Pradžia Pasaulio šalys Visų pirma, turime suprasti patį vektoriaus sąvoką. Norėdami pristatyti apibrėžimą

geometrinis vektorius

Prisiminkime, kas yra segmentas. Pateikiame tokį apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Atkarpa yra linijos dalis, turinti dvi ribas taškų pavidalu.

Segmentas gali turėti 2 kryptis. Norėdami pažymėti kryptį, vieną iš atkarpos ribų vadinsime jos pradžia, o kitą – pabaiga. Kryptis nurodoma nuo segmento pradžios iki pabaigos.

2 apibrėžimas

Vektorius arba nukreipta atkarpa bus atkarpa, kuriai žinoma, kuri iš atkarpos ribų laikoma pradžia, o kuri – pabaiga.

Pavadinimas: dviem raidėmis: $\overline(AB)$ – (kur $A$ yra jos pradžia, o $B$ – pabaiga).

Viena maža raide: $\overline(a)$ (1 pav.).

Dabar tiesiogiai pristatykime vektorių ilgių sąvoką.

3 apibrėžimas

Vektoriaus $\overline(a)$ ilgis bus atkarpos $a$ ilgis.

Žymėjimas: $|\overline(a)|$

Vektoriaus ilgio sąvoka siejama, pavyzdžiui, su tokia sąvoka kaip dviejų vektorių lygybė.

4 apibrėžimas Du vektorius vadinsime lygiais, jei jie tenkina dvi sąlygas: 1. Jie yra vienakrypčiai; 1. Jų ilgiai lygūs (2 pav.). Norėdami apibrėžti vektorius, įveskite koordinačių sistemą ir nustatykite vektoriaus koordinates įvestoje sistemoje. Kaip žinome, bet kurį vektorių galima suskaidyti į formą $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, kur $m$ ir $n$ yra

realūs skaičiai

, ir $\overline(i)$ ir $\overline(j)$ yra vienetiniai vektoriai atitinkamai $Ox$ ir $Oy$ ašyje.

5 apibrėžimas

Vektoriaus $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ plėtimosi koeficientus vadinsime šio vektoriaus koordinatėmis įvestoje koordinačių sistemoje. Matematiškai:

$\overline(c)=(m,n)$

Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?

Norėdami gauti savavališko vektoriaus ilgio, atsižvelgiant į jo koordinates, skaičiavimo formulę, apsvarstykite šią problemą:

1 pavyzdys

Mūsų sukurtas vektorius $\overline(OA)$ bus taško $A$ spindulio vektorius, todėl jis turės $(x,y)$ koordinates, o tai reiškia

$=x$, $[OA_2]=y$

Dabar mes galime lengvai rasti reikiamą ilgį naudodami Pitagoro teoremą, gauname

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Atsakymas: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Išvada: Norint rasti vektoriaus, kurio koordinatės pateiktos, ilgį, reikia rasti šių koordinačių sumos kvadrato šaknį.

Užduočių pavyzdžiai

2 pavyzdys

Raskite atstumą tarp taškų $X$ ir $Y$, kurių koordinatės yra atitinkamai: $(-1.5)$ ir $(7.3)$.

Bet kuriuos du taškus galima lengvai susieti su vektoriaus sąvoka. Apsvarstykite, pavyzdžiui, vektorių $\overline(XY)$. Kaip jau žinome, tokio vektoriaus koordinates galima rasti atėmus iš koordinačių pabaigos taškas($Y$) atitinkamas koordinates pradžios taškas(X $). Mes tai gauname

Pagaliau gavau į rankas šią plačią ir ilgai lauktą temą. analitinė geometrija . Pirmiausia šiek tiek apie šį skyrių aukštoji matematika…. Tikrai dabar prisimenate mokyklos geometrijos kursą su daugybe teoremų, jų įrodymų, brėžinių ir kt. Ką slėpti, nemylimas ir dažnai neaiškus dalykas nemenkai daliai mokinių. Kaip bebūtų keista, analitinė geometrija gali atrodyti įdomesnė ir prieinamesnė. Ką reiškia būdvardis „analitinis“? Iš karto į galvą ateina dvi klišinės matematinės frazės: „grafinio sprendimo metodas“ ir „ analitinis metodas sprendimai“. Grafinis metodas , žinoma, yra susijęs su grafikų ir brėžinių konstravimu. Analitinis tas pats metodas apima problemų sprendimą daugiausia per algebrinės operacijos. Šiuo atžvilgiu beveik visų analitinės geometrijos problemų sprendimo algoritmas yra paprastas ir skaidrus, jį dažnai pakanka atidžiai taikyti reikalingos formulės- ir atsakymas paruoštas! Ne, žinoma, be piešinių to padaryti visiškai nepavyks, be to, kad geriau suprasčiau medžiagą, pabandysiu juos cituoti be būtinybės.

Naujai atidarytas geometrijos pamokų kursas nepretenduoja į teorinį užbaigimą, jis orientuotas į praktinių uždavinių sprendimą. Į paskaitas įtrauksiu tik tai, kas, mano požiūriu, yra svarbu praktiškai. Jei jums reikia išsamesnės pagalbos dėl bet kurio poskyrio, rekomenduoju šią gana prieinamą literatūrą:

1) Dalykas, kurį, ne juokai, žino kelios kartos: Mokyklinis geometrijos vadovėlis, autoriai – L.S. Atanasjanas ir kompanija. Ši mokyklos rūbinės kabykla jau praėjo 20 (!) pakartotinių spaudinių, o tai, žinoma, nėra riba.

2) Geometrija 2 tomuose. Autoriai L.S. Atanasjanas, Bazilevas V.T.. Tai skirta literatūra vidurinę mokyklą, jums prireiks pirmasis tomas. Retai pasitaikančios užduotys gali iškristi iš mano akiračio, ir mokymo vadovas suteiks neįkainojamą pagalbą.

Abi knygas galima nemokamai atsisiųsti internetu. Be to, galite naudoti mano archyvą su paruoštus sprendimus, kurį galite rasti puslapyje Atsisiųskite aukštosios matematikos pavyzdžius.

Tarp įrankių vėl siūlau savo tobulėjimą - programinės įrangos paketą analitinėje geometrijoje, kuri labai supaprastins gyvenimą ir sutaupys daug laiko.

Daroma prielaida, kad skaitytojas yra susipažinęs su pagrindiniais dalykais geometrinės sąvokos ir figūros: taškas, tiesė, plokštuma, trikampis, lygiagretainis, gretasienis, kubas ir kt. Patartina prisiminti kai kurias teoremas, bent jau Pitagoro teoremą, sveiki kartotojai)

O dabar svarstysime nuosekliai: vektoriaus sąvoką, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates. Rekomenduoju skaityti toliau svarbiausias straipsnis Taškinė vektorių sandauga, ir taip pat Vektorius ir vektorių mišrus sandauga. Tai nebus nereikalinga vietinė problema– Atkarpos padalijimas tam tikru santykiu. Remdamiesi aukščiau pateikta informacija, galite įvaldyti tiesės lygtis plokštumoje Su paprasčiausi sprendimų pavyzdžiai, kuris leis išmokti spręsti geometrijos uždavinius. Taip pat naudingi šie straipsniai: Plokštumos erdvėje lygtis, Tiesės lygtys erdvėje, Pagrindiniai tiesės ir plokštumos uždaviniai, kiti analitinės geometrijos pjūviai. Natūralu, kad pakeliui bus svarstomos standartinės užduotys.

Vektorinė koncepcija. Nemokamas vektorius

Pirmiausia pakartokime mokyklinį vektoriaus apibrėžimą. Vektorius paskambino nukreiptas segmentas, kurio pradžia ir pabaiga nurodyta:

IN šiuo atveju atkarpos pradžia yra taškas, atkarpos pabaiga yra taškas. Pats vektorius žymimas . Kryptis yra būtina, jei perkelsite rodyklę į kitą segmento galą, gausite vektorių, ir tai jau yra visiškai kitoks vektorius. Patogu vektoriaus sąvoką tapatinti su fizinio kūno judėjimu: reikia sutikti, įėjimas pro instituto duris ar išėjimas pro instituto duris yra visiškai skirtingi dalykai.

Atskirus plokštumos ar erdvės taškus patogu laikyti vadinamaisiais nulinis vektorius. Tokiam vektoriui pabaiga ir pradžia sutampa.

!!! Pastaba: Čia ir toliau galima daryti prielaidą, kad vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba galima daryti prielaidą, kad jie yra erdvėje – pateiktos medžiagos esmė galioja ir plokštumai, ir erdvei.

Pavadinimai: Daugelis iš karto pastebėjo lazdą be rodyklės pavadinime ir pasakė: viršuje taip pat yra rodyklė! Tiesa, galima parašyti rodykle: , bet taip pat įmanoma įrašas, kurį naudosiu ateityje. Kodėl? Matyt, toks įprotis susiformavo dėl praktinių priežasčių, mano šauliai mokykloje ir universitete pasirodė per daug įvairaus dydžio ir apšiurę. Mokomojoje literatūroje kartais visai nesirūpinama dantiraščiu, o paryškinamos paryškintos raidės: , tai reiškia, kad tai vektorius.

Tai buvo stilistika, o dabar apie vektorių rašymo būdus:

1) Vektorius galima parašyti dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis:
ir taip toliau. Šiuo atveju pirmoji raidė Būtinaižymi vektoriaus pradžios tašką, o antra raidė – vektoriaus galinį tašką.

2) Vektoriai taip pat rašomi mažomis lotyniškomis raidėmis:
Visų pirma, siekiant trumpumo, mūsų vektorius gali būti perskirtas kaip mažas lotyniška raidė.

Ilgis arba modulis Ne nulinis vektorius vadinamas atkarpos ilgiu. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui. Logiška.

Vektoriaus ilgis rodomas modulio ženklu: ,

Kaip rasti vektoriaus ilgį (arba pakartosime, priklausomai nuo kieno) išmoksime kiek vėliau.

Tai buvo pagrindinė informacija apie vektorius, pažįstama visiems moksleiviams. Analitinėje geometrijoje vadinamasis nemokamas vektorius.

Paprasčiau tariant - vektorius gali būti brėžiamas iš bet kurio taško:

Esame įpratę tokius vektorius vadinti lygiais (lygių vektorių apibrėžimas bus pateiktas žemiau), bet grynai nuo matematinis taškas vaizdas yra TAS PATS VEKTORIAUS arba nemokamas vektorius. Kodėl nemokamai? Nes spręsdami uždavinius galite tą ar kitą vektorių „pritvirtinti“ prie BET KURIOS jums reikalingos plokštumos ar erdvės taško. Tai labai šauni funkcija! Įsivaizduokite savavališko ilgio ir krypties vektorių - jį galima „klonuoti“ begalinis skaičius kartų ir bet kuriame erdvės taške, iš tikrųjų jis egzistuoja VISUR. Yra toks studentų posakis: Kiekvienas dėstytojas velniai kreipiasi dėl vektorių. Galų gale, tai ne tik šmaikštus rimas, viskas matematiškai teisinga - vektorių galima pritvirtinti ir ten. Bet neskubėkite džiaugtis, dažnai kenčia patys studentai =)

Taigi, nemokamas vektorius- Tai daug identiški nukreipti segmentai. Mokyklinis vektoriaus apibrėžimas, pateiktas pastraipos pradžioje: „Kreiptas segmentas vadinamas vektoriumi...“ reiškia specifinis nukreipta atkarpa, paimta iš tam tikros aibės, susieta su konkrečiu plokštumos ar erdvės tašku.

Reikėtų pažymėti, kad fizikos požiūriu laisvojo vektoriaus samprata yra bendras atvejis yra neteisingas, o vektoriaus taikymo taškas yra svarbus. Tiesą sakant, tiesioginis tos pačios jėgos smūgis į nosį ar kaktą, kurio pakanka, kad išvystyčiau mano kvailą pavyzdį, sukelia skirtingas pasekmes. Tačiau nelaisvas vektoriai randami ir vyshmat eigoje (neik ten :)).

Veiksmai su vektoriais. Vektorių kolineariškumas

IN mokyklos kursas geometrija, atsižvelgiama į daugybę veiksmų ir taisyklių su vektoriais: sudėjimas pagal trikampio taisyklę, sudėjimas pagal lygiagretainio taisyklę, vektorių skirtumo taisyklė, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus, vektorių skaliarinė sandauga ir kt. Iš pradžių pakartokime dvi taisykles, kurios ypač aktualios sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius.

Vektorių pridėjimo taisyklė naudojant trikampio taisyklę

Apsvarstykite du savavališkus nulinius vektorius ir:

Turite rasti šių vektorių sumą. Atsižvelgiant į tai, kad visi vektoriai laikomi laisvaisiais, vektorių atidėsime nuo pabaiga vektorius:

Vektorių suma yra vektorius. Norint geriau suprasti taisyklę, patartina įtraukti fizinę reikšmę: tegul koks nors kūnas keliauja vektoriumi, o paskui vektoriumi. Tada vektorių suma yra gauto kelio vektorius, kurio pradžia yra išvykimo taške, o pabaiga - atvykimo taške. Panaši taisyklė suformuluota bet kokio vektorių skaičiaus sumai. Kaip sakoma, kūnas gali eiti labai palinkęs zigzagu, o gal ir autopilotu – pagal gautą sumos vektorių.

Beje, jei vektorius atidėtas nuo prasidėjo vektorius, tada gauname ekvivalentą lygiagretainio taisyklė vektorių pridėjimas.

Pirma, apie vektorių kolineariškumą. Du vektoriai vadinami kolinearinis, jei jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose tiesėse. Grubiai tariant, mes kalbame apie lygiagrečius vektorius. Tačiau jų atžvilgiu visada vartojamas būdvardis „kolinearinis“.

Įsivaizduokite du kolinearinius vektorius. Jei šių vektorių rodyklės nukreiptos ta pačia kryptimi, tai tokie vektoriai vadinami bendrai režisavo. Jei rodyklės nukreiptos link skirtingos pusės, tada vektoriai bus priešingomis kryptimis.

Pavadinimai: vektorių kolineariškumas rašomas įprastu lygiagretumo simboliu: , tuo tarpu galima detalizuoti: (vektoriai nukreipti kartu) arba (vektoriai nukreipti priešingai).

Darbas ne nulinis vektorius skaičius yra vektorius, kurio ilgis yra lygus , Ir vektoriai ir yra kartu nukreipti ir priešingai nukreipti į .

Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę lengviau suprasti naudojant paveikslėlį:

Pažvelkime į tai išsamiau:

1) Kryptis. Jei daugiklis yra neigiamas, tada vektorius keičia kryptįį priešingą.

2) Ilgis. Jei daugiklis yra viduje arba , tada vektoriaus ilgis mažėja. Taigi, vektoriaus ilgis yra pusė vektoriaus ilgio. Jei daugiklio modulis yra didesnis už vieną, tada vektoriaus ilgis didėja kartais.

3) Atkreipkite dėmesį į tai visi vektoriai yra kolineariniai, o vienas vektorius išreiškiamas per kitą, pavyzdžiui, . Ir atvirkščiai: jei vienas vektorius gali būti išreikštas per kitą, tai tokie vektoriai būtinai yra kolineariniai. Taigi: jei vektorių padauginsime iš skaičiaus, gausime kolinearinį(palyginti su originalu) vektorius.

4) Vektoriai yra nukreipti kartu. Vektoriai ir taip pat yra bendrai režisuojami. Bet kuris pirmosios grupės vektorius yra priešingas bet kurio antrosios grupės vektoriui.

Kurie vektoriai yra lygūs?

Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra ta pačia kryptimi ir yra vienodo ilgio. Atkreipkite dėmesį, kad kryptingumas reiškia vektorių kolineariškumą. Apibrėžimas būtų netikslus (perteklinis), jei sakytume: „Du vektoriai yra vienodi, jei jie yra kolinearūs, bendros krypties ir vienodo ilgio“.

Laisvo vektoriaus sampratos požiūriu lygūs vektoriai yra tas pats vektorius, kaip buvo aptarta ankstesnėje pastraipoje.

Vektorinės koordinatės plokštumoje ir erdvėje

Pirmiausia reikia atsižvelgti į vektorius plokštumoje. Pavaizduokime Dekartinį stačiakampė sistema koordinates ir nuo koordinačių pradžios atidedame vienišas vektoriai ir:

Vektoriai ir stačiakampis. Stačiakampis = statmenas. Rekomenduoju pamažu priprasti prie terminų: vietoj lygiagretumo ir statmenumo atitinkamai vartojame žodžius kolineariškumas Ir ortogonalumą.

Pavadinimas: Vektorių ortogonalumas rašomas įprastu statmenumo simboliu, pavyzdžiui: .

Nagrinėjami vektoriai vadinami koordinačių vektoriai arba orts. Šie vektoriai susidaro pagrindu lėktuve. Kas yra pagrindas, manau, daug kam intuityviai aišku išsamią informaciją galima rasti straipsnyje Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas Paprastais žodžiais tariant, koordinačių pagrindas ir kilmė apibrėžia visą sistemą – tai savotiškas pamatas, ant kurio verda pilnavertis ir turtingas geometrinis gyvenimas.

Kartais vadinamas konstruojamas pagrindas ortonormalus plokštumos pagrindas: „orto“ – kadangi koordinačių vektoriai yra stačiakampiai, būdvardis „normalizuotas“ reiškia vienetą, t.y. bazinių vektorių ilgiai lygūs vienetui.

Pavadinimas: paprastai rašomas pagrindas skliausteliuose, kurio viduje V griežta seka pateikiami baziniai vektoriai, pvz.: . Koordinačių vektoriai tai draudžiama pertvarkyti.

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis būdas išreikštas kaip:
, kur - skaičių kurie vadinami vektoriaus koordinates V šiuo pagrindu. Ir pati išraiška paskambino vektoriaus skaidymaspagal pagrindą .

Patiekiama vakarienė:

Pradėkime nuo pirmosios abėcėlės raidės: . Brėžinyje aiškiai matyti, kad skaidant vektorių į pagrindą, naudojami ką tik aptarti:
1) vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklė: ir ;
2) vektorių sudėjimas pagal trikampio taisyklę: .

Dabar mintyse nubraižykite vektorių iš bet kurio kito plokštumos taško. Visiškai akivaizdu, kad jo irimas „negailestingai seks jį“. Štai vektoriaus laisvė – vektorius „viską neša su savimi“. Ši savybė, žinoma, galioja bet kuriam vektoriui. Juokinga, kad patys baziniai (laisvieji) vektoriai neturi būti braižyti iš pradžios, pavyzdžiui, vieną galima nubraižyti apačioje kairėje, o kitą – viršuje dešinėje, ir niekas nepasikeis! Tiesa, to daryti nereikia, nes mokytojas taip pat parodys originalumą ir ištrauks jums „kreditą“ netikėtoje vietoje.

Vektoriai tiksliai iliustruoja vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę, vektorius yra kartu su baziniu vektoriumi, vektorius nukreiptas priešais bazinį vektorių. Šių vektorių viena iš koordinačių yra lygi nuliui, galite ją kruopščiai parašyti taip:


O baziniai vektoriai, beje, yra tokie: (iš tikrųjų jie išreiškiami per save).

Ir galiausiai: , . Beje, kas yra vektorinė atimtis, ir kodėl aš nekalbėjau apie atimties taisyklę? Kažkur viduje tiesinė algebra, nepamenu kur, pažymėjau, kad atimtis yra ypatingas atvejis papildymas. Taigi vektorių „de“ ir „e“ išplėtimai lengvai užrašomi kaip suma: , . Pertvarkykite terminus ir pamatykite brėžinyje, kaip gerai šiose situacijose veikia senas geras vektorių pridėjimas pagal trikampio taisyklę.

Svarstomas formos skaidymas kartais vadinamas vektoriniu skaidymu ort sistemoje(t.y. vienetų vektorių sistemoje). Tačiau tai nėra vienintelis būdas rašyti vektorių, įprasta:

Arba su lygybės ženklu:

Patys baziniai vektoriai užrašomi taip: ir

Tai yra, vektoriaus koordinatės nurodytos skliausteliuose. Praktiniuose uždaviniuose naudojami visi trys žymėjimo variantai.

Suabejojau, ar kalbėti, bet vis tiek pasakysiu: vektorių koordinačių negalima pertvarkyti. Griežtai pirmoje vietoje užsirašykite atitinkamą koordinates vieneto vektorius , griežtai antroje vietoje užrašome koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių. Iš tiesų, ir yra du skirtingi vektoriai.

Lėktuve išsiaiškinome koordinates. Dabar pažiūrėkime į vektorius trimatėje erdvėje, čia beveik viskas tas pats! Tai tik pridės dar vieną koordinatę. Sunku daryti trimačius brėžinius, todėl apsiribosiu vienu vektoriumi, kurį paprastumo dėlei išskirsiu nuo kilmės:

Bet koks vektorius trimatė erdvė Gali vienintelis būdas išplėsti ortonormaliu pagrindu:
, kur yra šio pagrindo vektoriaus (skaičiaus) koordinatės.

Pavyzdys iš paveikslėlio: . Pažiūrėkime, kaip čia veikia vektoriaus taisyklės. Pirmiausia padauginkite vektorių iš skaičiaus: (raudona rodyklė), (žalia rodyklė) ir (avietinė rodyklė). Antra, čia yra kelių, šiuo atveju trijų, vektorių pridėjimo pavyzdys: . Sumos vektorius prasideda pradiniame išvykimo taške (vektoriaus pradžioje) ir baigiasi galutiniame atvykimo taške (vektoriaus pabaigoje).

Visi trimatės erdvės vektoriai, žinoma, taip pat yra laisvi, pabandykite mintyse atidėti vektorių nuo bet kurio kito taško, ir jūs suprasite, kad jo skilimas „liks su juo“.

Panašus į plokščią dėklą, be rašymo plačiai naudojamos versijos su skliausteliais: arba .

Jei išplėtimui trūksta vieno (arba dviejų) koordinačių vektoriai, tada į jų vietą dedami nuliai. Pavyzdžiai:
vektorius (skrupulingai ) – rašykime ;
vektorius (skrupulingai ) – rašykime ;
vektorius (skrupulingai ) – rašykime.

Baziniai vektoriai užrašomi taip:

Tai, ko gero, yra visos minimalios teorinės žinios, reikalingos analitinės geometrijos problemoms spręsti. Gali būti daug terminų ir apibrėžimų, todėl rekomenduoju manekenams dar kartą perskaityti ir suprasti šią informaciją vėl. Ir tai bus naudinga kiekvienam skaitytojui pagrindinė pamoka geresniam medžiagos įsisavinimui. Kolineariškumas, ortogonalumas, ortonormalus pagrindas, vektorių skaidymas – šios ir kitos sąvokos bus dažnai vartojamos ateityje. Norėčiau pastebėti, kad svetainės medžiagos nepakanka norint išlaikyti teorinį testą ar geometrijos koliokviumą, nes aš kruopščiai šifruoju visas teoremas (ir be įrodymų) - tai kenkia mokslinis stilius pristatymas, bet privalumas jūsų supratimui apie temą. Norėdami gauti išsamios teorinės informacijos, nusilenkite profesoriui Atanasyanui.

Ir pereiname prie praktinės dalies:

Paprasčiausi analitinės geometrijos uždaviniai.
Veiksmai su vektoriais koordinatėse

Labai patartina išmokti spręsti užduotis, kurios bus svarstomos visiškai automatiškai, ir formules įsiminti, net konkrečiai neprisimena, jie patys atsimins =) Tai labai svarbu, nes paprasčiausiai elementarių pavyzdžių kitos analitinės geometrijos problemos yra pagrįstos, ir tai bus nemalonu išleisti papildomo laiko už pėstininkų valgymą. Nereikia užsisegti viršutinių marškinių sagų, daug dalykų žinote iš mokyklos laikų.

Medžiagos pristatymas vyks lygiagrečiai – tiek plokštumai, tiek erdvei. Dėl to, kad visos formulės... pamatysite patys.

Kaip rasti vektorių iš dviejų taškų?

Jei du plokštumos taškai ir yra pateikti, tada vektorius turi šias koordinates:

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, vektorius turi šias koordinates:

tai yra nuo vektoriaus galo koordinačių reikia atimti atitinkamas koordinates vektoriaus pradžia.

Pratimas: Tiems patiems taškams užrašykite vektoriaus koordinačių radimo formules. Formulės pamokos pabaigoje.

Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?

Atsižvelgiant į du plokštumos taškus ir . Raskite vektorių koordinates

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Arba galima naudoti šį įrašą:

Estetai nuspręs taip:

Asmeniškai aš pripratau prie pirmosios įrašo versijos.

Atsakymas:

Pagal sąlygą nereikėjo konstruoti brėžinio (tai būdinga analitinės geometrijos uždaviniams), bet, norėdamas patikslinti kai kuriuos dalykus manekenams, nepatingėsiu:

Būtinai reikia suprasti skirtumas tarp taško koordinačių ir vektorių koordinačių:

Taško koordinatės– tai įprastos koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje. Uždėkite taškus koordinačių plokštuma Manau, kad visi tai gali daryti nuo 5-6 klasės. Kiekvienas taškas turi griežtą vietą plokštumoje ir jų niekur negalima perkelti.

Vektoriaus koordinatės– tai yra jo išplėtimas pagal pagrindą, šiuo atveju. Bet kuris vektorius yra laisvas, todėl esant reikalui galime jį nesunkiai atitolinti nuo kurio nors kito plokštumos taško. Įdomu tai, kad vektoriams visai nereikia kurti ašių ar stačiakampės koordinačių sistemos, reikia tik pagrindo, šiuo atveju ortonormalaus plokštumos pagrindo.

Taškų koordinačių ir vektorių koordinačių įrašai atrodo panašūs: , ir koordinačių reikšmė absoliučiai skirtinga, ir jūs turėtumėte gerai žinoti šį skirtumą. Šis skirtumas, žinoma, galioja ir erdvei.

Ponios ir ponai, prikimškime rankas:

2 pavyzdys

a) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
b) Skiriami taškai Ir . Raskite vektorius ir .
c) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
d) Skiriami taškai. Raskite vektorius .

Galbūt to užtenka. Tai yra pavyzdžiai savarankiškas sprendimas, pasistenk jų neapleisti, tai atsipirks ;-). Nereikia daryti brėžinių. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Kas svarbu sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius? Svarbu būti YPAČ ATSARGIAI, kad nepadarytumėte meistriškos klaidos „du plius du lygu nuliui“. Iš karto atsiprašau, jei suklydau =)

Kaip sužinoti atkarpos ilgį?

Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.

Jei du plokštumos taškai pateikti ir , tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti naudojant formulę

Pastaba: Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pakeistos: ir , tačiau pirmoji parinktis yra labiau standartinė

3 pavyzdys

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Aiškumo dėlei padarysiu piešinį

Segmentas – tai ne vektorius, ir, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei piešiate pagal mastelį: 1 vnt. = 1 cm (dvi bloknoto langeliai), tada gautą atsakymą galima patikrinti įprasta liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.

Taip, sprendimas trumpas, bet jame yra dar pora svarbius punktus kad norėčiau patikslinti:

Pirma, atsakyme pateikiame matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl matematiškai teisingas sprendimas būtų bendra formuluotė: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetai“.

Antra, pakartokime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik atliekant nagrinėjamą užduotį:

Atkreipkite dėmesį svarbi technika – išimant daugiklį iš po šaknies. Skaičiuodami turime rezultatą, o geras matematinis stilius apima veiksnio pašalinimą iš šaknies (jei įmanoma). Išsamiau procesas atrodo taip: . Žinoma, palikti atsakymą tokį, koks yra, nebūtų klaida – bet tai tikrai būtų trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo klegesio.

Štai kiti dažni atvejai:

Dažnai užtenka prie šaknies didelis skaičius, Pavyzdžiui. Ką daryti tokiais atvejais? Skaičiuoklės pagalba patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4: . Taip, jis buvo visiškai padalintas taip: . O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Taigi: . Prie numerio paskutinis skaitmuo nelyginis, todėl trečią kartą dalyti iš 4, aišku, nepavyks. Pabandykime padalinti iš devynių: . Kaip rezultatas:
Paruošta.

Išvada: jei po šaknimis gauname skaičių, kurio negalima išgauti kaip visumos, tada bandome pašalinti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu patikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ir ​​kt.

Sprendimo metu įvairios užduotysšaknys yra dažnos, visada stenkitės ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte žemesnio pažymio ir nereikalingų problemų baigiant sprendimus pagal mokytojo pastabas.

Taip pat pakartokime šaknų kvadratą ir kitas galias:

Veiksmų su laipsniais taisyklės bendras vaizdas galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau iš pateiktų pavyzdžių viskas ar beveik viskas jau aišku.

Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:

4 pavyzdys

Taškai ir skiriami. Raskite atkarpos ilgį.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?

Jei duotas plokštumos vektorius, tada jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę.

Jei duotas erdvės vektorius, tada jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę .

Vektorių suma. Vektoriaus ilgis. Mieli draugai, kaip dalis nugaros egzaminų tipų, yra problemų, susijusių su vektoriais, grupė. Užduotys gana plačios (svarbu žinoti teoriniai pagrindai). Dauguma sprendžiami žodžiu. Klausimai yra susiję su vektoriaus ilgio, vektorių sumos (skirtumo) ir skaliarinės sandaugos nustatymu. Taip pat yra daug užduočių, kuriose reikia atlikti veiksmus su vektorinėmis koordinatėmis.

Teorija, susijusi su vektorių tema, nėra sudėtinga ir turi būti gerai suprantama. Šiame straipsnyje analizuosime problemas, susijusias su vektoriaus ilgio, taip pat vektorių sumos (skirtumo) nustatymu. Kai kurie teoriniai punktai:

Vektorinė koncepcija

Vektorius yra nukreipta atkarpa.

Visi vienodos krypties ir vienodo ilgio vektoriai yra lygūs.

* Visi keturi aukščiau pateikti vektoriai yra lygūs!

Tai yra, jei naudosime lygiagretus perdavimas perkelti mums duotą vektorių, visada gausime vektorių, lygų pradiniam. Taigi vienodų vektorių gali būti be galo daug.

Vektorinis žymėjimas

Vektorius gali būti žymimas lotyniškai didžiosiomis raidėmis, Pavyzdžiui:

Naudojant šią žymėjimo formą, pirmiausia rašoma raidė, žyminti vektoriaus pradžią, tada raidė, žyminti vektoriaus pabaigą.

Kitas vektorius žymimas viena raide Lotynų abėcėlė(kapitalas):

Taip pat galimas žymėjimas be rodyklių:

Dviejų vektorių AB ir BC suma bus vektorius AC.

Jis parašytas kaip AB + BC = AC.

Ši taisyklė vadinama - trikampio taisyklė.

Tai yra, jei turime du vektorius – pavadinkime juos sąlygiškai (1) ir (2), o vektoriaus (1) pabaiga sutampa su vektoriaus (2) pradžia, tai šių vektorių suma bus vektorius, kurio pradžia sutampa su vektoriaus (1) pradžia, o pabaiga sutampa su vektoriaus (2) pabaiga.

Išvada: jei plokštumoje turime du vektorius, visada galime rasti jų sumą. Naudodami lygiagretųjį vertimą galite perkelti bet kurį iš šių vektorių ir sujungti jo pradžią su kito pabaiga. Pavyzdžiui:

Perkelkime vektorių b, arba, kitaip tariant, sukurkime lygų:

Kaip randama kelių vektorių suma? Tuo pačiu principu:

* * *

Lygiagretaus taisyklė

Ši taisyklė yra aukščiau išdėstytų dalykų pasekmė.

Vektoriams su bendra pradžia jų suma pavaizduota ant šių vektorių sukonstruoto lygiagretainio įstriža.

Sukurkime vektorių lygus vektoriui b kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus pabaiga a, ir mes galime sukurti vektorių, kuris bus jų suma:

Dar šiek tiek svarbi informacija būtinas problemoms spręsti.

Taip pat žymimas vektorius, kurio ilgis lygus pradiniam, bet nukreiptas priešingai, bet turi priešingą ženklą:

Ši informacija yra labai naudinga sprendžiant problemas, susijusias su vektorių skirtumo nustatymu. Kaip matote, vektoriaus skirtumas yra ta pati suma modifikuota forma.

Leiskite pateikti du vektorius, raskite jų skirtumą:

Sukūrėme vektorių, priešingą vektoriui b, ir nustatėme skirtumą.

Vektorinės koordinatės

Norėdami rasti vektoriaus koordinates, iš pabaigos koordinačių turite atimti atitinkamas pradžios koordinates:

Tai reiškia, kad vektoriaus koordinatės yra skaičių pora.

Jeigu

Ir vektorių koordinatės atrodo taip:

Tada c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Jeigu

Tada c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Vektorinis modulis

Vektoriaus modulis yra jo ilgis, nustatomas pagal formulę:

Formulė vektoriaus ilgiui nustatyti, jei žinomos jo pradžios ir pabaigos koordinatės:

Apsvarstykime užduotis:

Dvi stačiakampio ABCD kraštinės lygios 6 ir 8. Įstrižainės susikerta taške O. Raskite vektorių AO ir BO skirtumo ilgį.

Raskime vektorių, kuris bus AO-VO rezultatas:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Tai yra skirtumas tarp vektorių AO ir VO bus vektorius AB. Ir jo ilgis yra aštuoni.

Rombo įstrižainės ABCD yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus AB + AD ilgį.

Raskime vektorių, kuris bus vektorių AD ir AB BC suma lygi vektoriui AD. Taigi AB +AD =AB +BC =AC

Rombo ABCD įstrižainės susikerta taške O ir yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus AO + BO ilgį.

Raskime vektorių, kuris bus vektorių AO ir VO suma VO lygi vektoriui OD, o tai reiškia

Pagal Pitagoro teoremą:

Rombo ABCD įstrižainės susikerta taške O ir lygios 12 ir 16. Raskite vektoriaus AO – BO ilgį.

Raskime vektorių, kuris bus AO–VO rezultatas:

Pagal Pitagoro teoremą:

Šonai teisingi trikampis ABC yra lygūs 3.

Raskite vektoriaus AB –AC ilgį.

Raskime vektoriaus skirtumo rezultatą:

27663. Raskite vektoriaus a (6;8) ilg.

27664. Raskite vektoriaus AB ilgio kvadratą.

Vektoriai. Veiksmai su vektoriais. Šiame straipsnyje kalbėsime apie tai, kas yra vektorius, kaip rasti jo ilgį ir kaip padauginti vektorių iš skaičiaus, taip pat kaip rasti dviejų vektorių sumą, skirtumą ir skaliarinę sandaugą.

Kaip įprasta, šiek tiek reikalingiausios teorijos.

Vektorius yra nukreiptas segmentas, ty segmentas, turintis pradžią ir pabaigą:

Čia taškas A yra vektoriaus pradžia, o taškas B yra jo pabaiga.

Vektorius turi du parametrus: jo ilgį ir kryptį.

Vektoriaus ilgis yra atkarpos, jungiančios vektoriaus pradžią ir pabaigą, ilgis. Vektoriaus ilgis žymimas

Sakoma, kad du vektoriai yra lygūs, jei jie yra vienodo ilgio ir yra sulygiuoti.

Du vektoriai vadinami bendrai režisavo, jei jie yra lygiagrečiose tiesėse ir yra nukreipti ta pačia kryptimi: vektoriai ir bendrakrypčiai:

Du vektoriai vadinami priešingos krypties, jei jie yra lygiagrečiose tiesėse ir yra nukreipti priešingomis kryptimis: vektoriai ir , taip pat ir yra nukreipti priešingomis kryptimis:

Vektoriai, esantys lygiagrečiose tiesėse, vadinami kolineariniais: vektoriais ir yra kolineariniai.

Vektoriaus sandauga skaičius vadinamas vektoriumi, nukreiptu į vektorių, jei title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

Į pridėkite du vektorius ir reikia sujungti vektoriaus pradžią su vektoriaus pabaiga. Sumos vektorius jungia vektoriaus pradžią su vektoriaus pabaiga:

Ši vektoriaus sudėjimo taisyklė vadinama trikampio taisyklė.

Norėdami pridėti du vektorius pagal lygiagretainio taisyklė, reikia atidėti vektorius iš vieno taško ir sudaryti juos iki lygiagretainio. Sumos vektorius jungia vektorių pradžios tašką su priešingas kampas lygiagretainis:

Dviejų vektorių skirtumas nustatomas per sumą: vektorių skirtumą ir vadinamas tokiu vektoriumi, kuris sumoje su vektoriumi duos vektorių:

Iš to išplaukia Taisyklė dviejų vektorių skirtumui rasti: norėdami atimti vektorių iš vektoriaus, turite pavaizduoti šiuos vektorius iš vieno taško. Skirtumo vektorius sujungia vektoriaus galą su vektoriaus pabaiga (tai yra, poskyrio pabaigą su minuendo pabaiga):

Norėdami rasti kampas tarp vektoriaus ir vektoriaus, šiuos vektorius reikia nubraižyti iš vieno taško. Kampas, kurį sudaro spinduliai, ant kurių yra vektoriai, vadinamas kampu tarp vektorių:

Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius lygus produktuišių vektorių ilgiai kampo tarp jų kosinusu:

Siūlau spręsti problemas iš Atidarykite banką užduotys , o tada patikrinkite savo sprendimą naudodami VAIZDO VAIZDO PAMOKA:

1. 4 užduotis (Nr. 27709)

Dvi stačiakampio kraštinės ABCD yra lygūs 6 ir 8. Raskite skirtumo tarp vektorių ir ilgį.

2. 4 užduotis (Nr. 27710)

Dvi stačiakampio kraštinės ABCD yra lygūs 6 ir 8. Raskite vektorių ir skaliarinę sandaugą. (piešinys iš ankstesnės užduoties).

3. 4 užduotis (Nr. 27711)

Dvi stačiakampio kraštinės ABCD O. Raskite vektorių sumos ilgį ir .

4. 4 užduotis (Nr. 27712)

Dvi stačiakampio kraštinės ABCD yra lygūs 6 ir 8. Įstrižainės susikerta taške O. Raskite skirtumo tarp vektorių ir ilgį. (piešinys iš ankstesnės užduoties).

5. 4 užduotis (Nr. 27713)

Rombo įstrižainės ABCD yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus ilgį.

6. 4 užduotis (Nr. 27714)

Rombo įstrižainės ABCD yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus + ilgį.

7.4 užduotis (Nr. 27715)

Rombo įstrižainės ABCD yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus ilgį - .(brėžinys iš ankstesnio uždavinio).

8.4 užduotis (Nr. 27716)

Rombo įstrižainės ABCD yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus ilgį - .

9 . 4 užduotis (Nr. 27717)

Rombo įstrižainės ABCD susikerta taške O ir yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus + ilgį.

10. 4 užduotis (Nr. 27718)

Rombo įstrižainės ABCD susikerta taške O ir yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektoriaus ilgį - .(brėžinys iš ankstesnio uždavinio).

11.4 užduotis (Nr. 27719)

Rombo įstrižainės ABCD susikerta taške O ir yra lygūs 12 ir 16. Raskite vektorių ir skaliarinę sandaugą (brėžinys iš ankstesnio uždavinio).

12. 4 užduotis (Nr. 27720)

ABC yra lygūs Raskite vektoriaus ilgį +.

13. 4 užduotis (Nr. 27721)

Taisyklingo trikampio kraštinės ABC yra lygūs 3. Raskite vektoriaus ilgį (brėžinys iš ankstesnio uždavinio).

14. 4 užduotis (Nr. 27722)

Taisyklingo trikampio kraštinės ABC yra lygūs 3. Raskite vektorių ir skaliarinę sandaugą. (piešinys iš ankstesnės užduoties).

Jūsų naršyklė tikriausiai nepalaikoma. Norėdami naudotis treniruokliu " Vieninga valstybinių egzaminų valanda“, pabandykite atsisiųsti
Firefox

Pradinis lygis

Koordinatės ir vektoriai. Išsamus vadovas (2019)

Šiame straipsnyje mes pradėsime aptarti vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos problemų iki paprastos aritmetikos. Ši „lazda“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač kai nesate tikras dėl erdvinių figūrų, pjūvių ir tt konstravimo. Visa tai reikalauja tam tikros vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis jums beveik visiškai abstrahuotis nuo bet kokios rūšies geometrinės konstrukcijos ir samprotavimus. Metodas vadinamas "koordinačių metodas". Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus konstravimas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų).
5. Atkarpos vidurio koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jūs jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Teisingai, jis gavo tokį pavadinimą, nes veikia ne su geometriniais objektais, o su jais skaitinės charakteristikos(koordinatės). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, susideda iš koordinačių sistemos įvedimo. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. Ir pagrindinis straipsnio tikslas yra išmokyti jus naudoti kai kuriuos pagrindinės technikos koordinačių metodas (kartais jie praverčia sprendžiant planimetrijos uždavinius Vieningo valstybinio egzamino B dalyje). Kiti du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai iš koordinačių sistemos sampratos. Prisiminkite, kai pirmą kartą su ja susidūrėte. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojai apie egzistavimą tiesinė funkcija, Pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeitėte jį į formulę ir apskaičiavote taip. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką galiausiai gavote? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Tada nupiešėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite vienas segmentas) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos sujungėte tiese, gauta linija yra funkcijos grafikas.

Čia yra keletas punktų, kurie turėtų būti jums paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų brėžinyje.

2. Priimta, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Tai nurodoma laiške.

4. Rašant taško koordinates, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje – išilgai ašies. Visų pirma, tai tiesiog reiškia, kad taške

5. Norėdami nustatyti bet kurį tašką koordinačių ašis, turite nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

7. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

8. Ašis vadinama x ašimi

9. Ašis vadinama y ašimi

Dabar imkime kitą žingsnį: pažymėkite du taškus. Sujungkime šiuos du taškus atkarpa. Ir mes įdėsime rodyklę taip, lyg brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo segmentą nukreiptą!

Prisiminkite, kaip vadinamas kitas kryptinis segmentas? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, ir pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią statybą 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektorių koordinatėmis. Klausimas: Ar manote, kad mums pakanka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai daroma labai paprastai:

Taigi, kadangi vektoriuje taškas yra pradžia, o taškas yra pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kuo skiriasi vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas – ženklai koordinatėse. Jie yra priešingybės. Šis faktas paprastai rašomas taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis, o viena mažąja raide, pvz.: , ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika save ir suraskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite šiek tiek sunkesnę problemą:

Vektorius su pradžia taške turi co-or-di-na-you. Raskite abs-cis-su taškus.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą pagal apibrėžimą, kas yra vektorių koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas taip pat kaip ir su įprasti skaičiai(išskyrus tai, kad jūs negalite dalyti, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima pridėti vienas prie kito
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas iš kito

Visos šios operacijos turi labai aiškią geometrinis vaizdas. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius išsitempia, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba dalinamas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas atsitiks su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Raskite co-or-di-nat amžiaus-to-ra kiekį.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Jie abu turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuokime vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma yra lygi.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

· Raskite vektorių koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Atstumą tarp jų pažymėkime. Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Visų pirma, aš prisijungiau taškai ir,a taip pat iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią tiesę, o iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią tiesę. Ar jie susikirto taške, sudarydami nuostabią figūrą? Kuo ji tokia ypatinga? Taip, jūs ir aš žinome beveik viską stačiakampis trikampis. Na, Pitagoro teorema tikrai. Reikalingas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius lengva rasti: jei atkarpų ilgius pažymėsime atitinkamai, tada

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgį, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra kvadratinių skirtumų nuo koordinačių sumos šaknis. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis.

Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš čia darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra lygus

Arba eikime kitu keliu: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tai tas pats!

Dabar šiek tiek pasitreniruokite patys:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar kelios problemos naudojant tą pačią formulę, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Raskite akies voko ilgio kvadratą.

2. Raskite akies voko ilgio kvadratą

1. Ir tai dėmesingumui) Mes jau anksčiau radome vektorių koordinates: . Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus lygus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šios problemos negali būti vienareikšmiškai klasifikuojamos bendra erudicija ir gebėjimas piešti paprastus paveikslus.

1. Raskite kampo sinusą nuo pjūvio, jungiančio tašką su abscisių ašimi.

Ir

Kaip mes čia toliau? Turime rasti kampo tarp ir ašies sinusą. Kur galime ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško koordinatės yra ir, tada atkarpa yra lygi, ir atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite man priminti, kad sinusas yra santykis priešinga kojaį hipotenuzę, tada

Kas mums belieka? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: naudodami Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) arba naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tai tas pats, kas ir pirmasis metodas!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji yra taško koordinatėse.

2 užduotis. Nuo taško per-pen-di-ku-lyar nuleidžiamas ant ab-ciss ašies. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta x ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates: . Mus domina abscisė - tai yra „x“ komponentas. Ji lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Ankstesnio uždavinio sąlygomis raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Žinai? Tikiuosi, bet vis tiek priminsiu:

Taigi, ar aš jau nubrėžiau vieną tokį statmeną aukščiau esančiame piešinyje? Ant kurios ašies jis yra? Į ašį. Ir koks tada jo ilgis? Ji lygi. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 užduoties sąlygomis raskite taško ordinates, simetriškas taškas abscisių ašies atžvilgiu.

Manau, kad jums intuityviai aišku, kas yra simetrija? Jį turi daugelis objektų: daug pastatų, stalų, lėktuvų, daug geometrines figūras: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir kt. Grubiai tariant, simetrija gali būti suprantama taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodų pusių. Ši simetrija vadinama ašine simetrija. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, pagal kurią, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į lygias puses (šioje nuotraukoje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie savo užduoties. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Tai reiškia, kad turime pažymėti tašką taip, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar jums tai pavyko taip pat? gerai! Mus domina rasto taško ordinatė. Tai lygu

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, keletą sekundžių pagalvojus, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A ordinatės atžvilgiu? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas:.

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui abscisių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui ordinačių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Na, dabar visiškai baisu užduotis: suraskite taško koordinates, simetriškas taškui, atsižvelgiant į pradinę padėtį. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 užduotis: pasirodo taškai ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Raskite arba-di-tą tašką.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia naudosiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite tai išspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė yra lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki abscisių ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, tai reiškia. Raskime atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Sankirtos tašką pažymėsiu raide.

Atkarpos ilgis lygus. (pats suraskite problemą ten, kur aptarėme šį punktą), tada atkarpos ilgį rasime naudodami Pitagoro teoremą:

Atkarpos ilgis tiksliai sutampa su jo ordinatėmis.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Elgesys

2. Raskite taško ir ilgio koordinates

3. Įrodykite tai.

Dar vienas segmento ilgio problema:

Taškai atsiranda trikampių viršuje. Raskite jo vidurio linijos, lygiagrečios, ilgį.

Ar prisimeni, kas tai yra vidurio linija trikampis? Tada ši užduotis jums elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti vidurio taškus priešingos pusės. Jis lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurinės linijos ilgis yra perpus didesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, į kurį kreipsimės šiek tiek vėliau.

Tuo tarpu čia yra keletas problemų, praktikuokite jas, jos labai paprastos, bet padeda geriau naudotis koordinačių metodu!

1. Taškai atsiranda tra-pijų viršuje. Raskite jo vidurio linijos ilgį.

2. Taškai ir pasirodymai ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Raskite arba-di-tą tašką.

3. Raskite ilgį nuo pjūvio, sujungdami tašką ir

4. Koordinačių plokštumoje raskite plotą už spalvotos figūros.

5. Per tašką eina apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat. Surask jos radiją.

6. Rasti-di-te ra-di-us apskritimo, apibūdinti-san-noy apie stačiakampį-ne-ka, ko nors viršūnės turi co-ar -di-na-tu esi toks-atsakingas - bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio linija lygi pusei jos bazių sumos. Pagrindas yra lygus, o pagrindas. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra tai pažymėti (lygiagretainės taisyklės). Apskaičiuoti vektorių koordinates nesunku: . Pridedant vektorius, pridedamos koordinatės. Tada turi koordinates. Taškas taip pat turi šias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Ji lygi.

Atsakymas:

3. Iš karto veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių dviejų figūrų yra užtemdyta sritis? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada norimos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis lygus

Tada didelės aikštės plotas yra

Norimos figūros plotą randame pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra pradžios taškas ir jis eina per tašką, tada jo spindulys bus tiksliai lygus atkarpos ilgiui (padarykite brėžinį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskime šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Yra žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys yra lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar susitvarkei su viskuo? Nebuvo labai sunku tai suprasti, ar ne? Čia galioja tik viena taisyklė - sugebėti padaryti vaizdinį paveikslėlį ir tiesiog „perskaityti“ iš jo visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegul du taškai ir yra duoti. Raskite atkarpos vidurio taško koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurys, tada jis turi koordinates:

Tai yra: atkarpos vidurio koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokiose problemose ir kaip jis naudojamas:

1. Surask-di-te arba-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point ir

2. Atrodo, kad taškai yra pasaulio viršūnės. Rasti-di-te arba-di-na-tu taškų per-re-se-che-niya jo dia-go-na-ley.

3. Suraskite-di-te abs-cis-su apskritimo centrą, apibūdinkite-san-noy apie stačiakampį-no-ka, kažko viršūnės turi co-or-di-na-you taip-atsakingai-bet.

Sprendimai:

1. Pirmoji problema yra tiesiog klasika. Mes nedelsdami nustatome segmento vidurį. Turi koordinates. Ordinata yra lygi.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad šis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiavę kraštinių ilgius ir palyginę juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainius? Jo įstrižainės dalijamos per pusę pagal susikirtimo tašką! Taip! Taigi, koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates Taško ordinatė yra lygi.

Atsakymas:

3. Su kuo sutampa apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs ir susikirtimo taškas padalija juos per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkime, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apskritimo centras, tai yra vidurio taškas. Ieškau koordinačių: abscisė lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, tiesiog pateiksiu atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte išbandyti save.

1. Rasti-di-te ra-di-us apskritimo, apibūdinti-san-noy apie trikampį-no-ka, kažko viršūnės turi co-or-di -on-you

2. Surask-di-te arba-di-ant tą apskritimo centrą, apibūdink-san-noy apie trikampį-no-ka, kurio viršūnės turi koordinates

3. Koks ra-di-u-sa turi būti apskritimas, kurio centras taške liestų ab-ciss ašį?

4. Suraskite-di-tai arba-di-tame taške, kuriame ašis vėl susijungė ir iškirpkite, sujunkite tašką ir

Atsakymai:

Ar viskas pavyko? Labai tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Dabar būkite ypač atsargūs. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra tiesiogiai susijusi ne tik su paprastos užduotysį koordinačių metodą iš B dalies, bet taip pat yra visur C2 uždavinyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisiminkite, kokias vektorių operacijas žadėjau įvesti ir kurias galiausiai įvedžiau? Ar esi tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorinis dauginimas.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingos prigimties objektus:

Kryžminis gaminys padarytas gana sumaniai. Kaip tai padaryti ir kodėl to reikia, aptarsime kitame straipsnyje. O šioje mes sutelksime dėmesį į skaliarinį sandaugą.

Yra du būdai, kurie leidžia mums jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį metodą:

Taškas produktas per koordinates

Raskite: - visuotinai priimtą skaliarinės sandaugos žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, skaliarinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Surask-di-te

Sprendimas:

Raskime kiekvieno vektoriaus koordinates:

Skaliarinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Žiūrėkite, visiškai nieko sudėtingo!

Na, o dabar pabandykite patys:

· Raskite šimtmečių skaliarinį pro-iz-ve-de-nie ir

Ar susitvarkei? Galbūt pastebėjote mažą laimikį? Patikrinkime:

Vektorinės koordinatės, kaip ir ankstesniame uždavinyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra ir kitas būdas apskaičiuoti skaliarinę sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Žymi kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, skaliarinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje bent jau nėra kosinusų. Ir tai reikalinga tam, kad iš pirmos ir antros formulių jūs ir aš galėtume nuspręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminkite vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei pakeisiu šiuos duomenis į skaliarinės produkto formulę, gaunu:

Bet iš kitos pusės:

Taigi ką jūs ir aš gavome? Dabar turime formulę, leidžiančią apskaičiuoti kampą tarp dviejų vektorių! Kartais dėl trumpumo taip pat parašyta:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą per koordinates
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 taško rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Raskite kampą tarp vokų ir. Pateikite atsakymą grad-du-sah.

2. Ankstesnio uždavinio sąlygomis raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrąją pabandykite padaryti patys! Sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni draugai. Mes jau apskaičiavome jų skaliarinį sandaugą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra: , . Tada randame jų ilgius:

Tada ieškome kosinuso tarp vektorių:

Koks yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginkite! Pateiksiu tik labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Reikėtų pažymėti, kad problemos, susijusios su vektoriais ir koordinačių metodu B dalyje egzamino darbas gana retai. Tačiau didžiąją dalį C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pamatu, kurio pagrindu sukursime gana protingas konstrukcijas, kurias turėsime išspręsti sudėtingos užduotys.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIS LYGIS

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme seriją svarbias formules, kurie leidžia:

1. Raskite vektorių koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite ir atimkite vektorius. Padauginkite juos iš realus skaičius
4. Raskite atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Juo grindžiamas toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminą. Mes išsprendėme B dalies užduotis. Dabar laikas pereiti prie aukštos kokybės naujas lygis! Šis straipsnis bus skirtas tų C2 uždavinių, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį pagrįstumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų tiesių
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki linijos
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų eilučių

Jei uždavinio teiginyje pateikta figūra yra besisukantis kūnas (rutulys, cilindras, kūgis...)

Tinkami skaičiai koordinačių metodui yra:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš savo patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Skerspjūvio plotų radimas
2. Kūnų tūrių skaičiavimas

Tačiau iš karto reikia pažymėti, kad trys „nepalankios“ situacijos koordinačių metodui praktikoje yra gana retos. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatės konstrukcijos(kuri kartais gali būti gana sudėtinga).

Kokie yra visi skaičiai, kuriuos išvardijau aukščiau? Jie nebėra plokšti, kaip, pavyzdžiui, kvadratas, trikampis, apskritimas, o tūriniai! Atitinkamai, turime svarstyti ne dvimačius, o trimatė sistema koordinates Jį sukonstruoti gana paprasta: tik be abscisių ir ordinačių ašių pristatysime dar vieną ašį – taikomąją ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos ir susikerta viename taške, kurį vadinsime koordinačių pradžia. Kaip ir anksčiau, žymėsime abscisių ašį, ordinačių ašį - ir įvestą taikomąją ašį - .

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdintas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate ir aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygi, ordinatės yra Ir taikyti yra .

Kartais taško abscisė taip pat vadinama taško projekcija į abscisių ašį, ordinate - taško projekcija į ordinačių ašį, o aplikacija - taško projekcija į taikomąją ašį. Atitinkamai, jei duotas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra teisingi ir turi tą pačią išvaizdą. Dėl mažos detalės. Manau, jūs jau atspėjote, kuris iš jų yra. Visose formulėse turėsime pridėti dar vieną terminą, atsakingą už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duoti du taškai: , tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurio taškas turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų skaliarinė sandauga yra lygi:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra lygus:

Tačiau erdvė nėra taip paprasta. Kaip suprantate, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras įveda didelę įvairovę. O tolimesniam pasakojimui reikės įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ bus lėktuvas. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“, įstumtas į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas yra lygus begalybei. Tačiau šis „praktiškas“ paaiškinimas neduoda nė menkiausio supratimo apie lėktuvo struktūrą. Ir būtent ji mumis susidomės.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus ir tik vieną:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, jūs prisimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų išvesti tiesės lygtį: jei pirmasis taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs mokėjote tai 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: duokime du taškus su koordinatėmis: , tada tiesės, einančios per juos, lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesėje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Mums nelabai bus įdomi tiesės lygtis, bet reikia atkreipti dėmesį į pačią svarbi koncepcija nukreipianti vektoriaus tiesią liniją. - bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti būti tašku, esančiu ant linijos, ir tegul būti jo krypties vektoriumi. Tada tiesės lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą aš nelabai domiuosi tiesės lygtimi, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Atsitraukti plokštumos lygtis, pagrįsta trimis taškais nebėra toks trivialus, ir dažniausiai šis klausimas kurse nesprendžiamas vidurinę mokyklą. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai pasitelkiame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau manau, kad trokštate išmokti ko nors naujo? Be to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau mokate naudotis technika, kuri paprastai mokoma analitinės geometrijos kurse. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent, ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis labai nesiskiria nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau pamenate, dėl ko jūs ir aš ginčijosi? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, tai iš jų galima vienareikšmiškai atkurti plokštumos lygtį. Bet kaip? Pabandysiu tau tai paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi, reikia išspręsti tris lygtis su tiek pat nežinomųjų! Dilema! Tačiau visada galite manyti, kad (norėdami tai padaryti, turite padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes tokios sistemos neišspręsime, o išrašysime iš jos išplaukiančią paslaptingą išraišką:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\[\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masyvas)) \right| = 0\]

Sustok! Kas tai yra? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, labai dažnai susidursite su tais pačiais determinantais. Kas yra trečiosios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečiosios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia duotas numeris stovi antros eilės ir trečios stulpelio sankirtoje. Uždėkime kitas klausimas: Kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai yra, su kokiu konkrečiu skaičiumi lyginsime? Trečiosios eilės determinantui yra euristinio (vaizdinio) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmenai“ pagrindinei įstrižai, elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ sandauga pagrindinė įstrižainė
2. Antrinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio dešiniojo kampo į apatinį kairįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmenai“ antrinei įstrižai, elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ sandauga. antrinė įstrižainė
3. Tada determinantas lygus skirtumui vertės, gautos žingsnyje ir

Jei visa tai užrašysime skaičiais, gautume tokią išraišką:

Tačiau jums nereikia atsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, pakanka tik turėti galvoje trikampius ir pačią idėją, kas iš ko susideda ir kas iš ko atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąlygos su pliusu:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra lygi

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra lygi

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra lygi

Sudėkite tris skaičius:

Sąlygos su minusu

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga lygi

Pirmasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga lygi

Antrasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga lygi

Sudėkite tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai atimti „pliuso“ terminų sumą iš „minuso“ terminų sumos:

Taigi,

Kaip matote, skaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ar antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite tai apskaičiuoti patys:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Terminų suma su pliusu:
4. Pirmasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Terminų su pliusu suma atėmus terminų su minusu sumą:

Štai dar pora determinantų, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daug programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip toliau, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka neužtruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau kalbėdamas apie plokštumos, kertančios tris, lygtį. duotus taškus:

Viskas, ko jums reikia, yra tiesiogiai apskaičiuoti jo vertę (naudojant trikampio metodą) ir nustatyti rezultatą į nulį. Žinoma, kadangi tai yra kintamieji, gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje!

Iliustruojame tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinkime:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai naudodami trikampio taisyklę:

\[(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masyvas)) \ dešinė|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis yra tokia:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Sukurkime determinantą:

Ir apskaičiuokite jo vertę:

Tada plokštumos lygtis yra tokia:

Arba sumažinus, gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei kyla tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite tris taškus iš galvos (su didele dalimi didelė tikimybė, kad jie gulės ne toje pačioje tiesėje), pagal juos pastatysite plokštumą. Ir tada jūs patikrinate save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Prisiminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorinis produktas, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus plotui lygiagretainis, sudarytas ant vektorių ir. Šis vektorius Mums jo reikės norint apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Kaip mes galime suskaičiuoti vektorinis produktas vektoriai ir, jei pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereinant prie vektorinės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Jie schematiškai parodyti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Esmė ta, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

Vektorinis meno kūrinys

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: Sudarau determinantą:

Ir aš paskaičiuoju:

Dabar, rašydamas bazinius vektorius, grįšiu prie įprasto vektorinio žymėjimo:

Taigi:

Dabar pabandykite.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du kontrolės užduotys:

1. Raskite šių vektorių vektorinę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių vektorinę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė konstrukcija, kurios man prireiks, yra trijų vektorių mišrus sandauga. Tai, kaip ir skaliaras, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Būtent, duokite mums tris vektorius:

Tada trijų vektorių, žymimų mišrią sandaugą, galima apskaičiuoti taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus skaliarinė sandauga ir dviejų kitų vektorių vektorinė sandauga

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti naudodami vektorinę sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl du nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visas reikalingas žinias, kad galėtume išspręsti sudėtingas stereometrines geometrijos problemas. Tačiau prieš pereinant tiesiai prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie šio klausimo: kaip tiksliai pasirinkti tam tikros figūros koordinačių sistemą. Juk tai pasirinkimas santykinė padėtis koordinačių sistemos ir formos erdvėje galiausiai nulems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Leiskite jums priminti, kad šiame skyriuje nagrinėjame šiuos skaičius:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampiui gretasieniui arba kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir gretasienis yra labai geros figūros. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra tokios:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau patartina atsiminti, kaip geriausiai išdėstyti kubą ar stačiakampį gretasienį.

Tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Jis gali būti išdėstytas erdvėje įvairiais būdais. Tačiau man priimtiniausias atrodo toks variantas:

Trikampė prizmė:

Tai reiškia, kad vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su koordinačių pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: dvi pagrindo puses sulygiuojame su koordinačių ašimis, o vieną iš viršūnių sulyginame su koordinačių pradžia. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Pagrindinis uždavinys vėl bus surasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau esame netoli nuo to, kad pradėtume spręsti problemas. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų yra suskirstytos į 2 kategorijas: kampo problemos ir atstumo problemos. Pirmiausia panagrinėsime kampo paieškos problemas. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (dėl jų sudėtingumo):

Problemos ieškant kampų

1. Kampo tarp dviejų tiesių nustatymas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Pažvelkime į šias problemas nuosekliai: pradėkime nuo kampo tarp dviejų tiesių. Na, atsiminkite, ar mes su jumis anksčiau nesprendėme panašių pavyzdžių? Ar pamenate, mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Leiskite jums priminti, jei pateikti du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar mūsų tikslas yra rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pažvelkime į „plokštą paveikslėlį“:

Kiek kampų gavome, kai susikerta dvi tiesės? Tik keli dalykai. Tiesa, tik dvi iš jų yra nelygios, o kitos yra joms vertikalios (taigi su jais sutampa). Taigi, kurį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai. Tai yra, iš dviejų kampų visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsnio matas. Tai yra, šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų tiesių yra lygus. Kad nereikėtų kiekvieną kartą vargti ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė naudoti modulį. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėjo kilti klausimas: iš kur tiksliai gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: mes juos paimsime iš linijų krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų tiesių nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuojame jų skaliarinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 punkto rezultatus padauginkite iš 5 punkto rezultatų
7. 3 taško rezultatą padalijame iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes jo ieškome
9. Kitu atveju rašome per lanko kosinusą

Na, o dabar metas pereiti prie problemų: detaliai pademonstruosiu pirmųjų dviejų sprendimą, kito – pateiksiu sprendimą trumpai tariant, o į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus, visus jų skaičiavimus turite atlikti patys.

Užduotys:

1. Dešinėje tet-ra-ed-re raskite kampą tarp tet-ra-ed-ra aukščio ir vidurinės pusės.

2. Dešiniajame šešių kampų pi-ra-mi-de šimtas os-no-va-niyų yra lygūs, o šoninės briaunos lygios, raskite kampą tarp linijų ir.

3. Dešiniosios keturių anglių pi-ra-mi-dy visų kraštinių ilgiai lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesių ir jei nuo pjūvio - esate su duotu pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-ant jo bo-co- antrojo šonkaulių

4. Kubo krašte yra taškas, kad Raskite kampą tarp tiesių ir

5. Taškas – kubo kraštuose Raskite kampą tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis išdėliojau tokia tvarka. Kol dar nespėjote pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui teks išmokti dirbti su visomis figūromis, didinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, visi jo veidai (įskaitant pagrindą) yra vienodi taisyklingieji trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu priimti jį kaip lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas iš tikrųjų nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras yra „ištemptas“? Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Tai reiškia, kad turime rasti taškų koordinates. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Ir taškas yra pakeltas taškas. Taškas yra segmento vidurys. Tada pagaliau reikia rasti: taškų koordinates: .

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslą: Aišku, kad taško aplikacija yra lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra lygi (nes ji yra mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė yra lygi, o viena iš jo kojų lygi Tada:

Pagaliau turime:.

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei tai prisimenate aukščių lygiakraštis trikampis sankirtos taškas yra padalintas proporcingai, skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi: , tada reikiama taško abscisė yra lygus ilgiui segmentas yra lygus: . Taigi taško koordinatės yra šios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija yra lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Jo ieškoma dėl priežasčių, kurias paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra segmento vidurys. Tada turime prisiminti atkarpos vidurio taško koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi,

Atsakymas:

Neturėtumėte išsigąsti tokių „baisių“ atsakymų: C2 problemų atveju tai yra įprasta praktika. Mane labiau nustebins „gražus“ atsakymas šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Nupieškime teisingą šešiakampė piramidė kartu su koordinačių sistema, taip pat jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis yra rasti taškų koordinates: . Paskutiniųjų trijų koordinates rasime naudodami nedidelį piešinį, o viršūnės koordinates – per taško koordinatę. Darbo yra daug, bet mes turime pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra lygios nuliui. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad dvigubai ilgesnis kojos ilgis suteiks taško abscisę). Kaip mes galime jo ieškoti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turime rasti vieną tokį kampą. Turite idėjų? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma lygi laipsniams. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą pažiūrėkime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas lygus laipsniams. Tada:

Tada iš kur.

Taigi, turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę: .

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jo abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji yra lygi. Surasti ordinates taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir tiesės susikirtimo tašką nurodysime, tarkime, . (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažvelkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar suraskime taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime taikymą. Nuo tada. Apsvarstykite statųjį trikampį. Pagal problemos sąlygas šoninis šonkaulis. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Na, tiek, turiu visų mane dominančių taškų koordinates. Ieškau tiesių krypties vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, nenaudojau jokių sudėtingų metodų, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso apibrėžimą.

3. Kadangi mums vėlgi nėra pateikti piramidės briaunų ilgiai, aš juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės pagrindu ir aš yra kvadratas, ir šoniniai veidai- taisyklingi trikampiai. Nubraižykime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, atkreipdami dėmesį į visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Labai trumpai paskaičiuosiu, kai ieškosiu taškų koordinačių. Turėsite juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Galiu jį rasti naudodamas Pitagoro teoremą trikampyje.

Koordinatės:

d) - segmento vidurys. Jo koordinatės yra

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas - paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad tai išsiaiškinsi pats. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų galvosūkių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sudėtingesni. Norėdami rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Naudodami tris taškus sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Naudodami du taškus ieškome tiesės krypties vektoriaus koordinačių:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų tiesių. Dešinėje pusėje struktūra tiesiog tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – plokštumos lygties paieška.

Neatidėliokime sprendimų pavyzdžiai:

1. Pagrindinė-bet-va-ni-em tiesioginė prizmė-mes lygūs-vargšų-ren-trikampio-slapyvardis tu-ir ta prizmė-mes lygūs. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

2. Stačiakampėje par-ral-le-le-pi-pe-de iš vakarų Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

3. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su žinomų briaunų os-no-va-ni-em Raskite kampą, ob-ra-zo-van -plokščias pagrindo ir tiesus, einantis per pilką. šonkauliai ir

5. Stačiojo keturkampio pi-ra-mi-dy su viršūne visų kraštinių ilgiai lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra pi-ra-mi-dy briaunos viduryje.

Vėlgi, pirmąsias dvi problemas išspręsiu išsamiai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jau teko susidurti su trikampiu ir keturkampės piramidės, bet su prizmėmis – dar ne.

Sprendimai:

1. Pavaizduokime prizmę, taip pat jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus problemos teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet problemos sprendimui tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tiesiog mano prizmės „galinė siena“. Pakanka tiesiog atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai gali būti parodyta tiesiogiai:

Parinkime savavališkus tris šios plokštumos taškus: pavyzdžiui, .

Sukurkime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar pavyko? Tada plokštumos lygtis atrodo taip:

Arba tiesiog

Taigi,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutampa su koordinačių pradžia, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime aukštį (taip pat žinomą kaip mediana ir pusiausvyra) iš viršūnės. Kadangi taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra „pakeltas“ taškas:

Tada vektoriaus koordinatės yra:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, procesą šiek tiek supaprastina tokios figūros, kaip prizmė, „tiesumas“. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubrėžkite gretasienį, nubrėžkite jame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžkite jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės gaunamos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti paveikslėlyje iš taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Mes ieškome kreipiamojo vektoriaus koordinačių: aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! . Tada ieškome norimo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net problematiška nubrėžti plokštumą, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, tačiau koordinačių metodas nerūpi! Jo universalumas yra pagrindinis privalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus: . Ieškome jų koordinačių:

1) . Paskutinių dviejų taškų koordinates sužinokite patys. Tam jums reikės išspręsti šešiakampės piramidės problemą!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių: . (Dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškau kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Pateiksiu atsakymus tik į paskutines dvi problemas:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur yra vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti tam tikromis formulėmis. Dar turime apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Naudodami tris taškus ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Naudodami kitus tris taškus ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į dvi ankstesnes, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi jums nebus sunku tai prisiminti. Pereikime prie užduočių analizės:

1. Dešiniosios trikampės prizmės pagrindo kraštinė lygi, o šoninio paviršiaus įstrižainė lygi. Raskite kampą tarp plokštumos ir prizmės ašies plokštumos.

2. Dešiniajame keturių kampų pi-ra-mi-de, kurio visos briaunos lygios, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos kaulo sinusą, einantį per tašką per-pen-di-ku- melas-bet tiesus.

3. Įprastoje keturių kampų prizmėje pagrindo kraštinės yra lygios, o šoninės briaunos yra lygios. Yra taškas ant krašto nuo-me-che-on, kad. Raskite kampą tarp plokštumų ir

4. Stačiojoje keturkampėje prizmėje pagrindo kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Kraštinėje nuo taško yra taškas, kad Raskite kampą tarp plokštumų ir.

5. Kube raskite kampo tarp plokštumų ir ko-siusą

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu teisingą (pagrinde yra lygiakraštis trikampis) trikampė prizmė ir pažymėkite ant jo plokštumas, kurios yra problemos teiginyje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Pagrindo lygtis yra triviali: galite sudaryti atitinkamą determinantą naudodami tris taškus, bet aš sudarysiu lygtį iš karto:

Dabar suraskime lygtį Taškas turi koordinates Taškas – kadangi yra trikampio mediana ir aukštis, ją nesunku rasti naudojant Pitagoro teoremą trikampyje. Tada taškas turi koordinates: Raskime taško aplikaciją

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kokia tai paslaptinga plokštuma, einanti statmenai per tašką. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Tiesi linija taip pat yra statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas jau mums atiduotas. Ieškome taškų koordinačių.

Per tašką randame taško koordinatę. Iš mažas piešinys Nesunku numanyti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Taip pat reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirmiausia įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnių koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate determinantų skaičiavimo ekspertas. Be sunkumų gausite:

Arba kitaip (jei abi puses padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar raskime plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, tiesa? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog visada paaiškėjo prieš tai mano lėktuvas priklausė kilmei!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutampa su linijos, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite, kodėl!)

Dabar apskaičiuokime kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas tai? stačiakampė prizmė, Kaip manai? Tai tik gretasienis, kurį gerai žinote! Nedelsdami nupieškime! Jums net nereikia vaizduoti pagrindo, tai čia mažai naudinga:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta lygties forma:

Dabar sukurkime plokštumą

Iš karto sukuriame plokštumos lygtį:

Ieškau kampo:

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats laikas šiek tiek pailsėti, nes jūs ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo skaičiavimo uždavinius. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp susikertančių tiesių apskaičiavimas.

Užsakiau šias užduotis vis sudėtingesnio tvarka. Pasirodo, tai lengviausia rasti atstumas nuo taško iki plokštumos, o sunkiausia rasti atstumas tarp susikertančių linijų. Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir iškart pradėkime svarstyti pirmąją problemų klasę:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jūs jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį ankstesnės užduotys, kurį aptariau paskutinėje dalyje. Pereikime tiesiai prie užduočių. Schema yra tokia: 1, 2 - aš padedu apsispręsti, o kiek detaliau, 3, 4 - tik atsakymas, sprendimą atliekate pats ir palyginate. Pradėkime!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis lygus. Raskite atstumą nuo se-re-di-na nuo pjūvio iki plokštumos

2. Atsižvelgiant į dešinę keturių anglių pi-ra-mi-taip, šono pusė yra lygi pagrindui. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos, kur - se-re-di-ant briaunų.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-no-va-ni-em šoninis kraštas yra lygus, o šimtas-ro-ant os-no-vania yra lygus. Raskite atstumą nuo viršaus iki plokštumos.

4. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su viena briauna, sukonstruokite atkarpą ir plokštumą, atkarpos vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo lengvo: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio koordinates!)

Dabar mes sudarome plokštumos lygtį naudodami tris taškus

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masyvas)) \right| = 0\]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradedame nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nubraižyti jos pagrindą.

Net ir tai, kad piešiu kaip višta su letenėle, nesutrukdys mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės, tada

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurys, tai

Be jokių problemų galime rasti dar dviejų plokštumos taškų koordinates. Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\[\left| (\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masyvas)) \right|) \right| = 0\]

Kadangi taškas turi koordinates: , apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, ar sugalvojai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos žiūrėjome ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Aš tik pateiksiu jums atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip tiesė ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi tik vieną galimybę: susikirsti arba tiesė yra lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų nuomone, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria ši tiesė kertasi? Man atrodo, kad čia aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra keblus: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Taigi:

Tai reiškia, kad mano užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties ir apskaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys vieningame valstybiniame egzamine yra labai retos. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kažko kito, daug daugiau svarbi klasė užduotys:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

ko mums reikia?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesėje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Jums turėtų būti aišku, ką reiškia šios trupmenos vardiklis: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Tai labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti vektorinę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar mums jų labai prireiks!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Sukurkite vektorių

4. Sukurkite tiesės nukreipimo vektorių

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug nuveikti, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Duota stačiakampė pi-ra-mi-da su viršūne. Šimtas-ro, remiantis pi-ra-mi-dy, yra lygus, jūs esate lygūs. Raskite atstumą nuo pilko krašto iki tiesios linijos, kur taškai ir yra pilki kraštai ir nuo veterinarijos.

2. Kraštinių ilgiai ir tiesiojo kampo-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da yra atitinkamai lygūs ir Raskite atstumą nuo viršaus iki tiesės

3. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios, raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Turime daug darbo! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mūsų laukia daug darbo! Pradėkime tai pasiraitoję rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates, kuri yra lygi nuliui, o jo ordinatė yra lygi atkarpos ilgiui lygiakraščio trikampio aukštis, jis dalijamas santykiu, skaičiuojant nuo viršūnės, iš čia. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

Atkarpos vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas pakeisti atkarpą yra trikampio vidurio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi.

7. Apskaičiuokite vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai randame atstumą:

Uh, viskas! Pasakysiu nuoširdžiai: šią problemą išspręsti naudojant tradicinius metodus (statant) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, jums aiškus sprendimo algoritmas? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti patiems. Palyginkime atsakymus?

Dar kartą kartoju: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne griebtis koordinačių metodas. Šį sprendimo būdą pademonstravau tik norėdamas parodyti jums universalų metodą, leidžiantį „nieko nebaigti statyti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp susikertančių tiesių apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios eilučių taškus:

Kaip rasti atstumą tarp eilučių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišraus sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis yra, kaip ir ankstesnėje formulėje (tiesių krypties vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes ieško).

Aš jums tai priminsiu

Tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Tai determinantas, padalintas iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia neturiu laiko juokauti! Ši formulė, tiesą sakant, yra labai sudėtinga ir veda prie gana sudėtingi skaičiavimai. Jei aš būčiau tavo vietoje, tai griebčiausi tik kaip paskutinė išeitis!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Stačiojoje trikampėje prizmėje, kurios visos briaunos lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į stačią trikampę prizmę, visos pagrindo briaunos yra lygios pjūviui, einančiam per kūno briauną, o se-re-di-well briaunelės yra kvadratas. Raskite atstumą tarp tiesių ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį - antrą!

1. Nupiešiu prizmę ir pažymiu tiesias linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\[\left((B,\rodyklė ant dešinės (A(A_1)) \ir dešinė (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(masyvas)(*(20)(c))0&1&0\end(masyvas))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masyvas))\end(masyvas)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Apskaičiuojame vektorių sandaugą tarp vektorių ir

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(masyvas)(l)\begin(masyvas)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masyvas)\\\begin(masyvas) )(*(20)(c))0&0&1\end(masyvas)\\\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masyvas)\end(masyvas) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Dabar apskaičiuojame jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite atidžiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreipta atkarpa. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliuti vertė vektorius – vektorių atvaizduojančios atkarpos ilgis. Žymima kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \displaystyle a galai.

Vektorių suma: .

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga: