તેમની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર નક્કી કરે છે. ગેમ "ગાણિતિક સરખામણીઓ"

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારની વિભાવના જોઈએ:

ત્રણ દિવસથી પ્રવાસીઓ રસ્તા પર હતા. દરરોજ તેઓ 4200 મીટરના એ જ માર્ગે ચાલતા હતા, તેઓએ ત્રણ દિવસમાં કેટલું અંતર કાપ્યું હતું? સમસ્યાને બે રીતે ઉકેલો.

ઉકેલ:
ચાલો સમસ્યાને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રથમ દિવસે પ્રવાસીઓ 4200 મીટર ચાલ્યા હતા. બીજા દિવસે, પ્રવાસીઓ એ જ રસ્તે 4200m અને ત્રીજા દિવસે - 4200m ચાલ્યા. ચાલો તેને ગાણિતિક ભાષામાં લખીએ:
4200+4200+4200=12600મી.
અમે એક પેટર્ન જોઈએ છીએ જેમાં સંખ્યા 4200 ત્રણ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી, સરવાળો ગુણાકાર દ્વારા બદલી શકાય છે:
4200⋅3=12600m.
જવાબ: પ્રવાસીઓ ત્રણ દિવસમાં 12,600 મીટર ચાલ્યા.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

લાંબી એન્ટ્રી લખવાનું ટાળવા માટે, આપણે તેને ગુણાકારના રૂપમાં લખી શકીએ છીએ. નંબર 2 11 વખત પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી ગુણાકાર સાથેનું ઉદાહરણ આના જેવું દેખાશે:
2⋅11=22

ચાલો સારાંશ આપીએ. ગુણાકાર શું છે?

ગુણાકાર- આ એક ક્રિયા છે જે m n વખત શબ્દના પુનરાવર્તનને બદલે છે.

નોટેશન m⋅n અને આ અભિવ્યક્તિનું પરિણામ કહેવાય છે સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન, અને સંખ્યાઓ m અને n કહેવામાં આવે છે ગુણક.

ચાલો આને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ:
7⋅12=84
અભિવ્યક્તિ 7⋅12 અને પરિણામ 84 કહેવાય છે સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન.
નંબર 7 અને 12 કહેવામાં આવે છે ગુણક.

ગણિતમાં ગુણાકારના ઘણા નિયમો છે. ચાલો તેમને જોઈએ:

ગુણાકારનો વિનિમયાત્મક કાયદો.

ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ:

અમે અમારા 5 મિત્રોને બે સફરજન આપ્યા. ગાણિતિક રીતે, એન્ટ્રી આના જેવી દેખાશે: 2⋅5.
અથવા અમે અમારા બે મિત્રોને 5 સફરજન આપ્યા. ગાણિતિક રીતે, એન્ટ્રી આના જેવી દેખાશે: 5⋅2.
પ્રથમ અને બીજા કિસ્સામાં, અમે સમાન સંખ્યામાં સફરજનના 10 ટુકડાઓનું વિતરણ કરીશું.

જો આપણે 2⋅5=10 અને 5⋅2=10 નો ગુણાકાર કરીએ, તો પરિણામ બદલાશે નહીં.

વિનિમયાત્મક ગુણાકાર કાયદાની મિલકત:
પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.
m⋅ n=n⋅m

ગુણાકારનો સંયુક્ત કાયદો.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 અથવા 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 આપણને મળે છે,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ b) ⋅ c= a⋅(b⋅ c)

સહયોગી ગુણાકાર કાયદાની મિલકત:
સંખ્યાને બે સંખ્યાના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમે પહેલા તેને પ્રથમ અવયવ દ્વારા ગુણાકાર કરી શકો છો, અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનને બીજા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકો છો.

બહુવિધ પરિબળોને સ્વેપ કરીને અને તેમને કૌંસમાં મૂકવાથી, પરિણામ અથવા ઉત્પાદન બદલાશે નહીં.

આ કાયદાઓ કોઈપણ માટે સાચા છે કુદરતી સંખ્યાઓ.

કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાનો એક વડે ગુણાકાર.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
7⋅1=7 અથવા 1⋅7=7
a⋅1=a અથવા 1⋅a= a
જ્યારે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાને એક વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્પાદન હંમેશા સમાન સંખ્યા હશે.

કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવો.

6⋅0=0 અથવા 0⋅6=0
a⋅0=0 અથવા 0⋅a=0
જ્યારે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર થશે.

“ગુણાકાર” વિષય માટેના પ્રશ્નો:

સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શું છે?
જવાબ: સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન અથવા સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એ અભિવ્યક્તિ m⋅n છે, જ્યાં m એક શબ્દ છે, અને n એ આ શબ્દના પુનરાવર્તનની સંખ્યા છે.

ગુણાકાર શું માટે વપરાય છે?
જવાબ: સંખ્યાઓના લાંબા સરવાળા ન લખવા માટે, પરંતુ સંક્ષિપ્તમાં લખવા માટે. ઉદાહરણ તરીકે, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

ગુણાકારનું પરિણામ શું છે?
જવાબ: કાર્યનો અર્થ.

ગુણાકાર 3⋅5 નો અર્થ શું છે?
જવાબ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

જો તમે એક મિલિયનને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરો, તો ઉત્પાદન બરાબર શું થશે?
જવાબ: 0

ઉદાહરણ #1:
સરવાળાને ઉત્પાદન સાથે બદલો: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
જવાબ: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

ઉદાહરણ #2:
તેને ઉત્પાદન તરીકે લખો: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
ઉકેલ:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

કાર્ય #1:
મમ્મીએ ચોકલેટના 3 બોક્સ ખરીદ્યા. દરેક બોક્સમાં 8 કેન્ડી હોય છે. મમ્મીએ કેટલી કેન્ડી ખરીદી?
ઉકેલ:
એક બોક્સમાં 8 કેન્ડી છે, અને અમારી પાસે આવા 3 બોક્સ છે.
8+8+8=8⋅3=24 કેન્ડી
જવાબ: 24 કેન્ડી.

કાર્ય #2:
કલા શિક્ષકે તેના આઠ વિદ્યાર્થીઓને દરેક પાઠ માટે સાત પેન્સિલો તૈયાર કરવાનું કહ્યું. બાળકો પાસે કુલ કેટલી પેન્સિલો હતી?
ઉકેલ:
તમે સમસ્યાનો સરવાળો કરી શકો છો. પ્રથમ વિદ્યાર્થી પાસે 7 પેન્સિલો હતી, બીજા વિદ્યાર્થી પાસે 7 પેન્સિલ વગેરે હતી.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
રેકોર્ડિંગ અસુવિધાજનક અને લાંબી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, ચાલો સરવાળાને ઉત્પાદન સાથે બદલીએ.
7⋅8=56
જવાબ છે 56 પેન્સિલો.

આ સંદર્ભમાં, ગુણાકાર ચિહ્ન એ બાઈનરી ઓપરેટર છે. ત્યાં કોઈ ગુણાકારની નિશાની નથી ખાસ નામ, જેમ કે "પ્લસ" તરીકે ઓળખાતા ઉમેરણ ચિહ્ન.

વપરાયેલ સૌથી જૂનું પ્રતીક કર્ણ ક્રોસ (×) છે. તેનો સૌપ્રથમ ઉપયોગ અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી વિલિયમ ઓગટ્રેડે 1631માં તેમની કૃતિ "Clavis Mathematicae"માં કર્યો હતો. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી લીબનીઝે ઊંચા બિંદુ (∙)ના રૂપમાં ચિહ્નને પસંદ કર્યું હતું (∙) તેમણે 1698ના પત્રમાં આ પ્રતીકનો ઉપયોગ કર્યો હતો. જોહાન રાહને તેની રજૂઆત કરી હતી. ફૂદડી (∗) ગુણાકારની નિશાની તરીકે, તે 1659ના તેમના પુસ્તક ટ્યુશ બીજગણિતમાં દેખાય છે.

IN રશિયન પાઠયપુસ્તકોગણિતમાં, ઉંચા ડોટ (∙) ના સ્વરૂપમાં ચિહ્નનો મુખ્યત્વે ઉપયોગ થાય છે. ફૂદડી (∗) નો ઉપયોગ કોમ્પ્યુટર નોટેશનમાં થાય છે. પરિણામ સમાન ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને લખાયેલ છે " $=$", ઉદાહરણ તરીકે:

$a\; \backslash cdot\; b\; =\; c$ ; $6\backslash cdot\; 3\; =\; 18$("છ ગુણ્યા ત્રણ બરાબર અઢાર" અથવા "છ ગુણ્યા ત્રણ બરાબર અઢાર").

દશાંશ સંખ્યા પદ્ધતિમાં ગુણાકાર માટેનું કોષ્ટક

આ પ્રક્રિયા કુદરતી અને પૂર્ણાંક (સાઇન સહિત) સંખ્યાઓના ગુણાકાર માટે લાગુ પડે છે. અન્ય સંખ્યાઓ માટે, વધુ જટિલ ગાણિતીક નિયમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

સંખ્યાઓનો ગુણાકાર

કુદરતી સંખ્યાઓ

ચાલો કુદરતી સંખ્યાઓની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ $\backslash mathbb(N)$મર્યાદિત સમૂહોના સમકક્ષ વર્ગો તરીકે. અમે મર્યાદિત સમૂહોના સમકક્ષ વર્ગો સૂચવીએ છીએ $C,\; A,\; B$કૌંસનો ઉપયોગ કરીને બાયજેક્શન દ્વારા જનરેટ: $[C],\; [A],\; [B]$. પછી અંકગણિત કામગીરી "ગુણાકાર" નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

$[C]=[A]\; \backslash cdot\; [B]\; =\; ;$

ક્યાં: $A\; \backslash times\; B=\backslash ((a,b)\; \backslash \; મધ્ય\; a\; \backslash in\; A\; ,\; b\; \backslash in\; B\; \backslash )$સેટનું સીધું ઉત્પાદન - સેટ $સી$, જેના તત્વોને જોડીનો ઓર્ડર આપવામાં આવે છે $(a,b)$તમામ પ્રકારના માટે $a\; \backslash in\; A,\; b\; \backslash in\; B$. આ ઓપરેશનવર્ગો પર યોગ્ય રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તે વર્ગ તત્વોની પસંદગી પર આધારિત નથી, અને પ્રેરક વ્યાખ્યા સાથે એકરુપ છે.

વન-ટુ-વન મેપિંગ મર્યાદિત સમૂહ $એ$એક સેગમેન્ટ માટે $N\_a$સમૂહના ઘટકોની સંખ્યા તરીકે સમજી શકાય છે $A:\backslash quad\; A\backslash sim\; N\_a$. આ નંબરિંગ પ્રક્રિયાને "કાઉન્ટિંગ" કહેવામાં આવે છે. આમ, "ગણતરી" એ સમૂહના ઘટકો અને સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણીના સેગમેન્ટ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારની સ્થાપના છે.

પોઝીશનલ નંબર નોટેશન સિસ્ટમમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, બીટવાઇઝ ગુણાકાર અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો બે કુદરતી સંખ્યાઓ આપવામાં આવે $a$અને $b$જેમ કે:

$a=a\_(n-1)\; a\_(n-2)\backslash dots\; a\_0,\; \backslash quad\; b=b\_(n-1)\; b\_(n-2)\backslash dots\; b\_0,\; \backslash quad\; \backslash forall\; a\_(k),b\_(k)\; )\; \backslash in\; \backslash (P\; \backslash ),\; \backslash quad\; \backslash forall\; a\_(n-1),\; b\_(n-1)\; \backslash ne\; 0,\; \backslash quad\; \backslash exists\; 0\backslash in\; \backslash N;$

જ્યાં $a\_(0\; \backslash dots\; n-1)=a\_k\; P^k,\; \backslash quad\; b\_(0\; \backslash dots\; n-1)=b\_k\; P^k$; $n$- સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા $n\; \backslash in\; \backslash (1,\; 2,\; \backslash બિંદુઓ,\; n\; \backslash )$; $k$ - સીરીયલ નંબરપદ (પદ), $k\; \backslash in\; \backslash (0,\; 1,\; \backslash બિંદુ,\; n-1\; \backslash )$; $પી$- નંબર સિસ્ટમનો આધાર; $\backslash (P\backslash )$ઘણા આંકડાકીય ચિહ્નો (અંકો), ચોક્કસ સિસ્ટમસંકેત: $\backslash (P\_2\backslash )=\; \backslash (0,1\backslash )$, $\backslash (P\_(10)\; \backslash )=\; \backslash (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\backslash )$, $\backslash (P\_(16)\; \backslash )=\; \backslash (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\; \backslash )$; પછી:

$c=a\; \backslash sdot\; b;\; \backslash quad\; c\_(n-1)\; c\_(n-2)\backslash dots\; c\_0=a\_(n-1)\; a\_(n-2)\backslash dots\; a\_0\; \backslash sdot\; b\_(n-1)\; b\_(n-2)\backslash dots\; b\_0\; ;$

બીટવાઇઝ ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે $n$મધ્યવર્તી પરિણામો:

• $t\_(n-1,~0)\; =\; મોડ(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_0\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_0\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_0\; \backslash sdot~\; P^k;$
• $t\_(n-1,~1)\; =\; મોડ(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_1\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_1\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_1\; \backslash sdot~\; P^k;$
• $...\; \backslash qquad\; \backslash qquad...\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad...\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad...$
• $t\_(n-1,~k)\; =\; મોડ(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_(k)\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_(k)\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_(k)\; \backslash sdot~\; P^k;$

જ્યાં: r એ વહન મૂલ્ય છે, મોડ() એ ભાગાકારના બાકીના ભાગને શોધવાનું કાર્ય છે, div() એ અપૂર્ણ ભાગ શોધવાનું કાર્ય છે.

પછી પ્રાપ્ત $n$અમે મધ્યવર્તી પરિણામો ઉમેરીએ છીએ: $c=t\_0+t\_1+...t\_(k).$

આમ, ગુણાકારની ક્રિયાને ક્રમિક પ્રક્રિયામાં ઘટાડવામાં આવે છે સરળ ગુણાકારએક અંકની સંખ્યા $a\_(k)\backslash sdot\; b\_(k)$, જો જરૂરી હોય તો કેરીની રચના સાથે, જે કાં તો ટેબ્યુલર પદ્ધતિ દ્વારા અથવા અનુક્રમિક ઉમેરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે. અને પછી ઉમેરા પર.

કોઈપણ પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમમાં સંખ્યાઓ પર અંકગણિત ક્રિયાઓ દશાંશ પદ્ધતિમાં સમાન નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે, કારણ કે તે બધા અનુરૂપ બહુપદીઓ પર કામગીરી કરવા માટેના નિયમો પર આધારિત છે. આ કિસ્સામાં, તમારે આપેલ આધારને અનુરૂપ ગુણાકાર કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. $પી$નંબર સિસ્ટમ્સ.

દ્વિસંગી, દશાંશ અને હેક્સાડેસિમલ નંબર સિસ્ટમ્સમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારનું ઉદાહરણ, સગવડ માટે, સંખ્યાઓ એકબીજાની નીચે અંકો અનુસાર લખવામાં આવે છે, કેરી ટોચ પર લખવામાં આવે છે:

$\backslash begin(એરે)(cccccccccc)$

& & & & & & & \\ & & &1&1&0&1&1&0 \\ & &*& &1&1&0&1 \\ \hલાઇન & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &0&0&0&0&0&0&(\color&1&0&0) \\ &1&1&0&(\color&1&0) \\ &1&1&0 રંગ(ગ્રે)0 &(\color(ગ્રે)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0 \end(એરે); \quad \quad \begin(array)(cccccccc) & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&7 \\ & &*& & &5&4&1 \\ \hલાઈન & & & &&2&4&8 \\ \hલાઈન & & &0&8&4&8\\&6&8&3&8\ \\ રંગ(ગ્રે)0 \\ +&4&2&2&8&3&5&(\color(Gray)0)&(\color(Gray)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end(એરે); \quad \quad

\\શરૂ \color(ગ્રે)0 ) &(\color(ગ્રે)0) \\ \hલાઇન &4&5&8&3&6&9&C

\end(એરે)~~.

પૂર્ણાંક

તર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળભૂત ક્રમ દ્વારા અનુક્રમે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (કોચી સ્થિતિને સંતોષે છે), આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે: $આલ્ફા\; =$અને $\backslash beta\; =$, તો તેમનું ઉત્પાદન સંખ્યા છે $\backslash gamma\; =$, ક્રમના ઉત્પાદન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત $\backslash (a\_n\backslash )$અને $\backslash (b\_n\backslash )$:

$\backslash gamma\; =\; \backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash beta\; \backslash overset(\backslash text(def))(=)\; \backslash cdot\; =$;

વાસ્તવિક સંખ્યા $\backslash gamma\; =\; \backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash beta$, નીચેની શરતને સંતોષે છે:

\forall a", a , b", b\in \mathbb(Q); ~~~~ (a" \leqslant \alpha \leqslant a ) \ અને (b" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​\leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

.

આમ, બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન $\backslash આલ્ફા$અને $\backslash બીટા$આવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે $\backslash ગામા$જે ફોર્મના તમામ ઉત્પાદનો વચ્ચે સમાયેલ છે $a"\; \backslash cdot\; b"$એક તરફ, અને ફોર્મના તમામ કાર્યો $a$\cdot bબીજી બાજુ

વ્યવહારમાં, બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે $\backslash આલ્ફા$અને $\backslash બીટા$, તેમને અંદાજિત તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે જરૂરી ચોકસાઈ સાથે બદલવું જરૂરી છે $a$અને $b$. સંખ્યાઓના ઉત્પાદનના અંદાજિત મૂલ્ય માટે $\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash beta$દર્શાવેલ તર્કસંગત સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન લો $a\; \backslash cdot\; b$. આ કિસ્સામાં, તે કોઈ વાંધો નથી કે કઈ બાજુથી (ઉણપ અથવા વધારે) લેવામાં આવે છે તર્કસંગત સંખ્યાઓનજીક લાવો $\backslash આલ્ફા$અને $\backslash બીટા$. bitwise ગુણાકાર અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

ત્રિકોણમિતિ સંકેતમાં બે જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમના મોડ્યુલોનો ગુણાકાર કરવાની અને તેમની દલીલો ઉમેરવાની જરૂર છે:

$c=a\; \backslash cdot\; b=r\_1\; (Cos\; \backslash varphi\; \_1+\; iSin\; \backslash varphi\; \_1)\; ~\backslash cdot~\; r\_2\; (Cos\; \backslash varphi\; \_2+\; iSin\backslash varphi\; \_2)\; =r\_1\; \backslash cdot\; r\_2\; (Cos\; (\backslash varphi\; \_1+\backslash ++varphi)\; iSin\; (\backslash varphi\; \_1+\backslash varphi\; \_2)),$ક્યાં: $r=|z|=|a+ib|=\backslash sqrt(a^2+b^2);~~~\backslash varphi\; =\; Arg(z)=arctg\; \backslash biggl(\backslash frac(b)(a)\; \backslash biggr)\; ,$જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ અને દલીલ.

જટિલ સંખ્યાનો ગુણાકાર $a\; =\; r\_1\; e^\; (i\backslash varphi\; \_1)$ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં, જટિલ સંખ્યા માટે $b\; =\; r\_2\; e^\; (i\backslash varphi\; \_2)$સંખ્યાને અનુરૂપ વેક્ટરને ફેરવવા માટે ઘટાડે છે $a$, ખૂણે $Arg(b)$અને તેની લંબાઈમાં ફેરફાર કરો $|b|$એકવાર એક ભાગ માટે જટિલ સંખ્યાઓઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં સમાનતા સાચી છે:

$c=re^\; (i\backslash varphi)=a\; \backslash cdot\; b\; =\; r\_1\; e^\; (i\backslash varphi\; \_1)\; \backslash cdot\; r\_2\; e^\; (i\backslash varphi\; \_2)=\; r\_1\backslash cdot\; r\_2\backslash cdot\; e^\; (i(\backslash varphi\; \_1+\; \backslash varphi\; \_2)),$

ક્યાં: $e=2.718281828...$- સંખ્યા ઇ.

ઘાતાંકીય સંકેત

ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે ઝડપનો ગુણાકાર કરો $V=4\; ~m/s$થોડા સમય માટે $T=2\; ~\; સે$, એક ભૌતિક પ્રક્રિયાને અનુરૂપ, તમને નામાંકિત નંબર મળે છે ( ભૌતિક જથ્થો) સમાન ભૌતિક પ્રક્રિયાને અનુરૂપ, જેને "લંબાઈ" કહેવામાં આવે છે અને મીટરમાં માપવામાં આવે છે: $L=8\; ~m$.

$L=V\; \backslash cdot\; T\; =\; 4~\backslash frac(m)(s)\; \backslash cdot\; 2~s\; =8\; ~\backslash frac(m\; \backslash cdot\; s)(s)=\; 8\; ~m.$

વર્ણન કરતી વખતે ગાણિતિક અર્થ શારીરિક પ્રક્રિયાઓએકરૂપતાના ખ્યાલ દ્વારા એક મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે, ઉદાહરણ તરીકે, "1 કિલો લોટ" અને "1 કિલો તાંબુ" સંબંધિત છે. વિવિધ સેટ(લોટ) અને (તાંબુ) અનુક્રમે. ઉપરાંત, એકરૂપતાની વિભાવના ધારે છે કે ગુણાકારની માત્રા સમાન ભૌતિક પ્રક્રિયાથી સંબંધિત છે.

પણ જુઓ

લેખ "ગુણાકાર" વિશે સમીક્ષા લખો

નોંધો

સાહિત્ય

• ઇલીન વી.એ. વગેરે. - મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 1985. - ટી. 1. - 662 પૃષ્ઠ.
• એન્ડરટન જી.સેટ થિયરીના તત્વો = સેટ થિયરીના તત્વો. - ગલ્ફ પ્રોફેશનલ પબ્લિશિંગ, 1977. - 279 પૃષ્ઠ. - ISBN 0-12-238440-7.
• બાર્સુકોવ એ.એન.. - શિક્ષણ, 1966. - 296 પૃ.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.. - શિક્ષણ, 1988. - 416 પૃષ્ઠ.
• ઇસ્ટોમિના એન.બી.. - એસોસિયેશન XXI સદી, 2005. - 272 પૃષ્ઠ. - ISBN 5-89308-193-5.
• વૈગોડસ્કી એમ. યા.માટે માર્ગદર્શન પ્રાથમિક ગણિત. - એમ.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
• વી.આઈ. ઇગોશીન(રશિયન): લેખ. - સારાટોવ રાજ્ય યુનિવર્સિટીએન.જી. ચેર્નીશેવસ્કી, 2010.
• Kononyuk A.E.. - ઓસ્વિતા યુક્રેન, 2012. - ટી. 2. - 548 પૃ. - ISBN 978-966-7599-50-8.
• : [ઓગસ્ટ 24, 2011] // નેતૃત્વ / આર્ટેમી લેબેડેવ. - 15 જાન્યુઆરી, 2003 - § 97.

ગુણાકારનું વર્ણન કરતો અવતરણ

- તે આવી રહ્યો છે! - આ સમયે મખાલ્નીએ બૂમ પાડી.
રેજિમેન્ટલ કમાન્ડર, શરમાઈને, ઘોડા તરફ દોડ્યો, ધ્રૂજતા હાથે રકાબ લીધો, શરીર ઉપર ફેંકી દીધું, પોતાની જાતને સીધી કરી, તેની તલવાર કાઢી અને ખુશ, નિર્ણાયક ચહેરા સાથે, તેનું મોં બાજુ તરફ ખુલ્લું રાખીને, બૂમો પાડવા તૈયાર થયો. રેજિમેન્ટ સ્વસ્થ પક્ષીની જેમ ઉભી થઈ અને થીજી ગઈ.
- Smir r r r na! - રેજિમેન્ટલ કમાન્ડર આત્માને હચમચાવી દે તેવા અવાજમાં બૂમ પાડી, પોતાના માટે આનંદિત, રેજિમેન્ટના સંબંધમાં કડક અને નજીક આવતા કમાન્ડરના સંબંધમાં મૈત્રીપૂર્ણ.
એક પહોળા, ઝાડ-પાકા, ધોરીમાર્ગ વિનાના રસ્તા પર, એક ઉંચી વાદળી વિયેનીઝ ગાડી એક ટ્રેનમાં ઝડપી ગતિએ આગળ વધી રહી હતી, તેના ઝરણા સહેજ ધમધમતા હતા. ગાડીની પાછળ એક રેટીન્યુ અને ક્રોએટ્સનો કાફલો દોડતો હતો. કુતુઝોવની બાજુમાં કાળા રશિયનોમાં વિચિત્ર સફેદ ગણવેશમાં એક ઑસ્ટ્રિયન જનરલ બેઠો હતો. છાજલી પર ગાડી ઊભી રહી. કુતુઝોવ અને ઑસ્ટ્રિયન જનરલ કંઈક વિશે શાંતિથી વાત કરી રહ્યા હતા, અને કુતુઝોવ સહેજ સ્મિત કર્યું, જ્યારે, ભારે પગ મૂકતા, તેણે તેના પગને ફૂટરેસ્ટથી નીચે કર્યો, જાણે કે આ 2,000 લોકો ત્યાં ન હતા, જેઓ શ્વાસ લીધા વિના તેની અને રેજિમેન્ટલ કમાન્ડર તરફ જોઈ રહ્યા હતા.
આદેશનો બૂમો સંભળાયો, અને ફરીથી રેજિમેન્ટ રિંગિંગ અવાજથી ધ્રૂજતી હતી, પોતાને રક્ષક પર મૂકતી હતી. મૃત મૌનમાં મેં સાંભળ્યું નબળો અવાજકમાન્ડર-ઇન-ચીફ. રેજિમેન્ટ ભસ્યો: "અમે તમને સારા સ્વાસ્થ્યની ઇચ્છા કરીએ છીએ, તમારા!" અને ફરીથી બધું થીજી ગયું. શરૂઆતમાં, રેજિમેન્ટ ખસેડતી વખતે કુતુઝોવ એક જગ્યાએ ઊભો રહ્યો; પછી કુતુઝોવ, સફેદ જનરલની બાજુમાં, પગ પર, તેના નિવૃત્તિ સાથે, રેન્ક સાથે ચાલવાનું શરૂ કર્યું.
જે રીતે રેજિમેન્ટલ કમાન્ડર કમાન્ડર-ઇન-ચીફને સલામ કરે છે, તેની આંખોથી તેની તરફ જોતા, લંબાવતા અને નજીક જતા, તે કેવી રીતે આગળ ઝૂક્યો અને રેન્ક સાથે સેનાપતિઓની પાછળ ગયો, ભાગ્યે જ ધ્રુજારીની હિલચાલ જાળવી રાખી, તે કેવી રીતે દરેક સમયે કૂદી ગયો. કમાન્ડર-ઇન-ચીફના શબ્દ અને હિલચાલ, તે સ્પષ્ટ હતું કે તે ઉપરી અધિકારીઓની ફરજો કરતાં પણ વધુ આનંદ સાથે તેની ગૌણ ફરજો પૂર્ણ કરી રહ્યો હતો. રેજિમેન્ટ, રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરની કઠોરતા અને ખંતને આભારી, તે જ સમયે બ્રુનાઉમાં આવેલા અન્ય લોકોની તુલનામાં ઉત્તમ સ્થિતિમાં હતી. ત્યાં માત્ર 217 લોકો હતા જેઓ મંદબુદ્ધિ અને બીમાર હતા. અને બૂટ સિવાય બધું સારું હતું.
કુતુઝોવ રેન્કમાંથી પસાર થતો હતો, પ્રસંગોપાત અટકી ગયો હતો અને તે અધિકારીઓને થોડા માયાળુ શબ્દો બોલતો હતો જેમને તે તુર્કી યુદ્ધથી જાણતો હતો, અને કેટલીકવાર સૈનિકો સાથે. પગરખાંને જોઈને, તેણે ઉદાસીથી ઘણી વખત માથું હલાવ્યું અને ઑસ્ટ્રિયન જનરલને એવી અભિવ્યક્તિ સાથે નિર્દેશ કર્યો કે તે તેના માટે કોઈને દોષી ઠેરવતો ન હતો, પરંતુ તે મદદ કરી શક્યો નહીં પરંતુ તે કેટલું ખરાબ હતું તે જોઈ શક્યો. દર વખતે રેજિમેન્ટલ કમાન્ડર રેજિમેન્ટ અંગે કમાન્ડર-ઇન-ચીફના શબ્દને ચૂકી જવાના ડરથી આગળ દોડતો હતો. કુતુઝોવની પાછળ, એટલા અંતરે કે કોઈ પણ હળવાશથી બોલાયેલો શબ્દ સાંભળી શકાય, લગભગ 20 લોકો તેની રેટિનીમાં ચાલ્યા ગયા. નિવૃત્તિના સજ્જનો એકબીજાની વચ્ચે વાતો કરતા અને ક્યારેક હસતા. હેન્ડસમ એડજ્યુટન્ટ કમાન્ડર-ઇન-ચીફની સૌથી નજીક ગયો. તે પ્રિન્સ બોલ્કોન્સકી હતો. તેની બાજુમાં તેના સાથી નેસ્વિત્સ્કી ચાલતા હતા, એક ઉંચો સ્ટાફ ઓફિસર, અત્યંત જાડો, દયાળુ અને હસતો. સુંદર ચહેરોઅને ભીની આંખો; નેસ્વિટ્સ્કી ભાગ્યે જ પોતાની જાતને હસવાથી રોકી શક્યો, તેની બાજુમાં ચાલતા કાળા હુસાર અધિકારીથી ઉત્સાહિત. હુસાર અધિકારી, સ્મિત કર્યા વિના, તેની સ્થિર આંખોની અભિવ્યક્તિ બદલ્યા વિના, ગંભીર ચહેરા સાથે રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરની પાછળ જોતો હતો અને તેની દરેક હિલચાલનું અનુકરણ કરતો હતો. દર વખતે જ્યારે રેજિમેન્ટલ કમાન્ડર ઝૂકતો અને આગળ ઝૂકતો, બરાબર એ જ રીતે, બરાબર એ જ રીતે, હુસાર અધિકારી ઝૂકીને આગળ ઝૂકતો. નેસ્વિત્સ્કી હસ્યો અને અન્યને રમુજી માણસ તરફ જોવા દબાણ કર્યું.
કુતુઝોવ તેમના બોસને જોઈને તેમના સોકેટમાંથી બહાર નીકળેલી હજારો આંખોમાંથી ધીમે ધીમે અને આળસથી ચાલ્યો ગયો. 3 જી કંપની સાથે પકડ્યા પછી, તે અચાનક બંધ થઈ ગયો. નિવૃત્ત, આ સ્ટોપની અપેક્ષા ન રાખતા, અનૈચ્છિક રીતે તેની તરફ આગળ વધ્યો.
- આહ, ટિમોખિન! - કમાન્ડર-ઇન-ચીફે કહ્યું, લાલ નાકવાળા કેપ્ટનને ઓળખીને, જેણે તેના વાદળી ઓવરકોટ માટે સહન કર્યું.
તેને ખેંચવું અશક્ય લાગતું હતું વધુમાં, જેમ જેમ ટિમોકિને લંબાવ્યું, જ્યારે રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરે તેને ઠપકો આપ્યો. પરંતુ તે જ ક્ષણે કમાન્ડર-ઇન-ચીફે તેમને સંબોધિત કર્યા, કેપ્ટન સીધો ઊભો થયો જેથી એવું લાગે કે જો કમાન્ડર-ઇન-ચીફ થોડી વધુ સમય સુધી તેમની તરફ જોયા હોત, તો કપ્તાન તે ઊભા ન રહી શક્યા હોત; અને તેથી કુતુઝોવ, દેખીતી રીતે તેની સ્થિતિને સમજતો હતો અને તેની ઇચ્છા રાખતો હતો, તેનાથી વિપરીત, કેપ્ટન માટે તમામ શ્રેષ્ઠ, ઉતાવળથી પાછો ફર્યો. કુતુઝોવના ભરાવદાર, ઘા-વિકૃત ચહેરા પર ભાગ્યે જ ધ્યાનપાત્ર સ્મિત છવાઈ ગયું.
"બીજો ઇઝમેલોવો સાથી," તેણે કહ્યું. - બહાદુર અધિકારી! શું તમે તેનાથી ખુશ છો? - કુતુઝોવે રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરને પૂછ્યું.
અને રેજિમેન્ટલ કમાન્ડર, અરીસામાં પ્રતિબિંબિત, પોતાને અદ્રશ્ય, હુસાર અધિકારીમાં, ધ્રૂજતો, આગળ આવ્યો અને જવાબ આપ્યો:
- હું ખૂબ જ ખુશ છું, મહામહિમ.
"આપણે બધા નબળાઈઓ વગરના નથી," કુતુઝોવ હસતા અને તેની પાસેથી દૂર જતા કહ્યું. “તેને બચ્ચસ પ્રત્યે ભક્તિ હતી.
રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરને ડર હતો કે તે આ માટે દોષી છે, અને તેણે કંઈપણ જવાબ આપ્યો નહીં. તે ક્ષણે અધિકારીએ લાલ નાક અને ટકેલા પેટ સાથે કેપ્ટનનો ચહેરો જોયો અને તેના ચહેરાની નકલ કરી અને એટલી નજીકથી પોઝ આપ્યો કે નેસ્વિત્સ્કી હસવાનું રોકી શક્યો નહીં.
કુતુઝોવ ફરી વળ્યો. તે સ્પષ્ટ હતું કે અધિકારી તેની ઈચ્છા મુજબ તેના ચહેરાને નિયંત્રિત કરી શકે છે: કુતુઝોવ ફરી વળ્યો તે મિનિટે, અધિકારીએ એક ઝીણવટભરી વાત કરી અને તે પછી સૌથી ગંભીર, આદરણીય અને નિર્દોષ અભિવ્યક્તિ સ્વીકારી.
ત્રીજી કંપની છેલ્લી હતી, અને કુતુઝોવે તેના વિશે વિચાર્યું, દેખીતી રીતે કંઈક યાદ રાખ્યું. પ્રિન્સ આન્દ્રે તેની સેવામાંથી બહાર નીકળ્યો અને ફ્રેન્ચમાં શાંતિથી કહ્યું:
- તમે આ રેજિમેન્ટમાં ડિમોટ થયેલા ડોલોખોવ વિશે રીમાઇન્ડરનો આદેશ આપ્યો છે.
- ડોલોખોવ ક્યાં છે? - કુતુઝોવને પૂછ્યું.
ડોલોખોવ, પહેલેથી જ સૈનિકના ગ્રે ઓવરકોટમાં સજ્જ, બોલાવવાની રાહ જોતો ન હતો. પાતળી આકૃતિસ્પષ્ટ વાળ સાથે ગૌરવર્ણ વાદળી આંખોસૈનિક સામેથી બહાર નીકળ્યો. તે કમાન્ડર-ઇન-ચીફ પાસે ગયો અને તેને ગાર્ડ પર મૂક્યો.
- દાવો? - કુતુઝોવે સહેજ ભવાં ચડાવીને પૂછ્યું.
"આ ડોલોખોવ છે," પ્રિન્સ આંદ્રેએ કહ્યું.
- એ! - કુતુઝોવે કહ્યું. "હું આશા રાખું છું કે આ પાઠ તમને સુધારશે, સારી સેવા આપશે." પ્રભુ દયાળુ છે. અને જો તમે તેના લાયક હશો તો હું તમને ભૂલીશ નહીં.
વાદળી, સ્પષ્ટ આંખોએ રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરની જેમ જ કમાન્ડર-ઇન-ચીફ તરફ જોયું, જાણે તેમની અભિવ્યક્તિથી તેઓ સંમેલનનો પડદો ફાડી રહ્યા હતા જેણે અત્યાર સુધી કમાન્ડર-ઇન-ચીફને સૈનિકથી અલગ કર્યો હતો.
“હું એક વાત પૂછું છું, મહામહિમ,” તેણે તેના સુમધુર, મક્કમ, અવિચારી અવાજમાં કહ્યું. "કૃપા કરીને મને મારા અપરાધ માટે સુધારો કરવાની અને સમ્રાટ અને રશિયા પ્રત્યેની મારી ભક્તિ સાબિત કરવાની તક આપો."
કુતુઝોવ પાછો ફર્યો. તેની આંખોમાં તે જ સ્મિત તેના ચહેરા પર ચમક્યું જ્યારે તે કેપ્ટન તિમોખિનથી દૂર ગયો. તે પાછો ફર્યો અને ખળભળાટ મચાવ્યો, જાણે કે તે વ્યક્ત કરવા માંગતો હતો કે ડોલોખોવે તેને જે કહ્યું તે બધું, અને તે જે કહી શકે તે બધું, તે લાંબા, લાંબા સમયથી જાણતો હતો કે આ બધું તેને પહેલેથી જ કંટાળી ગયું હતું અને આ બધું ન હતું. તેને જેની જરૂર હતી. તે પાછો વળી ગયો અને સ્ટ્રોલર તરફ ગયો.
રેજિમેન્ટ કંપનીઓમાં વિખેરી નાખવામાં આવી અને બ્રુનાઉથી દૂર ન હોય તેવા ક્વાર્ટર્સમાં પ્રયાણ કર્યું, જ્યાં તેઓ મુશ્કેલ કૂચ પછી પગરખાં પહેરવા, ડ્રેસ પહેરવાની અને આરામ કરવાની આશા રાખતા હતા.
- તમે મારા પર દાવો નથી કરતા, પ્રોખોર ઇગ્નાટીચ? - રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરે કહ્યું, ત્રીજી કંપનીની આસપાસ ડ્રાઇવિંગ કરીને સ્થળ તરફ આગળ વધી રહ્યો હતો અને કેપ્ટન ટિમોખિન પાસે પહોંચ્યો, જે તેની સામે ચાલી રહ્યો હતો. આનંદપૂર્વક પૂર્ણ સમીક્ષા પછી રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરના ચહેરાએ અનિયંત્રિત આનંદ વ્યક્ત કર્યો. - શાહી સેવા... તે અસંભવ છે... બીજી વાર તમે તેને આગળના ભાગમાં સમાપ્ત કરશો... હું પહેલા માફી માંગીશ, તમે મને જાણો છો... મેં તમારો ખૂબ આભાર માન્યો! - અને તેણે કંપની કમાન્ડર તરફ હાથ લંબાવ્યો.
- દયા ખાતર, જનરલ, શું હું હિંમત કરું છું! - કેપ્ટનને જવાબ આપ્યો, તેના નાકથી લાલ થઈને, સ્મિત સાથે અને આગળના બે દાંતનો અભાવ, ઈશ્માએલની નીચે બટ દ્વારા પછાડીને સ્મિત સાથે પ્રગટ કર્યો.
- હા, શ્રી ડોલોખોવને કહો કે હું તેને ભૂલીશ નહીં, જેથી તે શાંત થઈ શકે. હા, કૃપા કરીને મને કહો, હું પૂછવા માંગતો હતો કે તે કેવો છે, તે કેવી રીતે વર્તે છે? અને આટલું જ...
"તે તેની સેવામાં ખૂબ જ સેવાભાવી છે, મહામહિમ... પરંતુ ચાર્ટરર..." ટિમોકિને કહ્યું.
- શું, કયું પાત્ર? - રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરને પૂછ્યું.
કેપ્ટને કહ્યું, "તમારા મહામહિમ ઘણા દિવસો સુધી શોધે છે કે તે સ્માર્ટ, વિદ્વાન અને દયાળુ છે." તે એક જાનવર છે. તેણે પોલેન્ડમાં એક યહૂદીને મારી નાખ્યો, જો તમે કૃપા કરીને...
"સારું, હા, સારું," રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરે કહ્યું, "અમે હજી પણ દુર્ભાગ્યમાં યુવાન માણસ માટે દિલગીર થવાની જરૂર છે." છેવટે, મહાન જોડાણો... તો તમે...
“હું સાંભળું છું, મહામહિમ,” ટિમોખિને હસતાં હસતાં કહ્યું, જાણે તે બોસની ઈચ્છાઓ સમજી ગયો હોય.
- સારું, હા, સારું, હા.
રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરે ડોલોખોવને રેન્કમાં જોયો અને તેના ઘોડા પર લગામ લગાવી.
"પ્રથમ કાર્ય પહેલાં, ઇપોલેટ્સ," તેણે તેને કહ્યું.
ડોલોખોવે આજુબાજુ જોયું, કશું કહ્યું નહીં અને તેના મજાકમાં હસતાં મોંની અભિવ્યક્તિ બદલાઈ નહીં.
"સારું, તે સારું છે," રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરે ચાલુ રાખ્યું. "લોકો દરેક પાસે મારી પાસેથી વોડકાનો ગ્લાસ છે," તેણે ઉમેર્યું જેથી સૈનિકો સાંભળી શકે. - દરેકનો આભાર! ભગવાન આશીર્વાદ! - અને તે, કંપનીથી આગળ નીકળીને, બીજી તરફ ગયો.
- સારું, તે ખરેખર સારો માણસ; "તમે તેની સાથે સેવા કરી શકો છો," સબલ્ટર્ન ટિમોકિને તેની બાજુમાં ચાલતા અધિકારીને કહ્યું.
"એક શબ્દ, લાલ એક!... (રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરને લાલનો રાજાનું હુલામણું નામ આપવામાં આવ્યું હતું)," સબલ્ટર્ન ઓફિસરે હસતાં હસતાં કહ્યું.
સમીક્ષા બાદ અધિકારીઓનો ખુશ મિજાજ સૈનિકોમાં ફેલાઈ ગયો. કંપની ખુશખુશાલ ચાલી. ચારે બાજુથી સૈનિકોના અવાજો સંભળાતા હતા.
- તેઓએ શું કહ્યું, કુટિલ કુતુઝોવ, એક આંખ વિશે?
- નહિંતર, ના! તદ્દન કુટિલ.
- ના... ભાઈ, તેની આંખો તમારા કરતા મોટી છે. બૂટ અને ટક - મેં બધું જોયું ...
- મારા ભાઈ, તે મારા પગ તરફ કેવી રીતે જોઈ શકે... સારું! વિચારો…
- અને અન્ય ઑસ્ટ્રિયન, તેની સાથે, જાણે ચાકથી ગંધાયેલો હતો. લોટની જેમ, સફેદ. હું ચા, તેઓ કેવી રીતે દારૂગોળો સાફ કરે છે!
- શું, ફેડશો!... શું તેણે કહ્યું કે જ્યારે લડાઈ શરૂ થઈ ત્યારે તમે નજીક ઊભા હતા? બધાએ કહ્યું કે બુનાપાર્ટ પોતે બ્રુનોવોમાં છે.
- બુનાપાર્ટ તે વર્થ છે! તે જૂઠું બોલે છે, મૂર્ખ! તે શું જાણતો નથી! હવે પ્રુશિયન બળવો કરી રહ્યો છે. ઑસ્ટ્રિયન, તેથી, તેને શાંત કરે છે. જલદી તે શાંતિ કરશે, પછી બુનાપાર્ટ સાથે યુદ્ધ શરૂ થશે. નહિંતર, તે કહે છે, બુનાપાર્ટ બ્રુનોવોમાં ઊભો છે! તે જ દર્શાવે છે કે તે મૂર્ખ છે. વધુ સાંભળો.
- જુઓ, લોજર્સને શાપ આપો! પાંચમી કંપની, જુઓ, પહેલેથી જ ગામમાં ફેરવાઈ રહી છે, તેઓ પોર્રીજ રાંધશે, અને અમે હજી પણ તે સ્થળે પહોંચીશું નહીં.
- મને એક ફટાકડા આપો, શાપ.
- શું તમે ગઈકાલે મને તમાકુ આપી હતી? બસ, ભાઈ. સારું, અમે અહીં જઈએ છીએ, ભગવાન તમારી સાથે રહે.
"ઓછામાં ઓછું તેઓ બંધ થઈ ગયા, નહીં તો અમે બીજા પાંચ માઈલ સુધી ખાઈશું નહીં."
"જર્મનોએ અમને સ્ટ્રોલર્સ આપ્યા તે સરસ હતું." જ્યારે તમે જાઓ, જાણો: તે મહત્વપૂર્ણ છે!
"અને અહીં, ભાઈ, લોકો સંપૂર્ણપણે હડકાયા છે." ત્યાં બધું ધ્રુવ જેવું લાગતું હતું, બધું રશિયન તાજમાંથી હતું; અને હવે, ભાઈ, તે સંપૂર્ણપણે જર્મન થઈ ગયો છે.
- ગીતકારો આગળ! - કેપ્ટનનું રુદન સાંભળ્યું.
અને કંપનીની સામે જુદી જુદી હરોળમાંથી વીસ લોકો દોડી આવ્યા હતા. ડ્રમરે ગાવાનું શરૂ કર્યું અને ગીતકારોનો સામનો કરવો પડ્યો, અને, હાથ લહેરાવતા, દોરેલા સૈનિકનું ગીત શરૂ કર્યું, જે શરૂ થયું: "શું તે સવાર નથી, સૂર્ય તૂટી ગયો છે ..." અને આ શબ્દો સાથે સમાપ્ત થયું: "તો, ભાઈઓ, અમારા માટે અને કામેન્સકીના પિતા માટે ગૌરવ હશે..." આ ગીત તુર્કીમાં રચવામાં આવ્યું હતું અને હવે ઑસ્ટ્રિયામાં ગવાયું હતું, ફક્ત તે ફેરફાર સાથે કે "કામેન્સકીના પિતા" ની જગ્યાએ શબ્દો દાખલ કરવામાં આવ્યા હતા: "કુતુઝોવના પિતા."
સૈનિકની જેમ આ છેલ્લા શબ્દોને ફાડી નાખ્યા અને તેના હાથ હલાવીને, જાણે તે જમીન પર કંઈક ફેંકી રહ્યો હોય, ડ્રમર, લગભગ ચાલીસ વર્ષના સૂકા અને સુંદર સૈનિકે, સૈનિક ગીતકારો તરફ કડક નજરે જોયું અને તેની આંખો બંધ કરી. પછી, ખાતરી કરો કે બધાની નજર તેના પર સ્થિર છે, તેણે કાળજીપૂર્વક બંને હાથ વડે કંઈક અદ્રશ્ય, કિંમતી વસ્તુ તેના માથા ઉપર ઉપાડી, તેને થોડીક સેકંડ સુધી પકડી રાખ્યું અને અચાનક તેને ભયાવહ રીતે ફેંકી દીધું:
ઓહ, તમે, મારી છત્ર, મારી છત્ર!
“મારી નવી છત્ર...”, વીસ અવાજો ગુંજી ઉઠ્યા, અને ચમચી ધારક, તેના દારૂગોળાનું વજન હોવા છતાં, ઝડપથી આગળ કૂદકો માર્યો અને કંપનીની સામે પાછળ ચાલ્યો ગયો, તેના ખભા ખસેડ્યો અને તેના ચમચી વડે કોઈને ધમકાવ્યો. સૈનિકો, ગીતના બીટ પર તેમના હાથ લહેરાવતા, અનૈચ્છિક રીતે તેમના પગ અથડાતા, લાંબી ચાલ સાથે ચાલ્યા. કંપનીની પાછળથી પૈડાંનો અવાજ, ઝરણાંનો કકળાટ અને ઘોડાઓના કચડવાનો અવાજ સંભળાયો.
કુતુઝોવ અને તેના નિવૃત્ત લોકો શહેરમાં પાછા ફરી રહ્યા હતા. કમાન્ડર-ઇન-ચીફે લોકોને મુક્તપણે ચાલવાનું ચાલુ રાખવા માટે એક સંકેત આપ્યો, અને ગીતના અવાજો પર, નૃત્ય કરતા સૈનિક અને સૈનિકોને જોઈને તેમના ચહેરા પર અને તેમના નિવૃત્ત લોકોના બધા ચહેરા પર આનંદ વ્યક્ત થયો. કંપની ખુશખુશાલ અને ઝડપથી ચાલી રહી છે. બીજી હરોળમાં, જમણી બાજુએથી, જ્યાંથી ગાડી કંપનીઓને આગળ નીકળી ગઈ, એક વ્યક્તિએ અનિચ્છનીય રીતે વાદળી આંખોવાળા સૈનિક ડોલોખોવની નજર પકડી, જે ખાસ કરીને ઝડપી અને સુંદરતાથી ગીતના બીટ પર ચાલ્યો અને તેના ચહેરા તરફ જોયું. જેઓ આવા અભિવ્યક્તિ સાથે પસાર થાય છે, જાણે કે તે દરેક માટે દિલગીર હોય કે જેઓ આ સમયે કંપની સાથે ન ગયા. રેજિમેન્ટલ કમાન્ડરનું અનુકરણ કરીને કુતુઝોવની સેવામાંથી એક હુસાર કોર્નેટ ગાડીની પાછળ પડી અને ડોલોખોવ સુધી લઈ ગયો.
સેન્ટ પીટર્સબર્ગમાં એક સમયે હુસાર કોર્નેટ ઝેરકોવ ડોલોખોવની આગેવાની હેઠળના હિંસક સમાજનો હતો. વિદેશમાં, ઝેરકોવ ડોલોખોવને સૈનિક તરીકે મળ્યો, પરંતુ તેને ઓળખવાનું જરૂરી માન્યું નહીં. હવે, પતન પામેલા માણસ સાથે કુતુઝોવની વાતચીત પછી, તે જૂના મિત્રના આનંદ સાથે તેની તરફ વળ્યો:
- પ્રિય મિત્ર, તમે કેમ છો? - તેણે ગીતના અવાજ પર કહ્યું, તેના ઘોડાના પગલાને કંપનીના પગલા સાથે મેળ ખાતો હતો.
- હું કેવી છું? - ડોલોખોવે ઠંડા જવાબ આપ્યો, - જેમ તમે જુઓ છો.
જીવંત ગીતે ગાલવાળા ઉલ્લાસના સ્વરને વિશેષ મહત્વ આપ્યું જેની સાથે ઝેરકોવ બોલ્યો અને ડોલોખોવના જવાબોની ઇરાદાપૂર્વકની ઠંડક.
- સારું, તમે તમારા બોસ સાથે કેવી રીતે મેળવો છો? - ઝેરકોવને પૂછ્યું.
- કંઈ નહીં, સારા લોકો. તમે હેડક્વાર્ટરમાં કેવી રીતે પ્રવેશ્યા?
- સેકન્ડેડ, ફરજ પર.
તેઓ મૌન હતા.
"તેણીએ તેની જમણી સ્લીવમાંથી એક ફાલ્કન છોડ્યું," ગીતે કહ્યું, અનૈચ્છિક રીતે ખુશખુશાલ, ખુશખુશાલ લાગણી જગાવી. જો તેઓ ગીતના અવાજ સાથે બોલ્યા ન હોત તો તેમની વાતચીત કદાચ અલગ હોત.
- શું તે સાચું છે કે ઑસ્ટ્રિયનોને માર મારવામાં આવ્યો હતો? - ડોલોખોવને પૂછ્યું.
"શેતાન તેમને જાણે છે," તેઓ કહે છે.
"હું ખુશ છું," ડોલોખોવે ટૂંકમાં અને સ્પષ્ટ રીતે જવાબ આપ્યો, જેમ કે ગીતની જરૂર છે.
"સારું, સાંજે અમારી પાસે આવો, તમે ફારુનને પ્યાદા કરશો," ઝેરકોવે કહ્યું.
- અથવા તમારી પાસે ઘણા પૈસા છે?
- આવો.
- તે પ્રતિબંધિત છે. મેં પ્રતિજ્ઞા લીધી. જ્યાં સુધી તેઓ તે ન કરે ત્યાં સુધી હું પીતો નથી કે જુગાર રમતો નથી.
- સારું, પ્રથમ વસ્તુ પર ...
- આપણે ત્યાં જોઈશું.
ફરી તેઓ મૌન રહ્યા.
"જો તમને કંઈપણની જરૂર હોય તો તમે અંદર આવો, હેડક્વાર્ટરમાં દરેક મદદ કરશે..." ઝેરકોવે કહ્યું.
ડોલોખોવ હસ્યો.
- તમે ચિંતા ન કરો તે વધુ સારું છે. મારે જે જોઈએ છે તે હું માંગીશ નહીં, હું તે જાતે લઈશ.
- સારું, હું ખૂબ છું ...
- સારું, હું પણ છું.
- ગુડબાય.
- સ્વસ્થ બનો...
... અને ઉચ્ચ અને દૂર,
ઘરની બાજુએ...
ઝેરકોવે તેના સ્પર્સને ઘોડાને સ્પર્શ કર્યો, જેણે ઉત્સાહિત થઈને, ત્રણ વખત લાત મારી, તે જાણતા ન હતા કે કોની સાથે શરૂઆત કરવી, વ્યવસ્થાપિત અને ઝપાઝપી કરીને, કંપનીથી આગળ નીકળી ગયો અને ગાડું પકડ્યું, ગીતના બીટ સુધી.

સમીક્ષામાંથી પાછા ફરતા, કુતુઝોવ, ઑસ્ટ્રિયન જનરલ સાથે, તેની ઑફિસમાં ગયો અને, એડજ્યુટન્ટને બોલાવીને, આગમન સૈનિકોની સ્થિતિને લગતા કેટલાક કાગળો આપવાનો આદેશ આપ્યો, અને અદ્યતન સૈન્યને કમાન્ડ કરનાર આર્કડ્યુક ફર્ડિનાન્ડ તરફથી મળેલા પત્રો. . પ્રિન્સ આંદ્રે બોલ્કોન્સકી જરૂરી કાગળો સાથે કમાન્ડર-ઇન-ચીફની ઑફિસમાં પ્રવેશ્યા. કુતુઝોવ અને ગોફક્રીગસ્રાટના ઑસ્ટ્રિયન સભ્ય ટેબલ પર મૂકેલી યોજનાની સામે બેઠા.
"આહ..." કુતુઝોવ બોલકોન્સકી તરફ પાછળ જોતા બોલ્યો, જાણે કે આ શબ્દ સાથે તે સહાયકને રાહ જોવાનું આમંત્રણ આપી રહ્યો હતો, અને તેણે ફ્રેન્ચમાં શરૂ કરેલી વાતચીત ચાલુ રાખી.
"હું ફક્ત એક વાત કહું છું, જનરલ," કુતુઝોવે અભિવ્યક્તિ અને સ્વરૃપની સુખદ કૃપા સાથે કહ્યું, જેણે તમને આરામથી બોલાતા દરેક શબ્દને ધ્યાનથી સાંભળવાની ફરજ પાડી. તે સ્પષ્ટ હતું કે કુતુઝોવને પોતાને સાંભળવામાં આનંદ થયો. "હું ફક્ત એક જ વાત કહું છું, જનરલ, જો આ બાબત મારી અંગત ઇચ્છા પર આધારિત હોત, તો મહામહિમ સમ્રાટ ફ્રાન્ઝની ઇચ્છા ઘણા સમય પહેલા પૂર્ણ થઈ ગઈ હોત." હું ઘણા સમય પહેલા આર્કડ્યુકમાં જોડાયો હોત. અને મારા સન્માન પર વિશ્વાસ કરો કે મારા માટે અંગત રીતે સૈન્યના સર્વોચ્ચ કમાન્ડને મારા કરતા વધુ જાણકાર અને કુશળ જનરલને સ્થાનાંતરિત કરવું, જેમાં ઑસ્ટ્રિયા ખૂબ જ વિપુલ પ્રમાણમાં છે, અને આ બધી ભારે જવાબદારીનો ત્યાગ કરવો એ વ્યક્તિગત રીતે મારા માટે આનંદની વાત હશે. પરંતુ સંજોગો આપણા કરતા વધુ મજબૂત છે, જનરલ.
અને કુતુઝોવ એક અભિવ્યક્તિ સાથે હસ્યો જાણે કે તે કહેતો હોય: "તમને મારા પર વિશ્વાસ ન કરવાનો સંપૂર્ણ અધિકાર છે, અને તમે મારા પર વિશ્વાસ કરો છો કે નહીં તે પણ મને જરાય ચિંતા નથી, પરંતુ તમારી પાસે મને આ કહેવાનું કોઈ કારણ નથી. અને તે આખો મુદ્દો છે.”
ઑસ્ટ્રિયન જનરલ અસંતુષ્ટ દેખાતા હતા, પરંતુ મદદ કરી શક્યા નહીં પરંતુ કુતુઝોવને સમાન સ્વરમાં જવાબ આપી શક્યા.
"ઉલટું," તેણે ઉદાસીન અને ગુસ્સાવાળા સ્વરમાં કહ્યું, તેથી તે જે શબ્દો કહેતા હતા તેના ખુશામતભર્યા અર્થથી વિપરીત, "ઉલટું, તમારા મહામહિમની ભાગીદારી સામાન્ય કારણમહામહિમ દ્વારા ખૂબ મૂલ્યવાન; પરંતુ અમે માનીએ છીએ કે હાલની મંદી ગૌરવશાળી રશિયન સૈનિકો અને તેમના કમાન્ડર-ઇન-ચીફને એ ગૌરવથી વંચિત કરે છે કે તેઓ લડાઇમાં લણવા માટે ટેવાયેલા છે, ”તેમણે દેખીતી રીતે તૈયાર કરેલા શબ્દસમૂહને સમાપ્ત કર્યો.
કુતુઝોવ તેની સ્મિત બદલ્યા વિના ઝૂકી ગયો.
“અને મને ખૂબ વિશ્વાસ છે અને, હિઝ હાઇનેસ આર્કડ્યુક ફર્ડિનાન્ડે મને સન્માનિત કરેલા છેલ્લા પત્રના આધારે, હું માનું છું કે જનરલ મેક જેવા કુશળ સહાયકની કમાન્ડ હેઠળ ઑસ્ટ્રિયન સૈનિકોએ હવે નિર્ણાયક વિજય મેળવ્યો છે અને હવે નહીં. અમારી મદદની જરૂર છે, ”કુતુઝોવે કહ્યું.
જનરલે ભવાં ચડાવ્યા. ઑસ્ટ્રિયનોની હાર વિશે કોઈ સકારાત્મક સમાચાર ન હોવા છતાં, ત્યાં ઘણા બધા સંજોગો હતા જેણે સામાન્ય પ્રતિકૂળ અફવાઓને સમર્થન આપ્યું હતું; અને તેથી ઑસ્ટ્રિયનોની જીત વિશે કુતુઝોવની ધારણા ઉપહાસ સમાન હતી. પરંતુ કુતુઝોવ નમ્રતાથી હસ્યો, હજી પણ સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે, જેણે કહ્યું કે તેને આ ધારવાનો અધિકાર છે. ખરેખર, છેલ્લો પત્ર, જે તેને મેકની સેના તરફથી પ્રાપ્ત થઈ હતી, તેણે તેને વિજય અને સૌથી વધુ નફાકારક વિશે જાણ કરી હતી વ્યૂહાત્મક સ્થિતિલશ્કર
"મને આ પત્ર અહીં આપો," કુતુઝોવે પ્રિન્સ આંદ્રે તરફ ફરીને કહ્યું. - જો તમે કૃપા કરીને જુઓ. - અને કુતુઝોવ, તેના હોઠના છેડે મજાક ઉડાવતા સ્મિત સાથે, જર્મનમાં ઑસ્ટ્રિયન જનરલને આર્કડ્યુક ફર્ડિનાન્ડના પત્રમાંથી નીચેનો માર્ગ વાંચ્યો: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er. den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirneztball, Wenn er sich gegen unsere treue વેરિટેલિયન Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal, sozuberenti.” [અમારી પાસે એકદમ કેન્દ્રિત દળો છે, લગભગ 70,000 લોકો, જેથી અમે હુમલો કરી શકીએ અને જો દુશ્મન લેચને પાર કરે તો તેને હરાવી શકીએ. અમે પહેલેથી જ ઉલ્મની માલિકી ધરાવીએ છીએ, તેથી અમે ડેન્યુબના બંને કાંઠાની કમાન્ડનો ફાયદો જાળવી શકીએ છીએ, તેથી, દર મિનિટે, જો દુશ્મન લેચને પાર ન કરે, તો ડેન્યુબને પાર કરો, તેની સંચાર લાઇન પર દોડી જાઓ, નીચે ડેન્યુબને પાર કરો. દુશ્મન, જો તે તેની તમામ શક્તિ આપણા વફાદાર સાથીઓ પર ફેરવવાનું નક્કી કરે છે, તો તેનો ઇરાદો પૂર્ણ થતો અટકાવે છે. આ રીતે અમે રાજીખુશીથી તે સમયની રાહ જોઈશું જ્યારે શાહી રશિયન સૈન્યસંપૂર્ણ રીતે તૈયાર થઈશું, અને પછી સાથે મળીને દુશ્મન માટે તે જે ભાગ્યને લાયક છે તેની તૈયારી કરવાની તક સરળતાથી મળી જશે.”]
કુતુઝોવ આ સમયગાળાને સમાપ્ત કરીને, ભારે નિસાસો નાખ્યો, અને ગોફક્રીગસ્રાટના સભ્ય તરફ ધ્યાનપૂર્વક અને પ્રેમથી જોયું.
- પણ તમે જાણો છો, મહામહિમ, શાણો નિયમ", જે અમને સૌથી ખરાબ ધારવાની સૂચના આપે છે," ઑસ્ટ્રિયન જનરલે કહ્યું, દેખીતી રીતે ટુચકાઓનો અંત લાવવા અને વ્યવસાયમાં ઉતરવા માંગે છે.
તેણે અનૈચ્છિકપણે એડજ્યુટન્ટ તરફ પાછળ જોયું.
"માફ કરશો, જનરલ," કુતુઝોવે તેને અટકાવ્યો અને પ્રિન્સ આંદ્રે તરફ પણ વળ્યો. - તે જ છે, મારા પ્રિય, કોઝલોવ્સ્કી પાસેથી અમારા જાસૂસોના તમામ અહેવાલો લો. અહીં કાઉન્ટ નોસ્ટિટ્ઝના બે પત્રો છે, અહીં હિઝ હાઇનેસ આર્કડ્યુક ફર્ડિનાન્ડનો એક પત્ર છે, અહીં બીજો છે,” તેણે તેને ઘણા કાગળો આપતા કહ્યું. - અને આ બધામાંથી, શુદ્ધપણે, ચાલુ ફ્રેન્ચ, એક મેમોરેન્ડમ દોરો, એક નોંધ, ક્રિયાઓ વિશે અમારી પાસેના તમામ સમાચારોની દૃશ્યતા માટે ઑસ્ટ્રિયન સૈન્યહતી. સારું, તો પછી, મહામહિમ સાથે તેનો પરિચય કરાવો.
પ્રિન્સ આંદ્રેએ એક નિશાની તરીકે માથું નમાવ્યું કે તે ફક્ત જે કહેવામાં આવ્યું હતું તે જ નહીં, પણ કુતુઝોવ તેને શું કહેવા માંગતો હતો તે પણ પ્રથમ શબ્દોથી સમજી ગયો. તેણે કાગળો એકત્રિત કર્યા, અને, સામાન્ય ધનુષ્ય બનાવીને, શાંતિથી કાર્પેટ સાથે ચાલતો, સ્વાગત રૂમમાં ગયો.
એ હકીકત હોવા છતાં કે પ્રિન્સ આંદ્રેએ રશિયા છોડ્યા પછી ઘણો સમય પસાર થયો નથી, તે આ સમય દરમિયાન ઘણો બદલાઈ ગયો છે. તેના ચહેરાના અભિવ્યક્તિમાં, તેની હિલચાલમાં, તેની ચાલમાં, ભૂતપૂર્વ ઢોંગ, થાક અને આળસ લગભગ ધ્યાનપાત્ર ન હતા; તેની પાસે એક એવા માણસનો દેખાવ હતો જેની પાસે તે અન્ય લોકો પર પડેલી છાપ વિશે વિચારવાનો સમય નથી, અને તે કંઈક સુખદ અને રસપ્રદ કરવામાં વ્યસ્ત છે. તેના ચહેરાએ પોતાની જાત અને તેની આસપાસના લોકો પ્રત્યે વધુ સંતોષ વ્યક્ત કર્યો; તેનું સ્મિત અને ત્રાટકશક્તિ વધુ ખુશખુશાલ અને આકર્ષક હતી.
કુતુઝોવ, જેની સાથે તેણે પોલેન્ડમાં પકડ્યો, તેણે તેને ખૂબ જ માયાળુ રીતે આવકાર્યો, તેને તેને ભૂલશો નહીં, તેને અન્ય સહાયકોથી અલગ પાડવાનું વચન આપ્યું, તેને તેની સાથે વિયેના લઈ ગયો અને તેને વધુ ગંભીર સોંપણીઓ આપી. વિયેનાથી, કુતુઝોવે તેના જૂના સાથી, પ્રિન્સ આંદ્રેના પિતાને લખ્યું:
"તમારો પુત્ર," તેણે લખ્યું, "તેના અભ્યાસ, મક્કમતા અને ખંતમાં સામાન્ય કરતાં અધિકારી બનવાની આશા બતાવે છે. હું મારી જાતને ભાગ્યશાળી માનું છું કે આવો ગૌણ હાથમાં છે.
કુતુઝોવના મુખ્યમથકમાં, તેના સાથીદારો અને સાથીદારોમાં, અને સામાન્ય રીતે સૈન્યમાં, પ્રિન્સ આંદ્રે, તેમજ સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સમાજમાં, બે સંપૂર્ણપણે વિપરીત પ્રતિષ્ઠા ધરાવતા હતા.
કેટલાક, એક લઘુમતી, પ્રિન્સ આંદ્રેને પોતાને અને અન્ય તમામ લોકો પાસેથી કંઈક વિશેષ તરીકે ઓળખે છે, તેઓ તેમની પાસેથી અપેક્ષા રાખે છે. મહાન સફળતા, તેને સાંભળ્યું, તેની પ્રશંસા કરી અને તેનું અનુકરણ કર્યું; અને આ લોકો સાથે પ્રિન્સ આંદ્રે સરળ અને સુખદ હતા. અન્ય, મોટાભાગના, પ્રિન્સ આન્દ્રેને પસંદ નહોતા, તેમને ભવ્ય, ઠંડા અને માનતા હતા અપ્રિય વ્યક્તિ. પરંતુ આ લોકો સાથે, પ્રિન્સ આન્દ્રે જાણતા હતા કે પોતાને એવી રીતે કેવી રીતે પોઝિશન કરવી કે જેથી તેનો આદર કરવામાં આવે અને ડર પણ.
કુતુઝોવની ઑફિસમાંથી રિસેપ્શન એરિયામાં આવતાં, પ્રિન્સ આંદ્રેએ કાગળો સાથે તેના સાથી, ફરજ પરના એડજ્યુટન્ટ કોઝલોવ્સ્કીનો સંપર્ક કર્યો, જે બારી પાસે પુસ્તક લઈને બેઠો હતો.
- સારું, શું, રાજકુમાર? - કોઝલોવ્સ્કીને પૂછ્યું.
"અમને શા માટે આગળ ન જવું જોઈએ તે સમજાવતી નોંધ લખવાનો આદેશ આપવામાં આવ્યો હતો."
- કેમ?
પ્રિન્સ આંદ્રેએ તેના ખભા ખલાસ કર્યા.
- મેક તરફથી કોઈ સમાચાર નથી? - કોઝલોવ્સ્કીને પૂછ્યું.
- ના.
"જો તે સાચું હોત કે તે હાર્યો હતો, તો સમાચાર આવશે."
"કદાચ," પ્રિન્સ આંદ્રેએ કહ્યું અને બહાર નીકળવાના દરવાજા તરફ પ્રયાણ કર્યું; પરંતુ તે જ સમયે, એક ઉંચો, દેખીતી રીતે મુલાકાત લેતો, ફ્રોક કોટમાં ઓસ્ટ્રિયન જનરલ, તેના માથા પર કાળો સ્કાર્ફ બાંધેલો અને તેના ગળામાં ઓર્ડર ઓફ મારિયા થેરેસા સાથે, દરવાજો ખખડાવતા ઝડપથી રિસેપ્શન રૂમમાં પ્રવેશ્યો. પ્રિન્સ આંદ્રે અટકી ગયો.
- જનરલ ચીફ કુતુઝોવ? - મુલાકાતી જનરલે ઝડપથી જર્મન ઉચ્ચારણ સાથે કહ્યું, બંને બાજુએ આજુબાજુ જોયું અને ઓફિસના દરવાજા તરફ અટક્યા વિના ચાલ્યા.
"જનરલ ઇન ચીફ વ્યસ્ત છે," કોઝલોવ્સ્કીએ કહ્યું, ઉતાવળથી અજાણ્યા જનરલની નજીક આવ્યો અને દરવાજામાંથી તેનો રસ્તો રોક્યો. - તમે કેવી રીતે જાણ કરવા માંગો છો?
અજાણ્યા જનરલે ટૂંકા કોઝલોવ્સ્કી તરફ તિરસ્કારપૂર્વક જોયું, જાણે કે તે જાણીતો નથી.
"જનરલ ઇન ચીફ વ્યસ્ત છે," કોઝલોવ્સ્કીએ શાંતિથી પુનરાવર્તન કર્યું.
જનરલનો ચહેરો ભવાં ચડી ગયો, તેના હોઠ ધ્રૂજ્યા અને ધ્રૂજ્યા. તેણે બહાર કાઢ્યું નોટબુક, ઝડપથી પેન્સિલ વડે કંઈક દોર્યું, કાગળનો ટુકડો ફાડીને તેને આપ્યો, ઝડપથી બારી પાસે ગયો, તેનું શરીર ખુરશી પર પછાડ્યું અને રૂમમાં રહેલા લોકો તરફ જોયું, જાણે પૂછ્યું: તેઓ કેમ જોઈ રહ્યા છે? તેને? પછી જનરલે તેનું માથું ઊંચું કર્યું, તેની ગરદન ઘડી કાઢી, જાણે કંઈક કહેવાનો ઇરાદો હોય, પરંતુ તરત જ, જાણે આકસ્મિક રીતે પોતાની જાતને ગુંજારવાનું શરૂ કર્યું, તેણે વિચિત્ર અવાજ, જે તરત જ બંધ થઈ ગયું. ઓફિસનો દરવાજો ખુલ્યો, અને કુતુઝોવ થ્રેશોલ્ડ પર દેખાયો. તેના માથા પર પાટો બાંધેલો જનરલ, જાણે ભયથી ભાગી રહ્યો હોય, નીચે વાળ્યો અને તેના પાતળા પગના મોટા, ઝડપી પગલાઓ સાથે કુતુઝોવની નજીક ગયો.
"Vous voyez le malheureux Mack, [તમે કમનસીબ મેક જુઓ છો.]," તેણે તૂટેલા અવાજમાં કહ્યું.
ઓફિસના દરવાજે ઊભેલા કુતુઝોવનો ચહેરો થોડીક ક્ષણો સુધી સાવ સ્થિર રહ્યો. પછી, મોજાની જેમ, તેના ચહેરા પર એક કરચલીઓ દોડી ગઈ, તેનું કપાળ સુંવાળું થઈ ગયું; તેણે આદરપૂર્વક માથું નમાવ્યું, તેની આંખો બંધ કરી, ચુપચાપ મેકને તેની પાસેથી પસાર થવા દીધો અને પોતાની પાછળનો દરવાજો બંધ કરી દીધો.
ઑસ્ટ્રિયનોની હાર વિશે અને ઉલ્મ નજીક સમગ્ર સૈન્યના શરણાગતિ વિશે પહેલાથી જ ફેલાયેલી અફવા સાચી પડી. અડધા કલાક પછી, એડજ્યુટન્ટ્સને જુદી જુદી દિશામાં મોકલવામાં આવ્યા હતા, જે સાબિત કરે છે કે ટૂંક સમયમાં રશિયન સૈનિકો, જે અત્યાર સુધી નિષ્ક્રિય હતા, તેઓએ દુશ્મનનો સામનો કરવો પડશે.
પ્રિન્સ આન્દ્રે હેડક્વાર્ટરના તે દુર્લભ અધિકારીઓમાંના એક હતા જેઓ તેમના મુખ્ય રસમાં માનતા હતા સામાન્ય પ્રગતિલશ્કરી બાબતો. મેકને જોયા અને તેના મૃત્યુની વિગતો સાંભળ્યા પછી, તેને સમજાયું કે ઝુંબેશનો અડધો ભાગ ખોવાઈ ગયો હતો, તે રશિયન સૈનિકોની સ્થિતિની મુશ્કેલીને સમજે છે અને સૈન્યની રાહ શું છે અને તેણે તેમાં શું ભૂમિકા ભજવવી પડશે તેની આબેહૂબ કલ્પના કરી હતી. .
અનૈચ્છિક રીતે, તેણે ઘમંડી ઑસ્ટ્રિયાને બદનામ કરવાના વિચાર પર એક ઉત્તેજક, આનંદકારક લાગણી અનુભવી અને એ હકીકત છે કે એક અઠવાડિયામાં તેણે સુવેરોવ પછી પ્રથમ વખત રશિયનો અને ફ્રેન્ચ વચ્ચેની અથડામણ જોવી અને તેમાં ભાગ લેવો પડશે.
પરંતુ તે બોનાપાર્ટની પ્રતિભાથી ડરતો હતો, જે રશિયન સૈનિકોની બધી હિંમત કરતા વધુ મજબૂત હોઈ શકે છે, અને તે જ સમયે તેના હીરો માટે શરમ આવવા દેતો નથી.
આ વિચારોથી ઉત્સાહિત અને ચિડાઈ ગયેલા, પ્રિન્સ આંદ્રે તેના પિતાને લખવા માટે તેના રૂમમાં ગયા, જેમને તે દરરોજ લખતો હતો. તે કોરિડોરમાં તેના રૂમમેટ નેસ્વિટસ્કી અને જોકર ઝેરકોવ સાથે મળ્યો; તેઓ, હંમેશની જેમ, કંઈક પર હસી પડ્યા.

અને ગુણાકાર. આ લેખમાં ગુણાકારની ક્રિયાની ચર્ચા કરવામાં આવશે.

સંખ્યાઓનો ગુણાકાર

નંબરોના ગુણાકારમાં બીજા ધોરણના બાળકો દ્વારા નિપુણતા પ્રાપ્ત થાય છે, અને તેમાં કંઈ જટિલ નથી. હવે આપણે ઉદાહરણો સાથે ગુણાકાર જોઈશું.

ઉદાહરણ 2*5. આનો અર્થ કાં તો 2+2+2+2+2 અથવા 5+5. 5 બે વાર અથવા 2 પાંચ વખત લો. જવાબ, તે મુજબ, 10 છે.

ઉદાહરણ 4*3. તેવી જ રીતે, 4+4+4 અથવા 3+3+3+3. ત્રણ ગુણ્યા 4 અથવા ચાર વખત 3. જવાબ 12.

ઉદાહરણ 5*3. અમે અગાઉના ઉદાહરણોની જેમ જ કરીએ છીએ. 5+5+5 અથવા 3+3+3+3+3. જવાબ 15.

ગુણાકારના સૂત્રો

ગુણાકાર એ સમાન સંખ્યાઓનો સરવાળો છે, ઉદાહરણ તરીકે, 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 અથવા 2 * 5 = 5 + 5. ગુણાકાર સૂત્ર:

જ્યાં, a એ કોઈપણ સંખ્યા છે, n એ a ના પદોની સંખ્યા છે. ચાલો કહીએ a=2, પછી 2+2+2=6, પછી n=3 3 ને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને 6 મળે છે. વિપરીત ક્રમ. ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ છે: 3 * 3, એટલે કે. 3 ને 3 વડે ગુણાકાર થાય છે એટલે કે ત્રણ 3 વખત લેવા જોઈએ: 3 + 3 + 3 = 9. 3 * 3=9.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર એ અમુક કિસ્સાઓમાં ગુણાકારની ક્રિયાને ટૂંકાવી દેવામાં આવે છે, અને સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો ખાસ આ હેતુ માટે લેવામાં આવ્યા છે. જે ગણતરીઓને સૌથી વધુ તર્કસંગત અને ઝડપી બનાવવામાં મદદ કરશે:

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો

ચાલો a, b R નું છે, પછી:

બે સમીકરણોના સરવાળાનો વર્ગ બરાબર છેપ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઉત્પાદનના બમણા અને બીજા વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ. ફોર્મ્યુલા: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

બે સમીકરણોના તફાવતનો વર્ગ બરાબર છેપ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના બમણા ઓછા અને બીજી વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ. ફોર્મ્યુલા: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

ચોરસનો તફાવતબે અભિવ્યક્તિઓ આ અભિવ્યક્તિઓ અને તેમના સરવાળાના તફાવતના ઉત્પાદનના સમાન છે. ફોર્મ્યુલા: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

સરવાળાનું ઘનબે અભિવ્યક્તિઓ સમઘન સમાનપ્રથમ અભિવ્યક્તિ વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજા વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજાના વર્ગ વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિના ઘન. ફોર્મ્યુલા: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

તફાવત સમઘનબે સમીકરણો પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઘન સમાન છે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકના ત્રણ ગણા ઓછા અને બીજા વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજા સમીકરણના વર્ગના ઘનત્વના ઘન. ફોર્મ્યુલા: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

સમઘનનો સરવાળો a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

સમઘનનું તફાવતબે અભિવ્યક્તિઓ પ્રથમ અને બીજા અભિવ્યક્તિઓના સરવાળાના ગુણાંક અને આ અભિવ્યક્તિઓના તફાવતના અપૂર્ણ વર્ગના સમાન છે. ફોર્મ્યુલા: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

કેવી રીતે ઝડપથી અને યોગ્ય રીતે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ચોરસ સંખ્યા અને મૂળ પણ કાઢવા તે શીખવા માટે "માનસિક અંકગણિતને ઝડપી બનાવો, માનસિક અંકગણિત નહીં" કોર્સ માટે સાઇન અપ કરો. 30 દિવસમાં, તમે અંકગણિત કામગીરીને સરળ બનાવવા માટે સરળ યુક્તિઓનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખી શકશો. દરેક પાઠમાં નવી તકનીકો, સ્પષ્ટ ઉદાહરણો અને ઉપયોગી કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે.

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર

અપૂર્ણાંકના સરવાળા અને બાદબાકીને ધ્યાનમાં રાખીને, અપૂર્ણાંકને લાવવા માટે નિયમ બનાવવામાં આવ્યો હતો સામાન્ય છેદગણતરી કરવા માટે. ગુણાકાર કરતી વખતે આ કરવું જરૂર નથી! બે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરતી વખતે, છેદને છેદ દ્વારા અને અંશનો અંશ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, (2/5) * (3 * 4). ચાલો બે તૃતીયાંશને એક ક્વાર્ટર વડે ગુણાકાર કરીએ. આપણે છેદને છેદ દ્વારા અને અંશને અંશ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: (2 * 3)/(5 * 4), પછી 6/20, ઘટાડો કરો, આપણને 3/10 મળે છે.

ગુણાકાર 2 જી ગ્રેડ

બીજો ગ્રેડ એ ગુણાકાર શીખવાની માત્ર શરૂઆત છે, તેથી બીજા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ સરવાળાને ગુણાકાર સાથે બદલવા, સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા અને ગુણાકાર કોષ્ટક શીખવા માટે સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરે છે.

ઓલેગ ઉપરના માળે, પાંચ માળની ઇમારતમાં રહે છે. એક માળની ઊંચાઈ 2 મીટર છે. ઘરની ઊંચાઈ કેટલી છે?

બોક્સમાં કૂકીઝના 10 પેકેજો છે. દરેક પેકેજમાં તેમાંથી 7 છે. બૉક્સમાં કેટલી કૂકીઝ છે?

મીશાએ તેની રમકડાની કાર સળંગ ગોઠવી. દરેક હરોળમાં તેમાંથી 7 છે, પરંતુ ત્યાં માત્ર 8 પંક્તિઓ છે મિશા પાસે કેટલી કાર છે?

ડાઇનિંગ રૂમમાં 6 ટેબલ છે, અને દરેક ટેબલ પાછળ 5 ખુરશીઓ મૂકવામાં આવે છે. ડાઇનિંગ રૂમમાં કેટલી ખુરશીઓ છે?

મમ્મી સ્ટોરમાંથી નારંગીની 3 થેલી લઈ આવી. બેગમાં 22 નારંગી છે. મમ્મી કેટલા નારંગી લાવ્યાં?

બગીચામાં 9 સ્ટ્રોબેરી ઝાડીઓ છે, અને દરેક ઝાડમાં 11 બેરી છે. બધી ઝાડીઓ પર કેટલી બેરી ઉગે છે?

રોમાએ એક પછી એક પાઈપના 8 ભાગો મૂક્યા, સમાન કદ 2 મીટર દરેક. સંપૂર્ણ પાઇપની લંબાઈ કેટલી છે?

1લી સપ્ટેમ્બરે વાલીઓ તેમના બાળકોને શાળાએ લઈ આવ્યા હતા. 12 કાર આવી, દરેકમાં 2 બાળકો હતા. આ કારમાં તેમના માતા-પિતા કેટલા બાળકોને લઈને આવ્યા હતા?

ગુણાકાર 3 જી ગ્રેડ

ત્રીજા ધોરણમાં, વધુ ગંભીર કાર્યો આપવામાં આવે છે. ગુણાકાર ઉપરાંત, ભાગાકારને પણ આવરી લેવામાં આવશે.

ગુણાકારના કાર્યોમાં શામેલ હશે: બે-અંકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવો, કૉલમ દ્વારા ગુણાકાર કરવો, ગુણાકાર સાથે ઉમેરાને બદલવું અને ઊલટું.

કૉલમ ગુણાકાર:

કૉલમ ગુણાકાર એ મોટી સંખ્યામાં ગુણાકાર કરવાની સૌથી સરળ રીત છે. ચાલો બે નંબરો 427 * 36 ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ.

1 પગલું. ચાલો એકની નીચે એક નંબર લખીએ, જેથી ઉપર 427 અને નીચે 36 હોય, એટલે કે 6 ની નીચે 7, 3 ની નીચે 2.

પગલું 2. અમે નીચેની સંખ્યાના સૌથી જમણા અંક સાથે ગુણાકાર શરૂ કરીએ છીએ. એટલે કે, ગુણાકારનો ક્રમ છે: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, પછી ત્રણ સાથે સમાન: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4.

તો, પહેલા આપણે 6 ને 7 વડે ગુણાકાર કરીએ, જવાબ: 42. અમે તેને આ રીતે લખીએ છીએ: કારણ કે તે 42 હોવાનું બહાર આવ્યું છે, પછી 4 દસ છે, અને 2 એકમો છે, રેકોર્ડિંગ ઉમેરા જેવું જ છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે છની નીચે 2 લખીએ છીએ, અને 4 આપણે બેમાં 427 નંબર ઉમેરીએ છીએ. .

પગલું 3. પછી આપણે 6 * 2 સાથે તે જ કરીએ છીએ. જવાબ: 12. પ્રથમ દસ, જે 427 નંબરના ચારમાં ઉમેરવામાં આવે છે, અને બીજા - રાશિઓ. અમે અગાઉના ગુણાકારમાંથી ચાર સાથે પરિણામી બે ઉમેરીએ છીએ.

પગલું 4. 6 ને 4 વડે ગુણાકાર કરો. જવાબ 24 છે અને અગાઉના ગુણાકારમાંથી 1 ઉમેરો. અમને 25 મળે છે.

તેથી, 427 ને 6 વડે ગુણાકાર કરીએ તો જવાબ 2562 આવશે

યાદ રાખો!બીજા ગુણાકારનું પરિણામ નીચે લખવાનું શરૂ કરવું જોઈએ સેકન્ડપ્રથમ પરિણામની સંખ્યા!

પગલું 5. અમે નંબર 3 સાથે સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ. અમને ગુણાકારનો જવાબ 427 * 3=1281 મળે છે

પગલું 6. પછી આપણે ગુણાકાર દરમિયાન મેળવેલા જવાબો ઉમેરીએ અને અંતિમ ગુણાકાર જવાબ 427 * 36 મેળવીએ. જવાબ: 15372.

ગુણાકાર 4 થી ગ્રેડ

ચોથો વર્ગ પહેલેથી જ મોટી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે. ગણતરી કૉલમ ગુણાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. પદ્ધતિ ઉપર સુલભ ભાષામાં વર્ણવેલ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓની નીચેની જોડીનું ઉત્પાદન શોધો:

1. 988 * 98 =
2. 99 * 114 =
3. 17 * 174 =
4. 164 * 19 =

ગુણાકાર પર પ્રસ્તુતિ

બીજા ગ્રેડર્સ માટે સરળ કાર્યો સાથે ગુણાકાર પર પ્રસ્તુતિ ડાઉનલોડ કરો. પ્રસ્તુતિ બાળકોને આ ઓપરેશનને વધુ સારી રીતે નેવિગેટ કરવામાં મદદ કરશે, કારણ કે તે રંગીન અને રમતિયાળ શૈલીમાં લખાયેલ છે - માં શ્રેષ્ઠ વિકલ્પબાળકને ભણાવવા માટે!

ગુણાકાર કોષ્ટક

બીજા ધોરણમાં દરેક વિદ્યાર્થી ગુણાકાર કોષ્ટક શીખે છે. દરેકને તે જાણવું જોઈએ!

કેવી રીતે ઝડપથી અને યોગ્ય રીતે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ચોરસ સંખ્યા અને મૂળ પણ કાઢવા તે શીખવા માટે "માનસિક અંકગણિતને ઝડપી બનાવો, માનસિક અંકગણિત નહીં" કોર્સ માટે સાઇન અપ કરો. 30 દિવસમાં, તમે અંકગણિત કામગીરીને સરળ બનાવવા માટે સરળ યુક્તિઓનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખી શકશો. દરેક પાઠમાં નવી તકનીકો, સ્પષ્ટ ઉદાહરણો અને ઉપયોગી કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે.

ગુણાકાર માટે ઉદાહરણો

એક અંક વડે ગુણાકાર

1. 9 * 5 =
2. 9 * 8 =
3. 8 * 4 =
4. 3 * 9 =
5. 7 * 4 =
6. 9 * 5 =
7. 8 * 8 =
8. 6 * 9 =
9. 6 * 7 =
10. 9 * 2 =
11. 8 * 5 =
12. 3 * 6 =

બે અંકો વડે ગુણાકાર

1. 4 * 16 =
2. 11 * 6 =
3. 24 * 3 =
4. 9 * 19 =
5. 16 * 8 =
6. 27 * 5 =
7. 4 * 31 =
8. 17 * 5 =
9. 28 * 2 =
10. 12 * 9 =

બે-અંકનો બે-અંક વડે ગુણાકાર કરવો

1. 24 * 16 =
2. 14 * 17 =
3. 19 * 31 =
4. 18 * 18 =
5. 10 * 15 =
6. 15 * 40 =
7. 31 * 27 =
8. 23 * 25 =
9. 17 * 13 =

ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર

1. 630 * 50 =
2. 123 * 8 =
3. 201 * 18 =
4. 282 * 72 =
5. 96 * 660 =
6. 910 * 7 =
7. 428 * 37 =
8. 920 * 14 =

માનસિક અંકગણિત વિકસાવવા માટેની રમતો

સ્કોલ્કોવોના રશિયન વૈજ્ઞાનિકોની ભાગીદારીથી વિકસિત વિશેષ શૈક્ષણિક રમતો કુશળતા સુધારવામાં મદદ કરશે. મૌખિક ગણતરીએક રસપ્રદ રમતિયાળ રીતે.

રમત "ક્વિક કાઉન્ટ"

રમત "ઝડપી ગણતરી" તમને તમારામાં સુધારો કરવામાં મદદ કરશે વિચાર. રમતનો સાર એ છે કે તમને પ્રસ્તુત ચિત્રમાં, તમારે "શું 5 સરખા ફળ છે?" પ્રશ્નનો જવાબ "હા" અથવા "ના" પસંદ કરવાનો રહેશે. તમારા ધ્યેયને અનુસરો, અને આ રમત તમને આમાં મદદ કરશે.

રમત "ગાણિતિક મેટ્રિસિસ"

"ગાણિતિક મેટ્રિસિસ" મહાન છે બાળકો માટે મગજની કસરતજે તમને તેના માનસિક કાર્ય, માનસિક ગણતરી વિકસાવવામાં મદદ કરશે, ઝડપી શોધજરૂરી ઘટકો, કાળજી. રમતનો સાર એ છે કે ખેલાડીએ સૂચિત 16 નંબરોમાંથી એક જોડી શોધવાની હોય છે જે આપેલ નંબરમાં ઉમેરશે, ઉદાહરણ તરીકે નીચે આપેલા ચિત્રમાં આપેલ નંબર "29" છે, અને ઇચ્છિત જોડી "5" છે. અને "24".

રમત "નંબર સ્પાન"

આ કસરતની પ્રેક્ટિસ કરતી વખતે નંબર સ્પાન ગેમ તમારી યાદશક્તિને પડકારશે.

રમતનો સાર એ નંબરને યાદ રાખવાનો છે, જે યાદ રાખવામાં લગભગ ત્રણ સેકન્ડનો સમય લાગે છે. પછી તમારે તેને પાછું ચલાવવાની જરૂર છે. જેમ જેમ તમે રમતના તબક્કાઓમાંથી આગળ વધો છો તેમ, સંખ્યાઓની સંખ્યા વધે છે, બેથી શરૂ કરીને અને આગળ.

રમત "ઓપરેશન ધારી"

રમત "ઓપરેશન ધારી" વિચાર અને યાદશક્તિ વિકસાવે છે. મુખ્ય મુદ્દોરમતો પસંદ કરવાની જરૂર છે ગાણિતિક ચિહ્નજેથી સમાનતા સાચી હોય. સ્ક્રીન પર ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે, ધ્યાનથી જુઓ અને જરૂરી “+” અથવા “-” ચિહ્ન મૂકો જેથી કરીને સમાનતા સાચી હોય. "+" અને "-" ચિહ્નો ચિત્રના તળિયે સ્થિત છે, ઇચ્છિત ચિહ્ન પસંદ કરો અને ઇચ્છિત બટન પર ક્લિક કરો. જો તમે સાચો જવાબ આપ્યો છે, તો તમે પોઈન્ટ મેળવશો અને રમવાનું ચાલુ રાખો.

રમત "સરળીકરણ"

રમત "સરળીકરણ" વિચાર અને મેમરીનો વિકાસ કરે છે. રમતનો મુખ્ય સાર એ છે કે ઝડપથી ગાણિતિક કામગીરી કરવી. બ્લેકબોર્ડ પર સ્ક્રીન પર એક વિદ્યાર્થી દોરવામાં આવે છે, અને એક ગાણિતિક ઑપરેશન આપવામાં આવે છે, વિદ્યાર્થીએ આ ઉદાહરણની ગણતરી કરવાની અને જવાબ લખવાની જરૂર છે. નીચે ત્રણ જવાબો છે, માઉસનો ઉપયોગ કરીને તમને જોઈતો નંબર ગણો અને ક્લિક કરો. જો તમે સાચો જવાબ આપ્યો છે, તો તમે પોઈન્ટ મેળવશો અને રમવાનું ચાલુ રાખો.

રમત "ઝડપી ઉમેરો"

રમત " ઝડપી ઉમેરો» વિચાર અને યાદશક્તિનો વિકાસ કરે છે. રમતનો મુખ્ય સાર એવી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાનો છે જેનો સરવાળો આપેલ સંખ્યાની બરાબર હોય. આ રમતમાં, એક થી સોળ સુધીનો મેટ્રિક્સ આપવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સની ઉપર તે લખેલું છે આપેલ નંબર, તમારે મેટ્રિક્સમાં સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે જેથી આ સંખ્યાઓનો સરવાળો આપેલ સંખ્યા જેટલો થાય. જો તમે સાચો જવાબ આપ્યો છે, તો તમે પોઈન્ટ મેળવશો અને રમવાનું ચાલુ રાખો.

વિઝ્યુઅલ ભૂમિતિ ગેમ

રમત " વિઝ્યુઅલ ભૂમિતિ» વિચાર અને યાદશક્તિનો વિકાસ કરે છે. રમતનો મુખ્ય સાર એ છે કે ઝડપથી છાંયેલા પદાર્થોની સંખ્યાની ગણતરી કરવી અને તેને જવાબોની સૂચિમાંથી પસંદ કરવી. આ રમતમાં, વાદળી ચોરસ થોડી સેકંડ માટે સ્ક્રીન પર બતાવવામાં આવે છે, તમારે તેમને ઝડપથી ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પછી તેઓ બંધ થાય છે. કોષ્ટકની નીચે ચાર નંબરો લખેલા છે, તમારે એક પસંદ કરવાની જરૂર છે સાચી સંખ્યાઅને માઉસ વડે તેના પર ક્લિક કરો. જો તમે સાચો જવાબ આપ્યો છે, તો તમે પોઈન્ટ મેળવશો અને રમવાનું ચાલુ રાખો.

ગેમ "ગાણિતિક સરખામણીઓ"

રમત " ગાણિતિક સરખામણીઓ» વિચાર અને યાદશક્તિનો વિકાસ કરે છે. રમતનો મુખ્ય સાર એ સંખ્યાઓની તુલના કરવાનો છે અને ગાણિતિક ક્રિયાઓ. આ રમતમાં તમારે બે નંબરોની સરખામણી કરવાની જરૂર છે. સૌથી ઉપર એક પ્રશ્ન લખેલ છે, તેને વાંચો અને પ્રશ્નનો સાચો જવાબ આપો. તમે નીચેના બટનોનો ઉપયોગ કરીને જવાબ આપી શકો છો. ત્યાં ત્રણ બટનો છે “ડાબે”, “સમાન” અને “જમણે”. જો તમે સાચો જવાબ આપ્યો છે, તો તમે પોઈન્ટ મેળવશો અને રમવાનું ચાલુ રાખો.

અસાધારણ માનસિક અંકગણિતનો વિકાસ

ગણિતને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે અમે માત્ર આઇસબર્ગની ટોચ જોઈ છે - અમારા અભ્યાસક્રમ માટે સાઇન અપ કરો: માનસિક અંકગણિતને વેગ આપવો.

કોર્સમાંથી તમે ફક્ત સરળ અને ડઝનેક તકનીકો શીખી શકશો નહીં ઝડપી ગુણાકાર, વધુમાં, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ટકાવારીની ગણતરી, પરંતુ તમે તેમને વિશેષ કાર્યો અને શૈક્ષણિક રમતોમાં પણ પ્રેક્ટિસ કરશો! માનસિક અંકગણિતને પણ ઘણું ધ્યાન અને એકાગ્રતાની જરૂર હોય છે, જે રસપ્રદ સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે સક્રિય રીતે પ્રશિક્ષિત હોય છે.

30 દિવસમાં ઝડપ વાંચન

30 દિવસમાં તમારી વાંચનની ઝડપ 2-3 વખત વધારો. પ્રતિ મિનિટ 150-200 થી 300-600 શબ્દો અથવા 400 થી 800-1200 શબ્દો પ્રતિ મિનિટ. કોર્સમાં સ્પીડ રીડિંગ વિકસાવવા માટેની પરંપરાગત કસરતો, મગજના કાર્યને વેગ આપતી તકનીકો, વાંચનની ગતિમાં ઉત્તરોત્તર વધારો કરવાની પદ્ધતિઓ, ઝડપ વાંચવાનું મનોવિજ્ઞાન અને અભ્યાસક્રમના સહભાગીઓના પ્રશ્નોનો ઉપયોગ થાય છે. પ્રતિ મિનિટ 5000 શબ્દો સુધી વાંચતા બાળકો અને પુખ્ત વયના લોકો માટે યોગ્ય.

5-10 વર્ષના બાળકમાં મેમરી અને ધ્યાનનો વિકાસ

અભ્યાસક્રમમાં બાળકોના વિકાસ માટે ઉપયોગી ટીપ્સ અને કસરતો સાથેના 30 પાઠ શામેલ છે. દરેક પાઠમાં ઉપયોગી સલાહ, કેટલાક રસપ્રદ કસરતો, પાઠ માટે અસાઇનમેન્ટ અને અંતે વધારાનું બોનસ: અમારા પાર્ટનર તરફથી શૈક્ષણિક મીની-ગેમ. કોર્સ સમયગાળો: 30 દિવસ. કોર્સ ફક્ત બાળકો માટે જ નહીં, પરંતુ તેમના માતાપિતા માટે પણ ઉપયોગી છે.

30 દિવસમાં સુપર મેમરી

યાદ રાખો જરૂરી માહિતીઝડપથી અને લાંબા સમય સુધી. આશ્ચર્ય થાય છે કે દરવાજો કેવી રીતે ખોલવો અથવા તમારા વાળ ધોવા? મને ખાતરી નથી, કારણ કે આ આપણા જીવનનો એક ભાગ છે. પ્રકાશ અને સરળ કસરતોતમારી યાદશક્તિને તાલીમ આપવા માટે, તમે તેને તમારા જીવનનો એક ભાગ બનાવી શકો છો અને દિવસ દરમિયાન તેને થોડું કરી શકો છો. જો તમે એક જ સમયે દૈનિક માત્રામાં ખોરાક ખાઓ છો, અથવા તમે દિવસ દરમિયાન ભાગોમાં ખાઈ શકો છો.

મગજની તંદુરસ્તી, તાલીમ મેમરી, ધ્યાન, વિચાર, ગણતરીના રહસ્યો

શરીરની જેમ મગજને પણ ફિટનેસની જરૂર છે. વ્યાયામશરીરને મજબૂત કરો, માનસિક રીતે મગજનો વિકાસ કરો. 30 દિવસ ઉપયોગી કસરતોઅને યાદશક્તિ, એકાગ્રતા, બુદ્ધિમત્તા અને ઝડપ વાંચન વિકસાવવા માટેની શૈક્ષણિક રમતો મગજને મજબૂત બનાવશે, તેને ક્રેક કરવા માટે અઘરા અખરોટમાં ફેરવશે.

પૈસા અને મિલિયોનેર માઇન્ડસેટ

શા માટે પૈસા સાથે સમસ્યાઓ છે? આ કોર્સમાં અમે આ પ્રશ્નનો વિગતવાર જવાબ આપીશું, સમસ્યામાં ઊંડાણપૂર્વક જોઈશું અને મનોવૈજ્ઞાનિક, આર્થિક અને ભાવનાત્મક દૃષ્ટિકોણથી નાણાં સાથેના અમારા સંબંધને ધ્યાનમાં લઈશું. કોર્સમાંથી તમે શીખી શકશો કે તમારી બધી નાણાકીય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમારે શું કરવાની જરૂર છે, નાણાં બચાવવાનું શરૂ કરો અને ભવિષ્યમાં તેનું રોકાણ કરો.

પૈસાની મનોવિજ્ઞાન અને તેની સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તેનું જ્ઞાન વ્યક્તિને કરોડપતિ બનાવે છે. 80% લોકો વધુ લોન લે છે કારણ કે તેમની આવક વધે છે અને વધુ ગરીબ બની જાય છે. બીજી તરફ, જો તેઓ શરૂઆતથી શરૂઆત કરશે તો સ્વ-નિર્મિત કરોડપતિઓ 3-5 વર્ષમાં ફરીથી લાખો કમાશે. આ કોર્સ તમને આવકનું યોગ્ય રીતે વિતરણ અને ખર્ચ કેવી રીતે ઘટાડવું તે શીખવે છે, તમને અભ્યાસ કરવા અને લક્ષ્યો હાંસલ કરવા માટે પ્રેરિત કરે છે, પૈસાનું રોકાણ કેવી રીતે કરવું અને કૌભાંડને કેવી રીતે ઓળખવું તે શીખવે છે.

સારમાં, આખી મુશ્કેલી યોગ્ય રીતે કેવી રીતે મૂકવી તેમાં રહેલી છે મધ્યવર્તી પરિણામોગુણાકાર (આંશિક ઉત્પાદનો. ગણતરીઓને સરળ બનાવવાના પ્રયાસમાં, લોકો સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની ઘણી રીતો સાથે આવ્યા છે. ગણિતના સદીઓ જૂના ઇતિહાસમાં, તેમાંના કેટલાક ડઝન છે.

હિંદુઓનો વારસો જાળી પદ્ધતિ છે.

હિંદુઓ, જે પ્રાચીન કાળથી જાણે છે દશાંશ સિસ્ટમનોટેશન, પ્રાધાન્ય માનસિક ગણતરીલખાયેલ તેઓએ ઝડપી ગુણાકાર કરવા માટે ઘણી રીતોની શોધ કરી. પાછળથી તેઓ આરબો દ્વારા ઉછીના લેવામાં આવ્યા હતા, અને તેમની પાસેથી આ પદ્ધતિઓ યુરોપિયનોને પસાર કરવામાં આવી હતી. જો કે, તેઓએ પોતાને તેમના સુધી મર્યાદિત ન રાખ્યા અને નવા વિકસિત કર્યા, ખાસ કરીને જે શાળામાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે - કૉલમ દ્વારા ગુણાકાર. આ પદ્ધતિ 15મી સદીની શરૂઆતથી જાણીતી છે, તે પછીની સદીમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં નિશ્ચિતપણે ઉપયોગમાં લેવાઈ છે, અને આજે તે દરેક જગ્યાએ ઉપયોગમાં લેવાય છે. પરંતુ શું આ અંકગણિત કામગીરી કરવા માટે કૉલમ ગુણાકાર શ્રેષ્ઠ માર્ગ છે? વાસ્તવમાં, ગુણાકારની અન્ય, હવે ભૂલી ગયેલી પદ્ધતિઓ છે જે વધુ ખરાબ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, જાળી પદ્ધતિ.

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પ્રાચીન સમયમાં થયો હતો, મધ્ય યુગમાં તે પૂર્વમાં વ્યાપક બન્યો હતો, અને પુનરુજ્જીવનમાં - યુરોપમાં. ગ્રીડ પદ્ધતિને ભારતીય, મુસ્લિમ અથવા "સેલ્યુલર ગુણાકાર" પણ કહેવામાં આવતું હતું. અને ઇટાલીમાં તેને "ગેલોસિયા", અથવા "લેટીસ ગુણાકાર" કહેવામાં આવતું હતું (ઇટાલિયનમાંથી અનુવાદિત ગેલોસિયાનો અર્થ થાય છે "બ્લાઇન્ડ્સ", "લેટીસ શટર". ખરેખર, સંખ્યાઓમાંથી પરિણામી આંકડા શટર જેવા જ હતા - બ્લાઇંડ્સ જે સૂર્યથી બારીઓને આવરી લે છે. ઘરો

અમે ગુણાકારની આ સરળ પદ્ધતિનો સાર એક ઉદાહરણ સાથે સમજાવીશું: અમે ઉત્પાદન 296 x 73 ની ગણતરી કરીશું. ચાલો ચોરસ કોષો સાથે એક કોષ્ટક દોરીએ, જેમાં સંખ્યા અનુસાર ત્રણ કૉલમ અને બે પંક્તિઓ હશે. પરિબળોમાં અંકો. કોષોને અડધા ત્રાંસા ભાગમાં વિભાજીત કરો. કોષ્ટકની ઉપર આપણે 296 નંબર લખીએ છીએ, અને સાથે જમણી બાજુવર્ટિકલી - નંબર 73. પ્રથમ નંબરના દરેક અંકને બીજાના દરેક અંક સાથે ગુણાકાર કરો અને અનુરૂપ કોષોમાં ઉત્પાદનો લખો, વિકર્ણની ઉપર અને તેની નીચે દસને મૂકીને. અમે ત્રાંસી પટ્ટાઓમાં અંકો ઉમેરીને ઇચ્છિત ઉત્પાદનના અંકો મેળવીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, અમે નીચલા જમણા કોષથી શરૂ કરીને, ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધીશું: 8, 2 1 7, વગેરે. અમે કોષ્ટકની નીચે તેમજ તેની ડાબી બાજુએ પરિણામો લખીશું. જો ઉમેરણ બે-અંકના સરવાળામાં પરિણમે છે, તો અમે ફક્ત તે જ સૂચવીએ છીએ, અને આગામી સ્ટ્રીપમાંથી અંકોના સરવાળામાં દસ ઉમેરીએ છીએ. જવાબ: 21,608 તેથી, 296 x 73 = 21,608.

જાળી પદ્ધતિ કૉલમ ગુણાકારથી કોઈ રીતે હલકી ગુણવત્તાવાળા નથી. બંને કિસ્સાઓમાં કરવામાં આવતી ક્રિયાઓની સંખ્યા સમાન હોવા છતાં, તે વધુ સરળ અને વધુ વિશ્વસનીય છે. સૌપ્રથમ, તમારે ફક્ત સિંગલ અને ડબલ ડિજિટ નંબરો સાથે કામ કરવું પડશે, અને તે તમારા માથામાં ચલાવવા માટે સરળ છે. બીજું, મધ્યવર્તી પરિણામોને યાદ રાખવાની અને તેઓ જે ક્રમમાં લખેલા છે તેનો ટ્રેક રાખવાની જરૂર નથી. મેમરી અનલોડ થાય છે અને ધ્યાન જાળવી રાખવામાં આવે છે, તેથી ભૂલની સંભાવના ઓછી થાય છે. વધુમાં, જાળી પદ્ધતિ તમને ઝડપથી પરિણામો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે. એકવાર તમે તેને માસ્ટર કરી લો, પછી તમે તમારા માટે જોઈ શકો છો.

શા માટે જાળી પદ્ધતિ સાચા જવાબ તરફ દોરી જાય છે? તેનું "મિકેનિઝમ" શું છે? ચાલો પહેલાની જેમ જ બાંધવામાં આવેલ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને આને શોધીએ, ફક્ત આ કિસ્સામાં પરિબળ 200 90 6 અને 70 3 ના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પ્રથમ ત્રાંસી પટ્ટીમાં એકમો છે, બીજામાં - દસ, ત્રીજામાં - સેંકડો, વગેરે. જ્યારે ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ અનુક્રમે એકમોની સંખ્યા, દસ, સેંકડો, વગેરેનો જવાબ આપે છે. આરામ સ્પષ્ટ છે:

10 10 1500. 100. 8 _ 21608.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અંકગણિતના નિયમો અનુસાર, 296 અને 73 નંબરોના ઉત્પાદનની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

296 x 73 = (200 90 6) x (70 3) = 14,000 6300 420 600 270 18 = 10,000 (4000 6000) (300 400 600 200) (70) 2081 = 2081.

નેપેરા લાકડીઓ.

જાળી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકાર એ એક સરળ અને મૂળ ગણતરી ઉપકરણનો આધાર છે - નેપર સ્ટીક્સ.

તેના શોધક, જોન નેપિયર, એક સ્કોટિશ બેરોન અને ગણિતના પ્રેમી, વ્યાવસાયિકો સાથે, ગણતરીના માધ્યમો અને પદ્ધતિઓ સુધારવામાં રોકાયેલા હતા. વિજ્ઞાનના ઇતિહાસમાં, તેઓ મુખ્યત્વે લઘુગણકના સર્જકોમાંના એક તરીકે ઓળખાય છે.

ઉપકરણમાં દસ શાસકોનો સમાવેશ થાય છે જેના પર ગુણાકાર કોષ્ટક મૂકવામાં આવે છે. દરેક કોષમાં, વિકર્ણ દ્વારા વિભાજિત, 1 થી 9 સુધીની બે સિંગલ-અંકની સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન લખવામાં આવે છે: દસની સંખ્યા ઉપરના ભાગમાં સૂચવવામાં આવે છે, એકમોની સંખ્યા નીચેના ભાગમાં સૂચવવામાં આવે છે. એક શાસક (ડાબી બાજુ) સ્થિર છે, બાકીનાને ઇચ્છિત સંખ્યાના સંયોજનને મૂકતા, જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ ગોઠવી શકાય છે. નેપર લાકડીઓનો ઉપયોગ કરીને, બહુ-અંકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવો સરળ છે, આ ક્રિયાને ઉમેરા સુધી ઘટાડે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 296 અને 73 નંબરોના ઉત્પાદનની ગણતરી કરવા માટે, તમારે 296 ને 3 અને 70 દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (પહેલા 7 વડે, પછી 10 વડે) અને પરિણામી સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે. ચાલો નિશ્ચિત શાસક સાથે અન્ય ત્રણ જોડીએ - ટોચ પર નંબરો 2, 9 અને 6 સાથે (તેમણે નંબર 296 બનાવવો જોઈએ. હવે ચાલો ત્રીજી રેખા જોઈએ (રેખા નંબરો બાહ્ય શાસક પર દર્શાવેલ છે. તેમાંની સંખ્યાઓ) એક સમૂહ બનાવો જે અમને પહેલેથી જ પરિચિત છે.

તેમને ઉમેરવાથી, જાળી પદ્ધતિની જેમ, આપણને 296 x 3 = 888 મળે છે. તેવી જ રીતે, ra? 6

શાળામાં તેઓ ગુણાકાર કોષ્ટકનો અભ્યાસ કરે છે, અને પછી બાળકોને કૉલમમાં સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાનું શીખવે છે. અલબત્ત, ગુણાકાર કરવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો નથી. હકીકતમાં, બહુ-અંકની સંખ્યાઓને ગુણાકાર અને વિભાજીત કરવાની ઘણી ડઝન રીતો હતી. હું અહીં પ્રસ્તુત કરીશ, કદાચ, એક વધુ સરળ “જાળી પદ્ધતિ” (જુઓ I.Ya. Depman, N.Ya. Vilenkin “Beyond the Pages of a Textbook”નું પુસ્તક). ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.

ચાલો કહીએ કે આપણે 347 ને 29 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. ચાલો એક કોષ્ટક દોરીએ, જેમ કે આકૃતિ a માં), તેની ઉપર ડાબેથી જમણે નંબર 347 લખો અને તેની જમણી બાજુ - ઉપરથી નીચે સુધી નંબર 29 લખો. દરેક કોષમાં આપણે આ કોષની ઉપર અને તેની જમણી બાજુએ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન લખીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, અમે સ્લેશની ઉપર ઉત્પાદનના દસ અંકો અને તેની નીચે એકમોનો અંક લખીશું. હવે આપણે આ કામગીરીને જમણેથી ડાબે કરીને આકૃતિમાં દર્શાવેલ દરેક ત્રાંસી પટ્ટીમાં સંખ્યાઓ ઉમેરીશું. જો રકમ 10 થી ઓછી હોય, તો તે સ્ટ્રીપના નીચેના નંબર હેઠળ લખવામાં આવે છે. જો તે 10 થી વધુ હોવાનું બહાર આવે છે, તો પછી માત્ર રકમના એકમોનો અંક લખવામાં આવે છે, અને દસનો અંક આગામી રકમમાં ઉમેરવામાં આવે છે. પરિણામે, અમે ઇચ્છિત ઉત્પાદન મેળવીએ છીએ, જે 10063 ની બરાબર છે.

ગુણાકારની આ પદ્ધતિ અગાઉ પૂર્વ અને ઇટાલીમાં સામાન્ય હતી. તેનો અર્થ સમજવા માટે, ચાલો આકૃતિ b જુઓ). આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ પટ્ટીમાં એકમો છે, બીજામાં - દસ, ત્રીજામાં - સેંકડો, વગેરે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉત્પાદન 347\cdot29 નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

મદદ કરવા માટે કેટલાક અન્ય નિયમો છે ઝડપી ગણતરી. તેથી, 5 માં સમાપ્ત થતી બે-અંકની સંખ્યાને ચોરસ કરવા માટે, તમારે પ્રથમ અંકમાં 1 ઉમેરવાની અને પરિણામી સંખ્યાને આ અંક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પછી પરિણામમાં 25 ઉમેરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 35નો વર્ગ કરીએ. આ સંખ્યાનો પ્રથમ અંક 3 છે, ઉમેરો 1: 3+1=4. ચાલો 3 ને 4 વડે ગુણાકાર કરીએ, આપણને 12 મળે, પછી આપણે ફક્ત 25 ઉમેરીએ. તો જવાબ છે: 1225.

આ નિયમ હકીકત પરથી તરત જ અનુસરે છે

અલબત્ત, આનો ઉપયોગ 5 માં સમાપ્ત થતી ત્રણ-અંકની સંખ્યા અને તેનાથી પણ વધુ અંકો ધરાવતી સંખ્યાઓ માટે પણ થઈ શકે છે. જો કે, આ કિસ્સાઓમાં, તમારે ઉત્પાદન a\cdot(a+1) ની ગણતરી કરવી પડશે, જ્યાં સંખ્યા a માં પહેલાથી જ ઘણા દશાંશ સ્થાનો છે, અને આ પણ કરવું પડશે, કહો, કૉલમમાં, એટલે કે, આ વધુ જટિલ છે!

અને હવે વિડિયો ગુણાકારની પદ્ધતિ બતાવે છે, ઇન્ટરનેટ પર વ્યાપકપણે જોવામાં આવે છે અને તેની ચર્ચા થાય છે, જેને ચાઇનીઝ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. રમુજી અને રસપ્રદ. માર્ગ દ્વારા, આ પદ્ધતિના કેટલાક સામાન્યીકરણો પહેલેથી જ પોસ્ટ કરવામાં આવ્યા છે, કારણ કે 9 વડે ગુણાકાર કરતી વખતે 9 સીધી રેખાઓ દોરવી એ કોઈક રીતે લાંબી અને રસહીન છે, અને પછી આંતરછેદ બિંદુઓની ગણતરી કરવી... સામાન્ય રીતે, તમારે હજુ પણ ગુણાકાર કોષ્ટક જાણવાની જરૂર છે! મને લાગે છે કે તમે સમજાવી શકો છો કે પદ્ધતિ શા માટે કામ કરે છે. ધ્યાન, પ્રશ્ન: શા માટે?

ગુણાકાર શું છે?

ગુણાકારએક અંકગણિત ક્રિયા છે જેમાં પ્રથમ સંખ્યા શબ્દ તરીકે બીજી સંખ્યા દર્શાવે છે તેટલી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.

શબ્દ તરીકે પુનરાવર્તિત થતી સંખ્યાને કહેવામાં આવે છે ગુણાકાર(તેનો ગુણાકાર થાય છે), તે સંખ્યા જે દર્શાવે છે કે શબ્દને કેટલી વાર પુનરાવર્તિત કરવો તે કહેવાય છે ગુણક. ગુણાકારથી પરિણમેલી સંખ્યા કહેવાય છે કામ.

ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યા 2 ને પ્રાકૃતિક સંખ્યા 5 વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ એ છે કે પાંચ પદોનો સરવાળો શોધવો, જેમાંથી દરેક 2 ની બરાબર છે:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

આ ઉદાહરણમાં, આપણે સામાન્ય ઉમેરા દ્વારા સરવાળો શોધીએ છીએ. પરંતુ જ્યારે સમાન પદોની સંખ્યા મોટી હોય, ત્યારે તમામ પદોને ઉમેરીને સરવાળો શોધવો ખૂબ કંટાળાજનક બની જાય છે.

ગુણાકાર એ ચિહ્ન × (સ્લેશ) અથવા ચિહ્ન · (ડોટ) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને વાંચે છે: દ્વારા ગુણાકાર કરો. ગુણાકાર ચિહ્ન ગુણાકાર અને ગુણક વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે. ગુણાકાર ચિહ્નની ડાબી બાજુએ ગુણાકાર લખાયેલ છે, અને ગુણક જમણી બાજુએ લખાયેલ છે:

આ એન્ટ્રી આ રીતે વાંચે છે: 2 અને 5 નું ઉત્પાદન બરાબર 10 અથવા 2 ગુણ્યા 5 બરાબર 10.

તેથી આપણે જોઈએ છીએ કે ગુણાકાર સરળ છે ટૂંકા સ્વરૂપસમાન શબ્દોના ઉમેરાનો રેકોર્ડ.

ગુણાકાર તપાસ

ગુણાકાર તપાસવા માટે, તમે ગુણાંક દ્વારા ઉત્પાદનને વિભાજિત કરી શકો છો. જો ભાગાકારનું પરિણામ ગુણાકારની સમાન સંખ્યા હોય, તો ગુણાકાર યોગ્ય રીતે થાય છે:

હવે ચાલો ગુણાકાર તપાસીએ:

ગુણાકારને ગુણાકાર દ્વારા ભાગાકાર કરીને પણ તપાસી શકાય છે. જો ભાગાકારનું પરિણામ ગુણકની સમાન સંખ્યા હોય, તો ગુણાકાર યોગ્ય રીતે થાય છે:

ચાલો તપાસીએ:

એક અને એક વડે ગુણાકાર

aનીચેની સમાનતાઓ સાચી છે:

1 · a = a
a· 1 = a

• જો ગુણાકાર સંખ્યા 1 છે, તો ગુણાંક ગુણકની બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1 · 3 = 3 કારણ કે 1 + 1 + 1 નો સરવાળો ત્રણ છે.
• જો અવયવ એક છે, તો ગુણાંક સમાન હશે. ઉદાહરણ તરીકે, 5 · 1 = 5. જો આપણે એકવાર 5 નંબર લઈએ, તો આપણને 5 મળશે.

ગુણાકારમાં નંબર 0

કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે aનીચેની સમાનતાઓ સાચી છે:

a· 0 = 0
0 · a = 0

આ સમાનતાઓનો અર્થ નીચે મુજબ છે:

• જો પરિબળ શૂન્ય છે, તો ઉત્પાદન શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 5 · 0 = 0 (જો આપણે એકવાર પણ 5 ન લઈએ, તો સ્વાભાવિક રીતે આપણને કંઈપણ મળશે નહીં).
• જો ગુણાકાર શૂન્ય છે, તો ઉત્પાદન શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 0 · 3 = 0 કારણ કે 0 + 0 + 0 નો સરવાળો શૂન્ય છે.

મેળ ખાતી મિલકતગુણાકાર એ બે ઉત્પાદનોની સમાનતા દર્શાવે છે a·(b·c) અને (a·b)·c, જ્યાં a, bઅને c- કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાઓ. આમ, ત્રણ સંખ્યાના ગુણાકારનું પરિણામ a, bઅને cકૌંસ કેવી રીતે મૂકવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર નથી. આ કારણે, ઉત્પાદનોમાં a·(b·c) અને (a·b)·c, કૌંસ ઘણીવાર મૂકવામાં આવતા નથી, અને ઉત્પાદનો ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે. a·b·c. અભિવ્યક્તિ a·b·cત્રણ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન કહેવાય છે a, bઅને c, સંખ્યાઓ a, bઅને cબધાને મલ્ટિપ્લાયર્સ પણ કહેવાય છે.

તેવી જ રીતે, ગુણાકારની સંયુક્ત ગુણધર્મ અમને જણાવવા દે છે કે ઉત્પાદનો (a·b)·(c·d), (a·(b·c)·d , ((a·b)·c)·d , a·(b·(c·d)) અને a·((b·c)·d) સમાન છે. એટલે કે, ચાર સંખ્યાઓના ગુણાકારનું પરિણામ પણ કૌંસના વિતરણ પર આધારિત નથી. ચાર સંખ્યાનું ઉત્પાદન a, b, cઅને ડીતરીકે લખો a b c d.

સામાન્ય રીતે, બે, ત્રણ, ચાર અને તેથી વધુ સંખ્યાઓના ગુણાકારનું પરિણામ કૌંસ મૂકવાની પદ્ધતિ પર આધાર રાખતું નથી, અને આવા ઉત્પાદનો લખતી વખતે, કૌંસ સામાન્ય રીતે અવગણવામાં આવે છે.

હવે ચાલો જાણીએ કે કેટલીય સંખ્યાઓના ઉત્પાદનની ગણતરી કેવી રીતે કરવી, જેના સંકેતમાં કૌંસ શામેલ નથી. આ કિસ્સામાં ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ક્રમિક રીતે બે સંલગ્ન પરિબળોને તેમના ઉત્પાદન સાથે બદલવા માટે ઘટાડવામાં આવે છેજ્યાં સુધી અમને જરૂરી પરિણામ ન મળે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉત્પાદન લખતી વખતે, અમે કૌંસને કોઈપણ સ્વીકાર્ય રીતે મૂકીએ છીએ, જે પછી અમે ક્રમિક રીતે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ છીએ.

પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઉત્પાદનની ગણતરીના ઉદાહરણનો વિચાર કરો 2 , 1 , 3 , 1 અને 8 . ચાલો ઉત્પાદન લખીએ: 2 1 3 1 8. અમે બે ઉકેલો બતાવીશું (કુલ બે કરતાં વધુ ઉકેલો છે).

પ્રથમ માર્ગ. અમે ક્રમશઃ ડાબી બાજુના બે પરિબળોને તેમના ઉત્પાદન સાથે બદલીશું. સંખ્યાના ગુણાકારના પરિણામથી 2 અને 1 નંબર છે 2 , તે 2·1·3·1·8=2·3·1·8. કારણ કે 2·3=6, તે 2·3·1·8=6·1·8. આગળ, કારણ કે 6·1=6, તે 6·1·8=6·8. છેવટે, 6·8=48. તેથી, પાંચ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન 2 , 1 , 3 , 1 અને 8 બરાબર 48 . આ સોલ્યુશન કૌંસને ગોઠવવાની નીચેની પદ્ધતિને અનુરૂપ છે: (((2 1) 3) 1) 8.

બીજી રીત. ચાલો ઉત્પાદનમાં કૌંસને આ રીતે ગોઠવીએ: ((2 1) 3) (1 8) . કારણ કે 2 1=2અને 1·8=8, પછી ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . બે ગુણ્યા ત્રણ એટલે છ, પછી (2·3)·8=6·8. છેવટે, 6·8=48. તેથી, 2·1·3·1·8=48.

નોંધ કરો કે ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના ગુણાકારનું પરિણામ અવયવોના ક્રમથી પ્રભાવિત થતું નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉત્પાદનમાંના પરિબળો કોઈપણ ક્રમમાં લખી શકાય છે, અને તેને અદલાબદલી પણ કરી શકાય છે. આ વિધાન પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના ગુણધર્મોને અનુસરે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ચાર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો 3 , 9 , 2 અને 1 . ચાલો તેમના ઉત્પાદનને લખીએ: 3·9·2·1. જો આપણે પરિબળોને બદલીએ 3 અને 9 તેમના ઉત્પાદન અથવા પરિબળો 9 અને 2 તેમનું ઉત્પાદન, પછીના તબક્કે આપણે બે-અંકની સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવો પડશે 27 અથવા 18 (જે આપણે હજી સુધી કેવી રીતે કરવું તે જાણતા નથી). તમે શરતોને સ્વેપ કરીને અને ચોક્કસ રીતે કૌંસને ગોઠવીને આ વિના કરી શકો છો. અમારી પાસે છે 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

આમ, પરિબળોની અદલાબદલી કરીને, અમે ઉત્પાદનોની સૌથી અનુકૂળ રીતે ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

ચિત્રને પૂર્ણ કરવા માટે, એવી સમસ્યાનો વિચાર કરો કે જેનો ઉકેલ અનેક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે ઉકળે છે.

દરેક બોક્સ સમાવે છે 3 વિષય દરેક બોક્સ સમાવે છે 2 બોક્સ કેટલી વસ્તુઓ સમાયેલ છે 4 બોક્સ?

એક બોક્સમાં હોવાથી 2 બોક્સ, જેમાંથી દરેક 3 આઇટમ, પછી એક બોક્સમાં છે 3·2=6વસ્તુઓ પછી ચાર ડ્રોઅરમાં છે 6·4=24વિષય

કોઈ અલગ રીતે દલીલ કરી શકે છે. એક બોક્સમાં હોવાથી 2 બોક્સ, પછી ચાર બોક્સમાં છે 2·4=8બોક્સ દરેક બોક્સ સમાવે છે 3 વિષય, પછી માં 8 બોક્સ છે 3·8=24વિષય

ઘોષિત ઉકેલોને ટૂંકમાં (3·2)·4=6·4=24 અથવા 3·(2·4)=3·8=24 તરીકે લખી શકાય છે.

આમ, ઑબ્જેક્ટ્સની આવશ્યક સંખ્યા સંખ્યાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે 3 , 2 અને 4 , એટલે કે, 3·2·4=24.

ચાલો આ ફકરામાં આપેલી માહિતીનો સારાંશ આપીએ.

ત્રણ કે તેથી વધુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એ બે સંખ્યાઓનો ક્રમિક ગુણાકાર છે. વધુમાં, ગુણાકારના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મોને લીધે, અવયવોની અદલાબદલી કરી શકાય છે અને ગુણાકાર સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ બેને તેમના ઉત્પાદન સાથે બદલી શકાય છે.

કુદરતી સંખ્યા દ્વારા સરવાળો અને કુદરતી સંખ્યાને સરવાળો વડે ગુણાકાર કરવો.

સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ગુણાકાર સંબંધિત છે વિતરણ મિલકતગુણાકાર આ ગુણધર્મ તમને સરવાળો અને ગુણાકારનો એકસાથે અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે આ ક્રિયાઓનો અલગથી અભ્યાસ કરવા કરતાં ઘણી વધુ તકો ખોલે છે.

અમે બે પદો માટે સરવાળો સંબંધિત ગુણાકારની વિતરણ ગુણધર્મ ઘડી છે: (a+b) c=a c+b c , a, b, c- મનસ્વી કુદરતી સંખ્યાઓ. આ સમાનતાથી શરૂ કરીને, આપણે સમાનતાઓની માન્યતા સાબિત કરી શકીએ છીએ (a+b+c) d=a d+b d+c d , (a+b+c+d) h=a h+b h+c h+d hવગેરે, a, b, c, ડી, h- કેટલીક કુદરતી સંખ્યાઓ.

આમ, ઘણી સંખ્યાઓ અને આપેલ સંખ્યાના સરવાળાનો ગુણાંક એ દરેક પદો અને આપેલ સંખ્યાના ઉત્પાદનના સરવાળા સમાન છે. આપેલ સંખ્યા દ્વારા રકમનો ગુણાકાર કરતી વખતે આ નિયમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પાંચ સંખ્યાઓના સરવાળાનો ગુણાકાર કરીએ 7 , 2 , 3 , 8 , 8 સંખ્યા દીઠ 3 . ચાલો પરિણામી નિયમનો ઉપયોગ કરીએ: (7+2+3+8+8) 3=7 3+2 3+3 3+8 3+8 3. કારણ કે 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, તે 7·3+2·3+3+3+8·3+8·3=21+6+9+24+24. તે પાંચ સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરવાનું બાકી છે 21+6+9+24+24=84 .

અલબત્ત, આપેલ પાંચ સંખ્યાઓના સરવાળાની પ્રથમ ગણતરી કરવી અને પછી ગુણાકાર કરવાનું શક્ય હતું. પરંતુ આ કિસ્સામાં આપણે બે-અંકની સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવો પડશે 7+2+3+8+8=28 સંખ્યા દીઠ 3 , જે આપણે હજી સુધી કેવી રીતે કરવું તે જાણતા નથી (અમે વિભાગમાં પછીથી આવી સંખ્યાઓના ગુણાકાર વિશે વાત કરીશું).

ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત અમને આપેલ સંખ્યા દ્વારા સંખ્યાઓના સરવાળાને ગુણાકાર કરવા માટેના નિયમને નીચે પ્રમાણે સુધારવાની મંજૂરી આપે છે: આપેલ સંખ્યાનું ઉત્પાદન અને ઘણી સંખ્યાઓનો સરવાળો આપેલ સંખ્યાના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે અને દરેક શરતોની. આપેલ સંખ્યાને રકમ વડે ગુણાકાર કરવાનો આ નિયમ છે.

સંખ્યાને સરવાળે ગુણાકાર કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવાનું અહીં ઉદાહરણ છે: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20.

ચાલો એક સમસ્યા જોઈએ જેનું નિરાકરણ આપેલ સંખ્યા દ્વારા સંખ્યાઓના સરવાળાને ગુણાકાર કરવા માટે ઉકળે છે.

દરેક બોક્સ સમાવે છે 3 લાલ 7 લીલો અને 2 વાદળી વસ્તુઓ. ચાર બોક્સમાં કેટલી વસ્તુઓ છે?

એક બોક્સ સમાવે છે 3+7+2 વસ્તુઓ પછી ચાર બૉક્સમાં (3+7+2)·4 વસ્તુઓ છે. ચાલો પરિણામી નિયમનો ઉપયોગ કરીને સરવાળો અને સંખ્યાના ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ: (3+7+2) 4=3 4+7 4+2 4=12+28+8=48.

48 વસ્તુઓ

કુદરતી સંખ્યાને વડે ગુણાકાર 10 , 100 , 1 000 અને તેથી વધુ.

પ્રથમ, ચાલો મનસ્વી પ્રાકૃતિક સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ મેળવીએ 10 .

કુદરતી સંખ્યાઓ 20 , 30 , …, 90 સ્વાભાવિક રીતે અનુરૂપ 2 ડઝનેક, 3 ડઝનેક... 9 ડઝનેક, એટલે કે, 20=10+10 , 30=10+10+10 , ... અમે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારને સમાન પદોના સરવાળાનો અર્થ આપ્યો હોવાથી, અમારી પાસે
2·10=20, 3·10=30, ..., 9·10=90.

એ જ રીતે તર્ક કરતાં, અમે નીચેની સમાનતાઓ પર પહોંચીએ છીએ:
2·100=200, 3·100=300, ..., 9·100=900;
2·1 000 = 2 000, 3·1 000 = 3 000, ..., 9·1 000 = 9 000;
2·10,000=20,000, 3·10,000=30,000, ..., 9·10,000=90,000; ...

દસ દસ એટલે સો એટલે 10·10=100;
દસ સેંકડો એટલે હજાર, પછી 100·10 = 1,000;
દસ હજાર એટલે દસ હજાર, પછી 1,000·10=10,000.
આ દલીલો ચાલુ રાખીને, અમારી પાસે છે 10,000·10 = 100,000, 100,000·10 = 1,000,000, …

ચાલો હવે એક ઉદાહરણ જોઈએ જે આપણને મનસ્વી પ્રાકૃતિક સંખ્યાને દસ વડે ગુણાકાર કરવા માટેનો નિયમ ઘડવા દેશે.

કુદરતી સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો 7 032 ચાલુ 10 .

આ નંબર માટે 7 032 ચાલો તેને રકમ તરીકે રજૂ કરીએ બીટ શરતો, જે પછી આપણે આ લેખના પાછલા ફકરામાં મેળવેલ સંખ્યા વડે સરવાળાનો ગુણાકાર કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું: 7,032·10=(7,000+30+2)·10= 7,000·10+30·10+2· 10.

કારણ કે 7 000 = 7 1 000અને 30=3·10, પછી પરિણામી રકમ 7 000 10+30 10+2 10સરવાળો સમાન (7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10, અને ગુણાકારની સહયોગી મિલકત અમને નીચેની સમાનતા લખવાની મંજૂરી આપે છે:
(7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10= 7·(1,000·10)+3·(10·10)+2·10.

આ ઉદાહરણ પહેલાં લખેલા પરિણામોના આધારે, અમારી પાસે છે 7·(1,000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10,000+3·100+2·10= 70,000+300+20.

પ્રાપ્ત રકમ 70 000+300+20 સંખ્યાના અંકોમાં વિસ્તરણ દર્શાવે છે 70 320 .

7,032·10=70,320.

સમાન ક્રિયાઓ કરીને, આપણે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને દસ વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ. તે જ સમયે, એ નોંધવું મુશ્કેલ નથી કે પરિણામે આપણે સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત કરીશું, જેનું લખાણ ફક્ત અંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવતી સંખ્યાના લેખનથી અલગ હશે. 0 , જમણી બાજુએ સ્થિત છે.

ઉપરોક્ત તમામ વિચારણાઓ આપણને અવાજ ઉઠાવવાની મંજૂરી આપે છે મનસ્વી કુદરતી સંખ્યાને દસ વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ: જો આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના સંકેતમાં, જમણી બાજુએ એક અંક ઉમેરો 0 , પછી પરિણામી એન્ટ્રી એ સંખ્યાને અનુરૂપ હશે જે આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ છે 10 .

ઉદાહરણ તરીકે, 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79,020·10=790,200વગેરે

અને હવે, કુદરતી સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમના આધારે 10 , આપણે મનસ્વી પ્રાકૃતિક સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ 100 , ચાલુ 1 000 વગેરે

કારણ કે 100=10·10, પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરો 100 આ સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવા નીચે આવે છે 10 10 . ઉદાહરણ તરીકે,
17·100=17·10·10=170·10=1,700;
504·100=504·10·10=5,040·10=50,400;
100 497 100=100 497 10 10= 1 004 970 10=10 049 700.

એટલે કે, જો તમે ગુણાકાર કરવામાં આવતી સંખ્યાની જમણી બાજુએ બે અંકો ઉમેરો છો 0 , પછી આપણને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ મળે છે 100 . આ છે કુદરતી સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ 100 .

કારણ કે 1 000=100·10, પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને હજાર વડે ગુણાકાર કરવાથી આ સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવામાં ઘટાડો થાય છે 100 અને પછી પરિણામને વડે ગુણાકાર કરો 10 . આ તર્કો પરથી તે નીચે મુજબ છે મનસ્વી કુદરતી સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ 1 000 : જો તમે સંખ્યાની જમણી બાજુએ ત્રણ અંકો ઉમેરો છો 0 , પછી આપણને આ સંખ્યાને હજાર વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ મળે છે.

તેવી જ રીતે, જ્યારે કુદરતી સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરો 10 000 , 100 000 અને તેથી આગળ, તમારે અનુક્રમે જમણી બાજુએ ચાર સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે 0 , પાંચ અંકો 0 અને તેથી વધુ.

ઉદાહરણ તરીકે,
58·1 000 = 58 000;
6,032·1,000,000=6,032,000,000;
777·10 000 = 7 770 000.

બહુમૂલ્યવાળી અને એકલ-મૂલ્યવાળી કુદરતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર.

હવે આપણી પાસે કુદરતી સંખ્યાઓના બહુ-અંક અને સિંગલ-ડિજિટ ગુણાકાર કરવા માટે જરૂરી તમામ કુશળતા છે.

આ માટે શું કરવાની જરૂર છે?

ચાલો તેને તરત જ ઉદાહરણ દ્વારા સમજીએ.

ત્રણ-અંકની સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો 763 એક અંકની સંખ્યા સુધી 5 , એટલે કે, અમે ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ 763·5.

પ્રથમ તમારે અંકના શબ્દોના સરવાળા તરીકે બહુ-અંકની સંખ્યા દર્શાવવાની જરૂર છે. અમારા ઉદાહરણમાં 763=700+60+3 , તો આપણી પાસે 763·5=(700+60+3)·5 છે.

હવે અમે અરજી કરીએ છીએ: (700+60+3) 5=700 5+60 5+3 5.

કારણ કે 700=7·100અને 60=6·10(અમે અગાઉના ફકરામાં આ વિશે વાત કરી હતી), પછી રકમ 700·5+60·5+3·5(7 100) 5+(6 10) 5+3 5 તરીકે લખી શકાય છે.

ગુણાકારના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મોને લીધે, નીચેની સમાનતા સાચી છે: (7 100) 5+(6 10) 5+3 5= (5 7) 100+(5 6) 10+3 5 .

કારણ કે 5·7=35, 5·6=30અને 3·5=15, પછી (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15.

જે બાકી છે તે વડે ગુણાકાર કરવાનું છે 100 અને ચાલુ 10 , પછી ત્રણ શબ્દો ઉમેરો:
35 100+30 10+15= 3 500+300+15=3 815

કામ 763 અને 5 બરાબર 3 815 .

તે સ્પષ્ટ છે કે એક-અંકની સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવો બહુ-અંકની સંખ્યાસમાન રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે.

સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અમે બીજા ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીશું, પરંતુ આ વખતે અમે સ્પષ્ટતા વિના કરીશું.

3 અને 104 558 .

3 104 558= 3·(100,000+4,000+500+50+8)=
=3·100,000+3·4,000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100,000+3·(4·1,000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100,000+(3·4)·1,000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100,000+12·1,000+ 15 100+15 10+3 8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

સંખ્યાઓના ગુણાકારનું પરિણામ 3 અને 104 558 નંબર છે 313 674 .

બે બહુ-અંકની કુદરતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર.

હવે આપણે પરાકાષ્ઠા પર આવ્યા છીએ - બે બહુ-અંકની કુદરતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર. સૌ પ્રથમ, તમારે એક પરિબળને અંકોમાં વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે (સામાન્ય રીતે જે સંખ્યાના રેકોર્ડમાં મોટી સંખ્યામાં અક્ષરોનો સમાવેશ થાય છે તે સંખ્યાને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે), પછી સંખ્યાને સરવાળો (અથવા સંખ્યા દ્વારા રકમ) દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરો. . જો તમે આ લેખના પાછલા વિભાગોમાંની માહિતીમાં સંપૂર્ણ નિપુણતા મેળવી લીધી હોય તો આગળની ગણતરીઓ મુશ્કેલી ઊભી કરશે નહીં.

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બે બહુ-અંકની કુદરતી સંખ્યાઓના ગુણાકારના તમામ તબક્કાઓ જોઈએ.

સંખ્યાઓના ઉત્પાદનની ગણતરી કરો 41 અને 3 806 .

કુદરતી સંખ્યા વિસ્તરણ 3 806 અંકો દ્વારા ફોર્મ છે 3 000+800+6 , તેથી, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .

ચાલો સંખ્યાને સરવાળો વડે ગુણાકાર કરવા માટેનો નિયમ લાગુ કરીએ: 41·(3,000+800+6)= 41·3,000+41·800+41·6.

કારણ કે 3,000=3·1,000અને 800=8·100, તો સમાનતા 41·3 000+41·800+41·6= સાચી છે 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

ગુણાકારની સંયુક્ત ગુણધર્મ આપણને છેલ્લા સરવાળાને નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપે છે (41·3)·1,000+(41·8)·100+41·6.

એક પૂર્ણાંકને બીજા વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ એ છે કે એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા જેટલી વખત એકમો ધરાવે છે તેટલી વખત પુનરાવર્તિત કરવી. સંખ્યાને પુનરાવર્તિત કરવાનો અર્થ એ છે કે તેને ઘણી વખત ઉમેરણ તરીકે લો અને સરવાળો નક્કી કરો.

ગુણાકારની વ્યાખ્યા

પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર એ એક ઑપરેશન છે જેમાં તમારે એક સંખ્યાને ઉમેરણો તરીકે લેવાની જરૂર છે જેટલી બીજી સંખ્યા એકમો ધરાવે છે અને આ ઉમેરણોનો સરવાળો શોધો.

7 ને 3 વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ છે કે સંખ્યા 7 ને તેના ઉમેરણ તરીકે ત્રણ વખત લેવી અને સરવાળો શોધવો. જરૂરી રકમ 21 છે.

ગુણાકાર એ સમાન પદોનો ઉમેરો છે.

ગુણાકારમાં ડેટા કહેવાય છે ગુણાકાર અને ગુણક, અને જરૂરી - કામ.

સૂચિત ઉદાહરણમાં, ડેટા ગુણક 7, ગુણક 3 અને ઇચ્છિત ઉત્પાદન 21 હશે.

ગુણાકાર. ગુણાકાર એ એક સંખ્યા છે જે ઉમેરણ દ્વારા ગુણાકાર અથવા પુનરાવર્તિત થાય છે. ગુણાકાર સમાન પદોની તીવ્રતા વ્યક્ત કરે છે.

પરિબળ. ગુણક દર્શાવે છે કે ઉમેરણ દ્વારા ગુણાકાર કેટલી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે. ગુણક સમાન પદોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

કામ. ઉત્પાદન એ સંખ્યા છે જે ગુણાકારમાંથી મેળવવામાં આવે છે. તે સમાન પદોનો સરવાળો છે.

ગુણાકાર અને ગુણકને એકસાથે કહેવામાં આવે છે ઉત્પાદકો.

જ્યારે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે એક સંખ્યા જેટલી સંખ્યામાં એકમો ધરાવે છે તેટલી વખત વધે છે.

ગુણાકાર ચિહ્ન. ગુણાકારની ક્રિયા × (પરોક્ષ ક્રોસ) અથવા ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. (બિંદુ). ગુણાકાર ચિહ્ન ગુણાકાર અને ગુણક વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે.

ઉમેરણ તરીકે સંખ્યા 7 ને ત્રણ વખત પુનરાવર્તિત કરો અને સરવાળો શોધો એટલે 7 ને 3 વડે ગુણાકાર કરો. લખવાને બદલે

ટૂંકમાં ગુણાકાર ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને લખો:

7 × 3 અથવા 7 3

ગુણાકાર એ સમાન પદોનો ટૂંકો ઉમેરો છે.

સહી ( × )ની રજૂઆત ઓગટ્રેડ (1631) અને ચિહ્ન દ્વારા કરવામાં આવી હતી. ક્રિશ્ચિયન વુલ્ફ (1752).

ડેટા અને ઇચ્છિત સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ ગુણાકારમાં વ્યક્ત થાય છે

લેખિતમાં:

7 × 3 = 21 અથવા 7 3 = 21

મૌખિક રીતે:

સાતને ત્રણ વડે ગુણીએ તો 21 થાય.

21 નું ઉત્પાદન બનાવવા માટે, તમારે 7 ત્રણ વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે

3 નો પરિબળ બનાવવા માટે, તમારે એકમને ત્રણ વખત પુનરાવર્તિત કરવાની જરૂર છે

અહીંથી અમારી પાસે છે ગુણાકારની બીજી વ્યાખ્યા: ગુણાકાર એ એક એવી ક્રિયા છે કે જેમાં એક ગુણક અને એકમનું પરિબળ બને છે તેવી જ રીતે ઉત્પાદન બને છે.

કામની મુખ્ય મિલકત

ઉત્પાદકોના ક્રમમાં ફેરફારને કારણે ઉત્પાદન બદલાતું નથી.

પુરાવો. 7 ને 3 વડે ગુણાકાર કરવો એટલે 7 ને ત્રણ વાર પુનરાવર્તિત કરવું. 7 ને 7 એકમોના સરવાળા સાથે બદલીને અને તેને ઊભી ક્રમમાં દાખલ કરીને, અમારી પાસે છે:

આમ, બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, આપણે બે ઉત્પાદકોમાંથી કોઈ એકને ગુણક તરીકે ગણી શકીએ. આ આધારે, ઉત્પાદકોને કહેવામાં આવે છે પરિબળોઅથવા માત્ર ગુણક.

ગુણાકારની સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ સમાન શબ્દો ઉમેરવાની છે; પરંતુ જો ઉત્પાદકો મોટા હોય, તો આ તકનીક લાંબી ગણતરીઓ તરફ દોરી જાય છે, તેથી ગણતરી પોતે જ અલગ રીતે ગોઠવાય છે.

એક અંકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર. પાયથાગોરિયન ટેબલ

બે સિંગલ-અંકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે એક સંખ્યાને ઉમેરણ તરીકે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત કરવાની જરૂર છે જેટલી બીજી સંખ્યા એકમો ધરાવે છે, અને તેમનો સરવાળો શોધો. પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરવાથી એકલ-અંકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર થાય છે, તેથી તેઓ જોડીમાં તમામ એક-અંકની સંખ્યાઓના ઉત્પાદનોનું કોષ્ટક બનાવે છે. જોડીમાં એકલ-અંકની સંખ્યાઓના તમામ ઉત્પાદનોના આવા કોષ્ટકને કહેવામાં આવે છે ગુણાકાર કોષ્ટક.

તેની શોધ ગ્રીક ફિલસૂફ પાયથાગોરસને આભારી છે, જેના પછી તેને કહેવામાં આવે છે. પાયથાગોરિયન ટેબલ. (પાયથાગોરસનો જન્મ 569 બીસીની આસપાસ થયો હતો).

આ કોષ્ટક બનાવવા માટે, તમારે આડી હરોળમાં પ્રથમ 9 નંબરો લખવાની જરૂર છે:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

પછી આ રેખા હેઠળ તમારે સંખ્યાઓની શ્રેણી પર હસ્તાક્ષર કરવાની જરૂર છે જે આ સંખ્યાઓના ગુણાંકને 2 દ્વારા વ્યક્ત કરે છે. જ્યારે પ્રથમ લાઇનમાં આપણે દરેક સંખ્યાને પોતાની સાથે ઉમેરીશું ત્યારે સંખ્યાઓની આ શ્રેણી પ્રાપ્ત થશે. નંબરોની બીજી લીટીમાંથી આપણે ક્રમિક રીતે 3, 4 વગેરે તરફ આગળ વધીએ છીએ. દરેક અનુગામી લીટી તેમાં પ્રથમ લીટીની સંખ્યાઓ ઉમેરીને પહેલાની લીટીમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

લીટી 9 સુધી આ કરવાનું ચાલુ રાખીને, આપણને નીચેના સ્વરૂપમાં પાયથાગોરિયન ટેબલ મળે છે

બે સિંગલ-અંકની સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શોધવા માટે આ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે પ્રથમ આડી પંક્તિમાં એક ઉત્પાદક શોધવાની જરૂર છે, અને બીજાને પ્રથમ ઊભી કૉલમમાં; પછી જરૂરી ઉત્પાદન સંબંધિત કૉલમ અને પંક્તિના આંતરછેદ પર હશે. આમ, ઉત્પાદન 6 × 7 = 42 6ઠ્ઠી પંક્તિ અને 7મી સ્તંભના આંતરછેદ પર છે. શૂન્ય અને સંખ્યા અને સંખ્યા અને શૂન્યનું ઉત્પાદન હંમેશા શૂન્ય ઉત્પન્ન કરે છે.

સંખ્યાને 1 વડે ગુણાકાર કરવાથી સંખ્યા પોતે જ મળે છે અને અવયવોના ક્રમમાં ફેરફાર કરવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી, બે સિંગલ-અંકની સંખ્યાઓના તમામ વિવિધ ઉત્પાદનો કે જેના પર તમારે ધ્યાન આપવું જોઈએ તે નીચેના કોષ્ટકમાં સમાયેલ છે:

આ કોષ્ટકમાં સમાવિષ્ટ સિંગલ-ડિજિટ નંબરોની પ્રોડક્ટ્સ ડેટામાંથી મેળવવામાં આવે છે જો માત્ર તેમાંના પરિબળનો ક્રમ બદલાયો હોય; આમ 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

બહુ-અંકની સંખ્યાને એક-અંકની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવી

સંખ્યા 8094 ને 3 વડે ગુણાકાર કરવો એ ગુણાંક હેઠળ ગુણક પર સહી કરીને, ડાબી બાજુએ ગુણાકારનું ચિહ્ન મૂકીને અને ઉત્પાદનને અલગ કરવા માટે એક રેખા દોરવા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

બહુ-અંકની સંખ્યા 8094 ને 3 વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ છે ત્રણ સમાન પદોનો સરવાળો શોધવો

તેથી, ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે બહુ-અંકની સંખ્યાના તમામ ઓર્ડરને ત્રણ વખત પુનરાવર્તિત કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, 3 એકમ, દસ, સેંકડો, વગેરે વડે ગુણાકાર કરો. ઉમેરણ એકથી શરૂ થાય છે, તેથી, ગુણાકાર એકથી શરૂ થવો જોઈએ, અને પછી ખસેડો જમણા હાથથી ડાબેથી ઉચ્ચ ઓર્ડર એકમો.

આ કિસ્સામાં, ગણતરીઓની પ્રગતિ મૌખિક રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

અમે એકમો સાથે ગુણાકાર શરૂ કરીએ છીએ: 3 × 4 બરાબર 12, અમે એકમો હેઠળ 2 પર સહી કરીએ છીએ, અને એકમ (1 દસ) ને પરિબળ દ્વારા આગામી ક્રમના ઉત્પાદન પર લાગુ કરીએ છીએ (અથવા તેને આપણા મનમાં યાદ રાખીએ છીએ).

દસનો ગુણાકાર: 3 × 9 બરાબર 27, પરંતુ તમારા માથામાં 1 બરાબર 28 છે; અમે અમારા માથામાં દસ 8 અને 2 પર સહી કરીએ છીએ.

સેંકડોનો ગુણાકાર: શૂન્યને 3 વડે ગુણાકાર કરવાથી શૂન્ય મળે છે, પરંતુ તમારા માથામાં 2 બરાબર 2 થાય છે, અમે સેંકડોની નીચે 2 પર સહી કરીએ છીએ.

હજારોનો ગુણાકાર: 3 × 8 = 24, અમે સંપૂર્ણપણે 24 પર સહી કરીએ છીએ, કારણ કે અમારી પાસે નીચેના ઓર્ડર નથી.

આ ક્રિયા લેખિતમાં વ્યક્ત કરવામાં આવશે:

અગાઉના ઉદાહરણ પરથી આપણે અનુમાન કરીએ છીએ આગામી નિયમ. બહુ-અંકની સંખ્યાને એક-અંકની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે જરૂર છે:

ગુણાકારના એકમો હેઠળ ગુણક પર સહી કરો, ડાબી બાજુએ ગુણાકારનું ચિહ્ન મૂકો અને એક રેખા દોરો.

સરળ એકમો સાથે ગુણાકાર શરૂ કરો, પછી, જમણા હાથથી ડાબી તરફ ખસેડો, ક્રમિક રીતે દસ, સેંકડો, હજારો, વગેરેનો ગુણાકાર કરો.

જો, ગુણાકાર દરમિયાન, ઉત્પાદનને એક-અંકની સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તો તે ગુણાકારના ગુણાકારના અંક હેઠળ સહી થયેલ છે.

જો ઉત્પાદનને બે-અંકની સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તો તે જ કૉલમ હેઠળ એકમોના અંક પર હસ્તાક્ષર કરવામાં આવે છે, અને પરિબળ દ્વારા આગામી ક્રમના ઉત્પાદનમાં દસ અંક ઉમેરવામાં આવે છે.

સંપૂર્ણ ઉત્પાદન પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી ગુણાકાર ચાલુ રહે છે.

સંખ્યાઓનો 10, 100, 1000 વડે ગુણાકાર...

સંખ્યાઓને 10 વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ એ છે કે સરળ એકમોને દસમાં, દસને સેંકડોમાં ફેરવવું વગેરે, એટલે કે તમામ સંખ્યાઓનો ક્રમ એક વડે વધારવો. આ જમણી બાજુએ એક શૂન્ય ઉમેરીને પ્રાપ્ત થાય છે. 100 વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ થાય છે કે જે બે એકમો દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેના તમામ ક્રમમાં વધારો થાય છે, એટલે કે, એકમોને સેંકડોમાં, દસને હજારોમાં, વગેરે.

આ સંખ્યામાં બે શૂન્ય ઉમેરીને પ્રાપ્ત થાય છે.

અહીંથી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ:

પૂર્ણાંકને 10, 100, 1000 અને સામાન્ય રીતે શૂન્ય સાથે 1 વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે પરિબળમાં જેટલા શૂન્ય છે તેટલા જમણી બાજુએ સોંપવાની જરૂર છે.

6035 નંબરનો 1000 વડે ગુણાકાર લેખિતમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

જ્યારે ગુણક એ ​​શૂન્યમાં સમાપ્ત થતી સંખ્યા હોય, ત્યારે ગુણાકાર હેઠળ માત્ર નોંધપાત્ર અંકો જ સહી કરવામાં આવે છે, અને ગુણકના શૂન્યને જમણી બાજુએ ઉમેરવામાં આવે છે.

2039 ને 300 વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેને 300 વખત ઉમેરીને 2029 નંબર લેવાની જરૂર છે. 300 પદો લેવા એ ત્રણ ગુણ્યા 100 પદ અથવા 100 ગુણ્યા ત્રણ પદ લેવા સમાન છે. આ કરવા માટે, આપણે સંખ્યાને 3 વડે અને પછી 100 વડે ગુણાકાર કરીએ અથવા પહેલા 3 વડે ગુણાકાર કરીએ અને પછી જમણી બાજુએ બે શૂન્ય ઉમેરીએ.

ગણતરીની પ્રગતિ લેખિતમાં દર્શાવવામાં આવશે:

નિયમ. શૂન્ય સાથેના અંક દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે પહેલા નોંધપાત્ર અંક દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ગુણાકારનો ગુણાકાર કરવો જોઈએ અને પછી ગુણકમાં જેટલા શૂન્ય છે તેટલા ઉમેરો.

બહુ-અંકની સંખ્યાને બહુ-અંકની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવી

બહુ-અંકની સંખ્યા 3029 ને બહુ-અંક 429 વડે ગુણાકાર કરવા અથવા ઉત્પાદન 3029 * 429 શોધવા માટે, તમારે 3029 ઉમેરણને 429 વખત પુનરાવર્તિત કરવાની અને સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. 3029 ને 429 વખત શબ્દો સાથે પુનરાવર્તિત કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને પ્રથમ 9, પછી 20 અને છેલ્લે 400 વખત શબ્દો સાથે પુનરાવર્તન કરવું. તેથી, 3029 ને 429 વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે 3029 ને પહેલા 9 વડે, પછી 20 વડે અને અંતે 400 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને આ ત્રણેય ઉત્પાદનોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે.

ત્રણ કામ

કહેવાય છે ખાનગી કામો.

કુલ ઉત્પાદન 3029 × 429 ત્રણ અવશેષોના સરવાળા સમાન છે:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

ચાલો આ ત્રણ આંશિક ઉત્પાદનોના મૂલ્યો શોધીએ.

3029 ને 9 વડે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને મળે છે:

3029 ×9 27261 પ્રથમ ખાનગી કામ

3029 ને 20 વડે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને મળે છે:

3029 × 20 60580 સેકન્ડ ચોક્કસ કામ

3026 ને 400 વડે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને મળે છે:

3029 × 400 1211600 તૃતીય આંશિક કાર્ય

આ આંશિક ઉત્પાદનો ઉમેરવાથી, અમને ઉત્પાદન 3029 × 429 મળે છે:

એ નોંધવું મુશ્કેલ નથી કે આ તમામ આંશિક ઉત્પાદનો 3029 નંબરના ઉત્પાદનો છે એક અંકની સંખ્યા 9, 2, 4, અને એક શૂન્ય બીજા ગુણાંકમાં ઉમેરવામાં આવે છે, જે દસ વડે ગુણાકારના પરિણામે અને ત્રીજામાં બે શૂન્ય થાય છે.

આંશિક ઉત્પાદનોને સોંપેલ શૂન્ય ગુણાકાર દરમિયાન અવગણવામાં આવે છે અને ગણતરીની પ્રગતિ લેખિતમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

આ કિસ્સામાં, જ્યારે 2 વડે ગુણાકાર કરો (ગુણાકારનો દસ અંક), દસની નીચે 8 ની નિશાની કરો અથવા એક અંક વડે ડાબી બાજુ ખસેડો; જ્યારે સેંકડો અંક 4 વડે ગુણાકાર કરો, ત્યારે ત્રીજા સ્તંભમાં સાઇન 6 કરો અથવા 2 અંક વડે ડાબી બાજુ ખસેડો. સામાન્ય રીતે, દરેક ચોક્કસ કાર્ય પર જમણા હાથથી ડાબી તરફ હસ્તાક્ષર કરવાનું શરૂ થાય છે, જે ક્રમમાં ગુણાકાર અંકનો હોય છે.

209 દ્વારા 3247 નું ઉત્પાદન શોધી રહ્યાં છીએ, અમારી પાસે છે:

અહીં આપણે ત્રીજા કૉલમ હેઠળ બીજા ભાગના ગુણાંક પર સહી કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ, કારણ કે તે ગુણકનો ત્રીજો અંક 3247 બાય 2 ના ગુણાંકને વ્યક્ત કરે છે.

અહીં આપણે ફક્ત બે શૂન્યને છોડી દીધા છે, જે બીજા આંશિક ઉત્પાદનમાં દેખાવા જોઈએ, કારણ કે તે સંખ્યાના ગુણને 2 સેંકડો અથવા 200 દ્વારા વ્યક્ત કરે છે.

જે કહેવામાં આવ્યું છે તેમાંથી, અમે એક નિયમ મેળવીએ છીએ. બહુ-અંકની સંખ્યાને બહુ-અંકની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવા માટે,

તમારે ગુણાકાર હેઠળ ગુણાકાર પર સહી કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને સમાન ઓર્ડરની સંખ્યાઓ સમાન ઊભી કૉલમમાં હોય, ડાબી બાજુએ ગુણાકારનું ચિહ્ન મૂકો અને એક રેખા દોરો.

ગુણાકાર સરળ એકમોથી શરૂ થાય છે, પછી જમણા હાથથી ડાબી તરફ ખસે છે, ક્રમિક ગુણાકાર અને દસ, સેંકડો, વગેરેના અંકથી ગુણાકાર કરે છે અને ગુણકમાં નોંધપાત્ર અંકો હોય તેટલા આંશિક ઉત્પાદનો બનાવે છે.

દરેક આંશિક ઉત્પાદનના એકમો કૉલમ હેઠળ સહી કરેલ છે જેમાં ગુણકનો અંક છે.

આ રીતે મળેલ તમામ આંશિક ઉત્પાદનોને એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે અને કુલ ઉત્પાદન મેળવવામાં આવે છે.

શૂન્યમાં સમાપ્ત થતા પરિબળ દ્વારા બહુ-અંકની સંખ્યાને ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અવયવમાંના શૂન્યને કાઢી નાખવાની જરૂર છે, બાકીની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો અને પછી અવયવમાં જેટલા શૂન્ય છે તેટલા ગુણાંકમાં ઉમેરો.

ઉદાહરણ. 342 બાય 2700 નું ઉત્પાદન શોધો.

જો ગુણાકાર અને ગુણક બંને શૂન્યમાં સમાપ્ત થાય છે, તો ગુણાકાર દરમિયાન તેઓ કાઢી નાખવામાં આવે છે અને પછી ઉત્પાદનમાં જેટલા શૂન્ય ઉમેરવામાં આવે છે તેટલા બંને ઉત્પાદકોમાં સમાયેલ છે.

ઉદાહરણ. 35000 વડે 2700 ના ગુણાંકની ગણતરી કરીને, આપણે 27 ને 35 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ

945 માં પાંચ શૂન્ય ઉમેરીને, અમે ઇચ્છિત ઉત્પાદન મેળવીએ છીએ:

2700 × 35000 = 94500000.

ઉત્પાદનના અંકોની સંખ્યા. ઉત્પાદન 3728 × 496 ના અંકોની સંખ્યા નીચે પ્રમાણે નક્કી કરી શકાય છે. આ ગુણાંક 3728 × 100 કરતાં વધુ અને 3728 × 1000 કરતાં ઓછો છે. પ્રથમ ગુણાંક 6 ના અંકોની સંખ્યા ગુણાકાર અને 3728 માં અંકોની સંખ્યા જેટલી છે અને એક વિના અવયવ 496 માં. બીજા ગુણાંક 7 ના અંકોની સંખ્યા ગુણાકાર અને ગુણકમાં અંકોની સંખ્યા જેટલી છે. 3728 × 496 ના આપેલ ઉત્પાદનમાં 6 કરતા ઓછા અંકો હોઈ શકતા નથી (ઉત્પાદનના અંકોની સંખ્યા 3728 × 100 છે, અને 7 થી વધુ છે (ઉત્પાદનના અંકોની સંખ્યા 3728 × 1000 છે).

જ્યાં આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ: કોઈપણ ઉત્પાદનના અંકોની સંખ્યા કાં તો ગુણાકાર અને અવયવમાં અંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે અથવા એકમ વિના આ સંખ્યા જેટલી હોય છે.

અમારા ઉત્પાદનમાં 7 અથવા 6 અંકો હોઈ શકે છે.

ડિગ્રીઓ

વિવિધ કાર્યોમાં, જેમાં નિર્માતાઓ સમાન હોય છે તે વિશેષ ધ્યાનને પાત્ર છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે:

2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.

ચોરસ. બે સમાન અવયવોના ગુણાંકને સંખ્યાનો વર્ગ કહેવામાં આવે છે.

અમારા ઉદાહરણોમાં, 4 ચોરસ 2 છે, 9 ચોરસ 3 છે.

સમઘન. ત્રણ સમાન અવયવોના ઉત્પાદનને સંખ્યાનું ઘન કહેવામાં આવે છે.

તેથી, ઉદાહરણોમાં 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, સંખ્યા 8 એ 2 નું ઘન છે, 27 એ 3 નું ઘન છે.

બિલકુલ અનેક સમાન પરિબળોનું ઉત્પાદન કહેવાય છેસંખ્યાની શક્તિ . સમાન પરિબળોની સંખ્યા પરથી શક્તિઓ તેમના નામ મેળવે છે.

બે સમાન પરિબળોના ઉત્પાદનો અથવા ચોરસકહેવાય છે બીજી ડિગ્રી.

ત્રણ સમાન પરિબળોના ઉત્પાદનો અથવા સમઘનકહેવાય છે ત્રીજી ડિગ્રી, વગેરે