Vektorių sudėjimas pagal daugiakampio lygiagretainio taisyklę. Kaip sudėjimas atsiranda naudojant trikampio taisyklę? Taškas ir kryžminis produktas

Yra keletas pamokų tema „Vektorių pridėjimas“. Ir tai nėra atsitiktinumas. Šios temos apimtis didelė, todėl patartina ją suskirstyti į kelias pamokas. Vienoje pamokoje, kuri taip pat yra mūsų duomenų bazėje, aptariama dviejų vektorių sumos sąvoka ir pristatoma „trikampio taisyklė“. Šioje vaizdo pamokoje pateikiami vektorių sudėjimo dėsniai ir mokiniai supažindinami su „lygiagretaus taisykle“. Bet tai dar ne viskas. Mūsų duomenų bazėje taip pat galite rasti kitų pamokų, susijusių su vektoriais ir vektorių suma.

Šios vaizdo pamokos trukmė yra 3:17 minučių. Jis pradedamas siūlant įrodyti teoremą. Pagal teoremos sąlygas bet kokiems trims vektoriams tenkinami komutaciniai ir kombinaciniai dėsniai. Kiekvieną dėsnį autorius siūlo įrodyti atskirai. Pirmiausia jis įrodo komutacinį dėsnį. Lieka kitas – asociatyvus.

Įrodinėjimo metu autorius detaliai aprašo kiekvieną savo veiksmą. Autorius demonstravimo metu piešia piešinį. Jis visus veiksmus atlieka lėtai, kad mokiniai suvoktų to, kas pateikiama, prasmę ir užsirašytų užrašus į sąsiuvinius. Lygiagrečiai su statyba, išsamius įrašusįjungta matematinė kalba, kuri leidžia formuoti matematinis raštingumas moksleiviai.

Norint įrodyti abu dėsnius, reikia vektorių konstravimo įgūdžių. Taip pat svarbios žinios, įgytos ankstesnėse pamokose, kai mokiniai susipažino su vektorių sumos „trikampio taisykle“. Ši taisyklė taikoma įrodinėjant įstatymus.

Įrodžius abu dėsnius, autorius atkreipia klausytojų dėmesį į tai, kad pirmojo dėsnio įrodinėjimo metu buvo pagrįsta sumos „lygiagretainė taisyklė“. kolineariniai vektoriai. Ir tada pateikiama šios taisyklės formuluotė. Kartu su formuluotės tarimu autorius pagal šią taisyklę sudaro vektorių sumą, siekdamas dar kartą parodyti studentams šios taisyklės veikimo principą.

Šią vaizdo pamoką mokiniai gali naudoti savarankiškas mokymasisį pamoką. Be to, pamoka gali būti transliuojama tiek kartų, kiek pakanka norint sėkmingai įsiminti medžiagą, taip pat lavinti vektorių sumos sudarymo įgūdžius naudojant „lygiagretainės taisyklę“.

7. Lygiagretainio taisyklė elementariosioms dalelėms ir skirtingų tipų jėgoms

Mus supantis pasaulis yra išaustas iš jėgų, nes Jėga yra eteris, o eteris yra visur Visatoje. Jėga yra kažkas, kas stengiasi ką nors pajudinti.

Vienas iš skirtumų tarp kūnų mechanikos ir stabilių elementariųjų dalelių mechanikos yra tas, kad stabilios dalelės, veikiamos Jėgų, gali tik judėti. Jie negali būti deformuoti ar sunaikinti. dėl akivaizdžių priežasčių– jie nedalomi. Nors kūnas (ar net nestabili dalelė - konglomeratas), kai jį veikia Jėga (ar Jėgos), gali judėti, deformuotis ir griūti.

Kūnų mechanikoje (in klasikinė mechanika) yra nuostabus būdas, padedantis išsiaiškinti, kuria kryptimi kūnas bus linkęs judėti, veikiamas visų jį veikiančių jėgų. Taip pat apskaičiuokite gautos jėgos dydį. Šis metodas yra gerai žinomas kaip Jėgų lygiagretės taisyklė.

Atidarė Galilėjus Galilėjus, A tikslus apibrėžimas davė šią taisyklę Pierre'as Varignonas 1687 m.

Jėgų lygiagrečios taisyklė yra ta, kad atstojamosios jėgos vektorius yra lygiagretainio, sudaryto iš dviejų jėgų dalių vektorių kaip šoninės, įstrižainė.

Ši taisyklė stebėtinai gerai padeda tiksliai apskaičiuoti kūno judėjimo (arba linkusio judėti) kryptį, jei jį veikia daugiau nei viena jėga. Ir mūsų pasaulyje bet kurį kūną visada vienu metu veikia daugybė išorinės jėgos(nes bet kuri dalelė bet kurio cheminio elemento sudėtyje yra energijos šaltinis).

Be to, ši paralelogramos taisyklė puikiai tinka elementarioms dalelėms. Naudodamiesi juo, galime tiksliai sužinoti, kuria kryptimi elementarioji dalelė pasislinks kiekvienu laiko momentu, jei ją vienu metu veiks dvi ar daugiau jėgų. Taip pat išsiaiškinsime ryšį tarp Jėgų dydžių – pradinių ir rezultatinių. Be to, kiekvienos jėgos tipas gali būti bet koks. Lygiagretės įstrižainė yra krypties rodiklis, taip pat susidariusios jėgos dydžio rodiklis. Tačiau atkreipkite dėmesį svarbi detalė– kiekvienam paskesniam dalelių judėjimo momentui turėtų būti sukurta nauja jėgų lygiagretė.

Pažvelkime atidžiau į paralelogramos taisyklės esmę. Ir šios analizės metu duosime šiek tiek kitokį pavadinimą - Paklusimo dominuojančiai valdžiai taisyklė. Tai leis mums geriau suprasti elementariųjų dalelių (ir bet kokių dalelių konglomeratų) elgseną, nes lygiagrečios taisyklės forma tokia, kokia ji egzistuoja dabar, visiškai neatskleidžia prasmės to, kas nutinka dalelei, kai ją veikia daugiau nei viena Jėga. Pavyzdžiui, tai nieko nesako apie skirtingų tipų pajėgas.

Dominuojanti jėga yra jėga, kurios dydis yra didžiausias. Kaip minėjome anksčiau, Jėgos dydis yra eterinio srauto, įtraukiančio dalelę, greitis. Be to, eterinio srauto vaidmuo gali būti tiesiog eteris, kuris užpildo dalelę (kaip dalelių paviršiaus slėgio jėgos atveju).

Paklusnumo dominuojančiai jėgai taisyklė (lygiagrečios taisyklės) susiveda į tai, kad dalelė, kurią veikia daugiau nei viena jėga, yra didžiausia. didesniu mastu paklus didžiausiam iš jų. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visų jėgų rezultanto vektorius kiekvienu laiko momentu bus labiau pasislinkęs link didžiausio dydžio Jėgos vektoriaus. Tai reiškia, kad dominuoja didžiausia jėga, bet likusios jėgos taip pat daro įtaką gaunamos jėgos vektoriaus padėčiai. Taisyklės pavadinimą galima dar patikslinti – Paklusimas dominuojančioms jėgoms, atsižvelgiant į kitų pajėgų veiksmus.

Dominuojanti jėga perkelia susidariusios jėgos vektorių labiau nei kiti savo kryptimi. Ir kitos, mažesnės jėgos neleidžia šiam vektoriui visiškai pasiduoti tam didžiausia Galia. Jie, proporcingai savo dydžiui, traukia vektorių savo kryptimi.

Apskritai, analizuojant bet kokią situaciją, kai elementariai dalelei įtakos turi daugiau nei viena Jėga, būtina atsižvelgti į daugybę veiksnių. Pirmiausia , reikia išsiaiškinti, kiek Jėgų veikia dalelę ir kiekvienos iš jų dydį. Antra, turite išsiaiškinti, kokiu kampu yra jėgos vektoriai vienas kito atžvilgiu. Ir trečia, būtina atsižvelgti į kiekvienos pajėgos tipą. Tik įvertinę visus šiuos veiksnius galime pabandyti apskaičiuoti, kokia bus dalelės kryptis ir greitis kiekvienu laiko momentu. Pažvelkime į šiuos veiksnius atidžiau.

1) Dydis ir bendras skaičius Jėgos, veikiančios dalelę, turi būti įvertintos kiekvienu konkrečiu atveju.

Tuo atveju, jei dalelę veikiančių jėgų skaičius viršija dvi, reikia elgtis taip pat, kaip ir kūnų atveju. Sukonstruojame dviejų jėgų lygiagretainį. Tada mes sukuriame kitą lygiagretainį, naudodami gautą rezultato vektorių ir kitą jėgų vektorių. Ir taip toliau, kol bus atsižvelgta į visas pajėgas.

2) Kampas tarp dalelę veikiančių jėgų vektorių yra labai svarbus nustatant gaunamos Jėgos dydį ir kryptį.

A) Kampas tarp Jėgos vektorių nuo 0? iki 90?.

Tokiu atveju įvyksta savotiškas dalelę veikiančių jėgų sumavimas. Žinoma, gauta jėga nebus tiksliai lygi abiejų jėgų, veikiančių dalelę, sumai. Bet bet kuriuo atveju jis pasirodys didesnis nei bet kuri iš dviejų jėgų, iš kurių vektorių mes sukuriame lygiagretainį. Tai galite pamatyti pagal lygiagretainio įstrižainės dydį. Ir kuo aštresnis kampas, tuo didesnę vertę gaunama jėga.

Ekstremalus atvejis aštrus kampas– 0?, t.y. be kampo. Jėgos vektoriai yra toje pačioje tiesėje, o jų kryptis sutampa. IN šiuo atveju Neįmanoma sukonstruoti lygiagretainio. Vietoj to yra tiesi linija, ant kurios nubrėžiame du segmentus, kurių kiekvienas lygi vertei vienas iš aktyvios jėgos. 0? yra pilna Jėgos vektorių suma.

B) Kampas tarp Jėgos vektorių yra didesnis nei 90?.

Šiuo atveju, jei matote iš paveikslėlio, yra savotiškas jėgų atėmimas. Gaunama jėga visada pasirodo esanti didesnė už mažesnę iš dviejų jėgų ir mažesnė už didesnę. Tai patvirtina įstrižainės dydis. Ir ką didesnis kampas, tuo mažesnis gaunamos jėgos dydis.

Ekstremalus atvejis bukas kampas– kampas 180?. Jėgos vektoriai yra toje pačioje tiesėje. Tačiau skirtingai nei kampas, lygus 0?, vektoriai yra priešingų krypčių. Šiame kaip paskutinė priemonė Mažesnio vektoriaus jėga tiesiog atimama iš didesnio vektoriaus. Gautas skirtumas tiksliai atitinka gautos jėgos dydį.

Bet kuriuo atveju, esant bet kokiam kampui, gaunamos jėgos vektorius visada yra labiau pasislinkęs link didesnės iš dviejų jėgų vektorių. Tai reiškia, kad didesnė jėga priverčia dalelę labiau judėti savo kryptimi.

3) Ir galiausiai pateikiame informaciją apie Kiek lygiagrečios taisyklės priklauso nuo dalelę veikiančių jėgų tipo.

A) Nors visų rūšių jėgų šaltiniai yra skirtingi, jų įtaką dalelei galima palyginti, nes bet kuri iš jėgų linkusi pajudinti dalelę. Ir todėl, net jei dalelę veikia Jėgos skirtingų tipų, ant vektorių galite sukurti jėgų lygiagretę, o jos įstrižainė nurodys dalelės judėjimo kryptį.

Jėgos vektoriaus dydis yra didesnis, daugiau Jėgos. Ir Jėga yra didesnė, tuo didesnis greitis, kuriuo dalelė judėtų šia kryptimi, neleiskite kitai jėgai (ar kitoms jėgoms) veikti prieš ją.

Gaunamosios (rezultatinės) jėgos vektoriaus ilgis – įstrižainė – atitinka greitį, kuriuo dalelė judės veikiama abiejų jai taikomų jėgų.

B) Anksčiau nustatėme, kad yra tik keturi pagrindiniai jėgos tipai. Kai Galilėjus išvedė paralelogramos taisyklę, akivaizdu, kad jis tai padarė tų jėgų atžvilgiu, kuriomis vieni kūnai spaudžia kitus arba tempia juos, priversdami juos taip judėti. Ši jėgos rūšis šioje knygoje vadinama dalelių paviršiaus slėgio jėga. Mažai girdėjome apie paralelogramos taisyklę, naudojamą ir traukos jėgai. Be to, šis apribojimas taikomas atbaidymo jėgai ir inercijos jėgai, iš kurių pirmosios mokslas beveik nepripažįsta, o antrosios jam visiškai nežinomos.

Bet vienaip ar kitaip, šią taisyklę yra universalaus pobūdžio ir gali būti naudojamas bet kuriam iš keturių jėgos tipų – dalelių paviršiaus, pritraukimo, atstūmimo ir inercijos. Tačiau nepakitusios formos jis gali būti taikomas tik dalelės paviršiaus slėgio jėgai, t. y. tuo pačiu atveju, kai Galileo aprašo kūnus.

Du kūnai veikia kūną iš abiejų pusių – arba spaudžia, arba tempia. Mūsų atveju dvi dalelės spaus dalelę (jos negali mechaniškai vilkti dalelės).

Atskira, laisva dalelė niekada nedarys ilgalaikio spaudimo kitai dalelei, nebent tai būtų veikiama šios dalelės traukos jėgos. Arba jei dalelės yra kūnų dalis, o kūnai, suspaudę vienas kitą, daro spaudimą bet kuriai dalelei tarp jų. Todėl mūsų atveju kalbame apie dviejų dalelių slėgį vienu metu dėl jų susidūrimo su ja. Po to, kai dvi kitos dalelės susiduria su dalele, ji pradeda judėti inercija tiksliai pagal paralelogramos taisyklę. Įstrižainė (gautinės jėgos vektorius) rodo kryptį, kuria dalelė judės. Kiek laiko truks inercinis judėjimas, priklauso nuo greičio, kuriuo dalelės judėjo susidūrimo su ja momentu, nuo kampo tarp Jėgos vektorių ir nuo pačios dalelės kokybės.

IN) Vienintelis sunkumas, su kuriuo susidursime kurdami jėgų lygiagrečią, yra susijęs su traukos ir atstūmimo jėgomis. Čia mes kalbame apie Kalbama net ne apie sudėtingumą, o apie neįprastumą. Patrauklių arba atstumiančių jėgų šaltiniai yra tam tikru atstumu nuo dalelės. Tačiau šių jėgų poveikį dalelė jaučia tiesiogiai. Tai nenuostabu, nes gravitacinė arba antigravitacinė sąveika plinta akimirksniu. Šis momentinis pasiskirstymas paaiškinamas tuo, kad eterinė „drobė“ yra tam tikras monolitas, vienodai užpildantis visą Visatą. Ir bet kokio eterio pertekliaus ar trūkumo atsiradimas šioje drobėje iš karto jaučiamas bet kokiu atstumu.

Tokiu atveju, kai dalelę veikiančios Jėgos tipai yra skirtingi, Jėgos vektorius turi nurodyti kryptį, kuria Jėga linkusi išstumti dalelę. Taigi, pavyzdžiui, jei traukos jėga veikia dalelę, vektorius bus nukreiptas į objektą, šios jėgos šaltinį, o ne nuo jo. Tačiau atbaidymo jėgos atveju yra priešingai. Vektorius bus nukreiptas iš šios jėgos šaltinio.

Kalbant apie slėgio jėgą dalelės paviršiuje, čia viskas yra taip pat, kaip ir kūnų mechanikoje. Šiuo atveju Jėgos šaltinis tiesiogiai liečiasi su dalele – su ja susiduria. Ir šios jėgos vektorius nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir dalelės, kurios paviršius daro slėgį, judėjimo vektorius.

Ir galiausiai paskutinė iš Jėgų yra Inercija. Apie šios jėgos buvimą galime kalbėti tik tada, kai dalelė juda inerciškai. Jei dalelė nejuda pagal inerciją, tada nėra inercinės jėgos. Inercijos jėgos vektorius visada sutampa su dalelių judėjimo vektoriumi šiuo metu. Inercijos jėgos šaltinis yra eteris, kurį skleidžia galinis dalelės pusrutulis.

G) Niekada neatsitiks taip, kad abi dalelę veikiančios jėgos būtų inercinės, nes dalelė bet kuriuo metu gali judėti inercija tik viena kryptimi.

D) Jei viena ar abi dalelę veikiančios jėgos yra traukos arba atstūmimo, dalelė judės išilgai parabolės, palaipsniui keičiasi veikiant didesnėms jėgoms.

Jei viena iš dalelę veikiančių jėgų yra traukos arba atstūmimo tipo, o antroji yra inercijos jėga, tada dalelės trajektorija taip pat yra parabolinė.

E) Niekada nebūna taip, kad dalelę vienu metu veiktų traukos jėga ir atstūmimo jėga, o tuo pačiu metu jų vektoriai gulėtų toje pačioje tiesėje ir būtų nukreipti priešingai. Tai paaiškinama tuo, kad traukos jėga ir atstūmimo jėga yra antipodalinės jėgos. Traukos jėgos vektorius nukreiptas į Jėgos šaltinį. Ir Atmušimo jėgos vektorius yra iš jo. Todėl, jei traukos ir atstūmimo jėgų šaltiniai yra išilgai skirtingos pusės iš dalelės bus sumuojami jų jėgų vektoriai. Jei jėgų šaltiniai yra vienoje dalelės pusėje, tada dalelė jaus tik vieną iš Jėgų – arba trauką, arba atstūmimą. Ir viskas, nes traukos laukai ir atstūmimo laukai ekranuoja ir daro įtaką vienas kito dydžiui.

Bet bet kuriuo atveju lygiagrečios taisyklės taisyklę galite taikyti bet kuriai dalelei ir naudoti ją, kad nustatytumėte gautos jėgos vektoriaus kryptį ir dydį. Atsižvelgiant į šio vektoriaus dydį ir kryptį, dalelė judės tam tikru laiko momentu.

Viskas, kas ką tik buvo pasakyta dėl dalelių paralelogramos taisyklės, gali būti visiškai panaudota kūnams.

XXI skyrius. APIE JUODĄJĄ MAGIJĄ; APIE PAGRINDINIUS VEIKSMŲ MENŲ OPERACIJŲ RŪŠYS; O APIE SFINKSO GALIAS? Kaip jau buvo pasakyta pirmojo skyriaus pradžioje, vienintelis ir aukščiausias ritualas yra pažinimo ir pokalbio su šventuoju angelu sargu pasiekimas. „Tai tiesioginis vertikalus kilimas

02. Elementariųjų dalelių temperatūra Fizikoje „temperatūros“ sąvoka reiškia materiją (kūną, aplinką – tai sinonimai) kaip visumą. Tiesą sakant, „temperatūra“ visų pirma apibūdina asmenybę elementariosios dalelės, taip pat elementariųjų dalelių kompleksai –

13. 2-ojo šilumos komponento pasiskirstymas medžiagoje – elementariosios dalelės Taigi, ne kiekvienas cheminis elementas kaitinimo proceso metu jis įgauna Atstūmimo lauką (išskyrus tuos elementus, kurie jau turėjo Atstūmimo lauką). Ir, atitinkamai, ne kiekvienas šildomas

07. Cheminiai elementai DNR ląstelių branduoliai– astralinės plokštumos dalelių nešėjai Cheminis elementas – tai skirtingos kokybės dalelių konglomeratas. Priklausomai nuo to, koks cheminis elementas yra įtrauktas į kurios karalystės atstovo kūną, jis turi vienokį ar kitokį

8. Mechaniniai procesai ir reiškiniai atskleidžia mechanines savybes elementariosios dalelės Mechaninis procesas ir mechaninis reiškinys– tai ypatingi atvejai fizinis procesas ir fizinis reiškinys – tai bet koks laike vykstantis įvykis

26. Dalelių inercija realiomis sąlygomis Pagrindinės elementariųjų dalelių inercinio judėjimo charakteristikos, kurias nagrinėjome kiek anksčiau be jokių papildomos sąlygos Taikoma tik idealiomis sąlygomis. Taip, tik viduje idealios sąlygos trajektorija

autorius Livraga Jorge Angel

28. Bendra informacija Apie dalelių susidūrimą Išanalizuokime, kodėl apskritai egzistuoja toks mechaninis reiškinys kaip elementariųjų dalelių „susidūrimas“, nors susidūrimas yra dviejų dalelių kontakto momentas

Iš autorės knygos

30. Laisvųjų dalelių, judančių pagal inerciją, susidūrimas Dabar panagrinėkime susidūrimo atvejį laisvųjų dalelių, kurios abi buvo inercinio judėjimo procese iki sąlyčio momento. Kas atsitiks kiekvienai dalelei susidūrus? Labai

Iš autorės knygos

09. Elementariųjų dalelių (Sielų) sandara ir kokybė. Yin ir Yang Tarp visų anksčiau išvardytų okultinio termino „Siela“ sąvoka „elementarioji dalelė“ turėtų būti laikoma moksliškiausia ir egzistuoti

Iš autorės knygos

11. Traukos ir atstūmimo laukai – išorinis pasireiškimas elementariųjų dalelių savybės Jei eteris dalelėse būtų tik sunaikintas ir neatsirastų, tai iš aplinkinės erdvės į jas per laiko vienetą patektų lygiai tiek, kiek turėtų būti sunaikinta.

Iš autorės knygos

15. Septynios plokštumos yra elementariųjų dalelių B sankaupos ezoterinė literatūra, ypač E. Blavatsky ir A. Bailey knygose, dažnai minima tokia sąvoka kaip „Planai“. Kas tai yra, kas jie yra ir kiek jų iš viso yra „Planas“ yra visa sielų kolekcija?

Iš autorės knygos

16. Septyni spinduliai, septyni broliai, septyni sefirotai, septyni rišiai, septyni sūnūs, septynios dvasios, septyni principai – visa tai yra septyni sielų tipai (elementarios dalelės) Septyni spinduliai, septyni broliai, septyni sefirai, septyni rišiai, septyni sūnūs, septyni Dvasios, septyni principai... Šis sąrašas dar ilgesnis, o ateityje mes

Iš autorės knygos

19. Dalelių klasifikavimas pagal „elementus“ („elementus“) „Senovės graikų filosofai manė, kad Žemė buvo pastatyta tik iš kelių „pirminių elementų“. Empedoklis iš Akraganto, gyvenęs apie 430 m. pr. Kr., nustatė keturis tokius elementus: žemę, orą, vandenį ir

Iš autorės knygos

31. Eteris yra elementariųjų dalelių kietumo priežastis. Pačios elementarios dalelės, neturinčios kokybės, ty nesugeriančios ir nesukuriančios eterio, yra viena kitos atžvilgiu „efemeriškos“ – tarsi jų nebūtų. Tai reiškia, kad viskas yra elementarios dalelės

Iš autorės knygos

Elementariųjų skaičių paslaptys Skaičius „0“ „O“ reiškia begalybę, begalinę beribę egzistenciją, pagrindinę visų dalykų priežastį, Brahmandą arba Visatos kiaušinį, saulės sistema visa apimtimi. Taigi nulis apibrėžia universalumą, kosmopolitizmą. Jis

Iš autorės knygos

X. A. Livraga. APIE įvairių tipųžmonės Jorge A. Livraga: Jūs manęs klausėte apie skirtingus žmonių tipus, apie jų vidinę prigimtį, kaip žinote, tai, ką mes vadiname žmogumi, nėra nei pradžia, nei pabaiga, o tik Monados (Zonos) evoliucijos momentas. , kuris ateina iš gelmių

Skaliarinis dydis - Tai fizinis kiekis, kuri turi tik vieną požymį – skaitinę reikšmę.

Skaliarinis dydis gali būti teigiamas arba neigiamas.

Pavyzdžiai skaliariniai dydžiai: temperatūra, masė, tūris, laikas, tankis. Matematiniai veiksmai su skaliariniais dydžiais yra algebrinės operacijos.

Vektoriaus kiekis yra fizinis dydis, turintis dvi charakteristikas:

1) skaitinė reikšmė, kuri visada yra teigiama (vektoriaus modulis);

Vektorių fizikinių dydžių pavyzdžiai: greitis, pagreitis, jėga.

Pažymimas vektorinis dydis lotyniška raidė ir rodyklė virš šios raidės. Pavyzdžiui:

Vektoriaus modulis žymimas taip:

arba - vektoriaus modulis ,

arba - vektoriaus modulis ,

arba - vektoriaus modulis ,

Paveiksle (grafiškai) vektorius pavaizduotas nukreipta tiesės atkarpa. Vektorinis modulis lygus ilgiui nukreiptas segmentas tam tikroje skalėje.

2.2. Veiksmai su vektoriais

Matematinės operacijos su vektoriniai dydžiai Tai geometriniai veiksmai.

2.2.1 Vektorių palyginimas

Lygi vektoriai. Du vektoriai yra lygūs, jei jie turi:

vienodi moduliai,

tos pačios kryptys.

Priešingi vektoriai. Du vektoriai yra priešingi, jei jie turi:

vienodi moduliai,

priešingomis kryptimis.

2.2.2 Vektoriaus pridėjimas

Geometriškai galime pridėti du vektorius, naudodami lygiagretainio ir trikampio taisyklę.

Tegu pateikiami du vektoriai Ir (žr. paveikslėlį). Raskime šių vektorių sumą +=. Kiekiai Ir yra komponentų vektoriai, vektorius yra gautas vektorius.

Lygiagretainė taisyklė, skirta pridėti du vektorius:

1. Nubrėžkime vektorių .

2. Nubraižykime vektorių kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus pradžia ; kampas tarp vektorių lygus (žr. paveikslėlį).

3. Per vektoriaus galą .

4. Per vektoriaus galą nubrėžkite tiesę, lygiagrečią vektoriui .

Sukūrėme lygiagretainį. Šio lygiagretainio kraštinės yra komponentiniai vektoriai Ir .

5. Iš bendrojo vektoriaus pradžios taško nubrėžkite lygiagretainio įstrižainę ir vektoriaus pradžia .

6. Gauto vektoriaus modulis yra lygus lygiagretainio įstrižainės ilgiui ir nustatomas pagal formulę:

vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pradžia ir vektoriaus pradžia (vektoriaus kryptis parodyta paveiksle).

Trikampio taisyklė, skirta pridėti du vektorius:

1. Nubraižykime komponentų vektorius Ir kad vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga . Šiuo atveju kampas tarp vektorių yra lygus .

2. Gautas vektorius yra nukreiptas taip, kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus pradžia , o galas sutampa su vektoriaus pabaiga .

3. Gauto vektoriaus modulis randamas pagal formulę:

2.2.3 Vektorinė atimtis

Vektorių atėmimas yra atvirkštinis sudėjimas:

Raskite vektoriaus skirtumą ir vektorius - tai tas pats, kas rasti vektoriaus sumą ir vektorius
, priešingai nei vektorius . Skirtumo vektorių galime rasti geometriškai naudodami lygiagretainio taisyklę arba trikampio taisyklę (žr. pav.).

Lygiagretaus taisyklė.

Lygiagretainio kraštinės – vektorius ir vektorius - ; lygiagretainio įstrižainė – skirtumo vektorius
.

Trikampio taisyklė.

Skirtumo vektorius jungia vektoriaus galą ir vektoriaus pabaiga (vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga ).

2.2.4 Vektoriaus padauginimas iš skaliro

Tegu pateiktas vektorius ir skaliarinis. Raskime vektoriaus sandaugą ir skaliarinis vektorius.

Padauginę vektorių iš skaliaro, gauname naują vektorių :

Vektorinė kryptis tokia pati kaip vektoriaus kryptis adresu
.

Vektorinė kryptis priešinga vektoriaus krypčiai adresu
.

Vektorinis modulis n kartų didesnis už vektoriaus modulį , Jei
.

2.3. Taškas ir kryžminis produktas

2.3.1 Taškinis produktas

Iš dviejų vektorių Ir skaliarą galite sudaryti pagal taisyklę:

Ši išraiška vadinama vektorių skaliarine sandauga Ir
, arba
.

Vadinasi, . =
.

Pagal apibrėžimą skaliarinis produktas turi šias savybes:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Kryžminis produktas

Iš dviejų vektorių
Ir
galite sudaryti naują vektorių:

, Kur

Naujo gauto vektoriaus modulis randamas pagal formulę:

.

Ši operacija vadinama vektorių kryžmine sandauga Ir ir yra pažymėtas vienu iš simbolių
arba
.

Formulė taip pat gerai žinoma

,

Kur - kampas tarp vektorių Ir .

Vektorinė kryptis galima rasti naudojant šią techniką. Mes mintyse sujungiame išilginę žiedo ašį (dešinysis varžtas, kamščiatraukis) su statmena plokštumai, kurioje yra padauginti vektoriai (šiame pavyzdyje vektoriai Ir ). Tada pradedame sukti varžto galvutę (kamščiatraukio rankenėlę) trumpiausio sukimosi kryptimi nuo pirmojo faktoriaus iki antrojo, tai yra nuo vektoriaus. į vektorių . Propelerio korpuso judėjimo kryptis bus vektoriaus kryptis . Ši technika vadinama dešiniojo sraigto taisykle arba sriegio taisykle (žr. paveikslėlį).

Jėgos momentas, kampinis momentas ir kt. išreiškiami vektorine sandauga. Vektorius, skirtingai nei skaliaras, apibrėžiamas trimis skaičiais. Todėl tokios operacijos kaip sudėjimas, atimtis, skaliarinės ir vektorinės sandaugos sumažinamos iki žinomų operacijų su komponentais.

Jėgų pridėjimas atliekamas naudojant vektoriaus pridėjimo taisyklę. Arba vadinamoji lygiagretainio taisyklė. Kadangi jėga vaizduojama kaip vektorius, tai yra atkarpa, kurios ilgis rodo jėgos skaitinę reikšmę, o kryptis – jėgos veikimo kryptį. Tada jie prideda jėgas, tai yra vektorius, naudodamiesi geometrine vektorių suma.

Kita vertus, jėgų pridėjimas yra kelių jėgų rezultatas. Tai yra, kai organizmą veikia keli skirtingos jėgos. Skiriasi tiek dydžiu, tiek kryptimi. Būtina rasti susidariusią jėgą, kuri veiks visą kūną. Tokiu atveju jėgas galite pridėti poromis naudodami lygiagretainio taisyklę. Pirmiausia pridedame dvi jėgas. Prie jų rezultato pridedame dar vieną. Ir taip toliau, kol visos jėgos bus sujungtos.

1 pav. Lygiagretainės taisyklė.

Lygiagretainio taisyklę galima apibūdinti taip. Dviem jėgoms, kylančioms iš vieno taško ir kurių kampas tarp jų skiriasi nuo nulio arba 180 laipsnių. Galite sukurti lygiagretainį. Perkeliant vieno vektoriaus pradžią į kito vektoriaus pabaigą. Šio lygiagretainio įstrižainė bus šių jėgų rezultatas.

Tačiau taip pat galite naudoti jėgos daugiakampio taisyklę. Tokiu atveju pasirenkamas pradžios taškas. Iš šio taško atsiranda pirmasis kūną veikiančios jėgos vektorius, tada prie jo galo, naudojant lygiagrečiojo perdavimo metodą, pridedamas kitas vektorius. Ir taip toliau, kol gaunamas jėgos daugiakampis. Galų gale visų jėgų rezultatas tokioje sistemoje bus vektorius, sudarytas iš pradžios taškas iki paskutinio vektoriaus pabaigos.

2 pav. – jėgos daugiakampis.

Jei kūnas juda veikiamas kelių jėgų skirtingus taškus kūnai. Galime daryti prielaidą, kad jis juda veikiamas rezultatyvios jėgos, veikiančios tam tikro kūno masės centrą.

Kartu su jėgų pridėjimu, siekiant supaprastinti judesio skaičiavimus, taip pat naudojamas jėgos skaidymo metodas. Kaip rodo pavadinimas, metodo esmė yra ta, kad viena jėga, veikianti kūną, yra išskaidoma į komponentines jėgas. Šiuo atveju jėgos komponentai turi tokį patį poveikį kūnui kaip ir pradinė jėga.

Jėgų skaidymas taip pat atliekamas pagal lygiagretainio taisyklę. Jie turi išeiti iš vieno taško. Iš to paties taško, iš kurio išeina irimo jėga. Paprastai išskaidyta jėga vaizduojama projekcijų į statmenas ašis forma. Pavyzdžiui, kaip gravitacijos jėga ir trinties jėga, veikianti bloką, gulintį nuožulnioje plokštumoje.

3 paveikslas – blokas nuožulnioje plokštumoje.

Norint teisingai parodyti gamtos dėsnius fizikoje, reikalingi atitinkami matematiniai įrankiai.

Geometrijoje ir fizikoje yra dydžių, apibūdinamų skaitinė reikšmė, ir kryptis.

Patartina juos pavaizduoti kaip nukreiptus segmentus arba vektoriai.

Tokie dydžiai turi pradžią (rodomą tašku) ir pabaigą, pažymėtą rodykle. Atkarpos ilgis vadinamas (ilgis).

• greitis;
• pagreitis;
• pulsas;
• stiprumas;
• momentas;
• stiprumas;
• judėjimas;
• lauko stiprumas ir kt.

Plokštumos koordinatės

Plokštumoje apibrėžkime atkarpą, nukreiptą iš taško A (x1,y1) į tašką B (x2,y2). Jo koordinatės a (a1, a2) yra skaičiai a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Modulis apskaičiuojamas pagal Pitagoro teoremą:

Nulinio vektoriaus pradžia sutampa su pabaiga. Koordinatės ir ilgis yra 0.

Vektorinė suma

Yra kelios sumos apskaičiavimo taisyklės

• trikampio taisyklė;
• daugiakampio taisyklė;
• lygiagretainio taisyklė.

Vektorių pridėjimo taisyklę galima paaiškinti naudojant dinamikos ir mechanikos problemas. Panagrinėkime vektorių sudėjimą pagal trikampio taisyklę, naudodami taškinį kūną veikiančių jėgų ir nuoseklių kūno judesių erdvėje pavyzdį.

Tarkime, kad kūnas pirmiausia juda iš taško A į tašką B, o tada iš taško B į tašką C. Galutinis poslinkis yra atkarpa, nukreipta nuo pradžios taško A iki pabaigos taško C.

Dviejų judesių rezultatas arba jų suma s = s1+ s2. Šis metodas vadinamas trikampio taisyklė.

Rodyklės išsirikiuoja į grandinę viena po kitos, jei reikia, atlikite lygiagretus perdavimas. Visas segmentas uždaro seką. Jo pradžia sutampa su pirmosios pradžia, pabaiga su paskutinio pabaiga. IN užsienio vadovėlių šis metodas paskambino "uodega iki galvos".

Rezultato c = a + b koordinatės lygios atitinkamų terminų c (a1+ b1, a2+ b2) koordinačių sumai.

Lygiagrečių (kolinearinių) vektorių suma taip pat nustatoma pagal trikampio taisyklę.

Jei du pradiniai segmentai yra statmeni vienas kitam, tada jų pridėjimo rezultatas yra ant jų sudarytos linijos hipotenuzė stačiakampis trikampis. Sumos ilgis apskaičiuojamas pagal Pitagoro teoremą.

Pavyzdžiai:

• Horizontaliai mesto kūno greitis yra statmenai pagreitis laisvasis kritimas.
• Su uniforma sukamasis judėjimas linijinis greitis kūnas yra statmenas įcentriniam pagreičiui.

Trijų ar daugiau vektorių pridėjimas gaminti pagal daugiakampio taisyklė, "uodega iki galvos"

Tarkime, kad taško korpusas taikomos jėgos F1 ir F2.

Patirtis įrodo, kad šių jėgų bendras poveikis prilygsta vienos jėgos, nukreiptos išilgai ant jų sukonstruoto lygiagretainio, įstrižainės. Ši atsirandanti jėga lygi jų sumai F = F1 + F 2. Aukščiau pateiktas sudėjimo būdas vadinamas lygiagretainio taisyklė.

Ilgis šiuo atveju apskaičiuojamas pagal formulę

Kur θ yra kampas tarp šonų.

Trikampio ir lygiagretainio taisyklės yra keičiamos. Fizikoje dažniau naudojama lygiagretainio taisyklė, nes jėgų, greičių ir pagreičių kryptiniai dydžiai dažniausiai taikomi vienam taškiniam kūnui. IN trimatė sistema koordinates, taikoma gretasienio taisyklė.

Algebros elementai

1. Sudėjimas yra dvejetainis veiksmas: vienu metu galima pridėti tik porą.
2. Komutatyvumas: suma iš terminų pertvarkymo nesikeičia a + b = b + a. Tai aišku iš lygiagretainio taisyklės: įstrižainė visada ta pati.
3. Asociatyvumas: suma bet koks skaičius vektoriai nepriklauso nuo jų sudėjimo eilės (a + b) + c = a + (b + c).
4. Sumavimas su nulinis vektorius nekeičia nei krypties, nei ilgio: a +0= a .
5. Kiekvienam vektoriui yra priešinga. Jų suma lygi nuliui a +(-a)=0, o ilgiai vienodi.

Nukreiptos atkarpos atėmimas prilygsta jo priešingybės pridėjimui. Koordinatės lygios atitinkamų koordinačių skirtumui. Ilgis yra:

Atimti galite naudoti modifikuotą trikampio taisyklę.

Daugyba iš skaliaro

Daugybos iš skaliro rezultatas yra vektorius.

Produkto koordinatės gaunamos padauginus iš skaliaro atitinkamas originalo koordinates.

Skaliarinis - skaitinė reikšmė su pliuso arba minuso ženklu, didesniu ar mažesniu už vieną.

Skaliarinių dydžių pavyzdžiai fizikoje:

• svoris;
• laikas;
• mokestis;
• ilgis;
• kvadratas;
• tūris;
• tankis;
• temperatūra;
• energijos.

Pavyzdžiai:

• Tolygiai judančio kūno poslinkis lygus laiko ir greičio sandaugai s = vt.
• Kūno impulsas yra masė, padauginta iš greičio p = mv.
• Antrasis Niutono dėsnis. Kūno masės ir pagreičio sandauga yra lygi pridedamas gaunamoji jėga ma=F.
• Jėga, veikianti įkrautą dalelę elektriniame lauke, yra proporcinga krūviui F = qE.

Nukreiptų atkarpų a ir b skaliarinė sandauga yra lygi modulių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui. Taškinis produktas yra abipusis statmenos atkarpos lygus nuliui.

Pavyzdys:

Darbas yra skaliarinis produktas jėgos ir poslinkiai A = Fs.