Ингээд авч үзье Пуассоны тархалт, түүний математик хүлээлт, тархалт, горимыг тооцоолъё. MS EXCEL-ийн POISSON.DIST() функцийг ашиглан бид тархалтын функц болон магадлалын нягтын графикуудыг байгуулна. Тархалтын параметрийг тооцоолъё, түүний математикийн хүлээлтба стандарт хазайлт.

Эхлээд хуурай болгоё албан ёсны тодорхойлолтхуваарилалт, дараа нь бид нөхцөл байдлын жишээг өгдөг Пуассоны тархалт(Англи) Пуассонхуваарилалт) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход тохиромжтой загвар юм.

Хэрэв санамсаргүй үйл явдлууд өгөгдсөн хугацаанд (эсвэл тодорхой хэмжээний бодисын дотор) дундаж давтамжтай λ( ламбда), дараа нь үйл явдлын тоо x, Энэ хугацаанд болсон байх болно Пуассоны тархалт.

Пуассоны тархалтын хэрэглээ

Жишээ нь хэзээ Пуассоны тархалтЭнэ нь тохиромжтой загвар юм:

• хүлээн авсан дуудлагын тоо утасны станцтодорхой хугацаанд;
• тодорхой хугацааны туршид цацраг идэвхт задралд орсон тоосонцрын тоо;
• тогтмол урттай даавууны согогийн тоо.

Пуассоны тархалтДараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд тохиромжтой загвар болно.

• үйл явдлууд бие биенээсээ үл хамааран тохиолддог, өөрөөр хэлбэл. дараагийн үйл явдлын магадлал нь өмнөх үйл явдлаас хамаарахгүй;
• үйл явдлын дундаж хурд тогтмол байна. Үүний үр дүнд үйл явдлын магадлал нь ажиглалтын интервалын урттай пропорциональ байна;
• хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй;
• үйл явдлын тоо 0 утгыг авах ёстой; 1; 2…

Анхаарна уу: Ажиглах боломжтой зүйл бол сайн мэдээлэл юм санамсаргүй хувьсагчбайна Пуассоны тархалт,Энэ нь ойролцоогоор тэнцүү байна (доороос харна уу).

Доорх нөхцөл байдлын жишээг үзүүлэв Пуассоны тархалт чадахгүйхэрэглэх:

• нэг цагийн дотор их сургуулийг орхисон оюутнуудын тоо (оюутнуудын дундаж урсгал тогтмол биш тул: хичээлийн үеэр цөөхөн оюутан байдаг, хичээлийн завсарлагааны үеэр оюутнуудын тоо эрс нэмэгддэг);
• Калифорнид жилд 5 баллын газар хөдлөлтийн тоо (нэг газар хөдлөлт нь ижил далайцтай газар хөдлөлтийг үүсгэж болзошгүй тул үйл явдал нь бие даасан биш юм);
• өвчтөнүүдийн эрчимт эмчилгээний тасагт өнгөрүүлсэн өдрийн тоо (учир нь өвчтөнүүдийн эрчимт эмчилгээний тасагт байх өдрийн тоо үргэлж 0-ээс их байдаг).

Анхаарна уу: Пуассоны тархалтнь илүү нарийвчлалтай ойролцоо утгатай салангид хуваарилалт: Мөн .

Анхаарна уу: Харилцааны тухай Пуассоны тархалтТэгээд Бином тархалтнийтлэлээс уншиж болно. Харилцааны тухай Пуассоны тархалтТэгээд Экспоненциал тархалттухай нийтлэлээс уншиж болно.

MS EXCEL дээр Пуассоны тархалт

MS EXCEL-д 2010 оны хувилбараас эхлэн Хуваарилалт Пуассон POISSON.DIST() функц байна, Англи нэр- POISSON.DIST(), энэ нь зөвхөн тодорхой хугацаанд юу болох магадлалыг тооцоолох боломжийг олгодоггүй. Xүйл явдал (функц магадлалын нягт p(x), дээрх томъёог харна уу), гэхдээ бас (хамгийн багадаа тухайн хугацаанд байх магадлал xүйл явдал).

MS EXCEL 2010-аас өмнө EXCEL нь POISSON() функцтэй байсан бөгөөд энэ нь мөн тооцоолох боломжийг олгодог. түгээлтийн функцТэгээд магадлалын нягт p(x). POISSON() нь нийцтэй байх үүднээс MS EXCEL 2010 дээр үлдсэн.

Жишээ файл нь график агуулж байна магадлалын нягтын тархалтТэгээд хуримтлагдсан хуваарилалтын функц.

Пуассоны тархалтналуу хэлбэртэй ( урт сүүлмагадлалын функцийн баруун талд), гэхдээ параметр нэмэгдэх тусам λ улам тэгш хэмтэй болно.

Анхаарна уу: ДундажТэгээд тархалт(квадрат) нь параметртэй тэнцүү байна Пуассоны тархалт- λ (харна уу жишээ хуудас файл Жишээ).

Даалгавар

Ердийн хэрэглээ Пуассоны хуваарилалтЧанарын хяналт нь багаж хэрэгсэл эсвэл төхөөрөмжид гарч болзошгүй согогийн тоон загвар юм.

Жишээлбэл, чип дэх согогийн дундаж тоо λ (lambda) 4-тэй тэнцүү бол санамсаргүй байдлаар сонгосон чип нь 2 ба түүнээс цөөн согогтой байх магадлал: = POISSON.DIST(2,4,ҮНЭН)=0.2381

Функцийн гурав дахь параметрийг = ҮНЭН гэж тохируулсан тул функц буцаж ирнэ интеграл функцхуваарилалт, өөрөөр хэлбэл, тоо гарах магадлал санамсаргүй үйл явдал 0-ээс 4 хүртэлх мужид байх болно.

Энэ тохиолдолд тооцооллыг дараах томъёоны дагуу хийнэ.

Санамсаргүй байдлаар сонгосон микро схем яг 2 согогтой байх магадлал: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

Функцийн гурав дахь параметрийг = ХУДАЛ гэж тохируулсан тул функц нь магадлалын нягтыг буцаана.

Санамсаргүй байдлаар сонгосон микро схемд 2-оос дээш согогтой байх магадлал нь дараахтай тэнцүү байна. =1-POISSON.DIST(2,4,ҮНЭН) =0.8535

Анхаарна уу: Хэрэв xбүхэл тоо биш бол томъёог тооцоолохдоо . Томъёо =POISSON.DIST( 2 ; 4; ХУДЛАА)Тэгээд =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; ХУДЛАА)ижил үр дүнг буцаана.

Санамсаргүй тоо үүсгэх ба λ тооцоо

λ-ийн утгуудын хувьд >15 , Пуассоны тархалтсайн ойролцоолсон Хэвийн тархалт дараах параметрүүдтэй: μ =λ , σ 2 =λ .

Эдгээр хуваарилалтын хоорондын хамаарлын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг нийтлэлээс олж болно. Ойролцоох жишээ, хэзээ боломжтой, ямар нарийвчлалтайгаар тайлбарласан нөхцөлүүд бас бий.

ЗӨВЛӨГӨӨ: Та нийтлэлээс MS EXCEL-ийн бусад түгээлтийн талаар уншиж болно.

Товч онол

Үйл явдал болох магадлал нь -тэй тэнцүү байх бие даасан туршилтуудыг явуулъя. Эдгээр туршилтуудад тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохын тулд Бернуллигийн томъёог ашиглана. Хэрэв энэ нь том бол эсвэл ашиглана уу. Гэсэн хэдий ч, хэрэв энэ нь жижиг хэмжээтэй бол энэ томъёо тохиромжтой биш юм. Эдгээр тохиолдолд (их, жижиг) тэд асимптотикт ханддаг Пуассоны томъёо.

Ийм магадлалыг олох даалгавар өгцгөөе их тооүйл явдлын магадлал маш бага байдаг туршилтууд, үйл явдал яг нэг удаа тохиолдох болно. Чухал таамаглал дэвшүүлье: ажил нь тогтмол үнэ цэнийг хадгалдаг, тухайлбал . Энэ нь янз бүрийн цуврал туршилтууд дахь үйл явдлын тохиолдлын дундаж тоо, i.e. цагт өөр өөр утгатай, өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Асуудлыг шийдэх жишээ

Асуудал 1

Суурь нь 10,000 цахилгаан чийдэнг хүлээн авсан. Аялал жуулчлалын явцад дэнлүү хагарах магадлал 0.0003 байна. Хүлээн авсан чийдэнгийн дотроос таван чийдэн эвдрэх магадлалыг ол.

Шийдэл

Пуассоны томъёог хэрэглэх нөхцөл:

Хэрэв бие даасан туршилтын явцад тохиолдох үйл явдлын магадлал тэгтэй ойролцоо байвал туршилтын тооны их утгын хувьд ч магадлалыг тооцоолно. орон нутгийн теоремЛаплас хангалтгүй нарийвчлалтай болж хувирав. Ийм тохиолдолд Пуассоны томъёог ашиглана.

Үйл явдал - 5 чийдэнг эвдрэх болтугай

Пуассоны томъёог ашиглая:

Манай тохиолдолд:

Хариулах

Асуудал 2

Тус үйлдвэр нь 1000 тоног төхөөрөмжтэй тодорхой төрөл. Нэг цагийн дотор тоног төхөөрөмж доголдох магадлал 0.001 байна. Нэг цагт тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн тоог хуваарилах хууль гарга. Тоон шинж чанарыг ол.

Шийдэл

Санамсаргүй хувьсагч - тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн тоо, утгыг авч болно

Пуассоны хуулийг ашиглая:

Эдгээр магадлалыг олцгооё:

Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь энэхүү тархалтын параметртэй тэнцүү байна.

Дундажшийдлийн зардал туршилтын ажил 700 - 1200 рубль (гэхдээ бүх захиалгын хувьд 300 рубльээс багагүй). Үнэ нь шийдвэрийн яаралтай байдал (өдөрөөс хэдэн цаг хүртэл) ихээхэн нөлөөлдөг. Шалгалт / шалгалтын онлайн тусламжийн үнэ 1000 рубль байна. тасалбарыг шийдвэрлэхийн тулд.

Та өмнө нь даалгаврын нөхцлүүдийг илгээж, шаардлагатай шийдлийн цаг хугацааны талаар мэдээлсэн тул шууд чат руу хүсэлт үлдээж болно. Хариу өгөх хугацаа хэдхэн минут байна.

Ихэнх ерөнхий тохиолдолтөрөл бүрийн магадлалын хуваарилалтнь бином тархалт юм. Практикт тохиолддог хамгийн түгээмэл тодорхой төрлийн тархалтыг тодорхойлохын тулд түүний олон талт байдлыг ашиглацгаая.

Бином тархалт

А үйл явдал байг. А үйл явдал тохиолдох магадлал нь тэнцүү байна х, А үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал 1 байна х, заримдаа гэж тодорхойлсон байдаг q. Болъё nтуршилтын тоо, мэдгээрт А үйл явдал тохиолдох давтамж nтуршилтууд.

Энэ нь мэдэгдэж байна нийт магадлалхүн бүр боломжит хослолуудүр дүн нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл:

1 = х n + n · х n 1 (1 х) + C n n 2 · х n 2 (1 х) 2 + + C n м · х м· (1 х) n – м+ + (1 х) n .

Хүлээлт Мбином тархалт тэнцүү байна:

М = n · х ,

Хаана nтуршилтын тоо, хА үйл явдал тохиолдох магадлал.

Стандарт хазайлт σ :

σ = sqrt( n · х· (1 х)) .

Жишээ 1. Магадлалтай үйл явдлын магадлалыг тооцоол х= 0.5, инч n= 10 туршилт явагдана м= 1 удаа. Бидэнд: C 10 1 = 10, цаашлаад: П 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. Бидний харж байгаагаар энэ үйл явдал болох магадлал маш бага байна. Үүнийг нэгдүгээрт, магадлал нь 0.5, боломж нь "50-50" байх тул үйл явдал болох эсэх нь тодорхойгүй байгаатай холбон тайлбарлаж байна; хоёрдугаарт, тухайн үйл явдал арваас яг нэг удаа (илүү, багагүй) тохиолдохыг тооцоолох шаардлагатай.

Жишээ 2. Магадлалтай үйл явдлын магадлалыг тооцоол х= 0.5, инч n= 10 туршилт явагдана м= 2 удаа. Бидэнд: C 10 2 = 45, цаашлаад: П 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. Энэ үйл явдал болох магадлал нэмэгдсэн!

Жишээ 3. Үйл явдал өөрөө тохиолдох магадлалыг нэмэгдүүлцгээе. Үүнийг илүү магадлалтай болгоё. Магадлалтай үйл явдлын магадлалыг тооцоол х= 0.8, инч n= 10 туршилт явагдана м= 1 удаа. Бидэнд: C 10 1 = 10, цаашлаад: П 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. Магадлал эхний жишээнээс бага болсон! Хариулт нь эхлээд харахад хачирхалтай мэт боловч үйл явдал нэлээд өндөр магадлалтай тул ганц удаа тохиолдох магадлал багатай юм. Энэ нь нэгээс олон удаа тохиолдох магадлал өндөр байдаг. Нээрээ, тоолж байна П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (үйл явдал болох магадлал n= 10 туршилт 0, 1, 2, 3, , 10 удаа явагдана), бид дараахыг харах болно:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000…;
П 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000…;
П 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000…;
П 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008…;
П 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055…;
П 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264…;
П 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881…;
П 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013…;
П 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020…(хамгийн өндөр магадлалтай!);
П 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684…;
П 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074…

Мэдээжийн хэрэг П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Хэвийн тархалт

Хэрэв бид тоо хэмжээг дүрсэлсэн бол П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , ПГрафик дээр бид 3-р жишээн дээр тооцоолсон 10-аас харахад тэдгээрийн тархалт нь хэвийн тархалтын хуультай ойролцоо хэлбэртэй байна (Зураг 27.1-ийг үзнэ үү) (25-р лекцийг үзнэ үү. Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн загварчлал).

Хэрэв А үйл явдлын тохиолдох болон тохиолдохгүй байх магадлал ойролцоогоор ижил байвал бином хууль хэвийн болно, өөрөөр хэлбэл бид нөхцөлтэйгээр бичиж болно. х≈ (1 х) . Жишээлбэл, авч үзье n= 10 ба х= 0.5 (өөрөөр хэлбэл х= 1 х = 0.5 ).

Нэг өдөр төрөх эмнэлэгт 10 хүүхэд төрөхөөс хэчнээн хүү, хэдэн охин төрөхийг онолын хувьд тооцъё гэвэл бид ийм асуудалд утга учиртай ирнэ. Бүр нарийн яривал охид хөвгүүд биш, зөвхөн хөвгүүд төрөх магадлал, 1 хүү, 9 охин төрөх, 2 хүү, 8 охин төрөх гэх мэтээр тоолно. Хүү, охинтой болох магадлал ижил бөгөөд 0.5-тай тэнцүү байна гэж энгийнээр төсөөлье (гэхдээ үнэнийг хэлэхэд тийм биш юм, "Хиймэл оюун ухааны системийг загварчлах" хичээлийг үзнэ үү).

3 хүү, 7 охинтой байх магадлал нь 7 хүү, 3 охинтой байх магадлалтай тэнцүү тул тархалт тэгш хэмтэй байх нь тодорхой байна. Төрөх магадлал хамгийн өндөр нь 5 хүү, 5 охин байх болно. Энэ магадлал нь 0.25, энэ нь тийм ч том биш юм үнэмлэхүй үнэ цэнэ. Цаашилбал, нэг дор 10 эсвэл 9 хүү төрөх магадлал нь 10 хүүхдээс 5 ± 1 хүү төрөх магадлалаас хамаагүй бага юм. Энэ тооцоог хийхэд бином тархалт тусална. Тэгэхээр.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977…;
П 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
П 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
П 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
П 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
П 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094…;
П 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
П 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
П 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
П 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
П 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977…

Мэдээжийн хэрэг П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

График дээрх хэмжигдэхүүнүүдийг харуулъя П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (27.2-р зургийг үз).

Тиймээс, нөхцлөөр м ≈ n/2 ба х≈ 1 хэсвэл хХоёр тоот тархалтын оронд ≈ 0.5 бол ердийн тархалтыг ашиглаж болно. Том утгын хувьд nМатематикийн хүлээлт ба дисперс нэмэгдэх тусам график баруун тийш шилжиж, улам хавтгай болж байна. n : М = n · х , Д = n · х· (1 х) .

Дашрамд хэлэхэд, бином хуульхэвийн болон нэмэгдэх хандлагатай байна n, энэ нь нэлээд байгалийн юм гэж төвөөс мэдээлэв хязгаарын теорем(34-р лекцийг үзнэ үү. Статистикийн үр дүнг бүртгэх, боловсруулах).

Одоо үед хоёр гишүүний хууль хэрхэн өөрчлөгдөхийг авч үзье х ≠ q, тэр нь х> 0 . Энэ тохиолдолд хэвийн тархалтын таамаглалыг хэрэгжүүлэх боломжгүй бөгөөд бином тархалт нь Пуассон тархалт болно.

Пуассоны тархалт

Пуассоны тархалт нь онцгой тохиолдолбином тархалт (хамт n>> 0 ба цагт х>0 (ховор тохиолдол)).

Дуран тархалтын аль нэг гишүүний утгыг ойролцоогоор тооцоолох боломжийг математикийн томъёогоор мэддэг.

Хаана а = n · х Пуассон параметр (математикийн хүлээлт), дисперс нь математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Энэхүү шилжилтийг тайлбарласан математик тооцооллыг танилцуулъя. Бином тархалтын хууль

П м = C n м · х м· (1 х) n – м

тавьсан бол бичиж болно х = а/n , хэлбэрээр

Учир нь хмаш бага бол зөвхөн тоонуудыг анхаарч үзэх хэрэгтэй м, харьцуулахад бага байна n. Ажил

эв нэгдэлтэй тун ойр. Хэмжээнд мөн адил хамаарна

Хэмжээ

маш ойрхон д – а. Эндээс бид томъёог авна.

Жишээ. Хайрцаг нь агуулж байна n= Өндөр чанартай, гэмтэлтэй 100 хэсэг. Гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн хүлээн авах магадлал нь х= 0.01. Бүтээгдэхүүнээ гаргаад, доголдолтой эсэхийг нь тогтоогоод буцаагаад тавьчихлаа гэж бодъё. Ингэж явсаар бидний дамжсан 100 гаруй бүтээгдэхүүнээс хоёр нь гэмтэлтэй болох нь тогтоогдсон. Үүний магадлал ямар байна вэ?

Бином тархалтаас бид дараахь зүйлийг олж авна.

Пуассоны хуваарилалтаас бид дараахь зүйлийг олж авна.

Таны харж байгаагаар утгууд нь ойролцоо байсан тул ховор тохиолдлын хувьд Пуассоны хуулийг хэрэглэх нь бүрэн боломжтой, ялангуяа тооцоолоход бага хүчин чармайлт шаарддаг тул.

Пуассоны хуулийн хэлбэрийг графикаар харуулъя. Параметрүүдийг жишээ болгон авч үзье х = 0.05 , n= 10. Дараа нь:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987…;
П 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151…;
П 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746…;
П 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105…;
П 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096…;
П 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006…;
П 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000…;
П 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000…;
П 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000…;
П 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000…;
П 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000…

Мэдээжийн хэрэг П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

At n> ∞ Пуассоны тархалт болно ердийн хууль, төв хязгаарын теоремын дагуу (харна уу.

Пуассоны тархалт.

Хамгийн ихийг авч үзье ердийн нөхцөл байдал, үүнд Пуассон тархалт гарч ирнэ. Үйл явдал болъё Аорон зайн тогтмол хэсэгт (интервал, талбай, эзэлхүүн) эсвэл тогтмол эрчимтэй цаг хугацааны туршид тодорхой тооны удаа гарч ирдэг. Тодорхой болгохын тулд үйл явдлын урсгал гэж нэрлэгддэг цаг хугацааны дараалсан үйл явдлуудыг авч үзье. Графикийн хувьд үйл явдлын урсгалыг цаг хугацааны тэнхлэгт байрлах олон цэгээр дүрсэлж болно.

Энэ нь үйлчилгээний салбар дахь дуудлагын урсгал (гэр ахуйн цахилгаан хэрэгсэл засварлах, түргэн тусламж дуудах гэх мэт), утасны станц руу дуудлагын урсгал, системийн зарим хэсгүүдийн доголдол, цацраг идэвхт задрал, даавуу эсвэл металл хуудасны хэсгүүд, тэдгээрийн согогийн тоо гэх мэт. Пуассоны хуваарилалт нь зөвхөн эерэг үр дүнгийн тоог ("амжилт") тодорхойлох шаардлагатай асуудлуудад хамгийн ашигтай байдаг.

Жижиг хэсгүүдэд хуваагдсан үзэмтэй талхыг төсөөлөөд үз дээ тэнцүү хэмжээтэй. улмаас санамсаргүй хуваарилалтүзэм бүх хэсгүүдийг агуулна гэж найдаж болохгүй ижил тоо. Эдгээр хэсгүүдэд агуулагдах үзэмний дундаж тоог мэддэг бол Пуассоны тархалт нь тухайн хэсэг нь ямар ч үзэм агуулсан байх магадлалыг өгдөг. X=к(к= 0,1,2,...,)үзэмний тоо.

Өөрөөр хэлбэл, Пуассоны тархалт нь урт цувралын аль хэсэг нь 0, 1, 2, гэх мэттэй тэнцүү байхыг тодорхойлдог. онцлох үйл явдлын тоо.

Дараах таамаглалыг дэвшүүлье.

1. Өгөгдсөн хугацааны интервалд тодорхой тооны үйл явдал тохиолдох магадлал нь зөвхөн энэ интервалын уртаас хамаарах ба түүний цаг хугацааны тэнхлэг дээрх байрлалаас хамаарахгүй. Энэ бол хөдөлгөөнгүй байдлын шинж чанар юм.

2. Хангалттай богино хугацаанд нэгээс олон үйл явдал тохиолдох нь бараг боломжгүй юм, i.e. нөхцөлт магадлалижил интервалд өөр үйл явдал тохиолдох нь ® 0-д тэг болох хандлагатай байдаг. Энэ нь энгийн байдлын шинж чанар юм.

3. Тохиолдох магадлал өгсөн дугаарТогтсон хугацааны үйл явдлууд нь бусад хугацаанд тохиолдох үйл явдлын тооноос хамаардаггүй. Энэ бол үр дагаваргүй байдлын өмч юм.

Дээрх саналуудыг хангасан үйл явдлын урсгалыг нэрлэдэг хамгийн энгийн.

Нэлээд богино хугацааг авч үзье. 2-р шинж чанарт үндэслэн үйл явдал энэ хугацаанд нэг удаа гарч ирэх эсвэл огт харагдахгүй байж болно. -ээр тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тэмдэглэе r, болон харагдахгүй байдал – дамжуулан q = 1-х.Магадлал rтогтмол (3-р шинж чанар) бөгөөд зөвхөн утгаас хамаарна (1-р шинж чанар). Интервал дахь үйл явдлын тохиолдлын тоог математикийн хүлээлт 0 ×-тэй тэнцүү байх болно. q+ 1× х = х. Дараа нь нэгж хугацаанд тохиолдох үйл явдлын дундаж тоог урсгалын эрч хүч гэж нэрлээд дараах байдлаар тэмдэглэнэ. а,тэдгээр. а = .

Ингээд авч үзье эцсийн сегментцаг тболон хуваана nхэсгүүд =. Эдгээр интервал тус бүрт тохиолдох үйл явдлууд нь бие даасан байдаг (өмч 2). Тодорхой хугацааны дотор байх магадлалыг тодорхойлъё ттогтмол урсгалын эрчимтэй үед Аүйл явдал яг харагдах болно X = kдахин гарч ирэхгүй n–k. Учир нь үйл явдал тус бүрт байж болно nцоорхой нь 1-ээс илүүгүй удаа гарч ирдэг, дараа нь түүний гадаад төрх байдал күргэлжлэх хугацааны сегментэд нэг удаа тЭнэ нь аль ч хэсэгт харагдах ёстой книйтээс интервалууд n.Нийт ийм хослолууд байдаг бөгөөд тус бүрийн магадлал тэнцүү байна. Үүний үр дүнд магадлалыг нэмэх теоремоор бид хүссэн магадлалыг олж авдаг сайн мэддэг томъёоБернулли

Энэ тэгшитгэлийг ойролцоо байдлаар бичдэг, учир нь түүний гарал үүслийн анхны үндэслэл нь 2-р өмч байсан бөгөөд энэ нь жижиг нь илүү нарийвчлалтай биелдэг. Яг тэгш байдлыг олж авахын тулд ® 0-ийн хязгаар руу шилжье, эсвэл юу нь ижил байна, n® . Бид үүнийг солисны дараа авах болно.

П = а= ба q = 1 – .

Ингээд танилцуулъя шинэ параметр = цагт, энэ нь сегмент дэх үйл явдлын тохиолдлын дундаж тоог илэрхийлнэ т. Энгийн хувиргалт хийж, хүчин зүйлийн хязгаарт хүрсэний дараа бид олж авдаг.

= 1, = ,

Эцэст нь бид авдаг

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... – суурь байгалийн логарифм.

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хувьсагч X, зөвхөн бүхэл тоог хүлээн зөвшөөрдөг, эерэг утгууд 0, 1, 2, ... нь if параметртэй Пуассон тархалттай

Учир нь к = 0, 1, 2, ...

Пуассоны хуваарилалтыг санал болгосон Францын математикчС.Д. Пуассон (1781-1840). Энэ нь харьцангуй ховор, харилцан санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг бие даасан үйл явдлууднэгж хугацаа, урт, талбай, эзэлхүүнээр.

a) том ба b) тохиолдолд к= , Стирлингийн томъёо хүчинтэй байна:

Дараагийн утгыг тооцоолохын тулд давтагдах томъёог ашиглана

П(к + 1) = П(к).

Жишээ 1. Тухайн өдөр 1000 хүнээс: а) аль нь ч биш, б) нэг, в) хоёр, г) гурван хүн төрсөн байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Учир нь х= 1/365, тэгвэл q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Дараа нь

A) ,

б) ,

V) ,

G) .

Тиймээс, хэрэв 1000 хүнээс дээж авсан бол тухайн өдөр төрсөн хүмүүсийн дундаж тоо 65 байх болно; 178; 244; 223.

Жишээ 2. Магадлалтай утгыг тодорхойл Рүйл явдал дор хаяж нэг удаа гарч ирэв.

Шийдэл. Үйл явдал А= (дор хаяж нэг удаа гарч ирэх) ба = (нэг удаа ч гарч ирэхгүй). Тиймээс .

Эндээс Мөн .

Жишээ нь, төлөө Р= 0.5, хувьд Р= 0,95 .

Жишээ 3. Нэг нэхмэлийн ажиллуулдаг нэхмэлийн машинд нэг цагийн дотор 90 утас тасардаг. 4 минутын дотор хамгийн багадаа нэг утас тасрах магадлалыг ол.

Шийдэл. Нөхцөлөөр t = 4 мин. мөн минутанд завсарлагааны дундаж тоо, хаанаас . Шаардлагатай магадлал нь .

Үл хөдлөх хөрөнгө. Параметртэй Пуассон тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь дараахтай тэнцүү байна.

М(X) = Д(X) = .

Эдгээр илэрхийлэлийг шууд тооцооллоор олж авна.

Энд л солих ажил хийгдсэн n = к– 1 ба энэ нь .

Гаралтад ашигласантай төстэй хувиргалтыг хийх замаар М(X), бид авдаг

Пуассоны тархалтыг ерөнхийд нь бином тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг n

Практикт чухал ач холбогдолтой олон хэрэглээнд Пуассоны тархалт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Олон тооны тоо салангид хэмжигдэхүүнүүддараах шинж чанаруудтай Пуассон процессын хэрэгжилт юм.

• Тодорхой үйл явдал өгөгдсөн хүрээний боломжит үр дагаварт хэдэн удаа тохиолдохыг бид сонирхож байна санамсаргүй туршилт. Боломжит үр дүнгийн талбар нь цаг хугацааны интервал, сегмент, гадаргуу гэх мэт байж болно.
• Өгөгдсөн үйл явдлын магадлал нь боломжтой үр дүнгийн бүх хэсэгт ижил байна.
• Боломжит үр дүнгийн нэг хэсэгт тохиолдох үйл явдлын тоо нь бусад бүс нутагт тохиолдох үйл явдлын тооноос үл хамаарна.
• Боломжит үр дагавар нь ижил бүсэд байх магадлал энэ үйл явдалнэгээс олон удаа тохиолддог, боломжит үр дүнгийн хүрээ багасах тусам тэг болох хандлагатай байдаг.

Пуассон процессын утга учрыг илүү сайн ойлгохын тулд төв хэсэгт байрлах банкны салбараар зочилсон үйлчлүүлэгчдийн тоог судалъя гэж бодъё. бизнесийн дүүрэг, үдийн хоолны үеэр, i.e. 12-13 цаг хүртэл. Та нэг минутын дотор ирэх үйлчлүүлэгчдийн тоог тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё. Энэ нөхцөл байдал дээр дурдсан шинж чанаруудтай юу? Нэгдүгээрт, бидний сонирхож буй үйл явдал бол үйлчлүүлэгчийн ирэлт бөгөөд боломжит үр дүнгийн хүрээ нь нэг минутын завсарлага юм. Нэг минутын дотор банкинд хэдэн үйлчлүүлэгч ирэх вэ - аль нь ч биш, нэг, хоёр ба түүнээс дээш? Хоёрдугаарт, нэг минутын дотор үйлчлүүлэгч ирэх магадлал бүх нэг минутын интервалд ижил байна гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм. Гуравдугаарт, нэг минутын завсарлагааны хугацаанд нэг үйлчлүүлэгч ирэх нь өөр нэг минутын завсарлагааны хугацаанд бусад үйлчлүүлэгч ирэхээс үл хамаарна. Эцэст нь, хэрэв хугацааны интервал тэг болох хандлагатай бол, жишээлбэл, 0.1 секундээс бага бол банкинд нэгээс олон үйлчлүүлэгч ирэх магадлал тэг болно. Тиймээс нэг минутын дотор өдрийн хоолны үеэр банкинд ирэх үйлчлүүлэгчдийн тоог Пуассоны хуваарилалтаар тодорхойлдог.

Пуассоны тархалт нь нэг параметртэй бөгөөд үүнийг λ ( грек үсэг"lambda") нь боломжит үр дүнгийн тухайн хэсэгт амжилттай болсон туршилтуудын дундаж тоо юм. Пуассоны тархалтын дисперс нь мөн λ, стандарт хазайлт нь . Амжилттай туршилтын тоо XПуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс хязгааргүй хооронд хэлбэлздэг. Пуассоны тархалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана P(X)- магадлал Xамжилттай туршилт, λ - хүлээгдэж буй амжилтын тоо, д- натурал логарифмын суурь нь 2.71828, X- нэгж цагийн амжилтын тоо.

Бид өөрсдийн жишээ рүү буцъя. Үдийн цайны завсарлагааны үеэр нэг минутад дунджаар гурван үйлчлүүлэгч банкинд ирдэг гэж бодъё. Тухайн үед хоёр харилцагч банкинд ирэх магадлал хэд вэ? Банкинд хоёроос дээш харилцагч ирэх магадлал хэд вэ?

λ = 3 параметртэй (1) томъёог хэрэглэцгээе. Тэгвэл өгөгдсөн минутын дотор хоёр үйлчлүүлэгч банкинд ирэх магадлал нь тэнцүү байна.

Банкинд хоёроос дээш харилцагч ирэх магадлал нь P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) -тэй тэнцүү байна. Бүх магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой тул томьёоны баруун талд байгаа цувааны нөхцөлүүд нь X ≤ 2 үйл явдалд нэмэгдэх магадлалыг илэрхийлнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ цувааны нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна – P(X ≤ 2). Тиймээс P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Одоо (1) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Ийнхүү нэг минутын дотор хоёроос илүүгүй харилцагч банкинд ирэх магадлал 0.423 (эсвэл 42.3%), нэг минутын дотор хоёроос дээш харилцагч банкинд ирэх магадлал 0.577 (буюу 57.7%) байна.

Ялангуяа λ параметр нь хангалттай том бол ийм тооцоо нь уйтгартай мэт санагдаж магадгүй юм. зайлсхийхийн тулд нарийн төвөгтэй тооцоолол, Пуассоны олон магадлалыг тусгай хүснэгтээс олж болно (Зураг 1). Жишээлбэл, нэг минутанд дунджаар гурван үйлчлүүлэгч банкинд ирдэг бол тухайн минутанд хоёр үйлчлүүлэгч ирэх магадлал нь шугамын уулзварт байна. X= 2 ба багана λ = 3. Тиймээс 0.2240 буюу 22.4% -тай тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 1. λ = 3 үед Пуассоны магадлал

Өнөө үед =POISSON.DIST() функцтэй Excel бэлэн байгаа бол хэн ч хүснэгт ашиглах магадлал багатай (Зураг 2). Энэ функц нь амжилттай туршилтын тоо гэсэн гурван параметртэй X, амжилттай туршилтын дундаж хүлээгдэж буй тоо λ, параметр Интеграл, хоёр утгыг авна: ХУДАЛ – энэ тохиолдолд амжилттай туршилтын тооны магадлалыг тооцоолно X(Зөвхөн X), ҮНЭН – энэ тохиолдолд амжилттай туршилтын тооны магадлал 0-ээс X.

Цагаан будаа. 2. Тооцоолол Excel-ийн магадлалПуассоны тархалт λ = 3

Пуассоны тархалтыг ашиглан бином тархалтыг ойртуулах

Хэрэв тоо nтом бөгөөд тоо r- жижиг, хоёр нэрийн тархалтыг Пуассоны тархалтыг ашиглан ойртуулж болно. Яаж илүү их тоо nТэгээд бага тоо r, ойролцоогоор өндөр нарийвчлалтай. Дараах Пуассон загварыг бином тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг.

Хаана P(X)- магадлал X-тай амжилт өгөгдсөн параметрүүд nТэгээд r, n- дээжийн хэмжээ, r- амжилтанд хүрэх бодит магадлал, д- натурал логарифмын суурь, X- түүврийн амжилтын тоо (X = 0, 1, 2, …, n).

Онолын хувьд Пуассон тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс ∞ хүртэлх утгыг авдаг. Гэсэн хэдий ч Пуассоны тархалтыг binomial тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг нөхцөлд Пуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь амжилтын тоо юм. nажиглалт - тооноос хэтрэхгүй n. Томъёо (2)-аас харахад тоо нэмэгдэж байна nболон тоо буурах rилрүүлэх магадлал их тооамжилтын түвшин буурч, тэг болох хандлагатай байна.

Дээр дурдсанчлан Пуассоны тархалтын хүлээлт μ ба дисперс σ 2 нь λ-тэй тэнцүү байна. Иймд Пуассоны тархалтыг ашиглан бином тархалтыг ойртуулахдаа (3) математикийн хүлээлтийг ойролцоолсон томъёог ашиглана.

(3) μ = E(X) = λ =n.p.

Стандарт хазайлтыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд (4) томъёог ашиглана.

Томъёо (4)-ийг ашиглан тооцоолсон стандарт хазайлт нь хандлагатай байгааг анхаарна уу стандарт хазайлтбином загварт - амжилтанд хүрэх магадлал үед хтэг болох хандлагатай, үүний дагуу бүтэлгүйтэх магадлал 1 – хэв нэгдэлтэй байхыг эрмэлздэг.

Тодорхой үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн дугуйны 8 хувь нь гэмтэлтэй гэж бодъё. Пуассоны тархалтыг биномаль тархалтыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд 20 дугуйны түүврээс нэг гэмтэлтэй дугуйг олох магадлалыг тооцоолъё. (2) томъёог хэрэглэцгээе, бид олж авна

Хэрэв бид үнэн хоёрын тархалтыг ойртуулахын оронд тооцоолох юм бол дараах үр дүнг авах болно.

Гэсэн хэдий ч эдгээр тооцоо нь нэлээд уйтгартай байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та Excel програмыг магадлалыг тооцоолоход ашигладаг бол Пуассоны тархалтын ойролцоо тооцоог ашиглах нь илүүц болно. Зураг дээр. Зураг 3-аас харахад Excel-ийн тооцооллын нарийн төвөгтэй байдал ижил байна. Гэсэн хэдий ч, миний бодлоор энэ хэсэг нь зарим нөхцөлд бином тархалт ба Пуассоны тархалт ижил төстэй үр дүнг өгдөг гэдгийг ойлгоход хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 3. Excel-ийн тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлын харьцуулалт: (a) Пуассоны тархалт; (б) бином тархалт

Тиймээс, энэ болон өмнөх хоёр тэмдэглэлд гурван салангид байна тоон тархалт: , болон Пуассон. Эдгээр хуваарилалтууд хоорондоо хэрхэн холбогдож байгааг илүү сайн ойлгохын тулд бид асуултын жижиг модыг толилуулж байна (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Дискрет магадлалын тархалтын ангилал

Левин нар Менежерүүдэд зориулсан статистик номны материалыг ашигласан. – М.: Уильямс, 2004. – х. 320–328