Arti i përgjigjet pyetjes suaj. 152.1 Kodi Civil i Federatës Ruse:
1. Zbulimi dhe përdorimi i mëtejshëm i imazhit të një qytetari (përfshirë fotografinë e tij, si dhe video incizimet ose veprat e artit figurativ në të cilat ai paraqitet) lejohen vetëm me pëlqimin e këtij shtetasi. Pas vdekjes së një qytetari, imazhi i tij mund të përdoret vetëm me pëlqimin e fëmijëve dhe bashkëshortit pasjetues dhe në mungesë të tyre, me pëlqimin e prindërve.
Një pëlqim i tillë nuk kërkohet në rastet kur:
1) përdorimi i imazhit kryhet për interesa shtetërore, publike ose të tjera publike;
2) imazhi i një qytetari është marrë gjatë xhirimeve, të cilat kryhen në vende të hapura për publikun ose në ngjarje publike(takime, konventa, konferenca, koncerte, shfaqje, gara sportive dhe ngjarje të ngjashme), me përjashtim të rasteve kur një imazh i tillë është objekti kryesor i përdorimit;
3) qytetari ka pozuar për një tarifë.
2. Të prodhuara me qëllim të futjes në qarkullim civil, si dhe kopje të mediave materiale në qarkullim që përmbajnë imazhin e një qytetari, të marra ose të përdorura në kundërshtim me paragrafin 1. të këtij neni, subjekt i vendim gjykate tërheqja nga qarkullimi dhe asgjësimi pa asnjë kompensim.
3. Nëse një imazh i një qytetari, i marrë ose i përdorur në kundërshtim me pikën 1 të këtij neni, shpërndahet në internet, qytetari ka të drejtë të kërkojë heqjen e këtij imazhi, si dhe shtypjen ose ndalimin e tij të mëtejshëm. shpërndarja.
Situata këtu kërkon pak njohuri juridike as nga ju, por nga gjyqtari. Siç mund ta shihni, ka paragrafë të parë dhe të katërt që ju mbrojnë nga lloje te ndryshme angazhohet nëse nuk dëshironi. Në të njëjtën kohë, ekziston një paragraf i dytë që ka një interpretim shumë të gjerë, si rezultat i të cilit rezulton se ju mund të regjistroheni në të vërtetë në 90% të vendeve. POR! Ju duhet të kuptoni se ligjvënësi e prezantoi këtë paragraf përjashtimi në mënyrë specifike për të vendet e specifikuara U bë e mundur kryerja e vëzhgimit me video për të regjistruar shkelje të mundshme.
Nëse konkretisht për filmimin e njerëzve, pa publikim, atëherë sipas ligjit këtu zbatohet paragrafi 2: “imazhi i një qytetari është marrë gjatë xhirimeve, të cilat kryhen në vende të hapura për publikun, ose në ngjarje publike, përveç për rastet kur një imazh i tillë është objekti kryesor i përdorimit”. Domethënë, pjesa ku thotë "përveç rasteve kur një imazh i tillë është objekti kryesor i përdorimit" - dmth nëse jeni duke filmuar në një vend publik vetë vendin publik dhe një person është në kuadër, atëherë ai nuk mund të ketë çdo pretendim kundër jush, por nëse jeni duke filmuar kryesisht një person në një vend publik, atëherë kjo tashmë është e paligjshme. Një ekspert mund të përcaktojë se çfarë saktësisht po filmoni.
>përdorimi i imazhit kryhet për interesa shtetërore, publike ose të tjera publike;
Çështja është plotësisht e paqartë. Këtu është kërkesa ime specifike: një person pi duhan në hyrje, dhe ai jeton në këtë hyrje. Kjo është e ndaluar me nenin administrativ, prandaj ai po shkel. Këtë shkelje mund ta vërtetoj vetëm me materiale fotografike: është e logjikshme që në momentin që oficeri i policisë lokale që thirra të arrijë në hyrje, duhanpirësi të ketë mbaruar së piri duhan dhe të shkojë në shtëpi. A mund t'i bëj një foto ndërsa ai pi duhan? A është e ligjshme apo e paligjshme të bëhet kjo? Duke gjykuar nga këto pika, jo. Pra, çfarë atëherë?
TEOREMA THEMELORE E ALGJEBRËS Teorema që çdo polinom i shkallës n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, ku a0 / 0, mbi fushën e numrave kompleks ka të paktën një rrënjë z1. , pra f(z1)=0. Nga O.T.A. dhe nga teorema e Bezout del se polinomi f(z) ka saktësisht n rrënjë në fushën e numrave kompleksë (duke marrë parasysh shumëzimet e tyre). Në të vërtetë, sipas teoremës së Bezout, f(z) pjesëtohet me z – z1 (pa mbetje), d.m.th. f(z) = f1(z)(z – z1), dhe rrjedhimisht polinomi f1(z) i shkallës (n – 1) sipas O.T.A. gjithashtu ka një rrënjë z2, etj. Në fund do të arrijmë në përfundimin se f(z) ka saktësisht n rrënjë: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. i quajtur kështu sepse përmbajtja kryesore e algjebrës në shekujt 17-18. zbriti në zgjidhjen e ekuacioneve.
O.T.A. u vërtetua për herë të parë në shekullin e 17-të. nga matematikani francez Girard, dhe një provë rigoroze u dha në 1799 nga matematikani gjerman Gauss. TEOREMA E BEZOUT-it Një teoremë mbi pjesën e mbetur të pjesëtimit të një polinomi arbitrar me një binom linear është formuluar si më poshtë: pjesa e mbetur e pjesëtimit të një polinomi arbitrar f(x) me binomin x – a është e barabartë me f(a). ). T.B. emërtuar sipas personit që e formuloi dhe e vërtetoi i pari Matematikan francez shekulli XVIII Bezu. Nga T.B. pasojnë këto pasoja: 1) nëse polinomi f(x) pjesëtohet (pa mbetje) me x – a, atëherë numri a është rrënja e f(x); 2) nëse numri a është rrënja e polinomit f(x), atëherë f(x) pjesëtohet (pa mbetje) me binomin x – a; 3) nëse një polinom f(x) ka të paktën një rrënjë, atëherë ky polinom ka saktësisht aq rrënjë sa shkalla e këtij polinomi (shumësia e rrënjëve merret parasysh). TEOREMA E CHEVA-s Nëse vijat që lidhin kulmet trekëndëshi ABC me pikën O të shtrirë në rrafshin e trekëndëshit, brinjët e kundërta (ose zgjatimet e tyre) priten përkatësisht në pikat A' B' C', atëherë barazia vlen: (*) Në këtë rast, raporti i segmenteve. konsiderohet pozitive nëse këto segmente kanë të njëjtin drejtim, dhe negative - përndryshe.
T.Ch. mund të shkruhet edhe në këtë formë: (ABC')*(BCA')*(CAB') = 1, ku (ABC') është një i thjeshtë raporti prej tre pikat A, B dhe C'. Teorema e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse pikat C', A', B' janë të vendosura përkatësisht në brinjët AB, BC dhe CA të trekëndëshit ose në shtrirjet e tyre në mënyrë që barazia (*) të jetë e vlefshme, atëherë drejtëzat AA', BB' dhe CC' kryqëzohen në të njëjtën pikë ose paralele (ndërpriten në një pikë të papërshtatshme). Linjat AA', BB' dhe CC', që kryqëzohen në një pikë dhe kalojnë nëpër kulmet e trekëndëshit, quhen vija Chevy ose Chevyan.
T.Ch. ka natyrë projektive. T.Ch. është metrikisht e dyfishtë me teoremën e Menelaut.
T.Ch. emëruar sipas gjeometrit italian Giovanni Ceva, i cili e vërtetoi atë (1678). TEOREMA KOSINEVE 1. T.K. trigonometria e rrafshët - pohimi se në çdo trekëndësh katrori i cilësdo brinjë të tij e barabartë me shumën katrorët e dy brinjëve të tjera të tij pa e dyfishuar prodhimin e këtyre brinjëve me kosinusin e këndit ndërmjet tyre: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, ku a, b, c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit dhe C është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b. T.K. përdoret shpesh në zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë elementare dhe të trigonometrisë 2. T.K. për brinjën e një trekëndëshi sferik: kosinusi i njërës anë të një trekëndëshi sferik është i barabartë me produktin e kosinuseve të dy brinjëve të tjera të tij plus produktin e sinuseve të të njëjtave brinjë nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. për këndin e një trekëndëshi sferik: kosinusi i këndit të një trekëndëshi sferik e barabartë me produktin kosinuset e dy këndeve të tjera, të marra nga shenjë e kundërt, plus produktin e sinuseve të dy këndeve të tjerë me kosinusin e brinjës përballë këndit të parë: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. TEOREMA E EULERIT 1. T.E. në teorinë e krahasimeve thotë se nëse (a, m)=1, atëherë ku f(m) është funksioni i Euler-it (numri i numrave të plotë numra pozitiv coprime në m dhe jo më shumë se m). 2. T.E. rreth poliedrit thotë se për çdo shumëfaqësh të gjinisë zero është e vlefshme formula: B + G – P = 2, ku B është numri i kulmeve, G është numri i faqeve, P është numri i skajeve të shumëfaqëshit.
Sidoqoftë, ishte Dekarti ai që vuri re i pari një varësi të tillë.
Prandaj T.E. në poliedra është historikisht më e saktë të quhet teorema Dekart-Euler.
Numri B + G – P quhet karakteristikë e Euler-it të poliedrit.
T.E. vlen edhe për grafikët e mbyllur. Teorema e Talesit Një nga teoremat e gjeometrisë elementare për segmentet proporcionale T.F. thotë se nëse në njërën nga anët e këndit nga kulmi i tij vendosen segmente të barabarta në mënyrë të njëpasnjëshme dhe vija paralele vizatohen nëpër skajet e këtyre segmenteve që kryqëzojnë anën e dytë të këndit, atëherë segmente të barabarta do të vendosen edhe në të dytën. anën e këndit.
Një rast i veçantë i T.F. shpreh disa veti vija e mesme trekëndëshi. Teorema e fundit e Fermatit Deklarata nga P. Fermat se ekuacioni xn + yn = zn (ku n është një numër i plotë më i madh se dy) nuk ka zgjidhje në numrat e plotë pozitivë Pavarësisht deklaratës së P. Fermat se ai arriti të gjejë një provë mahnitëse B .F.T ai nuk citon për shkak të mungesës së hapësirës (këtë vërejtje e ka shkruar P. Fermat në margjinat e librit të Diofantit), deri vonë (mesi i viteve '90) W.T.F. V pamje e përgjithshme nuk është vërtetuar. TEOREMA E VOGËL E FERMA-s Një rast i veçantë i teoremës së Euler-it kur moduli m=p është numër i thjeshtë.
M.T.F. formuluar si më poshtë: nëse p është një numër i thjeshtë, atëherë ap=a(mod p). Në rastin kur a nuk pjesëtohet me p, nga M.T.F. vijon: ap-1=1(mod p). M.T.F. u zbulua nga shkencëtari francez Pierre Fermat. PABARAZIA E MBAJTJES Për shumat përfundimtare ka formën: , ose në formë integrale: , ku p > 1 dhe. N.G. përdoret shpesh në analizat matematikore.
N.G. është një përgjithësim i pabarazisë së Cauchy në formë algjebrike dhe pabarazitë e Bunyakovskit në formë integrale, në të cilat N.G. kthehet në p = 2. FORMULA CARDANO Formula që shpreh rrënjët ekuacion kub: x3+px+q=0 (*) përmes koeficientëve të tij. Çdo ekuacion kub reduktohet në formën (*). shkruhet kështu: . Kur zgjidhni një vlerë arbitrare të radikalit të parë kub, duhet të zgjidhni vlerën e radikalit të dytë (nga tre të mundshme), i cili, kur shumëzohet me vlerën e zgjedhur të radikalit të parë, jep (-p/3). Në këtë mënyrë marrim të tre rrënjët e ekuacionit (*). Ende nuk është e qartë se kush e zotëron F.K.: G. Cardano, N. Tartaglie apo S. Ferro. F.K. daton në shekullin e 16-të. Pabarazia e CAUCHY-t Një pabarazi që vlen për shuma të fundme; shumë të rëndësishme dhe më të përdorura fusha të ndryshme matematikë dhe fizikës matematikore pabarazia.
Për herë të parë u krijua nga Cauchy në 1821. Analogu integral i N.K.: u krijua nga matematikani rus V.Ya. Bunyakovski. TEOREMA E MENELUSIT Nëse një drejtëz pret brinjët e trekëndëshit ABC ose shtrirjet e tyre në pikat C', A' dhe B', atëherë relacioni i mëposhtëm është i vlefshëm: (*) Raporti i segmenteve merret pozitiv nëse drejtëza pret brinjën. e trekëndëshit, dhe negative nëse vija pret shtrirjen e brinjës.
E drejtë dhe shprehje e anasjelltë: nëse plotësohet barazia (*), ku A, B, C janë kulmet e trekëndëshit dhe A’, B’, C’ shtrihen në të njëjtën drejtëz.
T.M mund të formulohet në formën e një kriteri për vendndodhjen e tre pikave A', B' dhe C' në një vijë të drejtë: në mënyrë që 3 pika A', B' dhe C' të shtrihen në të njëjtën drejtëz, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që relacioni të plotësohet (*), ku A, B, C janë kulmet e trekëndëshit dhe A', B', C' u përkasin drejtëzave BC, AC dhe AB, përkatësisht. T.M u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Menelaus (shek. I) për një trekëndësh sferik dhe, me sa duket, ishte i njohur për Euklidin (shek. III para Krishtit). T.M është një rast i veçantë i teoremës më të përgjithshme të Carnot. INBARAZIA MINKOWSKI Pabarazi për p-të fuqive numrat, që kanë formën: , ku numër i plotë p>1, dhe ak dhe bk janë numra jonegativë.
N.M. është një përgjithësim i "pabarazisë së trekëndëshit" të njohur, i cili thotë se gjatësia e njërës brinjë të një trekëndëshi nuk është më e madhe se shuma e gjatësive të dy brinjëve të tjera të tij; Për hapësirë n-dimensionale distanca ndërmjet pikave x=(x1, x2, …, xn) dhe y=(y1, y2, …, yn) përcaktohet me numrin N.M. u krijua nga matematikani gjerman G. Minkowski më 1896. FORMULAT E MOHLWEIDE Formulat e trigonometrisë së rrafshët që shprehin marrëdhëniet e mëposhtme midis brinjëve (gjatësive të tyre) dhe këndeve të një trekëndëshi: ; , ku a, b, c janë brinjët, dhe A, B, C janë këndet e trekëndëshit.
F.M. emëruar sipas matematikanit gjerman K. Molweide, i cili i përdori ato, megjithëse këto formula ishin të njohura edhe për matematikanët e tjerë. kushtet e saj.
B.N. ka formën: , ku Cnk janë koeficientë binomialë, e barabartë me numrin kombinimet e n elementeve nga k, d.m.th. ose. Nëse shkruajmë koeficientët binomialë për n=0, 1, 2, … të ndryshme në rreshta të njëpasnjëshëm, atëherë do të arrijmë në trekëndëshin e Paskalit. Në rastin e një numri real arbitrar (dhe jo vetëm një numër i plotë jo negativ) B.N. përgjithësuar në një seri binomiale, dhe në rastin e rritjes së numrit të termave nga dy në një numër më të madh - në një teoremë polinomiale Përgjithësimi i formulës binomiale të Njutonit në rastin e rritjes së shumës së k termave (k>2). në një fuqi të plotë jo negative n: , ku shuma në anën e djathtë shtrihet në të gjitha grupet e mundshme të numrave të plotë numrat jonegativë a1, a2, …, ak, duke dhënë një total prej n. Koeficientët A(n)a1, a2, … ,ak quhen polinom dhe shprehen si më poshtë: Kur k=2, koeficientët polinomikë bëhen koeficientë binomialë.
TEOREMA E POLKE E formuluar si më poshtë: tre segmente me gjatësi arbitrare që shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe dalin nga pikë e përbashkët nën kënde arbitrare ndaj njëri-tjetrit, mund të gabohen për projeksion paralel korniza hapësinore ortogonale i, j, k (|i| = |j| =|k|). Teorema u formulua nga gjeometri gjerman K. Polke (1860) pa prova, dhe më pas u përgjithësua nga matematikani gjerman G. Schwarz, i cili dha vërtetimin e saj elementar.
Teorema Polke-Schwartz mund të formulohet si më poshtë: çdo katërkëndësh jo i degjeneruar me diagonalet e tij mund të konsiderohet si një projeksion paralel i një katërkëndëshi të ngjashëm me çdo të dhënë.
T.P. ka një rëndësi të madhe praktike (çdo katërkëndësh me diagonalet e tij mund të merret, për shembull, si imazh tetraedron i rregullt) dhe është një nga teoremat kryesore të aksonometrisë TEOREMA E PTOLEMEUT Një teoremë e gjeometrisë elementare që vendos marrëdhëniet midis brinjëve dhe diagonaleve të një katërkëndëshi të gdhendur në një rreth: në çdo. katërkëndësh konveks i gdhendur në një rreth, prodhimi i diagonaleve të tij është i barabartë me shumën e produkteve të tij anët e kundërta, d.m.th. barazia vlen: AC*BD = AB*CD + BC*AD etj. emëruar pas shkencëtarit të lashtë grek Klaudi Ptolemeu, i cili vërtetoi këtë teoremë.
T.P. përdoret gjatë zgjidhjes së problemeve në gjeometrinë elementare, kur vërtetohet një rast i veçantë i teoremës së mbledhjes së sinuseve FORMULA E SIMPSONIT Formula për njehsimin e vëllimeve të trupave me dy bazat paralele: , ku Qn është zona e bazës së poshtme, Qв është zona e bazës së sipërme, Qс është zona e seksionit të mesëm të trupit. Seksioni mesatar i një trupi këtu kuptohet si një figurë e marrë nga kryqëzimi i trupit me një rrafsh paralel me rrafshet e bazave dhe i vendosur në distancë të barabartë nga këta avionë.
h tregon lartësinë e trupit. Nga F.S rast i veçantë, ka shume formulat e famshme vëllimet e trupave të studiuar në shkollë (piramida e cunguar, cilindër, sferë, etj.). TEOREMA E SINESIT Një teoremë e trigonometrisë së rrafshët që përcakton marrëdhëniet midis brinjëve a, b, c trekëndësh arbitrar dhe sinuset e këndeve përballë këtyre brinjëve: , ku R është rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit.
Për trigonometrinë sferike T.S. shprehet analitikisht si më poshtë: . TEOREMA E STEWART-it është si më poshtë: nëse A, B, C janë tre kulme të një trekëndëshi dhe D është çdo pikë në anën BC, atëherë lidhja e mëposhtme vlen: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .ME. emërtuar sipas matematikanit anglez M. Stewart i cili e vërtetoi dhe e botoi në veprën “Disa teorema të përgjithshme(1746, Edinburg). Teorema iu tha Stewartit nga mësuesi i tij R. Simson, i cili e publikoi këtë teoremë vetëm në 1749. T.S. përdoret për gjetjen e ndërmjetëseve dhe përgjysmuesve të trekëndëshave.
TEOREMA TANGJENTE (FORMULA E RAJONIT MONTAN) Formulë e trigonometrisë së rrafshët që vendos lidhjen ndërmjet gjatësive të dy brinjëve të një trekëndëshi dhe tangjentëve të gjysmës së shumës dhe gjysmëdiferencës së këndeve përballë tyre. ka formën: , ku a, b janë brinjët e trekëndëshit, A, B janë përkatësisht këndet përballë këtyre brinjëve. T.T. quhet edhe formula Regiomontanus sipas astronomit dhe matematikanit gjerman Johannes Muller (në latinisht Regiomontanus), i cili vendosi këtë formulë. I. Müller quhej "Königsberger": në gjermanisht König është mbret, Berg është mal dhe në latinisht "mbret" dhe "mal" në rasë gjinore– regis dhe montis.
Prandaj “Regiomontan” është mbiemri i latinizuar i I. Muller. " Fjalor termat matematikore", O.V. Manturov FORMULA DHE TEOREMA NË VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.
Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:
Nëse ky material ishte i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:
Ne kemi parë tashmë se nëse sekuenca e numrave ka një kufi, atëherë elementët e kësaj sekuence i afrohen sa më afër. Edhe në një distancë shumë të vogël, gjithmonë mund të gjeni dy elementë distanca e të cilëve do të jetë edhe më e vogël. Quhet sekuencë themelore, ose sekuencë Cauchy. A mund të themi se kjo sekuencë ka një kufi? Nëse është formuar më
Nëse marrim një katror me brinjë e barabartë me një, atëherë mund të llogarisim lehtësisht diagonalen e saj duke përdorur teoremën e Pitagorës: $d^2=1^2+1^2=2$, pra vlera e diagonales do të jetë e barabartë me $\sqrt 2$. Tani kemi dy numra, 1 dhe $\sqrt 2$, të përfaqësuar nga dy segmente rreshtash. Megjithatë, ne nuk do të mund të krijojmë një marrëdhënie mes tyre, siç kemi bërë më parë. E pamundur
Përcaktimi se ku ndodhet pika P - brenda ose jashtë një figure të caktuar - ndonjëherë është shumë e thjeshtë, si për shembull për figurën e paraqitur në figurë: Megjithatë, për figura më komplekse, si ajo e paraqitur më poshtë, kjo është më e vështirë të bëhet. . Për ta bërë këtë, duhet të vizatoni një vijë me laps. Megjithatë, kur kërkoni përgjigje për pyetje të ngjashme ne mund të përdorim një të thjeshtë,
Zakonisht formulohet si më poshtë: çdo numër natyror përveç 1 mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt numrat e thjeshtë ose si kjo: çdo numër natyror përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i fuqive të numrave të thjeshtë të ndryshëm, zgjerimi i fundit shpesh quhet kanonik, megjithëse jo gjithmonë, duke e kërkuar atë; faktorët kryesorë hyri në këtë zgjerim në rend rritës.
Kjo teoremë është jashtëzakonisht e dobishme për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë mbetjet e fuqive, dhe megjithëse është një teoremë plotësisht serioze nga teoria e numrave dhe nuk përfshihet në kursi shkollor, vërtetimi i tij mund të kryhet normalisht nivel shkolle. Mund të kryhet menyra te ndryshme, dhe një nga më të prova të thjeshta mbështetet në formulën e binomit, ose binomin e Njutonit, i cili
Shpesh në literaturë metodologjike Dikush mund të hasë në një kuptim të provave indirekte si provë me kontradiktë. Në fakt, ky është një interpretim shumë i ngushtë i këtij koncepti. Metoda e vërtetimit me kontradiktë është një nga metodat më të famshme të provës indirekte, por është larg nga e vetmja. Të tjera metodat indirekte megjithëse provat përdoren shpesh në një nivel intuitiv, ky aplikacion realizohet rrallë dhe
Shpesh, mësuesit, duke përdorur produktin skalar të vektorëve, provojnë pothuajse menjëherë teoremën e Pitagorës dhe teoremën e kosinusit. Kjo është sigurisht joshëse. Megjithatë, kërkohet koment. Në prezantimin tradicional, shpërndarja produkt me pika vektorët vërtetohet më vonë se teorema e Pitagorës, pasi kjo e fundit përdoret në këtë vërtetim, qoftë edhe indirekt. Variantet e kësaj prove janë të mundshme. Në tekstet shkollore të gjeometrisë, si
Në qershor të këtij viti, Dmitry Germanovich Von Der Flaass (1962–2010), një matematikan dhe mësues i shquar, një person i zgjuar dhe simpatik, vdiq para kohe. Lexuesit tanë e kanë hasur këtë emër më shumë se një herë - revista Kvant shpesh publikonte problemet e tij. Dmitry Germanovich punoi me sukses në shkencë e madhe, por kjo ishte vetëm një pjesë e veprimtarisë së tij. E dyta ishte olimpiadat e matematikës nxënës shkollash: ai punoi në jurinë e All-Union dhe Olimpiadat Gjith-Ruse, dhe ne vitet e fundit- dhe ndërkombëtare. Ai dha leksione në kampe dhe shkolla të ndryshme matematikore dhe ishte një nga trajnerët e ekipit tonë në Olimpiadën Ndërkombëtare të Matematikës.
Ne sjellim në vëmendjen tuaj një regjistrim (me shkurtime të lehta dhe duke ruajtur stilin e autorit) të një leksioni të mbajtur nga D. Von Der Flaass në All-Russian qendra e fëmijëve"Shqiponja" në 2009.
Kishte një sofist kaq të lashtë Gorgias. Ai është i famshëm për formulimin e tre teoremave. Teorema e parë tingëllon kështu: asgjë në botë nuk ekziston. Teorema e dytë: dhe nëse diçka ekziston, ajo është e panjohur për njerëzit. Teorema e tretë: nëse diçka është megjithatë e ditur, atëherë ajo është e pakomunikueshme me fqinjin.
Me fjalë të tjera, nuk ka asgjë, dhe nëse ka diçka, atëherë ne nuk do të dimë asgjë për të, madje edhe nëse zbulojmë diçka, nuk do të mund t'i tregojmë askujt.
Dhe këto katër teorema janë, në mënyrë rigoroze, problemet kryesore matematikë moderne.
Teorema e parë e Gorgias
Le të fillojmë me të parën - asgjë në botë nuk ekziston, ose, e përkthyer në gjuhën e matematikës, matematika bën diçka të pakuptueshme. Në një farë kuptimi, kjo është e vërtetë. Pas te gjithave objekte matematikore nuk ekziston në botë. Gjëja më e thjeshtë, ku fillon gjithçka dhe çfarë përdorin matematikanët gjatë gjithë kohës, është numra të plotë. Të gjithë e dimë se çfarë janë numrat natyrorë - ata janë 1, 2, 3, 4 e kështu me radhë. Dhe fakti që ne të gjithë e kuptojmë kuptimin e fjalëve "dhe kështu me radhë" është një mister i madh. Sepse "dhe kështu me radhë" do të thotë se ka "pafundësisht shumë" numra. Nuk ka vend në botën tonë që të ketë një sasi të pafundme diçkaje. Por të gjithë jemi të sigurt se kur mendojmë për numrat natyrorë, të gjithë mendojmë për të njëjtën gjë. Nëse 7-ja ime ndiqet nga 8, atëherë 7-ja juaj do të pasohet nga 8. Nëse 19-ja ime është një numër i thjeshtë, atëherë 19-ja juaj do të jetë një numër i thjeshtë. Kjo është arsyeja pse? Duket se ky objekt nuk ekziston në botë, por ne dimë për të dhe të gjithë dimë për të njëjtën gjë. Kjo, natyrisht, nuk është një gjëegjëzë matematikore, është një gjëegjëzë filozofike dhe le ta diskutojnë filozofët. Na mjafton që, për fat, kemi ende një ide për objektet matematikore dhe është e njëjta gjë për të gjithë ata që fillojnë të mendojnë për to. Dhe për këtë arsye matematika është e mundur. Por e madhe problem filozofik Mbetet.
Nëse, siç është zakon në mesin e matematikanëve, mendoni për këtë seriozisht, d.m.th., përpiquni ta mendoni disi në mënyrë rigoroze, atëherë lindin probleme, për të cilat tani do të flas. Ata u ngritën në kujtesën e njerëzimit mjaft kohët e fundit, fjalë për fjalë në njëqind vitet e fundit.
Ka shumë më tepër në matematikë përveç numrave natyrorë. Është rrafshi ynë Euklidian, në të cilin vizatojmë të gjitha llojet e trekëndëshave, këndeve dhe vërtetojmë teorema rreth tyre. Ka numra realë, ka numra kompleks, ka funksione, ka diçka edhe më të tmerrshme... Diku në kapërcyellin e shekujve 19-20, është bërë shumë punë. punë e madhe(megjithëse filloi, natyrisht, pak më herët), njerëzit kuptuan se e gjithë shumëllojshmëria e objekteve matematikore, në parim, mund të reduktohet në një koncept të vetëm - konceptin e grupit. Sigurisht, nëse thjesht kemi një ide intuitive se çfarë është një grup dhe çfarë është një "dhe kështu me radhë", ne në thelb mund të ndërtojmë të gjithë matematikën.
Çfarë është një grup? Epo, është thjesht shumë diçka. Pyetja është - çfarë mund të bëni me grupe? Nëse kemi një lloj grupi, atëherë çfarë do të thotë që e kemi atë? Kjo do të thotë që për çdo element të botës sonë, botën e objekteve matematikore, mund të pyesim nëse është në këtë grup apo jo dhe të marrim një përgjigje. Përgjigja është e qartë, plotësisht e pavarur nga vullneti ynë. Kjo është gjëja e parë, themelore që mund të bëni me grupet - zbuloni nëse një element i përket grupit apo jo.
Natyrisht, ne ende duhet t'i ndërtojmë disi këto grupe vetë. Që prej tyre në fund të ndërtohet e gjithë pasuria e objekteve matematikore. Si mund të ndërtohen? Mund, të themi, të ndërtojmë një grup bosh: Ø. E para, më e thjeshta. Çfarë dimë për të? Se çfarëdo elementi të pyesim nëse i përket këtij grupi apo jo, përgjigja do të jetë gjithmonë - jo, nuk i përket. Dhe me këtë grupi bosh tashmë është përcaktuar në mënyrë unike. Të gjitha pyetjet në lidhje me të marrin një përgjigje të menjëhershme. Hora!
Tani ne tashmë e kemi vetë këtë grup bosh. Dhe ne mund të ndërtojmë një grup që nuk përmban asgjë përveç grupit bosh: (Ø). Përsëri, çfarë do të thotë që ne e kemi këtë grup? Kjo do të thotë që ne mund të pyesim për çdo element nëse i përket këtij grupi apo jo. Dhe nëse ky element është grupi bosh, atëherë përgjigjja do të jetë "po". Dhe nëse ky element është ndonjë tjetër, atëherë përgjigjja do të jetë "jo". Pra, jepet edhe ky grup.
Këtu fillon gjithçka. Ka disa operacione më intuitive që mund të përdorni. Nëse kemi dy grupe, atëherë mund t'i kombinojmë. Mund të themi se tani do të ketë një grup në të cilin do të ketë elementë nga një ose një grup tjetër. Përsëri, përgjigjja në pyetjen nëse një element i përket grupit që rezulton apo jo është e paqartë. Kjo do të thotë se ne mund të ndërtojmë një bashkim. Dhe kështu me radhë.
Në një moment duhet të deklarojmë veçmas se, në fund të fundit, ne kemi një lloj grupi në të cilin ka pafundësisht shumë elementë. Meqenëse e dimë se ka numra natyrorë, ne besojmë se demoni grup i kufizuar ekziston. Njoftojmë se edhe grupi i numrave natyrorë është i disponueshëm për ne. Sapo të shfaqet një grup i pafund, atëherë mund të futeni në të gjitha llojet e telasheve dhe të përcaktoni gjithçka që dëshironi. Mund të përkufizohen numrat e plotë. Një numër i plotë është ose zero ose një numër natyror, me ose pa shenjë minus. E gjithë kjo (ndoshta jo aq e dukshme sa them unë) mund të bëhet në gjuhën e teorisë së grupeve.
Numrat racionalë mund të përcaktohen. Çfarë është një numër racional? Ky është një çift i dy numrave - një numërues dhe një emërues (jo zero). Thjesht duhet të përcaktoni se si t'i shtoni ato, si t'i shumëzoni ato midis tyre. Dhe cilat janë kushtet kur çifte të tilla konsiderohen të njëjtin numër racional.
Cili është një numër real? Këtu hap interesant. Mund të thuash, për shembull, se është e pafundme dhjetore. Ky do të ishte një përkufizim shumë i mirë. Çfarë do të thotë kjo - një thyesë dhjetore e pafundme? Kjo do të thotë që ne kemi një lloj sekuence të pafundme numrash, d.m.th thjesht për çdo numër natyror ne e dimë se cili numër qëndron në këtë vend të numrit tonë real. Të gjitha sekuencat e tilla formojnë numra realë. Përsëri, ne mund të përcaktojmë se si t'i mbledhim ato, si t'i shumëzojmë ato, etj.
Nga rruga, kjo nuk është se si matematikanët preferojnë të përcaktojnë numrat realë, por si. Le të marrim të gjithë numrat racionalë - ne tashmë i kemi ato. Tani le të deklarojmë se një numër real është bashkësia e tyre numrat racionalë, të cilat janë rreptësisht më pak se ai. Kjo është shumë përkufizim i ndërlikuar. Në fakt, është shumë e ngjashme me atë të mëparshme. Për shembull, nëse kemi një numër real 3.1415926... (pason një zinxhir i pafund numrash, të cilin nuk e di përmendësh), atëherë cilët do të jenë, për shembull, numrat racionalë më të vegjël se ai? Le të presim thyesën në numrin e dytë dhjetor. Marrim numrin 3.14, është më pak se i yni. Le të presim thyesën në numrin e katërt dhjetor - marrim 3,1415, një numër tjetër racional më i vogël se i yni. Është e qartë se nëse i dimë të gjithë numrat racionalë më pak se numri ynë, atëherë ky numër është i përcaktuar në mënyrë unike. Mund ta imagjinoni qartë një fotografi si ajo në Figurën 1. Drejtëza janë të gjithë numrat realë, midis tyre e panjohura jonë është diku dhe në të majtë të saj ka shumë e shumë numra racionalë që janë më të vegjël se ai. Të gjitha të tjerat racionale, në përputhje me rrethanat, do të jenë më të mëdha se ajo. Është intuitivisht e qartë se ekziston një hendek i vetëm midis këtyre dy grupeve të numrave racionalë dhe ne do ta quajmë këtë hendek një numër real. Ky është një shembull se si, duke filluar me konceptin e një grupi, e gjithë matematika zbërthehet pak nga pak.
Pse është e nevojshme kjo? Është e qartë se në praktikë, natyrisht, askush nuk e përdor këtë. Kur një matematikan studion, le të themi, funksionet e një ndryshoreje komplekse, ai nuk e mban mend çdo herë atë numër kompleksështë një çift realesh, se një real është një grup i pafund racionalesh, se një racional është një çift numrash të plotë, e kështu me radhë. Tashmë funksionon me objekte të formuara plotësisht. Por në parim, gjithçka mund të përshkruhet deri në bazat. Do të jetë shumë e gjatë dhe e palexueshme, por megjithatë është e mundur në parim.
Çfarë bëjnë matematikanët më pas? Ata dëshmojnë veti të ndryshme këto objekte. Për të vërtetuar diçka, duhet të dini tashmë diçka, disa veti fillestare të të gjitha këtyre objekteve. Dhe për më tepër, matematikanët duhet të jenë në marrëveshje të plotë se me cilat veti fillestare të fillojnë. Kështu që çdo rezultat i marrë nga një matematikan pranohet nga të gjithë të tjerët.
Ju mund të shkruani disa nga këto veti fillestare - ato quhen aksioma - dhe më pas t'i përdorni për të provuar të gjitha vetitë e tjera të objekteve matematikore gjithnjë e më komplekse. Por tani me numrat natyrorë fillojnë vështirësitë. Ka aksioma dhe ne intuitivisht ndiejmë se ato janë të vërteta, por rezulton se ka pohime për numrat natyrorë që nuk mund të nxirren nga këto aksioma, por që megjithatë janë të vërteta. Le të themi se numrat natyrorë plotësojnë një veti të caktuar, por ajo nuk mund të merret nga ato aksioma që pranohen si bazë.
Menjëherë lind pyetja: si e dimë atëherë se kjo veti është e vërtetë për numrat natyrorë? Po sikur të mos mund ta marrim dhe ta vërtetojmë kështu? Pyetje e vështirë. Rezulton diçka e tillë. Nëse mjaftohesh vetëm me aksiomat e numrave natyrorë, atëherë në parim është e pamundur të flasim edhe për shumë gjëra. Për shembull, është e pamundur të flasim për nëngrupe arbitrare të pafundme të numrave natyrorë. Sidoqoftë, njerëzit kanë një ide se çfarë është dhe, në parim, kuptojnë intuitivisht se cilat veti i përcaktojnë këto nëngrupe. Prandaj, për disa veti të numrave natyrorë që nuk mund të nxirren nga aksiomat, njerëzit mund të dinë se ato janë të vërteta. Dhe kështu, matematikani Kurt Gödel, me sa duket, ishte i pari që tregoi në mënyrë eksplicite një veti të caktuar të numrave natyrorë që është intuitivisht e vërtetë (d.m.th., matematikanët nuk e kundërshtojnë faktin që është e vërtetë), por në të njëjtën kohë është jo e deduktueshme nga ato aksioma të numrave natyrorë që më pas u pranuan.
Pjesërisht, dhe në fakt shumë në një masë të madhe(i mjaftueshëm për shumicën e fushave të matematikës), ky problem u trajtua duke reduktuar me kujdes gjithçka në grupe dhe duke shkruar një grup të caktuar aksiomash të teorisë së grupeve që janë intuitive të dukshme dhe korrektësia e këtyre aksiomave nga matematikanët, në përgjithësi, nuk diskutohet. .
Le të themi aksiomën e unifikimit. Nëse kemi një grup prej disa grupesh, atëherë mund të themi: le të formojmë një grup që përmban të gjithë elementët e këtyre grupeve nga ky grup. Nuk ka asnjë kundërshtim të arsyeshëm për ekzistencën e një grupi të tillë. Ka edhe më shumë aksioma dinake, me të cilat ka pak më shumë probleme. Tani do të shohim tre aksioma të ndërlikuara në teorinë e grupeve, për të cilat në parim mund të lindin dyshime.
Për shembull, ekziston një aksiomë e tillë. Le të supozojmë se kemi një grup të disa elementeve, dhe le të supozojmë se për secilin prej tyre ne mund të përcaktojmë në mënyrë unike vlerën e një funksioni të caktuar në këtë element. Aksioma thotë se ne mund ta zbatojmë këtë funksion në secilin element të këtij grupi, dhe ajo që del do të formojë përsëri një grup (Fig. 2). Shembulli më i thjeshtë: një funksion që konverton x në x 2, ne dimë ta llogarisim atë. Le të themi, nëse kemi një grup numrash natyrorë, atëherë mund ta katrorojmë secilin prej tyre. Rezultati do të jetë përsëri një grup numrash natyrorë. Një aksiomë kaq e qartë intuitivisht, a nuk jeni dakord? Por problemi është se këto funksione mund të përkufizohen shumë në mënyrë komplekse, grupet mund të jenë shumë të mëdha. Ekziston edhe një situatë e tillë: ne dimë të vërtetojmë për funksionin tonë se ai është i përcaktuar në mënyrë unike, por mund të llogarisim kuptim specifik ky funksion për çdo element të grupit është jashtëzakonisht i vështirë apo edhe pafundësisht i vështirë. Edhe pse ne e dimë se ka patjetër një përgjigje, dhe është e paqartë. Edhe në të tilla situata të vështira Kjo aksiomë konsiderohet të jetë ende e zbatueshme dhe në këtë formë shumë të përgjithshme ajo shërben si një nga burimet e problemeve në teorinë e grupeve.
Aksioma e dytë, e cila, nga njëra anë, është e dukshme, por nga ana tjetër, sjell probleme, është aksioma e marrjes së të gjitha nënbashkësive të një grupi të caktuar. Ajo thotë se nëse kemi një lloj grupi, atëherë kemi gjithashtu një grup që përbëhet nga të gjitha nëngrupet e një të caktuar. Për grupe të fundme kjo është, natyrisht, e qartë. Nëse kemi një grup të fundëm të N elemente, atëherë do të ketë vetëm 2 nëngrupe N. Në parim, ne mund t'i shkruajmë të gjitha nëse nuk jemi shumë dembelë. Ne gjithashtu nuk kemi probleme me grupin më të thjeshtë të pafund. Shikoni: le të marrim një grup numrash natyrorë 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e kështu me radhë. Pse është e qartë për ne që ekziston familja e të gjitha nëngrupeve të bashkësisë së numrave natyrorë? Sepse ne e dimë se cilat janë këto elemente. Si mund ta imagjinoni një nëngrup numrash natyrorë? Le të vendosim një për ato elemente që marrim, dhe zero për ata që nuk i marrim, e kështu me radhë. Mund të imagjinoni se ky është një fraksion binar i pafund (Fig. 3). Deri në rregullime të vogla (si fakti që disa numra mund të përfaqësohen nga dy thyesa binare të ndryshme të pafundme), rezulton se numrat realë janë afërsisht të njëjtë me nëngrupet e numrave natyrorë. Dhe meqë intuitivisht e dimë këtë me numra realë gjithçka është në rregull, ato ekzistojnë, ato mund të paraqiten vizualisht si një vijë e vazhdueshme, atëherë në këtë vend gjithçka është në rregull me aksiomën tonë për bashkësinë e të gjitha nëngrupeve të një grupi të caktuar.
Nëse e mendoni më tej, bëhet paksa e frikshme. Sidoqoftë, matematikanët besojnë se kjo aksiomë është gjithmonë e vërtetë: nëse kemi një grup, atëherë ekziston një grup i të gjitha nënbashkësive të tij. Përndryshe do të ishte shumë e vështirë për të bërë disa ndërtime.
Dhe një aksiomë më shumë me të cilën kishte më shumë probleme, sepse në fillim nuk besonin në të. Ndoshta e keni dëgjuar edhe emrin e saj - aksioma e zgjedhjes. Mund të formulohet në shumë mënyra menyra te ndryshme, disa shumë komplekse, disa shumë të thjeshta. Unë do t'ju them më të mirën tani mënyrë vizuale formuloni një aksiomë të zgjedhjes në të cilën do të jetë vërtet e qartë se është e vërtetë. Le të kemi një grup me disa grupe. Ata në fakt mund të kryqëzohen me njëri-tjetrin, por kjo nuk ka rëndësi - për hir të thjeshtësisë, le të mos kryqëzohen akoma. Atëherë mund të ndërtojmë produktin e të gjitha këtyre grupeve. Çfarë do të thotë kjo? Elementet e kësaj vepre do të jenë këto gjëra - ne do të marrim një element nga secili dhe do të formojmë një grup nga të gjitha (Fig. 4). Çdo mënyrë për të zgjedhur një element nga një grup jep një element të produktit të këtyre grupeve.
Natyrisht, nëse midis këtyre grupeve ka një bosh nga i cili nuk ka asgjë për të zgjedhur, atëherë produkti i të gjithave do të jetë gjithashtu bosh. Dhe aksioma e zgjedhjes e deklaron këtë absolutisht fakt i dukshëm- nëse të gjitha këto grupe nuk janë bosh, atëherë produkti gjithashtu nuk do të jetë bosh. A jeni dakord që fakti është i qartë? Dhe kjo, me sa duket, shërbeu, në fund të fundit, si një nga më argumente të forta në favor të faktit se aksioma e zgjedhjes është vërtet e vërtetë. Në formulime të tjera, aksioma e zgjedhjes nuk tingëllon aq e qartë sa në këtë.
Vëzhgimet se si matematikanët vërtetojnë deklaratat e tyre, duke u përpjekur të përkthejnë të gjithë matematikën në gjuhën e teorisë së grupeve, treguan se në shumë vende matematikanët, pa e vënë re, përdorin këtë aksiomë. Sapo u vu re kjo, menjëherë u bë e qartë se duhej të ndahej në një deklaratë të veçantë - meqë ne po e përdorim atë, atëherë duhet ta marrim nga diku. Ose duhet ta vërtetojmë, ose duhet të deklarojmë se ky është një fakt themelor i dukshëm që ne e marrim si aksiomë dhe që lejojmë të përdoret. Doli se ky është me të vërtetë një fakt themelor, se është e pamundur të vërtetohet duke përdorur vetëm të gjitha faktet e tjera, është gjithashtu e pamundur të përgënjeshtrohet, dhe për këtë arsye, nëse do ta pranojmë, atëherë pranojmë si aksiomë. Dhe, sigurisht, duhet pranuar, sepse në këtë formë është vërtet e qartë.
Këtu u ngritën probleme të mëdha, sepse sapo ky fakt u formulua në mënyrë eksplicite dhe ata thanë "ne do ta përdorim atë", matematikanët nxituan menjëherë ta përdorin atë dhe, duke e përdorur atë, vërtetuan një numër të madh deklarimesh plotësisht intuitivisht jo të dukshme. Dhe madje, për më tepër, deklarata që intuitivisht duken të pasakta.
Këtu është një shembull i qartë një deklaratë e tillë, e cila u vërtetua duke përdorur aksiomën e zgjedhjes: ju mund të merrni një top, ta ndani në disa pjesë dhe të shtoni dy topa saktësisht të njëjtë nga këto pjesë. Çfarë do të thotë këtu "ndahet në disa pjesë", le të themi 7? Kjo do të thotë që për secilën pikë themi se në cilën nga këto shtatë pjesë bie. Por kjo nuk është si të presësh një top me thikë - mund të jetë shumë më e vështirë. Për shembull, këtu është një mënyrë e vështirë për t'u imagjinuar, por e shpjeguar lehtësisht për të prerë një top në dy pjesë. Le të marrim në një pjesë të gjitha pikat që kanë të gjitha koordinatat racionale, dhe në një pjesë tjetër - të gjitha pikat që kanë një koordinatë irracionale. Për çdo pikë ne e dimë se në cilën nga pjesët ka rënë, pra kjo është një ndarje ligjore e topit në dy pjesë. Por është shumë e vështirë ta imagjinosh këtë qartë. Secila prej këtyre pjesëve, nëse e shikoni nga larg, do të duket si një top i tërë. Edhe pse njëra nga këto pjesë do të jetë në të vërtetë shumë e vogël, dhe tjetra do të jetë shumë e madhe. Pra, ata vërtetuan me ndihmën e aksiomës së zgjedhjes se një top mund të pritet në 7 pjesë, dhe më pas këto copa mund të zhvendosen pak (domethënë, të zhvendosen në hapësirë, pa u shtrembëruar në asnjë mënyrë, pa u përkulur) dhe të vendosen përsëri. përsëri së bashku në mënyrë që të merrni dy topa, saktësisht të tillë si ai që ishte në fillim. Kjo deklaratë, edhe pse e provuar, tingëllon disi e egër. Por më në fund ata e kuptuan se ishte më mirë të pajtoheshin me pasoja të tilla të aksiomës së zgjedhjes sesa ta braktisnin atë fare. Nuk ka rrugë tjetër: ose të braktisim aksiomën e zgjedhjes, dhe atëherë nuk do të jemi në gjendje ta përdorim askund, dhe shumë rezultate matematikore të rëndësishme, të bukura dhe intuitive do të rezultojnë të paprovueshme. Ose ne e marrim atë - rezultatet bëhen lehtësisht të provueshme, por në të njëjtën kohë kemi të tilla fantazma. Por njerëzit mësohen me shumë gjëra, dhe gjithashtu u mësuan me këto fantazma. Në përgjithësi, duket se nuk ka probleme me aksiomën e zgjedhjes tani.
Rezulton se kemi një grup aksiomash për teorinë e grupeve, kemi matematikën tonë. Dhe pak a shumë duket se gjithçka që njerëzit mund të bëjnë në matematikë mund të shprehet në gjuhën e teorisë së grupeve. Por këtu lind i njëjti problem që Gödel zbuloi në aritmetikë. Nëse kemi një grup të caktuar mjaft të pasur aksiomash që përshkruajnë botën tonë të grupeve (që është bota e të gjithë matematikës), sigurisht që do të ketë pohime për të cilat nuk kemi asnjë mënyrë për të ditur nëse janë të vërteta apo jo. Deklarata që nuk mund t'i vërtetojmë nga këto aksioma dhe as nuk mund t'i hedhim poshtë. Teoria e grupeve po zhvillohet shumë dhe tani është më afër këtij problemi: shpesh na duhet të përballemi me një situatë ku disa pyetje tingëllojnë mjaft të natyrshme, duam të marrim një përgjigje për to, por është vërtetuar se nuk do ta dimë kurrë përgjigjuni, sepse nga aksiomat nuk mund të nxirret edhe përgjigjja dhe asnjë përgjigje tjetër.
Çfarë duhet bërë? Në teorinë e grupeve ata përpiqen disi ta luftojnë këtë, domethënë, ata përpiqen të dalin me aksioma të reja, të cilat për disa arsye ende mund të shtohen. Megjithëse, me sa duket, gjithçka që është intuitivisht e dukshme për njerëzimin tashmë është reduktuar në ato aksioma të teorisë së grupeve që u zhvilluan në fillim të shekullit të 20-të. Dhe tani rezulton se ju ende dëshironi diçka tjetër. Matematicienët e trajnojnë më tej intuitën e tyre në mënyrë që disa pohime të reja të duken papritur intuitivisht të dukshme për të gjithë matematikanët për ndonjë arsye, dhe më pas ato mund të pranohen si aksioma të reja me shpresën se me ndihmën e tyre mund të merren përgjigjet për disa nga këto pyetje.
Sigurisht, nuk mund t'ju them se si ndodh e gjithë kjo, është jashtëzakonisht deklarata komplekse, dhe ju duhet të thelloheni shumë thellë në teorinë e grupeve, së pari, në mënyrë që të kuptoni se çfarë pretendojnë ata, dhe së dyti, për të kuptuar se këto pohime mund të konsiderohen vërtet intuitivisht të dukshme dhe të merren si aksioma. Kjo është një nga më zona misterioze matematika - teoria e grupeve.
Teorema e dytë e Gorgias
Teorema e dytë e Gorgias tingëllon kështu: nëse ekziston diçka, ajo është e panjohur për njerëzit. Tani do të tregoj disa shembuj të deklaratave që hyjnë në këtë kategori.
Me teorinë e grupeve kishte një problem, a kemi të drejtë të bëjmë pyetje si kjo: "a është e vërtetë aksioma e zgjedhjes?" Nëse thjesht duam të bëjmë matematikë pa hyrë në kontradikta, atëherë në parim mund të pranojmë aksiomën e zgjedhjes dhe të pranojmë që ajo nuk është e vërtetë. Në të dyja rastet, ne do të mund të zhvillojmë matematikën, duke marrë disa rezultate në një rast, të tjera në një tjetër, por nuk do të arrijmë kurrë në një kontradiktë.
Por tani situata është ndryshe. Ka, me sa duket, rezultate për të cilat përgjigja padyshim ekziston, dhe padyshim është e përcaktuar qartë, por njerëzimi mund të mos e dijë kurrë. Shembulli më i thjeshtë është i ashtuquajturi (3 N+ 1) është një problem për të cilin do të flas tani. Le të marrim çdo numër natyror. Nëse është e barabartë, atëherë ndajeni në gjysmë. Dhe nëse është tek, atëherë shumëzojeni me 3 dhe shtoni 1. Ne bëjmë të njëjtën gjë me numrin që rezulton, e kështu me radhë. Për shembull, nëse fillojmë me tre, marrim
Nëse fillojmë me shtatë, procesi do të zgjasë pak më shumë. Duke filluar tashmë me disa numra të vegjël, ky zinxhir mund të rezultojë mjaft i gjatë, por gjatë gjithë kohës do të përfundojë me një. Ekziston një hipotezë që pa marrë parasysh se me cilin numër fillojmë, nëse ndërtojmë një zinxhir të tillë, gjithmonë do të arrijmë në 1. Kjo është ajo që (3 N+ 1)-problem - a është e saktë kjo hipotezë?
Më duket se të gjithë matematikanët aktualë besojnë se është e vërtetë. Dhe disa nga më të pamaturit madje përpiqen ta vërtetojnë atë. Por asgjë nuk funksionoi për askënd. Dhe nuk ka dalë për shumë dekada. Pra, kjo është një nga sfidat tërheqëse. Matematikanët seriozë, natyrisht, e shikojnë me përbuzje - vetëm si një enigmë argëtuese. Nuk dihet se çfarë do të jetë atje, dhe kush duhet të dijë se çfarë do të jetë atje. Por matematikanët jo seriozë janë ende të interesuar nëse hipoteza është e vërtetë apo jo. Dhe derisa të vërtetohet, absolutisht gjithçka mund të ndodhë këtu. Së pari, është e qartë se kjo pyetje ka një përgjigje të qartë: po ose jo. Është e vërtetë që, duke u nisur nga çdo numër natyror, do të rrëshqasim drejt një, ose nuk është e vërtetë. Është intuitivisht e qartë se këtu përgjigja nuk varet nga ndonjë zgjedhje aksiomash apo nga ndonjë vullnet njerëzor. Pra, ekziston një supozim se njerëzimi nuk do ta dijë kurrë përgjigjen për këtë pyetje.
Sigurisht, nëse dikush e vërteton këtë hipotezë, atëherë ne do ta dimë përgjigjen. Por çfarë do të thotë të provosh? Kjo do të thotë se ai do të na shpjegojë arsyet pse çdo numër natyror konvergjon në 1 dhe këto arsye do të jenë të qarta për ne.
Mund të ndodhë që dikush të provojë se një numër shtatëdhjetë e tre shifror ka pikërisht veti të tilla që duke e nisur këtë zinxhir prej tij, ne patjetër do të marrim aq sa duam. numra të mëdhenj. Ose do të vërtetojë se ky zinxhir do të lidhet diku tjetër. Përsëri, kjo do të ishte një arsye pse hipoteza është e pasaktë.
Por unë, për shembull, kam një makth kaq të tmerrshëm: po sikur kjo deklaratë të jetë e vërtetë, por pa arsye? E vërtetë, por nuk ka asnjë arsye për këtë deklaratë që një person mund ta kuptojë dhe t'ia shpjegojë një tjetri. Atëherë nuk do ta dimë kurrë përgjigjen. Sepse gjithçka që mbetet është të kalojmë nëpër të gjithë numrat natyrorë dhe të testojmë hipotezën për secilin. Dhe kjo, natyrisht, është përtej fuqisë sonë. Ligji i ruajtjes së energjisë nuk e lejon numër i pafund transaksionet për koha e përfundimit. Ose fundshmëria e shpejtësisë së dritës. Në përgjithësi, ligjet fizike mos na lejoni të kryejmë një numër të pafund veprimesh në një kohë të kufizuar dhe të zbulojmë rezultatin.
Shumë probleme të pazgjidhura lidhen pikërisht me këtë fushë, d.m.th., në parim, ato vërtet duan të zgjidhen. Disa prej tyre ka të ngjarë të vendosin. Me siguri të gjithë e keni dëgjuar emrin "hipoteza e Riemann". Ndoshta disa prej jush e kuptojnë edhe në mënyrë të paqartë se çfarë thotë kjo hipotezë. Unë personalisht e kuptoj shumë paqartë. Por me hipotezën e Riemann-it, të paktën është pak a shumë e qartë se ajo është e saktë. Të gjithë matematikanët besojnë në të dhe shpresoj se do të vërtetohet në të ardhmen e afërt. Dhe ka disa pohime që askush nuk mund t'i vërtetojë apo t'i hedhë poshtë, madje edhe në një hipotezë nuk ka siguri se cila nga dy përgjigjet është e saktë. Është e mundur që njerëzimi, në parim, të mos marrë kurrë përgjigje për disa nga këto pyetje.
Teorema e tretë e Gorgias
Teorema e tretë është se nëse diçka është e ditur, ajo nuk mund të transferohet te fqinji. Këto janë pikërisht problemet më urgjente në matematikën moderne dhe, ndoshta, ato më të ekzagjeruara. Një person ka vërtetuar diçka, por ai nuk është në gjendje t'ia tregojë këtë provë një personi tjetër. Ose bindni një person tjetër se ai vërtet e vërtetoi atë. Ndodh. Shembulli i parë nga kjo zonë dhe më i famshmi për publikun është problemi i katër ngjyrave. Por kjo nuk është situata më e vështirë që krijohet këtu. Tani do të them pak për problemin e katër ngjyrave dhe më pas do të tregoj situata më të çmendura.
Cili është problemi me katër ngjyra? Kjo është një pyetje e teorisë së grafikut. Një grafik është thjesht disa kulme që mund të lidhen me anë. Nëse mund t'i vizatojmë këto kulme në një rrafsh dhe t'i lidhim ato me skaje në mënyrë që skajet të mos kryqëzohen me njëra-tjetrën, do të marrim një grafik që quhet planar. Çfarë është ngjyrosja e grafikut? E lyejmë majat e saj me ngjyra të ndryshme. Nëse e kemi bërë këtë në atë mënyrë që kulmet ngjitur me një skaj të jenë gjithmonë me ngjyra të ndryshme, ngjyrosja quhet e rregullt. Do të doja ta ngjyrosja saktë grafikun, duke përdorur sa më pak të jetë e mundur ngjyra të ndryshme. Për shembull, në figurën 5 kemi tre kulme që janë të lidhura në çifte - që do të thotë se nuk ka shpëtim, këto kulme patjetër do të kenë tre ngjyra të ndryshme. Por në përgjithësi, katër ngjyra janë të mjaftueshme për të pikturuar këtë grafik (dhe tre mungojnë, mund të kontrolloni).
Për njëqind vjet ka pasur një problem: a është e vërtetë që çdo grafik që mund të vizatohet në një aeroplan mund të ngjyroset me katër ngjyra? Disa besuan dhe u përpoqën të vërtetonin se katër ngjyrat ishin gjithmonë të mjaftueshme, të tjerët nuk besuan dhe u përpoqën të dilnin me një shembull kur katër ngjyra nuk mjaftonin. Kishte edhe këtë telash: problemi është shumë i lehtë për t'u formuluar. Prandaj, shumë njerëz, madje edhe matematikanë jo seriozë, u hodhën mbi të dhe filluan të përpiqen ta vërtetojnë atë. Dhe ata paraqitën një sasi të madhe provash të supozuara ose përgënjeshtrime të supozuara. Ata i dërguan te matematikanët dhe bërtisnin në gazeta: “Hurray! Unë kam vërtetuar problemin me katër ngjyra! - madje botoi libra me prova të gabuara. Me një fjalë u bë shumë zhurmë.
Në fund u vërtetua nga K. Appel dhe W. Haken. Tani do t'ju përshkruaj përafërsisht skemën e provës. Dhe në të njëjtën kohë do të shohim pse kjo provë është e pakomunikueshme për të tjerët. Njerëzit filluan duke studiuar seriozisht se si janë strukturuar grafikët planarë. Ata paraqitën një listë me disa dhjetëra konfigurime dhe vërtetuan se çdo grafik planar përmban domosdoshmërisht një nga këto konfigurime. Kjo është gjysma e parë e provës. Dhe gjysma e dytë e provës është se për secilën nga këto konfigurime mund të kontrollojmë që nëse është në grafikun tonë, atëherë mund të ngjyroset me katër ngjyra.
Më saktësisht, prova e mëtejshme vazhdon me kontradiktë. Le të supozojmë se grafiku ynë nuk mund të ngjyroset me katër ngjyra. Nga pjesa e parë e dimë se ka disa konfigurime nga lista. Pas kësaj, arsyetimi i mëposhtëm kryhet për secilën nga këto konfigurime. Le të supozojmë se grafiku ynë përmban këtë konfigurim. Le ta hedhim tutje. Me induksion, ajo që mbetet është lyer me katër ngjyra. Dhe ne kontrollojmë që pavarësisht se si i ngjyrosim katër ngjyrat e mbetura, do të jemi në gjendje të plotësojmë pikërisht këtë konfigurim.
Shembulli më i thjeshtë i një konfigurimi të rilyershëm është një kulm që lidhet vetëm me tre të tjera. Është e qartë se nëse grafiku ynë ka një kulm të tillë, atëherë mund ta lëmë ngjyrosjen deri në fund. Le të ngjyrosim gjithçka tjetër, dhe më pas të shohim se me çfarë ngjyrash është ngjitur kjo kulm dhe të zgjedhim të katërtin. Për konfigurimet e tjera arsyetimi është i ngjashëm, por më kompleks.
Tani, si u bë e gjithë kjo? Është e pamundur të kontrollohet që secila prej një numri kaq të madh konfigurimesh të kryhet gjithmonë me dorë - kërkon shumë kohë. Dhe ky kontroll iu besua kompjuterit. Dhe ai, pasi kishte kaluar nëpër një numër të madh rastesh, vërtetoi se ishte kështu. Rezultati ishte një provë e problemit me katër ngjyra.
Kështu dukej në fillim. Pjesa njerëzore arsyetimi, i shkruar në një libër të trashë dhe bashkëngjitur me të kishte fraza që kontrolli përfundimtar që gjithçka ishte ngjyrosur iu besua kompjuterit, madje edhe teksti program kompjuterik cituar. Ky program llogariti gjithçka dhe kontrolloi gjithçka - me të vërtetë, gjithçka është në rregull, dhe kjo do të thotë se teorema me katër ngjyra është vërtetuar.
Menjëherë u bë një zhurmë nëse një provë e tillë mund të besohej. Pas te gjithave shumica provat janë kryer nga një kompjuter, jo një person. "Po sikur kompjuteri të bënte një gabim?" - thanë njerëz kaq mendjengushtë.
Dhe problemet me këtë provë filluan vërtet, por ato rezultuan të mos ishin në pjesën e kompjuterit, por në pjesën njerëzore. Në provë u gjetën të meta. Është e qartë se një tekst me një gjatësi të tillë që përmban kërkime komplekse, natyrisht, mund të përmbajë gabime. Këto gabime janë gjetur, por, për fat të mirë, janë korrigjuar.
Ajo që mbeti ishte pjesa e kompjuterit, e cila që atëherë është testuar edhe në më shumë se një kompjuter, madje duke rishkruar programe, thjesht duke bërë të njëjtin kërkim. Në fund të fundit, nëse thuhet se çfarë saktësisht duhet të përsëritet, atëherë secili mund të shkruajë programin e tij dhe të kontrollojë që rezultati të jetë ashtu siç duhet. Dhe mua, për shembull, më duket se përdorimi i kërkimeve kaq të mëdha kompjuterike në provë nuk është problem. Pse? Por për të njëjtën arsye, e cila tashmë është shfaqur në shembullin e problemit të katër ngjyrave - se ka shumë më shumë besim në provat kompjuterike sesa në provat njerëzore, jo më pak. Ata bërtisnin se kompjuteri është një makinë, por po sikur të prishej diku, të devijonte, të llogaritte diçka gabim... Por kjo nuk mund të jetë kështu. Sepse nëse kompjuteri aksidentalisht u rrëzua diku dhe ndodhi një gabim - një zero u zëvendësua aksidentalisht nga një - kjo nuk do të çojë në një rezultat të pasaktë. Kjo nuk do të çojë në asnjë rezultat, thjesht programi përfundimisht do të prishet. Cili është një operacion tipik që kryen një kompjuter? Ata morën filan numër nga filani regjistër dhe transferuan kontrollin mbi të në filan vend. Natyrisht, nëse do të kishte një ndryshim prej një biti në këtë numër, kontrolli u transferua në një destinacion të panjohur atje u shkruan disa komanda që shumë shpejt thjesht do të shkatërronin gjithçka.
Sigurisht, mund të ketë një gabim në shkrimin e një programi për një kompjuter, por kjo tashmë është gabim njerëzor. Një person mund të lexojë programin dhe të kontrollojë nëse është i saktë apo jo. Një person mund të lexojë gjithashtu provat e dikujt tjetër dhe të kontrollojë nëse është e saktë apo jo. Por një person ka shumë më shumë shanse bëjnë një gabim se kompjuteri. Nëse po lexoni provat e dikujt tjetër që është mjaft e gjatë dhe ka një gabim në të, atëherë ka të gjitha mundësitë që ju të mos e vini re. Pse? Para së gjithash, sepse duke qenë se vetë autori i provës e ka bërë këtë gabim, do të thotë se ai është i justifikuar psikologjikisht. Kjo do të thotë, ai e bëri atë për një arsye, rastësisht - ky është, në parim, një vend ku një person tipik mund të bëjë një gabim të tillë. Kjo do të thotë që ju mund të bëni të njëjtin gabim duke lexuar këtë pasazh dhe, në përputhje me rrethanat, duke mos e vërejtur atë. Prandaj, verifikimi njerëzor, por prova njerëzore është shumë më pak mënyrë të besueshme verifikimi sesa kontrollimi i rezultatit të një programi kompjuterik duke e ekzekutuar përsëri në ndonjë makinë tjetër. E dyta praktikisht garanton se gjithçka është në rregull, dhe e para është sa me fat.
Dhe me këtë problem - gjetja e një gabimi në një tekst matematikor të shkruar nga njerëzit - po bëhet gjithnjë e më e vështirë, dhe ndonjëherë edhe e pamundur - kjo problem serioz matematikë moderne. Duhet ta luftojmë. Si - tani askush nuk e di. Por problemi është i madh dhe është shfaqur seriozisht tani - ka disa shembuj të kësaj. Këtu është ndoshta më pak i njohur, por një nga më modernët. Kjo është hipoteza e vjetër e Keplerit. Ajo flet për vendosjen e topave hapësirë tredimensionale.
Le të shohim fillimisht se çfarë ndodh në hapësirën dydimensionale, domethënë në një aeroplan. Le të kemi rrathë identikë. Cila është mënyra më e dendur për t'i nxjerrë ato në një aeroplan në mënyrë që të mos kryqëzohen? Ekziston një përgjigje - duhet të vendosni qendrat e rrathëve në nyjet e grilës gjashtëkëndore. Kjo deklaratë nuk është krejtësisht e parëndësishme, por është e lehtë.
Dhe në hapësirën tredimensionale, si do t'i paketoni fort topat? Fillimisht shtrojmë topat në një rrafsh siç tregohet në figurën 6. Më pas vendosim një shtresë tjetër të ngjashme sipër duke e shtypur deri në fund, siç tregohet në figurën 7. Më pas vendosim një shtresë tjetër të ngjashme sipër etj. Është intuitivisht e qartë se kjo është mënyra më e dendur për të paketuar topat në hapësirën tre-dimensionale. Kepler argumentoi (dhe duket se ka qenë i pari që formuloi) se ky paketim duhet të jetë paketimi më i dendur në hapësirën tre-dimensionale.
Kjo ndodhi në shekullin e 17-të dhe kjo hipotezë ka qëndruar që atëherë. Në fillim të shekullit të 21-të u shfaq prova e saj. Dhe secili prej jush mund ta marrë dhe ta lexojë. Është i disponueshëm publikisht në internet. Ky është një artikull prej dyqind faqesh. Është shkruar nga një person, dhe gjithashtu përmban disa arsyetime thjesht matematikore dhe llogaritje kompjuterike.
Së pari, autori përdor arsyetimin matematikor për ta reduktuar problemin në një verifikim numër i kufizuar rastet. Pas kësaj, ndonjëherë duke përdorur një kompjuter, ai kontrollon këtë numër përfundimtar, por shumë të madh të rasteve, gjithçka përshtatet, dhe - urray! - Hipoteza e Keplerit është vërtetuar. Dhe këtu është problemi me këtë artikull - askush nuk mund ta lexojë atë. Sepse është e rëndë, sepse në disa vende nuk është plotësisht e qartë se është me të vërtetë një tepricë e plotë, sepse është thjesht e mërzitshme të lexosh. Dyqind faqe llogaritje të mërzitshme. Një person nuk mund ta lexojë atë.
Në përgjithësi, të gjithë besojnë se ky artikull përmban një provë të kësaj teoreme. Por nga ana tjetër, askush nuk e ka verifikuar ende këtë sinqerisht, veçanërisht, ky artikull nuk është botuar në asnjë revistë të vlerësuar nga kolegët, d.m.th. asnjë matematikan që respekton veten nuk është i gatshëm të nënshkruajë deklaratën se "po, gjithçka është e saktë, dhe hipoteza e Keplerit është vërtetuar”.
Dhe kjo nuk është e vetmja situatë, kjo ndodh edhe në fusha të tjera të matematikës. Kohët e fundit kam hasur në një listë të problemeve të pazgjidhura në teorinë e grupeve, në teorinë e modelit, në zona të ndryshme. Dhe për një hipotezë ka komente të tilla: gjoja u hodh poshtë në një artikull të tillë, por askush nuk e beson.
Kjo është situata. Një person ka vërtetuar një deklaratë, por nuk është në gjendje t'ia përcjellë një tjetri, t'ia tregojë një tjetri.
Shembulli më i tmerrshëm është, natyrisht, klasifikimi i grupeve të thjeshta të fundme. Unë nuk do të formuloj saktësisht se çfarë është, cilat janë grupet, cilat janë grupet e fundme, nëse dëshironi, mund ta zbuloni vetë. Grupet e fundme janë të gjitha, në një farë kuptimi, të mbledhura nga blloqe të thjeshta, të cilat quhen grupe të thjeshta, dhe këto nuk mund të çmontohen më në blloqe më të vogla. Ka pafundësisht shumë nga këto grupe të thjeshta të fundme. Lista e tyre e plotë duket kështu: këto janë shtatëmbëdhjetë seri pa fund, të cilave u shtohen 26 në fund grupe të veçanta, të cilat janë ndërtuar disi në mënyrë të veçantë dhe nuk përfshihen në asnjë seri. Thuhet se kjo listë përmban të gjitha grupet e thjeshta të fundme. Problemi është tmerrësisht i nevojshëm për matematikën. Prandaj, në vitet '70, kur u shfaqën disa ide dhe shpresa të veçanta për zgjidhjen e tij, disa qindra matematikanë nga vende të ndryshme, nga institucione të ndryshme, secili mori copën e vet. Kishte, si të thuash, arkitektë të këtij projekti që përafërsisht imagjinuan se si do të mblidhej i gjithë më vonë në provë e vetme. Është e qartë se njerëzit nxitonin dhe konkurronin. Si rezultat, pjesët që ata bënë arritën gjithsej rreth 10,000 faqe revistash, dhe kjo është vetëm ajo që u botua. Dhe ka edhe artikuj që ekzistonin ose si printime paraprake ose si kopje të shtypura. Unë vetë lexova një artikull të tillë në të njëjtën kohë, ai nuk u botua kurrë, megjithëse përfshin një pjesë të dukshme të kësaj prove të plotë. Dhe këto 10.000 faqe janë të shpërndara në revista të ndryshme, të shkruara njerez te ndryshëm, Me në shkallë të ndryshme kuptueshmëria, dhe për një matematikan të zakonshëm që nuk është i lidhur me këtë dhe nuk është një nga arkitektët e kësaj teorie, jo vetëm që është e pamundur të lexosh të gjitha 10,000 faqet, është gjithashtu shumë e vështirë të kuptojë vetë strukturën e provës. Për më tepër, disa nga këta arkitektë thjesht kanë vdekur që atëherë.
Ata njoftuan se klasifikimi ishte përfunduar, megjithëse prova ekzistonte vetëm në formën e tekstit që askush nuk mund ta lexonte, dhe kjo çoi në telashet e mëposhtme. Matematikanët e rinj ishin më pak të gatshëm të hynin në teorinë e grupeve të fundme. Gjithnjë e më pak më pak njerëz e bën këtë. Dhe mund të ndodhë që në 50 vjet të mos ketë një person në Tokë që do të jetë në gjendje të kuptojë ndonjë gjë në këtë provë. Do të ketë legjenda: paraardhësit tanë të mëdhenj ishin në gjendje të vërtetonin se të gjitha grupet e thjeshta të fundme janë renditur në këtë listë dhe se nuk ka të tjerë, por tani kjo njohuri ka humbur. Një situatë mjaft realiste. Por fatmirësisht nuk jam i vetmi që e konsideroj realiste këtë situatë, ndaj po e luftojnë, madje kam dëgjuar se kanë organizuar një projekt të veçantë “Filozofik dhe problemet e matematikës lidhur me vërtetimin e klasifikimit të grupeve të thjeshta të fundme”. Ka njerëz që përpiqen ta sjellin këtë provë formë e lexueshme, dhe ndoshta një ditë do të funksionojë vërtet. Ka njerëz që po përpiqen të kuptojnë se çfarë të bëjnë me gjithë këto vështirësi. Njerëzimi e kujton këtë detyrë, dhe kjo do të thotë se përfundimisht do ta përballojë atë. Por megjithatë, mund të ndodhë që të shfaqen teorema të tjera po aq komplekse që mund të vërtetohen, por provat e të cilave askush nuk është në gjendje t'i lexojë, askush nuk është në gjendje t'i tregojë askujt.
Teorema e katërt
Epo, tani teorema e katërt, për të cilën do t'ju tregoj pak, mund të jetë edhe më e tmerrshmja - "edhe nëse ai mund t'ju thotë, askush nuk do të interesohet". Një fragment i caktuar i këtij problemi tashmë është dëgjuar. Njerëzit nuk janë më të interesuar të studiojnë grupe të fundme. Gjithnjë e më pak njerëz po e bëjnë këtë dhe masa e dijes që është ruajtur në formë tekstesh nuk i nevojitet më askujt, askush nuk di ta lexojë. Ky është gjithashtu një problem që kërcënon shumë fusha të matematikës.
Është e qartë se disa fusha të matematikës janë me fat. Për shembull, e njëjta teori grafike dhe kombinatorika. Për të filluar seriozisht t'i bëni ato, duhet të dini shumë pak. Ju keni mësuar pak, keni zgjidhur problemet e Olimpiadës, një hap - dhe jeni përballur me një problem të pazgjidhur. Ka diçka për të marrë - urray, ne do ta marrim atë, është interesante, ne do të punojmë për të. Por ka fusha të matematikës në të cilat edhe për të ndjerë se kjo fushë është vërtet e bukur dhe se dëshiron ta studiosh, duhet të mësosh shumë. Dhe në të njëjtën kohë, gjatë rrugës do të mësoni shumë gjëra të tjera të bukura. Por ju nuk duhet të shpërqendroheni nga këto bukuri që hasni gjatë rrugës dhe në fund arrini atje, në natyrën e egër, tashmë shihni bukurinë atje, dhe madje edhe atëherë, pasi keni mësuar shumë, bëheni në gjendje të studioni këtë zonë të matematikë. Dhe kjo vështirësi është problem për zona të tilla. Që fusha e matematikës të zhvillohet, duhet të praktikohet. Një numër i mjaftueshëm njerëzish duhet të jenë aq të interesuar për të sa të kapërcejnë të gjitha vështirësitë, të arrijnë atje dhe më pas të vazhdojnë ta bëjnë atë. Dhe tani matematika po arrin një nivel të tillë kompleksiteti sa për shumë fusha ky po bëhet problemi kryesor.
Nuk e di se si do t'i përballojë njerëzimi të gjitha këto probleme, por do të jetë interesante të shihet.
Kjo është e gjitha, në fakt.
Një çështje madhështore
Një herë në buletinin e Vitit të Ri se si të bëni dolli, përmenda rastësisht se në fund të shekullit të njëzetë, ndodhi një ngjarje e madhe, të cilën shumë nuk e vunë re - e ashtuquajtura Teorema e fundit e Fermatit. Lidhur me këtë, ndër letrat që mora, gjeta dy përgjigje nga vajza (njëra prej tyre, me sa mbaj mend, ishte Vika e klasës së nëntë nga Zelenograd), të cilat u habitën nga ky fakt.
Unë u befasova nga sa fort interesoheshin vajzat për problemet e matematikës moderne. Prandaj, mendoj se jo vetëm vajzat, por edhe djemtë e të gjitha moshave - nga nxënësit e shkollave të mesme e deri te pensionistët, do të jenë gjithashtu të interesuar të mësojnë historinë e Teoremës së Madhe.
Vërtetimi i teoremës së Fermatit është një ngjarje e madhe. Dhe sepse Nuk është zakon të bëjmë shaka me fjalën "i shkëlqyer", por më duket se çdo folës që respekton veten (dhe ne jemi të gjithë folës kur flasim) është thjesht i detyruar të dijë historinë e teoremës.
Nëse ndodh që ju nuk e doni matematikën aq sa unë e dua atë, atëherë kaloni nëpër disa nga detajet. Duke kuptuar që jo të gjithë lexuesit e buletinit tonë janë të interesuar të enden në xhunglën matematikore, u përpoqa të mos jap asnjë formulë (përveç vetë ekuacionit të teoremës së Fermatit) dhe të thjeshtoj sa më shumë mbulimin e disa çështjeve specifike.
Si e bëri Fermat rrëmujën
Jurist francez dhe me kohë të pjesshme matematikan i madh Në shekullin e 17-të, Pierre Fermat (1601-1665) parashtroi një deklaratë interesante në fushën e teorisë së numrave, e cila më vonë u bë e njohur si Teorema e Madhe e Fermatit. Kjo është një nga teoremat matematikore më të famshme dhe më fenomenale. Ndoshta, ngazëllimi rreth tij nuk do të kishte qenë aq i fortë nëse në librin e Diofantit të Aleksandrisë (shek. III) "Aritmetika", të cilin Fermat e studionte shpesh, duke bërë shënime në kufijtë e tij të gjerë dhe që djali i tij Samueli e ruajti me dashamirësi për pasardhësit, nuk ishte zbuluar përafërsisht shënimi i mëposhtëm nga matematikani i madh:
"Kam disa prova shumë befasuese, por janë shumë të mëdha për t'u futur në margjina."
Ishte ky regjistrim që ishte arsyeja për bujën e madhe pasuese rreth teoremës.
Pra, shkencëtari i famshëm deklaroi se ai kishte vërtetuar teoremën e tij. Le të pyesim veten: e vërtetoi vërtet apo thjesht gënjeu? Apo ka versione të tjera që shpjegojnë shfaqjen e atij shënimi në margjina, i cili nuk lejoi shumë matematikanë të brezave të mëvonshëm të flinin të qetë?
Historia e Teoremës së Madhe është po aq magjepsëse sa një aventurë në kohë. Në vitin 1636, Fermat deklaroi se një ekuacion i formës Xn+Yn=Zn nuk ka zgjidhje në numra të plotë me një eksponent n>2. Kjo është pikërisht ajo që është Teorema e Madhe Fermë. Në këtë formulë matematikore në dukje të thjeshtë, Universi maskoi një kompleksitet të jashtëzakonshëm.
Është disi e çuditshme që për ndonjë arsye teorema u vonua në shfaqjen e saj, pasi situata kishte qenë duke u krijuar për një kohë të gjatë, sepse rasti i saj i veçantë me n = 2 është një tjetër i famshëm. formula matematikore- Teorema e Pitagorës u ngrit njëzet e dy shekuj më parë. Ndryshe nga teorema e Fermatit, teorema e Pitagorës ka një numër të pafund zgjidhjesh me numra të plotë, për shembull, trekëndëshat e mëposhtëm të Pitagorës: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Sindroma e Teoremës së Madhe
Kush nuk është përpjekur të vërtetojë teoremën e Fermatit? Çdo student i sapoardhur e konsideroi detyrën e tij të zbatohej në Teoremën e Madhe, por askush nuk ishte në gjendje ta vërtetonte atë. Në fillim nuk funksionoi për njëqind vjet. Pastaj njëqind të tjera. Një sindromë masive filloi të zhvillohej midis matematikanëve: "Si mund ta vërtetojë këtë Fermat, por çfarë, nuk mund ta bëj?" dhe disa prej tyre u çmendën mbi këtë bazë në çdo kuptim kjo fjale.
Pavarësisht se sa herë u testua teorema, ajo gjithmonë doli të ishte e vërtetë. Njohja një programues të zjarrtë i cili ishte i fiksuar pas hedhjes poshtë të Teoremës së Madhe duke u përpjekur të gjente të paktën një zgjidhje duke kërkuar nëpër numra të plotë duke përdorur një kompjuter me shpejtësi të lartë (më shpesh i quajtur mainframe në atë kohë). Ai besonte në suksesin e ndërmarrjes së tij dhe i pëlqente të thoshte: "Pak më shumë - dhe do të shpërthejë një ndjesi!" Mendoj se në vende të ndryshme të planetit tonë kishte një numër të konsiderueshëm të këtij lloji kërkuesish të guximshëm. Ai, natyrisht, nuk gjeti një zgjidhje të vetme. Dhe asnjë kompjuter, qoftë edhe me shpejtësi përrallore, nuk mund ta verifikonte kurrë teoremën, sepse të gjitha variablat e këtij ekuacioni (përfshirë eksponentët) mund të rriten në pafundësi.
Matematicieni më virtuoz dhe më pjellor i shekullit të 18-të, Leonard Euler, arkivi i të dhënave të të cilit njerëzimi ka rrëmbyer për gati një shekull, vërtetoi teoremën e Fermatit për fuqitë 3 dhe 4 (ose më mirë, ai përsëriti provat e humbura të vetë Pierre Fermat) ; ndjekësi i tij në teorinë e numrave, Lezhandri - për fuqitë 5; Dirichlet - për shkallën 7. Por në përgjithësi teorema mbeti e paprovuar.
Në fillim të shekullit të 20-të (1907), një dashnor i pasur gjerman i matematikës i quajtur Wolfskehl i la trashëgim njëqind mijë marka kujtdo që prezantonte provë e plotë Teoremat e Fermatit. Eksitimi filloi. Departamentet e matematikës ishin të mbushura me mijëra prova, por të gjitha, siç mund ta merrni me mend, përmbanin gabime. Thonë se në disa universitete të Gjermanisë, në të cilat sasi të mëdha U morën "provat" e teoremës së Fermatit, u përgatitën formularë me përafërsisht përmbajtjen e mëposhtme:
I dashur ________________________!
Në vërtetimin tuaj të teoremës së Fermatit në faqen ____ në rreshtin ____ në krye
gabimi i mëposhtëm u zbulua në formulën:___________________:,
Të cilat iu dërguan aplikantëve të pafat për çmimin.
Në atë kohë, në mesin e matematikanëve u shfaq një pseudonim gjysmë përçmues - fermeri. Ky ishte emri që i vihej çdo fillestari me vetëbesim, i cili nuk kishte njohuri, por kishte më shumë se sa ambicie për të provuar me nxitim dorën e tij në vërtetimin e Teoremës së Madhe dhe më pas, pa e vënë re gabimet e veta, duke e goditur veten me krenari në gjoks, me zë të lartë deklaroi: "Unë isha i pari që vërtetova teoremën e Fermatit!" Çdo fermer, edhe nëse ishte i dhjetëmijtë, e konsideronte veten të parën - kjo ishte qesharake. E thjeshtë pamjen Teorema e Madhe u kujtoi fermerëve aq shumë gjahun e lehtë, saqë ata nuk u turpëruan aspak që as Ojleri dhe Gausi nuk mund ta përballonin atë.
(Fermatistët, çuditërisht, ekzistojnë edhe sot. Edhe pse njëri prej tyre nuk mendoi se e kishte vërtetuar teoremën, si një Fermatist klasik, ai bëri përpjekje deri vonë - ai refuzoi të më besonte kur i thashë se teorema e Fermatit ishte tashmë e provuar).
Matematikanët më të fuqishëm, ndoshta, në qetësinë e zyrave të tyre, u përpoqën gjithashtu t'i afroheshin me kujdes kësaj shtange të pamundur, por nuk folën për të me zë të lartë, që të mos etiketoheshin si fermerë dhe, kështu, të mos dëmtonin autoritetin e tyre të lartë. .
Në atë kohë, ishte shfaqur një provë e teoremës për eksponentin n
