Il existe une forte probabilité d'occurrence. Problèmes simples en théorie des probabilités

Mis à jour dans pot ouvert Problèmes d'examen d'État unifié en mathématiques (mathege.ru), dont la solution repose sur une seule formule, qui est définition classique probabilités.

La façon la plus simple de comprendre la formule consiste à utiliser des exemples.
Exemple 1. Il y a 9 boules rouges et 3 boules bleues dans le panier. Les boules ne diffèrent que par la couleur. On en sort un au hasard (sans regarder). Quelle est la probabilité que la boule ainsi choisie soit bleue ?

Commentaire. Dans les problèmes de théorie des probabilités, quelque chose se produit (dans dans ce cas notre action de retirer la balle), ce qui peut avoir un résultat différent. Il convient de noter que le résultat peut être envisagé de différentes manières. "Nous avons sorti une sorte de balle" est aussi un résultat. "Nous avons sorti la balle bleue" - le résultat. "Nous avons retiré exactement cette balle parmi toutes les balles possibles" - cette vision la moins généralisée du résultat est appelée un résultat élémentaire. Ce sont les résultats élémentaires qui sont pris en compte dans la formule de calcul de la probabilité.

Solution. Calculons maintenant la probabilité de choisir la boule bleue.
Événement A : « la balle sélectionnée s'est avérée bleue »
Nombre total de tous les résultats possibles : 9+3=12 (le nombre de toutes les boules que nous pourrions tirer)
Nombre de résultats favorables à l'événement A : 3 (le nombre de ces résultats dans lesquels l'événement A s'est produit - c'est-à-dire le nombre de boules bleues)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Réponse : 0,25

Pour le même problème, calculons la probabilité de choisir une boule rouge.
Le nombre total d'issues possibles restera le même, 12. Nombre d'issues favorables : 9. Probabilité recherchée : 9/12=3/4=0,75

La probabilité de tout événement est toujours comprise entre 0 et 1.
Parfois dans discours de tous les jours(mais pas dans la théorie des probabilités !) la probabilité des événements est estimée en pourcentage. La transition entre les scores en mathématiques et en conversation s'effectue en multipliant (ou en divisant) par 100 %.
Donc,
De plus, la probabilité est nulle pour des événements qui ne peuvent pas se produire – c'est incroyable. Par exemple, dans notre exemple, ce serait la probabilité de tirer une balle verte du panier. (Le nombre de résultats favorables est 0, P(A)=0/12=0, s'il est calculé à l'aide de la formule)
La probabilité 1 comporte des événements dont la réalisation est absolument certaine, sans options. Par exemple, la probabilité que « la balle sélectionnée soit rouge ou bleue » relève de notre tâche. (Nombre de résultats favorables : 12, P(A)=12/12=1)

Nous avons examiné exemple classique, illustrant la définition de la probabilité. Tous pareils Tâches d'examen d'État unifié Selon la théorie des probabilités, ils sont résolus en utilisant cette formule.
À la place des boules rouges et bleues, il peut y avoir des pommes et des poires, des garçons et des filles, des billets appris et non appris, des billets contenant ou non une question sur un sujet (prototypes), des sacs ou des pompes de jardin défectueux et de haute qualité (prototypes). ,) - le principe reste le même.

Ils diffèrent légèrement dans la formulation du problème théorique probabilité de l'examen d'État unifié, où vous devez calculer la probabilité qu'un événement se produise un jour spécifique. ( , ) Comme dans les problèmes précédents, vous devez déterminer quel est le résultat élémentaire, puis appliquer la même formule.

Exemple 2. La conférence dure trois jours. Le premier et le deuxième jour, il y a 15 intervenants chacun, le troisième jour - 20. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur M. tombe le troisième jour si l'ordre des rapports est déterminé par tirage au sort ?

Quel est le résultat élémentaire ici ? – Attribuer au rapport du professeur l’un de tous les numéros d’ordre possibles pour le discours. 15+15+20=50 personnes participent au tirage au sort. Ainsi, le rapport du professeur M. pourra recevoir l'un des 50 numéros. Cela signifie résultats élémentaires seulement 50.
Quelles sont les issues favorables ? - Celles dans lesquelles il s'avère que le professeur interviendra le troisième jour. Autrement dit, les 20 derniers chiffres.
D'après la formule, probabilité P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Réponse : 0,4

Le tirage au sort représente ici l'établissement d'une correspondance aléatoire entre des personnes et des lieux ordonnés. Dans l'exemple 2, l'établissement de la correspondance a été envisagé du point de vue lequel des lieux pouvait être pris personne spécifique. Vous pouvez aborder la même situation de l'autre côté : laquelle des personnes avec quelle probabilité pourrait se rendre à un endroit précis (prototypes , , , ) :

Exemple 3. Le tirage au sort comprend 5 Allemands, 8 Français et 3 Estoniens. Quelle est la probabilité que le premier (/second/septième/dernier – peu importe) soit un Français.

Nombre de résultats élémentaires – nombre total personnes possibles, qui pourrait, par tirage au sort, arriver à cet endroit. 5+8+3=16 personnes.
Résultats favorables - Français. 8 personnes.
Probabilité requise : 8/16=1/2=0,5
Réponse : 0,5

Le prototype est légèrement différent. Il y a encore des problèmes avec les pièces () et les dés (), qui sont un peu plus créatifs. La solution à ces problèmes se trouve sur les pages des prototypes.

Voici quelques exemples de lancer une pièce ou un dé.

Exemple 4. Quand on lance une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d’arriver sur face ?
Il y a 2 résultats : pile ou face. (on pense que la pièce n’atteint jamais sur sa tranche) Un résultat favorable est pile, 1.
Probabilité 1/2=0,5
Réponse : 0,5.

Exemple 5. Et si on jetait une pièce deux fois ? Quelle est la probabilité d’obtenir face les deux fois ?
L'essentiel est de déterminer quels résultats élémentaires nous prendrons en compte lorsque nous lancerons deux pièces. Après avoir lancé deux pièces, l’un des résultats suivants peut se produire :
1) PP – les deux fois, c’est tombé sur face
2) PO – première fois face, deuxième fois face
3) OP – pile la première fois, face la deuxième fois
4) OO – des têtes sont levées les deux fois
Il n'y a pas d'autres options. Cela signifie qu’il y a 4 résultats élémentaires. Seul le premier, 1, est favorable.
Probabilité : 1/4=0,25
Réponse : 0,25

Quelle est la probabilité que deux tirages à pile ou face aboutissent à pile ?
Le nombre de résultats élémentaires est le même, 4. Les résultats favorables sont le deuxième et le troisième, 2.
Probabilité d'obtenir une queue : 2/4=0,5

Dans de tels problèmes, une autre formule peut être utile.
Si lors d'un tirage au sort options possibles nous avons 2 résultats, alors pour deux lancers les résultats seront 2 2 = 2 2 = 4 (comme dans l'exemple 5), pour trois lancers 2 2 2 = 2 3 = 8, pour quatre : 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... pour N lancers, les résultats possibles seront 2·2·...·2=2 N .

Ainsi, vous pouvez trouver la probabilité d’obtenir 5 faces sur 5 lancers de pièces.
Nombre total d'objectifs élémentaires : 2 5 =32.
Résultats favorables : 1. (RRRRRR – c'est face aux 5 fois)
Probabilité : 1/32=0,03125

La même chose est vraie pour dés. Avec un lancer, il y a 6 résultats possibles Donc, pour deux lancers : 6 6 = 36, pour trois 6 6 6 = 216, etc.

Exemple 6. Nous jetons les dés. Quelle est la probabilité qu’un nombre pair soit obtenu ?

Résultats totaux : 6, selon le nombre de côtés.
Favorable : 3 résultats. (2, 4, 6)
Probabilité : 3/6=0,5

Exemple 7. On lance deux dés. Quelle est la probabilité que le total soit de 10 ? (arrondir au centième près)

Pour un dé, il y a 6 résultats possibles. Cela signifie que pour deux, selon la règle ci-dessus, 6·6=36.
Quels résultats seront favorables pour que le total obtienne 10 ?
10 doit être décomposé en la somme de deux nombres de 1 à 6. Cela peut se faire de deux manières : 10=6+4 et 10=5+5. Cela signifie que les options suivantes sont possibles pour les cubes :
(6 sur le premier et 4 sur le deuxième)
(4 sur le premier et 6 sur le deuxième)
(5 sur le premier et 5 sur le deuxième)
Au total, 3 options. Probabilité requise : 3/36=1/12=0,08
Réponse : 0,08

D’autres types de problèmes B6 seront abordés dans un prochain article Comment résoudre.

La nécessité d'agir sur les probabilités survient lorsque les probabilités de certains événements sont connues et qu'il est nécessaire de calculer les probabilités d'autres événements associés à ces événements.

L'ajout de probabilités est utilisé lorsque vous devez calculer la probabilité d'une combinaison ou d'une somme logique d'événements aléatoires.

Somme des événements UN Et B indiquer UN + B ou UN ∪ B. La somme de deux événements est un événement qui se produit si et seulement si au moins un des événements se produit. Cela signifie que UN + B- un événement qui se produit si et seulement si l'événement s'est produit pendant l'observation UN ou un événement B, ou simultanément UN Et B.

Si les événements UN Et B sont mutuellement incohérents et leurs probabilités sont données, alors la probabilité qu'un de ces événements se produise à la suite d'un essai est calculée en utilisant l'addition de probabilités.

Théorème d’addition de probabilité. La probabilité que l’une des deux choses se produise s’exclut mutuellement. événements communs, est égal à la somme des probabilités de ces événements :

Par exemple, lors d'une chasse, deux coups de feu sont tirés. Événement UN– frapper un canard du premier coup, événement DANS– touché dès le deuxième coup, événement ( UN+ DANS) – une touche du premier ou du deuxième coup ou de deux coups. Ainsi, si deux événements UN Et DANS– des événements incompatibles, alors UN+ DANS– la survenance d'au moins un de ces événements ou de deux événements.

Exemple 1. Il y a 30 balles dans une boîte mêmes tailles: 10 rouges, 5 bleues et 15 blanches. Calculez la probabilité qu’une balle colorée (et non blanche) soit ramassée sans regarder.

Solution. Supposons que l'événement UN- "la boule rouge est prise", et l'événement DANS- "La balle bleue a été prise." Ensuite, l’événement est « une balle colorée (et non blanche) est prise ». Trouvons la probabilité de l'événement UN:

et événements DANS:

Événements UN Et DANS– incompatibles entre eux, puisque si une balle est prise, alors les balles ne peuvent pas être prises différentes couleurs. On utilise donc l’addition de probabilités :

Le théorème pour ajouter des probabilités pour plusieurs événements incompatibles. Si les événements constituent un ensemble complet d'événements, alors la somme de leurs probabilités est égale à 1 :

La somme des probabilités d'événements opposés est également égale à 1 :

Les événements opposés forment un ensemble complet d’événements et la probabilité d’un ensemble complet d’événements est de 1.

Les probabilités d'événements opposés sont généralement indiquées en minuscules p Et q. En particulier,

ce qui suit formules suivantes probabilités d'événements opposés :

Exemple 2. La cible du stand de tir est divisée en 3 zones. La probabilité qu'un certain tireur tire sur la cible dans la première zone est de 0,15, dans la deuxième zone – 0,23, dans la troisième zone – 0,17. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible et la probabilité que le tireur rate la cible.

Solution : Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible :

Trouvons la probabilité que le tireur rate la cible :

Pour des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, voir la page "Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités".

Ajout de probabilités d'événements mutuellement simultanés

Deux événements aléatoires sont dits conjoints si la survenance d’un événement n’exclut pas la survenance d’un deuxième événement dans la même observation. Par exemple, lors du lancement d'un dé, l'événement UN Le chiffre 4 est considéré comme déployé, et l'événement DANS- perte nombre pair. Puisque 4 est un nombre pair, les deux événements sont compatibles. En pratique, il existe des problèmes liés au calcul des probabilités d'apparition de l'un des événements mutuellement simultanés.

Théorème d'addition de probabilité pour les événements conjoints. La probabilité que l'un des événements conjoints se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements, à laquelle est soustraite la probabilité offensive générale les deux événements, c'est-à-dire le produit de probabilités. La formule des probabilités d'événements conjoints a la forme suivante :

Depuis les événements UN Et DANS compatible, événement UN+ DANS se produit si l’un des trois événements possibles se produit : ou AB. D'après le théorème d'addition d'événements incompatibles, on calcule comme suit :

Événement UN se produira si l’un des deux événements incompatibles se produit : ou AB. Cependant, la probabilité d'occurrence d'un événement parmi plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de tous ces événements :

De même:

En remplaçant les expressions (6) et (7) dans l'expression (5), nous obtenons la formule de probabilité pour les événements conjoints :

Lors de l'utilisation de la formule (8), il convient de tenir compte du fait que les événements UN Et DANS peut être:

mutuellement indépendants;
mutuellement dépendants.

Formule de probabilité pour des événements mutuellement indépendants :

Formule de probabilité pour des événements mutuellement dépendants :

Si les événements UN Et DANS sont incohérents, alors leur coïncidence est un cas impossible et, par conséquent, P.(AB) = 0. La quatrième formule de probabilité pour les événements incompatibles est :

Exemple 3. En course automobile, lorsque vous conduisez la première voiture, vous avez de meilleures chances de gagner, et lorsque vous conduisez la deuxième voiture. Trouver:

la probabilité que les deux voitures gagnent ;
la probabilité qu'au moins une voiture gagne ;

1) La probabilité que la première voiture gagne ne dépend pas du résultat de la deuxième voiture, donc les événements UN(la première voiture gagne) et DANS(la deuxième voiture gagnera) – épreuves indépendantes. Trouvons la probabilité que les deux voitures gagnent :

2) Trouvez la probabilité que l'une des deux voitures gagne :

Résolvez vous-même le problème de l'addition de probabilités, puis examinez la solution

Exemple 4. Deux pièces sont lancées. Événement UN- perte des armoiries sur la première monnaie. Événement B- perte des armoiries sur la deuxième monnaie. Trouver la probabilité d'un événement C = UN + B .

Multiplier les probabilités

La multiplication de probabilité est utilisée lorsque la probabilité d'un produit logique d'événements doit être calculée.

Dans ce cas, les événements aléatoires doivent être indépendants. Deux événements sont dits indépendants l’un de l’autre si la survenance de l’un d’entre eux n’affecte pas la probabilité de survenance du deuxième événement.

Théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants. Probabilité d'occurrence simultanée de deux événements indépendants UN Et DANS est égal au produit des probabilités de ces événements et se calcule par la formule :

Exemple 5. La pièce est lancée trois fois de suite. Trouvez la probabilité que les armoiries apparaissent trois fois.

Solution. La probabilité que les armoiries apparaissent au premier tirage au sort, la deuxième fois et la troisième fois. Trouvons la probabilité que les armoiries apparaissent toutes les trois fois :

Résolvez vous-même les problèmes de multiplication de probabilités, puis examinez la solution

Exemple 6. Il y a une boîte de neuf balles de tennis neuves. Pour jouer, on prend trois balles, et après le jeu elles sont remises. Lors du choix des balles, les balles jouées ne sont pas distinguées des balles non jouées. Quelle est la probabilité qu'après trois jeux Reste-t-il des balles non jouées dans la boîte ?

Exemple 7. 32 lettres de l'alphabet russe sont écrites sur des cartes alphabet découpées. Cinq cartes sont tirées au hasard les unes après les autres et placées sur la table par ordre d'apparition. Trouvez la probabilité que les lettres forment le mot « fin ».

Exemple 8. D'un jeu complet de cartes (52 feuilles), quatre cartes sont retirées à la fois. Trouvez la probabilité que ces quatre cartes soient de couleurs différentes.

Exemple 9. La même tâche que dans l'exemple 8, mais chaque carte après avoir été retirée est remise dans le paquet.

Des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, ainsi que calculer le produit de plusieurs événements, peuvent être trouvés sur la page « Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités ».

La probabilité qu'au moins un des événements mutuellement indépendants se produise peut être calculée en soustrayant de 1 le produit des probabilités d'événements opposés, c'est-à-dire en utilisant la formule :

Exemple 10. Le fret est acheminé par trois modes de transport : le transport fluvial, ferroviaire et routier. Probabilité que la cargaison soit livrée transport fluvial, est de 0,82, par chemin de fer 0,87, en transport automobile 0,90. Trouvez la probabilité que la cargaison soit livrée par au moins l'un des trois types transport.

en tant que catégorie ontologique, il reflète l'étendue de la possibilité d'émergence de toute entité dans toutes les conditions. Contrairement à l’interprétation mathématique et logique de ce concept, les mathématiques ontologiques ne s’associent pas à l’obligation d’expression quantitative. Le sens de V. se révèle dans le contexte de la compréhension du déterminisme et de la nature du développement en général.

Excellente définition

Définition incomplète ↓

PROBABILITÉ

concept caractérisant les quantités. la mesure de la possibilité de survenance d'un certain événement à un certain moment conditions. En scientifique en cognition, il existe trois interprétations de V. Concept classique V., issu des mathématiques. analyse jeu d'argent et le plus développé par B. Pascal, J. Bernoulli et P. Laplace, considère V. comme le rapport du nombre de cas favorables à nombre total tout cela est également possible. Par exemple, lorsque l’on lance un dé à 6 faces, on peut s’attendre à ce que chacune d’elles atterrisse avec une valeur de 1/6, puisqu’aucune face n’a d’avantage sur l’autre. Une telle symétrie des résultats expérimentaux est particulièrement prise en compte lors de l'organisation de jeux, mais est relativement rare dans l'étude d'événements objectifs en science et en pratique. Classique L'interprétation de V. a cédé la place aux statistiques. Les concepts de V., qui sont basés sur la réalité observer l'apparition d'un certain événement sur une longue période de temps. expérience dans des conditions précisément fixées. La pratique confirme que plus un événement se produit souvent, plus plus de diplôme possibilité objective son apparence, ou B. Donc statistique. L'interprétation de V. repose sur la notion de relation. fréquence, qui peut être déterminée expérimentalement. V. comme théorie le concept ne coïncide jamais avec la fréquence déterminée empiriquement, mais au pluriel. Dans les cas, il diffère pratiquement peu du relatif. fréquence trouvée en raison de la durée. observations. De nombreux statisticiens considèrent V. comme un « double ». fréquences, les bords sont déterminés statistiquement. étude des résultats d'observation

ou des expériences. La définition de V. en ce qui concerne la limite était moins réaliste. fréquences événements de masse, ou collectifs, proposés par R. Mises. Comme développement ultérieur L'approche fréquentielle de V. propose une interprétation dispositionnelle ou propensive de V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Selon cette interprétation, V. caractérise par exemple la propriété des conditions génératrices. expérience. installations pour obtenir une séquence d’événements aléatoires massifs. C'est précisément cette attitude qui donne lieu à des inquiétudes physiques. dispositions, ou prédispositions, V. qui peuvent être vérifiées à l'aide de proches. fréquence

Statistique L'interprétation de V. domine la recherche scientifique. cognition, car elle reflète des spécificités. la nature des schémas inhérents aux phénomènes de masse de nature aléatoire. Dans de nombreux domaines physiques, biologiques, économiques, démographiques. etc. processus sociaux il est nécessaire de prendre en compte l'effet de nombreux facteurs aléatoires, caractérisés par une fréquence stable. Identifier ces fréquences et quantités stables. son évaluation avec l'aide de V. permet de révéler la nécessité qui se fraye un chemin à travers l'action cumulative de nombreux accidents. C'est ici que trouve sa manifestation la dialectique de la transformation du hasard en nécessité (voir F. Engels, dans le livre : K. Marx et F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36).

Le raisonnement logique, ou inductif, caractérise la relation entre les prémisses et la conclusion d'un raisonnement non démonstratif et, en particulier, inductif. Contrairement à la déduction, les prémisses de l'induction ne garantissent pas la véracité de la conclusion, mais la rendent seulement plus ou moins plausible. Cette plausibilité, avec des prémisses précisément formulées, peut parfois être appréciée à l'aide de V. La valeur de ce V. est le plus souvent déterminée par comparaison. concepts (supérieur, inférieur ou égal à), et parfois de manière numérique. Logique l’interprétation est souvent utilisée pour analyser le raisonnement inductif et construire divers systèmes logiques probabilistes (R. Carnap, R. Jeffrey). En sémantique concepts logiques V. est souvent défini comme le degré auquel une affirmation est confirmée par d'autres (par exemple, une hypothèse par ses données empiriques).

En relation avec le développement des théories de la prise de décision et des jeux, ce qu'on appelle interprétation personnaliste de V. Bien que V. exprime en même temps le degré de foi du sujet et la survenance d'un certain événement, V. eux-mêmes doivent être choisis de telle manière que les axiomes du calcul de V. soient satisfaits. Par conséquent, V. avec une telle interprétation n'exprime pas tant le degré de foi subjective, mais plutôt raisonnable . Par conséquent, les décisions prises sur la base d'un tel V. seront rationnelles, car elles ne prennent pas en compte les facteurs psychologiques. caractéristiques et inclinations du sujet.

Avec épistémologique t.zr. différence entre statistique et logique. et les interprétations personnalistes de V. sont que si la première caractérise les propriétés objectives et les relations des phénomènes de masse de nature aléatoire, alors les deux dernières analysent les caractéristiques du subjectif, de la connaissance. activités humaines dans des conditions d’incertitude.

PROBABILITÉ

l'un des les notions les plus importantes science, caractérisant une vision systémique particulière du monde, de sa structure, de son évolution et de ses connaissances. La spécificité de la vision probabiliste du monde se révèle à travers l'inclusion dans le nombre notions de base l'existence des notions d'aléatoire, d'indépendance et de hiérarchie (idées de niveaux dans la structure et la détermination des systèmes).

Les idées sur la probabilité sont nées dans l'Antiquité et liées aux caractéristiques de nos connaissances, tandis que l'existence de connaissances probabilistes était reconnue, qui différait des connaissances fiables et des fausses connaissances. L'impact de l'idée de probabilité sur pensée scientifique, sur le développement de la cognition est directement lié au développement de la théorie des probabilités en tant que discipline mathématique. L'origine de la doctrine mathématique des probabilités remonte au XVIIe siècle, époque à laquelle se développe un noyau de concepts permettant. caractéristiques quantitatives (numériques) et exprimant une idée probabiliste.

Des applications intensives des probabilités au développement de la cognition ont lieu au cours de la seconde moitié. 19 - 1er étage 20e siècle La probabilité est entrée dans les structures de tels sciences fondamentales sur la nature, comme la physique statistique classique, la génétique, théorie des quanta, cybernétique (théorie de l'information). En conséquence, les probabilités personnifient cette étape du développement de la science, qui est désormais définie comme une science non classique. Pour révéler la nouveauté et les caractéristiques de la pensée probabiliste, il est nécessaire de partir d'une analyse du sujet de la théorie des probabilités et des fondements de ses nombreuses applications. La théorie des probabilités est généralement définie comme une discipline mathématique qui étudie les modèles de masse. phénomènes aléatoires sous certaines conditions. Le hasard signifie que, dans le cadre du caractère de masse, l'existence de chaque phénomène élémentaire ne dépend pas et n'est pas déterminée par l'existence d'autres phénomènes. Dans le même temps, la nature massive des phénomènes elle-même a une structure stable et contient certaines régularités. Un phénomène de masse est assez strictement divisé en sous-systèmes, et le nombre relatif de phénomènes élémentaires dans chacun des sous-systèmes ( fréquence relative) est très stable. Cette stabilité est comparée à la probabilité. Un phénomène de masse dans son ensemble est caractérisé par une distribution de probabilité, c'est-à-dire par la spécification de sous-systèmes et de leurs probabilités correspondantes. Le langage de la théorie des probabilités est le langage des distributions de probabilités. En conséquence, la théorie des probabilités est définie comme la science abstraite du fonctionnement avec des distributions.

Les probabilités ont donné naissance à des idées scientifiques sur les modèles statistiques et les systèmes statistiques. La dernière essence systèmes formés d’entités indépendantes ou quasi-indépendantes, leur structure est caractérisée par des distributions de probabilité. Mais comment est-il possible de constituer des systèmes à partir d’entités indépendantes ? On suppose généralement que pour la formation de systèmes dotés de caractéristiques intégrales, il est nécessaire qu'il existe des connexions suffisamment stables entre leurs éléments qui cimentent les systèmes. La stabilité des systèmes statistiques est donnée par la présence de conditions externes, environnement externe, externe, non forces internes. La définition même de la probabilité repose toujours sur la définition des conditions de formation du phénomène de masse initial. Une autre idée importante caractérisant le paradigme probabiliste est l'idée de hiérarchie (subordination). Cette idée exprime la relation entre les caractéristiques éléments individuels Et caractéristiques holistiques systèmes : ces derniers semblent être construits par-dessus les premiers.

L'importance des méthodes probabilistes en cognition réside dans le fait qu'elles permettent d'étudier et d'exprimer théoriquement les modèles de structure et de comportement d'objets et de systèmes qui ont une structure hiérarchique à « deux niveaux ».

L'analyse de la nature de la probabilité repose sur sa fréquence et son interprétation statistique. En même temps, très longue durée En science, une telle compréhension de la probabilité prévalait, appelée probabilité logique ou inductive. La probabilité logique s'intéresse aux questions de validité d'un jugement individuel séparé dans certaines conditions. Est-il possible d'évaluer le degré de confirmation (fiabilité, vérité) d'une conclusion inductive (conclusion hypothétique) dans forme quantitative? Au cours du développement de la théorie des probabilités, ces questions ont été discutées à plusieurs reprises et ils ont commencé à parler des degrés de confirmation des conclusions hypothétiques. Cette mesure de probabilité est déterminée par les données disponibles cette personne informations, son expérience, sa vision du monde et son état d'esprit psychologique. En tout cas similaires la grandeur de la probabilité ne se prête pas à des mesures strictes et échappe pratiquement à la compétence de la théorie des probabilités en tant que discipline mathématique cohérente.

L’interprétation objective et fréquentiste des probabilités a été établie en science avec des difficultés considérables. Initialement, la compréhension de la nature des probabilités était fortement influencée par les vues philosophiques et méthodologiques caractéristiques de science classique. Historiquement, le développement des méthodes probabilistes en physique s'est produit sous l'influence déterminante des idées de la mécanique : systèmes statistiques ont été interprétés simplement comme mécaniques. Puisque les problèmes correspondants n'ont pas été résolus des méthodes strictes mécanique, puis des réclamations ont surgi faisant appel à méthodes probabilistes et les lois statistiques sont le résultat du caractère incomplet de nos connaissances. Dans l'histoire du développement du classique physique statistique De nombreuses tentatives ont été faites pour le justifier sur la base mécanique classique, cependant, ils ont tous échoué. La base de la probabilité est qu'elle exprime les caractéristiques structurelles d'une certaine classe de systèmes, autres que les systèmes mécaniques : l'état des éléments de ces systèmes est caractérisé par une instabilité et une nature particulière (non réductible à la mécanique) des interactions.

L'entrée de la probabilité dans la cognition conduit au déni du concept de déterminisme dur, au déni du modèle de base de l'être et de la connaissance développé au cours du processus de formation de la science classique. Modèles de base, représentés par les théories statistiques, ont une signification différente, plus caractère général: Ceux-ci incluent les idées de hasard et d’indépendance. L'idée de probabilité est associée à la divulgation de la dynamique interne des objets et des systèmes, qui ne peut être entièrement déterminée conditions extérieures et les circonstances.

Le concept d'une vision probabiliste du monde, fondée sur l'absolutisation des idées sur l'indépendance (comme avant le paradigme de la détermination rigide), a désormais révélé ses limites, qui affectent le plus fortement la transition. science moderneÀ méthodes analytiques recherche sur les systèmes complexes et les fondements physiques et mathématiques des phénomènes d'auto-organisation.

Excellente définition

Définition incomplète ↓

probabilité- un nombre compris entre 0 et 1 qui reflète les chances qu'un événement aléatoire se produise, où 0 est absence totale la probabilité qu'un événement se produise, et 1 signifie que l'événement en question se produira certainement.

La probabilité de l'événement E est un nombre compris entre 1 et 1.
La somme des probabilités d'événements mutuellement exclusifs est égale à 1.

probabilité empirique- la probabilité, qui est calculée comme la fréquence relative d'un événement dans le passé, extraite de l'analyse des données historiques.

La probabilité d’événements très rares ne peut être calculée empiriquement.

probabilité subjective- probabilité basée sur des données personnelles évaluation subjectiveévénements sans tenir compte des données historiques. Les investisseurs qui prennent des décisions d’achat et de vente d’actions agissent souvent sur la base de considérations de probabilité subjective.

probabilité a priori -

La chance est de 1 sur... (cotes) qu'un événement se produise grâce au concept de probabilité. La probabilité qu'un événement se produise est exprimée en probabilité comme suit : P/(1-P).

Par exemple, si la probabilité d’un événement est de 0,5, alors la probabilité que cet événement se produise est de 1 sur 2 car 0,5/(1-0,5).

La probabilité qu'un événement ne se produise pas est calculée à l'aide de la formule (1-P)/P

Probabilité incohérente- par exemple, le prix des actions de la société A prend en compte 85% événement possible E, et dans le cours de l'action de la société B de seulement 50 %. C’est ce qu’on appelle une probabilité incohérente. Selon le théorème néerlandais des paris, une probabilité incohérente crée des opportunités de profit.

Probabilité inconditionnelle est la réponse à la question « Quelle est la probabilité que l’événement se produise ? »

Probabilité conditionnelle - c'est la réponse à la question : « Quelle est la probabilité de l'événement A si l'événement B se produit. » La probabilité conditionnelle est notée P(A|B).

Probabilité conjointe- la probabilité que les événements A et B se produisent simultanément. Noté P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(UNE|B)*P(B)

Règle pour résumer les probabilités :

La probabilité que l'événement A ou l'événement B se produise est

P (A ou B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Si les événements A et B s’excluent mutuellement, alors

P (A ou B) = P(A) + P(B)

Événements indépendants - les événements A et B sont indépendants si

P(UNE|B) = P(UNE), P(B|UNE) = P(B)

C'est-à-dire qu'il s'agit d'une séquence de résultats dont la valeur de probabilité est constante d'un événement à l'autre.
Un tirage au sort est un exemple d'un tel événement - le résultat de chaque tirage au sort suivant ne dépend pas du résultat du précédent.

Événements dépendants - ce sont des événements où la probabilité d'occurrence de l'un dépend de la probabilité d'occurrence d'un autre.

La règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants :
Si les événements A et B sont indépendants, alors

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Règle de probabilité totale :

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S et S" sont des événements mutuellement exclusifs

valeur attendue la variable aléatoire est la moyenne des résultats possibles variable aléatoire. Pour l’événement X, l’attente est notée E(X).

Disons que nous avons 5 valeurs d'événements mutuellement exclusifs avec une certaine probabilité (par exemple, le revenu d'une entreprise était tel ou tel montant avec telle probabilité). La valeur attendue est la somme de tous les résultats multipliée par leur probabilité :

La dispersion d'une variable aléatoire est l'attente des écarts carrés d'une variable aléatoire par rapport à son attente :

s2 = E(2) (6)

La valeur attendue conditionnelle est la valeur attendue d'une variable aléatoire X, à condition que l'événement S se soit déjà produit.

Probabilité l'événement est appelé le rapport du nombre de résultats élémentaires favorables cet événement, au nombre de toutes les issues également possibles de l'expérience dans laquelle cet événement peut apparaître. La probabilité de l'événement A est notée P(A) (ici P est la première lettre mot français probabilité - probabilité). D'après la définition
(1.2.1)
où est le nombre d'issues élémentaires favorables à l'événement A ; - le nombre de tous les résultats élémentaires également possibles de l'expérience, formant groupe completévénements.
Cette définition de la probabilité est dite classique. Il est apparu le étape initiale développement de la théorie des probabilités.

La probabilité d'un événement a les propriétés suivantes :
1. Probabilité événement fiableégal à un. Désignons un événement fiable par la lettre . Pour un certain événement, donc
(1.2.2)
2. La probabilité d’un événement impossible est nulle. Désignons par la lettre un événement impossible. Pour un événement impossible, donc
(1.2.3)
3. Probabilité événement aléatoire s'exprime nombre positif, moins d'un. Puisque pour un événement aléatoire les inégalités , ou , sont satisfaites, alors
(1.2.4)
4. La probabilité de tout événement satisfait les inégalités
(1.2.5)
Cela découle des relations (1.2.2) - (1.2.4).

Exemple 1. Une urne contient 10 boules de taille et de poids égaux, dont 4 rouges et 6 bleues. Une boule est tirée de l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?

Solution. On note l'événement « la boule tirée s'est avérée bleue » par la lettre A. Ce test a 10 issues élémentaires également possibles, dont 6 en faveur de l'événement A. Conformément à la formule (1.2.1), on obtient

Exemple 2. Tous les nombres naturels de 1 à 30 sont écrits sur des cartes identiques et placés dans une urne. Après avoir soigneusement mélangé les cartes, une carte est retirée de l'urne. Quelle est la probabilité que le nombre sur la carte prise soit un multiple de 5 ?

Solution. Notons A l'événement « le nombre sur la carte prise est un multiple de 5 ». Dans ce test, il y a 30 résultats élémentaires également possibles, parmi lesquels l'événement A est favorisé par 6 résultats (les nombres 5, 10, 15, 20, 25, 30). Ainsi,

Exemple 3. Deux dés sont lancés et le total des points est calculé. faces supérieures. Trouvez la probabilité de l’événement B telle que les faces supérieures des dés aient un total de 9 points.

Solution. Dans ce test, il n'y a que 6 2 = 36 résultats élémentaires également possibles. L'événement B est favorisé par 4 résultats : (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), donc

Exemple 4. Sélectionné au hasard nombre naturel, n’excédant pas 10. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?

Solution. Notons l'événement « le nombre choisi est premier » par la lettre C. Dans ce cas n = 10, m = 4 ( nombres premiers 2, 3, 5, 7). Par conséquent, la probabilité requise

Exemple 5. Deux pièces symétriques sont lancées. Quelle est la probabilité qu’il y ait des chiffres sur la face supérieure des deux pièces ?

Solution. Désignons par la lettre D l'événement « il y a un numéro sur la face supérieure de chaque pièce ». Dans ce test, il y a 4 résultats élémentaires également possibles : (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notation (G, C) signifie que la première pièce porte un blason, la seconde un numéro). L'événement D est favorisé par un résultat élémentaire (C, C). Puisque m = 1, n = 4, alors

Exemple 6. Quelle est la probabilité qu’un nombre à deux chiffres choisi au hasard ait les mêmes chiffres ?

Solution. Numéros à deux chiffres sont des nombres de 10 à 99 ; Il existe 90 nombres de ce type au total. 9 nombres ont des chiffres identiques (ce sont les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Puisque dans ce cas m = 9, n = 90, alors
,
où A est l’événement « numéro à chiffres identiques ».

Exemple 7. Des lettres du mot différentiel Une lettre est choisie au hasard. Quelle est la probabilité que cette lettre soit : a) une voyelle, b) une consonne, c) une lettre h?

Solution. Le mot différentiel comporte 12 lettres, dont 5 voyelles et 7 consonnes. Courrier h il n'y a pas dans ce mot. Notons les événements : A - "lettre voyelle", B - "lettre consonne", C - "lettre h". Le nombre d'issues élémentaires favorables : - pour l'événement A, - pour l'événement B, - pour l'événement C. Puisque n = 12, alors
, Et .

Exemple 8. Deux dés sont lancés et le nombre de points au dessus de chaque dé est noté. Trouvez la probabilité que les deux dés obtiennent même numéro points.

Solution. Notons cet événement par la lettre A. L'événement A est favorisé par 6 issues élémentaires : (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Le nombre total de résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements, dans ce cas n=6 2 =36. Cela signifie que la probabilité requise

Exemple 9. Le livre compte 300 pages. Quelle est la probabilité qu’une page ouverte aléatoirement ait un numéro de série divisible par 5 ?

Solution. Des conditions du problème, il s'ensuit que tous les résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements seront n = 300. Parmi ceux-ci, m = 60 favorisent l'apparition de l'événement spécifié. En effet, un nombre multiple de 5 a la forme 5k, où k est un nombre naturel, et , d'où . Ainsi,
, où A - l'événement « page » a un numéro de séquence qui est un multiple de 5".

Exemple 10. Deux dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus probable : obtenir un total de 7 ou 8 ?

Solution. Notons les événements : A - « 7 points sont lancés », B – « 8 points sont lancés ». L'événement A est favorisé par 6 résultats élémentaires : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), et l'événement B est favorisé par 5 résultats : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2). Tous les résultats élémentaires également possibles sont n = 6 2 = 36. Par conséquent, Et .

Ainsi, P(A)>P(B), c’est-à-dire qu’obtenir un total de 7 points est un événement plus probable que d’obtenir un total de 8 points.

Tâches

1. Un nombre naturel n’excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 3 ?
2. Dans l'urne un rouge et b boules bleues, identiques en taille et en poids. Quelle est la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans cette urne soit bleue ?
3. Un nombre n'excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un diviseur de 30 ?
4. Dans l'urne UN bleu et b boules rouges, identiques en taille et en poids. Une boule est extraite de cette urne et mise de côté. Cette balle s'est avérée être rouge. Après cela, une autre boule est tirée de l'urne. Trouvez la probabilité que la deuxième boule soit également rouge.
5. Un nombre national ne dépassant pas 50 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?
6. Trois dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 9 ou 10 points ?
7. Trois dés sont lancés et la somme des points obtenus est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 11 (événement A) ou de 12 points (événement B) ?

Réponses

1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilité d'obtenir 9 points au total ; p 2 = 27/216 - probabilité d'obtenir 10 points au total ; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Questions

1. Quelle est la probabilité d’un événement appelé ?
2. Quelle est la probabilité d’un événement fiable ?
3. Quelle est la probabilité qu’un événement impossible se produise ?
4. Quelles sont les limites de la probabilité d’un événement aléatoire ?
5. Quelles sont les limites de la probabilité de tout événement ?
6. Quelle définition de la probabilité est dite classique ?