Корреляцийн шинжилгээг спектрийн шинжилгээг ашиглахгүйгээр дохионы түр зуурын шинж чанарыг үнэлэх, жишээлбэл, дохионы өөрчлөлтийн хурд эсвэл үргэлжлэх хугацаа, нэг дохионы нөгөө дохиотой түр зуурын холболт (корреляц) зэргийг тооцоолох шаардлагатай үед ашигладаг.

Харилцан корреляцийн функц цаг хугацааны хувьд хоёр дохионы түр зуурын хамаарлыг тодорхойлдог. Хэрэв дохионууд бие биенээсээ хамааралгүй бол тэдгээрийн корреляцийн функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Корреляцийн функц илүү өргөн байх тусам хоёр дохионы хоорондох холболтын зэрэг нэмэгдэнэ.

Хөндлөн корреляцийн функц нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Хөндлөн хамаарлын функцийг олж авах жишээг 1-р зурагт үзүүлэв. Ямар ч агшинд корреляцийн функцийн утга xфункц болон шилжүүлсэн хуулбарын огтлолцлын талбайгаар тодорхойлогддог.

Хөндлөн корреляцийн функц нь заавал тэгш хэмтэй байх албагүй бөгөөд түүний хамгийн их утга нь тухайн цэг дээр байхгүй байж болно. x=0.

АвтокорреляциХугацаа хязгаарлагдмал дохионы функц (ACF) нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм

Хаана x– анхны дохионы цагийн шилжилт.

Автокорреляцийн функцийн геометрийн утга нь функцийн огтлолцлын талбай ба түүний хуулбарыг цаг хугацаагаар шилжүүлэхийг тодорхойлох явдал юм. x(Зураг 2)

Ээлжийн цагийг өөрчлөх xдохио ба түүний хуулбар огтлолцохоо болих хүртэл (энэ тохиолдолд) бид ACF-ийг авна. Шилжилтийн тэмдэг өөрчлөгдөж, түүний утга ижил байх үед автокорреляцийн функц ижил байх нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл. , энэ нь түүний жигд зан чанарын тухай өгүүлдэг. Хэзээ гэдэг нь ойлгомжтой x=0автокорреляцийн функц нь дээд талтай, ба

мөн эргээд нийт эрчим хүчдохио тэнцүү байна

Тиймээс автокорреляцийн функцын дээд хэмжээ нь нийт дохионы энергийг тодорхойлдог. Ээлж нэмэгдэх тусам x ACF тэг болж буурдаг.

Жишээ

дөрвөлжин импульс ( будаа. 3).

Учир нь x>0 бидэнд байна

ба интеграл нь x<0

Хамгийн их ACF нь дохионы энергитэй тэнцүү байна:

2) Гурвалжин импульс. ACF-ийн бүтцийг доор үзүүлэв будаа. 4.

Бүтээгдэхүүн нь шугаман бус функц юм т. Нийт дохионы энерги (хамгийн их ACF) тэнцүү байна ACF-ийн үргэлжлэх хугацаа нь дохионы үргэлжлэх хугацаанаас хоёр дахин их байна.

3. Дохио нь бие биенээсээ ижил зайд байрладаг ижил импульсийн багц юм. ACF нь бие биенээсээ ижил зайд байрлах импульсийн багц хэлбэртэй байх ба багц дахь импульсийн далайц нь төвөөс ирмэг хүртэл буурах болно (харна уу. будаа. 5)

14. Радио дохионы ерөнхий онол. Нарийн болон өргөн зурвасын дохионы тухай ойлголт. Радио дохионы давтамж ба фазын тухай ойлголт, тэдгээрийн хамаарал. Дохионы суурийн тухай ойлголт.

Ерөнхий тодорхойлолтууд

Радио дохио нь далайц эсвэл агшин зуурын давтамж эсвэл фазын давтамжтай бараг гармоник (квази гармоник) хэлбэлзлийг агуулдаг. аажмаарямар нэг хуулийн дагуу өөрчлөгдөнө. Өндөр давтамжийн гармоник хэлбэлзлийн нэг буюу хэд хэдэн параметрийг өөрчлөх үйл явцыг модуляц гэж нэрлэдэг. Радио холбооны системд модуляцийн хууль нь дамжуулагдсан бага давтамжийн мессежийн өөрчлөлтийн хуультай тохирч байх ёстой.

Анхны өндөр давтамжийн гармоник хэлбэлзлийн давтамжийг зөөгч давтамж гэж нэрлэдэг. Энэ хэлбэлзлийг үүсгэдэг төхөөрөмжийг зөөгч давтамжийн генератор эсвэл мастер осциллятор гэж нэрлэдэг. Энэ нь далайц, давтамжийн тогтвортой байдалд өндөр шаардлага тавьдаг.

Дамжуулагчийн чичиргээ нь хэлбэртэй байна

энд далайц, давтамж,  0 нь эхний үе шат.

Далайц (AM), давтамж (FM) ба фазын (PM) модуляци байдаг. Далайцын модуляцын үед давтамжийн модуляцтай бага давтамжийн дохионы хуулийн дагуу агшин зуурын далайц өөрчлөгддөг. Модуляцийн холимог төрлүүд бас байдаг. Модуляци ба манипуляцийн импульсийн төрлүүд нь өндөр давтамжийн хэлбэлзлийн параметрт салангид өөрчлөлт гардаг тусдаа ангилалд хуваагддаг.

Дохионы суурь ойлголтууд

Харилцаа холбооны системд дохионы суурь гэсэн ойлголтыг ашигладаг бөгөөд үүнийг Котельниковын теоремоор тодорхойлдог. Өөрөөр хэлбэл, үүн дээр үндэслэн хязгаарлагдмал спектртэй аливаа дохиог цаг хугацааны интервалаар авсан хэд хэдэн дээж болгон задалж болно. Ф – дохионы спектрийн дээд хязгаарын давтамж (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Котельниковын цамхагийн тайлбар

Энэ тохиолдолд дохио нь зөвхөн тодорхой хугацаанд байгаа бол -Т ‚ дараа нь дээжийн тоо тэнцүү байх болно

Энэ утга нь дохиог координатаар (цаг хугацааны интервал дахь агшин зуурын утгын дээж) дүрсэлсэн орон зайн хэмжээсийг тодорхойлдог. Үүнтэй холбогдуулан харилцааны онолд энэ хэмжигдэхүүнийг дохионы суурь гэж нэрлэдэг.

. (2.2)

Бусад тохиолдолд тэд утга нь дохионы үндсийг тодорхойлдог гэж хэлдэг, i.e. дохиог байрлуулсан координатын тэнхлэгүүдийн тоо.

Нарийн зурвасын харьцуулсан шинжилгээ ба

өргөн зурвасын дохио

Дискрет дохиог ашигладаг одоо байгаа холбооны системд энгийн дохионы үндсэн утга тэнцүү байна (Зураг 2). Ижил дохиог нийлмэл дохио болгон төлөөлж болох бөгөөд түүний суурь нь -тэй тэнцүү байх болно (2-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 2. Энгийн бөгөөд төвөгтэй дохио

Дохионы суурь нь спектрийн өргөн нь дохионы үргэлжлэх хугацаанаас хамааралтай болохыг харуулж байна. Энгийн дохио ашиглах тохиолдолд түүний спектрийн өргөн бага байна:

Тиймээс ийм дохиог нарийн зурвас гэж нэрлэдэг. Модуляцийн дараах нарийн зурвасын дохионы спектр нь анхдагч дохионы спектрээс тийм ч их ялгаатай биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Нарийн төвөгтэй дохионы хувьд

Энэ тохиолдолд модуляцын өмнө болон дараа нь нийлмэл дохионы спектр нь анхдагч дохионы спектрээс хамаагүй том байдаг тул үүнийг ихэвчлэн өргөн зурвас гэж нэрлэдэг.

Эхлээд радио дохионы нийт фазын тухай ойлголтыг санацгаая

Модуляцын дохионы дагуу ерөнхий фаз өөрчлөгддөг дохиог өнцгийн модуляцлагдсан дохио гэнэ.

Эхлээд фазын модуляцийн PM дохиог авч үзье. РМ-тэй дохионы хувьд ерөнхий фаз нь модуляцлах дохионы дагуу өөрчлөгддөг.

радио дохиог өөрөө дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Үүнийг давтамжийн модуляцын индекс буюу давтамжийн хазайлт гэж нэрлэдэг бөгөөд модуляцлах дохио нь нэгдэлээс хэтрэхгүй бол радио дохионы нийт үе шатыг агшин зуурын давтамжийн интеграл болгон тооцоолж болно.

энд нь нийт фазын дурын интеграцийн тогтмол (8). Дамжуулах дохионы илэрхийлэл дэх дамжуулагчийн давтамжийн оронд агшин зуурын давтамжийн илэрхийлэлийг орлуулах нь туйлын буруу гэдгийг анхаарна уу.

учир нь Илэрхийлэл (9) зөв!

16. Дотор импульсийн модуляц бүхий дохио. Шугаман давтамжийн модуляц бүхий дохио. Фазын кодоор удирдуулсан дохио. Математик загварууд, спектрийн шинж чанар, хэрэглээний онцлог.

Фазын кодоор удирдуулсан импульс (PCM)

FCM радио импульс нь тодорхой хуулийн дагуу импульсийн доторх фазын огцом өөрчлөлтөөр тодорхойлогддог, жишээлбэл (Зураг 1.66):

гурван элементийн дохионы код

фазын өөрчлөлтийн хууль

гурван элементийн дохио

эсвэл долоон элементийн дохио (Зураг 1.67)

Тиймээс бид дараахь дүгнэлтийг гаргаж чадна.

· Цохилттой дохионы ASF тасралтгүй байна.

· ASF дугтуй нь дохионы дугтуйны хэлбэрээр тодорхойлогддог.

· ASF-ийн хамгийн их утгыг дохионы эрчим хүчээр тодорхойлдог бөгөөд энэ нь эргээд дохионы далайц ба үргэлжлэх хугацаатай шууд пропорциональ байна.

· Спектрийн өргөн нь давтамжийн хазайлт хаана байгаатай тэнцүү бөгөөд дохионы үргэлжлэх хугацаанаас хамаардаггүй.

· Дохионы суурь (өргөн зурвасын харьцаа) Байж магадгүй n>>1 Тиймээс жиргээний дохиог өргөн зурвас гэж нэрлэдэг.

Үргэлжлэх хугацаатай FCM радио импульс нь бие биенээ дагадаг энгийн радио импульсийн багц бөгөөд тэдгээрийн үргэлжлэх хугацаа нь ижил бөгөөд энгийн импульсийн далайц ба давтамж нь ижил бөгөөд эхний үе шатууд нь өөр өөр байж болно. (эсвэл өөр үнэ цэнэ). Эхний үе шатуудын ээлжийн хууль (код) нь дохионы зорилгын дагуу тодорхойлогддог. Радарт ашигладаг FCM радио импульсийн хувьд зохих кодуудыг боловсруулсан болно, жишээлбэл:

1, +1, -1 - гурван элементийн кодууд

-дөрвөн элементийн кодын хоёр хувилбар

1 +1 +1, -1, -1, +1, -2 - долоон элементийн код

Кодлогдсон импульсийн спектрийн нягтыг Фурье хувиргалтын нэмэлт шинж чанарыг ашиглан энгийн радио импульсийн спектрийн нягтын нийлбэр хэлбэрээр тодорхойлно.

Гурван элемент ба долоон элементийн импульсийн ASF графикийг Зураг 1.68-д үзүүлэв

Дээрх зургуудаас харахад PCM радио дохионы спектрийн өргөн нь энгийн радио импульсийн үргэлжлэх хугацаагаар тодорхойлогддог.

Өргөн зурвасын коэффициент

Хаана Н- анхан шатны радио импульсийн тоо.

FCM дохиог өргөн зурвасын холбооны систем, радар, объект таних төхөөрөмжүүдэд ашигладаг.

6. Нормалжсан функцийн тухай ойлголт. Функцийн ортонормаль системийн тухай ойлголт.

Метрийн параметрүүдийг хэвийн болгох . L 2 орон зай дахь функцүүдийн нормыг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

Энэ томьёоны интервал их байх тусам (бусад бүх зүйл тэнцүү) нормын утга их байх болно гэж дүгнэхэд хялбар байдаг. Сигналуудыг шинжлэх, харьцуулахдаа (аналог ба олон хэмжээст дискрет) энэ ойлголт нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй бөгөөд үүний оронд интервалын урттай харьцуулахад нормчлогдсон хэм хэмжээний тухай ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг. Нормативыг бэлгэдлийн хувьд бид  тэмдгийг ашиглана:

||s(t)|| = , ||s n || =.

Ижил хэвийн байдал бүхий дохионы хэмжигдэхүүн (дохио хоорондын зай):

d (s(t), v(t)) = , d (s n , v n) =

Эдгээр илэрхийлэлүүдийг онолын хувьд хүлээгдэж буй эсвэл априори мэдэгдэж буй үр дүнг харьцуулахдаа дохионы язгуур-дундаж-квадрат ялгаа эсвэл аливаа үйлдлийг гүйцэтгэхэд язгуур-дундаж-квадрат алдааг тооцоолоход ашигладаг.

Дохионы нормчлогдсон скаляр үржвэр:

b s(t), v(t)  =s(t)v(t) dt = ||s(t)|| ||v(t)|| cos .

b s n , v n   =(1/N)s n v n = ||s n || ||s n || cos .

Сигналуудын хоорондох өнцгийн косинус (корреляцийн коэффициент) - функцууд нь скаляр бүтээгдэхүүний хэвийн ба нормчлогдоогүй утгууд ба дохионы нормыг (тоо ба хуваагч дахь нормчлолын утгыг) ашиглан тооцоолохдоо утгыг нь өөрчилдөггүй. илэрхийлэл (2.1.8) багассан). Функцуудын харилцан перпендикуляр байдал нь векторуудын харилцан перпендикуляртай адил скаляр үржвэр нь тэг утгатай байх нөхцөлөөр тодорхойлогддог.

Үелэх функцүүдийн норм, хэмжигдэхүүн, скаляр үржвэрийг гол төлөв T хугацааны уртаар хэвийн болгодог.

Ортогональ дохио. Хэрэв тэг цэгийн үржвэр байвал хоёр дохиог ортогональ гэж нэрлэдэг

b u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

Үүний дагуу функциональ орон зай дахь ийм хоёр дохио нь харилцан перпендикуляр (дохио хоорондын өнцөг  = 90 o), бие биенээсээ бүрэн хамааралгүй (харилцаа холбоогүй, r = cos  ба тэг энергихарилцан үйлчлэл (E uv = 0).

Зураг 2.3.1-д харилцан ортогональ дохионы жишээг үзүүлэв. Зүүн талын хоёр дохионы тэг скаляр үржвэр нь тэдгээрийн хэлбэрээр (дохионы үржвэрийн эерэг ба сөрөг утгуудын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү), баруун хоёр нь - харьцангуй байрлал(тэг бус дохионы утгууд нь нийтлэг координатгүй).

Цагаан будаа. 2.3.1. Ортогональ дохио.

Ортогональ дохионы нийлбэрийн энерги ба хүч нь нэмэлт шинж чанартай болохыг бид тэмдэглэж байна. скаляр үржвэрийн тэг утгатай байх ба үүний дагуу харилцан үйлчлэлийн энерги.

Орон зайн ортонормаль суурь. Нэгжийн норм ба харилцан ортогональ байдлын нөхцлүүдийн биелэлт бүхий N хэмжээст декарт орон зай дахь дохионы багц - векторууд (v k, k = 1, 2, ..., N):

b v m , v n  = (2.3.1)

ортонормаль суурь болгон авч болно зай өгсөн. Илэрхийлэл (2.3.1) нь ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичигддэг.

b v m , v n  =  mn , (2.3.1")

Энд  mn нь илэрхийллийн баруун талтай тэнцүү (2.3.1) Кронекерийн импульс юм.

Ортонормаль суурь ашиглан дурын дохиог жигнэсэн суурь векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно.

s = c 1 v 1 + c 2 v 2 + … + c N v N,

Энд жингийн утга c нь s векторын харгалзах координатын чиглэл рүү проекцоор тодорхойлогддог.

c k =  s, v k  .

Эдгээр заалтуудыг L 2 функциональ орон зайд өргөтгөхдөө орон зайн координатын үндэс болгон бид хэд хэдэн функцийг ашиглах ёстой (u 0 (t), u 1 (t), u 2 (t), ...), хязгаарт - хязгааргүй, байх ёстой ортогональ функцүүдийн систем(u k (t), k=0, 1, 2, …), i.e. Энэ сегмент дээрх бүх функцууд харилцан ортогональ байх ёстой:

b u m (t), u n (t) =u m (t) u n (t) dt = 0, m = 1, 2, ... ; n = 1, 2, ... ; m  n.

Интервал дээрх ортогональ функцуудын систем нь байх болно ортонормаль(ортонормаль функцууд), хэрэв m=n системийн бүх функцууд нэгж нормтой бол, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан:

b u m (t), u m (t) = ||у м (т)|| 2 =(u m (t)) 2 dt = 1, ||u m (t)|| = 1, m = 1, 2, ....

Эдгээр нөхцлийг дараах ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно.

u m (t) u n * (t) dt =  m,n .

Ортогональ функцүүдийн системийг хэвийн болгох замаар үргэлж ортонормаль болгон хувиргаж болно. бүх функцийг нормоор нь хуваах.

Корреляцийн шинжилгээний асуудал нь цаг хугацааны хувьд шилжсэн ижил дохиог харьцуулах шаардлагатай үед радараас үүссэн.

Дохио болон түүний цагийн шилжсэн хуулбарын хоорондох ялгааны хэмжээг тодорхойлох
Тэнцүү дохионы автокорреляцийн функцийг (ACF) нэвтрүүлэх нь заншилтай байдаг скаляр бүтээгдэхүүндохио ба түүний шилжүүлсэн хуулбар.

(4.1)

ACF шинж чанарууд

1) Хэзээ
автокорреляцийн функц нь дохионы энергитэй тэнцүү болно.

(4.2)

2) ACF – тэгш функц

(4.3)

3) Автокорреляцийн функцийн чухал шинж чанар нь: цагийн шилжилтийн аль ч утгын хувьд ACF модуль нь дохионы энергиээс хэтрэхгүй:

4) Ихэвчлэн ACF нь төв максимумтай тэгш хэмтэй шугамаар илэрхийлэгддэг бөгөөд энэ нь үргэлж эерэг байдаг. Түүнчлэн, дохионы төрлөөс хамааран автокорреляцийн функц нь монотон буурах эсвэл хэлбэлзэх шинж чанартай байж болно.

ACF болон дохионы энергийн спектрийн хооронд нягт хамаарал байдаг.

(4.1) томъёоны дагуу ACF нь скаляр үржвэр юм
. Энд тэмдэг дохионы цагийн шилжсэн хуулбарыг заана
.

Планчерелийн теорем руу эргэж бид тэгш байдлыг бичиж болно.

(4.4) Тиймээс бид үр дүнд хүрнэ

(4.5)

Модуль дөрвөлжин спектрийн нягтралдохионы энергийн спектрийг илэрхийлнэ. Тиймээс энергийн спектр ба автокорреляцийн функц нь Фурьегийн хос хувиргалтаар холбогддог.

Мөн урвуу хамаарал байгаа нь ойлгомжтой

(4.6)

Эдгээр үр дүн нь үндсэн хоёр шалтгааны улмаас чухал ач холбогдолтой: нэгдүгээрт, энергийн спектрийн тархалт дээр үндэслэн дохионы хамаарлын шинж чанарыг үнэлэх боломжтой болсон. Хоёрдугаарт, томъёо (4.5), (4.6) нь энергийн спектрийг туршилтаар тодорхойлох арга замыг зааж өгдөг. Эхлээд ACF-ийг олж авах, дараа нь Фурье хувиргалтыг ашиглан дохионы энергийн спектрийг олох нь ихэвчлэн илүү тохиромжтой байдаг. Энэ техник нь өндөр хурдны компьютер ашиглан дохионы шинж чанарыг бодит цаг хугацаанд судлахад өргөн тархсан.

Тохиромжтой тоон параметрийг ихэвчлэн нэвтрүүлдэг - корреляцийн интервал нь ACF-ийн гол дэлбэнгийн өргөнийг тооцоолох явдал юм.

9.. Хөндлөн хамаарлын функц ба түүний шинж чанарууд. Хөндлөн хамаарлын функц ба харилцан энергийн спектрийн хамаарал.

Хоёр дохионы харилцан хамаарлын функц

Хоёр бодит дохионы хөндлөн корреляцийн функц (ICF) нь дараах хэлбэрийн скаляр үржвэр юм.

(4.8)

TCF нь дохионууд цаг хугацааны хувьд шилжих үед ортогональ төлөв байдлын "тогтвортой байдлын" хэмжүүр болдог.

Эдгээр дохионууд нь янз бүрийн төхөөрөмжөөр дамждаг тул дохио нь тодорхой хугацаанд дохиотой харьцуулахад шилжих боломжтой байдаг .

VKF-ийн шинж чанарууд.

1) Нэг дохионы ACF-ээс ялгаатай нь хоёр бие даасан дохионы системийн шинж чанарыг тодорхойлсон ACF нь аргументийн тэгш функц биш юм. :

(4.9)

2) Хэрэв авч үзэж буй дохионууд хязгаарлагдмал энергитэй бол тэдгээрийн CCF хязгаарлагдмал байна.

3) At
VCF утгууд дээд талдаа хүрэх шаардлагагүй.

CCF-ийн жишээ бол тэгш өнцөгт ба гурвалжин видео импульсийн хөндлөн хамаарлын функц юм.

Планчерелийн теорем дээр үндэслэсэн

бид авдаг

(4.11)

Тиймээс хөндлөн корреляцийн функц ба харилцан энергийн спектр нь Фурьегийн хос хувиргалтаар бие биетэйгээ холбоотой байдаг.

Автокорреляцийн функц. Коррелограмм.

Хэрэв цаг хугацааны цувралд чиг хандлага, мөчлөгийн өөрчлөлт байгаа бол цувралын дараагийн түвшний утга өмнөхөөсөө хамаарна. Хугацааны цувааны дараалсан түвшний хоорондын хамаарлыг цувралын түвшний автокорреляци гэнэ.

Үүнийг анхны цаг хугацааны цувралын түвшин ба энэ цувралын түвшний хэд хэдэн үе шаттайгаар шилжсэн хоорондын хамаарлын индексийг ашиглан тоон байдлаар хэмжиж болно.

Цагийн цувааг өгье: y, y,…yмөн үүнийг хийцгээе шугаман хамааралхооронд y тТэгээд y t -1.

Цуврал хоорондын хамаарлын коэффициентийг тодорхойлъё y тТэгээд y t -1.

Үүний тулд бид ашиглах болно дараах томъёо:

Хавтгай x j = y t -1 , y j = y t -1 ,бид авдаг

(5.1)

Хоёр ба түүнээс дээш түвшний автокорреляцийн коэффициентийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно. Тиймээс 2-р дарааллын автокорреляцийн коэффициент нь түвшний хоорондын холболтын ойр байдлыг тодорхойлдог цагтТэгээд цагтба дараах томъёогоор тодорхойлогдоно.

(5.2)

Автокорреляцийн цувралын түвшний дарааллыг хоцрогдол гэж нэрлэдэг.

Томъёоны хувьд (5.1) хоцрогдол нэгтэй тэнцүү, (5.3)-ын хувьд – хоёр.

Эхний, хоёр дахь гэх мэт түвшний автокорреляцийн коэффициентүүдийн дараалал. захиалга нь хугацааны цувааны автокорреляцийн функц (ACF) гэж нэрлэгддэг.

Түүний утгуудын хоцрогдлын утгаас хамаарах графикийг коррелограмм гэж нэрлэдэг.

ACF ба коррелограмм нь автокорреляци хамгийн их байх хоцрогдол, улмаар цувралын одоогийн болон өмнөх түвшний хоорондын холболт хамгийн ойр байх хоцролтыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Тэдний тусламжтайгаар та цувралын бүтцийг илчилж чадна.

Хугацааны цуваа дахь чиг хандлагын бүрэлдэхүүн хэсэг болон мөчлөгийн бүрэлдэхүүн хэсэг байгаа эсэх, байхгүй эсэхийг тодорхойлохын тулд автокорреляцийн коэффициент ба ACF-ийг ашиглахыг зөвлөж байна.

хэрэв 1-р дарааллын автокорреляцийн коэффициент хамгийн өндөр байвал судалж буй цуврал нь зөвхөн чиг хандлагыг агуулна;

Хэрэв k-р эрэмбийн автокорреляцийн коэффициент хамгийн өндөр байвал цуврал нь агуулна мөчлөгийн хэлбэлзэлцаг хугацааны к моментийн давтамжтай;

Хэрэв коэффициентүүдийн аль нь ч чухал биш бол энэ цувралын бүтцийн талаар хоёр таамаглалын аль нэгийг гаргаж болно: эсвэл цуврал нь чиг хандлага, мөчлөгийн өөрчлөлтийг агуулаагүй бөгөөд 5.1в-р зурагт үзүүлсэн цувралын бүтэцтэй төстэй бүтэцтэй байна. , эсвэл цуврал нь тодорхойлохын тулд нэмэлт дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай хүчтэй шугаман бус чиг хандлагыг агуулдаг.

49. Ерөнхий регрессийн загвар. Ерөнхий арга хамгийн бага квадратууд. Эйткенийн теорем

Загвар бүтээхдээ, жишээлбэл, шугаман загвар

Y = a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 +… + b p * x p + ε (59.1)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн  нь ажиглагдах боломжгүй хувьсагчийг илэрхийлнэ. Загварын янз бүрийн үзүүлэлтүүдийн хувьд онолын болон бодит утгуудын ялгаа өөр өөр байж болно. Даалгавар руу регрессийн шинжилгээзөвхөн загварыг өөрөө бүтээхээс гадна судалгааг багтаасан болно санамсаргүй хазайлт би өөрөөр хэлбэл. үлдэгдэл утгууд. Регрессийн тэгшитгэлийг байгуулсны дараа бид тооцоолсон  i тодорхой шинж чанартай эсэхийг шалгана. OLS-ийн олж авсан тооцооллын эдгээр шинж чанарууд нь маш чухал юм. практик ач холбогдолрегресс ба корреляцийн үр дүнг ашиглахад.

Регрессийн коэффициентүүд b i системд үндэслэн олсон хэвийн тэгшитгэлмөн холболтын бат бэхийн шинж чанарын сонгомол тооцооллыг илэрхийлсэн байх ёстой. Шударга бус тооцоолол гэдэг нь үүнийг хэлж байгаа юм математикийн хүлээлтүлдсэн нь тэг байна.

Энэ нь олсон регрессийн параметр b i-г дундаж утга гэж үзэж болно гэсэн үг юм боломжит утгуудүлдэгдэл тооцоолол бүхий регрессийн коэффициентүүд.

Практик зорилгын хувьд зөвхөн тооцооллын шударга бус байдал чухал төдийгүй тооцооллын үр ашиг чухал юм. Тооцоолол нь хамгийн бага зөрүүтэй байвал үр дүнтэй гэж үзнэ.

тулд итгэлцлийн интервалуудрегрессийн параметрүүд бодит байгаа тул тооцоолол нь нийцтэй байх шаардлагатай. Тооцооллын тууштай байдал нь түүврийн хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр тэдгээрийн нарийвчлал нэмэгдэж байгаагаар тодорхойлогддог.

Үлдэгдэлийн судалгаа  i нь дараах таван OLS урьдчилсан нөхцөл байгаа эсэхийг шалгах явдал юм.

үлдэгдлийн санамсаргүй шинж чанар;

x i-ээс үл хамааран үлдэгдлийн дундаж утга тэг;

ижил төстэй байдал - хазайлт бүрийн тархалт  i нь x-ийн бүх утгын хувьд ижил байна;

үлдэгдлийн автокорреляци байхгүй.  i үлдэгдлийн утгууд нь бие биенээсээ хамааралгүй тархсан;

үлдэгдэл нь хэвийн тархалтыг дагана.

Хэрэв санамсаргүй үлдэгдлийн тархалт  i OLS-ийн зарим таамаглалд тохирохгүй байвал загварыг тохируулах хэрэгтэй.

Юуны өмнө  i үлдэгдлийн санамсаргүй шинж чанарыг шалгана.

График дээр үлдэгдэл хуваарилалтын хэвтээ туузыг олж авсан бол үлдэгдэл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнмөн MNK цагаатгагдсан, онолын үнэ цэнэ y x нь y худгийн бодит утгыг ойролцоогоор илэрхийлдэг.

Дараах тохиолдлууд боломжтой: хэрэв  i . y x-ээс хамаарна:

үлдэгдэл  i . санамсаргүй биш

үлдэгдэл  i . байнгын тархалттай байдаггүй

үлдэгдэл  i . системтэй байдаг

Эдгээр тохиолдолд та өөр функц ашиглах эсвэл оруулах шаардлагатай нэмэлт мэдээлэл i үлдэгдэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн болтол регрессийн тэгшитгэлийг дахин байгуулна.

Хоёрдахь үндэслэл нь тэгтэй тэнцүү гэсэн үг дундаж хэмжээүлдэгдэл:

. (59.2)

OLS-ийн гурав дахь үндэслэл нь үлдэгдлийн дисперс нь ижил төстэй байхыг шаарддаг. Энэ нь x j хүчин зүйлийн утга бүрийн хувьд  i үлдэгдэл ижил дисперстэй байна гэсэн үг. Хэрэв OLS ашиглах энэ нөхцөл хангагдаагүй бол гетероскедастик үүснэ.

50. Хүртээмжтэй ерөнхийлсөн хамгийн бага квадратууд

Хамгийн бага квадратын арга.Өөр хэдэн нийтлэг төрлүүдрегрессийн загваруудыг үндсэн төрлүүд хэсэгт авч үзнэ шугаман бус загварууд. Загвар сонгогдсоны дараа асуулт гарч ирнэ: эдгээр загваруудыг хэрхэн үнэлэх вэ? Хэрэв та аргуудыг мэддэг бол шугаман регресс(Олон регрессийн хэсэгт тайлбарласан) эсвэл ANOVA (хэсэгт тайлбарласан болно Вариацын шинжилгээ), тэгвэл эдгээр бүх аргууд нь хамгийн бага квадратын тооцоог ашигладаг гэдгийг та мэднэ. Энэ аргын гол санаа нь хамааралтай хувьсагчийн ажиглагдсан утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэрийг загвараас урьдчилан таамагласан утгаас багасгах явдал юм. (Хамгийн бага квадрат гэсэн нэр томъёог анх 1805 онд Лежендрегийн бүтээлд ашигласан.)
Жинлэсэн хамгийн бага квадратын арга.Гурав дахь хамгийн түгээмэл арга бол хамгийн бага квадратын арга ба хазайлтын модулиудын нийлбэрийг тооцоолоход ашиглахаас гадна (дээрээс харна уу) хамгийн бага квадратын жигнэсэн арга юм. Ердийн аргаХамгийн бага квадратууд нь үлдэгдлийн тархалт нь бие даасан хувьсагчдын бүх утгын хувьд ижил байна гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл, бүх хэмжилтийн алдааны хэлбэлзэл ижил байна гэж үздэг. Ихэнхдээ энэ таамаглал бодитой бус байдаг. Тодруулбал, үүнээс хазайлт нь бизнес, эдийн засаг, биологийн хэрэглээнд байдаг (жигнэсэн хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан параметрийн тооцооллыг олон регрессийн модулийг ашиглан авч болно гэдгийг анхаарна уу).

Жишээлбэл, та барилга барихаар төлөвлөж буй өртөг болон бодит зарцуулсан мөнгөний хоорондын хамаарлыг судлахыг хүсч байна. Энэ нь хүлээгдэж буй хэтрүүлгийн тооцоог авахад тустай байж болох юм. Энэ тохиолдолд ийм гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм үнэмлэхүй үнэ цэнэзардлын хэтрэлт (доллараар илэрхийлсэн) нь төслийн өртөгтэй пропорциональ байна. Тиймээс шугаманыг сонгох регрессийн загваржигнэсэн хамгийн бага квадратын аргыг хэрэглэнэ. Алдагдлын функц нь жишээлбэл, иймэрхүү зүйл байж болно (Нетер, Вассерман, Кутнер, 1985, х. 168-ыг үзнэ үү):

Алдагдал = (ажигласан-урьдчилан таамагласан) 2 * (1/х 2)

Энэ тэгшитгэлд алдагдлын функцийн эхний хэсэг нь гэсэн үг стандарт функцхамгийн бага квадратын аргын алдагдал (ажиглагдсан хасах таамагласан квадрат; жишээлбэл, үлдэгдлийн квадрат), хоёр дахь нь тухайн тохиолдол бүрийн энэ алдагдлын "жин" -тэй тэнцүү - нэг нь бие даасан хувьсагчийн квадратад хуваагдана (x) ) ажиглалт бүрийн хувьд. Бодит тооцооллын нөхцөлд програм нь дээр дурдсанчлан бүх ажиглалтын (жишээлбэл, дизайны төсөл) алдагдлын функцийн утгыг нэгтгэж, нийлбэрийг багасгах параметрүүдийг сонгоно. Үзсэн жишээ рүү буцвал, илүү илүү төсөл(x), түүний үнэ цэнийг урьдчилан таамаглахад алдаа бага байх тусам бидний хувьд алдаа болно. Энэ арга нь регрессийн параметрүүдийн илүү найдвартай тооцоог гаргадаг (дэлгэрэнгүйг Neter, Wasserman, and Kutner. 1985-аас үзнэ үү).

51. Чоу тест

Өгөгдсөн хугацааны цувааны чиг хандлагын загварыг үнэлэх албан ёсны статистик тест бүтцийн өөрчлөлтГрегори Чоу* санал болгосон. Энэхүү тестийн хэрэглээ нь чиг хандлагын тэгшитгэлийн параметрүүдийг тооцоолох явдал юм. Хүснэгтэнд өгөгдсөн тэмдэглэгээний системийг танилцуулъя.

Хүснэгт 3 – Домог Chow тестийн алгоритмын хувьд

H0 таамаглал нь судалж буй хугацааны цувааны чиг хандлагын бүтцийн тогтвортой байдлыг баталж байна гэж бодъё. Хэсэгчилсэн шугаман загварын дагуу квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрийг (C cl ost) C 1 ost ба C 2 ost нийлбэрээр олж болно.

C cl ost = C 1 ost + C 2 ost (62.1)

Харгалзах эрх чөлөөний зэрэг нь:

(n 1 - k 1) + (n 2 – k 2) = n – k 1 - k 2 (62.2)

Дараа нь бууралт үлдэгдэл хэлбэлзэлНэг чиг хандлагын тэгшитгэлийг хэсэгчилсэн шугаман загварт шилжүүлэхдээ дараах байдлаар тодорхойлно.

DC ost = C 3 ost - C ost (62.3)

(23) хамаарлыг харгалзан DC-д тохирох эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь:

n – k 3 - (n – n 1 – k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62.4)

Дараа нь Г.Чоугийн аргын дагуу Г.Чоу олддог бодит үнэ цэнэХувьсах чөлөөт байдлын зэрэгт хамаарах дараах хэлбэлзлийн F-тест:

(62.5)

Олдсон F баримтын утгыг 1-р хүснэгттэй харьцуулсан болно (Ач холбогдлын түвшний Фишерийн хуваарилалтын хүснэгт α ‚ ба эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо (k 1 + k 2 – k 3) ба (n - k 1 - k 2)

Хэрэв F баримт > F хүснэгт бол чиг хандлагын бүтцийн тогтвортой байдлын талаарх таамаглалыг үгүйсгэж, бүтцийн өөрчлөлтийн судалж буй үзүүлэлтийн динамик байдалд үзүүлэх нөлөөг чухал гэж үзнэ. Энэ тохиолдолд цаг хугацааны цувааны чиг хандлагыг загварчлахдаа хэсэгчилсэн шугаман загварыг ашиглана. Хэрэв

F баримт< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Чоу тестийн онцлог.

1. Хүснэгт 3 (1), (2), (3)-ын бүх тэгшитгэлийн параметрийн тоо ижил ба k-тэй тэнцүү бол (56) томъёог хялбаршуулна.

(62.6)

2. Чоу тест нь судалж буй цаг хугацааны цувааны бүтцийн тогтвортой байдал байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог. Хэрэв F бол баримт юм< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F хүснэгт дараа нь бүтцийн тогтвортой байдлын таамаглалыг үгүйсгэж, энэ нь гэсэн үг юм статистикийн ач холбогдол(1) ба (2) тэгшитгэлийн параметрүүдийн үнэлгээний зөрүү.

H. Chow тестийг хэрэглэх нь урьдчилсан нөхцөл гэж үздэг хэвийн тархалт(1) ба (2) тэгшитгэлийн үлдэгдэл ба тэдгээрийн тархалтын бие даасан байдал.

Хэрэв y цувралын чиг хандлагын бүтцийн тогтвортой байдлын талаархи таамаглал няцаагдсан бол цаашдын шинжилгээ нь эдгээрийн шалтгааныг судлахаас бүрдэж болно. бүтцийн ялгааболон илүү де 1 чиг хандлагын өөрчлөлтийн мөн чанарыг судлах. IN хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээЭдгээр шалтгаанууд нь (1) ба (2) тэгшитгэлийн параметрүүдийн үнэлгээний зөрүүг тодорхойлдог.

Эдгээр тэгшитгэлийн параметрүүдийн тоон үнэлгээний өөрчлөлтийн дараах хослолууд боломжтой.

Тоон үнэлгээний өөрчлөлт чөлөөт гишүүнТренд тэгшитгэл a 2а-тай харьцуулахад 1 зөрүүтэй тохиолдолд б 1Тэгээд б 2статистикийн хувьд ач холбогдолгүй. Геометрийн хувьд энэ нь (1) (2) шугамууд зэрэгцээ байна гэсэн үг юм. Цувралын түвшинд огцом өөрчлөлт гарч байна т, тухайн цаг мөчид т‚мөн тухайн үеийн тогтмол дундаж үнэмлэхүй өсөлт;

Параметрийн тоон тооцоог өөрчлөх б 2харьцуулахад б 1 1 ба 2-ын ялгаа нь статистикийн хувьд ач холбогдолгүй байх тохиолдолд. Геометрийн хувьд энэ нь (1) ба (2) шугамууд координатын тэнхлэгийг нэг цэг дээр огтолж байна гэсэн үг юм. Трендийн өөрчлөлт нь цаг хугацааны цувралын дундаж үнэмлэхүй өсөлтийн өөрчлөлтөөр цаг хугацааны мөчөөс эхлэн үүсдэг т‚ тухайн үеийн цувралын тогтмол анхны түвшинтэй т=0

a 1 ба 2 параметрийн тоон тооцооны өөрчлөлт, түүнчлэн б 1Тэгээд б 2. Энэ нь өөрчлөлтөөр график дээр тусгагдсан болно нэвтрэх түвшинүнэмлэхүй өсөлтийн үеийн дундаж

Тэгш өнцөгт видео импульсийн багцын ACF-ийг судалж байхдаа уншигч харгалзах график нь тодорхой дэлбээн хэлбэртэй болохыг анзаарсан нь гарцаагүй. Практик талаас нь авч үзвэл ийм дохиог илрүүлэх эсвэл түүний параметрүүдийг хэмжих асуудлыг шийдэхийн тулд ACF-ийг ашиглах нь чухал биш юм. гурвалжин хэлбэртэй. Хамгийн чухал нь төв дээд цэгтэй харьцуулахад зөвхөн харьцангуй түвшин юм.

Бидний хамгийн ойрын ажил бол автокорреляцийн функцийн тодорхойлолтыг өөрчлөх бөгөөд ингэснээр бид үүнээс гаргаж авах боломжтой болно хэрэгтэй мэдээлэл, жижиг нарийн ширийн зүйлсээс хийсвэрлэх. Үүний үндэс нь дискрет дохионы математик загварын санаа юм (1-р бүлгийг үзнэ үү).

Дискрет бүтэцтэй нийлмэл дохионы тодорхойлолт.

Ижил тэгш өнцөгт видео импульсийн багц нь дараахь зүйлийн дагуу бүтээгдсэн нарийн төвөгтэй дохионы ангийн хамгийн энгийн төлөөлөгч юм. дараах зарчим. Сигналын бүхэл бүтэн интервал нь байрлал гэж нэрлэгддэг бүхэл тоо M > 1 тэнцүү интервалд хуваагдана. Байрлал бүрт дохио нь +1 ба -1 тоотой тохирч байгаа хоёр төлөвийн аль нэгэнд байж болно.

Цагаан будаа. 3.6-д олон байрлалтай нийлмэл дохио үүсгэх зарим аргыг тайлбарласан. Тодорхой болгохын тулд энд M = 3 байна.

Дискрет дохионы гадаад төрх байдал өөр байж болохыг харж болно.

Цагаан будаа. 3.6. Гурван байрлалын цогцолбор дохио: a - далайцын кодчилол; b - фазын кодчилол

a тохиолдолд тэмдэг нь тохирч байна эерэг утгахаргалзах байрлалд дамжуулагдсан видео импульсийн өндөр; -1 тэмдэг нь сөрөг утгатай тохирч байна - . Энэ тохиолдолд нарийн төвөгтэй дохионы далайцын кодчилол хэрэгждэг гэж тэд хэлэв. b тохиолдолд фазын кодчилол үүсдэг. +1 тэмдгийг дамжуулахын тулд харгалзах байрлалд тэг анхны фаз бүхий гармоник дохионы сегментийг үүсгэнэ. -1 тэмдгийг харуулахын тулд ижил үргэлжлэх хугацаа, давтамжтай синус долгионы сегментийг ашигладаг боловч фаз нь нэмэлт 180 ° -аар шилждэг.

Эдгээр даух сигялуудын графикуудын ялгааг үл харгалзан математик загваруудын үүднээс тэдгээрийн хооронд бүрэн ижил төстэй байдлыг тогтоож болно. Үнэн хэрэгтээ ийм дохионы загвар нь тэмдэг бүр нь +1 боломжит хоёр утгын аль нэгийг авдаг тоонуудын дараалал юм. Тохиромжтой болгохын тулд бид ирээдүйд дохио тодорхойлогдоогүй "хоосон" байрлалд ийм дарааллыг тэгээр нэмэхээр тохиролцох болно. Энэ тохиолдолд жишээлбэл, дискрет дохио бичих өргөтгөсөн хэлбэр (1 1, -1, 1) хэлбэртэй байна.

Хамгийн чухал боловсруулах үйл ажиллагаа салангид дохиоямар ч анхны байрлалтай харьцуулахад ийм дохиог тодорхой тооны байрлалаар шилжүүлэхээс бүрдэнэ. түүний хэлбэр өөрчлөгддөг. Жишээлбэл, саатал руу 1, 2, 3 байрлалаар шилжсэн анхны дохио (эхний мөр) ба түүний хуулбарууд (дараагийн мөрүүд) доор байна.

Дискрет автокорреляцийн функц.

Олон байрлалтай дохиотой холбоотой ACF-ийн салангид аналогийг тооцоолохын тулд (3.15) томъёог ерөнхийд нь авч үзье. Энд байгаа интеграцийн үйлдлийг нийлбэрээр сольж, хувьсагчийн оронд анхны дохиотой харьцуулахад хуулбар хэдэн байрлалд шилжсэнийг харуулсан бүхэл тоо (эерэг эсвэл сөрөг) ашиглах нь ойлгомжтой.

Дохионы математик загвар нь "хоосон" байрлалд тэгийг агуулж байгаа тул бид дискрет ACF-ийг хэлбэрээр бичнэ.

Энэхүү бүхэл тоон аргумент функц нь мэдээжийн хэрэг аль хэдийн олон байдаг мэдэгдэж буй шинж чанаруудердийн автокорреляцийн функц. Тиймээс, салангид ACF нь тэгшхэн байгааг харахад хялбар байдаг.

Сумны шилжилтийн үед энэхүү ACF нь салангид дохионы энергийг тодорхойлдог.

Зарим жишээ.

Үүнийг харуулахын тулд гурван байрлалтай дохионы дискрет ACF-ийг тооцоолъё ижил утгуудбайрлал бүрт: Энэ дохиог 1, 2, 3 байрлалаар шилжүүлсэн хуулбарын хамт бичье.

Үүнийг аль хэдийнээс харж болно тэгтэй тэнцүүцагт. Дүнүүдийг тооцоод бид олж авна

Автокорреляцийн функцийн хажуугийн дэлбэн тоо нэмэгдэхийн хэрээр шугаман буурдаг бөгөөд энэ нь гурван аналог видео импульсийн автокорреляцийн функцтэй адил юм.

Хоёрдахь байрлал дахь тоолох тэмдэг бүхий өмнөх дохионоос ялгаатай салангид дохиог авч үзье.

Үүнтэй төстэй байдлаар бид энэ дохионы салангид автокорреляцийн функцийн утгыг тооцоолно.

Хажуугийн эхний дэлбээ нь үнэмлэхүй утгаараа өөрчлөгдөөгүй шинж тэмдгийг өөрчилдөг болохыг олж мэдэх боломжтой.

Эцэст нь маягтын математик загвар бүхий гурван байрлалтай дискрет дохиог авч үзье

Түүний автокорреляцийн функц нь:

Энд судлагдсан гурван салангид дохионы гурав дахь нь корреляцийн шинж чанарын үүднээс хамгийн төгс төгөлдөр юм, учир нь энэ тохиолдолд автокорреляцийн функцын хажуугийн дэлбэнгийн хамгийн доод түвшин хэрэгждэг.

Баркер дохио өгдөг.

Автокорреляцийн функцийн хамгийн сайн бүтэцтэй салангид дохионууд нь энэ чиглэлээр мэргэшсэн мэргэжилтнүүдийн эрчимтэй судалгааны объект байв. онолын радио инженерчлэлболон хэрэглээний математик. Төгс төгөлдөр дохионы бүхэл бүтэн анги корреляцийн шинж чанарууд. Тэдний дунд Баркерын дохио (код) гэж нэрлэгддэг маш алдартай болсон. Эдгээр дохио нь өвөрмөц шинж чанартай байдаг: M байрлалын дугаараас үл хамааран (3.29) томъёогоор тооцоолсон тэдгээрийн автокорреляцийн функцүүдийн утгууд нь нэгдмэл байдлаас хэтрэхгүй байна. Үүний зэрэгцээ эдгээр дохионы энерги, өөрөөр хэлбэл утга нь тоон хувьд M-тэй тэнцүү байна.

Баркерын дохио нь зөвхөн албан тушаалын тоо M = 2, 3, 4, 5, 7, 11 болон 13 тохиолдолд хэрэгжиж болно. Баркерын дохиог бид өмнөх догол мөрийн төгсгөлд судалсан. Баркерын дохионы математик загварууд ба харгалзах автокорреляцийн функцуудыг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 3.2.

Хүснэгт 3.2 Баркерын дохионы загварууд

Зураг дээр дүрслэхийн тулд. Зураг 3.7 нь кодчилолын аль алиных нь хувьд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг 13 байрлалтай Баркер дохиог харуулж байна. график дүрслэлтүүний ACF.

Цагаан будаа. 3.7. M = 13 дахь Баркерын дохио: a - далайцын кодчилол; b - фазын кодчилол; в - автокорреляцийн функц

Энэ бүлэгт хийсэн дискрет дохионы зарим шинж чанар, тэдгээрийн автокорреляцийн функцийг судлах нь урьдчилсан, танилцуулах шинж чанартай гэдгийг дүгнэж үзье. Бүлэгт энэ хүрээний асуудлыг системтэй судлах болно. 15.

Дохионы автокорреляцийн функцүүдийн тухай ойлголт . Эрчим хүчний хувьд хязгаарлагдмал s(t) дохионы автокорреляцийн функц (CF - корреляцийн функц) нь дохионы хэлбэрийн тоон салшгүй шинж чанар бөгөөд дохионд үргэлж тохиолддог дээжүүдийн харилцан цаг хугацааны харилцааны шинж чанар, параметрүүдийг тодорхойлдог. үечилсэн дохионы хувьд, мөн унших утгын хамаарлын интервал ба зэрэг одоогийн мөчүүдодоогийн агшин зуурын өмнөх түүхийн цаг хугацаа. ACF нь бие биенээсээ  хугацаагаар шилжсэн s(t) дохионы хоёр хуулбарын үржвэрийн интегралаар тодорхойлогдоно.

B s () =s(t) s(t+) dt = ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)|| ||s(t+)|| cos ().

(6.1.1)

Энэ илэрхийллээс харахад ACF нь дохионы скаляр үржвэр ба түүний шилжүүлгийн утгын  хувьсах утгаас функциональ хамаарал дахь хуулбар юм. Үүний дагуу ACF нь энергийн физик хэмжигдэхүүнтэй бөгөөд  = 0 үед ACF-ийн утга нь дохионы энергитэй шууд тэнцүү бөгөөд хамгийн их боломжтой (дохионы өөртэйгөө харилцан үйлчлэх өнцгийн косинус нь 1-тэй тэнцүү байна) ): B s (0) =

s(t) 2 dt = E s .

ACF нь тэгш функцуудыг хэлдэг бөгөөд үүнийг (6.1.1) илэрхийлэл дэх t = t- хувьсагчийг орлуулах замаар шалгахад хялбар байдаг: B s () =

s(t-) s(t) dt = B s (-). Хамгийн их ACF,энергитэй тэнцүү

=0 дээрх дохио үргэлж эерэг байх ба цагийн шилжилтийн аль ч утгын ACF модуль нь дохионы энергиэс хэтрдэггүй. Сүүлийнх нь скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанараас шууд гардаг (Коши-Буняковскийн тэгш бус байдлын адил):

ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+||cos (),

cos () = 1 үед  = 0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t)|| = E s,< 1 при   0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+)||cos () < E s .

учир нь ()
Жишээ болгон Зураг дээр. 6.1.1 нь хоёр дохиог харуулж байна - тэгш өнцөгт импульс ба радио импульс ижил T үргэлжлэх хугацаа, тэдгээрийн ACF хэлбэрүүд нь эдгээр дохионд харгалзах. Радио импульсийн хэлбэлзлийн далайц нь тэнцүү байна

Паритетийг харгалзан ACF-ийн график дүрслэлийг ихэвчлэн зөвхөн -ийн эерэг утгуудын хувьд гүйцэтгэдэг. Практикт дохиог ихэвчлэн 0-T хүртэлх эерэг аргументуудын утгын интервалаар зааж өгдөг. (6.1.1) илэрхийлэл дэх + тэмдэг нь -ийн утга нэмэгдэхийн хэрээр s(t+) дохионы хуулбар t тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш шилжиж 0-ээс цааш шилжинэ гэсэн үг. Тоон дохионы хувьд энэ нь нь тухайн бүс нутагт өгөгдлийн зохих өргөтгөлийг шаарддаг сөрөг утгуудмаргаан. Тооцооллын явцад ажлын интервал  ихэвчлэн том байдаг интервалаас багадохиог зааж өгвөл аргументийн тэнхлэгийн дагуу дохионы хуулбарыг зүүн тийш шилжүүлэх нь илүү практик юм. (6.1.1) илэрхийлэлд s(t+)-ын оронд s(t-) функцийг ашиглана.

B s () = s(t) s(t-) dt. (6.1.1")

Хязгаарлагдмал дохионы хувьд  шилжилтийн утга нэмэгдэх тусам дохионы хуулбартай түр зуурын давхцал буурч, үүний дагуу харилцан үйлчлэлийн өнцгийн косинус ба скаляр үржвэр бүхэлдээ тэг болох хандлагатай байна.

= 0.

Төвлөрсөн дохионы утгаас тооцсон ACF нь s(t) байна автоковариацдохионы функц:

C s () = dt, (6.1.2)

Энд  s нь дохионы дундаж утга юм. Ковариацын функцууд нь корреляцийн функцуудтай нэлээд энгийн харилцаатай холбоотой байдаг:

C s () = B s () -  s 2 .

Хугацаа хязгаарлагдмал дохионы ACF. Практикт тодорхой интервалаар өгсөн дохиог ихэвчлэн судалж, дүн шинжилгээ хийдэг. Өөр өөр цаг хугацааны интервалд заасан дохионы ACF-ийг харьцуулахын тулд интервалын уртыг хэвийн болгох ACF-ийг өөрчлөх нь практик хэрэглээг олдог. Жишээлбэл, интервал дээр дохиог зааж өгөхдөө:

ACF нь тэгш функцуудыг хэлдэг бөгөөд үүнийг (6.1.1) илэрхийлэл дэх t = t- хувьсагчийг орлуулах замаар шалгахад хялбар байдаг:
s(t) s(t+) dt. (6.1.3)

ACF-ийг сул уналттай дохионы хувьд мөн тооцоолж болно төгсгөлгүй энерги, дохионы тохиргооны интервал хязгааргүй байх хандлагатай үед дохионы скаляр үржвэрийн дундаж утга ба түүний хуулбар:

B s () 
. (6.1.4)

Эдгээр илэрхийллийн дагуу ACF нь хүчний физик хэмжигдэхүүнтэй бөгөөд хуулбарын шилжилтээс хамааран дохио ба түүний хуулбарын харилцан дундаж хүчин чадалтай тэнцүү байна.

Тогтмол дохионы ACF. Тогтмол дохионы энерги нь хязгааргүй байдаг тул үечилсэн дохионы ACF-ийг нэг Т хугацаанд тооцоолж, дохионы скаляр үржвэр ба түүний шилжүүлсэн хуулбарыг тухайн хугацаанд дунджаар тооцдог.

B s () = (1/T) s(t) s(t-) dt. (6.1.5)

Математикийн хувьд илүү хатуу илэрхийлэл:

B s () 
.

=0 үед тухайн үеийг хэвийн болгосон ACF-ийн утга нь тухайн үеийн дохионуудын дундаж чадалтай тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд үечилсэн дохионы ACF нь ижил T үетэй үечилсэн функц байна. Тэгэхээр дохионы хувьд s(t) = A cos( 0 t+ 0) T=2/ 0 үед:

ACF нь тэгш функцуудыг хэлдэг бөгөөд үүнийг (6.1.1) илэрхийлэл дэх t = t- хувьсагчийг орлуулах замаар шалгахад хялбар байдаг:
A cos( 0 t+ 0) A cos( 0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos( 0 ).

гармоник дохио нь ямар ч үечилсэн дохионы хувьд ердийн зүйл бөгөөд ACF-ийн шинж чанаруудын нэг юм. Автокорреляцийн функцийг ашиглан та дурын дохионы үечилсэн шинж чанарыг шалгаж болно. Тогтмол дохионы автокорреляцийн функцын жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 6.1.2. Автоковариацын функцууд (ACF)

төвлөрсөн дохионы утгыг ашиглан ижил төстэй байдлаар тооцоолно. Эдгээр функцүүдийн гайхалтай шинж чанар нь тэдгээрийн  s 2 дохионы тархалттай энгийн хамаарал юм (стандартын квадрат - дохионы утгын дундаж утгаас стандарт хазайлт). Мэдэгдэж байгаагаар дисперсийн утга нь дохионы дундаж чадалтай тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

|C s ()| ≤  s 2 , C s (0) =  s 2  ||s(t)|| 2.

(6.1.7)

Вариацын утгыг хэвийн болгосон FAC утгууд нь автокорреляцийн коэффициентүүдийн функц юм.

 s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2  cos ). (6.1.8)дохионд. s1(k) дохионы дуу чимээ нь үеийг өөрчлөхгүйгээр үечилсэн хэлбэлзлийн далайцыг багасгасан. Энэ нь C s / s 1 муруйн графикаар батлагдсан, i.e. s1(k) дохионы тархалтын утгыг хэвийн болгох (харьцуулахын тулд) дохионы FAC s1(k), тэдгээрийн уншилтаас бүрэн статистик хараат бус дуу чимээний импульс нь утгыг нэмэгдүүлэхэд хүргэсэн болохыг тодорхой харж болно. C s ( 0) -ийн утгатай харьцуулахад C s1 (0) ба автоковариацын коэффициентүүдийн функцийг тодорхой хэмжээгээр "бүдгэрсэн". Энэ нь дуу чимээний дохионы  s () утга нь   0-д 1 байх хандлагатай,  ≠ 0-д тэг орчим хэлбэлздэг, харин хэлбэлзлийн далайц нь статистикийн хувьд хамааралгүй бөгөөд дохионы дээжийн тооноос хамаардагтай холбоотой юм. дээжийн тоо нэмэгдэх тусам тэдгээр нь тэг болох хандлагатай байдаг).

Дискрет дохионы ACF. Өгөгдлийн түүвэрлэлтийн интервал t = const үед ACF тооцооллыг  = t интервалаар гүйцэтгэдэг бөгөөд ихэвчлэн түүврийн шилжилтийн n n тоонуудын салангид функцээр бичдэг:

B s (nt) = t s k s k-n .

(6.1.9)

Дискрет дохиог ихэвчлэн t=1 үед түүврийн дугаарлалт k = 0.1,...K-тэй тодорхой урттай тоон массив хэлбэрээр зааж өгдөг ба энергийн нэгж дэх дискрет ACF-ийн тооцоог нэг талт хувилбараар гүйцэтгэдэг. , массивуудын уртыг харгалзан үзнэ. Хэрэв дохионы массивыг бүхэлд нь ашиглаж, ACF дээжийн тоо нь массив дээжийн тоотой тэнцүү байвал тооцооллыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.
B s (n) =

s k s k-n .

(6.1.10)

Дискрет дохиог ихэвчлэн t=1 үед түүврийн дугаарлалт k = 0.1,...K-тэй тодорхой урттай тоон массив хэлбэрээр зааж өгдөг ба энергийн нэгж дэх дискрет ACF-ийн тооцоог нэг талт хувилбараар гүйцэтгэдэг. , массивуудын уртыг харгалзан үзнэ. Хэрэв дохионы массивыг бүхэлд нь ашиглаж, ACF дээжийн тоо нь массив дээжийн тоотой тэнцүү байвал тооцооллыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ. Энэ функц дэх K/(K-n) үржүүлэгч нь n-ийн шилжилт нэмэгдэх тусам үржүүлсэн болон нийлбэр дүнгийн тоо аажмаар буурах залруулгын хүчин зүйл юм. Төвлөрсөн бус дохиог засахгүйгээр ACF утгуудад дундаж утгуудын нийлбэрийн хандлага гарч ирдэг. Дохионы хүчийг нэгжээр хэмжихдээ K/(K-n) үржүүлэгчийг 1/(K-n) үржүүлэгчээр солино.< 0, (6.1.11)

Томъёо (6.1.10) нь ихэвчлэн цөөн тооны дээж бүхий детерминистик дохионы хувьд маш ховор хэрэглэгддэг. Санамсаргүй болон чимээ шуугиантай дохионы хувьд хуваагч (K-n) буурч, шилжилт нэмэгдэхийн хэрээр үржүүлсэн дээжийн тоо нь ACF тооцоонд статистик хэлбэлзэл нэмэгдэхэд хүргэдэг. Эдгээр нөхцөлд илүү найдвартай байдлыг дараах томъёог ашиглан дохионы чадлын нэгжээр ACF-ийг тооцоолох замаар хангана. s k s k-n , s k-n = 0 at k-nтэдгээр. тогтмол коэффициент 1/K хүртэл хэвийн болгох ба дохионы өргөтгөл тэг утгаараа (ин зүүн тал k+n ээлжийг ашиглах үед). Энэ тооцоо нь хазайлттай бөгөөд (6.1.10) томъёоны дагуухаас арай бага тархалттай байна. (6.1.10) ба (6.1.11) томъёоны дагуу нормчлолын ялгааг Зураг дээр тодорхой харж болно. 6.1.4.

Формула (6.1.11) нь бүтээгдэхүүний нийлбэрийн дундаж үзүүлэлт гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл. Математикийн хүлээлтийг тооцоолоход:

B s (n) = M(s k s k - n ) 
. (6.1.12)

Практикт дискрет ACF нь тасралтгүй ACF-тэй ижил шинж чанартай байдаг. Энэ нь мөн тэгш бөгөөд n = 0 дахь утга нь хэвийн байдлаас хамааран дискрет дохионы энерги буюу чадалтай тэнцүү байна.

Дуу чимээтэй дохионы ACF . Дуу чимээтэй дохиог v(k) = s(k)+q(k) нийлбэр гэж бичнэ. IN ерөнхий тохиолдол, дуу чимээ нь тэг дундаж утгатай байх албагүй бөгөөд N - дээж агуулсан дижитал дохионы чадлын нормчлогдсон автокорреляцийн функцийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

B v (n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =

= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q (k-n)] =

B s (n) + M(s k q k-n ) + M(q k s k-n ) + M(q k q k-n ).

B v (n) = B s (n) +
+
+
. (6.1.13)

Ашигтай дохио s(k) болон дуу чимээ q(k)-ийн статистикийн хараат бус байдлын хувьд математикийн хүлээлтийн тэлэлтийг харгалзан үзнэ.

M(s k q k-n ) = M(s k ) M(q k-n ) =

дараах томъёог ашиглаж болно.

B v (n) = B s (n) + 2 + . (6.1.13")

(6.1.13) томъёоноос үзэхэд чимээ шуугиантай дохионы ACF нь 2-ын утгыг давхарласан сааруулагч бүрэлдэхүүн хэсэгтэй ашигтай дохионы дохионы бүрэлдэхүүн хэсгийн ACF-ээс бүрдэнэ. +дуу чимээний функц. At том үнэ цэнэ K хэзээ → 0, B v (n)  B s (n) байна. Энэ нь дуу чимээнд бараг бүрэн далдлагдсан ACF-ийн үечилсэн дохиог тодорхойлох төдийгүй (дуу чимээний хүч нь дохионы хүчнээс хамаагүй их байдаг) төдийгүй тэдгээрийн хугацаа, хэлбэрийг тухайн хугацаанд өндөр нарийвчлалтай тодорхойлох, мөн нэг давтамжийн гармоник дохионы хувьд тэдгээрийн далайцыг илэрхийлэл (6.1.6).

Хүснэгт 6.1.