Eserin henüz HTML versiyonu bulunmamaktadır.
Benzer belgeler
Gerekli ve yeterli koşul varoluş belirli integral. Belirli integralin eşitliği cebirsel toplam iki fonksiyonun (farklılıkları). Ortalama değer teoremi – sonuç ve kanıt. Geometrik anlam belirli integral.
sunum, 18.09.2013 eklendi
İntegral toplam kavramının incelenmesi. Entegrasyonun üst ve alt sınırları. Belirli bir integralin özelliklerinin analizi. Ortalama değer teoreminin kanıtı. Belirli bir integralde değişken değişimi. İntegralin değişken üst sınırına göre türevi.
sunum, 04/11/2013 eklendi
Belirli integral kavramına ve temel özelliklerine giriş. [a, b] segmentindeki y=f(x) fonksiyonunun integral toplamını hesaplamak için formülün sunumu. İntegralin alt ve üst limitleri eşit olmak şartıyla integral sıfıra eşittir.
sunum, 18.09.2013 eklendi
Belirli integral kavramına yol açan problemler. İntegral toplamının limiti olarak belirli bir integral. Belirli ve belirsiz integraller arasındaki ilişki. Newton-Leibniz formülü. Geometrik ve mekanik anlamda belirli integral.
özet, 30.10.2010 eklendi
Antik çağlarda entegrasyon yöntemleri. Antiderivatif fonksiyon kavramı. Ana teorem integral hesabı. Belirsiz ve belirli integrallerin özellikleri ve hesaplama yöntemleri, keyfi sabitler. Temel fonksiyonların integral tablosu.
sunum, 09/11/2011 eklendi
Ters türev fonksiyonu kavramı, ters türev teoremi. Belirsiz integral, özellikleri ve tablosu. Belirli integral kavramı, geometrik anlamı ve temel özellikleri. Belirli bir integralin türevi ve Newton-Leibniz formülü.
kurs çalışması, 21.10.2011 eklendi
Yansıtıcı fonksiyonun kavramı ve özellikleri. Bir diferansiyel sistemin ilk integrali ve varoluş koşulları. Rahatsızlık koşulları diferansiyel sistemler zaman simetrilerini değiştirmez. Birinci integral ve eşdeğer sistemler arasındaki bağlantının belirlenmesi.
kurs çalışması, eklendi 08/21/2009
Çift, tek ve simetrik bağıl eksen fonksiyonlarının kavramı ve incelenmesi. Sabit işaret aralıkları kavramı. Dışbükeylik ve içbükeylik, bükülme noktaları. Dikey ve eğik asimptotlar. En az ve en yüksek değer Fonksiyonlar ve integraller.
pratik çalışma, eklendi 03/25/2011
Bir bağımsız değişkenin fonksiyonu. Limitlerin özellikleri. Türev ve diferansiyel fonksiyonlar, bunların problem çözümüne uygulanması. Antiderivatif kavramı. Newton-Leibniz formülü. Belirli integralin hesaplanması için yaklaşık yöntemler. Ortalama değer teoremi.
ders notları, eklendi: 23.10.2013
Genel konsept sayı dizisi. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Sonsuz büyük ve küçük fonksiyon. Bir fonksiyon, limiti ve sonsuzluğu arasındaki bağlantı küçük fonksiyon. Sınırların varlığının işaretleri. Limitlerle ilgili temel teoremler: kısa açıklama.
Fonksiyona izin ver F(T) noktayı içeren bir aralıkta tanımlanmış ve süreklidir A. Daha sonra her sayı X bu aralıktan sayıyı eşleştirebilirsiniz 
,
böylece aralıkta fonksiyon tanımlanır BEN(X), genellikle değişken bir üst limite sahip belirli bir integral olarak adlandırılır. Bu noktada şunu unutmayın x = bir bu fonksiyon sıfıra eşittir. Bu fonksiyonun bu noktada türevini hesaplayalım. X. Bunu yapmak için öncelikle fonksiyonun o noktadaki artışını düşünün. X D argümanını arttırırken X:
D BEN(X) = BEN(x+ D X) – BEN(X) =
.
Şekil 2'de gösterildiği gibi. 4, D artış formülündeki son integralin değeri BEN(X) tarama ile işaretlenmiş eğrisel yamuk alanına eşittir. Küçük D değerlerinde X(burada, bu dersin başka yerlerinde olduğu gibi, bir argümanın veya fonksiyonun küçük artışlarından bahsederken şunu kastediyoruz: mutlak değerler artışlar hem pozitif hem de negatif olabileceğinden), bu alan yaklaşık olarak ortaya çıkıyor eşit alanşekilde çift tarama ile işaretlenmiş dikdörtgen. Bir dikdörtgenin alanı formülle verilir F(X)D X. Buradan ilişkiyi anlıyoruz
.
Son yaklaşık eşitlikte, yaklaşımın doğruluğu ne kadar yüksek olursa, D'nin değeri o kadar küçük olur. X.
Yukarıdakilerden fonksiyonun türevinin formülü takip eder BEN(X):
.
Belirli integralin x noktasındaki üst limite göre türevi, integralin x noktasındaki değerine eşittir. Bundan şu sonuç çıkıyor: fonksiyon 
fonksiyonun ters türevidir F(X) ve bu noktada yer alan böyle bir antiderivatif x = bir Anlam, sıfıra eşit. Bu gerçek, belirli integralin formda temsil edilmesini mümkün kılar.
. (1)
İzin vermek F(X) aynı zamanda fonksiyonun ters türevidir F(X), sonra ilgili teoreme göre genel görünüm fonksiyonların tüm antiderivatifleri BEN(X) = F(X) + C, Nerede C- bir sayı değil. Aynı zamanda sağ taraf formül (1) şu formu alır
BEN(X) – BEN(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (2)
Değiştirildikten sonra formül (1) ve (2)'den X Açık B fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için formülü takip eder F(T) aralık boyunca [ A;B]:
,
buna genellikle formül denir Newton-Leibniz. Burada F(X)- herhangi fonksiyonun antiderivatifi F(X).
Fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için F(X) aralık boyunca [ A;B], bazı ters türev bulmanız gerekiyor F(X) işlevler F(X) ve noktalardaki antiderivatif değerlerindeki farkı hesaplayın B Ve A. Bu antiderivatif değerler arasındaki fark genellikle ᴛ.ᴇ sembolüyle gösterilir. 
.
Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrallerin hesaplanmasına örnekler verelim.
Örnek 1. 
.
Belirli integralleri hesaplarken şunları kullanabilirsiniz: değişken değiştirme formülü:
.
Burada A Ve B sırasıyla denklemlerden belirlenir J(A) = A; J(B) = B ve işlevler F,J, j¢ uygun aralıklarla sürekli olmalıdır.
Örnek 2..
Bir değişiklik yapalım: ln x = t veya x = e t, eğer x = 1, o zaman t = 0 ve eğer x = e, O t = 1. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Bununla birlikte, değişkenlerin değişimini kullanarak belirli bir integrali hesaplarken, önceki entegrasyon değişkenine dönmek çok önemli değildir. Sadece yeni entegrasyon sınırlarını getirmek yeterlidir.
Eğer y = f(x) fonksiyonu aralıkta integrallenebilirse, o zaman herhangi bir daha küçük aralıkta da integrallenebilir, yani "xО için bir integral var
Limit ve entegrasyon değişkeninin tanımlarını karıştırmamak için entegrasyon değişkenini t ile gösteriyoruz. Daha sonra integral (4) şeklinde yazılacaktır. Bu integralin değeri bir fonksiyondur üst sınır x ve Ф(х) ile gösterilir:
. (5)
Ф(х) fonksiyonu çağrılır değişken üst limitli integral.
F(х) fonksiyonunun bazı özelliklerini ele alalım.
T.3.1.(Ф(х) fonksiyonunun sürekliliği)
Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise, o zaman Ф(x) fonksiyonu da aralıkta sürekli olacaktır.
T.3.2 (Ф(х) fonksiyonunun farklılaşması)
Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise, o zaman Ф(x) fonksiyonu herhangi bir noktada türevlenebilirdir. iç nokta bu segmentin x'i ve eşitlik doğrudur
.
Sonuçlar
Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise, o zaman bu fonksiyon için bir terstürev vardır. bu bölüm ve Ф(x) fonksiyonu - değişken üst limitli bir integral - f(x) fonksiyonunun ters türevidir.
f(x) fonksiyonunun diğer tüm antiderivatifleri Ф(x)'ten yalnızca sabit bir terim kadar farklı olduğundan, şunu söyleyebiliriz: belirsiz ve belirli integraller arasındaki bağlantı:
,
burada C keyfi bir sabittir.
Soru 4. Belirli bir integralin hesaplanması. Newton-Leibniz formülü
Belirli integrallerin, integralin, integral toplamlarının limiti olarak tanımlanmasına dayanan bir yöntemle hesaplanması genellikle aşağıdakilerle ilişkilendirilir: büyük zorluklar. Belirli integralleri hesaplamak için belirsiz ve belirli integraller arasında kurulan bağlantıya dayanan daha uygun bir yöntem vardır.
T.4.1. Eğer f(x) fonksiyonu bir aralıkta sürekli ise ve F(x), f(x) fonksiyonunun herhangi bir ters türevi ise, o zaman formül geçerlidir
. (6)
Formül (6) denir Newton-Leibniz formülü.
Tanımı girerseniz 
o zaman Newton-Leibniz formülü (6) şu şekilde yeniden yazılabilir:
.
Newton-Leibniz formülü şunu verir: uygun yol Belirli integrallerin hesaplamaları. Belirli integrali hesaplamak için, f(x) için herhangi bir ters türev fonksiyonu F(x) bulmak ve doğru parçasının uçlarındaki F(b) ‒ F(a) farkını almak gerekir.
Örnek
Soru 5. Değişkenin değişimi ve belirli bir integralde parçalara göre integral alınması
Değişken Değiştirme Yöntemi
Belirli integraller hesaplanırken ikame yöntemi veya değişken değişim yöntemi yaygın olarak kullanılır.
T.5.1. (belirli bir integralde değişkenin değişimi)
y = f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli olsun. O zaman eğer:
1) x = j(t) fonksiyonu ve onun türevi x′ = j′(t) aralıkta süreklidir;
2) x = j(t) fonksiyonunun değerler kümesi segmenttir;
3) j(a) = a, j(b) = b,
o zaman bu adil Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme formülü:
.
Yorum
1. İkame yöntemini kullanarak belirli bir integral hesaplanırken eski değişkene dönmeye gerek yoktur.
2. Çoğunlukla x = j(t) yerine t = g(x) ikamesi kullanılır.
3. Formülü kullanırken teoremde belirtilen koşulların yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek gerekir. Bu koşullar ihlal edilirse yanlış sonuç alınabilir.
Örnek. Hesaplamak
Parçalara göre entegrasyon
T.5.2. (belirli bir integralde parçalara göre integral)
Eğer u = u(x) ve v = v(x) fonksiyonlarının aralıkta sürekli türevleri varsa, o zaman Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon formülü:
.
Örnek. İntegrali hesapla
Değişken üst limitli integral. Belirli bir integralin değeri, entegrasyon değişkeninin hangi harfle gösterildiğine bağlı değildir: (bunu doğrulamak için integral toplamlarını yazmak yeterlidir; çakışırlar). Bu bölümde entegrasyon değişkeni harfle gösterilecektir. T
ve mektup X
integralin üst sınırını gösterelim. İntegralin üst sınırının değişebileceğini varsayacağız, yani. Ne X
- değişken, sonuç olarak integral bir fonksiyon olacaktır Ф( X
) üst sınırı: 
. Eğer bunu kanıtlamak kolaydır F
(T
) integrallenebilir ise Ф( X
) süreklidir ancak aşağıdaki temel teorem bizim için daha önemlidir:
Değişken üst limitli integral teoremi. Eğer fonksiyon F
(T
) noktanın bir komşuluğunda süreklidir T
= X
, o zaman bu noktada Ф( fonksiyonu X
) diferansiyellenebilir ve 
.
Başka bir deyişle sürekli bir fonksiyonun belirli bir integralinin üst limite göre türevi, integralin bu limitteki değerine eşittir.
Belge. Üst limiti verelim X
artış. Daha sonra 
, Nerede C
- arada kalan bir nokta X
ve (böyle bir noktanın varlığı ortalama değer teoremi ile belirtilir; eşittir işaretinin üzerindeki sayılar belirli integralin uygulanan özelliğinin sayısıdır). . Acele edelim. Aynı zamanda ( C
- arasında bulunan bir nokta X
Ve ). Çünkü F
(T
) noktasında süreklidir T
= X
, O 
. Bu nedenle var 
, Ve 
. Teorem kanıtlandı.
İlkine dikkat edelim önemli sonuç bu teorem. Esasen, herhangi bir şeyi kanıtladık. sürekli fonksiyon F
(X
) bir antiderivatife sahiptir ve bu antiderivatif aşağıdaki formülle belirlenir: 
36. Newton-Leibniz formülü.
Eğer F
(X
) aralıkta süreklidir [ A
, B
], Ve F
(X
) fonksiyonun bir terstürevi ise, o zaman 
.
Doktor. Fonksiyonun olduğunu tespit ettik. - süreklinin terstürevi F
(X
). Çünkü F
(X
) aynı zamanda antiderivatif ise, o zaman Ф( X
) = F
(X
) + C
. Bu eşitliği yerine koyalım X
= A
. Çünkü 
, O . Eşitlik içinde 
değişkenleri yeniden tasarlayalım: entegrasyon değişkeni için T
notasyona dönelim X
, üst sınır X
hadi belirtelim B
. Nihayet, 
.
Newton-Leibniz formülünün sağ tarafındaki fark özel bir sembolle gösterilir: 
(burada "ikame" olarak okunur A
ile B
"), dolayısıyla Newton-Leibniz formülü genellikle şu şekilde yazılır: 
.
37. Parçalara göre integral ve belirli bir integralde değişkenin değişimi.
Eğer sen(X) Ve v(X) - [ aralığında tanımlanan iki fonksiyon A, B] ve orada sürekli türevler varsa, o zaman
Formül (24) Belirli integraller için parçalara göre entegrasyon formülü.
Kanıt çok basit. Kesinlikle,
Parçalara göre entegrasyon formülüne göre olacağından
o zaman burası (24)'ün takip ettiği yerdir.
İzin vermek F(zP, Q], A φ (X), aralıkta tanımlanan sürekli bir fonksiyondur [ A, B], burada sürekli bir türevi var φ "(X) ve eşitsizliğin sağlanması P ≤ φ (X) ≤ Q.
bu durumda
Formül (22), belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme kuralını ifade eder. Bu, belirsiz bir integralde bir değişkeni değiştirme kuralına benzer, ancak formül (22) ikinin eşitliğini temsil ettiğinden burada eski değişkene dönmeye gerek olmaması bakımından ondan farklıdır. sabit sayılar. Ayrıca şunu da belirtelim ki, belirli integraller söz konusu olduğunda bu formül, belirsiz integrallerde her iki tür yerine koyma kuralının da yerine geçer; ancak pratikte uygularken bazen soldan sağa, bazen de sağdan sola okumak zorunda kalıyorsunuz.
Teoremin ispatına geçerek, (22) formülünün sol ve sağ taraflarında yer alan integralleri sırasıyla şu şekilde belirtiriz: BEN aslan ve BEN Sağ
İzin vermek F(z) - için antiderivatif fonksiyon F(z). Daha sonra Newton-Leibniz formülüne göre/p>
BEN haklar = F[φ (B)] - F[φ (A)]. (23)
gelince BEN aslan o zaman
Ama teoreme göre öyle olacak
BEN aslan = F[φ (B)] - F[φ (A)].
Buradan ve (23)'ten şu sonuç çıkıyor BEN aslan = BEN Sağ
38. Çift, tek ve periyodik fonksiyonların integralleri.
Teori 1. f(x)'in [-a,a] aralığında integrallenebildiğini varsayalım. eşit işlev:
Bunu kanıtlamak için orijinal integrali iki integralin toplamı olarak sunalım:
Bu ifade kanıtlanmıştır.
Teori 2. f(x), [-a,a] aralığında integrallenebilen tek bir fonksiyon olsun:
Teorem benzer şekilde kanıtlanır:
λ'ya bağlı değildir. özellikle,
Bu eşitliğin sağ tarafındaki ifadeden λ'ya göre türevi hesaplayalım:
Uygun olmayan integraller
Sonsuz entegrasyon sınırına sahip uygun olmayan integral
Bazen böyle uygunsuz bir integrale aynı zamanda denir. birinci türden uygunsuz integral. Genel olarak, sonsuz limitli uygunsuz bir integral çoğunlukla şuna benzer: . Belirli bir integralden farkı nedir? Üst sınırda. Sonsuzdur: .
Daha az yaygın olanı ise sonsuz alt limiti veya iki değeri olan integrallerdir. sonsuz sınırlar: .
En popüler durumu ele alacağız. Diğer çeşitlerle çalışma tekniği benzerdir ve paragrafın sonunda bu tür örneklere bir bağlantı olacaktır.
Uygun olmayan bir integral her zaman var mıdır? Hayır, her zaman değil. İntegral aralıkta sürekli olmalıdır.
Yardım: kesin olarak ifade etmek gerekirse, ifade yanlıştır: eğer fonksiyonda süreksizlikler varsa, bazı durumlarda yarım aralığı birkaç parçaya bölmek ve birkaç uygunsuz integral hesaplamak mümkündür. Basitlik açısından bundan sonra uygun olmayan bir integralin mevcut olmadığını söyleyeceğim.
İntegral fonksiyonunun grafiğini çizimde gösterelim. Bu durum için tipik bir grafik ve kavisli yamuk şuna benzer:
Burada her şey yolundadır, integral yarım aralıkta süreklidir ve dolayısıyla uygunsuz integral mevcuttur. Kavisli yamuğumuzun olduğunu lütfen unutmayın. sonsuz(sağla sınırlı değildir) rakamı.
Sayısal olarak uygun olmayan integral alana eşit gölgeli şekil, iki durum mümkündür:
1) İlk olarak aklıma gelen düşünce: “Şekil sonsuz olduğuna göre o zaman 
"Yani alan da sonsuzdur. Öyle olabilir. Bu durumda uygunsuz integralin ıraksak olduğunu söylüyorlar.
2) Ama. Kulağa ne kadar paradoksal gelse de, sonsuz bir şeklin alanı şuna eşit olabilir: sonlu sayı! Örneğin: 
. Bu doğru olabilir mi? Kolayca. İkinci durumda uygunsuz integral yakınsar.
Uygun olmayan bir integral hangi durumlarda ıraksar ve hangi durumlarda yakınsar? Bu integrale bağlıdır ve spesifik örneklerçok yakında inceleyeceğiz.
Eksenin altına sonsuz kavisli bir yamuk yerleştirilirse ne olur? Bu durumda uygun olmayan integral 
(ıraksar) veya sonlu bir negatif sayıya eşittir.
Uygun olmayan bir integral negatif olabilir.
Önemli! Çözüm için size HERHANGİ bir uygunsuz integral önerildiğinde, genel olarak konuşursak, herhangi bir alandan bahsedilmez ve çizim yapmaya gerek kalmaz. Göreviniz SAYIYI bulmak veya uygunsuz integralin ıraksadığını kanıtlamaktır. Uygunsuz integralin geometrik anlamını sadece konunun anlaşılmasını kolaylaştırmak için açıkladım.
Uygun olmayan integral belirli integrale çok benzediğinden formülü hatırlayın. Newton-Leibniz: 
. Aslında formül şu durumlar için de geçerlidir: uygunsuz integraller, sadece biraz değiştirilmesi gerekiyor. Fark nedir? İntegralin sonsuz üst sınırında: . Muhtemelen birçok kişi bunun zaten limitler teorisinin uygulanmasına benzediğini ve formülün şu şekilde yazılacağını tahmin etti: 
.
Fonksiyona izin ver F(T) noktayı içeren bir aralıkta tanımlanmış ve süreklidir A. Daha sonra her sayı X bu aralıktan sayıyı eşleştirebiliriz,
böylece aralıkta fonksiyon tanımlanır BEN(X), buna değişken bir üst limiti olan belirli bir integral denir. Bu noktada şunu unutmayın x = bir bu fonksiyon sıfıra eşittir. Bu fonksiyonun bu noktada türevini hesaplayalım. X. Bunu yapmak için öncelikle fonksiyonun o noktadaki artışını düşünün. X D argümanını arttırırken X:
D BEN(X) = BEN(x+ D X) – BEN(X) = 
.
Şekil 2'de gösterildiği gibi. 4, D artış formülündeki son integralin değeri BEN(X) alana eşittir kavisli yamuk, gölgeleme ile işaretlenmiştir. Küçük D değerlerinde X(burada, bu dersin başka bir yerinde olduğu gibi, bir argümanın veya fonksiyonun küçük artışlarından bahsederken, artışların mutlak büyüklüklerini kastediyoruz, çünkü artışların kendileri hem pozitif hem de negatif olabilir) bu alan yaklaşık olarak şuna eşit olur: Çift taramalı çizimde işaretlenen dikdörtgenin alanı. Bir dikdörtgenin alanı formülle verilir F(X)D X. Buradan ilişkiyi anlıyoruz
.
Son yaklaşık eşitlikte, yaklaşımın doğruluğu ne kadar yüksek olursa, D'nin değeri o kadar küçük olur. X.
Yukarıdakilerden fonksiyonun türevinin formülü takip eder BEN(X):
.
Belirli integralin x noktasındaki üst limite göre türevi, integralin x noktasındaki değerine eşittir. Bundan şu sonuç çıkıyor: fonksiyon 
fonksiyonun ters türevidir F(X) ve bu noktada yer alan böyle bir antiderivatif x = bir değer sıfıra eşittir. Bu gerçek, belirli bir integralin formda temsil edilmesini mümkün kılar.
. (1)
İzin vermek F(X) aynı zamanda fonksiyonun ters türevidir F(X), daha sonra fonksiyonun tüm anti türevlerinin genel formuna ilişkin teorem ile BEN(X) = F(X) + C, Nerede C- bir numara. Bu durumda formül (1)'in sağ tarafı şu şekli alır:
BEN(X) – BEN(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (2)
Değiştirildikten sonra formül (1) ve (2)'den X Açık B fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için formülü takip eder F(T) aralık boyunca [ A;B]:
,
buna denir Newton-Leibniz formülü. Burada F(X)- bir fonksiyonun herhangi bir antitürevi F(X).
Bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için F(X) aralık boyunca [ A;B], bazı ters türev bulmanız gerekiyor F(X) işlevler F(X) ve noktalardaki antiderivatif değerlerindeki farkı hesaplayın B Ve A. Bu antiderivatif değerler arasındaki fark genellikle sembolle gösterilir, yani. 
.
Belirli bir integralde değişken değişimi. Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralleri hesaplarken, problemin çözüm aşamalarını kesin olarak ayırt etmemek tercih edilir (integrandın terstürevini bulma, antiderivatifin artışını bulma). Özellikle değişken değişimi ve belirli bir integral için parçalara göre entegrasyon formüllerini kullanan bu yaklaşım, genellikle çözümün yazılmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.
TEOREM. φ(t) fonksiyonunun [α,β], a=φ(α), β=φ(β) aralığında sürekli bir türevi olsun ve f(x) fonksiyonu x formunun her x noktasında sürekli olsun =φ(t), burada t [α,β].
O halde aşağıdaki eşitlik doğrudur:
Bu formüle belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme formülü denir.
Belirsiz integralde olduğu gibi, değişken değişikliği kullanmak integrali basitleştirmemize ve onu tablodaki bire/birlere yaklaştırmamıza olanak tanır. Üstelik belirsiz integralin aksine bu durumda orijinal entegrasyon değişkenine dönmeye gerek yoktur. φ(t)=a ve φ(t)=b denklemlerinin t değişkenine çözüm olarak α ve β'nın yeni bir t değişkeni üzerindeki entegrasyon limitlerini bulmak yeterlidir. Uygulamada, bir değişkenin yerini değiştirirken, genellikle yeni değişkenin eskisine göre t=ψ(x) ifadesini belirterek başlarlar. Bu durumda, t değişkeni üzerindeki integralin sınırlarını bulmak basitleştirilmiştir: α=ψ(a), β=ψ(b).
Örnek 19. Hesaplama 
t=2-x 2 koyalım. O zaman dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx ve xdx=- dt. Eğer x=0 ise t=2-0 2 =2 ve eğer x=1 ise o zaman t=2-1 2 =1 Dolayısıyla:
Parçalara göre entegrasyon. Parçalara göre entegrasyon yöntemi orijinali azaltmamıza olanak tanır belirsiz integral daha fazlasına basit görünüm veya bir tablo integraline. Bu yöntem en çok, integralin logaritmik, üstel, ters trigonometrik, trigonometrik fonksiyonlar ve bunların kombinasyonları.
Parçalara göre entegrasyon formülü aşağıdaki gibidir.
Yani, integrand f(x)dx onu fonksiyonun bir ürünü olarak temsil edin sen(x) Açık d(v(x))- diferansiyel fonksiyon v(x). Daha sonra fonksiyonu buluyoruz v(x)(çoğunlukla yöntemle doğrudan entegrasyon) Ve d(u(x))- diferansiyel fonksiyon sen(x). Bulunan ifadeleri parça formülü ile integrale koyarız ve orijinal belirsiz integral farka indirgenir. 
. Son belirsiz integral, parçalara göre entegrasyon yöntemi de dahil olmak üzere herhangi bir entegrasyon yöntemi kullanılarak alınabilir.
