Homogeninė rinkimo sistema. Homogeninės lygčių sistemos

Homogeninės sistemos linijinis algebrines lygtis

Kaip pamokų dalis Gauso metodas Ir Nesuderinamos sistemos/sistemos su bendru sprendimu svarstėme nevienalytės sistemos tiesines lygtis , Kur laisvas narys(kuri dažniausiai yra dešinėje) bent vienas iš lygčių skyrėsi nuo nulio.
Ir dabar, po gero apšilimo su matricos rangas, toliau šlifuosime techniką elementarios transformacijos įjungta vienalytė tiesinių lygčių sistema.
Remiantis pirmomis pastraipomis, medžiaga gali atrodyti nuobodi ir vidutiniška, tačiau toks įspūdis yra apgaulingas. Be tolesnio techninės technikos tobulinimo, bus daug nauja informacija, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.

Kas yra vienalytė tiesinių lygčių sistema?

Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis narys visi sistemos lygtys lygus nuliui. Pavyzdžiui:

Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada yra nuosekli ty visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, į akis krenta vadinamasis trivialus sprendimas . Trivialus, tiems, kurie visiškai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia be pasipuikavimo. Žinoma, ne akademiškai, o suprantamai =) ...Kam muštis, pažiūrėkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:

1 pavyzdys

Sprendimas: norint išspręsti vienarūšę sistemą reikia parašyti sistemos matrica o elementarių transformacijų pagalba atnešti ją į laiptuotas vaizdas. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia rašyti vertikalios juostos ir nulinio laisvųjų terminų stulpelio – juk kad ir ką darytumėte su nuliais, jie liks nuliais:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –3.

(2) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.

Trečią eilutę dalinti iš 3 nėra prasmės.

Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama ekvivalentiška vienalytė sistema , ir naudojant atvirkštinį Gauso metodą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.

Atsakymas:

Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė tiesinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, Jei sistemos matricos rangas(V šiuo atveju 3) lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju – 3 vnt.).

Sušildykime ir priderinkime radiją prie elementarių transformacijų bangos:

2 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Iš straipsnio Kaip rasti matricos rangą? prisiminti racionali technika lygiagretus matricos skaičių mažinimas. Priešingu atveju turėsite pjaustyti dideles ir dažnai kandžias žuvis. Apytikslis pavyzdys užduoties atlikimas pamokos pabaigoje.

Nuliai yra gerai ir patogūs, tačiau praktikoje atvejis yra daug dažnesnis, kai sistemos matricos eilutės tiesiškai priklausomas. Ir tada neišvengiamas pasirodymas bendras sprendimas:

3 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Sprendimas: užrašykime sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perkelkime ją į laipsnišką formą. Pirmuoju veiksmu siekiama ne tik gauti vieną reikšmę, bet ir sumažinti skaičius pirmame stulpelyje:

(1) Prie pirmosios eilutės buvo pridėta trečia eilutė, padauginta iš –1. Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Viršuje kairėje gavau bloką su „minusu“, kuris dažnai yra daug patogesnis tolimesnėms transformacijoms.

(2) Pirmosios dvi eilutės yra tos pačios, viena iš jų ištrinta. Sąžiningai, aš nepritaikiau sprendimo – taip viskas išėjo. Jei atliksite transformacijas šabloniniu būdu, tada tiesinė priklausomybė linijos būtų atskleistos kiek vėliau.

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 3.

(4) Pirmos eilutės ženklas buvo pakeistas.

Dėl elementariųjų transformacijų buvo gauta lygiavertė sistema:

Algoritmas veikia lygiai taip pat kaip ir nevienalytės sistemos. Kintamieji „sėdi ant laiptelių“ yra pagrindiniai, kintamasis, kuris negavo „žingsnio“, yra laisvas.

Išreikškime pagrindinius kintamuosius per laisvąjį kintamąjį:

Atsakymas: bendras sprendimas:

Įtrauktas trivialus sprendimas bendroji formulė, ir atskirai jo rašyti nebūtina.

Patikrinimas taip pat atliekamas pagal įprastą schemą: gautas bendras sprendimas turi būti pakeistas į kairėje pusėje kiekvieną sistemos lygtį ir gauti teisinį nulį visiems pakaitalams.

Galima būtų tai užbaigti tyliai ir taikiai, tačiau dažnai reikia pavaizduoti homogeniškos lygčių sistemos sprendimą V vektorinė forma naudojant pamatinė sprendimų sistema. Prašau kol kas apie tai pamiršti analitinė geometrija, nes dabar kalbėsime apie vektorius bendrąja algebrine prasme, kurią šiek tiek atidariau straipsnyje apie matricos rangas. Nereikia glaistyti terminijos, viskas yra gana paprasta.

Gauso metodas turi nemažai trūkumų: neįmanoma žinoti, ar sistema yra nuosekli, ar ne, kol nėra atliktos visos Gauso metodui būtinos transformacijos; Gauso metodas netinka sistemoms su raidžių koeficientais.

Panagrinėkime kitus tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdus. Šie metodai naudoja matricos rango sąvoką ir sumažina sprendimą iki bet kurio sąnarių sistema sistemos, kuriai taikoma Cramerio taisyklė, sprendimui.

1 pavyzdys. Raskite bendrą sprendimą kita sistema tiesinės lygtys, naudojant pagrindinę redukuotos vienalytės sistemos sprendinių sistemą ir konkretų nehomogeninės sistemos sprendimą.

1. Matricos sudarymas A ir išplėstinė sistemos matrica (1)

2. Ištirkite sistemą (1) už bendrumą. Norėdami tai padaryti, randame matricų eiles A ir https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jei paaiškės, kad , tada sistema (1) nesuderinamas. Jei tai gausime , tada ši sistema yra nuosekli ir mes ją išspręsime. (Suderinamumo tyrimas pagrįstas Kronecker-Capelli teorema).

a. Mes randame rA.

Norėdami rasti rA, mes nuosekliai nagrinėsime matricos pirmosios, antrosios ir kt. A ir juos supančius nepilnamečius.

M1=1≠0 (paimkite 1 iš kairės viršutinis kampas matricos A).

Mes ribojamės M1 antroji šios matricos eilutė ir antras stulpelis. . Mes tęsiame sieną M1 antroji eilutė ir trečias stulpelis..gif" width="37" height="20 src=">. Dabar apribojame ne nulį mažą M2′ antra tvarka.

Turime: (nes pirmi du stulpeliai yra vienodi)

(kadangi antroji ir trečioji eilutės yra proporcingos).

Mes tai matome rA=2, a yra matricos pagrindinis minoras A.

b. Mes randame.

Gana elementari minor M2′ matricos A kraštinė su laisvų terminų stulpeliu ir visomis eilutėmis (turime tik paskutinę eilutę).

. Iš to išplaukia M3′′ išlieka pagrindine matricos minora https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Nes M2′- matricos pagrindinis minoras A sistemos (2) , tada ši sistema yra lygiavertė sistemai (3) , susidedantis iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių (2) (dėl M2′ yra pirmose dviejose A matricos eilutėse).

(3)

Nuo pagrindinės nepilnametės https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Šioje sistemoje yra du laisvi nežinomieji ( x2 Ir x4 ). Štai kodėl FSR sistemos (4) susideda iš dviejų sprendimų. Norėdami juos rasti, priskiriame nemokamus nežinomuosius (4) vertybės pirmiausia x2=1 , x4=0 , o tada - x2=0 , x4=1 .

At x2=1 , x4=0 gauname:

.

Ši sistema jau turi vienintelis dalykas sprendimas (jį galima rasti naudojant Cramerio taisyklę arba bet kurį kitą metodą). Atėmę pirmąją iš antrosios lygties, gauname:

Jos sprendimas bus x1= -1 , x3=0 . Atsižvelgiant į vertybes x2 Ir x4 , kurį davėme, gauname pirmuosius esminis sprendimas sistemos (2) : .

Dabar mes tikime (4) x2=0 , x4=1 . Mes gauname:

.

Šią sistemą išsprendžiame naudodami Cramerio teoremą:

.

Gauname antrąjį pagrindinį sistemos sprendimą (2) : .

Sprendimai β1 , β2 ir pasidaryti FSR sistemos (2) . Tada jos bendras sprendimas bus

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Čia C1 , C2 – savavališkos konstantos.

4. Suraskime vieną privatus sprendimas nevienalytė sistema(1) . Kaip pastraipoje 3 , vietoj sistemos (1) Panagrinėkime lygiavertę sistemą (5) , susidedantis iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių (1) .

(5)

Perkelkime laisvuosius nežinomuosius į dešinę pusę x2 Ir x4.

(6)

Duokime nemokamų nežinomųjų x2 Ir x4 savavališkos vertės, pvz. x2=2 , x4=1 ir įdėkite juos (6) . Paimkime sistemą

Ši sistema turi unikalų sprendimą (nuo jo determinanto M2′0). Išspręsdami ją (naudodami Cramerio teoremą arba Gauso metodą), gauname x1=3 , x3=3 . Atsižvelgiant į laisvųjų nežinomųjų vertybes x2 Ir x4 , gauname konkretus nehomogeninės sistemos sprendimas(1)α1=(3,2,3,1).

5. Dabar belieka tai užsirašyti nehomogeninės sistemos bendrasis sprendimas α(1) : ji lygi sumai privatus sprendimasši sistema ir bendras jos redukuotos homogeninės sistemos sprendimas (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Tai reiškia: (7)

6. Apžiūra. Norėdami patikrinti, ar teisingai išsprendėte sistemą (1) , mums reikia bendro sprendimo (7) pakaitalas (1) . Jei kiekviena lygtis virsta tapatybe ( C1 Ir C2 turi būti sunaikinti), tada sprendimas rastas teisingai.

Mes pakeisime (7) pavyzdžiui, tik paskutinė sistemos lygtis (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Gauname: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kur –1=–1. Gavome tapatybę. Tai darome su visomis kitomis sistemos lygtimis (1) .

komentuoti. Patikrinimas paprastai yra gana sudėtingas. Galima rekomenduoti tokį „dalinį patikrinimą“: bendrame sistemos sprendime (1) priskirkite kai kurias vertes savavališkoms konstantoms ir gautą dalinį sprendimą pakeiskite tik į išmestas lygtis (t. y. į tas lygtis iš (1) , kurie nebuvo įtraukti (5) ). Jei gausite tapatybes, tada labiau tikėtina, sisteminis sprendimas (1) rasta teisingai (tačiau toks patikrinimas nesuteikia visiškos teisingumo garantijos!). Pavyzdžiui, jei į (7) įdėti C2=- 1 , C1=1, tada gauname: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Pakeitę paskutinę sistemos (1) lygtį, turime: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.y. –1=–1. Gavome tapatybę.

2 pavyzdys. Raskite bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą (1) , išreiškiantis pagrindinius nežinomuosius laisvais.

Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdys, sudaryti matricas A ir https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> šių matricų. Dabar paliekame tik tas sistemos lygtis (1) , kurių koeficientai yra įtraukti į šį pagrindinį mažąjį (t. y. turime dvi pirmąsias lygtis) ir apsvarstykite iš jų susidedančią sistemą, lygiavertė sistema (1).

Perkelkime laisvuosius nežinomuosius į dešiniąsias šių lygčių puses.

sistema (9) Sprendžiame Gauso metodu, dešiniąsias puses laikant laisvais terminais.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

2 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

4 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

5 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

6 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogeninė tiesinių lygčių sistema virš lauko

APIBRĖŽIMAS. Esminė lygčių sistemos (1) sprendinių sistema vadinama netuščiąja tiesine nepriklausoma sistema jos sprendiniai, kurių tiesinis intervalas sutampa su (1) sistemos visų sprendinių aibe.

Atkreipkite dėmesį, kad vienalytė tiesinių lygčių sistema, turinti tik nulinį sprendinį, neturi pagrindinės sprendinių sistemos.

PASIŪLYMAS 3.11. Bet kurios dvi pagrindinės vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendimų sistemos susideda iš tas pats numeris sprendimus.

Įrodymas. Tiesą sakant, bet kurios dvi pagrindinės vienalytės lygčių sistemos (1) sprendimų sistemos yra lygiavertės ir tiesiškai nepriklausomos. Todėl pagal 1.12 teiginį jų eilės yra lygios. Vadinasi, sprendinių, įtrauktų į vieną pagrindinę sistemą, skaičius yra lygus sprendinių, įtrauktų į bet kurią kitą pagrindinę sprendinių sistemą, skaičiui.

Jei vienalytės lygčių sistemos (1) pagrindinė matrica A yra lygi nuliui, tai bet kuris vektorius iš yra sistemos (1) sprendinys; šiuo atveju bet kuri kolekcija yra linijinė nepriklausomi vektoriai yra pagrindinė sprendimų sistema. Jei matricos A stulpelio rangas yra lygus , tai sistema (1) turi tik vieną sprendinį – nulį; todėl šiuo atveju (1) lygčių sistema neturi fundamentalios sprendinių sistemos.

TEOREMA 3.12. Jei homogeninės tiesinių lygčių sistemos pagrindinės matricos rangas (1) mažesnis skaičius kintamieji , tada sistema (1) turi pagrindinę sprendinių sistemą, susidedančią iš sprendinių.

Įrodymas. Jei homogeninės sistemos (1) pagrindinės matricos A rangas yra lygus nuliui arba , tai aukščiau buvo parodyta, kad teorema yra teisinga. Todėl toliau daroma prielaida, kad darant prielaidą, kad pirmieji A matricos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi. Šiuo atveju matrica A yra lygiavertė sumažintai laipsniškai matricai, o sistema (1) yra lygiavertė šiai sumažintai laipsniškai lygčių sistemai:

Nesunku patikrinti, ar bet kokia laisvųjų reikšmių sistema sistemos kintamieji(2) atitinka vieną ir tik vieną sistemos (2) sprendimą, taigi ir sistemą (1). Konkrečiai, tik sistemos (2) ir sistemos (1) nulinis sprendimas atitinka nulinių reikšmių sistemą.

Sistemoje (2) priskirsime vieną iš laisvųjų kintamųjų reikšmė, lygus 1, o likusių kintamųjų reikšmės yra nulis. Dėl to gauname lygčių sistemos (2) sprendinius, kuriuos užrašome šios matricos C eilučių pavidalu:

Šios matricos eilučių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Išties, bet kokiems skaliarams iš lygybės

seka lygybė

taigi ir lygybė

Įrodykime, kad matricos C eilučių sistemos tiesinis intervalas sutampa su visų sistemos (1) sprendinių aibe.

Savavališkas sistemos (1) sprendimas. Tada vektorius

taip pat yra sistemos (1) sprendimas ir

Sprendimas rasti naudojant skaičiuotuvą. Sprendimo algoritmas yra toks pat kaip ir sistemoms, kuriose nėra tiesinės vienarūšės lygtys.
Veikdami tik su eilutėmis, randame matricos rangą, bazinį minorą; Paskelbiame priklausomus ir laisvus nežinomuosius ir randame bendrą sprendimą.

2 pavyzdys. Raskite bendrą sprendinį ir pamatinę sistemos sprendinių sistemą
Sprendimas.



,
iš to išplaukia, kad matricos rangas yra 3 ir lygus skaičiui nežinomas. Tai reiškia, kad sistema neturi laisvų nežinomųjų, todėl turi unikalų sprendimą – trivialų.

Pratimas . Ištirkite ir išspręskite tiesinių lygčių sistemą.
4 pavyzdys

Pratimas . Raskite bendruosius ir konkrečius kiekvienos sistemos sprendimus.
Sprendimas. Užrašykime pagrindinę sistemos matricą:

Užduotis . Rasti pamatinis rinkinys vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendiniai.

Tiesinė lygtis vadinama vienalytis, jei jo laisvasis narys lygus nuliui, o kitaip nehomogeniškas. Sistema, susidedanti iš vienalyčių lygčių, vadinama vienalyte ir turi bendras vaizdas:

Akivaizdu, kad kiekviena vienalytė sistema yra nuosekli ir turi nulinį (trivialų) sprendimą. Todėl, kalbant apie vienarūšes tiesinių lygčių sistemas, dažnai tenka ieškoti atsakymo į klausimą apie nulinių sprendinių egzistavimą. Atsakymas į šį klausimą gali būti suformuluotas kaip tokia teorema.

Teorema . Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių .

Įrodymas: Tarkime, kad sistema, kurios rangas yra lygus, turi nulinį sprendimą. Akivaizdu, kad jis neviršija. Jei sistema turi unikalų sprendimą. Kadangi vienalyčių tiesinių lygčių sistema visada turi nulinį sprendimą, tai nulinis sprendimas bus būtent toks vienintelis sprendimas. Taigi nuliniai sprendimai galimi tik .

1 išvada : Vienalytė lygčių sistema, kurioje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, visada turi nulinį sprendinį.

Įrodymas: Jeigu lygčių sistema turi , tai sistemos rangas neviršija lygčių skaičiaus, t.y. . Taigi sąlyga yra įvykdyta, todėl sistema turi nulinį sprendimą.

2 išvada : Vienalytė lygčių sistema su nežinomaisiais turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos determinantas yra nulis.

Įrodymas: Tarkime, kad tiesinių vienarūšių lygčių sistema, kurios matrica su determinantu , turi nulinį sprendinį. Tada, pagal įrodytą teoremą, ir tai reiškia, kad matrica yra vienaskaita, t.y. .

Homogeninė tiesinių algebrinių lygčių sistema.

M tiesinių lygčių sistema su n kintamųjų vadinama tiesinių vienarūšių lygčių sistema, jei visos nemokami nariai yra lygūs 0. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema visada yra nuosekli, nes jis visada turi bent nulinį sprendimą. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos kintamųjų koeficientų matricos rangas yra mažesnis už kintamųjų skaičių, t.y. rangui A (n. Bet koks tiesinis derinys

Lin sistemos sprendimai. vienalytis. ur-ii taip pat yra šios sistemos sprendimas.

Tiesinių nepriklausomų sprendinių e1, e2,...,еk sistema vadinama fundamentalia, jeigu kiekvienas sistemos sprendinys yra tiesinis sprendinių derinys. Teorema: jei tiesinių vienarūšių lygčių sistemos kintamųjų koeficientų matricos rangas r yra mažesnis už kintamųjų skaičių n, tai kiekviena pagrindinė sistemos sprendinių sistema susideda iš n-r sprendimai. Todėl bendras tiesinės sistemos sprendimas. vienadienis ur-th turi formą: c1e1+c2e2+...+skek, kur e1, e2,..., ek – bet kokia fundamentali sprendinių sistema, c1, c2,..., ck – savavališki skaičiai ir k=n-r. M tiesinių lygčių sistemos su n kintamųjų bendras sprendinys yra lygus sumai

jį atitinkančios sistemos bendrojo sprendinio yra vienalytis. tiesines lygtis ir savavališką konkretų šios sistemos sprendimą.

7. Linijinės erdvės. Potarpiai. Pagrindas, matmuo. Linijinis apvalkalas. Linijinė erdvė vadinama n matmenų, jei joje yra tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema ir bet kuri sistema daugiau vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Skambina numeriu matmuo (matmenų skaičius) linijinė erdvė ir yra paskirtas. Kitaip tariant, erdvės matmuo yra maksimalus skaičius tiesiškai nepriklausomi šios erdvės vektoriai. Jei toks skaičius egzistuoja, tada erdvė vadinama baigtine. Jei kam natūralusis skaičius n erdvėje yra sistema, susidedanti iš tiesiškai nepriklausomų vektorių, tada tokia erdvė vadinama begalinės dimensijos (parašyta: ). Toliau, jei nenurodyta kitaip, bus nagrinėjamos baigtinių matmenų erdvės.

n-matės tiesinės erdvės pagrindas yra tvarkinga tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys ( baziniai vektoriai).

8.1 teorema apie vektoriaus plėtimąsi pagrindu. Jei yra n-matės tiesinės erdvės pagrindas, tada bet kurį vektorių galima pavaizduoti kaip tiesinį bazinių vektorių derinį:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ir, be to, vieninteliu būdu, t.y. koeficientai nustatomi vienareikšmiškai. Kitaip tariant, bet koks erdvės vektorius gali būti išplėstas į pagrindą ir, be to, unikaliu būdu.

Iš tiesų, erdvės matmuo yra . Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma (tai yra pagrindas). Pridėję bet kurį vektorių prie pagrindo, gauname tiesiškai priklausoma sistema(nes ši sistema susideda iš vektorių n matmenų erdvė). Naudodami 7 tiesiškai priklausomų ir tiesiškai nepriklausomų vektorių savybę, gauname teoremos išvadą.