Өгүүллийн агуулга

ҮҮСГЭЛ– функцийн дериватив y = е(x), тодорхой интервалаар өгсөн ( а, б) цэг дээр xэнэ интервалыг функцийн өсөлтийн харьцаа хандлагатай байгаа хязгаар гэнэ еэнэ үед аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байх үед аргументийн харгалзах өсөлт рүү.

Деривативыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.

Бусад тэмдэглэгээг мөн өргөн ашигладаг:

Шуурхай хурд.

Гол нь байя Мшулуун шугамаар хөдөлдөг. Зай схөдөлж буй цэг, анхны байрлалаас нь тоолно М 0 , цаг хугацаанаас хамаарна т, өөрөөр хэлбэл сцаг хугацааны функц байдаг т: с= е(т). Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр тхөдлөх цэг Мзайтай байсан с-аас анхны байрлал М 0, дараагийн мөчид т+Д тбайр сууриа олж мэдэв М 1 - хол зайд с+Д санхны байрлалаас ( зургийг үзнэ үү.).

Ийнхүү тодорхой хугацааны дараа Д тзай схэмжээгээр өөрчилсөн D с. Энэ тохиолдолд тэд цаг хугацааны интервалд D гэж хэлдэг тхэмжээ схүлээн авсан нэмэгдэл D с.

Дундаж хурд нь бүх тохиолдолд цэгийн хөдөлгөөний хурдыг нарийн тодорхойлж чадахгүй Мцаг хугацааны хувьд т. Хэрэв жишээлбэл, интервалын эхэнд байгаа бие D тмаш хурдан хөдөлж, эцэст нь маш удаан, дараа нь дундаж хурдтухайн цэгийн хөдөлгөөний тодорхой шинж чанарыг тусгаж, түүний хөдөлгөөний жинхэнэ хурдны талаар ойлголт өгөх боломжгүй болно. т. Дундаж хурдыг ашиглан жинхэнэ хурдыг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэхийн тулд та богино хугацаа авах хэрэгтэй D т. Ихэнх нь тухайн үеийн цэгийн хөдөлгөөний хурдыг бүрэн тодорхойлдог тдундаж хурд нь D-д чиглэдэг хязгаар т® 0. Энэ хязгаарыг хөдөлгөөний хурд гэж нэрлэдэг одоогоор:

Тиймээс тухайн агшин дахь хөдөлгөөний хурдыг замын өсөлтийн харьцааны хязгаар D гэж нэрлэдэг сцаг хугацааны өсөлт D т, цаг хугацааны өсөлт тэг болох хандлагатай үед. Учир нь

Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч.

Шүргэдэг шугам барих нь дифференциал тооцоолол үүсэхэд хүргэсэн асуудлуудын нэг юм. Дифференциал тооцоололтой холбоотой анхны хэвлэгдсэн бүтээл ба перуЛейбниц гэдэг нэртэй байсан Шинэ аргамаксимум ба минимум, түүнчлэн бутархай ч биш, иррационал хэмжигдэхүүн ч биш шүргэгч хэмжигдэхүүнүүд, үүнд зориулсан тусгай тооцоолол нь саад болдог..

Муруйг функцийн график гэж үзье y =е(x) В тэгш өнцөгт системкоординат ( см. будаа.).

Зарим үнээр xфункц чухал y =е(x). Эдгээр үнэт зүйлс xТэгээд yмуруй дээрх цэг нь тохирч байна М 0(x, y). Хэрэв маргаан бол xөгөх өсөлт D x, дараа нь аргументийн шинэ утга x+Д xшинэ функцийн утгатай тохирч байна y+Д y = е(x + Д x). Муруйн харгалзах цэг нь цэг болно М 1(x+Д x,y+Д y). Хэрэв та секант зурвал М 0М 1 ба j-ээр тэмдэглэнэ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хөндлөн огтлолцсон өнцөг Үхэр, зурагнаас шууд тодорхой харагдаж байна.

Хэрэв одоо Д xтэг рүү чиглэдэг, дараа нь цэг М 1 муруйн дагуу хөдөлж, цэг рүү ойртоно М 0 ба өнцөг j D-тэй хамт өөрчлөгддөг x. At Dx® 0 өнцөг j тодорхой хязгаарт чиглэдэг a ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам М 0 ба x тэнхлэгийн эерэг чиглэл бүхий бүрэлдэхүүн хэсэг нь а өнцөг нь хүссэн шүргэгч байх болно. Түүний налуу нь:

Тиймээс, е´( x) = tga

тэдгээр. дериватив үнэ цэнэ е´( x) өгөгдсөн аргументын утгын хувьд xфункцийн графикт шүргэхэд үүссэн өнцгийн тангенстай тэнцүү байна е(x) харгалзах цэг дээр М 0(x,y) эерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй Үхэр.

Функцийн ялгавартай байдал.

Тодорхойлолт. Хэрэв функц y = е(x) цэг дээр дериватив байна x = x 0 бол энэ үед функц дифференциал болно.

Деривативтай функцийн тасралтгүй байдал. Теорем.

Хэрэв функц y = е(x) хэзээ нэгэн цагт ялгагдах боломжтой x = x 0, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Тиймээс функц нь тасархай цэгүүдэд деривативтай байж болохгүй. Эсрэг дүгнэлт нь буруу, өөрөөр хэлбэл. хэзээ нэгэн цагт тэрнээс x = x 0 функц y = е(x) тасралтгүй байна гэдэг нь энэ үед ялгах боломжтой гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, функц y = |x| хүн бүрт тасралтгүй x(–Ґ x x = 0 нь деривативгүй. Энэ үед графикт шүргэгч байхгүй. Баруун болон зүүн тангенс байдаг боловч тэдгээр нь давхцдаггүй.

Дифференциалагдах функцүүдийн зарим теоремууд. Деривативын язгуурын тухай теорем (Роллегийн теорем).Хэрэв функц е(x) сегмент дээр тасралтгүй байна [а,б], бүгдээрээ ялгарах боломжтой дотоод цэгүүдЭнэ сегментийн болон төгсгөлд x = аТэгээд x = бтэг рүү очдог ( е(а) = е(б) = 0), дараа нь сегмент дотор [ а,б] дор хаяж нэг цэг байна x= -тай, а c b, үүнд дериватив еў( x) тэг рүү явдаг, өөрөөр хэлбэл. еў( в) = 0.

Хязгаарлагдмал өсөлтийн теорем (Лагранжийн теорем).Хэрэв функц е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а, б] ба энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүдэд, дараа нь сегментийн дотор [ ялгах боломжтой. а, б] дор хаяж нэг цэг байна -тай, ав б тэр

е(б) – е(а) = еў( в)(б– а).

Хоёр функцийн өсөлтийн харьцааны тухай теорем (Коши теорем).Хэрэв е(x) Мөн g(x) – сегмент дээр тасралтгүй хоёр функц [а, б] ба энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүдэд ялгах боломжтой, мөн gў( x) энэ сегмент дотор хаана ч алга болохгүй, дараа нь сегмент дотор [ а, б] ийм цэг байдаг x = -тай, ав б тэр

Төрөл бүрийн захиалгын деривативууд.

Функцийг зөвшөөр y =е(x) зарим интервалаар ялгах боломжтой [ а, б]. Дериватив утгууд е ў( x), ерөнхийдөө хамааралтай x, өөрөөр хэлбэл дериватив е ў( x) нь мөн функц юм x. Энэ функцийг ялгахдаа функцийн хоёр дахь дериватив гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг е(x) гэж тэмдэглэгдсэн байна е ўў ( x).

Дериватив n-функцийн дараалал е(x) нь деривативын (эхний дарааллын) дериватив гэж нэрлэгддэг n- 1- th ба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна y(n) = (y(n– 1))ў.

Төрөл бүрийн захиалгын ялгаа.

Функцийн дифференциал y = е(x), Хаана x– бие даасан хувьсагч, тийм dy = е ў( x)dx, -аас зарим функц x, гэхдээ эхлэн xзөвхөн эхний хүчин зүйлээс хамаарч болно е ў( x), хоёр дахь хүчин зүйл ( dx) нь бие даасан хувьсагчийн өсөлт юм xмөн энэ хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй. Учир нь dy-аас функц байдаг x, тэгвэл бид энэ функцийн дифференциалыг тодорхойлж болно. Функцийн дифференциалын дифференциалыг энэ функцийн хоёр дахь дифференциал эсвэл хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ. г 2y:

г(dx) = г 2y = е ўў( x)(dx) 2 .

Дифференциал n-нэгдүгээр эрэмбийн ялгааг дифференциалын эхний дифференциал гэнэ n- 1- р захиалга:

d n y = г(d n–1y) = е(n)(x)dx(n).

Хэсэгчилсэн дериватив.

Хэрэв функц нь нэгээс биш хэд хэдэн аргументаас хамаардаг бол x i(би 1-ээс хэлбэлздэг n,би= 1, 2,… n),е(x 1,x 2,… x n), дараа нь дифференциал тооцооЗөвхөн нэг аргумент өөрчлөгдөх үед хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог хэсэгчилсэн деривативын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. x i. -ын хувьд 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив x iнь ердийн дериватив гэж тодорхойлогддог бөгөөд бусад бүх аргументууд гэж үздэг x i, хадгалах тогтмол утгууд. Хэсэгчилсэн деривативуудын хувьд тэмдэглэгээг оруулсан болно

Ийм байдлаар тодорхойлсон 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд (ижил аргументуудын функцууд) нь эргээд хэсэгчилсэн деривативуудтай байж болно, эдгээр нь хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн дериватив гэх мэт. Өөр өөр аргументуудаас авсан ийм деривативуудыг холимог гэж нэрлэдэг. Нэг эрэмбийн тасралтгүй холимог деривативууд нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй бөгөөд хоорондоо тэнцүү байна.

Анна Чугайнова

Харьцаа үүсгэж, хязгаарыг тооцоол.

Хаанаас ирсэн юм бэ? деривативын хүснэгт ба ялгах дүрмүүд? Цорын ганц хязгаарт баярлалаа. Энэ нь ид шид мэт санагдах боловч бодит байдал дээр энэ бол заль мэх биш, гар хөл юм. Ангидаа Дериватив гэж юу вэ?Би тодорхой жишээнүүдийг харж эхэлсэн бөгөөд тодорхойлолтыг ашиглан шугаман ба деривативуудыг олсон квадрат функц. Танин мэдэхүйн дулаарах зорилгоор бид үргэлжлүүлэн саад хийх болно деривативын хүснэгт, алгоритм болон техникийн шийдлүүдийг сайжруулах:

Жишээ 1

Үндсэндээ та нотлох хэрэгтэй онцгой тохиолдолдериватив эрчим хүчний функц, ихэвчлэн хүснэгтэд харагдана: .

Шийдэлтехникийн хувьд хоёр аргаар албан ёсоор . Эхний, аль хэдийн танил болсон арга замаар эхэлцгээе: шат нь банзаас эхэлдэг ба дериватив функц нь тухайн цэг дээр деривативаас эхэлдэг.

Ингээд авч үзье заримхамаарах (тодорхой) цэг тодорхойлолтын домэйндериватив байдаг функц. Энэ үед өсөлтийг тохируулъя (мэдээжийн хүрээндо/о -Би)мөн функцийн харгалзах нэмэгдлийг зохио:

Хязгаарыг тооцоолъё:

0:0 гэсэн тодорхойгүй байдлыг МЭӨ I зуунд авч үзсэн стандарт техникээр арилгадаг. Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлнэ :

Ийм хязгаарыг шийдвэрлэх арга техникийг доор дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно танилцуулах хичээл функцүүдийн хязгаарын тухай.

Та интервалын аль ч цэгийг чанарын хувьд сонгох боломжтой тул орлуулалт хийсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулах

Дахин нэг удаа логарифмд баярлацгаая:

Жишээ 2

Деривативын тодорхойлолтыг ашиглан функцийн деривативыг ол

Шийдэл: Нэг ажлыг сурталчлах өөр арга барилыг авч үзье. Энэ нь яг адилхан боловч дизайны хувьд илүү оновчтой юм. Шийдлийн эхэнд байгаа доод бичгийг арилгаж, үсгийн оронд үсгийг ашиглах санаа юм.

Ингээд авч үзье дур зоргоороохамаарах цэг тодорхойлолтын домэйнфункц (интервал) ба түүний өсөлтийг тохируулна. Гэхдээ энд, дашрамд хэлэхэд, ихэнх тохиолдолд та ямар ч захиалгагүйгээр хийж болно логарифм функцТодорхойлолтын хүрээний аль ч цэгт ялгах боломжтой.

Дараа нь функцийн харгалзах өсөлт нь:

Деривативыг олцгооё:

Загварын энгийн байдал нь эхлэгчдэд (зөвхөн биш) үүсч болох төөрөгдөлөөр тэнцвэрждэг. Эцсийн эцэст бид "X" үсэг хязгаарт өөрчлөгддөгт дассан! Гэхдээ энд бүх зүйл өөр байна: - эртний хөшөө, мөн - музейн коридороор хурдан алхаж буй амьд зочин. Өөрөөр хэлбэл, "x" нь "тогтмол" юм.

Тодорхой бус байдлыг арилгах талаар би алхам алхмаар тайлбар хийх болно.

(1) Бид логарифмын шинж чанарыг ашигладаг .

(2) Хаалтанд тоологчийг хуваагч гишүүнээр хуваана.

(3) Хуваагчийн хувьд бид давуу талыг ашиглахын тулд "x"-ээр зохиомлоор үржүүлж, хуваадаг. гайхалтай хязгаар , байхад хязгааргүй жижигялгардаг.

Хариулах: деривативын тодорхойлолтоор:

Эсвэл товчхондоо:

Би өөрөө өөр хоёр хүснэгтийн томъёог бүтээхийг санал болгож байна.

Жишээ 3

IN энэ тохиолдолдбүрдсэн өсөлтийг нэн даруй хөтлөх нь тохиромжтой нийтлэг хуваагч. Ойролцоогоор дээжхичээлийн төгсгөлд даалгаврыг гүйцэтгэх (эхний арга).

Жишээ 3:Шийдэл : зарим нэг зүйлийг анхаарч үзээрэй , функцийн тодорхойлолтын домэйнд хамаарах . Энэ үед өсөлтийг тохируулъя мөн функцийн харгалзах нэмэгдлийг зохио.

Цэг дэх деривативыг олъё :


Түүнээс хойш а та ямар ч цэгийг сонгож болно функцийн домэйн , Тэр Тэгээд
Хариулах : деривативын тодорхойлолтоор

Жишээ 4

Тодорхойлолтоор деривативыг ол

Мөн энд бүх зүйлийг багасгах хэрэгтэй гайхалтай хязгаар . Шийдэл нь хоёр дахь аргаар албан ёсоор хийгдсэн.

Бусад хэд хэдэн хүснэгтийн деривативууд. Бүрэн жагсаалт-ээс олж болно сургуулийн сурах бичиг, эсвэл, жишээ нь, Фихтенхольцын 1-р боть. Ялгах дүрмийн нотолгоог номноос хуулбарлах нь надад тийм ч их ач холбогдол өгөхгүй байна - тэдгээр нь мөн томъёогоор үүсгэгддэг.

Жишээ 4:Шийдэл , харьяалагддаг , мөн үүн доторх өсөлтийг тохируулна уу

Деривативыг олцгооё:

Гайхалтай хязгаарыг ашиглах

Хариулах : тодорхойлолтоор

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол , деривативын тодорхойлолтыг ашиглан

Шийдэл: бид анхны загварын хэв маягийг ашигладаг. -д хамаарах зарим цэгийг авч үзээд үүн дээрх аргументийн өсөлтийг зааж өгье. Дараа нь функцийн харгалзах өсөлт нь:

Магадгүй зарим уншигчид ямар зарчмаар нэмэх шаардлагатайг бүрэн ойлгоогүй байж магадгүй юм. Нэг цэг (тоо) аваад, доторх функцийн утгыг ол. , өөрөөр хэлбэл функцэд орно оронд нь"X"-г орлуулах хэрэгтэй. Одоо бид маш тодорхой тоог авч, функцэд орлуулж байна оронд нь"икса": . Бид ялгааг бичдэг бөгөөд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай хаалтанд бүрэн оруулаарай.

Эмхэтгэсэн функцийн өсөлт Нэн даруй хялбарчлах нь ашигтай байх болно. Юуны төлөө? Шийдвэрийг хөнгөвчлөх, богиносгож, цаашдын хязгаарт хүргэх.

Бид томъёог ашиглаж, хаалт нээж, багасгаж болох бүх зүйлийг багасгадаг.

Цацагт хяруул гэдсэнд байгаа, шарсан маханд асуудал байхгүй:

Үүний үр дүнд:

Учир нь та ямар ч чанарыг сонгох боломжтой бодит тоо, дараа нь бид орлуулалтыг хийж, авна .

Хариулах: тодорхойлолтоор.

Баталгаажуулах зорилгоор деривативыг ашиглан олъё ялгах дүрэм, хүснэгт:

Зөв хариултыг урьдчилан мэдэх нь үргэлж ашигтай бөгөөд тааламжтай байдаг тул санал болгож буй функцийг шийдлийн хамгийн эхэнд оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр "хурдан" байдлаар ялгах нь дээр.

Жишээ 6

Деривативын тодорхойлолтоор функцийн деривативыг ол

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Үр дүн нь тодорхой байна:

Жишээ 6:Шийдэл : зарим нэг зүйлийг анхаарч үзээрэй , харьяалагддаг , түүн дэх аргументийн өсөлтийг тохируулна уу . Дараа нь функцийн харгалзах өсөлт нь:


Деривативыг тооцоолъё:


Тиймээс:
Учир нь тэгвэл та ямар ч бодит тоог сонгож болно Тэгээд
Хариулах : тодорхойлолтоор.

Загвар №2 руу буцаж орцгооё:

Жишээ 7

Юу болох ёстойг нэн даруй олж мэдье. By ялгах дүрэм нарийн төвөгтэй функц :

Шийдэл: авч үзье дурын цэг, -д хамаарах, түүний аргументийн өсөлтийг тохируулж, функцийн өсөлтийг зохио.

Деривативыг олцгооё:


(1) Ашиглах тригонометрийн томъёо .

(2) Синусын доор бид хаалтуудыг нээж, косинусын доор бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.

(3) Синусын дор бид гишүүдийг багасгаж, косинусын доор бид хуваагчийг гишүүнээр хуваана.

(4) Синусын сондгой байдлаас болж бид "хасах" -ыг гаргаж авдаг. Косинусын доор бид нэр томъёог зааж өгнө.

(5) Бид ашиглахын тулд хуваарьт зохиомлоор үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг анхны гайхалтай хязгаар. Тиймээс тодорхойгүй байдал арилсан тул үр дүнг цэгцэлцгээе.

Хариулах: тодорхойлолтоор

Таны харж байгаагаар хэлэлцэж буй асуудлын гол бэрхшээл нь хязгаарлалтын нарийн төвөгтэй байдал + сав баглаа боодлын бага зэрэг өвөрмөц байдал дээр тулгуурладаг. Практикт дизайны хоёр арга хоёулаа тохиолддог тул би хоёр аргыг аль болох нарийвчлан тайлбарласан. Эдгээр нь ижил төстэй боловч миний субьектив сэтгэгдэлээр дамми хүмүүс "X-тэг" гэсэн 1-р хувилбарыг дагаж мөрдөхийг зөвлөж байна.

Жишээ 8

Тодорхойлолтыг ашиглан функцийн деривативыг ол

Жишээ 8:Шийдэл : дурын цэгийг авч үзье , харьяалагддаг , үүн дэх өсөлтийг тохируулцгаая мөн функцийн өсөлтийг бичнэ үү:

Деривативыг олцгооё:

Бид тригонометрийн томъёог ашигладаг ба анхны гайхалтай хязгаар:

Хариулах : тодорхойлолтоор

Асуудлын илүү ховор хувилбарыг харцгаая:

Жишээ 9

Үүсмэлийн тодорхойлолтыг ашиглан цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Нэгдүгээрт, эцсийн үр дүн юу байх ёстой вэ? Тоо

Хариултаа тооцоод үзье стандарт аргаар:

Шийдэл: Тодорхой байдлын үүднээс авч үзвэл томьёо нь тодорхой утгыг авч үздэг тул энэ даалгавар нь илүү хялбар байдаг.

Цэг дэх өсөлтийг тогтоож, функцийн харгалзах өсөлтийг байгуулъя:

Дараах цэг дээрх деривативыг тооцоолъё.

Бид маш ховор шүргэгч ялгааны томъёог ашигладаг дахин нэг удаа бид шийдлийг багасгаж байна анхны гайхалтай хязгаар:

Хариулах: цэг дээрх деривативын тодорхойлолтоор.

Асуудлыг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд “д ерөнхий үзэл» - дизайны аргаас хамааран солиход хангалттай. Энэ тохиолдолд үр дүн нь тоо биш, харин үүсмэл функц болох нь тодорхой байна.

Жишээ 10

Тодорхойлолтыг ашиглан функцийн деривативыг ол Миний яриад байгаа нэг цэг дээр (нэг нь хязгааргүй болж хувирч магадгүй). ерөнхий тоймаль хэдийн хэлсэн деривативын тухай онолын хичээл.

Зарим хэсэгчлэн тодорхойлсон функцуудГрафикийн "хамтарсан" цэгүүдэд мөн ялгах боломжтой, жишээлбэл, catdog цэг дээр нийтлэг дериватив ба нийтлэг шүргэгч (x тэнхлэг) байна. Муруй, гэхдээ -ээр ялгах боломжтой! Сонирхсон хүмүүс саяхан шийдсэн жишээг ашиглан үүнийг өөрсдөө шалгаж болно.

©2015-2019 сайт
Бүх эрх нь тэдний зохиогчид хамаарна. Энэ сайт нь зохиогчийн эрхийг шаарддаггүй, гэхдээ үнэгүй ашиглах боломжийг олгодог.
Хуудас үүсгэсэн огноо: 2017-06-11

Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь Δ функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. yаргументийн өсөлт рүү Δ x:

Бүх зүйл ойлгомжтой байх шиг байна. Гэхдээ энэ томъёог ашиглан функцийн деривативыг тооцоолж үзээрэй е(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xнүгэл x. Хэрэв та бүх зүйлийг тодорхойлолтоор хийвэл хэдэн хуудас тооцоо хийсний дараа та зүгээр л унтах болно. Тиймээс илүү энгийн бөгөөд үр дүнтэй аргууд байдаг.

Эхлэхийн тулд бид бүх төрлийн функцүүдээс энгийн функцуудыг ялгаж салгаж чадна гэдгийг тэмдэглэж байна. Энэ нь харьцангуй юм энгийн илэрхийллүүд, деривативуудыг удаан хугацаанд тооцоолж, хүснэгтэд жагсаасан. Ийм функцууд нь тэдгээрийн деривативуудын хамт санахад маш хялбар байдаг.

Энгийн функцүүдийн деривативууд

Үндсэн функцууд нь доор жагсаасан бүх функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг цээжээр мэддэг байх ёстой. Түүнээс гадна тэдгээрийг цээжлэх нь тийм ч хэцүү биш - тиймээс тэд анхан шатны шинж чанартай байдаг.

Тиймээс деривативууд үндсэн функцууд:

Хэрэв энгийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл шинэ функцийн деривативыг хялбархан тооцоолно.

(C · е)’ = C · е ’.

Ерөнхийдөө деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авч болно. Жишээ нь:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Мэдээжийн хэрэг, энгийн функцуудыг бие биендээ нэмэх, үржүүлэх, хуваах гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжтой. Ийм байдлаар шинэ функцууд гарч ирэх бөгөөд энэ нь ялангуяа энгийн байхаа больсон, гэхдээ бас тодорхой дүрмийн дагуу ялгагдах болно. Эдгээр дүрмийг доор авч үзэх болно.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив

Функцуудыг өгье е(x) Мөн g(x), деривативууд нь бидэнд мэдэгддэг. Жишээлбэл, та дээр дурдсан үндсэн функцуудыг авч болно. Дараа нь та эдгээр функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны деривативыг олох боломжтой.

1. (е + g)’ = е ’ + g ’
2. (е − g)’ = е ’ − g ’

Тэгэхээр хоёр функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна. Илүү олон нэр томъёо байж болно. Жишээ нь, ( е + g + h)’ = е ’ + g ’ + h ’.

Хатуухан хэлэхэд алгебрт "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Сөрөг элемент" гэсэн ойлголт байдаг. Тиймээс ялгаа е − gнийлбэр болгон дахин бичиж болно е+ (−1) g, дараа нь зөвхөн нэг томъёо үлдэнэ - нийлбэрийн дериватив.

е(x) = x 2 + нүгэл х; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцийн нийлбэр тул:

е ’(x) = (x 2 + нүгэл x)’ = (x 2)' + (нүгэл x)’ = 2x+ cos x;

Бид функцийг ижил төстэй шалтгаанаар тайлбарлаж байна g(x). Зөвхөн гурван нэр томъёо байдаг (алгебрийн үүднээс):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Хариулт:
е ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Бүтээгдэхүүний дериватив

Математик бол логик шинжлэх ухаан тул олон хүн нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн бүтээгдэхүүний дериватив гэж олон хүн үздэг. ажил хаях"> деривативын үржвэртэй тэнцүү байна. Гэхдээ та эргэлзээрэй! Бүтээгдэхүүний деривативыг огт өөр томъёогоор тооцдог. Тухайлбал:

(е · g) ’ = е ’ · g + е · g ’

Томъёо нь энгийн боловч ихэнхдээ мартагддаг. Зөвхөн сургуулийн сурагчид төдийгүй оюутнууд ч гэсэн. Үр дүн нь буруу шийдэгдсэн асуудлууд юм.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцын бүтээгдэхүүн тул бүх зүйл энгийн:

е ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−нүгэл x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x)

Чиг үүрэг g(x) эхний хүчин зүйл нь арай илүү төвөгтэй боловч ерөнхий схемэнэ өөрчлөгдөхгүй. Мэдээжийн хэрэг, функцийн эхний хүчин зүйл g(x) нь олон гишүүнт бөгөөд түүний уламжлал нь нийлбэрийн дериватив юм. Бидэнд:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · д x + (x 2 + 7x− 7) ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .

Хариулт:
е ’(x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x);
g ’(x) = x(x+ 9) · д x .

Сүүлийн шатанд деривативыг хүчин зүйлээр ангилдаг болохыг анхаарна уу. Албан ёсоор үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ ихэнх деривативуудыг бие даан тооцдоггүй, харин функцийг шалгахын тулд хийдэг. Энэ нь цаашид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, түүний тэмдгүүдийг тодорхойлох гэх мэт болно гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон хуваах нь дээр.

Хэрэв хоёр функц байгаа бол е(x) Мөн g(x), болон g(x) Бидний сонирхож буй олонлог дээр ≠ 0 байвал бид шинэ функцийг тодорхойлж болно h(x) = е(x)/g(x). Ийм функцийн хувьд та деривативыг олж болно:

Сул биш, тийм үү? Хасах нь хаанаас ирсэн бэ? Яагаад g 2? Тэгээд л! Энэ бол хамгийн олон зүйлийн нэг юм нарийн төвөгтэй томъёо- Та үүнийг лонхгүйгээр олж чадахгүй. Тиймээс үүнийг судлах нь дээр тодорхой жишээнүүд.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Бутархай тус бүрийн тоологч ба хуваагч нь энгийн функцуудыг агуулж байгаа тул бидэнд хэрэгтэй зүйл бол энэ хэсгийн деривативын томъёо юм.

Уламжлал ёсоор тоологчийг хүчин зүйл болгон хувацгаая - энэ нь хариултыг ихээхэн хялбаршуулах болно.

Нарийн төвөгтэй функц нь хагас километрийн урттай томьёо байх албагүй. Жишээлбэл, функцийг авахад хангалттай е(x) = нүгэл xболон хувьсагчийг солино x, дээр гэж хэлье x 2 + лн x. Энэ нь бүтэх болно е(x) = нүгэл ( x 2 + лн x) - энэ бол нарийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь мөн деривативтай боловч дээр дурдсан дүрмийн дагуу үүнийг олох боломжгүй болно.

Би яах ёстой вэ? Ийм тохиолдолд нийлмэл функцийн деривативын хувьсагч болон томъёог орлуулах нь дараахь зүйлийг хийхэд тусална.

е ’(x) = е ’(т) · т', Хэрэв x-ээр солигдоно т(x).

Дүрмээр бол энэ томьёог ойлгох нөхцөл байдал нь хуваалтын деривативаас ч илүү гунигтай байдаг. Тиймээс үүнийг тодорхой жишээн дээр тайлбарлах нь дээр дэлгэрэнгүй тайлбаралхам бүр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = д 2x + 3 ; g(x) = нүгэл ( x 2 + лн x)

Хэрэв функцэд байгаа бол гэдгийг анхаарна уу е(x) илэрхийлэл 2-ын оронд x+ 3 хялбар байх болно x, тэгвэл бид энгийн функцийг авна е(x) = д x. Тиймээс бид орлуулалт хийдэг: 2 байг x + 3 = т, е(x) = е(т) = д т. Бид нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор хайдаг.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Бид урвуу орлуулалтыг гүйцэтгэдэг: т = 2x+ 3. Бид дараахыг авна:

е ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3

Одоо функцийг харцгаая g(x). Үүнийг солих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой x 2 + лн x = т. Бидэнд:

g ’(x) = g ’(т) · т' = (нүгэл т)’ · т’ = cos т · т ’

Урвуу солих: т = x 2 + лн x. Дараа нь:

g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).

Ингээд л болоо! Сүүлийн илэрхийллээс харахад бүх асуудлыг үүсмэл нийлбэрийг тооцоолох хүртэл багасгасан.

Хариулт:
е ’(x) = 2 · д 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) учир нь ( x 2 + лн x).

Хичээлдээ би "үүсмэл" гэсэн нэр томъёоны оронд "анхны" гэдэг үгийг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээ нь, дүнгээс үндсэн нийлбэртэй тэнцүү байнацус харвалт. Энэ нь илүү ойлгомжтой юу? За, сайн байна.

Тиймээс деривативыг тооцоолох нь дээр дурдсан дүрмийн дагуу эдгээр ижил цохилтоос ангижрахад хүргэдэг. гэх мэт сүүлчийн жишээРационал илтгэгчтэй дериватив хүчин рүү буцъя:

(x n)’ = n · x n − 1

Цөөхөн хүн дүрд нь үүнийг мэддэг nсайн жүжиглэж магадгүй бутархай тоо. Жишээлбэл, үндэс нь x 0.5. Үндэс дор нь ямар нэгэн гоёмсог зүйл байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд үр дүн нь нарийн төвөгтэй функц байх болно - тэд ийм барилга байгууламжийг өгөх дуртай туршилтуудболон шалгалтууд.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Эхлээд язгуурыг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр дахин бичье.

е(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Одоо бид орлуулалт хийж байна: зөвшөөрөх x 2 + 8x − 7 = т. Бид дараах томъёог ашиглан деривативыг олно.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (т 0.5)’ · т’ = 0.5 · т−0.5 · т ’.

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе: т = x 2 + 8x− 7. Бидэнд:

е ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Эцэст нь, үндэс рүү буцах:

Дериватив гэж юу вэ?

Деривативын хүснэгт.

Дериватив нь үндсэн ойлголтуудын нэг юм дээд математик. Энэ хичээлээр бид энэ ойлголтыг танилцуулах болно. Зүгээр л танилцацгаая, хатуухан зүйлгүйгээр математикийн томъёололболон нотлох баримт.

Энэхүү танил нь танд дараахь зүйлийг хийх боломжийг олгоно.

Дериватив бүхий энгийн ажлуудын мөн чанарыг ойлгох;

Эдгээр асуудлыг амжилттай шийдэж байна хэцүү даалгавар;

Деривативын талаар илүү ноцтой хичээлд бэлтгэ.

Нэгдүгээрт - тааламжтай гэнэтийн бэлэг.)

Деривативын хатуу тодорхойлолт нь хязгаарын онол дээр үндэслэсэн бөгөөд энэ нь нэлээд төвөгтэй юм. Энэ бухимдаж байна. Гэхдээ деривативын практик хэрэглээ нь дүрмээр бол ийм өргөн, гүн гүнзгий мэдлэг шаарддаггүй!

Сургууль, их сургуулийн ихэнх ажлыг амжилттай гүйцэтгэхийн тулд мэдэхэд хангалттай хэдхэн нэр томъёо- даалгаврыг ойлгох, мөн хэдхэн дүрэм- үүнийг шийдвэрлэх. Ингээд л болоо. Энэ нь намайг аз жаргалтай болгодог.

Танилцаж эхэлцгээе?)

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Анхан шатны математикт олон янзын математик үйлдлүүд байдаг. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, нэмэгдүүлэх, логарифм гэх мэт. Хэрэв та эдгээр үйлдлүүдэд нэг үйлдлийг нэмбэл анхан шатны математик илүү өндөр болно. Энэ шинэ үйл ажиллагаа гэж нэрлэгддэг ялгах.Энэ үйлдлийн тодорхойлолт, утгыг тусдаа хичээлээр хэлэлцэх болно.

Энд ялгах нь энгийн зүйл гэдгийг ойлгох нь чухал юм математик үйлдэлфункц дээр. Бид ямар ч функцийг авч, дагуу тодорхой дүрэм, үүнийг хувиргана. Үр дүн нь байх болно шинэ онцлог. Энэ шинэ функцийг дараах нэрээр нэрлэдэг. дериватив.

Ялгаварлах- функц дээрх үйлдэл.

Дериватив- энэ үйл ажиллагааны үр дүн.

Яг л жишээ нь, нийлбэр- нэмэлтийн үр дүн. Эсвэл хувийн- хуваагдлын үр дүн.

Нөхцөлүүдийг мэдэж байгаа тул та ядаж даалгавруудыг ойлгож чадна.) Томъёо нь дараах байдалтай байна. функцийн деривативыг олох; деривативыг авах; функцийг ялгах; деривативыг тооцоолохгэх мэт. Энэ бүгд ижил зүйл.Мэдээжийн хэрэг, деривативыг олох (ялгаалах) нь асуудлыг шийдэх алхамуудын зөвхөн нэг нь болох илүү төвөгтэй ажлууд байдаг.

Деривативыг функцын баруун дээд талд зураасаар тэмдэглэнэ. Үүнтэй адил: у"эсвэл f"(x)эсвэл S"(t)гэх мэт.

Уншиж байна igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te,За, чи ойлгож байна ...)

Анхны тоо нь тодорхой функцийн деривативыг мөн илэрхийлж болно, жишээлбэл: (2х+3)", (х 3 )" , (синкс)"гэх мэт. Ихэнхдээ деривативуудыг дифференциал ашиглан тэмдэглэдэг боловч бид энэ хичээл дээр ийм тэмдэглэгээг авч үзэхгүй.

Бид даалгавруудыг ойлгож сурсан гэж бодъё. Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах л үлдлээ.) Дахин сануулъя: деривативыг олох нь тодорхой дүрмийн дагуу функцийг хувиргах.Гайхалтай нь эдгээр дүрмүүд маш цөөхөн байдаг.

Функцийн деривативыг олохын тулд та зөвхөн гурван зүйлийг мэдэх хэрэгтэй. Бүх ялгаварлал дээр тогтдог гурван багана. Энд эдгээр гурван багана байна:

1. Деривативын хүснэгт (ялгаалах томъёо).

3. Комплекс функцийн дериватив.

Дарааллаар нь эхэлцгээе. Энэ хичээлээр бид деривативын хүснэгтийг үзэх болно.

Деривативын хүснэгт.

Дэлхий дээр - хязгааргүй олонлогфункцууд. Энэ олон янз байдлын дунд хамгийн чухал функцууд байдаг практик хэрэглээ. Эдгээр функцууд нь байгалийн бүх хуулиудад байдаг. Тоосго гэх мэт эдгээр функцүүдээс та бусад бүх зүйлийг барьж болно. Энэ ангиллын функцийг нэрлэдэг үндсэн функцууд.Сургуульд эдгээр функцуудыг судалдаг - шугаман, квадрат, гипербола гэх мэт.

Функцуудыг "эхнээс нь" ялгах, i.e. Деривативын тодорхойлолт, хязгаарын онол дээр үндэслэн энэ нь нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг зүйл юм. Математикчид ч гэсэн хүмүүс, тийм ээ, тийм!) Тиймээс тэд өөрсдийн (мөн бидний) амьдралыг хялбаршуулсан. Тэд бидний өмнө энгийн функцүүдийн деривативуудыг тооцоолсон. Үр дүн нь бүх зүйл бэлэн болсон деривативын хүснэгт юм.)

Энэ бол хамгийн алдартай функцүүдэд зориулагдсан хавтан юм. Зүүн талд нь энгийн функц, баруун талд нь дериватив байна.

	Чиг үүрэг y	y функцийн дериватив у"
1	C ( тогтмол)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - дурын тоо)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	гэм х	(нүгэл х)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	арктан х
	arcctg x
4	а x
	д x
5	бүртгэл а x
	ln x ( a = e)

Энэ деривативын хүснэгтийн гурав дахь бүлгийн функцүүдэд анхаарлаа хандуулахыг би зөвлөж байна. Хүчин чадлын функцийн дериватив нь хамгийн түгээмэл биш юмаа гэхэд хамгийн түгээмэл томъёонуудын нэг юм! Та санааг ойлгож байна уу?) Тийм ээ, деривативын хүснэгтийг цээжээр мэдэхийг зөвлөж байна. Дашрамд хэлэхэд энэ нь санагдах шиг хэцүү биш юм. Шийдвэрлэхийг хичээ илүү олон жишээ, хүснэгт өөрөө санах болно!)

Таны ойлгож байгаагаар деривативын хүснэгтийн утгыг олох нь хамгийн хэцүү ажил биш юм. Тиймээс ийм даалгаварт нэмэлт чипүүд ихэвчлэн байдаг. Даалгаврын үг хэллэг, эсвэл хүснэгтэд байхгүй байгаа анхны функц дээр ...

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

1. y = x функцийн деривативыг ол 3

Хүснэгтэнд ийм функц байхгүй байна. Гэхдээ ерөнхий хэлбэрээр (гурав дахь бүлэг) чадлын функцийн дериватив байдаг. Манай тохиолдолд n=3. Тиймээс бид n-ийн оронд гурвыг орлуулж, үр дүнг анхааралтай бичнэ үү.

(х 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ингээд л болоо.

Хариулт: y" = 3x 2

2. y = sinx функцийн деривативын утгыг х = 0 цэгт ол.

Энэ даалгавар нь эхлээд синусын деривативыг олж, дараа нь утгыг орлуулах ёстой гэсэн үг юм x = 0энэ маш дериватив руу. Яг ийм дарааллаар!Үгүй бол тэд анхны функцэд тэгийг шууд орлуулах тохиолдол гардаг... Биднээс анхны функцийн утгыг биш харин утгыг олохыг шаарддаг. түүний дериватив.Дериватив нь шинэ функц гэдгийг танд сануулъя.

Таблетыг ашиглан бид синус ба холбогдох деривативыг олно.

y" = (sin x)" = cosx

Бид тэгийг дериватив болгон орлуулна:

y"(0) = cos 0 = 1

Энэ хариулт байх болно.

3. Функцийг ялгана уу:

Юу вэ, энэ нь сүнслэг нөлөө үзүүлдэг үү?) Деривативын хүснэгтэд ийм функц байхгүй.

Функцийг ялгана гэдэг нь ердөө л энэ функцийн деривативыг олох явдал гэдгийг сануулъя. Хэрэв та анхан шатны тригонометрийг мартсан бол бидний функцийн деривативыг хайх нь нэлээд төвөгтэй юм. Хүснэгт нь тус болохгүй ...

Гэхдээ хэрэв бид харах юм бол бидний үүрэг косинус давхар өнцөг , тэгвэл бүх зүйл тэр дороо сайжирна!

Тийм, тийм! Анхны функцийг хувиргах гэдгийг санаарай ялгахын өмнөнэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц! Мөн энэ нь амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөхөд хүргэдэг. Давхар өнцгийн косинусын томъёог ашиглан:

Тэдгээр. бидний төвөгтэй функц бол үүнээс өөр зүйл биш юм y = cosx. Мөн энэ нь - хүснэгтийн функц. Бид нэн даруй авна:

Хариулт: y" = - sin x.

Ахисан түвшний төгсөгчид болон оюутнуудад зориулсан жишээ:

4. Функцийн деривативыг ол:

Мэдээжийн хэрэг деривативын хүснэгтэд ийм функц байхгүй. Гэхдээ санаж байвал суурь математик, зэрэгтэй үйлдлүүд... Тэгвэл энэ функцийг хялбарчлах бүрэн боломжтой. Үүнтэй адил:

Аравны нэгийн х нь аль хэдийн хүснэгтийн функц юм! Гурав дахь бүлэг, n=1/10. Бид дараах томъёоны дагуу шууд бичдэг.

Ингээд л болоо. Энэ хариулт байх болно.

Ялгах эхний багана болох деривативын хүснэгтээр бүх зүйл тодорхой байгаа гэж найдаж байна. Үлдсэн хоёр халимтай харьцах хэвээр байна. Дараагийн хичээлээр бид ялгах дүрмийг сурах болно.

(\large\bf Функцийн дериватив)

Функцийг авч үзье y=f(x), интервал дээр заасан (а, б). Болъё x- интервалын дурын тогтмол цэг (а, б), А Δx - дурын тоо, ийм үнэ цэнэ x+Δxмөн интервалд хамаарна (а, б). Энэ тоо Δxаргументын өсөлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Функцийн өсөлт y=f(x)цэг дээр x, аргументийн өсөлттэй харгалзах Δx, дугаар руу залгая

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Бид үүнд итгэдэг Δx ≠ 0. Өгөгдсөн тогтмол цэг дээр авч үзье xЭнэ цэг дэх функцийн өсөлтийг харгалзах аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа Δx

Бид энэ харьцааг ялгааны хамаарал гэж нэрлэнэ. Үнэ цэнээс хойш xБид тогтмол гэж үздэг, ялгааны харьцаа нь аргументийн функц юм Δx. Энэ функц нь аргументын бүх утгын хувьд тодорхойлогддог Δx, тухайн цэгийн хангалттай жижиг хороололд харьяалагддаг Δx=0, цэгээс бусад Δx=0. Тиймээс бид хязгаар байгаа эсэх асуудлыг авч үзэх эрхтэй заасан функццагт Δx → 0.

Тодорхойлолт. Функцийн дериватив y=f(x)өгөгдсөн тогтмол цэг дээр xхязгаар гэж нэрлэдэг Δx → 0ялгааны харьцаа, өөрөөр хэлбэл

Энэ хязгаар байгаа тохиолдолд.

Зориулалт. y'(x)эсвэл f'(x).

Деривативын геометрийн утга: Функцийн дериватив f(x)энэ үед xтэнхлэг хоорондын өнцгийн тангенстай тэнцүү Үхэрхаргалзах цэг дээрх энэ функцийн графиктай шүргэгч:

f′(x 0) = \tgα.

Деривативын механик утга: Замын цаг хугацааны дериватив нь хурдтай тэнцүү байна шулуун хөдөлгөөноноо:

Шугаман шүргэгчийн тэгшитгэл y=f(x)цэг дээр M 0 (x 0 ,y 0)хэлбэрийг авдаг

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Зарим цэг дэх муруйны нормаль нь тухайн цэг дээрх шүргэгчтэй перпендикуляр байна. Хэрэв f′(x 0)≠ 0, дараа нь шугамын хэвийн тэгшитгэл y=f(x)цэг дээр M 0 (x 0 ,y 0)ингэж бичсэн байна:

Функцийн дифференциал байдлын тухай ойлголт

Функцийг зөвшөөр y=f(x)тодорхой интервалаар тодорхойлогддог (а, б), x- энэ интервалаас зарим тогтмол аргументын утга, Δx- аргументийн утгыг нэмэгдүүлэхийн тулд аргументийн аливаа өсөлт x+Δx ∈ (a, b).

Тодорхойлолт. Чиг үүрэг y=f(x)тухайн цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг x, хэрэв нэмэгдвэл Δyцэг дээр энэ функц x, аргументийн өсөлттэй харгалзах Δx, хэлбэрээр төлөөлж болно

Δy = A Δx +αΔx,

Хаана А- зарим тооноос хамааралгүй Δx, А α - аргумент функц Δx, энэ нь хязгааргүй бага байна Δx→ 0.

Хоёр хязгааргүй жижиг функцийн үржвэр учраас αΔxилүү хязгааргүй жижиг юм өндөр захиалга, яаж Δx(хязгааргүй 3 функцийн шинж чанар), тэгвэл бид дараах зүйлийг бичиж болно.

Δy = A Δx +o(Δx).

Теорем. Функцийн хувьд y=f(x)тухайн цэг дээр ялгах боломжтой байсан x, энэ үед энэ нь хязгаарлагдмал деривативтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Үүний зэрэгцээ A=f′(x), тэр нь

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Деривативыг олох үйлдлийг ихэвчлэн ялгах гэж нэрлэдэг.

Теорем. Хэрэв функц y=f(x) x, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Сэтгэгдэл. Функцийн тасралтгүй байдлаас y=f(x)энэ үед x, ерөнхийдөө функцийн ялгавартай байдал нь дагаж мөрддөггүй f(x)энэ үед. Жишээлбэл, функц y=|x|- нэг цэг дээр тасралтгүй x=0, гэхдээ дериватив байхгүй.

Дифференциал функцийн тухай ойлголт

Тодорхойлолт. Функцийн дифференциал y=f(x)Энэ функцийн дериватив ба бие даасан хувьсагчийн өсөлтийн үржвэрийг гэнэ x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Функцийн хувьд y=xбид авдаг dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, тэр нь dx=Δx- бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Тиймээс бид бичиж болно

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Дифференциал dyба өсөлт Δyфункцууд y=f(x)энэ үед x, хоёулаа ижил аргументийн өсөлттэй тохирч байна Δx, ерөнхийдөө бие биентэйгээ тэнцүү биш юм.

Дифференциалын геометрийн утга: Аргумент нэмэгдэхэд функцийн дифференциал нь энэ функцийн графикт шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна. Δx.

Ялгах дүрэм

Теорем. Хэрэв функц тус бүр u(x)Тэгээд v(x)тухайн цэг дээр ялгах боломжтой x, дараа нь эдгээр функцүүдийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр ба хуваалт (хэрэв энэ бол v(x)≠ 0) нь мөн энэ үед ялгагдах боломжтой бөгөөд томъёонууд нь:

Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье y=f(φ(x))≡ F(x), Хаана у=f(у), u=φ(x). Энэ тохиолдолд удуудсан завсрын аргумент, x - бие даасан хувьсагч.

Теорем. Хэрэв у=f(у)Тэгээд u=φ(x)нь тэдгээрийн аргументуудын дифференциал функцууд, дараа нь нийлмэл функцийн дериватив юм y=f(φ(x))байгаа ба завсрын аргументийн хувьд энэ функцын үржвэртэй тэнцүү ба бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн дериватив, i.e.

Сэтгэгдэл. Гурван функцийн суперпозиция болох цогц функцийн хувьд y=F(f(φ(x))), ялгах дүрэм нь хэлбэртэй байна

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

функцүүд хаана байна v=φ(x), u=f(v)Тэгээд y=F(u)- тэдгээрийн аргументуудын ялгах функцууд.

Теорем. Функцийг зөвшөөр y=f(x)нэмэгдэх (эсвэл буурах) ба тухайн цэгийн зарим хөршид үргэлжилдэг x 0. Нэмж дурдахад энэ функцийг заасан цэг дээр ялгах боломжтой байг x 0ба энэ үед түүний дериватив f′(x 0) ≠ 0. Дараа нь харгалзах цэгийн зарим хөршид y 0 =f(x 0)урвуу нь тодорхойлогддог y=f(x)функц x=f -1 (y), мөн заасан урвуу функцхаргалзах цэг дээр ялгах боломжтой y 0 =f(x 0)мөн энэ үед түүний деривативын хувьд yтомъёо хүчинтэй байна

Деривативын хүснэгт

Эхний дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал

Комплекс функцийн дифференциалыг авч үзье. Хэрэв y=f(x), x=φ(t)- тэдгээрийн аргументуудын функцууд нь ялгах боломжтой, дараа нь функцийн дериватив y=f(φ(t))томъёогоор илэрхийлнэ

y′ t = y′ x x′ t.

Тодорхойлолтоор dy=y′ t dt, тэгвэл бид авна

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Тиймээс бид нотолсон

Функцийн эхний дифференциал хэлбэрийн инвариантын шинж чанар: аргумент үүссэн тохиолдолд адил xнь бие даасан хувьсагч бөгөөд аргумент байх тохиолдолд xөөрөө шинэ хувьсагчийн дифференциал функц юм dyфункцууд y=f(x)нь энэ функцийн деривативыг аргументийн дифференциалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна dx.

Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх

Дифференциал гэдгийг бид харуулсан dyфункцууд y=f(x), ерөнхийдөө өсөлттэй тэнцүү биш байна Δyэнэ функц. Гэсэн хэдий ч, хязгааргүй хүртэл нарийвчлалтайгаар жижиг функц-аас илүү жижиг байдлын дараалал Δx, ойролцоо тэгш байдал хүчинтэй байна

Δy ≈ dy.

Энэ харьцааг энэ тэгш байдлын тэгш байдлын харьцангуй алдаа гэж нэрлэдэг. Учир нь Δy-dy=o(Δx), Тэр харьцангуй алдааЭнэ тэгш байдлын хэмжээ нь бид буурах тусам дур зоргоороо багасдаг |Δх|.

Үүнийг харгалзан үзвэл Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, бид авдаг f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxэсвэл

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Энэ ойролцоо тэгш байдал нь алдаатай байхыг зөвшөөрдөг o(Δx)функцийг солих f(x)цэгийн жижиг хороололд x(жишээ нь жижиг утгуудын хувьд Δx) шугаман функцмаргаан Δx, баруун талд зогсож байна.

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

Тодорхойлолт. Функцийн хоёр дахь дериватив (эсвэл хоёрдугаар дарааллын дериватив). y=f(x)анхны деривативын дериватив гэж нэрлэдэг.

Функцийн хоёр дахь деривативын тэмдэглэгээ y=f(x):

Хоёрдахь деривативын механик утга. Хэрэв функц y=f(x)хөдөлгөөний хуулийг дүрсэлдэг материаллаг цэгшулуун шугамаар, дараа нь хоёр дахь дериватив f″(x)цаг хугацааны агшинд хөдөлж буй цэгийн хурдатгалтай тэнцүү x.

Гурав, дөрөв дэх деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

Тодорхойлолт. nдериватив (эсвэл дериватив n-р дараалал) функцууд y=f(x)түүний дериватив гэж нэрлэдэг n-1дериватив:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Тэмдэглэл: чи″', y IV, у Вгэх мэт.