ભૌમિતિક આકૃતિ ખંડિત. અરાજકતા અને વ્યવસ્થા: ખંડિત વિશ્વ

મ્યુનિસિપલ બજેટ શૈક્ષણિક સંસ્થા

"સિવરસ્કાયા સરેરાશ માધ્યમિક શાળાનંબર 3"

સંશોધન કાર્ય

ગણિતમાં.

કામ કર્યું

8મા-1મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી

એમેલિન પાવેલ

વૈજ્ઞાનિક સુપરવાઈઝર

ગણિત શિક્ષક

તુપિત્સિના નતાલ્યા અલેકસેવના

સિવર્સ્કી ગામ

2014

ગણિત સૌંદર્ય અને સંવાદિતાથી ભરેલું છે,

તમારે ફક્ત આ સુંદરતા જોવાની જરૂર છે.

બી. મેન્ડેલબ્રોટ

પરિચય________________________________________________3-4pp.

પ્રકરણ 1. ફ્રેકટલ્સના ઉદભવનો ઇતિહાસ.______5-6pp.

પ્રકરણ 2. ફ્રેકટલ્સનું વર્ગીકરણ ______6-10pp.

ભૌમિતિક ભંગાણ

બીજગણિત ખંડિત

સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

પ્રકરણ 3. "પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ"______11-13pp.

પ્રકરણ 4. ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ_______________13-15pp.

પ્રકરણ 5 વ્યવહારુ કાર્ય__________________16-24pp.

નિષ્કર્ષ_________________________________25.પાનું

સંદર્ભો અને ઇન્ટરનેટ સંસાધનોની સૂચિ________26 પૃષ્ઠો.

પરિચય

ગણિત,

જો તમે તેને યોગ્ય રીતે જુઓ,

માત્ર સત્ય જ પ્રતિબિંબિત કરતું નથી,

પણ અનુપમ સુંદરતા.

બર્ટ્રાન્ડ રસેલ

શબ્દ "ફ્રેક્ટલ" એ એવી વસ્તુ છે જેના વિશે ઘણા લોકો આ દિવસોમાં વાત કરે છે, વૈજ્ઞાનિકોથી લઈને હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ સુધી. તે ગણિતના ઘણા પાઠ્યપુસ્તકોના કવર પર દેખાય છે, વૈજ્ઞાનિક સામયિકોઅને કોમ્પ્યુટર સાથે બોક્સ સોફ્ટવેર. ફ્રેકટલ્સની રંગીન છબીઓ આજે દરેક જગ્યાએ મળી શકે છે: પોસ્ટકાર્ડ્સ, ટી-શર્ટથી લઈને વ્યક્તિગત કમ્પ્યુટરના ડેસ્કટોપ પરના ચિત્રો સુધી. તો, આ રંગીન આકારો શું છે જે આપણે આસપાસ જોઈએ છીએ?

ગણિત - પ્રાચીન વિજ્ઞાન. મોટાભાગના લોકોને એવું લાગતું હતું કે પ્રકૃતિમાં ભૂમિતિ આટલી જ મર્યાદિત છે સરળ આંકડા, જેમ કે રેખા, વર્તુળ, બહુકોણ, ગોળા, વગેરે. જેમ તે બહાર આવ્યું છે, ઘણા કુદરતી સિસ્ટમોએટલા જટિલ છે કે સામાન્ય ભૂમિતિની માત્ર પરિચિત વસ્તુઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું મોડેલ કરવું નિરાશાજનક લાગે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે ભૂમિતિના સંદર્ભમાં પર્વતમાળા અથવા વૃક્ષના તાજનું મોડેલ કેવી રીતે બનાવી શકો છો? તે વિવિધતાનું વર્ણન કેવી રીતે કરવું જૈવિક વિવિધતાકે આપણે છોડ અને પ્રાણીઓની દુનિયામાં અવલોકન કરીએ છીએ? રુધિરાભિસરણ તંત્રની જટિલતાની કલ્પના કેવી રીતે કરવી, જેમાં ઘણી રુધિરકેશિકાઓ અને જહાજોનો સમાવેશ થાય છે અને દરેક કોષમાં રક્ત પહોંચાડે છે માનવ શરીર? ફેફસાં અને કિડનીની રચનાની કલ્પના કરો, જે ડાળીઓવાળા તાજવાળા વૃક્ષોની રચનામાં યાદ અપાવે છે?

આ પ્રશ્નોના અન્વેષણ માટે ફ્રેકલ્સ યોગ્ય સાધનો છે. ઘણીવાર આપણે પ્રકૃતિમાં જે જોઈએ છીએ તે સમાન પેટર્નના અનંત પુનરાવર્તન સાથે આપણને ષડયંત્ર બનાવે છે, ઘણી વખત વધે છે અથવા ઘટાડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઝાડની શાખાઓ છે. આ શાખાઓ પર નાની શાખાઓ વગેરે છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, બ્રાન્ચિંગ એલિમેન્ટ અનંત રીતે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે, નાના અને નાના બને છે. ફોટોગ્રાફ જોતી વખતે આ જ વસ્તુ જોઈ શકાય છે. પર્વતીય ભૂપ્રદેશ. પર્વતમાળાની થોડી નજીક ઝૂમ કરવાનો પ્રયાસ કરો --- તમે ફરીથી પર્વતો જોશો. આ રીતે ફ્રેકટલ્સની સ્વ-સમાનતાની લાક્ષણિકતાની મિલકત પોતાને પ્રગટ કરે છે.

અસંખ્ય એપ્લિકેશનના અભ્યાસ અને ગણિતના ક્ષેત્રમાં, ફ્રેકટલ્સનો અભ્યાસ અદ્ભુત શક્યતાઓ ખોલે છે. ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ ખૂબ જ વ્યાપક છે! છેવટે, આ વસ્તુઓ એટલી સુંદર છે કે તેનો ઉપયોગ ડિઝાઇનર્સ, કલાકારો દ્વારા કરવામાં આવે છે, તેમની મદદથી ગ્રાફિક્સમાં ઘણા તત્વો દોરવામાં આવે છે: વૃક્ષો, વાદળો, પર્વતો વગેરે. પરંતુ ઘણા સેલ ફોનમાં ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ એન્ટેના તરીકે પણ થાય છે.

ઘણા ચેઓલોજિસ્ટ્સ (વૈજ્ઞાનિકો કે જેઓ ફ્રેકટલ્સ અને અરાજકતાનો અભ્યાસ કરે છે) માટે આ સરળ નથી નવો વિસ્તારગણિત, સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, કલા અને કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીને જોડતું જ્ઞાન એ એક ક્રાંતિ છે. આ એક નવા પ્રકારની ભૂમિતિની શોધ છે, ભૂમિતિ જે આપણી આસપાસની દુનિયાનું વર્ણન કરે છે અને જે માત્ર પાઠ્યપુસ્તકોમાં જ નહીં, પણ પ્રકૃતિમાં અને અનહદ બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ જોઈ શકાય છે..

મારા કામમાં, મેં સૌંદર્યની દુનિયાને "સ્પર્શ" કરવાનું પણ નક્કી કર્યું અને મારા માટે નક્કી કર્યું...

કાર્યનો હેતુ: એવી વસ્તુઓ બનાવવી કે જેની છબીઓ કુદરતી સાથે ખૂબ સમાન હોય.

સંશોધન પદ્ધતિઓ: તુલનાત્મક વિશ્લેષણ, સંશ્લેષણ, મોડેલિંગ.

કાર્યો:

બી. મેન્ડેલબ્રોટની વિભાવના, મૂળ ઇતિહાસ અને સંશોધન સાથે પરિચિતતા,

જી. કોચ, વી. સિઅરપિન્સકી અને અન્ય;

વિવિધ પ્રકારના ફ્રેક્ટલ સેટ સાથે પરિચય;

આ મુદ્દા પર લોકપ્રિય વૈજ્ઞાનિક સાહિત્યનો અભ્યાસ કરવો, તેનાથી પરિચિત થવું

વૈજ્ઞાનિક પૂર્વધારણાઓ;

આસપાસના વિશ્વના ખંડિતતાના સિદ્ધાંતની પુષ્ટિ શોધવી;

અન્ય વિજ્ઞાનમાં અને વ્યવહારમાં ફ્રેકટલ્સના ઉપયોગનો અભ્યાસ કરવો;

તમારી પોતાની ફ્રેકટલ ઈમેજો બનાવવા માટે એક પ્રયોગ હાથ ધરવો.

મૂળભૂત પ્રશ્નકામ કરે છે

એ દર્શાવવા માટે કે ગણિત એ શુષ્ક, આત્મા વિનાનો વિષય નથી; તે વ્યક્તિના આધ્યાત્મિક વિશ્વને વ્યક્તિગત રીતે અને સમગ્ર સમાજમાં વ્યક્ત કરી શકે છે.

સંશોધનનો વિષય: ખંડિત ભૂમિતિ.

અભ્યાસનો હેતુ: ગણિત અને વાસ્તવિક દુનિયામાં ખંડિત.

પૂર્વધારણા: વાસ્તવિક દુનિયામાં જે અસ્તિત્વમાં છે તે બધું ખંડિત છે.

સંશોધન પદ્ધતિઓ: વિશ્લેષણાત્મક, શોધ.

સુસંગતતાઉલ્લેખિત વિષય નક્કી કરવામાં આવે છે, સૌ પ્રથમ, સંશોધનના વિષય દ્વારા, જે ખંડિત ભૂમિતિ છે.

અપેક્ષિત પરિણામો:કાર્ય દરમિયાન, હું ગણિતના ક્ષેત્રમાં મારા જ્ઞાનને વિસ્તારી શકીશ, ફ્રેકટલ ભૂમિતિની સુંદરતા જોઈ શકીશ અને મારા પોતાના ફ્રેકટલ્સ બનાવવાનું કામ શરૂ કરીશ.

કાર્યનું પરિણામ સર્જન થશે કમ્પ્યુટર પ્રસ્તુતિ, ન્યૂઝલેટર અને પુસ્તિકા.

પ્રકરણ 1. ઇતિહાસ

બી જ્યારે મેન્ડેલબ્રોટ

બેનોઇટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા "ફ્રેક્ટલ" ની વિભાવનાની શોધ કરવામાં આવી હતી. આ શબ્દ લેટિન "ફ્રેક્ટસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "તૂટેલા, તૂટેલા".

ખંડિત (lat. fractus - કચડી, તૂટેલી, તૂટેલી) એ એક શબ્દ છે જેનો અર્થ એક જટિલ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે સ્વ-સમાનતાની મિલકત ધરાવે છે, એટલે કે, ઘણા ભાગોથી બનેલું છે, જેમાંથી દરેક સમગ્ર આકૃતિ સમાન છે.

ગાણિતિક પદાર્થો કે જેનો તે ઉલ્લેખ કરે છે તે અત્યંત રસપ્રદ ગુણધર્મો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. સામાન્ય ભૂમિતિમાં, રેખામાં એક પરિમાણ હોય છે, સપાટીને બે પરિમાણ હોય છે અને અવકાશી આકૃતિમાં ત્રણ પરિમાણ હોય છે. ખંડિત રેખાઓ અથવા સપાટીઓ નથી, પરંતુ, જો તમે તેની કલ્પના કરી શકો છો, તો વચ્ચે કંઈક છે. જેમ જેમ કદ વધે છે તેમ, ફ્રેકટલનું પ્રમાણ પણ વધે છે, પરંતુ તેનું પરિમાણ (ઘાતાંક) સંપૂર્ણ મૂલ્ય નથી, પરંતુ અપૂર્ણાંક છે, અને તેથી ખંડિત આકૃતિની સીમા રેખા નથી: ઉચ્ચ વિસ્તરણ પર તે સ્પષ્ટ થાય છે કે તે અસ્પષ્ટ છે અને તેમાં સર્પાકાર અને કર્લ્સનો સમાવેશ થાય છે, જે આકૃતિના નીચા મેગ્નિફિકેશન સ્કેલ પર પુનરાવર્તિત થાય છે. આ ભૌમિતિક નિયમિતતાને સ્કેલ ઇન્વેરિઅન્સ અથવા સ્વ-સમાનતા કહેવામાં આવે છે. આ તે છે જે ખંડિત આકૃતિઓનું અપૂર્ણાંક પરિમાણ નક્કી કરે છે.

ખંડિત ભૂમિતિના આગમન પહેલાં, વિજ્ઞાન ત્રણ અવકાશી પરિમાણોમાં સમાવિષ્ટ પ્રણાલીઓ સાથે કામ કરતું હતું. આઈન્સ્ટાઈનનો આભાર, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ માત્ર વાસ્તવિકતાનું એક મોડેલ છે, અને વાસ્તવિકતા નથી. હકીકતમાં, આપણું વિશ્વ ચાર-પરિમાણીય અવકાશ-સમય સાતત્યમાં સ્થિત છે.
મેન્ડેલબ્રોટનો આભાર, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે ચાર-પરિમાણીય જગ્યા કેવી દેખાય છે, અલંકારિક રીતે કહીએ તો, કેઓસનો ખંડિત ચહેરો. બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે શોધ્યું કે ચોથા પરિમાણમાં માત્ર પ્રથમ ત્રણ પરિમાણ જ નહીં, પણ તેમની વચ્ચેના અંતરાલોનો પણ સમાવેશ થાય છે.

પુનરાવર્તિત (અથવા ખંડિત) ભૂમિતિ યુક્લિડિયન ભૂમિતિને બદલી રહી છે. નવું વિજ્ઞાન વર્ણન કરી શકે છે સાચો સ્વભાવશરીર અને ઘટના. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ માત્ર ત્રણ પરિમાણ સાથે સંબંધિત કૃત્રિમ, કાલ્પનિક વસ્તુઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે. માત્ર ચોથું પરિમાણ જ તેમને વાસ્તવિકતામાં ફેરવી શકે છે.

પ્રવાહી, ગેસ, નક્કર- ત્રણ પરિચિત શારીરિક સ્થિતિપદાર્થ કે જે ત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. પરંતુ ધુમાડાના વાદળનું પરિમાણ શું છે, વાદળ, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેમની સીમાઓ, તોફાની હવાની હિલચાલ દ્વારા સતત ભૂંસાતી રહે છે?

મૂળભૂત રીતે, ફ્રેકટલ્સને ત્રણ જૂથોમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:

બીજગણિત ખંડિત

સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સ

ચાલો તેમને દરેક પર નજીકથી નજર કરીએ.

પ્રકરણ 2. ફ્રેકટલ્સનું વર્ગીકરણ

ભૌમિતિક ભંગાણ

બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે એક ફ્રેક્ટલ મોડલનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો, જે પહેલેથી જ ક્લાસિક બની ગયું છે અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર ફ્રેક્ટલના જ લાક્ષણિક ઉદાહરણ અને ફ્રેકટલ્સની સુંદરતા દર્શાવવા માટે થાય છે, જે સંશોધકો, કલાકારો અને માત્ર રસ ધરાવતા લોકોને પણ આકર્ષે છે.

અહીંથી ફ્રેકટલ્સનો ઇતિહાસ શરૂ થયો. આ પ્રકારના ફ્રેકટલ સરળ ભૌમિતિક બાંધકામો દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, આ ફ્રેકટલ્સ બનાવતી વખતે, તેઓ આ કરે છે: તેઓ "બીજ" લે છે - એક સ્વયંસિદ્ધ - સેગમેન્ટ્સનો સમૂહ જેના આધારે ફ્રેકટલ બનાવવામાં આવશે. આગળ, આ "બીજ" પર નિયમોનો સમૂહ લાગુ કરવામાં આવે છે, જે તેને અમુક પ્રકારની ભૌમિતિક આકૃતિમાં પરિવર્તિત કરે છે. આગળ, આ આકૃતિના દરેક ભાગ પર સમાન નિયમોનો ફરીથી લાગુ કરવામાં આવે છે. દરેક પગલા સાથે આકૃતિ વધુ ને વધુ જટિલ બનતી જશે, અને જો આપણે અમલ કરીએ તો (ઓછામાં ઓછું આપણા મગજમાં) અનંત સંખ્યાપરિવર્તનો - આપણને ભૌમિતિક ખંડિત મળે છે.

આ વર્ગના ફ્રેક્ટલ્સ સૌથી વધુ દ્રશ્ય છે, કારણ કે અવલોકનના કોઈપણ સ્કેલ પર સ્વ-સમાનતા તેમનામાં તરત જ દેખાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં, જનરેટર તરીકે ઓળખાતી કેટલીક તૂટેલી રેખાનો ઉલ્લેખ કરીને આવા ફ્રેકટલ્સ મેળવી શકાય છે. અલ્ગોરિધમના એક પગલામાં, પોલીલાઈન બનાવતા દરેક સેગમેન્ટને યોગ્ય સ્કેલ પર જનરેટર પોલીલાઈનથી બદલવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાના અનંત પુનરાવર્તનના પરિણામે (અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જ્યારે મર્યાદા પર જાઓ છો), એક ખંડિત વળાંક પ્રાપ્ત થાય છે. પરિણામી વળાંકની સ્પષ્ટ જટિલતા હોવા છતાં, તેનો સામાન્ય દેખાવ ફક્ત જનરેટરના આકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આવા વળાંકોના ઉદાહરણો છે: કોચ વળાંક (ફિગ. 7), પીઆનો વળાંક (ફિગ. 8), મિન્કોવસ્કી વળાંક.

વીસમી સદીની શરૂઆતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ એવા વળાંકો શોધી રહ્યા હતા જેમાં કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક ન હોય. આનો અર્થ એ થયો કે વળાંકે અચાનક તેની દિશા બદલી, અને વધુમાં, પ્રચંડ સાથે ઊંચી ઝડપ(વ્યુત્પન્ન અનંત સમાન છે). આ વળાંકોની શોધ માત્ર ગણિતશાસ્ત્રીઓના નિષ્ક્રિય રસને કારણે ન હતી. હકીકત એ છે કે વીસમી સદીની શરૂઆતમાં ખૂબ જ ઝડપી વિકાસ થયો હતો ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ. સંશોધક એમ. બ્રાઉને પાણીમાં સસ્પેન્ડેડ કણોની હિલચાલના માર્ગનું સ્કેચ કર્યું અને આ ઘટનાને નીચે પ્રમાણે સમજાવી: પ્રવાહી સ્ટ્રાઇક સસ્પેન્ડેડ કણોના અવ્યવસ્થિત રીતે ફરતા અણુઓ અને ત્યાંથી તેમને ગતિમાં સેટ કરે છે. આ ખુલાસા પછી બ્રાઉનિયન ગતિવૈજ્ઞાનિકોને વળાંક શોધવાના કાર્યનો સામનો કરવો પડ્યો હતો શ્રેષ્ઠ શક્ય રીતેબ્રાઉનિયન કણોની હિલચાલ દર્શાવે છે. આ કરવા માટે, વળાંકને નીચેના ગુણધર્મો મળવા જોઈએ: કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક નથી. ગણિતશાસ્ત્રી કોચે આવા જ એક વળાંકનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

TO કોચ વળાંક એ લાક્ષણિક ભૌમિતિક ખંડિત છે. તેના બાંધકામની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: લો એકમ સેગમેન્ટ, ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો અને બદલો સરેરાશ અંતરાલઆ સેગમેન્ટ વિનાનો સમભુજ ત્રિકોણ. પરિણામે, એક તૂટેલી રેખા રચાય છે, જેમાં 1/3 લંબાઈની ચાર લિંક્સ હોય છે. આગળના પગલામાં, અમે ચાર પરિણામી લિંક્સ, વગેરેમાંથી દરેક માટે ઓપરેશનનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ...

મર્યાદા વળાંક છે કોચ વળાંક.

સ્નોવફ્લેક કોચ.સમભુજ ત્રિકોણની બાજુઓ પર સમાન પરિવર્તન કરીને, તમે કોચ સ્નોવફ્લેકની ખંડિત છબી મેળવી શકો છો.

ટી
ભૌમિતિક ખંડિતનો બીજો સરળ પ્રતિનિધિ છે સિઅરપિન્સકી ચોરસ.તે એકદમ સરળ રીતે બાંધવામાં આવ્યું છે: ચોરસને તેની બાજુઓની સમાંતર સીધી રેખાઓ દ્વારા 9 સમાન ચોરસમાં વહેંચવામાં આવે છે. મધ્ય ચોરસ ચોરસમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. પરિણામ એ 8 બાકી રહેલા "પ્રથમ ક્રમ" ચોરસનો સમૂહ છે. પ્રથમ ક્રમના દરેક ચોરસ સાથે બરાબર એ જ કરવાથી, અમે બીજા ક્રમના 64 ચોરસનો સમૂહ મેળવીએ છીએ. આ પ્રક્રિયાને અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રાખીને, અમે અનંત ક્રમ અથવા સિઅરપિન્સકી ચોરસ મેળવીએ છીએ.

બીજગણિત ખંડિત

આ સૌથી વધુ છે મોટું જૂથખંડિત બીજગણિતીય ફ્રેકટલ્સને તેનું નામ મળ્યું કારણ કે તે સરળ ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે બીજગણિત સૂત્રો.

તેઓ માં બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે n- પરિમાણીય જગ્યાઓ. તે જાણીતું છે કે બિનરેખીય ગતિશીલ સિસ્ટમોમાં ઘણી સ્થિર સ્થિતિઓ હોય છે. ચોક્કસ સંખ્યાના પુનરાવૃત્તિઓ પછી ગતિશીલ સિસ્ટમ પોતાને જે સ્થિતિમાં શોધે છે તે તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર આધારિત છે. તેથી, દરેક સ્થિર રાજ્ય (અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, આકર્ષનાર) પાસે પ્રારંભિક રાજ્યોનો ચોક્કસ પ્રદેશ હોય છે, જેમાંથી સિસ્ટમ વિચારણા હેઠળના અંતિમ રાજ્યોમાં આવશ્યકપણે આવશે. આમ, તબક્કાની જગ્યાસિસ્ટમ વિભાજિત થયેલ છે આકર્ષણના વિસ્તારોઆકર્ષનારા જો તબક્કાની જગ્યા દ્વિ-પરિમાણીય હોય, તો આકર્ષણના વિસ્તારોને વિવિધ રંગોથી રંગીને, વ્યક્તિ મેળવી શકે છે. રંગ તબક્કો પોટ્રેટઆ સિસ્ટમ (પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા). રંગ પસંદગી અલ્ગોરિધમ બદલીને, તમે વિચિત્ર મલ્ટીકલર પેટર્ન સાથે જટિલ ફ્રેકટલ પેટર્ન મેળવી શકો છો. ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે આશ્ચર્યજનક બાબત એ હતી કે આદિમ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ જ જટિલ રચનાઓ બનાવવાની ક્ષમતા.

ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહને ધ્યાનમાં લો. તેઓ તેને જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવે છે.

મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહની સીમાનો એક વિભાગ, 200 વખત વિસ્તૃત.

મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહમાં પોઈન્ટ છે જે દરમિયાનઅનંત પુનરાવર્તનોની સંખ્યા અનંત સુધી જતી નથી (બિંદુઓ જે કાળા છે). સમૂહની સીમા સાથે જોડાયેલા પોઈન્ટ(આ તે છે જ્યાં જટિલ રચનાઓ ઊભી થાય છે) પુનરાવૃત્તિઓની મર્યાદિત સંખ્યામાં અનંતતામાં જાય છે, અને સમૂહની બહાર પડેલા બિંદુઓ અનેક પુનરાવર્તનો (સફેદ પૃષ્ઠભૂમિ) પછી અનંતતામાં જાય છે.

પી



બીજા બીજગણિત ખંડિતનું ઉદાહરણ જુલિયા સમૂહ છે. આ ફ્રેક્ટલની 2 જાતો છે.આશ્ચર્યજનક રીતે, જુલિયા સેટ મેન્ડેલબ્રોટ સેટ જેવા જ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. જુલિયા સેટની શોધ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ગેસ્ટન જુલિયા દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમના નામ પરથી સેટનું નામ રાખવામાં આવ્યું હતું.

અને
રસપ્રદ હકીકત, કેટલાક બીજગણિતીય ફ્રેકટલ્સ પ્રાણીઓ, છોડ અને અન્ય જૈવિક પદાર્થોની છબીઓ જેવું લાગે છે, જેના પરિણામે તેમને બાયોમોર્ફ્સ કહેવામાં આવે છે.

સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

ફ્રેક્ટલ્સનો બીજો જાણીતો વર્ગ સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ છે, જે જો તેના કેટલાક પરિમાણોને પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં અવ્યવસ્થિત રીતે બદલવામાં આવે તો પ્રાપ્ત થાય છે. આ કિસ્સામાં, પરિણામી વસ્તુઓ કુદરતી વસ્તુઓ જેવી જ છે - અસમપ્રમાણતાવાળા વૃક્ષો, કઠોર દરિયાકિનારા, વગેરે.

ફ્રેકટલ્સના આ જૂથનો એક લાક્ષણિક પ્રતિનિધિ "પ્લાઝમા" છે.

ડી
તેને બાંધવા માટે, એક લંબચોરસ લો અને તેના દરેક ખૂણાને રંગ આપો. આગળ, લંબચોરસનું કેન્દ્રિય બિંદુ લંબચોરસના ખૂણા પરના રંગોના અંકગણિત સરેરાશના સમાન રંગ વડે કેટલાક રેન્ડમ નંબર સાથે મળી અને દોરવામાં આવે છે. રેન્ડમ નંબર જેટલો મોટો હશે, ડ્રોઇંગ તેટલું વધુ "ચીંથરેહાલ" હશે. જો આપણે ધારીએ કે બિંદુનો રંગ સમુદ્ર સપાટીથી ઊંચાઈ છે, તો આપણને પ્લાઝમાને બદલે પર્વતમાળા મળે છે. તે આ સિદ્ધાંત પર છે કે મોટાભાગના કાર્યક્રમોમાં પર્વતોનું મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. પ્લાઝ્મા જેવા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, ઊંચાઈનો નકશો બનાવવામાં આવે છે, તેના પર વિવિધ ફિલ્ટર્સ લાગુ કરવામાં આવે છે, ટેક્સચર લાગુ કરવામાં આવે છે, અને ફોટોરિયલિસ્ટિક પર્વતો તૈયાર છે.

ઇ
જો આપણે આ ફ્રેક્ટલને ક્રોસ-સેક્શનમાં જોઈએ, તો આપણે જોશું કે આ ફ્રેક્ટલ વોલ્યુમેટ્રિક છે, અને તેમાં "ખરબચડી" છે, ચોક્કસ આ "ખરબચડી" ને કારણે આ ફ્રેક્ટલનો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગ છે.

ચાલો કહીએ કે તમારે પર્વતના આકારનું વર્ણન કરવાની જરૂર છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિના સામાન્ય આંકડાઓ અહીં મદદ કરશે નહીં, કારણ કે તેઓ સપાટીની ટોપોગ્રાફીને ધ્યાનમાં લેતા નથી. પરંતુ જ્યારે પરંપરાગત ભૂમિતિને ખંડિત ભૂમિતિ સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તમે પર્વતની ખૂબ જ "ખરબચડી" મેળવી શકો છો. આપણે નિયમિત શંકુ પર પ્લાઝ્મા લગાવવાની જરૂર છે અને આપણને પર્વતની રાહત મળશે. આવા ઓપરેશન્સ પ્રકૃતિમાં અન્ય ઘણા પદાર્થો સાથે કરી શકાય છે, સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સને આભારી છે, પ્રકૃતિ પોતે જ વર્ણવી શકાય છે.

હવે આપણે ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સ વિશે વાત કરીએ.

.

પ્રકરણ 3 "પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ"

" શા માટે ભૂમિતિને ઘણીવાર "ઠંડી" અને "શુષ્ક" કહેવામાં આવે છે? એક કારણ એ છે કે તે વાદળ, પર્વત, દરિયાકિનારો અથવા વૃક્ષના આકારનું વર્ણન કરી શકતું નથી. વાદળો ગોળા નથી, પર્વતો શંકુ નથી, દરિયાકિનારો વર્તુળો નથી, ઝાડની છાલ નથી. સરળ નથી, વીજળી સીધી રેખામાં મુસાફરી કરતી નથી વધુ સામાન્ય રીતે, હું દલીલ કરું છું કે યુક્લિડની તુલનામાં પ્રકૃતિમાં ઘણી વસ્તુઓ એટલી અનિયમિત અને ખંડિત છે - એક શબ્દ કે આ કાર્યમાં તમામ પ્રમાણભૂત ભૂમિતિનો અર્થ થાય છે - કુદરતમાં માત્ર વધુ જટિલતા નથી. , પરંતુ એક સંપૂર્ણપણે અલગ સ્તર પર જટિલતા કુદરતી વસ્તુઓની વિવિધ લંબાઈના ભીંગડાની સંખ્યા, તમામ વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, અનંત છે."

(બેનોઈટમેન્ડેલબ્રોટ "પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ" ).

TO ફ્રેકટલ્સની સુંદરતા બે ગણી છે: તે આંખને આનંદ આપે છે, જેમ કે વિશ્વભરમાં ફ્રેકટલ ઈમેજોના પ્રદર્શન દ્વારા પુરાવા મળે છે, જૂથ દ્વારા આયોજિતપીટજેન અને રિક્ટરના નેતૃત્વ હેઠળ બ્રેમેન ગણિતશાસ્ત્રીઓ. પાછળથી, આ ભવ્ય પ્રદર્શનના પ્રદર્શનો એ જ લેખકો દ્વારા પુસ્તક માટેના ચિત્રોમાં કેપ્ચર કરવામાં આવ્યા હતા, "ધ બ્યુટી ઓફ ફ્રેકટલ્સ." પરંતુ એક અન્ય, વધુ અમૂર્ત અથવા ઉત્કૃષ્ટ, ફ્રેકટલ્સની સુંદરતાનું પાસું છે, જે આર. ફેનમેનના મતે, માત્ર એક સિદ્ધાંતવાદીની માનસિક ત્રાટકશક્તિ માટે ખુલ્લું છે, આ અર્થમાં, ફ્રેકટલ્સ મુશ્કેલ સુંદરતા સાથે સુંદર છે; ગાણિતિક સમસ્યા. બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે તેમના સમકાલીન લોકો (અને, સંભવતઃ, તેમના વંશજો)ને યુક્લિડના તત્વોમાં એક હેરાન કરનાર ગેપ તરફ ધ્યાન દોર્યું, જેના દ્વારા, અવગણનાની નોંધ લીધા વિના, માનવતાના લગભગ બે સહસ્ત્રાબ્દીએ આસપાસના વિશ્વની ભૂમિતિને સમજી અને પ્રસ્તુતિની ગાણિતિક કઠોરતા શીખી. અલબત્ત, ફ્રેકટલ્સની સુંદરતાના બંને પાસાઓ નજીકથી એકબીજા સાથે સંકળાયેલા છે અને બાકાત રાખતા નથી, પરંતુ એકબીજાના પૂરક છે, જો કે તેમાંથી દરેક આત્મનિર્ભર છે.

મેન્ડેલબ્રોટ અનુસાર પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ એ વાસ્તવિક ભૂમિતિ છે જે એફ. ક્લેઈન દ્વારા એર્લાંગેન પ્રોગ્રામમાં પ્રસ્તાવિત ભૂમિતિની વ્યાખ્યાને સંતોષે છે. હકીકત એ છે કે નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિના આગમન પહેલાં N.I. લોબાચેવ્સ્કી - એલ. બોલ્યાઈ, ત્યાં ફક્ત એક જ ભૂમિતિ હતી - જે "સિદ્ધાંતો" માં નિર્ધારિત કરવામાં આવી હતી, અને ભૂમિતિ શું છે અને વાસ્તવિક દુનિયાની ભૂમિતિ કઈ છે તે પ્રશ્ન ઉદ્ભવ્યો ન હતો, અને થઈ શક્યો નહીં. ઉદભવ પરંતુ બીજી ભૂમિતિના આગમન સાથે, પ્રશ્ન ઊભો થયો કે ભૂમિતિ સામાન્ય રીતે શું છે, અને ઘણી ભૂમિતિઓમાંથી કઈ વાસ્તવિક દુનિયાને અનુરૂપ છે. એફ. ક્લેઈનના જણાવ્યા મુજબ, ભૂમિતિ એવા પદાર્થોના આવા ગુણધર્મોના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે જે રૂપાંતરણ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે: યુક્લિડિયન - ગતિના જૂથના અવિવર્તી (પરિવર્તન કે જે કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરને બદલતા નથી, એટલે કે સુપરપોઝિશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સમાંતર પરિવહનઅને ઓરિએન્ટેશનમાં ફેરફાર સાથે અથવા વગર પરિભ્રમણ), લોબાચેવ્સ્કી-બોલ્યાઈ ભૂમિતિ - લોરેન્ટ્ઝ જૂથના અપ્રિય. ખંડિત ભૂમિતિ સ્વ-સંબંધિત રૂપાંતરણોના જૂથના અપ્રિયતાના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે, એટલે કે. પાવર કાયદા દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ ગુણધર્મો.

વાસ્તવિક દુનિયા સાથેના પત્રવ્યવહારની વાત કરીએ તો, ખંડિત ભૂમિતિ કુદરતી પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓના ખૂબ જ વિશાળ વર્ગનું વર્ણન કરે છે, અને તેથી આપણે, બી. મેન્ડેલબ્રોટને અનુસરીને, પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ વિશે યોગ્ય રીતે વાત કરી શકીએ છીએ. નવી - ખંડિત વસ્તુઓ અસામાન્ય ગુણધર્મો ધરાવે છે. કેટલાક ફ્રેકટલ્સની લંબાઈ, વિસ્તાર અને વોલ્યુમ શૂન્ય છે, જ્યારે અન્ય અનંત તરફ વળે છે.

કુદરત ઘણીવાર આદર્શ ભૂમિતિ અને એવી સંવાદિતા સાથે અદ્ભુત અને સુંદર ખંડિત બનાવે છે કે તમે ફક્ત પ્રશંસા સાથે સ્થિર થઈ જાઓ છો. અને અહીં તેમના ઉદાહરણો છે:

દરિયાઈ શેલો

વીજળીતેમની સુંદરતાની પ્રશંસા કરો. લાઈટનિંગ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ ફ્રેકલ્સ મનસ્વી અથવા નિયમિત નથી

ખંડિત આકાર ફૂલકોબીની પેટાજાતિઓ(બ્રાસિકા કોલીફ્લોરા). આ ખાસ પ્રકારખાસ કરીને સપ્રમાણ ફ્રેકટલ છે.

પી ફર્નપણ છે સારું ઉદાહરણવનસ્પતિ વચ્ચે ખંડિત.

મોરદરેક જણ તેમના રંગીન પ્લમેજ માટે જાણીતા છે, જેમાં નક્કર ફ્રેકટલ્સ છુપાયેલા છે.

બરફ, હિમાચ્છાદિત પેટર્નવિન્ડો પર આ પણ ફ્રેકટલ્સ છે

વિશે
t વિસ્તૃત છબી પર્ણ, સુધી ઝાડની ડાળીઓ- તમે દરેક વસ્તુમાં ફ્રેકટલ્સ શોધી શકો છો

આપણી આસપાસની પ્રકૃતિમાં ખંડિત બધે અને દરેક જગ્યાએ હોય છે. સમગ્ર બ્રહ્માંડ ગાણિતિક ચોકસાઇ સાથે અદ્ભુત સુમેળભર્યા કાયદાઓ અનુસાર બનાવવામાં આવ્યું છે. શું આ પછી એવું વિચારવું શક્ય છે કે આપણો ગ્રહ કણોનું રેન્ડમ જોડાણ છે? ભાગ્યે જ.

પ્રકરણ 4. ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ

ફ્રેક્ટલ્સ વધુ અને વધુ શોધી રહ્યા છે વધુ એપ્લિકેશનવિજ્ઞાનમાં. આનું મુખ્ય કારણ તેઓ વર્ણવે છે વાસ્તવિક દુનિયાકેટલીકવાર પરંપરાગત ભૌતિકશાસ્ત્ર અથવા ગણિત કરતાં પણ વધુ સારી. અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે:

વિશે
ફ્રેકટલ્સની સૌથી શક્તિશાળી એપ્લિકેશનના દિવસો આવે છે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ . આ ફ્રેકટલ ઈમેજ કમ્પ્રેશન છે. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને મિકેનિક્સ માત્ર ખંડિત પદાર્થોના વર્તનનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરે છે.

ફ્રેક્ટલ ઇમેજ કમ્પ્રેશન એલ્ગોરિધમ્સના ફાયદા એ પેક્ડ ફાઇલનું ખૂબ જ નાનું કદ અને ટૂંકી છબી પુનઃપ્રાપ્તિ સમય છે. પિક્સેલેશન (નબળી ઇમેજ ગુણવત્તા - મોટા ચોરસ) ના દેખાવ વિના ફ્રેક્ટલ પેક્ડ છબીઓને માપી શકાય છે. પરંતુ કમ્પ્રેશન પ્રક્રિયામાં લાંબો સમય લાગે છે અને ક્યારેક કલાકો સુધી ચાલે છે. ફ્રેક્ટલ લોસી પેકેજિંગ અલ્ગોરિધમ તમને jpeg ફોર્મેટની જેમ કમ્પ્રેશન લેવલ સેટ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અલ્ગોરિધમ એ છબીના મોટા ટુકડાઓ શોધવા પર આધારિત છે જે કેટલાક નાના ટુકડાઓ સમાન હોય છે. અને માત્ર કયો ટુકડો આઉટપુટ ફાઇલમાં લખાયેલ છે તેના જેવો જ છે. સંકુચિત કરતી વખતે, એક ચોરસ ગ્રીડનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે થાય છે (ટુકડાઓ ચોરસ હોય છે), જે છબીને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે સહેજ કોણીયતા તરફ દોરી જાય છે જેમાં આ ખામી હોતી નથી;

પુનરાવર્તિત એ એક નવું ઇમેજ ફોર્મેટ વિકસાવ્યું છે, "સ્ટિંગ", જે ફ્રેક્ટલ અને "વેવ" (જેમ કે jpeg) લોસલેસ કમ્પ્રેશનને જોડે છે. નવું ફોર્મેટ તમને અનુગામી ઉચ્ચ-ગુણવત્તાની સ્કેલિંગની સંભાવના સાથે છબીઓ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે, અને ગ્રાફિક ફાઇલોનું વોલ્યુમ અસંકુચિત છબીઓના વોલ્યુમના 15-20% છે.

મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાંઘણી કુદરતી વસ્તુઓની રૂપરેખાને પુનરાવર્તિત કરવાની તેમની અનન્ય મિલકતને કારણે ફ્રેકલ્સનો ઉપયોગ થાય છે. ફ્રેકલ્સ તમને સેગમેન્ટ્સ અથવા બહુકોણના સેટનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ કરતાં વધુ સચોટતા સાથે વૃક્ષો, પર્વતની સપાટીઓ અને તિરાડોનો અંદાજ લગાવવાની મંજૂરી આપે છે (સંગ્રહિત ડેટાની સમાન રકમ સાથે). ફ્રેક્ટલ મોડલ્સ, કુદરતી વસ્તુઓની જેમ, "ખરબચડી" ધરાવે છે, અને આ ગુણધર્મ સાચવવામાં આવે છે, પછી ભલે તે મોડેલનું વિસ્તરણ કેટલું મોટું હોય. ફ્રેકટલ્સ પર સમાન માપની હાજરી વ્યક્તિને એકીકરણ, સંભવિત સિદ્ધાંત લાગુ કરવા અને પહેલાથી જ અભ્યાસ કરેલ સમીકરણોમાં પ્રમાણભૂત વસ્તુઓને બદલે તેનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ટી
ખંડિત ભૂમિતિનો પણ ઉપયોગ થાય છે એન્ટેના ઉપકરણોની રચના. આનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ અમેરિકન એન્જિનિયર નાથન કોહેન દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જે તે સમયે બોસ્ટનના મધ્યમાં રહેતા હતા, જ્યાં ઇમારતો પર બાહ્ય એન્ટેનાની સ્થાપના પર પ્રતિબંધ હતો. કોહેને એલ્યુમિનિયમ ફોઈલમાંથી કોચ વળાંકનો આકાર કાપીને કાગળના ટુકડા પર ગુંદર કર્યો અને પછી તેને રીસીવર સાથે જોડી દીધો. તે બહાર આવ્યું છે કે આવા એન્ટેના નિયમિત કરતાં વધુ ખરાબ કામ કરે છે. અને તેમ છતાં ભૌતિક સિદ્ધાંતોઆવા એન્ટેનાનો હજુ સુધી અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી; આનાથી કોહેનને તેની પોતાની કંપની સ્થાપવા અને તેનું સીરીયલ પ્રોડક્શન શરૂ કરવાથી રોકી શકાયું નથી. હાલમાં, અમેરિકન કંપની "ફ્રેક્ટલ એન્ટેના સિસ્ટમ" એ એક નવા પ્રકારનો એન્ટેના વિકસાવ્યો છે. હવે તમે મોબાઇલ ફોનમાં બહાર નીકળેલા બાહ્ય એન્ટેનાનો ઉપયોગ કરવાનું બંધ કરી શકો છો. કહેવાતા ફ્રેક્ટલ એન્ટેના ઉપકરણની અંદરના મુખ્ય બોર્ડ પર સીધા જ સ્થિત છે.

ફ્રેક્ટલ્સના ઉપયોગ વિશે ઘણી પૂર્વધારણાઓ પણ છે - ઉદાહરણ તરીકે, લસિકા અને રુધિરાભિસરણ તંત્ર, ફેફસાં અને ઘણું બધું પણ ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવે છે.

પ્રકરણ 5. વ્યવહારુ કાર્ય.

સૌપ્રથમ, ચાલો “નેકલેસ”, “વિક્ટરી” અને “સ્ક્વેર” ફ્રેકટલ્સ જોઈએ.

પ્રથમ - "હાર"(ફિગ. 7). આ ફ્રેક્ટલનો આરંભકર્તા એક વર્તુળ છે. આ વર્તુળમાં ચોક્કસ સંખ્યાના સમાન વર્તુળો હોય છે, પરંતુ નાના કદના હોય છે, અને તે પોતે સમાન હોય છે, પરંતુ મોટા કદના ઘણા વર્તુળોમાંનું એક છે. તેથી શિક્ષણની પ્રક્રિયા અનંત છે અને તે એક અને અંદર બંને રીતે હાથ ધરી શકાય છે વિપરીત બાજુ. તે. આકૃતિને માત્ર એક નાની ચાપ લઈને મોટી કરી શકાય છે અથવા તેના બાંધકામને નાનામાંથી ધ્યાનમાં લઈને ઘટાડી શકાય છે.

ચોખા 7.

ખંડિત "નેકલેસ"

બીજું ફ્રેકટલ છે "વિજય"(ફિગ. 8). તેને આ નામ મળ્યું કારણ કે તે લેટિન અક્ષર "V", એટલે કે "વિજય" જેવું લાગે છે. આ ફ્રેકટલમાં અમુક ચોક્કસ સંખ્યામાં નાના "vs"નો સમાવેશ થાય છે જે એક મોટી "V" બનાવે છે, અને ડાબા અડધા ભાગમાં, જેમાં નાનાને મૂકવામાં આવે છે જેથી તેમના ડાબા ભાગો એક સીધી રેખા બનાવે છે, જમણી બાજુએ જ રીતે બાંધવામાં આવે છે. આ દરેક “v” એ જ રીતે બનેલ છે અને આ જાહેરાત અનંત ચાલુ રાખે છે.

ફિગ.8. ખંડિત "વિજય"

ત્રીજો ફ્રેકટલ છે "ચોરસ" (ફિગ. 9). તેની દરેક બાજુ કોષોની એક પંક્તિ ધરાવે છે, જેનો આકાર ચોરસ જેવો હોય છે, જેની બાજુઓ કોષોની પંક્તિઓ વગેરેનું પણ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

ફિગ. 9. ખંડિત "ચોરસ"

આ ફૂલ સાથે તેની બાહ્ય સામ્યતાના કારણે ખંડિતનું નામ “રોઝ” (ફિગ. 10) રાખવામાં આવ્યું હતું. ફ્રેક્ટલના નિર્માણમાં એકાગ્ર વર્તુળોની શ્રેણીના નિર્માણનો સમાવેશ થાય છે, જેની ત્રિજ્યા આપેલ ગુણોત્તરના પ્રમાણમાં બદલાય છે. આ કિસ્સામાં R m / R b = ¾ = 0.75.). તે પછી, દરેક વર્તુળમાં નિયમિત ષટ્કોણ અંકિત કરવામાં આવે છે, જેની બાજુ તેની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે.

ચોખા. 11. ખંડિત "ગુલાબ *"

આગળ, અમે નિયમિત પેન્ટાગોન તરફ વળીએ છીએ, જેમાં આપણે તેના કર્ણ દોરીએ છીએ. પછી, અનુરૂપ સેગમેન્ટ્સના આંતરછેદ પર પરિણામી પેન્ટાગોનમાં, અમે ફરીથી કર્ણ દોરીએ છીએ. ચાલો ચાલુ રાખીએ આ પ્રક્રિયાઅનંત સુધી અને આપણને “પેન્ટાગ્રામ” ફ્રેકટલ મળે છે (ફિગ. 12).

ચાલો સર્જનાત્મકતાના તત્વનો પરિચય કરીએ અને આપણું ખંડિત વધુ દ્રશ્ય પદાર્થનું સ્વરૂપ લેશે (ફિગ. 13).

આર
છે. 12. ખંડિત "પેન્ટાગ્રામ".

ચોખા. 13. ખંડિત "પેન્ટાગ્રામ *"

ચોખા. 14 ખંડિત "બ્લેક હોલ"

પ્રયોગ નંબર 1 “વૃક્ષ”

હવે મને સમજાયું કે ફ્રેકટલ શું છે અને તેને કેવી રીતે બનાવવું, મેં મારી પોતાની ફ્રેકટલ ઈમેજો બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો. Adobe Photoshop માં, મેં એક નાનું સબરૂટિન અથવા એક્શન બનાવ્યું છે, આ ક્રિયાની ખાસિયત એ છે કે તે હું જે ક્રિયાઓ કરું છું તેનું પુનરાવર્તન કરે છે અને આ રીતે મને ફ્રેકટલ મળે છે.

શરૂ કરવા માટે, મેં 600 બાય 600 ના રિઝોલ્યુશન સાથે અમારા ભાવિ ફ્રેક્ટલ માટે એક પૃષ્ઠભૂમિ બનાવી. પછી મેં આ પૃષ્ઠભૂમિ પર 3 રેખાઓ દોરી - અમારા ભાવિ ફ્રેક્ટલનો આધાર.

સાથેઆગળનું પગલું એ સ્ક્રિપ્ટ લખવાનું છે.

સ્તરની નકલ કરો ( સ્તર > ડુપ્લિકેટ) અને સંમિશ્રણ પ્રકારને "માં બદલો સ્ક્રીન" .

ચાલો તેને બોલાવીએ" fr1". આ સ્તરની નકલ કરો (" fr1") 2 વધુ વખત.

હવે આપણે છેલ્લા સ્તર પર સ્વિચ કરવાની જરૂર છે (fr3) અને તેને પાછલા એક સાથે બે વાર મર્જ કરો ( Ctrl+E). સ્તરની તેજ ઘટાડો ( છબી > ગોઠવણો > બ્રાઇટનેસ/કોન્ટ્રાસ્ટ , તેજ સેટ 50% ). ફરી પાછલા સ્તર સાથે મર્જ કરો અને અદ્રશ્ય ભાગોને દૂર કરવા માટે સમગ્ર ડ્રોઇંગની કિનારીઓને ટ્રિમ કરો.

છેલ્લું પગલું આ છબીને કૉપિ કરવાનું હતું અને તેને નાની અને ફેરવવાનું હતું. માં આવું જ બન્યું હતું અંતિમ પરિણામ.

નિષ્કર્ષ

આ કાર્ય ફ્રેકટલ્સની દુનિયાનો પરિચય છે. અમે ફ્રેકટલ્સ શું છે અને તે કયા સિદ્ધાંતોના આધારે બાંધવામાં આવે છે તેના નાના ભાગનો જ વિચાર કર્યો છે.

ખંડિત ગ્રાફિક્સ એ માત્ર સ્વ-પુનરાવર્તિત છબીઓનો સમૂહ નથી, તે કોઈપણ અસ્તિત્વમાં રહેલી વસ્તુની રચના અને સિદ્ધાંતનું એક મોડેલ છે. આપણું આખું જીવન ફ્રેકટલ્સ દ્વારા રજૂ થાય છે. આપણી આસપાસની બધી પ્રકૃતિ તેમને સમાવે છે. કોમ્પ્યુટર ગેમ્સમાં ફ્રેકટલ્સના વ્યાપક ઉપયોગની નોંધ લેવી અશક્ય છે, જ્યાં ભૂપ્રદેશ રાહતો ઘણીવાર જટિલ સમૂહોના ત્રિ-પરિમાણીય મોડલ પર આધારિત ફ્રેકટલ ઇમેજ હોય ​​છે. ફ્રેકટલ્સ કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ દોરવામાં ખૂબ જ સરળતા આપે છે, ઘણી વિશેષ અસરો, વિવિધ કલ્પિત અને અવિશ્વસનીય ચિત્રો વગેરે બનાવવામાં આવે છે. ઉપરાંત, વૃક્ષો, વાદળો, કિનારાઓ અને અન્ય તમામ પ્રકૃતિ ખંડિત ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને દોરવામાં આવે છે. ફ્રેક્ટલ ગ્રાફિક્સ દરેક જગ્યાએ જરૂરી છે, અને "ફ્રેક્ટલ ટેક્નોલોજી" નો વિકાસ એ આજે ​​મહત્વપૂર્ણ કાર્યોમાંનું એક છે.

ભવિષ્યમાં, હું જટિલ સંખ્યાઓનો વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરીશ પછી બીજગણિતીય ફ્રેકટલ્સ કેવી રીતે બનાવવું તે શીખવાની મારી યોજના છે. હું લૂપ્સનો ઉપયોગ કરીને પાસ્કલ પ્રોગ્રામિંગ ભાષામાં મારી પોતાની ફ્રેક્ટલ ઈમેજો બનાવવાનો પણ પ્રયાસ કરવા માંગુ છું.

માં ફ્રેકટલ્સના ઉપયોગની નોંધ લેવી જોઈએ કમ્પ્યુટર તકનીકો, કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન પર માત્ર સુંદર છબીઓ બનાવવા ઉપરાંત. કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીમાં ફ્રેક્ટલ્સનો ઉપયોગ નીચેના વિસ્તારોમાં થાય છે:

1. છબીઓ અને માહિતીને સંકુચિત કરવી

2. છબી, અવાજ,…માં માહિતી છુપાવવી

3. ફ્રેક્ટલ એલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને ડેટા એન્ક્રિપ્શન

4. ખંડિત સંગીત બનાવવું

5. સિસ્ટમ મોડેલિંગ

અમારા કાર્યમાં તમામ ક્ષેત્રોને આવરી લેવાયા નથી. માનવ જ્ઞાન, જ્યાં ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતને તેનો ઉપયોગ મળ્યો. અમે ફક્ત એટલું જ કહેવા માંગીએ છીએ કે સિદ્ધાંતની શરૂઆત થયાને એક સદીના ત્રીજા ભાગથી વધુ સમય વીતી ગયો નથી, પરંતુ આ સમય દરમિયાન ઘણા સંશોધકો માટે ફ્રેક્ચર્સ રાત્રે અચાનક તેજસ્વી પ્રકાશ બની ગયા, જે ડેટાના ચોક્કસ ક્ષેત્રોમાં અત્યાર સુધી અજાણ્યા તથ્યો અને પેટર્નને પ્રકાશિત કરે છે. . ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતની મદદથી, તેઓએ તારાવિશ્વોની ઉત્ક્રાંતિ અને કોષોનો વિકાસ, પર્વતોનો ઉદભવ અને વાદળોની રચના, સ્ટોક એક્સચેન્જમાં કિંમતોની હિલચાલ અને સમાજ અને કુટુંબના વિકાસ વિશે સમજાવવાનું શરૂ કર્યું. કદાચ, શરૂઆતમાં, ફ્રેકટલ્સ માટેનો આ જુસ્સો ખૂબ જ તીવ્ર હતો અને ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને બધું સમજાવવાના પ્રયાસો ગેરવાજબી હતા. પરંતુ, કોઈ શંકા વિના, આ સિદ્ધાંતને અસ્તિત્વમાં રહેવાનો અધિકાર છે, અને અમને તે માટે ખેદ છે તાજેતરમાંતે કોઈક રીતે ભૂલી ગઈ હતી અને પસંદ કરેલા થોડા લોકોમાં રહી ગઈ હતી. આ કાર્યની તૈયારીમાં, અમારા માટે પ્રેક્ટિસમાં સિદ્ધાંતની એપ્લિકેશનો શોધવાનું ખૂબ જ રસપ્રદ હતું. કારણ કે ઘણી વાર એવી લાગણી થાય છે સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનજીવનની વાસ્તવિકતાથી દૂર રહો.

આમ, ફ્રેકટલ્સનો ખ્યાલ માત્ર "શુદ્ધ" વિજ્ઞાનનો જ ભાગ નથી, પણ વૈશ્વિક માનવ સંસ્કૃતિનું એક તત્વ પણ બની જાય છે. ખંડિત વિજ્ઞાન હજુ ઘણું નાનું છે અને તેની આગળ એક મહાન ભવિષ્ય છે. ફ્રેકટલ્સની સુંદરતા ખતમ થવાથી ઘણી દૂર છે અને હજી પણ આપણને ઘણી શ્રેષ્ઠ કૃતિઓ આપશે - જે આંખને આનંદ આપે છે અને જે મનને સાચો આનંદ આપે છે.

10. સંદર્ભો

બોઝોકિન એસ.વી., પરશીન ડી.એ. ફ્રેક્ટલ્સ અને મલ્ટિફ્રેક્ટલ્સ. આરએચડી 2001 .

વિટોલિન ડી. માં ફ્રેકટલ્સની અરજી મશીન ગ્રાફિક્સ. // કોમ્પ્યુટરવર્લ્ડ-રશિયા.-1995

મેન્ડેલબ્રોટ બી. સેલ્ફ-એફાઈન ફ્રેકટલ સેટ, "ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ફ્રેકટલ્સ." એમ.: મીર 1988

મેન્ડેલબ્રોટ B. પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ. - એમ.: "ઇન્સ્ટીટ્યુટ ઓફ કોમ્પ્યુટર રીસર્ચ", 2002.

મોરોઝોવ એ.ડી. ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતનો પરિચય. એન. નોવગોરોડ: પબ્લિશિંગ હાઉસ નિઝની નોવગોરોડ. યુનિવર્સિટી 1999

પીટજેન એચ.-ઓ., રિક્ટર પી. એચ. ફ્રેકટલ્સની સુંદરતા. - એમ.: "મીર", 1993.

ઇન્ટરનેટ સંસાધનો

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

જ્યારે હું નદીની સપાટી પર તરંગોના દખલને જોઈ રહ્યો હતો ત્યારે મને આ ખંડિતની શોધ થઈ. તરંગ કિનારા તરફ આગળ વધે છે, પ્રતિબિંબિત થાય છે અને પોતાના પર સુપરઇમ્પોઝ થાય છે. તરંગો બનાવે છે તે પેટર્નમાં કોઈ ક્રમ છે? ચાલો તેને શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ. ચાલો સમગ્ર તરંગને નહીં, પરંતુ તેની ગતિના વેક્ટરને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો પ્રયોગને સરળ બનાવવા માટે “કિનારા” ને સરળ બનાવીએ.

પ્રયોગ શાળાની નોટબુકમાંથી નિયમિત કાગળના ટુકડા પર કરી શકાય છે.

અથવા અલ્ગોરિધમનો JavaScript અમલીકરણનો ઉપયોગ કરીને.

બાજુઓ q અને p સાથે એક લંબચોરસ લો. ચાલો એક કિરણ (વેક્ટર) ખૂણેથી ખૂણે મોકલીએ. બીમ લંબચોરસની એક બાજુએ ખસે છે, પ્રતિબિંબિત થાય છે અને આગળની બાજુએ જવાનું ચાલુ રાખે છે. જ્યાં સુધી બીમ બાકીના ખૂણાઓમાંથી એકને હિટ ન કરે ત્યાં સુધી આ ચાલુ રહે છે. જો બાજુ q અને p નું કદ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો એક પેટર્ન પ્રાપ્ત થાય છે (જેમ કે આપણે પછી જોઈશું - એક ખંડિત).

ચિત્રમાં આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ અલ્ગોરિધમ કેવી રીતે કામ કરે છે.

Gif એનિમેશન:

સૌથી અદ્ભુત બાબત એ છે કે લંબચોરસની વિવિધ બાજુઓ સાથે આપણને વિવિધ પેટર્ન મળે છે.

હું આ પેટર્નને ફ્રેકટલ્સ કેમ કહું? જેમ તમે જાણો છો, "ફ્રેક્ટલ" એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મો ધરાવે છે. ચિત્રનો ભાગ સમગ્ર ચિત્રને પુનરાવર્તિત કરે છે. જો તમે બાજુઓ Q અને P ના પરિમાણોમાં નોંધપાત્ર વધારો કરો છો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે આ પેટર્નમાં સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મો છે.

ચાલો તેને વધારવાનો પ્રયત્ન કરીએ. અમે તેને ચાલાકીપૂર્વક વધારીશું. ઉદાહરણ તરીકે 17x29 પેટર્ન લઈએ. નીચેની પેટર્ન હશે: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
એક બાજુ: F(n);
બીજી બાજુ: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
ફિબોનાકી નંબરોની જેમ, માત્ર ક્રમના જુદા જુદા પ્રથમ અને બીજા સભ્યો સાથે: F(0)=17, F(1)=29.

જો મોટી બાજુ સમાન હોય, તો પરિણામ નીચેની પેટર્ન છે:

જો ટૂંકી બાજુ સમાન હોય:

જો બંને બાજુઓ વિષમ હોય, તો આપણને સપ્રમાણ પેટર્ન મળે છે:

બીમ કેવી રીતે શરૂ થાય છે તેના આધારે:

અથવા

હું આ લંબચોરસમાં શું થાય છે તે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

ચાલો ચોરસને લંબચોરસથી અલગ કરીએ અને જોઈએ કે સરહદ પર શું થાય છે.

બીમ તે જ બિંદુથી બહાર નીકળે છે જ્યાંથી તે દાખલ થયો હતો.

તે જ સમયે, કિરણ જેમાંથી પસાર થાય છે તે વર્ગોની સંખ્યા હંમેશા એક સમાન સંખ્યા હોય છે.

તેથી, જો તમે લંબચોરસમાંથી ચોરસ કાપી નાખો, તો ફ્રેક્ટલનો એક અપરિવર્તિત ભાગ રહેશે.

જો તમે શક્ય તેટલી વાર ફ્રેક્ટલમાંથી ચોરસને અલગ કરો છો, તો તમે ફ્રેક્ટલની "શરૂઆત" પર પહોંચી શકો છો.

શું તે ફિબોનાકી સર્પાકાર જેવું લાગે છે?

ફિબોનાકી નંબરોમાંથી પણ ફ્રેકટલ્સ મેળવી શકાય છે.

ગણિતમાં, ફિબોનાકી સંખ્યાઓ (ફિબોનાકી શ્રેણી, ફિબોનાકી ક્રમ) એ સંખ્યાઓ છે:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
વ્યાખ્યા મુજબ, ફિબોનાકી ક્રમમાં પ્રથમ બે સંખ્યાઓ 0 અને 1 છે, અને દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના બેના સરવાળાની બરાબર છે.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

ચાલો જઈએ:

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, આસ્પેક્ટ રેશિયો ગોલ્ડન રેશિયોની જેટલો નજીક આવે છે, તેટલી ફ્રેકટલની વિગત વધારે છે.

આ કિસ્સામાં, ફ્રેક્ટલ ફ્રેક્ટલના ભાગને પુનરાવર્તિત કરે છે, જે વધીને .

ફિબોનાકી નંબરોને બદલે, તમે અતાર્કિક બાજુના કદનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

આપણને એ જ ફ્રેકટલ મળે છે.

જો તમે બીમને અલગ ખૂણા પર શૂટ કરો છો તો સમાન ફ્રેકટલ્સ ચોરસમાં મેળવી શકાય છે:

તમે નિષ્કર્ષમાં શું કહી શકો?
અરાજકતા પણ ઓર્ડર છે. તેના પોતાના કાયદા સાથે. આ ક્રમનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી, પરંતુ અભ્યાસ કરવા માટે તદ્દન યોગ્ય છે. અને વિજ્ઞાનની સમગ્ર ઈચ્છા આ દાખલાઓ શોધવાની છે. અને આખરે મોટું ચિત્ર જોવા માટે પઝલના ટુકડાને જોડો.
ચાલો નદીની સપાટી જોઈએ. જો તમે તેના પર પથ્થર ફેંકશો, તો મોજા આવશે. એવા વર્તુળો કે જે અભ્યાસ માટે તદ્દન અનુકૂળ છે. ઝડપ, અવધિ, તરંગલંબાઇ - આ બધાની ગણતરી કરી શકાય છે. પરંતુ તરંગ કિનારા સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી તે પ્રતિબિંબિત થતું નથી અને પોતાને ઓવરલેપ કરવાનું શરૂ કરે છે. અમને અરાજકતા (દખલગીરી) મળે છે, જેનો અભ્યાસ કરવો પહેલેથી જ મુશ્કેલ છે.
જો આપણે વિરુદ્ધ દિશામાંથી આગળ વધીએ તો? તરંગના વર્તનને શક્ય તેટલું સરળ બનાવો. સરળ બનાવો, પેટર્ન શોધો અને પછી તેનું વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરો સંપૂર્ણ ચિત્રશું થઈ રહ્યું છે.
શું સરળ બનાવી શકાય? દેખીતી રીતે, વળાંક વિના, પ્રતિબિંબીત સપાટીને સીધી બનાવો. આગળ, તરંગને બદલે, ફક્ત તરંગ ગતિ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરો. સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ એક સરળ અલ્ગોરિધમનો બનાવવા અને કમ્પ્યુટર પર પ્રક્રિયાનું અનુકરણ કરવા માટે પૂરતું છે. અને તે કાગળના સામાન્ય ચેકર્ડ ટુકડા પર તરંગ વર્તનનું "મોડલ" બનાવવા માટે પણ પૂરતું છે.
પરિણામે આપણી પાસે શું છે? પરિણામે, આપણે તે જોઈ શકીએ છીએ તરંગ પ્રક્રિયાઓ(નદીની સપાટી પર સમાન લહેર) આપણી પાસે અરાજકતા નથી, પરંતુ એકબીજાની ટોચ પર ફ્રેકટલ્સ (સ્વ-સમાન રચનાઓ) નું ઓવરલે છે.

ચાલો બીજા પ્રકારના તરંગોનો વિચાર કરીએ. જેમ જાણીતું છે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગત્રણ વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે - વેવ વેક્ટર અને ઇલેક્ટ્રિક અને વોલ્ટેજ વેક્ટર ચુંબકીય ક્ષેત્ર. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, જો તમે આવી તરંગને "પકડશો". બંધ વિસ્તાર– જ્યાં આ વેક્ટર એકબીજાને છેદે છે, ત્યાં આપણને એકદમ સ્પષ્ટ બંધ બંધારણ મળે છે. કદાચ પ્રાથમિક કણો- શું આ સમાન ફ્રેકટલ્સ છે?

1 થી 80 (6723x6723 px) સુધીના લંબચોરસમાં તમામ ફ્રેકટલ્સ:

ફ્રેકટલમાં બંધ વિસ્તારો (6723x6723 px):

માત્ર એક સુંદર ફ્રેકટલ (4078x2518 px):

દરેકને હેલો! મારું નામ છે રિબેનેક વેલેરિયા,ઉલિયાનોવસ્ક અને આજે હું LCI વેબસાઇટ પર મારા ઘણા વૈજ્ઞાનિક લેખો પોસ્ટ કરીશ.

આ બ્લોગમાં મારો પ્રથમ વૈજ્ઞાનિક લેખ સમર્પિત કરવામાં આવશે ખંડિત. હું તરત જ કહીશ કે મારા લેખો લગભગ કોઈપણ પ્રેક્ષકો માટે રચાયેલ છે. તે. હું આશા રાખું છું કે તેઓ શાળાના બાળકો અને વિદ્યાર્થીઓ બંને માટે રસ ધરાવતા હશે.

મેં તાજેતરમાં આવી રસપ્રદ વસ્તુઓ વિશે શીખ્યા ગાણિતિક વિશ્વફ્રેકટલ્સ જેવું. પરંતુ તેઓ માત્ર ગણિતમાં જ અસ્તિત્વમાં નથી. તેઓ આપણને દરેક જગ્યાએ ઘેરી લે છે. ફ્રેકલ્સ કુદરતી છે. હું આ લેખમાં ફ્રેકટલ્સ શું છે, ફ્રેકટલ્સના પ્રકારો વિશે, આ ઑબ્જેક્ટ્સના ઉદાહરણો અને તેના ઉપયોગ વિશે વાત કરીશ. શરૂ કરવા માટે, હું તમને ટૂંકમાં કહીશ કે ફ્રેકટલ શું છે.

ખંડિત(લેટિન ફ્રેક્ટસ - કચડી, તૂટેલી, તૂટેલી) એક જટિલ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે સ્વ-સમાનતાની મિલકત ધરાવે છે, એટલે કે, ઘણા ભાગોથી બનેલી છે, જેમાંથી દરેક સમગ્ર આકૃતિ સમાન છે. વધુ માં વ્યાપક અર્થમાંઅપૂર્ણાંકને યુક્લિડિયન અવકાશમાં પોઈન્ટના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે જેમાં અપૂર્ણાંક મેટ્રિક પરિમાણ હોય છે (મિન્કોવ્સ્કી અથવા હૌસડોર્ફના અર્થમાં), અથવા મેટ્રિક પરિમાણ ટોપોલોજીકલ કરતા અલગ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હું ચાર અલગ-અલગ ફ્રેકટલ્સ દર્શાવતું ચિત્ર દાખલ કરીશ.

હું તમને ફ્રેકટલ્સના ઇતિહાસ વિશે થોડું કહીશ. 70 ના દાયકાના અંતમાં દેખાતા ખંડિત અને ખંડિત ભૂમિતિની વિભાવનાઓ 80 ના દાયકાના મધ્યભાગથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને પ્રોગ્રામરોમાં નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત થઈ ગઈ છે. 1975માં બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે અનિયમિત પરંતુ સ્વ-સમાન રચનાઓનો સંદર્ભ આપવા માટે "ફ્રેક્ટલ" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો જેની સાથે તેઓ ચિંતિત હતા. ખંડિત ભૂમિતિનો જન્મ સામાન્ય રીતે 1977માં મેન્ડેલબ્રોટના પુસ્તક ધ ફ્રેક્ટલ જિયોમેટ્રી ઓફ નેચરના પ્રકાશન સાથે સંકળાયેલો છે. તેમના કાર્યોમાં 1875-1925 ના સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા અન્ય વૈજ્ઞાનિકોના વૈજ્ઞાનિક પરિણામોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો (પોઈનકેરે, ફટૌ, જુલિયા, કેન્ટર, હૌસડોર્ફ). પરંતુ ફક્ત આપણા સમયમાં જ તેમના કાર્યને એક સિસ્ટમમાં જોડવાનું શક્ય બન્યું છે.

ફ્રેકટલ્સના ઘણા ઉદાહરણો છે, કારણ કે મેં કહ્યું તેમ, તેઓ આપણને દરેક જગ્યાએ ઘેરી લે છે. મારા મતે, આપણું આખું બ્રહ્માંડ પણ એક વિશાળ ખંડિત છે. છેવટે, તેમાંની દરેક વસ્તુ, અણુની રચનાથી લઈને બ્રહ્માંડની રચના સુધી, એકબીજાને બરાબર પુનરાવર્તિત કરે છે. પરંતુ, અલબત્ત, વિવિધ વિસ્તારોમાંથી ફ્રેકટલ્સના વધુ ચોક્કસ ઉદાહરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રેકટલ્સ જટિલ ગતિશીલતામાં હાજર છે. ત્યાં તેઓ કુદરતી રીતે બિનરેખીય અભ્યાસમાં દેખાય છે ગતિશીલ સિસ્ટમો. સૌથી વધુ અભ્યાસ કરાયેલ કેસ એ છે કે જ્યારે ગતિશીલ સિસ્ટમ પુનરાવર્તનો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે બહુપદીઅથવા હોલોમોર્ફિક ચલોના સંકુલનું કાર્યવિમાનમાં. જુલિયા સેટ, મેન્ડેલબ્રોટ સેટ અને ન્યૂટન પૂલ આ પ્રકારના સૌથી પ્રસિદ્ધ ફ્રેકટલ્સ છે. નીચે, ક્રમમાં, ચિત્રો ઉપરોક્ત દરેક ફ્રેકટલ્સનું નિરૂપણ કરે છે.

ફ્રેકટલ્સનું બીજું ઉદાહરણ ફ્રેકટલ કર્વ્સ છે. ફ્રેક્ટલ કર્વ્સના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ફ્રેક્ટલ કેવી રીતે બનાવવું તે સમજાવવું શ્રેષ્ઠ છે. આ વળાંકોમાંથી એક કહેવાતા કોચ સ્નોવફ્લેક છે. પ્લેન પર ફ્રેક્ટલ કર્વ્સ મેળવવા માટે એક સરળ પ્રક્રિયા છે. ચાલો સાથે એક મનસ્વી તૂટેલી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરીએ મર્યાદિત સંખ્યાલિંક્સ, જેને જનરેટર કહેવાય છે. આગળ, અમે તેમાંના દરેક સેગમેન્ટને જનરેટર સાથે બદલીએ છીએ (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જનરેટર જેવી તૂટેલી લાઇન). પરિણામી તૂટેલી લાઇનમાં, અમે ફરીથી દરેક સેગમેન્ટને જનરેટરથી બદલીએ છીએ. અનંત સુધી ચાલુ રાખીને, મર્યાદામાં આપણને ખંડિત વળાંક મળે છે. નીચે કોચ સ્નોવફ્લેક (અથવા વળાંક) છે.

ખંડિત વળાંકોની વિશાળ વિવિધતા પણ છે. તેમાંના સૌથી પ્રસિદ્ધ પહેલાથી જ ઉલ્લેખિત કોચ સ્નોવફ્લેક, તેમજ લેવી વળાંક, મિન્કોવસ્કી વળાંક, ડ્રેગનની તૂટેલી રેખા, પિયાનો વળાંક અને પાયથાગોરિયન વૃક્ષ છે. મને લાગે છે કે જો તમે ઈચ્છો તો વિકિપીડિયા પર આ ફ્રેકટલ્સ અને તેમના ઈતિહાસની ઈમેજ સરળતાથી શોધી શકશો.

ત્રીજું ઉદાહરણ અથવા ફ્રેકટલ્સનો પ્રકાર સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ છે. આવા ફ્રેક્ટલ્સમાં પ્લેન પર અને અવકાશમાં બ્રાઉનિયન ગતિના માર્ગનો સમાવેશ થાય છે, સ્ક્રેમ-લોવનર ઉત્ક્રાંતિ, વિવિધ પ્રકારના રેન્ડમાઇઝ્ડ ફ્રેકટલ્સ, એટલે કે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ફ્રેકટલ્સ જેમાં દરેક પગલા પર રેન્ડમ પેરામીટર રજૂ કરવામાં આવે છે.

કેવળ ગાણિતિક ફ્રેકટલ્સ પણ છે. આ, ઉદાહરણ તરીકે, કેન્ટર સેટ, મેન્જર સ્પોન્જ, સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ અને અન્ય છે.

પરંતુ કદાચ સૌથી રસપ્રદ ફ્રેકટલ્સ કુદરતી છે. કુદરતી ફ્રેકટલ્સ- આ પ્રકૃતિની વસ્તુઓ છે જેમાં ખંડિત ગુણધર્મો છે. અને અહીં સૂચિ પહેલેથી જ મોટી છે. હું દરેક વસ્તુની સૂચિ બનાવીશ નહીં, કારણ કે તે બધાને સૂચિબદ્ધ કરવું કદાચ અશક્ય છે, પરંતુ હું તમને કેટલાક વિશે જણાવીશ. ઉદાહરણ તરીકે, જીવંત પ્રકૃતિમાં આવા ફ્રેકટલ્સનો સમાવેશ થાય છે રુધિરાભિસરણ તંત્રઅને ફેફસાં. અને વૃક્ષોના તાજ અને પાંદડા પણ. આમાં સ્ટારફિશ, સી અર્ચિન, કોરલ, સી શેલ અને કોબી અથવા બ્રોકોલી જેવા કેટલાક છોડનો પણ સમાવેશ થાય છે. જીવંત પ્રકૃતિમાંથી આવા કેટલાક કુદરતી ખંડિતો સ્પષ્ટપણે નીચે દર્શાવ્યા છે.

જો આપણે નિર્જીવ પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લઈએ, તો ત્યાં રસપ્રદ ઉદાહરણોવાસ્તવિક જીવન કરતાં ઘણું વધારે. વીજળી, સ્નોવફ્લેક્સ, વાદળો, હિમાચ્છાદિત દિવસોમાં બારીઓ પર જાણીતી પેટર્ન, સ્ફટિકો, પર્વતમાળાઓ- આ બધા નિર્જીવ પ્રકૃતિમાંથી કુદરતી ફ્રેકટલ્સના ઉદાહરણો છે.

અમે ફ્રેકટલ્સના ઉદાહરણો અને પ્રકારો જોયા. ફ્રેકટલ્સના ઉપયોગની વાત કરીએ તો, તેનો ઉપયોગ જ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, અશાંત પ્રવાહી પ્રવાહ, જટિલ પ્રસરણ-શોષણ પ્રક્રિયાઓ, જ્વાળાઓ, વાદળો, વગેરે જેવી બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ કરતી વખતે ફ્રેકટલ્સ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે. છિદ્રાળુ સામગ્રીનું મોડેલિંગ કરતી વખતે ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પેટ્રોકેમિસ્ટ્રીમાં. જીવવિજ્ઞાનમાં, તેનો ઉપયોગ વસ્તીનું મોડેલ બનાવવા અને આંતરિક અંગ પ્રણાલીઓ (રક્ત વાહિની પ્રણાલી)નું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. કોચ વળાંકની રચના પછી, દરિયાકિનારાની લંબાઈની ગણતરીમાં તેનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી. રેડિયો એન્જિનિયરિંગ, ઇન્ફર્મેશન સાયન્સ અને કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજી, ટેલિકોમ્યુનિકેશન્સ અને ઇકોનોમિક્સમાં પણ ફ્રેક્ટલ્સનો સક્રિયપણે ઉપયોગ થાય છે. અને, અલબત્ત, આધુનિક કલા અને આર્કિટેક્ચરમાં ખંડિત દ્રષ્ટિનો સક્રિયપણે ઉપયોગ થાય છે. અહીં ખંડિત પેટર્નનું એક ઉદાહરણ છે:

અને તેથી, આ સાથે હું ખંડિત જેવી અસામાન્ય ગાણિતિક ઘટના વિશેની મારી વાર્તા પૂર્ણ કરવાનું વિચારું છું. આજે આપણે ફ્રેકટલ શું છે, તે કેવી રીતે દેખાય છે, ફ્રેકટલ્સના પ્રકારો અને ઉદાહરણો વિશે શીખ્યા. મેં તેમના ઉપયોગ વિશે પણ વાત કરી અને કેટલાક ફ્રેકટલ્સને દૃષ્ટિની રીતે દર્શાવ્યા. હું આશા રાખું છું કે તમે અદ્ભુત અને આકર્ષક ખંડિત વસ્તુઓની દુનિયામાં આ નાનકડા પ્રવાસનો આનંદ માણ્યો હશે.

ઘણી વાર તેજસ્વી શોધો, વિજ્ઞાનમાં પરિપૂર્ણ, આપણા જીવનમાં ધરમૂળથી ફેરફાર કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રસીની શોધ ઘણા લોકોને બચાવી શકે છે, પરંતુ નવા શસ્ત્રોનું નિર્માણ હત્યા તરફ દોરી જાય છે. શાબ્દિક રીતે ગઈકાલે (ઇતિહાસના ધોરણે) માણસે વીજળીને "કાબૂમાં" લીધી, અને આજે તે તેના વિના તેના જીવનની કલ્પના કરી શકશે નહીં. જો કે, એવી શોધ પણ છે કે, જેમ તેઓ કહે છે, પડછાયામાં રહે છે, તે હકીકત હોવા છતાં કે તેઓ આપણા જીવન પર એક અથવા બીજી અસર કરે છે. આમાંની એક શોધ ફ્રેકટલ હતી. મોટાભાગના લોકોએ આ ખ્યાલ વિશે ક્યારેય સાંભળ્યું પણ નથી અને તેનો અર્થ સમજાવી શકશે નહીં. આ લેખમાં આપણે ફ્રેકટલ શું છે તે પ્રશ્નને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું અને વિજ્ઞાન અને પ્રકૃતિના પરિપ્રેક્ષ્યમાં આ શબ્દના અર્થને ધ્યાનમાં લઈશું.

અંધાધૂંધી માં ઓર્ડર

ફ્રેક્ટલ શું છે તે સમજવા માટે, આપણે ગણિતની સ્થિતિથી ડિબ્રીફિંગ શરૂ કરવું જોઈએ, પરંતુ તેમાં ડૂબતા પહેલા, આપણે થોડું ફિલોસોફી કરીશું. દરેક વ્યક્તિમાં કુદરતી જિજ્ઞાસા હોય છે, જેના કારણે તે શીખે છે આપણી આસપાસની દુનિયા. ઘણીવાર, જ્ઞાનની શોધમાં, તે તેના નિર્ણયોમાં તર્કનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. આમ, તેની આસપાસ બનતી પ્રક્રિયાઓનું પૃથ્થકરણ કરીને, તે સંબંધોની ગણતરી કરવાનો અને ચોક્કસ પેટર્ન મેળવવાનો પ્રયાસ કરે છે. પૃથ્વી પરના મહાન દિમાગ આ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં વ્યસ્ત છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આપણા વૈજ્ઞાનિકો એવા દાખલાઓ શોધી રહ્યા છે જ્યાં કોઈ ન હોય, અને ન હોવું જોઈએ. અને તેમ છતાં, અરાજકતામાં પણ ચોક્કસ ઘટનાઓ વચ્ચે જોડાણ છે. આ જોડાણ તે છે જે ફ્રેકટલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, રસ્તા પર પડેલી તૂટેલી ડાળીને ધ્યાનમાં લો. જો આપણે તેને નજીકથી જોશું, તો આપણે જોશું કે તેની બધી શાખાઓ અને ડાળીઓ સાથે તે પોતે એક વૃક્ષ જેવું લાગે છે. એક સંપૂર્ણ સાથે અલગ ભાગની આ સમાનતા પુનરાવર્તિત સ્વ-સમાનતાના કહેવાતા સિદ્ધાંતને સૂચવે છે. ફ્રેકટલ્સ પ્રકૃતિમાં દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે, કારણ કે ઘણા અકાર્બનિક અને કાર્બનિક સ્વરૂપો સમાન રીતે રચાય છે. આ વાદળો, દરિયાઈ શેલો, ગોકળગાયના શેલ, ઝાડના તાજ અને રુધિરાભિસરણ તંત્ર પણ છે. આ સૂચિ અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે. આ બધા રેન્ડમ આકારોને ફ્રેક્ટલ અલ્ગોરિધમ દ્વારા સરળતાથી વર્ણવવામાં આવે છે. હવે આપણે ચોક્કસ વિજ્ઞાનના પરિપ્રેક્ષ્યમાં ફ્રેકટલ શું છે તે ધ્યાનમાં લેવા આવ્યા છીએ.

કેટલાક શુષ્ક તથ્યો

"ફ્રેક્ટલ" શબ્દનો લેટિનમાંથી "આંશિક", "વિભાજિત", "વિભાજિત" તરીકે અનુવાદ કરવામાં આવ્યો છે, અને આ શબ્દની સામગ્રી માટે, આવી કોઈ રચના નથી. તે સામાન્ય રીતે સ્વ-સમાન સમૂહ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, સમગ્રનો એક ભાગ, જે તેની રચનાને સૂક્ષ્મ સ્તરે પુનરાવર્તિત કરે છે. આ શબ્દ 20મી સદીના સિત્તેરના દાયકામાં બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો, જેને આજે પિતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, ફ્રેક્ટલનો અર્થ ચોક્કસ બંધારણની ગ્રાફિક છબી છે, જે જ્યારે માપવામાં આવે છે, ત્યારે તે તેના જેવી જ હશે. જો કે, આ સિદ્ધાંતની રચના માટેનો ગાણિતિક આધાર પોતે મેન્ડેલબ્રોટના જન્મ પહેલાં જ નાખ્યો હતો, પરંતુ જ્યાં સુધી ઇલેક્ટ્રોનિક કમ્પ્યુટર્સ દેખાયા ત્યાં સુધી તેનો વિકાસ થઈ શક્યો નહીં.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ, અથવા તે બધું કેવી રીતે શરૂ થયું

19મી અને 20મી સદીના વળાંક પર, ફ્રેકટલ્સની પ્રકૃતિનો અભ્યાસ છૂટોછવાયો હતો. આ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ એવી વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરવાનું પસંદ કરે છે કે જેના આધારે અભ્યાસ કરી શકાય સામાન્ય સિદ્ધાંતોઅને પદ્ધતિઓ. 1872 માં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. વેયરસ્ટ્રાસે સતત કાર્યનું ઉદાહરણ બનાવ્યું જે ક્યાંય પણ અલગ નથી. જો કે, આ બાંધકામ સંપૂર્ણપણે અમૂર્ત અને સમજવું મુશ્કેલ હતું. ત્યારપછી સ્વીડનના હેલ્ગે વોન કોચ આવ્યા, જેમણે 1904 માં એક સતત વળાંક બનાવ્યો જેમાં ક્યાંય પણ સ્પર્શ ન હતો. તે દોરવા માટે એકદમ સરળ છે અને તે ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવે છે. આ વળાંકના એક પ્રકારનું નામ તેના લેખક - "કોચ સ્નોવફ્લેક" ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું હતું. આગળ, આકૃતિઓની સ્વ-સમાનતાનો વિચાર બી. મેન્ડેલબ્રોટના ભાવિ માર્ગદર્શક, ફ્રેન્ચમેન પોલ લેવી દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. 1938 માં, તેમણે "વિમાન અને અવકાશી વળાંકો અને સમગ્ર સમાન ભાગો ધરાવતી સપાટીઓ" લેખ પ્રકાશિત કર્યો. તેમાં તેણે વર્ણન કર્યું નવો દેખાવ- લેવીનો સી-વળાંક. ઉપરોક્ત તમામ આકૃતિઓ પરંપરાગત રીતે ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવી છે.

ગતિશીલ અથવા બીજગણિત ફ્રેકટલ્સ

મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ આ વર્ગનો છે. આ દિશામાં પ્રથમ સંશોધકો ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ પિયર ફાટૌ અને ગેસ્ટન જુલિયા હતા. 1918 માં, જુલિયાએ તર્કસંગતના પુનરાવર્તનોના અભ્યાસ પર આધારિત એક પેપર પ્રકાશિત કર્યું જટિલ કાર્યો. અહીં તેમણે મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ સાથે ગાઢ સંબંધ ધરાવતા ફ્રેકટલ્સના પરિવારનું વર્ણન કર્યું. હકીકત હોવા છતાં કે આ કામગણિતશાસ્ત્રીઓમાં લેખકની પ્રશંસા કરી, તેણી ઝડપથી ભૂલી ગઈ. અને માત્ર અડધી સદી પછી, કમ્પ્યુટરનો આભાર, જુલિયાના કાર્યને બીજું જીવન મળ્યું. કોમ્પ્યુટરોએ દરેક વ્યક્તિ માટે ફ્રેકટલ્સની દુનિયાની સુંદરતા અને સમૃદ્ધિને દૃશ્યક્ષમ બનાવવાનું શક્ય બનાવ્યું જેને ગણિતશાસ્ત્રીઓ કાર્યો દ્વારા પ્રદર્શિત કરીને "જોઈ" શકે. મેન્ડેલબ્રોટ ગણતરીઓ કરવા માટે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા (આવો વોલ્યુમ જાતે કરી શકાતો નથી) જેણે આ આંકડાઓની છબી બનાવવાનું શક્ય બનાવ્યું.

અવકાશી કલ્પના ધરાવતી વ્યક્તિ

મેન્ડેલબ્રોટે તેની શરૂઆત કરી વૈજ્ઞાનિક કારકિર્દી IBM સંશોધન કેન્દ્ર ખાતે. માટે ડેટા ટ્રાન્સફરની શક્યતાઓનું અન્વેષણ લાંબા અંતર, વૈજ્ઞાનિકોને મોટા નુકસાનની હકીકતનો સામનો કરવો પડ્યો હતો જે અવાજની દખલગીરીને કારણે ઉદ્ભવ્યો હતો. બેનોઈટ આ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાની રીતો શોધી રહ્યો હતો. માપન પરિણામો દ્વારા જોતાં, તેણે એક વિચિત્ર પેટર્ન જોયું, એટલે કે: અવાજના આલેખ જુદા જુદા સમયના ભીંગડા પર સમાન દેખાતા હતા.

સમાન ચિત્ર એક દિવસના સમયગાળા માટે અને સાત દિવસ અથવા એક કલાક માટે જોવા મળ્યું હતું. બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે પોતે વારંવાર પુનરાવર્તન કર્યું હતું કે તે સૂત્રો સાથે કામ કરતો નથી, પરંતુ ચિત્રો સાથે રમે છે. આ વૈજ્ઞાનિક અલગ હતો કલ્પનાશીલ વિચારસરણી, તેમણે કોઈપણ બીજગણિતીય સમસ્યાનો ભૌમિતિક ડોમેનમાં અનુવાદ કર્યો, જ્યાં સાચો જવાબ સ્પષ્ટ છે. તેથી તે આશ્ચર્યજનક નથી કે તે સમૃદ્ધ છે અને ખંડિત ભૂમિતિના પિતા બન્યા છે. છેવટે, આ આકૃતિની જાગૃતિ ત્યારે જ આવી શકે છે જ્યારે તમે રેખાંકનોનો અભ્યાસ કરો છો અને પેટર્નની રચના કરતી આ વિચિત્ર વમળોના અર્થ વિશે વિચારો છો. ફ્રેક્ટલ પેટર્નમાં સમાન તત્વો હોતા નથી, પરંતુ તે કોઈપણ સ્કેલ પર સમાન હોય છે.

જુલિયા - મેન્ડેલબ્રોટ

આ આકૃતિના પ્રથમ ડ્રોઇંગમાંનું એક સેટનું ગ્રાફિક અર્થઘટન હતું, જેનો જન્મ ગેસ્ટન જુલિયાના કાર્યમાંથી થયો હતો અને મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા વધુ વિકસિત કરવામાં આવ્યો હતો. ગેસ્ટને કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કર્યો કે સેટ કેવો દેખાય છે, જે લૂપ દ્વારા પુનરાવર્તિત એક સરળ સૂત્રના આધારે બનાવવામાં આવ્યો હતો. પ્રતિસાદ. ચાલો માનવ ભાષામાં શું કહેવામાં આવ્યું છે તે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરીએ, તેથી આંગળીઓ પર બોલવા માટે. ચોક્કસ માટે સંખ્યાત્મક મૂલ્યસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે નવી કિંમત શોધીએ છીએ. અમે તેને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને નીચેના શોધીએ છીએ. પરિણામ એક વિશાળ છે આવા સમૂહનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે, તમારે આ કામગીરી કરવાની જરૂર છે મોટી રકમવખત: સેંકડો, હજારો, લાખો. બેનોઈટે આ જ કર્યું. તેણે ક્રમની પ્રક્રિયા કરી અને પરિણામોને સ્થાનાંતરિત કર્યા ગ્રાફિક સ્વરૂપ. ત્યારબાદ, તેણે પરિણામી આકૃતિને રંગીન કરી (દરેક રંગ ચોક્કસ સંખ્યાના પુનરાવર્તનને અનુરૂપ છે). આ ગ્રાફિક ઈમેજને "મેન્ડેલબ્રોટ ફ્રેકટલ" નામ આપવામાં આવ્યું હતું.

એલ. સુથાર: કુદરત દ્વારા બનાવવામાં આવેલ કલા

ફ્રેક્ટલ થિયરી ઝડપથી મળી વ્યવહારુ એપ્લિકેશન. તે સ્વ-સમાન છબીઓના વિઝ્યુલાઇઝેશન સાથે ખૂબ નજીકથી સંબંધિત હોવાથી, કલાકારોએ આ અસામાન્ય સ્વરૂપોના નિર્માણ માટે સિદ્ધાંતો અને અલ્ગોરિધમ્સ અપનાવનારા પ્રથમ હતા. તેમાંથી પ્રથમ પિક્સરના ભાવિ સ્થાપક, લોરેન કાર્પેન્ટર હતા. એરક્રાફ્ટ પ્રોટોટાઇપના પ્રેઝન્ટેશન પર કામ કરતી વખતે, તેને પર્વતોની છબીને પૃષ્ઠભૂમિ તરીકે ઉપયોગ કરવાનો વિચાર આવ્યો. આજે, લગભગ દરેક કમ્પ્યુટર વપરાશકર્તા આવા કાર્યનો સામનો કરી શકે છે, પરંતુ છેલ્લી સદીના સિત્તેરના દાયકામાં, કમ્પ્યુટર્સ આવી પ્રક્રિયાઓ કરવા સક્ષમ ન હતા, કારણ કે તે સમયે ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રાફિક્સ માટે કોઈ ગ્રાફિક સંપાદકો અથવા એપ્લિકેશનો નહોતા. અને પછી લોરેન મેન્ડેલબ્રોટના પુસ્તક "ફ્રેકલ્સ: ફોર્મ, રેન્ડમનેસ એન્ડ ડાયમેન્શન" પર આવી. તેમાં, બેનોઈટે ઘણા ઉદાહરણો આપ્યા, જે દર્શાવે છે કે ફ્રેકટલ્સ પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે (fyva), તેમણે તેમના વિવિધ આકારોનું વર્ણન કર્યું અને સાબિત કર્યું કે તેઓ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા સરળતાથી વર્ણવવામાં આવે છે. ગણિતશાસ્ત્રીએ આ સાદ્રશ્યને તેમના સાથીદારોની ટીકાના અવરોધના જવાબમાં વિકસાવી રહેલા સિદ્ધાંતની ઉપયોગીતા માટે દલીલ તરીકે ટાંક્યો. તેઓએ દલીલ કરી હતી કે ફ્રેકટલ ન્યાયી છે સુંદર ચિત્ર, કોઈ મૂલ્ય નથી, કામની આડપેદાશ છે ઇલેક્ટ્રોનિક મશીનો. કાર્પેન્ટરે આ પદ્ધતિને વ્યવહારમાં અજમાવવાનું નક્કી કર્યું. પુસ્તકનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કર્યા પછી, ભાવિ એનિમેટરે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ખંડિત ભૂમિતિને અમલમાં મૂકવાની રીત શોધવાનું શરૂ કર્યું. તેના કમ્પ્યુટર પર પર્વતીય લેન્ડસ્કેપની સંપૂર્ણ વાસ્તવિક છબી રેન્ડર કરવામાં તેને માત્ર ત્રણ દિવસનો સમય લાગ્યો. અને આજે આ સિદ્ધાંત વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. જેમ જેમ તે તારણ આપે છે, ફ્રેકટલ્સ બનાવવા માટે વધુ સમય અને પ્રયત્ન નથી લાગતો.

સુથારનો ઉકેલ

લોરેનનો ઉપયોગ કરવામાં આવેલ સિદ્ધાંત સરળ હતો. તે મોટા તત્વોને નાના તત્વોમાં વિભાજીત કરે છે, અને તે સમાન નાના તત્વોમાં, વગેરે. સુથાર, મોટા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને, તેમને 4 નાનામાં વિભાજિત કરે છે, અને તેથી વધુ, જ્યાં સુધી તેની પાસે વાસ્તવિક પર્વત લેન્ડસ્કેપ ન હોય. આમ, જરૂરી ઇમેજ બનાવવા માટે કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ફ્રેક્ટલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરનાર તે પ્રથમ કલાકાર બન્યો. આજે આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ વિવિધ વાસ્તવિક કુદરતી સ્વરૂપોનું અનુકરણ કરવા માટે થાય છે.

ફ્રેક્ટલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ 3D વિઝ્યુલાઇઝેશન

થોડા વર્ષોમાં, લોરેને તેના વિકાસને લાગુ કર્યું મોટા પાયે પ્રોજેક્ટ- એનિમેટેડ વિડિયો વોલ લિબ્રે, 1980 માં સિગ્ગ્રાફ પર બતાવવામાં આવ્યો. આ વિડિઓએ ઘણાને આંચકો આપ્યો, અને તેના નિર્માતાને લુકાસફિલ્મમાં કામ કરવા માટે આમંત્રિત કરવામાં આવ્યા. અહીં એનિમેટર તેની સંપૂર્ણ ક્ષમતાનો અહેસાસ કરવામાં સક્ષમ હતો તેણે ફીચર ફિલ્મ "સ્ટાર ટ્રેક" માટે ત્રિ-પરિમાણીય લેન્ડસ્કેપ્સ (એક આખો ગ્રહ) બનાવ્યો. 3D ગ્રાફિક્સ (Terragen, Vue, Bryce) બનાવવા માટેનો કોઈપણ આધુનિક પ્રોગ્રામ (“Fractals”) અથવા એપ્લિકેશન, ટેક્સચર અને સપાટીઓના મોડેલિંગ માટે સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરે છે.

ટોમ બેડાર્ડ

અગાઉ લેસર ભૌતિકશાસ્ત્રી અને હવે ડિજિટલ કલાકાર અને કલાકાર, બેડાર્ડે ઘણા રસપ્રદ ભૌમિતિક આકારો બનાવ્યા, જેને તેમણે ફેબર્ગે ફ્રેકટલ્સ તરીકે ઓળખાવ્યા. બાહ્યરૂપે, તેઓ રશિયન જ્વેલરના સુશોભિત ઇંડા જેવા લાગે છે; તેમની પાસે સમાન તેજસ્વી, જટિલ પેટર્ન છે. બેડાર્ડે તેના મોડલ્સના ડિજિટલ રેન્ડરિંગ્સ બનાવવા માટે ટેમ્પલેટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો. પરિણામી ઉત્પાદનો તેમની સુંદરતાથી આશ્ચર્યચકિત થાય છે. જોકે ઘણા લોકો ઉત્પાદનની તુલના કરવાનો ઇનકાર કરે છે સ્વયં બનાવેલસાથે કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામજો કે, તે સ્વીકારવું જ જોઇએ કે પરિણામી સ્વરૂપો અત્યંત સુંદર છે. ખાસ વાત એ છે કે કોઈપણ વ્યક્તિ WebGL સોફ્ટવેર લાઈબ્રેરીનો ઉપયોગ કરીને આવા ફ્રેકટલ બનાવી શકે છે. તે તમને વાસ્તવિક સમયમાં વિવિધ ફ્રેક્ટલ સ્ટ્રક્ચર્સનું અન્વેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પ્રકૃતિમાં ખંડિત

થોડા લોકો ધ્યાન આપે છે, પરંતુ આ અદ્ભુત આંકડાદરેક જગ્યાએ હાજર છે. કુદરત પોતાનામાંથી જ સર્જાય છે સમાન આંકડા, અમે માત્ર તે નોટિસ નથી. બૃહદદર્શક કાચ દ્વારા આપણી ત્વચા અથવા ઝાડના પાંદડાને જોવા માટે તે પૂરતું છે, અને આપણે ખંડિત જોશું. અથવા લો, ઉદાહરણ તરીકે, અનેનાસ અથવા તો મોરની પૂંછડી - તેમાં સમાન આકૃતિઓ હોય છે. અને રોમેનેસ્કુ બ્રોકોલીની વિવિધતા સામાન્ય રીતે તેના દેખાવમાં આકર્ષક હોય છે, કારણ કે તેને ખરેખર પ્રકૃતિનો ચમત્કાર કહી શકાય.

સંગીત વિરામ

તે તારણ આપે છે કે ફ્રેકટલ્સ માત્ર ભૌમિતિક આકાર જ નથી, તે અવાજ પણ હોઈ શકે છે. આમ, સંગીતકાર જોનાથન કોલ્ટન ખંડિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સંગીત લખે છે. તે કુદરતી સંવાદિતાને અનુરૂપ હોવાનો દાવો કરે છે. સંગીતકાર તેની બધી કૃતિઓને ક્રિએટિવકોમન્સ એટ્રિબ્યુશન-નોન કોમર્શિયલ લાયસન્સ હેઠળ પ્રકાશિત કરે છે, જે મફત વિતરણ, નકલ અને અન્યને કૃતિઓનું ટ્રાન્સફર પ્રદાન કરે છે.

ખંડિત સૂચક

આ તકનીકને ખૂબ જ અણધારી એપ્લિકેશન મળી છે. તેના આધારે, સ્ટોક એક્સચેન્જ માર્કેટનું વિશ્લેષણ કરવા માટેનું એક સાધન બનાવવામાં આવ્યું હતું, અને પરિણામે, તે ફોરેક્સ માર્કેટમાં ઉપયોગમાં લેવાનું શરૂ થયું હતું. આજકાલ, ફ્રેક્ટલ સૂચક તમામ ટ્રેડિંગ પ્લેટફોર્મ પર જોવા મળે છે અને તેનો ઉપયોગ પ્રાઈસ બ્રેકઆઉટ નામની ટ્રેડિંગ ટેકનિકમાં થાય છે. આ તકનીક બિલ વિલિયમ્સ દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. જેમ લેખક તેની શોધ પર ટિપ્પણી કરે છે, આ અલ્ગોરિધમઘણી “મીણબત્તીઓ” નું સંયોજન છે, જેમાં કેન્દ્રિય મહત્તમ અથવા તેનાથી વિપરીત, લઘુત્તમ આત્યંતિક બિંદુને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

નિષ્કર્ષમાં

તેથી અમે ફ્રેકટલ શું છે તે જોયું. તે તારણ આપે છે કે આપણી આસપાસની અરાજકતામાં, ખરેખર અસ્તિત્વમાં છે સંપૂર્ણ આકારો. કુદરત શ્રેષ્ઠ આર્કિટેક્ટ, આદર્શ બિલ્ડર અને એન્જિનિયર છે. તે ખૂબ જ તાર્કિક રીતે ગોઠવાયેલ છે, અને જો આપણે કોઈ પેટર્ન શોધી શકતા નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તે અસ્તિત્વમાં નથી. કદાચ આપણે અલગ સ્કેલ પર જોવાની જરૂર છે. આપણે વિશ્વાસ સાથે કહી શકીએ કે ફ્રેકટલ્સ હજુ પણ ઘણા રહસ્યો ધરાવે છે જે આપણે હજુ સુધી શોધવાના બાકી છે.

વૃક્ષ, દરિયા કિનારો, વાદળ કે આપણા હાથની રક્તવાહિનીઓમાં શું સામ્ય છે? પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે આ બધી વસ્તુઓમાં કંઈ સામ્ય નથી. જો કે, હકીકતમાં, બંધારણની એક મિલકત છે જે સૂચિબદ્ધ તમામ વસ્તુઓમાં સહજ છે: તે સ્વ-સમાન છે. એક શાખામાંથી, જેમ કે ઝાડના થડમાંથી, નાના અંકુર વિસ્તરે છે, તેમાંથી પણ નાના, વગેરે, એટલે કે, એક શાખા આખા વૃક્ષની સમાન છે. રુધિરાભિસરણ તંત્ર સમાન રીતે રચાયેલ છે: ધમનીઓમાંથી ધમનીઓ પ્રસ્થાન કરે છે, અને તેમાંથી સૌથી નાની રુધિરકેશિકાઓ કે જેના દ્વારા ઓક્સિજન અંગો અને પેશીઓમાં પ્રવેશ કરે છે. ચાલો જોઈએ જગ્યા છબીઓસમુદ્ર કિનારો: આપણે ખાડીઓ અને દ્વીપકલ્પ જોશું; ચાલો તેને જોઈએ, પરંતુ પક્ષીની નજરથી: આપણે ખાડીઓ અને કેપ્સ જોશું; હવે કલ્પના કરો કે આપણે બીચ પર ઉભા છીએ અને આપણા પગ તરફ જોઈ રહ્યા છીએ: ત્યાં હંમેશા કાંકરા હશે જે બાકીના કરતા પાણીમાં આગળ નીકળશે. એટલે કે, દરિયાકિનારો, જ્યારે ઝૂમ ઇન થાય છે, ત્યારે તે તેના જેવો જ રહે છે. અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી (જોકે તે ફ્રાન્સમાં ઉછર્યા હતા) બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે આ ગુણધર્મને ખંડિતતા કહે છે, અને આવા પદાર્થો પોતે - ફ્રેકટલ્સ (લેટિન ફ્રેકટસમાંથી - તૂટેલા).

આ ખ્યાલની કોઈ કડક વ્યાખ્યા નથી. તેથી, શબ્દ "ફ્રેકટલ" નથી ગાણિતિક શબ્દ. સામાન્ય રીતે, ફ્રેક્ટલ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે નીચેનામાંથી એક અથવા વધુ ગુણધર્મોને સંતોષે છે: તે સ્કેલના કોઈપણ વધારા પર જટિલ માળખું ધરાવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખા, જેનો કોઈપણ ભાગ સૌથી સરળ ભૌમિતિક આકૃતિ છે - એક સેગમેન્ટ ). (આશરે) સ્વ-સમાન છે. તે અપૂર્ણાંક હૌસડોર્ફ (ફ્રેક્ટલ) પરિમાણ ધરાવે છે, જે ટોપોલોજિકલ કરતાં મોટું છે. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે.

ભૂમિતિ અને બીજગણિત

19મી અને 20મી સદીના વળાંકમાં ફ્રેકટલ્સનો અભ્યાસ વ્યવસ્થિત કરતાં વધુ એપિસોડિક હતો, કારણ કે અગાઉ ગણિતશાસ્ત્રીઓ મુખ્યત્વે "સારી" વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરતા હતા જેનો સામાન્ય પદ્ધતિઓ અને સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરી શકાય છે. 1872 માં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ વેયરસ્ટ્રાસે સતત કાર્યનું ઉદાહરણ બનાવ્યું જે ક્યાંય અલગ નથી. જો કે, તેનું બાંધકામ સંપૂર્ણપણે અમૂર્ત અને સમજવું મુશ્કેલ હતું. તેથી, 1904 માં, સ્વીડનના હેલ્ગે વોન કોચ એક સતત વળાંક સાથે આવ્યા હતા જેમાં ક્યાંય પણ સ્પર્શક નથી, અને દોરવા માટે એકદમ સરળ છે. તે બહાર આવ્યું છે કે તેમાં ફ્રેક્ટલના ગુણધર્મો છે. આ વળાંકના એક પ્રકારને "કોચ સ્નોવફ્લેક" કહેવામાં આવે છે.

બેનોઇટ મેન્ડેલબ્રોટના ભાવિ માર્ગદર્શક, ફ્રેન્ચમેન પોલ પિયર લેવી દ્વારા આકૃતિઓની સ્વ-સમાનતાનો વિચાર લેવામાં આવ્યો હતો. 1938 માં, તેમનો લેખ "પ્લેન અને અવકાશી વળાંકો અને સપાટીઓ જેમાં સમગ્ર સમાન ભાગોનો સમાવેશ થાય છે" પ્રકાશિત થયો હતો, જેમાં અન્ય ફ્રેકટલ - લેવી સી-વક્રનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. ઉપર સૂચિબદ્ધ આ તમામ ફ્રેકટલ્સને શરતી રીતે રચનાત્મક (ભૌમિતિક) ફ્રેકટલ્સના એક વર્ગ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

બીજો વર્ગ ડાયનેમિક (બીજગણિત) ફ્રેકટલ્સ છે, જેમાં મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહનો સમાવેશ થાય છે. આ દિશામાં પ્રથમ સંશોધન 20મી સદીની શરૂઆતમાં શરૂ થયું હતું અને તે નામો સાથે સંકળાયેલું છે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓગેસ્ટન જુલિયા અને પિયર ફાટુ. 1918 માં, જુલિયાની લગભગ બે-સો પાનાની સંસ્મરણો પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી, જે સંકુલના પુનરાવર્તનને સમર્પિત હતી. તર્કસંગત કાર્યો, જે જુલિયા સેટનું વર્ણન કરે છે, મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ સાથે નજીકથી સંબંધિત ફ્રેકટલ્સનો આખો પરિવાર. આ કાર્યને ઇનામ આપવામાં આવ્યું હતું ફ્રેન્ચ એકેડેમી, જો કે, તેમાં એક પણ દૃષ્ટાંત ન હતું, તેથી ખુલ્લી વસ્તુઓની સુંદરતાની પ્રશંસા કરવી અશક્ય હતી. આ કાર્યએ જુલિયાને તે સમયના ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં પ્રખ્યાત બનાવ્યું તે હકીકત હોવા છતાં, તે ઝડપથી ભૂલી ગઈ હતી. કોમ્પ્યુટરના આગમન સાથે માત્ર અડધી સદી પછી તેનું ધ્યાન ફરી વળ્યું: તેઓ જ હતા જેમણે ફ્રેકટલ્સની દુનિયાની સમૃદ્ધિ અને સુંદરતા દેખાડી.

ખંડિત પરિમાણો

જેમ જાણીતું છે, ભૌમિતિક આકૃતિનું પરિમાણ (પરિમાણોની સંખ્યા) એ આ આકૃતિ પર પડેલા બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે જરૂરી કોઓર્ડિનેટ્સની સંખ્યા છે.
ઉદાહરણ તરીકે, વળાંક પરના બિંદુની સ્થિતિ એક સંકલન દ્વારા, સપાટી પર (જરૂરી નથી કે પ્લેન હોય) બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
વધુ સામાન્ય તરફથી ગાણિતિક બિંદુટોપોલોજિકલ દૃષ્ટિકોણથી, કોઈ આ રીતે પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે: રેખીય પરિમાણોમાં વધારો, કહો, બે પરિબળ દ્વારા, એક-પરિમાણીય (ટોપોલોજિકલ દૃષ્ટિકોણથી) ઑબ્જેક્ટ્સ (સેગમેન્ટ) માટે વધારો તરફ દોરી જાય છે. કદ (લંબાઈ) માં બેના પરિબળ દ્વારા, બે પરિમાણીય (ચોરસ) માટે રેખીય પરિમાણોમાં સમાન વધારો કદ (ક્ષેત્ર) માં 4 ગણો વધારો તરફ દોરી જાય છે, ત્રિ-પરિમાણીય (ઘન) માટે - 8 ગણો . એટલે કે, "વાસ્તવિક" (કહેવાતા હોસડોર્ફ) પરિમાણની ગણતરી તેના રેખીય કદમાં વધારાના લઘુગણક સાથેના ઑબ્જેક્ટના "કદ" માં વધારાના લઘુગણકના ગુણોત્તર તરીકે કરી શકાય છે. એટલે કે, સેગમેન્ટ D=log (2)/log (2)=1 માટે, પ્લેન D=log (4)/log (2)=2 માટે, વોલ્યુમ D=log (8)/log (2) માટે )=3.
ચાલો હવે કોચ વળાંકના પરિમાણની ગણતરી કરીએ, જે બાંધવા માટે એકમ સેગમેન્ટને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને મધ્ય અંતરાલને આ ખંડ વિના સમબાજુ ત્રિકોણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. જ્યારે લઘુત્તમ સેગમેન્ટના રેખીય પરિમાણો ત્રણ ગણા વધે છે, ત્યારે કોચ વળાંકની લંબાઈ લોગ (4)/લોગ (3) ~ 1.26 દ્વારા વધે છે. એટલે કે, કોચ વળાંકનું પરિમાણ અપૂર્ણાંક છે!

વિજ્ઞાન અને કલા

1982 માં, મેન્ડેલબ્રોટનું પુસ્તક "પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ" પ્રકાશિત થયું હતું, જેમાં લેખકે તે સમયે ઉપલબ્ધ ફ્રેકટલ્સ વિશેની લગભગ તમામ માહિતી એકત્રિત અને વ્યવસ્થિત કરી હતી અને તેને સરળ અને સુલભ રીતે રજૂ કરી હતી. મેન્ડેલબ્રોટે તેમની પ્રસ્તુતિમાં મુખ્ય ભાર ભારે સૂત્રો અને ગાણિતિક રચનાઓ પર નહીં, પરંતુ વાચકોની ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન પર મૂક્યો. કમ્પ્યુટર અને ઐતિહાસિક વાર્તાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ચિત્રો માટે આભાર, જેની સાથે લેખકે કુશળતાપૂર્વક મોનોગ્રાફના વૈજ્ઞાનિક ઘટકને પાતળું કર્યું, પુસ્તક બેસ્ટ સેલર બન્યું, અને ફ્રેકટલ્સ સામાન્ય લોકો માટે જાણીતા બન્યા. બિન-ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં તેમની સફળતા મોટે ભાગે એ હકીકતને કારણે છે કે, ખૂબ જ મદદ સાથે સરળ ડિઝાઇનઅને સૂત્રો કે જે એક ઉચ્ચ શાળાનો વિદ્યાર્થી પણ સમજી શકે છે, પરિણામી છબીઓ જટિલતા અને સુંદરતામાં અદ્ભુત છે. જ્યારે પર્સનલ કોમ્પ્યુટર્સ પર્યાપ્ત શક્તિશાળી બન્યા, ત્યારે કલામાં એક સંપૂર્ણ દિશા પણ દેખાઈ - ફ્રેક્ટલ પેઇન્ટિંગ, અને લગભગ કોઈપણ કમ્પ્યુટર માલિક તે કરી શકે છે. હવે ઇન્ટરનેટ પર તમે આ વિષયને સમર્પિત ઘણી સાઇટ્સ સરળતાથી શોધી શકો છો.

કોચ વળાંક મેળવવા માટેની યોજના

યુદ્ધ અને શાંતિ

ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવતા કુદરતી પદાર્થો પૈકી એક દરિયાકિનારો છે. તેની સાથે એક રસપ્રદ વાર્તા જોડાયેલી છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેની લંબાઈને માપવાના પ્રયાસ સાથે, જેણે આધાર બનાવ્યો. વૈજ્ઞાનિક લેખમેન્ડેલબ્રોટ, અને તેમના પુસ્તક "પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ" માં પણ વર્ણવેલ છે. તે વિશે છેલેવિસ રિચાર્ડસન દ્વારા હાથ ધરવામાં આવેલા પ્રયોગ વિશે, જે ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી અને તરંગી ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને હવામાનશાસ્ત્રી છે. તેમના સંશોધનની દિશાઓમાંની એક બે દેશો વચ્ચેના સશસ્ત્ર સંઘર્ષના કારણો અને સંભાવનાઓનું ગાણિતિક વર્ણન શોધવાનો પ્રયાસ હતો. તેમણે ધ્યાનમાં લીધેલા પરિમાણોમાં બે લડતા દેશોની સામાન્ય સરહદની લંબાઈ હતી. જ્યારે તેણે સંખ્યાત્મક પ્રયોગો માટે ડેટા એકત્રિત કર્યો, ત્યારે તેણે તે શોધ્યું વિવિધ સ્ત્રોતોસ્પેન અને પોર્ટુગલની સામાન્ય સરહદ પરનો ડેટા ઘણો અલગ છે. આનાથી તેમને નીચેની શોધ માટે પ્રોત્સાહિત કરવામાં આવ્યા: દેશની સરહદોની લંબાઈ શાસક પર આધાર રાખે છે કે જેની સાથે આપણે તેમને માપીએ છીએ. જેટલો નાનો સ્કેલ, તેટલી લાંબી સરહદ. આ એ હકીકતને કારણે છે કે વધુ વિસ્તૃતીકરણ સાથે દરિયાકાંઠાના વધુ અને વધુ નવા વળાંકોને ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બને છે, જે માપની બરછટતાને કારણે અગાઉ અવગણવામાં આવ્યા હતા. અને જો, સ્કેલના દરેક વધારા સાથે, રેખાઓના વળાંક માટે અગાઉ બિનહિસાબી જાહેર કરવામાં આવે છે, તો તે તારણ આપે છે કે સીમાઓની લંબાઈ અનંત છે! સાચું, આ વાસ્તવમાં થતું નથી - અમારા માપની ચોકસાઈની મર્યાદિત મર્યાદા છે. આ વિરોધાભાસને રિચાર્ડસન અસર કહેવામાં આવે છે.

રચનાત્મક (ભૌમિતિક) ફ્રેકટલ્સ

માં રચનાત્મક ફ્રેકટલ બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમ સામાન્ય કેસતે કેવી રીતે છે. સૌ પ્રથમ, આપણને બે યોગ્ય ભૌમિતિક આકારોની જરૂર છે, ચાલો તેમને આધાર અને ટુકડો કહીએ. પ્રથમ તબક્કે, ભાવિ ફ્રેકટલનો આધાર દર્શાવવામાં આવ્યો છે. પછી તેના કેટલાક ભાગોને યોગ્ય સ્કેલ પર લેવામાં આવેલા ટુકડા સાથે બદલવામાં આવે છે - આ બાંધકામનું પ્રથમ પુનરાવર્તન છે. પછી પરિણામી આકૃતિ ફરીથી અમુક ભાગોને ટુકડા જેવા આકૃતિઓમાં બદલી નાખે છે, વગેરે. જો આપણે આ પ્રક્રિયાને અનંત સુધી ચાલુ રાખીશું, તો મર્યાદામાં આપણને ફ્રેકટલ મળશે.

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે કોચ કર્વનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રક્રિયાને જોઈએ (પાછલા પૃષ્ઠ પર સાઇડબાર જુઓ). તમે કોચ વળાંકના આધાર તરીકે કોઈપણ વળાંક લઈ શકો છો ("કોચ સ્નોવફ્લેક" માટે તે ત્રિકોણ છે). પરંતુ આપણે આપણી જાતને સૌથી સરળ કેસ સુધી મર્યાદિત કરીશું - એક સેગમેન્ટ. ટુકડો એ તૂટેલી રેખા છે, જે આકૃતિમાં ટોચ પર દર્શાવેલ છે. અલ્ગોરિધમના પ્રથમ પુનરાવૃત્તિ પછી, આ કિસ્સામાં મૂળ સેગમેન્ટ ટુકડા સાથે એકરુપ થશે, પછી તેના દરેક ઘટક સેગમેન્ટને ટુકડા જેવી જ તૂટેલી રેખા દ્વારા બદલવામાં આવશે, વગેરે. આકૃતિ આના પ્રથમ ચાર પગલાં બતાવે છે. પ્રક્રિયા

ગણિતની ભાષામાં: ગતિશીલ (બીજગણિત) ફ્રેકટલ્સ

બિનરેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ પ્રકારના ફ્રેકલ્સ ઉદ્ભવે છે (તેથી તેનું નામ). આવી સિસ્ટમની વર્તણૂકને જટિલ બિનરેખીય કાર્ય (બહુપદી) f(z) દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ચાલો કેટલાક પ્રારંભિક બિંદુ z0 પર લઈએ જટિલ વિમાન(સાઇડબાર જુઓ). હવે જટિલ પ્લેન પર સંખ્યાઓના આવા અનંત ક્રમને ધ્યાનમાં લો, જેમાંથી દરેક આગલામાંથી મેળવેલ છે: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). પ્રારંભિક બિંદુ z0 પર આધાર રાખીને, આવો ક્રમ અલગ રીતે વર્તે છે: n -> ∞ તરીકે અનંતતા તરફ વલણ ધરાવે છે; કેટલાકમાં ભેળવવું અંતિમ બિંદુ; ચક્રીય રીતે નિશ્ચિત મૂલ્યોની શ્રેણી લો; વધુ જટિલ વિકલ્પો પણ શક્ય છે.

જટિલ સંખ્યાઓ

જટિલ સંખ્યા એ બે ભાગો ધરાવતી સંખ્યા છે - વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક, એટલે કે, ઔપચારિક સરવાળો x + iy (અહીં x અને y - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ). હું કહેવાતો છું કાલ્પનિક એકમ, એટલે કે, એક સંખ્યા જે સમીકરણને સંતોષે છે i^ 2 = -1. જટિલ સંખ્યાઓ પરની મૂળભૂત ગાણિતિક ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે: સરવાળો, ગુણાકાર, ભાગાકાર, બાદબાકી (ફક્ત સરખામણી ક્રિયા વ્યાખ્યાયિત નથી). જટિલ સંખ્યાઓ પ્રદર્શિત કરવા માટે, ભૌમિતિક રજૂઆતનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે - પ્લેન પર (તેને જટિલ કહેવામાં આવે છે), વાસ્તવિક ભાગ એબ્સીસા અક્ષ સાથે રચાયેલ છે, અને કાલ્પનિક ભાગ ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે રચાયેલ છે, અને સાથેનો બિંદુ અનુરૂપ હશે. જટિલ સંખ્યા કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ x અને y.

આમ, ફંક્શન f(z) ના પુનરાવૃત્તિ દરમિયાન જટિલ પ્લેનનો કોઈપણ બિંદુ z તેની પોતાની વર્તણૂક ધરાવે છે, અને સમગ્ર પ્લેન ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે. તદુપરાંત, આ ભાગોની સીમાઓ પર પડેલા બિંદુઓમાં નીચેની મિલકત છે: મનસ્વી રીતે નાના વિસ્થાપન સાથે, તેમના વર્તનની પ્રકૃતિ તીવ્રપણે બદલાય છે (આવા બિંદુઓને દ્વિભાજન બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે). તેથી, તે તારણ આપે છે કે પોઈન્ટના સેટ કે જેમાં એક ચોક્કસ પ્રકારનું વર્તન હોય છે, તેમજ દ્વિભાજન બિંદુઓના સેટમાં ઘણી વખત ખંડિત ગુણધર્મો હોય છે. ફંક્શન f(z) માટે આ જુલિયા સેટ છે.

ડ્રેગન કુટુંબ

આધાર અને ટુકડાને અલગ કરીને, તમે રચનાત્મક ફ્રેકટલ્સની અદભૂત વિવિધતા મેળવી શકો છો.
તદુપરાંત, સમાન કામગીરીઓ માં કરી શકાય છે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા. વોલ્યુમેટ્રિક ફ્રેકટલ્સના ઉદાહરણોમાં "મેન્જર સ્પોન્જ", "સિઅરપિન્સકી પિરામિડ" અને અન્યનો સમાવેશ થાય છે.
ડ્રેગન પરિવારને પણ રચનાત્મક ખંડિત માનવામાં આવે છે. કેટલીકવાર તેઓને તેમના શોધકર્તાઓ "હેવી-હાર્ટર ડ્રેગન" ના નામથી બોલાવવામાં આવે છે (તેમના આકારમાં તેઓ ચાઇનીઝ ડ્રેગન જેવા હોય છે). આ વળાંક બાંધવાની ઘણી રીતો છે. તેમાંથી સૌથી સરળ અને સૌથી દ્રશ્ય આ છે: તમારે કાગળની એકદમ લાંબી પટ્ટી લેવાની જરૂર છે (કાગળ જેટલો પાતળો, તેટલો વધુ સારો), અને તેને અડધા ભાગમાં વાળવો. પછી તેને પ્રથમ વખતની દિશામાં ફરીથી અડધા ભાગમાં વાળો. ઘણી પુનરાવર્તનો પછી (સામાન્ય રીતે પાંચ કે છ ફોલ્ડ પછી સ્ટ્રીપ ખૂબ જાડી થઈ જાય છે જેથી તે નરમાશથી આગળ ન વળે), તમારે સ્ટ્રીપને પાછી વાળવાની જરૂર છે, અને ફોલ્ડ પર 90˚ ખૂણા બનાવવાનો પ્રયાસ કરો. પછી પ્રોફાઇલમાં તમને ડ્રેગનનો વળાંક મળશે. અલબત્ત, આ માત્ર એક અંદાજ હશે, જેમ કે ખંડિત વસ્તુઓનું નિરૂપણ કરવાના અમારા બધા પ્રયાસો. કમ્પ્યુટર આ પ્રક્રિયાના ઘણા વધુ પગલાઓને ચિત્રિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને પરિણામ ખૂબ જ સુંદર આકૃતિ છે.

મેન્ડેલબ્રોટ સેટ કંઈક અલગ રીતે બાંધવામાં આવ્યો છે. ફંકશન fc (z) = z 2 +c ધ્યાનમાં લો, જ્યાં c એ જટિલ સંખ્યા છે. ચાલો આ ફંક્શનનો ક્રમ z0=0 સાથે બનાવીએ c પરિમાણ પર આધાર રાખીને, તે અનંત તરફ વળી શકે છે અથવા મર્યાદિત રહી શકે છે. વધુમાં, c ના તમામ મૂલ્યો કે જેના માટે આ ક્રમ મર્યાદિત છે તે મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ બનાવે છે. મેન્ડેલબ્રોટ પોતે અને અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા તેનો વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે આ સમૂહના ઘણા રસપ્રદ ગુણધર્મો શોધી કાઢ્યા હતા.

તે જોઈ શકાય છે કે જુલિયા અને મેન્ડેલબ્રોટ સેટની વ્યાખ્યાઓ એકબીજા સાથે સમાન છે. હકીકતમાં, આ બે સેટ નજીકથી સંબંધિત છે. જેમ કે, મેન્ડેલબ્રોટ સેટ એ જટિલ પરિમાણ c ના તમામ મૂલ્યો છે જેના માટે જુલિયા સેટ fc (z) જોડાયેલ છે (જો સેટને કેટલીક વધારાની શરતો સાથે, બે અસંબંધિત ભાગોમાં વિભાજિત ન કરી શકાય તો તેને કનેક્ટેડ કહેવામાં આવે છે).

ખંડિત અને જીવન

આજકાલ, ફ્રેકટલ્સનો સિદ્ધાંત વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે વિવિધ વિસ્તારોમાનવ પ્રવૃત્તિ. સંશોધન માટેના સંપૂર્ણ વૈજ્ઞાનિક ઑબ્જેક્ટ અને પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત ફ્રેક્ટલ પેઇન્ટિંગ ઉપરાંત, ગ્રાફિક ડેટાને સંકુચિત કરવા માટે માહિતી સિદ્ધાંતમાં ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (અહીં મુખ્યત્વે ફ્રેકટલ્સની સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મનો ઉપયોગ થાય છે - છેવટે, ચિત્રના નાના ટુકડાને યાદ રાખવા માટે અને રૂપાંતરણો કે જેની સાથે તમે બાકીના ભાગો મેળવી શકો છો, આખી ફાઇલ સ્ટોર કરવા કરતાં ઘણી ઓછી જરૂરી મેમરી છે). ફ્રેક્ટલને વ્યાખ્યાયિત કરતા સૂત્રોમાં રેન્ડમ ડિસ્ટર્બન્સ ઉમેરીને, તમે સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ મેળવી શકો છો જે ખૂબ જ બુદ્ધિગમ્ય રીતે કેટલાક વાસ્તવિક પદાર્થો - રાહત તત્વો, જળાશયોની સપાટી, કેટલાક છોડ, જેનો ભૌતિકશાસ્ત્ર, ભૂગોળ અને કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ થાય છે. વાસ્તવિક સાથે સિમ્યુલેટેડ વસ્તુઓની સમાનતા. રેડિયો ઇલેક્ટ્રોનિક્સમાં, છેલ્લા દાયકામાં, ખંડિત આકારવાળા એન્ટેનાનું ઉત્પાદન થવાનું શરૂ થયું. થોડી જગ્યા લેતા, તેઓ ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળા સિગ્નલ રિસેપ્શન પ્રદાન કરે છે. અર્થશાસ્ત્રીઓ ચલણની વધઘટના વળાંકોનું વર્ણન કરવા માટે ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ કરે છે (આ મિલકત 30 કરતાં વધુ વર્ષ પહેલાં મેન્ડેલબ્રોટે શોધી હતી). આ ફ્રેકટલ્સની અદ્ભૂત સુંદર અને વૈવિધ્યસભર દુનિયામાં આ ટૂંકા પ્રવાસને સમાપ્ત કરે છે.