Planı

Bir fonksiyonun terstürevi ve belirsiz integral. Belirsiz integralin temel özellikleri. Temel belirsiz integraller tablosu. Temel entegrasyon yöntemleri: doğrudan entegrasyon, ikame yöntemi, parçalara göre entegrasyon.

Rasyonel kesirler. En basitini entegre etme rasyonel kesirler. Rasyonel kesirlerin integrali.

Entegrasyon trigonometrik fonksiyonlar. Bazılarını entegre etmek irrasyonel fonksiyonlar. Temel fonksiyonlarla ifade edilemeyen integraller.

Belirli integral. Belirli bir integralin temel özellikleri. Değişken ile integral üst sınır. Newton-Leibniz formülü. Belirli bir integralin hesaplanmasına yönelik temel yöntemler (değişken değişimi, parçalara göre integral alma).

Geometrik Uygulamalar belirli integral. Belirli integralin ekonomideki bazı uygulamaları.

Uygun olmayan integraller(ile integraller sonsuz sınırlar integraller, sınırsız fonksiyonların integralleri).

Bir fonksiyonun ters türevi ve belirsiz integral

İntegral hesabında asıl görev fonksiyonu bulmaktır. sen=F(X) bilinen türevinden.

Tanım 1.İşlev F(X) denir antiderivatif işlevler F(X) aralığında ( a, b), eğer varsa eşitlik geçerlidir: veya .

Teorem 1. Aralıktaki herhangi bir sürekli çizgi [ A, B] işlev F(X) bu segmentte bir antiderivatife sahiptir F(X).

Aşağıda bir aralıkta sürekli olan fonksiyonları ele alacağız.

Teorem 2. Eğer fonksiyon F(X) fonksiyonun ters türevidir F(X) aralığında ( a, b), o zaman tüm antiderivatiflerin seti formülle verilir F(X)+İLE, Nerede İLE -sabit sayı.

Kanıt.

İşlev F(X)+İLE fonksiyonun ters türevidir F(X), Çünkü .

İzin vermek F(X) – başka, farklı F(X) antiderivatif fonksiyon F(X), yani. . Daha sonra sahibiz

bu şu anlama geliyor

,

Nerede İLE– sabit sayı. Buradan,

Tanım 2. Tüm antiderivatif fonksiyonların kümesi F(X)+İLE fonksiyon için F(X) denir Olumsuz belirli integral fonksiyondan F(X) ve sembolü ile gösterilir .

Dolayısıyla tanım gereği

(1)

Formül (1)'de F(X) denir integral fonksiyonu, F(X)dx – integrand, X– entegrasyon değişkeni, belirsiz integralin işareti.

Bir fonksiyonun belirsiz integralini bulma işlemine ne ad verilir? entegrasyon bu fonksiyon.

Geometrik olarak belirsiz bir integral, bir eğri ailesidir (her birine sayısal değer İLE ailenin belirli bir eğrisine karşılık gelir). Her bir antiderivatifin (eğri) grafiğine denir integral eğrisi. Birbirleriyle kesişmezler veya birbirlerine dokunmazlar. Düzlemin her noktasından yalnızca bir integral eğri geçer. Tüm integral eğriler birbirinden elde edilir paralel aktarım eksen boyunca Ah.

Belirsiz integralin temel özellikleri

Belirsiz integralin tanımından çıkan özelliklerini ele alalım.

1. Belirsiz integralin türevi integrale eşittir, belirsiz integralin diferansiyeli ise eşittir integrand :

Kanıt.

İzin vermek Daha sonra

2. Bazı fonksiyonların diferansiyelinin belirsiz integrali toplamına eşit bu fonksiyon ve keyfi bir sabit:

Kanıt.

Gerçekten mi, .

3. Sabit faktör a() belirsiz integralin işareti olarak çıkarılabilir:

4. Cebirsel toplamın belirsiz integrali sonlu sayı fonksiyonlar eşittir cebirsel toplam bu fonksiyonların integralleri:

5. Eğer F(X) – terstürev fonksiyonu f(X), O

Kanıt.

Gerçekten mi,

6 (entegrasyon formüllerinin değişmezliği). Herhangi bir entegrasyon formülü aşağıdaki durumlarda formunu korur: entegrasyon değişkeni bu değişkenle herhangi bir türevlenebilir fonksiyonla değiştirin:

neredesin– türevlenebilir fonksiyon.

Temel belirsiz integraller tablosu

Entegrasyon farklılaşmanın ters etkisi olduğundan, verilen formüllerin çoğu ters çevrilerek elde edilebilir. karşılık gelen formüller farklılaşma. Başka bir deyişle tablo temel formüller entegrasyon türev tablosundan elde edilir temel işlevler geriye doğru okurken (sağdan sola).

İşte ana belirsiz integrallerin bir tablosu. (Burada diferansiyel hesapta olduğu gibi harfin sen hem bağımsız değişken anlamına gelebilir ( sen=X) ve bağımsız değişkenin bir fonksiyonu ( sen=sen(X)).)

1-12 arasındaki integrallere denir tablo şeklinde.

Türev tablosunda analoğu bulunmayan integral tablosundaki yukarıdaki formüllerden bazıları, sağ taraflarının farklılaştırılmasıyla doğrulanır.

İNTEGRAL HESABI- İntegrallerin çalışıldığı bir matematik dalı çeşitli türler belirli integral, belirsiz integral, çizgi integrali, yüzey integrali gibi, çift ​​katlı integral, üçlü integral vb., özellikleri, hesaplama yöntemleri ve bu integrallerin doğa bilimlerinin çeşitli problemlerine uygulamaları.

I. ve'nin merkezi formülü. belirli ve belirsiz integralleri (bkz. Belirli integral, Belirsiz integral) fonksiyonlarını - birbirinden tamamen farklı terimlerle tanımlanan miktarları - birbirine bağlayan Newton-Leibniz formülüdür (bkz. Newton-Leibniz formülü).

Bunu belirten bu formüldür

aşağıdaki koşullar ve gösterimler altında:

Segment sayı ekseni, - sürekli fonksiyon, - bir doğru parçasının noktalara bölünmesi, - doğru parçası, - bir doğru parçasının noktası, , yani bölümlerin uzunluklarının maksimumu, için bir ters türev fonksiyonudur, yani öyle ki. Bu durumda sol taraftaki limit mevcuttur sürekli fonksiyon, bölümü hassaslaştırmanın herhangi bir yöntemi ve herhangi bir nokta seçimi.

Sınırları görüntüle fiziksel, geometrik vb. kavramlarla ilişkili birçok niceliğin hesaplanmasında ortaya çıkar. Aynı zamanda antiderivatifin hesaplanması basit işlevler I. ve kurallarına göre oldukça etkili bir şekilde gerçekleştirilir. Bu kurallar diferansiyel hesapta incelenen türevlenebilir fonksiyonların özelliklerine dayanmaktadır, dolayısıyla I. ve. ve diferansiyel hesap ayrılmaz bir amaç oluşturur.

Tek değişkenli fonksiyonlardan çok değişkenli fonksiyonlara geçerken bilgi içeriği ve çok daha zengin olur. İkili, üçlü (ve genellikle n-katlı), yüzeysel ve eğrisel integraller. ben ve. Bu integralleri belirli integrallerin birkaç kez tekrarlanan hesaplamalarına indirgeyerek hesaplamak için kurallar oluşturur.

I. ve.'nin ayrı bir bölümü. çok değişkenli fonksiyonlar alan teorisidir (bkz. Alan teorisi), bunun önemli bir kısmı, bir alan üzerindeki integraller ile bir alanın sınırı üzerindeki integraller arasındaki bağlantıyı kuran teoremlerden oluşur (bkz. Ostrogradsky formülü, Green formülü, Stokes formülü).

Daha da geliştirilmesinde I. ve. Yukarıda tartışılan integrallerden daha genel fikirlere dayalı olarak Stieltjes, Lebesgue ve Denjoy integrallerinin incelenmesine yol açtı.

I.'nin ortaya çıkışı ve. alan ve hacim hesaplama problemleriyle ilişkili farklı bedenler. Bu yönde bazı ilerlemeler 19. yüzyılda gerçekleşti. Antik Yunanistan(Kinsky'li Eudoxus, Arşimet vb.). 16.-17. yüzyıllarda Avrupa'da bu tür sorunlara ilgi yeniden canlandı. Bu zamana kadar Avrupalı ​​​​matematikçiler Arşimed'in İngilizceye çevrilmiş eserlerini tanıma fırsatı buldular. Latince. Ancak Ve'ye bu kadar ilgi gösterilmesinin asıl nedeni. göründü endüstriyel gelişme matematik için yeni zorluklar ortaya çıkaran bir dizi Avrupa ülkesi. Şu anda I. ve. Katkıda bulunanlar: I. Kepler, B. Cavalieri, E. Torricelli, J. Wallis, B. Pascal, P. Fermat, X. Huygens.

I. ve.'deki niteliksel değişim. Bir dizi yaratan I. Newton ve G. Leibniz'in eserleri ortaya çıktı ortak yöntemlerİntegral toplamlarının limitlerini bulma. Önemli uygun sembolizme sahipti I. ve. (hala kullanılıyor), G. Leibniz tarafından tanıtıldı. I. Newton ve G. Leibniz'in çalışmalarından sonra, daha önce çözümü önemli beceri gerektiren birçok yapay zeka problemi tamamen teknik düzeye indirildi. Bu durumda farklılaşma formülleri özellikle önemliydi. karmaşık fonksiyon, belirli ve belirsiz integrallerdeki değişkenleri değiştirme kuralı ve (en önemlisi) yukarıda bahsedilen Newton-Leibniz formülü.

Daha öte tarihsel gelişim ben ve. I. Bernoulli, L. Euler, O. Cauchy ve Rus matematikçiler M. V. Ostrogradsky, V. Ya. Bunyakovsky, P. L. Chebyshev'in isimleriyle ilişkilidir.

ben ve. ile birlikte diferansiyel hesap bugüne kadar birçok fizik ve teknik bilimin ana matematiksel araçlarından biridir.

giriiş

İntegral sembolü 1675'te tanıtıldı ve integral hesabının soruları 1696'dan beri araştırılıyor. İntegral esas olarak matematikçiler tarafından çalışılsa da, fizikçiler de bu bilime katkıda bulunmuşlardır. Neredeyse hiçbir fizik formülü diferansiyel ve integral hesabı olmadan yapamaz. Bu nedenle integrali ve uygulamasını araştırmaya karar verdim.

İntegral hesabının tarihi

İntegral kavramının tarihi, karesel bulma problemleriyle yakından bağlantılıdır. Antik Yunan ve Roma matematikçileri, alanları hesaplamak için belirli bir düz şeklin karelenmesiyle ilgili problemler çağırdılar. Latince kelime quadratura "vermek" olarak tercüme edilir kare şekli" Özel bir terimin gerekliliği, eski zamanlarda (ve daha sonra 18. yüzyıla kadar) şu konudaki fikirlerin ortaya çıkmasıyla açıklanmaktadır: gerçek sayılar. Matematikçiler geometrik benzerleriyle çalıştılar veya skaler büyüklükler, çarpılamaz. Bu nedenle alan bulma problemlerinin örneğin şu şekilde formüle edilmesi gerekiyordu: “Eşit alanlı bir kare çizin bu daire" (Bu klasik problem Bir dairenin "çemberin karesi" sorusu bilindiği gibi pergel ve cetvel yardımıyla çözülemez.)

T sembolü Leibniz (1675) tarafından tanıtıldı. Bu işaret bir değişikliktir Latince harf S (summ a kelimesinin ilk harfi) İntegral kelimesinin kendisi J. Bernoulli (1690) tarafından icat edilmiştir. Muhtemelen bir önceki duruma getirme, onarma anlamına gelen Latince integro sözcüğünden gelmektedir. (Aslında integral alma işlemi, farklılaşma yoluyla integralin elde edildiği işlevi "geri yükler".) Belki de integral teriminin kökeni farklıdır: Tamsayı sözcüğü bütün anlamına gelir.

Yazışma sırasında I. Bernoulli ve G. Leibniz, J. Bernoulli'nin önerisini kabul etti. Aynı zamanda, 1696'da, I. Bernoulli tarafından tanıtılan yeni bir matematik dalının adı ortaya çıktı - integral hesabı (integral hesabı).

İlgili diğer bilinen terimler integral hesabı, çok daha sonra ortaya çıktı. Şu anda kullanımda olan “ilkel işlev” adı, Lagrange (1797) tarafından ortaya atılan daha önceki “ilkel işlev”in yerini almıştır. Latince primitivus kelimesi "başlangıç" olarak çevrilir: F(x) = m f(x)dx - f(x)'in başlangıç ​​noktası (veya orijinal veya ters türevi), F(x)'ten türev yoluyla elde edilir.

İÇİNDE modern edebiyat f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatiflerinin kümesine belirsiz integral de denir. Bu kavram Leibniz tarafından vurgulandı ve her şeyin antiderivatif fonksiyonlar keyfi bir b sabiti ile farklılık gösterirler, bunlara belirli bir integral denir (atama C. Fourier (1768-1830) tarafından yapılmıştır, ancak Euler zaten entegrasyonun sınırlarını belirtmiştir).

Antik Yunan matematikçilerinin kareleme bulma problemlerini çözmede (yani alanları hesaplamada) birçok önemli başarısı düz rakamlar ve ayrıca cisimlerin kübikliği (hacimlerin hesaplanması), Cnidus'lu Eudoxus (M.Ö. 408 - c. 355) tarafından önerilen tükenme yönteminin kullanımıyla ilişkilidir. Bu yöntemi kullanarak Eudoxus, örneğin iki dairenin alanlarının çaplarının kareleri ile ilişkili olduğunu ve bir koninin hacminin, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir silindirin hacminin 1/3'üne eşit olduğunu kanıtladı.

Eudoxus'un yöntemi Arşimed tarafından geliştirildi. Arşimed'in yöntemini karakterize eden ana aşamalar: 1) bir dairenin alanının olduğu kanıtlanmıştır daha az alan onun hakkında anlatılanlar düzenli çokgen, Ancak daha fazla alan yazılı olan herhangi biri; 2) kenar sayısının sınırsız ikiye katlanmasıyla bu çokgenlerin alanlarındaki farkın sıfıra yöneldiği kanıtlanmıştır; 3) bir dairenin alanını hesaplamak için, kenar sayısı sınırsız bir şekilde iki katına çıktığında normal bir çokgenin alan oranının eğiliminde olduğu değeri bulmak kalır.

Arşimet, tükenme yöntemini ve diğer bazı ustaca düşünceleri (mekanik modellerin kullanımı dahil) kullanarak birçok sorunu çözdü. P sayısına ilişkin bir tahmin verdi (3.10/71

Arşimet integral hesabına ilişkin fikirlerin çoğunu önceden tahmin etmişti. (Sınırlarla ilgili ilk teoremlerin kendisi tarafından pratikte kanıtlandığını da ekliyoruz.) Ancak bu fikirlerin açık bir ifade bulması ve hesap düzeyine getirilmesi bir buçuk bin yıldan fazla zaman aldı.

Pek çok yeni sonuç elde eden 17. yüzyıl matematikçileri Arşimet'in çalışmalarından ders aldılar. Başka bir yöntem de aktif olarak kullanıldı - yine Antik Yunanistan'da ortaya çıkan bölünmezler yöntemi (öncelikle Demokritos'un atomistik görüşleriyle ilişkilidir). Örneğin, eğrisel bir yamuğun (Şekil 1, a) f(x) uzunluğundaki dikey parçalardan oluştuğunu hayal ettiler, ancak bunlara sonsuz küçük f(x)dx değerine eşit bir alan atadılar. Bu anlayışa uygun olarak gerekli alan toplamlara eşit kabul edildi.

sonsuz sayıda sonsuz küçük alan. Bazen bu toplamdaki tek tek terimlerin sıfır olduğu, ancak sonsuz bir sayıya eklendiğinde iyi tanımlanmış bir pozitif toplam veren özel türden sıfırlar olduğu bile vurgulandı.

J. Kepler (1571-1630) şu anda en azından şüpheli görünen bir temele dayanarak "Yeni Astronomi" yazılarında.

1609 ve “Şarap Fıçılarının Stereometrisi” (1615), bir dizi alanı (örneğin, bir elips ile sınırlanan bir şeklin alanı) ve hacimleri (gövde 6 son derece ince plakaya kesilmiş) doğru bir şekilde hesapladı. Bu çalışmalar İtalyan matematikçiler B. Cavalieri (1598-1647) ve E. Torricelli (1608-1647) tarafından sürdürülmüştür. B. Cavalieri'nin formüle ettiği ve bazı ek varsayımlarla ortaya koyduğu prensip, günümüzde de önemini korumaktadır.

Şekil 1, b'de gösterilen şeklin alanını bulmak gerekli olsun, burada şekli yukarıdan ve aşağıdan sınırlayan eğriler denklemlere sahiptir

y = f(x) ve y=f(x)+c.

Cavalieri'nin terminolojisine göre "bölünmez", sonsuz incelikte sütunlardan oluşan bir şekil hayal ettiğimizde, hepsinin toplam uzunluğunun c olduğunu fark ederiz. Bunları dikey yönde hareket ettirerek tabanı b-a ve yüksekliği c olan bir dikdörtgen haline getirebiliriz. Bu nedenle gerekli alan, ortaya çıkan dikdörtgenin alanına eşittir, yani.

S = S1 = c(b - a).

Cavalieri'nin düzlemsel şekillerin alanları için genel ilkesi şu şekilde formüle edilmiştir: Belirli bir paralel kalemin çizgilerinin, Ф1 ve Ф2 şekillerini eşit uzunlukta bölümler boyunca kesmesine izin verin (Şekil 1, c). O halde F1 ve F2 şekillerinin alanları eşittir.

Benzer bir prensip stereometride de işler ve hacimlerin bulunmasında faydalıdır.

17. yüzyılda İntegral hesabıyla ilgili birçok keşif yapıldı. Böylece, P. Fermat 1629'da n'nin bir tamsayı olduğu herhangi bir y = xn eğrisinin kareselliği problemini çözmüştür (yani esasen m xndx = (1/n+1)xn+1 formülünü türetmiştir) ve bu temelde ağırlık merkezlerinin bulunmasına yönelik bir dizi sorunu çözdü. I. Kepler, ünlü gezegen hareketi yasalarını çıkarırken aslında yaklaşık entegrasyon fikrine dayanıyordu. Newton'un öğretmeni I. Barrow (1630-1677), entegrasyon ve farklılaşma arasındaki bağlantıyı anlamaya yaklaştı. Fonksiyonların kuvvet serileri şeklinde gösterilmesine yönelik çalışmalar büyük önem taşıyordu.

Bununla birlikte, 17. yüzyılın son derece yaratıcı birçok matematikçisinin elde ettiği sonuçların önemine rağmen, matematik henüz mevcut değildi. Pek çok özel problemin çözümünün altında yatan genel fikirlerin vurgulanmasının yanı sıra, oldukça genel bir algoritma veren türev alma ve entegrasyon işlemleri arasında bir bağlantı kurulması da gerekliydi. Bu, Newton-Leibniz formülü olarak bilinen bir gerçeği bağımsız olarak keşfeden Newton ve Leibniz tarafından yapıldı. Böylece nihayet genel yöntem oluşturuldu. Hâlâ birçok fonksiyonun ters türevlerini nasıl bulacağını, yeni mantıksal hesaplamaları nasıl yapacağını vb. öğrenmesi gerekiyordu. Ancak asıl önemli olan zaten yapıldı: diferansiyel ve integral hesabı oluşturuldu.

Gelecek yüzyılda aktif olarak geliştirilen matematiksel analiz yöntemleri (her şeyden önce, temel fonksiyonların entegrasyonuna ilişkin sistematik bir çalışmayı tamamlayan L. Euler ve I. Bernoulli'nin isimlerinden bahsetmek gerekir). Rus matematikçiler M.V. İntegral hesabının geliştirilmesinde yer aldı. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Çebyşev (1821-1894). Temel fonksiyonlarla ifade edilemeyen integrallerin varlığını kanıtlayan Chebyshev'in sonuçları özellikle önemliydi.

İntegral teorisinin titiz bir sunumu ancak geçen yüzyılda ortaya çıktı. Bu problemin çözümü, en büyük matematikçilerden O. Cauchy, Alman bilim adamı B. Riemann (1826-1866) ve Fransız matematikçi G. Darboux (1842-1917) isimleriyle ilişkilendirilmektedir.

Şekillerin alan ve hacimleri ile ilgili birçok sorunun cevabı C. Jordan'ın (1838-1922) ölçü teorisini oluşturmasıyla elde edilmiştir.

İntegral kavramının çeşitli genellemeleri, yüzyılın başında Fransız matematikçiler A. Lebesgue (1875-1941) ve A. Denjoy (188 4-1974), Sovyet matematikçi A.Ya. Khinchinchin (1894-1959).

OLASILIK TEORİSİNİN LİMİT TEOREMLERİ

Chebyshev eşitsizliği ve önemi. Chebyshev'in teoremi. Bernoulli teoremi. Olasılık teorisinin merkezi limit teoremi (Lyapunov teoremi) ve bunun matematiksel istatistikte kullanımı.

Olasılık teorisi, kütlesel rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları inceler. Olasılık teorisinin limit teoremleri şans ile zorunluluk arasındaki ilişkiyi kurar. Kitlesel rastgele olaylarda ortaya çıkan kalıpların incelenmesi, gelecekteki testlerin sonuçlarını bilimsel olarak tahmin etmemizi sağlar.

Olasılık teorisinin limit teoremleri iki gruba ayrılır; bunlardan birine denir. büyük sayılar kanunu ve diğeri - .

Bu bölümde büyük sayılar yasasına ilişkin şu teoremler tartışılmaktadır: Chebyshev eşitsizliği, Chebyshev teoremleri ve Bernoulli teoremleri.

Büyük sayılar yasası, belirli koşullara bağlı olarak ortalama özelliklerin belirli sabit değerlere yaklaşımını kanıtlayan çeşitli teoremlerden oluşur.

1. Chebyshev eşitsizliği.

Rastgele bir değişkenin sonlu bir beklentisi ve varyansı varsa, herhangi bir pozitif sayı için aşağıdaki eşitsizlik doğrudur:

, (9.1)

yani bir rastgele değişkenin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının, birlik ile bu rastgele değişkenin varyansının kareye oranı arasındaki farkı aşmama olasılığı.

Şimdi olayın olasılığını yazalım yani olayın karşısındaki olay . Açıkça görülüyor ki

. (9.2)

Chebyshev eşitsizliği, bir rastgele değişkenin herhangi bir dağılım yasası için geçerlidir ve hem pozitif hem de negatif rastgele değişkenler için geçerlidir. Eşitsizlik (9.2), bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden daha büyük bir miktarda sapma olasılığını yukarıdan sınırlar. Bu eşitsizlikten, dağılım azaldıkça olasılığın üst sınırının da azaldığı ve küçük dağılımlı bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında yoğunlaştığı sonucu çıkar.

Örnek 1. Bir ünitenin montajını düzgün bir şekilde organize etmek için, parçaların boyutlarının tolerans alanının ortasından en fazla sapma olasılığını tahmin etmek gerekir. Tolerans alanının ortasının, işlenen parçaların boyutlarının matematiksel beklentisine denk geldiği ve standart sapmanın eşit olduğu bilinmektedir.

Çözüm. Karşılaştığımız problemin koşullarına göre: ,. Bizim durumumuzda işlenen parçaların boyutu. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak şunu elde ederiz:

2. Chebyshev teoremi.

Yeterince fazla sayıda bağımsız testle, birliğe yakın bir olasılıkla, bir rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması ile bu değerin mutlak değerdeki matematiksel beklentisi arasındaki farkın şunu iddia etmek mümkündür: Rastgele değişkenin sonlu bir dağılıma sahip olması koşuluyla, keyfi olarak küçük bir sayıdan küçük olmalıdır;

sıfıra yakın pozitif bir sayı nerede.

Kıvrımlı parantez içinde karşıt olaya geçersek, şunu elde ederiz:

.

Chebyshev teoremi, kişinin yeterli doğrulukla aritmetik ortalamayı kullanarak matematiksel beklentiyi yargılamasına veya tam tersi: ortalamanın beklenen değerini tahmin etmek için matematiksel beklentiyi kullanmasına olanak tanır. Dolayısıyla, bu teoreme dayanarak, belirli bir parametrenin yeterince fazla sayıda ölçümü sistematik hata içermeyen bir cihazla yapılırsa, bu ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalamasının mümkün olduğu kadar az farklı olacağı ileri sürülebilir. Ölçülen parametrenin gerçek değerinden.

Örnek 2. Sıvı metal ve hammadde ihtiyacını belirlemek için, bir otomobil motoru için bir astarın dökümünün ortalama ağırlığı, metal modelden hesaplanan dökümün ağırlığı gerçek ağırlıktan farklı olduğundan seçici olarak belirlenir. Seçilen dökümlerin ortalama ağırlığının, matematiksel beklenti olarak kabul edilen hesaplanan ağırlıktan en fazla farklı olduğunun belirlenmesi için kaç adet döküm alınması gerektiği söylenebilir. kilogram? Ağırlığın standart sapmasının şuna eşit olduğu tespit edilmiştir: kilogram .

Çözüm. Karşılaştığımız sorunun koşullarına göre, , astar dökümlerinin ortalama ağırlığı nerede. Chebyshev eşitsizliğini rastgele bir değişkene uygularsak şunu elde ederiz:

,

ve (4.4) ve (4.5) eşitlikleri dikkate alınarak -

.

Bu problemleri burada yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

,

nereden bulacağız?

3. Bernoulli teoremi.

Bernoulli teoremi bir olayın meydana gelme sıklığı ile olasılığı arasında bir bağlantı kurar.

Yeterince fazla sayıda bağımsız deneme ile, bir olayın bu denemelerde meydana gelme sıklığı ile ayrı bir denemedeki mutlak değerdeki olasılığı arasındaki farkın keyfi olarak küçük bir değerden daha az olacağı birliğe yakın bir olasılıkla ifade edilebilir. sayı, eğer her denemede bu olayın meydana gelme olasılığı sabit ve eşitse .

Teoremin ifadesi aşağıdaki eşitsizlik olarak yazılabilir:

, (9.3)

nerede ve herhangi bir keyfi küçük pozitif sayıdır.

Matematiksel beklenti ve dağılım özelliğinin yanı sıra Chebyshev eşitsizliği kullanılarak formül (9.3) şu şekilde yazılabilir:

, (9.4)

Pratik problemleri çözerken, bazen bir olayın meydana gelme sıklığının beklenen değerinden en büyük sapma olasılığını tahmin etmek gerekebilir. Bu durumda rastgele değişken, olayın bağımsız denemelerde meydana gelme sayısıdır. Sahibiz:

,

.

Bu durumda Chebyshev eşitsizliğini kullanarak şunu elde ederiz:

.

Örnek 3. Montaj atölyesine gönderilen ürünlerden rastgele seçilen ürünler incelendi. Bunların arasında arızalı olanlar da vardı. Kusurlu ürün üretme olasılığı olarak seçilenler arasında kusurlu ürünlerin oranını alarak, tüm kusurlu ürün grubunun %'den fazla ve %'den az olmayacağının olasılığını tahmin edin.

Çözüm. Kusurlu ürün üretme olasılığını belirleyelim:

.

Kusurlu ürünlerin ortaya çıkma sıklığının mutlak değerdeki olasılıktan en büyük sapması şuna eşittir: ; test sayısı. Formül (9.4)'ü kullanarak istenen olasılığı buluruz:

,

.

4. Lyapunov teoremi.

Büyük sayılar yasasına ilişkin dikkate alınan teoremler, dağıtım yasalarından bağımsız olarak, belirli rastgele değişkenlerin belirli sınırlayıcı değerlere yaklaşması konularıyla ilgilidir. Olasılık teorisinde, rastgele değişkenlerin toplamının dağılımının limit yasalarıyla ilgili başka bir teorem grubu daha vardır. Bu teorem grubunun genel adı vardır merkezi limit teoremi. Merkezi limit teoreminin farklı formları, kurucu rastgele değişkenlerin toplamına uygulanan koşullar bakımından birbirinden farklılık gösterir.

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yasası ( ) aşağıdaki koşulların yerine getirilmesi durumunda normal dağılım yasasına sınırsız artışla yaklaşır:

1) tüm niceliklerin sonlu matematiksel beklentileri ve varyansları vardır:

; ;,

Nerede , ;

2) miktarların hiçbiri diğerlerinden değer açısından keskin bir şekilde farklı değildir:

.

Birçok pratik problemi çözerken, Lyapunov teoreminin aşağıdaki formülasyonu, aynı zamanda bir rastgele değişken olan rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması için kullanılır (yukarıda listelenen koşullar yerine getirilir):

rastgele bir değişkenin sonlu matematiksel beklentisi ve varyansı varsa, aritmetik ortalamanın dağılımı Bağımsız testlerde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinden hesaplanan, normal yasaya matematiksel dağılım beklentileriyle yaklaşır, yani..

.

Bu nedenle, aralığın içerdiği şeyin olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

(9.5)

Laplace fonksiyonunu kullanarak (bkz. Ek 2), formül (9.5), hesaplamalara uygun olarak aşağıdaki biçimde yazılabilir:

; .

Merkezi limit teoreminin sadece sürekli değil aynı zamanda kesikli rastgele değişkenler için de geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. Lyapunov teoreminin pratik önemi çok büyüktür. Deneyimler, dağılımları açısından karşılaştırılabilir bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yasasının hızla normale yaklaştığını göstermektedir. Zaten on mertebesinde bir dizi terimle, toplamın dağıtım yasası normal bir yasa ile değiştirilebilir.

Limit merkezi teoreminin özel bir durumu Laplace teoremidir (bkz. Bölüm 3, paragraf 5). Rastgele değişkenlerin ,, ayrık olduğu, aynı şekilde dağıldığı ve yalnızca iki olası değeri aldığı durumu dikkate alır: ve. Bu teoremin matematiksel istatistiklere uygulanması için Bölüm 3'ün 6 paragrafına bakınız.

KENDİ TEST SORULARI

1. Büyük sayılar yasasına ne denir? Bu ismin anlamı nedir?

2. Chebyshev eşitsizliğini ve Chebyshev teoremini formüle edin.

3. Limit teoremlerinin olasılık teorisindeki rolü nedir?

4. Dağıtım yasalarından hangisi sınırlayıcı bir yasa olarak karşımıza çıkıyor?

5. Lyapunov'un merkezi limit teoremi nedir?

6. Laplace teoremi olasılık teorisinde bir limit teoremi olarak nasıl yorumlanabilir?

BAĞIMSIZ ÇÖZÜM İÇİN GÖREVLER.

1. Üretilen ürünlerin uzunluğu, ortalama değeri (matematiksel beklenti) şuna eşit olan bir rastgele değişkeni temsil eder: santimetre. Bu miktarın varyansı. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak aşağıdaki olasılıkları tahmin edin: a) üretilen ürünün uzunluğunun mutlak değerdeki ortalama değerinden sapması; b) Ürünün uzunluğu ile arasındaki sayı ile ifade edilecektir. santimetre.

Cevap: a) ; B).

2. Cihaz bağımsız çalışan elemanlardan oluşur. Her elemanın zamanla arızalanma olasılığı eşittir. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, başarısız olan elemanların sayısı ile başarısızlıkların ortalama sayısı (matematiksel beklenti) arasındaki farkın mutlak değerinin zaman içinde daha az olacağı olasılığını tahmin edin.