Çapraz matrisler en basit yapıya sahiptir. Matrisin içinde yer aldığı bir temel bulmanın mümkün olup olmadığı sorusu ortaya çıkıyor. doğrusal operatör diyagonal bir görünüme sahip olacaktır. Böyle bir temel mevcut.
Verilmesine izin ver doğrusal uzay Rn ve ona etki eden doğrusal operatör A; bu durumda A operatörü R n'yi kendi içine alır, yani A:R n → R n .

Tanım. Sıfır olmayan bir x vektörüne, eğer A operatörü x'i eşdoğrusal bir vektöre dönüştürüyorsa, A operatörünün özvektörü denir. λ sayısına, x özvektörüne karşılık gelen A operatörünün özdeğeri veya özdeğeri denir.
Özdeğerlerin ve özvektörlerin bazı özelliklerine dikkat edelim.
1. Özvektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu Aynı özdeğer λ'ya karşılık gelen A operatörü, aynı özdeğere sahip bir özvektördür.
2. Özvektörler çift ​​olarak farklı özdeğerlere sahip A operatörü λ 1 , λ 2 , …, λ m doğrusal olarak bağımsızdır.
3. Özdeğerler λ 1 =λ 2 = λ m = λ ise, o zaman özdeğer λ m'den fazla doğrusal bağımsız özvektöre karşılık gelmez.

Yani, eğer n tane doğrusal bağımsız özvektör varsa , farklı özdeğerlere karşılık gelen λ 1, λ 2, ..., λ n, o zaman doğrusal olarak bağımsızdırlar, bu nedenle R n uzayının temeli olarak alınabilirler. Doğrusal operatör A'nın matrisinin biçimini özvektörleri temelinde bulalım, bunun için A operatörüyle temel vektörler temelinde hareket edeceğiz: Daha sonra .
Böylece, doğrusal operatör A'nın özvektörleri temelinde matrisi köşegen bir forma sahiptir ve A operatörünün özdeğerleri köşegen boyuncadır.
Matrisin köşegen formda olduğu başka bir taban var mı? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem. (i = 1..n) bazındaki doğrusal operatör A'nın matrisi, ancak ve ancak bazın tüm vektörlerinin eşit olması durumunda köşegen bir forma sahiptir. özvektörler operatör A.

Özdeğerleri ve özvektörleri bulma kuralı

. (*)

(1)
Nerede - doğrusal operatör matrisi.

Eğer determinantı D sıfıra eşitse, Sistem (1)'in sıfır olmayan bir çözümü vardır

Örnek 12. Doğrusal operatör A, yasaya göre R3'te hareket eder; burada x 1, x 2, .., x n, vektörün tabandaki koordinatlarıdır , , . Bu operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun.
Çözüm. Bu operatörün matrisini oluşturuyoruz:
.
Özvektörlerin koordinatlarını belirlemek için bir sistem oluşturuyoruz:

Derleme karakteristik denklem ve çöz:

.
λ1,2 = -1, λ3 = 3.
λ = -1'i sisteme koyarsak:
veya
Çünkü ise iki bağımlı değişken ve bir serbest değişken vardır.
x 1 serbest bir bilinmeyen olsun, o zaman Bu sistemi herhangi bir şekilde çözeriz ve buluruz ortak karar Bu sistemin: n - r = 3 - 2 = 1 olduğundan temel çözüm sistemi tek bir çözümden oluşur.
λ = -1 özdeğerine karşılık gelen özvektörler kümesi şu biçimdedir: burada x1 sıfırdan farklı herhangi bir sayıdır. Bu kümeden bir vektör seçelim, örneğin x 1 = 1 koyarak: .
Benzer şekilde akıl yürüterek, λ = 3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü buluruz: .
R3 uzayında temel üç doğrusal elemandan oluşur. bağımsız vektörler R3'te bir bazın oluşturulamayacağı yalnızca iki doğrusal bağımsız özvektör aldık. Sonuç olarak, doğrusal bir operatörün A matrisini köşegen forma indirgeyemeyiz.

Örnek 13. Bir matris verildiğinde .
1. Vektörün olduğunu kanıtlayın A matrisinin bir özvektörüdür. Bu özvektöre karşılık gelen özdeğeri bulun.
2. A matrisinin köşegen formda olduğu bir taban bulun.
Çözüm.
1. Eğer ise x bir özvektördür

.
Vektör (1, 8, -1) bir özvektördür. Özdeğer λ = -1.
Matris, özvektörlerden oluşan bir temelde köşegen bir forma sahiptir. Bunlardan biri ünlü. Gerisini bulalım.
Sistemden özvektörleri arıyoruz:

Karakteristik denklem: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ2 - 1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
λ = -3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulalım:

Bu sistemin matrisinin rütbesi ikidir ve sayıya eşit bilinmeyenler olduğundan bu sistemin yalnızca sıfır çözümü x 1 = x 3 = 0 vardır. Burada x 2 sıfırdan başka herhangi bir şey olabilir, örneğin x 2 = 1. Dolayısıyla (0,1,0) vektörü bir özvektördür λ = -3'e karşılık gelir. Hadi kontrol edelim:
.
Eğer λ = 1 ise sistemi elde ederiz
Matrisin rütbesi ikidir. Son denklemin üzerini çiziyoruz.
x 3 bir serbest bilinmeyen olsun. O zaman x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
X 3 = 1 varsayarsak, (-3,-9,1) - λ = 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektörümüz var. Kontrol edin:

.
Özdeğerler gerçel ve farklı olduğundan bunlara karşılık gelen vektörler doğrusal olarak bağımsızdır, dolayısıyla R3'te temel alınabilirler. Böylece temelde , , A matrisi şu şekildedir:
.
A:R n → R n doğrusal operatörünün her matrisi köşegen forma indirgenemez, çünkü bazı doğrusal operatörler için n'den az doğrusal bağımsız özvektör olabilir. Bununla birlikte, matris simetrikse, m çokluğunun karakteristik denkleminin kökü tam olarak m doğrusal bağımsız vektöre karşılık gelir.

Tanım. Simetrik bir matris denir Kare matris ana köşegen etrafında simetrik olan elemanların eşit olduğu, yani .
Notlar. 1. Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.
2. Çift yönlü farklı özdeğerlere karşılık gelen simetrik bir matrisin özvektörleri diktir.
İncelenen aparatın birçok uygulamasından biri olarak, ikinci dereceden bir eğrinin tipini belirleme problemini ele alıyoruz.

Özdeğerler (sayılar) ve özvektörler.
Çözüm örnekleri

Kendin ol

Her iki denklemden de şu çıkıyor.

O zaman şunu koyalım: .

Sonuç olarak: – ikinci özvektör.

Tekrar edelim önemli noktalarçözümler:

– ortaya çıkan sistemin kesinlikle genel bir çözümü vardır (denklemler doğrusal olarak bağımlıdır);

– “y”yi tam sayı, ilk “x” koordinatı ise tam sayı, pozitif ve mümkün olduğu kadar küçük olacak şekilde seçiyoruz.

– Belirli bir çözümün sistemin her denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol ederiz.

Cevap .

Yeterince ara "kontrol noktası" vardı, bu nedenle eşitliğin kontrol edilmesi prensipte gereksizdir.

İÇİNDE çeşitli kaynaklar bilgi, özvektörlerin koordinatları sıklıkla sütunlar halinde değil satırlar halinde yazılır, örneğin: (ve dürüst olmak gerekirse ben de bunları satırlar halinde yazmaya alışkınım). Bu seçenek kabul edilebilir, ancak konunun ışığında doğrusal dönüşümler teknik olarak kullanımı daha uygun sütun vektörleri.

Belki çözüm size çok uzun göründü ama bunun tek sebebi ilk örneği çok detaylı yorumlamış olmamdır.

Örnek 2

Matrisler

Kendi başımıza antrenman yapalım! Yaklaşık örnek Dersin sonunda görevi bitirmek.

Bazen yapman gerekir ek görev, yani:

kanonik matris ayrıştırmasını yazın

Ne olduğunu?

Matrisin özvektörleri ise temel ise şu şekilde temsil edilebilir:

Özvektörlerin koordinatlarından oluşan bir matris nerede, – diyagonal karşılık gelen özdeğerlere sahip matris.

Bu matris ayrıştırmasına denir kanonik veya diyagonal.

İlk örneğin matrisine bakalım. Özvektörleri Doğrusal bağımsız(doğrusal olmayan) ve bir temel oluşturur. Koordinatlarından bir matris oluşturalım:

Açık ana diyagonal matrisler uygun sıraylaözdeğerler bulunur ve kalan elemanlar sıfıra eşittir:
– Sıranın önemini bir kez daha vurguluyorum: “iki” 1. vektöre karşılık gelir ve bu nedenle 1. sütunda yer alır, “üç” ise 2. vektöre karşılık gelir.

Bulmak için olağan algoritmayı kullanma ters matris veya Gauss-Jordan yöntemi bulduk . Hayır, bu bir yazım hatası değil! - senden önce nadirdir, sanki Güneş tutulması tersinin orijinal matrisle çakıştığı bir olay.

Geriye yazmak kalıyor kanonik genişleme matrisler:

Sistem kullanılarak çözülebilir temel dönüşümler ve aşağıdaki örnekler başvuracağız Bu method. Ancak burada "okul" yöntemi çok daha hızlı çalışıyor. 3. denklemden şunu ifade ederiz: – ikinci denklemde yerine koyarız:

İlk koordinat sıfır olduğundan, her denklemden bunu takip eden bir sistem elde ederiz.

Ve yeniden doğrusal bir ilişkinin zorunlu varlığına dikkat edin. Sadece önemsiz bir çözüm elde edilirse , bu durumda ya özdeğer hatalı bulunmuştur ya da sistem bir hatayla derlenmiştir/çözülmüştür.

Kompakt koordinatlar değeri verir

Özvektör:

Ve bir kez daha çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar. Sonraki paragraflarda ve sonraki görevlerde bu isteğin zorunlu bir kural olarak alınmasını öneriyorum.

2) Özdeğer için aynı prensibi kullanarak şunu elde ederiz: aşağıdaki sistem:

Sistemin 2. denkleminden şunu ifade ederiz: – üçüncü denklemde yerine şunu koyarız:

“Zeta” koordinatı sıfır olduğundan, her denklemden takip eden bir sistem elde ederiz. doğrusal bağımlılık.

İzin vermek

Çözümün kontrol edilmesi sistemin tüm denklemlerini karşılar.

Dolayısıyla özvektör: .

3) Ve son olarak sistem özdeğere karşılık gelir:

İkinci denklem en basit gibi göründüğü için onu ifade edelim ve 1. ve 3. denklemlerde yerine koyalım:

Her şey yolunda - ifadenin yerine koyduğumuz doğrusal bir ilişki ortaya çıktı:

Sonuç olarak “x” ve “y” “z” ile ifade edildi: . Uygulamada bu tür ilişkilerin tam olarak sağlanması gerekli değildir; bazı durumlarda hem aracılığıyla hem de yoluyla ifade etmek daha uygundur. Hatta "eğitim" - örneğin "X"ten "I"ye ve "I"den "Z"ye

O zaman şunu koyalım:

Çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar ve üçüncü özvektörü yazar

Cevap: özvektörler:

Geometrik olarak bu vektörler üç farklı uzaysal yönü tanımlar ("Orada ve tekrar geri"), buna göre doğrusal dönüşüm sıfır olmayan vektörleri (özvektörleri) eşdoğrusal vektörlere dönüştürür.

Koşul kanonik ayrıştırmanın bulunmasını gerektiriyorsa bu burada mümkündür, çünkü farklı özdeğerler farklı doğrusal bağımsız özvektörlere karşılık gelir. Matris yapmak koordinatlarından diyagonal bir matris itibaren ilgiliözdeğerler ve bulma ters matris .

Koşula göre yazmanız gerekiyorsa özvektörler temelinde doğrusal dönüşüm matrisi, ardından cevabı formda veriyoruz. Bir fark var ve fark önemli!Çünkü bu matris “de” matrisidir.

Daha fazlası ile ilgili sorun basit hesaplamalarİçin bağımsız karar:

Örnek 5

Bir matris tarafından verilen doğrusal dönüşümün özvektörlerini bulun

Kendi numaralarınızı bulurken 3. derece polinoma kadar gitmemeye çalışın. Ayrıca sistem çözümleriniz benim çözümlerimden farklı olabilir - burada kesinlik yoktur; ve bulduğunuz vektörler örnek vektörlerden ilgili koordinatlarının orantılılığına kadar farklılık gösterebilir. Örneğin ve. Cevabı formda sunmak estetik açıdan daha hoş ama ikinci seçenekte durursanız sorun olmaz. Ancak her şeyin makul sınırları var; sürüm artık pek iyi görünmüyor.

Dersin sonunda ödevin yaklaşık son örneği.

Çoklu özdeğer durumunda problem nasıl çözülür?

Genel algoritma Aynı kalır, ancak kendine has özellikleri vardır ve çözümün bazı bölümlerinin daha katı bir akademik tarzda tutulması tavsiye edilir:

Örnek 6

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Çözüm

Tabii ki, muhteşem ilk sütunu büyük harfle yazalım:

Ve ayrışmadan sonra ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre:

Sonuç olarak, ikisi kat olan özdeğerler elde edilir.

Özvektörleri bulalım:

1) Yalnız bir askerle “basitleştirilmiş” bir şemaya göre ilgilenelim:

Son iki denklemden eşitlik açıkça görülebilmektedir ve bunun sistemin 1. denkleminde değiştirilmesi gerektiği açıktır:

Daha iyi bir kombinasyon bulamazsınız:
Özvektör:

2-3) Şimdi birkaç nöbetçiyi kaldırıyoruz. İÇİNDE bu durumda işe yarayabilir ya iki ya da birözvektör. Köklerin çokluğuna bakılmaksızın değeri determinantın yerine koyarız. bu da bize bir sonrakini getiriyor homojen doğrusal denklem sistemi:

Özvektörler tam olarak vektörlerdir
temel çözüm sistemi

Aslında tüm ders boyunca temel sistemin vektörlerini bulmaktan başka bir şey yapmadık. Sadece şimdilik bu dönem buna gerçekten ihtiyacım yoktu. Bu arada, kamuflaj elbiseli konuyu kaçıran zeki öğrenciler homojen denklemler, şimdi onu içmeye zorlanacak.

Tek işlem silmekti ekstra çizgiler. Sonuç, ortasında resmi bir "adım" bulunan bire üç matristir.
– temel değişken, – serbest değişkenler. İki serbest değişken vardır, bu nedenle temel sistemin iki vektörü de vardır.

Temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade edelim: . “X” in önündeki sıfır faktörü, kesinlikle herhangi bir değeri almasına izin verir (bu, denklem sisteminden açıkça görülebilir).

Bu problem bağlamında genel çözümü arka arkaya değil sütun halinde yazmak daha uygundur:

Çift bir özvektöre karşılık gelir:
Çift bir özvektöre karşılık gelir:

Not : deneyimli okuyucular bu vektörleri sözlü olarak seçebilirler - yalnızca sistemi analiz ederek , ancak burada biraz bilgiye ihtiyaç vardır: üç değişken vardır, sistem matris sıralaması- bir, yani temel karar sistemi 3 – 1 = 2 vektörden oluşur. Ancak bulunan vektörler bu bilgi olmadan bile tamamen sezgisel düzeyde açıkça görülebilir. Bu durumda üçüncü vektör daha da “güzel” yazılacaktır: . Ancak bir başka örnekte basit bir seçimin mümkün olmayabileceği konusunda sizi uyarıyorum, bu nedenle madde tecrübeli kişilere yöneliktir. Ayrıca neden üçüncü vektörü de almayasınız? Sonuçta koordinatları aynı zamanda sistemin her denklemini ve vektörleri de karşılar Doğrusal bağımsız. Bu seçenek prensipte uygundur ancak "çarpıktır", çünkü "diğer" vektör temel sistemin vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir.

Cevap: özdeğerler: , özvektörler:

Benzer örnek bağımsız çözüm için:

Örnek 7

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Hem 6. hem de 7. örneklerde doğrusal olarak bağımsız özvektörlerin üçlüsünün elde edildiğine ve dolayısıyla orijinal matrisin kanonik ayrıştırmada temsil edilebildiğine dikkat edilmelidir. Ancak bu tür ahududular her durumda olmaz:

Örnek 8

Çözüm: Karakteristik denklemi oluşturup çözelim:

İlk sütundaki determinantı genişletelim:

Üçüncü derece polinomdan kaçınarak, dikkate alınan yönteme göre daha fazla basitleştirmeler yapıyoruz:

– özdeğerler.

Özvektörleri bulalım:

1) Kökle ilgili herhangi bir zorluk yoktur:

Şaşırmayın, kitin yanı sıra kullanılan değişkenler de var - burada hiçbir fark yok.

3. denklemden ifade edip 1. ve 2. denklemlerde yerine koyuyoruz:

Her iki denklemden de şu sonuç çıkar:

O halde:

2-3) Birden fazla değer için sistemi alıyoruz .

Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:

Matrislerin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulmak en çok kullanılan yöntemlerden biridir. karmaşık görevler lineer Cebirİşleyen süreçlerin modellenmesi ve analizi sürecinde ortaya çıkan dinamik sistemler, istatistiksel modelleme. Dolayısıyla, örneğin, rastgele bir vektörün kovaryans matrisinin özvektörleri, bu vektörün değerlerinin dispersiyonunun hiperellipsoidinin ana eksenlerinin yönlerini belirler ve özdeğerler, hiperellipsoidin boyunca gerilmesini veya sıkıştırılmasını belirler. ana eksenleri. Mekanikte, atalet tensörünün özvektörleri ve sayıları, katı bir cismin ana eksenlerinin yönünü ve ana atalet momentlerini karakterize eder.

Ayırt etmek tam dolu (cebirsel ya da, matris) özdeğer problemi, hepsini bulmayı varsayar kendi çiftleri bazı matrisler ve kısmi özdeğer problemleri kural olarak bir veya daha fazla bulmaktan ibarettir özdeğerler ve muhtemelen onlara karşılık gelen özvektörler. Çoğu zaman, ikinci durum Hakkında konuşuyoruz en büyük ve en küçük modulo özdeğerlerinin bulunması; Bu tür matris özelliklerine ilişkin bilgi, örneğin belirli matrislerin yakınsaması hakkında sonuçlar çıkarmaya olanak sağlar. yinelemeli yöntemler, parametrelerini optimize edin vb.

Özdeğer problemi şu şekilde formüle edilebilir: sıfır olmayan vektörler ve sayılar için doğrusal dönüşüm Bir matris yardımıyla vektör, bu vektörün uzaydaki yönünü değiştirmez, ancak yalnızca bu vektörü bir faktör kadar "germeye" mi indirgenir? Bu sorunun cevabı denklemin önemsiz çözümlerinde yatıyor

, (1.2)

kimlik matrisi nerede. Teorik olarak bu sorun kolayca çözülür: sözde köklerini bulmanız gerekir. karakteristik denklemler

(1.3)

ve bunları (1.2)'de birer birer değiştirerek karşılık gelen üstbelirlenmiş sistemlerden özvektörler elde edin.

Pratik uygulama Bu yaklaşım, çözülen problemin boyutu arttıkça artan bir takım zorluklarla ilişkilidir. Bu zorluklar belirleyicinin konuşlandırılmasından kaynaklanmaktadır. ve elde edilen polinomun köklerinin hesaplanması N derecenin yanı sıra doğrusal arama bağımsız kararlar yozlaşmış sistemler doğrusal cebirsel denklemler. Bu bağlamda, cebirsel özdeğer problemini çözmeye yönelik bu tür doğrudan bir yaklaşım genellikle yalnızca çok küçük matris boyutları için kullanılır ( N= 2, 3). Zaten N> 4 özeli öne çıkıyor Sayısal yöntemler bu tür problemlerin çözümleri, bunlardan biri matrise dayalıdır benzerlik dönüşümü, daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır. Bunu hatırlayalım benzer matrisler denir ve , Nerede İLE keyfi tekil olmayan bir matristir.

Özdeğerlerin ve vektörlerin temel özelliklerini kısaca sıralayalım:

1. Eğer – matrisin özçifti A, A – bir sayı o zaman aynı zamanda uygun bir çifttir A. Bu, her bir özdeğerin, yalnızca skaler faktörde farklılık gösteren sonsuz sayıda özvektöre karşılık geldiği anlamına gelir.

2. İzin ver – matrisin özçifti , nerede – bazıları gerçek Numara. Daha sonra – matrisin özçifti A. Böylece bu matrise ekleme A köşegen matris özvektörlerini ve kaymalarını değiştirmez menzil sayıya göre orijinal matris (sola doğru) ). Bir matrisin spektrumu tüm özdeğerlerinin kümesidir.

3. Eğer tersinir matrisin bir özçifti ise, o zaman – uygun matris çifti.

4. Köşegenin özdeğerleri ve üçgen matrisler onların köşegen elemanlarıdır, çünkü Bu tür matrisler için (1.1) dikkate alınarak karakteristik denklem (1.3) şu şekilde yazılabilir:

.

Son eşitlik şunu gösteriyor köşegen ve üçgen gerçek matrisler yalnızca gerçek özdeğerlere sahiptir(düz N olası çoklukları dikkate alınarak). Özdeğerlerin gerçekliği aynı zamanda kovaryans matrisleri ve atalet tensörlerini içeren uygulamalardaki çok önemli bir simetrik matris sınıfının doğasında vardır.

5. Eğer – matrisin özçifti , O – matrisin özçifti A Böylece benzerlik dönüşümü herhangi bir matrisin spektrumunu değiştirmeden tutar.

6. İzin ver A– basit boyut yapısının matrisi ve matrisler Ve sırasıyla özdeğerlerinden ve özvektörlerinden oluşturulmuştur. O zaman eşitlik doğrudur . Özdeğerlerden oluşan diyagonal bir matris için özvektörler şu şekilde görev yapabilir: birim vektörleri orijinal temel ( , ), daha sonra özellik 5'i kullanarak ve alarak Ve (onlar. ), özellik 6 farklı şekilde formüle edilebilir: eğer matrisin bir özçifti ise, o zaman uygun bir matris çifti var A.

Doğrusal koordinat dönüşümleri. Bir matrisin özvektörleri ve özdeğerleri, özellikleri. Bir matrisin karakteristik polinomu, özellikleri.

Bunu vektörler kümesinde söyleyeceğiz R verildi dönüşümA , eğer her bir vektör X R bazı kurallara göre vektör AX R.

Tanım 9.1. Dönüştürmek A isminde doğrusal herhangi bir vektör için ise X Ve en ve herhangi bir gerçek sayı için λ aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

A(X + en )=AX + biren ,bir(λX ) =λbirX . (9.1)

Tanım 9.2. Doğrusal dönüşüm denir birebir aynı herhangi bir vektörü dönüştürürse X kendi içine.

Kimlik dönüşümü belirtilir OX = X .

Temeli olan üç boyutlu bir uzay düşünün e 1 , e 2 , e 3 doğrusal bir dönüşümün belirtildiği A. Bunu temel vektörlere uygulayarak vektörleri elde ederiz. Ae 1 , Ae 2 , Ae 3 bu üç boyutlu uzaya ait. Sonuç olarak, her biri benzersiz bir şekilde temel vektörlere genişletilebilir:

Ae 1 = bir 11 e 1 + bir 21 e 2 +bir 31 e 3 ,

Ae 2 = bir 12 e 1 + bir 22 e 2 + bir 32 e 3 , (9.2)

Ae 3 = bir 13 e 1 + bir 23 e 2 + bir 33 e 3 .

Matris
isminde doğrusal dönüşüm matrisiA temelde e 1 , e 2 , e 3 . Bu matrisin sütunları temel dönüşüm formüllerindeki (9.2) katsayılardan oluşur.

Yorum. Açıkçası, kimlik dönüşüm matrisi kimlik matrisidir e.

Keyfi bir vektör için X =x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 ona doğrusal bir dönüşüm uygulamanın sonucu A bir vektör olacak AX , aynı temelde vektörlere genişletilebilir: AX =x' 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 koordinatların olduğu yer X` Ben formüller kullanılarak bulunabilir:

X` 1 = bir 11 X 1 +bir 12 X 2 +bir 13 X 3 ,

x' 2 = bir 21 X 1 +bir 22 X 2 +bir 23 X 3 , (9.3)

X` 3 = A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 .

Bu doğrusal dönüşümün formüllerindeki katsayılar matris satırlarının elemanlarıdır A.

Doğrusal dönüşüm matris dönüşümü

yeni bir temele taşınırken.

Üç boyutlu uzayda doğrusal bir A dönüşümünü ve iki tabanı düşünün: e 1 , e 2 , e 3 Ve e 1 , e 2 , e 3 . C matrisinin tabandan geçiş formüllerini tanımlamasına izin verin ( e k) temeline ( e k). Bu bazlardan ilkinde seçilen doğrusal dönüşüm A matrisi tarafından, ikincisinde ise matris tarafından verilirse A, o zaman bu matrisler arasındaki bağlantıyı bulabiliriz:

bir = C-1 A C (9.4)

Gerçekten mi,
, Daha sonra A
. Öte yandan aynı doğrusal dönüşümün uygulanmasının sonuçları A temelde ( e k), yani. ve temelde ( e k ): sırasıyla - matris ile bağlı İLE:
, bundan şu sonuç çıkıyor CA=A İLE. Bu eşitliğin her iki tarafının soldan çarpılması İLE-1, elde ederiz İLE - 1 CA = = C -1 A İLE bu da formül (9.4)'ün geçerliliğini kanıtlar.

Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri.

Tanım 9.3. Vektör X isminde özvektör matrisler A eğer böyle bir sayı varsa λ, eşitliğin geçerli olduğu: AX = λ X , yani başvuru sonucu X matris tarafından belirtilen doğrusal dönüşüm A, bu vektörün sayıyla çarpımıdır λ . Sayının kendisi λ isminde özdeğer matrisler A.

Formüllerde (9.3) yerine koyma X` J = λ X J , özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz:

.

. (9.5)

Bu doğrusal homojen sistem sahip olacak önemsiz olmayan çözüm yalnızca ana determinantı 0 ise (Cramer kuralı). Bu koşulu forma yazarak:

özdeğerleri belirlemek için bir denklem elde ederiz λ , isminde karakteristik denklem. Kısaca şu şekilde temsil edilebilir:

| A - λ e| = 0, (9.6)

sol tarafı matrisin determinantını içerdiğinden A-λE. Polinom akrabası λ | A - λ e| isminde karakteristik polinom matrisler A.

Karakteristik polinomun özellikleri:

Özdeğerlerin ve özvektörlerin özellikleri:

Özvektörlerden bir temel seçersek X 1 , X 2 , X 3 özdeğerlere karşılık gelen λ 1 , λ 2 , λ 3 matrisler A, bu temelde A doğrusal dönüşümü köşegen formda bir matrise sahiptir:

(9.7) Bu özelliğin kanıtı özvektörlerin tanımından çıkar.

Dönüşüm özdeğerleri ise A farklıysa, karşılık gelen özvektörleri doğrusal olarak bağımsızdır.

Matrisin karakteristik polinomu ise Aüç farklı köke sahipse, bazı temellerde matris A diyagonal bir görünüme sahiptir.

Matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım Karakteristik bir denklem oluşturalım:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Bulunan her değere karşılık gelen özvektörlerin koordinatlarını bulalım. λ. (9.5)'ten şu sonuç çıkar: X (1) ={X 1 , X 2 , X 3 ) – karşılık gelen özvektör λ 1 =-2 ise

- işbirlikçi fakat belirsiz bir sistem. Çözümü şeklinde yazılabilir. X (1) ={A,0,-A), burada a herhangi bir sayıdır. Özellikle buna ihtiyacımız varsa | X (1) |=1,X (1) =

Sisteme Yerleştirme (9.5) λ 2 =3, ikinci özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir sistem elde ederiz - X (2) ={sen 1 , sen 2 , sen 3 }:

, Neresi X (2) ={B,- B, B) veya sağlanan | X (2) |=1,X (2) =

İçin λ 3 = 6 özvektörünü bulun X (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,X (3) ={C,2 C, C) veya normalleştirilmiş versiyonda

X (3) =
Şu fark edilebilir ki X (1) X (2) =ab – ab = 0,X (1) X (3) =AC – AC = 0,X (2) X (3) =M.Ö - 2M.Ö + M.Ö = 0. Dolayısıyla bu matrisin özvektörleri ikili olarak diktir.