Улирал

Геодезийн шугам, геодезийн муруйлт Гэр.

Хэзээ нэгэн цагт үргэлжилсэн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн ядаж нэг нь алга болдоггүй бол энэ цэгийн ойролцоо тэгшитгэлээр өгөгдсөн гадаргуу (1) байх болно. зөв гадаргууДээрхээс гадна тодорхойлох далд аргагадаргууг тодорхойлж болно

ойлгомжтой , хэрэв хувьсагчийн аль нэгийг, жишээ нь z, бусад хувьсагчаар илэрхийлж болно:Бас байдаг

параметрийн

томилох арга. Энэ тохиолдолд гадаргууг тэгшитгэлийн системээр тодорхойлно. Энгийн гадаргуугийн тухай ойлголт Илүү нарийн, энгийн гадаргуугомеоморф зураглалын дүрс гэж нэрлэдэг (өөрөөр хэлбэл, нэгээс нэг, нэгээс нэг тасралтгүй дэлгэц) гэдэс

нэгж квадрат . Энэ тодорхойлолтыг аналитик илэрхийлэл болгон өгч болно.-тэй хамт онгоцонд суу тэгш өнцөгт систем u ба v координатуудыг квадратаар өгсөн, координат< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

дотоод цэгүүд 0 тэгш бус байдлыг хангадагЖишээ Энгийн гадаргуугийн тухай ойлголтэнгийн гадаргуу

хагас бөмбөрцөг юм. Бүхэл бүтэн бөмбөрцөг тийм биш Энгийн гадаргуугийн тухай ойлголт. Энэ нь гадаргуугийн тухай ойлголтыг цаашид ерөнхийд нь авч үзэх шаардлагатай болдог. Гэр .

Цэг бүр нь хөрштэй байдаг орон зайн дэд хэсэг

, дуудсан

Дифференциал геометрийн гадаргуу

Хеликоид КатеноидМетрик нь гадаргуугийн хэлбэрийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдоггүй. Жишээлбэл, геликоид ба катеноидын хэмжигдэхүүн нь тохирох параметртэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн бүсүүдийн хооронд бүх уртыг (изометрийн) хадгалдаг захидал харилцаа байдаг. Изометрийн хувиргалтуудын үед хадгалагдах шинж чанаруудыг нэрлэдэг

дотоод геометр

гадаргуу. Дотоод геометр нь гадаргуугийн орон зай дахь байрлалаас хамаардаггүй бөгөөд хурцадмал байдал, шахалтгүйгээр нугалахад өөрчлөгддөггүй (жишээлбэл, цилиндрийг конус болгон нугалах үед).

Метрийн коэффициент нь зөвхөн бүх муруйн уртыг төдийгүй ерөнхийдөө гадаргуугийн доторх бүх хэмжилтийн үр дүнг (өнцөг, талбай, муруйлт гэх мэт) тодорхойлдог. Тиймээс зөвхөн хэмжүүрээс хамаарах бүх зүйл нь дотоод геометрийг хэлнэ.

Хэвийн ба хэвийн хэсэг Гадаргуугийн цэг дээрх хэвийн векторууд - Гадаргуугийн гол шинж чанаруудын нэг нь түүнийхэвийн нэгж вектор:

, үед шүргэгч хавтгайд перпендикуляр

Гадаргууг хэвийн (өгөгдсөн цэг дээр) агуулсан хавтгайгаар зүсэх нь гадаргуу дээр тодорхой муруй үүсгэдэг бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. ердийн хэсэггадаргуу. Хэвийн хэсгийн үндсэн норм нь гадаргуугийн хэвийн (тэмдэгт хүртэл) давхцдаг.

Хэрэв гадаргуу дээрх муруй нь хэвийн огтлол биш бол түүний үндсэн нормаль нь гадаргуугийн нормтой тодорхой өнцөг θ үүсгэдэг. Дараа нь муруйлт кмуруйлттай холбоотой муруй к nхэвийн хэсэг (ижил шүргэгчтэй) Меуньегийн томъёогоор:

Хэвийн нэгж векторын координатууд янз бүрийн арга замуудгадаргуугийн хуваарилалтыг хүснэгтэд үзүүлэв.

	Гадаргуугийн цэг дээрх хэвийн координатууд
далд даалгавар
тодорхой даалгавар
параметрийн тодорхойлолт

Муруйлт

Гадаргуу дээрх өгөгдсөн цэгийн өөр өөр чиглэлийн хувьд ердийн хэсгийн өөр муруйлтыг олж авдаг бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. хэвийн муруйлт; Хэрэв муруйн үндсэн нормаль нь гадаргуугийн нормтой ижил чиглэлд явбал нэмэх тэмдэг, хэрэв нормуудын чиглэлүүд эсрэг байвал хасах тэмдэг өгнө.

Ерөнхийдөө гадаргуугийн цэг бүрт хоёр байдаг перпендикуляр чиглэлүүд д 1 ба д 2, үүнд хэвийн муруйлт нь хамгийн бага ба хамгийн их утга; Эдгээр чиглэлүүдийг нэрлэдэг гол. Үл хамаарах зүйл бол бүх чиглэлд хэвийн муруйлт ижил (жишээлбэл, бөмбөрцгийн ойролцоо эсвэл эргэлтийн эллипсоидын төгсгөлд) байх тохиолдолд цэг дээрх бүх чиглэлүүд үндсэн байна.

Сөрөг (зүүн), тэг (төв) ба эерэг (баруун) муруйлттай гадаргуу.

Үндсэн чиглэлд хэвийн муруйлт гэж нэрлэдэг үндсэн муруйлтууд; κ 1 ба κ 2 гэж тэмдэглэе. Хэмжээ:

дуудсан Гауссын муруйлт, бүрэн муруйлтэсвэл зүгээр л муруйлтгадаргуу. Мөн нэр томъёо байдаг муруйлт скаляр, энэ нь муруйлтын тензорын эргэлтийн үр дүнг илэрхийлдэг; энэ тохиолдолд муруйлтын скаляр нь Гауссын муруйлтаас хоёр дахин их байна.

Гауссын муруйлтыг хэмжүүрээр тооцоолж болох тул гадаргуугийн дотоод геометрийн объект болдог (үндсэн муруйлт нь дотоод геометрт хамаарахгүй гэдгийг анхаарна уу). Та муруйлтын тэмдэг дээр үндэслэн гадаргуугийн цэгүүдийг ангилж болно (зураг харна уу). Онгоцны муруйлт тэг байна. R радиустай бөмбөрцгийн муруйлт хаа сайгүй тэнцүү байна. Мөн байнгын сөрөг муруйлттай гадаргуу байдаг - псевдосфер.

Геодезийн шугам, геодезийн муруйлт

Гадаргуу дээрх муруйг гэж нэрлэдэг геодезийн шугам, эсвэл зүгээр л геодезийн, хэрэв түүний бүх цэгүүдэд муруйн үндсэн нормаль нь гадаргуугийн нормтой давхцаж байвал. Жишээ нь: хавтгай дээр геодези нь шулуун ба шулуун шугамын сегментүүд, бөмбөрцөг дээр - том тойрог ба тэдгээрийн сегментүүд байх болно.

Эквивалент тодорхойлолт: геодезийн шугам нь үндсэн нормалынхаа оскулятор хавтгай дээрх проекцтой байна. тэг вектор. Хэрэв муруй нь геодезийн биш бол заасан проекц нь тэг биш байна; түүний урт гэж нэрлэдэг геодезийн муруйлт к gгадаргуу дээрх муруй. Харилцаа байдаг:

Хаана к- энэ муруйн муруйлт, к n- ижил шүргэгчтэй түүний хэвийн хэсгийн муруйлт.

Геодезийн шугамууд нь дотоод геометрийг хэлнэ. Тэдний үндсэн шинж чанарыг жагсаацгаая.

• дамжуулан энэ цэгөгөгдсөн чиглэлийн гадаргууд ганцхан геодезийн .
• Гадаргуугийн хангалттай бага талбайд хоёр цэгийг геодезийн тусламжтайгаар үргэлж холбож болно, үүнээс гадна зөвхөн нэг цэгээр. Тайлбар: Бөмбөрцөг дээр эсрэг туйлуудыг холбодог хязгааргүй тоомеридианууд, хоёр ойрын цэгийг зөвхөн сегментээр холбож болохгүй агуу тойрог, гэхдээ бас түүний нэмэлт бүтэн тойрог, ингэснээр өвөрмөц байдал нь зөвхөн жижиг зүйлд ажиглагддаг.
• Геодези бол хамгийн дөт зам юм. Илүү хатуу: гадаргуугийн жижиг хэсэг дээр хамгийн богино замӨгөгдсөн цэгүүдийн хооронд геодезийн дагуу оршдог.

Дөрвөлжин

Гадаргуугийн өөр нэг чухал шинж чанар бол түүний гадаргуу юм дөрвөлжин, үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Координатаар бид дараахь зүйлийг авна.

	тодорхой даалгавар	параметрийн тодорхойлолт
талбайн илэрхийлэл

Бид гадаргуутай болцгооё тэгшитгэлээр өгөгдсөнтөрлийн

Ингээд танилцуулъя дараах тодорхойлолт.

Тодорхойлолт 1. Шулуун шугамыг гадаргуутай ямар нэгэн цэгт шүргэгч гэж нэрлэдэг

гадаргуу дээр хэвтэх ба цэгийг дайран өнгөрөх аливаа муруйтай шүргэгч.

Учир нь P цэгээр дамжин өнгөрдөг хязгааргүй тооХэрэв гадаргуу дээр янз бүрийн муруй байвал ерөнхийдөө энэ цэгийг дайран өнгөрч буй гадаргуу руу чиглэсэн хязгааргүй олон тооны шүргэгч байх болно.

Гадаргуугийн ганц ба энгийн цэгүүдийн тухай ойлголтыг танилцуулъя

Хэрэв нэг цэг дээр бүх гурван дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл эдгээр деривативуудын ядаж нэг нь байхгүй бол М цэгийг гадаргуугийн ганц цэг гэж нэрлэдэг. Хэрэв нэг цэгт бүх гурван дериватив оршин тогтнож, тасралтгүй байх ба тэдгээрийн ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай бол М цэгийг гадаргуугийн энгийн цэг гэж нэрлэдэг.

Одоо бид дараах теоремыг томъёолж болно.

Теорем. Өгөгдсөн гадаргууд (1) энгийн P цэгт хүрэх бүх шүргэгч шулуунууд нэг хавтгайд байна.

Баталгаа. Гадаргуугийн өгөгдсөн P цэгийг дайран өнгөрөх гадаргуу дээрх тодорхой L шугамыг (Зураг 206) авч үзье. Харгалзан авч буй муруйг параметрийн тэгшитгэлээр өгье

Муруйн шүргэгч нь гадаргуутай шүргэгч байх болно. Энэ шүргэгчийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Хэрэв (2) илэрхийлэлийг (1) тэгшитгэлд орлуулбал муруй (2) нь гадаргуу (1) дээр байрладаг тул энэ тэгшитгэл нь t-ийн ижил төстэй байдал болж хувирна. Үүнийг бид олж авах замаар ялгах болно

Энэ векторын төсөөлөл нь - P цэгийн координатаас хамаарна; P цэг нь энгийн тул P цэг дээрх эдгээр төсөөлөл нэгэн зэрэг алга болдоггүй тул

P цэгийг дайран өнгөрч, гадаргуу дээр хэвтэж буй муруйн шүргэгч. Энэ векторын төсөөллийг тэгшитгэл (2) дээр үндэслэн P цэгт харгалзах t параметрийн утгаар тооцоолно.

Тооцоод үзье цэгийн бүтээгдэхүүнижил нэртэй проекцуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү N векторууд:

Тэгш байдал (3) дээр үндэслэн баруун талын илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү байна.

Сүүлчийн тэгшитгэлээс харахад LG вектор ба муруйн (2) шүргэгч вектор Р цэгт перпендикуляр байна. Дээрх үндэслэл нь P цэгийг дайран өнгөрч, гадаргуу дээр хэвтэж буй аливаа муруй (2)-д хүчинтэй байна. Үүний үр дүнд, P цэг дээрх гадаргуутай шүргэгч бүр нь ижил N векторт перпендикуляр байх тул эдгээр бүх шүргэгч нь LG вектортой перпендикуляр нэг хавтгайд байрладаг. Теорем нь батлагдсан.

Тодорхойлолт 2. Өгөгдсөн P цэгийг дайран өнгөрч буй гадаргуу дээрх бүх шүргэгч шулуунууд байрлах хавтгайг P цэг дээрх гадаргууд шүргэгч хавтгай гэнэ (Зураг 207).

Гадаргуугийн онцгой цэгүүдэд шүргэгч хавтгай байхгүй байж болохыг анхаарна уу. Ийм цэгүүдэд гадаргуутай шүргэгч шугамууд нэг хавтгайд хэвтэхгүй байж болно. Жишээлбэл, конус хэлбэрийн гадаргуугийн орой нь онцгой цэг юм.

Энэ үед конус гадаргуутай шүргэгч нь нэг хавтгайд оршдоггүй (тэд өөрсдөө үүсдэг конус гадаргуу).

Энгийн цэг дээрх гадаргууд (1) шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг бичье. Энэ хавтгай (4) векторт перпендикуляр тул тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Хэрэв гадаргуугийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгсөн эсвэл энэ тохиолдолд шүргэгч хавтгайн тэгшитгэл хэлбэрийг авна.

Сэтгэгдэл. Хэрэв бид (6) томъёонд оруулбал энэ томъёо нь хэлбэрийг авна

түүнийг баруун талтөлөөлдөг бүрэн дифференциалфункцууд Тиймээс, . Иймд х ба у бие даасан хувьсагчдын өсөлтөд харгалзах цэг дээрх хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциал нь энэ функцын график болох шүргэгч хавтгайн гадаргууд хүрэх хэрэглээний харгалзах өсөлттэй тэнцүү байна.

Тодорхойлолт 3. Гадаргуу дээрх (1) шүргэгч хавтгайд перпендикуляр цэгээр татсан шулуун шугамыг гадаргуугийн нормаль гэнэ (Зураг 207).

Тангенс хавтгай нь геометрт томоохон үүрэг гүйцэтгэдэг. Шүргэдэг онгоц барих нь практикийн хувьд байна чухал, учир нь тэдгээрийн оршихуй нь контактын цэг дээр гадаргуу руу чиглэсэн хэвийн чиглэлийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Энэ даалгавар нь өргөн хэрэглэгддэг инженерийн практик. Шүргэх онгоцыг мөн тойм зураг зурахад ашигладаг. геометрийн хэлбэрүүд, хаалттай гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Онолын хувьд гадаргуутай шүргэгч онгоцыг дифференциал геометрт контактын цэгийн бүсийн гадаргуугийн шинж чанарыг судлахад ашигладаг.

Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

Гадаргуутай шүргэгч хавтгайг таслагчийн хавтгайн хязгаарлах байрлал гэж үзэх хэрэгтэй (муруй руу шүргэгч шугамтай адилтгаж, үүнийг мөн таслагчийн хязгаарлах байрлал гэж тодорхойлдог).

Гадаргуугийн өгөгдсөн цэг дээрх гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь бүх шулуун шугамуудын багц юм - өгөгдсөн цэгээр гадаргуу руу татсан шүргэгч.

Дифференциал геометрийн хувьд энгийн цэг дээр зурсан гадаргуутай бүх шүргэгч нь хос хавтгай (нэг хавтгайд хамаарна) гэдгийг баталсан.

Гадаргуу дээр шүргэгч шулуун шугамыг хэрхэн зурахыг олж мэдье. Гадаргуу дээр заасан M цэг дэх β гадаргуутай шүргэгч t (Зураг 203) нь гадаргуугийн хоёр цэгт (MM 1, MM 2, ..., MM n) огтлолцох l j secant-ийн хязгаарлах байрлалыг илэрхийлнэ. огтлолцох цэгүүд давхцдаг (M ≡ M n , l n ≡ l M). Мэдээжийн хэрэг (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, учир нь g ⊂ β. Дээрхээс үзэхэд дараахь тодорхойлолтыг гаргана. гадаргуутай шүргэгч нь гадаргууд хамаарах аливаа муруйтай шүргэгч шулуун шугам юм.

Хавтгай нь огтлолцсон хоёр шулуун шугамаар тодорхойлогддог тул өгөгдсөн цэгийн гадаргууд шүргэгч хавтгайг тодорхойлохын тулд энэ цэгээр гадаргууд хамаарах дурын хоёр шугамыг (хэлбэрийн хувьд илүү тохиромжтой) зурж, шүргэгчийг байгуулахад хангалттай. тус бүр нь эдгээр шугамын огтлолцлын цэг дээр . Баригдсан шүргэгч нь шүргэгч хавтгайг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Өгөгдсөн M цэг дээр β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг зурах дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 204. Энэ зурагт мөн β гадаргуугийн хэвийн n-ийг харуулж байна.

Өгөгдсөн цэг дээрх гадаргуугийн хэвийн хэмжээ нь шүргэгч хавтгайд перпендикуляр ба шүргэх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

Гадаргуугийн хэвийн дундуур өнгөрөх хавтгайтай огтлолцох шугамыг гадаргуугийн хэвийн хэсэг гэнэ. Гадаргуугийн төрлөөс хамааран шүргэгч хавтгай нь гадаргуутай нэг эсвэл олон цэгтэй (шугам) байж болно. Шүргэх шугам нь нэгэн зэрэг гадаргуугийн хавтгайтай огтлолцох шугам байж болно.

Мөн гадаргуу дээр шүргэгч зурах боломжгүй цэгүүд байдаг; ийм цэгүүдийг ганц бие гэж нэрлэдэг. Жишээ болгон ганц бие цэгүүдХэрэв меридиан ба тэнхлэг нь зөв өнцгөөр огтлолцохгүй бол их биеийн гадаргуугийн буцах ирмэгт хамаарах цэгүүд эсвэл эргэлтийн гадаргуугийн голчид түүний тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг дурдаж болно.

Хүрэлцэх төрлүүд нь гадаргуугийн муруйлтаас хамаарна.

Гадаргуугийн муруйлт

Гадаргуугийн муруйлттай холбоотой асуудлуудыг судалж үзсэн Францын математикч F. Dupin (1784-1873) санал болгосон харааны аргагадаргуугийн хэвийн хэсгүүдийн муруйлтын өөрчлөлтийн зураг.

Үүнийг хийхийн тулд M цэг дээр авч үзэж буй гадаргуутай шүргэгч хавтгайд (Зураг 205, 206) сегментүүдийг энэ цэгийн хоёр талын хэвийн хэсгүүдийн шүргэгч дээр байрлуулна. үндэстэй тэнцүүэдгээр хэсгүүдийн харгалзах муруйлтын радиусын утгуудын квадрат. Цэгүүдийн багц - сегментүүдийн төгсгөлүүд гэж нэрлэгддэг муруйг тодорхойлдог Дупиний үзүүлэлт. Дупин индикатриц (Зураг 205) байгуулах алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно.

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

Энд R нь муруйлтын радиус юм.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) нь Дупины индикатрис юм.

Хэрэв гадаргуугийн Дупин индикатрикс нь эллипс байвал М цэгийг эллипс, гадаргууг эллипс цэгүүд гэж нэрлэдэг.(Зураг 206). Энэ тохиолдолд шүргэгч хавтгай нь гадаргуутай зөвхөн нэг холболттой байдаг нийтлэг цэг, мөн гадаргууд хамаарах ба авч үзэж буй цэг дээр огтлолцох бүх шулуунууд шүргэгч хавтгайн нэг талд байрлана. Зууван цэг бүхий гадаргуугийн жишээ нь: эргэлтийн параболоид, эргэлтийн эллипсоид, бөмбөрцөг (энэ тохиолдолд Дупины индикатрикс нь тойрог гэх мэт).

Их биений гадаргуу руу шүргэгч хавтгайг зурахдаа шулуун генатриксийн дагуу энэ гадаргууд хүрнэ. Энэ шулуун дээрх цэгүүдийг дуудна параболик, гадаргуу нь параболик цэгүүдтэй гадаргуу юм. Энэ тохиолдолд Дупины индикатор нь хоёр зэрэгцээ шугам юм (Зураг 207*).

Зураг дээр. 208 нь цэгүүдээс бүрдэх гадаргууг харуулж байна

* Хоёрдахь эрэмбийн муруй-парабол нь тодорхой нөхцөлд хоёр бодит зэрэгцээ шугам, хоёр зохиомол зэрэгцээ шугам, хоёр давхцаж буй шугам болж хуваагдаж болно. Зураг дээр. 207 бид хоёр жинхэнэ зэрэгцээ шугамтай харьцаж байна.

Аливаа шүргэгч хавтгай гадаргууг огтолно. Ийм гадаргууг гэж нэрлэдэг гипербол, мөн түүнд хамаарах цэгүүд байна гиперболын цэгүүд. Дупиний индикатрикс энэ тохиолдолд- гипербол.

Бүх цэгүүд нь гипербол байдаг гадаргуу нь эмээл хэлбэртэй байдаг (ташуу хавтгай, нэг хуудас гиперболоид, эргэлтийн хотгор гадаргуу гэх мэт).

Нэг гадаргуу нь цэгтэй байж болно янз бүрийн төрөлжишээлбэл, их биеийн гадаргуугийн ойролцоо (Зураг 209) M цэг нь зууван хэлбэртэй байна; N цэг нь параболик; K цэг нь гипербол юм.

Дифференциал геометрийн явцад муруйлтын утгууд K j = 1/ R j (үүнд R j нь авч үзэж буй хэсгийн муруйлтын радиус) хэвийн хэсгүүд нь хоёр хэсэгт байрладаг нь батлагдсан. харилцан перпендикуляр хавтгай.

Ийм муруйлт K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min-ийг үндсэн утга гэж нэрлэдэг бөгөөд H = (K 1 + K 2)/2 ба K = K 1 K 2 утгууд нь гадаргуугийн дундаж муруйлт ба нийт ( Гауссын) авч үзэж буй цэг дээрх гадаргуугийн муруйлт. Зуйван цэгийн хувьд K > 0, гипербол цэг K

Monge диаграмм дээр гадаргуутай шүргэгч хавтгайг зааж өгөх

Доор бид тодорхой жишээнүүдийг ашиглан эллипс (жишээ 1), параболик (жишээ 2) ба гипербол (жишээ 3) цэгүүдтэй гадаргуутай шүргэгч хавтгай барихыг харуулах болно.

ЖИШЭЭ 1. Зууван цэгүүдтэй β эргэлтийн гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул. Энэ асуудлыг шийдэх хоёр хувилбарыг авч үзье: a) цэг M ∈ β ба b) цэг M ∉ β

Сонголт a (Зураг 210).

Шүргэх хавтгай нь β гадаргуугийн параллель ба меридиан руу M цэг дээр татсан t 1 ба t 2 хоёр шүргэгчээр тодорхойлогддог.

β гадаргуугийн h параллель t 1 шүргэгчийн проекцууд нь t" 1 ⊥ (S"M") ба t" 1 || x тэнхлэг М цэгийг дайран өнгөрөх β гадаргуугийн d меридиан руу t" 2 шүргэгчийн хэвтээ проекц нь меридианы хэвтээ проекцтой давхцах болно. t" 2 шүргэгчийн урд талын проекцийг олохын тулд меридианаль хавтгай γ(γ) ∋ M) гадаргуугийн тэнхлэгийг тойрон эргэснээр β нь γ 1 байрлалд шилжинэ. хавтгайтай зэрэгцээπ 2. Энэ тохиолдолд M → M 1 цэг (M" 1, M" 1 t" 2 rarr; t" 2 1 шүргэгчийн проекцийг (M" 1 S") тодорхойлно. Хэрэв бид одоо γ 1 хавтгайг анхны байрлалдаа буцавал S" цэг байрандаа (эргэлтийн тэнхлэгт хамаарах) хэвээр байх ба M" 1 → M" ба шүргэгч t" 2-ийн урд талын проекц нь тодорхойлох (M" S")

M ∈ β цэг дээр огтлолцсон t 1 ба t 2 хоёр шүргэгч нь β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг тодорхойлно.

Сонголт b (Зураг 211)

Гадаргуунд хамаарахгүй цэгийг дайран өнгөрч буй гадаргуутай шүргэгч хавтгай байгуулахын тулд дараахь зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай: зууван цэгүүдээс бүрдсэн гадаргуугийн гаднах цэгээр дамжуулан гадаргуутай шүргэгч олон хавтгайг зурж болно. Эдгээр гадаргуугийн дугтуй нь зарим конус гадаргуу байх болно. Тиймээс хэрэв нэмэлт заавар байхгүй бол асуудал нь олон шийдэлтэй бөгөөд энэ тохиолдолд өгөгдсөн гадаргуутай β шүргэгч конус гадаргууг зурахад хүргэдэг.

Зураг дээр. 211-д β бөмбөрцөгт шүргэгч γ конус гадаргуугийн бүтцийг харуулав. Конус гадаргуутай γ шүргэгч аливаа хавтгай α нь β гадаргуутай шүргэнэ.

M" ба M" цэгүүдээс γ гадаргуугийн проекцийг бүтээхийн тулд бид h" ба f" тойрог руу шүргэгч зурдаг - бөмбөрцгийн проекцууд. 1 (1" ба 1"), 2 (2" ба 2"), 3 (3" ба 3") ба 4 (4" ба 4") мэдрэгчтэй цэгүүдийг тэмдэглэ. Тойргийн хэвтээ проекц - конус гадаргуу ба бөмбөрцгийн шүргэлтийн шугамыг [1"2"]-д тусгана. Энэ тойргийг тусгаж буй эллипсийн цэгүүдийг олохын тулд. урд талын хавтгайпроекцын хувьд бид бөмбөрцгийн параллелуудыг ашиглана.

Зураг дээр. 211-ийг ийм байдлаар тодорхойлсон урд талын төсөөлөл E ба F цэгүүд (E" ба F"). γ конус гадаргуутай тул бид α шүргэгч хавтгайг байгуулна. Графикийн мөн чанар, дараалал

Үүний тулд хийх шаардлагатай барилга байгууламжийг дараах жишээнд үзүүлэв.

ЖИШЭЭ 2 Параболик цэгүүдтэй β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул.

Жишээ 1-ийн нэгэн адил бид хоёр шийдлийг авч үзье: a) N ∈ β цэг; b) N ∉ β цэг

Сонголт a (Зураг 212).

Конус гадаргуу нь параболын цэгүүдтэй гадаргууг хэлнэ (207-р зургийг үз.) Конус гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь шулуун шугамын дагуу хүрдэг.

1) өгөгдсөн N цэгээр SN (S"N" ба S"N" генераторыг зурна;

2) generatrix (SN) -ийн огтлолцох цэгийг d хөтөчтэй тэмдэглэнэ: (SN) ∩ d = A;

3) мөн А цэг дээрх t-д шүргэгч рүү үлээнэ.

generatrix (SA) ба түүнийг огтолж буй шүргэгч t нь өгөгдсөн N* цэг дээрх конус гадаргууд β шүргэгч α хавтгайг тодорхойлно.

Конус гадаргуутай β шүргэгч, N цэгийг дайран өнгөрч буй α хавтгайг зурахад хамаарахгүй.

* β гадаргуу нь параболын цэгүүдээс (S оройноос бусад) бүрддэг тул түүнтэй шүргэгч α хавтгай нь нэг N цэг биш харин шулуун шугам (SN) байх болно.

хурааж байна өгөгдсөн гадаргуу, шаардлагатай:

1) өгөгдсөн N цэг ба β конус гадаргуугийн S оройгоор a (a" ба a") шулуун шугамыг татна;

2) энэ шулуун шугамын хэвтээ ул мөрийг тодорхойлох H a;

3) H a-аар h 0β муруйн t" 1 ба t" 2 шүргэгчийг зурна - хэвтээ ул мөрконус гадаргуу;

4) A (A" ба A") ба B (B" ба B") шүргэгч цэгүүдийг S (S" ба S") конус гадаргуугийн оройд холбоно.

t 1, (AS) ба t 2, (BS) огтлолцох шугамууд нь хүссэн шүргэгч α 1 ба α 2 хавтгайг тодорхойлно.

ЖИШЭЭ 3. Гипербол цэгүүдтэй β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул.

K цэг (Зураг 214) нь бөмбөрцгийн гадаргуу дээр байрладаг ( дотоод гадаргууцагираг).

α шүргэгч хавтгайн байрлалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) K цэгээр дамжуулан β h(h", h") гадаргуутай параллель зурах;

2) K" цэгээр t" 1 (t" 1 ≡ h") шүргэгчийг зурна;

3) меридиал огтлолын шүргэгчийн проекцуудын чиглэлийг тодорхойлохын тулд K цэг ба гадаргуугийн тэнхлэгээр γ хавтгайг зурах шаардлагатай бөгөөд хэвтээ проекц t" 2 нь h 0γ-тай давхцах болно; барих. шүргэгчийн урд талын проекц t" 2, бид эхлээд γ хавтгайг эргэлтийн гадаргуугийн тэнхлэгийг тойрон эргүүлж γ 1 || π 2. Энэ тохиолдолд γ хавтгайгаар меридианаль хэсэг нь урд талын проекцын зүүн тойм нумантай тохирно - хагас тойрог g".

Меридиал огтлолын муруйд хамаарах K (K, K") цэг нь K 1 (K" 1, K" 1) байрлал руу шилжинэ. K" 1-ээр дамжуулан бид γ 1 || хавтгайтай хослуулсан t" 2 1 шүргэгчийн урд талын проекцийг зурна. π 2 байрлал ба түүний огтлолцлын цэгийг эргэлтийн тэнхлэгийн урд талын проекцоор тэмдэглэнэ S" 1. Бид γ 1 хавтгайг анхны байрлал руу нь буцаана, K" 1 → K" (цэг S" 1 ≡ S") t" 2" шүргэгчийн урд талын проекцийг K" ба S" цэгүүдээр тодорхойлно.

t 1 ба t 2 шүргэгч нь l муруйн дагуу β гадаргууг огтолж буй хүссэн шүргэгч хавтгай α-г тодорхойлно.

ЖИШЭЭ 4. К цэг дээр β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул. K цэг нь эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуу дээр байрладаг (Зураг 215).

Өмнөх жишээнд ашигласан алгоритмын дагуу энэ асуудлыг шийдэж болох боловч эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуу нь захирагдсан гадаргуу, хоёр гэр бүлтэй шулуун шугаман генераторууд, мөн нэг гэр бүлийн генератор бүр өөр гэр бүлийн бүх генераторыг огтолж байна (§ 32, 138-р зургийг үз). Энэ гадаргуугийн цэг бүрээр огтлолцсон хоёр шулуун шугамыг зурж болно - генераторууд нь эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуутай нэгэн зэрэг шүргэнэ.

Эдгээр шүргэгч нь шүргэгч хавтгайг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь g 1 ба g 2 гэсэн хоёр шулуун шугамын дагуу энэ гадаргууг огтолдог. Эдгээр шугамын проекцийг бүтээхийн тулд K цэгийн хэвтээ проекц ба t" 1 ба t" 2 шүргэгчийг хэвтээ чиглэлд шилжүүлэхэд хангалттай.

Тойргийн tal проекц d" 2 - эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуугийн хоолой; t" 1 ба t" 2 нэг ба чиглүүлэх гадаргуу d 1 огтлолцох 1" ба 2 цэгүүдийг тодорхойлно. 1" ба 2"-ээс бид 1" ба 2"-ийг олдог бөгөөд энэ нь K"-тэй хамт шаардлагатай шугамуудын урд талын проекцийг тодорхойлдог.

Гадаргуу нь координатууд нь хангагдсан цэгүүдийн багц гэж тодорхойлогддог тодорхой төрөлтэгшитгэл:

Хэрэв функц бол F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))аль нэг цэгт тасралтгүй байх ба түүн дээр ядаж нэг нь алга болдоггүй тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативуудтай бол энэ цэгийн ойролцоо тэгшитгэлээр өгөгдсөн гадаргуу (1) байх болно. Гэр.

Хэзээ нэгэн цагт үргэлжилсэн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн ядаж нэг нь алга болдоггүй бол энэ цэгийн ойролцоо тэгшитгэлээр өгөгдсөн гадаргуу (1) байх болно. зөв гадаргуу, гадаргууг тодорхойлж болно тодорхойлох далд арга, хэрэв хувьсагчийн аль нэгийг, жишээлбэл, z-г бусад хувьсагчаар илэрхийлж болно:

Илүү хатуу Энгийн гадаргуугийн тухай ойлголт Энэ нь нэгж квадратын дотоод хэсгийн гомеоморф зураглал (өөрөөр хэлбэл нэг нэгээр, харилцан тасралтгүй зураглал) дүрс юм. Энэ тодорхойлолтыг аналитик илэрхийлэл болгон өгч болно.

Дотор цэгүүдийн координат нь 0 тэгш бус байдлыг хангадаг тэгш өнцөгт u ба v координатын системтэй хавтгайд квадрат өгье.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

дотоод цэгүүд 0 тэгш бус байдлыг хангадагЖишээ Энгийн гадаргуугийн тухай ойлголтэнгийн гадаргуу

хагас бөмбөрцөг юм. Бүхэл бүтэн бөмбөрцөг тийм биш Энгийн гадаргуугийн тухай ойлголт. Энэ нь гадаргуугийн тухай ойлголтыг цаашид ерөнхийд нь авч үзэх шаардлагатай болдог. Гэр .

Цэг бүр нь хөрштэй байдаг орон зайн дэд хэсэг

, дуудсан

Дифференциал геометрийн гадаргуу

Метрик нь гадаргуугийн хэлбэрийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдоггүй. Жишээлбэл, геликоид ба катеноидын хэмжүүрүүд нь тохирох параметрүүд нь давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн бүсүүдийн хооронд бүх уртыг (изометри) хадгалдаг захидал харилцаа байдаг. Изометрийн хувиргалтуудын үед хадгалагдах шинж чанаруудыг нэрлэдэг Катеноидгадаргуу. Дотоод геометр нь гадаргуугийн орон зай дахь байрлалаас хамаардаггүй бөгөөд хурцадмал байдал, шахалтгүйгээр нугалахад өөрчлөгддөггүй (жишээлбэл, цилиндрийг конус болгон нугалах үед).

Метрийн коэффициентүүд E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G)зөвхөн бүх муруйн уртыг төдийгүй ерөнхийдөө гадаргуугийн доторх бүх хэмжилтийн үр дүнг (өнцөг, талбай, муруйлт гэх мэт) тодорхойлно. Тиймээс зөвхөн хэмжүүрээс хамаарах бүх зүйл нь дотоод геометрийг хэлнэ.

гадаргуу. Дотоод геометр нь гадаргуугийн орон зай дахь байрлалаас хамаардаггүй бөгөөд хурцадмал байдал, шахалтгүйгээр нугалахад өөрчлөгддөггүй (жишээлбэл, цилиндрийг конус болгон нугалах үед).

Метрийн коэффициент нь зөвхөн бүх муруйн уртыг төдийгүй ерөнхийдөө гадаргуугийн доторх бүх хэмжилтийн үр дүнг (өнцөг, талбай, муруйлт гэх мэт) тодорхойлдог. Тиймээс зөвхөн хэмжүүрээс хамаарах бүх зүйл нь дотоод геометрийг хэлнэ.

Хэвийн ба хэвийн хэсэг Гадаргуугийн цэг дээрх хэвийн векторууд- тухайн цэг дээрх шүргэгч хавтгайд перпендикуляр нэгж вектор:

, үед шүргэгч хавтгайд перпендикуляр

[ r u ′ , r v ′ ] | ердийн хэсэггадаргуу. Хэвийн хэсгийн үндсэн норм нь гадаргуугийн хэвийн (тэмдэгт хүртэл) давхцдаг.

(\ displaystyle \ mathbf (m) =(\ frac ([\ mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u))) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))) Өгөгдсөн цэг дээрх хэвийн гадаргууг агуулсан хавтгайгаар гадаргуугийн зүсэлт нь тодорхой муруйг үүсгэдэгХэрэв гадаргуу дээрх муруй нь хэвийн хэсэг биш бол түүний үндсэн хэвийн хэмжээ нь гадаргуугийн хэвийн хэмжээтэй тодорхой өнцөг үүсгэдэг. θ (\displaystyle \theta). Дараа нь муруйлт k (\displaystyle k)муруйлттай холбоотой муруй

хэвийн хэсэг (ижил шүргэгчтэй) Меуньегийн томъёогоор:

Энд D (y , z) D (u , v) = |.

y u 'y v 'z u 'z v ' | , D (z , x) D (u , v) = |.

Муруйлт

Гадаргуу дээрх өгөгдсөн цэгийн өөр өөр чиглэлийн хувьд ердийн хэсгийн өөр муруйлтыг олж авдаг бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. хэвийн муруйлт; Хэрэв муруйн үндсэн нормаль нь гадаргуугийн нормтой ижил чиглэлд явбал нэмэх тэмдэг, хэрэв нормуудын чиглэлүүд эсрэг байвал хасах тэмдэг өгнө.

z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\ displaystyle (\ frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\эхлэх(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ start(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix)))Бүх деривативуудыг цэг дээр авдаг гол. Үл хамаарах зүйл бол бүх чиглэлд хэвийн муруйлт ижил (жишээлбэл, бөмбөрцгийн ойролцоо эсвэл эргэлтийн эллипсоидын төгсгөлд) байх тохиолдолд цэг дээрх бүх чиглэлүүд үндсэн байна.

Сөрөг (зүүн), тэг (төв) ба эерэг (баруун) муруйлттай гадаргуу.

Үндсэн чиглэлд хэвийн муруйлт гэж нэрлэдэг үндсэн муруйлтууд(x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))) Ерөнхийдөө гадаргуугийн цэг бүрт хоёр перпендикуляр чиглэл байдаг x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | e 1 (\displaystyle e_(1))Тэгээд

, хэвийн муруйлт нь хамгийн бага ба хамгийн их утгыг авдаг; Эдгээр чиглэлүүдийг нэрлэдэг муруйлт скаляр, энэ нь муруйлтын тензорын эргэлтийн үр дүнг илэрхийлдэг; энэ тохиолдолд муруйлтын скаляр нь Гауссын муруйлтаас хоёр дахин их байна.

; тэднийг томилъё κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))κ 2 (\displaystyle \kappa _(2))

. Хэмжээ: K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2)) x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | Гауссын муруйлт, нийт муруйлт, эсвэл зүгээр л гадаргуугийн муруйлт гэж нэрлэдэг. Мөн нэр томъёо байдагнэг хувьсагчийн функцийн графикт оруулах тул хүндрэл гарах ёсгүй.

Шүргэдэг хавтгай гэж юу вэ, хэвийн гэж юу вэ? гэсэн үндсэн асуултуудаас эхэлцгээе. Олон хүмүүс эдгээр ойлголтуудыг зөн совингийн түвшинд ойлгодог. Хамгийн их энгийн загварОюун санаанд орж ирдэг зүйл бол нимгэн хавтгай картон цаасан дээр байрладаг бөмбөг юм. Картон нь бөмбөрцөгт аль болох ойрхон байрладаг бөгөөд нэг цэг дээр хүрдэг. Нэмж дурдахад, холбоо барих цэг дээр шулуун зүүгээр бэхлэгдсэн байна.

Онолын хувьд шүргэгч хавтгайн тухай нэлээд ухаалаг тодорхойлолт байдаг. Үнэгүй гэж төсөөлөөд үз дээ гадаргууболон түүнд хамаарах цэг. Энэ цэгээр маш их зүйл дамждаг нь ойлгомжтой орон зайн шугамууд, энэ гадаргууд хамаарах . Хэн ямар холбоодтой вэ? =) ...би хувьдаа наймалжаар төсөөлж байсан. Ийм мөр бүрийг байна гэж үзье орон зайн шүргэгчцэг дээр.

Тодорхойлолт 1: шүргэгч хавтгайнэг цэг дээр гадаргуу руу - энэ бол онгоц, өгөгдсөн гадаргууд хамаарах бүх муруйн шүргэгчийг агуулсан ба цэгээр дамжин өнгөрдөг.

Тодорхойлолт 2: Гадаргуугийн цэг дээрх хэвийн векторууднэг цэг дээр гадаргуу руу - энэ бол шулуун, шүргэгч хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх.

Энгийн бөгөөд дэгжин. Дашрамд хэлэхэд, та материалын энгийн байдлаас болж уйдаж үхэхгүйн тулд хэсэг хугацааны дараа би та бүхэнд янз бүрийн тодорхойлолтыг нэн даруй мартах боломжийг олгодог нэг гоёмсог нууцыг хуваалцах болно.

Бид ажлын томъёо, шийдлийн алгоритмтай шууд танилцах болно тодорхой жишээ. Ихэнх асуудлын хувьд шүргэгч хавтгай тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг хоёуланг нь байгуулах шаардлагатай.

Жишээ 1

Шийдэл:хэрэв гадаргууг тэгшитгэлээр өгсөн бол (өөрөөр хэлбэл далд хэлбэрээр), тэгвэл тухайн цэг дээрх өгөгдсөн гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг олж болно дараах томъёо:

Онцгой анхааралБи ер бусын хэсэгчилсэн деривативуудад анхаарлаа хандуулж байна - тэдний андуурч болохгүй-тай далд заасан функцийн хэсэгчилсэн дериватив (гадаргууг далд хэлбэрээр зааж өгсөн ч). Эдгээр деривативуудыг олохдоо хүн удирдан чиглүүлэх ёстой гурван хувьсагчийн функцийг ялгах дүрэм, өөрөөр хэлбэл аливаа хувьсагчийг ялгахдаа бусад хоёр үсгийг тогтмол гэж үзнэ.

Бэлэн мөнгөний бүртгэлээс гарахгүйгээр бид хэсэгчилсэн деривативыг дараах цэгээс олно.

Үүний нэгэн адил:

Энэ бол шийдвэрийн хамгийн тааламжгүй мөч байсан бөгөөд хэрэв зөвшөөрөөгүй бол алдаа байнга гарч ирдэг. Гэсэн хэдий ч байдаг үр дүнтэй техникминий анги дээр ярьсан эсэхийг шалгаарай Чиглэлийн дериватив ба градиент.

Бүх "найрлага" олдсон бөгөөд одоо илүү хялбарчлах замаар болгоомжтой орлуулах асуудал байна.

– ерөнхий тэгшитгэлхүссэн шүргэгч хавтгай.

Би шийдлийн энэ үе шатыг шалгахыг зөвлөж байна. Эхлээд та шүргэгч цэгийн координатууд олсон тэгшитгэлийг үнэхээр хангаж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

- жинхэнэ тэгш байдал.

Одоо бид коэффициентүүдийг "арилгаж байна" ерөнхий тэгшитгэлонгоцууд болон тэдгээрийн холбогдох утгуудтай давхцаж байгаа эсэхийг шалгана. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь пропорциональ байна. Таны санаж байгаагаар аналитик геометрийн курс, - Энэ хэвийн векторшүргэгч онгоц, мөн тэр мөн чиглүүлэгч векторхэвийн шулуун шугам. Зохиоцгооё каноник тэгшитгэлцэг ба чиглэлийн вектороор нормууд:

Зарчмын хувьд хуваагчийг хоёроор багасгаж болох боловч үүнд онцгой шаардлага байхгүй

Хариулах:

Тэгшитгэлийг зарим үсгээр тэмдэглэхийг хориглодоггүй, гэхдээ яагаад? Энд юу болох нь маш тодорхой болсон.

Дараах хоёр жишээ нь бие даасан шийдвэр. Бяцхан "математик хэл эргүүлэх":

Жишээ 2

Шүргэх хавтгай ба цэг дээрх гадаргуугийн нормаль тэгшитгэлийг ол.

Мөн техникийн үүднээс авч үзвэл сонирхолтой ажил:

Жишээ 3

Нэг цэг дээрх гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич

Яг цэг дээр.

Зөвхөн андуураад зогсохгүй бичлэг хийх явцад бэрхшээлтэй тулгарах бүх боломж бий шугамын каноник тэгшитгэл. Таны ойлгож байгаагаар ердийн тэгшитгэлийг ихэвчлэн ийм хэлбэрээр бичдэг. Хэдийгээр зарим нэг нюансыг мартсан эсвэл үл тоомсорлосны улмаас параметрийн хэлбэр нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй.

Дээж дээжХичээлийн төгсгөлд шийдлүүдийг эцэслэх.

Гадаргуугийн аль ч цэг дээр шүргэгч хавтгай байна уу? IN ерөнхий тохиолдолМэдээж үгүй. Сонгодог жишээ- Энэ конус гадаргуу ба цэг - энэ цэг дэх шүргэгч нь конус хэлбэрийн гадаргууг шууд үүсгэдэг бөгөөд мэдээжийн хэрэг, нэг хавтгайд хэвтэхгүй. Ямар нэг зүйл буруу байгааг аналитик байдлаар шалгахад хялбар байдаг: .

Асуудлын өөр нэг эх сурвалж бол баримт юм байхгүй байдалцэг дээрх аливаа хэсэгчилсэн дериватив. Гэсэн хэдий ч энэ нь тухайн цэг дээр нэг шүргэгч хавтгай байхгүй гэсэн үг биш юм.

Гэхдээ энэ нь практик гэхээсээ илүү алдартай шинжлэх ухаан байсан чухал мэдээлэл, мөн бид тулгамдсан асуудлууд руу буцна:

Нэг цэгийн шүргэгч хавтгай ба хэвийн тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ
хэрэв гадаргууг тодорхой функцээр тодорхойлсон бол?

Үүнийг далд хэлбэрээр дахин бичье:

Мөн ижил зарчмуудыг ашиглан бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог:

Ийнхүү шүргэгч хавтгайн томьёо болж хувирна дараах тэгшитгэл:

Үүний дагуу, каноник тэгшитгэлхэвийн:

Таны таамаглаж байгаачлан - эдгээр нь аль хэдийн "бодит" хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудБидний "z" үсгээр тэмдэглэдэг байсан цэг дээр 100500 удаа олдсон.

Энэ нийтлэлд шаардлагатай бол бусад бүх зүйлийг гаргаж авахад хялбар анхны томъёог санахад хангалттай гэдгийг анхаарна уу. (Мэдээжийн хэрэг, байгаа үндсэн түвшинбэлтгэл). Энэ бол суралцахдаа ашиглах ёстой арга юм нарийн шинжлэх ухаан, өөрөөр хэлбэл Хамгийн бага мэдээллээс бид хамгийн их дүгнэлт, үр дагаврыг "зурахыг" хичээх ёстой. "Анхаарал" болон одоо байгаа мэдлэг туслах болно! Энэ зарчим нь бас ашигтай, учир нь өндөр магадлалтайхадгална эгзэгтэй нөхцөл байдалчи маш бага мэддэг байхдаа.

"Өөрчлөгдсөн" томъёог хэд хэдэн жишээгээр боловсруулцгаая:

Жишээ 4

Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич цэг дээр.

Энд тэмдэглэгээтэй бага зэрэг давхардсан байна - одоо энэ үсэг нь онгоцны цэгийг илэрхийлж байна, гэхдээ та юу хийж чадах вэ - ийм алдартай үсэг ...

Шийдэл: томьёог ашиглан хүссэн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя.

Тухайн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Тооцоод үзье 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативэнэ үед:

Тиймээс:

болгоомжтой, яарах хэрэггүй:

Нормативын каноник тэгшитгэлийг цэг дээр бичье.

Хариулах:

БА эцсийн жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 5

Цэг дэх гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич.

Эцсийн - учир нь би бараг бүх техникийн цэгүүдийг тайлбарласан бөгөөд нэмж хэлэх онцгой зүйл байхгүй. Энэ даалгаварт санал болгож буй функцууд нь хүртэл уйтгартай, нэг хэвийн байдаг - практик дээр та "олон гишүүнтэй" тулгарах нь бараг баталгаатай бөгөөд энэ утгаараа экспоненттай 2-р жишээ нь "хар хонь" шиг харагдаж байна. Дашрамд хэлэхэд, тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуутай тулгарах магадлал илүү өндөр бөгөөд энэ нь функцийг нийтлэлд хоёрдугаарт оруулсан бас нэг шалтгаан юм.

Эцэст нь, амласан нууц: тиймээс яаж тодорхойлолтуудыг чихэхээс зайлсхийх вэ? (Мэдээжийн хэрэг, би оюутан шалгалтын өмнө ямар нэгэн зүйлийг халуу оргиж байгаа нөхцөл байдлыг хэлээгүй)

Аливаа ойлголт/үзэгдэл/объектийн тодорхойлолт нь юуны түрүүнд хариултыг өгдөг дараагийн асуулт: ЭНЭ ЮУ ВЭ? (хэн/тийм/ийм/нь). Ухамсартайгаархариулж байна энэ асуулт, та эргэцүүлэн бодохыг хичээх хэрэгтэй ач холбогдолтойтэмдэг, гарцаагүйтодорхой ойлголт/үзэгдэл/объектыг тодорхойлох. Тийм ээ, эхэндээ энэ нь зарим талаараа хэл амтай, алдаатай, илүүц зүйл болж хувирдаг (багш таныг засах болно =)), гэхдээ цаг хугацаа өнгөрөхөд нэлээд зохистой шинжлэх ухааны яриа бий болдог.

Хамгийн хийсвэр объектууд дээр дадлага хий, жишээлбэл, Чебурашка гэж хэн бэ? Энэ тийм ч энгийн биш ;-) Энэ бол " үлгэрийн дүртом чихтэй, нүдтэй, бор үстэй"? Тодорхойлолтоос хол бөгөөд маш хол - ийм шинж чанартай дүрүүд байдаг гэдгийг та хэзээ ч мэдэхгүй ... Гэхдээ энэ нь тодорхойлолтод илүү ойрхон байна: "Чебурашка бол зохиолч Эдуард Успенскийн 1966 онд зохион бүтээсэн дүр бөгөөд ... (гол дүрүүдийн жагсаалт) өвөрмөц онцлог)» . Энэ нь хэр сайн эхэлснийг анзаараарай