Kampo tarp tiesių skaičiavimas koordinačių metodu. Atstumas tarp dviejų susikirtimo linijų

Koordinačių metodo naudojimas kampui apskaičiuoti

tarp lėktuvų

Dauguma bendras metodas kampo radimastarp plokštumų – koordinačių metodas (kartais naudojant vektorius). Jis gali būti naudojamas, kai visi kiti buvo išbandyti. Bet yra situacijų, kai koordinačių metodą prasminga taikyti iš karto, būtent tada, kai koordinačių sistema yra natūraliai susijusi su problemos teiginyje nurodytu daugiakampiu, t.y. Aiškiai matomos trys poros statmenos linijos, kuriose galima nurodyti koordinačių ašis. Tokie daugiakampiai yra stačiakampė gretasienis ir taisyklinga keturkampė piramidė. Pirmuoju atveju koordinačių sistemą galima nurodyti briaunomis, besitęsiančiomis iš vienos viršūnės (1 pav.), antruoju - pagrindo aukščiu ir įstrižainėmis (2 pav.)

Koordinačių metodo taikymas yra toks.

Įvedama stačiakampė koordinačių sistema erdvėje. Patartina jį įvesti „natūraliai“ - „susieti“ su porų statmenų linijų, turinčių bendrą tašką, trejetu.

Kiekvienai plokštumai, tarp kurių ieškomas kampas, sudaroma lygtis. Lengviausias būdas sukurti tokią lygtį – žinoti trijų plokštumos taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, koordinates.

Plokštumos lygtis in bendras vaizdas atrodo kaip Ax + By + Cz + D = 0.

Koeficientai A, B, C šioje lygtyje yra plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės (vektoriaus, statmenai plokštumai). Tada nustatome ilgius ir taškinis produktas normaliųjų vektorių plokštumų, kurių kampas ieškomas. Jeigu šių vektorių koordinatės(A 1, B 1; C 1) ir (A 2; B 2; C 2 ), tada norimą kampąapskaičiuojamas pagal formulę

komentuoti. Reikia atsiminti, kad kampas tarp vektorių (priešingai nei kampas tarp plokštumų) gali būti bukas, o siekiant išvengti galimo neapibrėžtumo, skaitiklyje dešinėje formulės pusėje yra modulis.

Išspręskite šią problemą naudodami koordinačių metodą.

1 uždavinys. Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Taškas K yra kraštinės AD vidurys, taškas L yra kraštinės CD vidurys. Koks kampas tarp plokštumų A? 1 KL ir A 1 AD?

Sprendimas . Tegul koordinačių sistemos pradžia yra taške A, o koordinačių ašys eina išilgai spindulių AD, AB, AA 1 (3 pav.). Paimkime, kad kubo kraštinė būtų lygi 2 (patogu dalinti per pusę). Tada taškų koordinatės A1, K, L yra tokie: A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Ryžiai. 3

Užrašykime plokštumos lygtį A 1 K L bendrais bruožais. Tada į jį pakeičiame pasirinktų šios plokštumos taškų koordinates. Gauname trijų lygčių sistemą su keturiais nežinomaisiais:

Išreikškime koeficientus A, B, C iki D ir pasiekiame lygtį

Abi dalis dalijant į D (kodėl D = 0?) ir padauginus iš -2, gauname plokštumos lygtį A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Tada šios plokštumos normalusis vektorius turi koordinates (2: -2; 1). Plokštumos lygtis A 1 AD yra: y=0, o jo normaliojo vektoriaus koordinatės yra, pavyzdžiui, (0; 2: 0). Pagal pirmiau pateiktą kampo tarp plokštumų kosinuso formulę gauname:

Koordinačių metodas yra labai efektyvus ir universalus metodas rasti bet kokius kampus ar atstumus tarp stereometrinių objektų erdvėje. Jei jūsų matematikos mokytojas yra aukštos kvalifikacijos, jis turėtų tai žinoti. Kitu atveju patarčiau pakeisti mokytoją "C" daliai. Mano pasiruošimas vieningam valstybiniam matematikos C1-C6 egzaminui paprastai apima toliau aprašytų pagrindinių algoritmų ir formulių analizę.

Kampas tarp tiesių a ir b

Kampas tarp linijų erdvėje yra kampas tarp bet kokių susikertančių tiesių, lygiagrečių joms. Šis kampas lygus kampui tarp šių tiesių krypties vektorių (arba papildo ją iki 180 laipsnių).

Kokį algoritmą naudoja matematikos mokytojas kampui rasti?

1) Pasirinkite bet kokius vektorius ir turintys tiesių a ir b kryptis (joms lygiagrečios).
2) Vektorių koordinates nustatome naudodami atitinkamas jų pradžios ir pabaigos koordinates (pradžios koordinates reikia atimti iš vektoriaus pabaigos koordinačių).
3) Rastas koordinates pakeiskite į formulę:
. Norėdami rasti patį kampą, turite rasti rezultato lanko kosinusą.

Normalus lėktuvui

Plokštumos normalusis yra bet koks vektorius, statmenas tai plokštumai.
Kaip rasti normalų? Norint rasti normaliosios koordinates, pakanka žinoti bet kurių trijų taškų M, N ir K, esančių tam tikroje plokštumoje, koordinates. Naudodami šias koordinates randame vektorių koordinates ir reikalaujame, kad sąlygos būtų įvykdytos. Vektorių skaliarinę sandaugą prilyginę nuliui, sudarome lygčių sistemą su trimis kintamaisiais, iš kurių galime rasti normaliosios koordinates.

Matematikos mokytojo pastaba : Visai nebūtina visiškai išspręsti sistemos, nes pakanka pasirinkti bent vieną normalų. Norėdami tai padaryti, galite pakeisti bet kurį skaičių (pavyzdžiui, vieną) vietoj jo nežinomų koordinačių ir išspręsti dviejų lygčių sistemą likusiais dviem nežinomaisiais. Jei jis neturi sprendinių, tai reiškia, kad normaliųjų šeimoje nėra nė vieno, kurio reikšmė pasirinktame kintamajame būtų viena. Tada pakeiskite vieną kitu kintamuoju (kita koordinate) ir išspręskite nauja sistema. Jei dar kartą praleisite, tada jūsų normalioji paskutinėje koordinatėje bus viena, o ji pati pasirodys lygiagreti kai kuriai koordinačių plokštuma(šiuo atveju lengva rasti ir be sistemos).

Tarkime, kad mums duota tiesė ir plokštuma su krypties vektoriaus ir normalaus koordinatėmis
Kampas tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Tegul ir yra bet kurios dvi normaliosios šios plokštumos. Tada kampo tarp plokštumų kosinusas lygus moduliui kampo tarp normaliųjų kosinusas:

Plokštumos erdvėje lygtis

Taškai, tenkinantys lygybę, sudaro plokštumą su normaliu. Koeficientas yra atsakingas už nuokrypio (lygiagretaus poslinkio) tarp dviejų plokštumų su ta pačia normalia norma. Norėdami parašyti plokštumos lygtį, pirmiausia turite rasti jos normaliąją vertę (kaip aprašyta aukščiau), tada pakeisti bet kurio plokštumos taško koordinates kartu su rastos normalės koordinatėmis į lygtį ir rasti koeficientą.

Aš pasakysiu trumpai. Kampas tarp dviejų tiesių lygus kampui tarp jų krypties vektorių. Taigi, jei pavyksta rasti krypties vektorių a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ir b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) koordinates, galite rasti kampą. Tiksliau, kampo kosinusas pagal formulę:

Pažiūrėkime, kaip ši formulė veikia, naudodami konkrečius pavyzdžius:

Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pažymėti taškai E ir F - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.

Kadangi kubo kraštas nenurodytas, nustatome AB = 1. Įvedame standartinė sistema koordinatės: pradžia yra taške A, x, y, z ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB, AD ir AA 1. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1. Dabar suraskime mūsų tiesių krypties vektorių koordinates.

Raskime vektoriaus AE koordinates. Tam mums reikia taškų A = (0; 0; 0) ir E = (0,5; 0; 1). Kadangi taškas E yra atkarpos A 1 B 1 vidurys, jo koordinatės lygios galų koordinačių aritmetiniam vidurkiui. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus AE pradžia sutampa su koordinačių pradžia, todėl AE = (0,5; 0; 1).

Dabar pažiūrėkime į BF vektorių. Panašiai analizuojame taškus B = (1; 0; 0) ir F = (1; 0,5; 1), nes F yra atkarpos B 1 C 1 vidurys. Turime:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Taigi, krypties vektoriai yra paruošti. Kampo tarp tiesių kosinusas yra kampo tarp krypties vektorių kosinusas, todėl turime:

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai D ir E - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AD ir BE.

Įveskime standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ašis nukreipta išilgai AB, z - išilgai AA 1. Nukreipkime y ašį taip, kad OXY plokštuma sutaptų su ABC plokštuma. Vieneto atkarpa lygi AB = 1. Raskime reikiamų tiesių krypties vektorių koordinates.

Pirmiausia suraskime vektoriaus AD koordinates. Apsvarstykite taškus: A = (0; 0; 0) ir D = (0,5; 0; 1), nes D - segmento A 1 B 1 vidurys. Kadangi vektoriaus AD pradžia sutampa su koordinačių pradžia, gauname AD = (0,5; 0; 1).

Dabar suraskime vektoriaus BE koordinates. Tašką B = (1; 0; 0) lengva apskaičiuoti. Su tašku E - segmento C 1 B 1 viduriu - viskas yra šiek tiek sudėtingesnė. Turime:

Belieka rasti kampo kosinusą:

Užduotis. Taisyklingoje šešiakampėje prizmėje ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai K ir L - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. . Raskite kampą tarp tiesių AK ir BL.

Įveskime standartinę prizmės koordinačių sistemą: koordinačių pradžią išdėstome apatinio pagrindo centre, x ašis nukreipta išilgai FC, y ašis nukreipta per atkarpų AB ir DE vidurio taškus, o z ašis nukreipta vertikaliai į viršų. Vieneto atkarpa vėl lygi AB = 1. Užrašykime mus dominančių taškų koordinates:

Taškai K ir L yra atitinkamai atkarpų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos per aritmetinį vidurkį. Žinodami taškus, randame krypties vektorių AK ir BL koordinates:

Dabar suraskime kampo kosinusą:

Užduotis. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD, kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai E ir F – atitinkamai kraštinių SB ir SC vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.

Įveskime standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ir y ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB ir AD, o ašis z nukreipta vertikaliai aukštyn. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1.

Taškai E ir F yra atitinkamai atkarpų SB ir SC vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos kaip galų aritmetinis vidurkis. Užsirašykime mus dominančių taškų koordinates:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Žinodami taškus, randame krypties vektorių AE ir BF koordinates:

Vektoriaus AE koordinatės sutampa su taško E koordinatėmis, nes taškas A yra pradžia. Belieka rasti kampo kosinusą:

SM vidurkis vidurinę mokyklą №13

Koordinatės metodas

2008
Planas:

1. 
   Įvadas
2. 
   
3. 
   Koordinačių metodo esmė
4. 
   Koordinačių metodų sistemos
5. 
   Pagrindinės koordinačių metodo formulės
6. 
   Užduotys skirtingi lygiai sunkumai tema „Koordinačių metodas“

1. 
   Išvada
2. 
   Naudotos literatūros sąrašas

Įvadas

Naudojamas geometrijoje įvairių metodų problemų sprendimas yra sintetinis (grynai geometrinis) metodas, transformacijos metodas, vektorinis metodas, koordinačių metodas ir kt. Jie užima skirtinga padėtis mokykloje. Pagrindinis metodas laikomas sintetiniu, o iš kitų - labiausiai aukšta padėtis Koordinačių metodas yra populiarus, nes yra glaudžiai susijęs su algebra. Sintetinio metodo elegancija pasiekiama per intuiciją, spėliojimą, papildomos konstrukcijos. Koordinatės metodas to nereikia: problemų sprendimas iš esmės yra algoritmizuotas, o tai daugeliu atvejų supaprastina pačios problemos paiešką ir sprendimą.

Koordinatės metodas- būdas nustatyti taško ar kūno padėtį naudojant skaičius ar kitus simbolius.

Koordinačių sistema- apibrėžimų rinkinys, įgyvendinantis koordinačių metodą, t.y. būdas nustatyti taško ar kūno padėtį naudojant skaičius ar kitus simbolius.

Dovanoti geometriniai tyrimai algebrinio pobūdžio, koordinačių metodas perduoda daugiausiai svarbi savybė algebra – uždavinių sprendimo būdų vienodumas. Jei aritmetinėje ir elementariojoje geometrijoje paprastai reikia ieškoti kiekvieno uždavinio ypatingas būdas sprendimus, tada algebroje ir analitinė geometrija sprendimai atliekami pagal visoms problemoms bendrą planą, lengvai pritaikomą bet kuriai problemai. Algebrai būdingų ir todėl labai bendrų uždavinių sprendimo metodų perkėlimas į geometriją yra pagrindinė vertybė koordinačių metodas. Kitas koordinačių metodo privalumas yra tai, kad naudojant jį nereikia naudoti sudėtingų erdvinių vaizdų vizualinio vaizdavimo.

Koordinačių metodo tyrimo tikslai

Galite pasirinkti sekančius tikslus koordinačių metodo studijavimas mokyklos geometrijos kurse:

• 
  duoti studentams efektyvus metodas spręsti uždavinius ir įrodyti daugybę teoremų;
• 
  rodyti remiantis šiuo metodu glaudus ryšys algebra ir geometrija;
• 
  prisidėti prie studentų kompiuterinės ir grafinės kultūros ugdymo.

Koordinačių metodo esmė

Koordinačių metodo, kaip uždavinių sprendimo metodo, esmė ta, kad apibrėžiant figūras lygtimis ir išreiškiant įvairias geometriniai santykiai, mes galime nuspręsti geometrinė problema algebros pagalba. Ir atvirkščiai, naudojant koordinates, galima geometriškai interpretuoti algebrinius ir analitinius ryšius bei faktus ir taip pritaikyti geometriją algebrinių uždavinių sprendimui.

Koordinačių metodas yra universalus metodas.

Kalbant apie mokyklos kursas geometrija, galime teigti, kad kai kuriais atvejais koordinačių metodas leidžia sukonstruoti įrodymus ir išspręsti daugelį problemų racionaliau ir gražiau nei grynai geometriniai būdai. Tačiau koordinačių metodas yra susijęs su vienu geometriniu sudėtingumu. Ta pati problema gauna skirtingą analitinį vaizdą, priklausomai nuo konkretaus koordinačių sistemos pasirinkimo. Ir tik pakankama patirtis leidžia pasirinkti tinkamiausią koordinačių sistemą.

Gimė Turine, turtingoje bajorų šeimoje. Po kelių dienų nuo vartojimo mirė jo slaugytoja ir išgelbėjo jo gyvybę. Būdamas 8 metų Renė buvo visapusiškai prižiūrimas vienoje geriausių jėzuitų kolegijų. Nuo vaikystės Dekartas mėgo spręsti problemas ir visas savo laisvas laikas atsidėjo matematikos studijoms. Dekartas studijavo filosofiją, matematiką, fiziką, astronomiją ir filologiją. Dekartas pirmasis parodė, kaip matematika gali būti naudojama vizualizuoti ir matematinė analizėįvairiausiems gamtos ir socialiniams reiškiniams.

Pirmą kartą jo darbuose pasirodo šie dalykai:

1. 
   kintamieji
2. 
   griežti geometrijos dėsniai verčiami į algebrinę kalbą
3. 
   buvo pasiūlyta gamtos reiškinių ryšius pavaizduoti lenktomis linijomis ir užrašyti jas algebrinėmis išraiškomis
4. 
   pristatė lotyniškomis raidėmis nuolatinis ir kintamieji, taip pat laipsnių žymėjimai

3. Poliarinė koordinačių sistema . Polinės koordinatės taškai apibrėžiami taip: duotoje plokštumoje skaičių spindulys Oi. Spindulio pradžia, taškas O, vadinama ašigaliu, o OX ašis vadinama poline ašimi. Norėdami nustatyti taško M padėtį in poliarinė sistema koordinatės nurodo atstumą nuo ašigalio iki šio taško ir kryptį, kuria jis yra. Atstumas nuo taško iki ašigalio vadinamas taško poliariniu spinduliu ir žymimas raide (tariama „roh“).

Kryptis nustatoma pagal sukimosi kampą nuo sijos OX iki sijos OM

Koordinatės metodas

formules

Vektoriaus ilgis pagal jo koordinates

Atkarpos vidurio taško koordinačių radimo formulė

Atstumas tarp dviejų taškų

Apskritimo lygtis,(apskritimo centras
,spindulys r)

Linijos lygtis
, atsižvelgiant į tai
(tiesės lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje yra pirmojo laipsnio lygtis)

Kiekviena tiesi linija pateikiama lygtimi. Tuo pačiu metu skaičiai a,b,c nustatomi kiekvienai tiesei vienareikšmiškai iki proporcingumo (jei jas padauginate iš to paties skaičiaus
, tada gauta lygtis
apibrėš tą pačią eilutę).

Atstumas nuo taško
į tiesią liniją m
, lygus

Atstumas nuo taško
į lėktuvą
, lygus

Formulės išvedimas
.

Nukreipkime nuo esmės
statmena AB plokštumai , pateikta lygtimi
.Leisk
- šio statmens susikirtimo su plokštuma taškas . Tada
- atstumas nuo taško
į lėktuvą .Kadangi vektorius yra statmenas plokštumai , jis yra kolinearinis vektoriui
.Tai reiškia, kad
,Jei
, arba
,Jei
, tai yra
.Perrašykime šią lygybę koordinatėmis: .Bet esmė
, Štai kodėl
Ir
=
.
(Stiuarto teorema)

Jei duota trikampis ABC ir juo remiantis taškas D , esantis tarp taškų B ir C, tada lygybė yra teisinga:

Įrodymas:

Pasirinkime koordinačių sistemą, kaip parodyta paveikslėlyje.

Pasirinktoje koordinačių sistemoje trikampio viršūnės ABC turės šias koordinates:

A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;0), C(0;0) ir laikotarpis D(x 3 ;0) .

Apskaičiuokime visus į lygybę įtrauktus kiekius:

Pakeiskime visas šias reikšmes kairėje pusėje lygybė:

Q.E.D.

1 užduotis. Raskite atstumą nuo taško A(-1,3,0) iki plokštumos , pateikta lygtimi x -3y -2z +5=0.

Sprendimas. Pagal formulę
gauname:

.

Atsakymas:
.

Sprendimas. Naudodami skaliarinio produkto savybę, atidarykime skliaustus:

=

Iš skaliarinio sandaugos apibrėžimo gauname:
(nes Ir statmenai);

Šių reikšmių pakeitimas išraiškoje
=, randame skaliarinį sandaugą:
=0 – 50+9 12 -120=-62

Atsakymas:
=0 – 50+9 12 -120=-62
3 problema.Duotas kvadratas ABCD su šonu A . Nustatykite atstumą tarp segmento vidurio AM , Kur M – vidurys Saulė , ir taškas N ant šono CD , padalijant jį taip CN:ND=3:1 .

Sprendimas:

Tada taškai M Ir N , pagal būklę turės koordinates:

atitinkamai.

Nes E – vidurys AM , tada jo koordinatės bus tokios:

Reiškia, E .

Raskime atstumą tarp taškų E Ir N :

Atsakymas: EN =

Sprendimas.

Įveskime koordinačių sistemą, kurios centras yra viršūnėje B. Tada
Raskime plokštumos lygtį . Tegul ši lygtis yra . Atkreipkite dėmesį, kad nepraeina per kilmę, todėl
o lygtį galima padalyti iš D; gauname tokią lygtį:
arba ax + by + cz +1=0

Norėdami nustatyti nežinomus koeficientus a, b ir c, į lygtį ax + pakeičiame + cz +1=0 trijų taškų E, F ir O koordinates, kurios tenkina šią lygtį (nes šie taškai yra plokštumoje ).Gaujame lygčių sistemą:
Transformuokime sistemą pirmąją lygtį padaugindami iš 3, antrąją iš 4, trečiąją iš -6 ir sudėję pirmąją lygtį su trečiąja gausime
, b=-4,
Taigi plokštumos lygtis turi tokią formą:

5x + 8y - 9z - 2 =0. Dabar randame atstumą nuo taško B1(0,0,1) iki plokštumos
.

Atsakymas:
.