Бодлого В9 нь функц эсвэл деривативын графикийг өгсөн бөгөөд үүнээс та дараах хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгийг тодорхойлох шаардлагатай.

1. Хэсэг цэг дэх деривативын утга x 0,
2. Хамгийн их буюу хамгийн бага оноо (экстремум оноо),
3. Өсөх, буурах функцүүдийн интервалууд (монотоник байдлын интервалууд).

Энэ асуудалд танилцуулсан функцууд болон деривативууд нь үргэлж тасралтгүй байдаг тул шийдлийг илүү хялбар болгодог. Даалгавар нь тус хэсэгт хамаарах хэдий ч математик шинжилгээ, энэ нь гүн гүнзгий байдаггүй тул хамгийн сул оюутнуудын ч чадавхид багтдаг онолын мэдлэгэнд шаардлагагүй.

Дериватив, экстремум цэгүүд болон монотон байдлын интервалуудын утгыг олохын тулд энгийн бөгөөд бүх нийтийн алгоритмууд байдаг - бүгдийг нь доор авч үзэх болно.

Тэнэг алдаа гаргахгүйн тулд В9 асуудлын нөхцөлийг анхааралтай уншина уу: заримдаа та нэлээд урт тексттэй тааралддаг, гэхдээ чухал нөхцөл, шийдвэрийн явцад нөлөөлдөг, цөөхөн байдаг.

Дериватив утгын тооцоо. Хоёр цэгийн арга

Хэрэв асуудалд x 0 цэгт энэ графиктай шүргэгч f(x) функцийн график өгөгдсөн бөгөөд энэ цэг дэх деривативын утгыг олох шаардлагатай бол дараах алгоритмыг хэрэглэнэ.

1. Шүргэгчийн график дээрх хоёр "хангалттай" цэгийг ол: тэдгээрийн координат нь бүхэл тоо байх ёстой. Эдгээр цэгүүдийг A (x 1 ; y 1) ба B (x 2 ; y 2) гэж тэмдэглэе. Координатыг зөв бичээрэй - энэ бол гол цэгшийдэл, энд байгаа аливаа алдаа нь буруу хариултад хүргэдэг.
2. Координатыг мэдсэнээр Δx = x 2 − x 1 аргументийн өсөлт ба Δy = y 2 − y 1 функцийн өсөлтийг тооцоолоход хялбар байдаг.
3. Эцэст нь D = Δy/Δx деривативын утгыг олно. Өөрөөр хэлбэл, та функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлтөөр хуваах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хариулт болно.

Дахин нэг удаа тэмдэглэе: А ба В цэгүүдийг ихэвчлэн тохиолддог шиг f(x) функцийн графикаас биш харин шүргэгч дээр хайх ёстой. Шүргэдэг шугам нь дор хаяж хоёр ийм цэгийг агуулсан байх ёстой - эс тэгвээс асуудлыг зөв томъёолохгүй.

A (−3; 2) ба B (−1; 6) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Деривативын утгыг олъё: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Даалгавар. Зураг дээр y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.

A (0; 3) ба B (3; 0) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Одоо бид деривативын утгыг олно: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Даалгавар. Зураг дээр y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.

A (0; 2) ба B (5; 2) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Деривативын утгыг олоход л үлддэг: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

-аас сүүлчийн жишээБид дүрмийг томъёолж болно: хэрвээ шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель байвал шүргэлтийн цэг дээрх функцийн дериватив нь тэг болно. Энэ тохиолдолд та юу ч тоолох шаардлагагүй - зүгээр л графикийг хараарай.

Хамгийн их ба хамгийн бага онооны тооцоо

Заримдаа функцийн графикийн оронд В9 бодлого нь деривативын графикийг гаргаж, функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэгийг олох шаардлагатай болдог. Энэ нөхцөлд хоёр цэгийн арга нь ашиггүй боловч өөр, бүр энгийн алгоритм байдаг. Эхлээд нэр томъёог тодорхойлъё:

1. Хэрэв энэ цэгийн зарим хөршид дараах тэгш бус байдал биелдэг бол x 0 цэгийг f(x) функцийн хамгийн их цэг гэнэ: f(x 0) ≥ f(x).
2. Хэрэв энэ цэгийн зарим хэсэгт дараах тэгш бус байдал биелдэг бол x 0 цэгийг f(x) функцийн хамгийн бага цэг гэнэ: f(x 0) ≤ f(x).

Дериватив график дээрх хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг олохын тулд дараах алхмуудыг дагахад л хангалттай.

1. Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгаж, дериватив графикийг дахин зур. Практикаас харахад шаардлагагүй өгөгдөл нь зөвхөн шийдвэр гаргахад саад болдог. Тиймээс бид тэмдэглэж байна координатын тэнхлэгдеривативын тэг - энэ л байна.
2. Тэг хоорондын интервал дээрх деривативын тэмдгүүдийг ол. Хэрэв ямар нэг x 0 цэгийн хувьд f'(x 0) ≠ 0 гэдгийг мэдэж байвал f'(x 0) ≥ 0 эсвэл f'(x 0) ≤ 0 гэсэн хоёр сонголт л боломжтой. Деривативын тэмдэг нь Анхны зургаас тодорхойлоход хялбар: хэрэв дериватив график нь OX тэнхлэгээс дээш байвал f'(x) ≥ 0. Мөн эсрэгээр, хэрэв дериватив график OX тэнхлэгийн доор орвол f'(x) ≤ 0 байна.
3. Дахин бид деривативын тэг ба тэмдгүүдийг шалгана. Тэмдгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчлөх нь хамгийн бага цэг юм. Эсрэгээр, хэрэв деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг юм. Тооллогыг үргэлж зүүнээс баруун тийш хийдэг.

Энэ схем нь зөвхөн тасралтгүй функцүүдэд ажилладаг - В9 асуудалд өөр зүйл байхгүй.

Даалгавар. Зураг дээр [−5; 5]. Энэ хэрчим дээрх f(x) функцийн хамгийн бага цэгийг ол.

Салъя шаардлагагүй мэдээлэл- зөвхөн хил хязгаарыг орхиё [−5; 5] ба x = −3 ба x = 2 деривативын тэгүүд. Бид мөн тэмдгүүдийг тэмдэглэж байна:

Мэдээжийн хэрэг, x = −3 цэг дээр деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгдөнө. Энэ бол хамгийн бага цэг юм.

Даалгавар. Зураг дээр [−3; 7]. Энэ хэрчим дээрх f(x) функцийн хамгийн их цэгийг ол.

Зөвхөн хил хязгаарыг үлдээж графикийг дахин зурцгаая [−3; 7] ба x = −1.7 деривативын тэг ба x = 5. Үүссэн график дээрх деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглэе. Бидэнд:

Мэдээжийн хэрэг, x = 5 цэг дээр деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг - энэ бол хамгийн дээд цэг юм.

Даалгавар. Зураг дээр [−6; 4]. [−4] хэрчимд хамаарах f(x) функцийн хамгийн их цэгийн тоог ол; 3].

Асуудлын нөхцлөөс харахад графикийн зөвхөн сегментээр хязгаарлагдсан хэсгийг авч үзэх нь хангалттай юм [−4; 3]. Тийм учраас бид барьж байна шинэ хуваарь, үүн дээр бид зөвхөн хил хязгаарыг тэмдэглэдэг [−4; 3] ба түүний доторх деривативын тэг. Тухайлбал, x = −3.5 ба x = 2 цэгүүд. Бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ график дээр зөвхөн нэг хамгийн их цэг байна x = 2. Яг энэ үед деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг.

Бүхэл бус координаттай цэгүүдийн тухай жижиг тэмдэглэл. Жишээлбэл, in сүүлчийн даалгавар x = −3.5 цэгийг авч үзсэн боловч ижил амжилттайгаар бид x = −3.4-ийг авч болно. Хэрэв асуудлыг зөв бичсэн бол "тогтмол оршин суух газаргүй" гэсэн оноог хүлээн авахгүй тул ийм өөрчлөлт нь хариултанд нөлөөлөх ёсгүй. шууд оролцооасуудлыг шийдвэрлэхэд. Мэдээжийн хэрэг, энэ заль мэх бүхэл тоогоор ажиллахгүй.

Өсөх, буурах функцүүдийн интервалыг олох

Ийм бодлогод хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийн нэгэн адил үүсмэл графикийг ашиглан функц өөрөө нэмэгдэж эсвэл буурч байгаа хэсгийг олохыг санал болгож байна. Эхлээд өсөх, буурах нь юу болохыг тодорхойлъё.

1. Хэрэв энэ хэрчимээс x 1 ба x 2 гэсэн хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) зөв байвал f(x) функц хэрчм дээр нэмэгдэж байна гэж хэлнэ. . Өөрөөр хэлбэл аргументын утга их байх тусам функцын утга ихсэх болно.
2. Хэрэв энэ хэрчим дэх x 1 ба x 2 аль ч хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) үнэн байвал f(x) функцийг хэрчим дээрх бууралт гэж нэрлэдэг. Тэдгээр. илүү өндөр үнэ цэнэаргумент таарч байна бага утгафункцууд.

Томьёолъё хангалттай нөхцөлөгсөх ба буурах:

1. тулд тасралтгүй функц f(x) нь сегмент дээр нэмэгддэг бол сегмент доторх дериватив эерэг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f’(x) ≥ 0.
2. Тасралтгүй функц f(x) сегмент дээр буурахын тулд сегмент доторх дериватив нь сөрөг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f’(x) ≤ 0.

Эдгээр мэдэгдлийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн авцгаая. Тиймээс бид өсөлт ба бууралтын интервалыг олох схемийг олж авдаг бөгөөд энэ нь экстремум цэгийг тооцоолох алгоритмтай олон талаараа төстэй юм.

1. Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгана уу. Деривативын анхны график дээр бид үндсэндээ функцийн тэгийг сонирхож байгаа тул зөвхөн тэдгээрийг үлдээх болно.
2. Деривативын тэмдгүүдийг тэг хоорондын зайд тэмдэглэ. f’(x) ≥ 0 бол функц нэмэгдэж, f’(x) ≤ 0 бол буурна. Хэрэв асуудал x хувьсагч дээр хязгаарлалт тавьсан бол бид тэдгээрийг шинэ график дээр нэмж тэмдэглэнэ.
3. Одоо бид функцын зан төлөв болон хязгаарлалтыг мэдэж байгаа тул асуудалд шаардагдах хэмжээг тооцоолоход л үлдлээ.

Даалгавар. Зураг дээр [−3; 7.5]. f(x) функцийн бууралтын интервалуудыг ол. Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.

Ердийнх шигээ графикийг дахин зурж, хил хязгаарыг тэмдэглэе [−3; 7.5], түүнчлэн x = −1.5 ба x = 5.3 деривативын тэгүүд. Дараа нь бид деривативын шинж тэмдгийг тэмдэглэнэ. Бидэнд:

(− 1.5) интервал дээр дериватив сөрөг утгатай тул энэ нь буурах функцийн интервал юм. Энэ интервал дотор байгаа бүх бүхэл тоог нийлэхэд л үлддэг.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Даалгавар. Зурагт [−10; 4]. f(x) функцийн өсөлтийн интервалыг ол. Хариултдаа тэдгээрийн хамгийн томын уртыг заана уу.

Шаардлагагүй мэдээллээс ангижирцгаая. Зөвхөн хил хязгаарыг орхиё [−10; 4] ба деривативын тэг, үүнээс энэ удаад дөрөв байсан: x = −8, x = −6, x = −3 ба x = 2. Деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглээд дараах зургийг авъя:

Бид функцийг нэмэгдүүлэх интервалыг сонирхож байна, i.e. f’(x) ≥ 0. График дээр (−8; −6) ба (−3; 2) хоёр ийм интервал байна. Тэдний уртыг тооцоолъё:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Бид хамгийн том интервалын уртыг олох шаардлагатай тул хариулт болгон l 2 = 5 утгыг бичнэ.

Деривативыг олох үйлдлийг дифференциал гэж нэрлэдэг.

Үүсмэлийг аргументийн өсөлтийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлох замаар хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) функцүүдийн деривативыг олох асуудлыг шийдсэний үр дүнд деривативын хүснэгт гарч ирэв. тодорхой дүрэмялгах. Дериватив олох чиглэлээр хамгийн анх ажиллаж байсан хүмүүс бол Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нар юм.

Тиймээс бидний үед аливаа функцийн деривативыг олохын тулд дээр дурдсан функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаарыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн хүснэгтийг ашиглахад хангалттай. дериватив ба ялгах дүрэм. Дараах алгоритм нь деривативыг олоход тохиромжтой.

Деривативыг олохын тулд, танд үндсэн тэмдгийн доор илэрхийлэл хэрэгтэй энгийн функцуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваанаямар үйлдэл хийхийг тодорхойлох (бүтээгдэхүүн, нийлбэр, коэффициент)Эдгээр функцүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Цаашдын деривативууд үндсэн функцуудбид деривативын хүснэгтээс олж, үржвэрийн дериватив, нийлбэр ба хуваалтын томъёог ялгах дүрэмд оруулсан болно. Дериватив хүснэгт болон ялгах дүрмийг эхний хоёр жишээний дараа өгөв.

Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Ялгах дүрмээс бид функцийн нийлбэрийн дериватив нь функцын деривативын нийлбэр болохыг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл.

Деривативын хүснэгтээс бид "x"-ийн дериватив нь нэгтэй, синусын дериватив нь косинустай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Бид эдгээр утгыг деривативын нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардагдах деривативыг олно.

Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Хоёр дахь гишүүн нь тогтмол хүчин зүйлтэй нийлбэрийг дериватив тэмдгээс гаргаж авч болно гэж бид ялгадаг;

Хэрэв ямар нэгэн зүйл хаанаас ирсэн талаар асуултууд гарч ирвэл тэдгээрийг деривативын хүснэгт болон ялгах хамгийн энгийн дүрмүүдтэй танилцсаны дараа ихэвчлэн арилгадаг. Бид яг одоо тэдэн рүү шилжиж байна.

Энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт

1. Тогтмол (тоо)-ийн дериватив. Функцийн илэрхийлэлд байгаа дурын тоо (1, 2, 5, 200...). Үргэлж тэгтэй тэнцүү. Үүнийг санах нь маш чухал бөгөөд энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг
2. Бие даасан хувьсагчийн дериватив. Ихэнхдээ "X". Үргэлж нэгтэй тэнцүү. Үүнийг удаан хугацаанд санах нь бас чухал юм
3. Зэрэглэлийн дериватив. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат бус язгуурыг хүч болгон хувиргах хэрэгтэй.
4. Хувьсагчийн дериватив -1 зэрэглэл
5. Квадрат язгуурын дериватив
6. Синусын дериватив
7. Косинусын дериватив
8. Шүргэгчийн дериватив
9. Котангенсийн дериватив
10. Арксинусын дериватив
11. Нумын косинусын дериватив
12. Арктангенсын дериватив
13. Нумын котангенсын дериватив
14. Натурал логарифмын дериватив
15. Логарифм функцийн дериватив
16. Экспонентийн дериватив
17. Дериватив экспоненциал функц

Ялгах дүрэм

1. Нийлбэр буюу зөрүүний дериватив
2. Бүтээгдэхүүний дериватив
2а. Тогтмол хүчин зүйлээр үржүүлсэн илэрхийллийн дериватив
3. Хэсгийн дериватив
4. Комплекс функцийн дериватив

Дүрэм 1.Хэрэв функцууд

аль нэг цэг дээр дифференциалагдах боломжтой, дараа нь функцууд нь нэг цэг дээр дифференциал болно

болон

тэдгээр. функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь тэнцүү байна алгебрийн нийлбэрЭдгээр функцүүдийн деривативууд.

Үр дагавар. Хэрэв дифференциал болох хоёр функц тогтмол гишүүнээр ялгаатай бол тэдгээрийн дериватив нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл

Дүрэм 2.Хэрэв функцууд

Хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь ижил цэг дээр ялгагдах боломжтой

болон

тэдгээр. Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэр ба нөгөө функцийн деривативтай тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно:

Дүгнэлт 2. Хэд хэдэн дифференциалагдах функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь хүчин зүйл тус бүрийн болон бусад бүх зүйлийн деривативын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, гурван үржүүлэгчийн хувьд:

Дүрэм 3.Хэрэв функцууд

хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой Тэгээд , тэгвэл энэ үед тэдгээрийн коэффициент нь бас дифференциал болноu/v , ба

тэдгээр. хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хувагчийн дериватив ба хуваагч болон хуваагчийн деривативын зөрүү, хуваагч нь -ийн квадрат юм. өмнөх тоологч.

Бусад хуудсан дээрх зүйлсийг хаанаас хайх вэ

Бүтээгдэхүүний дериватив ба хуваалтыг олохдоо бодит асуудлуудТиймээс хэд хэдэн ялгах дүрмийг нэгэн зэрэг хэрэглэх шаардлагатай байдаг илүү олон жишэээдгээр деривативуудын хувьд - нийтлэлд"Үйлдвэрийн дериватив ба функцүүдийн коэффициент".

Сэтгэгдэл.Тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл тоо) нийлбэр дэх нэр томъёо, тогтмол хүчин зүйл гэж андуурч болохгүй! Нэр томъёоны хувьд түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд тохиолдолд тогтмол хүчин зүйлдериватив тэмдгээс хасагдсан. Энэ ердийн алдаа, дээр тохиолддог эхний шатДеривативуудыг судалж байгаа боловч нэг ба хоёр хэсгээс бүрдсэн хэд хэдэн жишээг шийдэж байгаа тул дундаж оюутан ийм алдаа гаргахаа больсон.

Мөн хэрэв бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг ялгахдаа танд нэр томъёо байгаа бол у"v, аль нь у- тоо, жишээлбэл, 2 эсвэл 5, өөрөөр хэлбэл тогтмол, дараа нь энэ тооны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тул бүхэл бүтэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх болно (энэ хэргийг жишээ 10-д авч үзэх болно).

Бусад нийтлэг алдаа - механик шийдэлнийлмэл функцийн дериватив нь энгийн функцийн дериватив. Тийм ч учраас нийлмэл функцийн деривативтусдаа өгүүлэл зориулагдсан болно. Гэхдээ эхлээд бид деривативуудыг олж сурах болно энгийн функцууд.

Замдаа та илэрхийлэлийг өөрчлөхгүйгээр хийж чадахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та гарын авлагыг шинэ цонхонд нээх хэрэгтэй. Эрх мэдэл, үндэстэй үйлдлүүдТэгээд Бутархайтай үйлдлүүд .

Хэрэв та зэрэглэлийн болон үндэстэй бутархайн деривативын шийдлийг хайж байгаа бол функц нь иймэрхүү харагдах үед. , дараа нь "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" хичээлийг дагана уу.

Хэрэв танд ийм даалгавар байгаа бол , дараа нь та "Энгийн тригонометрийн функцын дериватив" хичээлийг авна.

Алхам алхмаар жишээ - деривативыг хэрхэн олох

Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид функцийн илэрхийлэлийн хэсгүүдийг тодорхойлдог: бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь бүтээгдэхүүнийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хүчин зүйлүүд нь нийлбэр бөгөөд хоёр дахь нэр томъёоны нэг нь тогтмол хүчин зүйлийг агуулдаг. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг бид ашигладаг: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дараа нь бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ: функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Манай тохиолдолд нийлбэр бүрт хоёр дахь гишүүн нь хасах тэмдэгтэй байдаг. Нийлбэр бүрт бид дериватив нь нэгтэй тэнцүү бие даасан хувьсагч ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү тогтмол (тоо) хоёуланг нь хардаг. Тиймээс "X" нэг болж, хасах 5 нь тэг болж хувирна. Хоёр дахь илэрхийлэлд "x" нь 2-оор үржигддэг тул бид хоёрыг "x"-ийн деривативтай ижил нэгжээр үржүүлнэ. Бид авдаг дараах утгууддеривативууд:

Бид олдсон деривативуудыг бүтээгдэхүүний нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардлагатай бүх функцийн деривативыг олж авна.

Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид хуваалтын деривативыг олох шаардлагатай. Бид хуваагчийг ялгах томъёог ашигладаг: хоёр функцийн хуваалтын дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хуваагч ба хуваагчийн дериватив ба үржвэрийн деривативын зөрүү юм. хуваагч, хуваагч нь өмнөх хуваагчийн квадрат юм. Бид авах:

Бид 2-р жишээн дэх тоологчийн хүчин зүйлсийн деривативыг аль хэдийн олсон. Одоогийн жишээн дэх тоологчийн хоёр дахь хүчин зүйл болох үржвэрийг хасах тэмдгээр авсан гэдгийг мартаж болохгүй.

Хэрэв та үргэлжилсэн үндэс ба хүчнүүдийн овоо байдаг функцийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг хайж байгаа бол жишээ нь: , тэгвэл хичээлдээ тавтай морил "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" .

Хэрэв та синус, косинус, тангенс болон бусад деривативуудын талаар илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол тригонометрийн функцууд, өөрөөр хэлбэл функц нь харагдах үед , тэгвэл танд сургамж "Энгийн тригонометрийн функцүүдийн дериватив" .

Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид нэг хүчин зүйл болох бүтээгдэхүүнийг харж байна квадрат язгуурбие даасан хувьсагчаас, деривативыг бид деривативын хүснэгтээс харсан. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу ба хүснэгтийн утгаквадрат язгуурын деривативыг бид олж авна:

Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид ногдол ашиг нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур болох хуваарийг харж байна. Бид 4-р жишээн дээр давтаж, ашигласан хуваалтыг ялгах дүрэм болон квадрат язгуурын деривативын хүснэгтэн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тоолуур дахь бутархайг арилгахын тулд тоо болон хуваагчийг -ээр үржүүлнэ.

Элсэлтийн түвшин

Функцийн дериватив. Цогц гарын авлага (2019)

Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.

Тэнхлэг бол амьдралынхаа туршид бид далайн түвшинг ашигладаг тэг өндөр юм.

Ийм замаар урагшлахдаа бид бас дээшээ доошоо хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгдөнө (ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх болно. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсэгт нэг километр урагшлах (x тэнхлэгийн дагуу) бид дээшлэх эсвэл унах болно. өөр өөр тоо хэмжээметр далайн түвшинтэй харьцуулахад (ординат тэнхлэгийн дагуу).

Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x" -ийг уншина уу).

Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Энэ нь - энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.

Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга!

Энэ нь жишээлбэл, .

Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг. Утгыг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэвтөгсгөлийн цэг

"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.

Замын зарим хэсэгт нэг километр урагшлах үед зам нэг километрээр дээшилдэг гэж бодъё. Дараа нь энэ газарт налуу тэнцүү байна. Хэрвээ зам нь м-ээр урагшилж байхдаа км-ээр буурсан уу? Дараа нь налуу нь тэнцүү байна.

Одоо нэг толгодын оройг харцгаая. Хэсгийн эхлэлийг оргилд хүрэхээс хагас километрийн өмнө, төгсгөлийг нь хагас километрийн дараа авбал өндөр нь бараг ижил байгааг харж болно.

Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол налуу нь бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү оновчтой, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжих юм бол үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь илүү!

IN бодит амьдралХамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэн хязгааргүй жижиг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x нь тэг рүү чиглэдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юм Энэ тоо тэгтэй тэнцүү биш байна!Гэхдээ маш ойрхон. Энэ нь та үүнийг хувааж болно гэсэн үг юм.

Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн олж мэдсэн байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн том нь гарч ирсэн бол боломжит тоо, зүгээр л хоёроор үржүүлбэл илүү ихийг авна. Мөн хязгааргүй хэвээр байна үүнээс гаднаюу болох бол. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.

Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:

Хязгааргүй бага шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя тэгтэй тэнцүү. Хязгааргүй цөөн тоог бие биендээ хуваавал нилээдгүй тоо гарч ирнэ ердийн тоо, Жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.

Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.

Деривативын тухай ойлголт

Функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.

Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтмөн тэнхлэгийн дагуу урагшлах үед функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.

Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр тэмдэглэж, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.

Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.

Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх боломжтой юу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативтай адил: дериватив тогтмол функц(тогтмол) нь тэгтэй тэнцүү:

учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль ч үед тэгтэй тэнцүү байна.

Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг дагуулан зохион байгуулах боломжтой болсон өөр өөр талууддээрээс нь, ингэснээр төгсгөлийн өндөр нь ижил, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байна:

Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.

Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагатай байдаггүй, гэхдээ тэнцүү). Тиймээс дериватив

Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.

Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг ба хооронд эерэг утгуудзаавал байх ёстой. Энэ нь функц нь нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.

Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талд байгаа функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):

Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.

Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.

Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо ямар маргаан байна вэ? Маш амархан:. Функцийн үнэ одоо хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:

Өсөлтийг олох дасгал хийх:

1. Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх үед функцийн өсөлтийг ол.
2. Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.

Шийдэл:

IN өөр өөр цэгүүдижил аргументийн өсөлттэй бол функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:

Эрчим хүчний функц.

Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.

Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .

Хамгийн энгийн тохиолдол- энэ нь илтгэгч нь:

Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:

Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?

Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:

Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

б) Одоо бод квадрат функц (): .

Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.

Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:

в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .

Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.

Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.

Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.

Бид авна: .

г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:

e) Энэ дүрмийг бүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй зэрэглэлийн функцийн хувьд ерөнхийлж болох нь харагдаж байна.

Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.

Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:

1. (хоёр аргаар: томъёогоор ба деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);

1. . Итгэнэ үү үгүй ​​юу, энэ бол хүч чадлын функц юм. Хэрэв танд "Энэ яаж байна вэ? Эрдмийн зэрэг хаана байна?", "" сэдвийг санаарай!
   Тиймээ, язгуур нь бас зэрэг, зөвхөн бутархай: .
   Энэ нь манай квадрат язгуур нь зөвхөн илтгэгчтэй хүч гэсэн үг юм.
   .
   Бид саяхан сурсан томъёог ашиглан деривативыг хайж байна:

   Хэрэв энэ үед дахин ойлгомжгүй болвол “” сэдвийг давтана уу!!! (нь зэрэгтэй байна сөрөг үзүүлэлт)

2. . Одоо экспонент:

   Тэгээд одоо тодорхойлолтоор дамжуулан (та мартаагүй байна уу?):
   ;
   .
   Одоо ердийнхөөрөө бид дараахь зүйлийг агуулсан нэр томъёог үл тоомсорлодог.
   .

3. . Өмнөх тохиолдлуудын хослол: .

Тригонометрийн функцууд.

Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:

Илэрхийлэлээр.

Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та Улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:

Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц нь "зорилготой" зүйл юм.

Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.

Ингээд оролдоод үзье: ;

Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!

гэх мэт. Бид бага байх тусам илүү ойр үнэ цэнэ-тай харилцах

a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:

Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .

Одоо дериватив нь:

Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ (өөрөөр хэлбэл at).

Тиймээс бид авдаг дараагийн дүрэм:синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:

Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:

Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.

Дадлага хийх:

1. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
2. Функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

1. Эхлээд деривативыг олъё ерөнхий үзэл, үүний оронд түүний утгыг орлуулна уу:
   ;
   .
2. Энд бид ижил төстэй зүйл байна эрчим хүчний функц. Түүнийг авчрахыг хичээцгээе
   хэвийн харагдах:
   .
   Гайхалтай, одоо та томъёог ашиглаж болно:
   .
   .
3. . Эээээээ.....Энэ юу вэ????

За, таны зөв, бид ийм деривативуудыг хэрхэн олохоо хараахан мэдэхгүй байна. Энд бид хэд хэдэн төрлийн функцийг хослуулсан болно. Тэдэнтэй ажиллахын тулд та хэд хэдэн дүрмийг сурах хэрэгтэй:

Экспонент ба натурал логарифм.

Математикт аль ч утгын дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай нэгэн зэрэг тэнцүү байдаг функц байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм

Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.

Тиймээс, дүрэм:

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, урвуу функцийг шууд авч үзье. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг дараа нь шинжлэх болно. дүрэм журмаар явцгааяялгах.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчдын дифференциал нь функцийн өсөлттэй ижил байна. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим нь тогтмол тоо(тогтмол), тэгвэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (үүнээс хойш дериватив нь бүх цэгт ижил байна шугаман функц, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: орцгооё шинэ онцлогмөн түүний өсөлтийг ол:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ нь ажилласан уу?

Энд өөрийгөө шалгаарай:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба деривативууд логарифм функцуудУлсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч ордоггүй, гэхдээ тэднийг мэдэхэд гэмгүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Юу болсон бэ" нарийн төвөгтэй функц"? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд та урвуу алхамуудыг хийх хэрэгтэй урвуу дараалал.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг квадрат болго (туузаар боож). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Бид ижил алхмуудыг урвуу дарааллаар хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Эхний жишээнд, .

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. -тай холбоотой анхны жишээЭнэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадаад: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадаад: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц гэдэг нь шууд тодорхой харагдаж байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (бид шоколадыг саванд хийнэ) боодолтой ба цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг нь үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам "гадаад" байх болно харгалзах функц. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Шийдвэр гаргахдаа янз бүрийн даалгаварЭнэ функцээс ижил аналитик процессыг ашиглан геометр, механик, физик болон бусад мэдлэгийн салбарууд зайлшгүй шаардлагатай болсон. y=f(x)гэж нэрлэгддэг шинэ функцийг авах дериватив функц(эсвэл зүгээр л Өгөгдсөн функцийн уламжлал) f(x)тэмдэгтээр тодорхойлогддог

Өгөгдсөн функцээс гарах үйл явц f(x)шинэ функц авах f" (x), дуудсан ялгахбөгөөд энэ нь дараах гурван алхмаас бүрдэнэ: 1) аргумент өгөх xөсөлт  xфункцийн харгалзах өсөлтийг тодорхойлно  у = f(x+ x) -f(x);

2) харилцаа үүсгэх x 3) тоолох  xтогтмол ба
0, бид олдог f" (x), үүнийг бид тэмдэглэдэг x, үр дүнд бий болсон функц нь зөвхөн утгаас хамаарна гэдгийг онцолсон мэт , бид хязгаарт хүрдэг.: Тодорхойлолт Дериватив y " =f " (x) өгөгдсөн функц y=f(x)өгөгдсөн x-ийн хувьд
Хэрэв аргументийн өсөлт тэг байх хандлагатай байвал функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлтөд харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв мэдээжийн хэрэг, энэ хязгаар байгаа бол, өөрөөр хэлбэл. хязгаарлагдмал.

Тиймээс, x, эсвэл Хэрэв ямар нэг үнэ цэнэтэй бол гэдгийг анхаарна уу, жишээ нь хэзээ
x=a  x, хандлага цагт0 хандлагатай байдаггүй f(x)хязгаарлагдмал хязгаар Хэрэв ямар нэг үнэ цэнэтэй бол гэдгийг анхаарна уу, дараа нь энэ тохиолдолд тэд функц гэж хэлдэг Хэрэв ямар нэг үнэ цэнэтэй бол гэдгийг анхаарна ууцагт Хэрэв ямар нэг үнэ цэнэтэй бол гэдгийг анхаарна уу.

(эсвэл цэг дээр

) нь деривативгүй буюу цэг дээр ялгах боломжгүй

f(x)

2. Деривативын геометрийн утга.

AC || оноос хойш Үхэр, дараа нь ALO = BAC = β (параллельд харгалзах байдлаар). Харин ALO нь АВ секантын Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлд налуугийн өнцөг юм. Энэ нь tanβ = k нь AB шулуун шугамын налуу гэсэн үг.

Одоо бид ∆х-ийг багасгах болно, өөрөөр хэлбэл. ∆х→ 0. Энэ тохиолдолд В цэг графикийн дагуу А цэгт ойртох ба AB секант эргэлдэнэ. AB секантын ∆x→ 0 дахь хязгаарлах байрлал нь А цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгч гэж нэрлэгддэг шулуун (a) байх болно.

Хэрэв бид tgβ =∆y/∆x тэгшитгэлд ∆x → 0 гэж хязгаарт очвол бид дараахийг авна.
ortg =f "(x 0), оноос хойш
-Окс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй шүргэгчийн налуу өнцөг
, деривативын тодорхойлолтоор. Харин tg = k нь шүргэгчийн өнцгийн коэффициент бөгөөд k = tg = f "(x 0) гэсэн утгатай.

Тиймээс деривативын геометрийн утга нь дараах байдалтай байна.

х цэг дээрх функцийн дериватив 0 тэнцүү байна налууабсцисса х-тэй цэг дээр зурсан функцийн графиктай шүргэгч 0 .

3. Деривативын физик утга.

Шулуун шугамын дагуух цэгийн хөдөлгөөнийг авч үзье. Дурын үеийн цэгийн координатыг x(t) өгье. Мэдэгдэж байгаагаар (физикийн хичээлээс) тодорхой хугацааны дундаж хурд нь энэ хугацаанд туулсан зайг тухайн цагтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Вав = ∆x/∆t. ∆t → 0 гэсэн сүүлчийн тэгшитгэлийн хязгаарт очъё.

lim Vav (t) = (t 0) - агшин зуурын хурдүед t 0, ∆t → 0.

ба lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (деривативын тодорхойлолтоор).

Тэгэхээр, (t) =x"(t).

Деривативын физик утга нь дараах байдалтай байна: функцийн деривативy = е(x) цэг дээрx 0 функцийн өөрчлөлтийн хурд юме(x) цэг дээрx 0

Деривативыг физикт хурдыг олоход ашигладаг мэдэгдэж байгаа функцкоординат ба цаг хугацаа, хурд ба цаг хугацааны мэдэгдэж буй функц дээр суурилсан хурдатгал.

(t) = x"(t) - хурд,

a(f) = "(t) - хурдатгал, эсвэл

Хэрэв тойрог дахь материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хууль мэдэгдэж байгаа бол өнцгийн хурд ба өнцгийн хурдатгалэргэлтийн хөдөлгөөний үед:

φ = φ(t) - цаг хугацааны явцад өнцгийн өөрчлөлт,

ω = φ"(t) - өнцгийн хурд,

ε = φ"(t) - өнцгийн хурдатгал, эсвэл ε = φ"(t).

Хэрэв нэгэн төрлийн бус савааны массын тархалтын хууль мэдэгдэж байгаа бол нэг төрлийн бус савааны шугаман нягтыг олж болно.

m = m(x) - масс,

x  , l - бариулын урт,

p = m"(x) - шугаман нягт.

Деривативыг ашиглан уян хатан чанар ба гармоник чичиргээний онолын асуудлуудыг шийддэг. Тиймээс, Хукийн хуулийн дагуу

F = -kx, x – хувьсах координат, k – пүршний уян хатан байдлын коэффициент. ω 2 =k/m гэж тавиад пүршний дүүжин x"(t) + ω 2 x(t) = 0-ийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

Энд ω = √k/√m хэлбэлзлийн давтамж (l/c), k - хаврын хөшүүн чанар (H/m).

y" + ω 2 y = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг гармоник хэлбэлзлийн (механик, цахилгаан, цахилгаан соронзон) тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь функц юм.

y = Asin(ωt + φ 0) эсвэл y = Acos(ωt + φ 0), энд

A - хэлбэлзлийн далайц, ω - мөчлөгийн давтамж,

φ 0 - эхний үе шат.

Функцийг дериватив ашиглан судлах. Энэ нийтлэлд бид функцийн графикийг судлахтай холбоотой зарим ажлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Ийм бодлогод y = f (x) функцийн графикийг өгч, функцийн дериватив эерэг (эсвэл сөрөг) болон бусад цэгүүдийн тоог тодорхойлохтой холбоотой асуултуудыг тавьдаг. Тэдгээрийг функцийг судлахад дериватив ашиглах даалгавар гэж ангилдаг.

Ийм асуудлууд, ерөнхийдөө судалгаатай холбоотой асуудлуудыг шийдвэрлэх нь функцын графикийг судлах деривативын шинж чанарыг бүрэн ойлгосноор л боломжтой юм. Тиймээс би танд холбогдох онолыг судлахыг зөвлөж байна. Та судалж, үзэж болно (гэхдээ энэ нь товч хураангуйг агуулдаг).

Цаашдын нийтлэлүүдэд дериватив график өгөгдсөн асуудлуудыг бид бас авч үзэх болно, бүү алдаарай! Тиймээс, даалгаварууд:

Зурагт (−6; 8) интервал дээр тодорхойлогдсон y = f (x) функцийн графикийг үзүүлэв. Тодорхойлох:

1. Функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоо;

2. Функцийн графикт шүргэгч шулуун шугамтай параллель байх цэгийн тоо y = 2;

1. Функцийн дериватив нь функц буурах интервалд, өөрөөр хэлбэл (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8) интервалууд дээр сөрөг байна. Эдгээр нь −5, −4, 1, 2, 3, 4, 7 бүхэл цэгүүдийг агуулна. Бид 7 оноо авдаг.

2. Шууд y= 2 тэнхлэгтэй зэрэгцээӨөy= 2 зөвхөн экстремум цэгүүдэд (график өсөлтөөс буурах эсвэл эсрэгээр зан төлөвөө өөрчилдөг цэгүүдэд). Ийм дөрвөн цэг байдаг: –3; 0; 4.2; 6.9

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Функцийн дериватив эерэг байх бүхэл цэгийн тоог тодорхойл.

Зурагт (−5; 5) интервал дээр тодорхойлогдсон y = f (x) функцийн графикийг үзүүлэв. Тодорхойлох:

2. Функцийн графикт шүргэгч шулуун шугамтай параллель байх бүхэл цэгийн тоо y = 3;

3. Дериватив нь тэг байх цэгүүдийн тоо;

1. Функцийн деривативын шинж чанараас харахад функцийн өсөлтийн интервалууд дээр, өөрөөр хэлбэл (1.4; 2.5) ба (4.4; 5) интервалууд дээр эерэг байдаг. Эдгээр нь зөвхөн нэг бүхэл цэгийг агуулна x = 2.

2. Шууд y= тэнхлэгтэй параллель 3Өө. Шүргэх нь шугамтай параллель байх болноy= 3 зөвхөн экстремум цэгүүдэд (график өсөлтөөс буурах эсвэл эсрэгээр зан төлөвөө өөрчилдөг цэгүүдэд).

Ийм дөрвөн цэг байдаг: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Дериватив нь тэг байна дөрвөн оноо(экстремум цэгүүдэд) бид тэдгээрийг аль хэдийн зааж өгсөн.

Өөрийнхөө төлөө шийд:

f(x) функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоог тодорхойл.

Зурагт (−2; 12) интервал дээр тодорхойлогдсон y = f (x) функцийн графикийг үзүүлэв. Олно:

1. Функцийн дериватив эерэг байх бүхэл цэгийн тоо;

2. Функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоо;

3. Функцийн графикт шүргэгч шулуун шугамтай параллель байх бүхэл цэгийн тоо y = 2;

4. Дериватив нь тэг байх цэгүүдийн тоо.

1. Функцийн деривативын шинж чанараас харахад функц өсөх интервалууд, тухайлбал (–2; 1), (2; 4), (7; 9) ба () интервалууд дээр эерэг байдаг нь мэдэгдэж байна. 10; 11). Эдгээр нь бүхэл тоон цэгүүдийг агуулна: –1, 0, 3, 8. Нийтдээ дөрөв байна.

2. Функцийн дериватив нь функц буурах интервалууд, өөрөөр хэлбэл (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12) интервалууд дээр сөрөг байна. Тэд 5 ба 6 бүхэл цэгүүдийг агуулна. Бид 2 оноо авдаг.

3. Шууд y= 2 тэнхлэгтэй зэрэгцээӨө. Шүргэх нь шугамтай параллель байх болноy= 2 зөвхөн экстремум цэгүүдэд (график өсөлтөөс буурах эсвэл эсрэгээр зан төлөвөө өөрчилдөг цэгүүдэд). Ийм долоон цэг байдаг: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. Дериватив нь долоон цэгт (экстремум цэгүүдэд) тэгтэй тэнцүү, бид тэдгээрийг аль хэдийн зааж өгсөн.