Тэгш бус байдлын жишээг шийдвэрлэх. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Жишээлбэл, тэгш бус байдал нь \(x>5\) илэрхийлэл юм.

Тэгш бус байдлын төрлүүд:

Хэрэв \(a\) ба \(b\) нь тоо эсвэл , тэгш бус байдлыг дуудна тоон. Энэ нь үнэндээ хоёр тоог харьцуулж байна. Ийм тэгш бус байдлыг дараахь байдлаар хуваадаг үнэнчТэгээд үнэнч бус.

Жишээлбэл:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) нь буруу тоон тэгш бус байдал, учир нь \(17+3=20\), \(20\) нь \(115\)-аас бага (мөн түүнээс их буюу тэнцүү биш) .

Хэрэв \(a\) ба \(b\) нь хувьсагч агуулсан илэрхийлэл бол бидэнд байна хувьсагчтай тэгш бус байдал. Ийм тэгш бус байдлыг агуулгын дагуу төрөлд хуваадаг.

Тэгш бус байдлын шийдэл юу вэ?

Хэрэв та хувьсагчийн оронд тоог орлуулбал тэгш бус байдал нь тоон тоо болж хувирна.

Хэрэв x-ийн өгөгдсөн утга нь анхны тэгш бус байдлыг жинхэнэ тоон утга болгон хувиргавал түүнийг дуудна тэгш бус байдлын шийдэл. Хэрэв тийм биш бол энэ утга нь шийдэл биш юм. Тэгээд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх- та түүний бүх шийдлийг олох хэрэгтэй (эсвэл байхгүй гэдгийг харуулах).

Жишээлбэл,хэрэв бид \(7\) тоог шугаман тэгш бус байдалд \(x+6>10\) орлуулбал зөв тоон тэгш бус байдлыг авна: \(13>10\). Мөн \(2\)-г орлуулбал буруу тоон тэгш бус байдал \(8>10\) гарна. Өөрөөр хэлбэл, \(7\) нь анхны тэгш бус байдлын шийдэл боловч \(2\) тийм биш юм.

Гэхдээ \(x+6>10\) тэгш бус байдал нь өөр шийдлүүдтэй. Үнэхээр бид \(5\), \(12\), \(138\)-ыг орлуулахдаа зөв тоон тэгш бус байдлыг олж авах болно... Тэгээд бид бүгдийг яаж олох вэ? боломжит шийдлүүд? Үүний тулд тэд ашигладаг Бидний хувьд:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөөс дээш ямар ч тоо бидэнд тохирох болно. Одоо та хариултаа бичих хэрэгтэй. Тэгш бус байдлын шийдлүүдийг ихэвчлэн тоогоор бичиж, нэмэлт тэмдэглэгээ хийдэг тооны тэнхлэгангаахай. Бидний хувьд:

Хариулт: \(x\in(4;+\infty)\)

Тэгш бус байдлын тэмдэг хэзээ өөрчлөгдөх вэ?

Оюутнуудын орохыг үнэхээр "дуртай" тэгш бус байдлын нэг том урхи байдаг:

Тэгш бус байдлыг сөрөг тоогоор үржүүлэх (эсвэл хуваах) нь эсрэгээр ("илүү" -ийг "бага", "илүү их эсвэл тэнцүү" -ийг "бага эсвэл тэнцүү" гэх мэт) эргүүлнэ.

Яагаад ийм зүйл болж байна вэ? Үүнийг ойлгохын тулд өөрчлөлтүүдийг харцгаая тоон тэгш бус байдал\(3>1\). Энэ нь зөв, гурав нь нэгээс их байна. Эхлээд үүнийг аль ч эерэг тоогоор үржүүлэхийг оролдъё, жишээлбэл, хоёр:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Бидний харж байгаагаар үржүүлсний дараа тэгш бус байдал үнэн хэвээр байна. Ямар ч эерэг тоогоор үржүүлснээс үл хамааран бид үргэлж зөв тэгш бус байдлыг авах болно. Одоо үржүүлэхийг хичээцгээе сөрөг тоожишээлбэл, хасах гурваас:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Үр дүн нь буруу тэгш бус байдал юм, учир нь хасах ес нь хасах гурваас бага! Өөрөөр хэлбэл, тэгш бус байдал үнэн болохын тулд (тиймээс үржүүлэлтийг сөрөгөөр өөрчлөх нь "хууль ёсны" байсан) та харьцуулах тэмдгийг дараах байдлаар эргүүлэх хэрэгтэй: \(−9<− 3\).
Хуваалснаар энэ нь адилхан ажиллах болно, та өөрөө шалгаж болно.

Дээр бичсэн дүрэм нь зөвхөн тоон бус бүх төрлийн тэгш бус байдалд хамаарна.

Хариулт: \(x\in(-1;\infty)\)

Тэгш бус байдал ба хөгжлийн бэрхшээл

Тэгшитгэлийн нэгэн адил тэгш бус байдал нь x-ийн утгуудад хязгаарлалттай байж болно. Үүний дагуу DZ-ийн дагуу хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй утгыг шийдлийн хүрээнээс хасах хэрэгтэй.

Жишээ: Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх \(\sqrt(x+1)<3\)

Шийдэл: Зүүн тал нь \(3\)-аас бага байхын тулд радикал илэрхийлэл нь \(9\)-ээс бага байх ёстой (эцсийн эцэст \(9\)-ээс ердөө \(3\)). Бид авах:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)

Бүгд? \(8\)-аас бага x-ийн ямар ч утга бидэнд тохирох уу? Үгүй! Учир нь жишээлбэл, шаардлагад нийцэж байгаа \(-5\) утгыг авбал энэ нь сөрөг тооны язгуурыг тооцоолоход хүргэх тул анхны тэгш бус байдлын шийдэл болохгүй.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Тиймээс бид X-ийн утгын хязгаарлалтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй - үндэс дор сөрөг тоо байх ёсгүй. Тиймээс бид x-ийн хоёр дахь шаардлага байна:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

X нь эцсийн шийдэл байхын тулд энэ нь хоёр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой: \(8\)-аас бага (шийдвэр байх) ба \(-1\)-ээс их байх ёстой (зарчмын хувьд зөвшөөрөгдөх). Үүнийг тооны шугам дээр зурвал бид эцсийн хариултыг авах болно.

Хариулт: \(\зүүн[-1;8\баруун)\)

Одоо та a x + b шугаман тэгш бус байдал хэрхэн шийдэгдэж байгааг ойлгох болно<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Тэдгээрийг шийдэх гол арга бол a≠0-д хүрэх боломжийг олгодог эквивалент хувиргалтыг ашиглах явдал юм энгийн тэгш бус байдал x төрөл

, ≥), p - хүссэн шийдэл болох тодорхой тоо, a=0-ийн хувьд - a хэлбэрийн тоон тэгш бус байдлын хувьд.

, ≥), үүнээс анхны тэгш бус байдлын шийдлийн талаар дүгнэлт гаргана. Бид эхлээд дүн шинжилгээ хийх болно.

Нэг хувьсагчийн шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийг өөр өнцгөөс харахад бас гэмгүй. Тиймээс бид шугаман тэгш бус байдлыг графикаар болон интервалын аргыг ашиглан хэрхэн шийдэж болохыг харуулах болно.

Эквивалент хувиргалтыг ашиглах

a x+b шугаман тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй<0 (≤, >, ≥). Үүнийг эквивалент тэгш бус хувиргалтуудыг ашиглан хэрхэн хийхийг үзүүлье.

Х хувьсагчийн a коэффициент нь тэгтэй тэнцүү эсвэл тэнцүү биш эсэхээс хамааран арга барилууд өөр өөр байдаг. Тэднийг нэг нэгээр нь харцгаая. Түүнчлэн, авч үзэхдээ бид гурван цэгийн схемийг баримтлах болно: эхлээд үйл явцын мөн чанарыг өгч, дараа нь шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмыг өгч, эцэст нь ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг өгөх болно.

-ээс эхэлье a x+b шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм<0 (≤, >, ≥) a≠0-ийн хувьд.

• Нэгдүгээрт, b тоог эсрэг тэмдгээр тэгш бус байдлын баруун талд шилжүүлнэ. Энэ нь a x-тэй тэнцэх тэгш бус байдалд шилжих боломжийг бидэнд олгодог<−b (≤, >, ≥).
• Хоёрдугаарт, үүссэн тэгш бус байдлын хоёр талыг тэгээс өөр тоо a хуваана. Түүгээр ч зогсохгүй хэрэв а нь эерэг тоо бол тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдаж, хэрэв а сөрөг тоо байвал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө. Үр дүн нь анхны шугаман тэгш бус байдалтай тэнцэх энгийн тэгш бус байдал бөгөөд энэ нь хариулт юм.

Жишээ ашиглан зарласан алгоритмын хэрэглээг ойлгоход л үлддэг. Үүнийг a≠0-ийн шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг авч үзье.

Жишээ.

3·x+12≤0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугаман тэгш бус байдлын хувьд бид a=3 ба b=12 байна. Мэдээжийн хэрэг, х хувьсагчийн a коэффициент тэгээс өөр байна. Дээр өгөгдсөн тохирох шийдлийн алгоритмыг ашиглая.

Нэгдүгээрт, бид 12 гэсэн нэр томъёог тэгш бус байдлын баруун талд шилжүүлж, түүний тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болохгүй, өөрөөр хэлбэл баруун талд -12 гарч ирнэ. Үүний үр дүнд бид 3·x≤−12 тэнцүү тэгш бус байдалд хүрнэ.

Хоёрдугаарт, бид үүссэн тэгш бус байдлын хоёр талыг 3-т хуваадаг, 3 нь эерэг тоо тул тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй. Бидэнд (3 x):3≤(−12):3 байгаа нь x≤−4-тэй ижил байна.

Үүссэн энгийн тэгш бус байдал x≤−4 нь анхны шугаман тэгш бус байдалтай тэнцүү бөгөөд түүний хүссэн шийдэл болно.

Тэгэхээр 3 x + 12≤0 шугаман тэгш бус байдлын шийдэл нь хасах дөрвөөс бага буюу тэнцүү ямар ч бодит тоо юм. Хариултыг мөн x≤−4 тэгш бус байдалд тохирох тоон интервал хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл (−∞, −4] гэж бичиж болно.

Шугаман тэгш бус байдалтай ажиллах ур чадвар эзэмшсэний дараа тэдгээрийн шийдлийг тайлбаргүйгээр товч бичиж болно. Энэ тохиолдолд эхлээд анхны шугаман тэгш бус байдлыг бичиж, доор нь шийдлийн алхам бүрт олж авсан тэнцүү тэгш бус байдлыг бичнэ үү.
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

Хариулт:

x≤−4 эсвэл (−∞, −4] .

Жишээ.

−2.7·z>0 шугаман тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийг жагсаа.

Шийдэл.

Энд z хувьсагчийн a коэффициент −2.7-тэй тэнцүү байна. Мөн b коэффициент нь тодорхой хэлбэрээр байхгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс нэг хувьсагчтай шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмын эхний алхамыг хийх шаардлагагүй, учир нь тэгийг зүүн талаас баруун тийш шилжүүлэхэд анхны тэгш бус байдлын хэлбэр өөрчлөгдөхгүй.

Тэгш бус байдлын хоёр талыг −2.7-д хувааж, −2.7 нь сөрөг тоо тул тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэг тал руу өөрчлөхөө мартаж болохгүй. Бидэнд байгаа (−2.7 z):(−2.7)<0:(−2,7) , дараа нь z<0 .

Тэгээд одоо товчхон:
−2.7·z>0 ;
z<0 .

Хариулт:

z<0 или (−∞, 0) .

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг шийд .

Шийдэл.

Бид −5-тай тэнцүү x хувьсагчийн хувьд a коэффициенттэй, −15/22 бутархайтай тохирох b коэффициенттэй шугаман тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй. Бид сайн мэддэг схемийн дагуу ажиллаж байна: эхлээд бид −15/22-ыг эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлж, дараа нь тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхийн зэрэгцээ тэгш бус байдлын хоёр талыг −5 сөрөг тоогоор хуваана.

Баруун талын сүүлчийн шилжилтийг ашигладаг , дараа нь гүйцэтгэсэн .

Хариулт:

Одоо a=0 байх тохиолдол руу шилжье. a x+b шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх зарчим<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Энэ юунд үндэслэсэн бэ? Маш энгийн: тэгш бус байдлын шийдлийг тодорхойлох. Хэрхэн? Тийм ээ, дараах байдлаар: x хувьсагчийн ямар утгыг бид анхны шугаман тэгш бус байдалд орлуулахаас үл хамааран b хэлбэрийн тоон тэгш бус байдлыг олж авна.<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Дээрх аргументуудыг хэлбэрээр томъёолъё шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Тоон тэгш бус байдлыг авч үзье b<0 (≤, >, ≥) ба
• хэрэв энэ нь үнэн бол анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь дурын тоо;
• хэрэв худал бол анхны шугаман тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй болно.

Одоо үүнийг жишээгээр ойлгоцгооё.

Жишээ.

0·x+7>0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

x хувьсагчийн дурын утгын хувьд 0 x+7>0 шугаман тэгш бус байдал нь 7>0 тоон тэгш бус байдал болж хувирна. Сүүлийн тэгш бус байдал нь үнэн тул аливаа тоо нь анхны тэгш бус байдлын шийдэл юм.

Хариулт:

шийдэл нь дурын тоо буюу (−∞, +∞) .

Жишээ.

0·x−12.7≥0 шугаман тэгш бус байдал шийдтэй юу?

Шийдэл.

Хэрэв х хувьсагчийн оронд дурын тоог орлуулбал анхны тэгш бус байдал −12.7≥0 тоон тэгш бус байдал болж хувирах нь буруу юм. Энэ нь 0·x−12.7≥0 шугаман тэгш бус байдлын шийдэл ганц ч тоо биш гэсэн үг.

Хариулт:

үгүй, тийм биш.

Энэ хэсгийг дуусгахын тулд бид хоёр коэффициент нь тэгтэй тэнцүү хоёр шугаман тэгш бус байдлын шийдлүүдийг шинжлэх болно.

Жишээ.

0·x+0>0 ба 0·x+0≥0 шугаман тэгш бус байдлын аль нь шийдэлгүй, аль нь хязгааргүй олон шийдтэй вэ?

Шийдэл.

Хэрэв та x хувьсагчийн оронд дурын тоог орлуулбал эхний тэгш бус байдал 0>0, хоёр дахь нь 0≥0 хэлбэрийг авна. Тэдний эхнийх нь буруу, хоёр дахь нь зөв. Иймээс 0·x+0>0 шугаман тэгш бус байдал нь шийдэлгүй, 0·x+0≥0 тэгш бус байдал нь төгсгөлгүй олон шийдтэй, тухайлбал түүний шийдэл нь дурын тоо юм.

Хариулт:

0 x+0>0 тэгш бус байдал нь шийдгүй, 0 x+0≥0 тэгш бус байдал нь төгсгөлгүй олон шийдтэй.

Интервалын арга

Ер нь интервалын аргыг нэг хувьсагчийн шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх сэдвээс хожуу сургуулийн алгебрийн хичээлээр судалдаг. Гэхдээ интервалын арга нь янз бүрийн тэгш бус байдлыг, тэр дундаа шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Тиймээс үүн дээр анхаарлаа хандуулъя.

Х хувьсагчийн хувьд тэгээс ялгаатай коэффициент бүхий шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд интервалын аргыг ашиглах нь зүйтэй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Үгүй бол өмнөх догол мөрний төгсгөлд хэлэлцсэн аргыг ашиглан тэгш бус байдлын шийдлийн талаар дүгнэлт хийх нь илүү хурдан бөгөөд илүү тохиромжтой юм.

Интервалын арга нь

• тэгш бус байдлын зүүн талд тохирох функцийг нэвтрүүлэх, манай тохиолдолд - шугаман функц y=a x+b,
• тодорхойлолтын мужийг интервалд хуваадаг түүний тэгийг олох,
• Эдгээр интервалууд дээр функцийн утгатай тэмдгүүдийг тодорхойлох, үүний үндсэн дээр шугаман тэгш бус байдлын шийдлийн талаархи дүгнэлт.

Эдгээр мөчүүдийг цуглуулцгаая алгоритм, a x+b шугаман тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг илчлэх<0 (≤, >, ≥) интервалын аргыг ашиглан a≠0-д:

• y=a·x+b функцийн тэгүүд олдож, a·x+b=0-ийг шийдэв. Мэдэгдэж байгаагаар a≠0-ийн хувьд энэ нь нэг язгууртай бөгөөд бид үүнийг x 0 гэж тэмдэглэдэг.
• Энэ нь баригдсан бөгөөд үүн дээр координат x 0 цэгийг дүрсэлсэн байна. Түүнээс гадна, хэрэв шийдсэн бол хатуу тэгш бус байдал(тэмдэгтэй< или >), дараа нь энэ цэгийг цэг таслалтай (хоосон төвтэй), хатуу биш бол (≤ эсвэл ≥ тэмдгээр) ердийн цэгийг байрлуулна. Энэ цэг нь координатын шугамыг (−∞, x 0) ба (x 0, +∞) гэсэн хоёр интервалд хуваана.
• Эдгээр интервал дээрх y=a·x+b функцийн тэмдгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд энэ функцийн утгыг интервалын аль ч цэг дээр (−∞, x 0) тооцдог бөгөөд энэ утгын тэмдэг нь интервал дээр (−∞, x 0) хүссэн тэмдэг байх болно. Үүний нэгэн адил интервал дээрх тэмдэг (x 0 , +∞) нь энэ интервалын аль ч цэг дэх y=a·x+b функцийн утгын тэмдэгтэй давхцаж байна. Гэхдээ та эдгээр тооцоололгүйгээр хийж, a коэффициентийн утга дээр үндэслэн тэмдгүүдийн талаар дүгнэлт хийж болно: хэрэв a>0 бол (−∞, x 0) ба (x 0, +∞) интервалууд дээр байх болно. − ба + тэмдэг тус тус байх ба хэрэв a >0 байвал + ба − байна.
• Хэрэв > эсвэл ≥ тэмдэгтэй тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа бол нэмэх тэмдэг бүхий цоорхойг байрлуулж, тэмдэгтэй тэгш бус байдлыг шийдэж байна.< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Шугаман тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Жишээ.

−3·x+12>0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

Бид интервалын аргыг шинжилж байгаа тул үүнийг ашиглах болно. Алгоритмын дагуу эхлээд −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4 тэгшитгэлийн язгуурыг олно. Дараа нь бид координатын шугамыг зурж, 4-р координатаар цэгийг тэмдэглээд, бид хатуу тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул энэ цэгийг цоолж байна.

Одоо бид интервал дээрх тэмдгүүдийг тодорхойлно. (−∞, 4) интервал дээрх тэмдгийг тодорхойлохын тулд y=−3·x+12 функцийн утгыг, жишээлбэл, x=3 үед тооцоолж болно. Бидэнд −3·3+12=3>0 байгаа нь энэ интервал дээр + тэмдэг байна гэсэн үг. Өөр интервал дээр (4, +∞) тэмдгийг тодорхойлохын тулд y=−3 x+12 функцийн утгыг тооцоолж болно, жишээлбэл, x=5 цэг дээр. Бидэнд −3·5+12=−3 байна<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Бид тэгш бус байдлыг > тэмдгээр шийдэж байгаа тул завсар дээр + тэмдгээр сүүдэр зурж, зураг хэлбэрийг авна.

Үүссэн зураг дээр үндэслэн бид хүссэн шийдэл нь (−∞, 4) эсвэл өөр x тэмдэглэгээтэй байна гэж дүгнэж байна.<4 .

Хариулт:

(−∞, 4) эсвэл x<4 .

Графикийн хувьд

Шугаман тэгш бус байдлыг нэг хувьсагчаар шийдэх геометрийн тайлбарын талаар ойлголттой байх нь ашигтай. Үүнийг авахын тулд ижил зүүн талтай дөрвөн шугаман тэгш бус байдлыг авч үзье: 0.5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 ба 0.5 x−1≥0 , тэдгээрийн шийдэл нь x<2 , x≤2 , x>2 ба x≥2, мөн y=0.5 x−1 шугаман функцийн графикийг зур.

Үүнийг анзаарахад амархан

• 0.5 x−1 тэгш бус байдлын шийдэл<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• 0.5 x−1≤0 тэгш бус байдлын шийдэл нь y=0.5 x−1 функцийн график нь Ox тэнхлэгээс доогуур буюу түүнтэй давхцах (өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгээс дээш биш) байх интервалыг илэрхийлнэ.
• Үүний нэгэн адил 0.5 x−1>0 тэгш бус байдлын шийдэл нь функцийн график нь Ox тэнхлэгээс дээш байх интервал юм (графикийн энэ хэсгийг улаанаар харуулсан),
• 0.5·x−1≥0 тэгш бус байдлын шийдэл нь функцийн график илүү өндөр буюу абсцисса тэнхлэгтэй давхцах интервал юм.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга, ялангуяа шугаман бөгөөд тэгш бус байдлын зүүн талд харгалзах функцийн график нь тэгш бус байдлын баруун талд харгалзах функцийн графикийн дээр, доор, доор биш, дээр биш байх интервалуудыг олохыг хэлнэ. Манай шугаман тэгш бус байдлын хувьд зүүн талд харгалзах функц нь y=a·x+b, баруун тал нь y=0, Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна.

Өгөгдсөн мэдээллээс харахад үүнийг томъёолоход хялбар байдаг шугаман тэгш бус байдлыг графикаар шийдвэрлэх алгоритм:

• y=a x+b функцийн графикийг байгуулав (схемийн хувьд боломжтой) ба
• a x+b тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• a x+b≤0 тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед график бага буюу Ox тэнхлэгтэй давхцах интервалыг тодорхойлно.
• a x+b>0 тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед график нь Ox тэнхлэгээс дээш байх интервалыг тодорхойлно.
• a·x+b≥0 тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед график илүү өндөр буюу Ox тэнхлэгтэй давхцах интервалыг тодорхойлно.

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг шийд графикаар.

Шийдэл.

Шугаман функцийн графикийг зуръя . Энэ нь х-ийн коэффициент сөрөг тул буурч байгаа шулуун шугам юм. Бидэнд мөн түүний x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат хэрэгтэй, энэ нь тэгшитгэлийн үндэс юм. -тэй тэнцүү байна. Бидний хэрэгцээнд зориулж Ой тэнхлэгийг дүрслэх шаардлагагүй. Тиймээс бидний схемийн зураг иймэрхүү харагдах болно

Бид > тэмдгээр тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул функцийн график Үхрийн тэнхлэгээс дээш байх интервалыг сонирхож байна. Тодорхой болгохын тулд графикийн энэ хэсгийг улаан өнгөөр ​​тодруулж, энэ хэсэгт тохирох интервалыг хялбархан тодорхойлохын тулд графын сонгосон хэсэг байрлах координатын хавтгайн хэсгийг улаан өнгөөр ​​тодруулъя. доорх зураг:

Бидний сонирхож буй цоорхой бол Үхрийн тэнхлэгийн улаанаар тодорсон хэсэг юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол нээлттэй тооны цацраг юм . Энэ бол бидний хайж байгаа шийдэл юм. Хэрэв бид тэгш бус байдлыг > тэмдгээр биш, харин хатуу бус тэгш бус байдлын ≥ тэмдгээр шийдэж байсан бол энэ үед функцийн график гарч ирэх тул хариултанд нэмэх шаардлагатай болохыг анхаарна уу. Үхэр тэнхлэгтэй давхцаж байна .y=0·x+7 нь y=7-тэй ижил, Ох тэнхлэгтэй параллель, түүнээс дээш байрлах координатын хавтгай дээр шулуун шугамыг тодорхойлно. Тиймээс 0 x+7 тэгш бус байдал<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Мөн y=0-тэй ижил y=0·x+0 функцийн график нь Үхрийн тэнхлэгтэй давхцаж буй шулуун шугам юм. Иймд 0·x+0≥0 тэгш бус байдлын шийдэл нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм.

Хариулт:

Хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэл нь ямар ч бодит тоо юм.

Шугаман болж буурдаг тэгш бус байдал

Асар их тооны тэгш бус байдлыг эквивалент хувиргалтыг ашиглан тэнцүү шугаман тэгш бус байдлаар сольж, өөрөөр хэлбэл шугаман тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Ийм тэгш бус байдлыг нэрлэдэг шугаман болж буурдаг тэгш бус байдал.

Сургуульд шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхтэй зэрэгцэн шугаман болж буурдаг энгийн тэгш бус байдлыг авч үздэг. Эдгээр нь онцгой тохиолдол юм бүхэл тэгш бус байдал, тухайлбал, тэдгээрийн зүүн ба баруун хэсэгт эсвэл илэрхийлсэн бүхэл илэрхийлэл байдаг шугаман биномууд, эсвэл тэдгээрийг болон -аар хөрвүүлдэг. Тодорхой болгохын тулд бид ийм тэгш бус байдлын хэд хэдэн жишээг өгөв: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Дээр дурдсантай төстэй хэлбэрийн тэгш бус байдлыг үргэлж шугаман болгон бууруулж болно. Үүнийг хаалт нээх, ижил төстэй нэр томьёо авчрах, нэр томьёо солих, тэгш бус байдлын нэг талаас нөгөө тал руу эсрэг тэмдгээр шилжүүлэх зэргээр хийж болно.

Жишээлбэл, 5−2 x>0 тэгш бус байдлыг шугаман болгохын тулд түүний зүүн талд байгаа гишүүдийг дахин цэгцлэхэд хангалттай, бидэнд −2 x+5>0 байна. 7·(x−1)+3≤4·x−2+x хоёр дахь тэгш бус байдлыг шугаман болгохын тулд танд бага зэрэг алхам хэрэгтэй: зүүн талд бид 7·x−7+3≤4· хаалтуудыг нээнэ. x−2+x , дараа Үүнд хүрэхийн тулд бид 7 x−4≤5 x−2 2 талдаа ижил төстэй нэр томьёо гаргаж, дараа нь баруун талаас зүүн талд 7 x−4−5 x+2 нөхцөлүүдийг шилжүүлнэ. ≤0 , эцэст нь бид зүүн талд 2 ·x−2≤0 ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв. Үүний нэгэн адил гурав дахь тэгш бус байдлыг шугаман тэгш бус байдал болгон бууруулж болно.

Ийм тэгш бус байдлыг үргэлж шугаман болгон бууруулж чаддаг тул зарим зохиогчид тэдгээрийг шугаман гэж нэрлэдэг. Гэхдээ бид тэдгээрийг шугаман болгон бууруулж болно гэж үзэх болно.

Ийм тэгш бус байдлыг яагаад шугаман тэгш бус байдлын хамт авч үзэх нь одоо тодорхой болсон. Мөн тэдгээрийн шийдлийн зарчим нь туйлын ижил юм: эквивалент хувиргалтыг хийснээр тэдгээрийг хүссэн шийдэл болох энгийн тэгш бус байдал болгон бууруулж болно.

Энэ төрлийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд эхлээд шугаман тэгш бус байдлыг багасгаж, дараа нь шугаман тэгш бус байдлыг шийдэж болно. Гэхдээ үүнийг хийх нь илүү оновчтой бөгөөд тохиромжтой:

• хаалтыг нээсний дараа тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа хувьсагчтай бүх нэр томъёог, баруун талд байгаа бүх тоонуудыг цуглуул.
• дараа нь ижил төстэй нэр томъёо авчрах,
• дараа нь үүссэн тэгш бус байдлын хоёр талыг х коэффициентээр хуваана (хэрэв энэ нь мэдээж тэгээс ялгаатай бол). Энэ нь хариултыг өгөх болно.

Жишээ.

5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

Эхлээд хаалтуудыг нээцгээе, үр дүнд нь 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 тэгш бус байдал гарна. Одоо ижил төстэй нэр томъёог өгье: 6 x+15≤6 x−17 . Дараа нь бид нөхцлүүдийг шилжүүлнэ зүүн тал, бид 6 x+15−6 x+17≤0 авч, дахин ижил төстэй нөхцлүүдийг (энэ нь биднийг 0 x+32≤0 шугаман тэгш бус байдал руу хөтөлнө) авчрахад 32≤0 байна. Ингэж бид буруу тоон тэгш бус байдалд хүрсэн бөгөөд үүнээс бид анхны тэгш бус байдалд шийдэл байхгүй гэж дүгнэсэн.

Хариулт:

шийдэл байхгүй.

Дүгнэж хэлэхэд, шугаман тэгш бус байдал эсвэл дээр дурдсан төрлийн тэгш бус байдал болгон бууруулж болох өөр олон тэгш бус байдал байгааг бид тэмдэглэж байна. Жишээлбэл, шийдэл экспоненциал тэгш бус байдал 5 2 x−1 ≥1 нь 2 x−1≥0 шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд буурдаг. Гэхдээ бид тохирох хэлбэрийн тэгш бус байдлын шийдлийг шинжлэхдээ энэ талаар ярих болно.

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2011. - 222 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А.Г.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.

Тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд, үүнд Бернулли, Коши - Буняковский, Минковский, Чебышевын тэгш бус байдал орно. Тэгш бус байдлын шинж чанарууд ба тэдгээрт үзүүлэх үйлдлүүдийг авч үзнэ. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг өгөв.

Үндсэн тэгш бус байдлын томъёо

Бүх нийтийн тэгш бус байдлын томъёо

Бүх нийтийн тэгш бус байдал нь тэдгээрт багтсан хэмжигдэхүүний аливаа утгын хувьд хангагдана. Бүх нийтийн тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүдийг доор жагсаав.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |а 1 | + |а 2 | + ... + |a n |

2) |а| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |а| - |б| |

3)
a 1 = a 2 = ... = a n үед л тэгш байдал үүсдэг.

4) Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал

Бүх k = 1, 2, ..., n болон зарим α, β, |α|-ийн хувьд α a k = β b k байвал тэгш байдал биелнэ. + |β| > 0 .

5) Минковскийн тэгш бус байдал, p ≥ 1-ийн хувьд

Хангалттай тэгш бус байдлын томъёо

Тэдгээрт багтсан хэмжигдэхүүний тодорхой утгуудын хувьд хангагдах тэгш бус байдал хангагдана.

1) Бернуллигийн тэгш бус байдал:
.
Илүү ерөнхийд нь:
,
хаана , ижил тэмдэгтэй ба түүнээс их тоо -1 : .
Бернуллигийн Лемма:
.
"Тэгш бус байдлын баталгаа ба Бернуллигийн лемма"-г үзнэ үү.

2)
a i ≥ 0-ийн хувьд (i = 1, 2, ..., n) .

3) Чебышевын тэгш бус байдал
цагт 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдал
цагт 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n мөн k байгалийн
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Тэгээд b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд нь тэдгээрийг өөрчлөх үед хангагдсан дүрмийн багц юм. Тэгш бус байдлын шинж чанаруудыг доор харуулав. Урьдчилан тогтоосон интервалд хамаарах x i (i = 1, 2, 3, 4) утгуудын хувьд анхны тэгш бус байдал хангагдана гэж ойлгож болно.

1) Талуудын дараалал өөрчлөгдөхөд тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Хэрэв x 1< x 2 , то x 2 >x 1.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 2 ≥ x 1 болно.
Хэрэв x 1 ≥ x 2 бол x 2 ≤ x 1 болно.
Хэрэв x 1 > x 2 бол x 2 болно< x 1 .

2) Нэг тэгшитгэл нь хоёр сул тэгш бус байдалтай тэнцэнэ өөр тэмдэг.
Хэрэв x 1 = x 2 бол x 1 ≤ x 2 ба x 1 ≥ x 2 болно.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба x 1 ≥ x 2 бол x 1 = x 2 болно.

3) Шилжилтийн шинж чанар
Хэрэв x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Хэрэв x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба x 2 байвал< x 3 , то x 1 < x 3 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба x 2 ≤ x 3 бол x 1 ≤ x 3 болно.

4) Тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоог нэмж (хасаж) болно.
Хэрэв x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 1 + A ≤ x 2 + A болно.
Хэрэв x 1 ≥ x 2 бол x 1 + A ≥ x 2 + A болно.
Хэрэв x 1 > x 2 бол x 1 + A > x 2 + A болно.

5) Хэрэв ижил чиглэлийн тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал байгаа бол тэдгээрийн зүүн ба баруун талыг нэмж болно.
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 бол x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 болно.
Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь ≥, > тэмдгүүдэд хамаарна.
Хэрэв анхны тэгш бус байдал нь хатуу бус тэгш бус байдлын шинж тэмдэг, дор хаяж нэг хатуу тэгш бус байдлын шинж тэмдгийг агуулж байвал (гэхдээ бүх тэмдгүүд ижил чиглэлтэй) байвал нэмэх нь хатуу тэгш бус байдлыг бий болгоно.

6) Тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоогоор үржүүлж (хувааж) болно.
Хэрэв x 1< x 2 и A >0, дараа нь A x 1< A · x 2 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба A > 0 бол A x 1 ≤ A x 2 болно.
Хэрэв x 1 ≥ x 2 ба A > 0 бол A x 1 ≥ A x 2 болно.
Хэрэв x 1 > x 2 ба A > 0 бол A · x 1 > A · x 2 болно.

7) Тэгш бус байдлын хоёр талыг сөрөг тоогоор үржүүлж (хувааж) болно. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө.
Хэрэв x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 ба A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Хэрэв x 1 ≥ x 2 ба A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Хэрэв x 1 > x 2 ба A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Хэрэв ижил чиглэлийн тэмдэгтэй эерэг гишүүнтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал байгаа бол тэдгээрийн баруун ба зүүн талыг өөр хоорондоо үржүүлж болно.
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 дараа нь x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Хэрэв x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 дараа нь x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 дараа нь x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Хэрэв x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 бол x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 болно.
Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь ≥, > тэмдгүүдэд хамаарна.
Хэрэв анхны тэгш бус байдал нь хатуу бус тэгш бус байдлын шинж тэмдэг, дор хаяж нэг хатуу тэгш бус байдлын шинж тэмдгийг агуулж байвал (гэхдээ бүх тэмдгүүд ижил чиглэлтэй) үржүүлгийн үр дүнд хатуу тэгш бус байдал үүсдэг.

9) f(x) нь монотон өсөх функц байг. Өөрөөр хэлбэл, дурын x 1 > x 2-ийн хувьд f(x 1) > f(x 2) байна.
Хэрэв x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Дараа нь энэ функцийг тэгш бус байдлын хоёр талд хэрэглэж болох бөгөөд энэ нь тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй.
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол f(x 1) ≤ f(x 2) .
Хэрэв x 1 ≥ x 2 бол f(x 1) ≥ f(x 2) .

Хэрэв x 1 > x 2 бол f(x 1) > f(x 2) болно.< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Хэрэв x 1< x 2 , то f(x 1) >10) f(x) нь монотон буурах функц байя, өөрөөр хэлбэл дурын x 1 > x 2, f(x 1) -ийн хувьд.
f(x 2) .
Хэрэв x 1 ≤ x 2 бол f(x 1) ≥ f(x 2) .
Хэрэв x 1 ≥ x 2 бол f(x 1) ≤ f(x 2) .< f(x 2) .

Хэрэв x 1 > x 2 бол f(x 1)

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Хэрэв тэгш бус байдал нь x гэж тэмдэглэсэн нэг хувьсагчийг агуулж байвал интервалын аргыг хэрэглэх боломжтой бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.
f(x) > 0 Энд f(x) -тасралтгүй функц , байхэцсийн тоо<, ≤ .

таслах цэгүүд. Тэгш бус байдлын тэмдэг нь юу ч байж болно: >, ≥,

Интервалын арга нь дараах байдалтай байна.

1) f(x) функцийн тодорхойлолтын мужийг олоод тооны тэнхлэгт интервалаар тэмдэглэ.

2) f(x) функцийн тасархайн цэгүүдийг ол.
Жишээлбэл, хэрэв энэ нь бутархай бол хуваагч тэг болох цэгүүдийг олно. Бид эдгээр цэгүүдийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэдэг.
3) Тэгшитгэлийг шийд

f(x) = 0 .

Бид энэ тэгшитгэлийн үндсийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэнэ.
4) Үүний үр дүнд тооны тэнхлэг нь цэгүүдээр интервалд (сегмент) хуваагдана. Тодорхойлолтын мужид багтсан интервал бүрийн дотор бид дурын цэгийг сонгож, энэ үед функцийн утгыг тооцоолно. Хэрэв энэ утга тэгээс их байвал сегмент (интервал) дээр "+" тэмдэг тавина.
Хэрэв энэ утга тэгээс бага бол сегмент (интервал) дээр "-" тэмдэг тавина.< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Хэрэв тэгш бус байдал нь f(x) ≤ 0 хэлбэртэй байвал шийдэлд f(x) = 0 байх цэгүүдийг нэмнэ.

Тэдний шинж чанарыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Энэ аргыг аливаа нарийн төвөгтэй байдлын тэгш бус байдалд хэрэглэнэ. Энэ нь тэгш бус байдлыг нэмэгдүүлэхийн тулд шинж чанаруудыг (дээр үзүүлсэн) ашиглахаас бүрдэнэ энгийн үзэмжмөн шийдлийг олж аваарай. Энэ нь зөвхөн нэг бус, тэгш бус байдлын тогтолцоог бий болгох бүрэн боломжтой юм. Энэ бол бүх нийтийн арга юм. Энэ нь аливаа тэгш бус байдалд хамаарна.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Тэгш бус байдал ба тэгш бус байдлын тогтолцоо нь тусгагдсан сэдвүүдийн нэг юм ахлах сургуульалгебр дээр. Хэцүү байдлын хувьд энэ нь хамгийн хэцүү биш, учир нь энэ нь энгийн дүрмүүдтэй байдаг (тэдгээрийн талаар бага зэрэг дараа). Дүрмээр бол сургуулийн сурагчид тэгш бус байдлын системийг амархан шийдэж сурдаг. Энэ нь мөн л багш нар энэ сэдвээр шавь нараа зүгээр л “сургадаг”тай холбоотой. Тэд үүнийг хийхээс өөр аргагүй юм, учир нь энэ нь ирээдүйд бусад аргыг ашиглан судлагдах болно математик хэмжигдэхүүнүүд, мөн OGE болон Улсын нэгдсэн шалгалтанд туршина. IN сургуулийн сурах бичигТэгш бус байдал ба тэгш бус байдлын тогтолцооны сэдвийг маш нарийн тусгасан тул хэрэв та үүнийг судлах гэж байгаа бол тэдгээрт хандах нь дээр. Энэ нийтлэл нь зөвхөн том хэмжээний материалыг хураангуйлсан бөгөөд зарим орхигдсон зүйл байж болно.

Тэгш бус байдлын системийн тухай ойлголт

Хэрэв та хандвал шинжлэх ухааны хэл, тэгвэл бид "тэгш бус байдлын систем" гэсэн ойлголтыг тодорхойлж болно. Энэ бол хэд хэдэн тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг математик загвар юм. Энэ загвар нь мэдээжийн хэрэг шийдлийг шаарддаг бөгөөд энэ нь даалгаварт санал болгож буй системийн бүх тэгш бус байдлын ерөнхий хариулт байх болно (ихэвчлэн үүнийг бичсэн байдаг, жишээлбэл: "4 x + 1 тэгш бус байдлын системийг шийд. > 2 ба 30 - x > 6... "). Гэсэн хэдий ч шийдлийн төрөл, аргууд руу шилжихээсээ өмнө өөр зүйлийг ойлгох хэрэгтэй.

Тэгшитгэлийн систем ба тэгшитгэлийн систем

Сурах явцдаа шинэ сэдэвихэвчлэн үл ойлголцол үүсдэг. Нэг талаас бүх зүйл тодорхой байгаа бөгөөд та аль болох хурдан даалгавраа шийдэж эхлэхийг хүсч байгаа ч нөгөө талаас зарим мөчүүд "сүүдэрт" үлдэж, бүрэн ойлгогдоогүй байна. Мөн аль хэдийн олж авсан мэдлэгийн зарим элементүүд шинэ мэдлэгтэй холбоотой байж болно. Ийм "давхцал"-ын үр дүнд алдаа ихэвчлэн гардаг.

Тиймээс бид сэдвийнхээ талаар дүн шинжилгээ хийж эхлэхээсээ өмнө тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийн ялгааг санах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдөл нь юуг илэрхийлж байгааг дахин нэг удаа тодруулах хэрэгтэй. математикийн ойлголтууд. Тэгшитгэл нь үргэлж тэгш байдал бөгөөд энэ нь үргэлж ямар нэгэн зүйлтэй тэнцүү байдаг (математикт энэ үгийг "=" тэмдгээр тэмдэглэдэг). Тэгш бус байдал гэдэг нь нэг утга нөгөөгөөсөө их эсвэл бага байх эсвэл тэдгээр нь ижил биш гэсэн мэдэгдлийг агуулсан загвар юм. Тиймээс, эхний тохиолдолд тэгш байдлын тухай ярих нь зүйтэй бөгөөд хоёрдугаарт, энэ нь нэрнээс нь хичнээн тодорхой сонсогдож байгаагаас үл хамааран анхны өгөгдлийн тэгш бус байдлын тухай ярих нь зүйтэй юм. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын системүүд нь бие биенээсээ бараг ялгаатай байдаггүй бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь ижил байдаг. Цорын ганц ялгаа нь эхний тохиолдолд тэгш бус байдлыг ашигладаг, хоёр дахь тохиолдолд тэгш бус байдлыг ашигладаг.

Тэгш бус байдлын төрлүүд

Тоон ба үл мэдэгдэх хувьсагчтай гэсэн хоёр төрлийн тэгш бус байдал байдаг. Эхний төрөл нь өгөгдсөн утгуудыг (тоо) илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш, жишээлбэл, 8 > 10. Хоёр дахь нь үл мэдэгдэх хувьсагч (зарим үсгээр тэмдэглэгдсэн) агуулсан тэгш бус байдал юм. Латин цагаан толгой, ихэвчлэн X). Энэ хувьсагчийг олох хэрэгтэй. Хэдэн хувьсагчтай байгаагаас хамааран математик загвар нь тэгш бус байдлыг нэг хувьсагчтай (тэдгээр нь нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг бүрдүүлдэг) эсвэл хэд хэдэн хувьсагчтай (хэд хэдэн хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг бүрдүүлдэг) хооронд нь ялгадаг.

Сүүлийн хоёр төрлийг барилгын түвшин, шийдлийн нарийн төвөгтэй байдлын түвшингээс хамааран энгийн ба нарийн төвөгтэй гэж хуваадаг. Энгийнийг мөн шугаман тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Тэд эргээд хатуу, хатуу бус гэж хуваагддаг. Хатуу хүмүүс нэг хэмжигдэхүүн нь заавал бага эсвэл илүү байх ёстой гэж "хэлдэг" тул энэ нь цэвэр тэгш бус байдал юм. Хэд хэдэн жишээг өгч болно: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 гэх мэт. Хатуу бусд мөн адил тэгш байдал орно. Өөрөөр хэлбэл, нэг утга нь өөр утгаас их буюу тэнцүү ("≥" тэмдэг) эсвэл өөр утгаас бага буюу тэнцүү ("≤" тэмдэг) байж болно. Шугаман тэгш бус байдлын хувьд ч хувьсагч нь язгуур, квадрат эсвэл юунд ч хуваагддаггүй тул тэдгээрийг "энгийн" гэж нэрлэдэг. Нарийн төвөгтэй хувьсагчдыг олохын тулд гүйцэтгэх шаардлагатай үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулдаг. илүү математик үйлдлүүд. Тэдгээр нь ихэвчлэн дөрвөлжин, шоо эсвэл үндэс дор байрладаг бөгөөд тэдгээр нь модульчлагдсан, логарифм, бутархай гэх мэт байж болно. Гэхдээ бидний даалгавар бол тэгш бус байдлын системийн шийдлийг ойлгох хэрэгцээ тул шугаман тэгш бус байдлын системийн тухай ярих болно. . Гэсэн хэдий ч үүнээс өмнө тэдний шинж чанарын талаар хэдэн үг хэлэх хэрэгтэй.

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд нь дараахь зүйлийг агуулна.

1. Хэрэв талуудын дарааллыг өөрчлөх үйлдлийг хэрэглэвэл тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу болно (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 бол t 2 ≥ t 1).
2. Тэгш бус байдлын хоёр тал нь ижил тоог өөртөө нэмэх боломжийг олгодог (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 бол t 1 + тоо ≤ t 2 + тоо).
3. Нэг чиглэлтэй тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал нь тэдгээрийн зүүн ба баруун талыг нэмэх боломжийг олгодог (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 бол t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлж эсвэл хувааж болно (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 ба ≤ 0 тоо бол · t 1 ≥ тоо · t 2).
5. Эерэг нөхцөлтэй, нэг чиглэлтэй тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал нь бие биенээ үржүүлэх боломжийг олгодог (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t бол 4 ≥ 0 дараа нь t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Тэгш бус байдлын хоёр хэсэг хоёулаа ижил сөрөг тоогоор үржих буюу хуваахыг зөвшөөрдөг боловч энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгддөг (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 ба тоо ≤ 0 бол тоо · t 1) ≥ тоо · t 2).
7. Бүх тэгш бус байдал нь шилжилтийн шинж чанартай байдаг (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 ба t 2 ≤ t 3 бол t 1 ≤ t 3).

Одоо тэгш бус байдалтай холбоотой онолын үндсэн зарчмуудыг судалсны дараа бид тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх дүрмийг авч үзэхэд шууд шилжиж болно.

Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх. Ерөнхий мэдээлэл. Шийдэл

Дээр дурдсанчлан шийдэл нь тухайн системийн бүх тэгш бус байдалд тохирсон хувьсагчийн утгууд юм. Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх гэдэг нь эцсийн дүндээ бүхэл бүтэн системийн шийдэлд хүргэх эсвэл ямар ч шийдэлгүй гэдгийг батлах математик үйлдлүүдийн хэрэгжилт юм. Энэ тохиолдолд хувьсагчийг хоосон гэж хэлнэ тоон багц(Ингэж бичсэн: хувьсагчийг илэрхийлсэн үсэг∈ ("харьяалах" тэмдэг) ø ("хоосон олонлог" гэсэн тэмдэг), жишээлбэл, x ∈ ø (унш: "х" хувьсагч нь хоосон олонлогт хамаарна"). Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг: график, алгебр, орлуулах арга. Тэдний дунд тэд байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй математик загварууд, хэд хэдэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай. Зөвхөн нэг байгаа тохиолдолд интервалын арга тохиромжтой.

График арга

Хэд хэдэн үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (хоёр ба түүнээс дээш) тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Энэ аргын ачаар шугаман тэгш бус байдлын системийг маш хялбар бөгөөд хурдан шийдэж болох тул энэ нь хамгийн түгээмэл арга юм. График зурах нь математикийн үйлдлүүдийг бичих хэмжээг багасгадагтай холбон тайлбарладаг. Үзэгнээс бага зэрэг завсарлага аваад захирагчтай харандаа аваад ажиллаж эхлэх нь ялангуяа тааламжтай байдаг. цаашдын арга хэмжээмаш их ажил хийгдэж, та бага зэрэг олон янз байхыг хүсч байгаа үед тэдний тусламжтайгаар. Гэсэн хэдий ч энэ аргаЗарим хүмүүс даалгавраа орхиж, оюун санааны үйл ажиллагаагаа зурахад шилжүүлэх шаардлагатай болдог тул үүнд дургүй байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь маш үр дүнтэй арга юм.

Тэгш бус байдлын системийг ашиглан шийдвэрлэх график арга, тэгш бус байдал бүрийн бүх нөхцөлийг зүүн тал руу нь шилжүүлэх шаардлагатай. Тэмдгийг урвуу болгож, баруун талд тэгийг бичиж, тэгш бус байдал бүрийг тусад нь бичих шаардлагатай. Үүний үр дүнд тэгш бус байдлаас функцүүд гарна. Үүний дараа та харандаа, захирагч гаргаж болно: одоо та олж авсан функц бүрийн графикийг зурах хэрэгтэй. Тэдний огтлолцлын интервалд байх бүх тооны багц нь тэгш бус байдлын системийн шийдэл болно.

Алгебрийн арга

Хоёр үл мэдэгдэх хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Мөн тэгш бус байдал заавал байх ёстой ижил тэмдэгтэйтэгш бус байдал (өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь зөвхөн "илүү" тэмдэг эсвэл зөвхөн "бага" тэмдгийг агуулсан байх ёстой.) Хэдийгээр хязгаарлалттай ч энэ арга нь илүү төвөгтэй байдаг. Үүнийг хоёр үе шаттайгаар хэрэглэнэ.

Эхнийх нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн аль нэгийг арилгах үйлдлүүдийг агуулдаг. Эхлээд та үүнийг сонгох хэрэгтэй, дараа нь энэ хувьсагчийн өмнө тоо байгаа эсэхийг шалгана уу. Хэрэв тэдгээр нь байхгүй бол (хувьсагч нь нэг үсэг шиг харагдах болно) бид юу ч өөрчлөхгүй, хэрэв байгаа бол (хувьсагчийн төрөл нь жишээлбэл, 5y эсвэл 12y байх болно) үүнийг хийх шаардлагатай. тэгш бус байдал бүрт сонгосон хувьсагчийн өмнөх тоо ижил байгаа эсэхийг шалгаарай. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын гишүүн бүрийг үржүүлэх хэрэгтэй нийтлэг үржүүлэгч, жишээлбэл, хэрэв эхний тэгш бус байдалд 3y, хоёрдугаарт 5y гэж бичсэн бол эхний тэгш бус байдлын бүх гишүүнийг 5, хоёр дахь нь 3-аар үржүүлэх шаардлагатай. Үр дүн нь 15y ба 15y байна.

Шийдлийн хоёр дахь шат. Тэгш бус байдал бүрийн зүүн талыг баруун тал руу нь шилжүүлж, нэр томьёо бүрийн тэмдгийг эсрэгээр нь сольж, баруун талд тэгийг бичих шаардлагатай. Дараа нь хөгжилтэй хэсэг ирдэг: тэгш бус байдлыг нэмэхийн зэрэгцээ сонгосон хувьсагчаас (өөрөөр "багасгах" гэж нэрлэдэг) салах. Үүний үр дүнд шийдвэрлэх шаардлагатай нэг хувьсагчтай тэгш бус байдал үүсдэг. Үүний дараа та ижил зүйлийг зөвхөн өөр үл мэдэгдэх хувьсагчтай хийх хэрэгтэй. Хүлээн авсан үр дүн нь системийн шийдэл байх болно.

Орлуулах арга

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжтой бол тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Ихэнхдээ энэ аргыг тэгш бус байдлын нэг гишүүний үл мэдэгдэх хувьсагчийг дөрөв дэх зэрэгт өсгөж, нөгөө нэр томъёонд квадрат болгоход ашигладаг. Тиймээс энэ арга нь систем дэх тэгш бус байдлын түвшинг бууруулахад чиглэгддэг. Түүврийн тэгш бус байдал x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 нь ийм байдлаар шийдэгдэнэ. Шинэ хувьсагчийг танилцуулж байна, жишээ нь t. Тэд "t = x 2" гэж бичээд дараа нь загварыг шинэ хэлбэрээр дахин бичнэ. Манай тохиолдолд бид t 2 - t - 1 ≤0 авна. Энэ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэх хэрэгтэй (энэ талаар бага зэрэг дараа), дараа нь X хувьсагч руу буцаж, дараа нь бусад тэгш бус байдалтай ижил зүйлийг хийх хэрэгтэй. Хүлээн авсан хариултууд нь системийн шийдэл байх болно.

Интервалын арга

Энэ бол тэгш бус байдлын системийг шийдэх хамгийн энгийн арга бөгөөд үүний зэрэгцээ бүх нийтийн бөгөөд өргөн тархсан байдаг. Энэ нь ерөнхий боловсролын сургууль, тэр ч байтугай дээд сургуулиудад хэрэглэгддэг. Үүний мөн чанар нь оюутан тэмдэглэлийн дэвтэрт зурсан тооны шулуун дээрх тэгш бус байдлын интервалыг хайж олоход оршдог (энэ нь график биш, харин тоонуудын энгийн шугам юм). Тэгш бус байдлын интервалууд огтлолцсон тохиолдолд системийн шийдийг олно. Интервалын аргыг ашиглахын тулд та дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

1. Тэгш бус байдал бүрийн бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлж, тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө (баруун талд тэгийг бичсэн).
2. Тэгш бус байдлыг тусад нь бичиж, тус бүрийн шийдлийг тодорхойлно.
3. Тооны шулуун дээрх тэгш бус байдлын огтлолцол олддог. Эдгээр уулзварт байрлах бүх дугаарууд нь шийдэл байх болно.

Би ямар аргыг хэрэглэх ёстой вэ?

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь хамгийн хялбар бөгөөд тохиромжтой юм шиг санагддаг, гэхдээ даалгавар шаарддаг тохиолдол байдаг тодорхой арга. Ихэнхдээ тэд график эсвэл интервалын аргыг ашиглан шийдэх хэрэгтэй гэж хэлдэг. Алгебрийн аргаОрлуулах нь маш ховор эсвэл огт хэрэглэгддэггүй, учир нь тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд ойлгомжгүй байдаг бөгөөд үүнээс гадна тэгш бус байдлыг бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд илүү ашигладаг тул та график, интервалыг зурах хэрэгтэй. Тэд тодорхой байдлыг авчирдаг бөгөөд энэ нь математикийн үйлдлүүдийг үр дүнтэй, хурдан гүйцэтгэхэд хувь нэмэр оруулахгүй байх боломжгүй юм.

Хэрэв ямар нэг зүйл болохгүй бол

Мэдээжийн хэрэг, алгебрийн тодорхой сэдвийг судлах явцад түүний ойлголттой холбоотой асуудал гарч ирдэг. Мөн энэ нь хэвийн зүйл, учир нь бидний тархи ойлгох чадваргүй байдлаар бүтээгдсэн байдаг нарийн төвөгтэй материалнэг дор. Ихэнхдээ та догол мөрийг дахин унших, багшаас тусламж авах эсвэл асуудал шийдвэрлэх дасгал хийх хэрэгтэй. ердийн даалгавар. Манай тохиолдолд тэд жишээлбэл: "3 x + 1 ≥ 0 ба 2 x - 1 > 3 тэгш бус байдлын системийг шийд." Тиймээс хувийн хүсэл эрмэлзэл, гадны хүмүүсийн тусламж, дадлага нь аливаа нарийн төвөгтэй сэдвийг ойлгоход тусалдаг.

Шийдвэрлэгч үү?

Шийдлийн ном нь бас маш тохиромжтой, гэхдээ гэрийн даалгавраа хуулбарлахад биш, харин өөртөө туслах болно. Тэдгээрээс та шийдэл бүхий тэгш бус байдлын системийг олж, тэдгээрийг (загвар хэлбэрээр) харж, шийдлийн зохиогч даалгаврыг хэрхэн даван туулж байсныг яг таг ойлгохыг хичээ, дараа нь өөрөө үүнийг хийхийг хичээ.

дүгнэлт

Алгебр бол сургуулийн хамгийн хэцүү хичээлүүдийн нэг юм. За, та юу хийж чадах вэ? Математик үргэлж ийм байсаар ирсэн: зарим хүмүүсийн хувьд энэ нь амархан, харин зарим хүмүүсийн хувьд хэцүү байдаг. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд үүнийг санаж байх хэрэгтэй ерөнхий боловсролын хөтөлбөрҮүнийг ямар ч оюутан дааж чадахаар барьсан. Үүнээс гадна хүн санаж байх ёстой их хэмжээнийтуслахууд Тэдгээрийн заримыг дээр дурдсан.

Тэгш бус байдлын дүрсүүдийн талаар та юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Дүрс бүхий тэгш бус байдал илүү (> ), эсвэл бага (< ) гэж нэрлэдэг хатуу.Дүрс бүхий илүү эсвэл тэнцүү (≥ ), бага эсвэл тэнцүү (≤ ) гэж нэрлэдэг хатуу биш.Дүрс тэнцүү биш (≠ ) нь тусдаа байдаг, гэхдээ та үргэлж энэ дүрс бүхий жишээг шийдвэрлэх хэрэгтэй. Тэгээд бид шийдэх болно.)

Дүрс нь өөрөө шийдлийн үйл явцад тийм ч их нөлөөлдөггүй. Гэхдээ шийдвэрийн төгсгөлд эцсийн хариултыг сонгохдоо дүрсний утга гарч ирнэ бүрэн хүч! Үүнийг бид доор жишээн дээр харах болно. Тэнд онигоо байдаг...

Тэгш бус байдал нь тэгш байдал шиг байдаг үнэнч, үнэнч бус.Энд бүх зүйл энгийн, ямар ч заль мэх байхгүй. 5 гэж хэлье > 2 нь жинхэнэ тэгш бус байдал юм. 5 < 2 - буруу.

Энэ бэлтгэл нь тэгш бус байдлын төлөө ажилладаг ямар ч төрлийнаймшгийн хэмжээнд хүртэл энгийн.) Та зүгээр л хоёр (хоёрхон!) энгийн үйлдлийг зөв хийх хэрэгтэй. Эдгээр үйлдлүүд нь хүн бүрт танил юм. Гэхдээ онцлог шинж чанараараа эдгээр үйлдлүүдийн алдаа нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол алдаа юм, тийм ээ ... Тиймээс эдгээр үйлдлүүдийг давтах ёстой. Эдгээр үйлдлүүдийг дараах байдлаар нэрлэнэ.

Тэгш бус байдлын ижил өөрчлөлтүүд.

Тэгшитгэлийн ижил хувиргалт нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалттай маш төстэй. Үнэндээ энэ бол гол асуудал юм. Ялгаанууд таны толгойг давж, ... энд байна.) Тиймээс би эдгээр ялгааг онцгойлон тэмдэглэх болно. Тиймээс, тэгш бус байдлын анхны ижил хувиргалт:

1. Тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоо буюу илэрхийллийг нэмж (хасаж) болно. Ямар ч. Энэ нь тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй.

Практикт энэ дүрмийг тэгш бус байдлын зүүн талаас баруун тийш (болон эсрэгээр) тэмдгийн өөрчлөлтөөр нэр томъёог шилжүүлэхэд ашигладаг. Тэгш бус байдал биш нэр томьёоны тэмдгийн өөрчлөлтөөр! Нэгийг харьцах дүрэм нь тэгшитгэлийн дүрэмтэй ижил байна. Дараагийнх нь энд байна таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдтэгш бус байдлын хувьд тэгшитгэлийнхээс эрс ялгаатай. Тиймээс би тэдгээрийг улаан өнгөөр ​​тодруулсан:

2. Тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил зүйлээр үржүүлж (хувааж) болноэерэгтоо. Дурын хувьдэерэг Өөрчлөхгүй.

3. Тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил зүйлээр үржүүлж (хувааж) болносөрөгтоо. Дурын хувьдсөрөгтоо. Үүнээс тэгш бус байдлын тэмдэгэсрэгээр өөрчлөгдөх болно.

Тэгшитгэлийг ямар ч зүйлээр үржүүлж/хувааж болно гэдгийг та санаж байна (би найдаж байна ...). Мөн дурын тооны хувьд, мөн X-тэй илэрхийллийн хувьд. Хэрэв тэг биш байсан бол. Энэ нь түүнийг, тэгшитгэлийг халуун ч биш, хүйтэн ч биш болгодог.) Энэ нь өөрчлөгдөхгүй. Гэхдээ тэгш бус байдал нь үржүүлэх / хуваахад илүү мэдрэмтгий байдаг.

Сайн жишээурт санах ойн хувьд. Эргэлзээ төрүүлэхгүй тэгш бус байдлыг бичье.

5 > 2

Хоёр талыг үржүүлнэ +3, бид авах:

15 > 6

Ямар нэгэн эсэргүүцэл байна уу? Эсэргүүцэл байхгүй.) Хэрэв бид анхны тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлбэл -3, бид авах:

15 > -6

Мөн энэ бол шууд худал юм.) Бүрэн худал! Ард түмнийг хуурч байна! Гэхдээ тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөхөд бүх зүйл байрандаа орно.

15 < -6

Би зүгээр л худал хуурмагийн талаар харааж зүхээгүй.) "Тэгш тэмдгийг өөрчлөхөө мартсан байна ..."- Энэ гэртэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алдаа. Энэ бол өчүүхэн бөгөөд энгийн дүрэммаш олон хүн шархадсан! Тэд мартсан ...) Тиймээс би тангараглаж байна. Магадгүй би санаж байх болно ...)

Ялангуяа анхааралтай хүмүүс тэгш бус байдлыг X тэмдэгтэй илэрхийллээр үржүүлэх боломжгүй гэдгийг анзаарах болно. Анхааралтай ханддаг хүмүүст хүндэтгэлтэй хандаарай!) Яагаад болохгүй гэж? Хариулт нь энгийн. Энэ илэрхийллийн X тэмдэгтийг бид мэдэхгүй. Эерэг, сөрөг байж болно... Тиймээс үржүүлсний дараа ямар тэгш бус байдлын тэмдэг тавихаа мэдэхгүй байна. Би үүнийг өөрчлөх ёстой юу, үгүй ​​юу? Тодорхойгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ хязгаарлалтыг (тэгш бус байдлыг х-тэй илэрхийллээр үржүүлэх/хуваах хориг) тойрч болно. Хэрэв танд үнэхээр хэрэгтэй бол. Гэхдээ энэ бол бусад хичээлүүдийн сэдэв юм.

Энэ бол тэгш бус байдлын ижил төстэй өөрчлөлтүүд юм. Тэдний төлөө ажилладаг гэдгийг дахин сануулъя ямар чтэгш бус байдал Одоо та тодорхой төрлүүд рүү шилжиж болно.

Шугаман тэгш бус байдал. Шийдэл, жишээ.

Шугаман тэгш бус байдал гэдэг нь x нь нэгдүгээр зэрэглэлд байх ба х-д хуваагдахгүй тэгш бус байдлыг хэлнэ. Төрөл:

x+3 > 5х-5

Ийм тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Тэдгээрийг шийдвэрлэхэд маш хялбар! Тухайлбал: тусламжтайгаар бид хамгийн ойлгомжгүй шугаман тэгш бус байдлыг багасгадаг шууд хариулт руу.Энэ бол шийдэл. Би шийдвэрийн гол санааг онцолж хэлье. Тэнэг алдаа гаргахгүйн тулд.)

Энэ тэгш бус байдлыг шийдье:

x+3 > 5х-5

Бид үүнийг шугаман тэгшитгэлтэй яг ижил аргаар шийддэг. Ганц ялгаа нь:

Бид анхааралтай ажиглаж байна тэгш бус байдлын тэмдэг!

Эхний алхам бол хамгийн түгээмэл зүйл юм. X-тэй - зүүн тийш, X-гүй - баруун тийш ... Энэ бол энгийн бөгөөд асуудалгүй анхны ижил хувиргалт юм.) Зөвхөн шилжүүлсэн нэр томъёоны тэмдгийг өөрчлөхөө бүү мартаарай.

Тэгш бус байдлын тэмдэг хэвээр байна:

x-5x > -5-3

Энд ижил төстэй зүйлүүд байна.

Тэгш бус байдлын тэмдэг хэвээр байна:

4x > -8

Сүүлийн ижил хувиргалтыг хэрэгжүүлэхэд үлдлээ: хоёр талыг -4-т хуваана.

Хуваах сөрөгтоо.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

X < 2

Энэ бол хариулт юм.

Бүх шугаман тэгш бус байдлыг ингэж шийддэг.

Анхаар! 2-р цэгийг цагаанаар зурсан, өөрөөр хэлбэл. будаагүй. Дотор нь хоосон. Энэ нь тэр хариултанд ороогүй гэсэн үг юм! Би түүнийг маш эрүүл зурсан. Математикийн ийм цэгийг (хоосон, эрүүл биш!)) гэж нэрлэдэг цоорсон цэг.

Тэнхлэг дээрх үлдсэн тоонуудыг тэмдэглэж болох боловч шаардлагагүй. Бидний тэгш бус байдалтай холбоогүй гадны тоонууд нь төөрөгдүүлж магадгүй, тийм ээ ... Та зүгээр л тоонууд нь сумны чиглэлд нэмэгддэг гэдгийг санах хэрэгтэй, i.e. тоо 3, 4, 5 гэх мэт. байна баруун талдхоёр, тоо нь 1, 0, -1 гэх мэт. - Зүүн талд нь.

Тэгш бус байдал x < 2 - хатуу. X нь хоёроос бага байна. Хэрэв эргэлзэж байвал шалгах нь энгийн зүйл юм. Бид эргэлзээтэй тоог тэгш бус байдалд орлуулж, "Хоёр нь хоёроос бага" гэж бодож байна. Яг. Тэгш бус байдал 2 < 2 буруу.Хариуд нь хоёр нь тохиромжгүй.

Нэг нь зүгээр үү? Мэдээж. Бага... Тэгээд тэг бол сайн, мөн -17, 0.34... Тийм ээ, хоёроос бага тоонууд бүгд сайн! Тэгээд бүр 1.9999.... Ядаж бага зэрэг, гэхдээ бага!

Тэгэхээр энэ бүх тоог тооны тэнхлэгт тэмдэглэе. Хэрхэн? Энд сонголтууд байна. Эхний сонголт бол сүүдэрлэх явдал юм. Бид зураг дээр хулганаа хөдөлгөж (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрч) x нөхцөлийг хангасан бүх x-ийн талбай сүүдэрлэж байгааг харна. < 2 . Тэгээд л болоо.

Хоёр дахь жишээг ашиглан хоёр дахь сонголтыг авч үзье.

X ≥ -0,5

Тэнхлэг зураад -0.5 тоог тэмдэглэ. Үүн шиг:

Ялгааг анзаарч байна уу?) За, тийм ээ, анзаарахгүй байх нь хэцүү юм ... Энэ цэг нь хар! Дээрээс нь будсан. Энэ нь -0.5 гэсэн үг хариултанд багтсан болно.Дашрамд хэлэхэд, баталгаажуулалт нь хэн нэгнийг төөрөлдүүлж магадгүй юм. Орлуулж үзье:

-0,5 ≥ -0,5

Яаж тэгэх вэ? -0.5 нь -0.5-аас ихгүй байна! Мөн илүү олон дүрс бий ...

Зүгээр дээ. Сул тэгш бус байдалд дүрсэнд тохирсон бүх зүйл тохиромжтой. БА тэнцүү байнасайн бас илүүсайн. Иймд -0.5 гэсэн хариултыг оруулсан байна.

Тиймээс бид тэнхлэг дээр -0.5 гэж тэмдэглэсэн; -0.5-аас их байгаа бүх тоог тэмдэглэх нь хэвээр байна. Энэ удаад би тохирох x утгын талбайг тэмдэглэв нум(үгнээс нуман), сүүдэрлэхийн оронд. Бид курсорыг зурган дээр аваачиж, энэ нумыг харна.

Сүүдэрлэх, гар хоёрын хооронд онцгой ялгаа байхгүй. Багшийн хэлснээр хий. Хэрэв багш байхгүй бол нуман хаалга зур. Илүү их хэцүү даалгаварсүүдэрлэх нь бага илэрхий. Та андуурч болно.

Шугаман тэгш бус байдлыг тэнхлэг дээр ингэж зурдаг. Тэгш бус байдлын дараагийн шинж чанарт шилжье.

Тэгш бус байдлын хариултыг бичих.

Тэгшитгэлүүд сайн байсан.) Бид х-г олоод хариултыг бичлээ, жишээ нь: x=3. Тэгш бус байдалд хариулт бичих хоёр хэлбэр байдаг. Нэг нь эцсийн тэгш бус байдлын хэлбэртэй. хувьд сайн энгийн тохиолдлууд. Жишээлбэл:

X< 2.

Энэ бол бүрэн хариулт юм.

Заримдаа та ижил зүйлийг бичих хэрэгтэй, гэхдээ өөр хэлбэрээр, ашиглан тоон интервалууд. Дараа нь бичлэг маш шинжлэх ухаанч харагдаж эхэлдэг):

x ∈ (-∞; 2)

Дүрс дор ∈ үг нуугдаж байна "харьяалах".

Бичлэг нь дараах байдалтай байна. х нь хасах хязгаараас хоёр хүртэлх интервалд хамаарна оруулахгүй. Маш логиктой. X нь эдгээрийн аль ч тоо байж болно боломжит тоохасах хязгааргүйгээс хоёр хүртэл. Давхар X байж болохгүй, энэ нь үг бидэнд хэлдэг "үүнд ороогүй".

Мөн хариултын хаана нь тодорхой байна "үүнд ороогүй"? Энэ баримтыг хариултад тэмдэглэсэн болно дугуйхоёрын дараа шууд хаалт хийнэ. Хэрэв энэ хоёрыг оруулсан бол хаалт нь байх байсан дөрвөлжин.Энэ байна:]. IN дараах жишээийм хаалт ашигладаг.

Хариултаа бичье: x ≥ -0,5 интервалаар:

x ∈ [-0.5; +∞)

Уншсан: x нь хасах 0.5 хүртэлх интервалд хамаарна, үүнд,нэмэх хязгааргүй.

Хязгааргүй байдлыг хэзээ ч асааж болохгүй. Энэ бол тоо биш, бэлгэдэл юм. Тиймээс ийм бичлэгт хязгааргүй байдал үргэлж зэргэлдээ байдаг хаалт.

Энэ бичлэгийн хэлбэр нь хэд хэдэн зайнаас бүрдсэн нарийн төвөгтэй хариултуудад тохиромжтой. Гэхдээ - зөвхөн эцсийн хариултуудын хувьд. IN завсрын үр дүн, цаашид шийдэл хүлээгдэж буй тохиолдолд ердийн хэлбэрийг хэлбэрээр ашиглах нь дээр энгийн тэгш бус байдал. Үүнийг бид холбогдох сэдвүүдээр авч үзэх болно.

Тэгш бус байдал бүхий түгээмэл даалгаврууд.

Шугаман тэгш бус байдал нь өөрөө энгийн. Тиймээс даалгавар нь ихэвчлэн хэцүү болдог. Тиймээс бодох хэрэгтэй байсан. Хэрэв та үүнд дасаагүй бол энэ нь тийм ч таатай биш юм.) Гэхдээ энэ нь ашигтай. Би ийм даалгаврын жишээг харуулах болно. Та тэдгээрийг сурахын тулд биш, энэ нь шаардлагагүй юм. Тэгээд уулзахдаа айхгүйн тулд ижил төстэй жишээнүүд. Жаахан бодоод үзээрэй, энэ нь маш энгийн!)

1. 3x - 3 тэгш бус байдлын дурын хоёр шийдийг ол< 0

Хэрэв юу хийх нь тодорхойгүй байвал математикийн үндсэн дүрмийг санаарай.

Хэрэв танд юу хэрэгтэйгээ мэдэхгүй байгаа бол чадах бүхнээ хий!)

X < 1

Тэгээд юу гэж? Гоц гойд зүйлгүй. Тэд биднээс юу асууж байна вэ? Тэгш бус байдлын шийдэл болох хоёр тодорхой тоог олохыг биднээс хүсдэг. Тэдгээр. хариултанд тохирно. Хоёр ямар чтоо. Үнэн хэрэгтээ энэ нь будлиантай юм.) 0 ба 0.5 гэсэн хосууд тохиромжтой. Хос -3 ба -8. Тиймээ эдгээр хосууд хязгааргүй олонлог! Аль хариулт нь зөв бэ?!

Би хариулдаг: бүх зүйл! Дурын хос тоо, тус бүр нь нэгээс бага, зөв хариулт байх болно.Та алийг нь авахыг хүсч байгаагаа бичээрэй. Үргэлжлүүлье.

2. Тэгш бус байдлыг шийд:

4х - 3 ≠ 0

Энэ хэлбэрийн даалгавар нь ховор байдаг. Гэхдээ туслах тэгш бус байдлын хувьд жишээлбэл, ODZ-ийг олох эсвэл функцийн тодорхойлолтын мужийг олох үед тэдгээр нь байнга тохиолддог. Ийм шугаман тэгш бус байдлыг энгийн шугаман тэгшитгэл болгон шийдэж болно. Зөвхөн "=" тэмдгээс бусад бүх газар ( тэнцүү байна) тэмдэг тавих" ≠ " (тэнцүү биш). Тэгш бус байдлын тэмдгээр та хариултанд ингэж хандаж байна:

X ≠ 0,75

Илүү их нарийн төвөгтэй жишээнүүд, юмыг өөрөөр хийх нь дээр. Тэгш бус байдлаас тэгш бус байдлыг бий болго. Үүн шиг:

4х - 3 = 0

Үүнийг заасны дагуу тайван шийдэж, хариултыг аваарай:

x = 0.75

Хамгийн гол нь эцсийн хариултыг бичихдээ бид x олсон гэдгийг мартаж болохгүй, энэ нь өгдөг тэгш байдал.Мөн бидэнд хэрэгтэй - тэгш бус байдал.Тиймээс бидэнд энэ X хэрэггүй.) Мөн бид үүнийг зөв тэмдэгтээр бичих хэрэгтэй:

X ≠ 0,75

Энэ арга нь алдаа багатай байдаг. Тэгшитгэлийг автоматаар шийддэг хүмүүс. Тэгшитгэлийг шийддэггүй хүмүүсийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэндээ ямар ч ашиггүй юм ...) Алдартай даалгаврын өөр нэг жишээ:

3. Тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тоон шийдийг ол:

3(x - 1) < 5x + 9

Эхлээд бид тэгш бус байдлыг шийддэг. Бид хаалтуудыг онгойлгож, хөдөлгөж, ижил төстэй зүйлсийг авчирна ... Бид дараахь зүйлийг авна.

X > - 6

Тэгж бүтсэнгүй гэж үү!? Та тэмдгүүдийг дагасан уу!? Мөн гишүүдийн тэмдгийн ард, тэгш бус байдлын тэмдгийн ард...

Дахиад бодоцгооё. Бид хариулт болон нөхцөлийн аль алинд нь тохирох тодорхой тоог олох хэрэгтэй "хамгийн жижиг бүхэл тоо".Хэрэв энэ нь танд шууд харагдахгүй бол та ямар ч дугаарыг аваад үүнийг олж мэдэх боломжтой. Хоёр хасах зургаагаас их үү? Мэдээжийн хэрэг! Тохиромжтой бага тоо байна уу? Мэдээжийн хэрэг. Жишээлбэл, тэг нь -6-аас их байна. Тэгээд бүр бага уу? Бидэнд хамгийн жижиг зүйл хэрэгтэй! Гурав хасвал зургаагаас их байна! Та аль хэдийн хэв маягийг барьж аваад, тоонуудын дунд тэнэг явахаа больж чадна, тийм үү?)

-6-д ойртсон тоог авч үзье. Жишээлбэл, -5. Хариулт нь биелсэн, -5 > - 6. -5-аас бага боловч -6-аас их өөр тоог олох боломжтой юу? Та жишээ нь -5.5... Зогс! Бидэнд хэлдэг бүхэлд ньшийдэл! -5.5 өнхрөхгүй! Хасах зургаа яах вэ? Өө-өө! Тэгш бус байдал нь хатуу, хасах 6 нь хасах 6-аас багагүй!

Тиймээс зөв хариулт нь -5 байна.

-аас сонгосон үнэт зүйлстэй гэж найдаж байна ерөнхий шийдэлбүгд ойлгомжтой. Өөр нэг жишээ:

4. Тэгш бус байдлыг шийд:

7 < 3x+1 < 13

Хөөх! Энэ илэрхийлэл гэж нэрлэдэг гурвалсан тэгш бус байдал.Хатуухан хэлэхэд энэ нь тэгш бус байдлын системийн товчилсон хэлбэр юм. Гэхдээ ийм шийдвэр гаргах гурвалсан тэгш бус байдалЭнэ нь зарим даалгаварт тохиолддог хэвээр байна ... Үүнийг ямар ч системгүйгээр шийдэж болно. Ижил ижил өөрчлөлтүүдийн дагуу.

Бид хялбарчилж, энэ тэгш бус байдлыг цэвэр X-д хүргэх хэрэгтэй. Гэхдээ... Юуг хаашаа зөөх ёстой юм бэ?! Эндээс баруун, зүүн тийш шилжих нь чухал гэдгийг санах цаг болжээ богино хэлбэранхны таних өөрчлөлт.

А бүрэн хэлбэриймэрхүү сонсогдож байна: Тэгшитгэлийн хоёр талд (тэгш бус байдал) дурын тоо эсвэл илэрхийллийг нэмж/хасаж болно.

Энд гурван хэсэг байна. Тиймээс бид бүх гурван хэсэгт ижил өөрчлөлтүүдийг хийх болно!

Тэгэхээр тэгш бус байдлын дунд байгаа нэгийг хасъя. Бүхэл бүтэн дунд хэсгээс нэгийг хасъя. Тэгш бус байдал өөрчлөгдөхгүйн тулд үлдсэн хоёр хэсгээс нэгийг хасна. Үүн шиг:

7 -1< 3х+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Энэ нь дээр, тийм үү?) Гурван хэсгийг гурван хэсэгт хуваах л үлдлээ:

2 < X < 4

Тэгээд л болоо. Энэ бол хариулт юм. X нь хоёроос (үүнд ороогүй) дөрөв (оролцоогүй) хүртэлх дурын тоо байж болно. Энэ хариултыг мөн интервалаар бичдэг, ийм оруулгууд нь квадрат тэгш бус байдалд байх болно. Тэнд тэд хамгийн нийтлэг зүйл юм.

Хичээлийн төгсгөлд би хамгийн чухал зүйлийг давтах болно. Шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх амжилт нь шугаман тэгшитгэлийг хувиргах, хялбарчлах чадвараас хамаарна. Хэрэв нэгэн зэрэг тэгш бус байдлын тэмдгийг ажигла,ямар ч асуудал гарахгүй. Үүнийг л би чамд хүсч байна. Асуудал байхгүй.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.