Nelygybių sprendimo pavyzdžiai. Nelygybių sprendimas

Pavyzdžiui, nelygybė yra išraiška \(x>5\).

Nelygybių rūšys:

Jei \(a\) ir \(b\) yra skaičiai arba , tada vadinama nelygybė skaitinis. Iš tikrųjų tai tik dviejų skaičių palyginimas. Tokios nelygybės skirstomos į Ištikimas Ir neištikimas.

Pavyzdžiui:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) yra neteisinga skaitinė nelygybė, nes \(17+3=20\) ir \(20\) yra mažesnė nei \(115\) (ir ne didesnė arba lygi) .

Jei \(a\) ir \(b\) yra išraiškos, turinčios kintamąjį, tada turime nelygybė su kintamuoju. Tokios nelygybės skirstomos į tipus, priklausomai nuo turinio:

Koks yra nelygybės sprendimas?

Jei vietoj kintamojo skaičių pakeisite nelygybe, jis pavirs skaitiniu.

Jei duota x reikšmė paverčia pradinę nelygybę tikrąja skaitine, tada ji vadinama nelygybės sprendimas. Jei ne, ši vertė nėra sprendimas. Ir išspręsti nelygybę– reikia rasti visus jos sprendimus (arba parodyti, kad jų nėra).

Pavyzdžiui, jei skaičių \(7\) pakeisime tiesine nelygybe \(x+6>10\), gausime teisingą skaitinę nelygybę: \(13>10\). O jei pakeisime \(2\), bus neteisinga skaitinė nelygybė \(8>10\). Tai yra, \(7\) yra pradinės nelygybės sprendimas, bet \(2\) nėra.

Tačiau nelygybė \(x+6>10\) turi kitus sprendimus. Iš tiesų, mes gausime teisingas skaitines nelygybes, kai pakeisime \(5\), \(12\), ir \(138\)... Ir kaip galime rasti visas galimi sprendimai? Tam jie naudoja Mūsų atveju turime:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Tai yra, mums tinka bet koks skaičius, didesnis nei keturi. Dabar reikia užsirašyti atsakymą. Nelygybių sprendiniai dažniausiai rašomi skaičiais, juos papildomai pažymint skaičių ašis perinti. Mūsų atveju turime:

Atsakymas: \(x\in(4;+\infty)\)

Kada pasikeičia nelygybės ženklas?

Yra vienas didelis nelygybės spąstas, į kurį studentai labai „mėgsta“ patekti:

Dauginant (arba dalijant) nelygybę iš neigiamo skaičiaus, ji apverčiama ("daugiau" iš "mažiau", "daugiau arba lygus" iš "mažiau nei arba lygus" ir pan.)

Kodėl tai vyksta? Norėdami tai suprasti, pažvelkime į transformacijas skaitinė nelygybė\(3>1\). Tai tiesa, trys iš tikrųjų yra daugiau nei vienas. Pirmiausia pabandykime padauginti jį iš bet kurio teigiamo skaičiaus, pavyzdžiui, iš dviejų:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kaip matome, padauginus nelygybė išlieka teisinga. Ir nesvarbu, iš kokio teigiamo skaičiaus padauginsime, visada gausime teisingą nelygybę. Dabar pabandykime padauginti iš neigiamas skaičius, pavyzdžiui, minus trys:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatas yra neteisinga nelygybė, nes minus devyni yra mažiau nei minus trys! Tai yra, norint, kad nelygybė taptų tiesa (ir todėl daugybos pakeitimas iš neigiamo buvo „teisėtas“), reikia pakeisti palyginimo ženklą taip: \(−9<− 3\).
Su padalijimu viskas veiks taip pat, galite tai patikrinti patys.

Aukščiau parašyta taisyklė taikoma visų tipų nelygybėms, ne tik skaitinėms.

Atsakymas: \(x\in(-1;\infty)\)

Nelygybė ir negalia

Nelygybės, kaip ir lygtys, gali turėti apribojimų , tai yra x reikšmėms. Atitinkamai, tos vertės, kurios yra nepriimtinos pagal DZ, turėtų būti neįtrauktos į sprendimų asortimentą.

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę \(\sqrt(x+1)<3\)

Sprendimas: Akivaizdu, kad tam, kad kairioji pusė būtų mažesnė už \(3\), radikalioji išraiška turi būti mažesnė už \(9\) (juk iš \(9\) tik \(3\)). Mes gauname:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Visi? Mums tiks bet kokia x reikšmė, mažesnė už \(8\)? Ne! Nes jei paimsime, pavyzdžiui, reikšmę \(-5\), kuri, atrodo, atitinka reikalavimą, tai nebus pradinės nelygybės sprendimas, nes tai leis mums apskaičiuoti neigiamo skaičiaus šaknį.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Todėl turime atsižvelgti ir į X reikšmės apribojimus – jis negali būti toks, kad po šaknimi būtų neigiamas skaičius. Taigi turime antrąjį x reikalavimą:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ir kad x būtų galutinis sprendimas, jis turi atitikti abu reikalavimus iš karto: jis turi būti mažesnis nei \(8\) (kad būtų sprendimas) ir didesnis nei \(-1\) (kad būtų iš principo leistinas). Nubraižę jį skaičių eilutėje, turime galutinį atsakymą:

Atsakymas: \(\kairė[-1;8\dešinė)\)

Dabar galite suprasti, kaip išsprendžiamos tiesinės nelygybės a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Pagrindinis būdas juos išspręsti yra naudoti lygiavertes transformacijas, leidžiančias pasiekti a≠0 to elementariosios nelygybės tipo x

, ≥), p - tam tikras skaičius, kurie yra norimas sprendimas, o jei a=0 - į a formos skaitines nelygybes

, ≥), iš kurios daroma išvada apie pradinės nelygybės sprendinį. Pirmiausia analizuosime.

Taip pat nekenkia vieno kintamojo tiesinių nelygybių sprendimas pažvelgti iš kitų perspektyvų. Todėl taip pat parodysime, kaip tiesinę nelygybę galima išspręsti grafiškai ir naudojant intervalų metodą.

Naudojant lygiavertes transformacijas

Išspręskime tiesinę nelygybę a x+b<0 (≤, >, ≥). Parodykime, kaip tai padaryti naudojant ekvivalentines nelygybės transformacijas.

Metodai skiriasi priklausomai nuo to, ar kintamojo x koeficientas a yra lygus nuliui, ar ne. Pažvelkime į juos po vieną. Be to, svarstydami laikysimės trijų taškų schemos: pirmiausia pateiksime proceso esmę, tada pateiksime tiesinės nelygybės sprendimo algoritmą ir galiausiai pateiksime tipinių pavyzdžių sprendimus.

Pradėkime nuo tiesinės nelygybės a x+b sprendimo algoritmas<0 (≤, >, ≥), jei a≠0.

• Pirma, skaičius b perkeliamas į dešinę nelygybės pusę su priešingu ženklu. Tai leidžia pereiti prie ekvivalentinės nelygybės a x<−b (≤, >, ≥).
• Antra, abi gautos nelygybės pusės dalijamos iš ne nulio skaičiaus a. Be to, jei a yra teigiamas skaičius, tada nelygybės ženklas išsaugomas, o jei a yra neigiamas skaičius, tada nelygybės ženklas yra apverstas. Rezultatas yra elementari nelygybė, lygiavertė pradinei tiesinei nelygybei, ir tai yra atsakymas.

Belieka suprasti paskelbto algoritmo taikymą naudojant pavyzdžius. Panagrinėkime, kaip jį galima panaudoti tiesinėms nelygybėms a≠0 išspręsti.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę 3·x+12≤0.

Sprendimas.

Pateiktai tiesinei nelygybei turime a=3 ir b=12. Akivaizdu, kad kintamojo x koeficientas a skiriasi nuo nulio. Naudokime atitinkamą aukščiau pateiktą sprendimo algoritmą.

Pirmiausia perkeliame terminą 12 į dešinę nelygybės pusę, nepamirštant pakeisti jo ženklo, tai yra, dešinėje atsiras −12. Dėl to gauname ekvivalentinę nelygybę 3·x≤−12.

Ir, antra, abi gautos nelygybės puses padaliname iš 3, kadangi 3 yra teigiamas skaičius, nelygybės ženklo nekeičiame. Turime (3 x):3≤(−12):3, kuris yra toks pat kaip x≤−4.

Gauta elementarioji nelygybė x≤−4 yra ekvivalentiška pradinei tiesinei nelygybei ir yra jos norimas sprendimas.

Taigi tiesinės nelygybės 3 x + 12≤0 sprendimas yra bet koks realusis skaičius, mažesnis arba lygus minus keturi. Atsakymas taip pat gali būti parašytas skaitinio intervalo forma, atitinkančia nelygybę x≤−4, tai yra kaip (−∞, −4] .

Įgijus darbo su tiesinėmis nelygybėmis įgūdžių, jų sprendinius galima trumpai be paaiškinimo užrašyti. Tokiu atveju pirmiausia užrašykite pradinę tiesinę nelygybę, o žemiau - ekvivalentines nelygybes, gautas kiekviename sprendimo žingsnyje:
3 x+12≤0;
3 x≤−12;
x≤−4 .

Atsakymas:

x≤−4 arba (−∞, −4] .

Pavyzdys.

Išvardykite visus tiesinės nelygybės −2,7·z>0 sprendinius.

Sprendimas.

Čia kintamojo z koeficientas a lygus −2,7. Ir koeficiento b nėra aiškios formos, tai yra, jis yra lygus nuliui. Todėl pirmojo tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju sprendimo algoritmo veiksmo atlikti nereikia, nes perkeliant nulį iš kairės į dešinę pradinės nelygybės forma nepasikeis.

Belieka abi nelygybės puses padalyti iš −2,7, nepamirštant nelygybės ženklo pakeisti į priešingą, nes −2,7 yra neigiamas skaičius. Mes turime (–2,7 z): (–2,7)<0:(−2,7) , tada z<0 .

O dabar trumpai:
−2,7·z>0 ;
z<0 .

Atsakymas:

z<0 или (−∞, 0) .

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę .

Sprendimas.

Turime išspręsti tiesinę nelygybę, kurios koeficientas a kintamajam x lygus −5, o koeficientas b atitinka trupmeną −15/22. Tęsiame pagal gerai žinomą schemą: pirmiausia perkeliame −15/22 į dešinę pusę su priešingu ženklu, po to abi nelygybės puses padalijame iš neigiamo skaičiaus −5, keičiant nelygybės ženklą:

Paskutinis perėjimas dešinėje pusėje naudoja , tada įvykdytas .

Atsakymas:

Dabar pereikime prie atvejo, kai a=0. Tiesinės nelygybės a x+b sprendimo principas<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Kuo tai pagrįsta? Labai paprasta: nustatant nelygybės sprendimą. Kaip? Taip, štai kaip: nesvarbu, kokią kintamojo x reikšmę pakeisime pradine tiesine nelygybe, gausime b formos skaitinę nelygybę<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Suformuluokime aukščiau pateiktus argumentus formoje tiesinių nelygybių sprendimo algoritmas 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Apsvarstykite skaitinę nelygybę b<0 (≤, >, ≥) ir
• jei tai tiesa, tai pradinės nelygybės sprendimas yra bet koks skaičius;
• jei ji klaidinga, tai pradinė tiesinė nelygybė sprendinių neturi.

Dabar supraskime tai pavyzdžiais.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę 0·x+7>0.

Sprendimas.

Bet kuriai kintamojo x reikšmei tiesinė nelygybė 0 x+7>0 virs skaitine nelygybe 7>0. Paskutinė nelygybė yra teisinga, todėl bet koks skaičius yra pradinės nelygybės sprendimas.

Atsakymas:

sprendinys yra bet koks skaičius arba (−∞, +∞) .

Pavyzdys.

Ar tiesinė nelygybė 0·x−12,7≥0 turi sprendinius?

Sprendimas.

Jei vietoj kintamojo x pakeisime bet kurį skaičių, pradinė nelygybė virsta skaitine nelygybe −12,7≥0, o tai neteisinga. Tai reiškia, kad nei vienas skaičius nėra tiesinės nelygybės 0·x−12,7≥0 sprendinys.

Atsakymas:

ne, taip nėra.

Baigdami šį skyrių išanalizuosime dviejų tiesinių nelygybių, kurių abiejų koeficientai lygūs nuliui, sprendinius.

Pavyzdys.

Kuri iš tiesinių nelygybių 0·x+0>0 ir 0·x+0≥0 neturi sprendinių, o kuri turi be galo daug sprendinių?

Sprendimas.

Jei vietoj kintamojo x pakeisite bet kurį skaičių, pirmoji nelygybė bus 0>0, o antroji – 0≥0. Pirmasis iš jų yra neteisingas, o antrasis yra teisingas. Vadinasi, tiesinė nelygybė 0·x+0>0 neturi sprendinių, o nelygybė 0·x+0≥0 turi be galo daug sprendinių, būtent jos sprendinys yra bet koks skaičius.

Atsakymas:

nelygybė 0 x+0>0 neturi sprendinių, o nelygybė 0 x+0≥0 turi be galo daug sprendinių.

Intervalinis metodas

Paprastai intervalų metodas mokykliniame algebros kurse mokomas vėliau nei tiesinių nelygybių viename kintamajame sprendimo tema. Tačiau intervalų metodas leidžia išspręsti įvairias nelygybes, įskaitant tiesines. Todėl apsistokime ties juo.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad tiesinėms nelygybėms su nuliniu koeficientu kintamajam x spręsti patartina naudoti intervalų metodą. Kitu atveju greičiau ir patogiau padaryti išvadą apie nelygybės sprendimą ankstesnės pastraipos pabaigoje aptartu metodu.

Intervalų metodas reiškia

• įvedant funkciją, atitinkančią kairę nelygybės pusę, mūsų atveju – tiesinė funkcija y=a x+b ,
• rasti nulius, kurie padalija apibrėžimo sritį į intervalus,
• ženklų, turinčių funkcijų reikšmes šiuose intervaluose, nustatymas, kurio pagrindu daroma išvada apie tiesinės nelygybės sprendimą.

Surinkime šias akimirkas algoritmas, atskleidžiantis, kaip išspręsti tiesines nelygybes a x+b<0 (≤, >, ≥) a≠0 naudojant intervalų metodą:

• Rasti funkcijos y=a·x+b nuliai, kuriai išspręsta a·x+b=0. Kaip žinoma, a≠0 jis turi vieną šaknį, kurią žymime kaip x 0 .
• Jis sukonstruotas ir ant jo pavaizduotas taškas, kurio koordinatė x 0. Be to, jei bus nuspręsta griežta nelygybė(su ženklu< или >), tada šis taškas daromas skyrybos ženklu (su tuščiu centru), o jei jis nėra griežtas (su ženklu ≤ arba ≥), tada dedamas įprastas taškas. Šis taškas padalija koordinačių liniją į du intervalus (−∞, x 0) ir (x 0, +∞).
• Nustatomi funkcijos y=a·x+b ženklai šiuose intervaluose. Norėdami tai padaryti, šios funkcijos reikšmė apskaičiuojama bet kuriame intervalo taške (-∞, x 0), o šios reikšmės ženklas bus norimas ženklas intervale (-∞, x 0). Panašiai intervalo (x 0 , +∞) ženklas sutampa su funkcijos y=a·x+b reikšmės ženklu bet kuriame šio intervalo taške. Bet jūs galite apsieiti be šių skaičiavimų ir daryti išvadas apie ženklus pagal koeficiento a reikšmę: jei a>0, tada intervaluose (−∞, x 0) ir (x 0, +∞) bus atitinkamai ženklai − ir +, o jei a >0, tai + ir −.
• Jei sprendžiamos nelygybės su ženklais > arba ≥, tada virš tarpo dedamas liukas su pliuso ženklu, o jei sprendžiamos nelygybės su ženklais< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Panagrinėkime tiesinės nelygybės sprendimo intervalų metodu pavyzdį.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę −3·x+12>0.

Sprendimas.

Kadangi mes analizuojame intervalų metodą, mes jį naudosime. Pagal algoritmą pirmiausia randame lygties šaknį −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Toliau nubrėžiame koordinačių liniją ir pažymime joje tašką koordinate 4, o šį tašką padarome pradurtu, nes sprendžiame griežtą nelygybę:

Dabar nustatome intervalų ženklus. Norėdami nustatyti intervalo (−∞, 4) ženklą, galite apskaičiuoti funkcijos y=−3·x+12 reikšmę, pavyzdžiui, esant x=3. Turime −3·3+12=3>0, o tai reiškia, kad šiame intervale yra + ženklas. Norėdami nustatyti ženklą kitame intervale (4, +∞), galite apskaičiuoti funkcijos y=−3 x+12 reikšmę, pavyzdžiui, taške x=5. Turime −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Kadangi nelygybę sprendžiame su > ženklu, per tarpą nubrėžiame atspalvį + ženklu, brėžinys įgauna formą

Remdamiesi gautu vaizdu, darome išvadą, kad norimas sprendimas yra (-∞, 4) arba kitu žymėjimu x<4 .

Atsakymas:

(−∞, 4) arba x<4 .

Grafiškai

Naudinga suprasti vieno kintamojo tiesinių nelygybių sprendimo geometrinę interpretaciją. Norėdami jį gauti, panagrinėkime keturias tiesines nelygybes su ta pačia kairiąja puse: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 ir 0,5 x−1≥0 , jų sprendiniai yra x<2 , x≤2 , x>2 ir x≥2, taip pat nubraižykite tiesinės funkcijos y=0,5 x−1 grafiką.

Tai lengva pastebėti

• nelygybės 0,5 x−1 sprendimas<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• nelygybės 0,5 x−1≤0 sprendinys reiškia intervalą, kuriame funkcijos y=0,5 x−1 grafikas yra žemiau Ox ašies arba sutampa su ja (kitaip tariant, ne aukščiau abscisių ašies),
• panašiai, nelygybės 0,5 x−1>0 sprendimas yra intervalas, kuriame funkcijos grafikas yra virš Ox ašies (ši grafiko dalis pavaizduota raudonai),
• o nelygybės 0,5·x−1≥0 sprendinys yra intervalas, kuriame funkcijos grafikas yra aukščiau arba sutampa su abscisių ašimi.

Grafinis nelygybių sprendimo metodas, ypač tiesinė, ir reiškia, kad reikia rasti intervalus, kuriuose funkcijos grafikas, atitinkantis kairę nelygybės pusę, yra aukščiau, žemiau, ne žemiau arba ne aukščiau funkcijos, atitinkančios dešinę nelygybės pusę, grafiko. Mūsų tiesinės nelygybės atveju funkcija, atitinkanti kairę pusę, yra y=a·x+b, o dešinioji – y=0, sutampanti su Ox ašimi.

Atsižvelgiant į pateiktą informaciją, ją lengva suformuluoti tiesinių nelygybių grafinio sprendimo algoritmas:

• Sudaromas funkcijos y=a x+b grafikas (schemiškai įmanoma) ir
• sprendžiant nelygybę a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• sprendžiant nelygybę a x+b≤0, nustatomas intervalas, kuriame grafikas yra žemesnis arba sutampa su Ox ašimi,
• sprendžiant nelygybę a x+b>0, nustatomas intervalas, kuriame grafikas yra virš Ox ašies,
• sprendžiant nelygybę a·x+b≥0, nustatomas intervalas, kuriame grafikas yra aukštesnis arba sutampa su Ox ašimi.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę grafiškai.

Sprendimas.

Nubraižykime tiesinės funkcijos grafiką . Tai tiesi linija, kuri mažėja, nes x koeficientas yra neigiamas. Mums taip pat reikia jo susikirtimo su x ašimi taško koordinatės, tai yra lygties šaknis , kuris yra lygus . Mūsų poreikiams net nereikia vaizduoti Oy ašies. Taigi mūsų schematinis brėžinys atrodys taip

Kadangi sprendžiame nelygybę su > ženklu, mus domina intervalas, kuriame funkcijos grafikas yra virš Ox ašies. Aiškumo dėlei šią grafiko dalį paryškinkime raudona spalva, o norėdami lengvai nustatyti šią dalį atitinkantį intervalą, raudonai paryškinkime koordinačių plokštumos dalį, kurioje yra pasirinkta grafiko dalis, kaip ir paveikslas žemiau:

Mus dominantis tarpas yra raudonai paryškinta Jaučio ašies dalis. Akivaizdu, kad tai atviras skaičių pluoštas . Tai yra sprendimas, kurio mes ieškome. Atkreipkite dėmesį, kad jei nelygybę spręstume ne ženklu >, o negriežtos nelygybės ženklu ≥, tada atsakyme turėtume pridėti, nes šioje vietoje funkcijos grafikas sutampa su Ox ašimi .y=0·x+7, kuri yra tokia pati kaip y=7, apibrėžia tiesę koordinačių plokštumoje, lygiagrečią Ox ašiai ir gulinčią virš jos. Todėl nelygybė 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

O funkcijos y=0·x+0, kuri yra tokia pati kaip y=0, grafikas yra tiesė, sutampanti su Ox ašimi. Todėl nelygybės 0·x+0≥0 sprendinys yra visų realiųjų skaičių aibė.

Atsakymas:

antroji nelygybė, jos sprendimas yra bet koks realusis skaičius.

Nelygybės, kurios redukuojasi į tiesinę

Didžiulis skaičius nelygybių gali būti pakeistas lygiavertėmis tiesinėmis nelygybėmis, naudojant lygiavertes transformacijas, kitaip tariant, sumažintas iki tiesinės nelygybės. Tokios nelygybės vadinamos nelygybės, kurios redukuojasi į tiesinę.

Mokykloje beveik kartu sprendžiant tiesines nelygybes, svarstomos ir paprastos nelygybės, kurios redukuojasi į tiesines. Tai ypatingi atvejai visos nelygybės, būtent jų kairėje ir dešinėje dalyse yra ištisos išraiškos, kurios atstovauja arba tiesiniai dvinariai, arba į juos konvertuoja ir . Aiškumo dėlei pateikiame keletą tokių nelygybių pavyzdžių: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Nelygybės, kurios savo forma yra panašios į aukščiau nurodytas, visada gali būti sumažintos iki tiesinių. Tai galima padaryti atidarant skliaustus, pateikiant panašius terminus, pertvarkant terminus ir perkeliant terminus iš vienos nelygybės pusės į kitą su priešingu ženklu.

Pavyzdžiui, norint sumažinti nelygybę 5−2 x>0 iki tiesinės, užtenka perstatyti jos kairėje pusėje esančius terminus, turime −2 x+5>0. Norint sumažinti antrąją nelygybę 7·(x−1)+3≤4·x−2+x iki tiesinės, reikia šiek tiek daugiau žingsnių: kairėje pusėje atidarome skliaustus 7·x−7+3≤4· x−2+x , po Norėdami tai pasiekti, pateikiame panašius terminus abiejose pusėse 7 x−4≤5 x−2 , tada perkeliame terminus iš dešinės pusės į kairę 7 x−4−5 x+2 ≤0 , galiausiai panašius terminus pateikiame kairėje pusėje 2 ·x−2≤0 . Panašiai trečioji nelygybė gali būti sumažinta iki tiesinės nelygybės.

Dėl to, kad tokias nelygybes visada galima redukuoti iki tiesinių, kai kurie autoriai netgi vadina jas ir tiesinėmis. Bet mes vis tiek laikysime juos redukuojamais į linijinius.

Dabar tampa aišku, kodėl tokios nelygybės nagrinėjamos kartu su tiesinėmis nelygybėmis. O jų sprendimo principas absoliučiai tas pats: atlikus lygiavertes transformacijas, jas galima redukuoti iki elementariųjų nelygybių, reprezentuojančių norimus sprendinius.

Norėdami išspręsti tokio tipo nelygybę, pirmiausia galite ją sumažinti iki tiesinės, o tada išspręsti šią tiesinę nelygybę. Tačiau tai padaryti yra racionaliau ir patogiau:

• atidarę skliaustus, surinkite visus terminus su kintamuoju kairėje nelygybės pusėje ir visus skaičius dešinėje,
• tada pateikti panašias sąlygas,
• ir tada padalykite abi gautos nelygybės puses iš x koeficiento (jei jis, žinoma, skiriasi nuo nulio). Tai duos atsakymą.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Sprendimas.

Pirmiausia atidarykime skliaustus, todėl gauname nelygybę 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Dabar pateikime panašius terminus: 6 x+15≤6 x−17. Toliau perkeliame sąlygas iš kairė pusė, gauname 6 x+15−6 x+17≤0 ir vėl pateikiame panašius terminus (tai veda į tiesinę nelygybę 0 x+32≤0) ir gauname 32≤0. Taip priėjome prie neteisingos skaitinės nelygybės, iš kurios darome išvadą, kad pradinė nelygybė sprendinių neturi.

Atsakymas:

jokių sprendimų.

Apibendrinant pažymime, kad yra daug kitų nelygybių, kurias galima redukuoti į tiesines nelygybes arba į aukščiau aptarto tipo nelygybes. Pavyzdžiui, sprendimas eksponentinė nelygybė 5 2 x−1 ≥1 redukuoja iki tiesinės nelygybės 2 x−1≥0 sprendimo. Bet apie tai kalbėsime analizuodami atitinkamos formos nelygybių sprendimus.

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Pateikiami pagrindiniai nelygybių tipai, tarp jų Bernulio, Koši – Bunyakovskio, Minkovskio, Čebyševo nelygybės. Nagrinėjamos nelygybių savybės ir veiksmai su jais. Pateikiami pagrindiniai nelygybių sprendimo metodai.

Pagrindinės nelygybės formulės

Visuotinių nelygybių formulės

Visuotinės nelygybės tenkinamos bet kokioms į jas įtrauktų kiekių vertėms. Žemiau pateikiami pagrindiniai visuotinių nelygybių tipai.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Lygybė atsiranda tik tada, kai a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Koši-Buniakovskio nelygybė

Lygybė galioja tada ir tik tada, kai α a k = β b k visiems k = 1, 2, ..., n ir kai kuriems α, β, |α| + |β| > 0.

5) Minkovskio nelygybė, kai p ≥ 1

Patenkinamų nelygybių formulės

Patenkinamos nelygybės tenkinamos tam tikroms į jas įtrauktų kiekių vertėms.

1) Bernulio nelygybė:
.
Plačiau:
,
kur , skaičiai to paties ženklo ir didesni už -1 : .
Bernulio lema:
.
Žr. „Nelygybių ir Bernulio lemos įrodymai“.

2)
jei a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Čebyševo nelygybė
adresu 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Apibendrintos Čebyševo nelygybės
adresu 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n ir k natūralus
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Nelygybių savybės

Nelygybių savybės yra taisyklių rinkinys, kurios tenkinamos jas transformuojant. Žemiau pateikiamos nelygybių savybės. Suprantama, kad pradinės nelygybės tenkinamos x i reikšmėms (i = 1, 2, 3, 4), priklausančioms tam tikram iš anksto nustatytam intervalui.

1) Pasikeitus kraštinių tvarkai, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą.
Jei x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Jei x 1 ≤ x 2, tai x 2 ≥ x 1.
Jei x 1 ≥ x 2, tai x 2 ≤ x 1.
Jei x 1 > x 2, tai x 2< x 1 .

2) Viena lygybė yra lygi dviem silpnoms nelygybėms skirtingas ženklas.
Jei x 1 = x 2, tai x 1 ≤ x 2 ir x 1 ≥ x 2.
Jei x 1 ≤ x 2 ir x 1 ≥ x 2, tai x 1 = x 2.

3) Tranzityvumo savybė
Jei x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Jei x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Jei x 1 ≤ x 2 ir x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Jei x 1 ≤ x 2 ir x 2 ≤ x 3, tai x 1 ≤ x 3.

4) Prie abiejų nelygybės pusių galima pridėti (atimti) tą patį skaičių.
Jei x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Jei x 1 ≤ x 2, tai x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jei x 1 ≥ x 2, tai x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jei x 1 > x 2, tai x 1 + A > x 2 + A.

5) Jei yra dvi ar daugiau nelygybių su tos pačios krypties ženklu, tuomet galima pridėti jų kairę ir dešinę puses.
Jei x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jei x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, tai x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Panašios išraiškos taikomos ir ženklams ≥, >.
Jei pradinėse nelygybėse yra negriežtos nelygybės ženklų ir bent viena griežta nelygybė (tačiau visi ženklai turi tą pačią kryptį), tai sudėjus susidaro griežta nelygybė.

6) Abi nelygybės puses galima padauginti (padalyti) iš teigiamo skaičiaus.
Jei x 1< x 2 и A >0, tada A x 1< A · x 2 .
Jei x 1 ≤ x 2 ir A > 0, tai A x 1 ≤ A x 2.
Jei x 1 ≥ x 2 ir A > 0, tai A x 1 ≥ A x 2.
Jei x 1 > x 2 ir A > 0, tai A · x 1 > A · x 2.

7) Abi nelygybės puses galima padauginti (padalyti) iš neigiamo skaičiaus. Tokiu atveju nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Jei x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Jei x 1 ≤ x 2 ir A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Jei x 1 ≥ x 2 ir A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Jei x 1 > x 2 ir A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Jei yra dvi ar daugiau nelygybių su teigiamais nariais, su tos pačios krypties ženklu, tai jų kairiąją ir dešinę puses galima padauginti viena iš kitos.
Jei x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tada x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jei x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tada x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tada x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, tada x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Panašios išraiškos taikomos ir ženklams ≥, >.
Jei pradinėse nelygybėse yra negriežtos nelygybės ženklų ir bent viena griežta nelygybė (tačiau visi ženklai turi tą pačią kryptį), tada dauginant gaunama griežta nelygybė.

9) Tegul f(x) yra monotoniškai didėjanti funkcija. Tai yra, jei x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Tada šią funkciją galima pritaikyti abiem nelygybės pusėms, o tai nepakeis nelygybės ženklo.
Jei x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Jei x 1 ≤ x 2, tada f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jei x 1 ≥ x 2, tada f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jei x 1 > x 2, tai f(x 1) > f(x 2).

10) Tegul f(x) yra monotoniškai mažėjanti funkcija, ty bet kurio x 1 > x 2 atveju f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jei x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Jei x 1 ≤ x 2, tada f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jei x 1 ≥ x 2, tada f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jei x 1 > x 2, tada f(x 1)< f(x 2) .

Nelygybių sprendimo būdai

Nelygybių sprendimas intervalų metodu

Intervalų metodas taikomas, jei nelygybė apima vieną kintamąjį, kurį žymime x ir turi tokią formą:
f(x) > 0
kur f(x) - nuolatinė funkcija, turintys galutinis skaičius lūžio taškai. Nelygybės ženklas gali būti bet koks: >, ≥,<, ≤ .

Intervalų metodas yra toks.

1) Raskite funkcijos f(x) apibrėžimo sritį ir pažymėkite ją intervalais skaičių ašyje.

2) Raskite funkcijos f(x) nenutrūkstamumo taškus. Pavyzdžiui, jei tai trupmena, tada randame taškus, kuriuose vardiklis tampa nuliu. Šiuos taškus pažymime skaičių ašyje.

3) Išspręskite lygtį
f(x) = 0 .
Šios lygties šaknis pažymime skaičių ašyje.

4) Dėl to skaičių ašis bus padalinta į intervalus (segmentus) taškais. Kiekviename intervale, įtrauktame į apibrėžimo sritį, pasirenkame bet kurį tašką ir šiuo metu apskaičiuojame funkcijos reikšmę. Jei ši reikšmė didesnė už nulį, tada virš segmento (intervalo) dedame ženklą „+“. Jei ši reikšmė mažesnė už nulį, tada virš segmento (intervalo) dedame ženklą „-“.

5) Jei nelygybė yra tokia: f(x) > 0, tada intervalus pasirinkite su „+“ ženklu. Nelygybės sprendimas yra sujungti šiuos intervalus, kurie neapima jų ribų.
Jei nelygybė turi tokią formą: f(x) ≥ 0, tai prie sprendinio pridedame taškus, kuriuose f(x) = 0. Tai yra, kai kurie intervalai gali turėti uždaras ribas (riba priklauso intervalui). kita dalis gali turėti atviras ribas (riba nepriklauso intervalui).
Panašiai, jei nelygybė turi tokią formą: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Jei nelygybė turi tokią formą: f(x) ≤ 0, tai prie sprendinio pridedame taškus, kuriuose f(x) = 0.

Nelygybių sprendimas naudojant jų savybes

Šis metodas taikomas bet kokio sudėtingumo nelygybėms. Jį sudaro savybių (pateiktų aukščiau) taikymas, siekiant padidinti nelygybę paprastas vaizdas ir gauti sprendimą. Visai gali būti, kad dėl to susidarys ne viena, o nelygybių sistema. Tai universalus metodas. Tai taikoma bet kokiai nelygybei.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Nelygybė ir nelygybių sistemos yra viena iš nagrinėjamų temų vidurinė mokykla algebroje. Kalbant apie sudėtingumo lygį, jis nėra pats sudėtingiausias, nes turi paprastas taisykles (apie jas šiek tiek vėliau). Paprastai moksleiviai gana lengvai išmoksta spręsti nelygybių sistemas. Taip yra ir dėl to, kad mokytojai tiesiog „apmoko“ savo mokinius šia tema. Ir jie negali to nepadaryti, nes tai bus tiriama ateityje naudojant kitus matematiniai dydžiai, taip pat išbandytas OGE ir vieningo valstybinio egzamino metu. IN mokykliniai vadovėliai Nelygybių ir nelygybių sistemų tema yra nagrinėjama labai išsamiai, todėl jei ketinate ją studijuoti, geriausia griebtis jų. Šiame straipsnyje apibendrinama tik didesnė medžiaga ir gali būti praleistų dalykų.

Nelygybių sistemos samprata

Jei kreipsitės į moksline kalba, tada galime apibrėžti „nelygybių sistemos“ sąvoką. Tai matematinis modelis, vaizduojantis keletą nelygybių. Šis modelis, žinoma, reikalauja sprendimo, ir tai bus bendras atsakymas į visas užduotyje pasiūlytas sistemos nelygybes (dažniausiai rašoma taip, pvz.: „Išspręskite nelygybių sistemą 4 x + 1 > 2 ir 30 – x > 6...“). Tačiau prieš pereidami prie sprendimų tipų ir metodų, turite suprasti ką nors kita.

Nelygybių sistemos ir lygčių sistemos

Studijų procese nauja tema labai dažnai kyla nesusipratimų. Viena vertus, viskas aišku ir norisi kuo greičiau pradėti spręsti užduotis, bet kita vertus, kai kurios akimirkos lieka „šešėlyje“ ir nėra iki galo suprantamos. Taip pat kai kurie jau įgytų žinių elementai gali susipinti su naujais. Dėl šio „persidengimo“ dažnai pasitaiko klaidų.

Todėl prieš pradėdami analizuoti savo temą, turėtume prisiminti lygčių ir nelygybių bei jų sistemų skirtumus. Norėdami tai padaryti, turime dar kartą paaiškinti, ką reiškia duomenys. matematines sąvokas. Lygtis visada yra lygybė ir visada kažkam lygi (matematikoje šis žodis žymimas ženklu "="). Nelygybė yra modelis, kuriame viena reikšmė yra didesnė arba mažesnė už kitą, arba yra teiginys, kad jos nėra vienodos. Taigi pirmuoju atveju dera kalbėti apie lygybę, o antruoju, kad ir kaip akivaizdžiai tai skambėtų iš paties pavadinimo, apie pradinių duomenų nelygybę. Lygčių ir nelygybių sistemos viena nuo kitos praktiškai nesiskiria ir jų sprendimo būdai yra vienodi. Skirtumas tik tas, kad pirmuoju atveju naudojamos lygybės, o antruoju – nelygybės.

Nelygybių rūšys

Yra dviejų tipų nelygybės: skaitinės ir su nežinomu kintamuoju. Pirmasis tipas reiškia pateiktas reikšmes (skaičius), kurios yra nelygios viena kitai, pavyzdžiui, 8 > 10. Antrasis yra nelygybės, kuriose yra nežinomas kintamasis (žymimas tam tikra raide). Lotynų abėcėlė, dažniausiai X). Šį kintamąjį reikia rasti. Priklausomai nuo to, kiek jų yra, matematinis modelis išskiria nelygybes su vienu (jie sudaro nelygybių sistemą su vienu kintamuoju) arba kelis kintamuosius (jie sudaro nelygybių sistemą su keliais kintamaisiais).

Paskutiniai du tipai, atsižvelgiant į jų konstrukcijos laipsnį ir sprendimo sudėtingumo lygį, skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Paprastosios dar vadinamos tiesinėmis nelygybėmis. Jie savo ruožtu skirstomi į griežtus ir negriežtus. Griežtieji konkrečiai „sako“, kad vienas kiekis būtinai turi būti arba mažesnis, arba didesnis, todėl tai yra gryna nelygybė. Galima pateikti kelis pavyzdžius: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 ir tt Negriežtieji apima ir lygybę. Tai reiškia, kad viena reikšmė gali būti didesnė arba lygi kitai reikšmei („≥“ ženklas) arba mažesnė arba lygi kitai reikšmei („≤“ ženklas). Net tiesinėse nelygybėse kintamasis nėra šaknyje, kvadrate ir nėra dalijamas iš nieko, todėl jie vadinami „paprastaisiais“. Sudėtingi apima nežinomus kintamuosius, kuriuos norint rasti reikia vykdyti. daugiau matematines operacijas. Jie dažnai yra kvadrate, kube arba po šaknimi, gali būti moduliniai, logaritminiai, trupmeniniai ir tt Bet kadangi mūsų užduotis yra suprasti nelygybių sistemų sprendimą, kalbėsime apie tiesinių nelygybių sistemą. . Tačiau prieš tai reikėtų pasakyti keletą žodžių apie jų savybes.

Nelygybių savybės

Nelygybių savybės yra šios:

1. Nelygybės ženklas apverčiamas, jei operacija naudojama kraštinių tvarkai pakeisti (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, tai t 2 ≥ t 1).
2. Abi nelygybės pusės leidžia prie savęs pridėti tą patį skaičių (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, tai t 1 + skaičius ≤ t 2 + skaičius).
3. Dvi ar daugiau nelygybių su ženklu ta pačia kryptimi leidžia pridėti jų kairę ir dešinę puses (pavyzdžiui, jei t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, tada t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Abi nelygybės puses galima padauginti arba padalyti iš to paties teigiamo skaičiaus (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir skaičius ≤ 0, tai skaičius · t 1 ≥ skaičius · t 2).
5. Dvi ar daugiau nelygybių, turinčių teigiamus narius ir ženklą ta pačia kryptimi, leidžia save padauginti viena iš kitos (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0, tada t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Abi nelygybės dalys leidžia save padauginti arba padalyti iš to paties neigiamo skaičiaus, tačiau šiuo atveju nelygybės ženklas pasikeičia (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir skaičius ≤ 0, tai skaičius · t 1 ≥ skaičius · t 2).
7. Visos nelygybės turi tranzityvumo savybę (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir t 2 ≤ t 3, tai t 1 ≤ t 3).

Dabar, išstudijavę pagrindinius teorijos principus, susijusius su nelygybėmis, galime pereiti tiesiai prie jų sistemų sprendimo taisyklių svarstymo.

Nelygybių sistemų sprendimas. Bendra informacija. Sprendimai

Kaip minėta aukščiau, sprendimas yra kintamojo reikšmės, tinkamos visoms pateiktos sistemos nelygybėms. Nelygybių sistemų sprendimas yra matematinių operacijų įgyvendinimas, kuris galiausiai veda prie visos sistemos sprendimo arba įrodo, kad ji neturi sprendimų. Šiuo atveju sakoma, kad kintamasis reiškia tuščią skaitinis rinkinys(parašyta taip: raidė, reiškianti kintamąjį∈ (ženklas „priklauso“) ø (ženklas „tuščia aibė“), pavyzdžiui, x ∈ ø (skaitykite: „Kintamasis „x“ priklauso tuščiai aibei). Yra keletas nelygybių sistemų sprendimo būdų: grafinis, algebrinis, pakeitimo metodas. Verta paminėti, kad jie yra tarp tų matematiniai modeliai, kurie turi keletą nežinomų kintamųjų. Tuo atveju, kai yra tik vienas, tinka intervalo metodas.

Grafinis metodas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą su keliais nežinomais dydžiais (nuo dviejų ir daugiau). Šio metodo dėka tiesinių nelygybių sistema gali būti išspręsta gana lengvai ir greitai, todėl tai yra labiausiai paplitęs metodas. Tai paaiškinama tuo, kad braižant grafiką sumažėja matematinių operacijų rašymo kiekis. Pasidaro ypač malonu šiek tiek pailsėti nuo rašiklio, pasiimti pieštuką su liniuote ir pradėti dirbti. tolesni veiksmai su jų pagalba, kai atlikta daug darbo ir norisi šiek tiek įvairovės. Tačiau šis metodas kai kuriems žmonėms tai nepatinka, nes jie turi atitrūkti nuo užduoties ir savo protinę veiklą pakeisti piešimu. Tačiau tai labai efektyvus metodas.

Nelygybių sistemai išspręsti naudojant grafinis metodas, būtina visus kiekvienos nelygybės narius perkelti į jų kairę pusę. Ženklai bus atvirkščiai, dešinėje turi būti rašomas nulis, tada kiekvieną nelygybę reikia rašyti atskirai. Dėl to funkcijos bus gautos iš nelygybių. Po to galite išimti pieštuką ir liniuotę: dabar reikia nubrėžti kiekvienos gautos funkcijos grafiką. Visas skaičių rinkinys, kuris bus jų susikirtimo intervale, bus nelygybių sistemos sprendimas.

Algebrinis būdas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą su dviem nežinomais kintamaisiais. Be to, turi būti nelygybės su tuo pačiu ženklu nelygybės (t. y. jose turi būti arba tik ženklas „didesnis nei“ arba tik ženklas „mažiau nei“ ir pan.) Nepaisant apribojimų, šis metodas taip pat yra sudėtingesnis. Jis taikomas dviem etapais.

Pirmasis apima veiksmus, kuriais siekiama atsikratyti vieno iš nežinomų kintamųjų. Pirmiausia turite jį pasirinkti, tada patikrinti, ar prieš šį kintamąjį nėra skaičių. Jei jų nėra (tuomet kintamasis atrodys kaip viena raidė), tada nieko nekeičiame, jei yra (kintamojo tipas bus pvz. 5y arba 12y), tada reikia padaryti įsitikinkite, kad kiekvienoje nelygybėje skaičius prieš pasirinktą kintamąjį yra toks pat. Norėdami tai padaryti, kiekvieną nelygybių narį turite padauginti iš bendras daugiklis, pavyzdžiui, jei pirmoje nelygybėje parašyta 3y, o antroje – 5y, tuomet reikia visus pirmosios nelygybės narius padauginti iš 5, o antrosios – iš 3. Gaunamas atitinkamai 15y ir 15y.

Antrasis sprendimo etapas. Kiekvienos nelygybės kairę pusę reikia perkelti į jų dešiniąsias puses, keičiant kiekvieno nario ženklą į priešingą, o dešinėje parašyti nulį. Tada ateina linksmoji dalis: atsikratyti pasirinkto kintamojo (kitaip vadinamo „sumažinimu“) pridedant nelygybę. Dėl to susidaro nelygybė su vienu kintamuoju, kurią reikia išspręsti. Po to turėtumėte daryti tą patį, tik su kitu nežinomu kintamuoju. Gauti rezultatai bus sistemos sprendimas.

Pakeitimo metodas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą, jei įmanoma įvesti naują kintamąjį. Paprastai šis metodas naudojamas, kai nežinomas kintamasis viename nelygybės naryje pakeliamas į ketvirtą laipsnį, o kitame – pakeliamas kvadratu. Taigi šiuo metodu siekiama sumažinti sistemos nelygybių laipsnį. Taip išspręsta imties nelygybė x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Įvedamas naujas kintamasis, pavyzdžiui, t. Jie rašo: „Tegul t = x 2“, tada modelis perrašomas nauja forma. Mūsų atveju gauname t 2 - t - 1 ≤0. Šią nelygybę reikia išspręsti naudojant intervalų metodą (apie tai šiek tiek vėliau), tada grįžti į kintamąjį X, tada padaryti tą patį su kita nelygybe. Gauti atsakymai bus sistemos sprendimas.

Intervalinis metodas

Tai pats paprasčiausias nelygybių sistemų sprendimo būdas, tuo pačiu universalus ir plačiai paplitęs. Jis naudojamas vidurinėse mokyklose ir net aukštosiose mokyklose. Jo esmė slypi tame, kad studentas nelygybės intervalų ieško skaičių tiesėje, kuri nubraižyta sąsiuvinyje (tai ne grafikas, o tiesiog eilinė eilutė su skaičiais). Ten, kur susikerta nelygybių intervalai, randamas sistemos sprendimas. Norėdami naudoti intervalo metodą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Visos kiekvienos nelygybės sąlygos perkeliamos į kairę pusę, o ženklas keičiasi į priešingą (dešinėje rašomas nulis).
2. Atskirai išrašomos nelygybės ir nustatomas kiekvienos iš jų sprendimas.
3. Rastos nelygybių sankirtos skaičių tiesėje. Visi skaičiai, esantys šiose sankryžose, bus sprendimas.

Kokį metodą turėčiau naudoti?

Akivaizdu, kad tas, kuris atrodo lengviausias ir patogiausias, tačiau yra atvejų, kai užduotys reikalauja tam tikras metodas. Dažniausiai jie sako, kad reikia išspręsti grafiką arba intervalų metodą. Algebrinis būdas o pakaitalai naudojami itin retai arba visai nenaudojami, nes yra gana sudėtingi ir painūs, be to, jie labiau naudojami lygčių sistemoms, o ne nelygybėms spręsti, todėl reikėtų pasitelkti grafikus ir intervalus. Jie suteikia aiškumo, kuris prisideda prie efektyvaus ir greito matematinių operacijų atlikimo.

Jei kas nors nepavyks

Natūralu, kad studijuojant tam tikrą algebros temą gali kilti problemų dėl jos supratimo. Ir tai yra normalu, nes mūsų smegenys yra sukurtos taip, kad jos nesugeba suprasti sudėtinga medžiaga iškart. Dažnai reikia dar kartą perskaityti pastraipą, kreiptis pagalbos į mokytoją arba pasipraktikuoti sprendžiant problemą. tipinės užduotys. Mūsų atveju jie atrodo, pavyzdžiui, taip: „Išspręskite nelygybių sistemą 3 x + 1 ≥ 0 ir 2 x - 1 > 3“. Taigi asmeninis noras, pašalinių žmonių pagalba ir praktika padeda suprasti bet kokią sudėtingą temą.

Sprendimas?

Labai tinka ir sprendimų knyga ne namų darbams kopijuoti, o savipagalbai. Juose galima rasti nelygybių su sprendiniu sistemas, pažvelgti į jas (kaip šablonus), pabandyti tiksliai suprasti, kaip sprendimo autorius susidorojo su užduotimi, o tada pabandyti tą patį padaryti savarankiškai.

išvadas

Algebra yra vienas iš sunkiausių dalykų mokykloje. Na, ką tu gali padaryti? Matematika visada buvo tokia: vieniems lengva, o kitiems – sunku. Tačiau bet kuriuo atveju reikia tai atsiminti bendrojo ugdymo programa Jis pastatytas taip, kad bet kuris studentas galėtų su juo susitvarkyti. Be to, reikia turėti omenyje puiki suma padėjėjai Kai kurie iš jų buvo paminėti aukščiau.

Ką reikia žinoti apie nelygybės piktogramas? Nelygybės su ikona daugiau (> ), arba mažiau (< ) yra vadinami griežtas. Su piktogramomis daugiau ar lygus (≥ ), mažesnis arba lygus (≤ ) yra vadinami nėra griežtas. Piktograma nėra lygus (≠ ) išsiskiria, bet jūs taip pat turite nuolat spręsti pavyzdžius naudodami šią piktogramą. Ir mes nuspręsime.)

Pati piktograma neturi didelės įtakos sprendimo procesui. Tačiau sprendimo pabaigoje, renkantis galutinį atsakymą, pasirodo piktogramos reikšmė pilna jėga! Tai matysime toliau pateiktuose pavyzdžiuose. Yra ten juokelių...

Nelygybė, kaip ir lygybė, egzistuoja ištikimas ir neištikimas.Čia viskas paprasta, jokių gudrybių. Tarkime 5 > 2 yra tikra nelygybė. 5 < 2 – neteisinga.

Šis pasiruošimas tinka nelygybėms bet kokios rūšies ir paprasta iki siaubo.) Tereikia taisyklingai atlikti du (tik du!) elementarius veiksmus. Šie veiksmai yra žinomi visiems. Bet, būdinga, klaidos šiuose veiksmuose yra pagrindinė klaida sprendžiant nelygybes, taip... Todėl šie veiksmai turi būti kartojami. Šie veiksmai vadinami taip:

Identiškos nelygybių transformacijos.

Identiškos nelygybių transformacijos yra labai panašios į identiškas lygčių transformacijas. Tiesą sakant, tai yra pagrindinė problema. Skirtumai eina per galvą ir... mes atvykome.) Todėl šiuos skirtumus ypač pabrėšiu. Taigi, pirmoji identiška nelygybių transformacija:

1. Prie abiejų nelygybės pusių galima pridėti (atimti) tą patį skaičių arba išraišką. Bet koks. Tai nepakeis nelygybės ženklo.

Praktikoje ši taisyklė naudojama kaip terminų perkėlimas iš kairės nelygybės pusės į dešinę (ir atvirkščiai) keičiant ženklą. Pakeitus termino ženklą, o ne su nelygybe! Taisyklė „vienas su vienu“ yra tokia pati kaip ir lygčių taisyklė. Štai kiti tapatybės transformacijos nelygybėse labai skiriasi nuo lygčių. Taigi paryškinu juos raudonai:

2. Abi nelygybės puses galima padauginti (padalyti) iš to patiesteigiamasnumerį. Bet kuriamteigiamas Nepakeis.

3. Abi nelygybės puses galima padauginti (padalyti) iš to patiesneigiamas numerį. Bet kuriamneigiamasnumerį. Nelygybės ženklas iš topasikeis į priešingą pusę.

Prisimeni (tikiuosi...), kad lygtį galima padauginti/padalyti iš bet ko. Ir bet kuriam skaičiui, ir išraiškai su X. Jei tik tai nebūtų nulis. Dėl to jis, lygtis, nėra nei karštas, nei šaltas.) Tai nesikeičia. Tačiau nelygybė yra jautresnė daugybai/dalybai.

Geras pavyzdys ilgam atminimui. Parašykime nelygybę, kuri nekelia abejonių:

5 > 2

Padauginkite abi puses iš +3, mes gauname:

15 > 6

Ar yra prieštaravimų? Prieštaravimų nėra.) O jei abi pradinės nelygybės puses padauginsime iš -3, mes gauname:

15 > -6

Ir tai yra atviras melas.) Visiškas melas! Žmonių apgaulė! Bet kai tik pakeičiate nelygybės ženklą į priešingą, viskas stoja į savo vietas:

15 < -6

Aš ne tik prisiekiu apie melą ir apgaulę.) "Pamiršau pakeisti lygybės ženklą..."- Tai namai klaida sprendžiant nelygybes. Tai trivialus ir paprasta taisyklė tiek daug žmonių buvo sužeista! Kurią jie pamiršo...) Taigi prisiekiu. Gal prisiminsiu...)

Ypač dėmesingi žmonės pastebės, kad nelygybės negalima padauginti iš išraiškos su X. Pagarba tiems, kurie yra dėmesingi!) Kodėl gi ne? Atsakymas paprastas. Mes nežinome šios išraiškos ženklo su X. Gali būti teigiamas, neigiamas... Todėl nežinome, kurį nelygybės ženklą dėti po daugybos. Ar turėčiau jį pakeisti ar ne? Nežinoma. Žinoma, šio apribojimo (draudimo dauginti/dalyti nelygybę iš išraiškos su x) galima apeiti. Jei tau tikrai to reikia. Bet tai kitų pamokų tema.

Tai visos identiškos nelygybių transformacijos. Leiskite dar kartą priminti, kad jie dirba bet koks nelygybės Dabar galite pereiti prie konkrečių tipų.

Tiesinės nelygybės. Sprendimas, pavyzdžiai.

Tiesinės nelygybės yra nelygybės, kuriose x yra pirmajame laipsnyje ir nėra dalijimosi iš x. Tipas:

x+3 > 5x-5

Kaip sprendžiamos tokios nelygybės? Juos labai lengva išspręsti! Būtent: su pagalba sumažiname pačią painiausią tiesinę nelygybę tiesiai į atsakymą.Štai ir sprendimas. Išskirsiu pagrindinius sprendimo punktus. Kad išvengtumėte kvailų klaidų.)

Išspręskime šią nelygybę:

x+3 > 5x-5

Ją išsprendžiame lygiai taip pat, kaip ir tiesinę lygtį. Su vieninteliu skirtumu:

Mes atidžiai stebime nelygybės ženklas!

Pirmasis žingsnis yra labiausiai paplitęs. Su X - į kairę, be X - į dešinę... Tai pirmoji identiška transformacija, paprasta ir be rūpesčių.) Tik nepamirškite pakeisti perkeliamų terminų ženklų.

Nelygybės ženklas išlieka:

x-5x > -5-3

Čia yra panašių.

Nelygybės ženklas išlieka:

4x > -8

Belieka taikyti paskutinę identišką transformaciją: padalykite abi puses iš -4.

Padalinti iš neigiamas numerį.

Nelygybės ženklas pasikeis į priešingą:

X < 2

Tai yra atsakymas.

Taip išsprendžiamos visos tiesinės nelygybės.

Dėmesio! 2 taškas nupieštas baltai, t.y. nedažytas. Viduje tuščia. Tai reiškia, kad ji nėra įtraukta į atsakymą! Taip sveiką ją nupiešiau tyčia. Toks taškas (tuščias, nesveikas!)) matematikoje vadinamas pradurtas taškas.

Likusius skaičius ašyje galima pažymėti, bet nebūtina. Su mūsų nelygybe nesusiję pašaliniai skaičiai gali suklaidinti, taip... Tik reikia atsiminti, kad skaičiai didėja rodyklės kryptimi, t.y. skaičiai 3, 4, 5 ir kt. yra į dešinę yra du, o skaičiai yra 1, 0, -1 ir kt. - į kairę.

Nelygybė x < 2 - griežtas. X yra griežtai mažiau nei du. Jei abejojate, patikrinti paprasta. Mes pakeičiame abejotiną skaičių į nelygybę ir galvojame: „Du yra mažiau nei du, žinoma! Būtent. 2 nelygybė < 2 neteisinga. Du mainais netinka.

Ar vienas gerai? Žinoma. Mažiau... Ir nulis yra gerai, ir -17, ir 0,34... Taip, visi skaičiai, kurie yra mažesni už du, yra geri! Ir net 1,9999.... Bent šiek tiek, bet mažiau!

Taigi visus šiuos skaičius pažymėkime skaičių ašyje. Kaip? Čia yra variantų. Pirmas variantas – šešėliavimas. Perkeliame pelės žymeklį ant nuotraukos (arba paliečiame paveikslėlį planšetiniame kompiuteryje) ir matome, kad visų x sąlygą x atitinkančių x plotas yra tamsintas < 2 . Tai viskas.

Pažvelkime į antrąjį variantą naudodami antrąjį pavyzdį:

X ≥ -0,5

Nubrėžkite ašį ir pažymėkite skaičių -0,5. Kaip šitas:

Pastebite skirtumą?) Na, taip, sunku nepastebėti... Šis taškas yra juodas! Perdažytas. Tai reiškia -0,5 yra įtrauktas į atsakymą.Čia, beje, patikrinimas gali ką nors suklaidinti. Pakeiskime:

-0,5 ≥ -0,5

Kaip tai? -0,5 yra ne daugiau kaip -0,5! Ir yra daugiau piktogramų ...

Viskas gerai. Esant silpnai nelygybei, tinka viskas, kas tinka prie piktogramos. IR lygus geras ir daugiau Gerai. Todėl į atsakymą įtrauktas -0,5.

Taigi, ašyje pažymėjome -0,5, belieka pažymėti visus skaičius, kurie yra didesni už -0,5. Šį kartą pažymiu tinkamų x reikšmių sritį lankas(iš žodžio lankas), o ne šešėliavimą. Užvedame žymeklį ant piešinio ir matome šį lanką.

Nėra ypatingo skirtumo tarp šešėlių ir rankų. Daryk taip, kaip sako mokytojas. Jei nėra mokytojo, pieškite arkas. Daugiau sunkių užduočiųšešėliai yra mažiau akivaizdūs. Galite susipainioti.

Taip ant ašies nubrėžiamos tiesinės nelygybės. Pereikime prie kitos nelygybės ypatybės.

Atsakymo į nelygybes rašymas.

Lygtys buvo geros.) Suradome x ir užrašėme atsakymą, pvz.: x=3. Yra dvi atsakymų rašymo formos nelygybėse. Viena iš jų yra galutinės nelygybės forma. tinka paprasti atvejai. Pavyzdžiui:

X< 2.

Tai yra išsamus atsakymas.

Kartais reikia užrašyti tą patį, tik kita forma, naudojant skaitiniai intervalai. Tada įrašas pradeda atrodyti labai moksliškai):

x ∈ (-∞; 2)

Po piktograma ∈ žodis paslėptas "priklauso".

Įrašas skamba taip: x priklauso intervalui nuo minus begalybės iki dviejų neįeina. Visai logiška. X gali būti bet koks skaičius iš visų galimi skaičiai nuo minus begalybės iki dviejų. Negali būti dvigubo X, ką mums sako žodis "neįeina".

O kur atsakymas aišku, kad "neįeina"? Šis faktas pažymimas atsakyme apvalus skliausteliuose iškart po dviejų. Jei jie būtų įtraukti, laikiklis būtų kvadratas. Kaip šis: ]. IN sekantį pavyzdį naudojamas toks laikiklis.

Užrašykime atsakymą: x ≥ -0,5 intervalais:

x ∈ [-0,5; +∞)

Skaito: x priklauso intervalui nuo minus 0,5, įskaitant, iki begalybės.

Begalybės niekada negalima įjungti. Tai ne skaičius, o simbolis. Todėl tokiuose įrašuose begalybė visada yra šalia skliausteliuose.

Ši įrašymo forma yra patogi sudėtingiems atsakymams, susidedantiems iš kelių tarpų. Bet – tik dėl galutinių atsakymų. IN tarpiniai rezultatai, kur tikimasi tolesnio sprendimo, geriau naudoti įprastą formą, formoje paprasta nelygybė. Tai aptarsime atitinkamose temose.

Populiarios užduotys su nelygybėmis.

Pačios tiesinės nelygybės yra paprastos. Todėl užduotys dažnai tampa sunkesnės. Taigi reikėjo galvoti. Tai, jei nesate įpratę, nėra labai malonu.) Bet tai naudinga. Parodysiu tokių užduočių pavyzdžius. Ne tau jų mokytis, tai nereikalinga. Ir kad nebijotų susitikus su panašių pavyzdžių. Tik šiek tiek pagalvok – ir viskas paprasta!)

1. Raskite bet kuriuos du nelygybės 3x - 3 sprendinius< 0

Jei nelabai aišku, ką daryti, atsiminkite pagrindinę matematikos taisyklę:

Jei nežinote, ko jums reikia, darykite tai, ką galite!)

X < 1

Ir ką? Nieko ypatingo. Ko jie mūsų klausia? Mūsų prašoma rasti du konkrečius skaičius, kurie yra nelygybės sprendimas. Tie. atitinka atsakymą. Du bet koks numeriai. Tiesą sakant, tai kelia painiavą.) Tinka pora 0 ir 0,5. Pora -3 ir -8. Taip šios poros begalinis rinkinys! Kuris atsakymas teisingas?!

Atsakau: viskas! Bet kuri skaičių pora, kurių kiekviena mažesnė už vieną, bus teisingas atsakymas. Parašyk kurio nori. Eikime toliau.

2. Išspręskite nelygybę:

4x-3 ≠ 0

Šios formos užduotys yra retos. Bet kaip pagalbinės nelygybės, pavyzdžiui, surandant ODZ arba surandant funkcijos apibrėžimo sritį, jos atsiranda visą laiką. Tokią tiesinę nelygybę galima išspręsti kaip įprastą tiesinę lygtį. Tik visur, išskyrus "=" ženklą ( lygus) įdėti ženklą " ≠ " (nėra lygus). Štai kaip priartėsite prie atsakymo su nelygybės ženklu:

X ≠ 0,75

Daugiau sudėtingų pavyzdžių, geriau viską daryti kitaip. Padarykite nelygybę iš lygybės. Kaip šitas:

4x-3 = 0

Ramiai išspręskite, kaip mokoma, ir gaukite atsakymą:

x = 0,75

Svarbiausia, kad pačioje pabaigoje, užrašydami galutinį atsakymą, nepamirškite, kad radome x, kuris suteikia lygybė. O mums reikia - nelygybė. Todėl mums šio X tikrai nereikia.) Ir mes turime jį užrašyti tinkamu simboliu:

X ≠ 0,75

Šis metodas leidžia padaryti mažiau klaidų. Tie, kurie lygtis sprendžia automatiškai. O tiems, kurie nesprendžia lygčių, nelygybės iš tikrųjų neduoda naudos...) Kitas populiarios užduoties pavyzdys:

3. Raskite mažiausio sveikojo skaičiaus nelygybės sprendinį:

3 (x - 1) < 5x + 9

Pirmiausia tiesiog išsprendžiame nelygybę. Atsidarome skliaustus, perkeliame, atvežame panašius... Gauname:

X > - 6

Argi ne taip pavyko!? Ar sekėte ženklus!? Ir už narių ženklų, ir už nelygybės ženklo...

Pagalvokime dar kartą. Turime rasti konkretų skaičių, kuris atitiktų ir atsakymą, ir sąlygą „mažiausias sveikasis skaičius“. Jei iš karto neateina, galite tiesiog paimti bet kurį skaičių ir išsiaiškinti. Du virš minus šeši? tikrai! Ar yra tinkamas mažesnis skaičius? Žinoma. Pavyzdžiui, nulis yra didesnis nei -6. Ir dar mažiau? Mums reikia kuo mažiausio dalyko! Minus trys yra daugiau nei minus šeši! Jau galite pagauti šabloną ir nustoti kvailai eiti per skaičius, tiesa?)

Paimkime skaičių, artimesnį -6. Pavyzdžiui, -5. Atsakymas įvykdytas, -5 > - 6. Ar galima rasti kitą skaičių, mažesnį už -5, bet didesnį už -6? Galite, pavyzdžiui, -5,5... Stop! Mums sakoma visas sprendimas! Nerieda -5,5! O kaip minus šeši? Ai, ai! Nelygybė yra griežta, minus 6 jokiu būdu nėra mažesnis nei minus 6!

Todėl teisingas atsakymas yra -5.

Tikimės, kad pasirinkus vertybes iš bendras sprendimas Viskas aišku. Kitas pavyzdys:

4. Išspręskite nelygybę:

7 < 3x+1 < 13

Oho! Ši išraiška vadinama triguba nelygybė. Griežtai kalbant, tai yra sutrumpinta nelygybių sistemos forma. Bet nuspręsti tokius trigubos nelygybės vis tiek kai kuriose užduotyse nutinka... Galima išspręsti be jokių sistemų. Pagal tas pačias identiškas transformacijas.

Turime supaprastinti, perkelti šią nelygybę į gryną X. Bet... Ką kur reikia perkelti?! Štai čia laikas prisiminti, kad reikia judėti į kairę ir į dešinę Trumpa forma pirmoji tapatybės transformacija.

A pilna forma skamba taip: Bet koks skaičius arba išraiška gali būti pridėta / atimta iš abiejų lygties pusių (nelygybė).

Čia yra trys dalys. Taigi visoms trims dalims pritaikysime vienodas transformacijas!

Taigi, atsikratykime vidurinės nelygybės dalies. Iš visos vidurinės dalies atimkime vieną. Kad nelygybė nepasikeistų, iš likusių dviejų dalių atimame vieną. Kaip šitas:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Tai geriau, tiesa?) Belieka visas tris dalis padalinti į tris:

2 < X < 4

Tai viskas. Tai yra atsakymas. X gali būti bet koks skaičius nuo dviejų (neįskaitant) iki keturių (neįskaitant). Šis atsakymas taip pat rašomas intervalais; Ten jie yra labiausiai paplitę.

Pamokos pabaigoje pakartosiu svarbiausią dalyką. Sėkmė sprendžiant tiesines nelygybes priklauso nuo gebėjimo transformuoti ir supaprastinti tiesines lygtis. Jei tuo pačiu metu Stebėkite nelygybės ženklą, nebus jokių problemų. To tau ir linkiu. Jokių problemų.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.