Зохиолын хичээлийн эхний хэсгийн даалгавруудыг эзэмшсэний дараа та хэсэг рүү шилжих хэрэгтэй тусгай даалгавар. Тэдний нэг нь эмхэтгэх даалгавар юм геометрийн хэлбэрүүддуудсан.
Энэ даалгаварт оюутан суурь болгон авах үүрэгтэй геометрийн элемент- үүн дээр суурилсан модуль нь гоёл чимэглэлийн загварыг боловсруулж, тэдгээрээс циклийн найрлагыг нэгтгэдэг.
Комбинаторик нэр нь үүнээс гаралтай Латин үг "хослуулах", гэж орчуулагддаг "нийлэх, нэгтгэх". Ихэнхдээ энэ нэр томъёог математикийн салбарт ашигладаг бөгөөд үүнийг салангид объектуудыг судлахад ашигладаг. Аз болоход, онд урлагийн талбаркомбинаторикийн хувьд нөхцөл байдал илүү хялбар байдаг. Урлаг дахь комбинаторик, ялангуяа гоёл чимэглэлийн зүйл бол бие даасан дүрсийг хослуулах, цэгцлэх, цэгцлэх арга юм.
Техникийн гарал үүсэлтэй хэдий ч комбинаторик нь өөрийн гэсэн шууд урлагийн талуудтай байдаг.
Комбинаторикийн зарчмуудыг анх удаа 1920-иод онд Зөвлөлтийн конструктивистууд болох А.Родченко, В.Татлин, К.Мельников нар томъёолж, практикт хэрэглэж эхэлсэн. Комбинаторик аргыг дизайны төрлүүдийн нэг болгон ашигласан. Энэхүү чиглэл нь өөрөө шинэ цаг үеийн эрэлт хэрэгцээ, үйлдвэрлэл, дизайн, ухуулгад шинэ хандлага, урлаг нь бүтээлч үйл явцын шууд нэг хэсэг болсон хариу арга хэмжээ болж гарч ирэв.
Энэ аргыг бүхэл бүтэн гэр ахуйн эд зүйлс: хувцас, тавилга, дотоод засал чимэглэл, түүнчлэн үзүүлэн таниулах хэрэгслүүд: тайз, үзэсгэлэнгийн павильон, стенд гэх мэтийг зохион бүтээхэд идэвхтэй ашигласан.
Комбинаторикийн тодорхойлолт нь маш энгийн боловч логик сонсогдож байна - энгийн геометрийн дүрсүүдийн багцаас шинэ элементүүдийг нэгтгэх, эдгээр элементүүдийг дахин зохион байгуулахдаа холболт, хослолыг олох.
Бүх конструктивист урлаг энэ зарчим дээр суурилдаг.
Комбинаторикийн даалгаврын тодорхойлолт.
Оюутны өмнө тулгамдаж буй гол ажил бол цаашдын найрлагыг угсарч болох комбинатор элементийг олох явдал юм.
Комбинаторын элемент нь ихэвчлэн байдаг геометрийн хэлбэрбөөрөнхий болон муруй шугамтай ямар ч хэлбэр нь дөрвөлжин, гурвалжин гэх мэт шулуун шугамтай дүрсүүдээс хэлбэр бүтээх чадвар багатай байдаг тул шулуун шугамтай.
Дараа нь хэлбэр, сэлгэлт, эргэлт, нэгдэх янз бүрийн аргуудын холбоогоор дамжуулан гоёл чимэглэлийн тасралтгүй, мөчлөгт гинжийг бий болгох шаардлагатай. Тэдгээрээс бие даасан график найрлагыг төлөөлсөн rapport зурагнуудыг угсарч болно.
Элементүүдийн гинж үүсгэхийн тулд та дараахь зүйлийг ашиглах хэрэгтэй найруулгын техник, хамгийн их гоо зүйн болон гоёл чимэглэлийн илэрхийлэлийг хангадаг. Элемент нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой бүрэлдэхүүн хэсэггоёл чимэглэлийн бүтцэд органик байдлаар байрлуулсан загварууд.
Манай цех нь оюутан идэвхтэй оролцдог байдлаар баригдсан бүтээлч үйл явц. Тэрээр харааны дүрсийг хайж, бие даан ноорог зурж, хувилбаруудыг санал болгов. Багшийн даалгавар бол ноорог төслийг төсөлд хэрэгжүүлэх ирээдүйтэй чиглэлийг сонгох, зөвлөгөө өгөхөд туслах явдал юм.
Дадлагаас харахад энэ арга нь багшийн дараа хийсэн үйлдлүүдийг синхрон давтахаас хамаагүй илүү үр дүнтэй бөгөөд оюутан хөдөлгөөн бүрийг механикаар хуулбарлах ёстой. Энэ арга нь бусад урлагийн салбарт тохиромжтой, гэхдээ найруулгад биш, учир нь техникийг хөгжүүлдэг боловч ашиглаагүй орхидог. чухал ур чадвар – уран сайхны санаа гаргах, гаргах чадвар.
Энэ үе шатанд бид даалгаварт хэрэгтэй нэмэлтийг ашигладаг бөгөөд энэ нь мэдээж хэрэг болно урлагийн үйл ажиллагаа. Төслөө танилцуулж буй оюутан нь хослолын элементүүдийн сонголтыг зөвтгөж, хослуулах явцад олж авсан график ойлголтыг тайлбарлах ёстой. Энэ нь даалгавраа дуусгахад анхаарлаа төвлөрүүлж, үйлдлийнхээ талаар утга учиртай бодох, мөн ажлынхаа эцсийн хэлбэрийг төсөөлөхөд тусална.
Энэ төрлийн даалгавар нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
- зөн совингийн найруулгын ур чадварыг хөгжүүлэх;
- хамгийн оновчтой хослолыг хайх;
- хамгийн бага арга хэрэгслийг ашиглан харааны асуудлыг шийдвэрлэх.
Даалгаврыг A2 форматын хуудсан дээр үзэг, маркер, доторлогоо, гуаш эсвэл темпера ашиглаж болно.
Хичээлд бүртгүүлэх, зардал, цаг хугацаа, эхний хичээлд ямар материал авч явах талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл авахыг хүсвэл 8 903 669-80-89, 8 903 669-49-59 дугаарын утсаар болон бидэн рүү бичээрэй. имэйл [имэйлээр хамгаалагдсан]
Энэ хэсгийн олимпиадын асуудлууд нь байрлуулах, бүрээс, баглаа боодол, хавтанцартай холбоотой янз бүрийн үнэлгээ, дүрсүүдийн янз бүрийн хослолуудтай холбоотой. Хамгийн их ерөнхий шинж чанаруудхавтгай ба орон зай дахь дүрсүүдийн байршилтай холбоотой. Зөвхөн дараах зүйлийг тэмдэглэе.
Жорданы теорем:Өөрөө огтлолцдоггүй аливаа битүү тасархай шугам нь хавтгайг дотоод ба гадаад гэсэн 2 мужид хуваадаг бөгөөд дотоод бүсээс гаднах цэг хүртэлх ямар ч зам энэ тасархай шугамыг огтолж, муж бүрийн хоёр цэг байж болно. тасархай шугамыг огтолдоггүй замаар холбогдсон.
Гүдгэр багцнь хоёр цэг бүрийн хамт эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийг бүхэлд нь агуулсан олонлог юм.
Гүдгэр их биений дүрсЭнэ дүрсийг агуулсан хамгийн жижиг гүдгэр багц; Хязгаарлагдмал олонлогийн гүдгэр их бие нь өгөгдсөн цэгүүдийн заримд нь оройтой олон өнцөгт (сансарт олон өнцөгт) юм.
Энэ зурагтай хамт үүнийг авч үзэх нь ашигтай байж болох юм r-хөрш: цэгүүдийн багц, зургийн цэгүүд хүртэлх хамгийн богино зай нь -ээс бага байна r.
Хоёр дүрс (ялангуяа цэгүүд) дор хаяж 2-оос доошгүй зайд байна r, хэрэв зөвхөн хэрэв л бол r-хөршүүд огтлолцдоггүй.
Олон дүрсийн нэгдэл агуулж байвал энэ тоо F, дараа нь эдгээр тоонууд үүсдэг гэж тэд хэлдэг бүрэхтоонууд F. Энэ тохиолдолд бүрхсэн дүрсүүд огтлолцож болно.
Багц- энэ нь өгөгдсөн дүрс дотор хил хязгаараас бусад нийтлэг цэггүй хэд хэдэн дүрсийг байрлуулах явдал юм.
Зарим асуудалд дүрсийг жижиг хэсгүүдэд (жишээлбэл, хоёр ижил дүрс болгон) хуваасан, эсвэл эсрэгээрээ нэг том дүрсийг хэд хэдэн өгөгдсөн зургаас хийдэг. Эдгээр нь даалгавар юм огтлохэсвэл хучилттай. Хучилт нь бүрээс, савлагаа юм.
Шийдэлтэй холбоотой асуудлууд
1. Адил талт гурвалжинг хоёроор бүрхэж болох уу тэгш талт гурвалжинжижиг хэмжээ?
Жижиг гурвалжин тус бүр нь том гурвалжны зөвхөн нэг оройг хамарч болох боловч гурван орой, зөвхөн хоёр гурвалжин байдаг.
Хариулт: үгүй.
2. Өгөгдсөн таван тойргоос дурын дөрөв нь нэг цэгээр дамждаг. Таван тойрог бүгд дамждаг цэг байгааг батал.
1, 2, 4, 5-р тойрог нь А цэгээр дамжин өнгөрдөг;
1, 3, 4, 5 - Б цэгээр;
2, 3, 4, 5 - С цэг хүртэл.
4 ба 5-р тойрог дээр байрладаг, хоёр тойрог нь хоёроос илүүгүй огтлолцох цэгтэй тул A, B, C гурван цэг нь ялгаатай байж болохгүй гэдгийг бид харж байна. Энэ нь Дирихлегийн зарчмын дагуу A, B, C цэгүүдийн зарим нь давхцдаг гэсэн үг юм.
Жишээлбэл, А ба В цэгүүд давхцаж байвал бүх тойрог А цэгээр дамжин өнгөрнө.
3. Юуны төлөө хамгийн бага тооТа давхцаагүй тетраэдрүүдийн шоо эвдэж чадах уу?
Кубыг 5 тетраэдр болгон хувааж болохыг харахад хялбар байдаг. Зураг дээр эдгээр нь AA"B"D", AB"BC, ACDD, B"C"D"C ба ACD"B" тетраэдрүүд юм.
Одоо кубыг цөөн тооны тетраэдр болгон хуваах боломжгүй гэдгийг баталцгаая. a ирмэгтэй шоо хэд хэдэн тетраэдр хуваагдана. Тэдгээрийн дор хаяж хоёр нь байдаг бөгөөд тэдгээрийн суурь нь шоо ABCD нүүрэн дээр байрладаг. Үүний нэгэн адил A"B"C"D" нүүрэн дээр суурьтай дор хаяж 2 тетраэдр байдаг.
Эдгээр тетраэдрүүд нь эхний хоёроос ялгаатай нь ойлгомжтой, учир нь тетраэдр нь хоёр зэрэгцээ нүүртэй байж болохгүй. Тиймээс бид аль хэдийн 4 тетраэдртэй болсон. Тэдний нийт эзэлхүүн нь 2a 3/3-аас ихгүй, өөрөөр хэлбэл кубын эзэлхүүнээс бага байна. Тиймээс кубыг 4 тетраэдр болгон хувааж болохгүй.
4. Тойрог дээр тэмдэглэсэн n цэг байна. Эдгээр цэгүүдэд оройтой, өөрөө огтлолцдоггүй (n–1) холбоос бүхий задгай тасархай шугам хэр олон байдаг вэ?
Эхний цэгийг n аргаар сонгож болно. Дараагийн n-2 цэг бүрийг хоёр аргаар сонгож болно, учир нь энэ нь өмнө нь сонгосон цэгүүдийн аль нэгтэй зэргэлдээ байх ёстой (эс тэгэхгүй бол өөрөө огтлолцох полилин үүсэх болно). Ийм тооцоололд эхлэл ба төгсгөл нь ялгаатай байдаггүй тул үр дүнг 2-т хуваах ёстой. Тиймээс нийт байна.
n·2 n–2 /2 = n·2 n–3
Хариулт: n·2 n–3.
5. a) Зургаан өнгө сонгогдсон бөгөөд шоогийн зургаан нүүрийг будах шаардлагатай. өөр өөр өнгө. Үүнийг хэдэн өөр аргаар хийж болох вэ? (Янз бүрийн өнгө нь шоо дөрвөлжин хэсгийг тойруулан эргүүлэх замаар бие биетэйгээ хослуулах боломжгүй өнгө юм.)
б) Додекаэдрүүдийн нүүрийг хэдэн янзаар арван хоёр өнгөөр будаж болох вэ?
a) Эхний өнгөөр будсан нүүр нь өгөгдсөн байрлалыг авахын тулд шоо эргүүлэх боломжтой. Эсрэг нүүрийг будах таван өөр сонголт байдаг; янз бүрийн будах хуудас эсрэг нүүршоо өөр өөр өнгө өгөх.
Үлдсэн дөрвөн нүүрний дотроос та өгөгдсөн өнгөөр будсан нүүрийг сонгож, өгөгдсөн байрлал руу (эхний хоёр нүүрний байрлалыг өөрчлөхгүйгээр) шилжүүлж болно. Үлдсэн гурван нүүрний өөр өөр өнгө нь кубын өөр өөр өнгийг өгдөг. Эдгээр нүүрний нэгийг гурван аргаар, үлдсэн нэгийг нь хоёр хэлбэрээр будаж болно. Нийтдээ бид авдаг
5 3 2 = 30
янз бүрийн өнгө.
Хариулт: 30 арга.
б) Додекаэдрын бүх боломжит өнгөний тоо 12 байна! = 1 · 2 · ... · 12. Янз бүрийн будгийн тоог олохын тулд 12-т хуваах хэрэгтэй! Додекаэдр өөрөө тэгшлэх тоон дээр. 12 нүүрний аль нэгийг нь өөр аль ч нүүр рүү хөрвүүлэх боломжтой. Нэмж дурдахад, энэ нүүр царайг хадгалдаг таван эргэлт (ижил нэгийг оруулаад) байдаг. Нийтдээ 60 бие даасан тохируулгатай. Тиймээс, додекаэдрын янз бүрийн өнгөний тоо тэнцүү байна
12! / 60 = 7983360.
Хариулт: 7983360 арга.
6. Өгөгдсөн онгоцонд хязгаарлагдмал олонлогхоёр тал тус бүр нь нийтлэг цэгтэй олон өнцөгтүүд. Эдгээр бүх олон өнцөгтийг ямар нэг шулуун огтолж байгааг батал.
Бүх олон өнцөгтүүдийг ямар нэгэн шулуун дээр проекц хийцгээе. Олон өнцөгт бүрийн проекц нь сегмент бөгөөд нөхцөлөөр дурын хоёр сегмент нийтлэг цэгтэй байна. Үүнээс үзэхэд бүх сегментүүд нийтлэг цэгтэй байдаг (үүнийг баталгаажуулахын тулд энэ мөрийг гэж үзэх нь хангалттай юм тооны тэнхлэгба эдгээр сегментүүдийн баруун төгсгөлүүдийн хамгийн жижиг хэсгийг авна). Өгөгдсөн цэгт перпендикуляр, тэмдэглэгдсэн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун нь бүх олон өнцөгтийг огтолно.
7. Онгоцны цэг бүр улаан эсвэл цэнхэр өнгөтэй байна. Бүх оройг нь ижил өнгөөр будсан тэгш өнцөгт байгааг батал.
Дирихлетийн зарчмын дагуу долоон цэгээс үгүй дөрөв хүрэхгүйижил өнгөтэй байх ёстой. Шулуун p шугамын долоон цэгээс ижил өнгөөр будсан Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 дөрвөн цэгийг сонгоно уу, жишээ нь улаан. Олсон p шулуунтай параллель q ба r хоёр дахин хоёр шулуун, тэдгээрийн дээрх хоёр дөрвөлжин цэгийг (Q 1, Q 2, Q 3, Q 4) болон (R 1, R 2, R 3, R 4) авч үзье. эдгээр шугамууд дээр сонгосон дөрвийн ортогональ проекцоор. Эдгээр цэгүүд болон P 1, P 2, P 3, P 4 цэгүүдэд оройтой тэгш өнцөгтүүдийг авч үзье. Одоо Q i ба Q j гэсэн хоёр цэг улаан байвал P i Q i Q j P j тэгш өнцөгтийн бүх цэгүүд мөн улаан өнгөтэй байна. R 1, R 2, R 3, R 4 гэсэн хоёр улаан цэгийн хувьд мөн адил.
Хэрэв эдгээр тохиолдлын аль нь ч тохиолдоогүй бол q шулуун дээрх гурван (эсвэл түүнээс дээш) цэг, r шугам дээрх гурван (эсвэл түүнээс дээш) цэгүүд цэнхэр өнгөтэй байх ёстой. Гэхдээ энэ гурав цэнхэр цэгүүдИйм байдлаар байрладаг бөгөөд тэдгээрийн дунд нэг нь нөгөөгийнхөө доор байрлах хос цэгүүд байх бөгөөд ингэснээр цэнхэр тэгш өнцөгт үүсэх бөгөөд үүнээс асуудлын тайлбар гарч ирнэ.
Анхаарна уу: Энэ үр дүн нь дур мэдэн жижиг тойрог дотор байгаа хавтгай дээрх аль ч бүсэд хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу.
8. Бид орон зайг аль болох олон хэсэгт хуваахын тулд орон зайн тогтмол цэгээр дамжуулан онгоцуудыг зурдаг. Нэг хавтгай орон зайг хоёр хэсэгт хуваана, огтлолцсон хоёр хавтгай нь орон зайг дөрвөн хэсэгт хуваана, гурван хавтгай нь нэг цэгт огтлолцож, нөгөө нь байхгүй болно. нийтлэг цэгорон зайг найман хэсэгт хуваа.
a) Аль хамгийн их тооэд ангиудыг дөрвөн онгоцоор авах боломжтой юу?
б) Аль нь - n онгоцонд зориулагдсан бэ?
Бүхэл бүтэн орон зайн оронд бид бөмбөгийг хувааж, төвөөр нь онгоц зурна. Бөмбөгний гадаргуу дээр (түүнийг хязгаарлаж буй бөмбөрцөг дээр) харилцан огтлолцсон том тойрог гарч ирнэ. Тэдгээрийн аль нэгийг нь экватор болгон авч, эдгээр бүх тойргийг бөмбөгний төвөөс туйл дээрх бөмбөгтэй шүргэгч хавтгай руу проекц хийцгээе. Манай тойргийн проекцууд (экваторын нэгийг эс тооцвол ямар нэгэн зүйлд огт тусдаггүй) шулуун шугам байх болно. Тиймээс бид n-1 шулуун шугамаар хуваагдсан онгоцны хамгийн их мужийг тооцоолох хэрэгтэй. Индукцаар бид тэнцүү болохыг олж авах боломжтой (хэсэг дэх 9-р асуудлыг үзнэ үү).
1 + 1 + 2 + 3 +. . . + (n–1) = 1 + n(n–1)/2.
Учир нь бөмбөрцөг өөрийнхээс хоёр дахин олон бүстэй байдаг хавтгай төсөөлөл(бөмбөрцөг дээр байгаа, проекцын хавтгайд байхгүй экваторын талаар санаарай), тэгвэл шаардлагатай тоо нь бидний дээр дурдсанаас хоёр дахин их байх тул 2 + n (n-1) -тэй тэнцүү байна.
Ялангуяа n = 4-ийн хувьд шаардлагатай тоо нь 14 байна.
Хариулт: a) 14; b) 2+n(n–1).
9. Талбайнх нь нийлбэр 4 бол хэд хэдэн квадрат байдаг.Ийм квадратууд нь 1 талбайн квадратыг ямагт бүрхэж болохыг батал.
Хэрэв та дөрвөлжин талбайг бүрхэж, тал бүрийг нь 1/2 k, k = 1, 2, ... хэлбэрийн хамгийн бага тоогоор багасгасан бол эдгээр квадратуудыг давхардалгүйгээр байрлуулж болно. (зураг харна уу).
Талбай бүрийн талбай 4 дахин багассан тул тэдгээрийн талбайн нийлбэр 1-ээс их байгаа тул талбайг бүхэлд нь хамрах нь дамжиггүй.
10. Гурвалжныг 19 гурвалжин болгон хуваах шаардлагатай бөгөөд ингэснээр үүссэн зургийн орой бүрт (мөн том гурвалжны орой дээр) нийлнэ. ижил тооталууд 19-ийн тоог орлуулах боломжгүй их тоо, гэхдээ сольж болно бага тоо. Ямар төрлийн?
Гурвалжныг тодорхой тооны гурвалжин болгон хуваахын тулд үүссэн дүрсийн орой бүрт ижил тооны талууд нийлэхийн тулд бид нүүр нь гурвалжин хэлбэртэй ердийн полиэдрүүдийг ашигладаг. Эдгээр нь дараахь олон талт хэлбэртэй байж болно. ердийн тетраэдр, октаэдр ба икосаэдр, зөвхөн тэдгээр нь.
Хэрэв тетраэдр дотор бид аль нэг нүүрний төвд ойрхон байрлах цэгийг сонгоод, энэ цэгээс тетраэдрийн ирмэгийг хавтгай дээр буулгавал дараах зурагт үзүүлсэн эхний зургийг авна.
Энэ нь тетраэдрийн нүүрэнд тохирсон гурван гурвалжингаас бүрдэнэ; дизайны явцад дөрөв дэх тал нь том болж хувирав ABC гурвалжин. Зургийн орой бүрт гурван тал нийлдэг, учир нь тетраэдрийн орой бүрт гурван ирмэг нийлдэг.
Үүнтэй адилаар ашиглах төв төсөөлөл, бид ердийн октаэдрээс долоон гурвалжингаас бүрдэх хоёр дахь дүрсийг олж авдаг бөгөөд орой тус бүрд нь дөрвөн тал нь нийлдэг, ердийн икосахэдрээс орой тус бүр дээр нь таван тал байдаг 19 гурвалжингаас бүрдсэн гурав дахь дүрсийг олж авдаг. уулзах.
Асуудлын нөхцөлийг хангасан, дүрсэлсэн гурваас ялгаатай тоо байхгүй, учир нь энэ нь таарч байна. ердийн олон өнцөгт, дээр дурдсан гурваас ялгаатай боловч энэ нь байхгүй.
Тэгэхээр, боломжит тоо 19-өөс бага гурвалжин нь 4 ба 7 байна.
Шийдэлгүй асуудлууд
1. Ширээн дээр бүрэн бүрхсэн 15 сэтгүүл байна. Үлдсэн хэсэг нь ширээний талбайн 8/15-аас багагүй хэсгийг эзлэхийн тулд 7 сэтгүүлийг арилгах боломжтой гэдгийг нотлох.
2. Нэг хавтгайд ороогүй дөрвөн цэгийг огторгуйд өгөв. Эдгээр цэгүүд нь орой болж үйлчилдэг хэдэн өөр параллелепипед байдаг вэ?
3. Гүдгэр n өнцөгт (n > 3) бүх диагональ зурсан бөгөөд тэдгээрийн гурв нь нэг цэгт огтлолцдоггүй. Диагональуудын огтлолцох цэгүүдийн тоог ол.
4. Орой бүрт таван гурвалжин нийлдэг гурвалжны сүлжээгээр хавтгайг бүхэлд нь бүрхэх боломжгүй гэдгийг батал.
5. Хавтгай дээр хавтгайг хэд хэдэн мужид хуваадаг n шулуун шугам (n > 2) байна. Эдгээр хэсгүүдийн зарим нь өнгөт, хоёр өнгийн хэсэг нь хил дээр шүргэлцдэггүй. Өнгөт хэсгийн тоо n(n+1)/3-аас хэтрэхгүй гэдгийг батал.
Зураг дээр. 6.1-д шалгалтын бүрэлдэхүүнийг бүрдүүлэх энгийн геометрийн биетүүдийг харуулав. Энд танд аль хэдийн танил болсон цогцосуудаас гадна үхэл, саваануудыг толилуулж байна. Маягт нь өндөр нь шоо ирмэгийн наймны нэгтэй тэнцэх нэмэлт хавтгай дөрвөлжин, дугуй, зургаан өнцөгт элементүүд юм. Саваа - шугаман элементүүдурт нь шоо ирмэгтэй тэнцүү найрлага. Үүнээс гадна, ижил пропорциональ биеийг найрлагад ашиглаж болно, гэхдээ өөр өөр хэмжээтэй. Эдгээр нь масштабтай найрлага гэж нэрлэгддэг (энэ тохиолдолд хуудас нь ижил биетэй, гэхдээ өөр масштабаар авсан юм шиг). Өргөдөл гаргагчдын хийсэн найрлагыг авч үзье сүүлийн жилүүдэд(Зураг 6.2-6.20).
Шалгалтын бүрэлдэхүүний хэлбэр, түүний хэмжээ, хуудсан дээрх байршил, харилцан үйлчлэлийн зэрэг, шинж чанар геометрийн биетүүдбайгуулагдаад удаж байна. Эдгээр бүх байр суурийг шалгалтын даалгаварт нэг эсвэл өөр хэмжээгээр тусгасан болно. Мэдээжийн хэрэг, та өнөөдөр байгаа шалгалтын даалгаврын талаар ярилцах болно гэдгээ даруй захиалах хэрэгтэй - энэ нь гарын авлагын энэ хэсгийг унших үед өөрчлөгдөж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч даалгаврын мөн чанар хадгалагдан үлдэж, та бидний зөвлөмж, зөвлөмжийг ашиглах боломжтой болно гэж найдаж байна.
Юуны өмнө бид таны бүтээлийг үнэлэх шалгууруудыг жагсаав.
Дууссан зураг даалгавартай нийцэж байгаа эсэх;
Зохиолын санаа нь бүхэлдээ, зохицол найрлагын шийдэлнайрлагын нарийн төвөгтэй байдал;
Навчны найрлага;
Чадварлаг дүр төрх бие даасан элементүүднайрлага, зөв хэтийн төлөв, оруулга;
Ажил дээрээ өөрт ойр байгаа сэдвийг сонго. Энэ нь ердийн зай эсвэл дээш чиглэсэн хөдөлгөөнд чиглэсэн асар их тогтвортой байдал эсвэл гэрэл байж болно. Хөдөлгөөнийг гогцоо эсвэл унтрааж, зогсоож болно. Масс нь нягт эсвэл цэнэггүй байж болно. Зохиол нь хэмжигдэхүүн, жигд хэв маяг, эсвэл эсрэгээр энгийн эсвэл нарийн төвөгтэй хэмнэлтэй байж болно. Энэ нь массын жигд хуваарилалт эсвэл хурц тод өргөлтийг агуулж болно. Бүртгэгдсэн үл хөдлөх хөрөнгөнэгтгэж болно (мэдээжийн хэрэг, нэг ажилд бие биенээ хассанаас бусад). Найрлагын нарийн төвөгтэй байдлын мэдрэмж нь зөвхөн оруулгын нарийн төвөгтэй байдлаас төдийгүй олон биетүүдийн хуримтлалаас биш зарим нэг энгийн бус дизайны нарийн төвөгтэй зохицолыг мэдрэхээс үүсдэг гэдгийг санах нь зүйтэй.
Зөв байх нь сайн найруулгын урьдчилсан нөхцөл юм. Таны найрлага хэдхэн геометрийн биетүүдээс бүрдэх үед хуудсан дээрх зөв өнцгийг хадгалах нь нэлээд хэцүү гэдгийг та аль хэдийн анзаарсан байх. Хэдийгээр ажил нь бараг төгс баригдсан куб дээр суурилдаг байсан ч шинэ бие бүрийг нэмэх нь гажуудлыг аажмаар нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг.
Туршлага, практик ур чадвар бага хэвээр байгаа үед, ялангуяа анхны найруулгад тэдгээрийг хянах, засах нь нэлээд хэцүү байдаг. Тийм учраас л зөв тодорхойлолтхуудасны бүх ирмэгийг нээх, бүх шугамын чиглэлийг ашиглана янз бүрийн арга замуудхарилцан уялдаатай эдгээр бүх байр суурийг оновчтой болгох, тэдгээрийг нэг системд оруулах. Ийм нэг системийг дараах даалгаварт дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Энэ бол сүлжээ гэж нэрлэгддэг сүлжээ юм - орон зайн бүтэц, энэ нь геометрийн биетүүдийн нүүрийг нээх, хуудасны бүх шугамын чиглэлийг тодорхойлдог.
Шалгалтанд бэлтгэх явцад "сүлжээ" нь найрлагыг бүтээх үйл явцтай холбоотой бүх төрлийн асуудлыг нэгтгэж, нэг дор хялбархан шийдвэрлэхэд тусална. Мэдээжийн хэрэг, "сүлжээ" нь ашигтай зүйл боловч мэдээжийн хэрэг давуу болон сул талуудтай.
Нэг талаас, "сүлжээ" дээр суурилсан найрлагыг дүрслэхдээ та мэдээж зарим (заримдаа нэлээд чухал) цаг зарцуулдаг. бэлтгэл үе шат("сүлжээ" өөрөө), ингэснээр өөрөө найруулга дээр ажиллах цагийг багасгадаг.
Нөгөө талаас, "сүлжээ" нь хэвтээ шугамын чиглэлийг тодорхойлох, янз бүрийн гадаргууг илрүүлэхтэй холбоотой цэвэр техникийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зарцуулсан цагийг эрс багасгаж чадна. Мэдээжийн хэрэг, тодорхой ур чадвар нь "сүлжээ" дээр зарцуулсан цагийг багасгах боломжийг танд олгоно, гэхдээ хэрэв "сүлжээ" дээр алдаа гарсан бол (энэ нь стресстэй шалгалтын нөхцөлд маш их магадлалтай) та зөвхөн анзаарах болно. анхны геометрийн биеийг зурсны дараа энэ алдаа.
Энэ тохиолдолд юу хийх вэ - алдагдсан цагийг нөхөхийн тулд сүлжээг засах эсвэл бүрмөсөн орхих уу? Шалгалтанд зориулж "тор"-ыг хэрхэн хурдан бөгөөд үр дүнтэй хийж сурсан бол энэ үйл явцыг бараг автоматжуулж, хялбархан барьж чадвал "сүлжээ" бүхий шалгалтын бүрэлдэхүүн дээр ажиллаж эхлэх нь ойлгомжтой. үүн дээр суурилсан найрлага.
Өргөдөл гаргагчдыг байнга санаа зовдог өөр нэг асуулт бол хажуугийн самбарын тухай асуулт юм: ямар төрлийн хажуугийн самбар хийх ёстой, тэдгээр нь хэр төвөгтэй байх ёстой вэ, үүнийг хийх нь үнэ цэнэтэй юу? Шалгалтын бүтцэд хажуугийн самбар хийх шаардлагагүй гэдгээс эхэлье - шалгалтын даалгаварт зөвхөн хажуугийн самбар ашиглахыг зөвлөдөг бөгөөд урьдчилсан нөхцөл биш боловч хажуугийн самбаргүй найрлага нь хамаагүй доогуур гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. нарийн төвөгтэй байдал болон уран сайхны илэрхийлэл. Таны найрлагыг бусад хүмүүсийн дунд үнэлнэ гэдгийг бүү мартаарай, тиймээс та хажуугийн самбаргүй найруулга хийснээр өөрийн өрсөлдөх чадварыг бууруулж байгаа нь ойлгомжтой (санаа зовнил. Мэдээжийн хэрэг, жилээс жилд шалгалтын бүрэлдэхүүний түвшин нэмэгдэж, мөн Энэ нь бүрдүүлдэг нарийн төвөгтэй хажуугийн самбаруудыг оруулахыг шаарддаг шалгалтын хуудасилүү илэрхий, сонирхолтой. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг хэрэгжүүлэхэд нэмэлт хугацаа шаардагдах бөгөөд энэ нь шалгалтын нөхцөлд хязгаарлагдмал байдаг. Энэ нөхцөлд бүх зүйл таны туршлагаас шалтгаална - хэрэв та найруулгын шалгалтанд шаргуу суралцсан бол танд өөрийн дуртай хүрээнүүд байгаа байх магадлалтай бөгөөд энэ нь нэлээд төвөгтэй байж болох ч олон удаа дүрсэлсэн боловч тэдгээрийг амархан, тиймээс хурдан дүрсэлсэн байдаг. Гэхдээ та нарийн төвөгтэй оруулгад автаж, ажлыг хэт хүндрүүлж болохгүй - энгийн оруулга ашиглан хийсэн найрлага ч гэсэн нэлээд төвөгтэй, илэрхийлэлтэй байж болно гэдгийг санаарай. Геометрийн биетүүд хоорондоо хэрхэн мөргөлдөх талаар ярих нь бас чухал юм. Заримдаа найрлагад геометрийн биетүүдийг маш бага зэрэг шингээсэн байдаг тул бие биендээ ороогүй, бараг л хүрч байгаа мэт санагддаг. Ийм найрлага нь тогтворгүй байдал, тогтворгүй байдал, бүрэн бус байдлын мэдрэмжийг төрүүлдэг. Үзэгчид ийм найрлагыг илүү нягтралтай болгох, геометрийн биетүүдийг бие биендээ гүнзгийрүүлэх хүсэл эрмэлзэлтэй байдаг. Ийм ажилд дүн шинжилгээ хийхдээ үүнийг зохицол, зохицолтой дэд ботьуудын бүлэг гэж ярихад хэцүү байдаг. Бусад зохиолуудад бие биедээ маш гүн шингэсэн байдаг тул эдгээр нь ямар төрлийн биетүүд болох нь тодорхойгүй болсон байна? Ийм найрлага нь дүрмээр бол геометрийн биетүүдийн хэсгүүдээс цухуйсан нарийн төвөгтэй масс шиг харагддаг бөгөөд үзэгчдэд эв найрамдлын мэдрэмжийг бий болгодоггүй. Түүний доторх биетүүд бие даасан объект болохоо больж, геометрийн холимог болж хувирдаг. Хэрэв бид үүнийг тооцохгүй бол ирмэгийн тохиолдлууд(геометрийн биетүүд хоорондоо бараг мөргөлдөхгүй эсвэл нэг нягт масс болж хувирах үед) найрлага үүсгэх дунд зэргийн нягтралтайдагаж мөрдөх ёстой дараагийн дүрэм: геометрийн бие нь өөр (эсвэл өөр) геометрийн биетүүдийн талаас илүүгүй, гуравны нэгээр нь мөргөх ёстой. Нэмж дурдахад үзэгчид геометрийн биеийн үндсэн хэмжээсийг үзэгдэх хэсгээс нь үргэлж тодорхойлж чаддаг байх нь зүйтэй юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бие нь биед мөргөсөн бол түүний дээд хэсэг, хажуугийн гадаргуугийн нэлээд хэсэг, суурийн тойрог нь зураг дээр харагдах ёстой. Хэрэв энэ нь ямар нэгэн биед унавал цилиндрийн хажуугийн гадаргуу ба түүний суурийн тойрог нь харагдахуйц хэвээр байх ёстой. Куб ба тетраэдруудын доторлогооны талаар тусгайлан дурдах хэрэгтэй - найрлагад эдгээр геометрийн биетүүд нь барилгын хувьд илүү төвөгтэй байдаг бусад геометрийн биетүүдийн зохион байгуулалт, оруулгад зориулж дэвсгэр эсвэл нэг төрлийн хүрээ үүсгэдэг. Тиймээс шоо ба тетраэдрүүдийн харагдах хэсгүүд нь эзэлхүүнийх нь талаас бага хувийг эзэлдэг тохиолдолд оруулга хийхийг зөвшөөрдөг.
ХОСОЛСОН ГЕОМЕТР
Комбинаторын шинж чанартай экстремаль шинж чанарыг дүрсийн системд зориулж судалдаг бодлогуудыг нэгтгэсэн математикийн салбар. Эдгээр ажлууд нь юуны түрүүнд оновчтой, тодорхой утгаараа байршилтай холбоотой байдаг гүдгэр багцууд. Энэ төрлийн хамгийн эртний асуудлын нэг бол 13 бөмбөлөгтэй холбоотой асуудал юм: Евклидийн орон зайд бүгдтэй тэнцэх бөмбөгөнд хэрэглэж болох ижил материаллаг бөмбөлгүүдийн дээд хэмжээ хэд вэ? I. Kepler (J. Kepler, 1611) 12-ын тоог зааж өгсөн боловч дунд нь энэ асуудлын хатуу хувилбарыг өгсөн. 20-р зуун B. L. Van der Waerden, K. Schutte нар.
"K.g." гэсэн нэр томъёо нь анх 1955 онд гарч ирсэн бололтой (харна уу). Математикийн чиглэл болгон тооцоолол гарч ирсэн нь ихэвчлэн энэ жилтэй холбоотой байдаг ч өмнөх үр дүнгүүдтэй холбоотой байж болно (жишээлбэл, үзнэ үү). К. нь даалгаврынхаа тодорхой байдлаар тодорхойлогддог. K. g-аас комбинатын бодол ба хослолууд янз бүрийн бүс нутагматематик (топологи, функциональ анализ, ерөнхийдөө геометр, графикийн онол гэх мэт).
K. g-ийн асуудлын гол бүлгүүдийн нэг бол асуудал юм хуваалтхэсгүүдийг хэсэг болгон хуваах, жишээ нь. Ворсук бол асуудал юм.
Том бүлэгК.-ийн даалгавруудыг бүрдүүлсэн. тухай асуудлууд бүрээс,өгөгдсөн багцыг тоогоор хамрах боломжийг судалсан болно тусгай төрөл(жишээ нь үзнэ үү. Хадвигерийн таамаглалГүдгэр биеийг гомотетийн коэффициентээр хамгийн бага тооны жижиг биетүүдээр бүрхэхэд к, 0
K. g. нь салангид геометртэй холбоотой, жишээлбэл, Хэдвигерийн таамаглал ба гэрэлтүүлгийн асуудалтай холбоотой. Эрдсийн асуудалЕвклидийн орон зай дахь хамгийн их цэгийн тоог олох тухай R n, аль гурвыг нь p/2-оос ихгүй өнцгөөр үүсгэнэ.
К.г гүдгэр олонлогийн онолтой нягт холбоотой. Жишээ нь үзнэ үү. Хеллигийн теорем,ирмэгүүд нь тэдгээрийн дэд бүлгүүдийн огтлолцолоос хамааран гүдгэр багцын зарим бүлгүүдийн огтлолцлыг тодорхойлдог.
Гэрэл.: Hadwiger N., "J. Reine Angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandroff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, V., 1935; Hadwiger G., Debrunner G., Combinatorial planes, trans. Германаас, М., 1965; Грюнбаум Б., Комбинаторийн геометрийн этюд ба гүдгэр биетүүдийн онол, хөрвүүлэлт. Англи хэлнээс, М., 1971; Hadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N.Y., 1964; Яглом И.М., Комбинаторийн геометрийн тухай, М., 1971; Болтянский В.Г., Солтан П.С., Гүдгэр олонлогийн янз бүрийн ангиллын хослолын геометр, Киш., 1978. P. S. Солтан.
КОМБИНАТОР- хязгаарлагдмал S, S-ээс бүх А дэд олонлогуудын хувьд тодорхойлогдсон хаалтын хамаарлын хамт (өөрөөр хэлбэл, энэ нь гэсэн үг бөгөөд гэхдээ заавал байх албагүй = нөхцөлийг хангана: 1) хоосон олонлогийн хувьд 2) элемент тус бүрийн хувьд 3) хэрэв ба хэрэв, гэхдээ дараа нь ( солих эд хөрөнгө). Хаалттай багц буюу онгоцууд нь геометрийн тор үүсгэдэг. Бүх хамгийн их бие даасан олонлогууд эсвэл суурь нь ижил байвал дэд олонлог нь бие даасан байна. Ердийн аргаар конгруэнт бүлэг болон дэд олонлогт тохирох бүлгийн хязгаарлалтыг тодорхойлдог. А. K. g-ийг Аназ руу хязгаарлах суурийн хүч. багцын зэрэглэл (A). А.Зэрэглэл нь нөхцөлийг хангаж байна:
r(A) байх багц <|А|, дуудсан хамааралтай; хамгийн бага хамааралтай олонлогуудыг K. g гэж нэрлэдэг. мөчлөг. Геометрийн геометрийн тодорхойлолтод 1) ба 2) нөхцлийг орхисноор бид өмнөх геометрийн тодорхойлолтыг олж авах, эсвэл матроид.Хязгааргүй K. бүлгүүдийг мөн авч үздэг бөгөөд энэ тохиолдолд суурийн хязгаарлагдмал байдлыг шаарддаг.
Жишээ нь K. g - хамаарал бүхий вектор орон зайн S дэд олонлог
sp(A) - Аb-ээр хүрээлэгдсэн бүх газарт тодорхойлогдсон В.
K. g-ийн онолын гол асуудлуудын нэг нь гэж нэрлэгддэг. чухал асуудал. Галуагийн талбар дээрх хэмжээсийн проекц орон зайд S олонлогоор өгөгдсөн CG-ийн хувьд энэ асуудал нь H1,..., гипер хавтгайн бүлгүүд байгаа хамгийн бага эерэг k (чухал илтгэгч)-ийг олохоос бүрдэнэ. Hk,ялгах S(гипер хавтгайн гэр бүл нь олонлогийг ялгадаг S,хэрэв tOS бүрийн хувьд дор хаяж нэг нь агуулаагүй байвал t) .
Гэрэл.: Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57 r. 509-33; Скаро Н.Н., Рота Г.С., Комбинаторын онолын үндэс дээр: комбинаторын геометр, Камб.-Л., 1970; Tutte W. T., Introduction to theory of matroids, N. Y., 1971; Вилсон Р., Графикийн онолын танилцуулга, хөрвүүлэлт. Англи хэлнээс, М., 1977; Рыбников К.А., Комбинаторийн анализын танилцуулга, М., 1972.
A. M. Reeyakin.
Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг.
I. M. Виноградов.
1977-1985 он.
Бусад толь бичгүүдээс "COMBINATORY GEOMETRY" гэж юу болохыг харна уу. В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Пикийн теорем нь комбинатор геометр ба тооны геометрийн сонгодог үр дүн юм. Бүхэл тоо бүхий олон өнцөгтийн талбай ... Википедиа
Математикийн нэг хэсэг болох анхны сэдэв нь орон зайн харилцаа холбоо, биеийн хэлбэр юм. G. бодит объектын бусад шинж чанараас (нягтрал, жин, өнгө гэх мэт) хийсвэрлэн орон зайн харилцаа, хэлбэрийг судалдаг. Дараа нь......
Математик нэвтэрхий толь бичиг В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Пикийн теорем нь комбинатор геометр ба тооны геометрийн сонгодог үр дүн юм. Бүхэл тоо бүхий олон өнцөгтийн талбай ... Википедиа
N-хэмжээт Евклидийн геометр нь Евклидийн геометрийг илүү хэмжээст орон зайд нэгтгэн дүгнэх явдал юм. Хэдийгээр физик орон зай нь гурван хэмжээст бөгөөд хүний мэдрэхүй гурван хэмжээстийг мэдрэхэд зориулагдсан боловч N нь хэмжээст... ... Wikipedia
Х олонлог гэдэг нь энэ олонлогийн нэгдэл нь X гэсэн дэд олонлогуудын дурын гэр бүл юм. 1) Топологийн орон зай, нэгэн төрлийн орон зай, ерөнхийдөө нэг юм уу өөр бүтцээр хангагдсан аливаа олонлогийн P.-ээр бид дурын олонлогийг хэлнэ. П.......
Борсукийн таамаглал нь комбинатор геометрийн няцаагдсан таамаглал бөгөөд n хэмжээст Евклидийн орон зай дахь d диаметртэй дурын биеийг n+1 хэсэгт хувааж, хэсэг тус бүрийн диаметр d-ээс бага байна гэсэн таамаглал юм. Таамаглал дэвшүүлсэн ... ... Википедиа
Додекаэдр Тогтмол олон өнцөгт буюу Платоны биет нь ижил тэгш олон өнцөгтүүдээс тогтсон, орон зайн тэгш хэмтэй гүдгэр олон өнцөгт юм ... Wikipedia
Хеллигийн теорем нь комбинатор геометр ба гүдгэр шинжилгээний сонгодог үр дүн юм. Аль нэгнийх нь огтлолцол хоосон биш байхаар Евклидийн орон зайн гүдгэр дэд олонлогуудын хязгаарлагдмал гэр бүл байна гэж бодъё. Дараа нь бүх ... ... Wikipedia уулзвар
- (18 онооны парадокс) тооцооллын геометрийн асуудлын нэг. Хэсэг дээр 1-р тоотой цэгийг байрлуулж, дараа нь 2-р тоотой өөр нэг цэгийг нэмж, сегментийн өөр хагаст төгсгөл болно. Гурав дахь цэгийг нэмье, ингэснээр гурвуулаа ... Википедиа
Номууд
- Дифференциал геометр ба топологийн талаархи бодлогуудын цуглуулга, Фоменко А., Мищенко А., Соловьев Ю.. Энэхүү бодлогын цуглуулга нь дифференциал геометр ба топологийн хичээлүүдэд тавигдаж буй шаардлагуудыг аль болох шинэ программууд болон шинэ хөтөлбөрүүдээс тусгах зорилготой юм. бусад курсууд...
Геометрийн биетүүдийн хослол нь тулгуур гадаргууг эс тооцвол бие биенийхээ хажууд байрладаг эсвэл бие биентэйгээ холбосон янз бүрийн геометрийн объектуудыг (онгоц, призм, конус, цилиндр гэх мэт) багтаасан байх ёстой.
Объектын цухуйсан хэсгээс нэг объектын гадаргуу дээр унах сүүдрийн бүтцийг авч үзье. Зураг дээр. 5.14-т тэгш өнцөгт изометрийн призмийн гадаргууг өгсөн бөгөөд үүнийг бие биетэйгээ холбосон хоёр призмийн хослол гэж үзэж болно. Хавтгай дээр призмийн сүүдэр барих xӨөөмнө үзүүлсэн (Зураг 5.7).
Энэ жишээ нь мөн дөрвөн өнцөгтийн хавтгай дээр сүүдэр барихыг харуулж байна. ЗӨГИЙ 1 Б 1 . Хажуугийн ирмэгийн сүүдэрт хамаарах цэг нь хүссэн цэгийн сүүдэр юм К.
Энэ нь цэгийн байрлалыг тодорхойлох гэсэн үг юм Кцэгээс хойш чиглэсэн туяа (түүний чиглэл нь гэрлийн цацрагийн эсрэг) зурах шаардлагатай. К 0 зэрэгцээ r ирмэгтэй огтлолцох хүртэл Э.Э. 1 . Цэгүүдийг холбох БТэгээд К, бид дөрвөн өнцөгтийн хавтгай дээр өөрийн сүүдрийн хил хязгаарыг олж авдаг ЗӨГИЙ 1 Б 1 .
Дууссан бүтээн байгуулалтын үр дүнд өөрийн сүүдрийн хил хязгаар нь тасархай шугам юм ABKEMCC 1 М 1 Э 1 Б 1 А 1 , мөн унах сүүдэр нь олон өнцөгт юм А 1 А 0 К 0 Э 0 М 0 C 0 C 1 М 1 Э 1 Б 1 А 1 .
Н 
болон зураг. 5.15 конусыг гэрлийн цацрагийн чиглэлийг тэгш өнцөгт изометрээр үзүүлэв rба тэдгээрийн хоёрдогч төсөөлөл r 1
, мөн түүнчлэн өгөгдсөн онгоц П
xOy, конусаас сүүдэр унах ёстой.
Конусын унасан, тохирох сүүдрийг бүтээхийн тулд эхлээд сүүдрийг олох хэрэгтэй C 0 цэгээс Cонгоц руу xӨө. Дараа нь цэгээр дамжина C 0 шүргэгч зурах C 0 Д Тэгээд C 0 Б конусын суурийн контур хүртэл. Цэгүүдийг тэмдэглэх ЭТэгээд Ф. Сегмент Э.Ф.унах сүүдрийн гулзайлтын шугамыг тодорхойлно.
Таны харж байгаагаар сүүдэр 
цэгээс Cонгоц руу Пгэрлийн туяаг агуулсан хэвтээ тэнхлэгийн хавтгай ба хавтгайн огтлолцлын шугам дээр байрладаг.
П.
Цэгүүдийг холбох Э
Тэгээд Ф
цэгтэй
, бид онгоцонд унах сүүдрийн нэг хэсгийн контурыг авдаг
П. Конусын өөрийн сүүдрийн хил хязгаарыг генераторууд тодорхойлно CDТэгээд C.B..
Зураг дээр. 5.16-д хэвтээ тэнхлэгийн бариулаас унах сүүдэр барих жишээг авч үзнэ. ABконус дээр. Савааны ортогональ проекц дээр үндэслэсэн ABба боргоцой, бид тэдгээрийн зургийг тэгш өнцөгт изометрээр бүтээх болно. Дараа нь бид гэрлийн цацрагийн өгөгдсөн чиглэлд конусын тохиолдлын болон тохирох сүүдэрийг тодорхойлно rба түүний хоёрдогч төсөөлөл r 1 . Дараа нь бид сүүдэр үүсгэдэг ABонгоц руу XӨө. Гэрлийн туяа дамжин өнгөрдөг AB, хэвтээ проекцын хавтгайг үүсгэнэ Σ , энэ нь гиперболын дагуу конус гадаргуутай огтлолцдог EMKT.
Гиперболд хамаарах цэгүүдийн хоёрдогч проекцийг ашиглан гиперболыг байгуулж болно. Жишээлбэл, зам дээр гарах Σ 1 цэг М 1 (хоёрдогч төсөөлөл), дундуур нь шугам зур О.Д.(generatrix-ийн төсөөлөл CD). Цэгүүдийг холбоно C цэгтэй Дболон generatrix дээр CDцэгийг тэмдэглэ М, гиперболд хамаарах (4.8-р зургийг үз), цэг К, конусын өөрийн сүүдрийн хил дээр хэвтэж, урвуу туяа ашиглан тодорхойлно К 0 К.
Зураг дээр. Зураг 5.17-д цилиндр ба конус гэсэн хоёр үе мөчний гадаргуугаас бүрдэх дүрсээс сүүдрийн бүтцийг харуулав.
Эхлээд та гэрлийн өгөгдсөн чиглэлд конусаас өөрийн сүүдэр болон унах сүүдрийг барьж болно. rба түүний хоёрдогч төсөөлөл r 1 , дараа нь - цилиндрээс өөрийн болон унах сүүдэр (барилга байгууламжийг үзнэ үү).
Конус ба цилиндрийн нийтлэг суурийн шугам дээрх зохих сүүдэрүүдийн хил хязгаар нь давхцдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
___________________________________________
АГУУЛГА
ЗОХИОН БАЙГУУЛЛАГА………………………………………………………………3
ТАНИЛЦУУЛГА………………………………………………………………………………4
1. ТӨСӨЛИЙН АРГА……………………………………………………………………6
1.1. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт ………………………………………………6
1.1.1. Геометрийн хэлбэрүүд. ………………………………………….6
1.1.2. Проекцын аргын элементүүд ба онцлог ………………………6
1.2. Проекцийн систем………………………………………………………………………………….
1.2.1. Төвийн төсөөллийн систем…………………….……….7
1.2.2. Зэрэгцээ төсөөллийн систем…………………………8
1.2.3. Зургийн шинж чанарууд………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.2.4. Зэрэгцээ проекцын шинж чанарууд……………………………9
1.2.5. Геометрийн дүрсийг төлөвлөх…………………………12
1.2.6. Нэг зурагтай зургийн нэмэлтүүд…………………………..12
2. ГЕОМЕТРИЙН ЗУРГИЙН ОРТОГОНАЛ проекц………14
2.1. Цэгийн төсөөлөл……………………………………………………..14
2.1.1. Цэгийн нийлмэл хоёр зураг зурах……………………14
2.1.2. Проекцын хавтгайг солих………………………….……….16
2.1.3. Цэгний цогц гурван зургийн зураг……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.2. Шулуун шугамын төсөөлөл…………………………………………………………22
2.2.1. Ерөнхий мөрүүд……………………………………22
2.2.2. Шууд түвшин…………………………………………………………………………23
2.2.3. Шулуун шугамыг төлөвлөх…………………………………………………..24
2.2.4. Шулуун шугамын сегментийн байгалийн хэмжээг тодорхойлох
ерөнхий заалт…………………………………………………………………………………………………………………………………………….25
2.2.5. Шугамын харилцан байрлал………………………………….26
2.3. Муруй шугамын төсөөлөл………………………………………….29
2.3.1. Хавтгай муруй шугам…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………29
2.3.2. Орон зайн муруй шугам……………………………..…31
2.4. Гадаргуугийн төсөөлөл. Зурган дээрх гадаргууг тодорхойлох……….…..34
2.4.1. Тодорхойлогч ашиглан гадаргууг тодорхойлох………….……..34
2.4.2. Гадаргуугийн хүрээ…………………………………………………………………………………36
2.4.3. Тодорхойлогчгүй гадаргууг тодорхойлох…….………..36
2.4.4. Гадаргуугийн ноорог……………………………………………………………………………………37
2.4.5. Онгоцны төсөөлөл……………………………………………………..38
2.4.6. Онгоцыг сансар огторгуйд байрлалаар нь ангилах төрөл ………….39
2.4.7. Тохиолдлын жишээ…………………………………………………43
2.4.8. Шугаман ба хавтгайн параллелизм … ………………………….45
2.4.9. Зэрэгцээ хавтгайнууд………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.4.10. Онгоцыг солих үед онгоцны проекцийг бүтээх
төсөөлөл…………………………………………………………………46
2.4.11. Гадаргуугийн ангилал…………………………………..48
2.4.12. Олон талт гадаргуу ба олон талт гадаргуу …………………………………………………………………………………………………………………48
2.4.13. Эргэлтийн гадаргуу……………………………………………….52
3. АЛБАН ДААЛТ………………………………………………………………….60
3.1. аль аль нь үед геометрийн объектуудын огтлолцол
проекцын геометрийн биетүүд………….………………………60
3.1.1. Хэвтээ чиглэлтэй хоёр хавтгайн огтлолцох шугамыг барих……………………………………………..60
3.1.2. Баруун дугуй цилиндрийн огтлолцох шугамын төрлүүд
онгоцтой…………………………………………………………………………….60
3.1.3. Хоёр дугуй огтлолцох шугамын проекцийг тодорхойлох
цилиндр………………………………………………………………………………..62
3.2. геометрийн объектуудын огтлолцол үед аль нэг нь
проекцын геометрийн объектууд, бусад проекцын бус .....62
3.2.1. Хоёр хавтгайн огтлолцох шугам барих ………………62
3.2.2. Конус гадаргуугийн хавтгайтай огтлолцох шугамууд....63
3.2.3. Төсөл, шугамын байгалийн хэмжээ барих
конус хэлбэрийн гадаргуугийн хавтгайтай огтлолцох …………………………………63
3.2.4. Бөмбөрцгийг хавтгайтай огтлолцох шугамын проекц ба байгалийн хэмжээсийг байгуулах ……………………………………….64
3.2.5. Конус ба призмийн огтлолцлын шугамын проекцийг байгуулах.....65
3.3. аль аль нь үед геометрийн объектуудын огтлолцол
геометрийн объектууд – төсөллөдөггүй………………………………65
3.3.1. Хоёр гадаргуугийн огтлолцлын шугамыг байгуулах алгоритм...65
3.3.2. Хоёр нийтлэг хавтгайн огтлолцох шугамыг барих
заалт…………………………………………………………..66
3.3.3. Хоёр муруйн огтлолцох шугамын проекцийг бүтээх
Туслах зүсэх онгоц ашиглан гадаргуугийн .....67
3.3.4. Хувьсгалын коаксиаль гадаргуугийн огтлолцол…………………68
3.3.5. Гадаргуугийн огтлолцлын шугамын төсөөллийг барих
туслах бөмбөрцөг ашиглан эргүүлэх (төвлөрсөн)…..69
3.4. Гадаргуутай шугамын огтлолцол………………………..…………..71
3.4.1. Аль аль нь байх үед гадаргуутай шугамын огтлолцол
проекцын геометрийн объектууд ………………………………………………………………………………………………………………………71
3.4.2. Нэг нь гадаргуутай шугамын огтлолцол
огтлолцсон геометрийн объектуудыг төлөвлөх,
нөгөө нь төсөлгүй ………………………………………71
3.4.3. Аль аль нь байх үед гадаргуутай шугамын огтлолцол
Төсөлддөггүй геометрийн биетүүд……………………………72
3.5. Перпендикуляр геометрийн биетүүд………………………….76
3.5.1. Перпендикуляр шугамууд……………………………………76
3.5.2. Перпендикуляр шулуун ба хавтгай …………………………76
3.5.3. Перпендикуляр хавтгай ………………………………………………77
4. АКСОНОМЕТРИЙН ТӨСӨЛ ………………………………………78
4.1. Аксонометрийн проекц үүсэх ба төрөл ……………………78
4.2. Тэгш өнцөгт аксонометрийн проекцууд…………………………79
4.2.1. Тэгш өнцөгт изометрийн проекц…………………………79
4.2.2. Тэгш өнцөгт диметрийн проекц……………………….81
4.2.3. Орон зайн геометрийн объектууд
тэгш өнцөгт аксонометри………………………………………..82
4.3. Ташуу аксонометрийн төсөөлөл…………………………..83
4.3.1. Ташуу урд талын изометрийн проекц…………83
4.3.2. Ташуу хэвтээ изометрийн проекц………83
4.3.3. Ташуу урд талын диметрийн проекц………….83
5. АКСОНОМЕТРИЙН СҮҮДЭР…………………………………………………84
5.1. Сүүдрийн онолын үндсэн ойлголтууд…………………………….…………..84
5.2. Төвийн гэрэлтүүлэгтэй аксонометрийн сүүдэр ………………………85
5.3. Зэрэгцээ гэрэлтүүлэгтэй аксонометрийн сүүдэр……….………….86
5.3.1. Нэг цэгийн сүүдэр, шулуун ба хавтгай дүрс………………………86
5.3.2. Олон өнцөгтийн сүүдрийг бүтээх……………………………88
