અમે આ પુરાવાને બે તબક્કામાં હાથ ધરીએ છીએ. પ્રથમ, ધારો કે ત્યાં છે, અને નોંધ કરો કે આ કિસ્સામાં D(S„) સરવાળા વિક્ષેપ પ્રમેય દ્વારા. ચેબીશેવની અસમાનતા અનુસાર, કોઈપણ t > 0 માટે

t > n માટે ડાબી બાજુકરતાં ઓછી છે, અને પછીનું મૂલ્ય શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. આ સાબિતીના પ્રથમ ભાગને પૂર્ણ કરે છે.

ચાલો હવે D() ના અસ્તિત્વ માટેની પ્રતિબંધક સ્થિતિને કાઢી નાખીએ. આ કેસને કાપવાની પદ્ધતિ દ્વારા અગાઉના એકમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ચાલો બે નવા સેટ વ્યાખ્યાયિત કરીએ રેન્ડમ ચલો, તેના આધારે, નીચે પ્રમાણે:

U k =, V k =0, જો (2.2)

U k =0, V k =, જો

અહીં k=1,… , n અને નિશ્ચિત છે. પછી

બધા માટે k.

ચાલો (f(j)) એ રેન્ડમ ચલોનું સંભવિત વિતરણ હોઈએ (બધા j માટે સમાન). અમે ધાર્યું કે = M() અસ્તિત્વમાં છે, તેથી સરવાળો

મર્યાદિત પછી ત્યાં પણ છે

જ્યાં તે બધા j પર સમીકરણ કરવામાં આવે છે જેના માટે. નોંધ કરો કે જો કે તે n પર આધાર રાખે છે, તે માટે સમાન છે

યુ 1, યુ 2, ..., યુ એન. વધુમાં, માટે, અને તેથી મનસ્વી > 0 અને બધા પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે

U k પરસ્પર સ્વતંત્ર છે, અને તેમનો સરવાળો U 1 +U 2 +…+U n સાથે બરાબર એ જ રીતે વ્યવહાર કરી શકાય છે જે રીતે X k સાથે મર્યાદિત વિક્ષેપના કિસ્સામાં, ચેબીશેવની અસમાનતાને લાગુ કરીને, અમે (2.1) ની સમાનતા મેળવીએ છીએ.

(2.6) ના કારણે, તે અનુસરે છે

શ્રેણી (2.4) કન્વર્જ થતી હોવાથી, છેલ્લો સરવાળો n વધે તેમ શૂન્ય થાય છે. આમ, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા એન માટે

અને તેથી

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

પરંતુ, (2.9) અને (2.12) બંનેમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ

કારણ કે અને મનસ્વી છે, જમણી બાજુ મનસ્વી રીતે નાની બનાવી શકાય છે, જે સાબિતી પૂર્ણ કરે છે.

"હાનિકારક" રમતોનો સિદ્ધાંત

કાયદાના સારને વધુ વિશ્લેષણ પર મોટી સંખ્યામાંઅમે ખેલાડીઓની પરંપરાગત પરિભાષાનો ઉપયોગ કરીશું, જો કે અમારી વિચારણાઓ માટે પરવાનગી આપે છે સમાન રીતેઅને વધુ ગંભીર એપ્લિકેશનો, અને અમારી બે મૂળભૂત ધારણાઓ આંકડાશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કરતાં વધુ વાસ્તવિક છે જુગાર. પ્રથમ, ચાલો માની લઈએ કે ખેલાડી પાસે અમર્યાદિત મૂડી છે, જેથી કોઈ નુકશાન રમતને સમાપ્ત ન કરી શકે. (આ ધારણાને નકારવાથી ખેલાડીની બરબાદીની સમસ્યા થાય છે, જે હંમેશા સંભાવના સિદ્ધાંતના વિદ્યાર્થીઓને ષડયંત્રમાં મૂકે છે.) બીજું, ધારો કે ખેલાડી જ્યારે ઈચ્છે ત્યારે રમતમાં વિક્ષેપ પાડવાનો સ્વભાવ ધરાવતો નથી: અજમાયશની સંખ્યા અગાઉથી નક્કી કરવી જોઈએ અને ટર્ન ગેમ્સ પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં. નહિંતર, ખેલાડી, અમર્યાદિત મૂડીથી આશીર્વાદિત, સફળતાઓની શ્રેણીની રાહ જોશે અને યોગ્ય સમયે રમત બંધ કરશે. આવા ખેલાડીને આપેલ ક્ષણે સંભવિત વધઘટમાં રુચિ હોતી નથી, પરંતુ રમતોની લાંબી શ્રેણીમાં મહત્તમ વધઘટમાં, જેનું વર્ણન મોટી સંખ્યાના કાયદા કરતાં પુનરાવર્તિત લઘુગણકના કાયદા દ્વારા વધુ કરવામાં આવે છે.

ચાલો રેન્ડમ ચલ k નો પરિચય આપીએ (ધન કે નકારાત્મક) માટે ચૂકવણી kth પુનરાવર્તનરમતો પછી સરવાળો S n = 1 +…+ k એ રમતના n પુનરાવર્તનો પછીની કુલ જીત છે. જો દરેક પુનરાવર્તન પહેલાં ખેલાડી રમતમાં ભાગ લેવાના અધિકાર માટે યોગદાન આપે છે (જરૂરી નથી કે હકારાત્મક), તો n એ તેના દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલા કુલ યોગદાનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને S n એ કુલ ચોખ્ખી જીત છે. જો p=M(k) અસ્તિત્વમાં હોય તો મોટી સંખ્યાઓનો નિયમ લાગુ પડે છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મોટા n માટે તે તદ્દન બુદ્ધિગમ્ય છે કે તફાવત S n - n ની સરખામણીમાં નાનો લાગશે, તેથી, જો p કરતાં ઓછો હોય, તો મોટા n માટે ખેલાડીને મેગ્નિટ્યુડના ક્રમનું વળતર મળશે. સમાન ટોકન દ્વારા, યોગદાન લગભગ ચોક્કસપણે નુકસાનમાં પરિણમે છે. ટૂંકમાં, ખેલાડી માટે તક અનુકૂળ છે, અને તક પ્રતિકૂળ છે.

નોંધ કરો કે અમે હજી સુધી આ કેસ વિશે કંઈ કહ્યું નથી. આ કિસ્સામાં, એકમાત્ર સંભવિત નિષ્કર્ષ એ છે કે જો અને તે પર્યાપ્ત મોટા હોય, તો કુલ લાભ અથવા નુકસાન S n - n ખૂબ જ હશે. ઉચ્ચ સંભાવના n ની તુલનામાં નાનું છે પરંતુ તે જાણી શકાયું નથી કે S n - n સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક બનશે, એટલે કે, રમત નફાકારક હશે કે વિનાશક. આ બાબત ધ્યાનમાં લેવામાં આવી ન હતી શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંત, જેને હાનિકારક કિંમત કહેવાય છે અને "હાનિકારક" સાથેની રમત. તમારે સમજવાની જરૂર છે કે "હાનિકારક" રમત વાસ્તવમાં સ્પષ્ટ રીતે નફાકારક અને વિનાશક બંને હોઈ શકે છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે "સામાન્ય કેસ" માં માત્ર M(k) જ નહીં, પણ D(k) પણ છે. આ કિસ્સામાં, મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય દ્વારા પૂરક છે, અને બાદમાં કહે છે કે તે ખૂબ જ બુદ્ધિગમ્ય છે કે "હાનિકારક" રમતમાં લાંબી રમતના પરિણામે ચોખ્ખો ફાયદો Sn - n હશે. n 1/2 નો ક્રમ અને તે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે આ લાભ આશરે હશે સમાન તકોહકારાત્મક અથવા નકારાત્મક. આમ, જો કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય લાગુ થાય છે, તો પછી "હાનિકારક" રમત શબ્દ વાજબી છે, જો કે આ કિસ્સામાં પણ આપણે મર્યાદા પ્રમેય સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, જેના પર "લાંબી રમતના પરિણામે" શબ્દો દ્વારા ભાર મૂકવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ વિશ્લેષણબતાવે છે કે (1.3) માં કન્વર્જન્સ જેમ જેમ વિક્ષેપ વધે છે તેમ બગડે છે. જો તે મોટું છે, તો પછી સામાન્ય અંદાજમાત્ર અત્યંત મોટા n માટે અસરકારક રહેશે.

ચોક્કસ થવા માટે, ચાલો એક એવા મશીનની કલ્પના કરીએ કે જેમાં, જ્યારે તેમાં રૂબલ મૂકે છે, ત્યારે ખેલાડી 10 ની સંભાવના સાથે (10--1) રુબેલ્સ જીતી શકે છે, અને અન્ય કિસ્સાઓમાં નીચા રૂબલને ગુમાવે છે. અહીં અમારી પાસે બર્નૌલી પરીક્ષણો છે અને રમત "હાનિકારક" છે. એક મિલિયન પરીક્ષણો પૂર્ણ કર્યા પછી, ખેલાડી તેના માટે એક મિલિયન રુબેલ્સ ચૂકવશે. આ સમય દરમિયાન તે 0, 1,2,... વખત જીતી શકે છે. માટે પોઈસન અંદાજ મુજબ દ્વિપદી વિતરણ, અમુક દશાંશ સ્થાનો માટે ચોક્કસ, બરાબર k વખત જીતવાની સંભાવના e -1 /k બરાબર છે!. આમ, 0.368 ની સંભાવના સાથે. . . ખેલાડી એક મિલિયન ગુમાવશે, અને તે જ સંભાવના સાથે તે ફક્ત તેના ખર્ચની ભરપાઈ કરશે; તેની પાસે 0.184... બરાબર 10 લાખ, વગેરે હસ્તગત કરવાની સંભાવના છે. અહીં, 10 6 ટ્રાયલ પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ધરાવતી પેઓફ સાથેની રમતમાં એક જ અજમાયશની સમકક્ષ છે.

દેખીતી રીતે, આ પ્રકારની પરિસ્થિતિઓમાં મોટી સંખ્યામાં કાયદો લાગુ કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. આ યોજનામાં આગ, કાર અકસ્માતો વગેરે સામે વીમો શામેલ છે. મોટી રકમ જોખમમાં છે, પરંતુ અનુરૂપ સંભાવના ઘણી ઓછી છે. જો કે, અહીં સામાન્ય રીતે દર વર્ષે માત્ર એક જ કસોટી હોય છે, તેથી પરીક્ષણોની સંખ્યા ક્યારેય મોટી થતી નથી. વીમાધારક માટે, રમત "હાનિકારક" હોવી જરૂરી નથી, જો કે તે આર્થિક રીતે નફાકારક હોઈ શકે છે. મોટી સંખ્યાના કાયદાને તેની સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. વીમા કંપની માટે, તે મોટી સંખ્યામાં રમતો સાથે વ્યવહાર કરે છે, પરંતુ મોટા તફાવતને કારણે, રેન્ડમ વધઘટ હજુ પણ દેખાય છે. ચોક્કસ વર્ષોમાં મોટા નુકસાનને રોકવા માટે વીમા પ્રિમીયમ સેટ કરવું આવશ્યક છે, અને તેથી કંપનીને મોટી સંખ્યામાં કાયદાને બદલે વિનાશની સમસ્યામાં રસ છે.

જ્યારે ભિન્નતા અનંત હોય છે, ત્યારે "હાનિકારક" નાટક શબ્દ અર્થહીન બની જાય છે; એવું માનવા માટે કોઈ કારણ નથી કે કુલ ચોખ્ખો લાભ S n - n શૂન્યની આસપાસ વધઘટ કરે છે. ખરેખર. "હાનિકારક" રમતોના ઉદાહરણો છે જેમાં ખેલાડીને પરિણામ સ્વરૂપે ચોખ્ખી ખોટ થવાની સંભાવના છે. મોટી સંખ્યાનો કાયદો ફક્ત જણાવે છે કે આ નુકસાન n કરતા નાના ક્રમનું હશે જો કે, વધુ કંઈ કહી શકાય નહીં. જો n એક મનસ્વી ક્રમ બનાવે છે, અને n /n0, તો પછી "હાનિકારક" રમત ગોઠવવી શક્ય છે જેમાં રમતના n પુનરાવર્તનના પરિણામે કુલ ચોખ્ખી ખોટ એક n કરતાં વધી જાય તેવી સંભાવના છે.

મોટી સંખ્યાનો કાયદો છે કેન્દ્રીય કાયદોસંભવિતતાનો સિદ્ધાંત એ હકીકતને કારણે કે તે નિયમિતતા અને રેન્ડમનેસ વચ્ચે મૂળભૂત જોડાણ બનાવે છે. જેમ કે, તે દલીલ કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં અકસ્માતો એક પેટર્ન તરફ દોરી જાય છે, જે ઘટનાઓના કોર્સની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. તેના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં તે વ્યક્ત થાય છે ચેબીશેવનું પ્રમેય:

ચાલો ( Χ 1; X 2 ; … X n ; ...) સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ (તેઓ માનવામાં આવે છે અનંત સંખ્યા). અને તેમના ભિન્નતાને એકસરખી રીતે બાઉન્ડ કરવા દો (એટલે ​​​​કે, આ બધા રેન્ડમ ચલોના ભિન્નતા કેટલાક સ્થિરતાથી વધુ ન હોય. સાથે):

પછી, સકારાત્મક સંખ્યા ગમે તેટલી નાની હોય, મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ સંતુષ્ટ છે:

જો રેન્ડમ ચલોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય. અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, સંભાવના

આમ, ચેબીશેવનું પ્રમેય જણાવે છે કે જો આપણે પૂરતી મોટી સંખ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ ( Χ 1; X 2 ; … Xn), તો ઘટનાને લગભગ વિશ્વાસપાત્ર ગણી શકાય (એકતાની નજીકની સંભાવના સાથે) કે આ રેન્ડમ ચલોના અંકગણિત સરેરાશનું વિચલન તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશમાંથી હશે. સંપૂર્ણ મૂલ્યતમને ગમે તેટલું નાનું.

પુરાવો. Χ 1; X 2 ; … Xn):

(4)

; (5)

શરતોને ધ્યાનમાં લઈને (1), અમે તે સ્થાપિત કરીએ છીએ

(6)

આમ, જ્યારે તફાવત છે. એટલે કે, જ્યારે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો ફેલાવો મર્યાદા વિના ઘટે છે. અને આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે મૂલ્ય, એટલે કે, . અથવા, વધુ ચોક્કસ કહીએ તો, રેન્ડમ ચલ તેની ગાણિતિક અપેક્ષા - અચળ - થી ઓછામાં ઓછું કોઈક રીતે વિચલિત થવાની સંભાવના શૂન્ય તરફ વળે છે. એટલે કે, કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાની હકારાત્મક સંખ્યા માટે

તેથી, સાબિત ચેબીશેવ પ્રમેય અનુસાર, અંકગણિત સરેરાશ મોટી સંખ્યામાંસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ ( Χ 1; X 2 ; … Xn), એક અવ્યવસ્થિત ચલ હોવાને કારણે, વાસ્તવમાં અવ્યવસ્થિતતાનું પાત્ર ગુમાવે છે, હકીકતમાં, એક અપરિવર્તનશીલ સ્થિરાંક બની જાય છે. આ સ્થિરાંક મૂલ્યોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે ( Χ 1; X 2 ; … Xn). આ મોટી સંખ્યાનો કાયદો છે.

ચેબીશેવના પ્રમેયનો બીજો પુરાવો આપી શકાય. આ કરવા માટે, અમે ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તે સ્વતંત્ર અને સતત રેન્ડમ ચલો બંને માટે માન્ય છે અને તેની પોતાની કિંમત છે. ચેબીશેવની અસમાનતા આપણને સંભવિતતાનો અંદાજ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન સંપૂર્ણ મૂલ્યથી વધુ નથી. હકારાત્મક સંખ્યા. ચાલો અલગ રેન્ડમ ચલ માટે ચેબીશેવની અસમાનતાનો પુરાવો રજૂ કરીએ.

ચેબીશેવની અસમાનતા:સંભાવના કે રેન્ડમ ચલનું વિચલન એક્સનિરપેક્ષ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષા ધન સંખ્યા કરતાં ઓછી છે, તેનાથી ઓછી નહીં:

.

પુરાવો: અસમાનતાના અમલીકરણમાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓ અને , વિરુદ્ધ છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે, એટલે કે. . આથી અમને રસ છે તેવી સંભાવના. (*)

અમે શોધીશું . આ માટે ચાલો તફાવત શોધીએરેન્ડમ ચલ એક્સ.

આ રકમની તમામ શરતો બિન-નકારાત્મક છે. ચાલો તે શરતોને કાઢી નાખીએ જેના માટે (બાકીની શરતો માટે ), જેના પરિણામે રકમ માત્ર ઘટી શકે છે. ચાલો નિશ્ચિતતા માટે, ધારવા માટે સંમત થઈએ કે kપ્રથમ શરતો (અમે ધારીશું કે વિતરણ કોષ્ટકમાં શક્ય મૂલ્યોતે ક્રમમાં ક્રમાંકિત). આમ,

અસમાનતા બંને પક્ષો થી સકારાત્મક છે, તેથી, તેમને વર્ગીકરણ કરીને, અમે સમાન અસમાનતા મેળવીએ છીએ . ચાલો બાકીના સરવાળામાં દરેક પરિબળને બદલીને આ ટિપ્પણીનો ઉપયોગ કરીએ સંખ્યા (આ કિસ્સામાં અસમાનતા ફક્ત વધી શકે છે), અમને મળે છે. (**)

વધારાના પ્રમેય મુજબ, સંભાવનાઓનો સરવાળો એ સંભાવના છે જે એક્સએક લેશે, ભલે ગમે તે હોય, મૂલ્ય , અને તેમાંના કોઈપણ માટે વિચલન અસમાનતાને સંતોષે છે . તે અનુસરે છે કે સરવાળો સંભાવના વ્યક્ત કરે છે . આ અમને અસમાનતા (**) ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપે છે: . (***).

ચાલો અવેજી કરીએ (***) વી (*) અને અમે મેળવીએ છીએ , જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ચેબીશેવના પ્રમેય 2 નો પુરાવો:

ચાલો આપણે એક નવા રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ - રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ ( Χ 1; X 2 ; … Xn):

ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

; . (*)

ચેબીશેવની અસમાનતાને જથ્થામાં લાગુ કરીને, અમારી પાસે છે.

ગુણોત્તર (*) ને ધ્યાનમાં લેતા,

શરત દ્વારા, તેનો અર્થ છે . (***) અવેજી જમણી બાજુ(**) અસમાનતામાં (**) આપણી પાસે છે

અહીંથી, પરની મર્યાદામાં પસાર થતાં, આપણે મેળવીએ છીએ

કારણ કે સંભાવના એક કરતાં વધી શકતી નથી, આપણે આખરે મેળવીએ છીએ:

જે અમારે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ચાલો ચેબીશેવના પ્રમેયના એક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ કેસ પર ધ્યાન આપીએ. જેમ કે, જ્યારે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ ( Χ 1; X 2 ; … Xn) ધરાવે છે સમાન કાયદાવિતરણો, અને તેથી, સમાન સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ:

(8)

પછી રેન્ડમ ચલ માટે, (5) મુજબ, આપણી પાસે છે:

(9)

આ કિસ્સામાં મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ (7) ફોર્મ લેશે:

(10)

(10) માંથી નીચેના નિષ્કર્ષ છે મહાન મૂલ્યવિવિધ પ્રકારના માપન કરતી વખતે રેન્ડમ ભૂલોનો સામનો કરવા માટે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે ચોક્કસ જથ્થાને માપવાની જરૂર છે એ. અમે એક નહીં, પરંતુ ઘણા ઉત્પન્ન કરીશું ( n) આ જથ્થાના મૂલ્યનું સ્વતંત્ર પુનરાવર્તિત માપન. કોઈપણ માપન માપન ઉપકરણની અપૂર્ણતા, માપમાં તમામ પ્રકારની અવ્યવસ્થિત દખલ વગેરે સાથે સંકળાયેલ રેન્ડમ ભૂલમાં સહજ છે. તેથી પરિણામો ( Χ 1; X 2 ; … Xn) ઇચ્છિત મૂલ્યના વ્યક્તિગત ક્રમિક માપન એ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આપવામાં આવશે નહીં - તે રેન્ડમ ચલ હશે. વધુમાં, ધરાવતા જથ્થા સાથે સમાન વિતરણો, કારણ કે માપ વારંવાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સતત બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ. પછી જથ્થા માટે - બધાના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ nમાપ - મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ (10) પૂર્ણ થશે. આનો અર્થ એ છે કે આ અંકગણિત સરેરાશ રેન્ડમનેસનું પાત્ર ગુમાવે છે, માં ફેરવાય છે એ – સાચો અર્થમાપેલ જથ્થો. આ, માર્ગ દ્વારા, સૂત્રો (9) દ્વારા પુરાવા મળે છે, જે મુજબ:

(11)

એટલે કે, ઇચ્છિત જથ્થાના પુનરાવર્તિત માપનની પૂરતી મોટી સંખ્યામાં હાથ ધર્યા એ, જેમાંના દરેકમાં રેન્ડમ માપન ભૂલ શક્ય છે, અને પછી સરેરાશ શોધવી અંકગણિત પરિણામોઆ માપ, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

એ(12)

આપણે મૂલ્ય મેળવી શકીએ છીએ અને વ્યવહારીક રીતે રેન્ડમ ભૂલો વિના.

આ નિષ્કર્ષ મોટી સંખ્યાના કાયદાનું પરિણામ છે. IN આ કિસ્સામાંઆ કાયદો એ હકીકતમાં પ્રગટ થાય છે કે જ્યારે માપનો સારાંશ આપવામાં આવે છે ત્યારે (4) રેન્ડમ ભૂલોવ્યક્તિગત પરિમાણો, સૈદ્ધાંતિક રીતે સમાન રીતે ઘણીવાર વત્તા અને બાદબાકી બંને ચિહ્ન સાથે થાય છે, સામાન્ય રીતે એકબીજાને રદ કરશે. અને બાકીની ભૂલ હજુ પણ વિભાજિત કરવામાં આવશે n, એટલે કે, તે વધુ ઘટશે nએકવાર તેથી જ્યારે મોટા મૂલ્યો nમૂલ્ય માપેલ મૂલ્યની લગભગ બરાબર સમાન હશે એ. આ નિષ્કર્ષ કુદરતી રીતે વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

નોંધ. તીવ્રતામાં તેઓ ફક્ત એકબીજાને રદ કરે છે રેન્ડમ ભૂલોમાપન, એટલે કે, રેન્ડમ પરિબળો (દખલગીરી) ની ક્રિયા સાથે સંકળાયેલ ભૂલો. પરંતુ વ્યવસ્થિત (કાયમી) ભૂલો, એટલે કે, દરેક માપમાં સહજ ભૂલો, કુદરતી રીતે જ રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક તીર જે ઉપકરણમાં નીચે પછાડવામાં આવે છે (વ્યવસ્થિત નથી) દરેક માપમાં સતત (વ્યવસ્થિત) ભૂલનું કારણ બને છે, અને તેથી આ માપના પરિણામોના અંકગણિત સરેરાશમાં તેનું કારણ બને છે. માપ લેવામાં આવે તે પહેલાં જ પદ્ધતિસરની ભૂલો દૂર કરવી જોઈએ અને માપન પ્રક્રિયા દરમિયાન તેને મંજૂરી નથી.

પછી, જો α એ માપન ઉપકરણનું વિભાજન મૂલ્ય છે, તો બધા પુનરાવર્તિત માપ α ની ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવે છે. પરંતુ તે પછી, સ્વાભાવિક રીતે, તમામ માપના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ માત્ર α ની ચોકસાઈ સાથે સૂચવી શકાય છે, એટલે કે, ઉપકરણની ચોકસાઈ દ્વારા નિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે.

તેથી, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે, જથ્થાના પુનરાવર્તિત માપનની પૂરતી મોટી સંખ્યામાં કર્યા પછી. એઅને પછી આ માપોના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવાથી, આપણને મળે છે ચોક્કસઅર્થ એ.અમે તેને માત્ર માપન ઉપકરણની ચોકસાઈમાં જ મેળવીશું. અને પછી પણ, જો આપણે બાકાત રાખીએ પદ્ધતિસરની ભૂલમાપ

અહીં એક અન્ય મહત્વપૂર્ણ છે ખાસ કેસમોટી સંખ્યામાં કાયદો. દો X=k- અમુક ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એવી nપુનરાવર્તિત પરીક્ષણો ( એક્સ- રેન્ડમ ચલ). અને દો અને - ઘટનાની સંભાવના અને ઘટનાની બિન-ઘટના એએક પરીક્ષણમાં. રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો - ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એવી nપરીક્ષણો ચાલો પરિચય પણ આપીએ nરેન્ડમ ચલ ( X 1, X 2, … X n), જે ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે એપ્રથમ, બીજામાં,... n-મી પરીક્ષણો. પછી k = X 1 + X 2 +…+ X p, અને ઘટનાની ઘટના એઘટના બનવાની સંભાવના સાથે વ્યવહારીક રીતે મેળ ખાય છે એએક પરીક્ષણમાં. આ નિષ્કર્ષ ઘણાની સંભાવનાઓ શોધવા પર આધારિત છે રેન્ડમ ઘટનાઓ, જેની સંભાવનાઓ અન્ય રીતે શોધી શકાતી નથી (સૈદ્ધાંતિક રીતે).

ઉદાહરણ તરીકે, ટેસ્ટમાં વિકૃત (અસમપ્રમાણતાવાળા) સિક્કા અને ઘટનાને ફેંકી દો એઆ પડકાર માટે, તે ક્રેસ્ટ ડ્રોપ છે. ઘટનાની સંભાવના એદ્વારા શાસ્ત્રીય સૂત્રઅથવા અન્ય કોઈ રીતે સૈદ્ધાંતિક સૂત્રતે શોધવું મુશ્કેલ છે, કારણ કે આવા સૂત્રમાં કોઈક રીતે સિક્કાના વિરૂપતાની લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરવી આવશ્યક છે. તેથી, ધ્યેય તરફ દોરી જતો વાસ્તવિક માર્ગ એક છે: સિક્કાને વારંવાર ટૉસ કરો (ટૉસની સંખ્યા જેટલી વધારે હશે. n,વધુ સારું) અને પ્રયોગાત્મક રીતે હથિયારોના કોટના દેખાવની સંબંધિત આવર્તન નક્કી કરો. જો nમોટી છે, તો પછી મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર તે ઉચ્ચ સંભાવના સાથે કહી શકાય .

મોટી સંખ્યાનો કાયદો ઘણી કુદરતી અને સામાજિક ઘટનાઓમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે.

ઉદાહરણ 1.જેમ જાણીતું છે, બંધ વાસણમાં મુકવામાં આવેલ ગેસ વહાણની દિવાલો પર દબાણ લાવે છે. ગેસ રાજ્યના કાયદા અનુસાર, સતત ગેસ તાપમાને, આ દબાણ સતત રહે છે. જહાજની દિવાલો સામે વ્યક્તિગત પરમાણુઓની અસ્તવ્યસ્ત અસરને કારણે ગેસનું દબાણ થાય છે. બધા પરમાણુઓની ગતિ અને ગતિની દિશાઓ અલગ અલગ હોય છે, તેથી જહાજની દિવાલો પર વિવિધ પરમાણુઓની અસરના દળો પણ અલગ અલગ હોય છે. જો કે, જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ વ્યક્તિગત પરમાણુઓના પ્રભાવ બળ દ્વારા નહીં, પરંતુ તેમના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સરેરાશબળ દ્વારા. પરંતુ તેણી સરેરાશ જેવી છે મોટી સંખ્યાઅનુલક્ષીને સક્રિય દળો, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહેશે. તેથી, જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહે છે.

ઉદાહરણ 2. એક વીમા કંપની કે જે સોદો કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓટો વીમા સાથે, વિવિધ વીમાકૃત ઘટનાઓ (કાર અકસ્માતો અને માર્ગ ટ્રાફિક અકસ્માતો) માટે વિવિધ વીમા રકમ ચૂકવે છે. જો કે, આ વીમાની રકમનું સરેરાશ મૂલ્ય, ઘણી જુદી જુદી સરેરાશ તરીકે nસ્વતંત્ર વીમાની રકમ, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહેશે. તે વીમા દાવાઓના વાસ્તવિક આંકડાઓની તપાસ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. વીમા કંપનીને નુકસાન ટાળવા માટે, તેના ગ્રાહકો પાસેથી વસૂલવામાં આવેલું સરેરાશ વીમા પ્રીમિયમ કંપની દ્વારા તેના ગ્રાહકોને ચૂકવવામાં આવતા સરેરાશ પ્રીમિયમ કરતાં વધુ હોવું જોઈએ. પરંતુ કંપની માટે સ્પર્ધાત્મક (અન્ય વીમા કંપનીઓ સાથે આકર્ષકતામાં સ્પર્ધા કરવા) માટે આ પ્રીમિયમ ખૂબ ઊંચું હોવું જોઈએ નહીં.

કોર્સની શરૂઆતમાં અમે પહેલાથી જ તે હકીકત વિશે વાત કરી હતી ગાણિતિક કાયદાસંભાવના સિદ્ધાંતો સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનામાં અંતર્ગત વાસ્તવિક આંકડાકીય પેટર્નને અમૂર્ત કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ પેટર્નની હાજરી ઘટનાના સામૂહિક સ્વભાવ સાથે ચોક્કસ રીતે સંકળાયેલી છે, એટલે કે, મોટી સંખ્યામાં સજાતીય પ્રયોગો કરવામાં આવે છે અથવા મોટી સંખ્યામાં સંચિત રેન્ડમ પ્રભાવો સાથે, જે તેમની સંપૂર્ણતામાં એક રેન્ડમ ચલ પેદા કરે છે જે આધિન છે. સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કાયદો. સામૂહિક સ્થિરતા મિલકત અવ્યવસ્થિત ઘટનાપ્રાચીન સમયથી માનવજાત માટે જાણીતું છે. ગમે તે ક્ષેત્રમાં તે પોતાને પ્રગટ કરે છે, તેનો સાર નીચે મુજબ ઉકળે છે: ચોક્કસ લક્ષણોદરેક વ્યક્તિગત અવ્યવસ્થિત ઘટનાની જનતાના સરેરાશ પરિણામ અને આવી ઘટના પર લગભગ કોઈ અસર થતી નથી; સરેરાશથી રેન્ડમ વિચલનો, દરેક વ્યક્તિગત ઘટનામાં અનિવાર્ય, પરસ્પર રદ કરવામાં આવે છે, સમતળ કરવામાં આવે છે, સમૂહમાં સમતળ કરવામાં આવે છે. તે સરેરાશની આ સ્થિરતા છે જે "મોટી સંખ્યાના કાયદા" ની ભૌતિક સામગ્રીને રજૂ કરે છે, જે શબ્દના વ્યાપક અર્થમાં સમજાય છે: ઘણી મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ઘટના સાથે, તેમનું સરેરાશ પરિણામ વ્યવહારીક રીતે રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે અને તેની આગાહી કરી શકાય છે. ઉચ્ચ ડિગ્રી નિશ્ચિતતા સાથે.

IN સંકુચિત અર્થમાંસંભાવના સિદ્ધાંતમાં "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" શબ્દનો અર્થ શ્રેણી છે ગાણિતિક પ્રમેય, જેમાંથી દરેકમાં, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ માટે, એ હકીકત છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ ચોક્કસ સ્થિરાંકોનો સંપર્ક કરે છે.

2.3 માં અમે પહેલાથી જ આ પ્રમેયમાંથી સૌથી સરળ - જે. બર્નૌલીનું પ્રમેય ઘડ્યું છે. તેણી દાવો કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે, ઘટનાની આવર્તન આ ઘટનાની સંભાવના સુધી પહોંચે છે (વધુ ચોક્કસ રીતે, સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે). અન્ય લોકો સાથે, વધુ સામાન્ય સ્વરૂપોઅમે આ પ્રકરણમાં મોટી સંખ્યાનો કાયદો રજૂ કરીશું. તે બધા ચોક્કસ રેન્ડમ ચલોની સતત, બિન-રેન્ડમ ચલોની સંભાવનામાં કન્વર્જન્સની હકીકત અને શરતો સ્થાપિત કરે છે.

મોટી સંખ્યામાં કાયદો મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે વ્યવહારુ કાર્યક્રમોસંભાવના સિદ્ધાંત. રેન્ડમ ચલોની મિલકત, અમુક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, લગભગ બિન-રેન્ડમની જેમ વર્તે છે, તે વ્યક્તિને આ જથ્થાઓ સાથે વિશ્વાસપૂર્વક કાર્ય કરવાની અને લગભગ સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતા સાથે સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાના પરિણામોની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સામૂહિક રેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાના ક્ષેત્રમાં આવી આગાહીઓની શક્યતાઓ મર્યાદા પ્રમેયના અન્ય જૂથની હાજરી દ્વારા વધુ વિસ્તૃત થાય છે, જે રેન્ડમ ચલોના મર્યાદિત મૂલ્યોથી સંબંધિત નથી, પરંતુ વિતરણના મર્યાદિત નિયમોની ચિંતા કરે છે. તે વિશે છે"કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય" તરીકે ઓળખાતા પ્રમેયના જૂથ વિશે. અમે પહેલાથી જ કહ્યું છે કે જ્યારે પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, ત્યારે સરવાળોનો વિતરણ કાયદો અમુક શરતોને આધીન, અનિશ્ચિત રૂપે સામાન્ય સુધી પહોંચે છે. આ શરતો, જે ગાણિતિક રીતે વિવિધ રીતે ઘડી શકાય છે - વધુ કે ઓછા સામાન્ય સ્વરૂપમાં - આવશ્યકપણે જરૂરી છે કે વ્યક્તિગત પદોના સરવાળા પરનો પ્રભાવ એકસરખો ઓછો હોય, એટલે કે, રકમમાં સભ્યોનો સમાવેશ થતો નથી. રકમના વિક્ષેપ પરના તેમના પ્રભાવ અનુસાર બાકીની સંપૂર્ણતા પર સ્પષ્ટપણે પ્રભુત્વ ધરાવે છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના વિવિધ સ્વરૂપો એકબીજાથી અલગ પડે છે તે પરિસ્થિતિઓમાં કે જેના માટે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની આ મર્યાદિત મિલકત સ્થાપિત થાય છે.

સાથે મોટી સંખ્યામાં કાયદાના વિવિધ સ્વરૂપો વિવિધ સ્વરૂપોકેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સંભાવના સિદ્ધાંતના કહેવાતા મર્યાદા પ્રમેયનો સમૂહ બનાવે છે. મર્યાદા પ્રમેય માત્ર અવ્યવસ્થિત ઘટનાના ક્ષેત્રમાં વૈજ્ઞાનિક આગાહીઓ કરવાનું શક્ય બનાવે છે, પણ આ આગાહીઓની સચોટતાનું મૂલ્યાંકન પણ કરે છે.

આ પ્રકરણમાં આપણે ફક્ત કેટલાક સૌથી વધુ ધ્યાનમાં લઈશું સરળ આકારોપ્રમેય મર્યાદિત કરો. પ્રથમ, આપણે "મોટી સંખ્યાના કાયદા" જૂથ સાથે સંબંધિત પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈશું, પછી "કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય" જૂથ સાથે સંબંધિત પ્રમેય.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" એ ગાણિતિક પ્રમેયની શ્રેણી તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ માટે, એ હકીકતને સ્થાપિત કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ ચોક્કસ સ્થિરાંકો સુધી પહોંચે છે.

તે ચેબીશેવની અસમાનતા પર આધારિત છે:

ચોક્કસ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલ Xનું વિચલન સકારાત્મક સંખ્યા ε કરતા ઓછું હોય તેવી સંભાવના આનાથી ઓછી નથી:

સ્વતંત્ર અને સતત r.v માટે માન્ય.

53. ચેબીશેવનું પ્રમેય.

સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો અનંત ક્રમ રહેવા દો સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા અને સમાન સ્થિર C દ્વારા મર્યાદિત તફાવતો સાથે:

પછી, ધન સંખ્યા ગમે તે હોય, ઘટનાની સંભાવના એક તરફ વળે છે.

54. બર્નૌલીનું પ્રમેય.

n ઉત્પન્ન થવા દો સ્વતંત્ર પરીક્ષણો, જેમાં દરેક ઘટના A ની સંભાવના p ની બરાબર છે.

55. લ્યાપુનોવના કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની વિભાવના.

ખૂબ જ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓ હેઠળ મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિતરણ સામાન્ય વિતરણની નજીક છે.

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે વિતરિત કરવા માટે જાણીતા છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયમાં એ.એમ. લાયપુનોવ દ્વારા આ માટેનું સ્પષ્ટીકરણ આપવામાં આવ્યું હતું: જો રેન્ડમ ચલ એ પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની ખૂબ મોટી સંખ્યાનો સરવાળો છે, જેમાંથી દરેકનો પ્રભાવ સમગ્ર સરવાળા પર નજીવો છે, તો તેની પાસે વિતરણ સામાન્યની નજીક.

56. સામાન્ય વસ્તી અને નમૂના: મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ખ્યાલો.

ગાણિતિક આંકડા એ એક વિજ્ઞાન છે જે રેન્ડમ સામૂહિક ઘટનાના દાખલાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે પ્રાયોગિક ડેટા મેળવવા, વર્ણન અને પ્રક્રિયા કરવા માટેની પદ્ધતિઓના વિકાસ સાથે કામ કરે છે.

ગાણિતિક આંકડાની સમસ્યાઓ:

માપન પરિણામોના આધારે અજાણ્યા વિતરણ કાર્યનો અંદાજ.

ગ્રેડ અજાણ્યા પરિમાણોવિતરણો

સ્થિર પૂર્વધારણા પરીક્ષણ.

ચાલો અમુક માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા xનો અભ્યાસ કરીએ.

પછી હેઠળ સામાન્ય વસ્તીતેના તમામ સંભવિત અર્થોનો સમૂહ સમજી શકાય છે.

ગુણધર્મો અભ્યાસ કરવા માટે આ લાક્ષણિકતાસામાન્ય વસ્તીમાંથી, તત્વોનો એક ભાગ અવ્યવસ્થિત રીતે Xi વેરિયન્ટ્સ દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે, જે નમૂનાની વસ્તી અથવા નમૂના બનાવે છે.

સંગ્રહના ઘટકોની સંખ્યાને તેનો પદાર્થ n કહેવામાં આવે છે.

નમૂના: 1) પુનરાવર્તિત નમૂના, જેમાં પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ (આગલું પસંદ કરતા પહેલા) સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવે છે.

2) બિન-પુનરાવર્તન નમૂના, જેમાં પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવે છે.

અમને રુચિ ધરાવતી સામાન્ય વસ્તીની લાક્ષણિકતા વિશે પૂરતા વિશ્વાસ સાથે નિર્ણય કરવા માટે નમૂનાના ડેટાનો ઉપયોગ કરવા માટે, તે જરૂરી છે કે નમૂના પ્રતિનિધિ હોય)

મોટી સંખ્યાના કાયદાના આધારે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે જો નમૂનો અવ્યવસ્થિત રીતે હાથ ધરવામાં આવે તો તે પ્રતિનિધિ હશે: વસ્તીમાંના દરેક પદાર્થને નમૂનામાં સમાવવાની સમાન સંભાવના હોવી જોઈએ.

જો વસ્તીનો પદાર્થ પૂરતો મોટો હોય, અને નમૂના આ વસ્તીનો માત્ર એક નાનો ભાગ બનાવે છે, તો પુનરાવર્તિત અને બિન-પુનરાવર્તિત નમૂનાઓ વચ્ચેનો તફાવત ભૂંસી નાખવામાં આવે છે.

ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા વિકલ્પોની સૂચિને વિવિધતા શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

આપેલ વિકલ્પના અવલોકનોની સંખ્યાને તેની આવર્તન ni કહેવામાં આવે છે, અને નમૂનાના પદાર્થ માટે આવર્તન ni નો ગુણોત્તર n-રિલેટિવ ફ્રીક્વન્સી wi છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનામાં સહજ દાખલાઓનો અભ્યાસ કરે છે. અન્ય કોઈપણ વિજ્ઞાનની જેમ, સંભાવના સિદ્ધાંતનો હેતુ ચોક્કસ ઘટના અથવા પ્રયોગના પરિણામની શક્ય તેટલી ચોક્કસ આગાહી કરવાનો છે. જો ઘટનાને અલગ કરવામાં આવે છે, તો સંભાવના સિદ્ધાંત ફક્ત ખૂબ વ્યાપક મર્યાદામાં પરિણામની સંભાવનાની આગાહી કરી શકે છે. નિયમિતતા માત્ર સજાતીય પરિસ્થિતિઓમાં બનતી મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ઘટનાઓ સાથે જ દેખાય છે.

પ્રમેયનું એક જૂથ જે રેન્ડમ ચલોની સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક લાક્ષણિકતાઓ અને રેન્ડમ ઘટનાઓ વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરે છે અને તેના પર મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો, તેમજ તે મર્યાદા વિતરણ કાયદાને લગતા છે, તે હેઠળ સંયુક્ત છે. સામાન્ય નામ સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયને મર્યાદિત કરો.

બે પ્રકારના મર્યાદા પ્રમેય છે: મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો અને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય.

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદોકબજો મેળવ્યો સૌથી મહત્વપૂર્ણ સ્થાનસંભાવના સિદ્ધાંતમાં, સંભાવના સિદ્ધાંત વચ્ચેની કડી છે ગાણિતિક વિજ્ઞાનઅને તેમના સામૂહિક અવલોકનો દરમિયાન રેન્ડમ ઘટનાના દાખલાઓ.

કાયદો ખૂબ રમે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાપ્રાકૃતિક ઘટનાઓ માટે સંભાવના સિદ્ધાંતના વ્યવહારુ કાર્યક્રમોમાં અને તકનીકી પ્રક્રિયાઓમોટા પાયે ઉત્પાદન સાથે સંકળાયેલ છે.

વિતરણના મર્યાદા નિયમો પ્રમેયના જૂથનો વિષય બનાવે છે - માત્રાત્મક સ્વરૂપમોટી સંખ્યામાં કાયદો. તે. મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો એ પ્રમેયની શ્રેણી છે, જેમાંથી દરેક એ હકીકતને સ્થાપિત કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ ચોક્કસ સ્થિરાંકો સુધી પહોંચે છે, એટલે કે. કેટલાક રેન્ડમ ચલોની સ્થિરાંકોની સંભાવનામાં કન્વર્જન્સની હકીકત સ્થાપિત કરો. આ બર્નૌલી, પોઈસન, લ્યાપુનોવ, માર્કોવ, ચેબીશેવના પ્રમેય છે.

1. એ) બર્નૌલીનું પ્રમેય – મોટી સંખ્યાનો કાયદો (મોઇવર-લાપ્લેસની મર્યાદા અભિન્ન પ્રમેયને ધ્યાનમાં લેતી વખતે § 6 ના ફકરા 3 માં અગાઉ ઘડવામાં આવ્યું હતું અને સાબિત થયું હતું.)

સજાતીય સ્વતંત્ર પ્રયોગોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઘટનાની આવર્તન એક અલગ પ્રયોગમાં ઘટનાની સંભાવના કરતાં ઇચ્છિત હોય તેટલી ઓછી હશે. નહિંતર, સંભાવના છે કે વિચલન સંબંધિત આવર્તનઘટનાની ઘટના એથી સતત સંભાવના આરઘટનાઓ એબહુ ઓછું જ્યારે કોઈપણ માટે 1 તરફ વલણ ધરાવે છે: .

બી) ચેબીશેવનું પ્રમેય.

સ્વતંત્ર અજમાયશની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, મર્યાદિત ભિન્નતા સાથેના રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાં સંભવિતતામાં કન્વર્જ થાય છે, અન્યથા, જો સ્વતંત્ર રીતે રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ કરવામાં આવે તો ગાણિતિક અપેક્ષાઅને મર્યાદિત વિક્ષેપ, પછી નીચેના કોઈપણ માટે સાચું છે: .

ચેબીશેવનું પ્રમેય (સામાન્યકૃત).જો ક્રમમાં રેન્ડમ ચલો જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર હોય અને તેમના ભિન્નતા સ્થિતિને સંતોષે છે , તો પછી કોઈપણ હકારાત્મક ε > 0 માટે નીચેનું વિધાન સાચું છે:

અથવા સમાન શું છે .

c) માર્કોવનું પ્રમેય. (સામાન્ય રચનામાં મોટી સંખ્યાનો કાયદો)

જો અનુક્રમમાં મનસ્વી રેન્ડમ ચલોની ભિન્નતા સ્થિતિને સંતોષે છે: , તો પછી કોઈપણ હકારાત્મક ε > 0 માટે ચેબીશેવના પ્રમેયનું નિવેદન ધરાવે છે: .

ડી) પોઈસનનું પ્રમેય.

માં સ્વતંત્ર પ્રયોગોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે ચલ શરતોઘટના આવર્તન એઆપેલ પરીક્ષણો માટે તેની સંભાવનાઓના અંકગણિત સરેરાશ સાથે સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે.

ટિપ્પણી.મોટી સંખ્યાના કાયદાના કોઈપણ સ્વરૂપમાં આપણે રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો સાથે વ્યવહાર કરતા નથી. શોધવા સંબંધિત પ્રશ્ન મર્યાદા કાયદોજ્યારે શરતોની સંખ્યા અનિશ્ચિત રૂપે વધે ત્યારે રકમનું વિતરણ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય દ્વારા ગણવામાં આવે છે. સમાન રીતે વિતરિત, પછી અમે પહોંચીએ છીએ અભિન્ન પ્રમેય De Moivre-Laplace (§ 6 ની કલમ 3), જે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો સૌથી સરળ વિશેષ કેસ છે.