હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ગતિનું સમીકરણ. આદર્શ હાર્મોનિક ઓસિલેટર

શરીર કે જે, જ્યારે ખસેડતી વખતે, હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે તેને હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવામાં આવે છે. ચાલો હાર્મોનિક ઓસિલેટરના સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. સ્પ્રિંગ લોલક એ સમૂહનું શરીર છેm, વજનહીન સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા હેઠળ ઓસીલેટ કરવામાં સક્ષમ (m ઝરણા  m શરીર ) ઝરણા (ફિગ. 4.2).

ટી

ફિગ.4.3. ભૌતિક લોલક.

ઉદાહરણ 2. ભૌતિક લોલક એ એક કઠોર શરીર છે જે ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ ફરતા આડી અક્ષની આસપાસ ફરે છે જે તેના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર C (ફિગ. 4. 3) સાથે સુસંગત નથી. અક્ષ O બિંદુ પરથી પસાર થાય છે. જો લોલકને સંતુલન સ્થિતિથી નાના કોણ  દ્વારા વિચલિત કરવામાં આવે છે અને છોડવામાં આવે છે, તો તે કઠોર શરીરની રોટેશનલ ગતિની ગતિશીલતા માટેના મૂળભૂત સમીકરણને અનુસરીને ઓસીલેટ થશે.
, ક્યાં જે- જડતાની ક્ષણઅક્ષની સાપેક્ષમાં લોલક, M એ ભૌતિક લોલકને સંતુલન સ્થિતિ પર પાછા ફરતી બળની ક્ષણ છે. તે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું છે, તેની ક્ષણ સમાન છે
(l=OS). પરિણામે આપણને મળે છે
. આ માટે વિભેદક કંપન સમીકરણ છે મનસ્વી ખૂણાવિચલનો નાના ખૂણા પર, જ્યારે
,
અથવા, લેવું
, આપણે ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ
.
તેના ઉકેલોનું સ્વરૂપ છે
અથવા
અને સમયગાળો
.

. આમ, સંતુલન સ્થિતિમાંથી નાના વિચલનો માટે, ભૌતિક લોલક ચક્રીય આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે ઉદાહરણ 3.mગાણિતિક લોલક એ દળ સાથેનો પદાર્થ બિંદુ છેm(નાના કદનો ભારે બોલ), વજન વિનાના પર સસ્પેન્ડ (ની સરખામણીમાંl. બોલ), સ્થિતિસ્થાપક, અક્ષમ થ્રેડ લાંબો ભૌતિક બિંદુની જડતાની ક્ષણ J = ml 2, પછી ભૌતિક લોલક માટેના સૂત્રોમાંથી આપણે ગાણિતિક લોલકના ચક્રીય આવર્તન અને ઓસિલેશનના સમયગાળા માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવીએ છીએ.

,
.

4. 4. ભીના થયેલા ઓસિલેશન. @

હાર્મોનિક ઓસિલેશનના માનવામાં આવેલા ઉદાહરણોમાં, એકમાત્ર બળ કાર્ય કરે છે સામગ્રી બિંદુ(શરીર), હતું અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ F અને કોઈપણ વાસ્તવિક સિસ્ટમમાં હાજર રહેલા પ્રતિકારક દળોને ધ્યાનમાં લીધા નથી. તેથી, માનવામાં આવતા ઓસિલેશનને આદર્શ અનડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કહી શકાય.

વાસ્તવિક ઓસીલેટરી સિસ્ટમમાં પર્યાવરણમાંથી પ્રતિકારક શક્તિની હાજરી સિસ્ટમની ઊર્જામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. જો બાહ્ય દળોના કાર્ય દ્વારા ઊર્જાની ખોટ ફરી ભરાઈ ન જાય, તો ઓસિલેશન્સ મરી જશે. ડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન્સ તે છે જેનું કંપનવિસ્તાર સમય સાથે ઘટે છે.

ચાલો મુક્ત ભીના ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લઈએ. ઓછી ઝડપે, ડ્રેગ ફોર્સ F C ઝડપ v ના પ્રમાણસર હોય છે અને દિશામાં તેનાથી વિપરીત પ્રમાણસર હોય છે.
, જ્યાં આર - ખેંચો ગુણાંકપર્યાવરણ ઉપયોગ કરીને ન્યુટનનો બીજો નિયમ, આપણે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ ભીના ઓસિલેશન
,
,
. ચાલો સૂચિત કરીએ
,
. પછી વિભેદક સમીકરણ ફોર્મ લે છે:

ફિગ.4.4. સમયસર ભીના ઓસિલેશનના વિસ્થાપન અને કંપનવિસ્તારની અવલંબન.

આ ભીના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ છે. અહીં  0 એ સિસ્ટમના ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન છે, એટલે કે. r=0,  પર મુક્ત ઓસિલેશનની આવર્તન - ભીનાશ ગુણાંક કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડાનો દર નક્કી કરે છે.  0 શરત હેઠળ આ સમીકરણના ઉકેલો છે

અથવા
.

છેલ્લા કાર્યનો આલેખ આકૃતિ 4.4 માં દર્શાવેલ છે. ઉપલા ડોટેડ લાઇન ફંક્શનનો ગ્રાફ આપે છે
, A 0 - માં કંપનવિસ્તાર પ્રારંભિક ક્ષણસમય ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર કંપનવિસ્તાર સમય જતાં ઘટે છે,  - એટેન્યુએશન ગુણાંક તીવ્રતામાં વ્યસ્ત છે આરામનો સમય , એટલે કે સમય કે જે દરમિયાન કંપનવિસ્તાર e વખત દ્વારા ઘટે છે, ત્યારથી

,
,  = 1, . ભીના ઓસિલેશનની આવર્તન અને સમયગાળો
,
; માધ્યમના ખૂબ ઓછા પ્રતિકાર પર ( 2  0 2), ઓસિલેશન સમયગાળો લગભગ સમાન છે
.

જેમ જેમ  વધે છે તેમ, ઓસિલેશનનો સમયગાળો વધે છે અને > 0 પર, વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ દર્શાવે છે કે ઓસિલેશન થતું નથી, પરંતુ સંતુલન સ્થિતિ તરફ સિસ્ટમની એકવિધ હિલચાલ થાય છે. આ પ્રકારની ગતિને એપિરીયોડિક કહેવામાં આવે છે. ઓસિલેશનના એટેન્યુએશનના દરને દર્શાવવા માટે, વધુ બે પરિમાણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ડેમ્પિંગ ડીક્રમેન્ટ ડી અને . લઘુગણક ઘટાડો

ભીનાશમાં ઘટાડો દર્શાવે છે કે એક પીરિયડ T દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર કેટલી વખત ઘટે છે.

એન

કારણ કે , તે
, જ્યાં N એ સમય દીઠ ઓસિલેશનની સંખ્યા છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું ઓસિલેશન હાર્મોનિક ઓસિલેટરકહેવાય છે ભૌતિક પદાર્થ, જેની ઉત્ક્રાંતિ સમય જતાં વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

જ્યાં q- હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સામાન્યકૃત સંકલન, t- સમય, ? - હાર્મોનિક ઓસિલેટરની લાક્ષણિક આવર્તન. ચલની ઉપરના બે બિંદુઓ સમયના સંદર્ભમાં બીજા ડેરિવેટિવને સૂચવે છે. તીવ્રતા qહાર્મોનિક ઓસિલેશન કરી રહ્યા છે.
હાર્મોનિક ઓસિલેટર વગાડવાની સમસ્યા કેન્દ્રીય ભૂમિકાબંને શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્ર.
મોટી માત્રામાં ભૌતિક સિસ્ટમોસંતુલનમાંથી નાના વિચલનો સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેટર જેવું વર્તન કરો. આમાં ગાણિતિક અને ભૌતિક લોલક, પરમાણુઓમાં અણુઓના સ્પંદનો અને ઘન, ઇલેક્ટ્રિકલ ઓસીલેટરી સર્કિટ અને અન્ય ઘણા.
લોલકના નાના ઓસિલેશન હાર્મોનિક છે

એનર્જી, લેગ્રેન્જ અને હેમિલ્ટન ફંક્શન
ગતિ ઊર્જાહાર્મોનિક ઓસિલેટર અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે

હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સંભવિત ઊર્જા અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે

તદનુસાર, કિંમત ધ્યાનમાં qસામાન્યકૃત સંકલન, હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું લેગ્રેન્જ ફંક્શન લખેલું છે

.

સામાન્યકૃત આવેગ

હેમિલ્ટન કાર્ય

.

દબાણયુક્ત સ્પંદનો
આવર્તન સાથે બાહ્ય સામયિક બળના પ્રભાવ હેઠળ જે હાર્મોનિક ઓસિલેટરની કુદરતી આવર્તન સાથે સુસંગત નથી, ઓસિલેટર હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે, જેનું કંપનવિસ્તાર મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. બાહ્ય બળઅને બાહ્ય આવર્તન અને ઓસિલેટરની કુદરતી આવર્તનનો ગુણોત્તર.
આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેટરના દબાણયુક્ત ઓસિલેશન? 0 સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ આવર્તન સાથે બળના પ્રભાવ હેઠળ?

જ્યાં f 0 - બાહ્ય બળનું કંપનવિસ્તાર.
બળજબરીપૂર્વકના ઓસિલેશનનું વર્ણન કરતા આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે

.

બાહ્ય બળના પ્રભાવ હેઠળ હાર્મોનિક ઓસિલેટર કંપનવિસ્તાર સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે . જ્યારે કંપનવિસ્તાર દબાણયુક્ત ઓસિલેશનઅનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ ઘટનાને રેઝોનન્સ કહેવામાં આવે છે.
હાર્મોનિક ઓસિલેટરએટેન્યુએશન સાથે
જ્યારે અન્ય પ્રકારના ઘર્ષણ અથવા પ્રતિકારના દળોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જે ઓસિલેટર ઊર્જાના વિસર્જન અને તેના ગરમીમાં રૂપાંતર તરફ દોરી જાય છે, ત્યારે હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સમીકરણ બદલાય છે. ખાસ કરીને, એક ખૂબ જ સામાન્ય કિસ્સો એ છે કે જ્યારે પ્રતિકારક દળો જથ્થાના ફેરફારના દરના પ્રમાણસર હોય છે. qપછી હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

આવા ઓસિલેશન્સ કાયદા અનુસાર સમય જતાં ક્ષીણ થાય છે

ભીનાશ સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ફોર્સ્ડ ઓસિલેશન
સામયિક બાહ્ય બળની ક્રિયા હેઠળ, એટેન્યુએશન સાથે પણ, ઓસિલેટર માટે એક કંપનવિસ્તાર સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન સ્થાપિત થાય છે જે લાગુ બળ, આવર્તન ગુણોત્તર અને એટેન્યુએશનની માત્રા પર પણ આધાર રાખે છે.
દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, ભીનાશને ધ્યાનમાં લેતા, સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

.

બાહ્ય બળની તમામ ફ્રીક્વન્સીઝ પર આ એક મર્યાદિત મૂલ્ય છે.
વર્ટિકલમાંથી નાના પ્રારંભિક વિચલન સાથેનું ગાણિતિક લોલક આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે

ઓસીલેટરી સર્કિટહાર્મોનિક ઓસિલેટર, આવર્તન સાથે

જ્યાં L ઇન્ડક્ટન્સ છે, C છે કેપેસિટન્સ.
વધુ વિગતો માટે ક્વોન્ટમ ઓસીલેટર જુઓ.
સ્પેક્ટ્રમ eigenvaluesઅને પોતાના કાર્યો
વેવ કાર્યોમાંથી ક્વોન્ટમ નંબરો સાથે પ્રથમ છ રાજ્યો n= 0 થી 5. હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું હેમિલ્ટોનિયન હેમિલ્ટોનિયન ફંક્શનમાં મોમેન્ટમને બદલીને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર રચાયેલ છે. પીપર

.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સ્પેક્ટ્રમ સાથે છે સ્થિર સમીકરણ Schrödinger અને સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

.

અહીં n- ક્વોન્ટમ નંબર, શૂન્યથી અનંત સુધીની રેન્જ. હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઉર્જા સ્તરો સમાન છે. લાક્ષણિક લક્ષણહાર્મોનિક ઓસીલેટર એ છે કે જમીનની સ્થિતિમાં પણ હાર્મોનિક ઓસીલેટરમાં બિન-શૂન્ય ઊર્જા હોય છે

આ ઓછી ઉર્જા કહેવાય છે શૂન્ય ઓસિલેશનની ઊર્જા.
પોતાના કાર્યોક્વોન્ટમ નંબરને અનુરૂપ હાર્મોનિક ઓસિલેટર nસૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે

,

જ્યાં, એ Hn(x)- હર્માઇટ બહુપદી.
જ્યારે પણ nહાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઇજનફંક્શન્સ જોડીમાં છે, જ્યારે નેપ્રાનુ માટે તે વિચિત્ર છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું હેમિલ્ટોનિયન રિપ્લેસમેન્ટ ઓપરેટર સાથે મુસાફરી કરે છે xપર - x(પેરિટી ઓપરેટર), અને તેથી આ ઓપરેટર સાથે સામાન્ય ઇજનફંક્શન્સ ધરાવે છે.
જન્મ અને વિનાશ સંચાલકો
જો આપણે જન્મ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરીએ

અને વિનાશ ઓપરેટર

,

.

સર્જન અને વિનાશ ઓપરેટરો પરિવર્તન સંબંધને સંતોષે છે:

હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઇજનફંક્શન્સ પછી સ્વરૂપ ધરાવે છે

અથવા, કેટ અને બ્રા વેક્ટર નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને:

સંવાદિતા ઓપરેટર પર જન્મ ઓપરેટરની કુલ કાર્યવાહી રાજ્યમાં છે | n> રાજ્યમાં સંક્રમણ તરફ દોરી જાય છે | n +1>:

રાજ્ય પર વિનાશ સંચાલકની ક્રિયા | n> રાજ્યમાં સંક્રમણ તરફ દોરી જાય છે | n-1>:

ઓપરેટર

તેને પાર્ટિકલ નંબર ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેના માટે સંબંધ ધરાવે છે.

પસંદગીના નિયમો
જ્યારે ફોટોન ઉત્સર્જિત અથવા શોષાય છે, ત્યારે હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે માન્ય સંક્રમણો તે છે જેમાં ક્વોન્ટમ નંબર n એક દ્વારા બદલાય છે. સ્તરોની સમાન પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લેતા, આ પસંદગીનો નિયમ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે, તેમ છતાં અનંત સંખ્યાસ્તરો, સ્પેક્ટ્રમમાં ઓપ્ટિકલ શોષણઅથવા આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેટરમાંથી રેડિયેશનની માત્ર એક જ રેખા છે?
પરમાણુઓના વાસ્તવિક વાઇબ્રેશનલ સ્પેક્ટ્રામાં, વાસ્તવિક આંતરપરમાણુ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંભવિતતા, ચતુર્ભુજ સંક્રમણો, વગેરેની અસંગતતાને કારણે આ નિયમમાંથી વિચલનો શક્ય છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટર

હાર્મોનિક ઓસિલેટર(શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં) - એક સિસ્ટમ કે જે, જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપિત થાય છે, ત્યારે પુનઃસ્થાપિત બળનો અનુભવ કરે છે એફ, વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસર x(હૂકના કાયદા મુજબ):

જ્યાં k- સિસ્ટમ કઠોરતા ગુણાંક.

જો એફસિસ્ટમ પર કામ કરતું એકમાત્ર બળ છે, પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સરળઅથવા રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટર. આવી સિસ્ટમના ફ્રી વાઇબ્રેશન્સ છે સામયિક ગતિસંતુલન સ્થિતિની નજીક (હાર્મોનિક સ્પંદનો). આવર્તન અને કંપનવિસ્તાર સતત છે, અને આવર્તન કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરના યાંત્રિક ઉદાહરણો ગાણિતિક લોલક (વિક્ષેપના નાના ખૂણાઓ સાથે), ટોર્સિયન લોલક અને એકોસ્ટિક સિસ્ટમ્સ છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટરના અન્ય એનાલોગમાં, તે ઇલેક્ટ્રિક હાર્મોનિક ઓસિલેટરને હાઇલાઇટ કરવા યોગ્ય છે (એલસી સર્કિટ જુઓ).

મફત સ્પંદનો

રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટર

રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટરના મોડેલ તરીકે, અમે સામૂહિક ભાર લઈએ છીએ m, કઠોરતા દ્વારા વસંત પર નિશ્ચિત k .

દો x- સંતુલન સ્થિતિને સંબંધિત ભારનું વિસ્થાપન. પછી, હૂકના કાયદા અનુસાર, પુનઃસ્થાપિત દળ તેના પર કાર્ય કરશે:

પછી કુલ ઊર્જાસતત મૂલ્ય ધરાવે છે

સરળ હાર્મોનિક ગતિ- આ એક સરળ ચળવળ છે હાર્મોનિક ઓસિલેટર, સામયિક ગતિ કે જે ન તો ફરજ પાડવામાં આવે છે કે ન તો ભીની હોય છે. સરળ હાર્મોનિક ગતિમાં શરીર એક જ ચલ બળના સંપર્કમાં આવે છે, જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં વિસ્થાપનના સીધા પ્રમાણસર હોય છે. xસંતુલન સ્થિતિથી અને વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે.

આ ચળવળ સામયિક છે: શરીર સાઇનસૉઇડલ કાયદા અનુસાર સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ ફરે છે. દરેક અનુગામી ઓસિલેશન પાછલા એક સમાન હોય છે, અને ઓસિલેશનનો સમયગાળો, આવર્તન અને કંપનવિસ્તાર સ્થિર રહે છે. જો આપણે ધારીએ કે સંતુલન સ્થિતિ સંકલન સાથેના બિંદુ પર છે, શૂન્ય બરાબર, પછી ઓફસેટ xકોઈપણ સમયે સંતુલન સ્થિતિમાંથી શરીર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

જ્યાં એ- ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, f- આવર્તન, φ - પ્રારંભિક તબક્કો.

ચળવળની આવર્તન નક્કી કરવામાં આવે છે લાક્ષણિક ગુણધર્મોસિસ્ટમ (ઉદાહરણ તરીકે, ફરતા શરીરનો સમૂહ), જ્યારે કંપનવિસ્તાર અને પ્રારંભિક તબક્કો પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે - ઓસિલેશન શરૂ થાય તે ક્ષણે શરીરનું વિસ્થાપન અને ગતિ. સિસ્ટમની ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા પણ આ ગુણધર્મો અને સ્થિતિઓ પર આધારિત છે.

સરળ હાર્મોનિક ગતિ હોઈ શકે છે ગાણિતિક મોડેલો વિવિધ પ્રકારોહલનચલન જેમ કે ઝરણાનું ઓસિલેશન. અન્ય કિસ્સાઓ કે જેને આશરે સાદી હાર્મોનિક ગતિ તરીકે ગણી શકાય તે છે લોલકની ગતિ અને પરમાણુઓના કંપન.

સરળ હાર્મોનિક ગતિ એ વધુ જટિલ પ્રકારની ગતિનું વિશ્લેષણ કરવાની કેટલીક રીતોનો આધાર છે. આમાંની એક પદ્ધતિ એ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર આધારિત પદ્ધતિ છે, જેનો સાર વધુના વિસ્તરણ સુધી ઉકળે છે. જટિલ પ્રકારસરળ હાર્મોનિક હિલચાલની શ્રેણીમાં હલનચલન.

કોઈપણ સિસ્ટમ કે જેમાં સરળ હાર્મોનિક ગતિ થાય છે તેના બે મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

1. જ્યારે સિસ્ટમને સંતુલનમાંથી બહાર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે ત્યાં એક પુનઃસ્થાપિત બળ હોવું જોઈએ જે સિસ્ટમને સંતુલનમાં પાછું લાવવાનું વલણ ધરાવે છે.
2. પુનઃસ્થાપિત બળ વિસ્થાપનના બરાબર અથવા આશરે પ્રમાણસર હોવું જોઈએ.

લોડ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમ આ બંને શરતોને સંતોષે છે.

એકવાર વિસ્થાપિત ભાર પુનઃસ્થાપિત બળને આધિન થઈ જાય, તે વેગ આપે છે અને તેની મૂળ સ્થિતિ પર પાછા ફરે છે. પ્રારંભિક બિંદુ, એટલે કે, સંતુલન સ્થિતિ માટે. જેમ જેમ ભાર સંતુલન સ્થિતિની નજીક આવે છે, તેમ પુનઃસ્થાપિત બળ ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વળે છે. જો કે, પરિસ્થિતિમાં x = 0 લોડમાં ચોક્કસ માત્રામાં ગતિ (આવેગ) હોય છે, જે પુનઃસ્થાપિત બળની ક્રિયાને કારણે પ્રાપ્ત થાય છે. તેથી, ભાર સંતુલન સ્થિતિને ઓવરશૂટ કરે છે, વસંતને ફરીથી વિકૃત કરવાનું શરૂ કરે છે (પરંતુ પહેલેથી જ વિરુદ્ધ દિશામાં). જ્યાં સુધી ઝડપ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી પુનઃસ્થાપિત બળ તેને ધીમું કરશે; અને બળ ફરીથી લોડને તેની સંતુલન સ્થિતિમાં પરત કરવાનો પ્રયત્ન કરશે.

જ્યાં સુધી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉર્જાની ખોટ ન હોય ત્યાં સુધી, ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે લોડ ઓસીલેટ થશે; આવી ચળવળને સામયિક કહેવામાં આવે છે.

વધુ વિશ્લેષણ બતાવશે કે લોડ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમના કિસ્સામાં, ગતિ સરળ હાર્મોનિક છે.

સરળ ગતિશીલતા હાર્મોનિક ગતિ

એક-પરિમાણીય અવકાશમાં સ્પંદનો માટે, ન્યૂટનના બીજા નિયમને ધ્યાનમાં લેતા ( F= m  d² x/d t² ) અને હૂકનો કાયદો ( એફ = −kx, ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ), અમારી પાસે બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ છે:

આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ sinusoidal છે; એક ઉકેલ છે:

જ્યાં એ, ω અને φ - સ્થિરાંકો, અને સંતુલન સ્થિતિ પ્રારંભિક એક તરીકે લેવામાં આવે છે. આમાંના દરેક સ્થિરાંકો એક મહત્વપૂર્ણ રજૂ કરે છે ભૌતિક મિલકતહલનચલન: એકંપનવિસ્તાર છે, ω = 2π f- પરિપત્ર આવર્તન, અને φ - પ્રારંભિક તબક્કો.

સાર્વત્રિક પરિપત્ર ગતિ

સરળ હાર્મોનિક ગતિને કેટલાક કિસ્સાઓમાં સાર્વત્રિક પરિપત્ર ગતિના એક-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણ તરીકે ગણી શકાય. જો કોઈ પદાર્થ ત્રિજ્યાના વર્તુળ સાથે સતત કોણીય વેગ ω સાથે આગળ વધે છે આર, જેનું કેન્દ્ર પ્લેનનું મૂળ છે x−y, પછી દરેક સાથે આવી ચળવળ સંકલન અક્ષોકંપનવિસ્તાર સાથે સરળ હાર્મોનિક છે આરઅને ગોળ આવર્તન ω.

સાદા લોલક જેવું વજન

નાના ખૂણાઓના અંદાજમાં, સરળ લોલકની ગતિ સરળ હાર્મોનિકની નજીક છે. લંબાઈના સળિયા સાથે જોડાયેલા આવા લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો ℓ પ્રવેગક સાથે મફત પતન gસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

આ દર્શાવે છે કે ઓસિલેશનનો સમયગાળો લોલકના કંપનવિસ્તાર અને સમૂહ પર આધારિત નથી, પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે. gતેથી, લોલકની સમાન લંબાઈ સાથે, ચંદ્ર પર તે વધુ ધીમેથી સ્વિંગ કરશે, કારણ કે ત્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ નબળું છે અને ઓછું મૂલ્યમફત પતન પ્રવેગક.

આ અંદાજ માત્ર નાના વિચલન કોણ માટે સાચો છે, કારણ કે કોણીય પ્રવેગ માટે અભિવ્યક્તિ કોઓર્ડિનેટની સાઈનના પ્રમાણસર છે:

તે શું કરે છે કોણીય પ્રવેગકકોણ θ માટે સીધા પ્રમાણસર છે, અને આ સરળ હાર્મોનિક ગતિની વ્યાખ્યાને સંતોષે છે.

ભીના હાર્મોનિક ઓસિલેટર

સમાન મોડલને આધાર તરીકે લઈને, અમે તેમાં ચીકણું ઘર્ષણનું બળ ઉમેરીશું. સ્નિગ્ધ ઘર્ષણનું બળ માધ્યમની તુલનામાં લોડની હિલચાલની ગતિ સામે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તે આ ગતિના પ્રમાણસર છે. પછી સંપૂર્ણ તાકાત, લોડ પર અભિનય, નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

સમાન ક્રિયાઓ હાથ ધરવાથી, અમે વર્ણન કરતું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ ભીના ઓસિલેટર:

અહીં હોદ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યો છે: . ગુણાંકને એટેન્યુએશન કોન્સ્ટન્ટ કહેવામાં આવે છે. તે આવર્તનનું પરિમાણ પણ ધરાવે છે.

ઉકેલ ત્રણ કેસોમાં વિભાજિત થાય છે.

ક્રિટિકલ ડેમ્પિંગ એ નોંધપાત્ર છે કે તે જટિલ ભીનાશ પર છે કે ઓસિલેટર સૌથી ઝડપથી સંતુલન સ્થિતિ તરફ વળે છે. જો ઘર્ષણ નિર્ણાયક કરતાં ઓછું હોય, તો તે ઝડપથી સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચશે, પરંતુ જડતાને કારણે તેને "ઓવરશૂટ" કરશે અને ઓસીલેટ થશે. જો ઘર્ષણ નિર્ણાયક કરતા વધારે હોય, તો ઓસિલેટર સંતુલન સ્થિતિ તરફ ત્વરિત રીતે વલણ ધરાવે છે, પરંતુ વધુ ધીમેથી, ઘર્ષણ વધારે છે.

તેથી, ડાયલ સૂચકાંકોમાં (ઉદાહરણ તરીકે, એમીટરમાં), તેઓ સામાન્ય રીતે નિર્ણાયક એટેન્યુએશન રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે જેથી તેના રીડિંગ્સ શક્ય તેટલી ઝડપથી વાંચી શકાય.

ઓસિલેટરનું ભીનાશ પણ ઘણીવાર પરિમાણહીન પરિમાણ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેને ગુણવત્તા પરિબળ કહેવાય છે. ગુણવત્તા પરિબળ સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, ગુણવત્તા પરિબળ સમાન છે:

ગુણવત્તા પરિબળ જેટલું ઊંચું હશે, ઓસિલેટર ઓસિલેશનનો ક્ષય ધીમો થશે.

ક્રિટિકલ ડેમ્પિંગવાળા ઓસિલેટરમાં 0.5 નું ગુણવત્તા પરિબળ હોય છે. તદનુસાર, ગુણવત્તા પરિબળ ઓસિલેટરની વર્તણૂક સૂચવે છે. જો ગુણવત્તા પરિબળ 0.5 કરતા વધારે હોય, તો ઓસિલેટરની મુક્ત હિલચાલ ઓસિલેશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; સમય જતાં, તે અમર્યાદિત સંખ્યામાં સંતુલન સ્થિતિને પાર કરશે. ગુણવત્તા પરિબળ 0.5 કરતા ઓછું અથવા બરાબર ઓસીલેટરની બિન-ઓસીલેટરી ગતિને અનુરૂપ છે; વી મફત ચળવળતે એક જ સમયે સંતુલન સ્થિતિને પાર કરશે.

ગુણવત્તા પરિબળને કેટલીકવાર ઓસિલેટરનું ગેઇન ફેક્ટર કહેવામાં આવે છે, કારણ કે ઉત્તેજનાની કેટલીક પદ્ધતિઓ સાથે, જ્યારે ઉત્તેજના આવર્તન રેઝોનન્ટ સાથે એકરુપ હોય છે, ત્યારે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઓછી આવર્તન પર ઉત્તેજિત કરતાં લગભગ ગણું વધારે હોય છે.

ઉપરાંત, ગુણવત્તા પરિબળ એ ઓસીલેટરી ચક્રની સંખ્યા જેટલો લગભગ સમાન છે જે દરમિયાન ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર એક પરિબળ દ્વારા ઘટે છે, દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

કિસ્સામાં ઓસીલેટરી ગતિએટેન્યુએશન પણ આવા પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે જેમ કે:

• જીવન સમયસ્પંદનો (ઉર્ફ સડો સમય, તે સમાન છે આરામનો સમય) τ - સમય કે જે દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટશે ઇએકવાર

દબાણયુક્ત સ્પંદનો

ઓસિલેટર ઓસિલેશનને ફરજિયાત કહેવામાં આવે છે જ્યારે તેના પર કેટલાક વધારાના બાહ્ય પ્રભાવ લાગુ કરવામાં આવે છે. આ અસર પેદા કરી શકાય છે વિવિધ માધ્યમો દ્વારાઅને દ્વારા વિવિધ કાયદા. ઉદાહરણ તરીકે, બળ ઉત્તેજના એ બળના ભાર પરની અસર છે જે ચોક્કસ કાયદા અનુસાર માત્ર સમય પર આધારિત છે. કાઇનેમેટિક ઉત્તેજના એ સ્પ્રિંગ જોડાણ બિંદુની હિલચાલ દ્વારા ઓસિલેટર પરની અસર છે આપેલ કાયદો. ઘર્ષણથી પ્રભાવિત થવું પણ શક્ય છે, જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, જે માધ્યમ સાથે લોડ ઘર્ષણ અનુભવે છે તે આપેલ કાયદા અનુસાર આગળ વધે છે.

ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં શોધો. તે જ સમયે, નવા ઉપકરણો અને ઉપકરણોની શોધ કરવામાં આવી રહી છે જેના દ્વારા તે હાથ ધરવાનું શક્ય છે વિવિધ અભ્યાસોઅને માઇક્રોવર્લ્ડની ઘટના સમજાવો. આવી મિકેનિઝમ્સમાંની એક હાર્મોનિક ઓસિલેટર છે, જેનું સંચાલન સિદ્ધાંત પ્રાચીન સંસ્કૃતિના પ્રતિનિધિઓ માટે જાણીતું હતું.

ઉપકરણ અને તેના પ્રકારો

હાર્મોનિક ઓસિલેટર છે યાંત્રિક સિસ્ટમ, ગતિમાં, જે ગુણાંક સાથેના વિભેદક દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે સતત મૂલ્ય. સૌથી વધુ સરળ ઉદાહરણોઆવા ઉપકરણો - વસંત પરનો ભાર, લોલક, એકોસ્ટિક સિસ્ટમ્સ, ચળવળ પરમાણુ કણોવગેરે

પરંપરાગત રીતે, આ ઉપકરણના નીચેના પ્રકારોને ઓળખી શકાય છે:

ઉપકરણ એપ્લિકેશન

આ ઉપકરણનો ઉપયોગ માં થાય છે વિવિધ ક્ષેત્રો, મુખ્યત્વે પ્રકૃતિના અભ્યાસ માટે ઓસીલેટરી સિસ્ટમ્સ. ફોટોન તત્વોના વર્તનનો અભ્યાસ કરવા માટે ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો ઉપયોગ થાય છે. પ્રયોગોના પરિણામોનો ઉપયોગ વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થઈ શકે છે. આમ, એક અમેરિકન સંસ્થાના ભૌતિકશાસ્ત્રીઓએ શોધ્યું કે એકબીજાથી એકદમ મોટા અંતરે સ્થિત બેરિલિયમ અણુઓ ક્વોન્ટમ સ્તરે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે. તદુપરાંત, આ કણોની વર્તણૂક મેક્રોકોઝમમાં શરીર (ધાતુના દડા) જેવી જ છે, જે એક સુમેળભર્યા ઓસિલેટર જેવી જ આગળ-પારસ્પરિક ક્રમમાં આગળ વધે છે. બેરિલિયમ આયનો, શારીરિક હોવા છતાં લાંબા અંતર, ઊર્જાના સૌથી નાના એકમો (ક્વોન્ટા)નું વિનિમય કર્યું. આ શોધ IT ટેક્નોલોજીની નોંધપાત્ર પ્રગતિ માટે પરવાનગી આપે છે, અને કમ્પ્યુટર સાધનો અને ઇલેક્ટ્રોનિક્સના ઉત્પાદનમાં એક નવો ઉકેલ પણ પૂરો પાડે છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો ઉપયોગ અંદાજ કાઢવામાં થાય છે સંગીતનાં કાર્યો. આ પદ્ધતિને સ્પેક્ટ્રોસ્કોપિક પરીક્ષા કહેવામાં આવે છે. એવું જાણવા મળ્યું કે સૌથી સ્થિર સિસ્ટમ ચાર સંગીતકારો (ચોકડી) ની રચના છે. એ આધુનિક કાર્યોતેમાંના મોટાભાગના એનહાર્મોનિક છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ એક કણ છે જે અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા હેઠળ એક-પરિમાણીય ગતિમાંથી પસાર થાય છે. આવા કણની સંભવિત ઊર્જાનું સ્વરૂપ છે

સૂત્રમાં k વ્યક્ત (27.1) ની દ્રષ્ટિએ

એક-પરિમાણીય કિસ્સામાં, તેથી, ઓસિલેટર માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ (જુઓ (21.5)) આના જેવું દેખાય છે:

કુલ ઊર્જા, ઓસિલેટર). સિદ્ધાંતમાં વિભેદક સમીકરણોતે સાબિત થયું છે કે સમીકરણ (27.2) માં પરિમાણ E ના સમાન મૂલ્યો માટે મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત ઉકેલો છે

ફિગ માં. 27.1 આકૃતિ બતાવે છે ઊર્જા સ્તરોહાર્મોનિક ઓસિલેટર. સ્પષ્ટતા માટે, સ્તરો વળાંકમાં લખેલા છે સંભવિત ઊર્જા. જો કે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે માં ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સકુલ ઊર્જાને ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઊર્જા T અને Uના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી (અગાઉના ફકરાનો છેલ્લો ફકરો જુઓ).

હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઉર્જા સ્તરો સમાન અંતરે હોય છે, એટલે કે, એકબીજાથી સમાન અંતરે. ઓછામાં ઓછું શક્ય અર્થઊર્જા સમાન છે. આ મૂલ્યને શૂન્ય-બિંદુ ઊર્જા કહેવામાં આવે છે.

શૂન્ય-બિંદુ ઊર્જાના અસ્તિત્વની પુષ્ટિ અહીં સ્ફટિકો દ્વારા પ્રકાશના સ્કેટરિંગનો અભ્યાસ કરતા પ્રયોગો દ્વારા કરવામાં આવે છે. નીચા તાપમાન. તે તારણ આપે છે કે છૂટાછવાયા પ્રકાશની તીવ્રતા તાપમાન ઘટવાથી શૂન્ય તરફ નહીં, પરંતુ ચોક્કસ અંતિમ મૂલ્ય, સૂચવે છે કે જ્યારે સંપૂર્ણ શૂન્યમાં અણુઓના સ્પંદનો સ્ફટિક જાળીરોકશો નહીં.

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અમને સંભાવનાઓની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે વિવિધ સંક્રમણો ક્વોન્ટમ સિસ્ટમએક રાજ્યથી બીજા રાજ્યમાં. આવી ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે માત્ર સંલગ્ન સ્તરો વચ્ચે સંક્રમણ શક્ય છે. આવા સંક્રમણો દરમિયાન, ક્વોન્ટમ નંબર એક દ્વારા બદલાય છે:

ફેરફારો પર લાદવામાં આવેલી શરતો ક્વોન્ટમ નંબરોએક રાજ્યમાંથી બીજા રાજ્યમાં સિસ્ટમના સંક્રમણ દરમિયાન, તેને પસંદગીના નિયમો કહેવામાં આવે છે.

આમ, હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે ફોર્મ્યુલા (27.4) દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ પસંદગીનો નિયમ છે.

તે નિયમ (27.4) થી અનુસરે છે કે હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઊર્જા ફક્ત ભાગો /rto માં જ બદલાઈ શકે છે. આ પરિણામ, જે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કુદરતી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે, તે તેની સાથે એકરુપ છે જે ખૂબ જ પરાયું છે. શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રએક ધારણા જે પ્લાન્કને સંપૂર્ણપણે કાળા શરીરની ઉત્સર્જનની ગણતરી કરવા માટે કરવી પડી હતી (જુઓ § 7). નોંધ કરો કે પ્લાન્કે ધાર્યું હતું કે હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઊર્જા માત્ર Ha ના અભિન્ન ગુણાંક હોઈ શકે છે. વાસ્તવમાં, ત્યાં પણ છે શૂન્ય ઊર્જા, જેનું અસ્તિત્વ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની રચના પછી જ સ્થાપિત થયું હતું.