Хэд хэдэн арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ. Хөгжилтэй математик

Арифметик дундаж нь тоонуудын нийлбэрийг эдгээр тоонуудын тоонд хуваасан юм. Мөн арифметик дундажийг олох нь маш энгийн.

Тодорхойлолтоос харахад бид тоонуудыг авч, нэмж, тоогоор нь хуваах ёстой.

Нэг жишээ хэлье: бидэнд 1, 3, 5, 7 тоонууд өгөгдсөн бөгөөд бид эдгээр тоонуудын арифметик дундажийг олох хэрэгтэй.

• эхлээд эдгээр тоог (1+3+5+7) нэмээд 16-г авна
• Бид үр дүнг 4 (тоо хэмжээ): 16/4-т хувааж, 4-ийг авах хэрэгтэй.

Тэгэхээр дундаж арифметик тоо 1, 3, 5, 7 нь 4 байна.

Арифметик дундаж - өгөгдсөн үзүүлэлтүүдийн дундаж утга.

Энэ нь бүх үзүүлэлтүүдийн нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваах замаар олно.

Жишээлбэл, би 200, 250, 180, 220, 230 грамм жинтэй 5 алимтай.

Бид 1 алимны дундаж жинг дараах байдлаар олно.

• бид бүх алимны нийт жинг хайж байна (бүх үзүүлэлтүүдийн нийлбэр) - энэ нь 1080 граммтай тэнцүү,
• нийт жинг алимны тоонд хуваана 1080:5 = 216 грамм. Энэ бол арифметик дундаж юм.

Энэ нь статистикийн хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг үзүүлэлт юм.

Арифметик дундаж нь тоонуудыг нэгтгэж, тэдгээрийн тоонд хуваасан үр дүнд гарсан хариулт нь арифметик дундаж юм.

Жишээ нь: Катя гахайн банкинд 50 рубль, Максим 100 рубль, Саша 150 рубль хийсэн. Гахайн банкинд 50 + 100 + 150 = 300 рубль, одоо бид энэ дүнг гурваар хуваадаг (гурван хүн мөнгө оруулсан). Тэгэхээр 300: 3 = 100 рубль. Эдгээр 100 рубль нь арифметик дундаж байх бөгөөд тус бүрийг гахайн банкинд хийнэ.

Ийм энгийн жишээ байна: нэг хүн мах иддэг, өөр хүн байцаа иддэг, арифметик дундажаар хоёулаа байцаатай ороомог иддэг.

Дундаж цалинг ч мөн адил тооцдог...

Арифметик дундаж нь бүх утгуудын нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн тоонд хуваагддаг.

Жишээлбэл, 2, 3, 5, 6 гэсэн тоонууд. Та тэдгээрийг 2+ 3+ 5 + 6 = 16 нэмэх хэрэгтэй

Бид 16-г 4-т хувааж, 4-ийн хариултыг авна.

4 нь эдгээр тоонуудын арифметик дундаж юм.

Хэд хэдэн тооны арифметик дундаж нь эдгээр тоонуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваасан юм.

x дундаж арифметик дундаж

S тоонуудын нийлбэр

n тооны тоо.

Жишээлбэл, 3, 4, 5, 6 тоонуудын арифметик дундажийг олох хэрэгтэй.

Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийг нэгтгэж, үүссэн нийлбэрийг 4-т хуваах хэрэгтэй.

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Математикийн сүүлийн шалгалтыг өгч байснаа санаж байна

Тиймээс арифметик дундажийг олох шаардлагатай болсон.

Энэ нь сайн хэрэг сайн хүмүүсТэд надад юу хийхээ хэлсэн, тэгэхгүй бол асуудал гарах болно.

Жишээлбэл, бидэнд 4 тоо байна.

Тоонуудыг нэмээд тоогоор нь хуваана (д энэ тохиолдолд 4)

Жишээлбэл, 2,6,1,1 тоонууд. 2+6+1+1 нэмээд 4 = 2.5-д хуваана

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэгэхээр арифметик дундаж нь бүх тооны дундаж юм.

Бид үүнийг сургуулиасаа мэддэг. Хэн байсан сайн багшМатематикийн хувьд энэ энгийн үйлдлийг анх удаа санах боломжтой байсан.

Арифметик дундажийг олохдоо та боломжтой бүх тоог нэмж, тэдгээрийн тоонд хуваах хэрэгтэй.

Жишээлбэл, би дэлгүүрээс 1 кг алим, 2 кг банана, 3 кг жүрж, 1 кг киви худалдаж авсан. Би дунджаар хэдэн кг жимс худалдаж авсан бэ?

7/4 = 1.8 кг. Энэ нь арифметик дундаж болно.

Арифметик дундаж нь хэд хэдэн тооны хоорондох дундаж тоо юм.

Жишээлбэл, 2 ба 4 тоонуудын хооронд дундаж тоо 3 байна.

Арифметик дундажийг олох томъёо нь:

Та бүх тоог нэмж, эдгээр тоонуудын тоонд хуваах хэрэгтэй.

Жишээлбэл, бид 2, 5, 8 гэсэн 3 тоотой.

Арифметик дундажийг олох:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

Арифметик дундажийн хэрэглээний хамрах хүрээ нэлээд өргөн.

Жишээлбэл, сегмент дээрх хоёр цэгийн координатыг мэдэхийн тулд та энэ сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох боломжтой.

Жишээлбэл, сегментийн координатууд: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

Энэ сегментийн дунд хэсгийг X3,Y3,Z3 координатаар тэмдэглэе.

Бид координат бүрийн дунд цэгийг тусад нь олдог.

Арифметик дундаж нь өгөгдсөн...

Тэдгээр. Зүгээр л, бидэнд өөр өөр урттай хэд хэдэн саваа байгаа бөгөөд тэдгээрийн дундаж утгыг мэдэхийг хүсч байна.

Үүний тулд бид тэдгээрийг нэгтгэж, урт саваа авч, шаардлагатай тооны хэсэгт хуваах нь логик юм.

Энд арифметик дундаж гарч ирдэг ...

Томъёо ингэж гарна: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

Арифметик нь математик, судлалын хамгийн анхан шатны салбар гэж тооцогддог энгийн алхамуудтоонуудтай. Тиймээс арифметик дундажийг олоход маш хялбар байдаг. Тодорхойлолтоос эхэлье. Арифметик дундаж гэдэг нь ижил төрлийн хэд хэдэн дараалсан үйлдлүүдийн дараа аль тоо нь үнэнд хамгийн ойр байгааг харуулсан утга юм. Жишээлбэл, зуун метр гүйхэд хүн бүр харуулдаг өөр өөр цаг хугацаа, гэхдээ дундаж утга нь жишээлбэл, 12 секундын дотор байх болно. Ийм байдлаар арифметик дундажийг олох нь тодорхой цувралын бүх тоог (уралдааны үр дүн) дараалан нэгтгэж, энэ нийлбэрийг эдгээр уралдааны тоонд (оролдолт, тоо) хуваахад хүргэдэг. Томъёоны хэлбэрээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Sarif = (X1+X2+..+Xn)/n

Математикчийн хувьд би энэ сэдвээр асуултуудыг сонирхож байна.

Би асуудлын түүхээс эхэлье. Дундаж утгыг эрт дээр үеэс бодож ирсэн. Арифметик дундаж, геометрийн дундаж, гармоник дундаж. Эдгээр үзэл баримтлалыг санал болгож байна эртний ГрекПифагорчууд.

Тэгээд одоо бидний сонирхож буй асуулт. Юу гэсэн үг вэ хэд хэдэн тооны арифметик дундаж:

Тиймээс тоонуудын арифметик дундажийг олохын тулд бүх тоог нэмж, үүссэн нийлбэрийг гишүүний тоонд хуваах хэрэгтэй.

Томъёо нь:

Жишээ. 100, 175, 325 гэсэн тоонуудын арифметик дундажийг ол.

Гурван тооны арифметик дундажийг олох томъёог ашиглацгаая (өөрөөр хэлбэл n-ийн оронд 3 байх болно; та бүх 3 тоог нэмж, үр дүнгийн нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд, өөрөөр хэлбэл 3-т хуваах хэрэгтэй). Бидэнд: x=(100+175+325)/3=600/3=200 байна.

Арифметик дундаж нь юу вэ?

1. Цуврал тоонуудын арифметик дундаж нь эдгээр тоонуудын нийлбэрийг гишүүний тоонд хуваах коэффициент юм.
2. хуваах
3. Дундаж тоо (дундаж), арифметик дундаж (арифметик дундаж) - ажиглалтын бүлгийг тодорхойлсон дундаж утга; Энэ цувралын тоонуудыг нэмж, дараа нь гарсан нийлбэрийг нийлбэр тоонуудын тоонд хуваах замаар тооцоолно. Хэрэв бүлгийн нэг буюу хэд хэдэн тоо бусад тооноос эрс ялгаатай бол энэ нь арифметик дундажийг гажуудуулж болзошгүй юм. Тиймээс энэ тохиолдолд дундажийг ашиглах нь зүйтэй геометрийн утга(геометрийн дундаж) (үүнийг ижил төстэй байдлаар тооцдог, гэхдээ энд ажиглалтын утгуудын логарифмын арифметик дундажийг тодорхойлж, дараа нь түүний антилогарифмийг олдог) эсвэл - ихэвчлэн ашигладаг - медиан утгыг ол ( өсөх дарааллаар байрлуулсан утгын цувралын дундаж утга). Ажиглалтын бүлгээс аливаа утгын дундаж утгыг олж авах өөр нэг арга бол горим (горим) - аливаа үзэгдлийн хамгийн түгээмэл илрэлийг үнэлдэг үзүүлэлт (эсвэл үзүүлэлтүүдийн багц) -ийг тодорхойлох явдал юм. хувьсах хэмжээ; Ихэнхдээ энэ аргыг хэд хэдэн цуврал туршилтуудын дундаж утгыг тодорхойлоход ашигладаг.
   Жишээ нь: 1 ба 99 тоонуудыг нэмж, хоёроор хуваа:
   (1+99)/2=50 - арифметик дундаж
   Хэрэв та тоонуудыг авбал (1,2,3,15,59)/5=16 - арифметик дундаж гэх мэт.
4. Арифметик дундаж (математик, статистикийн хувьд) нь бүх бүртгэгдсэн утгуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваасан төв хандлагын хамгийн түгээмэл хэмжүүрүүдийн нэг юм.
   Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, дундаж утгыг харна уу.
   Арифметик дундаж (математик, статистикийн хувьд) нь бүх бүртгэгдсэн утгуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваасан төв хандлагын хамгийн түгээмэл хэмжүүрүүдийн нэг юм.

   Пифагорчуудын санал болгосон (геометрийн дундаж ба гармоник дундажтай хамт) 1.

   Арифметик дундажийн онцгой тохиолдлууд нь дундаж (ерөнхий популяци) ба түүврийн дундаж (түүвэр) юм.

   Нийт хүн амын арифметик дундажийг илэрхийлэхийн тулд үүнийг ашигладаг грек үсэг. Дундаж утга нь тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд магадлалын дундаж буюу математикийн хүлээлтсанамсаргүй хувьсагч. Хэрэв X багц нь цуглуулга бол санамсаргүй тоомагадлалын дундажтай бол энэ олонлогийн аль ч түүврийн xi = E(xi) нь энэ түүврийн математик хүлээлт болно.

   Практикт, bar(x) хоёрын ялгаа нь энэ нь ердийн хувьсагч юм, учир нь та бүхэл бүтэн биш харин түүврийг харж болно. нийт хүн ам. Тиймээс, хэрэв түүврийг санамсаргүй байдлаар (магадлалын онолын хувьд) төлөөлвөл bar(x) , (гэхдээ биш) түүвэр дээрх магадлалын тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно ( магадлалын хуваарилалтдундаж).

   Эдгээр хоёр хэмжигдэхүүнийг ижил аргаар тооцоолно.

   бар(х) = фрак(1)(н)нийлбэр_(i=1)^n x_i = frac(1)(n) (x_1+cdots+x_n).
   Хэрэв X санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол X-ийн хүлээгдэж буй утгыг Х-ийн давтан хэмжилтийн арифметик дундаж гэж үзэж болно. Энэ нь хуулийн нэг илрэл юм. их тоо. Тиймээс үл мэдэгдэх хүлээгдэж буй утгыг тооцоолохын тулд түүврийн дундаж утгыг ашиглана.

   Анхан шатны алгебрийн хувьд n + 1 тооны дундаж нь шинэ тоо нь хуучин дунджаас их байвал n тооны дунджаас их, шинэ тоо нь дунджаас бага байвал бага байх нь батлагдсан. , мөн зөвхөн шинэ тоо нь дундажтай тэнцүү байвал өөрчлөгдөхгүй. n нь том байх тусам шинэ болон хуучин дундажуудын ялгаа бага байна.

   Эрчим хүчний дундаж, Колмогоровын дундаж, гармоник дундаж, арифметик-геометрийн дундаж, янз бүрийн жигнэсэн дундаж зэрэг хэд хэдэн дундаж үзүүлэлтүүд байгааг анхаарна уу.

   Жишээ нь вики текстийг засварлах
   Гурван тооны хувьд та тэдгээрийг нэмж, 3-т хуваах хэрэгтэй.
   frac(x_1 + x_2 + x_3)(3).
   Дөрвөн тооны хувьд та тэдгээрийг нэмж, 4-т хуваах хэрэгтэй.
   frac(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)(4).
   Эсвэл энгийн 5+5=10, 10:2. Учир нь бид 2 тоог нэмж байгаа бөгөөд энэ нь бид хэдэн тоог нэмсэн гэсэн үг юм, бид тэр олон тоог хуваадаг.

   Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчвики текстийг засварлах
   Тасралтгүй тархсан f(x) хэмжигдэхүүний хувьд a;b сегмент дээрх арифметик дундаж нь тодорхой интегралаар тодорхойлогддог: Дундаж ашиглах зарим асуудлууд Бат бөх байдлын дутагдал засварлах Үндсэн өгүүлэл: Статистик дахь бат бөх байдал Хэдийгээр арифметик дундажийг ихэвчлэн дараах байдлаар ашигладаг. дундаж утгууд эсвэл төв чиг хандлагад энэ ойлголт нь найдвартай статистикт хамаарахгүй бөгөөд энэ нь арифметик дундаж нь хамаарна гэсэн үг юм. хүчтэй нөлөөих хэмжээний хазайлт. -тэй түгээлтийн хувьд энэ нь анхаарал татаж байна том коэффициенттэгш хэмийн арифметик дундаж

5. Энэ нь тоонуудыг нэмж хувааж, хэд нь ийм байсан 33+66+99= 33+66+99= 198-ыг нэмж, хэд нь уншсаныг хуваахад бид 33 66 ба 99 гэсэн 3 тоо байна. олж авсан зүйлээ ингэж хуваах хэрэгтэй: 33+ 66+99=198:3=66 нь дундаж оретметик юм.
6. 2+8=10, дундаж нь 5 байна
7. Олон тооны тооны арифметик дундаж нь тэдгээрийн нийлбэрийг тоонд нь хуваасан байдлаар тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, олонлогийн бүх тоонуудын нийлбэрийг энэ багц дахь тоонуудын тоонд хуваана.

   Хамгийн энгийн тохиолдол бол x1 ба x2 хоёр тооны арифметик дундажийг олох явдал юм. Тэгвэл тэдгээрийн арифметик дундаж нь X = (x1+x2)/2 байна. Жишээлбэл, X = (6+2)/2 = 4 нь 6 ба 2 тоонуудын арифметик дундаж юм.
   2
   n тооны арифметик дундажийг олох ерөнхий томьёо дараах байдалтай байна: X = (x1+x2+...+xn)/n. Үүнийг мөн дараах хэлбэрээр бичиж болно: X = (1/n)xi, нийлбэр нь i индекс дээр i = 1-ээс i = n хүртэл хийгддэг.

   Жишээлбэл, гурван тооны арифметик дундаж X = (x1+x2+x3)/3, таван тооны - (x1+x2+x3+x4+x5)/5.
   3
   Сонирхолтой нөхцөл байдал нь тоонуудын багц нь нэр томъёог илэрхийлэх явдал юм арифметик прогресс. Мэдэгдэж байгаагаар арифметик прогрессийн гишүүд нь a1+(n-1)d-тэй тэнцүү байх ба энд d нь прогрессийн алхам, n нь прогрессийн гишүүний тоо юм.

   a1, a1+d, a1+2d,...a1+(n-1)d-г арифметик прогрессийн гишүүн болгоё. Тэдний арифметик дундаж нь S = (a1+a1+d+a1+2d+...+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+...+(n-1)d)-тэй тэнцүү байна. /n = a1+(d+2d+...+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+dn-d+dn-2d)/n = a1+( n* d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2. Тэгэхээр дундаж арифметик гишүүдарифметик прогрессийн эхний ба сүүлчийн гишүүний арифметик дундажтай тэнцүү байна.
   4
   Арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байх шинж чанар нь үнэн юм: an = (a(n-1)+a(n+1))/2, энд a (n-1), an, a( n+1) нь дарааллын дараалсан гишүүд юм.

8. Тоонуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваа
9. Энэ бол та бүх зүйлийг нэгтгэж, хуваах явдал юм
10. Хэрэв би андуураагүй бол энэ нь тоонуудын нийлбэрийг нэгтгэж, өөрөө тоонд хуваах явдал юм ...
11. Энэ нь танд хэд хэдэн тоо байгаа үед та тэдгээрийг нэмж, дараа нь тоогоор нь хуваана! 25 24 65 76 гэж бодъё, нэмэх: 25+24+65+76:4=арифметик дундаж!
12. Вячаслав Богданов буруу хариулав!!! !
    Өөрийнхөө үгээр!
    Арифметик дундаж нь хоёр утгын хоорондох дундаж утгыг хэлнэ.... Тоонуудын нийлбэрийг тоонд хуваасан байдлаар олно... Эсвэл энгийнээр хэлэхэд, хэрэв хоёр тоо хэн нэгний дугаарын ойролцоо байвал (эсвэл тэдгээрийн хооронд дарааллаар нь хэд хэдэн тоо байгаа бол) энэ тоо дундаж болно. ар. !

    6 + 8... av ar = 7

13. хуваагч gygygygygyggy
14. Хамгийн их ба хамгийн бага хоорондох дундаж (бүх тоон үзүүлэлтүүдийг нэгтгэж, тэдгээрийн тоонд хуваана
    )
15. Энэ нь та тоог нэгтгэж, тоонд хуваах явдал юм

Арифметик дундаж гэдэг ойлголт нь энгийн дарааллын тооцооллын үр дүнг хэлнэ дундаж хэмжээурьдчилан тодорхойлсон цуврал тоонуудын хувьд. Энэ үнэ цэнэ нь дотор байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй хугацаа өгсөнолон салбарын мэргэжилтнүүд өргөнөөр ашигладаг. Жишээлбэл, эдийн засагчид эсвэл статистикийн салбарын ажилчдын тооцоолол хийх үед томъёог мэддэг бөгөөд энэ нь үнэ цэнэтэй байх шаардлагатай байдаг. энэ төрлийн. Нэмж дурдахад энэ үзүүлэлтийг дээр дурдсантай холбоотой бусад олон салбарт идэвхтэй ашигладаг.

Тооцооллын нэг онцлог өгөгдсөн үнэ цэнэЭнэ нь процедурын энгийн байдал юм. Тооцоолол хийхХэн ч үүнийг хийж чадна. Үүнийг хийхийн тулд танд байх шаардлагагүй тусгай боловсрол. Ихэнхдээ ашиглах шаардлагагүй байдаг ба компьютерийн технологи.

Арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулахын тулд хэд хэдэн нөхцөл байдлыг авч үзье.

Хамгийн их энгийн сонголтөгөгдсөн утгыг тооцоолох нь үүнийг хоёр тоогоор тооцоолох явдал юм. Энэ тохиолдолд тооцоолох журам нь маш энгийн:

1. Эхлээд та сонгосон тоонуудыг нэмэх үйлдлийг хийх хэрэгтэй. Үүнийг ихэвчлэн электрон төхөөрөмж ашиглахгүйгээр гараар хийж болно.
2. Нэмэлтийг хийж, үр дүнг гаргасны дараа хуваах шаардлагатай. Энэ ажиллагааЭнэ нь хоёр нэмсэн тооны нийлбэрийг хоёрт хуваах явдал юм - нэмсэн тооны тоо. Энэ нь шаардлагатай утгыг олж авах боломжийг танд олгоно.

Томъёо

Тиймээс хоёр тохиолдолд шаардлагатай утгыг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.

(A+B)/2

Энэ томьёо нь дараах тэмдэглэгээг ашигладаг.

A ба B нь утгыг олох шаардлагатай урьдчилан сонгосон тоонууд юм.

Гуравын утгыг олох

Гурван тоог сонгосон тохиолдолд энэ утгыг тооцоолох нь өмнөх сонголтоос тийм ч их ялгаатай биш юм.

1. Үүнийг хийхийн тулд тооцоололд шаардлагатай тоонуудыг сонгоод нийт дүнг авахын тулд нэмнэ.
2. Дараа нь энэ хэмжээгурвыг олох болно, та хуваах процедурыг дахин хийх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд үр дүнгийн дүнг гуравт хуваах ёстой бөгөөд энэ нь сонгосон тооны тоотой тохирч байна.

Томъёо

Тиймээс арифметик гурвыг тооцоолоход шаардлагатай томъёо дараах байдалтай байна.

(A+B+C)/3

Энэ томъёондДараах тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрнө.

A, B, C нь арифметик дундажийг олох тоонууд юм.

Дөрөвийн арифметик дундажийг тооцоолох

Өмнөх сонголтуудтай аналогиас харахад дөрөвтэй тэнцэх хэмжигдэхүүнд энэ утгыг тооцоолох нь дараах дарааллаар явагдана.

1. Дөрвөн тоог сонгосон бөгөөд тэдгээрийн дундажийг тооцоолох шаардлагатай арифметик утга. Дараа нь нэгтгэн дүгнэж, олно эцсийн үр дүнэнэ журам.
2. Одоо эцсийн үр дүнг авахын тулд та дөрвийн нийлбэрийг аваад дөрөвт хуваах хэрэгтэй. Хүлээн авсан өгөгдөл нь шаардлагатай утга байх болно.

Томъёо

Дөрөв дэх арифметик дундажийг олохын тулд дээр дурдсан үйлдлийн дарааллаас та авч болно дараах томъёо:

(A+B+C+E)/4

Энэ томъёондхувьсагчид байна дараагийн утга:

A, B, C, E нь арифметик дундаж утгыг олох шаардлагатай байдаг.

Өргөдөл гаргаж байна энэ томъёо, шаардлагатай утгыг үргэлж тооцоолох боломжтой байх болно өгөгдсөн тоо хэмжээтоо.

Тавын арифметик дундажийг тооцоолох

Энэ ажиллагаа шаардлагатай болно тодорхой алгоритмүйлдлүүд.

1. Юуны өмнө та арифметик дундажийг тооцоолох таван тоог сонгох хэрэгтэй. Энэ сонголтын дараа эдгээр тоонууд, өмнөх сонголтуудын адил та зүгээр л нэмж, авах хэрэгтэй эцсийн дүн.
2. Үүссэн дүнг таваар нь хуваах шаардлагатай бөгөөд энэ нь шаардлагатай утгыг авах боломжийг танд олгоно.

Томъёо

Тиймээс, өмнө нь авч үзсэн хувилбаруудын нэгэн адил бид арифметик дундажийг тооцоолох дараах томъёог олж авна.

(A+B+C+E+P)/5

Энэ томъёонд хувьсагчдыг дараах байдлаар тодорхойлно.

A, B, C, E, P нь арифметик дундажийг авах шаардлагатай тоонууд юм.

Бүх нийтийн тооцооллын томъёо

Төрөл бүрийн томъёоны хувилбаруудыг авч үзэх арифметик дундажийг тооцоолох, та тэдэнд байгаа зүйлд анхаарлаа хандуулж болно ерөнхий загвар.

Тиймээс арифметик дундажийг олохын тулд ерөнхий томъёог ашиглах нь илүү практик байх болно. Эцсийн эцэст тооцооллын тоо, хэмжээ нь маш том байж болох нөхцөл байдал байдаг. Тиймээс ашиглах нь илүү ухаалаг байх болно бүх нийтийн томъёомөн тэр болгонд бүү харуул хувь хүний ​​технологиЭнэ утгыг тооцоолох.

Томьёог тодорхойлохдоо гол зүйл бол арифметик дундажийг тооцох зарчимО.

Энэ зарчимөгөгдсөн жишээнүүдээс харахад дараах байдалтай байна.

1. Шаардлагатай утгыг авахын тулд заасан тооны тоог тоолно. Энэ үйлдлийг ашиглан гараар хийж болно бага хэмжээтоонууд болон компьютерийн технологийн тусламжтайгаар.
2. Сонгосон тоонуудыг нэгтгэн харуулав. Ихэнх тохиолдолд энэ үйлдлийг компьютерийн технологи ашиглан гүйцэтгэдэг, учир нь тоо нь хоёр, гурав ба түүнээс дээш цифрээс бүрдэх боломжтой.
3. Сонгосон тоонуудыг нэмснээр олж авсан дүнг тэдгээрийн тоонд хуваах ёстой. Энэ үнэ цэнэарифметик дундажийг тооцоолох эхний шатанд тодорхойлогддог.

Тиймээс, ерөнхий томъёодундажийг тооцоолох арифметик цувралсонгосон тоонууд дараах байдлаар харагдах болно.

(A+B+…+N)/N

Энэ томъёог агуулдагдараах хувьсагчууд:

А ба В нь арифметик дундажийг тооцоолохын тулд урьдчилан сонгосон тоонууд юм.

N нь шаардлагатай утгыг тооцоолоход авсан тооны тоо юм.

Сонгосон тоонуудыг энэ томьёо болгонд орлуулснаар бид үргэлж арифметик дундажийн шаардлагатай утгыг олж авах боломжтой.

Таны харж байгаагаар арифметик дундажийг олохэнгийн журам юм. Гэсэн хэдий ч та хийсэн тооцоололдоо болгоомжтой хандаж, олж авсан үр дүнг шалгах хэрэгтэй. Энэ хандлагыг ихэнх тохиолдолд ч гэсэн тайлбарлаж байна энгийн нөхцөл байдалАлдаа хүлээн авах магадлалтай бөгөөд энэ нь цаашдын тооцоололд нөлөөлж болзошгүй. Үүнтэй холбогдуулан аливаа нарийн төвөгтэй тооцоолол хийх чадвартай компьютерийн технологийг ашиглахыг зөвлөж байна.

6-7-р ангийн математикийн хөтөлбөрт арифметик дундаж, геометрийн дундаж гэсэн сэдвийг оруулсан. Догол мөрийг ойлгоход хялбар байдаг тул үүнийг хурдан дуусгаж, төгсгөлд нь хийдэг хичээлийн жилсургуулийн хүүхдүүд түүнийг мартдаг. Гэхдээ үндсэн статистикийн мэдлэг шаардлагатай Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн, мөн түүнчлэн олон улсын шалгалт SAT. Тийм ба төлөө өдөр тутмын амьдралболовсруулсан аналитик сэтгэлгээхэзээ ч өвддөггүй.

Тоонуудын арифметик дундаж ба геометрийн дундажийг хэрхэн тооцох вэ

11, 4, 3 гэсэн цуврал тоо байна гэж бодъё. Арифметик дундаж нь бүх тооны нийлбэрийг өгөгдсөн тооны тоонд хуваасан юм. Өөрөөр хэлбэл, 11, 4, 3 гэсэн тоонуудын хувьд хариулт нь 6 байх болно. Та 6-г яаж авах вэ?

Шийдэл: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Хуваагч нь дундажийг нь олох шаардлагатай тооны тоотой тэнцүү тоог агуулсан байх ёстой. Гурван гишүүн байдаг тул нийлбэр нь 3-т хуваагдана.

Одоо бид геометрийн дундаж утгыг олох хэрэгтэй. 4, 2, 8 гэсэн цуврал тоо байна гэж бодъё.

Дундаж геометрийн тоонуудөгөгдсөн тоонуудын тоотой тэнцүү зэрэгтэй язгуурын доор байрлах бүх өгөгдсөн тооны үржвэр гэж нэрлэгддэг. Өөрөөр хэлбэл 4, 2, 8 тоонуудын хувьд хариулт нь 4 байх болно. :

Шийдэл: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Хоёр хувилбарт бид жишээ болгон авсан тул бүрэн хариулт авсан тусгай дугаарууд. Энэ нь үргэлж тохиолддоггүй. Ихэнх тохиолдолд хариултыг бөөрөнхийлж эсвэл үндсээр нь үлдээх хэрэгтэй. Жишээлбэл, 11, 7, 20 тоонуудын хувьд арифметик дундаж нь ≈ 12.67, геометрийн дундаж нь ∛1540 байна. Мөн 6 ба 5 тоонуудын хувьд хариулт нь 5.5 ба √30 байна.

Арифметик дундаж нь геометрийн дундажтай тэнцүү болж болох уу?

Мэдээж чадна. Гэхдээ зөвхөн хоёр тохиолдолд. Хэрэв зөвхөн нэг эсвэл тэгээс бүрдэх цуврал тоо байвал. Хариулт нь тэдний тооноос хамаардаггүй нь бас анхаарал татаж байна.

Нэгжээр баталгаажуулах: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (арифметик дундаж).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(геометрийн дундаж).

Тэгтэй нотолгоо: (0 + 0) / 2=0 (арифметик дундаж).

√(0 × 0) = 0 (геометрийн дундаж).

Өөр сонголт байхгүй, байж ч болохгүй.

Гурван хүүхэд жимс түүхээр ой руу явав. Том охин нь 18 жимс, дунд нь 15 жимс олжээ дүү- 3 жимс (1-р зургийг үз). Тэд жимсээ тэнцүү хуваахаар шийдсэн ээжид жимс авчирсан. Хүүхэд бүр хэдэн жимс авсан бэ?

Цагаан будаа. 1. Асуудлын зураглал

Шийдэл

(Яг.) - хүүхдүүд бүгдийг цуглуулсан

2) хуваах нийт тоо хэмжээхүүхдийн тоонд ногдох жимс:

(Яг.) хүүхэд болгон дээр очив

Хариулах: Хүүхэд бүрт 12 жимс өгнө.

1-р асуудалд хариултанд олж авсан тоо нь арифметик дундаж юм.

Арифметик дундажхэд хэдэн тоог эдгээр тоонуудын нийлбэрийг тоонд хуваах коэффициент гэж нэрлэдэг.

Жишээ 1

Бидэнд 10 ба 12 гэсэн хоёр тоо байна. Тэдний арифметик дундажийг ол.

Шийдэл

1) Эдгээр тоонуудын нийлбэрийг тодорхойлъё: .

2) Эдгээр тооны тоо нь 2 тул эдгээр тоонуудын арифметик дундаж нь: .

Хариулах: 10 ба 12 тоонуудын арифметик дундаж нь 11 гэсэн тоо юм.

Жишээ 2

Бидэнд 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн таван тоо байна. Тэдний арифметик дундажийг ол.

Шийдэл

1) Эдгээр тоонуудын нийлбэр нь: .

2) Тодорхойлолтоор арифметик дундаж нь тоонуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваах коэффициент юм. Бидэнд таван тоо байгаа тул арифметик дундаж нь:

Хариулах: тооны нөхцөл дэх өгөгдлийн арифметик дундаж нь 3 байна.

Хичээл дээр байнга олдохыг шаарддагаас гадна арифметик дундажийг олох нь өдөр тутмын амьдралд маш хэрэгтэй байдаг. Жишээлбэл, бид Грек рүү амралтаараа явахыг хүсч байна гэж бодъё. Тохиромжтой хувцас сонгохын тулд бид энэ орны температурыг хардаг одоогоор. Гэсэн хэдий ч бид цаг агаарын ерөнхий дүр зургийг мэдэхгүй байх болно. Тиймээс Грекийн агаарын температурыг, жишээлбэл, долоо хоногийн турш олж мэдэх, эдгээр температурын арифметик дундажийг олох шаардлагатай.

Жишээ 3

Долоо хоногийн турш Грекийн температур: Даваа гарагт - ; Мягмар гараг -; Лхагва -; Пүрэв гариг ​​-; Баасан -; Бямба гараг -; Ням гараг -. Долоо хоногийн дундаж температурыг тооцоол.

Шийдэл

1) Температурын нийлбэрийг тооцоолъё: .

2) Үүссэн дүнг өдрийн тоонд хуваана: .

Хариулах: дундаж температурдолоо хоног орчим.

Арифметик дундажийг олох чадвар нь хөлбөмбөгийн багийн тоглогчдын дундаж насыг тодорхойлох, өөрөөр хэлбэл тухайн баг туршлагатай эсэхийг тодорхойлоход шаардлагатай байж болно. Бүх тоглогчдын насыг нэгтгэн тоогоор нь хуваах шаардлагатай.

Асуудал 2

Худалдаачин алим зарж байв. Эхлээд тэр тэднийг 1 кг тутамд 85 рублийн үнээр зарсан. Тиймээс тэр 12 кг зарсан. Дараа нь тэр үнийг 65 рубль болгож, үлдсэн 4 кг алимыг зарсан. Алимны дундаж үнэ хэд байсан бэ?

Шийдэл

1) Худалдаачин нийтдээ хэдэн төгрөг олсон болохыг тооцоолъё. Тэрээр 12 кг-ыг 1 кг тутамд 85 рублийн үнээр зарсан. (үрэх).

Тэрээр 4 кг-ыг 1 кг тутамд 65 рублийн үнээр зарсан: (рубль).

Тиймээс, нийт дүнолсон мөнгө тэнцүү байна: (руб.).

2) Борлуулсан алимны нийт жин нь: .

3) Хүлээн авсан мөнгөний дүнг борлуулсан алимны нийт жинд хувааж, 1 кг алимны дундаж үнийг авна уу: (рубль).

Хариулах: 1 кг алим борлуулсан дундаж үнэ 80 рубль байна.

Арифметик дундаж нь утгыг тусад нь авахгүйгээр өгөгдлийг бүхэлд нь үнэлэхэд тусалдаг.

Гэсэн хэдий ч арифметик дундаж гэсэн ойлголтыг ашиглах нь үргэлж боломжгүй байдаг.

Жишээ 4

Буудагч бай руу хоёр удаа буудсан (зураг 2-ыг үз): эхний удаад байнаасаа нэг метрийн дээгүүр, хоёр дахь удаагаа нэг метрийн доор онов. Арифметик дундаж нь тэр хоёр удаа алдсан ч төвийг яг оносон гэдгийг харуулах болно.

Цагаан будаа. 2. Жишээ нь зураглал

Энэ хичээлээр бид арифметик дундаж гэсэн ойлголтын талаар олж мэдсэн. Бид энэ ойлголтын тодорхойлолтыг сурч, хэд хэдэн тооны арифметик дундажийг хэрхэн тооцоолох талаар олж мэдсэн. Бид ч бас сурсан практик хэрэглэээнэ үзэл баримтлал.

1. Н.Я. Виленкин. Математик: сурах бичиг. 5-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол uchr. - Эд. 17. - М.: Мнемосине, 2005.
)
2. Игорь түүнтэй хамт 45 рубль, Андрей 28, Денис 17 рубльтэй байсан.
3. Тэд бүх мөнгөөр ​​3 киноны тасалбар худалдаж авсан. Нэг тасалбар хэр үнэтэй байсан бэ?