Маш сонирхолтой тэгшитгэл ба тэдгээрийн шийдлүүд. Энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бүтээлийн текстийг зураг, томъёололгүйгээр нийтэлсэн.
Бүрэн хувилбаражлыг "Ажлын файлууд" табаас PDF форматаар авах боломжтой

ТАНИЛЦУУЛГА

"Тэгшитгэл бол бүх математикийн гүн ухааныг нээж өгдөг алтан түлхүүр юм"

С.Коваль

Сургуульд авсан математикийн боловсрол бол амьдралын маш чухал хэсэг юм. орчин үеийн хүн. Бидний эргэн тойрон дахь бараг бүх зүйл математиктэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой байдаг. Олон зүйлийн шийдэл практик асуудлуудтэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл бууруулна янз бүрийн төрөл.

Тэгшитгэл нь хамгийн их их хэмжээний сэдэвалгебрийн бүхэл бүтэн хичээл. Өнгөрсөнд хичээлийн жилАлгебрийн хичээлээр бид квадрат тэгшитгэлийн талаар сурсан. Квадрат тэгшитгэлматематикийн салбарт болон физик, химийн салбарт янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг.

IN сургуулийн курссуурь математикийг судалдаг шийдлүүдквадрат тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь тэдгээрийг хурдан бөгөөд оновчтой шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

Бид 8-9-р ангийн 84 сурагчийн дунд хоёр асуултаар санал асуулга явуулсан.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ямар аргуудыг та мэдэх вэ?

Та алийг нь ихэвчлэн ашигладаг вэ?

Судалгааны үр дүнд үндэслэн дараахь үр дүнд хүрсэн.

Хүлээн авсан үр дүнд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид ихэнх оюутнууд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ язгуур томъёог дискриминант ашиглан ашигладаг бөгөөд квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар хангалттай мэдлэггүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.

Тиймээс бидний сонгосон сэдэв хамааралтай болно.

Бид өөрсдийгөө тогтоосон зорилтот: квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх уламжлалт бус аргуудыг судлах, 8, 9-р ангийн сурагчдад танилцуулах. янз бүрийн аргааршийдвэр гаргах, сонгох чадварыг хөгжүүлэх оновчтой аргаквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Энэ зорилгодоо хүрэхийн тулд та дараахь зүйлийг шийдэх хэрэгтэй даалгавар:

квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудын талаар мэдээлэл цуглуулах,

олсон шийдлүүдийг эзэмших,

Excel-ийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх программ үүсгэх;

хичээл эсвэл хичээлээс гадуурх үйл ажиллагаанд дидактик материалыг боловсруулах стандарт бус аргуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх,

8-9-р ангийн сурагчидтай "Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ер бусын арга" хичээлийг явуулна.

Судалгааны объект: квадрат тэгшитгэл.

Судалгааны сэдэв: квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн арга.

Ажлын практик ач холбогдол нь математикийн хичээлд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга, техникийг ашиглах боломжтой гэдэгт бид итгэдэг. хичээлээс гадуурх үйл ажиллагаа, түүнчлэн 8-9-р ангийн сурагчдыг энэ материалтай танилцуулах.

БҮЛЭГ 1. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ер бусын АРГА

1. 1. КОЭФФИЦИЕНТИЙН ХИЧЭЭЛ (a,b,c)

Энэ арга нь коэффициентүүдийн шинж чанарт суурилдаг a,b,c:

Хэрэв a+b+c=0,дараа нь = 1, =

Жишээ:

-6x 2 + 2x +4=0,дараа нь = 1, = =.

Хэрэв a - b+c=0,дараа нь = -1, = -

Жишээ:

2017x 2 + 2001х +16 =0,дараа нь = -1, -.

1. 1. КЭФФИЦИЕНТИЙН ХАМААРАЛ (a,b,c)

Коэффициентуудын дараах хамаарал хүчинтэй байна. a,b,c:

b=a 2 +1, c=a бол x 1 =-a; x 2 = - .

Хэрэв b=-(a 2 +1), a=c бол x 1 =a; x 2 =.

b=a 2 -1, c=-a бол x 1 =-a; x 2 = .

Хэрэв b=-(a 2 -1), -a=c бол x 1 =a; x 2 = - .

Дараах тэгшитгэлийг шийдье.

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 х 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 х 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. ҮНДСЭН ХАРЬЦААНЫ “ШИЛЖҮҮЛЭХ”

Коэффицент Атүүн рүү “шидэгдсэн” мэт чөлөөт нэр томьёогоор үржүүлдэг тул “шидэх” арга гэж нэрлэдэг. Дараа нь Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг олно. Олдсон үндсийг өмнө нь шилжүүлсэн коэффициентоор хуваадаг бөгөөд үүний ачаар бид тэгшитгэлийн үндсийг олдог.

Жишээ:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

"Өнхрүүлье" гэсэн 2-ын магадлал чөлөөт гишүүн, үр дүнд нь бид тэгшитгэлийг олж авна

цагт 2 - 3у + 2 = 0.

Вьетагийн теоремын дагуу

цагт 1 = 2, x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

цагт 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Хариулт: 0.5; 1.

1. 1. ШИЙДВЭРЛЭХ ГРАФИК АРГА

Хэрэв тэгшитгэлд a x 2 + bx + c= 0 хоёр, гурав дахь гишүүнийг шилжүүлнэ баруун тал, дараа нь бид a x 2 = -bx-в .

Хараат байдлын графикуудыг байгуулъя цагт= сүх 2 ба цагт= -bx-внэг координатын системд.

Эхний хамаарлын график нь эхийг дайран өнгөрөх парабол юм. Хоёр дахь хамаарлын график шулуун байна.

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

шулуун ба парабол хоёр цэг дээр огтлолцож болно, огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс;

Шулуун шугам ба парабол нь хүрч болно (зөвхөн нэг нийтлэг цэг), i.e. тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй;

шулуун ба параболд байхгүй нийтлэг цэгүүд, өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Дараах тэгшитгэлийг шийдье.

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

Нэг координатын системд y = x 2 функцийн график, у = - 2x + 3 функцийн графикийг байгуулна. Уулзвар цэгүүдийн абсциссуудыг тэмдэглэснээр бид хариултыг авдаг.

Хариулт: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

Нэг координатын системд бид y = x 2 функцийн график ба у = -6x - 9 функцийн графикийг байгуулна. Шүргэдэг цэгийн абсциссыг зааж өгсний дараа бид хариултыг авна.

Хариулт: x= - 3.

3) 2х 2 + 4х +7=0

2х 2 = - 4х - 7

Нэг координатын системд бид y = 2x 2 функцийн график ба функцийн графикийг байгуулна.

y = 2x 2 парабол ба y = - 4x - 7 шулуун шугамд нийтлэг цэг байхгүй тул тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

Хариулт: үндэс байхгүй.

1. 1. ЛУУЖИН, ЗУРАГ АШИГЛАН ДӨРВӨВЛӨГЧ ТЭГШИГТИЙГ ШИЙДЭХ

Ах 2 +bх+c=0 тэгшитгэлийг шийдье:

S(-b:2a,(a+c):2a) - тойргийн төв ба A(0,1) цэгүүдийг байгуулъя.

SA радиустай тойрог зур.

Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.

Энэ тохиолдолд гурван тохиолдол боломжтой:

1) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас их ( AS>SK, эсвэл R>), тойрог нь тэнхлэгийг огтолж байна Өөхоёр цэг дээр..B( X 1 ; 0) ба D(х 2 ;0), хаана X 1 Тэгээд X 2 - квадрат тэгшитгэлийн үндэс Өө 2 + bx + c = 0.

2) Тойргийн радиус нь төвийн ординаттай тэнцүү байна ( AS = SВ, эсвэл R =), тойрог нь тэнхлэгт хүрнэ Өө B цэг дээр ( X 1 ; 0), хаана X 1 - квадрат тэгшитгэлийн үндэс.

3) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас бага ( AS< SВ , эсвэл Р< ), тойрог нь x тэнхлэгтэй нийтлэг цэггүй, энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй болно.

A) AS > SВэсвэл R>, б) AS = SВэсвэл R = V) AS< SВ, эсвэл Р< .

Хоёр шийдэл X 1 Тэгээд X 2 . Нэг шийдэл X 1.. Шийдэл байхгүй.

Жишээ 1: 2х 2 - 8x + 6 = 0.

Шийдэл:

Радиустай тойрог зурцгаая С.А.Хаана А (0;1).

Хариулт: x 1 = 1, x 2 = 3.

Жишээ 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Шийдэл: S-ийн координатыг олъё: x=3, y=5.

Хариулт: x=3.

Жишээ 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Шийдэл:Тойргийн төвийн координатууд: x= - 2 ба y = 3.

Хариулт: үндэс байхгүй

1. 1. НОМОГРАМ АШИГЛАХ ШИЙДЭЛ

Номограмм (Грек хэлнээс "номос" - хууль, грамм), график дүрслэлхэд хэдэн хувьсагчийн функцууд бөгөөд энэ нь энгийн геометрийн үйлдлүүдийг (жишээлбэл, захирагч ашиглах) ашиглан функциональ хамаарлыг тооцоололгүйгээр судлах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, томьёо ашиглахгүйгээр квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Энэ бол хуучин бөгөөд одоо мартагдсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга бөгөөд цуглуулгын 83-р хуудсанд байрладаг: Bradis V.M. "Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд." - М., “Дрофа”, 2000. Хүснэгт XXII. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограмм z 2 + pz + q = 0(Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).

Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр түүний коэффициентүүдээс тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Номограммын муруйн хуваарийг дараахь томъёоны дагуу байгуулна. ОБ= , AB =

Итгэж байна OS = p, ED = q, OE = a(бүгд см-ээр), гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас САНТэгээд CDFБид орлуулалт, хялбаршуулсаны дараа z 2 + pz + q = 0 тэгшитгэл гарах харьцааг олж авдаг бөгөөд z үсэг нь муруйн хуваарийн аль ч цэгийн тэмдгийг илэрхийлдэг.

Жишээ 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

p масштаб дээр бид -9 тэмдгийг, q масштаб дээр 8 тэмдгийг олно. Эдгээр тэмдгээр бид шулуун шугамыг зурж, номограммын муруй хуваарийг 1 ба 8 тэмдгээр огтолно. Тиймээс тэгшитгэлийн язгуур нь 1 байна. болон 8.

Хариулт: 1; 8.

Чухамхүү энэ тэгшитгэлийг 83-р хуудасны Брадисын хүснэгтэд шийдсэн (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).

Жишээ 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хуваахад бид тэгшитгэлийг авна.

z 2 - 4.5z + 1 = 0.Номограмм нь үндэс өгдөг z 1 = 4 Тэгээд z 2 = 0,5.

Хариулт: 4; 0.5.

Жишээ 3:x 2 - 25x + 66 = 0

p ба q коэффициентүүд нь масштабаас гадуур байна. Орлуулах ажлыг хийцгээе x = 5z, бид тэгшитгэлийг авна:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

Үүнийг бид номограмм ашиглан шийддэг.

Бид z-г авна 1 = 0,6 Тэгээд z 2 = 4,4,

хаана x 1 = 5z 1 = 3,0 Тэгээд x 2 = 5z 2 = 22,0.

Хариулт: 3; 22.

Жишээ 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , А сөрөг үндэсбид хасах замаар олдог эерэг үндэс-аас - х , тэдгээр. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Хариулт: 1; -6.

Жишээ 5: z 2 - 2z - 8 = 0,номограмм нь эерэг z язгуурыг өгдөг 1 =4, сөрөг нь z-тэй тэнцүү байна 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Хариулт: 4; -2.

БҮЛЭГ 2. EXCEL АШИГЛАЛТЫН язгуур томьёогоор дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бид квадрат тэгшитгэлийг шийдэх программ зохиохоор шийдсэн Excel ашиглан- өргөн тархсан компьютерийн програм. Тооцоолол хийх, хүснэгт, диаграммыг эмхэтгэх, энгийн болон тооцоолоход шаардлагатай нарийн төвөгтэй функцууд. Энэ нь Microsoft Office багцын нэг хэсэг юм.

Хуудас Excel програмууд, томьёо энд харагдах болно:

Excel хуудсыг харуулж байна тодорхой жишээквадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд x 2 - 14x - 15 = 0:

БҮЛЭГ 3. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх өөр өөр аргуудыг харьцуулах

“Алгебрийн оюутанд нэг асуудлыг гурав, дөрөв гэхээсээ илүү гурван өөр аргаар шийдэх нь илүү ашигтай байдаг. янз бүрийн даалгавар. Нэг асуудлыг шийдэж байна янз бүрийн арга, та аль нь богино, илүү үр дүнтэй болохыг харьцуулах замаар олж мэдэх боломжтой. Ингэж л туршлагыг хөгжүүлдэг."

Уолтер Уорвик Сойер

Ажлын явцад бид материал цуглуулж, квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (үндэс олох) арга замыг судалсан. Янз бүрийн арга ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг Хавсралт 2-т үзүүлэв.

Сурч байна янз бүрийн арга замуудквадрат тэгшитгэлийг шийдэж, тэгшитгэл бүрийн хувьд үндсийг олох хамгийн үр дүнтэй, оновчтой хувилбарыг сонгох боломжтой гэж бид дүгнэв. Шийдэл бүр нь өвөрмөц бөгөөд тодорхой тохиолдолд тохиромжтой байдаг. Зарим шийдлийн аргууд нь OGE дээрх даалгавруудыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой цаг хугацаа хэмнэх боломжийг олгодог бол зарим нь маш том коэффициент бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Арга тус бүрийн давуу болон сул талуудыг тусгасан хүснэгтийг эмхэтгэх замаар шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг харьцуулахыг оролдсон.

Бид хөгжсөн тараах материал. Сэдвийн даалгаврын банктай та Хавсралт 3-аас танилцах боломжтой.

Ашиглаж байна Microsoft Excel, бид эмхэтгэсэн хүснэгт, энэ нь язгуур томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг автоматаар тооцоолох боломжийг олгодог.

Бид сэдвээр хичээл хийлээ ер бусын арга замаарквадрат тэгшитгэл шийдвэрлэх, 9-р ангийн сурагчдад зориулсан. Оюутнууд олж авсан мэдлэг нь тэдэнд хэрэг болохуйц арга барилд маш их таалагдсан; нэмэлт боловсрол. Хичээлийн үр дүн нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн хувилбаруудыг танилцуулсан оюутнуудын ажил байв (Хавсралт 4-ийг үзнэ үү).

Ажлын материалыг математикт дуртай хүмүүс болон математикийн талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсдэг хүмүүс ашиглаж болно.

Уран зохиол

Bradis V. M. "Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд ахлах сургууль", М .: Сагас, 2000.

Виленкин Н.Я. "8-р ангийн алгебр", М.: Просвещение, 2000 он.

Галицки М.Л. "Алгебрийн асуудлын цуглуулга", М.: Просвещение 2002.

Глейзер G. I. "Сургуулийн математикийн түүх", М.: Просвещение, 1982.

Звавич Л.И. “Алгебр 8-р анги”, М.: Мнемосина, 2002.

Макарычев Ю.Н. "Алгебр 8-р анги", М.: Просвещение, 2015 он.

Плужников I. "Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга" // Сургуулийн математик. - 2000.- № 40.

Пресман А.А. “Луужин ба захирагч ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь” // М., Квант, No 4/72, х.34.

Савин А.П. " Нэвтэрхий толь бичигзалуу математикч"

М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1989 он.

Интернет нөөц:

http://revolution.allbest.ru/

ХАВСРАЛТ 1

"БРАДИС В.М.ИЙН ЦУГЛУУЛГА"

ХАВСРАЛТ 2

“Тэгшитгэлийг БҮХ АРГААР ШИЙДЭХ”

Анхны тэгшитгэл:4x 2 +3х -1 = 0.

1. Дискриминант D ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо

4x 2 +3х -1 = 0

D=б 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. Вьетагийн теорем

4x 2 +3х -1 = 0,тэгшитгэлийг 4-т хувааснаар үүнийг багасгана

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Бүрэн квадратыг сонгох арга

4x 2 +3х -1 = 0

(4х 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2х + -)(2х + +)=0,

(2х -)=0 (2х +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. Бүлэглэх арга

4x 2 +3х -1 = 0

4x 2 +4х-1х-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,хүчин зүйлсийн аль нэг нь =0 байх үед бүтээгдэхүүн =0 байна

(4х-1)=0 (х+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Коэффициентийн шинж чанарууд

4x 2 +3х -1 = 0

Хэрэв a - b+c=0 бол = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Үндсэн коэффициентийг “шидэх” арга

4x 2 +3х -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

Виетийн теорем:

y 1 = -4

y 2 = 1

Олдсон үндсийг үндсэн коэффициентээр хувааж, тэгшитгэлийнхээ язгуурыг гаргацгаая.

X 1 = -1

X 2 =

7. Луужин ба захирагч ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

4x 2 +3х -1 = 0

Тойргийн төв цэгийн координатыг томъёогоор тодорхойлъё.

X 1 = -1

X 2 =

8. График шийдэл

4x 2 +3х -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Нэг координатын системд бид функцийн графикийг байгуулна y = 4x 2 ба функцийн график

y = - 3x+1.Уулзвар цэгүүдийн абсциссуудыг зааж өгсний дараа бид дараах хариултыг авна.

X 1 = -1

9. Номограмм ашиглах

4x 2 +3х -1 = 0,Тэгшитгэлийн коэффициентийг 1/4 хуваавал бид тэгшитгэлийг авна

X 2 +x -= 0.

Номограмм нь эерэг үндэс өгдөг = ,

мөн - х -ээс эерэг язгуурыг хасаж сөрөг язгуурыг олно , тэдгээр.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Шийдэл өгөгдсөн тэгшитгэл EXCEL дээр

ХАВСРАЛТ 3

"СЭДВИЙН ДИДАКТИК МАТЕРИАЛ

“Квадрат тэгшитгэлийг ШИЙДЭХ” »

10x 2 + 2017x + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2х -6с = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17х-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4х -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7х + 2 = 0 1/3 2

ХАВСРАЛТ 4

"СУРАГЧДЫН АЖИЛ"

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:

• Бүх талаар мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэ тэгшитгэлийн төрлүүд, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бүх аргуудын ач холбогдлыг онцлон тэмдэглэ.
• Хичээл дээр янз бүрийн арга техникээр дамжуулан сурагчдын ажлыг эрчимжүүлэх.
• Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолын болон практик ур чадварыг шалгах.
• Нэг тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар шийдэж болно гэдгийг анхаарч үзээрэй

Боловсролын:

• МХХТ ашиглан сурагчдын хичээлийн сонирхлыг нэмэгдүүлэх.
• Сэдвийн талаархи түүхэн материалтай оюутнуудыг танилцуулах.
• Хөгжил сэтгэцийн үйл ажиллагаатэгшитгэлийн төрөл, түүнийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлохдоо.

Боловсролын:

• Ангид сахилга батыг төлөвшүүлэх.
• Өөртөө, өөр хүн болон бидний эргэн тойрон дахь ертөнцөд гоо үзэсгэлэнг мэдрэх чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн төрөл:

• Мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх хичээл.

Хичээлийн төрөл:

• Хосолсон.

Материал техникийн тоног төхөөрөмж:

• Компьютер
• Дэлгэц
• Проектор
• Сэдвийн танилцуулга бүхий диск

Арга, техник:

• Үзүүлэн ашиглах
• Урд талын яриа
• Аман ажил
• Тоглоомын мөчүүд
• Хосоор ажиллах
• Самбар дээр ажиллах
• Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах

Хичээлийн төлөвлөгөө:

1. Зохион байгуулалтын үе (1 минут)
2. Хичээлийн сэдвийг тайлах (3 минут)
3. Хичээлийн сэдэв, зорилгын мэдэгдэл (1 минут)
4. Онолын халаалт (3 минут)
5. Түүхэн аялал (3 минут)
6. "Илүүдэлийг арилгах" тоглоом (2 минут)
7. Бүтээлч ажил(2 минут)
8. "Алдааг олох" даалгавар (2 минут)
9. Нэг тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар шийдвэрлэх (слайд дээр) (3 минут)
10. Нэг тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар шийдвэрлэх (самбар дээр) (24 минут)
11. Хосоор бие даан ажил, дараа нь тайлбар хийх (5 минут)
12. Ганцаарчилсан гэрийн даалгавар (1 минут)
13. Хичээлийн хураангуй эргэцүүлэл (1 минут)

Хичээлийн эпиграф:

"Мэдлэгийг шингээхийн тулд та зөвхөн зугаацаж сурч чадна, та үүнийг хоолны дуршилаар шингээх хэрэгтэй."
А.Франц

Хичээлийн хураангуй

Зохион байгуулалтын хэсэг

Би сурагчдын хичээлд бэлэн байгаа эсэхийг шалгаж, хичээл тасалсан хүмүүсийг тэмдэглэдэг. Залуус аа, 19-р зууны Францын зохиолч А.Франц “Мэдлэгийг шингээж авахын тулд та зөвхөн зугаацаж сурч чадна, үүнийг хоолны дуршилаар шингээх хэрэгтэй; Тиймээс бидний амьдралд хэрэг болох тул хичээл дээрээ зохиолчийн зөвлөгөөг дагаж, мэдлэгийг маш их дур мэдэн шингээцгээе.

Хичээлийн сэдвийг тайлах

Илүү төвөгтэй ажил руу шилжихийн тулд тархиа энгийн ажлуудаар сунгацгаая. Бидний хичээлийн сэдэв нь аман даалгавруудыг шийдэж, хариултыг нь олох замаар шифрлэгдсэн бөгөөд хариулт бүр өөрийн гэсэн үсэгтэй гэдгийг мэдэж, бид хичээлийн сэдвийг нээх болно. Үзүүлэнгийн слайд 3

Хичээлийн сэдэв, зорилгыг илэрхийлэх

Та өөрөө өнөөдрийн хичээлийн сэдвийг нэрлэсэн

"Тэгшитгэлийн төрөл ба тэдгээрийг шийдвэрлэх арга."Илтгэлийн слайд 4

Зорилго: Бүх төрлийн тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудыг эргэн санах, нэгтгэх. Бүх аргыг ашиглан нэг тэгшитгэлийг шийд. Илтгэлийн слайд 5 Эйнштейний мэдэгдлийг унших Илтгэлийн слайд 5

Онолын халаалт

Асуулт илтгэлийн слайд 7

Хариултууд

1. Тэгш байдлыг агуулсан хувьсах утга, зарим үсгээр томилогдсон.
2. Энэ нь түүний бүх үндсийг олох, эсвэл үндэс байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм.
3. Тэгшитгэл үнэн болох хувьсагчийн утга.
4. Энэ тодорхойлолтын дараа тэгшитгэлийн тухай шүлэг уншина уу

Сүүлийн 2 асуултын хариулт Илтгэлийн слайд 9,10,11

Түүхэн аялал

“Тэгшитгэлийг хэн, хэзээ зохион бүтээсэн” тухай түүхэн мэдээлэл Presentation slide 15

... гэдэг нэртэй эртний эх 4 хүүхэддээ өгөхөөр модноос 12 алим түүж, нэргүй байж магадгүй гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэр зөвхөн 12 хүртэл төдийгүй дөрөв хүртэл тоолж, 12-ыг 4-т хэрхэн хувахаа мэдэхгүй байсан байх. Тэгээд тэр алимыг ингэж хуваасан байх: эхлээд хүүхэд бүрт нэг алим, дараа нь өөр алим өгсөн байх. , дараа нь өөр нэг ганцаараа, дараа нь би алим байхгүй болж, хүүхдүүд баяртай байхыг харсан. Эдгээр үйлдлүүдийг орчин үеийн математик хэлээр бичвэл x4=12, өөрөөр хэлбэл ээж маань тэгшитгэл зохиох асуудлыг шийдсэн. Дээрх асуултад хариулах боломжгүй бололтой. Тэгшитгэлийн шийдэлд хүргэдэг асуудлыг хүмүүс хүн болсон цагаасаа эхлэн эрүүл ухаанаар шийдэж ирсэн. МЭӨ 3-4 мянган жилийн өмнө ч Египетчүүд, Вавилончууд хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдэж чадсан бөгөөд тэдгээрийн хэлбэр, шийдвэрлэх арга нь орчин үеийнхтэй адилгүй байв. Грекчүүд египетчүүдийн мэдлэгийг өвлөн аваад цаашаа явав. Амжилт хүсьеТэгшитгэлийн сургаалыг хөгжүүлэхэд Грекийн эрдэмтэн Диофант (III зуун) хүрсэн бөгөөд түүний тухай дараахь зүйлийг бичжээ.

Тэр маш олон асуудлыг шийдсэн.
Тэр үнэр, шүршүүрийг урьдчилан таамагласан.
Түүний мэдлэг үнэхээр гайхалтай.

Төв Азийн математикч Мухаммед аль Хорезми (9-р зуун) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд асар их хувь нэмэр оруулсан. Түүний алдарт аль-Хорезми ном нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Үүнийг "Китаб аль-жабр валь-мукабала", өөрөөр хэлбэл "Нэмэлт ба эсэргүүцлийн ном" гэж нэрлэдэг. Энэ номыг европчуудад мэддэг болсон бөгөөд "ал-жабр" гэдэг үгнээс "алгебр" гэсэн үг гарч ирсэн бөгөөд энэ нь математикийн гол хэсгүүдийн нэг юм. Дараа нь олон математикчид тэгшитгэлийн бодлого дээр ажилласан. x2+in=0 хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг 15-р зуунд амьдарч байсан Германы математикч Штифел томъёолжээ. Голландын математикч Жирард (16-р зуун), Декарт, Ньютон нарын бүтээлүүдийн дараа шийдлийн арга нь орчин үеийн хэлбэрийг олж авсан. Тэгшитгэлийн үндэс нь түүний коэффициентээс хамаарлыг илэрхийлдэг томъёог Виет танилцуулсан. Франсуа Вьет 16-р зуунд амьдарч байжээ. Тэрээр математик, одон орон судлалын янз бүрийн асуудлыг судлахад ихээхэн хувь нэмэр оруулсан; тэр дундаа тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн үсгийн тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн. Одоо түүний амьдралын нэгэн сонирхолтой үйл явдалтай танилцацгаая. Вьетнам Франц-Испанийн дайны үеэр III Генри хааны үед асар их алдар нэрийг олж авсан. Испанийн инквизиторууд маш нарийн төвөгтэй нууц бичгийг зохион бүтээсэн бөгөөд үүний ачаар испаничууд дайснуудтайгаа захидал бичдэг байв. Генри IIIФранцад ч гэсэн.

Францчууд дэмий л кодын түлхүүрийг олох гэж оролдсон бөгөөд дараа нь хаан Вьета руу эргэв. Тэд хоёр долоо хоног тасралтгүй ажилласны дараа Вьетнам кодын түлхүүрийг олсон бөгөөд үүний дараа Испанийн хувьд гэнэтийн байдлаар Франц нэг тулалдаанд ялалт байгуулж эхлэв. Энэ кодыг тайлж чадахгүй гэдэгт итгэлтэй байсан испаничууд Вьетнамыг чөтгөртэй холбоотой гэж буруутгаж, гадасны дэргэд шатаах ял оноожээ. Азаар түүнийг Инквизицид шилжүүлээгүй бөгөөд агуу математикч гэдгээрээ түүхэнд үлджээ.

Тоглоом "Илүүдэлийг арилгах"

Тоглоомын зорилготэгшитгэлийн төрлүүдийн чиг баримжаа.

Бидэнд гурвыг өгдөг тэгшитгэлийн багана, дТэд тус бүрийн хувьд тэгшитгэлийг зарим шалгуурын дагуу тодорхойлдог боловч тэдгээрийн нэг нь таны даалгавар бол үүнийг олох, тодорхойлох явдал юм. Илтгэлийн слайд 16

Бүтээлч ажил

Энэ даалгаврын зорилго: Математикийн яриаг сонсож ойлгох, хүүхдүүдийг тэгшитгэлийн төрлүүдэд чиглүүлэх.

Дэлгэц дээр та 9 тэгшитгэлийг харж байна. Тэгшитгэл бүр өөрийн гэсэн дугаартай, би энэ тэгшитгэлийн төрлийг нэрлэх болно, та энэ төрлийн тэгшитгэлийг олж, зөвхөн түүний доор гарч буй тоог тавих ёстой, үр дүнд нь та 9 оронтой тоог авах болно.

1. Багасгасан квадрат тэгшитгэл.
2. Бутархай рационал тэгшитгэл
3. Куб тэгшитгэл
4. Логарифм тэгшитгэл
5. Шугаман тэгшитгэл
6. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл
7. Экспоненциал тэгшитгэл
8. Иррационал тэгшитгэл
9. Тригонометрийн тэгшитгэл

"Алдааг олох" даалгавар

Нэг сурагч тэгшитгэлийг бодсон боловч анги бүхэлдээ инээж, тэр тэгшитгэл болгонд алдаа гаргасан, таны даалгавар бол үүнийг олж засварлах явдал юм. Илтгэлийн слайд 18

Нэг тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар шийдвэрлэх

Одоо ангид цаг хэмнэхийн тулд нэг тэгшитгэлийг бүх боломжит аргаар шийдье. Одоо та энэ тэгшитгэлийн төрлийг нэрлэж, энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ямар арга хэрэглэж байгааг тайлбарлах болно

Нэг тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар шийдвэрлэх (самбар дээр)

Бид жишээг харлаа, одоо тэгшитгэлийг самбар дээрх бүх аргаар шийдье.

X-2 - иррационал тэгшитгэл

Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Бид энэ тэгшитгэлийг самбар дээр 9 аргаар шийддэг.

Хосоор бие даан ажиллаж, дараа нь самбар дээр тайлбар хийнэ

Одоо та хоёр хосоороо ажиллах болно, би таны ширээнд тэгшитгэл өгье, таны даалгавар бол тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлох, энэ тэгшитгэлийг шийдэх бүх аргыг жагсаах, 1-2-ыг хамгийн оновчтой аргаар шийдэх явдал юм. (2 минут)

Хосоор ажиллах даалгавар

Тэгшитгэлийг шийд

Дараа нь бие даасан ажилХосоороо нэг төлөөлөгч самбар дээр гарч, тэгшитгэлээ танилцуулж, нэг аргаар шийддэг

Бие даасан гэрийн даалгавар(ялгаатай)

Тэгшитгэлийг шийд

(тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлох, тусдаа хуудсан дээр бүх аргаар шийдвэрлэх)

Тунгаан бодох хичээлийн хураангуй.

Би хичээлээ нэгтгэн дүгнэж, нэг тэгшитгэлийг олон аргаар шийдэж болно гэдэгт анхаарлаа хандуулж, үнэлгээ өгч, хэн идэвхтэй байсан, хэн илүү идэвхтэй байх ёстой талаар дүгнэлт хийдэг. Би Калинины мэдэгдлийг уншсан. Илтгэлийн слайд 28

Өнөөдрийн хичээл дээр бидний тавьсан зорилгыг анхааралтай ажигла.

• Бид юу хийж чадсан гэж та бодож байна вэ?
• Юу нь тийм сайн болоогүй юм бэ?
• Ялангуяа та юунд дуртай, санаж байсан бэ?
• Өнөөдөр би шинэ зүйл сурлаа ...
• Хичээлийн явцад миний мэдлэг хэрэг болсон...
• Надад хэцүү байсан...
• Хичээл таалагдлаа...

Уран зохиол.

1. Дорофеев Г.В. "Ахлах сургуулийн математикийн хичээлийн бичгийн шалгалт өгөх даалгаврын цуглуулга" - М.: Бустард, 2006.
2. Гарнер Мартин. Математикийн тааварболон зугаа цэнгэл.
3. Ивлев Б.М., Сахакян С.М. Дидактик материал 10-р анги, 11-р ангид зориулсан алгебр ба анализын эхлэлийн тухай. М .: Гэгээрэл. 2002.

илэрхийлсэн тэгшитгэл квадрат гурвалжин, ихэвчлэн квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Алгебрийн үүднээс авч үзвэл a*x^2+b*x+c=0 томьёогоор тодорхойлогддог. Энэ томъёонд х нь олох шаардлагатай үл мэдэгдэх (үүнийг чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг); a, b ба c - тоон магадлал. Заасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн талаар хэд хэдэн хязгаарлалтууд байдаг: жишээлбэл, a коэффициент 0-тэй тэнцүү байх ёсгүй.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх: ялгаварлагчийн тухай ойлголт

Энэ үзэл баримтлал нь зөвхөн a коэффициент нь 0-ээс эрс ялгаатай байхыг шаарддаг гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс b коэффициент нь 0-тэй тэнцүү байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь өөрөө a*x^2+c хэлбэртэй байна. =0. Ийм нөхцөлд дискриминант ба үндсийг тооцоолох томъёонд 0-ийн коэффициентийн утгыг ашиглах ёстой. Тэгэхээр энэ тохиолдолд ялгаварлагчийг D=-4ac гэж тооцно.

Эерэг дискриминантын тусламжтайгаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Тэг ба сөрөг дискриминанттай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Ерөнхий яам болон мэргэжлийн боловсрол RF

Хотын боловсролын байгууллага

12-р биеийн тамирын заал

найрлага

сэдвээр: Тэгшитгэл ба тэдгээрийг шийдвэрлэх арга

Гүйцэтгэсэн: 10 "А" ангийн сурагч

Крутко Евгений

Шалгасан: математикийн багш Исхакова Гульсум Акрамовна

Тюмень 2001

Төлөвлөгөө................................................................ ................................................... ...... ................................ 1

Танилцуулга.................................................. ....... ................................................. ............................................. 2

Үндсэн хэсэг................................................. ... ................................................... ......... ................... 3

Дүгнэлт.................................................. ................................................... ...... .............. 25

Өргөдөл.................................................. ................................................... ...... ................ 26

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт................................................. .......................... 29

Төлөвлөгөө.

Танилцуулга.

Түүхэн мэдээлэл.

Тэгшитгэл. Алгебрийн тэгшитгэл.

a) Үндсэн тодорхойлолтууд.

б) Шугаман тэгшитгэл, түүнийг шийдвэрлэх арга.

в) Квадрат тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.

г) Бином тэгшитгэл, түүнийг хэрхэн шийдвэрлэх арга.

г) Куб тэгшитгэлтүүнийг шийдвэрлэх арга замууд.

д) Биквадрат тэгшитгэлмөн үүнийг шийдвэрлэх арга зам.

ж) Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.

g) Тэгшитгэл өндөр зэрэгтэйболон шийдлээс авах аргууд.

h) оновчтой алгебрийн тэгшитгэлмөн үүнийг хийх арга зам

Тэгээд) Иррационал тэгшитгэлтүүнийг шийдвэрлэх арга замууд.

j) Тэмдгийн доор үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэл.

үнэмлэхүй үнэ цэнэ, түүнийг шийдвэрлэх арга.

Трансцендент тэгшитгэл.

A) Экспоненциал тэгшитгэлмөн тэдгээрийг шийдвэрлэх арга зам.

б) Логарифм тэгшитгэлмөн тэдгээрийг шийдвэрлэх арга зам.

Танилцуулга

Математикийн боловсролыг онд авсан дунд сургууль, байна чухал бүрэлдэхүүн хэсэг ерөнхий боловсролТэгээд ерөнхий соёлорчин үеийн хүн. Орчин үеийн хүнийг хүрээлж буй бараг бүх зүйл математиктэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой байдаг. А хамгийн сүүлийн үеийн ололт амжилтфизик, технологи болон мэдээллийн технологиирээдүйд байдал хэвээрээ байх болно гэдэгт эргэлзэх хэрэггүй. Тиймээс олон практик асуудлыг шийдэх нь та шийдэж сурах хэрэгтэй янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Энэхүү ажил нь дээрх сэдвээр судалсан материалыг нэгтгэн дүгнэх, системчлэх оролдлого юм. Би материалыг хамгийн энгийнээс эхлээд хүндрэлийн дарааллаар эрэмбэлсэн. Үүнд сургуулийн алгебрийн хичээлээс бидэнд мэдэгдэж байсан тэгшитгэлийн төрлүүд болон нэмэлт материалыг хоёуланг нь багтаасан болно. Үүний зэрэгцээ би сургуулийн хичээл дээр судлагдаагүй, гэхдээ дээд сургуульд ороход мэдлэг хэрэгтэй байж болох тэгшитгэлийн төрлүүдийг харуулахыг хичээсэн. боловсролын байгууллага. Ажил дээрээ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ би зөвхөн үүгээр хязгаарлаагүй хүчинтэй шийдэл, гэхдээ бас төвөгтэй нэгийг зааж өгсөн, учир нь өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь зүгээр л шийдэгдээгүй гэж би бодож байна. Эцсийн эцэст хэрэв тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй бол энэ нь шийдэлгүй гэсэн үг биш юм. Харамсалтай нь цаг зав муутай учраас өөрт байгаа бүх материалаа танилцуулж чадаагүй ч энд танилцуулсан материалтай ч гэсэн олон асуулт гарч ирж магадгүй юм. Миний мэдлэг ихэнх асуултад хариулахад хангалттай гэж найдаж байна. Тиймээс би материалыг танилцуулж эхэлнэ.

Математик... дарааллыг илчилдэг,

тэгш хэм ба итгэлтэй байдал,

мөн эдгээр нь гоо сайхны хамгийн чухал төрөл юм.

Аристотель.

Түүхэн суурь

Мэргэдүүд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан тэгш байдлын талаар анх бодож эхэлсэн тэр алс үед зоос, хэтэвч байгаагүй байх. Гэхдээ тэнд овоолго, түүнчлэн сав, сагс байсан бөгөөд тэдгээр нь үл мэдэгдэх тооны эд зүйлсийг хадгалах боломжтой хадгалах кэшийн үүрэг гүйцэтгэхэд тохиромжтой байв. МЭӨ 2-р мянганы үед Египетийн бичээч Ахмес "Бид гуравны хоёр, хагас, долооны нэгтэй нийлээд 37 ... болох овоо хайж байна" гэж заажээ. Эртний үед математикийн асуудлуудМесопотами, Энэтхэг, Хятад, Грек, үл мэдэгдэх тоо хэмжээ нь цэцэрлэгт тогос тоо, сүрэг дэх бухын тоо, эд хөрөнгийг хуваахдаа харгалзан үзсэн бүх зүйлийг илэрхийлсэн. Бүртгэлийн шинжлэх ухаанд сайн бэлтгэгдсэн бичээч, түшмэд, санаачлагчид нууц мэдлэгТахилч нар ийм даалгавруудыг амжилттай даван туулж чадсан.

Эртний эрдэмтэд заримыг нь эзэмшдэг байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд харуулж байна ерөнхий техникүл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй асуудлыг шийдвэрлэх. Гэсэн хэдий ч, нэг ч папирус, нэг ч биш шавар шахмалЭдгээр техникүүдийн талаар ямар ч тайлбар өгөөгүй байна. Зохиогчид тоон тооцоололдоо "Хараач!", "Үүнийг хий!", "Та зөвийг нь олсон байна" гэх мэт бүдүүлэг тайлбаруудыг зөвхөн хааяа өгдөг. Энэ утгаараа үл хамаарах зүйл бол Грекийн математикч Александрийн Диофантус (III зуун) -ын "Арифметик" бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүдийг системтэй танилцуулсан тэгшитгэл зохиох асуудлын цуглуулга юм.

Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдвэрлэх анхны гарын авлага бол 9-р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл юм. Мухаммед бин Муса аль-Хорезми. Энэхүү зохиолын араб нэрнээс гаралтай "аль-жабр" гэдэг үг нь "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Сэргээн босголт ба эсэргүүцлийн ном") нь цаг хугацааны явцад алдартай "алгебр" гэсэн үг болж хувирсан бөгөөд уг бүтээл Аль-Хорезми өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааны хөгжлийн эхлэл болсон.

тэгшитгэл Алгебрийн тэгшитгэл

Үндсэн тодорхойлолтууд

Алгебрийн хувьд тэгшитгэл ба тэгшитгэл гэсэн хоёр төрлийн тэгш байдлыг авч үздэг.

БаримтлалЭнэ нь түүнд орсон үсгүүдийн бүх (зөвшөөрөгдөх) утгыг хангасан тэгш байдал юм). Тэмдгийн хамт хэн болохыг тэмдэглэх

ТэгшитгэлЭнэ нь зөвхөн түүнд орсон үсгүүдийн тодорхой утгуудад л хамаарах тэгш байдал юм. Асуудлын нөхцлийн дагуу тэгшитгэлд орсон үсэг нь тэгш бус байж болно: зарим нь бүгдийг нь хүлээн зөвшөөрч болно. хүчинтэй утгууд(тэд гэж нэрлэдэг параметрүүдэсвэл коэффициентүүдтэгшитгэлүүд бөгөөд ихэвчлэн эхний үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг Латин цагаан толгой:

IN ерөнхий үзэлтэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тооноос хамаарч үл мэдэгдэх тэгшитгэлнэг, хоёр гэх мэт үл мэдэгдэх тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэл. Шийдэл, жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Шугаман тэгшитгэл.

Шугаман тэгшитгэл нь хамгийн их биш юм нарийн төвөгтэй сэдэв сургуулийн математик. Гэхдээ тэнд бэлтгэгдсэн оюутныг ч төөрөлдүүлж болох заль мэх байдаг. Үүнийг олж мэдье?)

Ихэвчлэн шугаман тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл гэж тодорхойлдог.

сүх + б = 0 Хаана а ба б- дурын тоо.

2х + 7 = 0. Энд a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Энд байна a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Энд байна a=12, b=1/2

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү? Ялангуяа та дараах үгсийг анзаараагүй бол: "А ба b нь дурын тоо"... Хэрэв та анзаарч, хайхрамжгүй бодож байгаа бол?) Эцсийн эцэст, хэрэв a=0, b=0(ямар ч тоо байж болох уу?), Дараа нь бид инээдтэй илэрхийлэл авах болно:

Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Хэрэв хэлэхэд, a=0,А b=5,Энэ нь бүрэн утгагүй зүйл болж хувирав:

Энэ нь ядаргаатай, математикт итгэх итгэлийг бууруулдаг, тиймээ ...) Ялангуяа шалгалтын үеэр. Гэхдээ эдгээр хачирхалтай илэрхийллүүдийн дотроос та X-г олох хэрэгтэй! Энэ нь огт байдаггүй. Гайхалтай нь энэ X-г олоход маш хялбар байдаг. Бид үүнийг хийж сурах болно. Энэ хичээл дээр.

Шугаман тэгшитгэлийг гадаад төрхөөр нь хэрхэн таних вэ? Юунаас хамаарна гадаад төрх.) Заль нь зөвхөн хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэггүй явдал юм сүх + б = 0 , гэхдээ бас хувиргах, хялбаршуулах замаар энэ хэлбэрт оруулж болох аливаа тэгшитгэл. Энэ нь буух эсэхийг хэн мэдэх вэ?)

Шугаман тэгшитгэлийг зарим тохиолдолд тодорхой хүлээн зөвшөөрч болно. Хэрэв бид зөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлд үл мэдэгдэх тоонууд байдаг тэгшитгэлтэй бол гэж үзье. Мөн тэгшитгэлд байхгүй байна хуваагдсан бутархай үл мэдэгдэх , энэ чухал! Мөн хуваах тоо,эсвэл тоон бутархай - үүнийг тавтай морилно уу! Жишээ нь:

Энэ бол шугаман тэгшитгэл юм. Энд бутархай хэсгүүд байдаг, гэхдээ квадрат, шоо гэх мэт х үсэг байхгүй, хуваагчдад х байхгүй, өөрөөр хэлбэл. Үгүй х-д хуваах. Энд тэгшитгэл байна

шугаман гэж нэрлэж болохгүй. Энд X нь бүгд нэгдүгээр зэрэгтэй, гэхдээ тэнд байдаг х-ээр илэрхийллээр хуваах. Хялбаршуулсан болон хувиргасны дараа та шугаман тэгшитгэл, квадрат тэгшитгэл эсвэл хүссэн зүйлээ авах боломжтой.

Шугаман тэгшитгэлийг бараг л шийдэхээс нааш зарим төвөгтэй жишээн дээр таних боломжгүй юм. Энэ бухимдаж байна. Гэхдээ даалгавар өгөхдөө дүрмээр бол тэд тэгшитгэлийн хэлбэрийг асуудаггүй, тийм үү? Даалгаврууд нь тэгшитгэлийг асууна шийдэх.Энэ нь намайг аз жаргалтай болгодог.)

Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ.

Бүх шийдэл шугаман тэгшитгэлтэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудаас бүрдэнэ. Дашрамд хэлэхэд эдгээр өөрчлөлтүүд (тэдгээрийн хоёр нь!) шийдлүүдийн үндэс суурь юм Математикийн бүх тэгшитгэлүүд.Өөрөөр хэлбэл шийдэл ямар чтэгшитгэл нь эдгээр өөрчлөлтүүдээс эхэлдэг. Шугаман тэгшитгэлийн хувьд энэ нь (шийдвэр) эдгээр хувиргалт дээр үндэслэсэн бөгөөд бүрэн хариултаар төгсдөг. Холбоосыг дагах нь утга учиртай, тийм үү?) Түүгээр ч барахгүй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүд бас байдаг.

Эхлээд хамгийн энгийн жишээг авч үзье. Ямар ч бэрхшээлгүйгээр. Бид энэ тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

x - 3 = 2 - 4x

Энэ бол шугаман тэгшитгэл юм. X нь бүгд нэгдүгээр зэрэглэлд байдаг, X-д хуваагддаггүй. Гэвч үнэн хэрэгтээ энэ нь ямар төрлийн тэгшитгэл байх нь бидэнд хамаагүй. Бид үүнийг шийдэх хэрэгтэй. Энд байгаа схем нь энгийн. Тэгшитгэлийн зүүн талд X-тэй бүх зүйлийг, баруун талд X-гүй (тоо) бүгдийг цуглуул.

Үүнийг хийхийн тулд та шилжүүлэх хэрэгтэй - 4x инч зүүн тал, тэмдгийн өөрчлөлттэй, мэдээжийн хэрэг, мөн - 3 - баруун тийш. Дашрамд хэлэхэд энэ бол тэгшитгэлийн анхны ижил хувиргалт.Гайхсан уу? Энэ нь та холбоосыг дагаагүй гэсэн үг, гэхдээ дэмий ...) Бид дараахыг авна:

x + 4x = 2 + 3

Үүнтэй төстэй зүйлсийг бид авч үзье:

Бүрэн аз жаргалын төлөө бидэнд юу хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, ингэснээр зүүн талд цэвэр X байна! Тав нь замдаа байна. Тусламжаар таваас салах нь тэгшитгэлийн хоёр дахь ижил хувиргалт.Тухайлбал, бид тэгшитгэлийн хоёр талыг 5-д хуваана. Бид бэлэн хариултыг авна:

Мэдээжийн хэрэг, энгийн жишээ. Энэ бол халаалтад зориулагдсан юм.) Би яагаад энд адилхан өөрчлөлтүүдийг санасан нь тодорхойгүй байна уу? OK. Бухыг эврээс нь барьцгаая.) Илүү хатуу зүйлийг шийдье.

Жишээлбэл, тэгшитгэл энд байна:

Бид хаанаас эхлэх вэ? X-тэй - зүүн тийш, X-гүй - баруун тийш үү? Энэ боломжтой. Жижиг алхамаар урт зам. Эсвэл та үүнийг шууд, бүх нийтийн, хүчирхэг аргаар хийж болно. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв таны зэвсэглэлд тэгшитгэлийн ижил өөрчлөлтүүд байгаа бол.

Би чамаас асууя гол асуулт: Та энэ тэгшитгэлийн юунд хамгийн дургүй вэ?

100 хүний ​​95 нь хариулах болно. бутархай ! Хариулт нь зөв. Тиймээс тэднээс салцгаая. Тиймээс бид нэн даруй эхэлнэ хоёр дахь таних өөрчлөлт. Зүүн талд байгаа бутархайг үржүүлэхийн тулд хуваагч бүрэн буурахад юу хэрэгтэй вэ? Энэ нь зөв, 3-т. Тэгээд баруун талд? 4-ээр. Гэхдээ математик бидэнд хоёр талыг үржүүлэх боломжийг олгодог ижил тоо. Бид яаж гарах вэ? Хоёр талыг 12-оор үржүүлье! Тэдгээр. дээр нийтлэг хуваагч. Дараа нь гурав, дөрөв хоёулаа багасна. Хэсэг бүрийг үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг бүү мартаарай бүхэлд нь. Эхний алхам нь дараах байдалтай байна.

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

Анхаар! Тоологч (x+2)Би үүнийг хаалтанд хийсэн! Учир нь бутархайг үржүүлэхэд бүхэл тоог үржүүлдэг! Одоо та бутархайг багасгаж болно:

Үлдсэн хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү:

Жишээ биш, гэхдээ туйлын таашаал!) Одоо шившлэгийг санацгаая бага ангиуд: X-тэй - зүүн тийш, Xгүйгээр - баруун тийш!Мөн энэ хувиргалтыг хэрэгжүүл:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Мөн хоёр хэсгийг 25-аар хуваана, өөрөөр хэлбэл. хоёр дахь хувиргалтыг дахин хэрэглэнэ:

Ингээд л болоо. Хариулт: X=0,16

Анхаарна уу: Анхны будлиантай тэгшитгэлийг сайхан хэлбэрт оруулахын тулд бид хоёр (хоёрхон!) ашигласан. таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд– тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлэх-хуваах тэмдгийн өөрчлөлттэй зүүнээс баруун тийш орчуулна. Энэ бүх нийтийн арга! Бид ийм байдлаар ажиллах болно ямар ч тэгшитгэлүүд! Үнэхээр хэн ч. Тийм ч учраас би эдгээр ижил өөрчлөлтүүдийн талаар байнга уйтгартай давтдаг.)

Таны харж байгаагаар шугаман тэгшитгэлийг шийдэх зарчим нь энгийн. Бид тэгшитгэлийг авч, хялбаршуулдаг таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдхариу хүлээн авахаас өмнө. Энд байгаа гол асуудал бол шийдлийн зарчимд биш харин тооцоололд байгаа юм.

Гэхдээ... Хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ийм гэнэтийн зүйлүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь таныг хүчтэй тэнэг байдалд оруулдаг ...) Аз болоход ийм гэнэтийн хоёрхон зүйл байж болно. Тэднийг онцгой тохиолдол гэж нэрлэе.

Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онцгой тохиолдлууд.

Эхний сюрприз.

Та үүнийг авсан гэж бодъё хамгийн энгийн тэгшитгэл, иймэрхүү зүйл:

2х+3=5х+5 - 3х - 2

Бага зэрэг уйтгартай, бид үүнийг X-ээр зүүн тийш, Xгүйгээр - баруун тийш шилжүүлнэ ... Тэмдгийг өөрчилснөөр бүх зүйл төгс болно ... Бид дараахь зүйлийг авна.

2х-5х+3х=5-2-3

Бид тоолдог, бас... өө!!! Бид авах:

Энэ тэгш байдал нь өөрөө татгалзах зүйл биш юм. Үнэхээр тэг тэгтэй тэнцүү. Гэхдээ X байхгүй байна! Мөн бид хариултанд бичих ёстой. x нь хэдтэй тэнцүү вэ?Тэгэхгүй бол шийдэл нь тоохгүй биз дээ...) мухардмал уу?

Тайвшир! Ийм эргэлзээтэй тохиолдолд хамгийн ерөнхий дүрмүүд таныг аврах болно. Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь, орлуулах үед x-ийн бүх утгыг ол анхны тэгшитгэл, бидэнд жинхэнэ тэгш байдлыг өгөх болно.

Гэхдээ бид жинхэнэ тэгш эрхтэй аль хэдийнэнэ ажилласан! 0=0, хэр илүү нарийвчлалтай вэ?! Энэ нь x-ийн үед юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ. X-ийн ямар утгыг орлуулж болох вэ эхтэгшитгэл хэрэв эдгээр x бол Тэд тэг хүртэл буурсаар байх уу?Алив?)

Тиймээ!!! X-г орлуулж болно ямар ч!Та алийг нь хүсч байна вэ? Хамгийн багадаа 5, доод тал нь 0,05, хамгийн багадаа -220. Тэд багассан хэвээр байх болно. Хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол шалгаж болно.) X-ийн дурын утгыг орлуулна уу эхтэгшитгэл ба тооцоо. Энэ нь үргэлж үр дүнтэй байх болно цэвэр үнэн: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 гэх мэт.

Энд таны хариулт байна: x - дурын тоо.

Хариултыг өөр өөр математикийн тэмдэгтээр бичиж болно, мөн чанар нь өөрчлөгддөггүй. Энэ бол бүрэн зөв бөгөөд бүрэн хариулт юм.

Хоёр дахь гэнэтийн бэлэг.

Ижил энгийн шугаман тэгшитгэлийг авч, зөвхөн нэг тоог өөрчилье. Энэ бол бид шийдэх болно:

2х+1=5х+5 - 3х - 2

Үүнтэй ижил өөрчлөлтүүдийн дараа бид сонирхолтой зүйлийг олж авна:

Энэ мэт. Бид шугаман тэгшитгэлийг шийдэж, хачирхалтай тэгшитгэлтэй болсон. Ярьж байна математик хэл, бид авсан хуурамч тэгш байдал.Тэгээд ярьж байна энгийн хэлээр, энэ үнэн биш. Рав. Гэсэн хэдий ч энэ утгагүй зүйл бол маш сайн шалтгаан юм зөв шийдвэртэгшитгэл.)

Дахин бид ерөнхий дүрмүүд дээр үндэслэн бодож байна. Анхны тэгшитгэлд х-г орлуулбал бидэнд юу өгөх вэ үнэнтэгш байдал? Тийм ээ, үгүй! Ийм X байхгүй. Та юу ч хийсэн хамаагүй бүх зүйл багасна, зөвхөн дэмий хоосон зүйл үлдэх болно.)

Энд таны хариулт байна: шийдэл байхгүй.

Энэ нь бас бүрэн дүүрэн хариулт юм. Математикийн хувьд ийм хариултууд ихэвчлэн олддог.

Энэ мэт. Одоо ямар ч (зөвхөн шугаман биш) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад X-ууд алга болох нь таныг огт төөрөгдүүлэхгүй байх гэж найдаж байна. Энэ бол аль хэдийн танил болсон асуудал.)

Одоо бид шугаман тэгшитгэлийн бүх алдааг шийдсэн тул тэдгээрийг шийдвэрлэх нь утга учиртай юм.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.