Taip pat operacijai galite naudoti operatorių „nabla“:

Čia atsižvelgiama į tai vektorinis produktas kolineariniai operatoriai yra lygūs nuliui. Tą patį rezultatą siūloma gauti tiesioginiu diferencijavimu.

Iš gauto rezultato galima gauti svarbi pasekmė. Apsvarstykite uždarą kreivę L ir ištempkite ant jo savavališką paviršių S.

Naudodamiesi Stokso teorema, galime parašyti

Gautą rezultatą suformuluokime teoremos forma:

1 teorema. Cirkuliacija vektorinis laukas išilgai bet kurio uždaro kontūro yra lygus nuliui.

1 išvada. Kreivinis integralas nuo skaliarinės funkcijos gradiento nepriklauso nuo integravimo kelio pasirinkimo ir yra visiškai nulemtas pradinio ir pabaigos taškai integravimo linijos.

Įrodymas. Padarykime piešinį.

Atlikime paprasčiausias transformacijas

Vadinasi

Tai reiškia, kad integrandas yra pilnas diferencialas. Vadinasi, integralo reikšmė priklauso tik nuo taškų A ir B pasirinkimo:

Apskaičiuokime operaciją. Norėdami tai padaryti, naudojame gerai žinomą vektorinė algebra dvigubo kryžminio produkto formulė

Perrašykime šią formulę mums patogesne forma

Transformacija atliekama taip, kad tolesnėse formulėse operatorius „nabla“ neatsirastų paskutinėje pozicijoje. Kalbant apie operatorių „nabla“, gauname

(Kas nutiktų, jei naudotume įprastą dvigubo kryžminio produkto formulę?)

Naudodami Laplaso operatoriaus žymėjimą galime rašyti

Mes turime trijų diferencinių ryšių sistemą, parašytą vektorių komponentams F.

Mes pažvelgėme į pagrindines antros eilės diferencialo operacijas. Ateityje juos naudosime įvairioms problemoms spręsti.

Greeno formulės

Paimkime dar keletą formulių bendras, kurie susiję su savybėmis įvairių funkcijų ir yra plačiai naudojami programose. Parašykime Gauso-Ostrogradskio formulę

Leisti ir būti du savavališki skaliarines funkcijas. Padėkime

Tada Gauso-Ostrogradskio teorema įgauna formą

Galite užsirašyti

Čia įvedamas žymėjimas

funkcijos išvestinei kryptimi

Pakeitę šias išraiškas į modifikuotą Gauso-Ostrogradskio formulę, gauname

Ši formulė vadinama pirmąja Greeno formule.

Panašiai, jei įdėtume

tada pirmoji Greeno formulė įgauna formą

Atimti atitinkamas formules, gauname

Ši formulė vadinama antrąja Greeno formule.

Naudojant Greeno formules, galima gauti ryšius tarp funkcijos reikšmių pasirinkto tūrio vidiniuose taškuose ir ribose.

1 teorema. Funkcijos reikšmė in vidinis taškas regione T, apribotas paviršiaus S, nustatoma pagal formulę

atstumas tarp taškų ir. Įrodymas. Apsvarstykite tašką ir apsupkite jį mažu sferinis paviršius spindulys

1. Pagrindinės lauko teorijos sąvokos

Lauko teorija remiasi daugeliu sąvokų šiuolaikinė fizika, mechanika, matematika. Pagrindinės jo sąvokos yra gradientas, srautas, potencialas, rotorius, divergencija, cirkuliacija ir kt. Šios sąvokos taip pat svarbios įsisavinant pagrindines idėjas. matematinė analizė daugelio kintamųjų funkcijas.

Laukas yra erdvės G sritis, kurios kiekviename taške nustatoma tam tikro dydžio reikšmė.

IN fizinių problemų Paprastai yra dviejų tipų dydžiai: skaliarai ir vektoriai. Atsižvelgiant į tai, nagrinėjami dviejų tipų laukai.

Jei kiekvienas šios srities taškas M yra susietas su tam tikru skaičiumi U(M), jie sako, kad in

plotui suteikiamas (apibrėžiamas) skaliarinis laukas. Skaliarinių laukų pavyzdžiai yra temperatūros laukas kokio nors šildomo kūno viduje (kiekviename šio kūno taške M nurodoma atitinkama temperatūra U (M), laukas

bet kokio šviesos šaltinio sukuriamas apšvietimas. Tegul sistema užsifiksuoja erdvėje

taško M koordinates šioje koordinačių sistemoje. Funkcijos U(x,y,z) reikšmės sutampa su lauko U(M) reikšmėmis,

todėl jai išlaikomas tas pats simbolis.

Jei kiekvienas šios srities taškas M yra susietas su tam tikru vektoriumi (M), jie taip sako

nurodytas vektorinis laukas. Vienas iš vektorinių laukų pavyzdžių yra nejudančio skysčio srauto greičio laukas. Jis apibrėžiamas taip: tegul sritis G yra užpildyta skysčiu, tekančiu kiekviename taške su

tam tikras greitis v, nepriklausomas nuo laiko (bet

skiriasi, paprastai kalbant, in skirtingus taškus); Priskirdami vektorių v (M) kiekvienam taškui M iš G, gauname vektorinį lauką, vadinamą greičio lauku.

Jei a(M) yra koks nors vektorinis laukas

erdvę, tada šioje erdvėje paėmę fiksuotą stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą, galime

pavaizduokite a(M) kaip tvarkingą skaliarinio trigubą

funkcijos: a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). Šios

Jei funkcija U (M) (arba a (M)) nepriklauso nuo

laiko, tada skaliarinis (vektorinis) laukas vadinamas stacionariu; Laikui bėgant kintantis laukas vadinamas nestacionariu. Toliau apžvelgsime tik stacionarius laukus.

2. Pagrindinės skaliarinių ir vektorinių laukų charakteristikos

Vektorius, kurio koordinatės yra funkcijos U (x,y,z) dalinių išvestinių reikšmės taške

M (x ,y ,z ) vadinamas funkcijos gradientu ir žymi

gradU (x,y,z), t.y.
	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
gradU (x ,y ,z ) =	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
	∂x	∂y	∂z

Yra žinoma, kad gradientas nustato sparčiausio funkcijos U (x,y,z) didėjimo kryptį taške M. Jie sako, kad sukuria skaliarinį lauką U

vektoriaus gradiento laukas U.

Gradiento linija vadinamas skaliarinis laukas U(M).

bet kuri kreivė, kurios liestinė kiekviename taške yra nukreipta išilgai gradU tame taške.

Taigi lauko gradiento linijos yra tos linijos, pagal kurias laukas keičiasi greičiausiai.

Norėdami suformuluoti kitą gradiento savybę, prisiminkime lygaus paviršiaus apibrėžimą.

Lygus paviršius funkcijos (laukai)U =U (x,y,z)

yra paviršius, kuriame išsaugoma funkcija (laukas). pastovią vertę. Lygio paviršiaus lygtis yra U (x,y,z) =C.

Taigi kiekviename lauko taške gradientas nukreipiamas išilgai normalaus į lygų paviršių, einantį per šį tašką.

Vektoriaus lauko a = (P ,Q ,R ) srautas Π

paviršius σ vadinamas paviršiaus integralas

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

arba, trumpai tariant, ∫∫ a n dS, kur per n = (cosα, cosβ, cosγ)

paskirta vieneto vektorius normalus paviršiui σ, apibrėžiantis jo pusę.

Vektoriaus lauko divergencija (M) in
		a ns
vadinamas limitu

	v → 0
sritis Ω G, kurioje yra		taškas M ir σ
sritis Ω, kuri žymima diva (M).
Jei privatus	dariniai		∂P,	∂Q,	∂R
			∂x	∂y	∂z

tada yra tęstiniai

∂P+

∂Q+

∂R.

div a(M) =

∂x

∂y

∂z

Vektoriaus lauko rotorius (arba sūkurys) = (P,Q,R)

vadinamas kitas vektorius

∂R

∂Q

∂P

∂R

∂Q

∂P

puvinys a

∂y

∂z

∂x

∂y

Formoje patogu užrašyti vektorinio lauko vingį

simbolinis determinantas

puvimas a =

∂x

∂y

∂z

kur pagal vieno iš simbolių dauginimą

∂x

∂z

∂y

kai kurie

yra suprantama

egzekucija

tinkamas

operacijos

diferenciacija

(Pavyzdžiui,

Q reiškia

∂Q

∂x

Tegu L yra uždara kreivė srityje Ω. Integralinis

∫ P dx+ Q dy+ R dz

vadinama lauko cirkuliacija = (P ,Q ,R )

išilgai L kreivės ir

žymimas

∫ a d r,

d r = (dx, dy, dz) .

3. Stokso ir Ostrogradskio-Gausso formulės

Pažymėkime L tam tikrą uždarą kontūrą, o σ paviršių, kurį apima šis kontūras.

Daroma prielaida, kad kontūro krypties pasirinkimas atitinka paviršiaus kraštinės pasirinkimą (eidami kontūrą pasirinkta kryptimi, pasirinkta pusė yra kairėje).

Stokso formulė sako, kad vektorinio lauko cirkuliacija išilgai tam tikro kontūro yra lygi vektorinio lauko rotoriaus srautui per šį kontūrą ištemptą paviršių.

Tegu dabar Ω yra uždaras ribotas plotas, aσ yra šios srities riba. Tada tai yra sąžininga

σ Ω

Prisiminkite, kad paviršiaus integralas kairėje formulės (5) pusėje yra paimtas pagal lauke paviršius σ.

Ostrogradskio-Gausso formulė tai reiškia trigubas integralas virš ploto nuo vektorinio lauko divergencijos lygus srautuišio lauko per paviršių, ribojantį šią sritį.

4. Hamiltono operatorius. Kai kurie skaliarinių ir vektorinių laukų tipai

Anglų matematikas ir mechanikas Hamiltonas pristatė vektoriaus diferencialo operatorių


∂x	∂y	∂z

paskambino nabla operatorei.

Reikėtų iš karto pažymėti, kad analogija tarp simbolinio vektoriaus ir „tikrųjų“ vektorių nėra

užbaigti. Būtent formulės, turinčios simbolinį vektorių, yra panašios į įprastas vektorinės algebros formules, jei jose nėra sandaugų kintamieji(skaliarinis ir vektorinis), tai yra tol, kol kintamųjų dydžių sandaugai turėsite pritaikyti diferenciacijas, įtrauktas į operacijas.

Naudojant nabla vektorių, skaliarinio lauko gradientą

Simbolinio vektoriaus įvedimo tikslingumas slypi tame, kad jo pagalba patogu gauti ir rašyti įvairios formulės vektorinė analizė.

Parodykime tai pavyzdžiais.

1 uždavinys. Įrodykite, kad skaliarinio lauko U (M) gradiento rotorius yra lygus 0, tai yra rot(gradU) = 0.

Pirmiausia įrodykime šią lygybę nenaudodami Hamiltono operatoriaus. Taigi,

rot(gradU) = puvimas	∂U(M)	, ∂U (M) ,	∂U (M) =

	∂x	∂y	∂z

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

∂z

∂U

∂z ∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

∂z ∂x

∂z

∂y ∂x

∂x ∂y

k = 0,

kadangi pagal Schwarzo teoremą tolydžios mišrios išvestinės yra lygios.

Dabar, naudojant gradiento (7) ir rotoriaus (9) rašymo formą, gauname rot(gradU ) =× U .

Kadangi vektorius U (vektoriaus ir skaliro U sandauga) yra kolinerinis vektoriui, tada jų vektorius

produktas yra 0.

2 užduotis. Užrašykite skaliarinio lauko gradiento div(gradU ) divergenciją naudodami.

Formuodami divergenciją nuo gradU, gauname

div(gradU) = div	∂ U s i + ∂ U s j +		∂ U k s =

∂x		∂y	∂z

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Operatorius	∂2	∂2	∂2	paskambino operatoriui
	∂x2	∂y 2	∂z 2

Laplasas ir žymimas simboliu:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Kadangi vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus kvadratui jo modulis, tada = 2. Taigi div(gradU ) =2 U .

Vektorinis laukas a (M) vadinamas potencialu,

jei jį galima pavaizduoti kaip kokio nors skaliarinio lauko U(M) gradientą:

a = gradU .

Pats skaliarinis laukas U vadinamas vektorinio lauko potencialu.

Kad vektorinis laukas a(M) būtų

Lygybės (10) įvykdymo būtinybė įrodyta (žr. aukščiau aptartą 1 uždavinį).

Vektoriaus lauko potencialą galima rasti naudojant formulę


U (M) = ∫ P(x, y, z) dx+ ∫ Q(x0 , y, z) dy+ ∫ R(x0 , y0 , z) dz+ C,

kur (x 0 , y 0 , z 0 ) - savavališkas taškas plotai G.

Vektorinis laukas a(M), kurio divergencija

identiškai lygus nuliui, vadinamas solenoidiniu (vamzdiniu).

Norėdami suformuluoti vieną iš svarbiausias savybes solenoidinis laukas, pristatome vektoriaus linijos ir vektoriaus vamzdžio sąvokas.

Tiesė L, esanti G, vadinama vektoriumi

linija, jei kiekviename šios tiesės taške jos liestinės kryptis sutampa su vektorinio lauko kryptimi šiame taške.

Yra žinoma, kad vektorinė linija yra diferencialinių lygčių sistemos integralinė kreivė

Visų pirma, jei vektorinis laukas yra nejudančio skysčio srauto greičio laukas, tai jo vektorinės linijos yra skysčio dalelių trajektorijos.

Vektoriaus vamzdis yra uždara taškų rinkinys Φ srityje G, kurioje vektorinis laukas a (M) yra nurodytas taip, kad visur jo ribiniame paviršiuje normalusis vektorius n yra statmenas (M).

Vektoriaus vamzdis susideda iš vektoriaus lauko linijų a(M). Vektorinė linija yra visiškai įtraukta į Φ if

vienas linijos taškas yra Φ.

Vamzdžio Φ intensyvumas atkarpoje yra lauko srautas (M) per šią atkarpą.

Jei laukas yra solenoidinis, vektoriaus vamzdžio intensyvumo išsaugojimo dėsnis yra įvykdytas.

Nesuspaudžiamo skysčio greičio laukui v(M), kai nėra kriauklių ir šaltinių (ty esant sąlygai divv(M) = 0), taikomas vektoriaus intensyvumo išsaugojimo dėsnis.

vamzdelius galima suformuluoti taip: skysčio kiekis, tekantis per laiko vienetą per vektoriaus vamzdžio skerspjūvį, yra vienodas visoms jo atkarpoms.

Žemiau yra keletas tipinės užduotys su sprendimais.

3 užduotis. Raskite skaliarinio lauko lygio paviršius

U (M) = x2 + y2 − z.

lygūs paviršiai yra elipsinių paraboloidų šeima, kurios simetrijos ašis yra Ozo ašis.

4 užduotis.

Skaliariniame lauke U (M ) = xy 2 + z 2 raskite

gradientas taške M 0 (2,1,− 1) .

Raskime vertybes

daliniai dariniai

U (M) taške M 0:

∂U

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Vadinasi,

gradU (M 0 ) =s i + 4s j − 2k s.

Apskaičiuokite vektorinio lauko divergenciją

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

taške M 0 (1,− 2,1) .

P = 2xy 2 , Q =− yz , R = 3z 2 . Raskime vertę

atitinkamos dalinės išvestinės taške M 0:

∂P|

2 m. 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

Rotorius (matematika)

Rotorius, arba sūkurys yra vektoriaus diferencialinis operatorius vektoriniame lauke.

Paskirta

(rusų kalbos literatūroje) arba

(anglų literatūroje),

ir taip pat kaip diferencialo operatoriaus vektorinį padauginimą iš vektoriaus lauko:

Šio operatoriaus veiksmo konkrečiame vektoriaus lauke rezultatas F paskambino lauko rotorius F arba, trumpai tariant, tiesiog rotorius F ir reiškia naują vektorinį lauką:

Puvimo laukas F(vektoriaus puvimo ilgis ir kryptis F kiekviename erdvės taške) tam tikra prasme apibūdina lauko sukimosi komponentą F atitinkamai kiekviename taške.

Intuityvus vaizdas

Jeigu v(x,y,z) yra dujų greičio (arba skysčio srauto) laukas puvinys v- vektorius, proporcingas labai mažos ir lengvos dulkių (arba rutulio) dėmės, esančios sraute (ir įtrauktos dėl dujų ar skysčio judėjimo), kampinio greičio vektoriui; nors rutulio centras gali būti fiksuojamas, jei pageidaujama, kaip tol, kol jis gali laisvai suktis aplink jį).

Tiksliau puvinys v = 2 ω , Kur ω - šis kampinis greitis.

Paprastą šio fakto iliustraciją rasite toliau.

Šią analogiją galima suformuluoti gana griežtai (žr. toliau). Pagrindinis apibrėžimas per apyvartą (pateiktas kitoje pastraipoje) gali būti laikomas lygiaverčiu gautam tokiu būdu.

Matematinis apibrėžimas

Vektorinio lauko vingis yra vektorius, kurio projekcija kiekviena kryptimi n yra vektorinio lauko cirkuliacijos santykio išilgai kontūro riba L, kuri yra lygaus ploto Δ kraštas S, statmenai šiai krypčiai, šios srities dydžiui, kai ploto matmenys linkę į nulį, o pati sritis susitraukia iki taško:

Kontūro važiavimo kryptis parenkama taip, kad, žiūrint kryptimi, kontūras Lėjo pagal laikrodžio rodyklę.

Trijų dimensijų Dekarto sistema Rotoriaus koordinatės (kaip apibrėžta aukščiau) apskaičiuojamos taip (čia F- žymi tam tikrą vektorinį lauką su Dekarto komponentais ir - Dekarto koordinačių vienetinius vektorius):

Patogumui galime oficialiai pavaizduoti rotorių kaip nabla operatoriaus (kairėje) ir vektorinio lauko vektorinį sandaugą:

(Paskutinė lygybė formaliai reiškia vektorinį sandaugą kaip determinantą.)

Susiję apibrėžimai

Vektorinis laukas, kurio rotorius lygus nuliui bet kuriuo tašku vadinamas erzinantis ir yra potencialą. Kadangi šios sąlygos yra būtinos ir pakankamos viena kitai, abu terminai yra praktiniai sinonimai. (Tačiau tai galioja tik laukams, apibrėžtiems tiesiog prijungtame domene).

Norėdami sužinoti daugiau apie abipusį potencialumo sąlygiškumą ir lauko irrotacinį pobūdį, žr. toliau (Pagrindinės savybės).

Priešingai, paprastai vadinamas laukas, kurio garbanos lygis nelygus nuliui sūkurys , toks laukas negali būti potencialus.

Apibendrinimas

Tiesioginis rotoriaus apibendrinimas, taikomas vektoriaus (ir pseudovektoriaus) laukams, apibrėžtiems savavališko matmens erdvėse (su sąlyga, kad erdvės matmuo sutampa su lauko vektoriaus matmeniu), yra toks:

su indeksais m Ir n nuo 1 iki erdvės matmens.

Tai taip pat gali būti parašyta kaip išorinis produktas:

Šiuo atveju rotorius yra antisimetrinis tenzorinis laukas, kurio valentingumas yra du.

3 dimensijos atveju šio tenzoriaus konvoliucija su Levi-Civita simboliu suteikia įprastas apibrėžimas trimatis rotorius, pateiktas aukščiau esančiame straipsnyje.

Be to, dvimatėje erdvėje, jei pageidaujama, galima naudoti panašią formulę su pseudoskaliariniu sandauga (toks rotorius bus pseudoskaliarinis, sutampantis su tradicinės vektorinės sandaugos projekcija į ašį, statmeną tam tikrai dvimačiai erdvė – jei laikysime dvimatę erdvę įterpta į kokią nors trimatę erdvę, kad tradicinė vektorinė sandauga turėtų prasmę).

Svarbiausios vektorinio lauko charakteristikos yra rotorius ir divergencija. Šioje pastraipoje apžvelgsime matematinis aprašymasšios vektorinių laukų charakteristikos ir jų skaičiavimo metodai naudojant diferencines operacijas. Šiuo atveju naudosime tik Dekarto koordinačių sistemą. Daugiau pilnas apibrėžimas divergencija ir rotorius bei jų fizinę reikšmę Mes pažvelgsime į tai kitame skyriuje. Šių dydžių skaičiavimą kreivinėse koordinačių sistemose svarstysime vėliau.

Panagrinėkime vektorinį lauką, apibrėžtą trimatėje erdvėje.

Apibrėžimas 1. Vektorinio lauko divergencija yra skaičius, kurį apibrėžia išraiška

Daroma prielaida, kad nagrinėjamame taške egzistuoja atitinkamos dalinės išvestinės priemonės. Vektorinio lauko divergenciją, kaip ir gradientą, galima parašyti naudojant operatorių nabla

Čia skirtumai pavaizduoti kaip taškinis produktas vektoriai ir F. Be įrodymų pažymėkime, kad divergencija apibūdina lauką kuriančių šaltinių tankį.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko divergenciją taške.

2 apibrėžimas. Vektoriaus lauko vingis yra vektorius, kurį apibrėžia išraiška

Atkreipkite dėmesį, kad pateiktoje sumoje gretimų terminų indeksai keičiasi pagal apskritimo permutacijos taisyklę, atsižvelgiant į taisyklę.

Vektorinio lauko garbanos gali būti parašytos naudojant operatorių nabla

Rotorius apibūdina vektoriaus lauko polinkį suktis arba suktis, todėl jis kartais vadinamas sūkuriu ir žymimas garbanėF.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko vingį taške.

Kartais prireikia apskaičiuoti vektorinio lauko gradientą. Šiuo atveju apskaičiuojamas kiekvieno vektoriaus lauko komponento gradientas. Rezultatas yra antrojo rango tenzorius, kuris lemia vektoriaus gradientą. Šį tenzorių galima apibūdinti matrica

Tokiems objektams apibūdinti patogu naudoti tenzorinį žymėjimą

tikėdamas. Tenzorinių metodų naudojimas supaprastina matematines operacijas virš tokių objektų. Išsamus tenzorinio skaičiavimo aparato pristatymas pateikiamas kurse „Tenzorių analizės pagrindai“, kuris dėstomas lygiagrečiai su kursu „Papildomi aukštosios matematikos skyriai“.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko gradientą.

Sprendimas. Skaičiavimams naudojame tenzorinį žymėjimą. Turime

Čia Kronecker simbolis yra tapatybės matrica.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite skaliarinio lauko gradientą ir palyginkite išraiškas ir.

Kai kurios nabla operatoriaus savybės

Anksčiau mes pristatėme vektoriaus diferenciacijos operatorių

Naudodami šį operatorių užrašėme pagrindines diferencialines operacijas tenzoriniai laukai:

Operatorius yra diferenciacijos operatoriaus apibendrinimas ir turi atitinkamas išvestinės savybes:

1) sumos išvestinė lygi išvestinių sumai

2) pastovus veiksnys galima išimti kaip operatoriaus ženklą

Išvertus į vektorinių funkcijų kalbą, šios savybės turi tokią formą:

Šios formulės išvedamos taip pat, kaip ir atitinkamos vieno kintamojo funkcijos išvestinių formulės.

Naudodami Hamiltono operatorių galime supaprastinti daugelį operacijų, susijusių su diferencijavimu tenzorių laukuose. Tačiau atminkite, kad šis operatorius yra vektorinis operatorius ir su juo reikia elgtis atsargiai. Pažvelkime į kai kurias šio operatoriaus programas. Šiuo atveju atitinkamos formulės rašomos ir naudojant Hamiltono operatorių, ir įprastiniu žymėjimu.