Тоонуудын модульЭнэ тоо нь сөрөг биш бол өөрөө, эсвэл сөрөг байвал эсрэг тэмдэгтэй ижил тоо гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, 6 тооны модуль нь 6, -6 тооны модуль нь мөн 6 байна.

Өөрөөр хэлбэл, тооны модулийг үнэмлэхүй утга гэж ойлгодог. үнэмлэхүй үнэ цэнэтүүний тэмдгийг харгалзахгүйгээр энэ тоо.

Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: |6|, | X|, |А| гэх мэт.

("Дугаарын модуль" хэсгээс илүү дэлгэрэнгүйг үзнэ үү).

Модультай тэгшитгэл.

Жишээ 1 . Тэгшитгэлийг шийд|10 X - 5| = 15.

Шийдэл.

Дүрмийн дагуу тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна.

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Бид шийднэ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Хариулт: X 1 = 2, X 2 = -1.

Жишээ 2 . Тэгшитгэлийг шийд|2 X + 1| = X + 2.

Шийдэл.

Модуль нь сөрөг бус тоо учраас X+ 2 ≥ 0. Үүний дагуу:

X ≥ -2.

Хоёр тэгшитгэл хийцгээе:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Бид шийднэ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Хоёр тоо нь -2-оос их байна. Тэгэхээр хоёулаа тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: X 1 = -1, X 2 = 1.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийг шийд

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Шийдэл.

Хэрэв хуваагч нь биш бол тэгшитгэл нь утга учиртай болно тэгтэй тэнцүү- хэрэв гэсэн үг X≠ 1. Энэ нөхцлийг харгалзан үзье. Бидний хийх эхний үйлдэл нь энгийн бөгөөд бид зөвхөн бутархайг арилгадаггүй, харин модулийг цэвэр хэлбэрээр нь авахын тулд үүнийг хувиргадаг.

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Одоо бид тэгшитгэлийн зүүн талд модулийн дор зөвхөн илэрхийлэл байна. Үргэлжлүүл.
Тооны модуль нь сөрөг бус тоо бөгөөд өөрөөр хэлбэл байх ёстой Тэгээс дээшэсвэл тэгтэй тэнцүү байна. Үүний дагуу бид тэгш бус байдлыг шийднэ:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Тиймээс бид хоёр дахь нөхцөлтэй байна: тэгшитгэлийн үндэс нь дор хаяж 3/4 байх ёстой.

Дүрмийн дагуу бид хоёр тэгшитгэлийн багцыг бүрдүүлж, тэдгээрийг шийднэ.

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Бид хоёр хариулт авсан. Тэдгээр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая.

Бидэнд хоёр нөхцөл байсан: тэгшитгэлийн үндэс нь 1-тэй тэнцүү байж болохгүй, хамгийн багадаа 3/4 байх ёстой. Тэр бол X ≠ 1, X≥ 3/4. Эдгээр хоёр нөхцөл хоёулаа хүлээн авсан хоёр хариултын зөвхөн нэгтэй тохирч байна - тоо 2. Энэ нь зөвхөн анхны тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.

Хариулт: X = 2.

Модультай тэгш бус байдал.

Жишээ 1 . Тэгш бус байдлыг шийдэх| X - 3| < 4

Шийдэл.

Модулийн дүрэмд:

|А| = А, Хэрэв А ≥ 0.

|А| = -А, Хэрэв А < 0.

Модуль нь сөрөг болон сөрөг тоотой байж болно. Тиймээс бид хоёр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй: X- 3 ≥ 0 ба X - 3 < 0.

1) Хэзээ X- 3 ≥ 0 бол бидний анхны тэгш бус байдал зөвхөн модулийн тэмдэггүйгээр хэвээр үлдэнэ.
X - 3 < 4.

2) Хэзээ X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Хаалтуудыг нээснээр бид дараахь зүйлийг авна.

-X + 3 < 4.

Ийнхүү эдгээр хоёр нөхцлөөс бид хоёр тэгш бус байдлын системийг нэгтгэхэд хүрсэн.

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Тэдгээрийг шийдье:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Тиймээс бидний хариулт бол хоёр багцын нэгдэл юм:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Хамгийн багыг тодорхойл хамгийн өндөр үнэ цэнэ. Эдгээр нь -1 ба 7. Түүнээс гадна X-1-ээс их боловч 7-оос бага.
Түүнээс гадна, X≥ 3. Энэ нь тэгш бус байдлын шийдэл нь эдгээр туйлын тоонуудыг эс тооцвол -1-ээс 7 хүртэлх тооны бүхэл бүтэн багц болно гэсэн үг юм.

Хариулт: -1 < X < 7.

Эсвэл: X ∈ (-1; 7).

Нэмэлтүүд.

1) Бидний тэгш бус байдлыг графикаар шийдэх илүү энгийн бөгөөд богино арга бий. Үүнийг хийхийн тулд та зурах хэрэгтэй хэвтээ тэнхлэг(Зураг 1).

Илэрхийлэл | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3-р цэг нь дөрвөн нэгжээс бага байна. Бид тэнхлэг дээр 3-ын тоог тэмдэглэж, зүүн ба баруун талд нь 4 хуваагдлыг тоолно. Зүүн талд бид цэг дээр ирэх болно -1, баруун талд - цэг 7. Тиймээс, оноо XБид тэдгээрийг тооцоолохгүйгээр зүгээр л харсан.

Түүгээр ч барахгүй тэгш бус байдлын нөхцлийн дагуу -1 ба 7 нь өөрөө шийдлийн багцад ороогүй болно. Тиймээс бид хариултыг авна:

1 < X < 7.

2) Гэхдээ график аргаас ч илүү хялбар өөр нэг шийдэл бий. Үүнийг хийхийн тулд бидний тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр харуулах ёстой.

4 < X - 3 < 4.

Эцсийн эцэст, модулийн дүрмийн дагуу ийм байна. Сөрөг бус тоо 4 ба ижил төстэй сөрөг тоо -4 нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хил хязгаар юм.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Жишээ 2 . Тэгш бус байдлыг шийдэх| X - 2| ≥ 5

Шийдэл.

Энэ жишээ нь өмнөхөөсөө эрс ялгаатай. Зүүн тал нь 5-аас их буюу 5-тай тэнцүү. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тэгш бус байдлын шийдэл нь 2-р цэгээс 5 нэгж ба түүнээс дээш зайд байгаа бүх тоо юм (Зураг 2). Графикаас харахад эдгээр нь бүгд -3-аас бага буюу тэнцүү, 7-оос их буюу тэнцүү тоонууд юм. Энэ нь бид хариултыг аль хэдийн хүлээн авсан гэсэн үг юм.

Хариулт: -3 ≥ X ≥ 7.

Замдаа ижил тэгш бус байдлыг дахин цэгцлэх замаар шийдье чөлөөт гишүүнзүүн ба баруун талд эсрэг тэмдэгтэй:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Хариулт нь адилхан: -3 ≥ X ≥ 7.

Эсвэл: X ∈ [-3; 7]

Жишээ нь шийдэгдсэн.

Жишээ 3 . Тэгш бус байдлыг шийдэх 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Шийдэл.

Тоо Xэерэг тоо, сөрөг тоо, тэг байж болно. Тиймээс бид гурван нөхцөл байдлыг харгалзан үзэх хэрэгтэй. Таны мэдэж байгаагаар тэдгээрийг хоёр тэгш бус байдалд тооцдог. X≥ 0 ба X < 0. При X≥ 0 бол бид анхны тэгш бус байдлыг зөвхөн модулийн тэмдэггүйгээр дахин бичнэ.

6х 2 - X - 2 ≤ 0.

Одоо хоёр дахь тохиолдлын талаар: хэрэв X < 0. Модулем сөрөг тооэсрэг тэмдэгтэй ижил тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, бид модулийн доор байгаа тоог эсрэг тэмдгээр бичиж, модулийн тэмдгээс дахин чөлөөлөгдөнө.

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Тиймээс бид хоёр тэгшитгэлийн системийг хүлээн авлаа.

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Бид систем дэх тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй - энэ нь бид хоёр квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгш бус байдлын зүүн талыг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Эхнийхээс эхэлье:

6X 2 - X - 2 = 0.

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ - "Квадрат тэгшитгэл" хэсгийг үзнэ үү. Бид хариултыг нэн даруй нэрлэх болно:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Тэгш бус байдлын эхний системээс бид анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь -1/2-оос 2/3 хүртэлх тооны бүхэл бүтэн багц юм. Бид шийдлүүдийн нэгдлийг бичнэ X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Одоо хоёр дахь квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

6X 2 + X - 2 = 0.

Үүний үндэс:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Дүгнэлт: хэзээ X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Хоёр хариултыг нэгтгэж, эцсийн хариултыг авцгаая: шийдэл нь эдгээр туйлын тоонуудыг оруулаад -2/3-аас 2/3 хүртэлх тооны бүхэл бүтэн багц юм.

Хариулт: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Эсвэл: X ∈ [-2/3; 2/3].

Энэхүү онлайн математикийн тооцоолуур танд туслах болно тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг модулиар шийдвэрлэх. зориулсан програмтэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг модулиар шийдвэрлэх асуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддагтайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл

, өөрөөр хэлбэл үр дүнг олж авах үйл явцыг харуулна. Энэ хөтөлбөр нь ахлах сургуулийн сурагчдад хэрэг болох юмдунд сургуулиуд -д бэлтгэж байнатуршилтууд болон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой.Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?

гэрийн даалгавар

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Модультай тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг оруулна уу
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг шийд

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна. Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.

Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ. Хүлээгээрэйсек...
Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно. Битгий мартаарай.

ямар ажлыг зааж өгнө

та юуг шийднэ

талбаруудад оруулна уу

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд: Бага зэрэг онол.Модультай тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Сургуулийн анхан шатны алгебрийн хичээл дээр та модулиудтай хамгийн энгийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг олж авч болно. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд та ашиглаж болно

Гэхдээ модулиар тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга нь "модулийг тодорхойлолтоор илчлэх" гэж нэрлэгддэг зүйлтэй холбоотой юм.
хэрэв \(a \geq 0 \), тэгвэл \(|a|=a \);
хэрэв \(a Дүрмээр бол модультай тэгшитгэл (тэгш бус байдал) нь модулийн тэмдэг агуулаагүй тэгшитгэлийн багц (тэгш бус байдал) болж буурдаг.

Дээрх тодорхойлолтоос гадна дараахь мэдэгдлүүдийг ашигладаг.
1) Хэрэв \(c > 0\) бол \(|f(x)|=c \) тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(массив)\баруун.
2) Хэрэв \(c > 0 \) бол тэгш бус байдал нь \(|f(x)| 3) Хэрэв \(c \geq 0 \) бол \(|f(x)| > c \) тэгш бус байдал байна. тэгш бус байдлын багцтай тэнцэх : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(массив)\баруун. \)
4) Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал нь \(f(x) ЖИШЭЭ 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв \(x-1 \geq 0\), дараа нь \(|x-1| = x-1\) ба өгөгдсөн тэгшитгэлхэлбэрийг авдаг
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 +2x -8 = 0 \).
Хэрэв \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 -2x -4 = 0 \).
Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлийг заасан хоёр тохиолдол бүрт тусад нь авч үзэх хэрэгтэй.
1) \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) тэгшитгэлээс бид \(x_1=2, \; x_2=-4\)-ийг олно.
\(x \geq 1 \) нөхцөл нь зөвхөн \(x_1=2\) утгаар хангагдана.

2) \(x-1 Хариулт: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ЖИШЭЭ 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) тэгшитгэлийг шийд.Эхний арга
(тодорхойлолтын дагуу модулийг өргөтгөх).

1-р жишээн дээр үндэслэн бид \(x^2-6x+7 \geq 0 \) эсвэл \(x^2-6x+7) гэсэн хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэлийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрлээ.
1) Хэрэв \(x^2-6x+7 \geq 0 \) байвал \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) байх ба өгөгдсөн тэгшитгэл нь \(x) хэлбэртэй байна. ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Баруун сум 3х^2-23х+30=0 \). Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахийг олж авна: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). \(x_1=6\) утга нь \(x^2-6x+7 \geq 0\) нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд орлуулъязаасан утга Вквадрат тэгш бус байдал . Бид дараахийг авна: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) нь жинхэнэ тэгш бус байдал юм..
Энэ нь \(x_1=6\) нь язгуур гэсэн үг

2) Хэрэв \(x^2-6x+7 Утга \(x_3=3\) нөхцөлийг хангаж байвал \(x^2-6x+7 Утга \(x_4=\frac(4)(3) \) хангагдахгүй бол нөхцөл \ (x^2-6x+7 Тэгэхээр өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна: \(x=6, \; x=3 \).

Хоёр дахь арга зам.Хэрэв \(|f(x)| = h(x) \) тэгшитгэл өгөгдсөн бол \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \төгсгөл(массив)\баруун\)
Эдгээр тэгшитгэлийг хоёуланг нь дээр шийдсэн (өгөгдсөн тэгшитгэлийг шийдэх эхний аргыг ашиглан), тэдгээрийн үндэс нь дараах байдалтай байна: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Эдгээр дөрвөн утгын \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) нөхцөл нь 6 ба 3-аар л хангагдана. Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм: \(x=6) , \; x=3 \ ).

Гурав дахь зам(график).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг байгуулъя. Эхлээд параболыг \(y = x^2-6x+7\) байгуулъя.
Бидэнд \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). \(y = (x-3)^2-2\) функцийн графикийг \(y = x^2 \) функцийн графикаас баруун тийш 3 хуваарийн нэгжээр (дага) шилжүүлж авч болно. x тэнхлэг) болон 2 нэгжээр доош (y тэнхлэгийн дагуу).
x=3 шулуун шугам нь бидний сонирхож буй параболын тэнхлэг юм. Илүү нарийвчлалтай зурах хяналтын цэгийн хувьд параболын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй (3; -2) цэг, параболын орой (0; 7) ба (6; 7) цэгийг авах нь тохиромжтой. .

Одоо \(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг байгуулахын тулд та бүтээсэн параболын х тэнхлэгээс доош ороогүй хэсгүүдийг хэвээр үлдээж, тухайн хэсгийг толин тусгал болгох хэрэгтэй. х тэнхлэгтэй харьцуулахад х тэнхлэгийн доор байрлах парабол.

2) Шугаман функцийн графикийг \(y = \frac(5x-9)(3)\) байгуулъя. (0; –3) ба (3; 2) цэгүүдийг хяналтын цэг болгон авах нь тохиромжтой.. Шулуун шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох х = 1.8 цэг нь параболын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох зүүн цэгийн баруун талд байрлах нь чухал - энэ нь \(x=3-\ цэг юм. sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) Зургаас харахад графикууд A(3; 2) ба B(6; 7) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог тул эдгээрийн абсциссуудыг орлуулах x = 3 ба x = 6 оноог өгөгдсөн тэгшитгэлд оруулбал бид өөр утгын хувьд зөв тоон тэгшитгэлийг олж авсан гэдэгт итгэлтэй байна - тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна гэсэн үг юм x = 6. Хариулт: 3;Сэтгэгдэл

График арга

ЖИШЭЭ 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) тэгшитгэлийг шийд.
Бүх дэгжин байдлаа үл харгалзан энэ нь тийм ч найдвартай биш юм. Үзсэн жишээн дээр тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо учраас л ажилласан.

Эхний интервалыг авч үзье: \((-\infty; \; -3) \).
Хэрэв x бол хоёр дахь интервалыг авч үзье: \([-3; \; 2) \).
Хэрэв \(-3 \leq x Гурав дахь интервалыг авч үзье: \(

Ярьж байна энгийн хэлээр, модуль нь “хасах тэмдэггүй тоо” юм. Чухам энэ хоёрдмол байдалд (зарим газарт та анхны дугаараар юу ч хийх шаардлагагүй, харин зарим газарт та ямар нэгэн хасах зүйлийг арилгах хэрэгтэй болно) анхлан суралцаж буй оюутнуудад бүх бэрхшээл тулгардаг.

Өөр бас байна уу геометрийн тодорхойлолт. Үүнийг мэдэх нь бас ашигтай, гэхдээ бид геометрийн арга нь алгебрийн аргаас илүү тохиромжтой байдаг нарийн төвөгтэй, онцгой тохиолдлуудад л хандах болно (спойлер: өнөөдөр биш).

Тодорхойлолт. Тооны мөрөнд $a$ цэгийг тэмдэглэе. Дараа нь модуль $\left| x-a \right|$ нь энэ шулуун дээрх $x$ цэгээс $a$ цэг хүртэлх зай юм.

Хэрэв та зураг зурвал дараах зүйлийг авах болно.

Ямар нэг байдлаар модулийн тодорхойлолтоос түүний гол шинж чанар нь шууд дараах байдалтай байна. тооны модуль нь үргэлж сөрөг бус хэмжигдэхүүн юм. Энэ баримт нь өнөөдрийн бидний түүхийг бүхэлд нь хамарсан улаан утас байх болно.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Интервалын арга

Одоо тэгш бус байдлыг харцгаая. Тэдгээрийн олон нь байдаг, гэхдээ бидний одоо хийх даалгавар бол ядаж хамгийн энгийнийг нь шийдэх явдал юм. Шугаман тэгш бус байдал, түүнчлэн интервалын арга руу буурдаг хүмүүс.

Надад энэ сэдвээр хоёр том хичээл байна (дашрамд хэлэхэд, маш их хэрэгтэй - би тэдгээрийг судлахыг зөвлөж байна):

1. Тэгш бус байдлын интервалын арга (ялангуяа видеог үзэх);
2. Бутархай рационал тэгш бус байдал нь маш их өргөн хүрээтэй хичээл, гэхдээ үүний дараа танд ямар ч асуулт байхгүй болно.

Хэрэв та энэ бүгдийг мэдэж байгаа бол "тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье" гэсэн хэллэг таныг хана мөргөх гэсэн тодорхойгүй хүсэл төрүүлэхгүй бол та бэлэн байна: хичээлийн гол сэдэвт тавтай морил. :)

1. “Модуль нь функцээс бага” хэлбэрийн тэгш бус байдал

Энэ бол модулиудтай холбоотой хамгийн нийтлэг бэрхшээлүүдийн нэг юм. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай:

\[\зүүн| f\right| \ltg\]

$f$ ба $g$ функцууд нь юу ч байж болох ч ихэвчлэн олон гишүүнт байдаг. Ийм тэгш бус байдлын жишээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| 2x+3 \баруун| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\зүүн| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээрийг бүгдийг нь дараах схемийн дагуу нэг мөрөнд шууд утгаараа шийдэж болно.

\[\зүүн| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g\quad \зүүн(\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(эгцлэх) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\баруун)\]

Бид модулиас салж байгааг харахад хялбар боловч хариуд нь давхар тэгш бус байдал (эсвэл энэ нь ижил зүйл юм, хоёр тэгш бус байдлын систем) авдаг. Гэхдээ энэ шилжилт нь бүх зүйлийг харгалзан үздэг болзошгүй асуудлууд: модулийн доорх тоо эерэг байвал арга нь ажилладаг; сөрөг байвал энэ нь ажилласаар байна; $f$ эсвэл $g$-ийн оронд хамгийн хангалтгүй функцтэй байсан ч энэ арга ажиллах болно.

Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: илүү хялбар байж болохгүй гэж үү? Харамсалтай нь энэ боломжгүй. Энэ бол модулийн бүх санаа юм.

Гэсэн хэдий ч философи хийхэд хангалттай. Хэд хэдэн асуудлыг шийдье:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| 2x+3 \баруун| \lt x+7\]

Шийдэл. Тиймээс, бидний өмнө "модуль бага" хэлбэрийн сонгодог тэгш бус байдал байна - бүр өөрчлөх зүйл байхгүй. Бид алгоритмын дагуу ажилладаг:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \баруун| \lt x+7\Баруун сум -\зүүн(x+7 \баруун) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

Урд талд нь "хасах" тэмдэгтэй хашилтыг нээх гэж яарах хэрэггүй: та яарсны улмаас доромжилсон алдаа гаргах магадлалтай.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Асуудлыг хоёр энгийн тэгш бус байдал болгон бууруулсан. Зэрэгцээ тоон шулуун дээрх шийдлүүдийг тэмдэглэе.

Олон хүний ​​уулзвар

Эдгээр олонлогуудын огтлолцол нь хариулт болно.

Хариулт: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0\]

Шийдэл. Энэ даалгавар нь арай илүү төвөгтэй юм. Нэгдүгээрт, хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж модулийг тусгаарлацгаая.

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \lt -3\зүүн(x+1 \баруун)\]

Мэдээжийн хэрэг, бид "модуль нь жижиг" хэлбэрийн тэгш бус байдал үүссэн тул бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан алгоритмыг ашиглан модулийг устгадаг.

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \баруун)\]

Одоо анхаарлаа хандуулаарай: энэ бүх хаалтанд хэн нэгэн намайг жаахан гажуудсан гэж хэлэх болно. Гэхдээ бидний гол зорилго гэдгийг дахин сануулъя тэгш бус байдлыг зөв шийдэж хариултыг авна. Дараа нь та энэ хичээлд дурдсан бүх зүйлийг төгс эзэмшсэн бол та үүнийг хүссэнээрээ гажуудуулж болно: хаалт нээх, хасах гэх мэт.

Эхлэхийн тулд бид зүүн талд байгаа давхар хасахаас салах болно.

\[-\left(-3\left(x+1 \баруун) \баруун)=\left(-1 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \left(x+1 \баруун) =3\зүүн(x+1 \баруун)\]

Одоо давхар тэгш бус байдлын бүх хаалтыг нээцгээе.

Давхар тэгш бус байдал руу шилжье. Энэ удаад тооцоо илүү ноцтой байх болно:

\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун\]

\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \төгсгөл( тэгшлэх)\баруун.\]

Хоёр тэгш бус байдал хоёулаа квадрат бөгөөд интервалын аргыг ашиглан шийдэж болно (тийм учраас би хэлж байна: хэрэв та энэ юу болохыг мэдэхгүй бол модуль авахгүй байх нь дээр). Эхний тэгш бус байдлын тэгшитгэл рүү шилжье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар гаралт нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл бөгөөд үүнийг энгийн аргаар шийдэж болно. Одоо системийн хоёр дахь тэгш бус байдлыг харцгаая. Тэнд та Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \баруун)\left(x+2 \баруун)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид үүссэн тоонуудыг хоёр зэрэгцээ шугам дээр тэмдэглэв (эхний тэгш бус байдлын хувьд тусад нь, хоёр дахь нь тусдаа):

Дахин хэлэхэд, бид тэгш бус байдлын системийг шийдэж байгаа тул бид сүүдэрлэсэн олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байна: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Энэ бол хариулт юм.

Хариулт: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Эдгээр жишээнүүдийн дараа шийдлийн схем маш тодорхой байна гэж би бодож байна.

1. Бусад бүх нэр томьёо руу шилжих замаар модулийг тусгаарла эсрэг хэсэгтэгш бус байдал. Ингээд $\left| хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авна f\right| \ltg$.
2. Дээр дурдсан схемийн дагуу модулийг арилгах замаар энэ тэгш бус байдлыг шийднэ үү. Хэзээ нэгэн цагт давхар тэгш бус байдлаас хоёр систем рүү шилжих шаардлагатай болно бие даасан илэрхийлэл, тус бүрийг тусад нь аль хэдийн шийдэж болно.
3. Эцэст нь, эдгээр хоёр бие даасан илэрхийллийн шийдлүүдийг огтолцох л үлдлээ - тэгээд л бид эцсийн хариултыг авах болно.

Тэгш бус байдлын хувьд ижил төстэй алгоритм байдаг дараагийн төрөл, модуль байх үед илүү олон онцлог. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн ноцтой "гэхдээ" байдаг. Бид одоо эдгээр "гэхдээ" талаар ярих болно.

2. “Модуль нь функцээс их” хэлбэрийн тэгш бус байдал

Тэд дараах байдлаар харагдаж байна.

\[\зүүн| f\right| \gtg\]

Өмнөхтэй төстэй юу? бололтой. Гэсэн хэдий ч ийм асуудлыг огт өөр аргаар шийддэг. Албан ёсоор схем нь дараах байдалтай байна.

\[\зүүн| f\right| \gt g\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\төгсгөл(зөв) \баруун.\]

Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр тохиолдлыг авч үздэг.

1. Нэгдүгээрт, бид зүгээр л модулийг үл тоомсорлож, ердийн тэгш бус байдлыг шийддэг;
2. Дараа нь үндсэндээ бид хасах тэмдгээр модулийг өргөтгөж, дараа нь тэгш бус байдлын хоёр талыг −1-ээр үржүүлж, би тэмдэгтэй байна.

Сонголтуудыг нэгтгэсэн дөрвөлжин хаалт, өөрөөр хэлбэл Бидний өмнө хоёр шаардлагыг хослуулсан.

Дахин анхаарна уу: энэ бол систем биш, харин бүхэлдээ Хариултанд олонлогууд огтлолцохоос илүү нийлдэг. Энэ үндсэн ялгааөмнөх цэгээс!

Ерөнхийдөө олон оюутнууд холбоо, уулзвартай андуурч байгаа тул энэ асуудлыг нэг удаа, бүрмөсөн цэгцэлье.

• "∪" нь эвлэлийн тэмдэг юм. Үндсэндээ энэ бол бидэнд ирсэн загварлаг "U" үсэг юм Англи хэлэндбөгөөд энэ нь "Union" гэсэн үгийн товчлол юм, i.e. "Холбоонууд".
• "∩" нь уулзварын тэмдэг юм. Энэ новш хаанаас ч гараагүй, зүгээр л "∪"-ийн эсрэг заалт мэт харагдсан.

Үүнийг санахад илүү хялбар болгохын тулд нүдний шил хийхдээ эдгээр тэмдгүүдэд хөлөө зураарай (зүгээр л намайг хар тамхи, архидалтыг сурталчилж байна гэж битгий буруутгаарай: хэрэв та энэ хичээлийг нухацтай судалж байгаа бол та аль хэдийн хар тамхичин болсон байна).

Орос хэл рүү орчуулбал энэ нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: нэгдэл (нийтлэл) нь хоёр багцын элементүүдийг агуулдаг тул тэдгээр нь тус бүрээс багагүй байна; Харин огтлолцол (систем) нь зөвхөн эхний болон хоёр дахь багцад нэгэн зэрэг байгаа элементүүдийг агуулдаг. Тиймээс олонлогуудын огтлолцол нь эх олонлогоос хэзээ ч их байдаггүй.

Тэгэхээр илүү тодорхой болсон уу? Гайхалтай. Дасгал руугаа явцгаая.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\]

Шийдэл. Бид схемийн дагуу ажиллаж байна:

\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\Баруун сум \зүүн[ \эхлэх(эгцлэх) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \баруун) \\\төгсгөх(эгцлэх) \ зөв.\]

Бид хүн амын тэгш бус байдал бүрийг шийддэг:

\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \төгсгөл (зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид үүссэн багц бүрийг тоон мөрөнд тэмдэглээд дараа нь нэгтгэнэ.

Багцуудын нэгдэл

Хариулт нь $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ байх нь ойлгомжтой.

Хариулт: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gt x\]

Шийдэл. За? Юу ч биш - бүх зүйл адилхан. Бид модультай тэгш бус байдлаас хоёр тэгш бус байдлын багц руу шилждэг.

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gt x\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид тэгш бус байдал бүрийг шийддэг. Харамсалтай нь тэнд үндэс нь тийм ч сайн биш байх болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь тэгш бус байдал нь бас жаахан зэрлэг юм:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо та эдгээр тоог хоёр тэнхлэг дээр тэмдэглэх хэрэгтэй - тэгш бус байдал бүрт нэг тэнхлэг. Гэсэн хэдий ч та цэгүүдийг зөв дарааллаар тэмдэглэх хэрэгтэй: илүү илүү их тоо, цаашид бид цэгийг баруун тийш шилжүүлэх болно.

Мөн энд тохиргоо биднийг хүлээж байна. Хэрэв бүх зүйл тодорхой байвал $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (эхний тоологч дахь нөхцөлүүд) бутархай нь секундын тоологчийн гишүүнээс бага тул нийлбэр нь мөн бага) $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ бас ямар ч бэрхшээл гарахгүй (эерэг тоо нь мэдээж илүү сөрөг), дараа нь сүүлийн хосын хувьд бүх зүйл тийм ч тодорхой биш байна. $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ эсвэл $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ аль нь илүү вэ? Тоон шугам дээрх цэгүүдийг байрлуулах, үнэн хэрэгтээ хариулт нь энэ асуултын хариултаас хамаарна.

Тиймээс харьцуулж үзье:

\[\begin(матриц) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\төгсгөл(матриц)\]

Бид үндсийг нь тусгаарласан, авсан сөрөг бус тоонуудтэгш бус байдлын хоёр талд байгаа тул бид хоёр талыг квадрат болгох эрхтэй.

\[\begin(матриц) ((\left(2+\sqrt(13) \баруун))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \баруун))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\төгсгөл(матриц)\]

Миний бодлоор $4\sqrt(13) \gt 3$, тиймээс $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, тэнхлэг дээрх эцсийн цэгүүдийг дараах байдлаар байрлуулна.

Муухай үндэстэй тохиолдол

Бид цуглуулгыг шийдэж байгаа тул хариулт нь сүүдэртэй багцуудын огтлолцол биш, нэгдэл байх болно гэдгийг сануулъя.

Хариулт: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Таны харж байгаагаар манай схем хоёуланд нь маш сайн ажилладаг энгийн даалгаварууд, мөн маш хэцүү хүмүүсийн хувьд. Цорын ганц зүйл" сул тал"Энэ хандлагын хувьд та үүнийг чадварлаг харьцуулах хэрэгтэй рационал тоо(мөн надад итгээрэй: энэ нь зөвхөн үндэс биш юм). Гэхдээ тусдаа (мөн маш ноцтой) хичээлийг харьцуулах асуудалд зориулах болно. Тэгээд бид цаашаа явна.

3. Сөрөг бус “сүүлтэй” тэгш бус байдал

Одоо бид хамгийн сонирхолтой хэсэг рүүгээ орлоо. Эдгээр нь хэлбэрийн тэгш бус байдал юм:

\[\зүүн| f\right| \gt\left| g\right|\]

Ерөнхийдөө бидний одоо ярих алгоритм нь зөвхөн модулийн хувьд зөв юм. Энэ нь баруун ба зүүн талд сөрөг бус илэрхийлэл байгаа бүх тэгш бус байдалд ажилладаг.

Эдгээр даалгавруудыг юу хийх вэ? Зүгээр л сана:

Сөрөг бус "сүүлтэй" тэгш бус байдлын хувьд хоёр талыг аль алинд нь өсгөж болно байгалийн зэрэг. Нэмэлт хязгаарлалт байхгүй болно.

Юуны өмнө бид квадрат болгох сонирхолтой байх болно - энэ нь модулиуд болон үндсийг шатаадаг:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \баруун))^(2))=f. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үүнийг квадратын үндсийг авах гэж бүү андуураарай:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Оюутан модуль суулгахаа мартсан үед тоо томшгүй олон алдаа гарсан! Гэхдээ энэ бол огт өөр түүх юм (ямар нэгэн иррационал тэгшитгэлүүд), тиймээс бид одоо энэ талаар ярихгүй. Хэд хэдэн асуудлыг илүү сайн шийдье:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \баруун|\]

Шийдэл. Хоёр зүйлийг нэн даруй анзааръя:

1. Энэ бол хатуу тэгш бус байдал биш юм. Тооны шугам дээрх цэгүүдийг цоолно.
2. Тэгш бус байдлын хоёр тал нь мэдээж сөрөг биш (энэ нь модулийн шинж чанар юм: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Тиймээс бид модулийг арилгаж, асуудлыг шийдэхийн тулд тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгож чадна ердийн аргаинтервал:

\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| x+2 \right| \баруун))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \баруун| \баруун)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \баруун))^(2))\ge ((\left(2x-1 \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн алхамд би бага зэрэг хуурсан: модулийн тэгш байдлыг ашиглан нэр томъёоны дарааллыг өөрчилсөн (үнэндээ би $1-2x$ илэрхийллийг −1-ээр үржүүлсэн).

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн(2х-1 \баруун))^(2))-((\зүүн(x+2 \баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ баруун)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(зохицуулах)\]

Бид интервалын аргыг ашиглан шийддэг. Тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(x-3 \баруун)\left(3x+1 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид олсон үндсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ. Дахин нэг удаа: анхны тэгш бус байдал нь хатуу биш учраас бүх цэгүүд сүүдэртэй байна!

Модулийн тэмдгээс ангижрах

Ялангуяа зөрүүд хүмүүст сануулъя: бид тэгшитгэл рүү шилжихээс өмнө бичигдсэн сүүлчийн тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг авдаг. Мөн бид ижил тэгш бус байдалд шаардлагатай газруудыг будна. Манай тохиолдолд $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ байна.

За одоо бүх зүйл дууслаа. Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \баруун|\]

Шийдэл. Бид бүгдийг адилхан хийдэг. Би тайлбар өгөхгүй - зүгээр л үйлдлүүдийн дарааллыг хараарай.

дөрвөлжин:

\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \баруун| \баруун))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \баруун)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \баруун)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)\le 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Интервалын арга:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(-2x-3 \баруун)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)=0 \\ & -2x-3=0\ Баруун сум x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Баруун сум D=16-40 \lt 0\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооны мөрөнд зөвхөн нэг үндэс байна:

Хариулт нь бүхэл бүтэн интервал юм

Хариулт: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

тухай бяцхан тэмдэглэл сүүлчийн даалгавар. Миний оюутнуудын нэг нь үнэн зөв тэмдэглэснээр дэд модуль хэллэгүүд хоёулаа энэ тэгш бус байдалэерэг байх нь тодорхой тул эрүүл мэндэд хор хөнөөл учруулахгүйгээр модулийн тэмдгийг орхиж болно.

Гэхдээ энэ бол огт өөр сэтгэлгээний түвшин, өөр хандлага юм - үүнийг үр дагаврын арга гэж нэрлэж болно. Энэ тухай - тусдаа хичээл дээр. Одоо өнөөдрийн хичээлийн эцсийн хэсэг рүү шилжиж, үргэлж ажилладаг бүх нийтийн алгоритмыг харцгаая. Өмнөх бүх аргууд хүчгүй байсан ч гэсэн.

4. Сонголтуудыг тоолох арга

Хэрэв эдгээр бүх аргууд тус болохгүй бол яах вэ? Хэрэв тэгш бус байдал буурахгүй бол сөрөг бус сүүл, хэрэв та модулийг тусгаарлаж чадахгүй бол өвдөлт, уйтгар гуниг, уйтгар гуниг байгаа юу?

Дараа нь бүх математикийн "хүнд их буу" гарч ирдэг - харгис хүчний арга. Модультай тэгш бус байдлын хувьд дараах байдалтай байна.

1. Бүх дэд модуль илэрхийллийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлэх;
2. Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, нэг тооны шулуун дээр олдсон үндсийг тэмдэглэ;
3. Шулуун шугамыг хэд хэдэн хэсэгт хуваах бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр нь тогтмол тэмдэгтэй тул өвөрмөц байдлаар илэрдэг;
4. Ийм хэсэг бүр дээрх тэгш бус байдлыг шийд (найдвартай байдлын үүднээс 2-р алхамд олж авсан үндэс-хязгаарыг тусад нь авч үзэх боломжтой). Үр дүнг нэгтгэх - энэ нь хариулт байх болно.

Тэгэхээр яаж? Сул уу? Амархан! Зөвхөн удаан хугацаанд. Практик дээр харцгаая:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| x+2 \баруун| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Шийдэл. Энэ новш нь $\left| шиг тэгш бус байдал руу буцдаггүй f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ эсвэл $\left| f\right| \lt \left| g \right|$ тул бид урагшлах болно.

Бид дэд модуль илэрхийлэлүүдийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлж, үндсийг нь олдог.

\[\эхлэх(эгцлэх) & x+2=0\Баруун сум x=-2; \\ & x-1=0\Баруун сум x=1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Нийтдээ бид тооны шугамыг гурван хэсэгт хуваадаг хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр өвөрмөц байдлаар илэрдэг.

Тооны шугамыг дэд модуль функцүүдийн тэгээр хуваах

Хэсэг бүрийг тусад нь авч үзье.

1. $x \lt -2$ гэж үзье. Дараа нь дэд модуль илэрхийлэл хоёулаа сөрөг байх ба анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -\зүүн(x+2 \баруун) \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид маш энгийн хязгаарлалттай болсон. Үүнийг $x \lt -2$ гэсэн анхны таамаглалаар огтолцгооё.

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\ \varnothing \]

Мэдээжийн хэрэг, $x$ хувьсагч нь −2-оос бага ба 1.5-аас их байж болохгүй. Энэ чиглэлээр ямар ч шийдэл байхгүй.

1.1. Хилийн тохиолдлыг тусад нь авч үзье: $x=-2$. Энэ тоог анхны тэгш бус байдалд орлуулаад шалгая: энэ үнэн үү?

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1.5 \баруун|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \лт 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооцооллын гинжин хэлхээ биднийг буруу тэгш бус байдалд хүргэсэн нь ойлгомжтой. Тиймээс анхны тэгш бус байдал нь мөн худал бөгөөд $x=-2$ хариултанд ороогүй болно.

2. Одоо $-2 \lt x \lt 1$ байя. Зүүн модуль нь "нэмэх" тэмдэгтэй нээгдэх боловч баруун тал нь "хасах" тэмдэгтэй нээгдэх болно. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин бид анхны шаардлагатай огтлолцож байна:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\ \varnothing \]

Дахин хэлэхэд −2.5-аас бага ба −2-оос их тоо байхгүй тул шийдлийн багц хоосон байна.

2.1. Бас дахин онцгой тохиолдол: $x=1$. Бид анхны тэгш бус байдлыг орлуулна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1.5 \баруун|)_(x=1)) \\ & \left| 3\баруун| \lt \left| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өмнөх "онцгой тохиолдол"-той адил $x=1$ тоог хариултанд оруулаагүй нь тодорхой.

3. Мөрийн сүүлчийн хэсэг: $x \gt 1$. Энд бүх модулиуд нэмэх тэмдгээр нээгдэнэ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \төгсгөл(зохицуулах)\ ]

Мөн бид дахин олсон олонлогийг анхны хязгаарлалттай огтолж байна:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\зүүн(4.5;+\infty \баруун)\ ]

Эцэст нь! Бид хариулт болох интервалыг олсон.

Хариулт: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Эцэст нь хэлэхэд, бодит асуудлыг шийдэхдээ таныг тэнэг алдаанаас аварч болох нэг тэмдэглэл:

Модуль бүхий тэгш бус байдлын шийдлүүд нь ихэвчлэн тооны шугам дээрх тасралтгүй олонлогуудыг илэрхийлдэг - интервал ба сегмент. Илүү бага түгээмэл тусгаарлагдсан цэгүүд. Түүнээс гадна шийдлийн хил (сегментийн төгсгөл) нь авч үзэж буй хүрээний хилтэй давхцах тохиолдол цөөнгүй тохиолддог.

Тиймээс, хэрэв хариултанд хил хязгаарыг (ижил "онцгой тохиолдлууд") оруулаагүй бол эдгээр хилийн зүүн ба баруун талд байгаа хэсгүүд бараг л хариултанд орохгүй. Мөн эсрэгээр: хил нь хариултанд орсон бөгөөд энэ нь түүний эргэн тойронд байгаа зарим хэсэг нь бас хариулт байх болно гэсэн үг юм.

Шийдлүүдээ хянахдаа үүнийг санаарай.

Энэ нийтлэл нь шийдлүүдэд зориулагдсан болно өөр өөр тэгшитгэлүүдболон тэгш бус байдлыг агуулсан
модулийн тэмдгийн дор хувьсагч.

Хэрэв та шалгалтанд модультай тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдалтай тулгарвал та үүнийг шийдэж болно
юу ч мэдэхгүй тусгай аргуудзөвхөн модулийн тодорхойлолтыг ашиглана. Энэ үнэн үү,
Энэ нь шалгалтын үнэ цэнэтэй цаг хагас цаг зарцуулж магадгүй юм.

Тийм ч учраас бид ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбаршуулсан техникүүдийн талаар танд хэлэхийг хүсч байна.

Юуны өмнө үүнийг санацгаая

Ингээд авч үзье Төрөл бүрийн төрөл модультай тэгшитгэл. (Бид дараа нь тэгш бус байдал руу шилжих болно.)

Зүүн талд модуль, баруун талд дугаар

Энэ бол хамгийн энгийн тохиолдол юм. Тэгшитгэлийг шийдье x 2 − 5x + 4| = 4.

Модулиуд нь дөрөвтэй тэнцүү хоёр л тоо байдаг. Эдгээр нь 4 ба -4 юм. Тиймээс тэгшитгэл
нь хоёр энгийн хослолтой тэнцүү байна:

x 2 − 5x+ 4 = 4 эсвэл x 2 − 5x + 4 = −4.

Хоёр дахь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй. Эхний шийдлүүд: x= 0 ба x = 5.

Хариулт: 0; 5.

Модуль доор болон гадна модулийн аль алинд нь хувьсагч

Энд бид модулийг тодорхойлолтоор нь өргөжүүлэх ёстой. . . эсвэл бод!

1. |2 − x| = 5 − 4x

Модулийн доорх илэрхийлэлийн тэмдгээс хамааран тэгшитгэл нь хоёр тохиолдолд хуваагдана.
Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хоёр системийн хослолтой тэнцэнэ.

Эхний системийн шийдэл: x= 1. Хоёр дахь систем нь шийдэлгүй.
Хариулт: 1.

2 . x 2 + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Эхний тохиолдол: x≥ 3. Модулийг устгана уу:

Тоо x 2, сөрөг байх нь нөхцөлийг хангахгүй x≥ 3 тул анхны тэгшитгэлийн үндэс биш.

Тоо нь энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье x 1 . Үүнийг хийхийн тулд бид ялгааг гаргаж, түүний тэмдгийг тодорхойлно.

гэсэн үг, x 1 нь гурваас их тул анхны тэгшитгэлийн үндэс болно

Хоёр дахь тохиолдол: x < 3. Снимаем модуль:

Тоо x 3 нь -ээс их, тиймээс нөхцөлийг хангахгүй x < 3. Проверим x 4:

гэсэн үг, x 4 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.

3. |2x 2 − 3x − 4| = 6x − 1.

Тодорхойлолтоор модулийг устгах уу? Ялгаварлан гадуурхагч нь яг дөрвөлжин биш учраас энэ тухай бодох ч аймшигтай. Дараахь бодлыг илүү сайн ашиглая: |A| хэлбэрийн тэгшитгэл = B нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна:

Үүнтэй ижил зүйл, гэхдээ арай өөр:

Өөрөөр хэлбэл, A = B ба A = −B гэсэн хоёр тэгшитгэлийг шийдэж, дараа нь B ≥ 0 нөхцөлийг хангасан язгууруудыг сонгоно.

Эхэлцгээе. Эхлээд бид эхний тэгшитгэлийг шийднэ:

Дараа нь бид хоёр дахь тэгшитгэлийг шийднэ.

Одоо тохиолдол бүрт бид баруун талын тэмдгийг шалгана:

Тиймээс тэдгээр нь зөвхөн тохиромжтой x 1 ба x 3 .

Орлуулахтай квадрат тэгшитгэл | x| = т

Тэгшитгэлийг шийдье: x 2 + 2|x| − 3 = 0.

Учир нь x 2 = |x| 2, солих нь тохиромжтой | x| = т. Бид авах:

Хариулт: ±1.

Модуль нь модультай тэнцүү

Бид |A| хэлбэрийн тэгшитгэлийн тухай ярьж байна = |B|. Энэ бол хувь заяаны бэлэг юм. Тодорхойлолтоор модулийг задруулахгүй! Энэ нь энгийн:

Жишээ нь тэгшитгэлийг авч үзье: |3 x 2 + 5x − 9| = |6x+ 15|. Энэ нь дараах багцтай тэнцүү байна.

Багцын тэгшитгэл бүрийг шийдэж, хариултыг бичихэд л үлддэг.

Хоёр ба түүнээс дээш модуль

Тэгшитгэлийг шийдье: | x − 1| − 2|x − 2| + 3|x − 3| = 4.

Модуль бүрийг тусад нь зовоохгүй, тодорхойлолтоор нь нээцгээе - хэтэрхий олон сонголт байх болно. Илүү олон бий оновчтой арга- интервалын арга.

Модулиудын доорх илэрхийллүүд цэг дээр алга болно x = 1, x= 2 ба x= 3. Эдгээр цэгүүд нь тооны шулууныг дөрвөн зайд (интервал) хуваадаг. Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэж, үүссэн интервал дээр модулиудын доор илэрхийлэл тус бүрийн тэмдгийг байрлуулцгаая. (Тэмдгийн дараалал нь тэгшитгэл дэх харгалзах модулиудын дараалалтай давхцаж байна.)

Тиймээс бид дөрвөн тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй - хэзээ xинтервал тус бүрт байрлана.

Тохиолдол 1: x≥ 3. Бүх модулиуд "нэмэх"-ээр хасагдсан:

Хүлээн авсан үнэ цэнэ x= 5 бол нөхцөлийг хангаж байна x≥ 3 тул анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Тохиолдол 2: 2 ≤ x≤ 3. Сүүлийн модулийг "хасах"-аар хаслаа:

Хүлээн авсан үнэ цэнэ xбас тохиромжтой - энэ нь авч үзэж буй интервалд хамаарна.

Тохиолдол 3: 1 ≤ x≤ 2. Хоёр ба гурав дахь модулийг "хасах"-аар хасна:

Бид аль ч тохиолдолд зөв тоон тэгшитгэлийг олж авсан xавч үзэж буй интервалаас эхлэн энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Тохиолдол 4: x ≤ 1 ≤ 1. Хоёр ба гурав дахь модулийг "хасах"-аар хасна:

Шинэ зүйл биш. Бид үүнийг аль хэдийн мэдэж байгаа x= 1 нь шийдэл юм.

Хариулт: ∪ (5).

Модуль доторх модуль

Тэгшитгэлийг шийдье: ||3 − x| − 2x + 1| = 4x − 10.

Бид дотоод модулийг нээж эхэлдэг.

1) x≤ 3. Бид дараахыг авна:

Модулийн доорх илэрхийлэл нь үед алга болно. Энэ цэгтухайн асуудалд хамаарна
хооронд. Тиймээс бид хоёр дэд зүйлд дүн шинжилгээ хийх ёстой.

1.1) Энэ тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ бол утга учир юм xЭнэ нь авч үзэж буй интервалд хамаарахгүй тул тохиромжгүй.

1.2). Дараа нь:

Энэ бол утга учир юм xбас тохиромжгүй.

Тийм үед x≤ 3 шийдэл байхгүй. Хоёр дахь тохиолдол руугаа орцгооё.

2) x≥ 3. Бидэнд:

Энд бид азтай байна: илэрхийлэл x+ 2 нь авч үзэж буй интервалд эерэг байна! Тиймээс, дахин дэд хэрэг байхгүй болно: модулийг "нэмэх" -ээр хасав:

Энэ бол утга учир юм xнь авч үзэж буй интервалд байгаа тул анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Бүх асуудал ингэж шийдэгддэг энэ төрлийн- дотоод модулиудаас эхлээд үүрлэсэн модулиудыг нэг нэгээр нь өргөжүүлнэ.

Модультай тэгш бус байдал

Энд зарчмын хувьд шинэ санаа гарахгүй. Бүгд шаардлагатай мэдлэгчи аль хэдийн эзэмшдэг. Тиймээс бид зөвхөн хоёр асуудлыг шинжлэх болно. Үлдсэнийг нь хичээл, гэрийн даалгавар дээр хийдэг.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x≥ 4. Бидэнд:

Үүссэн тэгш бус байдал нь авч үзсэн бүх хүмүүст хангагдана x≥ 4. Өөрөөр хэлбэл интервалаас бүх тоо .

3) . Бидэнд байгаа:

-аас хойш бүх утгууд xүүссэн интервалаас анхны тэгш бус байдлын шийдэл болно.

Энэ нь авч үзсэн гурван тохиолдолд олж авсан шийдлүүдийн багцыг нэгтгэх хэвээр байна.

2. |x 2 − 2x − 3| < 3x − 3.

Энэ бол В.В.Ткачукийн "Өргөдөл гаргагчдад зориулсан математик" номын 8-р хичээлийн онолын хэсгийн 6-р даалгавар юм. Зохиогч үүнийг интервалын аргыг ашиглан шийддэг. Зохиогчийн шийдлийг шалгахаа мартуузай!

Энд байгаа интервалын арга нь модулийн дор квадрат гурвалсан үндэс нь бүхэл тоо байдаг тул маш өвдөлтгүй гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв ялгаварлагч нь яг дөрвөлжин биш бол яах вэ? Жишээлбэл, −3 модулийг −5 гэж солино. Дараа нь тооцооллын ажлын хэмжээ мэдэгдэхүйц нэмэгдэх болно.

Бид танд энэ асуудлыг шийдэх өөр нэг арга замыг харуулах болно, энэ нь ялгаварлан гадуурхагчийн тэнэглэлээс үл хамаарна.

Бидний тэгш бус байдал |A| хэлбэртэй байна< B. Очевидны следующие утверждения.

Хэрэв B ≤ 0 бол тэгш бус байдал шийдэлгүй болно.

Хэрэв B > 0 бол тэгш бус байдал нь −B давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна< A < B или, что то же самое, системе

Өөрөөр хэлбэл, бид өгөгдсөн системийн шийдүүдийн олонлогийг B > 0 тэгш бус байдлын шийдүүдийн олонлогтой огтлолцохыг авч, өөрөөр хэлбэл системийг шийднэ.

Бидний асуудалд бид:

Эдгээр тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багцыг зураг дээр дүрсэлцгээе. Эхний (давхар) тэгш бус байдлын шийдлийг хар өнгөөр ​​харуулсан; ногоон өнгө- цогц шийдэл; Цэнхэр өнгө- системийн сүүлчийн тэгш бус байдлын шийдлүүд.

Системийн шийдэл нь эдгээр олонлогуудын огтлолцол, өөрөөр хэлбэл дээр нь бүх шугам байдаг олонлог юм. гурван өнгө. Энэ нь сүүдэртэй.