Цевагийн теорем. Гурвалжин ба цэгүүд өгөгдсөн
BC, AC, AB талуудад тус тус. Сегментүүд
зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцоно

Лемма. Хэрэв ийм тоо байвал

Тэр

хуваагч тэг рүү явахгүй бол.

Леммагийн баталгаа. Энэ нь анхан шатны. Дашрамд хэлэхэд, энэ лемма-г анх удаа харж байгаа хүмүүс ихэвчлэн: "Та нар тоологч ба хуваагчийг нэгтгэж байна уу?!" Гэсэн хэдий ч уг мэдэгдлийг сайтар судалж үзээд бид ийм байдлаар бутархай нэмэхгүй гэдэгт итгэлтэй байгаарай, ялангуяа нотлох баримтыг ойлгосны дараа хүн бүр тайвширдаг.

гэж тэмдэглэе ерөнхий утгабутархай ба
захидал
Дараа нь

Q.E.D.

Энэ лемма-г бүрэн ойлгомжтой болгохын тулд би заримдаа ЧӨЛӨӨЛТ гэж нэрлэдэг зүйлээ, өөрөөр хэлбэл хатуу үндэслэл мэт дүр эсгэдэггүй, харин "математикчийн гал тогоо" руу ойртоход тусалдаг үндэслэлийг өгөхийг хүсч байна. Тэгэхээр тодорхой газар нутгийн хоёр газрын зургийг өөр өөр масштабаар төсөөлөөд үз дээ, a нь D ба Е цэгийн хоорондох зай, b нь нэг газрын зураг дээрх E ба F хоорондох зай, b ба d нь өөр газрын зураг дээрх ойролцоо зай юм. Энэ тохиолдолд энэ нь газрын зургийн масштабын харьцаа юм. Хэрэв бид a ба c-г нэмбэл эхний газрын зураг дээрх эхний цэгээс хоёр дахь цэгээс гурав дахь хүртэлх замын уртыг, b ба d-г нэмбэл хоёр дахь газрын зураг дээрх маршрутын уртыг авах нь тодорхой байна. . Тэдний харьцаа дахин газрын зургийн масштабын харьцаатай тэнцэх нь тодорхой байна.

Теоремын баталгаа.

1. Заасан сегментүүдийг цэг дээр огтолж, гурвалжинг зурагт заасны дагуу дугаарласан 6 гурвалжинд хуваана. Эхний бутархайг авч үзье

Энэ бутархайн хуваагч ба хуваагч нь гурвалжны суурь бөгөөд нийтлэг өндөртэй тул тоологч ба хуваагчийг заасан гурвалжны талбайгаар сольсон тохиолдолд бутархай өөрчлөгдөхгүй. Мөн гурвалжин нь ижил суурь дээр зогсож байгааг анзаарсан
болон , та тоо болон хуваагчийг талбайгаар нь сольж болно.

Одоо лемма-г ашиглая: хэрэв бид тоологч ба хуваагч хоёрын ялгааг авбал бутархайнууд өөрчлөгдөхгүй.

Бусад хоёр бутархайн хувьд ижил төстэй үндэслэлийг гаргаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ нь Ceva-ийн теоремыг нэг чиглэлд нотолж байна.

2. Нэг цэг дээр огтлолцохгүй байхыг бид огтлолцох цэгээр зуръя
сегмент (цэг нь хажуу талд байрладаг).
Батлагдсаны дагуу

Хэрэв хийсэн бол

,

Тэр

Энэ нь боломжгүй юм

(хэрэв цэгүүд нь хажуу талд байгаа бол гэж хэлье
дарааллаар нь байрлуулсан
тэгвэл эхний бутархайн хуваагч хоёр дахь бутархайн хуваагчаас их, эхний бутархайн хуваагч хуваагчаас багахоёрдугаарт, эхний бутархай хоёр дахь хэсгээс их байна гэсэн үг).

Энэ нь нотлох баримтыг гүйцээнэ.

Сэтгэгдэл. Авахад хэцүү биш тригонометрийн хэлбэрЦевагийн теорем.
Үүний тулд синусын теоремыг ашиглая:

Үүнтэй адил бид авдаг

Эндээс л болж байна шинэ үг хэллэгЦевагийн теорем.

Шугамын хэрчмүүд нэг цэг дээр огтлолцдог, хэрэв зөвхөн хэрэв л бол

Жишээ.

1) Цевагийн теоремын үндсэн томъёоны гурван бутархай бүгд 1-тэй тэнцүү тул медианууд нэг цэгт огтлолцдог.

2) Бисектрис нэг цэг дээр огтлолцдог. Энд Ceva-ийн теоремыг тригонометрийн хэлбэрээр ашиглах нь илүү тохиромжтой.

3) Хурц гурвалжны өндөр нь нэг цэгт огтлолцдог. Дахин хэлэхэд тригонометрийн хэлбэрийг ашиглах нь илүү хялбар байдаг.

Теоремыг батлах, асуудал шийдвэрлэхэд ижил төстэй байдлыг хэрэглэх (Талесийн теоремыг ерөнхийд нь авч үзэх. Чева, Менелаусын теоремууд.)

1. Танилцуулга;

2. Фалесийн теоремийн ерөнхий дүгнэлт;

(a) Үг хэллэг;

(б) Нотлох баримт;

3. тухай теорем пропорциональ сегментүүд;

4. Цевагийн теорем;

(a) Үг хэллэг;

(б) Нотлох баримт;

5. Менелаусын теорем;

(a) Үг хэллэг;

(б) Нотлох баримт;

6. Асуудал, түүнийг шийдвэрлэх арга замууд;

7. Мэдээллийн эх сурвалж;

Танилцуулга.

Миний хураангуйг теоремыг нотлох, асуудлыг шийдвэрлэхэд ижил төстэй байдлыг ашиглах, тухайлбал Фалесийн теорем, Цева, Менелаусын теоремыг ерөнхийд нь судлаагүй гүн гүнзгий судлахад зориулагдсан болно. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Наймдугаар ангид ордог ижил төстэй байдлын сэдэвт ердөө 19 цаг хуваарилагдсан нь энэ сэдвийг илүү гүнзгий судлахад хангалтгүй юм. Ижил төстэй байдлын сэдвүүдэд: тодорхойлолт ижил төстэй гурвалжин, ижил төстэй байдлын тэмдэг, ижил төстэй гурвалжны талбайн харьцаа, гурвалжны дунд шугам, пропорциональ сегмент гэх мэт.

Би танд сануулъя ижил төстэй гурвалжны тодорхойлолт :

Хоёр гурвалжны өнцөг нь тэнцүү, нэг гурвалжны талууд нь нөгөө гурвалжны ижил талуудтай пропорциональ байвал тэдгээрийг ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Ижил төстэй гурвалжны хувьд ижил төстэй талуудын харьцаа төдийгүй бусад ижил төстэй сегментүүдийн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициенттэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, AD ба А 1 D 1 ижил төстэй биссектрисийн харьцаа, i.e. биссектриса тэнцүү өнцөгИжил төстэй ABC ба A 1 гурвалжин дахь A ба A 1 нь ижил төстэй байдлын коэффициент k, ижил төстэй AM ба A 1 M 1 медиануудын харьцаа k-тэй тэнцүү бөгөөд AH ба ижил төстэй өндөрүүдийн харьцаа ижил байна. A 1 H 1 нь k-тэй тэнцүү байна.

Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт тусгагдсан энэхүү материалын тусламжтайгаар бид нэлээд явцуу хүрээний асуудлыг шийдэж чадна. Эссэ бичихдээ би энэ сэдвээр мэдлэгээ гүнзгийрүүлэх гэж байгаа бөгөөд энэ нь надад илүү их зүйлийг шийдвэрлэх боломжийг олгоно өргөн тойрогпропорциональ сегмент дэх асуудлууд. Энэ бол миний эссений ач холбогдол юм.

Теоремуудын нэг нь Фалесийн теоремыг нэгтгэн дүгнэх явдал юм. Фалесийн теоремыг өөрөө наймдугаар ангид заадаг. Гэхдээ гол теоремууд нь Цева, Менелаусын теоремууд юм.

Фалесийн теоремийн ерөнхий ойлголт.

Томъёо:

Өгөгдсөн хоёр шугамыг огтолж буй параллель шугамууд эдгээр шулуун дээрх пропорциональ хэсгүүдийг таслав.

Нотлох:

Нотолгоо:

Жишээлбэл, үүнийг баталъя

Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

1 тохиолдол

a ба b шугамууд зэрэгцээ байна. Дараа нь A1A2B2B1 ба A2A3B3B2 дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм. Тиймээс A1A2=B1B2 ба A2A3=B2B3 гэсэн үг

Тохиолдол 2

a ба b шугамууд зэрэгцээ биш байна. А1 цэгээр бид b шулуунтай параллель c шулууныг зурна. Энэ нь A2B2 ба A3B3 шулуун шугамуудыг C2 ба C3 зарим цэгээр огтолно. A1A2C2 ба A1A3C3 гурвалжин нь хоёр өнцгөөр төстэй (А1 өнцөг нь нийтлэг, A1A2C2 ба A1A3C3 өнцөг нь A2B2 ба A3B3 шулуун шугамууд A2A3 зүсэлттэй параллель байх үед харгалзах өнцөгтэй тэнцүү байна)

Эндээс пропорцын шинж чанараар бид дараахь зүйлийг авна.

Нөгөөтэйгүүр, эхний тохиолдолд батлагдсан зүйлээс харахад бид A1C2 = B1B2, C2C3 = B2B3 байна. Пропорциональ (1) A1C2-г B1B2, C2C3-ийг B2B3-аар сольж, бид тэгш байдалд хүрнэ.

Q.E.D.

Гурвалжин дахь пропорционал сегментүүдийн тухай теорем.

АС ба МЭӨ тал дээр ABC гурвалжин K ба M цэгүүдийг AK:KS=m:n, BM:MC=p:q гэж тэмдэглэв. AM ба BK сегментүүд нь О цэг дээр огтлолцоно.

Нотлох:

Нотолгоо:

M цэгээр дамжуулан бид VC-тэй параллель шулуун шугамыг зурна. Энэ нь АС талыг D цэгээр огтолж, Талесийн теоремын ерөнхий дүгнэлтийн дагуу

AK=mx гэж үзье. Дараа нь асуудлын нөхцөлийн дагуу KS=nx, KD:DC=p:q тул

Үүний нэгэн адил энэ нь батлагдсан

Цевагийн теорем.

Энэ теоремыг 1678 онд баталсан Италийн математикч Жованни Чевагийн нэрээр нэрлэсэн.

Томъёо:

Хэрэв ABC гурвалжны AB, BC, CA талууд дээр C 1, A 1, B 1 цэгүүдийг тус тус авбал AA 1, BB 1 ба CC 1 хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцоно.

Нотлох:

2. AA1, BB1, CC1 сегментүүд нэг цэгт огтлолцоно

Нотолгоо:

1. AA1, BB1, CC1 хэрчмүүдийг нэг О цэгт огтолцгооё. Тэгш байдал (3) хангагдсаныг баталъя. Гурвалжин дахь пропорционал сегментүүдийн тухай теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

Эдгээр тэгш байдлын зүүн тал нь тэнцүү бөгөөд энэ нь баруун тал нь мөн тэнцүү гэсэн үг юм. Тэдгээрийг адилтгавал бид олж авна

Хоёр хэсэг болгон хуваах баруун тал, бид тэгш байдалд хүрнэ (3).

2. Эсрэг заалтыг баталъя. AB, BC, CA тал дээр C1, A1, B1 цэгүүдийг авбал тэгш байдал (3) хангагдана. AA1, BB1, CC1 хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцож байгааг баталцгаая. AA1 ба BB1 хэрчмүүдийн огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглээд CO шулуун зуръя. Энэ нь AB талыг тодорхой цэгээр огтолдог бөгөөд үүнийг бид C2 гэж тэмдэглэдэг. AA1, BB1, CC1 сегментүүд нэг цэг дээр огтлолцдог тул эхний цэг дээр батлагдсан зүйлээр

Тиймээс (3) ба (4) тэнцүү байна.

Тэдгээрийг харьцуулж үзвэл бид тэгш байдалд хүрнэ

Хотын шинжлэх ухаан, практикийн бага хурал

"ЛОМОНОСОВЫН УНШИЛТ"

Цевагийн теорем

MBOU "17-р дунд сургууль".

Удирдагч:

Математикийн багш МБОУ 17-р дунд сургууль.

I Тэмдэглэл

Энэ ажилтөрөл бүрийн оюутнуудад тусалж чадна боловсролын байгууллагууд Ceva-ийн теоремыг ашиглан гурвалжны шинж чанаруудын талаархи ойлголтоо өргөжүүлэх. Энэхүү ажил нь гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн шинж чанарыг нотлох, хавтгайн зарим хувиргалтыг нотлох, хамгийн том цэгийг олох асуудлыг шийдвэрлэхэд Ceva теоремыг ашиглах асуудлыг системчилсэн болно. хамгийн бага утгуудтоо хэмжээ, түүнчлэн даалгавар өөр өөр түвшиннарийн төвөгтэй байдал. Ажлыг хичээл хийхэд ашиглаж болно сонгох хичээлүүд, олимпиад, улсын нэгдсэн шалгалт, элсэлтийн шалгалтанд бэлтгэх.

II Менежерийн санал хүсэлт

Одоогоор орж байна орчин үеийн сургуульгеометрийн үүргийг бага зэрэг дутуу үнэлдэг. Энэ ажил нь нэр хүндийг бэхжүүлэхэд тусална сургуулийн сэдэвгеометр, учир нь энэ нь хэрхэн зөвхөн нэгийг харуулж байна гайхалтай теорембүхэл давхаргыг нээх боломжийг танд олгоно хамгийн сонирхолтой шинж чанаруудгурвалжин, түүний тусламжтайгаар шийдэгдсэн асуудлын гоо үзэсгэлэн, ач ивээлээс таашаал аваарай.

Ажлын үеэр зохиолч Вера Панкова үзүүлэв илүү их зэрэгтусгаар тогтнол. Одоо байгаа уран зохиолын эх сурвалжид дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах аргыг ашиглан зохиогч өөр судалгааны аргыг ашиглах шаардлагатай тулгарсан - даалгавруудыг системчлэх. Ашигласан уран зохиолд даалгавруудыг тодорхой сэдвүүдийн системгүйгээр жагсаалт хэлбэрээр санал болгодог. Асуудлыг сэдэвчилсэн системчлэх нь асуудлыг шийдвэрлэх арга замыг олох чадварыг ихээхэн хялбаршуулсан. Үүний зэрэгцээ ихэнх ньАсуудлыг Вера бие даан шийдсэн нь логик соёлын түвшин нэмэгдэж, зохиолчийн орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан.

Ажлын тусгай курс ашиглаж болно, онд тусгай сургалт, олимпиад, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх.

Удирдагч

____________/

III Хяналт

“Севагийн теорем” сэдэвт ажил нь ахлах сургуулийн геометрийн хичээлийн хөтөлбөрт ороогүй Ceva теоремыг ашиглах боломжийг судлахад зориулагдсан болно. Бүхэл бүтэн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд Ceva-ийн теорем нь шийдлийг хялбар бөгөөд гоёмсог олж авах боломжийг олгодог бол уламжлалт арга барил нь төвөгтэй, уйтгартай нотолгоонд хүргэдэг тул сэдэв нь хамааралтай юм.

Теоремын нотолгоонд анхаарлаа хандуулдаг янз бүрийн аргаармөн янз бүрийн хэлбэрээр.

Практик хэсэгт гурван шулуун нэг цэгт огтлолцож байгааг нотлох уламжлалт аргуудыг харьцуулж, Ceva-ийн теоремыг ашиглан нотолсон болно.

Гол хүчин чармайлт нь теоремыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх, тэдгээрийн сэдэвчилсэн системчилэлд чиглэгдэж, шийдлийн аргыг хайх ажлыг хялбарчлах боломжийг олгодог. Үүний зэрэгцээ зохиогч үндсэндээ нэг асуудлыг шийддэг: тэрээр асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд Ceva-ийн теоремыг ашиглах давуу талыг харуулсан.

Зохиогч Ceva-ийн теоремыг ашиглах боломжийг судлахдаа гурвалжингийн гайхалтай цэгүүдийн талаархи мэдлэгийг гүнзгийрүүлж, мэдэгдэж байсан зүйлийг нэмж чадсан гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. сургуулийн курсдөрөв гайхалтай оноо, шинэ цэгүүд ба хоёр дахь эрэмбийн цэгүүд, өөрөөр хэлбэл хувиргалтын үр дүнд олж авсан. Үзэж буй өөрчлөлтүүд нь сургуулийн хичээлийг гүнзгийрүүлэх явдал юм.

Энэхүү ажлын давуу тал нь шинжлэх ухааны шинж чанар, нотлох баримт, материалыг танилцуулахдаа логик нийцтэй байдал юм.

""………………..2007 оны дарга

____________/

I Хураангуй……………………………………………………………………………………..2

II Менежерийн санал хүсэлт………………………………………………3

III тойм………………………………………………………………………………………4

IV дипломын ажил…………………………………………………………………………………..6

IV Оршил………………………………………………………………………………….8.

V Үндсэн хэсэг:

1) Онол……………………………………………………………………………………10

2) Дасгал хийх ………………………………………………………………………………………………………………………………14

a) Цевагийн теорем ба гурвалжны гайхалтай цэгүүд.……………..14

b) Гергон, Нагелийн цэгүүд ба Цевагийн теорем ………………………….17

в) Цевагийн теоремтой холбоотой зарим гайхалтай хувиргалтууд ……………………………………………………………….19

г) Цевагийн теоремыг шийдэлд хэрэглэх янз бүрийн даалгавар …………….23

д) Ceva теоремтой холбоотой хэмжигдэхүүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудал ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

VI Дүгнэлт……………………………………………………………….31

VII Ашигласан материал…………………………………………………….…32

IV Хураангуй

1) Ажлын эхний хэсэг нь онолын шинж чанартай. Энд толилуулж байна янз бүрийн арга замуудЦевагийн шууд ба урвуу теоремын нотолгоо: ижил төстэй гурвалжин ашиглан нотлох, талбайн ойлголтыг ашигласан хоёр баталгаа, синус хэлбэрийн Ceva теорем. Мөн гурвалжны эсрэг талын тодорхой цэгтэй гурвалжны оройг холбосон хэрчмүүд болох цовой шувууны тодорхойлолт, өрсөлдөх чадварын тухай ойлголтыг өгдөг.

2) Ажлын хоёр дахь хэсэг нь практик юм. Ceva-ийн теоремыг ашиглан бодлогуудын сэдэвчилсэн системчилэл энд байна. Бүх асуудал шийдлийг дагалддаг.

a) Цевагийн теорем ба гурвалжны гайхалтай цэгүүд. Энэ бүлэгт өрсөлдөх чадварыг нотлохын тулд Ceva-ийн теоремыг ашигласан гайхалтай мөрүүдгурвалжин: медиан, биссектриса, өндөр ба перпендикуляр биссектрис.

b) Гергон ба Нагелийн цэгүүд. Энд Ceva-ийн теоремыг ашиглан гурвалжны оройг дайран өнгөрөх шулуунууд ба бичээстэй тойргийн шүргэх цэгүүд нэг цэгт (Гергонн цэг) огтлолцдог, мөн гурвалжны оройг дайран өнгөрдөг шулуунууд ба тойргийн шүргэх цэгүүд хоорондоо огтлолцдог нь энд нотлогдсон. нэг цэг дээр огтлолцоно (Нагелийн цэг).

в) Цевагийн теоремтой холбоотой зарим гайхалтай хувиргалтууд. Энэ бүлэгт бид Цевагийн теоремыг ашиглан Цевануудын огтлолцлын цэгийн изоциккуляр дүрсийг цэгийн гурвалжинтай харьцуулахад Севиануудын огтлолцох цэг хүртэл изогональ коньюгат, изотомийн коньюгат байгааг нотолж байна. Мөн 2-р эрэмбийн гайхалтай цэгүүдийн жишээг өгсөн болно, өөрөөр хэлбэл заасан хавтгай хувиргалтыг ашиглан олж авсан.

d) Ceva-ийн теоремыг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах. Өөрийгөө хянахад ашиглаж болох янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй шийдлүүдийн асуудлууд энд байна.

д) Сева теоремтой холбоотой хэмжигдэхүүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудал. Энэ бүлэг нь хэмжигдэхүүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлыг шийддэг үндсэн аргууд, өөрөөр хэлбэл дериватив ашиглахгүйгээр.

В Танилцуулга.

Илүү өргөн хүрээтэй уран зохиолтой байх,

алгебр болон арифметикийг нэгтгэснээс илүү

наад зах нь өргөн цар хүрээтэй

анализ, геометр гэх мэт илүү их хэмжээгээр,

Математикийн бусад салбараас илүү

хамгийн баян сан хөмрөг юм

хамгийн сонирхолтой, гэхдээ хагас мартагдсан зүйлүүд,

хэнээр, яарч буй үеийнхэн

таашаал авах цаг алга.

Козма Прутковын "Хэн ч агуу ихийг тэвчихгүй" гэсэн үгийг гурвалжны геометртэй бүрэн холбож болно. Гурвалжин нь үзэсгэлэнтэй, гайхалтай агуулах шиг юм геометрийн загварууд, үнэхээр шавхагдашгүй. Тэдний олон янз байдал, элбэг дэлбэг байдал нь системчлэхэд хэцүү байдаг нь баярлахаас өөр аргагүй юм.

Гурвалжны геометр нь ихэвчлэн гайхалтай цэгүүдтэй холбоотой байдаг. Ихэнх гайхалтай оноог дараах байдлаар олж авч болно.

ABC гурвалжны BC тал дээр A1 цэгийг сонгох зарим дүрэм байг (жишээлбэл, энэ талын дундыг сонгох). Дараа нь бид гурвалжны нөгөө хоёр тал дээр ижил төстэй B1, C1 цэгүүдийг барих болно (бидний жишээнд талуудын хоёр дунд цэг). Хэрэв энэ дүрэм "амжилттай" бол AA1, BB1, CC1 шугамууд ямар нэгэн Z цэгт огтлолцоно. Урьд үеийн эрдэмтэд гурвалжны талуудын цэгүүдийн байрлалаар тодорхойлох аргатай байхыг үргэлж хүсдэг байсан. харгалзах гурван шулуун нэг цэгт огтлолцох эсэх.

Энэ асуудлыг "хаагдсан" бүх нийтийн нөхцөл 1678 онд олдсон. Италийн инженер Жованни Чева.

Ceva-ийн гайхалтай теорем нь геометрийн сургалтын хөтөлбөрт ороогүй болно ахлах сургууль. Гэсэн хэдий ч бүхэл бүтэн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ теорем нь шийдлийг хялбар бөгөөд гоёмсог олж авах боломжийг олгодог. Цевагийн теорем нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт судлагдаагүй гурвалжны олон шинэ теорем, шинж чанаруудтай танилцах боломжийг нээж өгдөг.

Ажлын зорилго: Сева теоремыг ашиглан гурвалжны шинж чанаруудын талаарх ойлголтыг өргөжүүлэх.

Таамаглал: хэрэв Ceva-ийн теорем нь уусдаг зүйлийн ангиллыг өргөжүүлэхэд тусалдаг бол геометрийн асуудлууд, тэгвэл энэ нь геометрийн үндсэн теоремуудын нэг юм.

Даалгаврууд:

· гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн шинж чанарыг нотлохын тулд Ceva-ийн теоремыг ашиглах боломжийг судлах;

· Цевагийн теоремыг түвэгтэй байдлын янз бүрийн түвшний асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж сурах;

· Севагийн теоремыг ашиглан шийдсэн асуудлыг сэдэвчилсэн байдлаар системчлэх.

Судалгааны аргууд: байгаа уран зохиолын эх сурвалжид дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, даалгавруудыг системчлэх.

В I Үндсэн хэсэг

1) Онол

Гурвалжны оройг эсрэг талын аль нэг цэгтэй холбосон хэрчмийг CEVIANA гэнэ.

AX, BY, CZ – Chevians ∆ ABC.

Гурван цэвиан бүгд нэг P цэгт огтлолцсон бол бид ӨРСӨЛДӨХ ЧАДВАРТАЙ гэж хэлнэ.

1) Цевагийн теорем. Хэрэв ABC гурвалжны AX, BY, CZ гурван цэвиан өрсөлдөх чадвартай бол

Баталгаа.Гурвалжны талбайнууд нь мэдэгдэж байна тэнцүү өндөргурвалжны суурьтай пропорциональ.

Харьцуулъя

.

Үүний нэгэн адил,

.

Үр дүнгийн тэгшитгэлийг үржүүлье

.

Эсрэг теорем.

Хэрэв гурван Chevian AX, BY, CZ харьцааг хангана , тэгвэл тэд өрсөлдөх чадвартай.

Баталгаа.

Эхний хоёр хөх нь өмнөх шигээ P цэг дээр огтлолцож, Р цэгийг дайран өнгөрч буй гурав дахь хөх нь CZ болно гэж бодъё."

Дараа нь Ceva-ийн шууд теоремоор,

.

Гэхдээ нөхцөл байдлын дагуу ,

Тиймээс, .

Цэг нь Z цэгтэй давхцаж байгаа бөгөөд AX, BY, CZ сегментүүд өрсөлдөх чадвартай гэдгийг бид нотолсон.

2) Цевагийн теоремыг ижил төстэй гурвалжин ашиглан батлах аргыг авч үзье.

Хажуу талдаа байг AB, МЭӨТэгээд А.С.гурвалжин ABCҮүний дагуу оноог авдаг C 1, А 1 ба Б 1. Шулуун А.А. 1, Б.Б 1, CC 1 нь зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцоно

(*)

шулуун А.А. 1, Б.Б 1, CC 1 цэг дээр огтлолцдог О(Зураг 2). Дээд талаас Cгурвалжин ABCЗэрэгцээ шулуун шугам татъя AB, ба түүний шугамтай огтлолцох цэгүүд А.А. 1, Б.Б 1-ийг бид үүний дагуу тэмдэглэнэ А 2, Б 2. Гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас C.B. 2Б 1 ба АББ 1 Бид тэгш эрхтэй

Үүний нэгэн адил гурвалжны ижил төстэй байдал БАА 1 ба C.A. 2А 1 Бид тэгш эрхтэй

Цаашилбал, гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас МЭӨ 1ОТэгээд Б 2CO, А.С. 1ОТэгээд А 2COбидэнд байгаа Тиймээс тэгш байдал хадгалагдана

(1), (2) ба (3) тэгшитгэлүүдийг үржүүлснээр бид шаардлагатай тэгшитгэлийг (*) авна.

Үүний эсрэгээр баталъя. Оноо өгье А 1, Б 1, C 1 гурвалжны харгалзах талууд дээр авсан ABCтэгш байдал (*) хангагдсан. Шугамануудын огтлолцох цэгийг тэмдэглэе А.А. 1 ба Б.Б 1 дамжуулан Оба шугамын огтлолцлын цэг COТэгээд ABдамжуулан C" . Дараа нь нотлогдсон зүйл дээр үндэслэн тэгш байдал хэвээр байна

https://pandia.ru/text/79/202/images/image017.gif" width="100" height="52"> цэгүүд нь давхцаж байна. C" Тэгээд C 1, тиймээс шулуун А.А. 1, Б.Б 1, CC 1 нь нэг цэг дээр огтлолцдог.

3) Талбайн тухай ойлголтыг ашиглан Ceva-ийн теоремыг батлах өөр нэг арга.

AA1, BB1, CC1 шулуунууд О цэгт огтлолцоно гэж үзье.(Зураг 3) ABC гурвалжны А ба В оройноос CC1 шулуун руу AA, BB перпендикуляр буулгая. AC1A" ба BC1B" гурвалжин нь ижил төстэй тул

66" өндөр "30" bgcolor="цагаан" style="border:.75pt цул цагаан; vertical-align:top;background:white"> Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөр үржүүлснээр бид дараахыг олж авна.

Үүний нэгэн адил

https://pandia.ru/text/79/202/images/image028.gif" өргөн "187" өндөр "56 src=">

Эцэст нь бид: https://pandia.ru/text/79/202/images/image030.gif" width="260" height="47">

2) Дадлага хийх

a) Цевагийн теорем ба гурвалжны гайхалтай цэгүүд.

Ceva-ийн теорем нь гурвалжны медиан, биссектриса, өндөр (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөл) болон дунд шугамын огтлолцлын цэгийн талаархи мэдэгдлийг маш энгийнээр батлах боломжийг олгодог.

Медианууд- эдгээр нь гурвалжны оройг дунд цэгүүдтэй холбодог цэвианууд юм эсрэг талууд.

Даалгавар №1. Гурвалжны медианууд өрсөлдөх чадвартай болохыг батал.

Баталгаа. AB1 = B1C тул; CA1 = A1B (Зураг 5);

BC1 = C1A, тэгвэл

.

Ceva-ийн теоремын дагуу медианууд нь өрсөлдөх чадвартай байдаг.

Өндөр - эдгээр нь Чевичууд, талуудтай перпендикулярэсвэл гурвалжингийн талуудын үргэлжлэл.

Тэдний нийтлэг цэгдуудсан ортоцентр.

Гурван шулуун нэг цэгт огтлолцож байгааг нотлохын тулд Ceva-ийн теоремын урвууг ашиглах нь нотлох баримтыг маш хялбаршуулдаг. Цевагийн теоремоор хийгдсэн гурвалжны өндрүүдийн давхцлын нотолгоог өөр аргаар харьцуулж үзье.

Даалгавар №2. Өндөр гэдгийг батал хурц гурвалжин, өрсөлдөх чадвартай.

Баталгаа.Гурвалжны өндрийг AA1, BB1, CC1 гэж үзье. (Зураг 6) Тэгш өнцөгт ∆AA1C ба ∆BB1C нь ижил төстэй (учир нь тэдгээр нь нийтлэг байдаг. хурц өнцөг C), тиймээс

Үүний нэгэн адил, ∆AA1B ба ∆CC1B-ийн ижил төстэй байдлаас дараах байдалтай байна.

Мөн ∆ВВ1А ба ∆СС1А-ийн ижил төстэй байдлаас - тэгш байдал.

* http://геометр. info/geometriia/treug/medvys. html

Геометрийн ертөнц - Оюутны портал

Тэгэхээр K, L, M цэгүүд гурвалжин үүсгэнэ. MA нь BC-тэй параллель, MB нь АС-тай параллель байна. Энэ нь дөрвөлжин MACB нь параллелограмм гэсэн үг юм. Тиймээс MA = BC, MB = AC. Үүнтэй адил AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Тиймээс AP ба BQ - перпендикуляр биссектрис KLM гурвалжны талууд руу. Тэдгээр нь О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь CO нь мөн медиан перпендикуляр гэсэн үг юм. CO нь KL-д перпендикуляр, KL нь AB-тай параллель, энэ нь CO нь AB-тай перпендикуляр байна гэсэн үг юм. R нь AB ба CQ хоёрын огтлолцлын цэг гэж үзье. Дараа нь CR нь AB-тай перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл CR нь ABC гурвалжны өндөр юм. O цэг нь ABC гурвалжны өндрийг агуулсан бүх шулуунуудад хамаарна. Энэ гурвалжны өндрийг агуулсан шугамууд нэг цэг дээр огтлолцдог гэсэн үг юм. Q.E.D.

Мэдээжийн хэрэг, Ceva-ийн теорем нь нотлох ажлыг хөнгөвчлөх болно.

Даалгавар №3. Гурвалжны биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь өрсөлдөх чадвартай болохыг батал.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image040.gif" width="272 height=53" height="53">

Эдгээр тэгшитгэлийг үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Эндээс Ceva-ийн теоремоор биссектриссууд нэг цэгт огтлолцдог гэсэн дүгнэлт гарна.

Гурвалжны дөрөв дэх гайхалтай цэг бол гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг юм.

A1B1C1 дунд гурвалжинг авч үзвэл давна. Дунд шугамууд нь анхны гурвалжны хажуу талуудтай параллель байдаг тул перпендикуляр биссектрис нь өндөр юм. дунд гурвалжин, өрсөлдөх чадвар нь Ceva-ийн теоремыг ашиглан аль хэдийн батлагдсан. Энэ нь ∆ ABC талуудын перпендикуляр биссектриса нь өрсөлдөх чадвартай гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.

b) Гергон, Нагелийн цэгүүд ба Цевагийн теорем.

Гурвалжны өөр хоёр гайхалтай цэгийг тогтоохын тулд Ceva-ийн теоремыг ашиглацгаая.

Асуудал №5 Гурвалжны оройг дайран өнгөрч буй шулуунууд ба бичээстэй тойргийн шүргэгч цэгүүд нь нэг цэгт огтлолцдогийг батал. Гергоны санаа.

Баталгаа.

О төвтэй тойрог нь A1, B1, C1 цэгүүдийн ∆ABC талуудад хүрнэ (Зураг 11), дараа нь нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч хэрчмүүдийн шинж чанарын дагуу.

AB1 = AC1; BC1 = BA1; CA1 = CB1

Зураг.11

,

гэсэн үг. AA1, BB1, CC1 шугамууд нь өрсөлдөх чадвартай, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь нэг G цэг - Гергон цэг дээр огтлолцдог.

Гурвалжны өөр нэг гайхалтай цэг бол Нагелийн цэг .

Тодорхойлолт. Тойрог гэж нэрлэдэг бичигдээгүйХэрэв энэ гурвалжны нэг тал болон нөгөө хоёр талынх нь сунаж тогтвол гурвалжин болно.

Асуудал №6 Үүнийг нотол гурвалжны оройг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд ба тойргийн шүргэгч цэгүүд нэг цэгт (Нагелийн цэг) огтлолцоно.

Баталгаа.

AB = c; BC = a; AC = b; VХb = BZb шүргэгч хэсгүүдийн тэгш байдлын шинж чанараар (Зураг 12).

ВХb + BZb = ВС + СХb + ZbA + AB,

СХb + ZbA = b, https://pandia.ru/text/79/202/images/image045.gif" width="20" height="16"> ВХb + BZb = а +b +с = 2p (p) - гурвалжны хагас периметр),

ВХb = BZb.= p, үүнтэй адил, бусад хоёр оройноос татсан шүргэгч хэрчмүүдийн хувьд. Мөн СХb = ВХb – ВС = p-a; Бүх шүргэгч сегментүүдийн хувьд бид бас бичиж болно

тэр талын дунд, дээр

тэр хаана хэвтэж байна. Бид үүссэн гурван цэгийг A2, B2, C2 гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь AA2, BB2, CC2 шулуунууд Zm ямар нэгэн цэг дээр огтлолцдог болохыг батал.

Баталгаа. Чевагийн теоремын дагуу AA1, BB1, CC1 нь нэг цэгт огтлолцдог тул дараа нь

харин А2 ба А1, В2 ба В1, С2 ба С1 гурвалжны талуудын дунд цэгүүдтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй, => AC1=BC2; C1B=AC2; BA1=CA2 гэх мэт.

тиймээс , => AA2, BB2, СС2

нэг цэг дээр огтлолцоно.

Энэ цэгийг нэрлэдэг изотомын коньюгат ABC гурвалжинтай харьцуулахад Z цэг.

Асуудал №8

Баталгаа. Энд Ceva-ийн теоремыг синусын хэлбэрээр ашиглах нь тохиромжтой.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image068.gif" width="261" height="45 src=">,=> AA2, BB2, CC2 шулуун шугамууд нь AA1 шулуунтай тэгш хэмтэй байдаг тул , BB1, СС1 гурвалжны харгалзах өнцгүүдийн биссектрисстэй харьцуулахад өнцөг нь тэнцүү =

= ACC 2 , гэх мэт.

AA2, BB2, CC2 шулуун шугамууд мөн нэг цэгт огтлолцоно.

Энэ цэгийг нэрлэдэг изогональ коньюгат ABC гурвалжинтай харьцуулахад Z цэг.

Ашиглах замаар изотомТэгээд изогональхолболтууд, та шинэ гайхалтай оноо авах боломжтой.

Хмм - antiorthocenter – ортоцентртэй изотомын нийлдэг цэг, өөрөөр хэлбэл талуудын дунд цэгүүдтэй харьцуулахад өндрийн суурьтай тэгш хэмтэй цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамуудын огтлолцлын цэг ба гурвалжны харгалзах оройнууд (Зураг 16).

Гл– Гергонн цэгтэй изогональ коньюгат (Зураг 18).

AA2, BB2, CC2 шугамууд нэг цэгт огтлолцдогийг Ceva-ийн теоремыг нэгэн зэрэг хоёр томъёололд - синусын харьцаа, сегментийн харилцааны хэлбэрээр, мөн лемма ашиглан баталцгаая.

Архимедийн Лемма. Хэрэв тойрог нь хэрчим дотор бичигдсэн бөгөөд A1 цэгийн нуман дээр, А2 цэг дээрх BC хөвчтэй хүрч байвал A1A2 шулуун нь BA1C өнцгийн биссектриса болно (х. 15).

Баталгаа. ∟ВАА1=α1, ∟САА1=α2..gif" width="140" height="45 src="> гэж үзье. Үүний нэгэн адил бид үүнийг олж авна,

Хаана β1=∟ SVV1, β2=∟АВВ1, γ 1=∟ ACC1, γ 2=∟ VSS1. AA2, BB2, CC2 шулуун шугамын Чевагийн нөхцөл ийм маягтай байна

Энэ тэгш байдлын баруун тал нь Z цэг дээр огтлолцох AA1, BB1, CC1 шулуун шугамын синусын харьцаа хэлбэрээр Чева нөхцөлийн илэрхийлэл юм.

Тэр. AA2, BB2, CC2 шулуун шугамууд нэг Zc цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг нэрлэдэг тойрог хэлбэрээр Z оноо.

d) Ceva-ийн теоремыг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах

Асуудал №10 С1 ба А1 цэгүүд AB ба ВС ∆ ABC талуудыг 1:2 харьцаагаар хуваана.

CC1 ба AA1 шугамууд О цэг дээр огтлолцоно. Аль харьцааг ол

VO шулуун шугам нь АС талыг хуваана.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image090.gif" өргөн "121" өндөр "53 src=">

Ceva-ийн теоремоор хэрэв шугамууд өрсөлдөх чадвартай бол

https://pandia.ru/text/79/202/images/image092.gif" align="зүүн" өргөн="66" өндөр="54 src=">90" өндөр="30" bgcolor="white" style="border:.75pt цул цагаан; vertical-align:top;background:white">

Асуудал №11 BC, CA ба AB ∆ ABC талуудад AA1, BB1, CC1 хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцохоор A1, B1, C1 цэгүүдийг авсан. A1B1 ба A1C1 шугамууд нь А оройгоор дамжин ВС талтай параллель өнгөрч буй шугамыг C2 ба B2 цэгүүдэд тус тус огтолно. AB2 = AC2 гэдгийг батал. [2]

∆АС2С1 ~ ∆ВА1С1,

Сургуульд байхдаа бид гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог гэдгийг баталж байсныг санаж байна. Мөн гурвалжны биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог. Түүнээс гадна гурвалжны өндөр ба перпендикуляр биссектрис нь мөн адил шинж чанартай байдаг.
Гэхдээ эдгээр теоремууд батлагдсан ... яаж? Тийм ээ, үнэн хэрэгтээ тэд тус бүр өөрийн гэсэн арга замаар батлагдсан, тус бүр өөрийн гэсэн арга барилтай байсан.

Эрхэм уншигч та бүхэндээ би эдгээр теоремуудыг батлах нэгдсэн арга замыг харуулахыг хүсч байна. Ceva-ийн теоремыг ашиглан нотолгоо.
Энд түүний үг хэллэг байна:

Гурвалжны BC,CA,AB шулуунууд дээр A,B,C" цэгүүд хэвтэнэ. AA,BB,CC" шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно.

Баталгаа.

Шууд теорем.

Нэг талаас,
S AOB"/S COB" =AB"/B"C
Нөгөө талаас талбайн ижил харьцаа нь AOB" ба COB" гурвалжнуудын өндрийн OB суурьтай зурсан харьцаа, түүнчлэн AOB ба COB гурвалжны талбайн харьцаатай тэнцүү байна.

Тиймээс AB"/B"C = S AOB/S COB.

CA"/A"B ба AC"/C"B харьцаануудын ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг бичээд бүгдийг нь үржүүлснээр бид шаардлагатай мэдэгдлийг олж авна.

Эсрэг теорем.

Тиймээс гурвалжны талуудын A, B, C цэгүүдийг сонгосон ба нөхцөлийн тэгш байдал хангагдсан гэж үзье.
AA" ба BB" цэгүүдийг О цэг дээр огтолцгооё. CO шулуун зураад AB талыг ямар нэгэн C"" цэгээр огтолцгооё. Дараа нь шууд теоремын дагуу бид "С" цэгийн оронд "С" цэг байх бөгөөд бидний үзүүлсэн шиг "С" цэгтэй ижил тэнцүү байх болно Урвуу теоремын нөхцлөөс C" цэгтэй бол бид C" ба C" цэгүүд давхцаж байна гэж дүгнэж байна.

Та бичиж болно Синус хэлбэрийн Ceva-ийн нөхцөл байдал:
Синусын теоремыг ABA" ба ACA" гурвалжинд хэрэглэснээр энэ нөхцлийг хялбархан олж авч болно. Тэдний хувьд бид A"B/AA"= sinBAA"/sinABA" ба A"C/AA"=sinA"AC/sinA"CA авдаг. Нэг тэгш байдлыг нөгөөд хувааснаар бид A"B/A"C=sinBAA" /sinA"AC * (sinBCA/sinABC) болно.

Үлдсэн сегментүүдэд ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг бичиж, үржүүлснээр бид Chevy нөхцөлийг синус хэлбэрээр олж авдаг.

Цевагийн теоремын дагуу гурвалжны нэг цэг дэх медиануудын огтлолцол нэг шулуунаар нотлогддог.
Цевагийн синус хэлбэрийн теоремын дагуу биссектрисын нэг цэгт огтлолцох нь нэг шулуунаар нотлогддог.
Гэхдээ гурвалжны өндөр нь нэг цэг дээр огтлолцдог гэдгийг нотолж байгаа нь Чевагийн теоремын дагуу синус хэлбэрээр хоёр мөрөнд нотлогддог. Нотлох баримтын эхний мөрөнд бид мэдэгдэж байгаа зүйлийг бичих ёстой тригонометрийн ижилсэл -
sin(90 - a) = cos a

“XXI ЗУУНЫ СЭХЭЭТНҮҮД” НИЙТИЙН ЭРДЭМ ШИНЖИЛГЭЭ, ПРАКТИКИЙН БАГА ХУРАЛ БОЛЛОО.

Менелаусын теорем ба Цевагийн теорем ба тэдгээрийн хэрэглээ

Попов Богдан Валерьевич

10Б ангийн сурагч

МАОУ "2-р биеийн тамирын заал"

Удирдагч:

Лысенко Надежда Анатольевна

Дээд зэрэглэлийн багш

Г.Балаково. 2012

Танилцуулга 3 хуудас

Менелаусын теорем 4 хуудас

Цевагийн теорем 6 хуудас

Цевагийн теоремын үр дүн 8 хуудас

Цева, Менелаусын теоремуудыг ашиглах 10 хуудас

геометрийн асуудлууд

Дүгнэлт 14 хуудас

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт 15 хуудас

Танилцуулга

Геометрийн бодлогод алгебрийн бодлогоос ялгаатай нь шийдлийн жор, амжилтанд хүргэдэг алгоритмыг зааж өгөх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Энд геометрийн дүрсийн элементүүдийн хоорондын олон тооны харилцааны талаархи албан ёсны мэдлэгээс гадна зөн совин, туршлагатай байх шаардлагатай. Харж, харж, анзаарч чаддаг байх нь чухал янз бүрийн онцлогтоо баримт, анзаарагдсан шинж чанараас дүгнэлт гаргах, боломжтойг урьдчилан таамаглах нэмэлт барилга байгууламж, асуудлын дүн шинжилгээг хөнгөвчлөх. “Асуудал шийдвэрлэх нь усанд сэлэх, гүйхтэй адил практик урлаг юм. Үүнийг дуураймал буюу дасгал хийж л сурна” гэж Д.Поля бичжээ.

Гурвалжны геометрийг анхан шатны геометрийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг гэж үздэг. Энэ бол санамсаргүй тохиолдол биш. Гурвалжин нь сегментийн дараа хамгийн энгийн дүрс байж болох ч энэ нь бусад, илүү төвөгтэй дүрсүүдийн шинж чанарыг бууруулдаг олон чухал, сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Гурвалжны тухай теоремуудын дунд судалгаа нь геометрийн асуудлын шийдлийн хүрээг мэдэгдэхүйц өргөжүүлэх боломжийг олгодог хүмүүс байдаг. Тэдний ач холбогдол нь юуны түрүүнд геометрийн теоремуудын ихэнхийг тэдгээрээс гаргаж авах эсвэл тэдгээрийн тусламжтайгаар олон дүгнэлт гаргах үндэс болдогт оршино. Эдгээр нь Пифагорын теорем, синусын теорем, косинусын теорем гэх мэт. Олон алдартай эрдэмтдийн нэрс гурвалжингийн тухай ойлголттой холбоотой байдаг: Пифагорын теорем, Хероны томъёо, Эйлерийн шулуун шугам, Карногийн теорем болон бусад.

Гэхдээ гурвалжны геометрт зохиогчид нь зөвхөн "гурвалжны ачаар" шинжлэх ухааны түүхэнд үлдсэн олон теоремууд байдаг. тухай юмИйм хоёр теоремын тухай - Цевагийн теорем ба Менелаусын теорем. Тэд хоёулаа сонирхолтой, олон тооны програмуудтай тул үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар бөгөөд гоёмсог болгодог бүхэл бүтэн ангидаалгавар.

Ажлын гол зорилго:

Энэ сэдвээр уран зохиолын дүн шинжилгээ хийх;

ТеоремМенелаус

Менелаусын теорем үзэсгэлэнтэй бөгөөд энгийн. Сургуулийн хичээл дээр энэ теорем нь бодлогын дунд хаа нэгтээ алдагдсан байв. Үүний зэрэгцээ эртний Грекийн математикийн алтан санд багтсан байдаг. Энэ нэрээ зохиогч, эртний Грекийн математикч, одон орон судлаач Александрийн Менелаусын (МЭ 100 орчим) хүндэтгэн нэрлэжээ. Ихэнх тохиолдолд энэ теорем нь нэлээд төвөгтэй геометрийн асуудлыг маш хялбар бөгөөд гоёмсог байдлаар шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Теорем: AB,BC талууд болон AC талуудын үргэлжлэл (эсвэл AB,BC, AC талуудын үргэлжлэл) дээр тус тус оноог авъя. , Тэгээд, ABC-ийн оройтой давхцахгүй. Оноо тэгш байдал хангагдсан тохиолдолд л нэг мөрөнд хэвтэнэ

Нотолгоо:

Эхлээд баталъя хэрэгцээ. Оноо өгье шулуун шугам дээр хэвтэхби ба = , = , = - эгнээПендикулярууд A, B, C цэгүүдээс шулуун l дээр тус тус унасан (1-р зургийг үз). Гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас Тэгээд бид авах:

Үүний нэгэн адил, ижил төстэй гурвалжны бусад хосуудыг авч үзвэл бид олж авна

Үр дүнгийн харьцааг үржүүлснээр бид шаардлагатай тэгш байдалд хүрнэ.

Хангалттай байдал. BC, AC, AB шулуунууд дээр байрлах A1, B1, C1 (Зураг 2) цэгүүд нь тийм байг.

Оноо гэдгийг баталцгаая , , ижил шулуун шугам дээр хэвтэх.

Шууд хийцгээе мөн C цэгийг нотлохтүүнд харьяалагддаг.

Энэ нь тийм биш гэж бодъё. Эхлээд бид шулуун шугам гэдгийг анхаарна уу тийм биш AB шугамтай зэрэгцээ. Шугамануудын огтлолцлын цэгийг T гэж үзье ба AB (зураг харна уу 2). Дараа нь

Одоо бид үүнийг нотолж байна С цэгтэй давхцаж байна.Энэ нотолгоог Менелаусын теоремын лемма гэж нэрлэдэг.

Лемма. А ба В хоёр өөр цэг байг. Дараа нь AB шулуун дээр ямар ч k > 0, k≠1 бол хоёр, зөвхөн хоёр M ба N цэгүүд байна. , мөн эдгээр цэгүүдийн нэг нь сегментэд хамаарна AB, нөгөө нь AB сегментийн гадна байрладаг.

Баталгаа. А цэгийг координатын эх болгон авч AB шулуун дээр координатуудыг оруулъя (Зураг 3-ыг үз). Тодорхой байдлын хувьд k > 1 гэж үзье. AB хэрчим дотор байрлах хүссэн U цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангана: , хаанаас.

Цевагийн теорем

Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдог, гурвалжны биссектрис нь нэг цэгт огтлолцдог, гурвалжны өндөр (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд) нэг цэг дээр огтлолцдог гэдгийг бид мэднэ. Одоо тавья ерөнхий асуулт. ABC-г авч үзээд BC, AC ба AB (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөл) талуудын цэгүүдийг тус тус тэмдэглэ. ( 1-р зургийг үзнэ үү)

Эдгээр цэгүүдийн аль байршилд AA, BB, CC шулуунууд нэг цэгт огтлолцох вэ?

Энэ асуултын хариултыг 1678 онд Италийн гидравлик инженер Жованни Цева (1698-1734) олсон байна.

Теорем: : Оноо оруулаарай нарны тал дээр тус тус хэвтэх, ABC гурвалжны АС ба BA (Зураг 2). Сегментүүд тэгш байдал хангагдсан тохиолдолд нэг цэгт огтлолцоно:

Баталгаа. Сегментүүдийг оруулъя , Тэгээдүгүй ABC гурвалжны доторх М цэг дээр огтлолцоно. -ээр тэмдэглэе гурвалжны талбай kov AMC, SMV болон AMV, мөн дамжуулан - А ба В цэгээс MC шулуун шугам хүртэлх зай тус тус.

Үүний нэгэн адил, .

Үүссэн пропорцийг үржүүлснээр бид теоремын үнэн зөв гэдэгт итгэлтэй байна.

Синус хэлбэрийн Ceva-ийн теорем.

авч үзсэн тохиолдол бүрт - болон тохиолдолд дотоод цэг O ба гадаад цэгийн хувьд О-нөхцөл . . =1 мөн хэлбэрээр бичиж болно: . . =1

Баталгаа: та тэгш байдлыг ашиглаж болно:

(1), (2), (3) үржүүлснээр бид олж авна . . =1

Цевагийн теоремын орон зайн ерөнхий ойлголт.

Теорем. M цэг нь ABCD тетраэдр дотор байг. - CMD, AMD, AMB ба SMV хавтгайнуудын хавиргатай огтлолцох цэгүүд (Зураг 3-ыг үз) AB, BC, CD ба DA. Дараа нь

Харин эсрэгээр, онооны хувьд , харгалзах х дээр хэвтэж байна ebrax, хамаарал хадгалагдана, дараа нь онгоцууд , , Тэгээднэг цэгээр дамжина.

Шаардлагатай байдлын баталгааХэрэв та оноог анзаарсан бол авахад хялбар (см.Зураг 3) нэг хавтгайд хэвтэх (энэ нь шулуун шугамаар дамждаг онгоц юм Тэгээд, М цэгт огтлолцох ба Менелаусын теоремыг хэрэглэнэ.

Эсрэг теорем нь ижил аргаар батлагдсан эсрэг теоремМенелаус орон зайд: Та A1, B1, C1 цэгүүдээр хавтгай зурж, энэ хавтгай нь D1 цэг дээр DA ирмэгийг огтолно гэдгийг лемма ашиглан батлах хэрэгтэй.

Теоремуудын үр дагаварсChevy

Дүгнэлт 1. Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог, оройноос эхлэн тоолох медиан тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана.

Баталгаа. Чева, Менелаусын теоремууд дээр үндэслэн нотлох баримтыг хийцгээе. Тэгэхээр AA, BB, CC нь ABC-ийн медианууд байг (Зураг 20). AC=CB, BA=AC, AB=BC, тэгвэл =1, = 1, = 1. Дараа нь . . , өөрөөр хэлбэл онооны төлөө A,B,C гурвалжны ABC гурвалжны талууд дээр байх нөхцөл хангагдсан байна . . =1 ; Ceva-ийн теоремоор AA, BB, CC нь нэг O цэг дээр огтлолцдог (дотоод цэгийн тохиолдол).

BBC-ийг авч үзье. A, O, A цэгүүд BB,BC талууд ба ВС талын өргөтгөлтэй огтлолцсон нэг шулуун шугам дээр хэвтэнэ (цаашид бид үүнийг секант гэж нэрлэнэ). A BC, O BB, ABC.

Менелаусын теоремоор =.

Дүгнэлт 2. Гурвалжны биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог.

Баталгаа. Энэ мэдэгдлийн үнэн зөвийг биссектрисын шинж чанарыг ашиглан баталж болно.

АА нь биссектрис учраас = ; учир нь BB бол биссектриса юм ; SS нь биссектриса учраас . Эдгээр тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус үржүүлснээр бид олж авна. . = . . = 1, өөрөөр хэлбэл A, B, C цэгүүдийн хувьд Чевагийн тэгш байдал хангагдсан бөгөөд энэ нь AA, BB, CC нь нэг цэг дээр огтлолцдог гэсэн үг юм.

Үр дагавар 3. Гурвалжны өндөр (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөл) нэг цэг дээр огтлолцоно (гурвалжны орток төв).

Баталгаа: AA, BB, CC нь ABC-ийн өндрүүд байг.

1) Хэрэв ABC нь хурц байвал (Зураг 22) A, B, C цэгүүд түүний хажуу тал дээр байрладаг. ACC - тэгш өнцөгт, AC = AC cosA;

BCC- тэгш өнцөгт, BC = BC cosB; BAA – тэгш өнцөгт, BA= AB cosB;

AAC- тэгш өнцөгт, AC=AC cosC; CB=CB cosC; AB= AB cosA.

Дараа нь..= = 1. Тэгээд нөхцөл () хангагдсан тул

2) ABC нь мохоо байна (Зураг 23). Энэ нь гадаад О цэгийн тохиолдол юм. ACC AC=ACcosA-аас; fromCBC CB=CB cos (180-B)= -CB cosB (мохоо өнцөг В);

ABA-аас BA=AB cos(180-B)=-AB cosB; үүнтэй адил,

AB=AB cosA; BC= BC cosC; AC = AC cosC; CB=CBcosC.

Чевагийн нөхцөл хангагдсан тул AA, BB, CC нь нэг цэгт огтлолцох буюу параллель байна (1-р бүлэг). Гэхдээ хэрэв тэдгээр нь параллель байсан бол тэдгээрт перпендикуляр шугамууд, өөрөөр хэлбэл ABC гурвалжны талууд хоорондоо параллель байх болно, гэхдээ энэ нь тийм биш юм. Энэ нь AA, BB, CC шугамууд нэг цэг дээр огтлолцдог гэсэн үг юм.

3) Хэрэв ABC тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол C = 90 (Зураг 3) бол ВС, АС, CC өндөр нь C цэгт огтлолцох нь тодорхой байна. Үр дүн 3-р нотлогддог.

Үр дагавар 4. Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектриса нь нэг цэгт огтлолцоно.

Баталгаа. Дундаж MNK-ийг авч үзье (оройнууд нь ABC талуудын дунд цэгүүд) (Зураг 25). Дараа нь NK, NM, MK нь ABC гурвалжны дунд шугамууд ба шинж чанараараа байна дунд шугам NK||AC, NM||BC, KM||AB. Иймд АВС гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектриса нь MNK өндрийг агуулна. Мөн MNK-д 3-р үр дүнд өндрүүд нэг цэгт огтлолцдог тул перпендикуляр биссектрисүүд нэг цэгт огтлолцдог.

Тиймээс Ceva-ийн теорем нь гурвалжны дөрвөн гайхалтай цэгийн талаархи сайн мэддэг мэдэгдлүүдийг маш энгийнээр батлах боломжийг олгодог.

Цевагийн теоремын өөр нэг үр дагаварыг авч үзье.

Дүгнэлт 5. Гурвалжны оройг тойргийн эсрэг талуудтай хүрэх цэгүүдтэй холбосон шугамууд нэг цэгт огтлолцоно.Энэ цэгийг Gergonne цэг гэж нэрлэдэг (Зураг 26).

Баталгаа. Нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч хэрчмүүдийн шинж чанараар бид AB=AC=x, CB=BA=y, AC=BC=z байна.

, Ceva-ийн теоремын дагуу AA, BB, CC нь нэг цэг дээр огтлолцдог.

Цева, Менелаусын теоремуудыг шийдвэрлэхэд ашиглах геометрийн асуудлууд.

Чева, Менелаусын теоремуудыг сургуулийн математикийн хичээлд зөвхөн математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангиудад судалдаг. Үүний зэрэгцээ эдгээр теоремууд нь санал болгож буй Планиметрийн асуудлыг бүхэлд нь хялбар бөгөөд дэгжин шийдвэрлэх боломжийг олгодог элсэлтийн шалгалтуудих дээд сургуулиудад, захидал харилцааны курст математикийн сургуулиудЭдгээр теоремуудыг ашиглан шийдэж болно.

Асуудал 1. ГурвалжиндABC, тойргийн талаар дүрсэлсэн,AB =13, МЭӨ = 12, А.С. = 9, АТэгээдC– контактын цэгүүд тус тусын хажуу тал дээр байрладагМЭӨТэгээдAB. Q- огтлолцох цэгсегментүүдА.А.ТэгээдБ.Х.,ХаанаБ.Х.- өндөр. Хандлагаа олохBQ: QH.

Шийдэл:

ABC гурвалжин нь масштаб бөгөөд H цэг нь шүргэлтийн цэгтэй давхцдаггүй гэсэн үг юм. АС талд байрлах шүргэлтийн цэгийг В үсгээр тэмдэглэе.

1. CB = x байг, тэгвэл нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгчийн шинж чанарыг ашиглан тэмдэглэгээг оруулав (Зураг 32).

BA=x, AC=BC=12-x, AC=AB=13-x. Дараа нь (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Тэгэхээр CB =BA= 8, AC=AB= 5, CA=CB=4.

2. Хероны томъёоны дагуу

S=, Б.Х.=, Б.Х. = .

3. Пифагорын теоремыг ашиглан ABH гурвалжин (зөв гурвалжин)-аас

4. CBH гурвалжинд АА шулуун нь түүний хоёр талыг, гурав дахь талын үргэлжлэлийг огтолж байна. Менелаусын теоремын дагуу

1, ..=1, ..=1, = .

Хариулт: 162:53.

Асуудал 2. Параллелограммыг өгсөнABCD. ЦэгМсегментийг хуваадагМЭталаарх, ба цэгНсегментийг хуваадагDCталаарq. ШуудБ.М.ТэгээдАНцэг дээр огтлолцоноС. Харьцааг тооцоолохAS: С.Н.

Шийдэл: хэрэв MD= б, дараа нь AM= pb; хэрэв NC = а, дараа нь DN = ак.

В-г BM ба CD шулуунуудын огтлолцох цэг гэж үзье.

MBD ~ BBC, тэгвэл;

; 1+ х = ; x = .

BB шугам нь хоёр тал ба гурав дахь гурвалжны өргөтгөл БА-тай огтлолцоно. Менелаусын теоремын дагуу

Асуудал 3. Дана зөв гурвалжин призмхажуугийн хавиргатай, Тэгээд. Түүнээс гадна хавирганы үргэлжлэл дээрцэг авсанТэгэхээр. Цэгүүдээр дамжуулан, ба хавирганы дунд хэсэгонгоц зурсан байна. Призмийн эзэлхүүнийг ямар харьцаагаар хуваах вэ?

Шийдэл:

1) Хэсэг барих:

a) , MB холбох, .

б) , холбох, .

в) бид холбогддог.

г) дөрвөлжин - хүссэн хэсэг.

2) Доод хэсэг, дээд хэсэг ба бүхэл призмийн эзэлхүүн, призмийн өндөр, суурийн тал байна.

М.Л.А.~ ;

Ингээд авч үзье ABC, – секант, .

Менелаусын теоремын дагуу.

- эд анги унадаг. .

Хариулт: 13:23

Дүгнэлт

Чева, Менелаусын теоремуудыг ойлгоход хялбар байдаг. Гэхдээ эдгээр теоремуудыг эзэмшихтэй холбоотой бэрхшээлүүд нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах замаар зөвтгөгддөг.

Чева, Менелаусын теоремуудыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх нь нэмэлт үйлдэл шаарддаг вектор гэх мэт өөр аргуудаар шийдвэрлэхээс илүү оновчтой юм.

Эдгээр теоремуудыг ашиглан бодлого бодох нь сурагчдын сэтгэхүй, логикийг хөгжүүлдэг тул ийм теоремуудыг 7-9-р ангийн геометрийн үндсэн хичээлд оруулах ёстой гэж би үзэж байна.

Чева, Менелаусын теоремууд асуудлыг хурдан бөгөөд анхны аргаар шийдвэрлэхэд тусалдаг нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдсэн, үүнд улсын нэгдсэн шалгалтын С түвшний даалгавар орно.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И.

Геометр: Ерөнхий боловсролын сургуулийн 7-9-р ангийн сурах бичиг / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев нар - М.: Боловсрол, 1990. - 336 х.

2. Качалкина Е.Цева ба Менелаусын теоремуудын хэрэглээ/Математик. Хэвлэлийн газар“Есдүгээр сарын нэгэн”, 2004, – No13. – х.23-26

3. Мякишев А.Г.Гурвалжингийн геометрийн элементүүд. - Номын сан

"Математикийн боловсрол" - М.: Москвагийн төвийн хэвлэлийн газар

тасралтгүй математикийн боловсрол, 2002. – 32 х.