Kaip pavaizduoti trupmeninę tiesinę funkciją. Pamoka „Trupmeninė tiesinė funkcija ir jos grafikas

Čia koeficientai už X Ir nemokami nariai skaitiklyje ir vardiklyje – duota realūs skaičiai. Trupmeninės tiesinės funkcijos grafikas bendras atvejis yra hiperbolė.

Paprasčiausia trupmeninė tiesinė funkcija y = - tu-

streikuoja atvirkščiai proporcinga priklausomybė ; ją vaizduojanti hiperbolė gerai žinoma iš kurso vidurinę mokyklą(5.5 pav.).

Ryžiai. 5.5

Pavyzdys. 5.3

Sukurkite tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką:

• 1. Kadangi ši trupmena neturi prasmės kada x = 3, Tai funkcijos X sritis susideda iš dviejų begalinių intervalų:
• 3) ir (3; +°°).

2. Norint ištirti funkcijos elgesį ties apibrėžimo srities riba (t.y. kai X-»3 ir val X-> ±°°), naudinga konvertuoti ši išraiškaį dviejų terminų sumą taip:

Kadangi pirmasis narys yra pastovus, funkcijos elgesį ant ribos iš tikrųjų lemia antrasis kintamasis narys. Ištyręs jo kitimo procesą, kada X-> 3 ir X->±°°, mes darome tokias išvadas santykinai suteikta funkcija:

• a) jei x->3 teisingai(t. y. *>3) funkcijos reikšmė didėja neribotai: adresu-> +°°: ties x->3 paliko(t. y. ties x y – taigi norima hiperbolė artėja prie tiesės be apribojimų su lygtimi x = 3 (apačioje kairėje Ir viršuje dešinėje) taigi ši tiesi linija yra vertikali asimptota hiperbolė;
• b) ties x ->±°° antrasis narys mažėja be ribos, todėl funkcijos reikšmė artėja prie pirmojo, pastovaus nario be ribos, t.y. vertinti y = 2. Šiuo atveju funkcijos grafikas artėja be apribojimų (apačioje kairėje ir viršuje dešinėje) iki lygties nurodytos tiesės y = 2; taigi ši linija yra horizontalioji asimptote hiperbolė.

komentuoti.Šiame skyriuje gauta informacija yra svarbiausia apibūdinti funkcijos grafiko elgseną nutolusioje plokštumos dalyje (vaizdžiai tariant, begalybėje).

• 3. Darydami prielaidą, kad l = 0, randame y = ~. Todėl norima hi-

perbolė kerta ašį Oi taške M x = (0;-^).

• 4. Nulinė funkcija ( adresu= 0) bus kada X= -2; todėl ši hiperbolė kerta ašį Oi taške M 2 (-2; 0).
• 5. Trupmena yra teigiama, jei skaitiklis ir vardiklis turi tą patį ženklą, ir neigiamas, jei skiriasi. Išspręsdami atitinkamas nelygybių sistemas, nustatome, kad funkcija turi du teigiamus intervalus: (-°°; -2) ir (3; +°°) ir vieną neigiamą intervalą: (-2; 3).
• 6. Pateikus funkciją kaip dviejų dėmenų sumą (žr. 2 punktą), gana lengva aptikti du mažėjimo intervalus: (-°°; 3) ir (3; +°°).
• 7. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi kraštutinumų.
• 8. Nustatykite Y šios funkcijos reikšmes: (-°°; 2) ir (2; +°°).
• 9. Taip pat nėra lyginių, nelyginių ar periodiškumo. Surinkta informacija pakankamai, kad schematiškai

nubrėžkite hiperbolę grafiškai atspindinčios šios funkcijos savybes (5.6 pav.).

Ryžiai. 5.6

Iki šiol aptartos funkcijos vadinamos algebrinė. Dabar pereikime prie svarstymo transcendentinis funkcijas.

savivaldybės ugdymo įstaiga

"Vidutinis vidurinę mokyklą Nr. 24"

Problemiška – abstraktus darbas

apie algebrą ir analizės principus

Trupmeninių racionalių funkcijų grafikai

11 A klasės mokiniai Natalija Sergeevna Tovčegrečko darbo vadovė Valentina Vasiljevna Parševa matematikos mokytoja, aukštojo mokslo mokytoja kvalifikacinė kategorija

Severodvinskas

Įvadas

N.A. Virčenko, I.I. Lyashko, K.I. Švecovas. Katalogas. Funkcijų grafikai. Kijevo „Naukova Dumka“ 1979 V.S. Kramor. Pakartokite ir sisteminkite mokyklos kursas algebra ir analizės pradžia. Maskvos „Apšvietos“ 1990 Yu.N. Makarychevas, N.G. Mindjukas. Algebra – 8 klasė. Papildomi skyriai į mokyklinis vadovėlis. Maskvos „Apšvietimas“, 1998 I.M. Gelfandas, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol. Funkcijos ir grafikai (pagrindinės technikos). Leidykla MCNMO, Maskva 2004 S.M. Nikolskis. M.K. Potapovas, N.N. Rešetnikovas, A.V. Ševkinas. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis 11 klasei.
Mačiau, kad grafikai sudėtingos funkcijos gali būti sukonstruota nenaudojant išvestinės, t.y. elementariais būdais. Todėl savo rašinio temą pasirinkau: „Trupmeninių racionalių funkcijų grafikai“.

Pagrindinė dalis. Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikai

1. Trupmeninė – tiesinė funkcija ir jos grafikas

Ryžiai. 1

.

Dešinėje šios formulės pusėje esančią išraišką pavaizduokime trupmena:

Tai reiškia, kad 2 paveiksle pavaizduotas formule pateiktos funkcijos grafikas

.

Ši trupmena turi skaitiklį ir vardiklį, kurie yra tiesiniai dvejetainiai x atžvilgiu. Tokios funkcijos vadinamos trupmeninėmis tiesinėmis funkcijomis.

Apskritai funkcija pateikta pagal formulę malonus
, Kur
x yra kintamasis, a,

.

Jei bc-ad=0, c≠0, išreikšdami b iš šios lygybės per a, c ir d ir pakeisdami ją į formulę, gausime:

Taigi, pirmuoju atveju gavome tiesinę funkciją bendras vaizdas
, antruoju atveju – konstanta
. Dabar parodykime, kaip nubraižyti tiesinę trupmeninę funkciją, jei ji pateikiama pagal formos formulę
2 pavyzdys. Nubraižykime funkciją
, t.y. pateiksime jį formoje
: pasirenkame visą trupmenos dalį, skaitiklį padalijus iš vardiklio, gauname:

Taigi,
. Matome, kad šios funkcijos grafiką galima gauti iš funkcijos y=5/x grafiko, naudojant du nuoseklius poslinkius: hiperbolę y=5/x į dešinę perkeliant 3 vienetais, o tada perkeliant gautą hiperbolę.
2 vienetais aukštyn Su šiais poslinkiais hiperbolės y = 5/x asimptotės taip pat pasislinks: x ašis 2 vienetais aukštyn, o y ašis 3 vienetais į dešinę. Norėdami sudaryti grafiką, asimptotes koordinačių plokštumoje nubrėžiame punktyrine linija: tiesė y=2 ir tiesė x=3. Kadangi hiperbolė susideda iš dviejų šakų, kiekvienai iš jų sudarysime dvi lenteles: vieną x.<3, а другую для x>3 (t. y. pirmasis yra į kairę nuo asimptotų susikirtimo taško, o antrasis yra į dešinę nuo jo):

Man patinka bet kokia trupmena
galima parašyti panašiai, išryškinant visą jo dalį. Vadinasi, visų trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos lygiagrečiai koordinačių ašys ir ištemptas išilgai Oy ašies.

3 pavyzdys.

Nubraižykime funkciją
.Kadangi mes žinome, kad grafikas yra hiperbolė, užtenka rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos (asimptotės), ir dar kelis taškus. Pirmiausia suraskime vertikalią asimptotę. Funkcija neapibrėžta, kur 2x+2=0, t.y. ties x=-1. Todėl vertikali asimptotė yra tiesė x = -1. Norėdami rasti horizontalią asimptotę, turite pažvelgti į tai, kokios funkcijos reikšmės artėja, kai argumentas didėja (pagal absoliuti vertė), antrieji trupmenos skaitiklio ir vardiklio nariai
palyginti mažas. Štai kodėl

.

Todėl horizontalioji asimptote– tiesė y=3/2. Nustatykime savo hiperbolės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Kai x = 0, turime y = 5/2. Funkcija lygi nuliui, kai 3x+5=0, t.y. ties x=-5/3 Pažymėdami brėžinyje taškus (-5/3;0) ir (0;5/2) ir nubrėždami rastą horizontalią ir. vertikalios asimptotės, sukurkime grafiką (4 pav.).

Apskritai, norint rasti horizontaliąją asimptotę, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio, tada y=3/2+1/(x+1), y=3/2 yra horizontalioji asimptotė.

2. Trupmeninė racionali funkcija

,

Kuriame skaitiklis ir vardiklis yra n-osios ir daugianariai m laipsnis. Tegul trupmena yra tinkama trupmena (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы baigtinis skaičius elementariosios trupmenos, kurių forma nustatoma trupmenos vardiklį Q(x) išskaidžius į realiųjų veiksnių sandaugą: Jei:

Kur k 1 ... k s yra daugianario Q (x) šaknys, turinčios atitinkamai dauginius m 1 ... m s, o trinaliai atitinka konjugacijos poras sudėtingos šaknys Q (x) formos trupmenos daugyba m 1 ... m t

Skambino elementarus racionalios trupmenos atitinkamai pirmasis, antrasis, trečiasis ir ketvirtasis tipai. Čia A, B, C, k yra realieji skaičiai; m ir m - natūralieji skaičiai, m, m>1; trinaris su realiais koeficientais x 2 +px+q turi menamas šaknis. Akivaizdu, kad trupmeninės-racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą. Funkcijos grafikas

Iš funkcijos 1/x m (m~1, 2, ...) grafiko gauname naudojant lygiagretus perdavimas išilgai x ašies │k│ mastelio vienetais į dešinę. Formos funkcijos grafikas

Tai lengva sukurti, jei pasirenkate vardiklyje tobulas kvadratas, tada atlikite atitinkamą funkcijos 1/x 2 grafiko formavimą. Funkcijos grafikas

susideda iš dviejų funkcijų grafikų sandaugos:

y= Bx+ C Ir

Kur a d-b c 0 ,
,

kur n - natūralusis skaičius, gali atlikti bendra schema tiriant funkciją ir brėžiant grafiką kai kuriose konkrečių pavyzdžių galite sėkmingai sudaryti grafiką, atlikdami atitinkamas grafų transformacijas; geriausias būdas duoti metodus aukštoji matematika. 1 pavyzdys. Nubraižykite funkciją

.

Išskyrę visą dalį, turime

.

Frakcija
Pavaizduokime ją kaip elementariųjų trupmenų sumą:

.

Sukurkime funkcijų grafikus:

Pridėjus šiuos grafikus, gauname nurodytos funkcijos grafiką:

6, 7, 8 paveiksluose pateikti funkcijų grafikų sudarymo pavyzdžiai
Ir
. 2 pavyzdys. Funkcijos grafikas
:

(1);
(2);
(3); (4)

(1);
(2);
(3); (4)

Išvada

Kur n

Sukurtas šių funkcijų grafikų braižymo algoritmas;

Įgyta patirties brėžiant tokias funkcijas kaip:

;

Išmokau dirbti su papildoma literatūra ir medžiaga, atrinkti mokslinę informaciją - įgijau patirties atliekant grafinius darbus kompiuteriu - išmokau rašyti probleminį abstraktų darbą;

Anotacija. XXI amžiaus išvakarėse mus užplūdo nesibaigiantis kalbų ir spėliojimų srautas apie informacijos greitkelį ir artėjančią technologijų erą.

XXI amžiaus išvakarėse mus užplūdo nesibaigiantis kalbų ir spėliojimų srautas apie informacijos greitkelį ir artėjančią technologijų erą.

1. Trupmeninė tiesinė funkcija ir jos grafikas

Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.

Tikriausiai jau esate susipažinę su racionaliųjų skaičių sąvoka. Taip pat racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.

Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. formos funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra pastovi). Tiesinė trupmeninė funkcija yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo jums žinomo grafiko y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Neribotai padidėjus x absoliučiai reikšmei, funkcija y = 1/x absoliučia reikšme mažėja neribotai ir abi grafiko atšakos artėja prie abscisės: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių hiperbolės artėjimo šakos vadinamos jo asimptotų.

1 pavyzdys.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Sprendimas.

Pasirinkime visą dalį: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atlikus tokias transformacijas: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempiant išilgai Oy ašies 7 kartus ir paslinkus 2 vieneto segmentais aukštyn.

Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti panašiai, paryškinant „sveikąją dalį“. Vadinasi, visų trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos išilgai koordinačių ašių ir ištemptos išilgai Oy ašies.

Norint sudaryti bet kurios savavališkos trupmeninės-tiesinės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės x = -d/c ir y = a/c asimptotes.

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija neapibrėžta, kai x = -1. Tai reiškia, kad tiesi linija x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumento x absoliuti reikšme padidėja.

Norėdami tai padaryti, padalykite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kaip x → ∞ trupmena bus linkusi į 3/2. Tai reiškia, kad horizontalioji asimptotė yra tiesė y = 3/2.

3 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).

Sprendimas.

Pažymime „visą trupmenos dalį“:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: poslinkis 1 vienetu į kairę, simetriškas rodymas Ox atžvilgiu ir poslinkis 2 vienetų segmentai aukštyn išilgai Oy ašies.

Domenas D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.

Atsakymas: 1 pav.

2. Trupmeninė racionali funkcija

Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.

Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) arba y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jei funkcija y = P(x) / Q(x) reiškia dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnį, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka naudoti metodus, panašius į tuos, kuriuos jau pristatėme aukščiau.

Tegul trupmena yra tinkama trupmena (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.

Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikų braižymas

Panagrinėkime keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninės racionalios funkcijos grafikus.

4 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = 1/x 2 .

Sprendimas.

Naudojame funkcijos y = x 2 grafiką, kad sukurtume y = 1/x 2 grafiką ir naudojame grafikų „padalijimo“ techniką.

Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).

Sankirtos taškų su ašimis nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.

Atsakymas: 2 pav.

5 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Sprendimas.

Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Čia mes panaudojome faktorizavimo, mažinimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos metodą.

Atsakymas: 3 pav.

6 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Sprendimas.

Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lyginė, grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. Prieš kurdami grafiką, dar kartą paverskime išraišką, paryškindami visą dalį:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies išskyrimas trupmeninės racionalios funkcijos formulėje yra vienas iš pagrindinių kuriant grafikus.

Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. tiesė y = 1 yra horizontali asimptotė.

Atsakymas: 4 pav.

7 pavyzdys.

Panagrinėkime funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykime tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. aukščiausias taškas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių neužtenka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „pakilti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turime išspręsti lygtį x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga. Norint rasti didžiausią funkcijos reikšmę, reikia išsiaiškinti, prie kokio didžiausio A lygtis A = x/(x 2 + 1) turės sprendinį. Pradinę lygtį pakeiskime kvadratine: Ax 2 – x + A = 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 – 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausią reikšmę A = 1/2.

Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Šioje pamokoje apžvelgsime trupmeninę tiesinę funkciją, spręsime uždavinius naudodami trupmeninę tiesinę funkciją, modulį, parametrą.

Tema: kartojimas

Pamoka: Trupmeninė tiesinė funkcija

Apibrėžimas:

Formos funkcija:

Pavyzdžiui:

Įrodykime, kad šios tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė.

Išimkime du iš skaitiklio skliaustų ir gaukime:

Turime x ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Dabar transformuojame taip, kad išraiška atsirastų skaitiklyje:

Dabar sumažinkime trupmenos terminą po termino:

Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra hiperbolė.

Galime pasiūlyti antrąjį įrodinėjimo būdą, ty skaitiklį padalinti iš vardiklio stulpelyje:

Gauta:

Svarbu, kad būtų galima lengvai sudaryti tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką, ypač norint rasti hiperbolės simetrijos centrą. Išspręskime problemą.

1 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:

Mes jau konvertavome šią funkciją ir gavome:

Norėdami sudaryti šį grafiką, neperkelsime ašių ar pačios hiperbolės. Funkcijų grafikų sudarymui naudojame standartinį metodą, naudojant pastovaus ženklo intervalų buvimą.

Mes veikiame pagal algoritmą. Pirmiausia panagrinėkime pateiktą funkciją.

Taigi, turime tris pastovaus ženklo intervalus: dešinėje () funkcija turi pliuso ženklą, tada ženklai pakaitomis, nes visos šaknys turi pirmąjį laipsnį. Taigi, intervale funkcija yra neigiama, intervale funkcija yra teigiama.

Sukuriame grafiko eskizą šalia ODZ šaknų ir lūžio taškų. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tai reiškia, kad kai argumento reikšmė linkusi į tris, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. Šiuo atveju, kai argumentas artėja prie trigubo kairėje, funkcija yra neigiama ir linkusi į minus begalybę, dešinėje funkcija yra teigiama ir palieka plius begalybę.

Dabar sukonstruojame funkcijos grafiko eskizą taškų apylinkėse begalybėje, t.y. kai argumentas linkęs į pliuso ar minuso begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Turime:

Taigi, turime horizontalią asimptotę ir vertikalią, hiperbolės centras yra taškas (3;2). Iliustruojame:

Ryžiai. 1. Hiperbolės grafikas, pavyzdžiui, 1

Dalinės tiesinės funkcijos problemas gali apsunkinti modulio ar parametro buvimas. Norėdami sukurti, pavyzdžiui, funkcijos grafiką, turite vadovautis šiuo algoritmu:

Ryžiai. 2. Algoritmo iliustracija

Gautoje diagramoje yra šakų, esančių virš x ašies ir žemiau x ašies.

1. Taikykite nurodytą modulį. Šiuo atveju grafiko dalys, esančios virš x ašies, lieka nepakitusios, o esančios žemiau ašies, atspindinčios x ašį. Mes gauname:

Ryžiai. 3. Algoritmo iliustracija

2 pavyzdys – nubraižykite funkciją:

Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas, pavyzdžiui, 2

Apsvarstykite šią užduotį – sukurkite funkcijos grafiką. Norėdami tai padaryti, turite laikytis šio algoritmo:

1. Nubraižykite submodulinę funkciją

Tarkime, kad gauname tokį grafiką:

Ryžiai. 5. Algoritmo iliustracija

1. Taikykite nurodytą modulį. Norėdami suprasti, kaip tai padaryti, išplėskime modulį.

Taigi funkcijų reikšmėms su neneigiamomis argumentų reikšmėmis pakeitimų nebus. Kalbant apie antrąją lygtį, mes žinome, kad ji gaunama simetriškai y ašies atžvilgiu. turime funkcijos grafiką:

Ryžiai. 6. Algoritmo iliustracija

3 pavyzdys – nubraižykite funkciją:

Pagal algoritmą pirmiausia reikia sudaryti submodulinės funkcijos grafiką, mes jį jau sukūrėme (žr. 1 pav.)

Ryžiai. 7. Funkcijos grafikas pvz 3

4 pavyzdys – raskite lygties šaknų skaičių su parametru:

Prisiminkite, kad lygties su parametru sprendimas reiškia pereiti visas parametro reikšmes ir nurodyti kiekvienos iš jų atsakymą. Veikiame pagal metodiką. Pirmiausia sukuriame funkcijos grafiką, tai jau padarėme ankstesniame pavyzdyje (žr. 7 pav.). Toliau reikia išardyti grafiką su skirtingų a linijų šeima, rasti susikirtimo taškus ir užrašyti atsakymą.

Žvelgdami į grafiką išrašome atsakymą: kada ir lygtis turi du sprendinius; kai lygtis turi vieną sprendinį; kai lygtis neturi sprendinių.

“SUBAŠIO PAGRINDINĖ UGDYMO MOKYKLA“ BALTŲ SAVIVALDYBĖS RAJ.

TATARSTANO RESPUBLIKA

Pamokos rengimas – 9 kl

Tema: Trupmeninė – tiesinė funkcijasijos

kvalifikacinė kategorija

GarifullinasAGeležinkelisašRifkatovna

201 4

Pamokos tema: Trupmena yra tiesinė funkcija.

Pamokos tikslas:

Edukacinis: supažindinkite mokinius su sąvokomistrupmeniškai – tiesinė funkcija ir asimptotų lygtis;

Ugdomasis: loginio mąstymo technikų formavimas, domėjimosi dalyku ugdymas; lavinti trupmeninės tiesinės funkcijos apibrėžimo srities, reikšmės srities nustatymą ir jos grafiko sudarymo įgūdžius;

- motyvacinis tikslas:ugdyti mokinių matematinę kultūrą, dėmesingumą, palaikyti ir ugdyti susidomėjimą dalyko studijomis naudojant įvairias žinių įgijimo formas.

Įranga ir literatūra: Nešiojamasis kompiuteris, projektorius, interaktyvi lenta, koordinačių plokštuma ir funkcijos y= grafikas , atspindžių žemėlapis, daugialypės terpės pristatymas,Algebra: vadovėlis pagrindinės vidurinės mokyklos 9 klasei / Yu.N. Makarychev, N.G. Mendyuk, K.I.Neshkov, S.B. redagavo S.A. Telyakovsky / M: „Prosveshchenie“, 2004 m.

Pamokos tipas:

žinių, įgūdžių, gebėjimų tobulinimo pamoka.

Pamokos eiga.

I organizacinis momentas:

Tikslas: - žodinio skaičiavimo įgūdžių ugdymas;

naujos temos studijoms reikalingos teorinės medžiagos ir apibrėžimų kartojimas.

Laba diena Pamoką pradedame tikrindami namų darbus:

Dėmesys ekranui (1–4 skaidrė):

Užduotis – 1.

Atsakykite į 3 klausimą naudodami šios funkcijos grafiką (raskite didžiausią funkcijos reikšmę, ...)

( 24 )

Užduotis -2. Apskaičiuokite išraiškos reikšmę:

- =

Užduotis -3: Raskite trigubą kvadratinės lygties šaknų sumą:

X 2 -671∙X + 670 = 0.

Kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui:

1+(-671)+670 = 0. Taigi x 1 =1 ir x 2 = Vadinasi,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Dabar surašykime visų 3 užduočių atsakymus iš eilės naudodami taškus. (2013 m. gruodžio 24 d.)

Rezultatas: Taip, tai tiesa! Taigi, šios dienos pamokos tema:

Trupmena yra tiesinė funkcija.

Prieš išvažiuodamas į kelią, vairuotojas turi žinoti kelių eismo taisykles: draudžiančius ir leidžiančius ženklus. Šiandien jūs ir aš taip pat turime prisiminti keletą draudžiamųjų ir leidžiančių ženklų. Dėmesio ekranui! (Skaidrė-6 )

Išvada:

Išraiška neturi reikšmės;

Teisingas posakis, atsakymas: -2;

teisinga išraiška, atsakymas: -0;

Jūs negalite padalyti 0 iš nulio!

Atkreipkite dėmesį, ar viskas surašyta teisingai? (skaidrė – 7)

1) ; 2) = ; 3) =a .

(1) tikroji lygybė, 2) = - ; 3) = - a )

II. Naujos temos mokymasis: (skaidr. – 8).

Tikslas: Išmokyti rasti trupmeninės tiesinės funkcijos apibrėžimo sritį ir reikšmės sritį, sudaryti jos grafiką lygiagrečiai perkeliant funkcijos grafiką išilgai abscisių ir ordinačių ašių.

Nustatykite, kuri funkcija pavaizduota koordinačių plokštumoje?

Pateiktas funkcijos grafikas koordinačių plokštumoje.

Klausimas

Laukiamas atsakymas

Raskite funkcijos apibrėžimo sritį, (D( y)=?)

X ≠0 arba(-∞;0]UUU

Funkcijos grafiką, naudodami lygiagretųjį vertimą, perkeliame išilgai Ox ašies (abscisės) 1 vienetu į dešinę;

Kokią funkciją nubraižėte?

Funkcijos grafiką, naudodami lygiagretųjį vertimą, perkeliame išilgai Oy (ordinačių) ašies 2 vienetais aukštyn;

Dabar kokią funkciją nubraižėte?

Nubrėžkite tiesias linijas x=1 ir y=2

Kaip manai? Kokias tiesiogines žinutes gavome jūs ir aš?

Tai tie tiesūs, prie kurios artėja funkcijos grafiko kreivės taškai toldami į begalybę.

Ir jie vadinami– asimptotai.

Tai yra, viena hiperbolės asimptotė eina lygiagrečiai y ašiai 2 vienetų atstumu į dešinę nuo jos, o antroji asimptotė eina lygiagrečiai x ašiai 1 vieneto atstumu virš jos.

Gerai padaryta! Dabar padarykime išvadą:

Tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė, kurią galima gauti iš hiperbolės y =naudojant lygiagrečius vertimus išilgai koordinačių ašių. Norėdami tai padaryti, trupmeninės tiesinės funkcijos formulė turi būti pateikta tokia forma: y=

kur n yra vienetų, kuriais hiperbolė paslinkta į dešinę arba į kairę, skaičius, m yra vienetų, kuriais hiperbolė paslinkta aukštyn arba žemyn, skaičius. Šiuo atveju hiperbolės asimptotės perkeliamos į tieses x = m, y = n.

Pateiksime trupmeninės tiesinės funkcijos pavyzdžius:

; .

Trupmeninė tiesinė funkcija yra y = formos funkcija , kur x yra kintamasis, a, b, c, d yra kai kurie skaičiai, o c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 irskelbimas- bc≠0, nes esant c=0 funkcija virsta tiesine funkcija.

Jeiguskelbimas- bc=0, gauta trupmena yra reikšmė, lygi (t.y. pastovus).

Trupmeninės tiesinės funkcijos savybės:

1. Didėjant teigiamoms argumento reikšmėms, funkcijos reikšmės mažėja ir linkusios į nulį, bet išlieka teigiamos.

2. Didėjant teigiamoms funkcijos reikšmėms, argumento reikšmės mažėja ir linkusios į nulį, bet išlieka teigiamos.

III – nagrinėjamos medžiagos konsolidavimas.

Tikslas: - ugdyti pristatymo įgūdžius ir gebėjimustrupmeninės tiesinės funkcijos formulės į formą:

Stiprinti asimptotinių lygčių sudarymo ir trupmeninės tiesinės funkcijos grafiko braižymo įgūdžius.

-1 pavyzdys:

Sprendimas: Naudodami transformacijas atvaizduojame šią funkciją formoje .

= (10 skaidrė)

Kūno kultūros minutė:

(apšilimą veda budintis pareigūnas)

Tikslas: - psichinės įtampos mažinimas ir mokinių sveikatos gerinimas.

Darbas su vadovėliu: Nr.184.

Sprendimas: Naudodami transformacijas šią funkciją pavaizduojame forma y=k/(x-m)+n.

= de x≠0.

Parašykime asimptotės lygtį: x=2 ir y=3.

Taigi funkcijos grafikas juda išilgai Ox ašies 2 vienetų atstumu į dešinę nuo jos ir išilgai Oy ašies 3 vienetų atstumu virš jos.

Grupinis darbas:

Tikslas: - ugdyti gebėjimą išklausyti kitus ir tuo pačiu konkrečiai reikšti savo nuomonę;

gebančio vadovauti asmens išsilavinimas;

mokinių matematinio kalbėjimo kultūros puoselėjimas.

1 variantas

Suteikta funkcija:

.

.

Variantas Nr.2

Suteikta funkcija

1. Suverskite trupmeninę tiesinę funkciją į standartinę formą ir užrašykite asimptočių lygtį.

2. Raskite funkcijos sritį

3. Raskite funkcijos reikšmių aibę

1. Suverskite trupmeninę tiesinę funkciją į standartinę formą ir užrašykite asimptočių lygtį.

2. Raskite funkcijos sritį.

3. Raskite funkcijos reikšmių rinkinį.

(Darbą baigusi grupė pirmiausia ruošiasi ginti grupės darbą prie lentos. Darbas analizuojamas.)

IV. Apibendrinant pamoką.

Tikslas: - teorinės ir praktinės veiklos analizė pamokoje;

Mokinių savigarbos įgūdžių formavimas;

Mokinių veiklos ir sąmonės refleksija, įsivertinimas.

Ir taip, mano brangūs mokiniai! Pamoka eina į pabaigą. Turite užpildyti apmąstymų kortelę. Atidžiai ir įskaitomai rašykite savo nuomones

Pavardė ir vardas _____________________________________________

Pamokos žingsneliai

Pamokos etapų sudėtingumo lygio nustatymas

Tavo mus-trigubas

Jūsų veiklos pamokoje įvertinimas, 1-5 balai

lengva

vidutinio sunkumo

sunku

Organizacinis etapas

Naujos medžiagos mokymasis

Trupmeninės tiesinės funkcijos grafiko sudarymo įgūdžių formavimas

Grupinis darbas

Bendra nuomonė apie pamoką

Namų darbai:

Tikslas: - patikrinti šios temos įvaldymo lygį.

[10* punktas, Nr. 180 (a), 181 (b).]

Pasiruošimas valstybiniam egzaminui: (Dirbti prie „Virtualus pasirenkamasis dalykas“ )

Pratimai iš GIA serijos (Nr. 23 – maksimalus balas):

Nubraižykite funkciją Y=ir nustatyti, kokiomis c reikšmėmis tiesė y=c turi tiksliai vieną bendrą tašką su grafiku.

Klausimai ir užduotys bus skelbiamos nuo 14.00 iki 14.30 val.