C 35 рационал тэгшитгэл. Рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Бид квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар аль хэдийн сурсан. Одоо судлагдсан аргуудыг рационал тэгшитгэлд өргөжүүлье.

Юу болов оновчтой илэрхийлэл? Бид энэ ойлголттой аль хэдийн тулгарсан. Рационал илэрхийллүүдтоо, хувьсагч, тэдгээрийн хүч, математик үйлдлүүдийн тэмдэгтээс бүрдэх илэрхийлэл юм.

Үүний дагуу оновчтой тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм: , энд - оновчтой илэрхийлэл.

Өмнө нь бид зөвхөн шугаман болгон бууруулж болох оновчтой тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн. Одоо квадрат тэгшитгэл болгон бууруулж болох эдгээр рационал тэгшитгэлүүдийг харцгаая.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Бутархай нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн хуваагч нь 0, хуваагч нь 0-тэй тэнцүү биш байна.

Бид дараах системийг авна.

Системийн эхний тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэхийн өмнө түүний бүх коэффициентийг 3-т хуваая. Бид дараахь зүйлийг авна.

Бид хоёр үндэс авдаг: ; .

2 нь хэзээ ч 0-тэй тэнцдэггүй тул хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой. . Дээрх тэгшитгэлийн язгууруудын аль нь ч давхцахгүй тул хүчингүй утгуудХоёрдахь тэгш бус байдлыг шийдэх замаар олж авсан хувьсагчид хоёулаа энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Хариулт:.

Тиймээс, оновчтой тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг томъёолъё.

1. Баруун тал нь 0-ээр төгсөхийн тулд бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүл.

2. Зүүн талыг хувиргаж, хялбарчилж, бүх бутархайг багасга Ерөнхий хуваарь.

3. Дараах алгоритмыг ашиглан үр дүнгийн бутархайг 0-тэй тэнцүүл. .

4. Эхний тэгшитгэлд олж авсан язгууруудыг бичээд хариултын хоёр дахь тэгш бус байдлыг ханга.

Өөр нэг жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл

Хамгийн эхэнд бүх нэр томьёо руу шилжье зүүн тал, ингэснээр 0 нь баруун талд үлдэх болно.

Одоо тэгшитгэлийн зүүн талыг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

Энэ тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:

Системийн эхний тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд: . Бид ялгаварлагчийг тооцоолно:

Бид хоёр үндэс авдаг: ; .

Одоо хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье: хүчин зүйлүүдийн аль нь ч 0-тэй тэнцүү биш тохиолдолд хүчин зүйлийн үржвэр нь 0-тэй тэнцүү биш юм.

Хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой: . Эхний тэгшитгэлийн хоёр язгуураас зөвхөн нэг нь тохиромжтой - 3.

Хариулт:.

Энэ хичээлээр бид рационал илэрхийлэл гэж юу байдгийг санаж, мөн квадрат тэгшитгэл болгон бууруулдаг рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан.

Дараагийн хичээлээр бид рационал тэгшитгэлийг загвар болгон авч үзэх болно бодит нөхцөл байдал, мөн түүнчлэн хөдөлгөөний даалгавруудыг авч үзье.

Ном зүй

1. Башмаков М.И. Алгебр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2004 он.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. болон бусад Алгебр, 8. 5-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010 он.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебр, 8-р анги. зориулсан заавар боловсролын байгууллагууд. - М.: Боловсрол, 2006 он.

1. Баяр наадам сурган хүмүүжүүлэх санаа "Олон нийтийн хичээл" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Гэрийн даалгавар

Бид квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар аль хэдийн сурсан. Одоо судлагдсан аргуудыг рационал тэгшитгэлд өргөжүүлье.

Рационал илэрхийлэл гэж юу вэ? Бид энэ ойлголттой аль хэдийн тулгарсан. Рационал илэрхийллүүдтоо, хувьсагч, тэдгээрийн хүч, математик үйлдлүүдийн тэмдэгтээс бүрдэх илэрхийлэл юм.

Үүний дагуу оновчтой тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм: , энд - оновчтой илэрхийлэл.

Өмнө нь бид зөвхөн шугаман болгон бууруулж болох оновчтой тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн. Одоо квадрат тэгшитгэл болгон бууруулж болох эдгээр рационал тэгшитгэлүүдийг харцгаая.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Бутархай нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн хуваагч нь 0, хуваагч нь 0-тэй тэнцүү биш байна.

Бид дараах системийг авна.

Системийн эхний тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэхийн өмнө түүний бүх коэффициентийг 3-т хуваая. Бид дараахь зүйлийг авна.

Бид хоёр үндэс авдаг: ; .

2 нь хэзээ ч 0-тэй тэнцдэггүй тул хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой. . Дээрх тэгшитгэлийн язгууруудын аль нь ч хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед олж авсан хувьсагчийн хүчингүй утгатай давхцахгүй тул хоёулаа энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Хариулт:.

Тиймээс, оновчтой тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг томъёолъё.

1. Баруун тал нь 0-ээр төгсөхийн тулд бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүл.

2. Зүүн талыг хувиргаж, хялбарчилж, бүх бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваач.

3. Дараах алгоритмыг ашиглан үр дүнгийн бутархайг 0-тэй тэнцүүл. .

4. Эхний тэгшитгэлд олж авсан язгууруудыг бичээд хариултын хоёр дахь тэгш бус байдлыг ханга.

Өөр нэг жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл

Хамгийн эхэнд бид бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлж, баруун талд 0 үлдэх болно.

Одоо тэгшитгэлийн зүүн талыг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

Энэ тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:

Системийн эхний тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд: . Бид ялгаварлагчийг тооцоолно:

Бид хоёр үндэс авдаг: ; .

Одоо хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье: хүчин зүйлүүдийн аль нь ч 0-тэй тэнцүү биш тохиолдолд хүчин зүйлийн үржвэр нь 0-тэй тэнцүү биш юм.

Хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой: . Эхний тэгшитгэлийн хоёр язгуураас зөвхөн нэг нь тохиромжтой - 3.

Хариулт:.

Энэ хичээлээр бид рационал илэрхийлэл гэж юу байдгийг санаж, мөн квадрат тэгшитгэл болгон бууруулдаг рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан.

Дараагийн хичээлээр бид оновчтой тэгшитгэлийг бодит нөхцөл байдлын загвар болгон авч үзэхээс гадна хөдөлгөөний бодлогуудыг авч үзэх болно.

Ном зүй

1. Башмаков М.И. Алгебр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2004 он.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. болон бусад Алгебр, 8. 5-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010 он.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебр, 8-р анги. Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг. - М.: Боловсрол, 2006 он.

1. "Нээлттэй хичээл" сурган хүмүүжүүлэх санааны наадам ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Гэрийн даалгавар

Бид дээрх тэгшитгэлийг § 7-д оруулсан. Эхлээд рационал илэрхийлэл гэж юу байдгийг эргэн санацгаая. Энэ - алгебрийн илэрхийлэл, натурал илтгэгчтэй нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, илтгэх үйлдлүүдийг ашиглан тоо болон х хувьсагчаас бүрдэнэ.

Хэрэв r(x) нь рационал илэрхийлэл бол r(x) = 0 тэгшитгэлийг рационал тэгшитгэл гэнэ.

Гэсэн хэдий ч практикт "рационал тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёоны арай илүү өргөн тайлбарыг ашиглах нь илүү тохиромжтой: энэ нь h(x) = q(x) хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд h(x) ба q(x) нь энд байна. оновчтой илэрхийллүүд.

Өнөөг хүртэл бид ямар ч оновчтой тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй байсан бөгөөд зөвхөн нэг л тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалт, үндэслэлийн үр дүнд бууруулсан байна. шугаман тэгшитгэл. Одоо бидний чадвар илүү их байна: бид зөвхөн шугаман биш харин буурдаг оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.
mu, гэхдээ бас квадрат тэгшитгэлд.

Өмнө нь рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байсныг эргэн санаж, шийдлийн алгоритмыг томъёолохыг хичээцгээе.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье

Энэ тохиолдолд ердийнхөөрөө бид A = B ба A - B = 0 тэгшитгэлүүд нь A ба B хоорондын ижил хамаарлыг илэрхийлдэг давуу талыг ашигладаг. Энэ нь бидэнд томъёог тэгшитгэлийн зүүн талд шилжүүлэх боломжийг олгосон. эсрэг тэмдэг.

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая. Бидэнд байгаа

Тэгш байдлын нөхцлийг эргэн санацгаая бутархайтэг: зөвхөн хоёр харилцаа нэгэн зэрэг хангагдсан тохиолдолд:

1) бутархайн тоологч тэгтэй тэнцүү(a = 0); 2) бутархайн хуваагч тэгээс ялгаатай).
(1) тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн тоог тэгтэй тэнцүүлж, бид олж авна.

Дээр дурдсан хоёр дахь нөхцлийн биелэлтийг шалгахад л үлддэг. (1) тэгшитгэлийн хамаарал нь . x 1 = 2 ба x 2 = 0.6 утгууд нь заасан харилцааг хангаж байгаа тул (1) тэгшитгэлийн үндэс, мөн өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс болно.

1) Тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье

2) Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая.

(тоологч дахь тэмдгүүдийг нэгэн зэрэг өөрчилсөн ба
бутархай).
Тиймээс, төлөө өгөгдсөн тэгшитгэлхэлбэрийг авдаг

3) x 2 - 6x + 8 = 0 тэгшитгэлийг шийд. Ол

4) Олдсон утгуудын хувьд нөхцөлийн биелэлтийг шалгана уу . 4-ийн тоо энэ нөхцлийг хангаж байгаа боловч 2-ын тоо тийм биш юм. Энэ нь 4 нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс, 2 нь гадны үндэс гэсэн үг юм.
ХАРИУЛТ: 4.

2. Шинэ хувьсагч оруулах замаар рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга нь бид үүнийг нэгээс олон удаа ашиглаж байсан. Үүнийг рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашигладаг талаар жишээгээр харуулъя.

Жишээ 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. y = x 2 шинэ хувьсагчийг танилцуулъя. x 4 = (x 2) 2 = у 2 тул өгөгдсөн тэгшитгэлхэлбэрээр дахин бичиж болно

y 2 + y - 20 = 0.

Энэ бол квадрат тэгшитгэл бөгөөд түүний үндэс нь мэдэгдэж байгаа зүйлийг ашиглан олж болно томъёо; бид y 1 = 4, y 2 = - 5-ыг авна.
Гэхдээ y = x 2, энэ нь асуудлыг хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл бууруулсан гэсэн үг юм.
x 2 =4; x 2 = -5.

Эхний тэгшитгэлээс бид хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг олж мэдэв.
Хариулт: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг биквадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ("bi" нь хоёр, өөрөөр хэлбэл нэг төрлийн "давхар квадрат" тэгшитгэл). Сая шийдсэн тэгшитгэл нь яг биквадрат байсан. Ямар ч биквадрат тэгшитгэл 3-р жишээн дээрх тэгшитгэлийн нэгэн адил шийдэгдэнэ: y = x 2 шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, үүссэн квадрат тэгшитгэлийг у хувьсагчтай холбож шийдэж, дараа нь x хувьсагч руу буцна.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Энд нэг x 2 + 3x илэрхийлэл хоёр удаа гарч байгааг анхаарна уу. Энэ нь y = x 2 + 3x шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх нь утга учиртай гэсэн үг юм. Энэ нь бидэнд тэгшитгэлийг илүү энгийн бөгөөд тааламжтай хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно (үнэндээ энэ нь шинэ хувилбарыг нэвтрүүлэх зорилго юм. хувьсагч- мөн бичлэгийг хялбарчлах
илүү тодорхой болж, тэгшитгэлийн бүтэц илүү тодорхой болно):

Одоо оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглая.

1) Тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг нэг хэсэг болгон шилжүүлье:

= 0
2) Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувирга

Тиймээс бид өгөгдсөн тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэв

3) Тэгшитгэлээс - 7y 2 + 29y -4 = 0-ийг бид оллоо (та бид хоёр маш олон квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн тул сурах бичигт үргэлж нарийвчилсан тооцоолол өгөх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш байж магадгүй юм).

4) Олдсон үндсийг 5 (y - 3) (y + 1) нөхцөлийг ашиглан шалгая. Хоёр үндэс нь энэ нөхцлийг хангадаг.
Тиймээс, y шинэ хувьсагчийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэв.
y = x 2 + 3x, мөн y нь бидний тогтоосон 4 ба 2 утгыг авч байгаа тул бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай хэвээр байна: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx =. Эхний тэгшитгэлийн үндэс нь 1 ба - 4 тоонууд, хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм.

Үзсэн жишээнүүдэд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга нь математикчдын хэлснээр нөхцөл байдалд тохирсон, өөрөөр хэлбэл энэ нь түүнд сайн нийцэж байсан. Яагаад? Тийм ээ, учир нь ижил илэрхийлэл тэгшитгэлд хэд хэдэн удаа тодорхой гарч ирсэн бөгөөд энэ илэрхийллийг тодорхойлох шалтгаан байсан шинэ захидал. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй; Дараагийн жишээнд яг ийм зүйл тохиолдох болно.

Жишээ 5.Тэгшитгэлийг шийд
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Шийдэл. Бидэнд байгаа
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж болно гэсэн үг юм

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Одоо шинэ хувьсагч гарч ирэв: y = x 2 - 3x.

Түүний тусламжтайгаар тэгшитгэлийг y (y + 2) = 24, дараа нь y 2 + 2y - 24 = 0 хэлбэрээр дахин бичиж болно. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 4 ба -6 тоо юм.

Анхны x хувьсагч руу буцаж очоод бид x 2 - 3x = 4 ба x 2 - 3x = - 6 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг олж авна. Эхний тэгшитгэлээс бид x 1 = 4, x 2 = - 1; хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй.

ХАРИУЛТ: 4, - 1.

Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь хуваарьт дор хаяж нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Жишээлбэл:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Жишээ Үгүйбутархай рационал тэгшитгэлүүд:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Бутархай рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийддэг вэ?

Бутархай рационал тэгшитгэлийн талаар санаж байх ёстой гол зүйл бол та тэдгээрт бичих хэрэгтэй. Мөн үндсийг нь олсны дараа тэдгээрийг зөвшөөрөгдөх эсэхийг шалгахаа мартуузай. Үгүй бол гадны үндэс гарч ирэх бөгөөд шийдвэрийг бүхэлд нь буруу гэж үзнэ.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм:

ODZ-г бичиж, "шийдвэрлэх".

Тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлж, үүссэн бутархайг хүчингүй болго. Хуваарилагч нь алга болно.

Хаалт нээхгүйгээр тэгшитгэлийг бич.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Олдсон үндсийг ODZ ашиглан шалгана уу.

7-р алхамд шалгалтанд тэнцсэн үндсийг хариултдаа бич.

Алгоритм, 3-5 шийдэгдсэн тэгшитгэлийг цээжлэх хэрэггүй, энэ нь өөрөө санах болно.

Жишээ . Шийдэх бутархай рационал тэгшитгэл \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Шийдэл:

Хариулт: \(3\).

Жишээ . \(=0\) бутархай рационал тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл:

Хариулт: \(\ frac(1)(2)\).

Яриагаа үргэлжлүүлье тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ нийтлэлд бид энэ талаар дэлгэрэнгүй ярих болно рационал тэгшитгэлба нэг хувьсагчтай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарчим. Эхлээд ямар төрлийн тэгшитгэлийг рационал гэж нэрлэдэгийг олж мэдье, бүхэл бүтэн рационал ба бутархай рационал тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг өгч, жишээ татъя. Дараа нь бид оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмуудыг олж авах бөгөөд мэдээжийн хэрэг шийдлүүдийг авч үзэх болно ердийн жишээнүүдшаардлагатай бүх тайлбартай.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт дээр үндэслэн бид оновчтой тэгшитгэлийн хэд хэдэн жишээг өгдөг. Жишээлбэл, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , бүгд рационал тэгшитгэл юм.

Үзүүлсэн жишээнүүдээс харахад рационал тэгшитгэлүүд болон бусад төрлийн тэгшитгэлүүд нь нэг хувьсагчтай эсвэл хоёр, гурав гэх мэт байж болно. хувьсагч. Дараагийн догол мөрөнд бид нэг хувьсагчтай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар ярих болно. Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхмөн тэд их тооонцгой анхаарал хандуулах ёстой.

Рационал тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоонд хуваахаас гадна бүхэл ба бутархай гэж хуваадаг. Холбогдох тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт.

Рационал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бүхэлд нь, хэрэв түүний зүүн ба баруун тал хоёулаа бүхэл рационал илэрхийлэл бол.

Тодорхойлолт.

Хэрэв рационал тэгшитгэлийн ядаж нэг хэсэг нь байвал бутархай илэрхийлэл, тэгвэл энэ тэгшитгэлийг дуудна бутархай оновчтой(эсвэл бутархай оновчтой).

Бүхэл тэгшитгэл нь хувьсагчаар хуваахыг агуулаагүй нь тодорхой, харин бутархай оновчтой тэгшитгэл нь хувьсагчаар (эсвэл хуваагч дахь хувьсагч) хуваахыг заавал агуулдаг. Тэгэхээр 3 x+2=0 ба (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- эдгээр нь бүхэл бүтэн оновчтой тэгшитгэлүүд бөгөөд тэдгээрийн хоёр хэсэг нь бүхэл илэрхийлэл юм. A ба x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 нь бутархай рационал тэгшитгэлийн жишээ юм.

Энэ цэгийг дүгнэж хэлэхэд, шугаман тэгшитгэл ба квадрат тэгшитгэлүүд нь бүхэл бүтэн рационал тэгшитгэл гэдгийг анхаарч үзье.

Бүхэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бүхэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол аргуудын нэг бол тэдгээрийг ижил тэгшитгэл болгон багасгах явдал юм алгебрийн тэгшитгэл. Дараах тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтыг хийснээр үүнийг үргэлж хийж болно.

• нэгдүгээрт, анхны бүхэл тооны тэгшитгэлийн баруун талын илэрхийлэлийг баруун талд нь тэг авахын тулд эсрэг тэмдгээр зүүн тал руу шилжүүлнэ;
• Үүний дараа тэгшитгэлийн зүүн талд үр дүн гарна стандарт харагдац.

Үр дүн нь алгебрийн тэгшитгэл, энэ нь анхны бүхэл тооны тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. Тиймээс хамгийн ихдээ энгийн тохиолдлуудтэгшитгэлийг бүхэлд нь шийдэх нь шугаман эсвэл квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд буурдаг ерөнхий тохиолдол– n зэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэх. Тодорхой болгохын тулд жишээний шийдлийг харцгаая.

Жишээ.

Бүхэл тэгшитгэлийн язгуурыг ол 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Шийдэл.

Энэ бүхэл тэгшитгэлийн шийдийг эквивалент алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулъя. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд илэрхийллийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, үр дүнд нь тэгшитгэлд хүрнэ. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Хоёрдугаарт, бид зүүн талд үүссэн илэрхийллийг шаардлагатай зүйлийг бөглөж стандарт олон гишүүнт хэлбэр болгон хувиргадаг. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Ингээд анхны бүхэл тоон тэгшитгэлийг шийдэх нь x 2 −5·x−6=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд буурна.

Бид түүний ялгах чадварыг тооцдог D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, энэ нь эерэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай гэсэн үг бөгөөд бид үүнийг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан олдог.

Бүрэн итгэлтэй байхын тулд үүнийг хийцгээе тэгшитгэлийн олсон язгуурыг шалгах. Эхлээд бид язгуур 6-г шалгаж, анхны бүхэл тэгшитгэл дэх х хувьсагчийн оронд орлуулна. 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, энэ нь ижил, 63=63. Энэ бол хүчинтэй тоон тэгшитгэл тул x=6 нь үнэхээр тэгшитгэлийн үндэс юм. Одоо бид язгуур −1-ийг шалгаж байна 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, хаанаас, 0=0 . x=−1 үед анхны тэгшитгэлМөн жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирсан тул x=−1 нь мөн тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

6 , −1 .

Энд "бүхэл тэгшитгэлийн зэрэг" гэсэн нэр томъёо нь бүхэл тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл хэлбэрээр илэрхийлэхтэй холбоотой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Холбогдох тодорхойлолтыг өгье:

Тодорхойлолт.

Бүх тэгшитгэлийн хүчэквивалент алгебрийн тэгшитгэлийн зэрэг гэнэ.

Энэ тодорхойлолтын дагуу өмнөх жишээний тэгшитгэл бүхэлдээ хоёр дахь зэрэгтэй байна.

Энэ нь нэг зүйл биш юмаа гэхэд бүхэл бүтэн оновчтой тэгшитгэлийг шийдэх төгсгөл байж болох юм... Мэдэгдэж байгаагаар, хоёр дахь зэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь ихээхэн бэрхшээлтэй тулгардаг бөгөөд дөрөв дэхээс өндөр зэрэгтэй тэгшитгэлийн хувьд тийм биш юм. ерөнхий томъёоүндэс. Тиймээс гурав, дөрөв ба түүнээс дээш тэгшитгэлийг бүхэлд нь шийдэх өндөр зэрэгтэйИхэнхдээ та бусад шийдлийн аргыг ашиглах хэрэгтэй болдог.

Ийм тохиолдолд бүхэл бүтэн оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга барил дээр тулгуурлана хүчин зүйлчлэлийн арга. Энэ тохиолдолд дараах алгоритмыг баримтална.

• эхлээд тэгшитгэлийн баруун талд тэг байгаа эсэхийг баталгаажуулж, бүхэл тэгшитгэлийн баруун талаас илэрхийллийг зүүн тийш шилжүүлнэ;
• Дараа нь зүүн талд гарсан илэрхийлэлийг хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр болгон харуулсан бөгөөд энэ нь хэд хэдэн энгийн тэгшитгэлийн багц руу шилжих боломжийг олгодог.

Бүтэн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх өгөгдсөн алгоритм нь жишээ ашиглан дэлгэрэнгүй тайлбарыг шаарддаг.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг бүхэлд нь шийд (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Шийдэл.

Нэгдүгээрт, ердийнхөөрөө бид илэрхийллийг тэгшитгэлийн баруун талаас зүүн тал руу шилжүүлж, тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болохгүй. (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Эндээс харахад үүссэн тэгшитгэлийн зүүн талыг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргах нь зохисгүй, учир нь энэ нь хэлбэрийн дөрөв дэх зэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг өгөх болно. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, шийдэл нь хэцүү.

Нөгөөтэйгүүр, үүссэн тэгшитгэлийн зүүн талд бид x 2 −10 x+13 байж, улмаар үүнийг бүтээгдэхүүн болгон харуулах нь ойлгомжтой. Бидэнд байгаа (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны бүхэл тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд үүнийг эргээд x 2 −10·x+13=0 ба x 2 −2·x−1=0 гэсэн хоёр квадрат тэгшитгэлийн багцаар сольж болно. Тэдний үндсийг олох мэдэгдэж байгаа томъёонуудялгаварлан гадуурхах үндэс нь хэцүү биш, үндэс нь тэнцүү байна. Эдгээр нь анхны тэгшитгэлийн хүссэн үндэс юм.

Хариулт:

Мөн бүх рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга. Зарим тохиолдолд энэ нь бүхэл тэгшитгэлийн зэрэглэлээс бага зэрэгтэй тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог.

Жишээ.

Рационал тэгшитгэлийн жинхэнэ язгуурыг ол (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Шийдэл.

Энэхүү оновчтой тэгшитгэлийг бүхэлд нь алгебрийн тэгшитгэл болгон багасгах нь тийм ч сайн санаа биш юм, учир нь энэ тохиолдолд бид 4-р зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай болно. оновчтой үндэс. Тиймээс та өөр шийдлийг хайх хэрэгтэй болно.

Эндээс та шинэ y хувьсагч оруулж, x 2 +3·x илэрхийллийг түүгээр сольж болохыг хялбархан харж болно. Энэ орлуулалт нь биднийг бүхэл тэгшитгэл рүү хөтөлдөг (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , −2·(y−4) илэрхийллийг зүүн тал руу шилжүүлж, дараа нь илэрхийллийн хувиргалт хийсний дараа тэнд үүссэн нь y 2 +4·y+3=0 квадрат тэгшитгэл болж буурна. Энэ y=−1 ба y=−3 тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хялбар, жишээлбэл, тэдгээрийг Вьетнамын теоремын урвуу теорем дээр үндэслэн сонгож болно.

Одоо бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргын хоёр дахь хэсэг, өөрөөр хэлбэл урвуу орлуулалт хийх гэж байна. Урвуу орлуулалтыг хийсний дараа бид x 2 +3 x=−1 ба x 2 +3 x=−3 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнийг x 2 +3 x+1=0, x 2 +3 x+3 гэж дахин бичиж болно. =0. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан бид эхний тэгшитгэлийн язгуурыг олно. Хоёрдахь квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ) тул бодит язгуургүй.

Хариулт:

Ерөнхийдөө бид өндөр зэрэглэлийн бүхэл бүтэн тэгшитгэлтэй харьцахдаа хайхад үргэлж бэлэн байх ёстой стандарт бус аргаэсвэл тэдгээрийг шийдвэрлэх хиймэл арга.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Нэгдүгээрт, p(x) ба q(x) нь бүхэл тоон рационал илэрхийлэл болох хэлбэрийн бутархай рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгоход хэрэгтэй болно. Дараа нь бид бусад бутархай рационал тэгшитгэлийн шийдлийг заасан төрлийн тэгшитгэлийн шийдэлд хэрхэн бууруулахыг харуулах болно.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэг нь дээр суурилдаг дараах мэдэгдэл: тоон бутархай u/v , энд v нь тэгээс өөр тоо (өөрөөр бол бид тулгарах болно, энэ нь тодорхойгүй), зөвхөн тоологч нь тэг, өөрөөр хэлбэл u=0 тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү байна. Энэхүү мэдэгдлийн ачаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь p(x)=0 ба q(x)≠0 гэсэн хоёр нөхцлийг биелүүлэх хүртэл буурдаг.

Энэхүү дүгнэлт нь дараах байдалтай нийцэж байна бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм. Маягтын бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй

• p(x)=0 бүх рационал тэгшитгэлийг шийд;
• мөн олдсон язгуур бүрийн хувьд q(x)≠0 нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгана
• хэрэв үнэн бол энэ үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно;
• Хэрэв энэ нь хангагдахгүй бол энэ үндэс нь гаднах, өөрөөр хэлбэл энэ нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ зарласан алгоритмыг ашиглах жишээг авч үзье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Энэ нь бутархай рационал тэгшитгэл бөгөөд p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0 хэлбэртэй байна.

Энэ төрлийн бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын дагуу бид эхлээд 3 x−2=0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Энэ шугаман тэгшитгэлязгуур нь x=2/3.

Энэ үндэс байгаа эсэхийг шалгах, өөрөөр хэлбэл 5 x 2 −2≠0 нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах л үлдлээ. 5 x 2 −2 илэрхийлэлд 2/3-ын тоог x-ийн оронд орлуулснаар . Нөхцөл хангагдсан тул x=2/3 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

2/3 .

Та бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд арай өөр байрлалаас хандаж болно. Энэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийн х хувьсагч дээрх p(x)=0 бүхэл тооны тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, та үүнийг дагаж мөрдөж болно бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм :

• p(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэх;
• х хувьсагчийн ODZ-ийг олох;
• нутаг дэвсгэрт хамаарах үндэс хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ, - тэдгээр нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн хүссэн үндэс юм.

Жишээлбэл, энэ алгоритмыг ашиглан бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Эхлээд бид x 2 −2·x−11=0 квадрат тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үндсийг хоёр дахь коэффициентийн язгуур томъёог ашиглан тооцоолж болно D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Мөн .

Хоёрдугаарт, бид анхны тэгшитгэлийн хувьд x хувьсагчийн ODZ-ийг олно. Энэ нь x 2 +3·x≠0, x·(x+3)≠0, эндээс x≠0, x≠−3-тай адил бүх тооноос бүрдэнэ.

Эхний алхамд олдсон үндэс нь ODZ-д орсон эсэхийг шалгах хэвээр байна. Мэдээж тийм. Тиймээс анхны бутархай рационал тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Хариулт:

Хэрэв ODZ-ийг олоход хялбар бол энэ арга нь эхнийхээс илүү ашигтай бөгөөд жишээлбэл p(x) = 0 тэгшитгэлийн үндэс нь иррациональ, эсвэл оновчтой, гэхдээ нэлээд том тоологчтой бол ялангуяа ашигтай байдаг гэдгийг анхаарна уу. /эсвэл хуваагч, жишээлбэл, 127/1101 ба −31/59. Энэ нь ийм тохиолдолд q(x)≠0 нөхцөлийг шалгахад ихээхэн хэмжээний тооцооллын хүчин чармайлт шаардагдах бөгөөд ODZ ашиглан гадны үндэсийг хасах нь илүү хялбар байдагтай холбоотой юм.

Бусад тохиолдолд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед, ялангуяа p(x) = 0 тэгшитгэлийн язгуур бүхэл тоо байх үед өгөгдсөн алгоритмуудын эхнийхийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, p(x)=0 тэгшитгэлийн язгуурыг нэн даруй олж, дараа нь ODZ-ийг олохын оронд q(x)≠0 нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгаж, тэгшитгэлийг шийдэхийг зөвлөж байна. Энэ ODZ дээр p(x)=0 . Энэ нь ийм тохиолдолд DZ-ийг олохоос илүү шалгах нь ихэвчлэн хялбар байдагтай холбоотой юм.

Тодорхой нюансуудыг харуулахын тулд хоёр жишээний шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бүхэл тэгшитгэлийн язгуурыг олъё (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, бутархайн тоог ашиглан зохиосон. Зүүн талЭнэ тэгшитгэлийн үржвэр, баруун гар нь тэг тул тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх аргын дагуу энэ тэгшитгэл нь 2 x−1=0, x−6=0, x дөрвөн тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна. 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . Эдгээр тэгшитгэлүүдийн гурав нь шугаман, нэг нь квадрат тэгшитгэл юм. Эхний тэгшитгэлээс бид x=1/2, хоёр дахь нь - x=6, гурав дахь нь - x=7, x=−2, дөрөв дэх нь - x=−1 гэж олно.

Олдсон үндсийг ашиглан анхны тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн хуваагч алга болох эсэхийг шалгах нь маш хялбар боловч ODZ-ийг тодорхойлох нь тийм ч хялбар биш юм, учир нь та үүнийг шийдэх хэрэгтэй болно. тав дахь зэрэглэлийн алгебрийн тэгшитгэл. Тиймээс бид үндсийг нь шалгахын тулд ODZ-ийг олохоос татгалзана. Үүнийг хийхийн тулд илэрхийлэл дэх x хувьсагчийн оронд тэдгээрийг нэг нэгээр нь орлуулна x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, орлуулсны дараа олж, тэдгээрийг тэгтэй харьцуулна уу: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Тиймээс 1/2, 6 ба −2 нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн хүссэн үндэс, 7 ба −1 нь гадны үндэс юм.

Хариулт:

1/2 , 6 , −2 .

Жишээ.

Бутархай рационал тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд тэгшитгэлийн язгуурыг олъё (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Энэ тэгшитгэл нь квадрат 5 x 2 −7 x−1=0 ба шугаман x−2=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцэнэ. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан бид хоёр язгуурыг олох бөгөөд хоёр дахь тэгшитгэлээс бид x=2 байна.

Олдсон x утгууд дээр хуваагч тэг болж байгаа эсэхийг шалгах нь маш тааламжгүй юм. Анхны тэгшитгэл дэх x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тодорхойлох нь маш энгийн. Тиймээс бид ОДХ-оор дамжуулж ажиллана.

Манай тохиолдолд анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн х хувьсагчийн ODZ нь x 2 +5·x−14=0 нөхцөл хангагдсанаас бусад бүх тооноос бүрдэнэ. Энэхүү квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь x=−7 ба x=2 бөгөөд үүнээс бид ODZ-ийн тухай дүгнэлт хийдэг: энэ нь бүх x-ээс бүрдэх тул .

Олдсон үндэс ба x=2 нь зөвшөөрөгдөх утгын мужид хамаарах эсэхийг шалгах л үлдлээ. Үндэс нь харьяалагддаг тул тэдгээр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс бөгөөд x=2 нь хамаарахгүй тул энэ нь гадны үндэс юм.

Хариулт:

Хэлбэрийн бутархай рационал тэгшитгэлд тоологч дахь тоо байх, өөрөөр хэлбэл p(x)-ийг ямар нэг тоогоор илэрхийлэх тохиолдлуудыг тусад нь авч үзэх нь ашигтай байх болно. Хаана

• хэрэв энэ тоо тэг биш бол тэгшитгэлд үндэс байхгүй, учир нь түүний тоологч нь тэгтэй тэнцүү бол бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна;
• хэрэв энэ тоо тэг бол тэгшитгэлийн үндэс нь ODZ-ийн дурын тоо байна.

Жишээ.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн тоо нь тэгээс өөр тоо агуулсан тул дурын х-ийн хувьд энэ бутархайн утга тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Тиймээс энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Хариулт:

үндэс байхгүй.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ бутархай рационал тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн тоологч нь тэгийг агуулж байгаа тул энэ бутархайн утга нь утга учиртай аливаа x-ийн хувьд тэг байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ хувьсагчийн ODZ-ийн x-ийн дурын утга юм.

Энэ зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тодорхойлоход л үлдэж байна. Энэ нь x 4 +5 x 3 ≠0 байх бүх x утгыг агуулдаг. x 4 +5 x 3 =0 тэгшитгэлийн шийд нь 0 ба −5 байна, учир нь энэ тэгшитгэл нь x 3 (x+5)=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь эргээд x хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна. 3 =0 ба x +5=0, эдгээр үндэс харагдах газраас. Тиймээс хүлээн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүссэн хүрээ нь x=0 ба x=−5-аас бусад дурын x байна.

Тиймээс бутархай рационал тэгшитгэл нь тэг ба хасах таваас бусад тоонууд болох хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.

Хариулт:

Эцэст нь, бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх талаар ярих цаг болжээ дурын төрөл. Тэдгээрийг r(x)=s(x) гэж бичиж болно, энд r(x) ба s(x) нь рационал илэрхийлэл бөгөөд ядаж нэг нь бутархай байна. Урагшаа харахад тэдний шийдэл нь бидэнд аль хэдийн танил болсон хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг гэж бодъё.

Тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө хэсэг рүү эсрэг тэмдгээр нэр томъёог шилжүүлэх нь эквивалент тэгшитгэлд хүргэдэг нь мэдэгдэж байгаа тул r(x)=s(x) тэгшитгэл нь r(x)−s(x) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. )=0.

Энэ илэрхийлэлтэй ижил төстэй ямар ч боломжтой гэдгийг бид мэднэ. Иймээс бид r(x)−s(x)=0 тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа рационал илэрхийллийг , хэлбэрийн ижил тэнцүү рационал бутархай болгон хувиргаж болно.

Тиймээс бид анхны бутархай рационал тэгшитгэлээс r(x)=s(x) тэгшитгэл рүү шилжих ба түүний шийдэл нь дээр дурдсанчлан p(x)=0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл буурдаг.

Гэхдээ энд r(x)−s(x)=0-ийг , дараа нь p(x)=0-ээр солих үед x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ өргөжиж болохыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. .

Үүний үр дүнд бидний олж авсан анхны r(x)=s(x) тэгшитгэл ба p(x)=0 тэгшитгэл нь тэгш бус болж, p(x)=0 тэгшитгэлийг шийдснээр язгуурыг гаргаж болно. Энэ нь r(x)=s(x) анхны тэгшитгэлийн гадаад үндэс байх болно. Шалгалт хийх эсвэл анхны тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах эсэхийг шалгах замаар та хариултанд гадны үндэсийг тодорхойлж, оруулахгүй.

Энэ мэдээллийг тоймлон хүргэе r(x)=s(x) бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм. r(x)=s(x) бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй

• Эсрэг тэмдгээр илэрхийллийг баруун талаас нь хөдөлгөж баруун талд нь тэг авна.
• Тэгшитгэлийн зүүн талд бутархай ба олон гишүүнттэй үйлдлүүдийг хийж, үүнийг хэлбэрийн оновчтой бутархай болгон хувиргана.
• p(x)=0 тэгшитгэлийг шийд.
• Анхны тэгшитгэлд орлуулах эсвэл анхны тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах эсэхийг шалгах замаар хийдэг гаднах язгуурыг тодорхойлж арилгах.

Илүү тодорхой болгохын тулд бид бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гинжийг бүхэлд нь харуулах болно.
.

Өгөгдсөн мэдээллийн блокийг тодруулахын тулд шийдлийн үйл явцын нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид саяхан олж авсан шийдлийн алгоритмын дагуу ажиллах болно. Эхлээд бид тэгшитгэлийн баруун талаас зүүн тийш нөхцөлүүдийг шилжүүлж, үр дүнд нь тэгшитгэл рүү шилждэг.

Хоёрдахь алхамд бид үүссэн тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархай рационал илэрхийлэлийг бутархай хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид цутгамал хийдэг рационал бутархайнийтлэг хуваагч руу болон гарсан илэрхийллийг хялбарчлах: . Тиймээс бид тэгшитгэлд хүрнэ.

Дараагийн алхамд −2·x−1=0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид x=−1/2-г олно.

Олдсон тоо нь −1/2 эсэхийг шалгах л үлдлээ гадны үндэсанхны тэгшитгэл. Үүнийг хийхийн тулд та анхны тэгшитгэлийн x хувьсагчийн VA-г шалгаж эсвэл олох боломжтой. Хоёр аргыг хоёуланг нь харуулъя.

Шалгаж эхэлцгээе. Анхны тэгшитгэлд x хувьсагчийн оронд −1/2 тоог орлуулснаар −1=−1 гэсэн ижил утгатай болно. Орлуулалт нь зөв тоон тэгшитгэлийг өгдөг тул x=−1/2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Одоо бид алгоритмын сүүлчийн цэгийг ODZ-ээр хэрхэн гүйцэтгэж байгааг харуулах болно. Анхны тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь −1 ба 0-ээс бусад бүх тоонуудын багц юм (x=−1 ба x=0 үед бутархайн хуваагч алга болно). Өмнөх алхамд олдсон x=−1/2 үндэс нь ODZ-д хамаарах тул x=−1/2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

−1/2 .

Өөр нэг жишээг харцгаая.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Бид бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй, алгоритмын бүх үе шатыг авч үзье.

Эхлээд бид нэр томъёог баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, бид .

Хоёрдугаарт, бид зүүн талд үүссэн илэрхийллийг хувиргадаг: . Үүний үр дүнд бид x=0 тэгшитгэлд хүрнэ.

Үүний үндэс нь ойлгомжтой - энэ нь тэг юм.

Дөрөв дэх алхамд олсон үндэс нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлээс гадуурх эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай. Үүнийг анхны тэгшитгэлд орлуулах үед илэрхийлэл үүснэ. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тэг хуваахыг агуулсан учраас утгагүй юм. Эндээс бид 0 нь гадны язгуур гэж дүгнэж байна. Тиймээс анхны тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

7, энэ нь тэгшитгэлд хүргэдэг. Эндээс бид зүүн талын хуваагч дахь илэрхийлэл нь баруун талынхтай тэнцүү байх ёстой гэж дүгнэж болно, өөрөөр хэлбэл, . Одоо бид гурвын хоёр талаас хасна: . Аналогоор, хаанаас, цаашлаад.

Шалгалтаас харахад олдсон язгуур хоёулаа анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн үндэс болохыг харуулж байна.

Хариулт:

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович A.G.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.