જેમ કે તાજેતરના દાયકાઓમાં સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે (સ્વ-સંસ્થાના સિદ્ધાંતના વિકાસના સંબંધમાં), સ્વ-સમાનતા વિવિધ પ્રકારની વસ્તુઓ અને ઘટનાઓમાં જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વૃક્ષો અને ઝાડીઓની શાખાઓમાં, ફળદ્રુપ ઝાયગોટ, સ્નોવફ્લેક્સ, બરફના સ્ફટિકોના વિભાજન દરમિયાન, આર્થિક પ્રણાલીઓના વિકાસ દરમિયાન, બંધારણમાં સ્વ-સમાનતા જોઈ શકાય છે. પર્વત સિસ્ટમો, વાદળો.

સૂચિબદ્ધ તમામ ઑબ્જેક્ટ્સ અને તેમના જેવા અન્ય સ્ટ્રક્ચરમાં ફ્રેક્ટલ છે. એટલે કે, તેમની પાસે સ્વ-સમાનતાના ગુણધર્મો છે, અથવા સ્કેલ અવ્યવસ્થા. આનો અર્થ એ છે કે તેમની રચનાના કેટલાક ટુકડાઓ ચોક્કસ અવકાશી અંતરાલો પર સખત રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે આ વસ્તુઓ કોઈપણ પ્રકૃતિની હોઈ શકે છે, અને તેનો દેખાવ અને આકાર સ્કેલને ધ્યાનમાં લીધા વિના યથાવત રહે છે. પ્રકૃતિ અને સમાજ બંનેમાં પૂરતું છે મોટા પાયેસ્વ-પુનરાવર્તન થાય છે. આમ, વાદળ 10 4 મીટર (10 કિમી) થી 10 -4 મીટર (0.1 મીમી) સુધી તેની ચીંથરેહાલ રચનાનું પુનરાવર્તન કરે છે. 10 -2 થી 10 2 મીટર સુધીના ઝાડમાં શાખાઓ પુનરાવર્તિત થાય છે જે તિરાડો પેદા કરે છે તે અનેક ભીંગડા પર તેમની સ્વ-સમાનતાનું પુનરાવર્તન કરે છે. તમારા હાથ પર પડેલો સ્નોવફ્લેક પીગળી જાય છે. પીગળવાના સમયગાળા દરમિયાન, એક તબક્કામાંથી બીજા તબક્કામાં સંક્રમણ, સ્નોવફ્લેક-ડ્રોપ પણ એક ખંડિત છે.

ફ્રેક્ટલ એ અનંત જટિલતાનો એક પદાર્થ છે, જે તમને દૂરથી નજીકથી ઓછી વિગતો જોવાની મંજૂરી આપે છે. ઉત્તમ ઉદાહરણતે માટે - પૃથ્વી. અવકાશમાંથી તે બોલ જેવો દેખાય છે. જેમ જેમ આપણે તેની નજીક જઈશું તેમ, આપણે મહાસાગરો, ખંડો, દરિયાકિનારા અને પર્વતમાળાઓ શોધીશું. પાછળથી, ઝીણી વિગતો દેખાશે: પર્વતની સપાટી પર પૃથ્વીનો ટુકડો, પર્વતની જેમ જ જટિલ અને અસમાન. પછી માટીના નાના કણો દેખાશે, જેમાંથી દરેક પોતે એક ખંડિત પદાર્થ છે

ફ્રેક્ટલ એ બિનરેખીય માળખું છે જે અનંતપણે ઉપર અથવા નીચે માપવામાં આવે ત્યારે સ્વ-સમાનતા જાળવી રાખે છે. માત્ર ટૂંકી લંબાઈમાં જ બિનરેખીયતા રેખીયતામાં પરિવર્તિત થાય છે. આ ખાસ કરીને ભિન્નતાની ગાણિતિક પ્રક્રિયામાં સ્પષ્ટપણે પ્રગટ થાય છે.

આમ, આપણે કહી શકીએ કે જ્યારે કિસ્સામાં મોડેલ તરીકે ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ થાય છે વાસ્તવિક પદાર્થક્લાસિકલ મોડેલના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે અમે બિનરેખીય સંબંધો અને ડેટાની બિન-નિર્ધારિત પ્રકૃતિ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. વૈચારિક અર્થમાં બિનરેખીયતાનો અર્થ છે બહુવિધ વિકાસના માર્ગો, વૈકલ્પિક માર્ગોમાંથી પસંદગીની હાજરી અને ઉત્ક્રાંતિની ચોક્કસ ગતિ, તેમજ ઉત્ક્રાંતિ પ્રક્રિયાઓની અપરિવર્તનક્ષમતા. ગાણિતિક અર્થમાં, બિનરેખીયતા છે ચોક્કસ પ્રકારગાણિતિક સમીકરણો (બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણો) જેમાં એક કરતા વધારે શક્તિઓ અથવા માધ્યમના ગુણધર્મો પર આધાર રાખીને ગુણાંકમાં જરૂરી માત્રા હોય છે. એટલે કે, જ્યારે આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ ક્લાસિક મોડલ્સ(ઉદાહરણ તરીકે, વલણ, રીગ્રેસન, વગેરે), અમે કહીએ છીએ કે ઑબ્જેક્ટનું ભાવિ અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. અને આપણે ઑબ્જેક્ટનો ભૂતકાળ (મોડલિંગ માટેનો પ્રારંભિક ડેટા) જાણીને તેની આગાહી કરી શકીએ છીએ. અને ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ એવા કિસ્સામાં થાય છે જ્યારે ઑબ્જેક્ટના વિકાસ માટે ઘણા વિકલ્પો હોય છે અને સિસ્ટમની સ્થિતિ તે કયા સ્થાન પર સ્થિત છે તેના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ ક્ષણે. એટલે કે, અમે અસ્તવ્યસ્ત વિકાસનું અનુકરણ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ.

જ્યારે તેઓ કોઈ ચોક્કસ સિસ્ટમના નિર્ધારણવાદ વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો અર્થ એ થાય છે કે તેની વર્તણૂક અસ્પષ્ટ કારણ-અને-અસર સંબંધ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. એટલે કે, સિસ્ટમની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ અને ગતિના કાયદાને જાણીને, તમે તેના ભાવિની ચોક્કસ આગાહી કરી શકો છો. બ્રહ્માંડમાં ગતિનો આ વિચાર છે જે ક્લાસિકલ, ન્યૂટોનિયન ડાયનેમિક્સની લાક્ષણિકતા છે. અરાજકતા, તેનાથી વિપરીત, અવ્યવસ્થિત સૂચવે છે, રેન્ડમ પ્રક્રિયાજ્યારે ઘટનાઓનો અભ્યાસક્રમ ન તો અનુમાન કરી શકાય છે કે ન તો પુનઃઉત્પાદિત કરી શકાય છે.

અંધાધૂંધી એ બિનરેખીય સિસ્ટમની પોતાની ગતિશીલતા દ્વારા પેદા થાય છે - ત્વરિત રીતે ઝડપથી મનસ્વી રીતે નજીકના માર્ગને અલગ કરવાની તેની ક્ષમતા. પરિણામે, માર્ગનો આકાર પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર ખૂબ આધાર રાખે છે. પ્રથમ નજરમાં અસ્તવ્યસ્ત રીતે વિકસિત થતી પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ફ્રેકટલ્સનો સિદ્ધાંત વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાય છે, કારણ કે તે આ અભિગમ છે જે અમને સિસ્ટમના વિકાસમાં "રેન્ડમ" વિચલનોની ઘટનામાં ચોક્કસ પેટર્ન જોવાની મંજૂરી આપે છે.

કુદરતી ખંડિત રચનાઓનો અભ્યાસ આપણને સ્વ-સંસ્થા અને વિકાસની પ્રક્રિયાઓને વધુ સારી રીતે સમજવાની તક આપે છે બિનરેખીય સિસ્ટમો. આપણે પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે કે આપણી આસપાસ વિવિધ, વિન્ડિંગ લાઇનોના કુદરતી ફ્રેકટલ્સ જોવા મળે છે. આ છે દરિયા કિનારો, વૃક્ષો, વાદળો, વીજળીની હડતાલ, ધાતુનું માળખું, માનવ નર્વસ અથવા વેસ્ક્યુલર સિસ્ટમ. આ જટિલ રેખાઓ અને ખરબચડી સપાટીઓ વૈજ્ઞાનિક સંશોધનના ધ્યાન પર આવી હતી કારણ કે કુદરતે આપણને આદર્શ ભૌમિતિક પ્રણાલીઓ કરતાં સંપૂર્ણપણે અલગ સ્તરની જટિલતા દર્શાવી હતી. અધ્યયન હેઠળની રચનાઓ અવકાશી-ટેમ્પોરલ દ્રષ્ટિએ સ્વ-સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેઓ અવિરતપણે સ્વ-પ્રજનન કરે છે અને વિવિધ લંબાઈ અને સમયના ભીંગડા પર પોતાને પુનરાવર્તિત કરે છે. કોઈપણ બિનરેખીય પ્રક્રિયા આખરે કાંટો તરફ દોરી જાય છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ, શાખાના બિંદુ પર, એક અથવા બીજો રસ્તો પસંદ કરે છે. સિસ્ટમના વિકાસનો માર્ગ ફ્રેકટલ જેવો દેખાશે, એટલે કે, તૂટેલી રેખા, જેનો આકાર એક ડાળીઓવાળો, જટિલ માર્ગ તરીકે વર્ણવી શકાય છે, જેનું પોતાનું તર્ક અને પેટર્ન છે.

સિસ્ટમની શાખાઓની તુલના વૃક્ષની શાખા સાથે કરી શકાય છે, જ્યાં દરેક શાખા સમગ્ર સિસ્ટમના ત્રીજા ભાગને અનુરૂપ હોય છે. શાખાઓ પરવાનગી આપે છે રેખીય માળખુંવોલ્યુમેટ્રિક જગ્યા ભરો અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે: ફ્રેક્ટલ સ્ટ્રક્ચર કોઓર્ડિનેટ્સ વિવિધ જગ્યાઓ. સ્ફટિક જે રીતે સુપરસેચ્યુરેટેડ દ્રાવણમાં વધે છે તેમ, આસપાસની જગ્યા ભરીને ફ્રેક્ટલ વધી શકે છે. આ કિસ્સામાં, શાખાઓની પ્રકૃતિ તક સાથે નહીં, પરંતુ ચોક્કસ પેટર્ન સાથે સંકળાયેલ હશે.

ખંડિત માળખું અન્ય સ્તરે, માનવ જીવનના સંગઠનના ઉચ્ચ સ્તરે, ઉદાહરણ તરીકે, જૂથ અથવા ટીમના સ્વ-સંગઠનના સ્તરે સ્વયં-તેમજ રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે. નેટવર્ક્સ અને સ્વરૂપોનું સ્વ-સંગઠન માઇક્રો લેવલથી મેક્રો લેવલ તરફ જાય છે. એકસાથે લેવામાં આવે છે, તેઓ એક અવિભાજ્ય એકતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યાં સમગ્ર ભાગ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. આ કોર્સ વર્કમાં, ખંડિત ગુણધર્મોને ઉદાહરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે. સામાજિક પ્રક્રિયાઓ, જે ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતની સાર્વત્રિકતા અને વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રો પ્રત્યેની તેની વફાદારી દર્શાવે છે.

તે નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે ખંડિત એ વિવિધ પરિમાણો અને પ્રકૃતિની જગ્યાઓની સંગઠિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો એક માર્ગ છે. ઉપરોક્તમાં, તે ઉમેરવું જોઈએ કે માત્ર અવકાશી જ નહીં, પણ ટેમ્પોરલ પણ. પછી પણ માનવ મગજઅને ન્યુરલ નેટવર્ક્સખંડિત માળખું રજૂ કરશે.

પ્રકૃતિને ખંડિત સ્વરૂપો ગમે છે. ખંડિત પદાર્થમાં ફેલાયેલી, વિસર્જિત રચના હોય છે. આવા પદાર્થોને વધતા વિસ્તરણ સાથે અવલોકન કરતી વખતે, કોઈ જોઈ શકે છે કે તેઓ પુનરાવર્તિત પેટર્ન દર્શાવે છે વિવિધ સ્તરોરેખાંકન અમે પહેલાથી જ કહ્યું છે કે ખંડિત પદાર્થને આપણે મીટર, મિલીમીટર કે માઇક્રોન સ્કેલ (મીટર સ્કેલના 1:1,000,000 અપૂર્ણાંક) પર અવલોકન કરીએ છીએ કે કેમ તે ધ્યાનમાં લીધા વિના તે બરાબર સમાન દેખાઈ શકે છે. ખંડિત પદાર્થોની સમપ્રમાણતાની મિલકત સ્કેલના સંદર્ભમાં અવ્યવસ્થામાં પોતાને પ્રગટ કરે છે. ફ્રેક્ટલ્સ સ્ટ્રેચિંગ અથવા સ્કેલિંગના કેન્દ્ર વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે, જેમ ગોળાકાર શરીર પરિભ્રમણની ધરી વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે.

બિનરેખીય ગતિશીલતાની મનપસંદ છબી એ ફ્રેક્ટલ સ્ટ્રક્ચર્સ છે, જેમાં, સ્કેલમાં ફેરફાર સાથે, વર્ણન સમાન નિયમ અનુસાર બનાવવામાં આવે છે. વાસ્તવિક જીવનમાં, આ સિદ્ધાંતનો અમલ થોડો ભિન્નતા સાથે શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જ્યારે સ્તરથી સ્તર તરફ (પરમાણુથી પરમાણુ પ્રક્રિયાઓ, પરમાણુથી પ્રાથમિક કણો સુધી), પેટર્ન, મોડેલો અને વર્ણનની પદ્ધતિઓ બદલાય છે. આપણે જીવવિજ્ઞાનમાં સમાન વસ્તુનું અવલોકન કરીએ છીએ (સજીવનું વસ્તી સ્તર, પેશી, કોષ, વગેરે.) સિનર્જેટિક્સનું ભાવિ તેના પર નિર્ભર કરે છે કે બિનરેખીય વિજ્ઞાન આ માળખાકીય વિજાતીયતા અને વિવિધ "આંતરસ્તરીય" ઘટનાઓનું વર્ણન કરવામાં કેટલી હદે મદદ કરી શકે છે. હાલમાં બહુમતી છે વૈજ્ઞાનિક શાખાઓભરોસાપાત્ર ખંડિત વિભાવનાત્મક મોડલ નથી.

આજે, ભૌતિકશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર, મનોવિજ્ઞાન, ભાષાશાસ્ત્ર, વગેરે - કોઈપણ વિશિષ્ટ વિજ્ઞાનમાં ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતના માળખામાં વિકાસ હાથ ધરવામાં આવે છે. પછી બંને સમાજ અને સામાજિક સંસ્થાઓ, અને ભાષા, અને વિચાર પણ ખંડિત છે.

તાજેતરના વર્ષોમાં વૈજ્ઞાનિકો અને ફિલસૂફો વચ્ચે ફ્રેકટલ્સની વિભાવનાની આસપાસ જે ચર્ચાઓ થઈ છે તેમાં, સૌથી વધુ વિવાદાસ્પદ મુદ્દોનીચે મુજબ છે: શું ફ્રેકટલ્સની સાર્વત્રિકતા વિશે વાત કરવી શક્ય છે કે દરેક કુદરતી પદાર્થમાં ફ્રેકટલ હોય છે અથવા ફ્રેકટલ સ્ટેજમાંથી પસાર થાય છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે વૈજ્ઞાનિકોના બે જૂથો ઉભરી આવ્યા છે આ પ્રશ્નબરાબર વિપરીત રીતે. પ્રથમ જૂથ (“રેડિકલ”, ઇનોવેટર્સ) ફ્રેકટલ્સની સાર્વત્રિકતા વિશે થીસીસને સમર્થન આપે છે. બીજા જૂથ ("રૂઢિચુસ્તો") આ થીસીસને નકારે છે, પરંતુ તેમ છતાં દાવો કરે છે કે પ્રકૃતિના દરેક પદાર્થમાં ખંડિત નથી, પરંતુ કુદરતના દરેક ક્ષેત્રમાં ખંડિત મળી શકે છે.

આધુનિક વિજ્ઞાને જ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રો માટે ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતને સફળતાપૂર્વક સ્વીકાર્યું છે. આમ, અર્થશાસ્ત્રમાં, ફ્રેક્ટલ્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ નાણાકીય બજારોના તકનીકી વિશ્લેષણમાં થાય છે, જે વિશ્વના વિકસિત દેશોમાં સેંકડો વર્ષોથી અસ્તિત્વમાં છે. પ્રથમ વખત, શેરના ભાવની આગળની વર્તણૂકની આગાહી કરી શકાય છે જો તેની દિશા થોડા સમય માટે જાણીતી હોય છેલ્લો સમયગાળો, C. Doe નોંધ્યું. 1990 ના દાયકામાં, લેખોની શ્રેણી પ્રકાશિત કર્યા પછી, ડાઉએ નોંધ્યું કે શેરના ભાવ ચક્રીય વધઘટ: લાંબા ઉદય પછી લાંબો પતન થાય છે, પછી ફરી ઉદય થાય છે અને પડવું પડે છે.

20મી સદીના મધ્યમાં, જ્યારે સમગ્ર વૈજ્ઞાનિક વિશ્વ ફ્રેકટલ્સના નવા ઉભરી રહેલા સિદ્ધાંતથી મોહિત થઈ ગયું હતું, ત્યારે અન્ય એક પ્રખ્યાત અમેરિકન ફાઇનાન્સર આર. ઇલિયટે શેરના ભાવની વર્તણૂક અંગેનો તેમનો સિદ્ધાંત પ્રસ્તાવિત કર્યો હતો, જે સિદ્ધાંતના ઉપયોગ પર આધારિત હતો. ખંડિત ઇલિયટ એ હકીકત પરથી આગળ વધ્યા કે ફ્રેકટલ્સની ભૂમિતિ માત્ર જીવંત પ્રકૃતિમાં જ નહીં, પણ સામાજિક પ્રક્રિયાઓમાં પણ જોવા મળે છે. તેણે સ્ટોક એક્સચેન્જમાં શેરના વેપારને સામાજિક પ્રક્રિયા તરીકે પણ સામેલ કર્યો.

સિદ્ધાંતનો આધાર કહેવાતા વેવ ડાયાગ્રામ છે. આ સિદ્ધાંત તેના વર્તનની પૃષ્ઠભૂમિના જ્ઞાનના આધારે અને સામૂહિક મનોવૈજ્ઞાનિક વર્તણૂકના વિકાસ માટેના નિયમોને અનુસરીને, ભાવ વલણના આગળના વર્તનની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ લાગુ પડ્યું છે. ઘણી બધી, જો તમામ નહીં, તો છોડ, પ્રાણીઓ અને મનુષ્યોની જૈવિક રચનાઓ અને પ્રણાલીઓ ખંડિત પ્રકૃતિ ધરાવે છે, તેના કેટલાક સામ્યતા: નર્વસ સિસ્ટમ, પલ્મોનરી સિસ્ટમ, રુધિરાભિસરણ અને લસિકા તંત્ર, વગેરે. વિકાસ થયો હોવાના પુરાવા સામે આવ્યા છે જીવલેણ ગાંઠતે ખંડિત સિદ્ધાંતને પણ અનુસરે છે. ફ્રેક્ટલના સ્વ-સંબંધ અને સુસંગતતાના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેતા, કાર્બનિક વિશ્વના ઉત્ક્રાંતિમાં અસંખ્ય જટિલ સમસ્યાઓ સમજાવી શકાય છે. ખંડિત પદાર્થો પણ પૂરકતાના અભિવ્યક્તિ જેવા લક્ષણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. બાયોકેમિસ્ટ્રીમાં પૂરકતા એ બે મેક્રોમોલેક્યુલ્સના રાસાયણિક બંધારણમાં પરસ્પર પત્રવ્યવહાર છે, તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને સુનિશ્ચિત કરે છે - ડીએનએના બે સેરની જોડી, સબસ્ટ્રેટ સાથે એન્ઝાઇમનું જોડાણ, એન્ટિબોડી સાથે એન્ટિજેન. પૂરક માળખાં તાળાની ચાવીની જેમ એકસાથે બંધબેસે છે (સિરિલ અને મેથોડિયસનો જ્ઞાનકોશ). ડીએનએની પોલિન્યુક્લિયોટાઇડ સાંકળો આ ગુણધર્મ ધરાવે છે.

ફ્રેકટલ્સના કેટલાક સૌથી શક્તિશાળી એપ્લીકેશન આમાં આવેલા છે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ. સૌપ્રથમ, આ છબીઓનું ફ્રેક્ટલ કમ્પ્રેશન છે, અને બીજું, લેન્ડસ્કેપ્સ, વૃક્ષો, છોડ અને ફ્રેક્ટલ ટેક્સચરનું નિર્માણ. તે જ સમયે, માહિતીને સંકુચિત કરવા અને રેકોર્ડ કરવા માટે, ફ્રેક્ટલમાં સ્વ-સમાન વધારો જરૂરી છે, અને તેને વાંચવા માટે, તે મુજબ, સ્વ-સમાન વધારો જરૂરી છે.

ફ્રેક્ટલ ઇમેજ કમ્પ્રેશન અલ્ગોરિધમ્સના ફાયદા ખૂબ જ છે નાના કદપેક્ડ ફાઇલ અને ટૂંકા ચિત્ર પુનઃપ્રાપ્તિ સમય. ફ્રેક્ટલ પેક્ડ ઈમેજીસને પિક્સેલેશન કર્યા વગર માપી શકાય છે. પરંતુ કમ્પ્રેશન પ્રક્રિયામાં લાંબો સમય લાગે છે અને ક્યારેક કલાકો સુધી ચાલે છે. ફ્રેક્ટલ લોસી પેકેજિંગ અલ્ગોરિધમ તમને jpeg ફોર્મેટની જેમ કમ્પ્રેશન લેવલ સેટ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અલ્ગોરિધમ ઇમેજના મોટા ભાગોને શોધવા પર આધારિત છે જે કેટલાક નાના ભાગો જેવા છે. અને આઉટપુટ ફાઇલમાં માત્ર એક ભાગની બીજા ભાગની સમાનતા વિશેની માહિતી રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે. સંકુચિત કરતી વખતે, એક ચોરસ ગ્રીડનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે થાય છે (ટુકડાઓ ચોરસ હોય છે), જે છબીને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે સહેજ કોણીયતા તરફ દોરી જાય છે જેમાં આ ખામી હોતી નથી;

સાહિત્યિક કૃતિઓમાં એવી રચનાઓ છે કે જેમાં ટેક્સ્ટ, માળખાકીય અથવા સિમેન્ટીક ફ્રેક્ટલ પ્રકૃતિ હોય છે. ટેક્સ્ટ ફ્રેકટલ્સ સંભવિતપણે ટેક્સ્ટના ઘટકોને અનિશ્ચિત રૂપે પુનરાવર્તિત કરે છે. ટેક્સ્ચ્યુઅલ ફ્રેકટલ્સમાં એક બિન-શાખા વિનાના અનંત વૃક્ષનો સમાવેશ થાય છે, જે કોઈપણ પુનરાવૃત્તિથી પોતાને સમાન હોય છે ("પાદરી પાસે એક કૂતરો હતો...", "ફિલોસોફરનું દૃષ્ટાંત જે સ્વપ્ન જુએ છે કે તે એક પતંગિયું છે જે સ્વપ્ન જુએ છે કે તેણી એક ફિલોસોફર છે જે સ્વપ્ન જુએ છે. ...", "વિધાન ખોટું છે, કે નિવેદન સાચું છે, કે નિવેદન ખોટું છે..."); ભિન્નતા સાથે બિન-શાખા વિનાના અનંત ગ્રંથો (“પેગી પાસે એક રમુજી હંસ…”) અને એક્સ્ટેંશન સાથેના પાઠો (“ધ હાઉસ ધેટ જેક બિલ્ટ”).

માળખાકીય અપૂર્ણાંકમાં, ટેક્સ્ટનું લેઆઉટ સંભવિત રૂપે ખંડિત છે. આવી રચના સાથેના લખાણો નીચેના સિદ્ધાંતો અનુસાર ગોઠવાયેલા છે: સોનેટની માળા (15 કવિતાઓ), સોનેટની માળા (211 કવિતાઓ), સોનેટની માળા (2455 કવિતાઓ); "વાર્તાની અંદરની વાર્તાઓ" ("ધ બુક ઓફ વન થાઉઝન્ડ એન્ડ વન નાઇટ્સ", જે. પોટોત્સ્કી "સારાગોસામાં મળેલી હસ્તપ્રત"); પ્રસ્તાવનાઓ કે જે લેખકત્વને છુપાવે છે (U. Eco “ધ નેમ ઓફ ધ રોઝ”).

70 ના દાયકાના અંતમાં દેખાતા ખંડિત અને ખંડિત ભૂમિતિની વિભાવનાઓ 80 ના દાયકાના મધ્યભાગથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને પ્રોગ્રામરોમાં નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત થઈ ગઈ છે. ફ્રેક્ટલ શબ્દ લેટિન ફ્રેક્ટસ પરથી આવ્યો છે અને તેનો અર્થ ટુકડાઓથી બનેલો છે. 1975માં બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા તે અનિયમિત પરંતુ સ્વ-સમાન રચનાઓનો સંદર્ભ આપવા માટે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો જેની સાથે તેઓ ચિંતિત હતા. ફ્રેકટલ ભૂમિતિનો જન્મ સામાન્ય રીતે મેન્ડેલબ્રોટના પુસ્તક "ધ ફ્રેકટલ જીઓમેટ્રી ઓફ નેચર" ના પ્રકાશન સાથે 1977માં સંકળાયેલો છે. તેમની કૃતિઓનો ઉપયોગ વૈજ્ઞાનિક પરિણામોઅન્ય વૈજ્ઞાનિકો કે જેમણે 1875-1925ના સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રમાં કામ કર્યું હતું (પોઈનકેરે, ફાટૌ, જુલિયા, કેન્ટોર, હૌસડોર્ફ). પરંતુ ફક્ત આપણા સમયમાં જ તેમના કાર્યને એક સિસ્ટમમાં જોડવાનું શક્ય બન્યું છે.
આજે કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ફ્રેકટલ્સની ભૂમિકા ખૂબ મોટી છે. તેઓ બચાવમાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તે જરૂરી હોય ત્યારે, ઘણા ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને, રેખાઓ અને સપાટીઓને ખૂબ જ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જટિલ આકાર. કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના દૃષ્ટિકોણથી, કૃત્રિમ વાદળો, પર્વતો અને દરિયાઈ સપાટીઓ ઉત્પન્ન કરતી વખતે ખંડિત ભૂમિતિ અનિવાર્ય છે. ખરેખર મળી સરળ માર્ગજટિલ બિન-યુક્લિડિયન વસ્તુઓની રજૂઆત, જેની છબીઓ કુદરતી વસ્તુઓ સાથે ખૂબ સમાન છે.
ફ્રેકટલ્સના મુખ્ય ગુણધર્મોમાંની એક સ્વ-સમાનતા છે. સૌથી સરળ કિસ્સામાં, ફ્રેકટલના નાના ભાગમાં સમગ્ર ફ્રેકટલ વિશેની માહિતી હોય છે. મેન્ડેલબ્રોટની ફ્રેકટલની વ્યાખ્યા છે: "ફ્રેકટલ એ એક માળખું છે જેમાં ભાગોનો સમાવેશ થાય છે જે અમુક અર્થમાં સમગ્ર સમાન હોય છે."

અસ્તિત્વ ધરાવે છે મોટી સંખ્યામાં ગાણિતિક વસ્તુઓફ્રેકટલ્સ કહેવાય છે (સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ, કોચ સ્નોવફ્લેક, પીઆનો કર્વ, મેન્ડેલબ્રોટ સેટ અને લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષકો). ફ્રેકલ્સ વાસ્તવિક વિશ્વની ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓ અને રચનાઓનું ખૂબ જ ચોકસાઈથી વર્ણન કરે છે: પર્વતો, વાદળો, તોફાની (વમળ) પ્રવાહ, મૂળ, શાખાઓ અને વૃક્ષોના પાંદડા, રક્તવાહિનીઓ, જે સરળ ભૌમિતિક આકૃતિઓથી દૂર છે. બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ એ સૌપ્રથમ હતા જેમણે તેમનામાં આપણા વિશ્વની ખંડિત પ્રકૃતિ વિશે વાત કરી મુખ્ય કાર્ય"પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ".
બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે 1977માં તેમના મૂળભૂત કાર્ય Fractals, Form, Chaos and Dimension માં ફ્રેક્ટલ શબ્દ રજૂ કર્યો હતો. મેન્ડેલબ્રોટના મતે ફ્રેકટલ શબ્દ આવ્યો છે લેટિન શબ્દોફ્રેક્ટસ - અપૂર્ણાંક અને ફ્રેન્જર - તોડવા માટે, જે "તૂટેલા", અનિયમિત સમૂહ તરીકે ફ્રેક્ટલના સારને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ફ્રેકટલ્સનું વર્ગીકરણ.

ફ્રેકટલ્સની સંપૂર્ણ વિવિધતા પ્રસ્તુત કરવા માટે, તેમના સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત વર્ગીકરણનો આશરો લેવો અનુકૂળ છે. ફ્રેકટલ્સના ત્રણ વર્ગ છે.

1. ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સ.

આ વર્ગના ફ્રેકટલ્સ સૌથી વધુ દ્રશ્ય છે. દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં, તેઓ તૂટેલી રેખા (અથવા ત્રિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં સપાટી) નો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જેને જનરેટર કહેવાય છે. અલ્ગોરિધમના એક પગલામાં, પોલીલાઈન બનાવતા દરેક સેગમેન્ટને યોગ્ય સ્કેલ પર જનરેટર પોલીલાઈનથી બદલવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાના અનંત પુનરાવર્તનના પરિણામે, ભૌમિતિક ફ્રેકટલ પ્રાપ્ત થાય છે.

ચાલો આમાંના એક ખંડિત પદાર્થોના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ - ટ્રાયડિક કોચ વળાંક.

ટ્રાયડિક કોચ વળાંકનું બાંધકામ.

ચાલો લંબાઈ 1 નો સીધો સેગમેન્ટ લઈએ. ચાલો તેને કહીએ બીજ. ચાલો બીજને 1/3 લાંબા ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ, મધ્ય ભાગને કાઢી નાખીએ અને તેને 1/3 લાંબી બે લિંક્સની તૂટેલી લાઇનથી બદલીએ.

અમને એક તૂટેલી લાઇન મળશે જેમાં 4 લિંક્સ હશે કુલ લંબાઈ 4/3, - તેથી અમે તેને કહીએ છીએ પ્રથમ પેઢી.

કોચ વળાંકની આગલી પેઢી પર જવા માટે, દરેક લિંકના મધ્ય ભાગને કાઢી નાખવું અને બદલવું જરૂરી છે. તદનુસાર, બીજી પેઢીની લંબાઈ 16/9, ત્રીજી - 64/27 હશે. જો આપણે આ પ્રક્રિયાને અનંત સુધી ચાલુ રાખીએ, તો પરિણામ ત્રિઆદિ કોચ વળાંક છે.

ચાલો હવે ટ્રાયડિક કોચ કર્વના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ અને શા માટે ફ્રેકટલ્સને "રાક્ષસો" કહેવામાં આવે છે તે શોધી કાઢીએ.

પ્રથમ, આ વળાંકની કોઈ લંબાઈ નથી - જેમ આપણે જોયું તેમ, પેઢીઓની સંખ્યા સાથે તેની લંબાઈ અનંત તરફ વળે છે.

બીજું, આ વળાંક માટે સ્પર્શક બનાવવું અશક્ય છે - તેના દરેક બિંદુઓ એક વળાંક બિંદુ છે કે જેના પર વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી - આ વળાંક સરળ નથી.

લંબાઈ અને સરળતા એ વળાંકોના મૂળભૂત ગુણધર્મો છે, જેનો અભ્યાસ યુક્લિડિયન ભૂમિતિ અને લોબાચેવ્સ્કી અને રીમેનની ભૂમિતિ દ્વારા કરવામાં આવે છે. ટ્રાયડિક કોચ વળાંક તરફ પરંપરાગત પદ્ધતિઓભૌમિતિક વિશ્લેષણ અયોગ્ય હોવાનું બહાર આવ્યું, તેથી કોચ વળાંક એક રાક્ષસ બન્યો - પરંપરાગત ભૂમિતિના સરળ રહેવાસીઓમાં "રાક્ષસ".

હાર્ટર-હેથવે "ડ્રેગન" નું બાંધકામ.

અન્ય ફ્રેક્ટલ ઑબ્જેક્ટ મેળવવા માટે, તમારે બાંધકામના નિયમો બદલવાની જરૂર છે. ઘડતા તત્વને કાટખૂણો પર જોડાયેલા બે સમાન સેગમેન્ટ રહેવા દો. ઝીરોથ જનરેશનમાં, અમે એકમ સેગમેન્ટને આ જનરેટીંગ એલિમેન્ટ સાથે બદલીએ છીએ જેથી કોણ ટોચ પર હોય. અમે કહી શકીએ કે આવા રિપ્લેસમેન્ટ સાથે લિંકની મધ્યમાં વિસ્થાપન છે. અનુગામી પેઢીઓનું નિર્માણ કરતી વખતે, આ નિયમનું પાલન કરવામાં આવે છે: ડાબી બાજુની પ્રથમ કડીને બનાવતા તત્વ સાથે બદલવામાં આવે છે જેથી કડીની મધ્ય હિલચાલની દિશાની ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવે, અને જ્યારે અનુગામી લિંક્સને બદલતી વખતે, દિશાઓ સેગમેન્ટ્સના મધ્યનું વિસ્થાપન વૈકલ્પિક હોવું જોઈએ. આકૃતિ ઉપર વર્ણવેલ સિદ્ધાંત અનુસાર બાંધવામાં આવેલ વળાંકની પ્રથમ કેટલીક પેઢીઓ અને 11મી પેઢી દર્શાવે છે. અનંત તરફ વલણ ધરાવતા n સાથેના વળાંકને હાર્ટર-હેથવે ડ્રેગન કહેવામાં આવે છે.
કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં, વૃક્ષો અને છોડોની છબીઓ મેળવવા માટે ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ જરૂરી છે. દ્વિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ ત્રિ-પરિમાણીય ટેક્સચર (ઓબ્જેક્ટની સપાટી પરના પેટર્ન) બનાવવા માટે થાય છે.

2.બીજગણિત ખંડિત

આ સૌથી વધુ છે મોટું જૂથખંડિત તેઓ n-પરિમાણીય જગ્યાઓમાં બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે. દ્વિ-પરિમાણીય પ્રક્રિયાઓ સૌથી વધુ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. બિનરેખીય પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને એક સ્વતંત્ર ગતિશીલ પ્રણાલી તરીકે અર્થઘટન કરતી વખતે, વ્યક્તિ આ સિસ્ટમોના સિદ્ધાંતની પરિભાષાનો ઉપયોગ કરી શકે છે: તબક્કો પોટ્રેટ, સ્થિર-સ્થિતિ પ્રક્રિયા, આકર્ષનાર, વગેરે.
તે જાણીતું છે કે બિનરેખીય ગતિશીલ સિસ્ટમોમાં ઘણી સ્થિર સ્થિતિઓ હોય છે. ચોક્કસ સંખ્યાના પુનરાવૃત્તિઓ પછી ગતિશીલ સિસ્ટમ પોતાને જે સ્થિતિમાં શોધે છે તે તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર આધારિત છે. તેથી, દરેક સ્થિર રાજ્ય (અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, આકર્ષનાર) પાસે પ્રારંભિક રાજ્યોનો ચોક્કસ પ્રદેશ હોય છે, જેમાંથી સિસ્ટમ વિચારણા હેઠળના અંતિમ રાજ્યોમાં આવશ્યકપણે આવશે. આમ, સિસ્ટમની તબક્કાની જગ્યા આકર્ષણોના આકર્ષણના વિસ્તારોમાં વહેંચાયેલી છે. જો તબક્કાની જગ્યા એ દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા છે, તો પછી આકર્ષણના વિસ્તારોને વિવિધ રંગોથી રંગીને, વ્યક્તિ આ સિસ્ટમ (પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા) નું રંગ તબક્કા ચિત્ર મેળવી શકે છે. રંગ પસંદગી અલ્ગોરિધમ બદલીને, તમે વિચિત્ર મલ્ટીકલર પેટર્ન સાથે જટિલ ફ્રેકટલ પેટર્ન મેળવી શકો છો. ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે આશ્ચર્યજનક બાબત એ હતી કે આદિમ ગાણિતીક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ જ જટિલ બિન-તુચ્છ રચનાઓ બનાવવાની ક્ષમતા.

મેન્ડેલબ્રોટ સેટ.

ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહને ધ્યાનમાં લો. તેના બાંધકામ માટેનું અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે અને તે સરળ પુનરાવર્તિત અભિવ્યક્તિ પર આધારિત છે: Z = Z[i] * Z[i] + C, ક્યાં ઝીઅને સી- જટિલ ચલો. પુનરાવર્તનો દરેક પ્રારંભિક બિંદુ માટે લંબચોરસ અથવા ચોરસ વિસ્તારથી કરવામાં આવે છે - એક સબસેટ જટિલ વિમાન. સુધી પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે Z[i]ત્રિજ્યા 2 ના વર્તુળથી આગળ વધશે નહીં, જેનું કેન્દ્ર બિંદુ (0,0) પર આવેલું છે, (આનો અર્થ એ છે કે ગતિશીલ સિસ્ટમનું આકર્ષણ અનંત પર છે), અથવા પુનરાવર્તનની પૂરતી મોટી સંખ્યા પછી (ઉદાહરણ તરીકે , 200-500) Z[i]વર્તુળ પર અમુક બિંદુએ કન્વર્જ થશે. જે દરમિયાન પુનરાવર્તનોની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે Z[i]વર્તુળની અંદર રહી, તમે બિંદુનો રંગ સેટ કરી શકો છો સી(જો Z[i]લાંબા સમય સુધી વર્તુળની અંદર રહે છે મોટી માત્રામાંપુનરાવર્તનો, પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા અટકે છે અને આ રાસ્ટર બિંદુ કાળો રંગવામાં આવે છે).

3. સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

ફ્રેક્ટલ્સનો બીજો જાણીતો વર્ગ સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ છે, જે જો તેના કેટલાક પરિમાણોને પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં અવ્યવસ્થિત રીતે બદલવામાં આવે તો પ્રાપ્ત થાય છે. આ કિસ્સામાં, પરિણામી વસ્તુઓ કુદરતી વસ્તુઓ જેવી જ છે - અસમપ્રમાણતાવાળા વૃક્ષો, કઠોર દરિયાકિનારા, વગેરે. દ્વિ-પરિમાણીય સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ ભૂપ્રદેશ અને દરિયાઈ સપાટીના મોડેલિંગમાં થાય છે.
ફ્રેકટલ્સનું અન્ય વર્ગીકરણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રેકટલ્સને ડિટરમિનિસ્ટિક (બીજગણિતીય અને ભૌમિતિક) અને નોન-ડિટરમિનિસ્ટિક (સ્ટોચેસ્ટિક)માં વિભાજિત કરવું.

ફ્રેકટલ્સના ઉપયોગ વિશે

સૌ પ્રથમ, ફ્રેકટલ્સ એ અદ્ભુત ગાણિતિક કલાનું ક્ષેત્ર છે, જ્યારે સૌથી સરળ સૂત્રો અને ગાણિતીક નિયમોની મદદથી, અસાધારણ સુંદરતા અને જટિલતાના ચિત્રો મેળવવામાં આવે છે! બાંધવામાં આવેલી છબીઓના રૂપરેખામાં પાંદડા, વૃક્ષો અને ફૂલો ઘણીવાર દેખાય છે.

કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ફ્રેકટલ્સની કેટલીક સૌથી શક્તિશાળી એપ્લિકેશનો આવેલી છે. સૌપ્રથમ, આ છબીઓનું ફ્રેક્ટલ કમ્પ્રેશન છે, અને બીજું, લેન્ડસ્કેપ્સ, વૃક્ષો, છોડ અને ફ્રેક્ટલ ટેક્સચરનું નિર્માણ. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રઅને મિકેનિક્સ માત્ર ખંડિત વસ્તુઓની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરે છે. અને, અલબત્ત, ફ્રેકટલ્સનો સીધો ઉપયોગ ગણિતમાં જ થાય છે.
ફ્રેક્ટલ ઇમેજ કમ્પ્રેશન એલ્ગોરિધમ્સના ફાયદા એ પેક્ડ ફાઇલનું ખૂબ જ નાનું કદ અને ટૂંકી છબી પુનઃપ્રાપ્તિ સમય છે. ફ્રેક્ટલ પેક્ડ ઈમેજીસને પિક્સેલેશન કર્યા વગર માપી શકાય છે. પરંતુ કમ્પ્રેશન પ્રક્રિયામાં લાંબો સમય લાગે છે અને ક્યારેક કલાકો સુધી ચાલે છે. ફ્રેક્ટલ લોસી પેકેજિંગ અલ્ગોરિધમ તમને jpeg ફોર્મેટની જેમ કમ્પ્રેશન લેવલ સેટ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અલ્ગોરિધમ એ છબીના મોટા ટુકડાઓ શોધવા પર આધારિત છે જે કેટલાક નાના ટુકડાઓ સમાન હોય છે. અને માત્ર કયો ટુકડો આઉટપુટ ફાઇલમાં લખાયેલ છે તેના જેવો જ છે. સંકુચિત કરતી વખતે, એક ચોરસ ગ્રીડનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે થાય છે (ટુકડાઓ ચોરસ હોય છે), જે છબીને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે સહેજ કોણીયતા તરફ દોરી જાય છે જેમાં આ ખામી હોતી નથી;
પુનરાવર્તિત એ એક નવું ઇમેજ ફોર્મેટ વિકસાવ્યું છે, "સ્ટિંગ", જે ફ્રેક્ટલ અને "વેવ" (જેમ કે jpeg) લોસલેસ કમ્પ્રેશનને જોડે છે. નવું ફોર્મેટતમને અનુગામી ઉચ્ચ-ગુણવત્તાની સ્કેલિંગની સંભાવના સાથે છબીઓ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે, અને ગ્રાફિક ફાઇલોનું વોલ્યુમ અસંકુચિત છબીઓના વોલ્યુમના 15-20% છે.
પર્વતો, ફૂલો અને વૃક્ષો જેવા ફ્રેકટલ્સની વૃત્તિનો ઉપયોગ કેટલાક ગ્રાફિક સંપાદકો દ્વારા કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, વર્લ્ડ બિલ્ડરમાં 3D સ્ટુડિયો MAX, ફ્રેકટલ પર્વતો. ખંડિત વૃક્ષો, પર્વતો અને સમગ્ર લેન્ડસ્કેપ્સ સરળ સૂત્રો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પ્રોગ્રામ કરવા માટે સરળ છે અને જ્યારે સંપર્ક કરવામાં આવે ત્યારે અલગ ત્રિકોણ અને સમઘનનું વિભાજન થતું નથી.
ગણિતમાં જ ફ્રેકટલ્સના ઉપયોગને અવગણી શકાય નહીં. સેટ થિયરીમાં, કેન્ટર સેટ પરફેક્ટ ક્યાંય ડેન્સ સેટનું અસ્તિત્વ સાબિત કરે છે, માપના સિદ્ધાંતમાં સેલ્ફ-એફિન ફંક્શન "કેન્ટર્સ લેડર" એ એકવચન માપના વિતરણ કાર્યનું સારું ઉદાહરણ છે.
મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ઘણી કુદરતી વસ્તુઓની રૂપરેખાને પુનરાવર્તિત કરવાની તેમની અનન્ય મિલકતને કારણે ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ થાય છે. ફ્રેકલ્સ તમને સેગમેન્ટ્સ અથવા બહુકોણના સેટનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ કરતાં વધુ સચોટતા સાથે વૃક્ષો, પર્વતની સપાટીઓ અને તિરાડોનો અંદાજ લગાવવાની મંજૂરી આપે છે (સંગ્રહિત ડેટાની સમાન રકમ સાથે). ફ્રેક્ટલ મોડલ્સ, કુદરતી વસ્તુઓની જેમ, "ખરબચડી" ધરાવે છે, અને આ ગુણધર્મ સાચવવામાં આવે છે, પછી ભલે તે મોડેલનું વિસ્તરણ કેટલું મોટું હોય. ફ્રેકટલ્સ પર સમાન માપની હાજરી વ્યક્તિને એકીકરણ, સંભવિત સિદ્ધાંત લાગુ કરવા અને પહેલાથી જ અભ્યાસ કરેલ સમીકરણોમાં પ્રમાણભૂત વસ્તુઓને બદલે તેનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
ખંડિત અભિગમ સાથે, અરાજકતા ડિસઓર્ડરનો વાદળી બનવાનું બંધ કરે છે અને બની જાય છે સરસ માળખું. ખંડિત વિજ્ઞાન હજુ ઘણું નાનું છે અને તેની આગળ એક મહાન ભવિષ્ય છે. ફ્રેકટલ્સની સુંદરતા ખતમ થવાથી ઘણી દૂર છે અને હજી પણ આપણને ઘણી શ્રેષ્ઠ કૃતિઓ આપશે - જે આંખને આનંદ આપે છે અને જે મનને સાચો આનંદ આપે છે.

ફ્રેકટલ્સ બાંધવા વિશે

અનુગામી અંદાજ પદ્ધતિ

આ ચિત્રને જોતા, તે સમજવું મુશ્કેલ નથી કે તમે સ્વ-સમાન ફ્રેકટલ કેવી રીતે બનાવી શકો છો (આ કિસ્સામાં, સિઅરપિન્સકી પિરામિડ). આપણે નિયમિત પિરામિડ (ટેટ્રાહેડ્રોન) લેવાની જરૂર છે, પછી તેના મધ્ય (ઓક્ટાહેડ્રોન) ને કાપી નાખો, પરિણામે ચાર નાના પિરામિડ બને છે. તેમાંના દરેક સાથે અમે સમાન ઓપરેશન, વગેરે કરીએ છીએ. આ કંઈક અંશે નિષ્કપટ પરંતુ સ્પષ્ટ સમજૂતી છે.

ચાલો પદ્ધતિના સારને વધુ કડક રીતે ધ્યાનમાં લઈએ. કેટલીક IFS સિસ્ટમ હોવા દો, એટલે કે. કમ્પ્રેશન મેપિંગ સિસ્ટમ એસ=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (ઉદાહરણ તરીકે, અમારા પિરામિડ માટે મેપિંગનું સ્વરૂપ S i (x)=1/2*x+o i છે, જ્યાં o i છે ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ, i=1,...,4). પછી આપણે કેટલાક કોમ્પેક્ટ સેટ A 1 ને R n માં પસંદ કરીએ છીએ (અમારા કિસ્સામાં આપણે ટેટ્રાહેડ્રોન પસંદ કરીએ છીએ). અને અમે સેટ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) નો ક્રમ ઇન્ડક્શન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તે જાણીતું છે કે વધતા k સાથે A k સેટ કરે છે જે સિસ્ટમના ઇચ્છિત આકર્ષકને વધુ સારી રીતે અને વધુ સારી રીતે બનાવે છે એસ.

નોંધ કરો કે આ દરેક પુનરાવર્તનો આકર્ષનાર છે પુનરાવર્તિત કાર્યોની પુનરાવર્તિત સિસ્ટમ(અંગ્રેજી શબ્દ ડિગ્રાફ IFS, આરઆઈએફએસઅને એ પણ ગ્રાફ-નિર્દેશિત IFS) અને તેથી તે અમારા પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં સરળ છે.

પોઈન્ટ અથવા સંભવિત પદ્ધતિ દ્વારા બાંધકામ

કમ્પ્યુટર પર અમલ કરવાની આ સૌથી સરળ પદ્ધતિ છે. સરળતા માટે, અમે ફ્લેટ સેલ્ફ-એફાઇન સેટના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. તો ચાલો (એસ

) - સંકુચિત સંકોચનની કેટલીક સિસ્ટમ. ડિસ્પ્લે એસ

આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે: એસ

નિશ્ચિત મેટ્રિક્સ કદ 2x2 અને ઓ

દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર કૉલમ.

• ચાલો પ્રથમ મેપિંગ S 1 ના નિશ્ચિત બિંદુને આ રીતે લઈએ પ્રારંભિક બિંદુ:
  x:= o1;
  અહીં આપણે એ હકીકતનો લાભ લઈએ છીએ કે બધું નિશ્ચિત બિંદુઓસંકોચન S 1 ,..,S m ફ્રેકટલ સાથે સંબંધિત છે. તમે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે મનસ્વી બિંદુ પસંદ કરી શકો છો અને તેના દ્વારા જનરેટ થયેલ બિંદુઓનો ક્રમ ફ્રેકટલ તરફ દોરવામાં આવશે, પરંતુ પછી સ્ક્રીન પર કેટલાક વધારાના બિંદુઓ દેખાશે.
• ચાલો સ્ક્રીન પર વર્તમાન બિંદુ x=(x 1,x 2) ને ચિહ્નિત કરીએ:
  પુટપિક્સેલ(x 1 ,x 2 ,15);
• ચાલો અવ્યવસ્થિત રીતે 1 થી m સુધીની સંખ્યા j પસંદ કરીએ અને બિંદુ x ના કોઓર્ડિનેટ્સની પુનઃ ગણતરી કરીએ:
  j:=રેન્ડમ(m)+1;
  x:=S j (x);
• અમે સ્ટેપ 2 પર જઈએ છીએ, અથવા, જો આપણે પુનરાવર્તનની મોટી સંખ્યા કરી હોય, તો અમે બંધ કરીએ છીએ.

નોંધ.જો મેપિંગ્સ S i નો કમ્પ્રેશન રેશિયો અલગ હોય, તો ફ્રેકટલ પોઈન્ટથી અસમાન રીતે ભરાઈ જશે. જો મેપિંગ્સ S i સમાન હોય, તો અલ્ગોરિધમને સહેજ જટિલ બનાવીને આને ટાળી શકાય છે. આ કરવા માટે, અલ્ગોરિધમના 3જા પગલા પર, 1 થી m સુધીની સંખ્યા p 1 = r 1 s,..,p m =r m s, જ્યાં r i મેપિંગ્સ Si ના સંકોચન ગુણાંક દર્શાવે છે, અને સંખ્યા s (જેને સમાનતા પરિમાણ કહેવાય છે) r 1 s +...r m s =1 સમીકરણમાંથી મળે છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ શોધી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા.

ફ્રેકટલ્સ અને તેમના અલ્ગોરિધમ્સ વિશે

ફ્રેક્ટલ લેટિન વિશેષણ "ફ્રેક્ટસ" પરથી આવે છે, અને અનુવાદમાં તેનો અર્થ ટુકડાઓનો સમાવેશ થાય છે, અને અનુરૂપ લેટિન ક્રિયાપદ "ફ્રેન્જેર" નો અર્થ થાય છે તોડવું, એટલે કે, અનિયમિત ટુકડાઓ બનાવવા. 70 ના દાયકાના અંતમાં દેખાતા ખંડિત અને ખંડિત ભૂમિતિની વિભાવનાઓ 80 ના દાયકાના મધ્યભાગથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને પ્રોગ્રામરોમાં નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત થઈ ગઈ છે. આ શબ્દ બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા 1975 માં અનિયમિત પરંતુ સ્વ-સમાન રચનાઓનો સંદર્ભ આપવા માટે બનાવવામાં આવ્યો હતો જેની સાથે તેઓ ચિંતિત હતા. ખંડિત ભૂમિતિનો જન્મ સામાન્ય રીતે મેન્ડેલબ્રોટના પુસ્તક "ધ ફ્રેકટલ જીઓમેટ્રી ઓફ નેચર" ના પ્રકાશન સાથે 1977 માં સંકળાયેલ છે. તેમના કાર્યોમાં 1875-1925 ના સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા અન્ય વૈજ્ઞાનિકોના વૈજ્ઞાનિક પરિણામોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો (પોઈનકેરે, ફટૌ, જુલિયા, કેન્ટર, હૌસડોર્ફ).

ગોઠવણો

મને H.-O દ્વારા પુસ્તકમાં સૂચિત અલ્ગોરિધમ્સમાં કેટલાક ગોઠવણો કરવા દો. પીટજેન અને પી.એચ. રિક્ટર "ધ બ્યુટી ઓફ ફ્રેકટલ્સ" એમ. 1993 સંપૂર્ણ રીતે ટાઇપોને દૂર કરવા અને પ્રક્રિયાઓને સમજવાની સુવિધા આપવા માટે કારણ કે તેનો અભ્યાસ કર્યા પછી તે મારા માટે એક રહસ્ય જ રહ્યું. કમનસીબે, આ "સમજી શકાય તેવા" અને "સરળ" અલ્ગોરિધમ્સ આકર્ષક જીવનશૈલી તરફ દોરી જાય છે.

ફ્રેકટલ્સનું બાંધકામ ચોક્કસ પર આધારિત છે બિનરેખીય કાર્યપ્રતિક્રિયા સાથે જટિલ પ્રક્રિયા z => z 2 +c કારણ કે z અને c જટિલ સંખ્યાઓ છે, પછી z = x + iy, c = p + iq વધુ વાસ્તવિક સંખ્યા પર જવા માટે તેને x અને y માં વિઘટિત કરવું જરૂરી છે. સામાન્ય માણસવિમાન:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

તમામ જોડીઓ (x,y) નો સમાવેશ કરતું પ્લેન નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે ગણી શકાય p અને q, અને ગતિશીલ રાશિઓ સાથે. પ્રથમ કિસ્સામાં, કાયદા અનુસાર પ્લેનના તમામ બિંદુઓ (x, y)માંથી પસાર થઈને અને પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી ફંક્શનના પુનરાવર્તનોની સંખ્યાના આધારે તેમને રંગ કરીને અથવા તેમને રંગ ન કરવા (કાળો રંગ) જ્યારે અનુમતિપાત્ર મહત્તમ પુનરાવર્તનો ઓળંગી ગયા છે, અમે જુલિયા સેટનું પ્રદર્શન મેળવીશું. જો, તેનાથી વિપરીત, અમે મૂલ્યોની પ્રારંભિક જોડી (x,y) નક્કી કરીએ છીએ અને p અને q પરિમાણોના ગતિશીલ રીતે બદલાતા મૂલ્યો સાથે તેના રંગીન ભાવિને શોધીએ છીએ, તો અમે મેન્ડેલબ્રોટ સેટ તરીકે ઓળખાતી છબીઓ મેળવીએ છીએ.

ફ્રેકટલ્સને રંગવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સના પ્રશ્ન પર.

સામાન્ય રીતે સમૂહના શરીરને કાળા ક્ષેત્ર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જો કે તે સ્પષ્ટ છે કે કાળો રંગ અન્ય કોઈપણ દ્વારા બદલી શકાય છે, પરંતુ આ થોડું રસપ્રદ પરિણામ પણ છે. બધા રંગોમાં રંગીન સમૂહની છબી મેળવવી એ એક કાર્ય છે જે ચક્રીય કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી શકાતું નથી કારણ કે શરીરની રચના કરતા સેટની પુનરાવૃત્તિની સંખ્યા મહત્તમ શક્ય હોય છે અને હંમેશા સમાન હોય છે. સેટને કલર ઇન કરો વિવિધ રંગોકદાચ લૂપ (z_magnitude)માંથી બહાર નીકળવા માટેની સ્થિતિ તપાસવાના પરિણામનો ઉપયોગ કરીને અથવા તેના જેવું કંઈક, પરંતુ અન્ય ગાણિતિક ક્રિયાઓ સાથે, રંગ નંબર તરીકે.

"ફ્રેક્ટલ માઇક્રોસ્કોપ" નો ઉપયોગ

સીમાની ઘટના દર્શાવવા માટે.

આકર્ષણ એ કેન્દ્રો છે જે પ્લેન પર વર્ચસ્વ માટે સંઘર્ષ તરફ દોરી જાય છે. આકર્ષણો વચ્ચે એક સીમા દેખાય છે, જે ફ્લોરિડ પેટર્નનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સમૂહની સીમાઓની અંદર વિચારણાના ધોરણને વધારીને, વ્યક્તિ બિન-તુચ્છ પેટર્ન મેળવી શકે છે જે નિર્ણાયક અરાજકતાની સ્થિતિને પ્રતિબિંબિત કરે છે - કુદરતી વિશ્વમાં એક સામાન્ય ઘટના.

ભૂગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ વસ્તુઓ ખૂબ જ જટિલ રીતે સંગઠિત સીમાઓ સાથે એક સિસ્ટમ બનાવે છે, અને તેથી તેમની ઓળખ મુશ્કેલ બની જાય છે. વ્યવહારુ કાર્ય. કુદરતી સંકુલલાક્ષણિકતાના મધ્યવર્તી કેન્દ્રો હોય છે જે આકર્ષણ તરીકે કાર્ય કરે છે જે દૂર જતા પ્રદેશ પરનો તેમનો પ્રભાવ ગુમાવે છે.

મેન્ડેલબ્રોટ અને જુલિયા સેટ માટે ફ્રેક્ટલ માઈક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ સીમા પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓનો ખ્યાલ બનાવી શકે છે જે વિચારણાના સ્કેલને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન જટિલ હોય છે અને આ રીતે ગતિશીલ અને મોટે ભાગે અસ્તવ્યસ્ત કુદરતી પદાર્થ સાથેના એન્કાઉન્ટર માટે નિષ્ણાતની ધારણા તૈયાર કરી શકે છે. અવકાશ અને સમયમાં, ખંડિત ભૂમિતિ પ્રકૃતિની સમજ માટે. બહુરંગી રંગો અને ખંડિત સંગીત ચોક્કસપણે છોડશે ઊંડા ટ્રેસવિદ્યાર્થીઓના મનમાં.

હજારો પ્રકાશનો અને વિશાળ ઈન્ટરનેટ સંસાધનો ફ્રેકટલ્સ માટે સમર્પિત છે, પરંતુ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનથી દૂર ઘણા નિષ્ણાતો માટે, આ શબ્દ સંપૂર્ણપણે નવો લાગે છે. નિષ્ણાતોના રસના પદાર્થો તરીકે ખંડિત વિવિધ ઉદ્યોગોકોમ્પ્યુટર સાયન્સ કોર્સમાં જ્ઞાનને યોગ્ય સ્થાન આપવું આવશ્યક છે.

ઉદાહરણો

સિપિનસ્કી ગ્રીડ

આ ફ્રેકટલ્સમાંથી એક છે જેનો મેન્ડેલબ્રોટે ફ્રેકટલ પરિમાણો અને પુનરાવૃત્તિઓના ખ્યાલો વિકસાવતી વખતે પ્રયોગ કર્યો હતો. મોટા ત્રિકોણના મધ્યબિંદુઓને જોડીને બનેલા ત્રિકોણ મુખ્ય ત્રિકોણમાંથી કાપીને વધુ છિદ્રો સાથે ત્રિકોણ બનાવે છે. આ કિસ્સામાં, આરંભકર્તા એ મોટો ત્રિકોણ છે અને ટેમ્પ્લેટ એ મોટા ત્રિકોણના સમાન ત્રિકોણને કાપવાની કામગીરી છે. તમે સામાન્ય ટેટ્રાહેડ્રોનનો ઉપયોગ કરીને અને નાના ટેટ્રાહેડ્રોનને કાપીને ત્રિકોણનું ત્રિ-પરિમાણીય સંસ્કરણ પણ મેળવી શકો છો. આવા ફ્રેકટલનું પરિમાણ ln3/ln2 = 1.584962501 છે. મેળવવા માટે સિઅરપિન્સકી કાર્પેટ, એક ચોરસ લો, તેને નવ ચોરસમાં વિભાજીત કરો અને વચ્ચેનો ભાગ કાપી લો. અમે બાકીના, નાના ચોરસ સાથે તે જ કરીશું. આખરે, એક સપાટ ફ્રેક્ટલ ગ્રીડ રચાય છે, જેમાં કોઈ ક્ષેત્ર નથી પરંતુ અનંત જોડાણો છે. તેના અવકાશી સ્વરૂપમાં, સિઅરપિન્સકી સ્પોન્જ અંત-થી-અંત સ્વરૂપોની સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત થાય છે, જેમાં દરેક છેડા-થી-અંત તત્વ સતત તેના પોતાના પ્રકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ રચના કટ જેવી જ છે અસ્થિ પેશી. કોઈ દિવસ આવી પુનરાવર્તિત રચનાઓ બિલ્ડિંગ સ્ટ્રક્ચર્સનું એક તત્વ બની જશે. મેન્ડેલબ્રોટ માને છે કે તેમની સ્થિતિ અને ગતિશીલતા નજીકના અભ્યાસને પાત્ર છે.

કોચ કર્વ

કોચ વળાંક એ સૌથી લાક્ષણિક નિર્ણાયક ફ્રેકટલ્સ પૈકીનું એક છે. તેની શોધ ઓગણીસમી સદીમાં હેલ્ગે વોન કોચ નામના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે જ્યોર્જ કોન્ટોર અને કાર્લ વેઇઅરસ્ટ્રાસના કાર્યનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અસામાન્ય વર્તન સાથે કેટલાક વિચિત્ર વળાંકોના વર્ણનો મેળવ્યા હતા. આરંભકર્તા એક સીધી રેખા છે. જનરેટર એક સમભુજ ત્રિકોણ છે, જેની બાજુઓ મોટા સેગમેન્ટની લંબાઈના ત્રીજા ભાગની બરાબર છે. આ ત્રિકોણ દરેક સેગમેન્ટની મધ્યમાં વારંવાર ઉમેરવામાં આવે છે. તેમના સંશોધનમાં, મેન્ડેલબ્રોટે કોચ વક્રનો વ્યાપક પ્રયોગ કર્યો, અને ટેટ્રાહેડ્રોનનો ઉપયોગ કરીને અને તેના દરેક ચહેરા પર નાના ટેટ્રાહેડ્રોન ઉમેરીને કોચ ટાપુઓ, કોચ ક્રોસ, કોચ સ્નોવફ્લેક્સ અને કોચ વળાંકની ત્રિ-પરિમાણીય રજૂઆતો જેવી આકૃતિઓ પણ તૈયાર કરી. કોચ વળાંકનું પરિમાણ ln4/ln3 = 1.261859507 છે.

મેન્ડેલબ્રોટ ફ્રેકટલ

આ મેન્ડેલબ્રોટ સેટ નથી, જે તમે ઘણી વાર જુઓ છો. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ બિનરેખીય સમીકરણો પર આધારિત છે અને તે એક જટિલ ખંડિત છે. આ કોચ વળાંકનો એક પ્રકાર પણ છે, જો કે આ ઑબ્જેક્ટ તેના જેવું નથી. કોચ કર્વ સિદ્ધાંત પર આધારિત ફ્રેકટલ્સ બનાવવા માટે વપરાતા લોકો કરતા આરંભકર્તા અને જનરેટર પણ અલગ છે, પરંતુ વિચાર એક જ રહે છે. સમબાજુ ત્રિકોણને વળાંકના ખંડમાં જોડવાને બદલે, ચોરસ ચોરસ સાથે જોડાય છે. હકીકત એ છે કે આ ખંડિત દરેક પુનરાવૃત્તિ પર ફાળવેલ જગ્યાના બરાબર અડધી જગ્યા પર કબજો કરે છે, તે 3/2 = 1.5 નું સરળ ખંડિત પરિમાણ ધરાવે છે.

જટિલ ફ્રેકટલ્સ

વાસ્તવમાં, જો તમે કોઈપણ જટિલ ફ્રેક્ટલના નાના વિસ્તારને વિસ્તૃત કરો અને પછી તે વિસ્તારના નાના વિસ્તાર સાથે તે જ કરો, તો બે વિસ્તરણ એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હશે. બે છબીઓ વિગતવાર રીતે ખૂબ સમાન હશે, પરંતુ તે સંપૂર્ણપણે સમાન હશે નહીં.

આકૃતિ 1. મેન્ડેલબ્રોટ સેટ અંદાજ

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં બતાવેલ મેન્ડેલબ્રોટ સેટના ચિત્રોની તુલના કરો, જેમાંથી એક બીજાના ચોક્કસ વિસ્તારને વિસ્તૃત કરીને મેળવવામાં આવ્યો હતો. જેમ તમે જોઈ શકો છો, તેઓ એકદમ સરખા નથી, જો કે બંને પર આપણે એક કાળું વર્તુળ જોઈએ છીએ, જેમાંથી ફ્લેમિંગ ટેન્ટકલ્સ જુદી જુદી દિશામાં વિસ્તરે છે. ઘટતા પ્રમાણમાં મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહમાં આ તત્વો અનિશ્ચિત સમય માટે પુનરાવર્તિત થાય છે.

નિર્ણાયક ફ્રેકટલ્સ રેખીય છે, જ્યારે જટિલ ફ્રેકટલ્સ નથી. બિનરેખીય હોવાને કારણે, મેન્ડેલબ્રોટ જેને બિનરેખીય બીજગણિત સમીકરણો કહે છે તેના દ્વારા આ ફ્રેકટલ્સ ઉત્પન્ન થાય છે. એક સારું ઉદાહરણ Zn+1=ZnI + C પ્રક્રિયા છે, જે બીજા ડિગ્રીના મેન્ડેલબ્રોટ અને જુલિયા સમૂહને બાંધવા માટે વપરાતું સમીકરણ છે. આ ગાણિતિક સમીકરણોને ઉકેલવામાં જટિલ અને કાલ્પનિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે જટિલ પ્લેનમાં સમીકરણનું ગ્રાફિકલી અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામ એ એક વિચિત્ર આકૃતિ છે જેમાં સીધી રેખાઓ વળાંકમાં ફેરવાય છે, અને સ્વ-સમાનતાની અસરો દેખાય છે, જો કે વિરૂપતા વિના નહીં, વિવિધ સ્કેલ સ્તરે. તે જ સમયે, સમગ્ર ચિત્ર અણધારી અને ખૂબ જ અસ્તવ્યસ્ત છે.

જેમ તમે ચિત્રો જોઈને જોઈ શકો છો, જટિલ ફ્રેકટલ્સ ખરેખર ખૂબ જ જટિલ છે અને કમ્પ્યુટરની મદદ વિના બનાવી શકાતા નથી. રંગીન પરિણામો મેળવવા માટે, આ કમ્પ્યુટરમાં શક્તિશાળી ગાણિતિક કોપ્રોસેસર અને મોનિટર હોવું આવશ્યક છે ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન. નિર્ણાયક ફ્રેકટલ્સથી વિપરીત, જટિલ ફ્રેકટલ્સની ગણતરી 5-10 પુનરાવર્તનોમાં કરવામાં આવતી નથી. કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન પર લગભગ દરેક બિંદુ એક અલગ ફ્રેકટલ જેવું છે. ગાણિતિક પ્રક્રિયા દરમિયાન, દરેક બિંદુને એક અલગ ચિત્ર તરીકે ગણવામાં આવે છે. દરેક બિંદુ ચોક્કસ મૂલ્યને અનુલક્ષે છે. સમીકરણ દરેક બિંદુ માટે બિલ્ટ ઇન છે અને કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 1000 પુનરાવર્તનો. હોમ કમ્પ્યુટર્સ માટે સ્વીકાર્ય સમયગાળામાં પ્રમાણમાં અવિકૃત છબી મેળવવા માટે, એક બિંદુ માટે 250 પુનરાવર્તનો હાથ ધરવાનું શક્ય છે.

આજે આપણે જોઈએ છીએ તે મોટાભાગના ફ્રેકટલ્સ સુંદર રંગીન છે. કદાચ ખંડિત છબીઓ તેમની રંગ યોજનાઓને કારણે ચોક્કસપણે આટલું મહાન સૌંદર્યલક્ષી મહત્વ પ્રાપ્ત કરે છે. સમીકરણની ગણતરી કર્યા પછી, કમ્પ્યુટર પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરે છે. જો પરિણામો સ્થિર રહે છે, અથવા ચોક્કસ મૂલ્યની આસપાસ વધઘટ થાય છે, તો બિંદુ સામાન્ય રીતે કાળો થઈ જાય છે. જો એક અથવા બીજા પગલા પરનું મૂલ્ય અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો બિંદુને અલગ રંગમાં રંગવામાં આવે છે, કદાચ વાદળી અથવા લાલ. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન, કમ્પ્યુટર તમામ હિલચાલની ગતિને રંગો સોંપે છે.

સામાન્ય રીતે, ઝડપી ગતિશીલ બિંદુઓ લાલ રંગના હોય છે, જ્યારે ધીમા બિંદુઓ પીળા રંગના હોય છે, વગેરે. ડાર્ક સ્પોટ્સ કદાચ સૌથી સ્થિર છે.

જટિલ ફ્રેકટલ્સ એ અર્થમાં નિર્ધારિત ફ્રેકટલ્સથી અલગ પડે છે કે તેઓ અનંત જટિલ છે, પરંતુ હજુ પણ ખૂબ જ સરળ ફોર્મ્યુલા દ્વારા જનરેટ કરી શકાય છે. નિર્ણાયક ફ્રેકટલ્સને સૂત્રો અથવા સમીકરણોની જરૂર હોતી નથી. ફક્ત કેટલાક ડ્રોઇંગ પેપર લો અને તમે કોઈપણ મુશ્કેલી વિના 3 અથવા 4 પુનરાવર્તનો સુધી સિઅરપિન્સકી ચાળણી બનાવી શકો છો. ઘણી બધી જુલિયા સાથે આ અજમાવી જુઓ! ઇંગ્લેન્ડના દરિયાકાંઠાની લંબાઈ માપવા જવું સરળ છે!

મેન્ડેલબ્રોટ સેટ

ફિગ 2. મેન્ડેલબ્રોટ સેટ

મેન્ડેલબ્રોટ અને જુલિયા સેટ કદાચ જટિલ ફ્રેકટલ્સમાં બે સૌથી સામાન્ય છે. તેઓ ઘણા વૈજ્ઞાનિક જર્નલો, પુસ્તક કવર, પોસ્ટકાર્ડ્સ અને કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન સેવર્સમાં મળી શકે છે. મેન્ડલબ્રોટ સેટ, જે બેનોઈટ મેન્ડલબ્રોટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો, તે કદાચ પહેલો એસોસિએશન છે જે લોકો જ્યારે ફ્રેકટલ શબ્દ સાંભળે છે. આ ફ્રેક્ટલ, જે ફ્લેમિંગ ટ્રી જેવા અને તેની સાથે જોડાયેલ ગોળાકાર વિસ્તારો સાથે કાર્ડિંગ મશીન જેવું લાગે છે, તે સરળ સૂત્ર Zn+1=Zna+C દ્વારા જનરેટ થાય છે, જ્યાં Z અને C જટિલ સંખ્યાઓ છે અને a હકારાત્મક સંખ્યા છે.

મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ, જે મોટાભાગે જોઈ શકાય છે, તે 2જી ડિગ્રીનો મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ છે, એટલે કે, a = 2. હકીકત એ છે કે મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ માત્ર Zn+1=ZnІ+C નથી, પરંતુ એક ખંડિત છે, જેના સૂત્રમાં ઘાતાંક કોઈપણ હોઈ શકે છે. હકારાત્મક સંખ્યાઘણાને ગેરમાર્ગે દોર્યા છે. આ પૃષ્ઠ પર તમે મેન્ડેલબ્રોટ માટે સેટ કરેલ ઉદાહરણ જુઓ છો વિવિધ અર્થોસૂચક એ.
આકૃતિ 3. a=3.5 પર પરપોટાનો દેખાવ

Z=Z*tg(Z+C) પ્રક્રિયા પણ લોકપ્રિય છે. સ્પર્શક કાર્યનો સમાવેશ કરીને, પરિણામ એ સફરજન જેવા વિસ્તારથી ઘેરાયેલો મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ છે. કોસાઇન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરતી વખતે, એર બબલ ઇફેક્ટ્સ પ્રાપ્ત થાય છે. ટૂંકમાં, ત્યાં છે અનંત સંખ્યાવિવિધ સુંદર ચિત્રો બનાવવા માટે મેન્ડેલબ્રોટ સેટને ગોઠવવાની રીતો.

જુલિયા ઘણો

આશ્ચર્યજનક રીતે, જુલિયા સેટ મેન્ડેલબ્રોટ સેટ જેવા જ સૂત્ર અનુસાર રચાય છે. જુલિયા સેટની શોધ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ગેસ્ટન જુલિયા દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમના નામ પરથી સેટનું નામ રાખવામાં આવ્યું હતું. મેન્ડેલબ્રોટ અને જુલિયા સમૂહો સાથેના દ્રશ્ય પરિચય પછી ઉદ્ભવતો પ્રથમ પ્રશ્ન એ છે કે "જો બંને ફ્રેકટલ્સ એક જ સૂત્ર મુજબ જનરેટ થાય છે, તો તેઓ આટલા અલગ કેમ છે?" પહેલા જુલિયા સેટની તસવીરો જુઓ. વિચિત્ર રીતે, જુલિયા સેટના વિવિધ પ્રકારો છે. વિવિધ પ્રારંભિક બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ફ્રેકટલ દોરતી વખતે (પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા શરૂ કરવા માટે), વિવિધ છબીઓ. આ ફક્ત જુલિયા સેટ પર જ લાગુ પડે છે.

આકૃતિ 4. જુલિયા સેટ

જો કે તમે તેને ચિત્રમાં જોઈ શકતા નથી, મેન્ડેલબ્રોટ ફ્રેકટલ વાસ્તવમાં એક સાથે જોડાયેલા ઘણા જુલિયા ફ્રેકટલ્સ છે. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહનો દરેક બિંદુ (અથવા સંકલન) જુલિયા ફ્રેકટલને અનુરૂપ છે. Z=ZI+C સમીકરણમાં પ્રારંભિક મૂલ્યો તરીકે આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને જુલિયા સેટ જનરેટ કરી શકાય છે. પરંતુ આનો અર્થ એ નથી કે જો તમે મેન્ડેલબ્રોટ ફ્રેક્ટલ પર કોઈ બિંદુ પસંદ કરો છો અને તેને મોટું કરો છો, તો તમે જુલિયા ફ્રેક્ટલ મેળવી શકો છો. આ બે બિંદુઓ સમાન છે, પરંતુ માત્ર ગાણિતિક અર્થમાં. જો તમે આ બિંદુ લો છો અને આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરો છો, તો તમે મેન્ડેલબ્રોટ ફ્રેક્ટલના ચોક્કસ બિંદુને અનુરૂપ જુલિયા ફ્રેક્ટલ મેળવી શકો છો.

અરાજકતા એ ક્રમ છે જેને સમજવાની જરૂર છે.

જોસ સારામાગો, "ધ ડબલ"

"ભવિષ્યની પેઢીઓ માટે, વીસમી સદી ફક્ત સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતો, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને અરાજકતાના સિદ્ધાંતોની રચના માટે યાદ રાખવામાં આવશે... સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતે સંપૂર્ણ અવકાશ-સમય વિશે ન્યૂટનના ભ્રમને દૂર કર્યો, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સે તેનું સ્વપ્ન દૂર કર્યું. ભૌતિક ઘટનાઓનું નિર્ધારણવાદ, અને છેવટે, અરાજકતાએ સિસ્ટમોના વિકાસના સંપૂર્ણ પૂર્વનિર્ધારણની લેપ્લેસની કાલ્પનિકતાને ખંડિત કરી." વિખ્યાત અમેરિકન ઇતિહાસકાર અને વિજ્ઞાનના લોકપ્રિયકર્તા જેમ્સ ગ્લેઇકના આ શબ્દો મુદ્દાના પ્રચંડ મહત્વને પ્રતિબિંબિત કરે છે, જે વાચકના ધ્યાન પર લાવવામાં આવેલા લેખમાં ફક્ત ટૂંકમાં આવરી લેવામાં આવ્યા છે. આપણું વિશ્વ અરાજકતામાંથી ઉભું થયું. જો કે, જો અરાજકતા તેના પોતાના કાયદાનું પાલન ન કરે, જો તેમાં કોઈ વિશેષ તર્ક ન હોય, તો તે કંઈપણ પેદા કરી શકશે નહીં.

નવી સારી રીતે જૂની ભૂલી જાય છે

મને ગ્લેઇકમાંથી એક વધુ ટાંકવા દો:

આંતરિક સમાનતાના વિચાર, કે મહાન નાનામાં જડિત થઈ શકે છે, માનવ આત્માને લાંબા સમયથી સ્હેજ કરે છે... લીબનીઝના મતે, પાણીના એક ટીપામાં આખું વિશ્વ રંગોથી ચમકતું હોય છે, જ્યાં પાણીના છાંટા ચમકે છે અને અન્ય અજાણ્યા બ્રહ્માંડો રહે છે. . "વિશ્વને રેતીના દાણામાં જુઓ," બ્લેકે બોલાવ્યો, અને કેટલાક વૈજ્ઞાનિકોએ તેના આદેશને અનુસરવાનો પ્રયાસ કર્યો. સેમિનલ પ્રવાહીના પ્રથમ સંશોધકોએ દરેક શુક્રાણુમાં એક પ્રકારનું હોમનક્યુલસ જોવાનું વલણ રાખ્યું હતું, એટલે કે, એક નાનો પરંતુ સંપૂર્ણ રીતે રચાયેલ વ્યક્તિ.

આવા મંતવ્યોનું પૂર્વદર્શન ઇતિહાસમાં ઘણું આગળ ફેરવી શકાય છે. જાદુના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોમાંનો એક - કોઈપણ સમાજના વિકાસનો એક અભિન્ન તબક્કો - એ અનુમાન છે: એક ભાગ સંપૂર્ણ સમાન છે. તે આખા પ્રાણીને બદલે પ્રાણીની ખોપરી દફનાવી, રથને બદલે રથનું મોડેલ વગેરે જેવી ક્રિયાઓમાં પ્રગટ થયું હતું. પૂર્વજની ખોપરીને સાચવીને, સંબંધીઓ માનતા હતા કે તે તેમની બાજુમાં જ રહે છે. અને તેમની બાબતોમાં ભાગ લે છે.

પ્રાચીન ગ્રીક ફિલસૂફ એનાક્સાગોરસ પણ બ્રહ્માંડના પ્રાથમિક તત્વોને સમગ્ર અને સમગ્રના અન્ય કણો જેવા જ કણો તરીકે માનતા હતા, "ભીડ અને લઘુતા બંનેમાં અનંત." એરિસ્ટોટલે એનાક્સાગોરસના તત્વોને "ભાગોની સમાન" વિશેષણ સાથે દર્શાવ્યા હતા.

અને અમારા સમકાલીન, અમેરિકન સાયબરનેટીસિસ્ટ રોન એગ્લાશે, આફ્રિકન આદિવાસીઓ અને દક્ષિણ અમેરિકન ભારતીયોની સંસ્કૃતિની શોધ કરી, એક શોધ કરી: પ્રાચીન કાળથી, તેમાંના કેટલાકએ આભૂષણમાં બાંધકામના ખંડિત સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કર્યો છે, કપડાં અને ઘરની વસ્તુઓ પર લાગુ પેટર્ન, દાગીનામાં. , ધાર્મિક વિધિઓ અને આર્કિટેક્ચરમાં પણ. આમ, કેટલીક આફ્રિકન જાતિઓના ગામોની રચના એ એક વર્તુળ છે જેમાં નાના વર્તુળો - ઘરો છે, જેની અંદર પણ નાના વર્તુળો છે - આત્માઓના ઘરો. અન્ય આદિવાસીઓ માટે, વર્તુળોને બદલે, અન્ય આકૃતિઓ આર્કિટેક્ચરલ તત્વો તરીકે સેવા આપે છે, પરંતુ તે એક જ માળખાને આધિન, વિવિધ સ્કેલ પર પણ પુનરાવર્તિત થાય છે. તદુપરાંત, બાંધકામના આ સિદ્ધાંતો પ્રકૃતિનું સરળ અનુકરણ નહોતા, પરંતુ હાલના વિશ્વ દૃષ્ટિકોણ સાથે સુસંગત હતા અને સામાજિક સંસ્થા.

એવું લાગે છે કે આપણી સંસ્કૃતિ આદિમ અસ્તિત્વથી ઘણી દૂર ગઈ છે. જો કે, આપણે તે જ વિશ્વમાં જીવવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ; આપણે હજી પણ પ્રકૃતિથી ઘેરાયેલા છીએ, તેના પોતાના કાયદાઓ અનુસાર જીવીએ છીએ, તેને આપણી જરૂરિયાતોને અનુરૂપ બનાવવાના તમામ પ્રયત્નો છતાં. અને માણસ પોતે (ચાલો આ વિશે ભૂલશો નહીં) આ પ્રકૃતિનો એક ભાગ રહે છે.

ગેર્ટ ઇલેનબર્ગર, જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી જેમણે બિનરેખીયતાનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું, એક વખત ટિપ્પણી કરી:

અંધકારમય શિયાળુ આકાશની પૃષ્ઠભૂમિ સામે તોફાની પવનના દબાણ હેઠળ નગ્ન વૃક્ષનું સિલુએટ શા માટે સુંદર માનવામાં આવે છે, પરંતુ આધુનિક મલ્ટિફંક્શનલ બિલ્ડિંગની રૂપરેખા, આર્કિટેક્ટના તમામ પ્રયત્નો છતાં, એવું લાગતું નથી. બધા? મને એવું લાગે છે કે... આપણી સૌંદર્યની ભાવના વ્યવસ્થા અને અવ્યવસ્થાના સુમેળભર્યા સંયોજન દ્વારા "બળતણ" થાય છે, જે કુદરતી ઘટનાઓમાં જોઈ શકાય છે: વાદળો, વૃક્ષો, પર્વતમાળાઓ અથવા સ્નોવફ્લેક્સના સ્ફટિકો. આવા તમામ રૂપરેખા ભૌતિક સ્વરૂપોમાં સ્થિર ગતિશીલ પ્રક્રિયાઓ છે, અને સ્થિરતા અને અરાજકતાનું સંયોજન તેમના માટે લાક્ષણિક છે.

અરાજકતા સિદ્ધાંતના મૂળ પર

અમારો અર્થ શું છે અરાજકતા? સિસ્ટમની વર્તણૂકની આગાહી કરવામાં અસમર્થતા, જુદી જુદી દિશામાં રેન્ડમ કૂદકા જે ક્યારેય સુવ્યવસ્થિત ક્રમમાં ફેરવાશે નહીં.

અરાજકતાના પ્રથમ સંશોધક ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને ફિલસૂફ હેનરી પોઈનકેરે છે. 19મી સદીના અંતમાં પાછા. ગુરુત્વાકર્ષણીય રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી ત્રણ સંસ્થાઓ સાથેની સિસ્ટમની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તેમણે નોંધ્યું કે ત્યાં બિન-સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓ હોઈ શકે છે જે સતત હોય છે અને દૂર થતી નથી. ચોક્કસ બિંદુ, અને તેની નજીક ન જાવ.

ભૂમિતિની પરંપરાગત પદ્ધતિઓ, કુદરતી વિજ્ઞાનમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતી, ભૌમિતિક આકૃતિઓ સાથે અભ્યાસ હેઠળના પદાર્થની રચનાને અંદાજિત કરવા પર આધારિત છે, ઉદાહરણ તરીકે રેખાઓ, વિમાનો, ગોળા, મેટ્રિક અને ટોપોલોજીકલ પરિમાણો જે એકબીજા સાથે સમાન છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મો અને પર્યાવરણ સાથેની તેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું અભિન્ન થર્મોડાયનેમિક લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા વર્ણન કરવામાં આવે છે, જે સિસ્ટમ વિશેની માહિતીના નોંધપાત્ર ભાગની ખોટ તરફ દોરી જાય છે અને વધુ કે ઓછા પર્યાપ્ત મોડેલ સાથે તેના સ્થાને છે. મોટેભાગે, આવા સરળીકરણ સંપૂર્ણપણે વાજબી છે, પરંતુ એવી ઘણી પરિસ્થિતિઓ છે જ્યાં ટોપોલોજીકલ રીતે અપૂરતા મોડલ્સનો ઉપયોગ અસ્વીકાર્ય છે. તેમનામાં આવી વિસંગતતાનું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું હતું પીએચડી થીસીસ(હવે રાસાયણિક વિજ્ઞાનના ડૉક્ટર છે) વ્લાદિમીર કોન્સ્ટેન્ટિનોવિચ ઇવાનોવ: તે સોર્પ્શન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઘન પદાર્થોની વિકસિત (ઉદાહરણ તરીકે, છિદ્રાળુ) સપાટીના વિસ્તારને માપવા દ્વારા શોધી કાઢવામાં આવે છે જે શોષણ ઇસોથર્મ્સને રેકોર્ડ કરે છે. તે બહાર આવ્યું છે કે વિસ્તારનું કદ "માપનારા" પરમાણુઓના રેખીય કદ પર આધારિત છે જે ચતુર્ભુજ નથી, જે સરળ ભૌમિતિક વિચારણાઓથી અપેક્ષિત હશે, પરંતુ ઘાતાંક સાથે, કેટલીકવાર ત્રણની ખૂબ નજીક.

હવામાનની આગાહી એ એક એવી સમસ્યાઓ છે કે જેની સાથે માનવતા પ્રાચીન સમયથી સંઘર્ષ કરી રહી છે. આ વિષય પર એક જાણીતી મજાક છે, જ્યાં હવામાનની આગાહી શામનથી સાંકળ સાથે પ્રસારિત થાય છે - શીત પ્રદેશનું હરણ, પછી ભૂસ્તરશાસ્ત્રી, પછી રેડિયો પ્રોગ્રામના સંપાદકને, અને અંતે વર્તુળ બંધ છે, કારણ કે તે તારણ આપે છે કે શામને રેડિયો પરથી આગાહી શીખી છે. હવામાન જેવી જટિલ પ્રણાલીનું વર્ણન, ઘણા ચલો સાથે, સરળ મોડલ સુધી ઘટાડી શકાતું નથી. આ સમસ્યાએ બિનરેખીય ગતિશીલ સિસ્ટમોના મોડેલિંગ માટે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ શરૂ કર્યો. અરાજકતા સિદ્ધાંતના સ્થાપકોમાંના એક, અમેરિકન હવામાનશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી એડવર્ડ નોર્ટન લોરેન્ઝે હવામાનની આગાહીની સમસ્યા માટે ઘણા વર્ષો સમર્પિત કર્યા. છેલ્લી સદીના 60 ના દાયકામાં, હવામાનની આગાહીની અવિશ્વસનીયતાના કારણોને સમજવાનો પ્રયાસ કરતા, તેમણે બતાવ્યું કે જટિલ ગતિશીલ પ્રણાલીની સ્થિતિ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર ખૂબ આધાર રાખે છે: ઘણા પરિમાણોમાંથી એકમાં થોડો ફેરફાર ધરમૂળથી બદલાઈ શકે છે. અપેક્ષિત પરિણામ. લોરેન્ઝે આ અવલંબનને બટરફ્લાય ઇફેક્ટ તરીકે ઓળખાવ્યું: "આજે બેઇજિંગમાં શલભની પાંખો ફફડાટ એક મહિનામાં ન્યુ યોર્કમાં વાવાઝોડાનું કારણ બની શકે છે." વાતાવરણના સામાન્ય પરિભ્રમણ પરના તેમના કાર્યથી તેમને ખ્યાતિ મળી. પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતા ત્રણ ચલો સાથેના સમીકરણોની સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરતા, લોરેન્ઝે ગ્રાફિકલી તેમના વિશ્લેષણના પરિણામો દર્શાવ્યા: આલેખની રેખાઓ આ ચલોની જગ્યામાં ઉકેલો દ્વારા નિર્ધારિત બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (ફિગ. 1). પરિણામી ડબલ હેલિક્સ, કહેવાય છે લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષનાર(અથવા "વિચિત્ર આકર્ષનાર"), કંઈક અવિરતપણે ગૂંચવણમાં મૂકે તેવું લાગતું હતું, પરંતુ હંમેશા ચોક્કસ સીમાઓની અંદર સ્થિત હતું અને પોતાને ક્યારેય પુનરાવર્તિત કરતા નથી. આકર્ષનારમાં હલનચલન અમૂર્ત હોય છે (ચલો ઝડપ, ઘનતા, તાપમાન વગેરે હોઈ શકે છે), અને તેમ છતાં તે વાસ્તવિક ભૌતિક ઘટનાઓની વિશેષતાઓ જણાવે છે, જેમ કે વોટર વ્હીલની હિલચાલ, બંધ લૂપમાં સંવહન, એકમાંથી રેડિયેશન. સિંગલ-મોડ લેસર, વિસર્જન કરનાર હાર્મોનિક સ્પંદનો(જેના પરિમાણો અનુરૂપ ચલોની ભૂમિકા ભજવે છે).

બનેલા હજારો પ્રકાશનોમાંથી વિશેષ સાહિત્યઅરાજકતાની સમસ્યા પર, લોરેન્ટ્ઝના 1963ના પેપર "ડિટરમિનિસ્ટિક નોન-પીરિયોડિક ફ્લો" કરતાં ભાગ્યે જ કોઈ વધુ વખત ટાંકવામાં આવ્યું છે. જો કે આ કાર્ય સમયે કોમ્પ્યુટર મોડેલીંગે હવામાનની આગાહીને "કળામાંથી વિજ્ઞાન"માં પરિવર્તિત કરી દીધી હોવા છતાં, લાંબા ગાળાની આગાહીઓ હજુ પણ અવિશ્વસનીય અને અવિશ્વસનીય હતી. તેનું કારણ એ જ બટરફ્લાય ઇફેક્ટ હતી.

તે જ 60 ના દાયકામાં, કેલિફોર્નિયા યુનિવર્સિટીના ગણિતશાસ્ત્રી સ્ટીફન સ્મેલ બર્કલે ખાતે એકત્રિત સંશોધન જૂથયુવાન સમાન વિચારધારા ધરાવતા લોકોનું. તેમને અગાઉ ટોપોલોજીમાં તેમના ઉત્કૃષ્ટ સંશોધન માટે ફિલ્ડ્સ મેડલ એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. સ્મેલે ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કર્યો, ખાસ કરીને બિનરેખીય અસ્તવ્યસ્ત ઓસિલેટર. ફેઝ સ્પેસમાં વેન ડેર પોલ ઓસિલેટરના તમામ ડિસઓર્ડરનું પુનઃઉત્પાદન કરવા માટે, તેણે "ઘોડાની નાળ" તરીકે ઓળખાતી એક રચના બનાવી - અસ્તવ્યસ્ત ગતિશીલતા ધરાવતી ગતિશીલ પ્રણાલીનું ઉદાહરણ.

"ઘોડાની નાળ" (ફિગ. 2) એ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર મજબૂત નિર્ભરતાની ચોક્કસ અને દૃશ્યમાન છબી છે: તમે ક્યારેય અનુમાન કરી શકશો નહીં કે ઘણા પુનરાવર્તનો પછી પ્રારંભિક બિંદુ ક્યાં હશે. આ ઉદાહરણ રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા "અનોસોવ ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સ" ની શોધ માટે પ્રોત્સાહન હતું, જે ગતિશીલ પ્રણાલી અને વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતના નિષ્ણાત, વિભેદક ભૂમિતિ અને ટોપોલોજી, દિમિત્રી વિક્ટોરોવિચ અનોસોવ હતા. પાછળથી, આ બે કાર્યોમાંથી હાયપરબોલિક ડાયનેમિક સિસ્ટમનો સિદ્ધાંત વિકસ્યો. Smaleનું કાર્ય અન્ય વિદ્યાશાખાઓના ધ્યાન પર આવે તે પહેલાં તેને એક દાયકા લાગ્યો. "જ્યારે આ બન્યું, ત્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને સમજાયું કે સ્માઈલે ગણિતની એક આખી શાખાનો સામનો કરી દીધો છે. વાસ્તવિક દુનિયા» .

1972 માં, યુનિવર્સિટી ઓફ મેરીલેન્ડના ગણિતશાસ્ત્રી જેમ્સ યોર્કે લોરેન્ટ્ઝ દ્વારા ઉપરોક્ત પેપર વાંચ્યું, જે તેમને ત્રાટક્યું. યોર્કે લેખમાં એક જીવંત ભૌતિક મોડલ જોયું અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને તે જણાવવાનું તેની પવિત્ર ફરજ માન્યું જે તેઓએ લોરેન્ટ્ઝ અને સ્માઈલના કાર્યોમાં જોયું ન હતું. તેણે લોરેન્ઝના લેખની નકલ સ્માઈલને ફોરવર્ડ કરી. તે જાણીને આશ્ચર્યચકિત થઈ ગયો કે દસ વર્ષ પહેલાં એક અજાણ્યા હવામાનશાસ્ત્રી (લોરેન્ત્ઝ)એ પોતે એક વખત ગાણિતિક રીતે અવિશ્વસનીય ગણાતા ડિસઓર્ડરની શોધ કરી હતી અને તેની નકલો તેના તમામ સાથીદારોને મોકલી હતી.

યોર્કના મિત્ર જીવવિજ્ઞાની રોબર્ટ મે પ્રાણીઓની વસ્તીમાં થતા ફેરફારોનો અભ્યાસ કરી રહ્યા હતા. મે પિયર વર્ક્લસ્ટના પગલે ચાલ્યા, જેમણે 1845 માં પ્રાણીઓની સંખ્યામાં ફેરફારની અણધારીતા તરફ ધ્યાન દોર્યું અને એવા નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે વસ્તી વૃદ્ધિ દર એ સ્થિર મૂલ્ય નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રક્રિયા બિનરેખીય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. મે એ કેપ્ચર કરવાનો પ્રયાસ કર્યો કે જ્યારે વૃદ્ધિ ગુણાંકમાં વધઘટ ચોક્કસ નિર્ણાયક બિંદુ (દ્વિભાજન બિંદુ) સુધી પહોંચે ત્યારે વસ્તીનું શું થાય છે. આ બિનરેખીય પરિમાણના મૂલ્યોમાં ફેરફાર કરીને, તેમણે શોધ્યું કે સિસ્ટમના સારમાં મૂળભૂત ફેરફારો શક્ય છે: પરિમાણમાં વધારો એ બિનરેખીયતાની ડિગ્રીમાં વધારો થાય છે, જે બદલામાં, માત્ર માત્રાત્મક જ નહીં, પણ ગુણવત્તા લાક્ષણિકતાઓપરિણામ આવા ઓપરેશને બંનેને પ્રભાવિત કર્યા અંતિમ મૂલ્યવસ્તીનું કદ જે સંતુલનમાં હતું અને સામાન્ય રીતે બાદમાં હાંસલ કરવાની તેની ક્ષમતા પર. અમુક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, સામયિકતાએ અરાજકતાને માર્ગ આપ્યો, ઓસીલેશન્સ જે ક્યારેય મૃત્યુ પામ્યા નહીં.

યોર્કે તેમના કાર્યમાં વર્ણવેલ ઘટનાનું ગાણિતિક રીતે વિશ્લેષણ કર્યું, તે સાબિત કર્યું કે કોઈપણ એક-પરિમાણીય પ્રણાલીમાં નીચે મુજબ થાય છે: જો નિયમિત ચક્ર ત્રણ તરંગો સાથે દેખાય છે (કોઈપણ પરિમાણના મૂલ્યોમાં સરળ વધે છે અને પડે છે), તો ભવિષ્યમાં સિસ્ટમ એ દર્શાવવાનું શરૂ કરશે કે અન્ય કોઈપણ સમયગાળાના નિયમિત ચક્ર કેવી રીતે , અને સંપૂર્ણપણે અસ્તવ્યસ્ત છે. (જેમ કે પૂર્વ બર્લિનમાં એક આંતરરાષ્ટ્રીય પરિષદમાં લેખ પ્રકાશિત થયાના થોડા વર્ષો પછી, સોવિયેત (યુક્રેનિયન) ગણિતશાસ્ત્રી એલેક્ઝાંડર નિકોલેવિચ શાર્કોવ્સ્કી તેમના સંશોધનમાં યોર્ક કરતાં કંઈક અંશે આગળ હતા). યોર્કે પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક પ્રકાશન અમેરિકન મેથેમેટિકલ મંથલી માટે એક લેખ લખ્યો હતો. જો કે, યોર્કે માત્ર ગાણિતિક પરિણામ કરતાં વધુ પ્રાપ્ત કર્યું: તેણે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને દર્શાવ્યું કે અરાજકતા સર્વવ્યાપી, સ્થિર અને સંરચિત છે. તેમણે એવું માનવાનું કારણ આપ્યું કે જટિલ પ્રણાલીઓ, પરંપરાગત રીતે મુશ્કેલ-થી-ઉકેલ-સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જે દ્રશ્ય ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે.

મે એ હકીકત તરફ જીવવિજ્ઞાનીઓનું ધ્યાન દોરવાનો પ્રયાસ કર્યો કે પ્રાણીઓની વસ્તી માત્ર ઓર્ડર કરેલ ચક્ર કરતાં વધુ અનુભવે છે. અંધાધૂંધીના માર્ગ પર, પીરિયડ ડબલિંગનો આખો કાસ્કેડ ઊભો થાય છે. તે દ્વિભાજન બિંદુઓ પર હતું કે વ્યક્તિઓની પ્રજનનક્ષમતામાં થોડો વધારો થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જીપ્સી શલભની વસ્તીના ચાર વર્ષના ચક્રને આઠ વર્ષના ચક્ર સાથે બદલી શકાય છે. અમેરિકન મિશેલ ફીજેનબૌમે આવા ફેરફારોને જન્મ આપતા પરિમાણના ચોક્કસ મૂલ્યોની ગણતરી કરીને પ્રારંભ કરવાનું નક્કી કર્યું. તેની ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે પ્રારંભિક વસ્તી શું હતી તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - તે હજી પણ આકર્ષણની નજીક આવી રહ્યો છે. પછી, પીરિયડ્સના પ્રથમ બમણા સાથે, આકર્ષનાર, વિભાજક કોષની જેમ, વિભાજિત થાય છે. પછી પીરિયડ્સનો આગળનો ગુણાકાર થયો, અને દરેક આકર્ષણ બિંદુ ફરીથી વિભાજિત થવાનું શરૂ કર્યું. આ નંબર - ફેઇજેનબૌમ દ્વારા મેળવેલ એક અપરિવર્તક - તેને આ ક્યારે થશે તેની ચોક્કસ આગાહી કરવાની મંજૂરી આપી. વૈજ્ઞાનિકે શોધ્યું કે તે સૌથી જટિલ આકર્ષણ માટે આ અસરની આગાહી કરી શકે છે - બે, ચાર, આઠ બિંદુઓ પર... ઇકોલોજીની ભાષામાં બોલતા, તે વાર્ષિક વધઘટ દરમિયાન વસ્તીમાં પ્રાપ્ત થતી વાસ્તવિક સંખ્યાની આગાહી કરી શકે છે. તેથી ફેઇજેનબૌમે 1976 માં "પીરિયડ ડબલિંગ કાસ્કેડ" શોધી કાઢ્યું, મેના કાર્ય અને અશાંતિ પરના તેમના સંશોધનને આધારે. તેમનો સિદ્ધાંત એક કુદરતી કાયદો પ્રતિબિંબિત કરે છે જે આદેશિત રાજ્યમાંથી અરાજકતા તરફ સંક્રમણનો અનુભવ કરતી તમામ સિસ્ટમોને લાગુ પડે છે. યોર્ક, મે અને ફીગેનબૉમ પશ્ચિમમાં પ્રથમ એવા હતા જેમણે પીરિયડ ડબલિંગના મહત્વને સંપૂર્ણપણે સમજ્યા અને આ વિચારને સમગ્ર વૈજ્ઞાનિક સમુદાય સુધી પહોંચાડવામાં સક્ષમ હતા. મેએ કહ્યું કે અરાજકતા શીખવવી જ જોઇએ.

સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ તેમના વિદેશી સાથીદારોથી સ્વતંત્ર રીતે તેમના સંશોધનમાં આગળ વધ્યા. અરાજકતાનો અભ્યાસ 50 ના દાયકામાં એ.એન. કોલમોગોરોવના કાર્ય સાથે શરૂ થયો હતો. પરંતુ વિદેશી સાથીદારોના વિચારો પર ધ્યાન ન ગયું. અરાજકતા સિદ્ધાંતના પ્રણેતા માનવામાં આવે છે સોવિયત ગણિતશાસ્ત્રીઓઆન્દ્રે નિકોલેવિચ કોલમોગોરોવ અને વ્લાદિમીર ઇગોરેવિચ આર્નોલ્ડ અને જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જુર્ગેન મોઝર, જેમણે કેએએમ (કોલ્મોગોરોવ-આર્નોલ્ડ-મોઝર સિદ્ધાંત) નામની અરાજકતા સિદ્ધાંતનું નિર્માણ કર્યું. અમારા અન્ય ઉત્કૃષ્ટ દેશબંધુઓ, તેજસ્વી ભૌતિકશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી યાકોવ ગ્રિગોરીવિચ સિનાઈ, થર્મોડાયનેમિક્સમાં "સ્મેલ હોર્સશો" જેવી જ વિચારણાઓ લાગુ કરી. 70 ના દાયકામાં પશ્ચિમી ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ લોરેન્ટ્ઝના કાર્યથી પરિચિત થયા કે તરત જ તે યુએસએસઆરમાં પ્રખ્યાત બન્યું. 1975 માં, જ્યારે યોર્ક અને મે હજી પણ તેમના સાથીદારોનું ધ્યાન આકર્ષિત કરવા માટે નોંધપાત્ર પ્રયત્નો કરી રહ્યા હતા, ત્યારે સિનાઈ અને તેના સાથીઓએ આ સમસ્યાનો અભ્યાસ કરવા માટે ગોર્કી ખાતે એક સંશોધન જૂથનું આયોજન કર્યું.

છેલ્લી સદીમાં, જ્યારે વિજ્ઞાનમાં વિવિધ વિદ્યાશાખાઓ વચ્ચે સાંકડી વિશેષતા અને વિભાજન સામાન્ય બની ગયું હતું, ત્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, જીવવિજ્ઞાનીઓ, રસાયણશાસ્ત્રીઓ, ફિઝિયોલોજિસ્ટ્સ અને અર્થશાસ્ત્રીઓ એકબીજાને સાંભળ્યા વિના સમાન સમસ્યાઓ સાથે સંઘર્ષ કરતા હતા. સામાન્ય વિશ્વ દૃષ્ટિકોણમાં પરિવર્તનની જરૂર હોય તેવા વિચારોને તેમનો માર્ગ શોધવાનું હંમેશા મુશ્કેલ લાગે છે. જો કે, તે ધીમે ધીમે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે પ્રાણીઓની વસ્તીમાં ફેરફાર, બજારના ભાવમાં વધઘટ, હવામાનમાં ફેરફાર, કદ દ્વારા અવકાશી પદાર્થોનું વિતરણ અને ઘણું બધું, સમાન પેટર્નને આધીન છે. "આ હકીકતની જાગરૂકતાએ મેનેજરોને વીમા પ્રત્યેના તેમના વલણ પર પુનર્વિચાર કરવા, ખગોળશાસ્ત્રીઓને સૂર્યમંડળને એક અલગ ખૂણાથી જોવા અને રાજકારણીઓને સશસ્ત્ર સંઘર્ષના કારણો વિશે તેમના અભિપ્રાય બદલવાની ફરજ પડી."

80 ના દાયકાના મધ્ય સુધીમાં પરિસ્થિતિ મોટા પ્રમાણમાં બદલાઈ ગઈ હતી. ખંડિત ભૂમિતિના વિચારો વૈજ્ઞાનિકોને એક કરે છે જેઓ તેમના પોતાના અવલોકનોથી મૂંઝવણમાં હતા અને તેમને કેવી રીતે અર્થઘટન કરવું તે ખબર ન હતી. અરાજકતા સંશોધકો માટે, ગણિત બની ગયું છે પ્રાયોગિક વિજ્ઞાન, કોમ્પ્યુટરોએ પ્રયોગશાળાઓનું સ્થાન લીધું છે. ગ્રાફિક છબીઓ સર્વોચ્ચ મહત્વ બની ગઈ છે. નવું વિજ્ઞાનવિશ્વને એક વિશેષ ભાષા, નવી વિભાવનાઓ આપી: તબક્કો પોટ્રેટ, આકર્ષનાર, દ્વિભાજન, તબક્કા અવકાશનો વિભાગ, ખંડિત...

બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ, તેમના પુરોગામી અને સમકાલીન લોકોના વિચારો અને કાર્યો પર આધાર રાખતા, દર્શાવે છે કે આવા જટિલ પ્રક્રિયાઓજેમ કે વૃક્ષની વૃદ્ધિ, વાદળોની રચના, વિવિધતા આર્થિક લાક્ષણિકતાઓઅથવા પ્રાણીઓની વસ્તીનું કદ અનિવાર્યપણે પ્રકૃતિના સમાન નિયમો દ્વારા સંચાલિત થાય છે. આ ચોક્કસ પેટર્ન છે જેના અનુસાર અરાજકતા રહે છે. કુદરતી સ્વ-સંસ્થાના દૃષ્ટિકોણથી, તેઓ સંસ્કારી લોકો માટે પરિચિત કૃત્રિમ સ્વરૂપો કરતાં ખૂબ સરળ છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિના સંદર્ભમાં જ તેમને જટિલ ગણી શકાય, કારણ કે ફ્રેકટલ્સ અલ્ગોરિધમનો ઉલ્લેખ કરીને નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, અને તેથી થોડી માત્રામાં માહિતીનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે.

પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ

ચાલો એ જાણવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે ફ્રેકટલ શું છે અને તે શેની સાથે ખવાય છે. અને તમે ખરેખર તેમાંથી કેટલાક ખાઈ શકો છો, જેમ કે ફોટોગ્રાફમાં બતાવેલ લાક્ષણિક પ્રતિનિધિ.

શબ્દ ખંડિતલેટિનમાંથી આવે છે અસ્થિભંગ -કચડી, ભાંગી, ટુકડાઓમાં ભાંગી. ફ્રેક્ટલ એ ગાણિતિક સમૂહ છે જેમાં સ્વ-સમાનતાની મિલકત હોય છે, એટલે કે, સ્કેલ ઇન્વેરિઅન્સ.

1975 માં મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા "ફ્રેક્ટલ" શબ્દની રચના કરવામાં આવી હતી અને 1977માં તેમના પુસ્તક ધ ફ્રેક્ટલ જ્યોમેટ્રી ઓફ નેચરના પ્રકાશન સાથે વ્યાપક લોકપ્રિયતા મેળવી હતી. "રાક્ષસને કંઈક હૂંફાળું આપો, પાલતુ નામ, અને તમને આશ્ચર્ય થશે કે તેને કાબૂમાં રાખવું કેટલું સરળ હશે! - મેન્ડેલબ્રોટે કહ્યું. અભ્યાસ હેઠળની વસ્તુઓ (ગાણિતિક સમૂહો) ને નજીક અને સમજી શકાય તેવી બનાવવાની આ ઈચ્છાને કારણે નવા ગાણિતિક શબ્દોનો જન્મ થયો, જેમ કે ધૂળ, કુટીર ચીઝ, સીરમ, કુદરતી પ્રક્રિયાઓ સાથે તેમના ઊંડા જોડાણને સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે.

ફ્રેકટલની ગાણિતિક વિભાવના એવી વસ્તુઓને ઓળખે છે કે જેમાં મોટા અને નાના બંને પ્રકારના વિવિધ સ્કેલની રચના હોય છે અને આ રીતે સંસ્થાના વંશવેલો સિદ્ધાંતને પ્રતિબિંબિત કરે છે. અલબત્ત, વૃક્ષની વિવિધ શાખાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, એકબીજા સાથે બરાબર ગોઠવી શકાતી નથી, પરંતુ તેઓને સમાન ગણી શકાય. આંકડાકીય રીતે કહીએ તો. તે જ રીતે, વાદળોના આકાર, પર્વતોની રૂપરેખા, સમુદ્ર કિનારાની રેખા, જ્વાળાઓની પેટર્ન, વેસ્ક્યુલર સિસ્ટમ, કોતરો, વીજળી, વિવિધ સ્કેલમાં જોવામાં આવે છે, સમાન દેખાય છે. જો કે આ આદર્શીકરણ વાસ્તવિકતાનું સરળીકરણ હોઈ શકે છે, તે નોંધપાત્ર રીતે ઊંડાણમાં વધારો કરે છે ગાણિતિક વર્ણનપ્રકૃતિ

મેન્ડેલબ્રોટે નિયુક્ત કરવા માટે "કુદરતી ફ્રેકટલ" નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો કુદરતી રચનાઓ, જે ફ્રેકટલ સેટનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે. આ કુદરતી વસ્તુઓમાં તકનું તત્વ શામેલ છે. મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ સિદ્ધાંત તે તમામ સ્વરૂપોનું માત્રાત્મક અને ગુણાત્મક રીતે વર્ણન કરવાનું શક્ય બનાવે છે જેને અગાઉ ગંઠાયેલું, લહેરિયાત, ખરબચડી વગેરે કહેવાતું હતું.

ઉપર ચર્ચા કરેલ ગતિશીલ પ્રક્રિયાઓ, કહેવાતી પ્રતિક્રિયા પ્રક્રિયાઓ, વિવિધ ભૌતિક અને ગાણિતિક સમસ્યાઓમાં ઉદ્ભવે છે. તે બધામાં એક વસ્તુ સમાન છે - પ્લેન પર વર્ચસ્વ માટે ઘણા કેન્દ્રો (જેને "આકર્ષક" કહેવાય છે) વચ્ચે સ્પર્ધા. ચોક્કસ સંખ્યાના પુનરાવૃત્તિઓ પછી સિસ્ટમ પોતાને જે રાજ્યમાં શોધે છે તે તેના "પ્રારંભિક સ્થાન" પર આધારિત છે. તેથી, દરેક આકર્ષનાર પ્રારંભિક રાજ્યોના ચોક્કસ પ્રદેશને અનુરૂપ છે, જેમાંથી સિસ્ટમ વિચારણા હેઠળની અંતિમ સ્થિતિમાં આવશ્યકપણે આવશે. આમ, સિસ્ટમની ફેઝ સ્પેસ (ચોક્કસ ગતિશીલ સિસ્ટમ સાથે સંકળાયેલા પરિમાણોની અમૂર્ત જગ્યા, બિંદુઓ જેમાં તેની તમામ સંભવિત સ્થિતિઓને વિશિષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે) વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આકર્ષણના વિસ્તારોઆકર્ષનારા એરિસ્ટોટલની ગતિશીલતામાં એક વિચિત્ર વળતર છે, જે મુજબ દરેક શરીર તેના નિર્ધારિત સ્થાન તરફ વળે છે. આવી હરીફાઈના પરિણામે "સંલગ્ન પ્રદેશો" વચ્ચેની સરળ સીમાઓ ભાગ્યે જ ઊભી થાય છે. તે આ સરહદી વિસ્તારમાં છે કે અસ્તિત્વના એક સ્વરૂપમાંથી બીજામાં સંક્રમણ થાય છે: ઓર્ડરથી અરાજકતા તરફ. સામાન્ય દૃશ્યમાટે અભિવ્યક્તિઓ ગતિશીલ કાયદોખૂબ જ સરળ: x n+1 → f x n C . આખી મુશ્કેલી પ્રારંભિક મૂલ્ય અને પરિણામ વચ્ચેના બિનરેખીય સંબંધમાં રહેલી છે. જો આપણે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા શરૂ કરીએ ઉલ્લેખિત પ્રકારઅમુક મનસ્વી મૂલ્ય \(x_0\), પછી તેનું પરિણામ એ ક્રમ હશે \(x_1\), \(x_2\), ..., જે કાં તો અમુક મર્યાદિત મૂલ્ય \(X\) તરફ વળશે. આરામની સ્થિતિ, કાં તો તે અર્થના કેટલાક ચક્ર પર આવશે જે ફરીથી અને ફરીથી પુનરાવર્તિત થશે, અથવા તે હંમેશાં અનિયમિત અને અણધારી રીતે વર્તે છે. તે ચોક્કસપણે આવી પ્રક્રિયાઓ હતી જેનો પ્રથમ વિશ્વ યુદ્ધ દરમિયાન ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગેસ્ટન જુલિયા અને પિયર ફેટેઉ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

તેઓએ શોધેલા સેટનો અભ્યાસ કરતા, મેન્ડેલબ્રોટ 1979 માં જટિલ પ્લેન પર એક છબી દર્શાવવા આવ્યા હતા, જે જુલિયા સેટ તરીકે ઓળખાતા સ્વરૂપોના સંપૂર્ણ વર્ગ માટે વિષયવસ્તુનું એક પ્રકારનું કોષ્ટક, જે નીચે આપેલા પરથી સ્પષ્ટ થશે. જુલિયા સમૂહ એ ચતુર્ભુજ પરિવર્તનના પુનરાવૃત્તિના પરિણામે ઉદ્ભવતા બિંદુઓનો સમૂહ છે: x n → x n−1 2 + C, જેની આસપાસની ગતિશીલતા નાની વિક્ષેપોના સંદર્ભમાં અસ્થિર છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ. \(x\) ની દરેક ક્રમિક કિંમત પાછલા એકમાંથી મેળવવામાં આવે છે; જટિલ સંખ્યા\(C\) કહેવાય છે નિયંત્રણ પરિમાણ. સંખ્યાઓના ક્રમનું વર્તન પરિમાણ \(C\) અને પ્રારંભિક બિંદુ \(x_0\) પર આધારિત છે. જો આપણે જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં \(C\) ઠીક કરીએ અને \(x_0\) બદલીએ, તો આપણને જુલિયા સમૂહ મળે છે. જો આપણે \(x_0\) = 0 ને ઠીક કરીએ અને \(C\) બદલીએ, તો અમે મેન્ડેલબ્રોટ સેટ (\(M\)) મેળવીએ છીએ. તે અમને જણાવે છે કે \(C\) ની ચોક્કસ પસંદગી માટે આપણે કયા પ્રકારના જુલિયા સેટની અપેક્ષા રાખવી જોઈએ. દરેક જટિલ સંખ્યા \(C\) કાં તો પ્રદેશ \(M\) (ફિગ. 3 માં કાળો) સાથે સંબંધિત છે અથવા નથી. \(C\) \(M\) નું છે જો અને માત્ર જો "ક્રિટીકલ પોઈન્ટ" \(x_0\) = 0 અનંત તરફ વલણ ધરાવતું નથી. સમૂહ \(M\) એ બધા બિંદુઓ \(C\) નો સમાવેશ કરે છે જે જોડાયેલા જુલિયા સમૂહો સાથે સંકળાયેલા છે, પરંતુ જો કોઈ બિંદુ \(C\) સમૂહ \(M\) ની બહાર આવેલું હોય, તો તેની સાથે સંકળાયેલ જુલિયા સમૂહ ડિસ્કનેક્ટ સમૂહની સીમા \(M\) ગણિતની ક્ષણ નક્કી કરે છે તબક્કો સંક્રમણજુલિયા માટે x n → x n−1 2 + C સેટ કરે છે. જ્યારે પેરામીટર \(C\) \(M\) છોડે છે, ત્યારે જુલિયા સેટ તેમની કનેક્ટિવિટી ગુમાવે છે, અલંકારિક રીતે કહીએ તો, વિસ્ફોટ થાય છે અને ધૂળમાં ફેરવાય છે. સીમા \(M\) પર જે ગુણાત્મક જમ્પ થાય છે તે સીમાને અડીને આવેલા પ્રદેશને પણ અસર કરે છે. "પ્રારંભિક બિંદુ \(x_0\) = 0" ની અનંતતા તરફ ભાગી જવાના સમાન સમય સાથેના ઝોનને જુદા જુદા રંગોમાં પેઇન્ટિંગ (શરતી રીતે) દ્વારા સીમા ક્ષેત્રની જટિલ ગતિશીલ રચના લગભગ બતાવી શકાય છે. \(C\) (એક શેડ) ના તે મૂલ્યો કે જેના માટે નિર્ણાયક બિંદુને ત્રિજ્યા \(N\) ના વર્તુળની બહાર હોવા માટે આપેલ સંખ્યાના પુનરાવર્તનોની જરૂર છે તે બે રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર ભરે છે. જેમ જેમ આપણે સીમા \(M\) સુધી પહોંચીએ છીએ, પુનરાવર્તનની આવશ્યક સંખ્યા વધે છે. બિંદુને જુલિયા સેટની નજીકના વિન્ડિંગ પાથ સાથે ભટકવાની ફરજ પડી છે. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ ક્રમમાંથી અરાજકતા તરફ સંક્રમણની પ્રક્રિયાને મૂર્ત બનાવે છે.

મેન્ડેલબ્રોટે તેની શોધો માટે જે માર્ગ અપનાવ્યો તે શોધવાનું રસપ્રદ છે. બેનોઈટનો જન્મ 1924માં વોર્સોમાં થયો હતો; સ્નાતક થયા પછી પોલિટેકનિક શાળા, અને પછી પેરિસમાં એક યુનિવર્સિટી, મેન્ડેલબ્રોટ યુએસએ ગયા, જ્યાં તેમણે યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયામાં પણ અભ્યાસ કર્યો ઇન્સ્ટિટ્યુટ ઓફ ટેકનોલોજી. 1958 માં, તેમણે IBM ના યોર્કટાઉન સંશોધન કેન્દ્રમાં નોકરી લીધી. કંપનીની સંપૂર્ણ લાગુ પ્રવૃત્તિઓ હોવા છતાં, તેમની સ્થિતિએ તેમને વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સંશોધન કરવાની મંજૂરી આપી. અર્થશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં કામ કરતા, યુવાન નિષ્ણાતે કપાસના ભાવોના આંકડાઓનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું લાંબી અવધિસમય (100 વર્ષથી વધુ). લાંબા ગાળાના અને ટૂંકા ગાળાના ભાવની વધઘટની સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરતા, તેમણે નોંધ્યું કે દિવસ દરમિયાન આ વધઘટ રેન્ડમ અને અણધારી લાગતી હતી, પરંતુ આવા ફેરફારોનો ક્રમ સ્કેલ પર આધાર રાખતો નથી. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તેઓ પ્રથમ વ્યક્તિ હતા જેમણે તેમના ભવિષ્યના ફ્રેક્ટલ સિદ્ધાંતના વિકાસ અને અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાઓના ગ્રાફિકલ પ્રદર્શનનો ઉપયોગ કર્યો.

વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં રસ ધરાવતા, મેન્ડેલબ્રોટ ગાણિતિક ભાષાશાસ્ત્ર તરફ વળ્યા, પછી તે ગેમ થિયરીનો વારો હતો. નાના અને મોટા શહેરોના પ્રસારમાં સ્કેલની વ્યવસ્થિતતા દર્શાવતા તેમણે અર્થશાસ્ત્ર માટે પોતાનો અભિગમ પણ પ્રસ્તાવિત કર્યો. લેખકના મૃત્યુ પછી પ્રકાશિત થયેલા અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક લુઈસ રિચાર્ડસનની ઓછી જાણીતી કૃતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે, મેન્ડેલબ્રોટને દરિયાકાંઠાની ઘટનાનો સામનો કરવો પડ્યો. લેખમાં "યુકેનો દરિયાકિનારો કેટલો લાંબો છે?" તે આ પ્રશ્નની વિગતવાર શોધ કરે છે, જેના વિશે થોડા લોકોએ તેની પહેલાં વિચાર્યું છે, અને અણધાર્યા નિષ્કર્ષ પર આવે છે: દરિયાકિનારાની લંબાઈ... અનંત છે! તમે તેને જેટલી સચોટ રીતે માપવાનો પ્રયાસ કરશો, તેટલું તેનું મૂલ્ય વધશે!

આવી ઘટનાનું વર્ણન કરવા માટે, મેન્ડેલબ્રોટને પરિમાણના વિચારથી પ્રારંભ કરવાનું થયું. ઑબ્જેક્ટનું ખંડિત પરિમાણ સેવા આપે છે માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓતેની વિશેષતાઓમાંની એક, એટલે કે, તેની જગ્યા ભરવા.

ખંડિત પરિમાણની વિભાવનાની વ્યાખ્યા 1919 માં પ્રકાશિત ફેલિક્સ હોસડોર્ફના કાર્યની છે, અને અંતે અબ્રામ સમોઇલોવિચ બેસીકોવિચ દ્વારા ઘડવામાં આવી હતી. ખંડિત પરિમાણ એ ખંડિત પદાર્થની વિગત, અસ્થિભંગ અને અસમાનતાનું માપ છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાં, ટોપોલોજીકલ પરિમાણ હંમેશા પૂર્ણાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (બિંદુનું પરિમાણ 0 છે, રેખા 1 છે, પ્લેન 2 છે, વોલ્યુમેટ્રિક બોડી 3 છે). જો તમે ટ્રેસ કરો છો, ઉદાહરણ તરીકે, બ્રાઉનિયન કણના ગતિના પ્લેન પરના પ્રક્ષેપણ, જેમાં સીધા ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, પરિમાણ 1 છે, તો તે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં બહાર આવશે કે તેના ટ્રેસ લગભગ સમગ્ર પ્લેનને ભરે છે. પરંતુ પ્લેનનું પરિમાણ 2 છે. આ જથ્થાઓ વચ્ચેની વિસંગતતા અમને આ "વળાંક" ને ફ્રેક્ટલ તરીકે વર્ગીકૃત કરવાનો અને તેના મધ્યવર્તી (અપૂર્ણાંક) પરિમાણને ફ્રેક્ટલ કહેવાનો અધિકાર આપે છે. જો આપણે વોલ્યુમમાં કણની અસ્તવ્યસ્ત હિલચાલને ધ્યાનમાં લઈએ, તો માર્ગનું ખંડિત પરિમાણ 2 કરતા વધારે, પરંતુ 3 કરતા ઓછું હશે. માનવ ધમનીઓ, ઉદાહરણ તરીકે, આશરે 2.7 નું ખંડિત પરિમાણ ધરાવે છે. સિલિકા જેલના છિદ્ર વિસ્તારના માપન સંબંધિત લેખની શરૂઆતમાં ઉલ્લેખિત ઇવાનવના પરિણામો, જે પરંપરાગત યુક્લિડિયન ખ્યાલોના માળખામાં અર્થઘટન કરી શકાતા નથી, ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતી વખતે વાજબી સમજૂતી શોધે છે.

તેથી, સાથે ગાણિતિક બિંદુસામાન્ય શબ્દોમાં, ફ્રેક્ટલ એ એક સમૂહ છે જેના માટે હૌસડોર્ફ-બેસીકોવિચ પરિમાણ તેના ટોપોલોજીકલ પરિમાણ કરતા સખત રીતે વધારે છે અને તે અપૂર્ણાંક (અને મોટાભાગે) હોઈ શકે છે.

ખાસ કરીને એ વાત પર ભાર મૂકવો જોઈએ કે ઑબ્જેક્ટનું ખંડિત પરિમાણ તેના આકારનું વર્ણન કરતું નથી, અને જે ઑબ્જેક્ટ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે, પરંતુ વિવિધ રચના પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, તે ઘણીવાર એકબીજાથી સંપૂર્ણપણે અલગ હોય છે. ભૌતિક ખંડિત આંકડાકીય રીતે સ્વ-સમાન છે.

અપૂર્ણાંક માપન લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે જે અન્યથા સ્પષ્ટ રીતે નિર્ધારિત કરી શકાતી નથી: ઑબ્જેક્ટની અસમાનતા, અસંતુલન, ખરબચડી અથવા અસ્થિરતાની ડિગ્રી. ઉદાહરણ તરીકે, વિન્ડિંગ દરિયાકિનારો, તેની લંબાઈની અમર્યાદિતતા હોવા છતાં, તેની અંદર જ એક ખરબચડી હોય છે. મેન્ડેલબ્રોટે આસપાસની વાસ્તવિકતામાં વસ્તુઓના અપૂર્ણાંક માપની ગણતરી કરવાની રીતો દર્શાવી. તેમની ભૂમિતિની રચનામાં, તેમણે પ્રકૃતિમાં બનતા અવ્યવસ્થિત સ્વરૂપો વિશે એક કાયદો આગળ મૂક્યો. કાયદો જણાવે છે: અસ્થિરતાની ડિગ્રી વિવિધ સ્કેલ પર સ્થિર છે.

એક ખાસ પ્રકારના ફ્રેકટલ્સ છે સમય ખંડિત. 1962 માં, મેન્ડેલબ્રોટને ટેલિફોન લાઇનોમાં અવાજને દૂર કરવાના કાર્યનો સામનો કરવો પડ્યો હતો જે કમ્પ્યુટર મોડેમ માટે સમસ્યા ઊભી કરી રહી હતી. સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશનની ગુણવત્તા ભૂલોની સંભાવના પર આધારિત છે. એન્જિનિયરોએ અવાજ ઘટાડવાની સમસ્યા સાથે સંઘર્ષ કર્યો, કોયડારૂપ અને ખર્ચાળ તકનીકો સાથે આવ્યા, પરંતુ પ્રભાવશાળી પરિણામો મળ્યા નહીં. સેટ થિયરીના સ્થાપક, જ્યોર્જ કેન્ટરના કાર્યના આધારે, મેન્ડેલબ્રોટે બતાવ્યું કે અવાજનો ઉદભવ - અરાજકતાનું ઉત્પાદન - સૈદ્ધાંતિક રીતે ટાળી શકાતું નથી, તેથી તેમની સાથે વ્યવહાર કરવાની સૂચિત પદ્ધતિઓ પરિણામ લાવશે નહીં. અવાજની ઘટનામાં પેટર્નની શોધમાં, તે "કેન્ટર ડસ્ટ" મેળવે છે - ઘટનાઓનો ખંડિત ક્રમ. રસપ્રદ રીતે, ગેલેક્સીમાં તારાઓનું વિતરણ સમાન પેટર્નને અનુસરે છે:

"મેટર", એકસરખી રીતે આરંભકર્તા (સમય અક્ષનો એક ભાગ) સાથે વિતરિત થાય છે, તે કેન્દ્રત્યાગી વમળના સંપર્કમાં આવે છે, જે તેને અંતરાલના અત્યંત ત્રીજા ભાગ સુધી "સ્વીપ" કરે છે... દહીંઅસ્થિર અવસ્થાઓનો કોઈપણ કાસ્કેડ કહી શકાય, જે આખરે પદાર્થના ઘટ્ટ થવા તરફ દોરી જાય છે, અને શબ્દ કુટીર ચીઝચોક્કસ જેની અંદર વોલ્યુમ નક્કી કરી શકે છે શારીરિક લાક્ષણિકતાબને છે - દહીં પાડવાના પરિણામે - અત્યંત કેન્દ્રિત.

વાતાવરણીય અશાંતિ, ક્રસ્ટલ ગતિશીલતા વગેરે જેવી અસ્તવ્યસ્ત ઘટનાઓ દર્શાવે છે સમાન વર્તનજુદા જુદા સમયના ભીંગડા પર, જેમ કે વસ્તુઓ કે જે સ્કેલ અપરિવર્તક હોય છે તે જ રીતે વિવિધ અવકાશી ભીંગડા પર સમાન માળખાકીય પેટર્ન દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અમે કેટલીક લાક્ષણિક પરિસ્થિતિઓ આપીશું જ્યાં ખંડિત બંધારણ વિશેના વિચારોનો ઉપયોગ કરવો ઉપયોગી છે. કોલંબિયા યુનિવર્સિટીના પ્રોફેસર ક્રિસ્ટોફર સ્કોલ્ઝ ફોર્મ અને સ્ટ્રક્ચરના અભ્યાસમાં વિશેષતા ધરાવતા હતા નક્કરપૃથ્વી, તેમણે ધરતીકંપોનો અભ્યાસ કર્યો. 1978માં, તેમણે મેન્ડેલબ્રોટનું પુસ્તક ફ્રેકલ્સઃ શેપ, રેન્ડમનેસ એન્ડ ડાયમેન્શન વાંચ્યું. » અને ભૌગોલિક પદાર્થોના વર્ણન, વર્ગીકરણ અને માપન માટે સિદ્ધાંતને લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. સ્કોલ્ઝને જાણવા મળ્યું કે ખંડિત ભૂમિતિ વિજ્ઞાનને પ્રદાન કરે છે અસરકારક પદ્ધતિપૃથ્વીના ચોક્કસ ગઠ્ઠાવાળા લેન્ડસ્કેપનું વર્ણન. ગ્રહના લેન્ડસ્કેપ્સનું ખંડિત પરિમાણ તેને સમજવા માટેના દરવાજા ખોલે છે સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ. ધાતુશાસ્ત્રીઓએ અન્ય સ્કેલ પર સમાન વસ્તુ શોધી કાઢી છે - વિવિધ પ્રકારના સ્ટીલની સપાટી પર. ખાસ કરીને, ધાતુની સપાટીનું ખંડિત પરિમાણ ઘણીવાર તેની શક્તિનો નિર્ણય કરવા દે છે. મોટી સંખ્યામાં ખંડિત પદાર્થો સ્ફટિકીકરણની ઘટના પેદા કરે છે. ક્રિસ્ટલ વૃદ્ધિ દરમિયાન ઉદ્ભવતા ફ્રેકટલ્સનો સૌથી સામાન્ય પ્રકાર ડેંડ્રાઇટ્સ છે; તેઓ જીવંત પ્રકૃતિમાં અત્યંત વ્યાપક છે. નેનોપાર્ટિકલ્સના જોડાણો ઘણીવાર "લેવી ડસ્ટ" ના અમલીકરણનું નિદર્શન કરે છે. આ જોડાણો, શોષિત દ્રાવક સાથે સંયોજનમાં, પારદર્શક કોમ્પેક્ટ બનાવે છે - લેવી ચશ્મા, સંભવિત મહત્વપૂર્ણ સામગ્રીફોટોનિક્સ

કારણ કે ફ્રેકટલ્સ પ્રાથમિકમાં વ્યક્ત થતા નથી ભૌમિતિક આકારો, અને ગાણિતીક પ્રક્રિયાઓના સમૂહોમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે ગણિતનો આ ક્ષેત્ર શક્તિશાળી કમ્પ્યુટર્સના આગમન અને વિકાસ સાથે કૂદકે ને ભૂસકે વિકાસ થવા લાગ્યો. અરાજકતા, બદલામાં, નવાને જન્મ આપ્યો કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી, એક ખાસ ગ્રાફિક ટેકનિક કે જે ચોક્કસ પ્રકારના ડિસઓર્ડર દ્વારા પેદા થતી અદ્ભુત જટિલતાની અદ્ભુત રચનાઓનું પુનઃઉત્પાદન કરવામાં સક્ષમ છે. ઈન્ટરનેટ અને પર્સનલ કોમ્પ્યુટરના યુગમાં, મેન્ડેલબ્રોટના સમયમાં જે ખૂબ જ મુશ્કેલ હતું તે કોઈપણ માટે સરળતાથી સુલભ થઈ ગયું છે. પરંતુ તેમના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વની બાબત એ હતી કે, અલબત્ત, સુંદર ચિત્રોની રચના નથી, પરંતુ નિષ્કર્ષ એ છે કે આ ગાણિતિક ઉપકરણ જટિલ વર્ણન માટે યોગ્ય છે. કુદરતી ઘટનાઅને પ્રક્રિયાઓ કે જે અગાઉ વિજ્ઞાનમાં બિલકુલ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી ન હતી. અલ્ગોરિધમિક તત્વોનો ભંડાર અખૂટ છે.

એકવાર તમે ફ્રેકટલ્સની ભાષામાં નિપુણતા મેળવી લો, પછી તમે ક્લાઉડના આકારને સ્પષ્ટ અને સરળ રીતે વર્ણવી શકો છો જેમ કે આર્કિટેક્ટ પરંપરાગત ભૂમિતિની ભાષાનો ઉપયોગ કરતી રેખાંકનોનો ઉપયોગ કરીને ઇમારતનું વર્ણન કરે છે.<...>બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે જાહેર કર્યાને માત્ર થોડા દાયકાઓ વીતી ગયા છે: "પ્રકૃતિની ભૂમિતિ ખંડિત છે!" આજે આપણે પહેલેથી જ ઘણું બધું ધારી શકીએ છીએ, એટલે કે અપવાદ વિના તમામ કુદરતી વસ્તુઓના નિર્માણનો પ્રાથમિક સિદ્ધાંત છે.

નિષ્કર્ષમાં, ચાલો હું તમારા ધ્યાન પર આ નિષ્કર્ષને દર્શાવતા ફોટોગ્રાફ્સનો સમૂહ રજૂ કરું, અને આનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવેલ ફ્રેકટલ્સ કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ ફ્રેક્ટલ એક્સપ્લોરર. અમારો આગળનો લેખ ક્રિસ્ટલ ફિઝિક્સમાં ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ કરવાની સમસ્યાને સમર્પિત કરવામાં આવશે.

પોસ્ટ સ્ક્રિપ્ટમ

1994 થી 2013 સુધી, સ્થાનિક વૈજ્ઞાનિકોનું એક અનોખું કાર્ય, "એટલાસ ઓફ ટેમ્પોરલ વેરિએશન્સ ઇન નેચરલ એન્થ્રોપોજેનિક એન્ડ સોશિયલ પ્રોસેસ," પાંચ ખંડોમાં પ્રકાશિત થયું હતું - સામગ્રીનો અપ્રતિમ સ્ત્રોત જેમાં અવકાશ, બાયોસ્ફિયર, લિથોસ્ફિયર, વાતાવરણ, હાઇડ્રોસ્ફિયરના મોનિટરિંગ ડેટાનો સમાવેશ થાય છે. , સામાજિક અને તકનીકી ક્ષેત્રો અને માનવ સ્વાસ્થ્ય અને જીવનની ગુણવત્તા સાથે સંબંધિત ક્ષેત્રો. ટેક્સ્ટ ડેટાની વિગતો અને તેમની પ્રક્રિયાના પરિણામો પ્રદાન કરે છે, અને સમય શ્રેણીની ગતિશીલતા અને તેમના ટુકડાઓની લાક્ષણિકતાઓની તુલના કરે છે. પરિણામોની એકીકૃત પ્રસ્તુતિ પ્રક્રિયાઓની ગતિશીલતા અને તેમની વચ્ચેના કારણ-અને-અસર સંબંધોના સામાન્ય અને વ્યક્તિગત લક્ષણોને ઓળખવા માટે તુલનાત્મક પરિણામો મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. પ્રાયોગિક સામગ્રી બતાવે છે કે વિવિધ ક્ષેત્રોમાં પ્રક્રિયાઓ, પ્રથમ, સમાન હોય છે, અને બીજું, એક બીજા સાથે વધુ કે ઓછા જોડાયેલા હોય છે.

તેથી, એટલાસે પરિણામોનો સારાંશ આપ્યો આંતરશાખાકીય સંશોધનઅને સમય અને જગ્યાની વિશાળ શ્રેણીમાં સંપૂર્ણપણે અલગ ડેટાનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ રજૂ કર્યું. પુસ્તક બતાવે છે કે "વહે છે પૃથ્વીના ગોળાપ્રક્રિયાઓ મોટી સંખ્યામાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરનારા પરિબળોને કારણે થાય છે, જે વિવિધ વિસ્તારોમાં (અને માં અલગ અલગ સમય) વિવિધ પ્રતિક્રિયાઓનું કારણ બને છે," જે સૂચવે છે કે "ભૌગોલિક, અવકાશ, સામાજિક, આર્થિક અને તબીબી અવલોકનોના વિશ્લેષણ માટે સંકલિત અભિગમની જરૂરિયાત." આ મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ કાર્ય ચાલુ રાખવામાં આવશે તેવી આશા વ્યક્ત કરવાનું બાકી છે.

જ્યારે હું નદીની સપાટી પર તરંગોના દખલને જોઈ રહ્યો હતો ત્યારે મને આ ખંડિતની શોધ થઈ. તરંગ કિનારા તરફ આગળ વધે છે, પ્રતિબિંબિત થાય છે અને પોતાના પર સુપરઇમ્પોઝ થાય છે. તરંગો બનાવે છે તે પેટર્નમાં કોઈ ક્રમ છે? ચાલો તેને શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ. ચાલો સમગ્ર તરંગને નહીં, પરંતુ તેની ગતિના વેક્ટરને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો પ્રયોગને સરળ બનાવવા માટે “કિનારા” ને સરળ બનાવીએ.

પ્રયોગ શાળાની નોટબુકમાંથી નિયમિત કાગળના ટુકડા પર કરી શકાય છે.

અથવા અલ્ગોરિધમનો JavaScript અમલીકરણનો ઉપયોગ કરીને.

બાજુઓ q અને p સાથે એક લંબચોરસ લો. ચાલો એક કિરણ (વેક્ટર) ખૂણેથી ખૂણે મોકલીએ. બીમ લંબચોરસની એક બાજુએ ખસે છે, પ્રતિબિંબિત થાય છે અને આગળની બાજુએ જવાનું ચાલુ રાખે છે. જ્યાં સુધી બીમ બાકીના ખૂણાઓમાંથી એકને હિટ ન કરે ત્યાં સુધી આ ચાલુ રહે છે. જો બાજુ q અને p નું કદ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો એક પેટર્ન પ્રાપ્ત થાય છે (જેમ કે આપણે પછી જોઈશું - એક ખંડિત).

ચિત્રમાં આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ અલ્ગોરિધમ કેવી રીતે કામ કરે છે.

Gif એનિમેશન:

સૌથી આશ્ચર્યજનક બાબત એ છે કે સાથે વિવિધ બાજુઓલંબચોરસ - અમને વિવિધ પેટર્ન મળે છે.

હું આ પેટર્નને ફ્રેકટલ્સ કેમ કહું? જેમ તમે જાણો છો, "ફ્રેકટલ" છે ભૌમિતિક આકૃતિ, જે સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મો ધરાવે છે. ચિત્રનો ભાગ સમગ્ર ચિત્રને પુનરાવર્તિત કરે છે. જો તમે બાજુઓ Q અને P ના પરિમાણોમાં નોંધપાત્ર વધારો કરો છો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે આ પેટર્નમાં સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મો છે.

ચાલો તેને વધારવાનો પ્રયત્ન કરીએ. અમે તેને ચાલાકીપૂર્વક વધારીશું. ઉદાહરણ તરીકે 17x29 પેટર્ન લઈએ. નીચેની પેટર્ન હશે: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
એક બાજુ: F(n);
બીજી બાજુ: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
ફિબોનાકી નંબરોની જેમ, માત્ર ક્રમના જુદા જુદા પ્રથમ અને બીજા સભ્યો સાથે: F(0)=17, F(1)=29.

જો મોટી બાજુ સમાન હોય, તો પરિણામ નીચેની પેટર્ન છે:

જો ટૂંકી બાજુ સમાન હોય:

જો બંને બાજુઓ વિષમ હોય, તો આપણને સપ્રમાણ પેટર્ન મળે છે:

બીમ કેવી રીતે શરૂ થાય છે તેના આધારે:

અથવા

હું આ લંબચોરસમાં શું થાય છે તે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

ચાલો ચોરસને લંબચોરસથી અલગ કરીએ અને જોઈએ કે સરહદ પર શું થાય છે.

બીમ તે જ બિંદુથી બહાર નીકળે છે જ્યાંથી તે દાખલ થયો હતો.

તે જ સમયે, કિરણ જેમાંથી પસાર થાય છે તે વર્ગોની સંખ્યા હંમેશા એક સમાન સંખ્યા હોય છે.

તેથી, જો તમે લંબચોરસમાંથી ચોરસ કાપી નાખો, તો ફ્રેક્ટલનો એક અપરિવર્તિત ભાગ રહેશે.

જો તમે શક્ય તેટલી વાર ફ્રેક્ટલમાંથી ચોરસને અલગ કરો છો, તો તમે ફ્રેક્ટલની "શરૂઆત" પર પહોંચી શકો છો.

શું તે ફિબોનાકી સર્પાકાર જેવું લાગે છે?

ફિબોનાકી નંબરોમાંથી પણ ફ્રેકટલ્સ મેળવી શકાય છે.

ગણિતમાં, ફિબોનાકી સંખ્યાઓ (ફિબોનાકી શ્રેણી, ફિબોનાકી ક્રમ) એ સંખ્યાઓ છે:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
વ્યાખ્યા મુજબ, ફિબોનાકી ક્રમમાં પ્રથમ બે સંખ્યાઓ 0 અને 1 છે, અને દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના બેના સરવાળાની બરાબર છે.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

ચાલો જઈએ:

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, આસ્પેક્ટ રેશિયો ગોલ્ડન રેશિયોની જેટલો નજીક આવે છે, તેટલી ફ્રેકટલની વિગત વધારે છે.

આ કિસ્સામાં, ફ્રેક્ટલ ફ્રેક્ટલના ભાગને પુનરાવર્તિત કરે છે, જે વધીને .

ફિબોનાકી નંબરોને બદલે, તમે અતાર્કિક બાજુના કદનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

આપણને એ જ ફ્રેકટલ મળે છે.

જો તમે બીમને અલગ ખૂણા પર શૂટ કરો છો તો સમાન ફ્રેકટલ્સ ચોરસમાં મેળવી શકાય છે:

તમે નિષ્કર્ષમાં શું કહી શકો?
અરાજકતા પણ ઓર્ડર છે. તેના પોતાના કાયદા સાથે. આ ક્રમનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી, પરંતુ અભ્યાસ કરવા માટે તદ્દન યોગ્ય છે. અને વિજ્ઞાનની સમગ્ર ઈચ્છા આ દાખલાઓ શોધવાની છે. અને આખરે મોટું ચિત્ર જોવા માટે પઝલના ટુકડાને જોડો.
ચાલો નદીની સપાટી જોઈએ. જો તમે તેના પર પથ્થર ફેંકશો, તો મોજા આવશે. એવા વર્તુળો કે જે અભ્યાસ માટે તદ્દન અનુકૂળ છે. ઝડપ, અવધિ, તરંગલંબાઇ - આ બધાની ગણતરી કરી શકાય છે. પરંતુ તરંગ કિનારા સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી તે પ્રતિબિંબિત થતું નથી અને પોતાને ઓવરલેપ કરવાનું શરૂ કરે છે. અમને અરાજકતા (દખલગીરી) મળે છે, જેનો અભ્યાસ કરવો પહેલેથી જ મુશ્કેલ છે.
જો આપણે વિરુદ્ધ દિશામાંથી આગળ વધીએ તો? તરંગના વર્તનને શક્ય તેટલું સરળ બનાવો. સરળ બનાવો, પેટર્ન શોધો અને પછી તેનું વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરો સંપૂર્ણ ચિત્રશું થઈ રહ્યું છે.
શું સરળ બનાવી શકાય? દેખીતી રીતે, વળાંક વિના, પ્રતિબિંબીત સપાટીને સીધી બનાવો. આગળ, તરંગને બદલે, ફક્ત તરંગ ગતિ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરો. સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ એક સરળ અલ્ગોરિધમનો બનાવવા અને કમ્પ્યુટર પર પ્રક્રિયાનું અનુકરણ કરવા માટે પૂરતું છે. અને તે કાગળના સામાન્ય ચેકર્ડ ટુકડા પર તરંગ વર્તનનું "મોડલ" બનાવવા માટે પણ પૂરતું છે.
પરિણામે આપણી પાસે શું છે? પરિણામે, આપણે જોઈએ છીએ કે તરંગ પ્રક્રિયાઓમાં (નદીની સપાટી પર સમાન લહેર) આપણી પાસે અંધાધૂંધી નથી, પરંતુ એકબીજા પર ફ્રેકટલ્સ (સ્વ-સમાન રચનાઓ) નું ઓવરલે છે.

ચાલો બીજા પ્રકારના તરંગોનો વિચાર કરીએ. જેમ જાણીતું છે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગત્રણ વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે - વેવ વેક્ટર અને ઇલેક્ટ્રિક અને વોલ્ટેજ વેક્ટર ચુંબકીય ક્ષેત્ર. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, જો આપણે બંધ પ્રદેશમાં આવા તરંગોને "પકડીએ" તો, જ્યાં આ વેક્ટર એકબીજાને છેદે છે, તો આપણને એકદમ સ્પષ્ટ બંધ બંધારણ મળે છે. કદાચ પ્રાથમિક કણો એ જ ફ્રેકટલ્સ છે?

1 થી 80 (6723x6723 px) સુધીના લંબચોરસમાં તમામ ફ્રેકટલ્સ:

ફ્રેકટલમાં બંધ વિસ્તારો (6723x6723 px):

માત્ર એક સુંદર ફ્રેકટલ (4078x2518 px):

ફ્રેકટલ્સની સંપૂર્ણ વિવિધતા પ્રસ્તુત કરવા માટે, તેમના સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત વર્ગીકરણનો આશરો લેવો અનુકૂળ છે.

2.1 ભૌમિતિક ભંગાણ

આ વર્ગના ફ્રેકટલ્સ સૌથી વધુ દ્રશ્ય છે. દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં, તેઓ કેટલીક તૂટેલી રેખા (અથવા ત્રિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં સપાટી) નો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જેને કહેવાય છે. જનરેટર. અલ્ગોરિધમના એક પગલામાં, પોલીલાઈન બનાવતા દરેક સેગમેન્ટને યોગ્ય સ્કેલ પર જનરેટર પોલીલાઈનથી બદલવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાના અનંત પુનરાવર્તનના પરિણામે, ભૌમિતિક ફ્રેકટલ પ્રાપ્ત થાય છે.

ફિગ 1. કોચ ટ્રાયડ વળાંકનું બાંધકામ.

ચાલો આ ખંડિત પદાર્થોમાંથી એકને ધ્યાનમાં લઈએ - ત્રિઆદિ કોચ વળાંક. વળાંકનું નિર્માણ એકમ લંબાઈ (ફિગ. 1) ના સેગમેન્ટથી શરૂ થાય છે - આ કોચ વળાંકની 0મી પેઢી છે. આગળ, દરેક લિંક (શૂન્ય પેઢીમાં એક સેગમેન્ટ) દ્વારા બદલવામાં આવે છે રચનાત્મક તત્વ, દ્વારા ફિગ. 1 માં નિયુક્ત n=1. આ રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે, કોચ વળાંકની આગામી પેઢી પ્રાપ્ત થાય છે. 1લી પેઢીમાં, આ ચાર સીધી લિંક્સનો વળાંક છે, દરેક લંબાઈ 1/3 . 3 જી પેઢી મેળવવા માટે, સમાન ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે - દરેક લિંકને ઘટાડતા ઘટક સાથે બદલવામાં આવે છે. તેથી, દરેક અનુગામી પેઢી મેળવવા માટે, પાછલી પેઢીની તમામ લિંક્સને ઘટાડાના ઘટક સાથે બદલવી આવશ્યક છે. વળાંક n- કોઈપણ સીમિત માટે મી પેઢી nકહેવાય છે પ્રીફ્રેક્ટલ. આકૃતિ 1 વળાંકની પાંચ પેઢીઓ દર્શાવે છે. મુ nજેમ જેમ કોચ વળાંક અનંતની નજીક આવે છે, તે ખંડિત પદાર્થ બની જાય છે.

આકૃતિ 2. હાર્ટર-હેથવે "ડ્રેગન" નું બાંધકામ.

અન્ય ફ્રેક્ટલ ઑબ્જેક્ટ મેળવવા માટે, તમારે બાંધકામના નિયમો બદલવાની જરૂર છે. ઘડતા તત્વને કાટખૂણો પર જોડાયેલા બે સમાન સેગમેન્ટ રહેવા દો. ઝીરોથ જનરેશનમાં, અમે એકમ સેગમેન્ટને આ જનરેટીંગ એલિમેન્ટ સાથે બદલીએ છીએ જેથી કોણ ટોચ પર હોય. અમે કહી શકીએ કે આવા રિપ્લેસમેન્ટ સાથે લિંકની મધ્યમાં વિસ્થાપન છે. અનુગામી પેઢીઓનું નિર્માણ કરતી વખતે, આ નિયમનું પાલન કરવામાં આવે છે: ડાબી બાજુની પ્રથમ કડીને બનાવતા તત્વ સાથે બદલવામાં આવે છે જેથી કડીની મધ્ય હિલચાલની દિશાની ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવે, અને જ્યારે અનુગામી લિંક્સને બદલતી વખતે, દિશાઓ સેગમેન્ટ્સના મધ્યનું વિસ્થાપન વૈકલ્પિક હોવું જોઈએ. આકૃતિ 2 ઉપર વર્ણવેલ સિદ્ધાંત અનુસાર બાંધવામાં આવેલ વળાંકની પ્રથમ કેટલીક પેઢીઓ અને 11મી પેઢી દર્શાવે છે. ખંડિત વળાંક મર્યાદિત કરો (એટ nઅનંત તરફ વલણ) કહેવાય છે હાર્ટર-હેથવેનો ડ્રેગન .

કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં, વૃક્ષો, છોડો અને દરિયાકિનારાની છબીઓ મેળવવા માટે ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ જરૂરી છે. દ્વિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ ત્રિ-પરિમાણીય ટેક્સચર (ઓબ્જેક્ટની સપાટી પરના પેટર્ન) બનાવવા માટે થાય છે.

2.2 બીજગણિત ખંડિત

આ ફ્રેકટલ્સનું સૌથી મોટું જૂથ છે. તેઓ માં બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે n- પરિમાણીય જગ્યાઓ. દ્વિ-પરિમાણીય પ્રક્રિયાઓ સૌથી વધુ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. બિનરેખીય પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને એક અલગ ગતિશીલ પ્રણાલી તરીકે અર્થઘટન કરતા, વ્યક્તિ આ સિસ્ટમોના સિદ્ધાંતની પરિભાષાનો ઉપયોગ કરી શકે છે: તબક્કો પોટ્રેટ, સ્થિર પ્રક્રિયા, આકર્ષનારવગેરે

તે જાણીતું છે કે બિનરેખીય ગતિશીલ સિસ્ટમોમાં ઘણી સ્થિર સ્થિતિઓ હોય છે. ચોક્કસ સંખ્યાના પુનરાવૃત્તિઓ પછી ગતિશીલ સિસ્ટમ પોતાને જે સ્થિતિમાં શોધે છે તે તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર આધારિત છે. તેથી, દરેક સ્થિર રાજ્ય (અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, આકર્ષનાર) પાસે પ્રારંભિક રાજ્યોનો ચોક્કસ પ્રદેશ હોય છે, જેમાંથી સિસ્ટમ વિચારણા હેઠળના અંતિમ રાજ્યોમાં આવશ્યકપણે આવશે. આમ, સિસ્ટમના તબક્કાની જગ્યા વિભાજિત કરવામાં આવે છે આકર્ષણના વિસ્તારોઆકર્ષનારા જો તબક્કાની જગ્યા દ્વિ-પરિમાણીય હોય, તો આકર્ષણના વિસ્તારોને વિવિધ રંગોથી રંગીને, વ્યક્તિ મેળવી શકે છે. રંગ તબક્કો પોટ્રેટઆ સિસ્ટમ (પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા). રંગ પસંદગી અલ્ગોરિધમ બદલીને, તમે વિચિત્ર મલ્ટીકલર પેટર્ન સાથે જટિલ ફ્રેકટલ પેટર્ન મેળવી શકો છો. ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે આશ્ચર્યજનક બાબત એ હતી કે આદિમ ગાણિતીક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ જ જટિલ બિન-તુચ્છ રચનાઓ બનાવવાની ક્ષમતા.

ફિગ 3. મેન્ડેલબ્રોટ સેટ.

ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહને ધ્યાનમાં લો (ફિગ. 3 અને ફિગ. 4 જુઓ). તેના બાંધકામ માટેનું અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે અને તે સરળ પુનરાવર્તિત અભિવ્યક્તિ પર આધારિત છે:

ઝેડ = ઝેડ[i] * ઝેડ[i] + સી,

જ્યાં ઝેડહું અને સી- જટિલ ચલો. દરેક પ્રારંભિક બિંદુ માટે પુનરાવર્તનો કરવામાં આવે છે સીલંબચોરસ અથવા ચોરસ પ્રદેશ - જટિલ પ્લેનનો સબસેટ. સુધી પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે ઝેડ[i] ત્રિજ્યા 2 ના વર્તુળની બહાર જશે નહીં, જેનું કેન્દ્ર બિંદુ (0,0) પર આવેલું છે, (આનો અર્થ એ છે કે ગતિશીલ પ્રણાલીનું આકર્ષનાર અનંત પર છે), અથવા પુનરાવર્તનની પૂરતી મોટી સંખ્યા પછી (ઉદાહરણ તરીકે, 200-500) ઝેડ[i] વર્તુળ પરના અમુક બિંદુ પર કન્વર્જ થશે. જે દરમિયાન પુનરાવર્તનોની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે ઝેડ[i] વર્તુળની અંદર રહી, તમે બિંદુનો રંગ સેટ કરી શકો છો સી(જો ઝેડ[i] પુનરાવર્તનની પૂરતી મોટી સંખ્યા માટે વર્તુળની અંદર રહે છે, પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા અટકે છે અને આ રાસ્ટર બિંદુ કાળો રંગવામાં આવે છે).

ફિગ. 4. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહની સીમાનો એક વિભાગ, 200 વખત વિસ્તૃત.

ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમ કહેવાતા મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહનો અંદાજ આપે છે. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહમાં પોઈન્ટ છે જે દરમિયાન અનંતપુનરાવર્તનોની સંખ્યા અનંત સુધી જતી નથી (બિંદુઓ કાળા છે). સમૂહની સીમા સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ (આ તે છે જ્યાં જટિલ રચનાઓ) માટે અનંત પર જાઓ અંતિમ સંખ્યાપુનરાવૃત્તિઓ, અને સમૂહની બહાર પડેલા બિંદુઓ અનેક પુનરાવર્તનો (સફેદ પૃષ્ઠભૂમિ) પછી અનંતમાં જાય છે.

2.3 સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

ફ્રેક્ટલ્સનો બીજો જાણીતો વર્ગ સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ છે, જે જો તેના કેટલાક પરિમાણોને પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં અવ્યવસ્થિત રીતે બદલવામાં આવે તો પ્રાપ્ત થાય છે. આ કિસ્સામાં, પરિણામી વસ્તુઓ કુદરતી વસ્તુઓ જેવી જ છે - અસમપ્રમાણતાવાળા વૃક્ષો, કઠોર દરિયાકિનારા, વગેરે. દ્વિ-પરિમાણીય સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ ભૂપ્રદેશ અને દરિયાઈ સપાટીના મોડેલિંગમાં થાય છે.

ફ્રેકટલ્સનું અન્ય વર્ગીકરણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રેકટલ્સને ડિટરમિનિસ્ટિક (બીજગણિતીય અને ભૌમિતિક) અને નોન-ડિટરમિનિસ્ટિક (સ્ટોચેસ્ટિક)માં વિભાજિત કરવું.