શ્રેષ્ઠ કોડને એક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેમાં દરેક દ્વિસંગી પ્રતીક મહત્તમ માહિતી આપે છે. હાર્ટલી અને શેનોન ફોર્મ્યુલાના આધારે, સમાન સંભવિત ઘટનાઓ માટે મહત્તમ એન્ટ્રોપી પ્રાપ્ત થાય છે, તેથી, જો એન્કોડેડ સંદેશમાં 0 અને 1 પ્રતીકો સમાન રીતે દેખાય તો બાઈનરી કોડ શ્રેષ્ઠ રહેશે.
ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પેસ અક્ષર "-" સાથે રશિયન મૂળાક્ષરોના અક્ષરોના શ્રેષ્ઠ દ્વિસંગી એન્કોડિંગને ધ્યાનમાં લઈએ. અમે માનીએ છીએ કે સંદેશમાં રશિયન મૂળાક્ષરોના અક્ષરોના દેખાવની સંભાવનાઓ જાણીતી છે, ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટક 3 માં આપેલ.
કોષ્ટક 3. રશિયન ભાષામાં અક્ષરોની આવર્તન (ધારણા)
કે. શેનોન અને આર. ફેનોએ 1948-1949માં સ્વતંત્ર રીતે પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. શરતની પરિપૂર્ણતાના આધારે કોડ બનાવવાની પદ્ધતિ સમાન સંભાવનાએન્કોડેડ સંદેશમાં અક્ષરો 0 અને 1.
બધા એન્કોડેડ અક્ષરો (અક્ષરો) ને બે જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જેથી પ્રથમ જૂથમાંના પાત્રોની સંભાવનાઓનો સરવાળો બીજા જૂથના પાત્રોની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલો હોય (એટલે કે, સંભવિતતા કે જેમાંથી કોઈ પાત્ર પ્રથમ જૂથ સંદેશમાં દેખાશે તે સંભાવના સમાન છે કે બીજા જૂથમાંથી એક અક્ષર).
પ્રથમ જૂથના પ્રતીકો માટે, કોડના પ્રથમ અંકનું મૂલ્ય "0" ની બરાબર સોંપેલ છે, બીજા જૂથના પ્રતીકો માટે - "1" ની બરાબર છે.
આગળ, દરેક જૂથને બે પેટાજૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેથી દરેક પેટાજૂથમાં ચિહ્નોની સંભાવનાઓનો સરવાળો સમાન હોય. દરેક જૂથના પ્રથમ પેટાજૂથના પ્રતીકો માટે, કોડના બીજા અંકનું મૂલ્ય "0" ની બરાબર અસાઇન કરવામાં આવ્યું છે, દરેક જૂથના બીજા પેટાજૂથના પ્રતીકો માટે - "1". પ્રતીકોને જૂથોમાં વિભાજીત કરવાની અને એન્કોડિંગની આ પ્રક્રિયા જ્યાં સુધી પેટાજૂથોમાં એક પ્રતીક રહે ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે.
રશિયન મૂળાક્ષરોના એન્કોડિંગ અક્ષરોનું ઉદાહરણ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યું છે. 4
કોષ્ટક 4. શેનોન-ફેનો કોડનો ઉપયોગ કરીને રશિયન મૂળાક્ષરોના એન્કોડિંગ અક્ષરોનું ઉદાહરણ.
કોષ્ટકમાં આપેલા કોડ્સનું વિશ્લેષણ એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે કે વારંવાર બનતા અક્ષરો ટૂંકા દ્વિસંગી સિક્વન્સ સાથે એન્કોડ કરવામાં આવે છે, અને ભાગ્યે જ બનતા અક્ષરો લાંબા હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે, સરેરાશ, ચોક્કસ લંબાઈના સંદેશને એન્કોડ કરવા માટે તે લેશે નાની સંખ્યાકોઈપણ અન્ય એન્કોડિંગ પદ્ધતિ કરતાં દ્વિસંગી અક્ષરો 0 અને 1.
તે જ સમયે, શેનોન-ફેનો કોડ બનાવવા માટેની પ્રક્રિયા ફેનો અલગતાના માપદંડને સંતોષે છે. કોડ પ્રીફિક્સ્ડ છે અને દ્વિસંગી સંદેશને સ્પષ્ટ રીતે ડીકોડ કરવા માટે તેને એકબીજાથી અક્ષરોને અલગ કરવા માટે કોઈ વિશિષ્ટ અક્ષરની જરૂર નથી.
આમ, ભૂલ-સુધારણા કોડિંગની સમસ્યા સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ સંશોધન. મુખ્ય કાર્યો નીચે મુજબ છે: કોડ્સ શોધવા કે જે જરૂરી પ્રકારની ભૂલોને અસરકારક રીતે સુધારે છે; એન્કોડિંગ અને ડીકોડિંગ પદ્ધતિઓ શોધવી અને સરળ રીતોતેમના અમલીકરણ.
આ સમસ્યાઓ વ્યવસ્થિત કોડના સંબંધમાં શ્રેષ્ઠ રીતે વિકસિત થાય છે. આવા કોડ સફળતાપૂર્વક ઉપયોગમાં લેવાય છે કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી, વિવિધ સ્વચાલિત ડિજિટલ ઉપકરણો અને ડિજિટલ માહિતી ટ્રાન્સમિશન સિસ્ટમ્સ.
નિષ્કર્ષ
અમે કોડિંગ કાર્ય પર જોયું જેમાં શામેલ છે:
1. નિરર્થકતાને દૂર કરીને માહિતી ટ્રાન્સફરની ખર્ચ-અસરકારકતાને સુનિશ્ચિત કરવી.
2. માહિતી પ્રસારણની વિશ્વસનીયતા (અવાજ પ્રતિરક્ષા) સુનિશ્ચિત કરવી
3. ચેનલ ક્ષમતા સાથે માહિતી પ્રસારણ ઝડપનું સંકલન
કોડિંગ કાર્ય એ કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનની મુખ્ય વિભાવનાઓમાંની એક છે, કારણ કે કોડિંગ એ માહિતીના સ્થાનાંતરણ અને સંગ્રહ પહેલા છે, અને તે મુજબ, તેમના સફળ અમલીકરણનો આધાર છે.
સંદેશાવ્યવહાર ચેનલો પર સંદેશા પ્રસારિત કરતી વખતે, હસ્તક્ષેપ થઈ શકે છે જે પ્રાપ્ત અક્ષરોની વિકૃતિ તરફ દોરી શકે છે. ભૂલ-સુધારણા કોડિંગનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યા હલ થાય છે. પ્રસારિત માહિતીના અવાજ-પ્રતિરોધક કોડિંગ સિસ્ટમના પ્રાપ્ત ભાગમાં ભૂલોને શોધવા અને સુધારવાની મંજૂરી આપે છે. ભૂલ-સુધારણા કોડિંગમાં ઉપયોગમાં લેવાતા કોડને કરેક્શન કોડ કહેવામાં આવે છે. અસરકારક કોડિંગનો પ્રથમ અભ્યાસ ક્લાઉડ શેનન દ્વારા હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો. સંચાર સિદ્ધાંત માટે મહત્વપૂર્ણ મહત્વશેનોન દ્વારા સાબિત થયેલા બે પ્રમેય છે.
કાર્યમાં આ પ્રમેયની તપાસ કરવામાં આવી હતી, અને અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સંદેશાવ્યવહાર લાઇન પર સંદેશ પ્રસારિત કરતી વખતે પ્રથમ એન્કોડિંગ પરિસ્થિતિની ચિંતા કરે છે જેમાં માહિતીને વિકૃત કરતી કોઈ દખલ નથી, એટલે કે. અવાજ-પ્રતિરોધક કોડ્સ શું હોવા જોઈએ તે માટે આ પ્રમેય એક પ્રમાણભૂત છે.
જો આપણે શેનોનના પ્રથમ પ્રમેયના આધારે કોડિંગના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ, તો અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે આ કોડિંગ તદ્દન અસરકારક છે, કારણ કે પરિણામી કોડમાં વ્યવહારીક રીતે કોઈ નિરર્થકતા નથી, પરંતુ, કમનસીબે, વાસ્તવિક સંદેશાવ્યવહાર રેખાઓમાં ઘણી દખલગીરી છે, અને આવા પરિણામ અપ્રાપ્ય છે. તેથી, શેનોનનો કોડ એટલો કાર્યક્ષમ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, હ્યુમેનનો કોડ. પરંતુ, આ હોવા છતાં, એ નોંધવું જોઇએ કે ક્લાઉડ શેનન કોડિંગ સિદ્ધાંતના સ્થાપકોમાંના એક હતા અને તેમના કાર્યએ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનના વિકાસમાં મોટો ફાળો આપ્યો હતો.
સંદર્ભો:
1. રેડિયો મેગેઝિન, નંબર 9, 1999.
વિજ્ઞાન, મોસ્કો
2. ક્લોવ્સ્કી ડી.ડી. સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન થિયરી. -એમ.: કોમ્યુનિકેશન, 1984.
3. કુદ્ર્યાશોવ બી.ડી. માહિતી સિદ્ધાંત. યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક પબ્લિશિંગ હાઉસ PITER,
4. Ryabko B.Ya Fionov A.N. અસરકારક પદ્ધતિઅનુકૂલનશીલ
મોટા મૂળાક્ષરો સાથે સ્ત્રોતો માટે અંકગણિત કોડિંગ
// માહિતી પ્રસારણની સમસ્યાઓ 1999 T.35, અંક P.95 - 108.
5. સેમેન્યુક વી.વી. અલગ માહિતીનું આર્થિક કોડિંગ સેન્ટ પીટર્સબર્ગ:
SPbGITMO (TU), 2001
6. દિમિત્રીવ વી.આઈ. લાગુ માહિતી સિદ્ધાંત. એમ.: સ્નાતક શાળા,
7. નેફેડોવ વી.એન. ઓસિપોવા વી.એ. અલગ ગણિતનો અભ્યાસક્રમ. M.: MAI,
8. Kolesnik V.D. Poltyrev G.Sh. માહિતી સિદ્ધાંત કોર્સ. એમ.: વિજ્ઞાન,
તફાવત સાથે કે "સપાટ" આલેખને બદલે, અમે સૌથી સામાન્ય અવકાશી સપાટીઓને ધ્યાનમાં લઈશું, અને તે પણ શીખીશું કે તેમને હાથથી કેવી રીતે સક્ષમ રીતે બનાવવું. મેં ત્રિ-પરિમાણીય રેખાંકનો બનાવવા માટે સૉફ્ટવેર ટૂલ્સ પસંદ કરવામાં ઘણો લાંબો સમય પસાર કર્યો અને કેટલીક સારી એપ્લિકેશનો મળી, પરંતુ ઉપયોગમાં સરળતા હોવા છતાં, આ પ્રોગ્રામ્સ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓને હલ કરતા નથી. વ્યવહારુ પ્રશ્ન. હકીકત એ છે કે નજીકના ઐતિહાસિક ભવિષ્યમાં, વિદ્યાર્થીઓ હજી પણ શાસક અને પેન્સિલથી સજ્જ હશે, અને ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળા "મશીન" ચિત્ર સાથે પણ, ઘણા તેને યોગ્ય રીતે સ્થાનાંતરિત કરી શકશે નહીં. ચેકર્ડ કાગળ. તેથી, માર્ગદર્શિકામાં ખાસ ધ્યાનમેન્યુઅલ બાંધકામની તકનીકને સમર્પિત છે, અને પૃષ્ઠના ચિત્રોનો નોંધપાત્ર ભાગ હાથથી બનાવેલ ઉત્પાદન છે.
આમાં શું અલગ છે સંદર્ભ સામગ્રીએનાલોગમાંથી?
એક પ્રતિષ્ઠિત કર્યા વ્યવહારુ અનુભવ, હું સારી રીતે જાણું છું કે કઈ સપાટીઓ સાથે મારે મોટાભાગે વ્યવહાર કરવો પડે છે વાસ્તવિક સમસ્યાઓ ઉચ્ચ ગણિત, અને મને આશા છે કે આ લેખ તમને મદદ કરશે શક્ય તેટલી વહેલી તકેતમારા સામાનને સંબંધિત જ્ઞાન અને લાગુ કુશળતાથી ભરો, જે 90-95% કેસોમાં પૂરતું હોવું જોઈએ.
તમારે શું જાણવાની જરૂર છે આ ક્ષણે?
સૌથી મૂળભૂત:
સૌ પ્રથમ, તમારે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે યોગ્ય રીતે બનાવોઅવકાશી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (લેખની શરૂઆત જુઓ આલેખ અને કાર્યોના ગુણધર્મો) .
આ લેખ વાંચ્યા પછી તમને શું મળશે?
બોટલ પાઠ સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવ્યા પછી, તમે તેના કાર્ય અને/અથવા સમીકરણ દ્વારા સપાટીના પ્રકારને ઝડપથી નિર્ધારિત કરવાનું શીખી શકશો, કલ્પના કરો કે તે અવકાશમાં કેવી રીતે સ્થિત છે અને, અલબત્ત, રેખાંકનો બનાવો. જો તમે પ્રથમ વાંચન પછી તમારા મગજમાં બધું મેળવશો નહીં તો તે ઠીક છે - તમે હંમેશા જરૂર મુજબ કોઈપણ ફકરા પર પાછા આવી શકો છો.
માહિતી દરેક વ્યક્તિની શક્તિમાં છે - તેને માસ્ટર કરવા માટે તમારે કોઈ સુપર જ્ઞાન, વિશેષ કલાત્મક પ્રતિભા અથવા અવકાશી દ્રષ્ટિની જરૂર નથી.
ચાલો શરૂ કરીએ!
વ્યવહારમાં, અવકાશી સપાટી સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે બે ચલોનું કાર્યઅથવા ફોર્મનું સમીકરણ (જમણી બાજુનો સ્થિરાંક મોટાભાગે શૂન્ય અથવા એક સમાન હોય છે). પ્રથમ હોદ્દો માટે વધુ લાક્ષણિક છે ગાણિતિક વિશ્લેષણ, બીજું - માટે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ. સમીકરણ અનિવાર્યપણે છે સ્પષ્ટપણે આપવામાં આવે છે 2 ચલોનું કાર્ય, જે લાક્ષણિક કિસ્સાઓમાં સરળતાથી ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે. હું તમને યાદ કરાવું છું સૌથી સરળ ઉદાહરણ c:
–પ્લેન સમીકરણપ્રકારની
- માં પ્લેન ફંક્શન સ્પષ્ટપણે .
ચાલો તેની સાથે પ્રારંભ કરીએ:
વિમાનોના સામાન્ય સમીકરણો
લાક્ષણિક વિકલ્પોમાં વિમાનોની વ્યવસ્થા લંબચોરસ સિસ્ટમલેખની શરૂઆતમાં કોઓર્ડિનેટ્સની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે પ્લેન સમીકરણ. જો કે, ચાલો આપણે ફરી એકવાર સમીકરણો પર ધ્યાન આપીએ મહાન મહત્વપ્રેક્ટિસ માટે.
સૌ પ્રથમ, તમારે વિમાનોના સમીકરણોને સંપૂર્ણ રીતે આપમેળે ઓળખી લેવા જોઈએ જે સમન્વયિત વિમાનોની સમાંતર છે. વિમાનોના ટુકડાઓ પ્રમાણભૂત રીતે લંબચોરસ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જે છેલ્લા બે કિસ્સામાં સમાંતરગ્રામ જેવા દેખાય છે. ડિફૉલ્ટ રૂપે, તમે કોઈપણ પરિમાણો પસંદ કરી શકો છો (અલબત્ત વાજબી મર્યાદામાં), પરંતુ તે ઇચ્છનીય છે કે જે બિંદુ પર સંકલન અક્ષ પ્લેનને "વીંધે છે" તે સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે: 
કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સંકલન અક્ષોને કેટલાક સ્થળોએ ડોટેડ રેખાઓ સાથે દર્શાવવામાં આવવી જોઈએ, પરંતુ મૂંઝવણ ટાળવા માટે અમે આ સૂક્ષ્મતાને અવગણીશું.
– (ડાબે ચિત્ર)અસમાનતા આપણાથી સૌથી દૂરની અડધી જગ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, પ્લેનને બાદ કરતાં;
– (મધ્યમ ચિત્ર)અસમાનતા પ્લેન સહિત જમણી અર્ધ-જગ્યાનો ઉલ્લેખ કરે છે;
– (જમણું ચિત્ર)બેવડી અસમાનતા એ "સ્તર" ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે પ્લેન વચ્ચે સ્થિત છે, જેમાં બંને પ્લેનનો સમાવેશ થાય છે.
સ્વ-વર્મ-અપ માટે:
ઉદાહરણ 1
વિમાનો દ્વારા બંધાયેલ શરીર દોરો
આપેલ શરીરને વ્યાખ્યાયિત કરતી અસમાનતાઓની સિસ્ટમ બનાવો.
તમારી પેન્સિલની આગેવાની હેઠળથી કોઈ જૂનો પરિચય નીકળવો જોઈએ. ક્યુબોઇડ . ભૂલશો નહીં કે અદ્રશ્ય કિનારીઓ અને ચહેરાઓ ડોટેડ લાઇનથી દોરેલા હોવા જોઈએ. પાઠના અંતે ચિત્રકામ પૂર્ણ કર્યું.
મહેરબાની કરીને, ઉપેક્ષા કરશો નહીં શીખવાના હેતુઓ, ભલે તેઓ ખૂબ સરળ લાગે. નહિંતર, એવું બની શકે છે કે તમે એક ચૂકી ગયા, બે ચૂકી ગયા, અને પછી કેટલાકમાં ત્રિ-પરિમાણીય ડ્રોઇંગનો પ્રયાસ કરવાનો નક્કર કલાક પસાર કર્યો વાસ્તવિક ઉદાહરણ. ઉપરાંત, યાંત્રિક કાર્યતમને સામગ્રીને વધુ અસરકારક રીતે શીખવામાં અને તમારી બુદ્ધિ વિકસાવવામાં મદદ કરશે! તે કોઈ સંયોગ નથી કિન્ડરગાર્ટનઅને પ્રાથમિક શાળાબાળકો ડ્રોઇંગ, મોડેલિંગ, કન્સ્ટ્રક્શન કીટ અને અન્ય કાર્યોથી ભરેલા છે સરસ મોટર કુશળતાઆંગળીઓ વિષયાંતર માટે માફ કરશો, પરંતુ મારી બે નોટબુક ગુમ થવા ન દો વિકાસલક્ષી મનોવિજ્ઞાન =)
અમે શરતી રીતે વિમાનોના આગલા જૂથને "પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા" કહીશું - આ સંકલન અક્ષોમાંથી પસાર થતા વિમાનો છે:
2) ફોર્મનું સમીકરણ ધરીમાંથી પસાર થતા પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરે છે;
3) ફોર્મનું સમીકરણ ધરીમાંથી પસાર થતા પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરે છે.
જોકે ઔપચારિક સંકેત સ્પષ્ટ છે (સમીકરણમાંથી કયું ચલ ખૂટે છે - પ્લેન તે અક્ષમાંથી પસાર થાય છે), બની રહેલી ઘટનાઓના સારને સમજવા માટે તે હંમેશા ઉપયોગી છે:
ઉદાહરણ 2
પ્લેન બાંધો
બિલ્ડ કરવાની શ્રેષ્ઠ રીત કઈ છે? હું સૂચન કરું છું આગામી અલ્ગોરિધમ:
પ્રથમ, ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ, જેમાંથી તે સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે કે "y" લઈ શકે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો આપણે મૂલ્યને ઠીક કરીએ, એટલે કે, આપણે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનને ધ્યાનમાં લઈશું. સમીકરણો સેટ અવકાશ રેખા, આમાં પડેલો સંકલન વિમાન. ચાલો આ રેખાને ચિત્રમાં દર્શાવીએ. સીધી રેખા કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થાય છે, તેથી તેને બાંધવા માટે તે એક બિંદુ શોધવા માટે પૂરતું છે. દો . એક બિંદુને બાજુ પર રાખો અને સીધી રેખા દોરો.
હવે આપણે પ્લેનના સમીકરણ પર પાછા આવીએ છીએ. ત્યારથી "Y" સ્વીકારે છે કોઈપણમૂલ્યો, પછી પ્લેનમાં બનેલી સીધી રેખા ડાબી અને જમણી તરફ સતત "પ્રતિકૃતિ" થાય છે. આ જ રીતે આપણું પ્લેન બને છે, ધરીમાંથી પસાર થાય છે. રેખાંકન પૂર્ણ કરવા માટે, સીધી રેખાની ડાબી અને જમણી બાજુએ આપણે બે મૂકીએ છીએ સમાંતર રેખાઓઅને ત્રાંસી આડા ભાગો સાથે સાંકેતિક સમાંતરગ્રામને "બંધ કરો": 
શરત વધારાના નિયંત્રણો લાદતી ન હોવાથી, પ્લેનનો ટુકડો સહેજ નાના અથવા સહેજ મોટા કદમાં દર્શાવી શકાય છે.
ચાલો ફરી એકવાર અવકાશીના અર્થનું પુનરાવર્તન કરીએ રેખીય અસમાનતાઉદાહરણ દ્વારા. તે વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે અર્ધ-જગ્યા કેવી રીતે નક્કી કરવી? ચાલો થોડો મુદ્દો લઈએ થી સંબંધિત નથીપ્લેન, ઉદાહરણ તરીકે, આપણી સૌથી નજીકની અર્ધ-જગ્યામાંથી એક બિંદુ અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સને અસમાનતામાં બદલો:
પ્રાપ્ત સાચી અસમાનતા, જેનો અર્થ છે કે અસમાનતા નીચલી (પ્લેનથી સંબંધિત) અર્ધ-જગ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, જ્યારે પ્લેન પોતે ઉકેલમાં સમાવિષ્ટ નથી.
ઉદાહરણ 3
વિમાનો બાંધો
એ);
b)
આ માટે કાર્યો છે સ્વ-નિર્માણ, મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં, સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરો. પાઠના અંતે સંક્ષિપ્ત સૂચનાઓ અને રેખાંકનો.
વ્યવહારમાં, ધરીની સમાંતર વિમાનો ખાસ કરીને સામાન્ય છે. એક ખાસ કિસ્સો, જ્યારે પ્લેન અક્ષમાંથી પસાર થાય છે, તેની ચર્ચા ફક્ત બિંદુ "be" માં કરવામાં આવી હતી, અને હવે અમે વધુ વિશ્લેષણ કરીશું. સામાન્ય કાર્ય:
ઉદાહરણ 4
પ્લેન બાંધો
ઉકેલ: ચલ “z” સમીકરણમાં સ્પષ્ટપણે સમાવેલ નથી, જેનો અર્થ છે કે પ્લેન એપ્લીકેટ અક્ષની સમાંતર છે. ચાલો અગાઉના ઉદાહરણોની જેમ જ તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ.
ચાલો પ્લેનના સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ 
જેમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે "zet" લઈ શકે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો તેને ઠીક કરીએ અને "મૂળ" વિમાનમાં નિયમિત "સપાટ" સીધી રેખા દોરીએ. તેને બાંધવા માટે, સંદર્ભ બિંદુઓ લેવાનું અનુકૂળ છે.
ત્યારથી "Z" સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બાંધેલી સીધી રેખા ઉપર અને નીચે સતત "ગુણાકાર" થાય છે, ત્યાંથી ઇચ્છિત સમતલ બનાવે છે 
. અમે કાળજીપૂર્વક વાજબી કદના સમાંતરગ્રામ દોરીએ છીએ: 
તૈયાર છે.
સેગમેન્ટમાં પ્લેનનું સમીકરણ
સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાગુ વિવિધ. જો બધામતભેદ પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ બિન-શૂન્ય, પછી તે ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે 
જે કહેવાય છે સેગમેન્ટમાં પ્લેનનું સમીકરણ. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્લેન બિંદુઓ પર સંકલન અક્ષોને છેદે છે, અને આવા સમીકરણનો મોટો ફાયદો એ છે કે ડ્રોઇંગ બાંધવામાં સરળતા છે:
ઉદાહરણ 5
પ્લેન બાંધો
ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો સેગમેન્ટમાં પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ. ચાલો ટ્રાન્સફર કરીએ મફત સભ્યજમણી તરફ અને બંને બાજુઓને 12 વડે વિભાજીત કરો: 
ના, અહીં કોઈ ટાઇપો નથી અને બધી વસ્તુઓ અવકાશમાં થાય છે! અમે તે જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૂચિત સપાટીની તપાસ કરીએ છીએ જેનો ઉપયોગ તાજેતરમાં વિમાનો માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ 
, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે "zet" લે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો આપણે સમતલમાં લંબગોળને ઠીક કરીએ અને બાંધીએ. ત્યારથી "ઝેટ" સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બાંધવામાં આવેલ લંબગોળ ઉપર અને નીચે સતત "પ્રતિકૃતિ" થાય છે. તે સમજવું સરળ છે કે સપાટી અનંત:
આ સપાટી કહેવામાં આવે છે લંબગોળ સિલિન્ડર
. લંબગોળ (કોઈપણ ઊંચાઈએ) કહેવાય છે માર્ગદર્શિકાસિલિન્ડર અને અંડાકારના દરેક બિંદુમાંથી પસાર થતી સમાંતર રેખાઓને કહેવામાં આવે છે રચનાસિલિન્ડર (જે છે શાબ્દિકશબ્દો તેની રચના કરે છે). ધરી છે સમપ્રમાણતાની અક્ષસપાટી (પરંતુ તેનો ભાગ નથી!).
આપેલ સપાટીથી સંબંધિત કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આવશ્યકપણે સમીકરણને સંતોષે છે 
.
અવકાશીઅસમાનતા અનંત "પાઈપ" ની "અંદર" નો ઉલ્લેખ કરે છે, જેમાં નળાકાર સપાટીનો સમાવેશ થાય છે, અને તે મુજબ, વિરુદ્ધ અસમાનતાસિલિન્ડરની બહારના બિંદુઓના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
IN વ્યવહારુ સમસ્યાઓસૌથી વધુ લોકપ્રિય ખાસ કેસ, જ્યારે માર્ગદર્શિકાસિલિન્ડર છે વર્તુળ:
ઉદાહરણ 8
સપાટી બનાવો સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે
અનંત “પાઈપ”નું નિરૂપણ કરવું અશક્ય છે, તેથી કલા સામાન્ય રીતે “ટ્રીમિંગ” સુધી મર્યાદિત હોય છે.
પ્રથમ, પ્લેનમાં ત્રિજ્યાનું વર્તુળ બનાવવું અનુકૂળ છે, અને પછી ઉપર અને નીચે થોડા વધુ વર્તુળો. પરિણામી વર્તુળો ( માર્ગદર્શિકાઓસિલિન્ડર) કાળજીપૂર્વક ચાર સમાંતર સીધી રેખાઓ સાથે જોડો ( રચનાસિલિન્ડર): 
અમને અદ્રશ્ય હોય તેવી રેખાઓ માટે ડોટેડ રેખાઓનો ઉપયોગ કરવાનું ભૂલશો નહીં.
આપેલ સિલિન્ડર સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે 
. "પાઈપ" ની અંદર સખત રીતે પડેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતાને સંતોષે છે 
, અને અસમાનતા 
બાહ્ય ભાગના બિંદુઓનો સમૂહ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, હું કેટલાકને ધ્યાનમાં લેવાની ભલામણ કરું છું ચોક્કસ બિંદુઓજગ્યા અને તમારા માટે જુઓ.
ઉદાહરણ 9
સપાટી બનાવો અને પ્લેન પર તેનું પ્રક્ષેપણ શોધો
ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ 
જેમાંથી તે અનુસરે છે કે "x" લે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો પ્લેનમાં ઠીક કરીએ અને તેનું નિરૂપણ કરીએ વર્તુળ- મૂળના કેન્દ્ર સાથે, એકમ ત્રિજ્યા. ત્યારથી "x" સતત સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બનાવેલ વર્તુળ જનરેટ કરે છે ગોળાકાર સિલિન્ડરસમપ્રમાણતાની અક્ષ સાથે. બીજું વર્તુળ દોરો ( માર્ગદર્શિકાસિલિન્ડર) અને કાળજીપૂર્વક તેમને સીધી રેખાઓ સાથે જોડો ( રચનાસિલિન્ડર). કેટલાક સ્થળોએ ઓવરલેપ હતા, પરંતુ શું કરવું, આવી ઢાળ: 
આ વખતે મેં મારી જાતને ગેપમાં સિલિન્ડરના ટુકડા સુધી મર્યાદિત કરી છે, અને આ આકસ્મિક નથી. વ્યવહારમાં, સપાટીના માત્ર એક નાના ટુકડાને દર્શાવવા માટે તે ઘણીવાર જરૂરી છે.
અહીં, માર્ગ દ્વારા, ત્યાં 6 જનરેટિસ છે - બે વધારાની સીધી રેખાઓ ઉપરના ડાબા અને નીચલા જમણા ખૂણામાંથી સપાટીને "કવર" કરે છે.
હવે ચાલો પ્લેન પર સિલિન્ડરના પ્રક્ષેપણને જોઈએ. ઘણા વાચકો સમજે છે કે પ્રક્ષેપણ શું છે, પરંતુ, તેમ છતાં, ચાલો બીજી પાંચ મિનિટની શારીરિક કસરત કરીએ. કૃપા કરીને ઊભા રહો અને ડ્રોઇંગ પર તમારું માથું નમાવો જેથી અક્ષનું બિંદુ તમારા કપાળ પર લંબરૂપ થાય. આ કોણથી સિલિન્ડર જે દેખાય છે તે પ્લેન પર તેનું પ્રક્ષેપણ છે. પરંતુ તે એક અનંત પટ્ટી હોય તેવું લાગે છે, જે સીધી રેખાઓ વચ્ચે બંધાયેલ છે, જેમાં સીધી રેખાઓ પણ સામેલ છે. આ પ્રક્ષેપણ- તે બરાબર છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રકાર્યો (સિલિન્ડરનું ઉપરનું "ગટર"), (નીચલું "ગટર").
માર્ગ દ્વારા, ચાલો અન્ય સંકલન વિમાનો પરના અંદાજો સાથે પરિસ્થિતિને સ્પષ્ટ કરીએ. સૂર્યના કિરણોને સિલિન્ડર પર ટોચ પરથી અને ધરી સાથે ચમકવા દો. પ્લેન પર સિલિન્ડરનો પડછાયો (પ્રક્ષેપણ) એ સમાન અનંત પટ્ટી છે - પ્લેનનો એક ભાગ જે સીધી રેખાઓ (- કોઈપણ) દ્વારા બંધાયેલો છે, જેમાં સીધી રેખાઓ શામેલ છે.
પરંતુ પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ કંઈક અલગ છે. જો તમે ધરીની ટોચ પરથી સિલિન્ડરને જોશો, તો તે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં પ્રક્ષેપિત થશે. 
, જેની સાથે અમે બાંધકામ શરૂ કર્યું.
ઉદાહરણ 10
સપાટી બનાવો અને તેના અનુમાનો સમન્વયિત વિમાનો પર શોધો
માટે આ એક કાર્ય છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. જો સ્થિતિ ખૂબ સ્પષ્ટ ન હોય, તો બંને બાજુ ચોરસ કરો અને પરિણામનું વિશ્લેષણ કરો; ફંક્શન દ્વારા સિલિન્ડરનો કયો ભાગ ઉલ્લેખિત છે તે શોધો. ઉપરોક્ત વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતી બાંધકામ તકનીકનો ઉપયોગ કરો. ઝડપી ઉકેલ, પાઠના અંતે ચિત્રકામ અને ટિપ્પણીઓ.
લંબગોળ અને અન્ય નળાકાર સપાટીઓસંબંધિત વિસ્થાપિત થઈ શકે છે સંકલન અક્ષો, ઉદાહરણ તરીકે:
(વિશેના લેખના પરિચિત હેતુઓ પર આધારિત છે 2જી ક્રમ રેખાઓ)
- ધરીની સમાંતર બિંદુમાંથી પસાર થતી સમપ્રમાણતાની રેખા સાથે એકમ ત્રિજ્યાનું સિલિન્ડર. જો કે, વ્યવહારમાં, આવા સિલિન્ડરોનો સામનો ખૂબ જ ભાગ્યે જ થાય છે, અને સંકલન અક્ષોની તુલનામાં "ત્રાંસી" નળાકાર સપાટીનો સામનો કરવો તે એકદમ અવિશ્વસનીય છે.
પેરાબોલિક સિલિન્ડરો
નામ સૂચવે છે તેમ, માર્ગદર્શિકાઆવા સિલિન્ડર છે પેરાબોલા.
ઉદાહરણ 11
સપાટી બનાવો અને તેના અનુમાનો સમન્વયિત વિમાનો પર શોધો.
હું આ ઉદાહરણનો પ્રતિકાર કરી શક્યો નહીં =)
ઉકેલ: ચાલો પીટાયેલા માર્ગે જઈએ. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે "zet" કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે. ચાલો આપણે પહેલા તુચ્છ સંદર્ભ બિંદુઓને ચિહ્નિત કર્યા પછી, પ્લેન પર એક સામાન્ય પેરાબોલાને ઠીક કરીએ અને બાંધીએ. ત્યારથી "Z" સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બાંધવામાં આવેલ પેરાબોલા અનંત સુધી ઉપર અને નીચે સતત "પ્રતિકૃતિ" થાય છે. અમે સમાન પેરાબોલા, કહો, ઊંચાઈ પર (વિમાનમાં) મૂકે છે અને કાળજીપૂર્વક તેમને સમાંતર સીધી રેખાઓ સાથે જોડીએ છીએ ( સિલિન્ડરની રચના): 
હું તમને યાદ કરાવું છું ઉપયોગી તકનીક: જો તમે શરૂઆતમાં ડ્રોઇંગની ગુણવત્તા વિશે અચોક્કસ હોવ, તો પહેલા પેન્સિલથી ખૂબ જ પાતળી રેખાઓ દોરવાનું વધુ સારું છે. પછી અમે સ્કેચની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ, તે વિસ્તારો શોધી કાઢીએ છીએ જ્યાં સપાટી અમારી આંખોથી છુપાયેલી છે, અને માત્ર ત્યારે જ સ્ટાઈલસ પર દબાણ લાગુ કરો.
અંદાજો.
1) વિમાન પર સિલિન્ડરનું પ્રક્ષેપણ એ પેરાબોલા છે. એ નોંધવું જોઈએ કે માં આ કિસ્સામાંતમે વાત કરી શકતા નથી બે ચલોના કાર્યની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર- કારણ કે સિલિન્ડર સમીકરણ ઘટાડવા યોગ્ય નથી કાર્યાત્મક સ્વરૂપ.
2) પ્લેન પર સિલિન્ડરનું પ્રક્ષેપણ અક્ષ સહિત અર્ધ-વિમાન છે
3) અને અંતે, પ્લેન પર સિલિન્ડરનું પ્રક્ષેપણ સમગ્ર પ્લેન છે.
ઉદાહરણ 12
બિલ્ડ પેરાબોલિક સિલિન્ડરો:
a) તમારી જાતને નજીકની અડધી જગ્યામાં સપાટીના ટુકડા સુધી મર્યાદિત કરો;
b) અંતરાલમાં
મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં, અમે ઉતાવળ કરતા નથી અને અગાઉના ઉદાહરણો સાથે સામ્યતાથી વિચારતા નથી, સદભાગ્યે, ટેક્નોલોજીનો સંપૂર્ણ વિકાસ કરવામાં આવ્યો છે. જો સપાટીઓ થોડી અણઘડ હોય તો તે મહત્વપૂર્ણ નથી - મૂળભૂત ચિત્રને યોગ્ય રીતે પ્રદર્શિત કરવું મહત્વપૂર્ણ છે. હું મારી જાતને રેખાઓની સુંદરતાથી પરેશાન કરતો નથી; જો મને સી ગ્રેડ સાથે પાસ કરી શકાય તેવું ડ્રોઇંગ મળે છે, તો હું સામાન્ય રીતે તેને ફરીથી કરતો નથી. માર્ગ દ્વારા, નમૂના ઉકેલ ડ્રોઇંગની ગુણવત્તા સુધારવા માટે બીજી તકનીકનો ઉપયોગ કરે છે ;-)
હાઇપરબોલિક સિલિન્ડરો
માર્ગદર્શિકાઓઆવા સિલિન્ડરો હાયપરબોલાસ છે. આ પ્રકારની સપાટી, મારા અવલોકનો અનુસાર, અગાઉના પ્રકારો કરતા ઘણી ઓછી સામાન્ય છે, તેથી હું મારી જાતને એક યોજનાકીય રેખાંકન સુધી મર્યાદિત કરીશ. હાયપરબોલિક સિલિન્ડર :
અહીં તર્કનો સિદ્ધાંત બરાબર એ જ છે - સામાન્ય શાળા હાઇપરબોલેપ્લેનમાંથી અનંત સુધી ઉપર અને નીચે સતત “ગુણાકાર” થાય છે.
માનવામાં આવતા સિલિન્ડરો કહેવાતા છે 2જી ઓર્ડર સપાટીઓ, અને હવે અમે આ જૂથના અન્ય પ્રતિનિધિઓ સાથે પરિચિત થવાનું ચાલુ રાખીશું:
લંબગોળ. ગોળા અને બોલ
લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં લંબગોળ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે 
, ક્યાં - હકારાત્મક સંખ્યાઓ (એક્સલ શાફ્ટ ellipsoid), જેમાં સામાન્ય કેસ અલગ. લંબગોળ કહેવાય છે સપાટી, તેથી શરીર, આપેલ સપાટી દ્વારા મર્યાદિત. શરીર, જેમ કે ઘણાએ અનુમાન લગાવ્યું છે, અસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે 
અને કોઈપણના કોઓર્ડિનેટ્સ આંતરિક બિંદુ(તેમજ સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુ) આવશ્યકપણે આ અસમાનતાને સંતોષે છે. કોઓર્ડિનેટ એક્સેસ અને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન્સના સંદર્ભમાં ડિઝાઇન સપ્રમાણ છે: 
"અંગ્રવર્તી" શબ્દની ઉત્પત્તિ પણ સ્પષ્ટ છે: જો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન દ્વારા સપાટીને "કટ" કરવામાં આવે છે, તો વિભાગો ત્રણ અલગ-અલગ પરિણમશે (સામાન્ય કિસ્સામાં)
પેરાબોલોઇડની ઊંચાઈ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે
તળિયે સ્પર્શતા પેરાબોલોઇડનું વોલ્યુમ અડધા સમાનબેઝ ત્રિજ્યા R અને ઊંચાઈ H સાથે સિલિન્ડરનું વોલ્યુમ, સમાન વોલ્યુમ પેરાબોલોઇડ (ફિગ. 4.5a) હેઠળ જગ્યા W’ ધરાવે છે.
ફિગ.4.5. તળિયાને સ્પર્શતા પેરાબોલોઇડમાં વોલ્યુમનો ગુણોત્તર.
ડબલ્યુપી - પેરાબોલોઇડનું વોલ્યુમ, ડબલ્યુ' - પેરાબોલોઇડ હેઠળ વોલ્યુમ, એચપી - પેરાબોલોઇડની ઊંચાઈ
ફિગ.4.6. સિલિન્ડર Hp ની કિનારીઓને સ્પર્શતા પેરાબોલોઇડમાં વોલ્યુમનો ગુણોત્તર પેરાબોલોઇડની ઊંચાઈ છે., R એ જહાજની ત્રિજ્યા છે, Wl એ પરિભ્રમણની શરૂઆત પહેલાં જહાજમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ હેઠળનું પ્રમાણ છે, z 0 એ પેરાબોલોઇડના શિરોબિંદુની સ્થિતિ છે, H એ પરિભ્રમણની શરૂઆત પહેલાં જહાજમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ છે.
ફિગ. 4.6a માં, પરિભ્રમણની શરૂઆત પહેલાં સિલિન્ડરમાં પ્રવાહીનું સ્તર H છે. પરિભ્રમણ પહેલાં અને પછી પ્રવાહી Wlનું પ્રમાણ જાળવવામાં આવે છે અને સરવાળો સમાનઊંચાઈ z 0 સાથે સિલિન્ડરનું વોલ્યુમ ડબલ્યુસી વત્તા પેરાબોલોઇડ હેઠળ પ્રવાહીનું પ્રમાણ, જે ઊંચાઈ Hp સાથે પેરાબોલોઇડ ડબલ્યુપીના વોલ્યુમ જેટલું છે
જો પેરાબોલોઇડ સિલિન્ડરની ઉપરની ધારને સ્પર્શે છે, તો પરિભ્રમણ Hની શરૂઆત પહેલાં સિલિન્ડરમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ પેરાબોલોઇડ Hn ની ઊંચાઈને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, પેરાબોલૉઇડનો સૌથી નીચો બિંદુ (શિરોબિંદુ) સંબંધમાં સ્થિત છે. આધાર સુધી (ફિગ. 4.6c)
વધુમાં, ઊંચાઈ H પેરાબોલોઇડને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે (ફિગ. 4.6c), જેનું પ્રમાણ W 2 = W 1 જેટલું છે. પેરાબોલિક રિંગ W 2 અને પેરાબોલિક કપ W 1 ના વોલ્યુમોની સમાનતામાંથી, ફિગ. 4.6c
જ્યારે પેરાબોલોઇડની સપાટી જહાજના તળિયે છેદે છે (ફિગ. 4.7) W 1 =W 2 =0.5W રિંગ
ફિગ. 4.7 જ્યારે પેરાબોલોઇડની સપાટી સિલિન્ડરના તળિયે છેદે છે ત્યારે વોલ્યુમ અને ઊંચાઈ
ફિગમાં ઊંચાઈ 4.6
ફિગ. 4.6 માં વોલ્યુમો.
સ્થાન મુક્ત સપાટીએક વાસણમાં
ફિગ.4.8. પરિભ્રમણ દરમિયાન સંબંધિત આરામના ત્રણ કિસ્સાઓ
1. જો જહાજ ખુલ્લું હોય, તો Po = Ratm (ફિગ. 4.8a). પેરાબોલોઇડની ટોચ નીચે ફરે છે કારણ કે તે ફરે છે પ્રવેશ સ્તર-N, અને ધાર પ્રારંભિક સ્તરથી ઉપર વધે છે, શિરોબિંદુની સ્થિતિ
2. જો વાસણ સંપૂર્ણપણે ભરેલું હોય, ઢાંકણથી ઢંકાયેલું હોય, તેની કોઈ મુક્ત સપાટી ન હોય, વધુ પડતા દબાણ હેઠળ હોય Po>Patm, પરિભ્રમણ પહેલાં સપાટી (PP) જેના પર Po=Patm ઊંચાઈએ ઢાંકણના સ્તરથી ઉપર હશે. h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.
3. જો જહાજ સંપૂર્ણપણે ભરાઈ ગયું હોય, તો તે વેક્યુમ પો હેઠળ છે<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,
4.7. ઉચ્ચ કોણીય વેગ પર પરિભ્રમણ (ફિગ. 4.9)
જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતું જહાજ ઉચ્ચ કોણીય વેગ પર ફરે છે, ત્યારે કેન્દ્રત્યાગી દળોની તુલનામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અવગણના કરી શકાય છે. પ્રવાહીમાં દબાણ પરિવર્તનનો નિયમ સૂત્રમાંથી મેળવી શકાય છે
(4.22),
સ્તરની સપાટીઓ સામાન્ય અક્ષ સાથે સિલિન્ડરો બનાવે છે જેની આસપાસ જહાજ ફરે છે. જો પરિભ્રમણ શરૂ થાય તે પહેલાં જહાજ સંપૂર્ણપણે ભરવામાં ન આવે તો, દબાણ પી 0 ત્રિજ્યા સાથે કાર્ય કરશે r = r 0 , અભિવ્યક્તિને બદલે (4.22) આપણી પાસે હશે
જેમાં આપણે g(z 0 - z) = 0 લઈએ છીએ,
ચોખા. 4.9 ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરીમાં પરિભ્રમણની સપાટીઓનું સ્થાન.
જાણીતા H અને h માટે આંતરિક સપાટીની ત્રિજ્યા 
લંબગોળ એ એવી સપાટી છે જેનું સમીકરણ કેટલાક લંબચોરસમાં હોય છે કાર્ટેશિયન સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ Oxyz નું સ્વરૂપ છે જ્યાં a ^ b^ c > 0. લંબગોળ કેવો દેખાય છે તે શોધવા માટે, અમે નીચે પ્રમાણે આગળ વધીએ છીએ. ચાલો Oxz પ્લેન પર એક અંડાકૃતિ લઈએ અને તેને Oz ધરીની આસપાસ ફેરવીએ (ફિગ. 46). Fig.46 પરિણામી સપાટી એલિપ્સોઇડ છે. હાયપરબોલોઇડ્સ. પેરાબોલોઇડ્સ. સિલિન્ડરો અને બીજા ક્રમનો શંકુ. - પરિભ્રમણનો લંબગોળ - લંબગોળ કેવી રીતે રચાયેલ છે તેનો પહેલેથી જ ખ્યાલ આપે છે સામાન્ય દૃશ્ય . તેનું સમીકરણ મેળવવા માટે, તે J^!, t.c ગુણાંક સાથે Oy અક્ષ સાથે સમાન રીતે ક્રાંતિના લંબગોળને સંકુચિત કરવા માટે પૂરતું છે. તેના સમીકરણમાં y ને Jt/5 સાથે બદલો). 10.2. હાયપરબોલોઇડ્સ હાયપરબોલા એફએલ આઇને ફેરવે છે! = a2 c2 1 Oz અક્ષની આસપાસ (ફિગ. 47), અમે એક સપાટી મેળવીએ છીએ જેને ક્રાંતિની એક-શીટ હાઇપરબોલોઇડ કહેવાય છે. તેનું સમીકરણ *2 + y છે; ક્રાંતિના અંડાકારના કિસ્સામાં તે જ રીતે મેળવવામાં આવે છે. 5) ~ ^ 1 ગુણાંક સાથે Oz અક્ષ સાથે ગોળાકાર +yJ + *J = l" ના સમાન સંકોચન દ્વારા પરિભ્રમણનો એક લંબગોળ ગોળ મેળવી શકાય છે. 2 ^ 1 ગુણાંક સાથે Oy અક્ષ સાથે આ સપાટીના સમાન સંકોચન દ્વારા , અમે સામાન્ય સ્વરૂપનું એક-શીટ હાઇપરબોલોઇડ મેળવીએ છીએ અને એલીપ્સોઇડ પેરાબોલોઇડ્સ અને બીજા ક્રમના શંકુને O અક્ષની આસપાસ ફેરવવાથી પ્રાપ્ત થાય છે , અમે 2 ^ 1 ના ગુણાંક સાથે આ સપાટીને સમાન રીતે સંકુચિત કરીને ક્રાંતિની બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ મેળવીએ છીએ - y સાથે બદલીને. y આપણે તેનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ એક અંડાકાર પેરાબોલોઇડ તેના સમીકરણને જો બદલીને પરિભ્રમણ પેરાબોલોઇડના સમીકરણમાંથી મેળવવામાં આવે છે, તો પછી આપણે ફિગમાં બતાવેલ સ્વરૂપનો પેરાબોલોઇડ મેળવીએ છીએ. 50. 10.4. હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ એ હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ એ એવી સપાટી છે જેનું સમીકરણ ચોક્કસ લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઓક્સિઝનું સ્વરૂપ ધરાવે છે જ્યાં p > 0, q > 0. અમે કહેવાતી વિભાગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સપાટીનો પ્રકાર નક્કી કરીએ છીએ, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે. : કોઓર્ડિનેટ પ્લેન્સની સમાંતર, પ્લેન દોરવામાં આવે છે જે અભ્યાસ હેઠળની સપાટીને છેદે છે, અને પરિણામી સપાટ વળાંકોની ગોઠવણીને બદલીને, સપાટીની રચના વિશે જ એક નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે. ચાલો પ્લેન z = h = const દ્વારા વિભાગો સાથે શરૂ કરીએ, સમન્વય પ્લેન Oxy ની સમાંતર. h > 0 માટે, અમે h - સંયોજક હાયપરબોલાસ માટે હાઇપરબોલાસ મેળવીએ છીએ, અને માટે - છેદતી સીધી રેખાઓની જોડી નોંધો કે આ સીધી રેખાઓ તમામ હાયપરબોલાસ (એટલે કે, કોઈપણ h Ф 0 માટે) એસિમ્પ્ટોટ્સ છે. ચાલો પરિણામી વળાંકોને ઓક્સી પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરીએ. અમને નીચેનું ચિત્ર મળે છે (ફિગ. 51). એકલા આ વિચારણા અમને વિચારણા હેઠળની સપાટીની કાઠી-આકારની રચના વિશે નિષ્કર્ષ દોરવા દે છે (ફિગ. 52). Fig.51 Fig.52 ચાલો હવે સમીકરણમાં સપાટીઓ y ને A થી બદલીને, આપણે પેરાબોલાસના સમીકરણો મેળવીએ છીએ (ફિગ. 53). વિચ્છેદન કરતી વખતે સમાન ચિત્ર જોવા મળે છે આપેલ સપાટીવિમાનો આ કિસ્સામાં, અમે પેરાબોલાસ પણ મેળવીએ છીએ જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત હોય છે (અને ઉપરની તરફ નહીં, જેમ કે વિમાનો y = h દ્વારા વિભાગ માટે) (ફિગ. 54). ટિપ્પણી. વિભાગોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે અગાઉ ગણવામાં આવતી તમામ સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટીઓની રચનાને સમજી શકો છો. જો કે, બીજા ક્રમના વળાંકોને ફેરવવાથી અને અનુગામી સમાન સંકોચન દ્વારા, વ્યક્તિ તેમની રચનાને વધુ સરળતાથી અને વધુ ઝડપથી સમજી શકે છે. બાકીની સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટીઓ આવશ્યકપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી છે. આ સિલિન્ડરો છે: લંબગોળ અને હાઇપરબોલિક ફિગ. 56 અને પેરાબોલિક અને સેકન્ડ-ઓર્ડર શંકુ, જેનો વિચાર કાં તો ઓઝ અક્ષની આસપાસ છેદતી રેખાઓની જોડીને ફેરવીને અને પછીના સંકોચન દ્વારા અથવા વિભાગોની પદ્ધતિ દ્વારા મેળવી શકાય છે. અલબત્ત, બંને કિસ્સાઓમાં આપણે શોધી કાઢ્યું છે કે અભ્યાસ હેઠળની સપાટી ફિગમાં બતાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે. 59. એ) ફોસીના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરો; , . b) તરંગીતાની ગણતરી કરો; . c) એસિમ્પ્ટોટ્સ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સના સમીકરણો લખો; d) સંયોજક હાઇપરબોલાનું સમીકરણ લખો અને તેની વિલક્ષણતાની ગણતરી કરો. 2. કંપોઝ કરોપ્રામાણિક સમીકરણ જો ફોકસથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર 3 હોય તો પેરાબોલાસ. 3. લંબગોળ ^ + = 1 વીટો બિંદુ M(4, 3) સુધી સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો. 4. સમીકરણ દ્વારા આપેલ વળાંકનો પ્રકાર અને સ્થાન નક્કી કરો: અંડાકાર જવાબો,મુખ્ય ધરી લંબગોળની સમાંતર. હાયપરબોલોઇડ્સ. પેરાબોલોઇડ્સ. સિલિન્ડરો અને બીજા ક્રમનો શંકુ. બળદની ધરી; b) હાઇપરબોલા સેન્ટર O (-1,2),ઢાળ
