Praktikoje gana įprasta naudoti išvestinę, kad būtų galima apskaičiuoti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. Šį veiksmą atliekame tada, kai išsiaiškiname, kaip sumažinti išlaidas, padidinti pelną, apskaičiuoti optimalų gamybos apkrovą ir pan., tai yra tais atvejais, kai reikia nustatyti optimalią vertę bet koks parametras. Norėdami teisingai išspręsti tokias problemas, turite gerai suprasti, kokios yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paprastai šias reikšmes apibrėžiame per tam tikrą intervalą x, kuris savo ruožtu gali atitikti visą funkcijos sritį arba jos dalį. Tai gali būti kaip atkarpa [a; b ] , ir atvirasis intervalas (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), begalinis intervalas (a ; b), (a ; b ], [a ; b) arba begalinis intervalas - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šioje medžiagoje mes jums pasakysime, kaip apskaičiuoti didžiausias ir mažiausias aiškiai apibrėžtos funkcijos reikšmes su vienu kintamuoju y=f(x) y = f (x) .

Pagrindiniai apibrėžimai

Pradėkime, kaip visada, nuo pagrindinių apibrėžimų formulavimo.

1 apibrėžimas

Didžiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m a x y = f (x 0) x ∈ X, kuri bet kuriai reikšmei x x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f (x) ≤ f (x) galioja 0) .

2 apibrėžimas

Mažiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m i n x ∈ X y = f (x 0) , kuri bet kuriai reikšmei x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Šie apibrėžimai yra gana akivaizdūs. Dar paprasčiau, galime pasakyti taip: didžiausia funkcijos vertė yra jos didžiausia puiki vertėžinomame intervale ties abscisėmis x 0, o mažiausia yra mažiausia priimtina reikšmė tame pačiame intervale ties x 0.

3 apibrėžimas

Stacionarieji taškai yra tos funkcijos argumento reikšmės, kai jos išvestinė tampa 0.

Kodėl turime žinoti, kas yra stacionarūs taškai? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime prisiminti Ferma teoremą. Iš to išplaukia, kad stacionarus taškas yra taškas, kuriame yra diferencijuojamos funkcijos ekstremumas (t. y. jos vietinis minimumas arba maksimalus). Vadinasi, funkcija įgaus mažiausią arba didžiausią reikšmę tam tikru intervalu būtent viename iš stacionarių taškų.

Funkcija taip pat gali įgyti didžiausią arba mažiausią reikšmę tuose taškuose, kuriuose pati funkcija yra apibrėžta ir neegzistuoja pirmoji jos išvestinė.

Pirmas klausimas, kylantis studijuojant šią temą: ar visais atvejais galime nustatyti didžiausią ar mažiausią funkcijos reikšmę duotame intervale? Ne, mes negalime to padaryti, kai tam tikro intervalo ribos sutampa su apibrėžimo srities ribomis arba jei turime reikalą su begaliniu intervalu. Taip pat atsitinka, kad funkcija tam tikrame segmente arba begalybėje bus be galo maža arba be galo maža didelės vertės. Tokiais atvejais neįmanoma nustatyti didžiausios ir (arba) mažiausios vertės.

Šie taškai taps aiškesni, kai bus pavaizduoti diagramose:

Pirmajame paveikslėlyje pavaizduota funkcija, kuri stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpoje [-6 ; 6].

Išsamiai panagrinėkime antroje diagramoje nurodytą atvejį. Pakeiskime atkarpos reikšmę į [ 1 ; 6] ir mes nustatome, kad didžiausia funkcijos reikšmė bus pasiekta taške, kurio abscisė yra dešinėje intervalo riboje, o mažiausia - ties stacionarus taškas.

Trečiame paveiksle taškų abscisės žymi atkarpos ribinius taškus [ - 3 ; 2]. Jie atitinka didžiausią ir mažiausią tam tikros funkcijos reikšmę.

Dabar pažiūrėkime į ketvirtą paveikslėlį. Jame funkcija ima m a x y (didžiausia reikšmė) ir m i n y (mažiausią reikšmę) atviro intervalo stacionariuose taškuose (- 6; 6).

Jei imtume intervalą [ 1 ; 6), tada galime pasakyti, kad mažiausia joje esančios funkcijos reikšmė bus pasiekta stacionariame taške. Didžiausia vertybė mums bus nežinoma. Funkcija gali gauti didžiausią reikšmę, kai x yra lygi 6, jei x = 6 priklausytų intervalui. Būtent toks atvejis parodytas 5 diagramoje.

6 diagramoje mažiausia reikšmė šią funkcijąįgyja ties dešine intervalo riba (- 3; 2 ], ir negalime daryti konkrečių išvadų apie didžiausią reikšmę.

7 paveiksle matome, kad funkcija m a x y stacionariame taške, kurio abscisė lygi 1. Funkcija pasieks mažiausią reikšmę ties intervalo c riba dešinėje pusėje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3.

Jei imsime intervalą x ∈ 2; + ∞ , tada pamatysime, kad duotoji funkcija neužims nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Jei x linkęs į 2, tada funkcijos reikšmės bus linkusios atėmus begalybę, nes tiesė x = 2 yra vertikali asimptotė. Jei abscisė linkusi padidinti begalybę, tada funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3. Būtent toks atvejis parodytas 8 paveiksle.

Šioje pastraipoje pateiksime veiksmų, kuriuos reikia atlikti, norint rasti didžiausią arba mažiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmę, seką.

Pirmiausia suraskime funkcijos apibrėžimo sritį. Patikrinkime, ar sąlygoje nurodytas segmentas į jį įtrauktas.
Dabar apskaičiuokime taškus, esančius šiame segmente, kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Dažniausiai juos galima rasti funkcijose, kurių argumentas parašytas po modulio ženklu arba in galios funkcijos, kurio eksponentas yra trupmeninis racionalusis skaičius.
Toliau išsiaiškinsime, kurie stacionarūs taškai pateks duotoje atkarpoje. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti funkcijos išvestinę, tada prilyginti ją 0 ir išspręsti gautą lygtį, o tada pasirinkti atitinkamas šaknis. Jei negauname nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą segmentą, pereiname prie kito žingsnio.
Nustatome, kokias reikšmes funkcija įgis tam tikruose stacionariuose taškuose (jei tokių yra) arba tuose taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), arba apskaičiuojame x = a ir reikšmes. x = b.
5. Turime keletą funkcijų reikšmių, iš kurių dabar turime pasirinkti didžiausią ir mažiausią. Tai bus didžiausios ir mažiausios funkcijos, kurią turime rasti, reikšmės.

Pažiūrėkime, kaip teisingai pritaikyti šį algoritmą sprendžiant problemas.

1 pavyzdys

Būklė: pateikta funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nustatykite jo didžiausias ir mažiausias reikšmes segmentuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Sprendimas:

Pradėkime nuo nurodytos funkcijos apibrėžimo srities. Tokiu atveju ji turės daug visų realūs skaičiai, išskyrus 0. Kitaip tariant, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Abu sąlygoje nurodyti segmentai bus apibrėžimo srityje.

Dabar apskaičiuojame funkcijos išvestinę pagal trupmenų diferenciacijos taisyklę:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Sužinojome, kad funkcijos išvestinė egzistuos visuose atkarpų taškuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Dabar turime nustatyti stacionarius funkcijos taškus. Padarykime tai naudodami lygtį x 3 – 8 x 3 = 0. Jis turi tik vieną tikrą šaknį, kuri yra 2. Tai bus stacionarus funkcijos taškas ir pateks į pirmąjį segmentą [1; 4].

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes pirmojo segmento galuose ir šiame taške, t.y. jei x = 1, x = 2 ir x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos m a x y x ∈ reikšmė [1; 4 ] = y (2) = 3 bus pasiektas esant x = 1, o mažiausias m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – kai x = 2.

Antrasis segmentas neapima vieno stacionaraus taško, todėl funkcijų reikšmes turime apskaičiuoti tik nurodyto segmento galuose:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tai reiškia m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atsakymas: Segmentui [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 atkarpai [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Žiūrėti paveikslėlį:

Prieš studijuojant šis metodas, patariame peržvelgti, kaip teisingai apskaičiuoti vienpusę ribą ir ribą begalybėje, taip pat išmokti pagrindinius jų radimo būdus. Norėdami rasti didžiausią ir (arba) mažiausią funkcijos reikšmę atvirame arba begaliniame intervale, nuosekliai atlikite šiuos veiksmus.

Pirmiausia turite patikrinti, ar duotas intervalas bus nurodytos funkcijos srities poaibis.
Nustatykime visus taškus, esančius reikiamame intervale ir kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Paprastai jie atsiranda funkcijose, kuriose argumentas yra modulio ženkle, ir laipsnio funkcijose su trupmenomis racionalus rodiklis. Jei šių taškų trūksta, galite pereiti prie kito veiksmo.
Dabar nustatykime, kurie stacionarūs taškai pateks į nurodytą intervalą. Pirmiausia išvestinę prilyginame 0, išsprendžiame lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei neturime nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą intervalą, tada iš karto einame į tolesni veiksmai. Jie nustatomi pagal intervalo tipą.

Jei intervalas yra [ a ; b) , tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = a ir vienpusis riba lim x → b - 0 f (x) .
Jei intervalas turi formą (a; b ], tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = b ir vienpusę ribą lim x → a + 0 f (x).
Jei intervalas turi formą (a; b), tada turime apskaičiuoti vienpuses ribas lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Jei intervalas yra [ a ; + ∞), tada turime apskaičiuoti reikšmę taške x = a ir ribą plius begalybėje lim x → + ∞ f (x) .
Jei intervalas atrodo taip (- ∞ ; b ] , apskaičiuojame reikšmę taške x = b ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x) .
Jei - ∞ ; b , tada atsižvelgsime į vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x)
Jei - ∞; + ∞ , tada atsižvelgiame į minuso ir pliuso begalybės ribas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Pabaigoje, remiantis gautomis funkcijų reikšmėmis ir ribomis, reikia padaryti išvadą. Čia yra daug variantų. Taigi, jei vienpusė riba yra lygi minus begalybei arba plius begalybei, tada iš karto aišku, kad nieko negalima pasakyti apie mažiausias ir didžiausias funkcijos reikšmes. Žemiau apžvelgsime vieną tipinis pavyzdys. Išsamūs aprašymai padės suprasti, kas yra kas. Jei reikia, galite grįžti prie 4 - 8 paveikslų pirmoje medžiagos dalyje.

2 pavyzdys

Sąlyga: duota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Apskaičiuokite jo didžiausią ir mažiausią reikšmę intervaluose - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2), [ 1 ; 2 ), 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Sprendimas

Pirmiausia randame funkcijos apibrėžimo sritį. Trupmenos vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kuris neturėtų eiti į 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Gavome funkcijos apibrėžimo sritį, kuriai priklauso visi sąlygoje nurodyti intervalai.

Dabar atskirkime funkciją ir gaukime:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 × + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Vadinasi, funkcijos išvestiniai egzistuoja visoje jos apibrėžimo srityje.

Pereikime prie stacionarių taškų paieškos. Funkcijos išvestinė tampa 0, kai x = - 1 2 . Tai yra stacionarus taškas, esantis intervaluose (- 3 ; 1 ] ir (- 3 ; 2).

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę esant x = - 4 intervalui (- ∞ ; - 4 ], taip pat ribą minus begalybėje:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kadangi 3 e 1 6 - 4 > - 1, tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tai neleidžia vienareikšmiškai nustatyti mažiausios Galime tik daryti išvadą, kad yra apribojimas, esantis žemiau - 1, nes iki šios reikšmės funkcija asimptotiškai artėja prie minus begalybės.

Antrojo intervalo ypatumas yra tas, kad jame nėra nei vieno stacionaraus taško, nei vienos griežtos ribos. Vadinasi, negalėsime apskaičiuoti nei didžiausios, nei mažiausios funkcijos reikšmės. Apibrėžę ribą minus begalybėje ir kairėje pusėje esant argumentui - 3, gauname tik reikšmių intervalą:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tai reiškia, kad funkcijų reikšmės bus intervale - 1; +∞

Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę trečiajame intervale, nustatome jos reikšmę stacionariame taške x = - 1 2, jei x = 1. Taip pat turėsime žinoti vienpusę ribą tuo atveju, kai argumentas linkęs į - 3 dešinėje:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Paaiškėjo, kad funkcija įgaus didžiausią reikšmę stacionariame taške m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kalbant apie mažiausią reikšmę, mes negalime jos nustatyti. Viskas, ką mes žinome , yra apatinės ribos iki -4 buvimas.

Intervalui (- 3 ; 2) paimkite ankstesnio skaičiavimo rezultatus ir dar kartą apskaičiuokite, kam lygi vienpusė riba, kai kairėje pusėje linkstama į 2:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, o mažiausia reikšmė negali būti nustatyta, o funkcijos reikšmės iš apačios ribojamos skaičiumi - 4 .

Remdamiesi tuo, ką gavome atlikdami du ankstesnius skaičiavimus, galime pasakyti, kad intervale [1; 2) funkcija įgis didžiausią reikšmę, kai x = 1, bet neįmanoma rasti mažiausios.

Intervale (2 ; + ∞) funkcija nepasieks nei didžiausios, nei mažiausios reikšmės, t.y. jis paims vertes iš intervalo - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

Apskaičiavę, kokiai funkcijos reikšmė bus lygi, kai x = 4, sužinome, kad m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , o duotoji funkcija plius begalybėje asimptotiškai priartės prie tiesės y = - 1 .

Palyginkime tai, ką gavome kiekviename skaičiavime, su pateiktos funkcijos grafiku. Paveiksle asimptotės pavaizduotos punktyrinėmis linijomis.

Tai viskas, ką norėjome jums pasakyti apie didžiausių ir mažiausių funkcijos verčių radimą. Mūsų pateiktos veiksmų sekos padės kuo greičiau ir paprasčiau atlikti reikiamus skaičiavimus. Tačiau atminkite, kad dažnai pravartu pirmiausia išsiaiškinti, kokiais intervalais funkcija mažės, o kokiais didės, o po to galite padaryti tolesnes išvadas. Taip galite tiksliau nustatyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes bei pagrįsti gautus rezultatus.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Smulkus ir gražus paprasta užduotis iš tų, kurie tarnauja kaip gelbėjimosi priemonė plūduriuojančiam studentui, kategorijos. Gamtoje liepos vidurys, tad pats laikas su nešiojamu kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Anksti ryte pradėjo žaisti saulėtas zuikis teoriją, kad netrukus susitelktų į praktiką, kurioje, nepaisant tariamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti kelis šio puslapio pavyzdžius. Norėdami išspręsti praktines užduotis turi sugebėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Monotoniškumo intervalai ir funkcijos ekstremumai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo taške ir tęstinumo intervale apibrėžimą. Pavyzdinis funkcijos elgesys segmente suformuluotas panašiai. Funkcija yra nepertraukiama tam tikru intervalu, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške teisingai ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbėjome apie vadinamąjį vienpusis tęstinumas veikia taške. Yra keletas būdų, kaip jį apibrėžti, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra ištisinė taške teisingai, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške ir jo kairioji riba lygi verteišiuo metu:

Įsivaizduokite tai žali taškai- tai yra nagai, ant kurių pritvirtinama stebuklinga elastinė juosta:

Protiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas– viršuje tvora, apačioje tvora, o aptvare ganosi mūsų gaminys. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi intervale, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas. Pirmoji Weierstrasso teorema....Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, bet tai turi svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota erdvė erdvėje nebuvo akivaizdi! Tikrai, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal Antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tikslūs viršutinis kraštas ir tavo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir yra žymimi , o skaičius yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Grubiai tariant, didžiausia vertybė yra ten, kur daugiausia aukščiausias taškas grafika, o mažiausias yra ten, kur yra žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo pabrėžta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos vertė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAIP, Ką maksimali funkcija Ir minimali funkcija. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis nagrinėjamos problemos kontekste mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis, todėl nereikia daryti piešinio!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijos reikšmes kritinius taškus , kurie priklauso šis segmentas .

Pagauk dar vieną premiją: čia nereikia tikrinti, ar pakankama ekstremumo sąlyga, nes, kaip ką tik parodyta, ar yra minimumas arba maksimumas dar negarantuoja, koks yra minimalus arba maksimali vertė. Parodomoji funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia toks pat skaičius yra didžiausia segmento funkcijos reikšmė. Bet, žinoma, toks sutapimas pasitaiko ne visada.

Taigi pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar juose yra ekstremalių, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Iš funkcijų reikšmių, rastų 1 ir 2 pastraipose, pasirinkite mažiausią ir didžiausią didelis skaičius, parašykite atsakymą.

Atsisėdame ant kranto mėlyna jūra ir kulnais trenkiame į seklią vandenį:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Sprendimas:
1) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę antrame kritiniame taške:

2) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai gauti su eksponentais ir logaritmais, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluokite skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuokime apytiksles reikšmes, nepamiršdami:

Dabar viskas aišku.

Atsakymas:

Trupmeninis racionalus pavyzdys savarankiškas sprendimas:

6 pavyzdys

Raskite maksimalų ir minimali vertė veikia tam tikru intervalu

Standartinis tokių uždavinių sprendimo algoritmas apima, suradus funkcijos nulius, nustatomi išvestinės intervaluose ženklai. Tada apskaičiuojamos reikšmės rastuose maksimaliuose (arba mažiausiuose) taškuose ir intervalo ribose, priklausomai nuo to, koks klausimas yra sąlygoje.

Patariu viską daryti kiek kitaip. Kodėl? Aš rašiau apie tai.

Tokias problemas siūlau spręsti taip:

1. Raskite išvestinę.
2. Raskite išvestinės nulius.
3. Nustatykite, kurie iš jų priklauso šiam intervalui.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 3 žingsnio intervalo ir taškų ribose.
5. Padarome išvadą (atsakome į pateiktą klausimą).

Sprendžiant pateiktus pavyzdžius, kvadratinių lygčių sprendimas nėra išsamiai aptariamas, jūs turėtumėte tai padaryti. Jie taip pat turėtų žinoti.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

77422. Raskite didžiausią funkcijos y=x reikšmę 3 –3x+4 atkarpoje [–2;0].

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = –1 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –2, –1 ir 0:

Didžiausia funkcijos reikšmė yra 6.

Atsakymas: 6

77425. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 3x 2 + 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = 2 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 1, 2 ir 4 taškuose:

Mažiausia funkcijos reikšmė –2.

Atsakymas: -2

77426. Raskite atkarpoje [–3;3] didžiausią funkcijos y = x 3 – 6x 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Sąlygoje nurodytame intervale yra taškas x = 0.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –3, 0 ir 3:

Mažiausia funkcijos reikšmė yra 0.

Atsakymas: 0

77429. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 2x 2 + x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Gauname šaknis: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Sąlygoje nurodytame intervale yra tik x = 1.

Raskime funkcijos reikšmes 1 ir 4 taškuose:

Mes nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77430. Raskite didžiausią funkcijos y = x 3 + 2x 2 + x + 3 reikšmę atkarpoje [– 4; –1].

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius, išspręskime kvadratinė lygtis:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Paimkime šaknis:

Sąlygoje nurodytame intervale yra šaknis x = –1.

Funkcijos reikšmes randame taškuose –4, –1, –1/3 ir 1:

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77433. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – x 2 – 40x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius ir išspręskime kvadratinę lygtį:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Paimkime šaknis:

Sąlygoje nurodytame intervale yra šaknis x = 4.

Raskite funkcijų reikšmes taškuose 0 ir 4:

Nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra –109.

Atsakymas: –109

Panagrinėkime būdą, kaip nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijų vertes be išvestinės. Šis metodas gali būti naudojamas, jei turite didelių problemų. Principas paprastas - visas sveikųjų skaičių reikšmes iš intervalo pakeičiame į funkciją (faktas yra tas, kad visuose tokiuose prototipuose atsakymas yra sveikasis skaičius).

77437. Raskite atkarpoje [–2;2] mažiausią funkcijos y=7+12x–x 3 reikšmę.

Pakeiskite taškus nuo –2 iki 2: Žiūrėti sprendimą

77434. Raskite didžiausią funkcijos y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 reikšmę atkarpoje [–2;0].

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė

Didžiausia funkcijos reikšmė yra didžiausia, mažiausia reikšmė yra mažiausia iš visų jos reikšmių.

Funkcija gali turėti tik vieną didžiausią ir tik vieną mažiausią reikšmę arba gali neturėti jokios. Surasti didžiausią ir mažiausios vertės nuolatinės funkcijos remiantis šias savybesšios funkcijos:

1) Jei tam tikrame intervale (baigtiniame arba begaliniame) funkcija y=f(x) yra tolydi ir turi tik vieną ekstremumą ir jei tai yra didžiausia (minimali), tada ji bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė šiame intervale.

2) Jei funkcija f(x) yra ištisinė tam tikrame atkarpoje, tai šiame segmente ji būtinai turi didžiausias ir mažiausias reikšmes. Šios vertės pasiekiamos ekstremaliuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje, arba šios atkarpos ribose.

Norint rasti didžiausias ir mažiausias segmento vertes, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1. Raskite išvestinę.

2. Raskite kritinius funkcijos taškus, kuriuose =0 arba neegzistuoja.

3. Raskite funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir atkarpos galuose ir pasirinkite iš jų didžiausią f max ir mažiausią f max.

Sprendžiant taikomų problemų, ypač optimizavimas, svarbu turi užduotis rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes (visutinį maksimumą ir visuotinį minimumą) intervale X. Norint išspręsti tokias problemas, remiantis sąlyga, reikia pasirinkti nepriklausomą kintamąjį ir išreikšti tiriamą reikšmę per šis kintamasis. Tada raskite norimą didžiausią arba mažiausią gautos funkcijos reikšmę. Šiuo atveju iš uždavinio sąlygų taip pat nustatomas nepriklausomo kintamojo kitimo intervalas, kuris gali būti baigtinis arba begalinis.

Pavyzdys. Rezervuaras, panašus į atvirą viršų stačiakampis gretasienis su kvadratiniu dugnu, reikia skardinti vidu. Kokie turėtų būti bako matmenys, jei jo talpa yra 108 litrai? vandens, kad jo skardinimo kaina butu minimali?

Sprendimas. Rezervuaro padengimo skarda kaina bus minimali, jei esant tam tikrai talpai jos paviršiaus plotas yra minimalus. A dm pažymėkime pagrindo kraštą, b dm bako aukštį. Tada jo paviršiaus plotas S lygus

Gautas ryšys nustato santykį tarp rezervuaro paviršiaus ploto S (funkcija) ir pagrindo a kraštinės (argumentas). Panagrinėkime ekstremumo funkciją S. Raskime pirmąją išvestinę, prilyginkime ją nuliui ir išspręskime gautą lygtį:

Taigi a = 6. (a) > 0, jei a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ant intervalo.

Sprendimas: Nurodyta funkcija nenutrūkstamas visame skaičių ašis. Funkcijos išvestinė

Išvestinė už ir už . Apskaičiuokime funkcijų reikšmes šiuose taškuose:

Funkcijos reikšmės nurodyto intervalo galuose yra lygios. Todėl didžiausia funkcijos reikšmė lygi at , mažiausia funkcijos reikšmė lygi at .

Savitikros klausimai

1. Suformuluokite L'Hopital taisyklę, kaip atskleisti formos neapibrėžtumus. Sąrašas įvairių tipų neapibrėžtumų, kuriems galima taikyti L'Hopital taisyklę.

2. Suformuluokite didėjančios ir mažėjančios funkcijos požymius.

3. Apibrėžkite funkcijos maksimumą ir minimumą.

4. Suformuluokite būtina sąlyga ekstremumo buvimas.

5. Kokios argumento reikšmės (kurie taškai) vadinamos kritinėmis? Kaip rasti šiuos taškus?

6. Kokie yra pakankami funkcijos ekstremumo egzistavimo požymiai? Nubrėžkite funkcijos tyrimo ekstremumu schemą naudojant pirmąją išvestinę.

7. Nubrėžkite funkcijos, esančios ekstremumu, tyrimo naudojant antrąją išvestinę schemą.

8. Apibrėžkite kreivės išgaubtą ir įgaubtą.

9. Kas vadinama funkcijos grafiko vingio tašku? Nurodykite šių taškų radimo būdą.

10. Suformuluokite reikiamus ir pakankamai ženklų kreivės išgaubimas ir įgaubimas tam tikrame segmente.

11. Apibrėžkite kreivės asimptotę. Kaip rasti vertikalius, horizontalius ir įstrižai asimptotai funkcinė grafika?

12. Metmenys bendra schema funkcijos tyrimas ir jos grafiko braižymas.

13. Suformuluokite taisyklę, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes duotame intervale.

Šiame straipsnyje mes analizuosime visų tipų problemas, kurias reikia rasti

Prisiminkime geometrine prasme išvestinė: jei į funkcijos grafiką taške nubrėžta liestinė, tai liestinės nuolydžio koeficientas ( lygus tangentei kampas tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties) yra lygus funkcijos išvestinei taške.

Paimkime tai ant liestinės savavališkas taškas su koordinatėmis:

Ir apsvarstykite statųjį trikampį:

Šiame trikampyje

Iš čia

Tai yra taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinės lygtis.

Norėdami parašyti liestinės lygtį, turime žinoti tik funkcijos lygtį ir tašką, kuriame brėžiama liestinė. Tada galime rasti ir .

Yra trys pagrindiniai liestinių lygčių problemų tipai.

1. Suteiktas kontaktinis taškas

2. Pateikiamas liestinės nuolydžio koeficientas, tai yra funkcijos išvestinės taške reikšmė.

3. Duotos taško, per kurį nubrėžta liestinė, bet kuris nėra liesties taškas, koordinatės.

Pažvelkime į kiekvieno tipo užduotis.

1. Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške .

b) Raskite išvestinės reikšmę taške . Pirmiausia suraskime funkcijos išvestinę

Rastas reikšmes pakeiskime liestinės lygtimi:

Atidarykime skliaustus dešinėje lygties pusėje. Mes gauname:

Atsakymas: .

2. Raskite taškų, kuriuose funkcijos yra grafiko liestinės, abscises lygiagrečiai x ašiai.

Jei liestinė lygiagreti x ašiai, tai kampas tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties lygus nuliui, todėl liestinės kampo liestinė lygi nuliui. Tai reiškia, kad funkcijos išvestinės reikšmė sąlyčio taškuose yra nulis.

a) Raskite funkcijos išvestinę .

b) Prilyginkime išvestinę nuliui ir raskime reikšmes, kuriose liestinė lygiagreti ašiai:

Prilyginus kiekvieną veiksnį nuliui, gauname:

Atsakymas: 0;3;5

3. Parašykite funkcijos grafiko liestinių lygtis , lygiagrečiai tiesioginis .

Liestinė lygiagreti tiesei. Šios linijos nuolydis yra -1. Kadangi liestinė yra lygiagreti šiai linijai, liestinės nuolydis taip pat yra -1. Tai yra žinome liestinės nuolydį, taigi, išvestinė vertė liesties taške.

Tai yra antrojo tipo uždaviniai, norint rasti liestinės lygtį.

Taigi, mums duota funkcija ir išvestinės reikšmė liesties taške.

a) Raskite taškus, kuriuose funkcijos išvestinė lygi -1.

Pirmiausia suraskime išvestinę lygtį.

Išvestinę prilyginkime skaičiui -1.

Raskime funkcijos reikšmę taške.

(pagal sąlygą)

b) Raskite funkcijos grafiko liestinės taške lygtį.

Raskime funkcijos reikšmę taške.

(pagal sąlygą).

Pakeiskime šias reikšmes į liestinės lygtį:

Atsakymas:

4. Parašykite kreivės liestinės lygtį , einantis per tašką

Pirmiausia patikrinkime, ar taškas yra liestinės taškas. Jei taškas yra liestinės taškas, tai jis priklauso funkcijos grafikui, o jo koordinatės turi tenkinti funkcijos lygtį. Pakeiskime taško koordinates į funkcijos lygtį.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} neigiamas skaičius, lygybė nėra teisinga, o taškas nepriklauso funkcijos ir grafikui nėra sąlyčio taškas.

Tai paskutinis uždavinys, skirtas liestine lygčiai rasti. Visų pirma turime rasti liestinės taško abscisę.

Raskime vertę.

Leiskite būti sąlyčio tašku. Taškas priklauso funkcijos grafiko liestinei. Jei šio taško koordinates pakeisime į liestinės lygtį, gausime teisingą lygybę: