"Хавтгай дүрс ба гурван хэмжээст бие" сэдвээр математикийн хичээлийн төлөвлөгөө боловсруулах (3-р анги). "Хавтгай ба эзэлхүүнтэй геометрийн биетүүд" сэдвээр математикийн хичээл

Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байх болно). Магистр бичиг үсэгтэй ба хурдан технологиашиглан графикийг хийж болно сургалтын материалГрафикийн геометрийн хувиргалт. Гэхдээ үнэндээ би зургийн ач холбогдлын талаар хэд хэдэн удаа хичээл дээр ярьж байсан.

Ерөнхийдөө дотор интеграл тооцооашиглаж байгаа олон сонирхолтой програмууд байдаг тодорхой интегралТа дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, эргэлтийн гадаргуугийн талбай болон бусад олон зүйлийг тооцоолж болно. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Хавтгай дүрс байна гэж төсөөлөөд үз дээ координатын хавтгай. Танилцуулсан уу? ... Хэн юу бэлэглэсэн юм бол... =))) Бид аль хэдийн талбайг нь олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ тооТа мөн хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно:

- абсцисса тэнхлэгийн эргэн тойронд;
– ордны тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёр тохиолдлыг авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой байдаг, энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж очно дүрсийн талбайг олох асуудал, мөн би тэнхлэгийн дагуу хоёр дахь аргаар талбайг хэрхэн олохыг танд хэлье. Материал нь сэдэвт сайн нийцэж байгаа тул энэ нь урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Жишээ 1

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Талбайг олох асуудлын нэгэн адил, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлдэг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай бөгөөд тэгшитгэл нь тэнхлэгийг зааж өгдөг гэдгийг мартаж болохгүй. Зургийг хэрхэн илүү үр дүнтэй, хурдан дуусгах талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанаруудТэгээд Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Энэ бол Хятадын сануулга, цаашлаад энэ мөчидБи дахиж зогсохгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрс нь тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлддэг, үр дүн нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номонд байгаа зүйлийг тодруулахаас залхуурсан тул бид цаашаа явлаа.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

Томъёонд интегралын өмнө тоо байх ёстой. Ийм зүйл тохиолдсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

Дууссан зургаас "a" болон "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгайн дүрс нь дээд талд байгаа параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

IN практик даалгавархавтгай дүрс нь заримдаа тэнхлэгийн доор байрлаж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь интеграл нь квадрат: , тэгэхээр интеграл нь үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь маш логик юм.

Биеийн эргэлтийн эзлэхүүнийг ашиглан тооцоолъё энэ томъёо:

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултдаа та хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад куб гэж нэгж? Учир нь ихэнх нь бүх нийтийн томъёолол. Байж магадгүй шоо см, байж болно шоо метр, магадгүй шоо километр гэх мэт, таны төсөөллөөр нисдэг таваганд хичнээн жижиг ногоон эрчүүд хийж чадах вэ.

Жишээ 2

Биеийн эзэлхүүнийг ол, эргэлтээр бий болсонЗургийн тэнхлэгийг тойруулан, шугамаар хүрээлэгдсэн, ,

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Дахиад хоёрыг авч үзье нарийн төвөгтэй даалгавар, энэ нь практикт бас ихэвчлэн тохиолддог.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр , , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байна. Тэнхлэгээ тойрон эргэвэл дөрвөн булантай сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Дугуйлсан зургийг анхаарч үзээрэй ногоон. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ нь сонин байна энэ тохиолдолдашиглан шийдлийг шалгаж болно сургуулийн томъёотаслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох.

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Одоо жаахан амарч, геометрийн хуурмаг байдлын талаар танд хэлье.

Хүмүүс ихэвчлэн ботьтой холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг бөгөөд үүнийг Перелман (өөр) номонд анзаарсан байдаг Хөгжилтэй геометр . Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 талбайтай өрөөнд тэнцэх хэмжээний шингэн уудаг. квадрат метр, энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээ юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд хэвлэгдсэн ижил ном нь хошин шогийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, эхийг нь хайж олохыг зааж өгдөг. стандарт бус шийдлүүдасуудлууд. Би саяхан зарим бүлгийг маш их сонирхон дахин уншсан, би үүнийг санал болгож байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй юм. Үгүй ээ, надад чөлөөт цаг, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээг санал болгож байна гэж инээмсэглэх шаардлагагүй.

Дараа нь уянгын хазайлтшийдэх нь зөв бүтээлч даалгавар:

Жишээ 4

, , шугамаар хязгаарлагдах хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Бүх тохиолдлууд нь хамтлагт тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл, нэгтгэх бэлэн хязгаар нь үнэндээ өгсөн байна. Тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурж, хичээлийн материалыг танд сануулъя графикийн геометрийн хувиргалт: хэрэв аргумент хоёр хуваагдвал: , дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олохыг зөвлөж байна тригонометрийн хүснэгтийн дагуузургийг илүү нарийвчлалтай дуусгах. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. Ординат тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох ажил нь бас нэлээд байнгын зочин юм. туршилтууд. Замдаа үүнийг анхаарч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудалХоёрдахь арга нь тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх бөгөөд энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийн замыг олоход тань туслах болно. Үүнд бас практик тал бий. амьдралын утга учир! Математик заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид түүнд талархал илэрхийлэв. үр дүнтэй менежерүүдмөн ажилтнуудаа оновчтой удирдах." Энэ завшааныг ашиглан би түүнд маш их баярлаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ ашиглаж байгаадаа шууд зорилго =).

Би үүнийг хүн бүрт, бүр бүрэн дамми хүртэл зөвлөж байна. Түүнчлэн, хоёр дахь догол мөрөнд сурсан материал нь давхар интегралыг тооцоолоход үнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно..

Жишээ 5

Хавтгай дүрс өгсөн шугамаар хязгаарлагдсан , , .

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь цэгийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд Заавалэхнийхийг нь унш!

Шийдэл: Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зураг зурцгаая:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг зааж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талдаа" байдаг өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, олох гэж буй хэсэг нь цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн байна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг ангид хэлэлцсэн "ердийн" аргаар олж болно Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Түүнчлэн, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.
- сегмент дээр ;
- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд юу нь муу вэ? ердийн аргашийдлүүд? Нэгдүгээрт, бид хоёр интеграл авсан. Хоёрдугаарт, интеграл нь үндэс бөгөөд интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш бөгөөд үүнээс гадна та интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг алуурчин биш, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байж магадгүй тул би асуудлын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгосон.

Илүү олон бий оновчтой аргашийдлүүд: энэ нь шилжихээс бүрдэнэ урвуу функцуудболон тэнхлэгийн дагуух интеграци.

Урвуу функцууд руу хэрхэн орох вэ? Товчоор хэлбэл, та "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг харцгаая.

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод салбараас гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар энэ нь илүү хялбар байдаг:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Энэ тохиолдолд сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зүгээр л захидал, өөр юу ч биш.

! Анхаарна уу: Тэнхлэгийн дагуух интеграцийн хязгаарыг тогтоох хэрэгтэй хатуу доороос дээш!

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцийг хэрхэн гүйцэтгэсэн болохыг анхаарна уу, энэ бол хамгийн их юм оновчтой арга, мөн даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад байгаа нь тодорхой болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интеграл функцийг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно:

Тиймээс цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үр дүн нь тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "хөлөөх эрвээхэй" юм.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйний эзэлхүүн зөрүүтэй тэнцүү байнаботь

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөр дэх томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн захидалд.

Гэхдээ миний саяхан ярьсан интеграцийн давуу талыг олоход илүү хялбар байдаг , эхлээд интегралыг 4-р зэрэглэлд хүргэхээс илүү.

Хариулт:

Гэсэн хэдий ч өвчтэй эрвээхэй биш.

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл та огт өөр эргэлттэй, өөр эзэлхүүнтэй биеийг олж авах болно гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 6

Шугаман болон тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Урвуу функцууд руу орж, хувьсагч дээр нэгтгэх замаар эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Сонирхсон хүмүүс зургийн талбайг "ердийн" аргаар олж, 1) цэгийг шалгаж болно. Гэхдээ давтан хэлэхэд, хэрэв та тэнхлэгийн эргэн тойронд хавтгай дүрсийг эргүүлбэл, та өөр эзэлхүүнтэй огт өөр эргэлтийн биеийг авах болно, дашрамд хэлэхэд, зөв ​​хариулт (мөн асуудлыг шийдэх дуртай хүмүүст).

Даалгаврын санал болгож буй хоёр цэгийн бүрэн шийдэл нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Тийм ээ, эргэлтийн бие болон интеграцийн хязгаарыг ойлгохын тулд толгойгоо баруун тийш хазайхаа бүү мартаарай!

Эзлэхүүн биетүүд. Эргэн тойрноо харвал та хаа сайгүй гурван хэмжээст биетүүдийг олох болно. Эдгээр нь урт, өргөн, өндөр гэсэн гурван хэмжээс бүхий геометрийн хэлбэрүүд юм. Жишээлбэл, олон давхар байшинг төсөөлөхөд "Энэ байшин гурван орцтой, хоёр цонхны өргөн, зургаан давхар өндөр" гэж хэлэхэд хангалттай. Танд танигдсан бага сургууль куб хэлбэртэйба шоо нь гурван хэмжээсээр бүрэн дүрслэгдсэн байдаг. Бидний эргэн тойрон дахь бүх объектууд гурван хэмжээстэй байдаг ч тэдгээрийг бүгдийг нь урт, өргөн, өндөр гэж нэрлэж болохгүй. Жишээлбэл, модны хувьд бид зөвхөн өндрийг, олсны хувьд - урт, нүхний хувьд - гүнийг зааж өгч болно. Тэгээд бөмбөгний хувьд? Энэ нь бас гурван хэмжээстэй юу? Хэрэв дотор нь шоо эсвэл бөмбөг байрлуулж болох юм бол бие нь гурван хэмжээст (эзэлхүүнтэй) байдаг гэж бид хэлдэг.

Танилцуулга бүхий архивын хэмжээ 1207 KB байна.

бусад илтгэлүүд "Эргэлтийн геометрийн биетүүд" - Дүрслэл.Практик хэсэг . Ажилбүтээлч бүлэг . Онолын давталт. Хүмүүсбүтээлч мэргэжлүүд . Туршлага солилцох. Урам зориг.Зохион байгуулалтын мөч . Сурах цорын ганц арга бол хөгжилтэй байх явдал юм. Геометрийн хатуу биетүүдийн музей. Шинжлэх ухаанд өөрийгөө зориулсан хүмүүс. Бие махбод. Шинжлэх ухааны хүмүүс ажиллаж байна. Нэгэн мэргэн алхаж байв. Дүгнэж байна.Цилиндр гадаргуу

. Ажил мэргэжлийн хүмүүс. Оюутнуудын мэдлэг. Эргэлтийн биетүүд. Үндсэн мэдлэг. "Гурван перпендикулярын теорем" - Цэг. Шугамын перпендикуляр байдал. Бодож байна. Гурван перпендикулярын теорем. Параллелограммын хавтгайд перпендикуляр. Шулуун. Хөл. Перпендикуляр. Теорем. Диагональуудын огтлолцол. Сегмент. Гурвалжны хавтгайд перпендикуляр. Ромбын тал. Гурвалжны талууд. Зай. Шугамануудын перпендикуляр. Бодоод үз дээ. MA сегмент. Барилгын даалгавар. Баталгаа.Эсрэг теорем

. TTP ашиглах даалгавар. “Бөмбөлөг талбай” - Бөмбөгний диаметр (d=2R). Радиуснь бөмбөгний радиус юм. Layer=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. Сегментийн өндөр (h). Радиустай бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай. Сегментийн суурь. Vsh. салбарууд = 2/3PR2цаг. Бөмбөрцгийн төв (C). Бөмбөгний хэмжээ бөмбөг сегментба бөмбөрцөг давхарга. Эхнийх нь талбайг радиусаар илэрхийлнэ. удаа илүү их талбайтом тойргийн гадаргуу. , мөн бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай 4РR2 байна. бөмбөгийг дүрсэлсэн байна. Бөмбөрцгийн эзэлхүүн 288 байна.

"Олон талт ертөнцөд" - Олон талт. Кубын дээд хэсэг. Олон талт ертөнц. Кеплер-Пуинсотын бие. Математик. Хааны булш. Эйлерийн шинж чанар. Тетраэдр. Геометр. Фарос гэрэлт цамхаг. Гүдгэр олон талт. Архимедийн бие. Урлагт олон талт. Гал. Одтой додекаэдр. Магнус Веннингер. Эйлерийн теорем. Александрийн гэрэлт цамхаг. Ердийн олон талт. Таван гүдгэр ердийн олон талт. Зарим олон талтуудын хөгжил.

"Гүн ухаантан Пифагор" - Хөгжмийн үндсийг мэддэг. "Гүн ухаантан" гэдэг үг. Амьдрал ба шинжлэх ухааны нээлтүүдПифагор. Пифагор Персийн илбэчидтэй уулзав. Математик. Нислэгийн чиглэл. Уриа. Египетийн сүм хийдүүд. Бодлоо. Үүсгэн байгуулагч орчин үеийн математик. Үнэн. Үхэшгүй санаа. Мнесархус. Пифагор.

“Координат дахь асуудал” - А вектор координаттай бол уртыг ол: (-5; -1; 7). Координатын хамгийн энгийн асуудлууд. Векторуудын цэгийн үржвэр. Вектор AB. Асуудлыг шийдвэрлэх: (карт ашиглах). Векторын уртыг координатаас нь хэрхэн тооцоолох вэ. Хичээлийн зорилго. Юу гэж нэрлэдэг вэ скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд. А ба В цэгүүдийн хоорондох зай. Вектор А нь координаттай (-3; 3; 1). M - AB сегментийн дунд хэсэг. Хичээлийн төлөвлөгөө. Сегментийн дунд цэгийн координатыг хэрхэн олох вэ.

Геометрийн эзэлхүүн үзүүлэлтүүд нь хатуу бодис, Евклидийн (гурван хэмжээст) орон зайд тэгээс өөр эзэлхүүнийг эзэлдэг. Эдгээр тоонуудыг "орон зайн геометр" хэмээх математикийн салбар судалдаг. Гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг инженерчлэл, байгалийн шинжлэх ухаанд ашигладаг. Нийтлэлд бид геометрийн гурван хэмжээст дүрс, тэдгээрийн нэрсийн талаархи асуултыг авч үзэх болно.

Геометрийн хатуу биетүүд

Эдгээр бие нь орон зайн гурван чиглэлд хязгаарлагдмал хэмжээстэй байдаг тул тэдгээрийг геометрт дүрслэхдээ гурвын системийг ашигладаг. координатын тэнхлэгүүд. Эдгээр тэнхлэгүүд байна дараах шинж чанарууд:

1. Тэд хоорондоо ортогональ, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр байдаг.
2. Эдгээр тэнхлэгүүдийг хэвийн болгосон тул тэнхлэг бүрийн суурь векторууд ижил урттай байна.
3. Координатын тэнхлэгүүдийн аль нэг нь үр дүн юм вектор бүтээгдэхүүнөөр хоёр.

Геометрийн тухай ярьж байна эзэлхүүний тооболон тэдний нэрс, тэд бүгд 2 том ангийн аль нэгэнд багтдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

1. Олон өнцөгтийн ангилал. Ангийн нэр дээр үндэслэсэн эдгээр дүрсүүд нь шулуун ирмэгтэй, хавтгай нүүртэй байдаг. Нүүр бол хэлбэр дүрсийг хязгаарладаг хавтгай юм. Хоёр нүүр нийлэх цэгийг ирмэг, гурван нүүр нийлэх цэгийг орой гэнэ. Полиэдрүүд нь куб, тетраэдр, призм, пирамид зэрэг геометрийн дүрсийг агуулдаг. Эдгээр тоонуудын хувьд Эйлерийн теорем хүчинтэй бөгөөд энэ нь олон өнцөгт бүрийн талуудын тоо (C), ирмэг (P) ба оройнуудын (B) хоорондын холбоог тогтоодог. Математикийн хувьд энэ теоремыг дараах байдлаар бичнэ: C + B = P + 2.
2. Дугуй биетүүдийн ангилал буюу хувьсгалын биетүүд. Эдгээр тоонууд нь муруй хэлбэртэй дор хаяж нэг гадаргуутай байдаг. Жишээлбэл, бөмбөг, конус, цилиндр, торус.

Эзлэхүүний тоонуудын шинж чанарын хувьд тэдгээрийн хамгийн чухал хоёрыг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

1. Орон зайд дүрс эзэлдэг тодорхой эзэлхүүн байгаа эсэх.
2. Гурван хэмжээст дүрс бүрийн оршихуй

Зураг тус бүрийн шинж чанарыг тодорхой математикийн томъёогоор дүрсэлсэн болно.

Хамгийн энгийн геометрийн эзэлхүүн дүрс, тэдгээрийн нэрсийг доор авч үзье: шоо, пирамид, призм, тетраэдр, бөмбөг.

Шоо зураг: тайлбар

Геометрийн шоо нь 6 дөрвөлжин хавтгай буюу гадаргуугаас үүссэн гурван хэмжээст бие юм. Энэ дүрсийг 6 талтай, эсвэл 3 хосоос бүрддэг тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэдэг тул ердийн зургаан өнцөгт гэж нэрлэдэг. зэрэгцээ талууд, тэдгээр нь харилцан перпендикуляр байдаг. Тэд үүнийг дөрвөлжин суурьтай, өндөр нь суурийн талтай тэнцүү куб гэж нэрлэдэг.

Куб нь олон өнцөгт эсвэл олон талт хэлбэртэй тул Эйлерийн теоремыг ашиглан түүний ирмэгийн тоог тодорхойлж болно. Хажуугийн тоо нь 6, шоо нь 8 оройтой гэдгийг мэдвэл ирмэгийн тоо нь: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Хэрэв бид шоо дөрвөлжин талын уртыг “a” үсгээр тэмдэглэвэл түүний эзэлхүүн ба гадаргуугийн томьёо нь V = a 3 ба S = 6 * a 2 болно.

Пирамид дүрс

Пирамид гэдэг нь энгийн олон өнцөгт (пирамидын суурь) ба суурьтай холбогддог гурвалжнуудаас бүрдэх олон өнцөгт бөгөөд нэг хэлбэртэй байдаг. нийтлэг дээд(пирамидын дээд хэсэг). Гурвалжнуудыг пирамидын хажуугийн нүүр гэж нэрлэдэг.

Пирамидын геометрийн шинж чанар нь түүний суурь дээр аль олон өнцөгт байрлаж байгаагаас гадна пирамид нь шулуун эсвэл ташуу эсэхээс хамаарна. Шулуун пирамид гэдэг нь пирамидын оройг дундуур нь татсан суурьтай перпендикуляр шулуун шугам суурьтай огтлолцдог пирамид гэж ойлгогддог. геометрийн төв.

Нэг энгийн пирамидууднь дөрвөлжин шулуун пирамид бөгөөд түүний ёроолд "а" талтай дөрвөлжин байрладаг бөгөөд энэ пирамидын өндөр нь "h" юм. Энэ пирамидын дүрсийн хувьд эзлэхүүн ба гадаргуугийн талбай тэнцүү байх болно: V = a 2 *h/3 ба S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 тус тус. Нүүрний тоо 5, оройн тоо 5 байна гэдгийг харгалзан үзэхийн тулд бид ирмэгийн тоог олж авна: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Тетраэдр дүрс: тайлбар

Геометрийн дүрсийг тетраэдрон гэдэг нь 4 нүүрнээс бүрдсэн гурван хэмжээст биет гэж ойлгогддог. Орон зайн шинж чанарт үндэслэн ийм нүүр царай нь зөвхөн гурвалжинг төлөөлөх боломжтой. Тиймээс тетраэдр бол пирамидын онцгой тохиолдол бөгөөд түүний суурь дээр гурвалжин байдаг.

Хэрэв тетраэдрийн нүүрийг бүрдүүлдэг 4 гурвалжин бүгд ижил талт бөгөөд бие биетэйгээ тэнцүү бол ийм тетраэдрийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Энэ тетраэдр нь 4 нүүр, 4 оройтой, ирмэгийн тоо нь 4 + 4 - 2 = 6. Ашиглах стандарт томъёоТухайн зургийн хавтгай геометрээс бид дараахь зүйлийг олж авна: V = a 3 * √2/12 ба S = √3*a 2, энд a нь тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт юм.

Байгаль дээр зарим молекулууд ийм хэлбэртэй байдаг нь сонирхолтой юм ердийн тетраэдр. Жишээлбэл, метан молекул CH 4, устөрөгчийн атомууд нь тетраэдрийн орой дээр байрладаг бөгөөд нүүрстөрөгчийн атомтай ковалентаар холбогддог. химийн холбоо. Нүүрстөрөгчийн атом нь тетраэдрийн геометрийн төвд байрладаг.

Үйлдвэрлэхэд хялбар тетраэдр хэлбэрийг инженерийн салбарт ч ашигладаг. Жишээлбэл, тетраэдр хэлбэрийг хөлөг онгоцны зангуу үйлдвэрлэхэд ашигладаг. Үүнийг анхаарна уу сансрын датчик 1997 оны 7-р сарын 4-нд Ангараг гарагийн гадаргуу дээр газардсан НАСА-гийн Ангараг Патфиндер мөн л тетраэдр хэлбэртэй байжээ.

Призмийн дүрс

Энэ геометрийн дүрсХоёр олон өнцөгтийг авч, тэдгээрийг огторгуйн янз бүрийн хавтгайд параллель байрлуулж, тэдгээрийн оройг бие биетэйгээ уялдуулан холбох замаар олж авч болно. Үр дүн нь призм болох бөгөөд хоёр олон талтыг түүний суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр полиэдрүүдийг холбосон гадаргуу нь параллелограмм хэлбэртэй болно. Призмийг шулуун гэж нэрлэдэг талууд(параллелограмм) нь тэгш өнцөгт юм.

Призм бол олон өнцөгт тул Эйлерийн теорем нь үнэн юм. Жишээлбэл, призмийн суурь дээр зургаан өнцөгт байрладаг бол призмийн талуудын тоо 8, оройн тоо нь 12. Ирмэгүүдийн тоо нь дараахтай тэнцүү байх болно: P = 8 + 12 - 2 = 18. Сууриндаа а талтай хэвийн зургаан өнцөгт байрлах h өндөртэй шулуун призмийн хувьд эзлэхүүн нь: V = a 2 *h*√3/4, гадаргуугийн талбай тэнцүү: S = 3*a*(a) *√3 + 2*ц).

Энгийн геометрийн эзэлхүүн дүрс, тэдгээрийн нэрсийн талаар ярихдаа бөмбөгийг дурдах хэрэгтэй. Бөмбөлөг гэж нэрлэгддэг эзэлхүүнтэй биеийг бөмбөрцөгөөр хязгаарлагдсан бие гэж ойлгодог. Хариуд нь бөмбөрцөг нь нэг цэгээс ижил зайд байрлах орон зайн цэгүүдийн цуглуулга бөгөөд үүнийг бөмбөрцгийн төв гэж нэрлэдэг.

Бөмбөг нь дугуй биетүүдийн ангилалд багтдаг тул түүний тал, ирмэг, оройн тухай ойлголт байдаггүй. Бөмбөгийг хүрээлж буй бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг S = 4 * pi * r 2 томъёогоор олдог бөгөөд бөмбөгний эзэлхүүнийг V = 4 * pi * r 3 / 3 томъёогоор тооцоолж болно. Энд pi нь pi тоо (3.14), r нь бөмбөрцгийн (бөмбөг) радиус юм.

Эзлэхүүн биетүүдийг компьютерт авч болно янз бүрийн аргаар. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг арга бол үндсэн биетүүдийг холбох явдал юм.  

Дээр дурдсан багцын эзэлхүүний бие нь мэдээжийн хэрэг төгс схем юм.  

Энэхүү эзэлхүүний бие нь хэсэг гэж нэрлэгддэг хэсгүүдээс бүрдэнэ. Эхний хэсэг нь зэргэлдээх изо-гипсээр дамжин өнгөрч буй хоёр зэргэлдээ түвшний онгоцны хооронд бэхлэгдсэн бөгөөд таслагдсан эллипс конус хэлбэртэй байна. Ийм хэсгүүдээс бүрдсэн эзэлхүүний бие нь үйлчилдэг геометрийн загварусан сангийн давхарга. Бид энэ эзэлхүүний биеийг хийн дүүргэлтийн конус эллипс загвар (CG загвар) гэж нэрлэх болно, энэ нь объектын эзэлхүүний изоморф болж хувирах байдлаар бүтээгдсэн байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. Загварын хэсэг ба усан сангийн харгалзах хэсгийн эзэлхүүн ижил байхаар.  

Хавтгайд байрлах тэнхлэгийн эргэн тойронд А хавтгай талбайг эргүүлснээр эзэлхүүнтэй бие үүссэн бол түүнийг огтолцоогүй цагираг хэлбэртэй болно. Ийм бөгжийг утсаар ороож, эргэлт нь цагирагийн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд байрладаг; Дараа нь утасны давхаргын одоогийн функц нь φ (1 / 2π) π &-тэй тэнцүү байх болно, энд π байна. бүтэн тооэргэх бол там бол цагирагийн тэнхлэгийг тойрон хэмжсэн азимутын өнцөг юм.  

Энэхүү схемийн дагуу тональ байдлаар шийдэгдсэн эзэлхүүний биетүүдийн загварыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.5.4. Хэдийгээр алгоритм нь унах сүүдрийг харгалздаггүй ч нүүр нь аль нэг ортогональ чиглэлтэй хавтгайн системд хамаарах нь тодорхой болсон тул зургийн ерөнхий илэрхийлэл нэлээд өндөр хэвээр байна. Хэрэв дээр дурдсан гурван хэсгийг зураг дээр дүрсэлсэн бол өөр өөр өнгө, тэгвэл үр нөлөө нь бүр ч их байх болно. Физик загварийм график шийдэлЗурагт үзүүлэв. 1.5.5. Энэ нь объектыг гурван эх үүсвэрээр гэрэлтүүлэх зарчим дээр суурилдаг өөр өөр өнгө, ортогональ хавтгайн батлагдсан системийн дагуу байрладаг.  

Одоо байгаа хатуу биетийн хувьд хязгаарлагдмал элементийн төрөл, материалыг зааж өгөх шинж чанаруудыг тохируулна уу.  

Эзлэхүүний биетийн хувьд энэ процедурыг гурван удаа хийх ёстой. Хүндийн төв нь биеийн дотор болон гадна байж болно, жишээлбэл, зузаан нэгэн төрлийн утсаар хийсэн хагас цагираг нь биеийн гаднах хүндийн төвтэй байдаг;  

Гурван хэмжээст биеийг дүрслэхдээ оюутнууд харанхуй дэвсгэр дээр цайвар дүрс үүсгэх замаар гүн харуулах аргыг ихэвчлэн ашигладаг. Заримдаа энэ арга нь эзэлхүүн-орон зайн хэлбэрийн мөн чанарын талаар буруу ойлголттой болоход хүргэдэг. Энэ тохиолдолд зураг нь бодит хэлбэрийн ойлголтын шинж чанартай тохирч байна.  

Эзлэхүүний биеийн хүндийн төвийг тодорхойлох нь тэгш хэмийн хавтгай ба тэнхлэгийн тухай ойлголттой холбоотой юм. Тэгш хэмийн хавтгай гэдэг нь тухайн биеийг хэмжээ, хэлбэрийн хувьд бүрэн ижил хоёр хэсэгт хуваадаг хавтгай юм. Ийм учраас тэгш хэмтэй биеийн хүндийн төв нь тэгш хэмийн хавтгайд байрладаг.