Karar verirken çok sık geometrik problemler Yardımcı figürlerle eylemler gerçekleştirmelisiniz. Örneğin, yazılı veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmak vb. Bu makale size üçgenle çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı gösterecek. Veya başka bir deyişle üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapı.

Bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı nasıl bulunur - genel formül

Genel formül şu şekildedir: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), burada R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır, p, üçgenin çevresinin 2'ye bölümüdür. (yarı çevre). a, b, c – üçgenin kenarları.

a = 3, b = 6, c = 7 ise üçgenin çevre yarıçapını bulun.

Böylece yukarıdaki formüle dayanarak yarı çevreyi hesaplıyoruz:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Değerleri formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Cevap: R = 126/16√5

Eşkenar üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Eşkenar üçgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapını bulmak için pek çok yöntem vardır. basit formül: R = a/√3, burada a, kenarının boyutudur.

Örnek: Eşkenar üçgenin bir kenarı 5'tir. Çevrel dairenin yarıçapını bulun.

Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan sorunu çözmek için değerini formüle girmeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: R = 5/√3.

Cevap: R = 5/√3.

Dik üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül şu şekildedir: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, burada a ve b kenarlar ve c hipotenüstür. Bir dik üçgenin kenarlarının karelerini toplarsanız hipotenüsün karesini elde edersiniz. Formülden de anlaşılacağı üzere bu ifade kökün altındadır. Hipotenüsün karesinin kökünü hesaplayarak uzunluğu elde ederiz. Ortaya çıkan ifadeyi 1/2 ile çarpmak sonuçta bizi 1/2 × c = c/2 ifadesine götürür.

Örnek: Üçgenin bacakları 3 ve 4 ise çevrelenen dairenin yarıçapını hesaplayın. Değerleri formülde yerine koyun. Şunu elde ederiz: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

İÇİNDE verilen ifade 5 – hipotenüsün uzunluğu.

Cevap: R = 2,5.

Bir ikizkenar üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül şu şekildedir: R = a²/√(4a² – b²), burada a, üçgenin uyluğunun uzunluğu ve b, tabanın uzunluğudur.

Örnek: Kalçası = 7 ve tabanı = 8 olan bir dairenin yarıçapını hesaplayın.

Çözüm: Bu değerleri formülde yerine koyun ve şunu elde edin: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Cevap doğrudan bu şekilde yazılabilir.

Cevap: R = 49/√132

Bir dairenin yarıçapını hesaplamak için çevrimiçi kaynaklar

Tüm bu formüllerde kafa karıştırmak çok kolay olabilir. Bu nedenle gerekirse kullanabilirsiniz. çevrimiçi hesap makineleri yarıçapı bulma problemlerini çözmenize yardımcı olacaktır. Bu tür mini programların çalışma prensibi oldukça basittir. Yan değeri uygun alana yazın ve hazır bir cevap alın. Cevabınızı yuvarlamak için çeşitli seçenekler seçebilirsiniz: ondalık sayılara, yüzde birlere, binde birlere vb.

İlk seviye

Sınırlandırılmış daire. Görsel kılavuz (2019)

Ortaya çıkabilecek ilk soru şudur: Ne anlatılıyor - neyin etrafında?

Aslında bazen herhangi bir şeyin etrafında oluyor ama biz bir üçgenin etrafını saran bir daireden (bazen "hakkında" da diyorlar) bahsedeceğiz. Nedir?

Ve hayal edin, inanılmaz bir olay gerçekleşiyor:

Bu gerçek neden şaşırtıcı?

Ama üçgenler farklıdır!

Ve herkes için içinden geçecek bir daire var her üç zirve boyunca yani sınırlandırılmış daire.

Bunun kanıtı Muhteşem gerçek Teorinin aşağıdaki seviyelerinde bulabilirsiniz, ancak burada yalnızca, örneğin bir dörtgen alırsak, o zaman dört köşeden geçen bir dairenin herkes için olmayacağını not ediyoruz. Örneğin, bir paralelkenar mükemmel bir dörtgendir, ancak dört köşesinin tamamından geçen bir daire yoktur!

Ve sadece bir dikdörtgen için var:

Hadi bakalım, ve her üçgenin her zaman kendi çevrelenmiş dairesi vardır! Hatta bu çemberin merkezini bulmak her zaman oldukça kolaydır.

Bunun ne olduğunu biliyor musun dik açıortay?

Şimdi üçgenin kenarlarına dik olan en fazla üç ortayı düşünürsek ne olacağını görelim.

Görünüşe göre (ve biz kanıtlamasak da tam olarak kanıtlanması gereken şey bu) üç dik doğru da bir noktada kesişiyor. Resme bakın - üç dik açıortayın tümü bir noktada kesişiyor.

Sınırlandırılmış dairenin merkezinin her zaman üçgenin içinde olduğunu mu düşünüyorsunuz? Hayal edin - her zaman değil!

Ama eğer dar açılı, sonra - içeride:

Dik üçgenle ne yapmalı?

Ve ek bir bonusla:

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapından bahsettiğimize göre: neye eşittir? keyfi üçgen? Ve bu sorunun bir cevabı var: sözde .

Yani:

Ve tabi ki,

1. Varoluş ve çember merkezi

Burada şu soru ortaya çıkıyor: Her üçgen için böyle bir daire var mı? Herkes için evet olduğu ortaya çıktı. Üstelik şimdi çevrelenen dairenin merkezinin nerede olduğu sorusuna da cevap veren bir teorem formüle edeceğiz.

Bunun gibi:

Cesur olalım ve bu teoremi kanıtlayalım. "" konusunu zaten okuduysanız ve üç açıortayın neden bir noktada kesiştiğini anladıysanız, o zaman sizin için daha kolay olacaktır, ancak okumadıysanız endişelenmeyin: şimdi çözeceğiz.

İspatı noktaların yeri (GLP) kavramını kullanarak gerçekleştireceğiz.

Mesela top seti - " yer» yuvarlak nesneler? Hayır, elbette, çünkü yuvarlak... karpuzlar var. Konuşabilen bir grup insan mı, “geometrik bir yer” mi? Hayır, çünkü konuşamayan bebekler de var. Hayatta, gerçek bir "noktaların geometrik konumu" örneğini bulmak genellikle zordur. Geometride daha kolaydır. Örneğin tam olarak ihtiyacımız olan şey şu:

Burada küme dik açıortaydır ve " " özelliği "doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta (bir nokta) olmaktır."

Kontrol edelim mi? Bu nedenle iki şeyden emin olmanız gerekir:

Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan herhangi bir nokta, ona dik açıortay üzerinde bulunur.

C ile c'yi bağlayalım. O halde doğrunun ortancası ve yüksekliği b'dir. Bu, - ikizkenar - dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir noktanın ve noktalarından eşit uzaklıkta olmasını sağladığımız anlamına gelir.

Ortasını alıp birleştirelim ve. Sonuç medyandır. Ancak duruma göre sadece orta kenar ikizkenar değil aynı zamanda yükseklik yani dik açıortaydır. Bu, noktanın tam olarak dik açıortay üzerinde olduğu anlamına gelir.

Tüm! Bu gerçeği tam olarak doğruladık Bir parçanın dik açıortayı, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bunların hepsi iyi hoş da, çevrelenmiş çemberi unuttuk mu? Hiç de değil, kendimize bir “saldırı için sıçrama tahtası” hazırladık.

Bir üçgen düşünün. Diyelim ki bölümlere iki iki dik dik çizelim ve. Adını vereceğimiz bir noktada kesişecekler.

Şimdi dikkat edin!

Nokta dik açıortayın üzerindedir;
nokta dik açıortay üzerindedir.
Bu da ve demektir.

Bundan birkaç şey çıkar:

İlk olarak nokta, parçaya dik olan üçüncü açıortay üzerinde bulunmalıdır.

Yani, dik açıortayın da noktadan geçmesi gerekir ve üç dik açıortay da bir noktada kesişir.

İkincisi: Merkezi bir noktada ve yarıçapı olan bir daire çizersek, o zaman bu daire de hem noktadan hem de noktadan geçecektir, yani çevrelenmiş bir daire olacaktır. Bu, herhangi bir üçgen için üç dik açıortayın kesişiminin çevrelenen dairenin merkezi olmasının zaten mevcut olduğu anlamına gelir.

Ve son şey: benzersizlik hakkında. Noktanın benzersiz bir şekilde elde edilebileceği (neredeyse) açıktır, dolayısıyla daire benzersizdir. Peki, "neredeyse" ifadesini sizin düşüncenize bırakacağız. Böylece teoremi kanıtladık. “Yaşasın!” diye bağırabilirsiniz.

Peki ya problem "sınırlandırılmış dairenin yarıçapını bulun" diye sorarsa? Veya tam tersi, yarıçap verilmiştir, ancak başka bir şey bulmanız mı gerekiyor? Çevrel dairenin yarıçapını üçgenin diğer elemanlarına bağlayan bir formül var mı?

Lütfen dikkat: sinüs teoremi şunu belirtir: Sınırlandırılmış dairenin yarıçapını bulmak için bir tarafa (herhangi bir!) ve onun karşısındaki açıya ihtiyacınız vardır.. Bu kadar!

3. Çemberin merkezi - içeride veya dışarıda

Şimdi soru şu: çevrel çemberin merkezi üçgenin dışında olabilir mi?
Cevap: Mümkün olduğu kadar. Üstelik bu her zaman geniş bir üçgende olur.

Ve genel olarak konuşursak:

DAİRESEL DAİRE. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Bir üçgenin çevrelediği daire

Bu, bu üçgenin üç köşesinden de geçen dairedir.

2. Varoluş ve çember merkezi

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

İçin başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

İkinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık seviyelerinde çözümleri ve cevapları olan 6000 problem." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterli olacaktır.

Aslında bu bir simülatörden çok daha fazlasıdır; tam bir eğitim programıdır. Gerektiğinde ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Tüm metinlere ve programlara erişim, sitenin TÜM varlığı boyunca sağlanmaktadır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

İhtiyacın olacak

Verilen parametrelere sahip üçgen
Pusula
Cetvel
Kare
Sinüs ve kosinüs tablosu
Matematiksel kavramlar
Bir üçgenin yüksekliğini belirleme
Sinüs ve kosinüs formülleri
Üçgen alan formülü

Talimatlar

Gerekli parametrelere sahip bir üçgen çizin. Bir üçgenin ya üç kenarı ya da iki kenarı ve bunlar arasında bir açı ya da bir kenarı ve iki komşu açısı vardır. Üçgenin köşelerini A, B ve C olarak, açılarını α, β ve γ olarak ve köşelerin karşısındaki kenarları a, b ve c olarak etiketleyin.

Üçgenin her tarafına çizin ve kesişme noktalarını bulun. Yükseklikleri, kenarlar için karşılık gelen indekslerle birlikte h olarak belirtin. Kesişme noktasını bulun ve O olarak etiketleyin. Bu, dairenin merkezi olacaktır. Böylece bu dairenin yarıçapları OA, OB ve OS segmentleri olacaktır.

İki formül kullanarak yarıçapı bulun. Birincisi, önce hesaplamanız gerekir. Üçgenin tüm kenarlarına, açılardan herhangi birinin sinüsünün 2'ye bölünmesiyle eşittir.

Bu durumda çevrelenen dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Diğeri için kenarlardan birinin uzunluğu ve karşı açının sinüsü yeterlidir.

Yarıçapı hesaplayın ve üçgenin çevresini tanımlayın.

Yararlı tavsiye

Bir üçgenin yüksekliğinin ne olduğunu hatırlayın. Bu, bir köşeden karşı tarafa çizilen bir diktir.

Bir üçgenin alanı, kenarlardan birinin karesi ile iki sinüsün çarpımı olarak da temsil edilebilir. bitişik açılar, bu açıların toplamının sinüsünün iki katına bölünür.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Kaynaklar:

çevrelenmiş daire yarıçaplı tablo
Eşkenar etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı

Bir çokgenin tüm köşelerine değmesi durumunda çevrelenmiş olduğu kabul edilir. Dikkat çeken şey, bu merkezin daireçokgenin kenarlarının orta noktalarından çizilen dikmelerin kesişme noktası ile çakışır. Yarıçap tarif edildi daire tamamen etrafında tanımlandığı çokgene bağlıdır.

İhtiyacın olacak

Bir çokgenin kenarlarını ve alanını/çevresini bilin.

Talimatlar

Not

Bir çokgenin etrafına bir daire yalnızca düzenli olması durumunda çizilebilir, yani. tüm kenarları eşittir ve tüm açıları eşittir.
Bir çokgenin çevrelediği dairenin merkezinin, ona dik olan ortaortayların kesişimi olduğu tezi her şey için geçerlidir. düzenli çokgenler.

Kaynaklar:

çokgenin yarıçapı nasıl bulunur

Bir çokgen için çevrel çember oluşturmak mümkünse, bu çokgenin alanı daha az alan sınırlı daire ama daha fazla alan yazılı daire. Bazı çokgenler için formüllerin bulduğu bilinmektedir. yarıçap yazılı ve çevrelenmiş daireler.

Talimatlar

Çokgenin her tarafına temas eden bir çokgenin içine yazılmış bir daire. Bir üçgen için yarıçap daireler: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, burada p yarı-çevredir; a, b, c - üçgenin kenarları. Formül basitleştirildiği için: r = a/(2*3^1/2), a üçgenin kenarıdır.

Bir çokgenin çevrelediği daire, çokgenin tüm köşelerinin üzerinde bulunduğu bir dairedir. Bir üçgen için yarıçap şu formülle bulunur: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), burada p yarı çevredir; a, b, c - üçgenin kenarları. Doğru olanı için daha kolay: R = a/3^1/2.

Çokgenler için yazılı yarıçapların oranını ve kenarlarının uzunluklarını bulmak her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman çokgenin etrafında bu tür daireler oluşturmakla sınırlıdırlar ve daha sonra fiziksel olarak yarıçapölçüm aletlerini veya vektör uzayını kullanarak daireler.
Dışbükey bir çokgenin çevrel çemberini oluşturmak için, iki köşesinin açıortayları oluşturulur; bunların kesişiminde çevrel çemberin merkezi bulunur. Yarıçap, açıortayların kesişme noktasından çokgenin herhangi bir köşesinin tepe noktasına kadar olan mesafe olacaktır. Çokgenin içine inşa edilen dikmelerin kenarların merkezlerinden kesiştiği yerde yazılanların merkezi (bu dikmeler ortancadır). Bu tür iki dikin inşa edilmesi yeterlidir. Yazılı daire yarıçapı mesafeye eşit ortanca diklerin kesişme noktasından çokgenin kenarına kadar.

Konuyla ilgili video

Not

B keyfi olarak verilen çokgen Bir daire çizip onun etrafındaki daireyi tanımlayamazsınız.

Yararlı tavsiye

a+c = b+d ise bir dörtgen içine bir daire yazılabilir; burada a, b, c, d sırasıyla dörtgenin kenarlarıdır. Karşıt açılarının toplamı 180 dereceye eşitse, bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir;

Bir üçgen için bu tür daireler her zaman mevcuttur.

İpucu 4: Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Üçgenin alanını bulmak en sık karşılaşılan sorunlardan biridir okul planimetrisi. Bir üçgenin üç kenarını bilmek herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Özel durumlarda ve eşkenar üçgenler sırasıyla iki ve bir tarafın uzunluklarını bilmek yeterlidir.

İhtiyacın olacak

üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi

Talimatlar

Heron'un üçgenin alanı formülü şu şekildedir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Yarı çevre p'yi yazarsak şunu elde ederiz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Örneğin kosinüs teoremini uygulayarak bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.

Kosinüs teoremine göre, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Sunulan gösterimler kullanılarak bunlar şu şekilde de yazılabilir: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dolayısıyla cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Bir üçgenin alanı da iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak S = a*c*sin(ABC)/2 formülüyle bulunur. ABC açısının sinüsü, temel denklem kullanılarak ifade edilebilir. trigonometrik özdeşlik: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Alan formülünde sinüsü yerine koyup yazarak alan formülüne ulaşabilirsiniz. ABC üçgeni.

Konuyla ilgili video

Bir üçgeni benzersiz şekilde tanımlayan üç nokta Kartezyen sistem koordinatlar onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, bunun herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. düz şekilçevresi dahil ve bununla sınırlı kare. Bu birkaç yolla yapılabilir.

Talimatlar

Alanı hesaplamak için Heron formülünü kullanın üçgen. Şeklin üç tarafının boyutlarını içerir, bu nedenle hesaplamalarınıza ile başlayın. Her bir kenarın uzunluğu, üzerindeki çıkıntıların uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. koordinat eksenleri. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃ koordinatlarını gösterirsek, kenar uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken - yarı çevre (P) ekleyin. Bunun tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısı olması gerçeğinden yola çıkarak: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Hesaplamak kare(S) Heron formülünü kullanarak - yarı çevrenin çarpımının kökünü ve bununla her bir kenar uzunluğu arasındaki farkı alın. İÇİNDE Genel görünümşu şekilde yazılabilir: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁) -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁- X₃) ² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Pratik hesaplamalar için özel hesap makinelerinin kullanılması uygundur. Bunlar, bazı sitelerin sunucularında barındırılan ve her şeyi yapacak olan komut dosyalarıdır. gerekli hesaplamalar uygun forma girdiğiniz koordinatlara göre. Bu tür tek hizmet, hesaplamaların her adımı için açıklama ve gerekçe sunmamasıdır. Bu nedenle, yalnızca ilgileniyorsanız son sonuç ve genel hesaplamalar değil, örneğin http://planetcalc.ru/218/ sayfasına gidin.

Form alanlarına her köşenin her koordinatını girin üçgen- Ax, Ay, Az vb. olarak buradalar. Üçgen iki boyutlu koordinatlarla belirtilmişse Az, Bz ve Cz alanlarına sıfır yazın. "Hesaplama doğruluğu" alanında, artı veya eksi fareye tıklayarak gerekli ondalık basamak sayısını ayarlayın. Formun altında bulunan turuncu “Hesapla” butonuna basmanıza gerek yoktur; hesaplamalar bu olmadan yapılacaktır. Cevabı “Alan” yazısının yanında bulacaksınız. üçgen" - turuncu düğmenin hemen altında bulunur.

Kaynaklar:

noktalarda köşeleri olan bir üçgenin alanını bulun

Bazen dışbükey bir çokgenin etrafına, tüm köşelerin köşeleri onun üzerinde olacak şekilde çizebilirsiniz. Çokgene göre böyle bir daireye çevrelenmiş olarak adlandırılmalıdır. O merkez yazılı şeklin çevresi içinde olması gerekmez, ancak açıklanan özelliklerin kullanılması gerekir daire Bu noktayı bulmak genellikle çok zor değildir.

İhtiyacın olacak

Cetvel, kurşun kalem, iletki veya kare, pusula.

Talimatlar

Etrafında bir daire tanımlamanız gereken çokgen kağıda çizilirse, bulmak için merkez ve bir cetvel, kalem ve iletki veya kare ile bir daire yeterlidir. Şeklin herhangi bir tarafının uzunluğunu ölçün, ortasını belirleyin ve çizimde bu yere bir yardımcı nokta yerleştirin. Bir kare veya iletki kullanarak, poligonun içine, bu tarafa dik olan bir parça çizin. ters taraf.

Aynı işlemi çokgenin diğer kenarları için de yapın. Oluşturulan iki bölümün kesişimi istenen nokta olacaktır. Bu, açıklananın ana özelliğinden kaynaklanmaktadır. daire- o merkez V dışbükey Poligon herhangi bir kenar her zaman bunlara çizilen açıortayların kesişme noktasında bulunur

Bir üçgenin çevrel çemberinin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları

Bir çizgi parçasına dik açıortay

Tanım 1. Bir segmente dik açıortay bu bölüme dik olan ve ortasından geçen düz çizgiye denir (Şekil 1).

Teorem 1. Bir doğru parçasına dik olan açıortayın her noktası, uçlardan aynı uzaklıkta bu segment.

Kanıt . Hadi düşünelim keyfi nokta AB segmentine dik açıortay üzerinde uzanan D (Şekil 2) ve ADC ve BDC üçgenlerinin eşit olduğunu kanıtlayın.

Aslında bu üçgenler, AC ve BC kenarlarının eşit olduğu ve DC kenarının ortak olduğu dik üçgenlerdir. ADC ve BDC üçgenlerinin eşitliği AD ve DB bölümlerinin eşitliğini ifade eder. Teorem 1 kanıtlandı.

Teorem 2 (Teorem 1'in tersi). Bir nokta, bir doğru parçasının uçlarından aynı uzaklıktaysa, o zaman bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır.

Kanıt . Teorem 2'yi çelişkiyle kanıtlayalım. Bu amaçla, bir E noktasının parçanın uçlarından aynı uzaklıkta olduğunu, ancak bu parçaya dik açıortay üzerinde bulunmadığını varsayalım. Bu varsayımı çelişkiye getirelim. İlk önce E ve A noktalarının yan yana olduğu durumu ele alalım. farklı taraflar ortadan dik olarak (Şekil 3). Bu durumda EA segmenti dik açıortay ile D harfiyle göstereceğimiz bir noktada kesişir.

AE doğru parçasının EB doğru parçasından daha uzun olduğunu kanıtlayalım. Gerçekten mi,

Dolayısıyla, E ve A noktalarının dik ortaortanın karşıt taraflarında olması durumunda bir çelişkiyle karşı karşıya kalırız.

Şimdi E ve A noktalarının dik açıortayın aynı tarafında olduğu durumu düşünün (Şekil 4). EB doğru parçasının AE doğru parçasından daha uzun olduğunu kanıtlayalım. Gerçekten mi,

Ortaya çıkan çelişki Teorem 2'nin ispatını tamamlar

Bir üçgenin etrafında çevrelenmiş daire

Tanım 2. Bir üçgenle çevrelenmiş bir daire, üçgenin her üç köşesinden geçen daireye denir (Şekil 5). Bu durumda üçgen denir bir daire içine yazılan üçgen veya yazılı üçgen.

Bir üçgenin çevrelenmiş dairesinin özellikleri. Sinüs teoremi

Figür	Çizim	Mülk
Dik açıortaylar üçgenin kenarlarına		bir noktada kesişmek .

Merkez hakkında anlatılan dar üçgen daire		Merkez hakkında anlatılanlar dar açılı içeri üçgen.
Merkez hakkında anlatılan dik üçgen daire		Merkez hakkında anlatılanlar dikdörtgen hipotenüsün ortası .
Merkez hakkında anlatılan geniş açılı üçgen daire		Merkez hakkında anlatılanlar geniş açılı üçgen daire yatıyor dıştan üçgen.
		,
Kare üçgen		S= 2R 2 günah A günah B günah C ,
Çevre yarıçapı		Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:

Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar

Tüm dik açıortaylar keyfi bir üçgenin kenarlarına çizilmiş, bir noktada kesişmek .

Bir üçgenin çevrelediği daire

Herhangi bir üçgen bir daire ile çevrelenebilir . Bir üçgenin çevresine çizilen bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına çizilen tüm dik açıortayların kesiştiği noktadır.

Dar bir üçgenin çevrelenmiş dairesinin merkezi

Merkez hakkında anlatılanlar dar açılı üçgen daire yatıyor içeri üçgen.

Bir dik üçgenin çevrelenmiş dairesinin merkezi

Merkez hakkında anlatılanlar dikdörtgen üçgen daire hipotenüsün ortası .

Geniş bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi

Merkez hakkında anlatılanlar geniş açılı üçgen daire yatıyor dıştan üçgen.

Herhangi bir üçgen için aşağıdaki eşitlikler doğrudur (sinüs teoremi):

burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır, A, B, C üçgenin açılarıdır, R çevrelenen dairenin yarıçapıdır.

Bir üçgenin alanı

Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:

S= 2R 2 günah A günah B günah C ,

burada A, B, C üçgenin açılarıdır, S üçgenin alanıdır, R çevrelenen dairenin yarıçapıdır.

Çevre yarıçapı

Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:

a, b, c üçgenin kenarlarıdır, S üçgenin alanıdır, R çevrelenen dairenin yarıçapıdır.

Bir üçgenin çevrel çemberinin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları

Teorem 3. Herhangi bir üçgenin kenarlarına çizilen tüm dik açıortaylar bir noktada kesişir.

Kanıt . ABC üçgeninin AC ve AB kenarlarına çizilen iki dik açıortayını düşünelim ve bunların kesişme noktasını O harfiyle gösterelim (Şekil 6).

O noktası AC doğru parçasına dik açıortay üzerinde bulunduğundan, Teorem 1'e göre aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

O noktası AB doğru parçasına dik açıortay üzerinde bulunduğundan, Teorem 1'e göre aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Bu nedenle eşitlik doğrudur:

buradan, Teorem 2'yi kullanarak, O noktasının BC doğru parçasına dik açıortay üzerinde olduğu sonucuna varırız. Böylece kanıtlanması gerektiği gibi dik açıortayların üçü de aynı noktadan geçer.

Sonuçlar. Herhangi bir üçgen bir daire ile çevrelenebilir . Bir üçgenin çevresine çizilen bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına çizilen tüm dik açıortayların kesiştiği noktadır.

Kanıt . ABC üçgeninin kenarlarına çizilen tüm açıortayların kesiştiği O noktasını ele alalım (Şekil 6).

Teorem 3 kanıtlanırken aşağıdaki eşitlik elde edildi:

Buradan, merkezi O noktasında ve yarıçapları OA, OB, OC olan bir dairenin ABC üçgeninin üç köşesinin hepsinden geçtiği sonucu çıkıyor ki bunun kanıtlanması gerekiyordu.

“Üçgenlerde yazılı ve çevrelenmiş daireler” konusu geometri dersinde en zor konulardan biridir. Derste çok az vakit geçiriyor.

Bu konunun geometrik problemleri sınavın ikinci bölümünde yer almaktadır. Birleşik Devlet Sınavı çalışması kurs başına lise. Bu görevleri başarıyla tamamlamak için ihtiyacınız olan Sağlam bilgi temel geometrik gerçekler ve geometrik problemlerin çözümünde bazı deneyimler.
Her üçgen için yalnızca bir çevrel çember vardır. Bu, verilen parametrelere sahip bir üçgenin üç köşesinin de bulunduğu bir dairedir. Yarıçapını bulmak sadece geometri dersinde gerekli olmayabilir. Tasarımcılar, kesiciler, tamirciler ve diğer birçok mesleğin temsilcileri sürekli olarak bununla uğraşmak zorundadır. Yarıçapını bulmak için üçgenin parametrelerini ve özelliklerini bilmeniz gerekir. Çevrel çemberin merkezi, üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktasındadır.
Sadece bir üçgenin değil, çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmanın tüm formüllerini dikkatinize sunuyorum. Yazılı dairenin formülleri görüntülenebilir.

a, b. İle -üçgenin kenarları

α - ters açıA,
S-bir üçgenin alanı,

P- yarı çevre

Daha sonra yarıçapı bulmak için ( R) formülleri kullanarak çevrel çemberin: