų, negulinti šio daugiakampio plokštumoje ir visi segmentai, jungiantis šį tašką su daugiakampio taškais.

Šis taškas paskambino viršuje piramidės, o plokščias daugiakampis yra piramidės pagrindas. Segmentai jungiantys piramidės viršūnę su pagrindo viršūnėmis vadinami šonkauliai . Aukštis piramidės - statmenai, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos. Apotema - šoninio krašto aukštis taisyklinga piramidė. Piramidė, kuri bazėje yra teisinga n-gon, A aukščio pagrindas sutampa su pagrindo centras paskambino teisinga n kampų piramidė. Ašis Taisyklinga piramidė yra tiesi linija, nurodanti jos aukštį. Taisyklinga trikampė piramidė vadinama tetraedru. Jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindo plokštumai, ji nukirs piramidę, panašus duota. Likusi dalis vadinama nupjauta piramidė.

2. Piramidės tūrio skaičiavimo formulės V=SH/3 išvedimas 4, 5, 6 skaidrės

1. Tegul SABC yra trikampė piramidė su viršūne S ir pagrindu ABC.

2. Pridėkime šią piramidę prie trikampės prizmės, kurios pagrindas ir aukštis yra vienodi.

3. Ši prizmė sudaryta iš trijų piramidžių:

1) šios SABC piramidės.

2) piramidės SCC 1 B 1.

3) ir piramidės SCBB 1.

4. Antroji ir trečioji piramidės turi vienodus pagrindus CC 1 B 1 ir B 1 BC ir bendrą aukštį, nubrėžtą nuo viršūnės S iki lygiagretainio BB 1 C 1 C paviršiaus. Todėl jų tūriai yra vienodi.

5. Pirmoji ir trečioji piramidės taip pat turi vienodus pagrindus SAB ir BB 1 S ir sutampančius aukščius, nubrėžtus nuo viršūnės C iki lygiagretainio ABB 1 S paviršiaus. Todėl ir jų tūriai yra vienodi.

Tai reiškia, kad visos trys piramidės yra vienodo tūrio. Kadangi šių tūrių suma lygi prizmės tūriui, piramidžių tūriai lygūs SH/3.

Bet koks tūris trikampė piramidė lygus trečdaliui pagrindo ploto ir aukščio sandaugos.

3. Naujos medžiagos konsolidavimas. Pratimų sprendimas.

1) Problema № 33 iš vadovėlio A.N. Pogorelova. 7, 8, 9 skaidrės

Iš pagrindo pusės? ir šoninės briaunos b, raskite taisyklingos piramidės, kurios pagrindas yra, tūrį:

1) trikampis,

2) keturkampis,

3) šešiakampis.

Taisyklingoje piramidėje aukštis eina per apskritimo centrą, kurį sudaro aplink pagrindą. Tada: (Priedas)

4. Istorinė informacija apie piramides. 15, 16, 17 skaidrės

Pirmieji mūsų amžininkai sukūrė serialą neįprasti reiškiniai su piramide siejo prancūzų mokslininkas Antuanas Bovy. XX amžiaus 30-ajame dešimtmetyje tyrinėdamas Cheopso piramidę, jis atrado, kad mažų gyvūnų kūnai, netyčia įkritę į karališkasis kambarys, mumifikuota. Bovey'us to priežastį paaiškino sau piramidės forma ir, kaip paaiškėjo, neklydo. Jo darbai buvo pagrindas šiuolaikiniai tyrimai, dėl to per pastaruosius 20 metų pasirodė daug knygų ir leidinių, patvirtinančių, kad piramidžių energija gali turėti praktinės reikšmės.

Piramidžių paslaptis

Kai kurie tyrinėtojai teigia, kad piramidėje yra didžiulis kiekis informacijos apie Visatos sandarą, Saulės sistemą ir žmogų, užkoduotą jos geometrine forma, tiksliau – oktaedro, kurio pusę atstoja piramidė, forma. Piramidė su viršūne simbolizuoja gyvenimą, viršūne žemyn – mirtį, kitą pasaulį. Lygiai taip pat kaip Dovydo žvaigždės (Magen David) komponentai, kur į viršų nukreiptas trikampis simbolizuoja pakilimą į Aukštesnįjį protą – Dievą, o trikampis su viršūne žemyn – sielos nusileidimą į Žemę, materialų egzistenciją...

Kodo, kuriuo piramidėje šifruojama informacija apie Visatą, skaitmeninė reikšmė – skaičius 365 – pasirinkta neatsitiktinai. Visų pirma, tai yra kasmetinis mūsų planetos gyvavimo ciklas. Be to, skaičius 365 sudarytas iš trijų skaitmenų 3, 6 ir 5. Ką jie reiškia? Jei į saulės sistema Saulė praeina numeriu 1, Merkurijus - 2, Venera - 3, Žemė - 4, Marsas - 5, Jupiteris - 6, Saturnas - 7, Uranas - 8, Neptūnas - 9, Plutonas - 10, tada 3 yra Venera, 6 - Jupiteris ir 5 – Marsas. Vadinasi, Žemė su šiomis planetomis susijusi ypatingu būdu. Sudėjus skaičius 3, 6 ir 5, gauname 14, iš kurių 1 yra Saulė, o 4 yra Žemė.

Skaičius 14 paprastai turi pasaulinės reikšmės: visų pirma, ja grindžiama žmogaus rankų struktūra, kurių bendras pirštų falangų skaičius taip pat yra 14. Šis kodas taip pat susijęs su žvaigždynu Ursa majoras, kuri apima ir mūsų Saulę, ir kurioje kadaise buvo kita žvaigždė, sunaikinusi Faetoną – planetą, esančią tarp Marso ir Jupiterio, po kurio Saulės sistemoje pasirodė Plutonas, o likusių planetų charakteristikos pasikeitė.

Daugelis ezoterinių šaltinių teigia, kad žmonija Žemėje jau keturis kartus patyrė pasaulinę katastrofą. Trečioji Lemūrijos rasė žinojo Dieviškąjį Visatos mokslą, tada ši slapta doktrina buvo perduota tik iniciatoriams. Siderinių metų ciklų ir pusciklų pradžioje jie statė piramides. Jie buvo arti gyvenimo kodo atradimo. Atlantidos civilizacijai daug kas pavyko, tačiau tam tikru žinių lygiu juos sustabdė kita planetos katastrofa, lydima rasių kaitos. Tikriausiai iniciatoriai norėjo mums perteikti, kad piramidėse yra žinių apie kosminius dėsnius...

Specialūs piramidžių pavidalo prietaisai neutralizuoja neigiamą žmogaus elektromagnetinę spinduliuotę iš kompiuterio, televizoriaus, šaldytuvo ir kitų buitinių elektros prietaisų.

Vienoje iš knygų aprašomas atvejis, kai automobilio salone sumontuota piramidė sumažino degalų sąnaudas ir sumažino CO kiekį išmetamosiose dujose.

Piramidėse laikomų sodo augalų sėklos buvo geresnis daigumas ir derlius. Leidiniuose netgi buvo rekomenduojama prieš sėją pamirkyti sėklas piramidės vandenyje.

Nustatyta, kad piramidės turi teigiamą poveikį aplinkos padėtis. Pašalinkite patogenines zonas butuose, biuruose ir vasarnamiuose, sukurdami teigiamą aurą.

Olandų tyrinėtojas Paulas Dickensas savo knygoje pateikia piramidžių gydomųjų savybių pavyzdžių. Jis pastebėjo, kad jų pagalba galima numalšinti galvos, sąnarių skausmus, stabdyti kraujavimą nuo smulkių pjūvių, o piramidžių energija skatina medžiagų apykaitą ir stiprina imuninę sistemą.

Kai kuriuose šiuolaikiniuose leidiniuose pažymima, kad piramidėje laikomi vaistai trumpina gydymo kursą, o tvarsliava, prisotinta teigiamos energijos, skatina žaizdų gijimą.

Kosmetiniai kremai ir tepalai pagerina jų poveikį.

Gėrimai, įskaitant alkoholinius, pagerina jų skonį, o vanduo, esantis 40% degtinėje, tampa gydomuoju. Tiesa, norint įkrauti standartinį 0,5 litro butelį teigiama energija, prireiks aukštos piramidės.

Viename laikraščio straipsnyje rašoma, kad jei papuošalai laikomi po piramide, jie savaime išsivalo ir įgauna ypatingą blizgesį, o brangakmeniai ir pusbrangiai akmenys kaupia teigiamą bioenergiją ir po to palaipsniui ją išskiria.

Amerikiečių mokslininkų teigimu, maisto produktai, tokie kaip dribsniai, miltai, druska, cukrus, kava, arbata, patekę į piramidę, pagerina skonį, o pigios cigaretės tampa panašios į kilmingus brolius.

Galbūt daugeliui tai nėra aktualu, bet mažoje piramidėje seni skutimosi peiliukai patys pagaląsta, o didelėje piramidėje vanduo neužšąla esant -40 laipsnių Celsijaus.

Daugumos tyrinėtojų nuomone, visa tai yra piramidės energijos egzistavimo įrodymas.

Per 5000 gyvavimo metų piramidės tapo savotišku simboliu, įkūnijančiu žmogaus troškimą pasiekti žinių viršūnę.

5. Pamokos apibendrinimas.

Naudotos literatūros sąrašas.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A.V. Geometry 10-11, Prosveshchenie leidykla.

3) Enciklopedija „Žinių medis“ Marshall K.

Pamokos tikslai ir uždaviniai:

išveskite piramidės tūrio formules, naudodami pagrindinę kūnų tūrio ir nupjautinės piramidės tūrio formulę.
sisteminti teorinių žinių piramidės tūrio radimo tema.
lavinti įgūdžius rasti piramidės tūrį, kurios viršūnė projektuojama į apskritimo, įbrėžto arba apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.
ugdyti sprendimo įgūdžius tipinės užduotys dėl piramidės ir nupjautinės piramidės tūrio formulių taikymo.

Pamokos eiga

aš.Paaiškinimasnauja medžiaga.

Teoremos įrodymas atliekamas naudojant multimedijos projektorių

Įrodykime teoremą: piramidės tūris yratrečdalis – pagrindo ploto ir aukščio sandauga.

Įrodymas:

Pirmiausia įrodome teoremą trikampei piramidei, tada savavališkai.

1. Apsvarstykite trikampę piramidę OABC kurio tūris V, bazinis plotas S ir aukščio h. Nubrėžkime ašį oi (OM 2- aukštis), apsvarstykite sekciją A 1 B 1 C 1 piramidė, kurios ašiai statmena plokštuma Oi ir todėl lygiagrečiai pagrindo plokštumai. Pažymėkime pagal X abscisės taškas M 1 šios plokštumos susikirtimo su x ašimi, ir per S(x)- skerspjūvio plotas. Išreikškime S(x) per S, h Ir X. Atkreipkite dėmesį, kad

Tikrai , vadinasi,.

Dešinieji trikampiai , taip pat yra panašūs (jie turi bendrą aštrus kampas su viršumi APIE).

Kreipkimės dabar pagrindinė formulė apskaičiuoti kūnų tūrius esant a = 0, b =h gauname

2. Dabar įrodykime savavališkos piramidės su aukščiu teoremą h ir bazinis plotas S. Tokią piramidę galima suskirstyti į trikampes piramides, kurių bendras aukštis h. Išreikškime kiekvienos trikampės piramidės tūrį pagal mūsų įrodytą formulę ir pridėkime šiuos tūrius. Bracketing bendras daugiklis, skliausteliuose gauname trikampių piramidžių pagrindų sumą, t.y. pradinės piramidės pagrindų plotas S.

Taigi pradinės piramidės tūris yra . Teorema įrodyta.

II. išspręsti problemas naudojant paruoštus brėžinius.

1 užduotis. (3 pav.)

Duota:ABCD- taisyklinga piramidė AB = 3; AD= . Rasti: A) Spagrindinis; b) UAB; V) DARYK G) V .

2 užduotis. (4 pav.)

Duota:ABCDF- taisyklinga piramidė .

3 užduotis. (5 pav.)

Duota:ABCDEKF- taisyklinga piramidė

Rasti: A) Spagrindinis ; b) V.

Užduotis4. (pav.. 6)

Rasti: V.

Užduočių patikrinimas atliekamas naudojant multimedijos projektorių su išsamią analizęžingsnis po žingsnio sprendimas.

1 užduotis. (3 pav.)

a) (formulė naudojama taisyklingo trikampio plotui apskaičiuoti)
AB = = 3, mes turime

b) (apibrėžto apskritimo spindulio formulė naudojant lygiakraščio trikampio kraštinę) .

2 užduotis. (4 pav.)

1) Todėl pasvarstykime
– lygiašoniai, OS = FO = 2.

3 užduotis. (5 pav.)

4 užduotis. (6 pav.)

III. Nupjautos piramidės tūrio apskaičiavimo formulės išvesties patikrinimas (studento pranešimas prie lentos atliekamas naudojant daugialypės terpės projektorių)

Mokinio atsakymas:

Nupjautos piramidės tūrį laikome tūrių skirtumu pilna piramidė ir tas, kurį nuo jo atkirto lėktuvas, lygiagrečiai pagrindui(1 pav.).

Pakeiskime šią išraišką Xį pirmąją formulę,

Darbas testo forma, patikrinimas naudojant daugialypės terpės projektorių.

1.B pasvirusi prizmė šoninis šonkaulis yra lygus 7 cm, statmenas pjūvis yra stačiakampis su kojelėmis: 4 cm ir 3 cm. Raskite prizmės tūrį.

a) 10 cm 3, b) 42 cm 3, c) 60 cm 3, d) 30 cm 3.

2. Teisingai šešiakampė piramidė Jos pagrindo kraštinė yra 2 cm, piramidės tūris yra 6 cm 3. Koks yra aukštis?

3. Piramidės tūris 56 cm 3, pagrindo plotas 14 cm 2. Koks yra aukštis?

a) 14 cm, b) 12 cm, c) 16 cm.

4. Taisyklingoje trikampėje piramidėje aukštis 5 cm, pagrindo kraštinės 3 cm. Koks piramidės tūris?

5. Teisingai keturkampė piramidė aukštis 9 cm Pagrindo kraštinė 4 cm Raskite piramidės tūrį.

a) 50 cm 3, b) 48 cm 3, c) 16 cm 3.

6. Taisyklingos keturkampės piramidės tūris 27 cm 3, aukštis 9 cm.

a) 12 cm, b) 9 cm, c) 3 cm.

7. Nupjautinės piramidės tūris yra 210 cm 3, apatinio pagrindo plotas 36 cm 2, viršutinės - 9 cm 2. Raskite piramidės aukštį.

a) 1 cm, b) 15 cm, c) 10 cm.

8. Turi vienodo dydžio prizmę ir taisyklingąją keturkampę piramidę vienodo aukščio. Kokia yra piramidės pagrindo kraštinė, jei prizmės pagrindo plotas yra S?

Atsakymų lentelė.

Užduotis	1	2	3	4	5	6	7	8
Atsakymas	b	A	b	A	b	V	V	V

Namų darbai: 1. Spręskite uždavinius Nr.695v, Nr.697, Nr.690

2. Apsvarstykite pagrindines užduotis

1 užduotis.

Įrodykite, kad jei piramidės šoninės briaunos yra lygios (arba lygios vienodi kampai su pagrindo plokštuma), tada piramidės viršus projektuojamas į apskritimo, aprašyto aplink pagrindą, centrą.

Įrodykite, kad jei dvikampiai kampai jei piramidės pagrindas lygus (arba iš piramidės viršaus nubrėžtų šoninių paviršių aukščiai lygūs), tai piramidės viršūnė projektuojama į piramidės pagrinde įrašyto apskritimo centrą.

Vienas iš paprasčiausių tūrinės figūros yra trikampė piramidė, nes ji susideda iš mažiausias skaičius veidai, iš kurių erdvėje galima suformuoti figūrą. Šiame straipsnyje apžvelgsime formules, pagal kurias galima rasti trikampės taisyklingos piramidės tūrį.

Trikampė piramidė

Pagal bendras apibrėžimas piramidė yra daugiakampis, kurio visos viršūnės yra sujungtos su vienu tašku, esančiu ne šio daugiakampio plokštumoje. Jei pastarasis yra trikampis, visa figūra vadinama trikampe piramide.

Aptariama piramidė susideda iš pagrindo (trikampio) ir trijų šoninių paviršių (trikampių). Taškas, kuriame trys yra sujungti šoniniai veidai, vadinamas figūros viršūne. Statmenas nuo šios viršūnės, nukritęs į pagrindą, yra piramidės aukštis. Jei statmens susikirtimo su pagrindu taškas sutampa su trikampio medianų susikirtimo tašku prie pagrindo, tai mes kalbame apie taisyklingąją piramidę. Priešingu atveju jis bus pasviręs.

Kaip minėta, trikampės piramidės pagrindas gali būti trikampis bendras tipas. Tačiau jei jis yra lygiakraštis, o pati piramidė yra tiesi, tada jie kalba apie taisyklingą trimatę figūrą.

Bet kuri trikampė piramidė turi 4 paviršius, 6 briaunas ir 4 viršūnes. Jei visų kraštinių ilgiai lygūs, tada tokia figūra vadinama tetraedru.

bendras tipas

Prieš užrašydami taisyklingą trikampę piramidę, pateikiame tai išraišką fizinis kiekis bendro tipo piramidei. Ši išraiška atrodo taip:

Čia S o yra pagrindo plotas, h yra figūros aukštis. Ši lygybė galios bet kokio tipo piramidės daugiakampio pagrindui, taip pat kūgiui. Jei prie pagrindo yra trikampis, kurio kraštinės ilgis a ir aukštis h o, tada tūrio formulė bus parašyta taip:

Taisyklingos trikampės piramidės tūrio formulės

Taisyklinga trikampė piramidė turi lygiakraštis trikampis bazėje. Yra žinoma, kad šio trikampio aukštis yra susijęs su jo kraštinės ilgiu lygybe:

Pakeitę šią išraišką į ankstesnėje pastraipoje parašytą trikampės piramidės tūrio formulę, gauname:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Taisyklingos piramidės tūris su trikampio pagrindo yra pagrindo kraštinės ilgio ir figūros aukščio funkcija.

Kadangi bet koks taisyklingas daugiakampis gali būti įrašytas į apskritimą, kurio spindulys vienareikšmiškai nulems daugiakampio kraštinės ilgį, tada šią formulę galima parašyti per atitinkamą spindulį r:

Šią formulę galima lengvai gauti iš ankstesnės, jei atsižvelgsime į tai, kad apibrėžto apskritimo spindulys r per trikampio kraštinės ilgį yra nustatomas pagal išraišką:

Tetraedro tūrio nustatymo uždavinys

Parodysime, kaip išspręsti aukščiau pateiktas formules konkrečias užduotis geometrija.

Yra žinoma, kad tetraedro briaunos ilgis yra 7 cm. Raskite taisyklingos trikampės piramidės-tetraedro tūrį.

Prisiminkite, kad tetraedras yra taisyklingas, kuriame visos bazės yra lygios viena kitai. Norėdami naudoti trikampio tūrio formulę, turite apskaičiuoti du kiekius:

trikampio kraštinės ilgis;
figūros aukštis.

Pirmasis dydis žinomas iš problemos teiginio:

Norėdami nustatyti aukštį, atsižvelkite į paveikslėlyje parodytą paveikslą.

Pažymėta trikampis ABC yra stačiakampis, kur kampas ABC yra 90 o. Šoninė AC yra hipotenuzė, o jos ilgis yra a. Naudodami paprastus geometrinius samprotavimus galime parodyti, kad kraštinės BC ilgis:

Atkreipkite dėmesį, kad ilgis BC yra apskritimo, apibrėžto aplink trikampį, spindulys.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Dabar galite pakeisti h ir a į atitinkama formulė garsumui:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Taigi, mes gavome tetraedro tūrio formulę. Matyti, kad tūris priklauso tik nuo krašto ilgio. Jei reikšmę iš problemos sąlygos pakeisime į išraišką, gausime atsakymą:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Jei palyginsime šią reikšmę su kubo, turinčio tą pačią briauną, tūriu, pamatysime, kad tetraedro tūris yra 8,5 karto mažesnis. Tai rodo, kad tetraedras yra kompaktiška figūra, kuri kai kuriose realizuojama natūralių medžiagų. Pavyzdžiui, metano molekulė turi tetraedrinę formą, o kiekvienas deimante esantis anglies atomas yra prijungtas prie keturių kitų atomų, kad susidarytų tetraedras.

Homotetinės piramidės problema

Išspręskime vieną įdomų geometrinė problema. Tarkime, kad yra trikampė taisyklinga piramidė, kurios tūris yra V 1. Kiek kartų reikėtų sumažinti šios figūros dydį, kad gautume homotetinę piramidę, kurios tūris tris kartus mažesnis už originalą?

Pradėkime spręsti problemą parašydami originalios taisyklingos piramidės formulę:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Tegu uždavinio sąlygoms reikalingą figūros tūrį gauname jos parametrus padauginus iš koeficiento k. Turime:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Kadangi figūrų tūrių santykis yra žinomas iš sąlygos, gauname koeficiento k reikšmę:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Atkreipkite dėmesį, kad panašią piramidės koeficiento k reikšmę gautume savavališkas tipas, ir ne tik taisyklingam trikampiui.

Viena iš paprasčiausių trimačių figūrų yra trikampė piramidė, nes ji susideda iš mažiausio veidų skaičiaus, iš kurio erdvėje galima suformuoti figūrą. Šiame straipsnyje apžvelgsime formules, pagal kurias galima rasti trikampės taisyklingos piramidės tūrį.

Trikampė piramidė

Pagal bendrą apibrėžimą piramidė yra daugiakampis, kurio visos viršūnės yra sujungtos su vienu tašku, kuris nėra šio daugiakampio plokštumoje. Jei pastarasis yra trikampis, visa figūra vadinama trikampe piramide.

Aptariama piramidė susideda iš pagrindo (trikampio) ir trijų šoninių paviršių (trikampių). Taškas, kuriame yra sujungti trys šoniniai paviršiai, vadinamas figūros viršūne. Statmenas nuo šios viršūnės, nukritęs į pagrindą, yra piramidės aukštis. Jei statmens susikirtimo su pagrindu taškas sutampa su trikampio medianų susikirtimo tašku prie pagrindo, tai mes kalbame apie taisyklingąją piramidę. Priešingu atveju jis bus pasviręs.

Kaip minėta, trikampės piramidės pagrindas gali būti bendrojo tipo trikampis. Tačiau jei jis yra lygiakraštis, o pati piramidė yra tiesi, tada jie kalba apie taisyklingą trimatę figūrą.

Bet kuri trikampė piramidė turi 4 paviršius, 6 briaunas ir 4 viršūnes. Jei visų kraštinių ilgiai lygūs, tada tokia figūra vadinama tetraedru.

Bendrosios trikampės piramidės tūris

Prieš užrašydami taisyklingosios trikampės piramidės tūrio formulę, pateikiame šio fizinio dydžio išraišką bendro tipo piramidei. Ši išraiška atrodo taip:

Į temą: „Global Finance“: darbuotojų ir klientų atsiliepimai apie įmonę

V = 1/6*a*h o *h.

Taisyklingos trikampės piramidės tūrio formulės

Taisyklingos trikampės piramidės pagrinde yra lygiakraštis trikampis. Yra žinoma, kad šio trikampio aukštis yra susijęs su jo kraštinės ilgiu lygybe:

Pakeitę šią išraišką į ankstesnėje pastraipoje parašytą trikampės piramidės tūrio formulę, gauname:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Taisyklingos piramidės su trikampiu pagrindu tūris priklauso nuo pagrindo kraštinės ilgio ir figūros aukščio.

Kadangi į apskritimą, kurio spindulys vienareikšmiškai lems daugiakampio kraštinės ilgį, galima įrašyti bet kurį taisyklingą daugiakampį, tai šią formulę galima parašyti atitinkamu spinduliu r:

V = √3/4*h*r2.

Šią formulę galima lengvai gauti iš ankstesnės, jei atsižvelgsime į tai, kad apibrėžto apskritimo spindulys r per trikampio kraštinės ilgį yra nustatomas pagal išraišką:

Tetraedro tūrio nustatymo uždavinys

Parodysime, kaip panaudoti aukščiau pateiktas formules sprendžiant konkrečius geometrijos uždavinius.

Yra žinoma, kad tetraedro briaunos ilgis yra 7 cm. Raskite taisyklingos trikampės piramidės-tetraedro tūrį.

Prisiminkite, kad tetraedras yra taisyklinga trikampė piramidė, kurioje visos bazės yra lygios viena kitai. Norėdami naudoti įprastos trikampės piramidės tūrio formulę, turite apskaičiuoti du dydžius:

Į temą: Šios neįprastos medžiagos netrukus bus panaudotos automobilių kėdutėms gaminti

trikampio kraštinės ilgis;
figūros aukštis.

Pirmasis dydis žinomas iš problemos teiginio:

Norėdami nustatyti aukštį, atsižvelkite į paveikslėlyje parodytą paveikslą.

Pažymėtas trikampis ABC yra stačiakampis, kurio kampas ABC lygus 90 o. Šoninė AC yra hipotenuzė, o jos ilgis yra a. Naudodami paprastus geometrinius samprotavimus galime parodyti, kad kraštinės BC ilgis:

Atkreipkite dėmesį, kad ilgis BC yra apskritimo, apibrėžto aplink trikampį, spindulys.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Dabar galite pakeisti h ir a į atitinkamą tūrio formulę:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Taigi, mes gavome tetraedro tūrio formulę. Matyti, kad tūris priklauso tik nuo krašto ilgio. Jei reikšmę iš problemos sąlygos pakeisime į išraišką, gausime atsakymą:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Jei palyginsime šią reikšmę su kubo, turinčio tą pačią briauną, tūriu, pamatysime, kad tetraedro tūris yra 8,5 karto mažesnis. Tai rodo, kad tetraedras yra kompaktiška figūra, esanti kai kuriose natūraliose medžiagose. Pavyzdžiui, metano molekulė turi tetraedrinę formą, o kiekvienas deimante esantis anglies atomas yra prijungtas prie keturių kitų atomų, kad susidarytų tetraedras.

Homotetinės piramidės problema

Čia apžvelgsime pavyzdžius, susijusius su apimties sąvoka. Norėdami išspręsti tokias užduotis, turite žinoti piramidės tūrio formulę:

h – piramidės aukštis

Pagrindas gali būti bet koks daugiakampis. Tačiau daugumoje problemų Vieningame valstybiniame egzamine, kaip taisyklė, sąlygos yra apie įprastas piramides. Leiskite man priminti vieną iš jo savybių:

Įprastos piramidės viršūnė projektuojama į jos pagrindo centrą

Pažvelkite į taisyklingų trikampių, keturkampių ir šešiakampių piramidžių projekciją (VAIZDAS IŠ VIRŠUS):

Tai galite padaryti tinklaraštyje, kuriame buvo aptariamos problemos, susijusios su piramidės tūrio radimu.Apsvarstykime užduotis:

27087. Raskite taisyklingos trikampės piramidės, kurios pagrindo kraštinės lygios 1, o aukštis lygus trijų šaknims, tūrį.

S– piramidės pagrindo plotas

h– piramidės aukštis

Raskime piramidės pagrindo plotą, tai yra taisyklingas trikampis. Naudokime formulę - trikampio plotas yra lygus pusei gretimų kraštinių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso, o tai reiškia:

Atsakymas: 0,25

27088. Raskite taisyklingos trikampės piramidės, kurios pagrindo kraštinės lygios 2 ir kurios tūris lygus, aukštį lygus šaknims iš trijų.

Tokios sąvokos kaip piramidės aukštis ir jos pagrindo charakteristikos yra susietos pagal tūrio formulę:

S– piramidės pagrindo plotas

h– piramidės aukštis

Mes žinome patį tūrį, galime rasti pagrindo plotą, nes žinome trikampio, kuris yra pagrindas, kraštines. Žinodami nurodytas reikšmes, galime nesunkiai rasti aukštį.

Norėdami rasti pagrindo plotą, naudojame formulę - trikampio plotas yra lygus pusei gretimų kraštinių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso, o tai reiškia:

Taigi, pakeisdami šias reikšmes į tūrio formulę, galime apskaičiuoti piramidės aukštį:

Aukštis yra trys.

Atsakymas: 3

27109. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje aukštis 6, šoninė briauna 10. Raskite jos tūrį.

Piramidės tūris apskaičiuojamas pagal formulę:

S– piramidės pagrindo plotas

h– piramidės aukštis

Mes žinome aukštį. Turite rasti pagrindo plotą. Priminsiu, kad įprastos piramidės viršūnė projektuojama į jos pagrindo centrą. Taisyklingos keturkampės piramidės pagrindas yra kvadratas. Galime rasti jos įstrižainę. Apsvarstykite stačiakampį trikampį (paryškintą mėlyna spalva):

Atkarpa, jungianti kvadrato centrą su tašku B, yra kojelė, kuri lygus pusei kvadrato įstrižainės. Šią koją galime apskaičiuoti naudodami Pitagoro teoremą:

Tai reiškia, kad BD = 16. Apskaičiuokime kvadrato plotą naudodami keturkampio ploto formulę:

Taigi:

Taigi piramidės tūris yra:

Atsakymas: 256

27178. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje aukštis yra 12, o tūris – 200. Raskite šios piramidės šoninę kraštinę.

Piramidės aukštis ir tūris yra žinomi, tai reiškia, kad galime rasti kvadrato, kuris yra pagrindas, plotą. Žinodami kvadrato plotą, galime rasti jo įstrižainę. Toliau, atsižvelgdami į statųjį trikampį, naudodami Pitagoro teoremą, apskaičiuojame šoninę kraštinę:

Raskime kvadrato (piramidės pagrindo) plotą:

Apskaičiuokime kvadrato įstrižainę. Kadangi jo plotas yra 50, kraštinė bus lygi penkiasdešimties šaknei ir pagal Pitagoro teoremą:

Taškas O padalija įstrižainę BD per pusę, o tai reiškia koją stačiakampis trikampis OB = 5.

Taigi galime apskaičiuoti, kam lygus piramidės šoninis kraštas:

Atsakymas: 13

245353. Raskite piramidės tūrį, pavaizduotą paveikslėlyje. Jo pagrindas yra daugiakampis, kurio gretimos kraštinės yra statmenos, o viena iš šoninių kraštinių yra statmena pagrindo plokštumai ir lygi 3.

Kaip jau daug kartų sakyta, piramidės tūris apskaičiuojamas pagal formulę:

S– piramidės pagrindo plotas

h– piramidės aukštis

Šoninis kraštas, statmenas pagrindui, yra lygus trims, tai reiškia, kad piramidės aukštis yra trys. Piramidės pagrindas yra daugiakampis, kurio plotas lygus:

Taigi: