Site malzemelerinin kullanımına ilişkin anlaşma

Sitede yayınlanan eserleri münhasıran kişisel amaçlarla kullanmanızı rica ederiz. Materyallerin başka sitelerde yayınlanması yasaktır.
Bu çalışma (ve diğerleri) tamamen ücretsiz olarak indirilebilir. Yazarına ve site ekibine zihinsel olarak teşekkür edebilirsiniz.

İyi çalışmanızı bilgi tabanına göndermek kolaydır. Aşağıdaki formu kullanın

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, lisansüstü öğrenciler, genç bilim insanları size çok minnettar olacaklardır.

Benzer belgeler

Üretim planı için maliyet miktarının hesaplanması. Oranlar doğrusal denklem ikili regresyon. Sonuçların grafiksel yorumlanmasının özellikleri. Gelişim ekonomik süreçler. Zaman serilerinin ekonometrik modellemesinin özellikleri.

test, 22.02.2011 eklendi


Yöntem simülasyon modelleme türleri, ana aşamaları ve özellikleri: simüle edilen sistemin statik ve dinamik gösterimi. Ekonomik süreçlerin ve görevlerin analizinde simülasyon modelleme yöntemlerinin kullanılması uygulamasının incelenmesi.

kurs çalışması, 26.10.2014 eklendi


Yöntemin özellikleri ve açıklaması doğrusal programlama, ana uygulama alanları ve kullanım sınırlamaları. Çözüm ekonomik görevler, bir optimizasyon modelinin oluşumunun özellikleri, kar optimizasyon sonuçlarının hesaplanması ve analizi.

kurs çalışması, eklendi 03/23/2010


Hesaplama güven aralıklarıÜstel denklemi kullanarak doğrusal bir eğilim tahmini. Modellerin yeterliliğini ve doğruluğunu değerlendirmek. Kullanım uyarlanabilir yöntemler V ekonomik tahmin. Zaman serileri için üstel ortalamalar.

test, eklendi: 08/13/2010


Matematiksel modelleme. Ekonomik analizin özü. Matematiksel yöntemler V ekonomik analiz. Teori sıraya girme. Bir işletmenin işleyişini, ürün güvenilirliğini, kaynak tahsisini ve fiyatlandırmayı planlama görevi.

test, 20.12.2002 eklendi


Statgraphics Plus programını kullanarak işletmelerin küme analizinin yapılması. Doğrusal regresyon denkleminin oluşturulması. Esneklik katsayılarının hesaplanması regresyon modelleri. Seviye istatistiksel anlamlılık denklemler ve belirleme katsayısı.

görev, 16.03.2014 eklendi


Hareketli ortalama yöntemine ilişkin bilgiler, doğrusal çift korelasyon katsayısı, regresyon analizi. Varyant verilerine göre gösterge değerlerindeki değişikliklerin grafiklerinin çizilmesi. İşleme zaman serisi hareketli ortalama yöntemi ve grafiği.

kurs çalışması, eklendi 06/08/2012

Şu ana kadar fonksiyonun integrasyonun limitlerinden birinde sınırsızlığı veya bu limitin kendisinin sınırsızlığı ile ilişkili bir özelliği olan uygunsuz integrallerden bahsetmiştik. Burada diğerlerinin ne anlamda anlaşıldığını belirteceğiz. olası seçenekler uygunsuz integral

Her iki entegrasyon sınırı da yukarıdaki türlerden birinin veya diğerinin tekillikleri ise, o zaman tanım gereği şunu varsayıyoruz:

nerede c- keyfi nokta açıklık

İlişkinin (12) sağ tarafındaki uygunsuz integrallerin her birinin yakınsak olduğu varsayılmaktadır. Aksi takdirde (12)'nin sol tarafındaki integralin ıraksak olduğunu söylerler.

Açıklama 2 ve uygun olmayan integralin toplanabilirlik özelliği nedeniyle, tanım (12), aslında nokta seçimine bağlı olmaması anlamında doğrudur.

Örnek 13.

Örnek 14. İntegral

Euler-Poisson integrali ve bazen de Gawes integrali olarak adlandırılır. Açıkça yukarıda belirtilen anlamda yakınsar. Daha sonra eşit olduğu gösterilecektir.

Örnek 15. İntegral

ıraksar, çünkü herhangi bir a için iki integralden en az biri ıraksar

Örnek 16. İntegral

integrallerin her biri yakınsarsa yakınsar

Bu integrallerden ilki şu durumda yakınsar:

Örnek 12'de yapılana benzer şekilde parçalar halinde entegrasyonla veya Abel-Dirichlet testine başvurularak doğrudan doğrulanabilen ikinci integral yakınsar. Böylece orijinal integral şu ​​durumlarda anlamlı olur:

İntegralin iç noktalardan birinin ve entegrasyon bölümünün komşuluğuyla sınırlı olmaması durumunda, varsayıyoruz:

sağdaki her iki integralin de mevcut olmasını gerektirir.

Örnek 17. Anlaşma anlamında (13)

Örnek 18. İntegral - tanımlanmamış.

Komşulukta sınırsız olan bir fonksiyonun integralinin hesaplanması için (13)'ten farklı bir anlaşma da vardır. iç nokta ve entegrasyon bölümü. Yani inanıyorlar

sağdaki sınır mevcutsa. Bu limit, Cauchy'ye göre, temel değer anlamında bir integral olarak adlandırılır ve (13) ve (14) tanımlarını ayırt etmek için, ikinci durumda integralin işaretinin önüne gelir. ilk harfler V.R. Fransızca kelimeler değer esası (ana değer). İngilizce versiyonda atama kullanılır. (ana değerden).

Yaptığımız bu anlaşma uyarınca

Örnek 19.

Aşağıdaki tanım da kabul edilmektedir:

Örnek 20.

Son olarak, birkaç tane varsa ( son sayı) aralığın içinde yer alan veya uçlarıyla çakışan belirli tekillikler varsa, aralık tekil olmayan noktalara, her biri yalnızca bir tekilliğe sahip olan sonlu sayıda bu tür aralıklara bölünür ve integral, integrallerin toplamı olarak hesaplanır. bölümün bölümleri üzerinde.

Böyle bir hesaplamanın sonucunun, bölüm seçiminde keyfiliğe bağlı olmadığı doğrulanabilir.

Örnek 21. Tam tanım integral logaritması artık şu şekilde yazılabilir:

İÇİNDE ikinci durum V.R sembolü, 1 noktasında bulunan aralığın içindeki tek tekilliği ifade eder. Tanım (13) anlamında bu integralin yakınsak olmadığına dikkat edin.

Etkili çözüm yöntemleri
belirli ve uygunsuz integraller

Bu makale şunları içerir: ek malzemeler Belirli ve uygunsuz integrallerin çözümü için yöntemler. Okuyucunun orta ila ileri düzey entegrasyon becerilerine sahip olduğu varsayılmaktadır. Durum böyle değilse lütfen aptallara yönelik temel bilgilerle başlayın: Belirsiz integral, çözüm örnekleri.

Belirsiz integralin olduğu yerde, yakındadır ve Belirli integral Ayrıca Newton-Leibniz formülüne de ilk elden aşina olmalısınız. Ayrıca en basitini çözebilir düzlemsel bir şeklin alanını hesaplama problemleri.

Ders, belirli ve uygunsuz integrallerin nasıl daha hızlı ve daha verimli çözüleceğini öğrenmek isteyenler için tasarlanmıştır. İlk önce çift ve eşit olmayanların entegrasyonunun özelliklerine bakacağım. eşit işlev sıfıra göre simetrik bir aralık boyunca. O zaman çözeceğiz dairenin alanını bulma problemi kullanarak belirli integral. Bu problem aynı zamanda önemlidir çünkü size belirli bir integralin integralini almak için yaygın bir teknik sunar - trigonometrik ikame . Henüz hiçbir yerde incelenmedi - yeni materyal!

İkinci bölüm bu konuya aşina olan okuyucular için hazırlanmıştır. uygunsuz integraller. Benzer şekilde, simetrik bir aralıkta çift ve tek fonksiyonların uygunsuz integrallerini ele alalım. Daha fazlasını dahil nadir türler ana makalede yer almayan uygunsuz integraller: alt sınır "eksi sonsuza" doğru yöneldiğinde, her iki sınır da sonsuza doğru yöneldiğinde, integral parçasının her iki ucunda fonksiyon sonsuz bir süreksizliğe maruz kaldığında (bu zaten bir integraldir) ikinci tür). Ve çok nadir bir uygunsuz integral - integral bölümünde bir süreksizlik noktası var.

Belirli bir konuyla ilgileniyorsanız, işte bağlantılar:

• Çift bir fonksiyonun simetrik bir parça üzerinde belirli integrali
• Bir dairenin alanının hesaplanması, trigonometrik ikame
• Sonsuz entegrasyon sınırına sahip uygun olmayan integraller
• Segmentin her iki ucunda süreksizlikler bulunan 2. türden uygun olmayan integral
• İntegrasyon aralığında süreksizliği olan uygun olmayan integraller

Çift bir fonksiyonun belirli integralini çözme yöntemi

Formun belirli bir integralini ele alalım. Entegrasyon bölümünün sıfıra göre simetrik olduğunu görmek kolaydır.

İntegral fonksiyonu ise eşit, o zaman integral olabilir segmentin yarısını kullanarak hesaplayın ve sonucu ikiye katlayın: .

Birçoğu bunun neden böyle olduğunu tahmin etti, yine de düşünelim somut örnekçizim ile:

Örnek 1

Bir fonksiyonun paritesi hakkında çok şey söylendi metodolojik materyal Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bir kez daha tekrarlayalım: Bir fonksiyon, eşitlik onun için geçerli olsa bile eşittir. Eşlik açısından bir işlev nasıl kontrol edilir? Gerekiyor yerine"x" yerine

İÇİNDE bu durumda:
, Araç, bu fonksiyon eşit.

Kurala göre sıfıra göre simetrik bir parça üzerinde çift fonksiyonun integrali şu şekilde hesaplanabilir:

Ve şimdi geometrik yorumlama. Evet, talihsiz parabole eziyet etmeye devam ediyoruz...

Özellikle herhangi bir çift fonksiyon eksene göre simetriktir:

Sayısal olarak belirli integral alana eşit düz şekil gölgeli olan yeşil. Ancak integralin paritesi ve dolayısıyla grafiğinin eksene göre simetrisi nedeniyle mavi renkle gölgelenen şeklin alanını hesaplamak ve sonucu ikiye katlamak yeterlidir. Aynı yarımlar!
Bu yüzden eylem doğrudur

Sıfıra göre simetrik bir doğru parçası boyunca herhangi bir çift fonksiyonda da benzer bir hikaye yaşanır:

Bazıları şöyle diyecek: “Bütün bunlar niye gerekli, zaten belirli integrali hesaplayabilirsin.” Olabilmek. Hesaplayalım:

Fakat yerine negatif bir alt limit koymak uygun muydu? Tam olarak değil. Bu arada, sıfır olmayan bir öğrenci yüzdesi işaretlerde hata yapacaktır. Sıfırı değiştirmek çok daha kolay ve daha keyifli. Bunun sadece basit bir gösteri örneği olduğunu belirtmek isterim; pratikte her şey daha kötü olabilir.

Ayrıca söz konusu teknik hesaplamalarda sıklıkla kullanılmaktadır. çift ​​katlı integraller, üçlü integraller, zaten yeterli hesaplamanın olduğu yer.

Kısa bir ısınma örneği bağımsız karar:

Örnek 2

Belirli integrali hesaplayın

Eksiksiz çözüm ve dersin sonunda cevap.

Belirli integrali basitçe değerlendirmeniz istendiğinde çizimi tamamlamanıza gerek olmadığını lütfen unutmayın! Örnek 1'in çizimi yalnızca kuralı açıklığa kavuşturmak için verilmiştir. Sadece şu anda Aşağıdaki basit problem şunlara ayrılmıştır:

Örnek 3

1) Belirli integrali hesaplayın.
2) Düz bir şeklin alanını hesaplayın, çizgilerle sınırlı ve aralıktaki eksen.

Bunlar iki farklı görev! Bu zaten makalede tartışıldı Düz bir şeklin alanı nasıl hesaplanır?Önce birinci noktayı ele alalım:

1) İntegral çifttir, entegrasyon segmenti sıfıra göre simetriktir, dolayısıyla:

Belirli integral negatif çıktı ve bu oldu!

2) Şimdi hadi alanı bulalım düz figür. Burada çizim olmadan yapmak zordur:

Saf kosinüs konusunda zorluk yaşıyorsanız lütfen makaleye bakın. Grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin altında bulunur, bu nedenle:

Hiç kimsenin kosinüs paritesini iptal etmediğine dikkat edin, bu nedenle parçayı tekrar yarıya indirdik ve integrali ikiye katladık.

Belirli bir integral kullanarak dairenin alanını hesaplama
Trigonometrik ikame

Bu çok önemli görev dikkate alınacağı için standart integral ve gelecekte defalarca karşılaşılacak bir karar verme sürecidir.

Ama önce çember denklemiyle ilgili kısa bir hatırlatma. Formun bir denklemi, yarıçaplı bir noktada merkezi olan bir daireyi belirtir. Özellikle denklem, orijin merkezli yarıçaplı bir daireyi tanımlar.

Örnek 4

Bir daire ile sınırlanan bir dairenin alanını hesaplayın, denklem tarafından verilen

merkezi yarıçapın başlangıcında olan bir dairedir.

Çizimi yapalım:

Öncelikle iyi bilinen okul formülünü kullanarak dairenin alanını hesaplayalım. Bir dairenin yarıçapı ise alanı:

Belirli bir integral kullanarak bir dairenin alanını hesaplamak için, “Y” fonksiyonunu dairenin denkleminden açık biçimde ifade etmek gerekir:

Üst yarım daire denklemle verilir
Alt yarım daire denklemle verilir

Özellikle benim gibi paranoyak insanlar dairenin birkaç noktasını bu denklemlere koyabilir ve yukarıdaki ifadelerin geçerliliğini doğrulayabilirler.

Bir dairenin alanı nasıl hesaplanır? İÇİNDE bu örnekte daire orijine göre simetriktir, bu nedenle 1. çeyrekte (mavi gölgeli) sektörün alanını hesaplamak ve ardından sonucu 4 ile çarpmak yeterlidir.

Böylece:

Aynı fakat belirsiz integral dersin 6. örneğinde ele alınmıştır. Karmaşık integraller, integrali kendine indirgeyen uzun ve emek yoğun bir yöntemle çözüldü. Aynı yoldan gidebilirsiniz, ancak belirli bir integral için uygun ve etkili yöntem trigonometrik ikame:

Bir değiştirme yapalım:

Bu değişikliğin tam olarak nedeni çok yakında netleşecek, ancak şimdilik farkı bulalım:

Bakalım kök neye dönüşecek, çok detaylı anlatacağım:

Çözüm sırasında tahmin edemiyorsanız aşağıdaki gibi bir formül uygulayın. o zaman ne yazık ki öğretmenden "bir dahaki sefere gel" ifadesini duyacaksınız.

Kökü dönüştürdükten sonra, değiştirmenin neden yapıldığını açıkça görebilirsiniz, özel ilgi Sinüs - “iki” katsayısına dikkat çekiyorum, bu katsayı, kare alırken her şey parantezlerden ve kökün altından iyi bir şekilde çıkarılacak şekilde seçilmelidir.

Geriye yeni entegrasyon sınırlarını hesaplamak kalıyor:
Eğer öyleyse

Yeni alt entegrasyon sınırı:
Entegrasyonun yeni üst sınırı:

Böylece:

Sektörün alanı 4 ile çarpılmalıdır, bu nedenle tüm dairenin alanı:

Muhtemelen, bazı insanlar kısa bir süre varsa neden integralle uğraştığımızı sormuşlardır. okul formülü? Ve işin püf noktası, bir dairenin alanını çok doğru bir şekilde hesaplama yeteneğinin yalnızca gelişmeyle ortaya çıkmasıdır. matematiksel analiz(zaten eski zamanlarda bir dairenin alanı makul bir doğrulukla hesaplanmış olmasına rağmen).

Analiz edilen örnek şu şekilde çözülebilir: genel görünüm yani, keyfi yarıçaplı bir daireyle sınırlanan bir dairenin alanını bulun: . Sonuç tam olarak formül!

Bu sorunu çözmek için başka bir yaklaşımın uygulanabileceğine dikkat edilmelidir - üst yarım dairenin alanını integral kullanarak hesaplamak için ve ardından sonucu ikiye katlayın. Ancak integralin paritesi nedeniyle çözüm basitçe optimal versiyona indirgenir:

Trigonometrik ikamenin önemini bir kez daha vurguluyorum; pratikte bir veya iki defadan fazla meydana gelecektir. Bu nedenle malzemeyi biraz daha güvence altına almak için zor görev bağımsız çözüm için:

Örnek 5

Belirli integrali hesaplayın

Koşul belirli bir integralin hesaplanmasını gerektirdiğinden çizimi tamamlamaya gerek yoktur. Değiştirme katsayısını dikkatlice düşünün. Değiştirme sonrasında integralde zorluk yaşarsanız derse geri dönün Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Dikkat olmak! Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Tek bir fonksiyonun belirli integralini çözme yöntemi
sıfıra göre simetrik bir doğru parçası boyunca

Hoşuna gidecek.

Aynı belirli integralin sıfıra göre simetrik bir integral parçası olduğunu düşünelim: .
İntegral ise garip, O .

Neden böyle bir integral sıfıra eşit?

Örnek 6

Belirli integrali hesaplayın

Çizimi yapalım:

Burada aynı zamanda fonksiyonun daha önce hiçbir yerde görmediğim grafiği de var; grafik ters kübik bir parabol.

Çift/tek fonksiyonumuzu kontrol edelim:
Bu, bu fonksiyonun tek olduğu ve grafiğinin orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir. Grafiğin simetrisinden kırmızı ve mavi ile gölgelenen alanların eşit olduğu anlaşılmaktadır..

Belirli integral hesaplanırken maviyle gölgelenen alan biçimsel olarak negatiftir. Kırmızıyla gölgelenen alan ise pozitiftir. Alanlar eşit ve biçimsel olarak zıt işaretli olduğundan birbirlerini iptal ederler.

Görevler arasındaki farkı bir kez daha vurguluyorum:

1) Herhangi bir belirli integral (elbette mevcut olmalıdır) – hala resmi olarak bir alan(olumsuz olsa bile). Bu nedenle özellikle alan fonksiyonlarının tuhaflığından dolayı birbirlerini iptal ederler. Bu, spesifik bir örnekle gösterilmiştir.

2) Alanı bulma problemi tamamen farklı bir görev. Yani bu örnekte şeklin alanını bulmamız istenirse şu şekilde hesaplanması gerekir:

Bu kuralın konusuyla ilgili birkaç kısa örnek daha:

Ve benzer şekilde herhangi bir tek fonksiyon ve sıfıra göre simetrik bir segment için.

Kullanmalı mıyım? bu yöntem pratikte mi? Aslında soru o kadar basit değil. Sana teklif edildiğinde karmaşık örnekİle çok sayıda hesaplamalarda, fonksiyonun tekliğine ve integral bölümünün sıfıra göre simetrisine atıfta bulunarak böyle bir integralin sıfıra eşit olduğunu belirtmek mümkün ve hatta uygundur. Dedikleri gibi bilgi güçtür, cehalet ise emek gücüdür.

Ama teklif edildiğinde kısa örnek, o zaman öğretmen sizi oldukça makul bir şekilde bunu ayrıntılı olarak çözmeye zorlayabilir: integrali alın ve Newton-Leibniz formülünü kullanarak integralin sınırlarını değiştirin. Örneğin sizden aynı belirli integrali hesaplamanız isteniyor. Ne demek istediğinizi hemen yazıp neden sıfır çıktığını kelimelerle açıklarsanız pek iyi olmaz. "Aptal rolü oynamak" ve tam çözümü uygulamak çok daha iyidir:

Ve integralin sıfıra eşit olduğunu önceden bileceksiniz ;-) Ve bu bilgi% 100 hatalardan kaçınmanıza izin verecektir.

Sonsuz alt limitli uygunsuz bir integrali çözme yöntemi

Makalenin ikinci bölümü dersi iyi anlayanlar için hazırlanmıştır. Uygun olmayan integraller. Çözüm örnekleri ya da en azından çoğunu anladım. Uygun olmayan integraller hakkında konuşacağız birinci tür sonsuz bir alt limitle: .

Örnek 7

Bu integralin sonsuz ile “sıradan” uygunsuz integralden farkı nedir? üst sınır? Çözüm teknolojisi açısından neredeyse hiçbir şey yok. Ayrıca ters türevi (belirsiz integral) bulmanız ve integrali hesaplarken limiti de kullanmanız gerekir. Aradaki fark, integralin alt sınırını “eksi sonsuza” yönlendirmenin gerekli olmasıdır: .

Yukarıdakilerden böyle uygunsuz bir integrali hesaplamak için açık bir formül şöyledir:

Bu örnekte integral süreklidir ve:
yani uygunsuz integral ıraksar.

Burada asıl önemli olan işaretlere dikkat edin ve bunu unutma. Neyin nereye gittiğini dikkatlice anlamalısınız.

Örnek 8

Uygunsuz integrali hesaplayın veya diverjansını belirleyin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Uygunsuz integrali çözme yöntemi
sonsuz entegrasyon sınırlarıyla

Çok ilginç durum. Uygun olmayan integral birinci türİle sonsuz sınırlar entegrasyon aşağıdaki forma sahiptir:

Nasıl çözülür? Bu integral iki uygunsuz integralin toplamı olarak temsil edilmelidir:
(dahice olan her şey basittir) ve duruma bakın:
Not: Sıfır yerine herhangi bir sayı kullanılabilir ancak sıfır genellikle en uygunudur.

Örnek 9

Uygunsuz integrali hesaplayın veya diverjansını belirleyin.

İntegral tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. İntegrali iki integralin toplamı olarak temsil ediyoruz:

ve onlarla ayrı ayrı ilgilenin:

Böylece:
yani uygunsuz integral vardır ve yakınsar.

Şimdi dikkatimizi integrand fonksiyonuna çevirelim. O eşit.
Sonsuz limitli uygunsuz integrallerde (ve dolayısıyla simetrik entegrasyon aralığında), eşlik CAN kullanılabilir. Belirli integrale benzer şekilde, aralığı yarıya indirmek ve sonucu ikiye katlamak avantajlıdır:

Bu neden mümkün? Çift bir fonksiyonun integralinin grafiği eksene göre simetriktir. Sonuç olarak, eğer alanın yarısı sonluysa (integral yakınsaksa), o zaman alanın simetrik yarısı da sonludur. Alanın yarısı sonsuzsa (integral ıraksaksa), bu nedenle simetrik yarım da ıraksayacaktır. Ve üçüncü durumu da unutmayın: Eğer yarım yoksa, o zaman ikinci ve integralin tamamı da vardır. Örneğin:
– bu limit mevcut değildir, bu da uygunsuz integralin mevcut olmadığı anlamına gelir.

Gelelim daha da ilginç bir olaya:

Örnek 10

Yakınsaklık için uygunsuz integrali inceleyin.

Göreve dikkat edin - burada koşul artık integralin varlığı gerçeğini ifade etmiyor.

İntegral tüm sayı doğrusu boyunca süreklidir ve akademik tarzda hastayı iki parçaya böleriz:

İlkini çözelim:

ve ikincisi:

Ve her iki integralin de olmasına rağmen ayrı ayrı diverge – son integral genel durum mevcut değilçünkü miktar tanımlanmadı. Neden? Çünkü "a" değişkeni "eksi sonsuza" doğru yönelebilir, örneğin "olmak" değişkeninden "artı sonsuza" gitmekten DAHA HIZLI (veya tam tersi).

Ama özel bir şey var özel durum– her iki değişkenin de sonsuza eşit eğilimli olması. Bu limitle ifade edilir:

ve denir Cauchy integralinin yakınsaması . Limitin tam değerine denir uygun olmayan integralin baş değeri .

Ve durum bizi gerektirdiğinden araştırma, o zaman aşağıdakiler okuryazar olacak cevap: Genel durumda uygun olmayan bir integral mevcut değildir ancak Cauchy yakınsaması meydana gelir ve integralin temel değeri sıfıra eşittir. Ana anlam genellikle şu şekilde gösterilir:

Ve şimdi Çok önemli nokta : integral garip ve doğru tahmin ettiğiniz gibi, sonsuz limitli uygunsuz integrallerde tuhaflık KULLANILMAMALIDIR!!!

Bu belirli bir integralden farkıdır. Oraya bunu güvenle yazabilirsiniz, ancak burada da aynısını yapabilirsiniz. yapmamalı. Neden? Çünkü bazı durumlarda, örneğin ele alınan örnekte olduğu gibi, otomatik bir hata ortaya çıkacaktır ki bu doğru değildir.

İşin inceliği, bazılarının integrallerinin tek işlevler ve aslında sıfıra eşittir! Ve adanmış olan tam da bu inceliktir sonraki örnek Bağımsız bir karar için.