C માં ક્યુબિક સ્પલાઇન ઇન્ટરપોલેશનનું એક સરળ ઉદાહરણ. સ્પ્લિન થિયરી ઉદાહરણો ઉકેલો

વણાંકો અને સપાટીઓ મળી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ, ઘણી વખત તદ્દન હોય છે જટિલ આકાર, જે સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરીને સાર્વત્રિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યને મંજૂરી આપતું નથી પ્રાથમિક કાર્યો. તેથી, તેઓ પ્રમાણમાં સરળ સરળ ટુકડાઓ - સેગમેન્ટ્સ (વળાંક) અથવા કટ (સપાટીઓ) માંથી એસેમ્બલ કરવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક એક અથવા બે ચલોના પ્રાથમિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને તદ્દન સંતોષકારક રીતે વર્ણવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, આંશિક વળાંકો અથવા સપાટીઓ બાંધવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સરળ કાર્યો સમાન પ્રકૃતિના હોવા જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, તે બહુપદી હોવા જોઈએ તે જરૂરી છે. સમાન ડિગ્રી સુધી. અને પરિણામી વળાંક અથવા સપાટીને પૂરતા પ્રમાણમાં સરળ બનાવવા માટે, તમારે ખાસ કરીને સાવચેત રહેવાની જરૂર છે જ્યાં અનુરૂપ ટુકડાઓ જોડાય છે. બહુપદીની ડિગ્રી સરળ ભૌમિતિક વિચારણાઓમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે અને, નિયમ તરીકે, નાની છે. સમગ્ર સંયુક્ત વળાંક સાથે સ્પર્શકને સરળતાથી બદલવા માટે, ત્રીજી ડિગ્રીના બહુપદી, ઘન બહુપદીનો ઉપયોગ કરીને જોડાયેલા વણાંકોનું વર્ણન કરવા માટે તે પૂરતું છે. આવા બહુપદીના ગુણાંક હંમેશા પસંદ કરી શકાય છે જેથી અનુરૂપ સંયુક્ત વક્રની વક્રતા સતત રહે. ક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સ, જે એક-પરિમાણીય સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે ઉદ્ભવે છે, તે સંયુક્ત સપાટીઓના ટુકડાઓના નિર્માણ માટે અનુકૂળ થઈ શકે છે. અને અહીં બાયક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સ તદ્દન કુદરતી રીતે દેખાય છે, જેનું વર્ણન બે ચલોમાંના દરેકમાં ત્રીજા ડિગ્રીના બહુપદીનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. આવા સ્પ્લાઇન્સ સાથે કામ કરવા માટે ગણતરીઓની નોંધપાત્ર રીતે મોટી રકમની જરૂર છે. પરંતુ અધિકાર સંગઠિત પ્રક્રિયાઅમને સતત વધતી તકોને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપશે કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીવી મહત્તમ ડિગ્રી. સ્પ્લીન ફંક્શન્સ સેગમેન્ટ પર ચાલો, એટલે કે, રીમાર્ક. a^ નંબરોની અનુક્રમણિકા (t) આ સૂચવે છે. દરેક આંશિક સેગમેન્ટ D પર કાર્ય 5(x) નક્કી કરતા ગુણાંકનો સમૂહ અલગ છે. દરેક સેગમેન્ટ D1 પર, સ્પ્લાઈન 5(x) એ ડિગ્રી p નો બહુપદી છે અને આ સેગમેન્ટ પર p + 1 ગુણાંક દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. કુલ આંશિક વિભાગો - પછી. આનો અર્થ એ છે કે સ્પલાઇનને સંપૂર્ણ રીતે નિર્ધારિત કરવા માટે, (p + 1) પછી સંખ્યાઓ શોધવી જરૂરી છે, એટલે કે ગ્રીડ w ના તમામ આંતરિક ગાંઠો પર ફંક્શન 5(x) અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝની સાતત્ય. આવા ગાંઠોની સંખ્યા m - 1 છે. આમ, તમામ બહુપદીઓના ગુણાંક શોધવા માટે, p(m - 1) શરતો (સમીકરણો) મેળવવામાં આવે છે. માટે સંપૂર્ણ વ્યાખ્યાસ્પ્લિન ખૂટે છે (શરતો (સમીકરણો). વધારાની શરતોની પસંદગી વિચારણા હેઠળની સમસ્યાની પ્રકૃતિ દ્વારા અને કેટલીકવાર ફક્ત વપરાશકર્તાની ઇચ્છા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સ્પલાઇન થિયરી ઉકેલોના ઉદાહરણો ઇન્ટરપોલેશન અને સ્મૂથિંગ સમસ્યાઓ મોટે ભાગે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જ્યારે તે પ્લેન B ઈન્ટરપોલેશન સમસ્યાઓ પર આપેલ પોઈન્ટની એરેમાંથી એક અથવા બીજી સ્પ્લાઈન બનાવવા માટે જરૂરી છે કે સ્પલાઈન ગ્રાફ પોઈન્ટમાંથી પસાર થાય છે, જે તેના ગુણાંક પર m + 1 વધારાની શરતો (સમીકરણો) લાદે છે. સ્પલાઇનના અસ્પષ્ટ બાંધકામ માટે, મોટાભાગે વિચારણા હેઠળના સેગમેન્ટના છેડે સ્પ્લીનના નીચલા ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોના સ્વરૂપમાં ઉલ્લેખિત કરવામાં આવે છે [a, 6] - સીમા (સીમા) પસંદ કરવાની ક્ષમતા વિવિધ સીમા સ્થિતિઓ તમને વિવિધ ગુણધર્મો સાથે સ્પ્લાઈન્સ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે, સ્પ્લાઈન બનાવવામાં આવે છે જેથી કરીને તેનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (i" "Y"), * = 0, 1,..., t, અને તેમના દ્વારા નહીં. સ્પ્લાઈન ફંક્શન્સ બનાવતી વખતે પસંદ કરવા માટે વર્ણવેલ વિકલ્પો તેમની તમામ વિવિધતાને ખતમ કરતા નથી. અને જો શરૂઆતમાં ફક્ત ટુકડા મુજબ બહુપદીના સ્પ્લાઈન ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, તો પછી જેમ જેમ તેમની એપ્લિકેશનનો વ્યાપ વિસ્તરતો ગયો તેમ તેમ અન્ય પ્રાથમિક કાર્યોમાંથી "એકસાથે ગુંદર ધરાવતા" સ્પ્લાઈન્સ દેખાવા લાગ્યા. ઈન્ટરપોલેશન ક્યુબિક સ્પ્લાઈન્સ ઈન્ટરપોલેશન પ્રોબ્લેમનું સ્ટેટમેન્ટ સેગમેન્ટ [a, 6) પર ગ્રીડ આપવામાં આવે છે. સેગમેન્ટ (a, 6] પર એક સરળ કાર્ય બનાવો જે ગ્રીડ નોડ્સ પર o લે છેમૂલ્યો સેટ કરો , એટલે કે નોંધ. ફોર્મ્યુલેટેડ ઇન્ટરપોલેશન સમસ્યાનું પુનર્નિર્માણ કરવું છેસરળ કાર્ય , કોષ્ટકમાં આપેલ છે (ફિગ. 2). તે સ્પષ્ટ છે કે આવી સમસ્યા ઘણી છેવિવિધ ઉકેલો વધારાની શરતો, જરૂરી અસ્પષ્ટતા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. એપ્લીકેશનમાં, ઘણી વખત નિયત પર્યાપ્ત સાથે ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણાત્મક રીતે આપવામાં આવેલ ફંક્શનને અંદાજિત કરવાની જરૂર હોય છે. સારા ગુણધર્મો. ઉદાહરણ તરીકે, એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આપેલ ફંક્શન /(x) ના મૂલ્યોની ગણતરી સેગમેન્ટના બિંદુઓ પર [a, 6] નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલ છે અને/અથવા આપેલ કાર્ય /(x) માં જરૂરી સરળતા નથી. , તે અન્ય ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ છે કે જે અંદાજે આપેલ કાર્ય ધરાવે છે અને તેના નોંધાયેલા ગેરફાયદાથી વંચિત હશે. કાર્ય પ્રક્ષેપ સમસ્યા. અંતરાલ પર બાંધો [a, 6] એક સરળ કાર્ય a(x), ગ્રીડ નોડ્સ w સાથે એકરુપ આપેલ કાર્ય/(X). ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈનની વ્યાખ્યા મેશ ડબલ્યુ પર ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન S(x) એ એક ફંક્શન છે જે 1) દરેક સેગમેન્ટ પર ત્રીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે, 2) સેગમેન્ટ [a, b પર સતત બે વાર અલગ છે. ], એટલે કે, વર્ગ C2[a, 6], અને 3)ની શરતોને સંતોષે છે, દરેક સેગમેન્ટ પર, સ્પલાઇન S(x) એ ત્રીજી ડિગ્રીનો બહુપદી છે અને આ સેગમેન્ટ પર ચાર ગુણાંક દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. . સેગમેન્ટ્સની કુલ સંખ્યા m છે આનો અર્થ એ છે કે 4m નંબરો શોધવા જરૂરી છે S(x) અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ S"(x) અને 5" (x) તમામ આંતરિક ગ્રીડ નોડ્સ પર w. આવા ગાંઠોની સંખ્યા m - 1 છે. આમ, તમામ બહુપદીઓના ગુણાંક શોધવા માટે, અન્ય 3(m - 1) શરતો (સમીકરણો) મેળવવામાં આવે છે. શરતો (2) સાથે મળીને શરતો (સમીકરણો) મેળવવામાં આવે છે. બાઉન્ડ્રી (એજ) શરતો અંતરાલના અંતમાં સ્પ્લીન અને/અથવા તેના ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો પરના નિયંત્રણોના સ્વરૂપમાં બે ખૂટતી શરતો સ્પષ્ટ કરવામાં આવી છે [a, 6]. ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન બનાવતી વખતે, નીચેની ચાર પ્રકારની બાઉન્ડ્રી શરતોનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે. A. 1લી પ્રકારની સીમાની શરતો. - અંતરાલના અંતે [a, b] ઇચ્છિત કાર્યના પ્રથમ વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો ઉલ્લેખિત છે. B. 2જી પ્રકારની સીમાની શરતો. - અંતરાલના અંતે (a, 6) ઇચ્છિત કાર્યના બીજા વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો ઉલ્લેખિત છે. B. 3જી પ્રકારની સીમાની શરતો. સામયિક કહેવાય છે. જ્યારે ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શન પીરિયડ T = b-a સાથે સામયિક હોય તેવા કિસ્સાઓમાં આ શરતોની પરિપૂર્ણતાની આવશ્યકતા સ્વાભાવિક છે. D. 4 થી પ્રકારની સીમાની શરતો. વિશેષ ટિપ્પણીની જરૂર છે. ટિપ્પણી. આંતરિક સેપ્સી ગાંઠો પર, ફંક્શન S(x)નું ત્રીજું વ્યુત્પન્ન, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અવ્યવસ્થિત છે. જો કે, પ્રકાર 4 શરતોનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા વ્યુત્પન્નની વિરામની સંખ્યા ઘટાડી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, કન્સ્ટ્રક્ટેડ સ્પલાઈન અંતરાલ પર સતત ત્રણ વખત અલગ-અલગ હશે. દરેક અંતરાલ પર, નીચેના સ્વરૂપમાં ઇન્ટરપોલેશન સ્પલાઇન ફંક્શન શોધવામાં આવે છે, જેનું સ્વરૂપ સીમાની સ્થિતિના પ્રકાર પર આધારિત છે. પ્રકાર 1 અને 2 ની સીમા શરતો માટે, આ સિસ્ટમમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે જ્યાં ગુણાંક સીમાની સ્થિતિની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. 1લા પ્રકારની સીમાની શરતો: 2જી પ્રકારની સીમાની શરતો: 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં, સંખ્યાઓ નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: માં અજાણ્યાઓની સંખ્યા નવીનતમ સિસ્ટમ mn ની બરાબર છે, કારણ કે તે સામયિક સ્થિતિને અનુસરે છે જે po = nm છે. 4 થી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિઓ માટે, સંખ્યાઓ નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમમાં એક ફોર્મ છે જ્યાં સિસ્ટમને મળેલા ઉકેલના આધારે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ po અને n નક્કી કરી શકાય છે. ત્રણેય રેખીય મેટ્રિસિસ બીજગણિત સિસ્ટમોત્રાંસા પ્રબળ મેટ્રિસિસ છે. તામિયા મેટ્રિસિસ એકવચન નથી, અને તેથી આ દરેક સિસ્ટમો ધરાવે છે એકમાત્ર ઉકેલ. પ્રમેય. ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન જે શરતોને સંતોષે છે (2) અને ઉપર સૂચિબદ્ધ ચાર પ્રકારોમાંથી એકની સીમાની સ્થિતિ અસ્તિત્વમાં છે અને તે અનન્ય છે. આમ, ઈન્ટરપોલીંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન બનાવવાનો અર્થ થાય છે જ્યારે સ્પ્લાઈન ગુણાંક જોવા મળે છે, ત્યારે સ્પ્લાઈન S(x) ની કિંમતમનસ્વી બિંદુ સેગમેન્ટ [a, b] ફોર્મ્યુલા (3) માં મળી શકે છે. જો કે, વ્યવહારુ ગણતરીઓ માટે તે વધુ યોગ્ય છેઆગામી અલ્ગોરિધમ મૂલ્ય 5(g) શોધવું. ચાલો x 6 [x", પ્રથમ, A અને B ના મૂલ્યોની સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે અને પછી મૂલ્ય 5(x) જોવા મળે છે: આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ મૂલ્ય નક્કી કરવા માટેના કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે. માટે ટિપ્સ વપરાશકર્તા સીમા (ધાર) શરતો અને પ્રક્ષેપ ગાંઠોની પસંદગી પરવાનગી આપે છેઅમુક હદ સુધી ઇન્ટરપોલેશન સ્પ્લાઇન્સના ગુણધર્મોને નિયંત્રિત કરો.જ્યારે કાર્યોને પ્રક્ષેપિત કરે છે. તે ખાસ કરીને તે કિસ્સામાં મહત્વપૂર્ણ બને છે જ્યારે સેગમેન્ટ [a, 6)ના છેડા પાસે સ્પ્લાઈન 5(g) દ્વારા ફંક્શન f(x) ની આશરે ઉચ્ચ ચોકસાઈની ખાતરી કરવી જરૂરી હોય છે. બાઉન્ડ્રી વેલ્યુનો પોઈન્ટ a અને b ની નજીકના સ્પ્લાઈન 5(g) ની વર્તણૂક પર નોંધપાત્ર પ્રભાવ છે, અને આ પ્રભાવ ઝડપથી નબળો પડી જાય છે કારણ કે વ્યક્તિ તેનાથી દૂર જાય છે. સીમાની સ્થિતિની પસંદગી ઘણીવાર અંદાજિત ફંક્શન f(x) ના વર્તન વિશે વધારાની માહિતીની ઉપલબ્ધતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f"(x) ની કિંમતો સેગમેન્ટ (a, 6) ના છેડે જાણીતી હોય, તો 1લી પ્રકારની સીમા શરતોનો ઉપયોગ કરવો સ્વાભાવિક છે. જો બીજા વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો f"(x) સેગમેન્ટ [a, 6] ના છેડે ઓળખાય છે, તો તે પ્રકાર 2 ની કુદરતી ઉપયોગની સીમા શરતો છે. જો પ્રકાર 1 અને 2 ની સીમા શરતો વચ્ચે પસંદગી હોય, તો પ્રકાર 1 ની શરતોને પ્રાધાન્ય આપવું જોઈએ. જો f(x) - સામયિક કાર્ય, તો પછી આપણે 3જી પ્રકારની સીમાની શરતો પર રોકાવું જોઈએ. જો અંદાજિત કાર્યની વર્તણૂક વિશે કોઈ વધારાની માહિતી ન હોય, તો કહેવાતી કુદરતી સીમા શરતોનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જો કે, તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે આવી સીમા શરતોની પસંદગી સાથે, ફંકશનની અંદાજિતતાની ચોકસાઈ. x) સેગમેન્ટ (a, ft] ના છેડા નજીક સ્પ્લાઈન S(x) દ્વારા તીવ્ર ઘટાડો થાય છે. કેટલીકવાર 1 લી અથવા 2 જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ સાથે નહીં ચોક્કસ મૂલ્યોઅનુરૂપ ડેરિવેટિવ્ઝ, અને તેમના તફાવતના અંદાજો સાથે. આ અભિગમની ચોકસાઈ ઓછી છે. ગણતરીઓનો વ્યવહારુ અનુભવ દર્શાવે છે કે વિચારણા હેઠળની પરિસ્થિતિમાં 4 થી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિની પસંદગી સૌથી યોગ્ય છે. B. ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સની પસંદગી. જો ફંક્શનના ત્રીજા વ્યુત્પન્ન f""(x) માં સેગમેન્ટ [a, b] ના અમુક બિંદુઓ પર વિરામ હોય, તો અંદાજની ગુણવત્તા સુધારવા માટે આ બિંદુઓને પ્રક્ષેપ ગાંઠોની સંખ્યામાં સમાવવા જોઈએ. જો બીજું વ્યુત્પન્ન /"(x) અવ્યવસ્થિત હોય, તો પછી વિરામ બિંદુઓની નજીકના સ્પલાઇનના ઓસિલેશનને ટાળવા માટે, ખાસ પગલાં લેવા જરૂરી છે. સામાન્ય રીતે, પ્રક્ષેપ ગાંઠો પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી બીજા વ્યુત્પન્ન પતનના વિરામ બિંદુઓ અંતરાલ \xif ની અંદર), જેમ કે મૂલ્ય a ને સંખ્યાત્મક પ્રયોગ દ્વારા પસંદ કરી શકાય છે (ઘણીવાર તે a = 0.01 સેટ કરવા માટે પૂરતી હોય છે) જ્યારે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f" (x) અવ્યવસ્થિત છે. સૌથી સરળમાંના એક તરીકે, અમે આ સૂચવી શકીએ છીએ: અંદાજિત સેગમેન્ટને એવા અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો જ્યાં વ્યુત્પન્ન સતત હોય, અને આ દરેક અંતરાલ પર એક સ્પલાઇન બનાવો. ઇન્ટરપોલેશન ફંક્શન પસંદ કરવું (ગુણ અને વિપક્ષ) અભિગમ 1. લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી આપેલ એરે માટે સ્પલાઇન થિયરી ઉકેલોના ઉદાહરણો (ફિગ. 3) ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીલેગ્રેન્જ એ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, બે વિરોધી સ્થિતિઓમાંથી લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, ગેરફાયદાથી અલગથી મુખ્ય ફાયદાઓની ચર્ચા કરો. 1લી અભિગમના મુખ્ય ફાયદા: 1) લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીનો ગ્રાફ એરેના દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, 2) બાંધવામાં આવેલ કાર્ય સરળતાથી વર્ણવવામાં આવે છે (નિર્ધારિત કરવા માટેની ગ્રીડ પર લેગ્રેન્જ પ્રક્ષેપ બહુપદીના ગુણાંકની સંખ્યા છે. m + 1 ની બરાબર), 3) બાંધેલા ફંક્શનમાં કોઈપણ ક્રમના સતત ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે, 4) ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી આપેલ એરે દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. 1લી અભિગમના મુખ્ય ગેરફાયદા: 1) લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની ડિગ્રી ગ્રીડ ગાંઠોની સંખ્યા પર આધારિત છે, અને આ સંખ્યા જેટલી મોટી છે, તેટલી મોટી પ્રક્ષેપ બહુપદીની ડિગ્રી અને તેથી, વધુ ગણતરીઓ જરૂરી છે, 2 ) એરેમાં ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ બદલવા માટે લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીના ગુણાંકની સંપૂર્ણ પુનઃગણતરી જરૂરી છે, 3) ઉમેરો એરેમાં લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની ડિગ્રી એકથી વધે છે અને તેના ગુણાંકની સંપૂર્ણ પુનઃગણતરી તરફ દોરી જાય છે, 4) અમર્યાદિત મેશ રિફાઇનમેન્ટ સાથે, લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની ડિગ્રી અનિશ્ચિતપણે વધે છે. અમર્યાદિત મેશ રિફાઇનમેન્ટ સાથે લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની વર્તણૂકને સામાન્ય રીતે ખાસ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે. ટિપ્પણીઓ A. બહુપદી દ્વારા સતત કાર્યના અંદાજ પર. તે જાણીતું છે (વેઇઅરસ્ટ્રાસ, 1885) કે અંતરાલ પર કોઈપણ સતત (અને તેથી પણ વધુ સરળ) કાર્ય બહુપદી દ્વારા આ અંતરાલ પર અનુમાનિત તેમજ ઇચ્છિત હોઈ શકે છે. ચાલો આ હકીકતને સૂત્રોની ભાષામાં વર્ણવીએ. f(x) ને અંતરાલ [a, 6] પર સતત ફંક્શન તરીકે રહેવા દો. પછી કોઈપણ e > 0 માટે બહુપદી Р(x) છે જેમ કે અંતરાલ [a, 6] માંથી કોઈપણ x માટે અસમાનતા સંતુષ્ટ થશે (ફિગ. 4) નોંધ કરો કે સમાન ડિગ્રીના બહુપદીઓ જે કાર્યને અંદાજિત કરે છે f(x) સ્પષ્ટ કરેલ ચોકસાઈ સાથે, ત્યાં અનંતપણે ઘણા છે. ચાલો સેગમેન્ટ [a, 6] પર w ગ્રીડ બનાવીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે તેના ગાંઠો, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બહુપદી Pn(x) અને ફંકશન f(x) (ફિગ. 5) ના આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ સાથે મેળ ખાતા નથી. તેથી, આપેલ મેશ માટે, બહુપદી Pn(x) એ પ્રક્ષેપ નથી. નવો મુદ્દો એરેમાં ચાર ગુણાંકની ગણતરીની જરૂર છે. ઇન્ટરપોલેશન ક્યુબિક સ્પલાઇનના ગુણધર્મો A. ક્યુબિક સ્પલાઇનના અલ્પ્રોક્સિમેશન ગુણધર્મો. ઈન્ટરપોલેશન સ્પલાઈનના અંદાજિત ગુણધર્મ f(x) ફંક્શનની સરળતા પર આધાર રાખે છે - ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શનની સ્મૂથનેસ જેટલી વધારે છે, અંદાજનો ક્રમ વધારે છે અને જ્યારે મેશને રિફાઈન કરતી વખતે કન્વર્જન્સની ઝડપ વધુ હોય છે. જો ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય તો જો ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શન f(x) નું અંતરાલ [a, 6] પર સતત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે છે વધારાના બિંદુ, 1લી અથવા 3જી પ્રકારની સંતોષકારક સીમા શરતો, તો પછી h O માટે અમારી પાસે છે આ કિસ્સામાં, માત્ર સ્પલાઈન ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે, પણ સ્પલાઈનનું ડેરિવેટિવ પણ આ ફંક્શનના ડેરિવેટિવમાં કન્વર્જ થાય છે. જો સ્પ્લિન S(x) એ સેગમેન્ટ [a, b] પર ફંક્શન f(x) નું અનુમાન કરે છે, અને તેના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સ અનુક્રમે ક્યુબિક સ્પલાઇનની એક્સ્ટ્રીમલ પ્રોપર્ટી. ઇન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પલાઇનમાં એક વધુ છે ઉપયોગી મિલકત . નીચેના ઉદાહરણનો વિચાર કરો. ફોર્મ્યુલેટેડ સ્મૂથિંગ સમસ્યા છેપુનઃસંગ્રહ કોષ્ટકમાં સ્પષ્ટ કરેલ સરળ કાર્ય. તે સ્પષ્ટ છે કે આવી સમસ્યામાં ઘણાં વિવિધ ઉકેલો છે. બાંધવામાં આવેલા કાર્ય પર વધારાની શરતો લાદીને, જરૂરી અસ્પષ્ટતા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. સ્મૂથિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈનની વ્યાખ્યા ગ્રીડ ડબલ્યુ પર સ્મૂથિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન S(x) એ એક ફંક્શન છે જે 1) દરેક સેગમેન્ટ પર ત્રીજા ડિગ્રીનું બહુપદી છે, 2) સેગમેન્ટ [a, 6 પર સતત બે વાર અલગ છે. ], એટલે કે, વર્ગ C2 [a, b], 3) થી સંબંધિત છે તે કાર્યાત્મક માટે ન્યૂનતમ પ્રદાન કરે છે જ્યાં - આપેલ નંબરો, 4) નીચે દર્શાવેલ ત્રણ પ્રકારોમાંથી એકની સીમાની શરતોને સંતોષે છે. બાઉન્ડ્રી (એજ) શરતો સીમાની શરતો ગ્રીડ w ના બાઉન્ડ્રી નોડ્સ પર સ્પ્લીન અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો પરના પ્રતિબંધોના સ્વરૂપમાં ઉલ્લેખિત છે. A. પ્રકાર 1 બાઉન્ડ્રી શરતો. - અંતરાલના અંતે [a, b) ઇચ્છિત કાર્યના પ્રથમ વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો ઉલ્લેખિત છે. પ્રકાર 2 સીમા શરતો. - અંતરાલના અંતે ઇચ્છિત ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ (a, b] શૂન્યના બરાબર છે. B. 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિને સામયિક કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય. ક્યુબિક સ્પલાઇન S(x), કાર્યાત્મકને ન્યૂનતમ કરવું (4) અને ઉપરોક્ત ત્રણ પ્રકારોમાંથી કોઈ એકની સીમાની સ્થિતિને સંતોષવા માટે, એક ક્યુબિક સ્પલાઈન જે કાર્યાત્મક J(f) ને ન્યૂનતમ કરે છે તેને i-ટાઈપની સ્મૂથિંગ સ્પલાઈન કહેવાય છે. આ સેગમેન્ટની કુલ સંખ્યા m છે ગ્રીડ o" ના તમામ આંતરિક ગાંઠોમાં ડેરિવેટિવ્ઝ. આવા ગાંઠોની સંખ્યા m - 1 છે. આમ, તમામ બહુપદીઓના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે, આપણે 3(m - 1) સ્થિતિઓ (સમીકરણો) મેળવીએ છીએ. કાર્યને આમાં શોધવામાં આવે છે. નીચેનું સ્વરૂપ અહીં, સંખ્યાઓ અને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, જેનું સ્વરૂપ સીમાની સ્થિતિના પ્રકાર પર આધારિત છે. ચાલો પહેલા n* મૂલ્યો કેવી રીતે જોવા મળે છે તેનું વર્ણન કરીએ. પ્રકાર 1 અને 2 ની સીમા શરતો માટે, સિસ્ટમરેખીય સમીકરણો મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે નીચેના સ્વરૂપમાં Hi લખવામાં આવે છે જ્યાં). ગુણાંક સીમાની સ્થિતિની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. 1લા પ્રકારની સીમાની શરતો: 2જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ: 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં, સંખ્યાઓ નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: અને તમામ ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રો (5) (મૂલ્યો) અનુસાર કરવામાં આવે છે. સૂચકાંકો સાથે k અને m + k ને સમાન ગણવામાં આવે છે: મહત્વપૂર્ણ* નોંધ: સિસ્ટમોના મેટ્રિસિસ અધોગતિ પામતા નથી અને તેથી આ દરેક સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ હોય છે, જો સંખ્યાઓ n, - જોવા મળે છે, તો જથ્થાઓ સરળતાથી નિર્ધારિત થાય છે ફોર્મ્યુલા જ્યાં સામયિક સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં, ગુણાંકની પસંદગી એ વેઇટીંગ ગુણાંક p, -, કાર્યાત્મક (4) માં સમાવિષ્ટ છે, તમે અમુક હદ સુધી સ્મૂથિંગ સ્પ્લાઇન્સને નિયંત્રિત કરી શકો છો બિંદુ (x^, Vk), પછી તેને અનુરૂપ વજન પરિબળ p\ ને શૂન્યની બરાબર સેટ કરવું જોઈએ, વ્યવહારુ ગણતરીઓમાં, સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે મૂલ્યોની પસંદગી pi - ચાલો D, માપવામાં ભૂલ હોઈ શકે. મૂલ્ય y. પછી તે જરૂરી છે કે સ્મૂથિંગ સ્પ્લિન સ્થિતિને સંતોષે છે અથવા, જે સમાન છે, સરળ કિસ્સામાં, વેઇટીંગ ગુણાંક pi નો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મમાં - જ્યાં c કેટલાક પૂરતા પ્રમાણમાં નાના સ્થિર છે. જો કે, વજન p ની આ પસંદગી y, - મૂલ્યોમાં ભૂલોને કારણે "કોરિડોર" નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપતી નથી. p મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે વધુ તર્કસંગત, પણ વધુ શ્રમ-સઘન અલ્ગોરિધમ આના જેવો દેખાઈ શકે છે. જો મૂલ્યો fc-th પુનરાવૃત્તિ પર જોવા મળે છે, તો એવું માનવામાં આવે છે કે જ્યાં e એ નાની સંખ્યા છે જે કમ્પ્યુટરની બીટ ગ્રીડ, D ના મૂલ્યો અને તેની ચોકસાઈને ધ્યાનમાં લઈને પ્રાયોગિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી. જો બિંદુ i પર fc-th પુનરાવૃત્તિ પર, શરત (6) નું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો છેલ્લું સૂત્ર અનુરૂપ વજન ગુણાંક p, માં ઘટાડો સુનિશ્ચિત કરશે. જો પછીના પુનરાવર્તન પર p માં વધારો વધુ તરફ દોરી જાય છે "કોરિડોર" (6) અને છેવટે, વધુ સરળતાથી બદલાતી સ્પલાઇન. એક નાનો સિદ્ધાંત A. ઇન્ટરપોલેશન ક્યુબિક સ્પલાઇનના ગુણાંકની ગણતરી માટે સૂત્રોનું સમર્થન. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ જ્યાં m, હાલમાં અજ્ઞાત માત્રા છે. તેમની સંખ્યા m + 1 ની બરાબર છે. ફોર્મમાં લખાયેલ એક સ્પલાઇન જ્યાં પ્રક્ષેપની સ્થિતિને સંતોષે છે અને તે સમગ્ર અંતરાલ પર સતત રહે છે [a, b\: તેને સૂત્રમાં મૂકીને, અમે અનુક્રમે, મેળવીએ છીએ અંતરાલ [a, 6] પર સતત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન: સંબંધને અલગ કરીને (7) મૂકીને, આપણે અનુરૂપ મેળવીએ છીએ ખરેખર. ચાલો બતાવીએ કે સંખ્યાઓ m પસંદ કરી શકાય છે જેથી કરીને સ્પ્લાઈન ફંક્શન (7) અંતરાલ [a, 6] પર સતત બીજું વ્યુત્પન્ન હોય. ચાલો અંતરાલ પર સ્પ્લાઈનના બીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ: બિંદુ x, - 0 પર (t = 1 પર) આપણે અંતરાલ પરના સ્પ્લાઈનના બીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ તે બિંદુ પર આપણી પાસે સાતત્યની સ્થિતિથી. ગ્રીડ a ના આંતરિક ગાંઠો પર બીજું વ્યુત્પન્ન; અમે m - 1 સંબંધ મેળવીએ છીએ જ્યાં આ m - 1 સમીકરણોમાં બે વધુ ઉમેરવાથી, જે સીમાની સ્થિતિઓમાંથી અનુસરે છે, અમે m + I અજાણ્યા miy i = 0, 1... સાથે m + 1 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. m 1 લી અને 2 જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં rsh ના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટેની સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે જ્યાં (1 લી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ), (2 જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ). સામયિક સીમા શરતો માટે (પ્રકાર 3 સીમા શરતો), મેશ ઓ; વધુ એક નોડ વડે વિસ્તારો અને ધારો કે પછી σ* ના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમ બીજા અને (th -!)-th ગ્રીડ નોડ્સ પર ફોર્મ સાતત્ય ધરાવશે. અમે છેલ્લા બે સંબંધોમાંથી ગુમ થયેલ બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ જે 4 થી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિને અનુરૂપ છે: સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ગૂને અને સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા પીસીને દૂર કરવા, પરિણામે આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. નોંધ કરો કે આ સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યા છે - I. 6. સ્મૂથિંગ સબચેસ સ્પ્લિનની કાર્યક્ષમતાની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રોનું સમર્થન. ચાલો નોટેશનનો પરિચય કરીએ જ્યાં Zi અને nj હાલમાં અજાણ્યા જથ્થાઓ છે. તેમની સંખ્યા 2m + 2 છે. ફોર્મમાં લખાયેલ સ્પ્લાઈન ફંક્શન સમગ્ર અંતરાલ 8 પર સતત હોય છે. અંતરાલ પર: બિંદુ x^ - 0 પર (t = 1 પર) ચાલો આપણે અંતરાલ પર સ્પ્લીન S(x) ના પ્રથમ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ: બિંદુ પર આપણી પાસે પ્રથમ વ્યુત્પન્નની સાતત્યની સ્થિતિથી છે. મેશના આંતરિક ગાંઠો પર સ્પ્લાઈન અને --> અમે m - 1 સંબંધ મેળવીએ છીએ સંપૂર્ણ ઉપયોગનીચે આપેલ નોટેશનનો ઉપયોગ અહીં થાય છે વધુમાં, અંતરાલ [a, 6) પર એક સતત બીજું વ્યુત્પન્ન છે: સંબંધને અલગ કરીને અને તેને મૂકીને, અમે અનુક્રમે મેટ્રિક્સ સંબંધ મેળવીએ છીએ કાર્યાત્મકની ન્યૂનતમ સ્થિતિ (4). અમારી પાસે છેલ્લી બે મેટ્રિક્સ સમાનતાને 2m + 2 અજ્ઞાત માટે 2m + 2 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય. પ્રથમ સમાનતામાં કૉલમ r ને સંબંધ (9) માંથી મેળવેલી તેની અભિવ્યક્તિ સાથે બદલીને, અમે કૉલમ M નક્કી કરવા માટેના ઉકેલોના મેટ્રિક્સ સમીકરણ SPLINE THEORY ઉદાહરણો પર પહોંચીએ છીએ. આ સમીકરણ એ હકીકતને કારણે અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે કે મેટ્રિક્સ A + 6HRH7 છે. હંમેશા બિન-અધોગતિ. તે મળ્યા પછી, અમે સરળતાથી Eamsshine શહેરને ઓળખી શકીએ છીએ. થ્રેડમાગોલાલ મેટ્રિસીસ A અને H ના તત્વો ફક્ત ગ્રીડ પરિમાણો અને (હાય પગલાં સાથે) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને y^ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખતા નથી. ક્યુબિક સ્પ્લાઈન ફંક્શન્સની રેખીય જગ્યા એ મેશ ડબલ્યુસીઆરએ+એલ નોડ સાથે સેગમેન્ટ [a, 6) પર બાંધવામાં આવેલ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન્સનો સમૂહ છે.રેખીય જગ્યા પરિમાણ m + 3: 1) મેશ u> પર બાંધવામાં આવેલ બે ઘન સ્પલાઇનનો સરવાળો, અને મેશ u> પર બાંધવામાં આવેલ ક્યુબિક સ્પલાઇનનો ગુણાંક, દ્વારામનસ્વી સંખ્યા વધુ ગુપ્ત રીતે, તે આ ગ્રીડ પર બાંધવામાં આવેલ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન્સ છે, 2) ગ્રીડ પર અને નોડમાંથી બાંધવામાં આવેલ કોઈપણ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન આ ગાંઠો અને બે પરના મૂલ્યો y" ના m + 1 મૂલ્ય દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે.- માત્ર + 3 પરિમાણો. m + 3 લીનિયરલી ઈન્ડિપેન્ડન્ટ સ્પ્લાઈન્સ ધરાવતી આ જગ્યામાં આધાર પસંદ કરીને, અમે એક અનોખી રીતે તેમના રેખીય સંયોજન તરીકે એક આર્બિટરી ક્યુબિક સ્પ્લાઈન a(x) લખી શકીએ છીએ. ટિપ્પણી. કમ્પ્યુટિંગ પ્રેક્ટિસમાં આ પ્રકારની સ્પલાઇન અસાઇનમેન્ટ વ્યાપક છે. ખાસ કરીને અનુકૂળ એ ડેટાબેઝ છે જેમાં કહેવાતા ક્યુબિક બી-સ્પલાઇન્સ (મૂળભૂત અથવા મૂળભૂત, સ્પ્લાઇન્સ)નો સમાવેશ થાય છે. ડી-સ્પલાઇન્સનો ઉપયોગ કમ્પ્યુટર મેમરી માટેની આવશ્યકતાઓને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકે છે. એલ-સ્પલાઇન્સ. ગ્રીડ w ની સાથે નંબર લાઇન પર બાંધવામાં આવેલ શૂન્ય ડિગ્રીની B-સ્પલાઇનને k^I ની પીચફોર્ક ફંક્શન કહેવામાં આવે છે, જે ગ્રીડ u ની સાથે નંબર લાઇન પર બાંધવામાં આવે છે, તે રિકરન્ટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્રથમ B, -1 "(g) અને બીજા in\7\x) ડિગ્રીના B-સ્પલાઇનના સૂત્ર આલેખ અનુક્રમે ફિગ. 11 અને 12 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. મનસ્વી ડિગ્રી k ની B-સ્પલાઇન અલગ હોઈ શકે છે. માત્ર એક ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર શૂન્ય (k + 2 નોડ્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત), -3* (i) સેગમેન્ટ z પર શૂન્યથી અલગ હતું, -+2] માટે અમે ત્રીજી ડિગ્રીના ક્યુબિક સ્પલાઇન માટે સૂત્ર રજૂ કરીએ છીએ એક સમાન જાળીનો કેસ (અન્ય કિસ્સાઓમાં, ક્યુબિક બી-સ્પલાઇનનો લાક્ષણિક ગ્રાફ આકૃતિ 13 માં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. , એટલે કે, વર્ગ C2[a, "), અને b) શૂન્યથી માત્ર સતત ચાર અંતરાલોમાં અલગ છે (ચાલો ગ્રીડ w ને સંપૂર્ણપણે આપખુદ રીતે લેવામાં આવેલા સહાયક ગાંઠો સાથે પૂરક બનાવીએ. વિસ્તૃત મેશ w* દ્વારા, આપણે બનાવી શકીએ છીએ. m + 3 ક્યુબિક B-સ્પલાઇન્સનું કુટુંબ: આ કુટુંબ સેગમેન્ટ (a, b] પર ક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સની જગ્યામાં આધાર બનાવે છે. આમ, એક મનસ્વી ક્યુબિક સ્પ્લાઈન S(z), સેગમેન્ટ |b, 6] ગ્રીડ o પર બાંધવામાં આવે છે; izm+1 નોડ, આ સેગમેન્ટ પર રેખીય સંયોજનના રૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ દ્વારા, આ વિસ્તરણના ગુણાંક ft વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. ... એવા કિસ્સામાં જ્યારે ગ્રીડ નોડ્સ પર ફંક્શનના મૂલ્યો y* અને મેશના છેડે ફંક્શનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો y o અને V આપવામાં આવે છે (સીમા સાથે પ્રક્ષેપની સમસ્યા પ્રથમ પ્રકારની શરતો), આ ગુણાંકો બાદબાકી પછી નીચેના ફોર્મની સિસ્ટમમાંથી ગણવામાં આવે છે જથ્થો b-iઅને &m+i, અમે અજ્ઞાત 5q, ..., bm અને ત્રિ-પરિમાણીય મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. સ્થિતિ વિકર્ણ પ્રભુત્વને સુનિશ્ચિત કરે છે અને તેથી, તેને ઉકેલવા માટે સ્વીપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવના. 3MMCHMY 1. લીનિયર સિસ્ટમ્સઅન્ય પ્રક્ષેપણ સમસ્યાઓનો વિચાર કરતી વખતે સમાન પ્રકારો ઉદ્ભવે છે. Zmmchnm* 2. વિભાગ 1.1 માં વર્ણવેલ એલ્ગોરિધમ્સની તુલનામાં, * ઇન્ટરપોલેશન સમસ્યાઓમાં આર-સ્પલાઇનનો ઉપયોગ અમને સંગ્રહિત માહિતીની માત્રા ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે, એટલે કે, કમ્પ્યુટર મેમરી માટેની આવશ્યકતાઓને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવા માટે, જો કે તે દોરી જાય છે. કામગીરીની સંખ્યામાં વધારો કરવા માટે. સ્પ્લાઈન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્લાઈન કર્વ્સનું નિર્માણ ઉપર, અમે એરેને ધ્યાનમાં લીધું કે જેના પોઈન્ટને ક્રમાંકિત કરવામાં આવ્યા હતા જેથી તેમના એબ્સિસાસ સખત રીતે વધતો ક્રમ બનાવે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ કેસ. 14 જ્યારે વિવિધ બિંદુઓસમાન એબ્સીસાસની શ્રેણીને મંજૂરી ન હતી. આ સંજોગોએ અંદાજિત વળાંકો (ટ્રાફિક કાર્યો)ના વર્ગની પસંદગી અને તેમના બાંધકામની પદ્ધતિ બંને નક્કી કરી. જો કે, ઉપર સૂચિત પદ્ધતિ વધુ સફળતાપૂર્વક પ્રક્ષેપણ વળાંકનું નિર્માણ કરવાનું શક્ય બનાવે છે સામાન્ય કેસ, જ્યારે એરે પોઈન્ટની સંખ્યા અને પ્લેન પર તેમનું સ્થાન, નિયમ તરીકે, જોડાયેલ નથી (ફિગ. 15). તદુપરાંત, જ્યારે ઇન્ટરપોલેશન વળાંક બાંધવાનું કાર્ય સેટ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે આપેલ એરેને નોન-પ્લાનર ગણી શકીએ, એટલે કે, તે સ્પષ્ટ છે કે આ સામાન્ય સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, બંધ સહિત સ્વીકાર્ય વણાંકોના વર્ગને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે. વણાંકો, સ્વ-છેદન બિંદુઓ સાથે વણાંકો, અને અવકાશી વળાંકો. અમને જરૂરી પેરામેટ્રિક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને આવા વળાંકોનું વર્ણન કરવું અનુકૂળ છે. વધુમાં, ફંક્શન્સમાં પર્યાપ્ત સરળતા હોવી જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ વર્ગ C1 [a, /0] અથવા વર્ગના હોવા જોઈએ કે જે એરેના તમામ બિંદુઓમાંથી ક્રમિક રીતે પસાર થાય છે તેના પેરામેટ્રિક સમીકરણો શોધવા માટે, નીચે પ્રમાણે આગળ વધો. 1 લી પગલું. મનસ્વી સેગમેન્ટ પર .Df; ) સેટ કરો ( _Points[_points.Length - 1].Df = value; ) ) સાર્વજનિક ડબલ Ddfn ( મેળવો ( પરત કરો _points[_points.Length - 1].Ddf;) સેટ કરો ( _points[_points.Length - 1].Ddf = વેલ્યુ; બિલ્ડસ્પલાઇન્સ(x2); લંબાઈ - 1].X ) ખાનગી ડબલ બિલ્ડસ્પલાઇન્સ(ડબલ ddf1) ( ડબલ df = _points.Df, ddf = ddf1; માટે (var i = 0; i< _splines.Length; i++) { _splines[i] = new CSplineSubinterval(_points[i], _points, df, ddf); df = _splines[i].Df(_points.X); ddf = _splines[i].Ddf(_points.X); if (i < _splines.Length - 1) { _points.Df = df; _points.Ddf = ddf; } } return df - Dfn; } }

વાદળી સેગમેન્ટ્સ તેના અનુરૂપ બિંદુઓ પર સ્પલાઇનના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ છે. મેં વધુ સ્પષ્ટતા માટે આ ગ્રાફિક તત્વ ઉમેર્યું છે.

અલ્ગોરિધમના ફાયદા અને ગેરફાયદા

ઑફહેન્ડ, આપણે કહી શકીએ કે અલ્ગોરિધમની જટિલતા O(N) છે, કારણ કે મેં પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, પોઈન્ટની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ગણતરીના બે રન મેળવવા માટે પૂરતા છે. યોગ્ય મૂલ્યઅંતરાલના ડાબા છેડે બીજું વ્યુત્પન્ન, અને બીજું વ્યુત્પન્ન સ્પલાઇન બાંધવા માટે.

જો કે, જો કોઈ વ્યક્તિ કોડમાં ડિગ કરવા માંગે છે અને આ અલ્ગોરિધમનું વધુ વિગતવાર વિશ્લેષણ કરવા માંગે છે, તો મને ખૂબ જ આનંદ થશે. ફક્ત પરિણામો વિશે મને લખો, મને રસ હશે.

તો IQ પરીક્ષણોમાં શું ખોટું છે?

ચાલો પહેલા “2, 4, 6, 8,?” શ્રેણીને ધ્યાનમાં લઈએ.
ચાલો આની કલ્પના કરીએ સંખ્યા શ્રેણીમૂલ્યોની જોડીના સમૂહ તરીકે:

જ્યાં આપણે સંખ્યાને ગુણવત્તા તરીકે લઈએ છીએ, અને સીરીયલ નંબરઆ નંબર. તેની જગ્યાએ શું મૂલ્ય હોવું જોઈએ?

હું જે વિચારને સરળ રીતે દોરી જવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો છું તે એ છે કે આપણે કોઈપણ મૂલ્યને સંપૂર્ણપણે બદલી શકીએ છીએ. છેવટે, આવા કાર્યો ખરેખર શું તપાસે છે? કોઈ ચોક્કસ નિયમ શોધવાની વ્યક્તિની ક્ષમતા જે બધી ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓને જોડે છે, અને આ નિયમ અનુસાર, અનુક્રમમાં આગળની સંખ્યા મેળવો. બોલતા વૈજ્ઞાનિક ભાષા, એક્સ્ટ્રાપોલેશનનું કાર્ય અહીં છે (પ્રક્ષેપનું કાર્ય ચોક્કસ અંતરાલમાં તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વળાંકને શોધવાનું છે, અને એક્સ્ટ્રાપોલેશનનું કાર્ય આ વળાંકને અંતરાલની બહાર લંબાવવાનું છે, આમ વક્રના વર્તનની "અનુમાન" કરવું ભવિષ્ય). તેથી, એક્સ્ટ્રાપોલેશન પાસે સ્પષ્ટ ઉકેલ નથી. બિલકુલ. ક્યારેય નહીં. જો તે અન્યથા હોત, તો લોકોએ લાંબા સમય પહેલા માનવજાતના સમગ્ર ઇતિહાસ માટે હવામાનની આગાહીની આગાહી કરી હોત, અને રૂબલ વિનિમય દરમાં ઉછાળો ક્યારેય આશ્ચર્યજનક ન હોત.

અલબત્ત, એવું માનવામાં આવે છે કે હજી પણ આ સમસ્યાનો સાચો જવાબ છે અને તે 10 ની બરાબર છે, અને પછી આ બધી સંખ્યાઓને જોડતો "કાયદો" છે.

ઔદ્યોગિક ઉત્પાદનમાં, જેમ કે શિપબિલ્ડિંગ, ઓટોમોબાઈલ મેન્યુફેક્ચરિંગ અને એરક્રાફ્ટ મેન્યુફેક્ચરિંગ, સ્કેલ પર અથવા તેની નજીકનો અંતિમ આકાર અંતિમ પ્રક્રિયા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

આ પ્રક્રિયાનું ઓટોમેશન કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ માટે નોંધપાત્ર રસ ધરાવે છે. ગાણિતિક સ્પલાઇનનો આકાર ભૌતિક સ્પલાઇન (ફિગ. 5-4) ના સમોચ્ચને અનુસરે છે, એટલે કે. અમુક બિંદુઓમાંથી પસાર થતો લવચીક લાકડાનો અથવા પ્લાસ્ટિકનો શાસક. લીડના વજનનો ઉપયોગ સ્પલાઇનનો આકાર બદલવા માટે થાય છે. તેમની સંખ્યા અને સ્થાન બદલીને, તેઓ પરિણામી વળાંકને સરળ, વધુ સુંદર અને "આંખ માટે સુખદ" બનાવવાનો પ્રયાસ કરે છે.

જો આપણે ભૌતિક સ્પ્લિનને પાતળી લવચીક પટ્ટી તરીકે ગણીએ, તો તેનો આકાર (વિક્ષેપ) સ્ટ્રીપ સાથે વળાંકની ક્ષણ માટે યુલર સમીકરણ (5-2) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

યંગનું મોડ્યુલસ ક્યાં છે, જે રેક સામગ્રીના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે, તે જડતાની ક્ષણ છે, જે વળાંકના આકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને વક્રતાની ત્રિજ્યા છે.

નાના વિચલનો માટે ત્રિજ્યા લગભગ સમાન છે

,

જ્યાં પ્રાઇમ સ્ટાફ સાથેના અંતરના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નને સૂચવે છે, અને સ્ટાફનું વિચલન છે. યુલરનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

વજનને સરળ આધાર તરીકે કાર્ય કરવા દો, પછી તેમની વચ્ચેની બેન્ડિંગ ક્ષણ રેખીય રીતે બદલાય છે. અવેજીમાં યુલર સમીકરણમાં, આપણને મળે છે

અને ડબલ એકીકરણ પછી

આમ, સ્પલાઇનનો આકાર ઘન બહુપદી દ્વારા આપવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, ગાણિતિક સ્પલાઈન એ સેગમેન્ટ્સના કનેક્ટિંગ પોઈન્ટ પર ડિગ્રીના સતત વ્યુત્પન્ન સાથે ડિગ્રીનો એક ભાગવાર બહુપદી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્યુબિક સ્પ્લાઈન તેના જોડાણ બિંદુઓ પર બીજા ક્રમની સાતત્ય ધરાવે છે. નીચા ક્રમના બહુપદીઓમાંથી પીસવાઇઝ સ્પ્લાઇન્સ વણાંકોને પ્રક્ષેપિત કરવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે, કારણ કે તેમને મોટા કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચની જરૂર નથી અને બહુપદીની લાક્ષણિકતા સંખ્યાત્મક વિચલનોનું કારણ નથી. ઉચ્ચ ક્રમ. ભૌતિક સ્પ્લાઇન્સની જેમ, ઘન વિભાગોની શ્રેણીનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે, જેમાં પ્રત્યેક સેગમેન્ટ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ક્યુબિક સ્પલાઈન પણ અનુકૂળ છે કારણ કે તે સૌથી નાના ક્રમનો વળાંક છે, જે ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ અને અવકાશમાં બેન્ડિંગને મંજૂરી આપે છે.

એક પેરામેટ્રિક સ્પ્લિન સેગમેન્ટનું સમીકરણ છે:

, , (5-1)

સેગમેન્ટની શરૂઆતમાં અને અંતે પેરામીટર મૂલ્યો ક્યાં અને છે. - સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુ પર વેક્ટર. વેક્ટર-મૂલ્યવાળું કાર્ય છે, જ્યાં ત્રણ ઘટકો છે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સવેક્ટર

ચોખા. 5-5 ક્યુબિક સ્પલાઇનનો એક સેગમેન્ટ.

દરેક ઘટકનું સ્વરૂપ જેવું જ છે, એટલે કે.

, ,

, ,

, .

સ્પ્લીન સેગમેન્ટ માટે ચાર સીમાની સ્થિતિના આધારે સ્થિર ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ (5-1) લખીએ

ચાલો અને સેગમેન્ટના છેડાના વેક્ટર્સ બનો (ફિગ 5-5 જુઓ). ચાલો અને , સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ, સેગમેન્ટના છેડે સ્પર્શક વેક્ટર હોવા જોઈએ. વિભેદક સમીકરણ (5-1), આપણને મળે છે

, . (5-3)

ચાલો પરિણામ લખીએ

, . (5-4)

ચાલો, સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, ધારીએ કે , અને સીમાની શરતો લાગુ કરીએ

અમને અજાણ્યાઓ માટે ચાર સમીકરણો મળે છે:

, (5-6બી)

, (5-6c)

. (5-6d)

માટે ઉકેલો અને ફોર્મ ધરાવે છે:

(5-7a)

. (5-7b)

જથ્થાઓ , , અને ક્યુબિક સ્પ્લિન સેગમેન્ટને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. દેખીતી રીતે, સેગમેન્ટનો આકાર સેગમેન્ટના છેડા પર સ્થિત સ્થિતિ અને સ્પર્શક વેક્ટર પર આધાર રાખે છે. આગળ, નોંધ કરો કે પરિણામો સેગમેન્ટના અંતે પેરામીટર મૂલ્ય ધરાવે છે. દરેક અંતિમ બિંદુ અને સ્પર્શક વેક્ટરમાં ત્રણ ઘટકો હોવાથી, પેરામેટ્રિક સમીકરણક્યુબિક અવકાશી વળાંક બાર વેક્ટર ઘટકો અને સેગમેન્ટના અંતે પેરામીટરની કિંમત પર આધાર રાખે છે.

સમીકરણો (5-6) અને (5-7) ને (5-1) માં બદલીને, અમે ક્યુબિક સ્પલાઇનના એક સેગમેન્ટ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

. (5-8)

આ એક સેગમેન્ટ માટેનું સમીકરણ છે. સમગ્ર વળાંક મેળવવા માટે, તમારે ઘણા સેગમેન્ટ્સને કનેક્ટ કરવાની જરૂર છે. ફિગ માં. 5-6 બે સંલગ્ન વિભાગો બતાવો. જો વેક્ટર્સ , , , ટેન્જેન્ટ વેક્ટર , ​​, અને પરિમાણોના મૂલ્યો , , જાણીતા છે, તો દરેક સેગમેન્ટનો આકાર સમીકરણ (5-8) પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે. જો કે, તે અસંભવિત છે કે જોડાણ બિંદુ પર સ્પર્શ વેક્ટર જાણીતું છે. સદનસીબે, તે સાતત્યની સ્થિતિ પરથી મેળવી શકાય છે.

યાદ કરો કે પીસવાઈઝ ડિગ્રી સ્પ્લાઈન તેના જોડાવાના બિંદુઓ પર ડિગ્રી સાતત્ય ધરાવે છે; ક્યુબિક સ્પલાઇનની સાતત્ય બે છે. આ કરવા માટે, રેખાનું બીજું વ્યુત્પન્ન અથવા વક્રતા સતત હોવું આવશ્યક છે. ભેદભાવ સમીકરણ (5-1) બે વાર, આપણને મળે છે

, . (5-9)

ચોખા. 5-6 બે પીસવાઇઝ ક્યુબિક સ્પ્લાઇન સેગમેન્ટ્સ.

સ્પલાઇનના પ્રથમ ભાગ માટે, પરિમાણ ની અંદર બદલાય છે. ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ (5-9):

.

સ્પ્લીનના બીજા વિભાગ માટે, પરિમાણ શ્રેણીમાં બદલાય છે. ચાલો બીજા વિભાગની શરૂઆતમાં મૂલ્યને સમીકરણ (5-9) માં બદલીએ

પ્રાપ્ત પરિણામોની સમાનતા અને સમીકરણો (5-6a,b) અને (5-7a) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

.

આ સમીકરણની ડાબી બાજુ પ્રથમ સેગમેન્ટના અંતે વક્રતાને રજૂ કરે છે, અને જમણી બાજુ બીજા ભાગની શરૂઆતમાં વક્રતાને રજૂ કરે છે. શબ્દો દ્વારા ગુણાકાર કરો અને જૂથ કરો:

અહીંથી, જોડાણ બિંદુ પર અજ્ઞાત સ્પર્શક વેક્ટર નક્કી થાય છે. નોંધ કરો કે અંતિમ સમીકરણ ફરીથી સેગમેન્ટ્સના છેડે પરિમાણ મૂલ્યો ધરાવે છે અને .

પરિણામી સૂત્રને પોઈન્ટ માટે સામાન્ય કરી શકાય છે, અને ક્યુબિક સ્પ્લાઈનના સેગમેન્ટ્સ માટે, કનેક્શન પોઈન્ટ પર બીજા ક્રમની સાતત્યતા મેળવી શકાય છે.

ચોખા. પીસવાઈઝ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ્સના સેટ માટે 5-7 હોદ્દો.

કોઈપણ બે અડીને આવેલા સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ્સ માટે અને ફિગના સંકેતમાં સામાન્યીકૃત સમીકરણ. 5-7 આના જેવા દેખાય છે:

(5-11)

પ્રથમ સેગમેન્ટ માટે અને

(5-12)

બીજા માટે, કારણ કે દરેક સેગમેન્ટ માટે પેરામીટર શૂન્યથી બદલાવાનું શરૂ કરે છે, પ્રથમ માટે અને બીજા માટે - .

કોઈપણ અડીને આવેલા સેગમેન્ટ્સ માટે જોડાવાના બિંદુઓ પર બીજા ડેરિવેટિવ્સની સમાનતા, , આપે છે એકંદર પરિણામ, સમીકરણની સમકક્ષ (5-10),

જેમાંથી સ્પર્શક વેક્ટર કોઈપણ બે વિભાગોના જોડાણ બિંદુઓ પર નિર્ધારિત થાય છે અને .

તમામ સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ્સ માટે સમીકરણ (5-13) નો પુનરાવર્તિત ઉપયોગ ટેન્જેન્ટ વેક્ટર સમીકરણો જનરેટ કરે છે. મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં:

(5-14)

મેટ્રિક્સ બિન-ચોરસ છે, કારણ કે ત્યાં માત્ર વેક્ટર માટે સમીકરણો છે, અને તે માટે ઉકેલ મેળવવા માટે તેને ઊંધું કરી શકાતું નથી. જો આપણે ધારીએ કે વળાંકના છેડે સ્પર્શક વેક્ટર છે અને જાણીતા છે, તો સમસ્યા ઉકેલાઈ ગઈ છે. હવે મેટ્રિક્સ જેવો દેખાય છે

(5-15)

જ્યાં મેટ્રિક્સ ચોરસ અને ઉલટાવી શકાય તેવું છે. એ પણ નોંધ કરો કે તે ત્રિકર્ણ છે, જે તેના વ્યુત્ક્રમની ગણતરીના ખર્ચને ઘટાડે છે. આગળ, મેટ્રિક્સ ત્રાંસા પ્રબળ છે. તે અનુસરે છે કે ત્યાં માત્ર એક જ ઉકેલ છે:

. (5-16)

જો આપણે જાણીએ છીએ, તો દરેક સ્પ્લીન સેગમેન્ટ માટે ગુણાંક નક્કી કરવાનું સરળ છે. સામાન્યીકરણ સમીકરણો (5-6)-(5-11), આપણને મળે છે

,

.

ત્યારથી અને છે વેક્ટર જથ્થો, પછી તેઓ વેક્ટર પણ છે; જો તેમની પાસે ઘટકો છે, તો તેમની પાસે પણ આ ઘટકો છે.

મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં, કોઈપણ સ્પ્લીન સેગમેન્ટનું સમીકરણ છે:

. (5-17)

બિંદુઓમાંથી પસાર થતી ક્યુબિક સ્પલાઇનને છેડે સ્પર્શક વેક્ટર સાથે અને . સમીકરણ (5-16) થી આપણે આંતરિક સ્પર્શક વેક્ટર શોધીએ છીએ, . પછી, દરેક સેગમેન્ટના છેડાના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના સમીકરણ (5-17) થી અને દરેક સેગમેન્ટ માટે સ્પર્શક વેક્ટર, , , નક્કી કરવામાં આવે છે. સમીકરણનું અંતિમ સામાન્યીકરણ (5-1)

, , , (5-18)

સ્પ્લીન સેગમેન્ટની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે.

મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં, સમીકરણ (5-18) આના જેવું દેખાય છે:

, . (5-19)

સમીકરણ (5-17) ને બદલીને અને શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી આપણને મળે છે

, , , (5-20)

, (5-21a)

, (5-21b)

, (5-21 સે)

, (5-21 દિ)

વજનના કાર્યો કહેવાય છે.

ચોખા. માટે 5-8 ક્યુબિક સ્પ્લિન વેઇટીંગ ફંક્શન્સ

આ વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સમીકરણ (5-20) લખીએ છીએ

વજન કાર્યનું મેટ્રિક્સ ક્યાં છે

ભૌમિતિક માહિતી સમાવે છે. નીચેનામાંથી જોવામાં આવશે તેમ, (5-22) જેવા સમીકરણો, એટલે કે. ભૌમિતિક પરિસ્થિતિઓના મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરેલ વેઇટીંગ ફંક્શન મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ વારંવાર વણાંકો અને સપાટીઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે.

સમીકરણ (5-21) થી તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક વજન કાર્ય ત્રીજા ક્રમનું છે. ક્યુબિક સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ પરનો કોઈપણ બિંદુ એ ભારિત સરવાળો છે અંતિમ બિંદુઓઅને સ્પર્શક વેક્ટર. ગુણાંક વજનના કાર્યો તરીકે કાર્ય કરે છે. ફિગ માં. 5-8 માટે બતાવવામાં આવે છે. આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અને, એટલે કે. વળાંક બિંદુ વેક્ટરમાંથી પસાર થાય છે. એ જ રીતે અને, એટલે કે. વળાંક પણ બિંદુ વેક્ટરમાંથી પસાર થાય છે. આગળ, આપણે અને , અને અને ની સમપ્રમાણતા નોંધીએ છીએ. વાસ્તવમાં . છેલ્લે, ચાલો , , અને ના સંબંધિત ક્રમ પર ધ્યાન આપીએ. તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર તફાવત સૂચવે છે કે, સામાન્ય રીતે, અંતિમ બિંદુઓની સ્થિતિ સ્પર્શ વેક્ટર કરતાં વધુ પ્રભાવ ધરાવે છે.

યાદ કરો કે પીસવાઈઝ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન પોઈન્ટ, ટેન્જેન્ટ વેક્ટર અને પેરામીટર મૂલ્યો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તમામ સેગમેન્ટ્સના છેડે. પસંદગી વળાંકની સરળતાને અસર કરે છે.

આંતરિક જોડાણ બિંદુઓ પર બીજા વ્યુત્પન્નની સાતત્ય તેની સાથે ન્યૂનતમ વક્રતાના અર્થમાં વળાંકની સરળતાને સુનિશ્ચિત કરતી નથી. યોગ્ય મૂલ્યો પસંદ કરીને, દરેક સેગમેન્ટ માટે ગુણાંક ઘટાડવા અને વળાંકની વધુ સરળતા પ્રાપ્ત કરવી શક્ય છે. સામાન્ય રીતે આ વધારાની ગણતરીઓ જરૂરી નથી. વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, કરતાં વધુ સરળ પદ્ધતિઓ, જેમ કે અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

એક ગણતરી પદ્ધતિ પેરામીટર મૂલ્યો સેટ કરવાની છે સમાન લંબાઈપડોશી બિંદુઓ વચ્ચે તાર. તે જ સમયે, વળાંકની ગુણવત્તા મોટા ભાગની જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરે છે લાગુ સમસ્યાઓ. બીજી પદ્ધતિ એ છે કે લઈને વિવિધતાને સામાન્ય બનાવવી એક સમાનદરેક સ્પ્લીન સેગમેન્ટ માટે. આ પસંદગી ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે (વિભાગ 5-4 જુઓ). ઉપરોક્ત સમીકરણો પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, કોઈપણ પસંદગી વિવિધ ગુણાંકમાં પરિણમે છે અને તેથી આપેલ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિવિધ વણાંકો મેળવવામાં આવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ચાલો આપેલ સતત કાર્ય f(x). ચાલો એક ગ્રીડ રજૂ કરીએ

અને સૂચવો f i=f(x i), i=0,1,N .

આ ફંક્શનને અનુરૂપ સ્પલાઇન f(x) અને આપેલ ગાંઠો, કાર્ય કહેવાય છે S(x), સંતોષકારક નીચેની શરતો:

1. દરેક સેગમેન્ટ પર , i=1,2,N , કાર્ય S(x) ત્રીજી ડિગ્રીનું બહુપદી છે;

2. કાર્ય S(x), તેમજ તેના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ
માટે સતત ;

છેલ્લી શરત કહેવાય છે પ્રક્ષેપ સ્થિતિ, અને શરતો 1 -3 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્પ્લિન) પણ કહેવાય છે ઇન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લિન.

ચાલો ઉપરોક્ત શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્પ્લાઈનનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા સાબિત કરીએ. નીચે આપેલા પુરાવામાં સ્પલાઇન બનાવવા માટેની પદ્ધતિ પણ છે.

પડોશી ગાંઠોની જોડી વચ્ચેના અંતરાલમાં, ઇન્ટરપોલેશન ફંક્શન એ 3જી ડિગ્રીનું બહુપદી છે, જે સહેલાઇથી આ રીતે લખાયેલ છે:

બહુપદીના ગુણાંક ગાંઠો પરની સ્થિતિઓ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે. તેણે સ્વીકારવું જ પડશે કોષ્ટક મૂલ્યો:

(1)

સમીકરણોની સંખ્યા બમણી થઈ ઓછી સંખ્યાઅજ્ઞાત ગુણાંક, તેથી બંધ કરવા માટે વધારાની શરતો જરૂરી છે. ચાલો ઘન બહુપદીના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સ શોધીએ:

(2)

ચાલો નોડ્સ સહિત તમામ બિંદુઓ પર આ ડેરિવેટિવ્ઝની સાતત્ય (એટલે ​​​​કે, લવચીક શાસકની સરળતા)ની જરૂર છે. અમે મેળવેલા આંતરિક નોડ x i પર ડેરિવેટિવ્સની જમણી અને ડાબી મર્યાદાની સમાનતા:

3)

ગુમ થયેલ બે સ્થિતિ સામાન્ય રીતે કુદરતી ધારણા પરથી મેળવવામાં આવે છે કે ગ્રાફના છેડે શૂન્ય વક્રતા છે:

જે શાસકના મુક્તપણે નીચલા છેડાને અનુરૂપ છે. પરંતુ જો ત્યાં છે વધારાની માહિતીફંક્શનના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂક વિશે, પછી આપણે અન્ય સીમા શરતો લખી શકીએ છીએ.

સમીકરણો (1-4) 4N અજાણ્યા ગુણાંક નક્કી કરવા માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવે છે. આ સિસ્ટમને ગૌસીયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે, પરંતુ તેને વિશિષ્ટ સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે તે વધુ નફાકારક છે.

સમીકરણ (1) એક જ સમયે બધા ગુણાંક આપે છે અને હું.સમીકરણોમાંથી (3) અને (4)

(5)

ચાલો (5) ને (1) માં બદલીએ, એકસાથે દૂર કરીએ એi = fi -1 , અમને મળે છે:

(6)

હવે સિવાય (3) bહું અને bહું (6) દ્વારા +1 અને d i(5) અનુસાર, આપણે માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ હું સાથે:

આ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ 3-કર્ણ છે. આવી સિસ્ટમો સ્વીપ પદ્ધતિ દ્વારા આર્થિક રીતે ઉકેલાય છે.

વિકર્ણ પ્રભુત્વને લીધે, સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે.

શોધ્યા પછી હું સાથેનક્કી કરવામાં આવે છે a i, b iઅને d iઅને દરેક સેગમેન્ટ પર ઘન બહુપદીનો પ્રકાર (સ્પલાઇન્સ) નક્કી કરવામાં આવે છે.

આમ, તે સાબિત થયું છે કે શરતો 1)-3) અને સીમાની સ્થિતિઓ દ્વારા નિર્ધારિત એક અનન્ય ઘન સ્પ્લિન છે

નોંધ કરો કે અન્ય સીમા શરતો ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે.

વધુ વિચારી શકાય સામાન્ય કાર્યસ્પલાઇન દ્વારા ફંક્શનનું પ્રક્ષેપ - nમી ડિગ્રીનો બહુપદી

,

જેના ગુણાંક ભાગરૂપે સ્થિર હોય છે, અને જે નોડ્સ પર આપેલ મૂલ્યો લે છે અને તેના (n-1) ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત હોય છે.

વ્યવહારમાં, સૌથી સામાન્ય 2 કેસ છે: એક n=3 સાથે ( ઘન બહુપદી) પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું છે, n-1 (1 લી ડિગ્રીના ન્યૂટન બહુપદી) માટેનું બીજું નોડ્સ દ્વારા બાંધવામાં આવેલી તૂટેલી રેખાના ગ્રાફના અંદાજને અનુરૂપ છે; ગુણાંકનું નિર્ધારણ સ્પષ્ટ છે.

લેક્ચર નંબર 14

સંખ્યાત્મક એકીકરણ

સરળ ચતુર્થાંશ ફોર્મ્યુલા

સામાન્ય સૂત્રલંબચોરસ

1. ડાબા લંબચોરસનું ચતુષ્કોણ સૂત્ર.

2. જમણો લંબચોરસ સૂત્ર

3. મધ્યમ લંબચોરસ માટે ચતુષ્કોણ સૂત્ર

સંખ્યાત્મક સંકલન સૂત્રોની ભૂલની ગણતરી.

દો h>0 પર્યાપ્ત થોડું x 0 =0.

ચાલો પાડોશમાં ટેલર શ્રેણીમાં ફંક્શનને વિસ્તૃત કરીએ x 0 =0. :

નાના સેગમેન્ટ માટે સ્થાનિક ભૂલ h -

, એટલે કે

એડિટિવિટી પ્રોપર્ટી

- સેગમેન્ટમાં ભૂલ.

ન્યૂટન-કોટ્સ ચતુર્થાંશ સૂત્રો

જો બહુપદી n - ડિગ્રી, પછી

આ પ્રક્ષેપ પ્રકારના ચતુર્થાંશ સૂત્રો છે. અહીં થી - કોટ્સ ગુણાંક

પરિમાણહીન સૂત્રો.

આ એક કાર્ય છે જે:

આપેલ તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે
,
;

અડીને આવેલા બિંદુઓ વચ્ચેના દરેક સેગમેન્ટમાં ઘન પેરાબોલા છે;

તમામ બિંદુઓ પર તેના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત.).

પ્રક્ષેપ
સ્થાનિક			વૈશ્વિક
રેખીય	પેરાબોલિક	ઘન પેરાબોલા	બહુપદી ડિગ્રી ( એન-1)	ઘન સ્પ્લીન
ચોખા. 1.5.

તે સ્પષ્ટ છે કે સ્થાનિક પ્રક્ષેપણ સાથે, બહુપદીના ટુકડાઓના જંકશન પર, વ્યુત્પન્નતામાં અસંતુલન પ્રાપ્ત થાય છે, જે ઘણી સમસ્યાઓમાં અનિચ્છનીય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી ઝડપની ગણતરી કરતી વખતે. બહુપદી દ્વારા વૈશ્વિક પ્રક્ષેપ સાથે, બધું
બહુપદી ડિગ્રીના ડેરિવેટિવ્ઝ સતત છે, પરંતુ ઉપયોગને કારણે ઉચ્ચ ડિગ્રીપર બહુપદી
સતત કાર્યમાં ઘણા મેક્સિમા અને મિનિમા હોઈ શકે છે, એટલે કે. વક્ર પર નોંધપાત્ર આઉટલીયર દેખાઈ શકે છે જે મૂળ કાર્યમાં નથી. આ આઉટલીયર્સને કારણે, પાંચમા કે છઠ્ઠા કરતાં વધુ ડિગ્રીના બહુપદીનો ઉપયોગ પ્રક્ષેપ માટે થતો નથી. ક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સ હાલમાં વૈશ્વિક પ્રક્ષેપ માટે વપરાય છે.

ઇન્ટરપોલિંગ કરતી વખતે, ફંક્શન મૂલ્યોમાં નાની ભૂલ હોવી જોઈએ, કારણ કે સતત વળાંક
ચોક્કસ બિંદુઓ દ્વારા બરાબર હાથ ધરવામાં આવે છે.

જો કોઈ ફંક્શન અંદાજે માપવામાં આવે છે અથવા ગણતરી કરવામાં આવે છે અને ભૂલો નોંધપાત્ર છે, તો પછી પ્રક્ષેપણ હાથ ધરવા અને અંદાજ તરફ આગળ વધવાનો કોઈ અર્થ નથી. લેટિનમાં શબ્દ ap-પ્રોક્સિમો"લગભગ નજીક" નો અર્થ થાય છે. જ્યારે અંદાજ લગાવવામાં આવે છે, ત્યારે વળાંક અમુક નિકટતાના માપદંડ અનુસાર આપેલ બિંદુઓની નજીક દોરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, માપદંડ ઓછામાં ઓછા ચોરસઅથવા ન્યૂનતમ માપદંડ. પ્રક્ષેપ અને અંદાજ વચ્ચેનો તફાવત આકૃતિ 1.6 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

જો આપણી પાસે સતત અથવા સ્વતંત્ર કાર્ય, પછી સામાન્ય રીતે 5 પ્રકારના ફંક્શન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ થાય છે:

સતત થી અલગ (નમૂના લેવું),

અલગથી સતત (પ્રક્ષેપ),

અલગથી સતત (અંદાજે),

સતત થી સતત (પ્રક્ષેપ),

ડિસ્ક્રીટ ટુ ડિસક્રીટ (લીસું કરવું).

નોંધ કરો કે સ્મૂથિંગ સાથે, જેનો વ્યાપકપણે ડિજિટલ પ્રોસેસિંગમાં ઉપયોગ થાય છે, સતત ફંક્શન બનાવવામાં આવતું નથી, અને માત્ર બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સ રૂપાંતરિત થાય છે.

ક્યુબિક સ્પ્લિન.
શોએનબર્ગે 1949માં પ્રક્ષેપણ માટે ક્યુબિક સ્પ્લાઈન્સનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરી હતી. શબ્દ "સ્પલાઈન" લાંબા પાતળી ધાતુની પટ્ટીઓના નામ પરથી આવ્યો છે, જે લાંબા સમય સુધી જર્મન ડ્રાફ્ટ્સમેન જટિલ વળાંકો દોરવા માટે પેટર્નને બદલે ડ્રોઈંગ બોર્ડ સાથે નખ સાથે જોડાયેલા હતા.

ક્યુબિક સ્પ્લિનએક કાર્ય છે જે:

આપેલ તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે
,
;

અડીને આવેલા બિંદુઓ વચ્ચેના દરેક સેગમેન્ટ પર ઘન બહુપદી છે;

તમામ બિંદુઓ પર તેના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત.

નોંધ કરો કે, ત્રીજી સ્થિતિ માટે આભાર, ઘન પેરાબોલા
બે બિંદુઓ દ્વારા અસ્પષ્ટ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે.

ક્યુબિક સ્પ્લિન માટેનું સૂત્ર સંખ્યા સાથેના મનસ્વી સેગમેન્ટ માટે લખાયેલું છે , જેના ડાબા છેડે એબ્સીસા છે . કોઈપણ માટે આ સેગમેન્ટ પર
ઈન્ટરપોલેશન પરિણામની ગણતરી ક્યુબિક સ્પલાઈનનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

વધુમાં, આપેલ બિંદુઓ વચ્ચે આપણી પાસે એક સેગમેન્ટ છે, તેથી આ સૂત્રમાં
.

જો બીજા સેગમેન્ટમાં જાય છે, પછી તમારે વર્તમાન સેગમેન્ટની સંખ્યા બદલવી જોઈએ અને તે જ સમયે ફોર્મ્યુલાના તમામ ગુણાંક બદલાશે. ત્રણ શરતોના આધારે, તે બતાવી શકાય છે

, , ,

(2.2)

ઇન્ટરપોલેશન હાથ ધરવા માટે, એટલે કે. ગણતરીઓ
કોઈપણ માટે, અગાઉથી આપેલ પોઈન્ટબધા સ્પ્લીન ગુણાંકની ગણતરી કરવી આવશ્યક છે, એટલે કે. એરે , , જેમાંથી દરેક બિંદુઓ વચ્ચેના વિભાગોની સંખ્યા અનુસાર લંબાઈ ધરાવે છે.

સમસ્યાનું નિવેદન: આપેલ મુદ્દાઓ , . બધા સ્પ્લીન ગુણાંક નક્કી કરો , , , એટલે કે કુલ
ગુણાંક,
, કારણ કે સેગમેન્ટ

કોઈપણ બે અડીને આવેલા ભાગોને ધ્યાનમાં લો
અને
સંખ્યાઓ સાથે
અને . તેમના માટે મુદ્દો સામાન્ય છે, ફિગ જુઓ. 2.1.

જમણા સેગમેન્ટ માટે, ક્યુબિક સ્પ્લિન ફોર્મ (2.1) ધરાવે છે, અને ડાબી બાજુ માટે, એટલે કે. ખાતે

IN સામાન્ય બિંદુ
ચાલો ડાબા અને જમણા મૂલ્યોની સમાનતા કરીએ
અને ડેરિવેટિવ્ઝ
અને
ક્યુબિક સ્પલાઇનની વ્યાખ્યા અનુસાર. નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને
ડાબા સેગમેન્ટની લંબાઈ માટે, આપણે પાંચ અજાણ્યા ગુણાંક માટે ત્રણ સમીકરણો મેળવીએ છીએ
,
,
, , .

તમામ આંતરિક ગાંઠો માટે આવા ત્રિવિધ સમીકરણો લખી શકાય છે,
, જે આપે છે
સમીકરણો

આ વધારાના બે સમીકરણો મનસ્વી હોઈ શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે કાર્ય
તેના છેડા નજીક રેખીય છે. પછી, છેલ્લા અને પ્રથમ સમીકરણો (2.4) અને સમીકરણ (2.5) માંથી આપણી પાસે છે:

ઘણીવાર સમીકરણોની સિસ્ટમ (2.8) નોડ્સ પર બીજા ડેરિવેટિવ્સ માટે લખવામાં આવે છે, તેમને સૂચિત કરે છે
. પછી તેણી ફોર્મ લે છે (બખ્વાલોવ, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ, એમ., 2002):