Kai kurias problemas galima patogiai ir aiškiai išspręsti naudojant Eulerio-Venno diagramas. Pavyzdžiui, problemos, susijusios su rinkiniais. Jei nežinote, kas yra Eulerio-Venno diagramos ir kaip jas sudaryti, pirmiausia perskaitykite.

Dabar pažiūrėkime į tai tipinės užduotys apie rinkinius.

1 užduotis.

Buvo atlikta 100 mokinių apklausa mokykloje, kurioje giliai mokosi užsienio kalbų. Mokiniams buvo užduotas klausimas: „Ką užsienio kalbų ar tu mokaisi?" Paaiškėjo, kad anglų ir vokiečių kalbų mokosi 48, prancūzų 26, vokiškai 28. anglų ir vokiečių - 8, prancūzų ir prancūzų - 8, prancūzų ir vokiečių - 13. 24 mokiniai nesimoko nei anglų, nei prancūzų, nei vokiečių. Kiek apklausą baigę moksleiviai vienu metu mokosi trimis kalbomis: anglų, prancūzų ir vokiečių?

Atsakymas: 3.

Sprendimas:

• daug moksleivių, besimokančių anglų kalbos („A“);
• daug moksleivių, besimokančių prancūzų kalbą („F“);
• daug moksleivių, besimokančių vokiečių kalbą („N“).

Eulerio-Veno diagrama pavaizduokime tai, kas mums duota pagal sąlygą.

Norimą plotą A=1, Ф=1, Н=1 pažymėkime „x“ (toliau esančioje lentelėje sritis Nr. 7). Likusias sritis išreikškime x.

0) Regionas A=0, Ф=0, Н=0: 24 moksleiviai – pateikiami pagal problemos sąlygas.

1) Plotas A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x moksleiviai.

2) Plotas A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x moksleiviai.

3) Sritis A=0, F=1, N=1: 13 moksleivių.

4) Plotas A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x moksleiviai.

5) Sritis A=1, F=0, H=1: 8 moksleiviai.

6) Sritis A=1, F=1, H=0: 8 moksleiviai.

Apibrėžkime x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Nustatėme, kad 3 moksleiviai vienu metu mokėsi trimis kalbomis: anglų, prancūzų ir vokiečių.

Taip atrodys žinomo x Eulerio-Venno diagrama:

2 užduotis.

Matematikos olimpiadoje moksleiviai turėjo išspręsti tris uždavinius: vieną – algebros, vieną – geometrijos, vieną – trigonometrijos. Olimpiadoje dalyvavo 1000 moksleivių. Olimpiados rezultatai buvo tokie: algebros uždavinius sprendė 800, geometrijos – 700, trigonometrijos – 600, algebros ir trigonometrijos – 500, geometrijos ir trigonometrijos – 400 mokinių. 300 žmonių sprendė algebros, geometrijos ir trigonometrijos uždavinius. Kiek moksleivių neišsprendė nė vienos problemos?

Atsakymas: 100.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžiame aibes ir įvedame žymėjimą. Jų yra trys:

• daug algebros uždavinių („A“);
• daug problemų geometrijoje („G“);
• daug trigonometrijos („T“) problemų.

Pavaizduokime, ką turime rasti:

Nustatykime moksleivių skaičių visose įmanomose srityse.

Norimą plotą A=0, G=0, T=0 pažymėkime „x“ (toliau esančioje lentelėje plotas Nr. 0).

Raskime likusias sritis:

1) Teritorija A=0, G=0, T=1: nėra moksleivių.

2) Teritorija A=0, G=1, T=0: nėra moksleivių.

3) Plotas A=0, G=1, T=1: 100 moksleivių.

4) Teritorija A=1, G=0, T=0: nėra moksleivių.

5) Regionas A=1, G=0, T=1: 200 moksleivių.

6) Plotas A=1, D=1, T=0: 300 moksleivių.

7) Regionas A=1, G=1, T=1: 300 moksleivių.

Į lentelę įrašykime plotų reikšmes:

Rodykime visų sričių reikšmes naudodami diagramą:

Apibrėžkime x:

x=U-(A V Г V Т), kur U yra visata.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Pastebėjome, kad 100 moksleivių neišsprendė nė vienos problemos.

3 užduotis.

Fizikos olimpiadoje moksleiviai turėjo išspręsti tris uždavinius: vieną kinematikos, termodinamikos ir optikos. Olimpiados rezultatai buvo tokie: kinematikos uždavinius sprendė 400, termodinamikos – 350, optikos – 300, kinematikos ir optikos – 200, termodinamikos ir optikos – 150 mokinių. 100 žmonių sprendė kinematikos, termodinamikos ir optikos uždavinius. Kiek moksleivių išsprendė dvi problemas?

Atsakymas: 350.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžiame aibes ir įvedame žymėjimą. Jų yra trys:

• daug kinematikos problemų („K“);
• daug termodinamikos problemų („T“);
• daug problemų optikos srityje ("O").

Eulerio-Veno diagrama pavaizduokime tai, kas mums duota pagal sąlygą:

Pavaizduokime, ką turime rasti:

Nustatykime mokinių skaičių visose galimose srityse:

0) Regionas K=0, T=0, O=0: neapibrėžtas.

1) Regionas K=0, T=0, O=1: 50 moksleivių.

2) Regionas K=0, T=1, O=0: nėra moksleivių.

3) Regionas K=0, T=1, O=1: 50 moksleivių.

4) Teritorija K=1, T=0, O=0: nėra moksleivių.

5) Regionas K=1, T=0, O=1: 100 moksleivių.

6) Regionas K=1, T=1, O=0: 200 moksleivių.

7) Regionas K=1, T=1, O=1: 100 moksleivių.

Į lentelę įrašykime plotų reikšmes:

Rodykime visų sričių reikšmes naudodami diagramą:

Apibrėžkime x.

x=200+100+50=350.

Gavome, 350 moksleivių išsprendė dvi problemas.

4 užduotis.

Buvo atlikta apklausa tarp praeivių. Buvo užduotas klausimas: „Kokį augintinį turite? Remiantis apklausos rezultatais, paaiškėjo, kad 150 žmonių turi katę, 130 – šunį, 50 – paukštį. 60 žmonių turi katę ir šunį, 20 - katę ir paukštį, 30 - šunį ir paukštį. 70 žmonių apskritai neturi augintinio. 10 žmonių turi katę, šunį ir paukštį. Kiek praeivių dalyvavo apklausoje?

Atsakymas: 300.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžiame aibes ir įvedame žymėjimą. Jų yra trys:

• daug žmonių, turinčių katę („K“);
• daug žmonių, turinčių šunį („C“);
• daug žmonių, kurie turi paukštį ("P").

Eulerio-Veno diagrama pavaizduokime tai, kas mums duota pagal sąlygą:

Pavaizduokime, ką turime rasti:

Nustatykime žmonių skaičių visose galimose srityse:

0) Regionas K=0, S=0, P=0: 70 žmonių.

1) Plotas K=0, S=0, P=1: 10 žmonių.

2) Regionas K=0, S=1, P=0: 50 žmonių.

3) Plotas K=0, S=1, P=1: 20 žmonių.

4) Regionas K=1, S=0, P=0: 80 žmonių.

5) Plotas K=1, T=0, O=1: 10 žmonių.

6) Plotas K=1, T=1, O=0: 50 žmonių.

7) Plotas K=1, T=1, O=1: 10 žmonių.

Į lentelę įrašykime plotų reikšmes:

Rodykime visų sričių reikšmes naudodami diagramą:

Apibrėžkime x:

x=U (visata)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Išsiaiškinome, kad apklausoje dalyvavo 300 žmonių.

5 užduotis.

Viename iš universitetų į vieną specialybę įstojo 120 žmonių. Stojantieji laikė tris egzaminus: matematikos, informatikos ir rusų kalbos. Matematiką išlaikė 60, informatiką – 30, matematiką ir rusų kalbą – 30, informatiką ir rusų kalbą. Visus tris egzaminus išlaikė 20 žmonių, neišlaikė 50 žmonių. Kiek pretendentų išlaikė rusų kalbos egzaminą?

Pradinis lygis

Lygčių, nelygybių, sistemų sprendimas naudojant funkcijų grafikus. Vizualus vadovas (2019)

Daugelis užduočių, kurias esame įpratę skaičiuoti grynai algebriškai, gali būti išspręstos daug lengviau ir greičiau naudojant funkcijų grafikus. Jūs sakote "kaip taip?" ką nors nupiešti, o ką piešti? Patikėkite, kartais taip patogiau ir lengviau. Ar pradėsime? Pradėkime nuo lygčių!

Grafinis lygčių sprendimas

Grafinis tiesinių lygčių sprendimas

Kaip jau žinote, tiesinės lygties grafikas yra tiesi linija, taigi ir šio tipo pavadinimas. Tiesines lygtis gana lengva išspręsti algebriškai – visus nežinomuosius perkeliame į vieną lygties pusę, viską, ką žinome, į kitą ir voila! Radome šaknį. Dabar aš jums parodysiu, kaip tai padaryti grafiškai.

Taigi jūs turite lygtį:

Kaip tai išspręsti?
1 variantas, o dažniausiai yra perkeliant nežinomus į vieną pusę, o žinomus į kitą, gauname:

Dabar statykime. ką gavai?

Kaip manote, kokia yra mūsų lygties šaknis? Tiesa, grafikų susikirtimo taško koordinatė yra:

Mūsų atsakymas yra

Tai yra visa grafinio sprendimo išmintis. Kaip galite lengvai patikrinti, mūsų lygties šaknis yra skaičius!

Kaip jau sakiau aukščiau, tai yra labiausiai paplitęs variantas, artimas algebrinis sprendimas, bet jūs galite tai išspręsti kitaip. Apsvarstymui alternatyvus sprendimas Grįžkime prie mūsų lygties:

Šį kartą nieko nejudinsime iš vienos pusės į kitą, o tiesiogiai sudarysime grafikus tokius, kokie jie yra dabar:

Pastatytas? pažiūrėsim!

Koks sprendimas šį kartą? tai tiesa. Tas pats - grafikų susikirtimo taško koordinatė:

Ir vėl mūsų atsakymas yra.

Kaip matote, su tiesines lygtis viskas labai paprasta. Atėjo laikas pažvelgti į kažką sudėtingesnio... Pavyzdžiui, grafinis kvadratinių lygčių sprendimas.

Grafinis kvadratinių lygčių sprendimas

Taigi, dabar pradėkime spręsti kvadratinę lygtį. Tarkime, kad reikia rasti šios lygties šaknis:

Žinoma, dabar galite pradėti skaičiuoti per diskriminantą arba pagal Vietos teoremą, tačiau daugelis žmonių daro klaidų daugindami ar kvadratuodami, ypač jei pavyzdys yra su dideli skaičiai, ir, kaip žinia, egzaminui skaičiuotuvo neturėsi... Todėl spręsdami šią lygtį pabandykime šiek tiek atsipalaiduoti ir piešti.

Raskite sprendimus grafiškai duota lygtis Gali įvairiais būdais. Pažvelkime į skirtingas parinktis ir galėsite pasirinkti, kuri iš jų jums labiausiai patinka.

1 būdas. Tiesiogiai

Mes tiesiog sukuriame parabolę naudodami šią lygtį:

Norėdami tai padaryti greitai, duosiu jums nedidelę užuominą: Konstrukciją patogu pradėti nustatant parabolės viršūnę.Šios formulės padės nustatyti parabolės viršūnės koordinates:

Jūs pasakysite: „Stop! Formulė labai panaši į diskriminanto radimo formulę“, taip, taip, ir tai yra didžiulis trūkumas „tiesiogiai“ sukonstruojant parabolę, kad būtų galima rasti jos šaknis. Tačiau suskaičiuokime iki galo, o tada parodysiu, kaip tai padaryti daug (daug!) lengviau!

Ar skaičiavai? Kokias koordinates gavai parabolės viršūnei? Išsiaiškinkime tai kartu:

Lygiai toks pat atsakymas? Gerai padaryta! Ir dabar jau žinome viršūnės koordinates, bet norint sukonstruoti parabolę reikia daugiau... taškų. Kaip manote, kiek minimalių taškų mums reikia? Teisingai,.

Jūs žinote, kad parabolė yra simetriška savo viršūnei, pavyzdžiui:

Atitinkamai, mums reikia dar dviejų taškų kairėje arba dešinėje parabolės šakoje, o ateityje šiuos taškus simetriškai atspindėsime priešingoje pusėje:

Grįžkime prie savo parabolės. Mūsų atveju, taškas. Mums reikia dar dviejų taškų, kad galėtume paimti teigiamus, ar galime paimti neigiamus? Kurie taškai jums patogesni? Man patogiau dirbti su teigiamais, todėl skaičiuosiu ir.

Dabar turime tris taškus ir galime lengvai sukurti savo parabolę atspindėdami du paskutiniai taškai palyginti su jo viršumi:

Kaip manote, koks yra lygties sprendimas? Teisingai, taškai, kuriuose, tai yra, ir. Nes.

Ir jei taip sakome, tai reiškia, kad jis taip pat turi būti lygus, arba.

Tiesiog? Mes baigėme spręsti lygtį sudėtingu grafiniu būdu, arba bus daugiau!

Žinoma, galite patikrinti mūsų atsakymą algebriškai – šaknis galite apskaičiuoti naudodami Vietos teoremą arba Diskriminantą. ką gavai? Tas pats? Matai! Dabar pažvelkime į labai paprastą grafinį sprendimą, aš tikiu, kad jis jums tikrai patiks!

2 būdas. Padalinta į kelias funkcijas

Paimkime tą pačią lygtį: , bet parašysime šiek tiek kitaip, būtent:

Ar galime parašyti taip? Galime, nes transformacija lygiavertė. Pažiūrėkime toliau.

Sukurkime dvi funkcijas atskirai:

1. - grafikas toks paprasta parabolė, kurią galite lengvai sukurti net neapibrėždami viršūnės naudodami formules ir nesudarę lentelės, kad nustatytumėte kitus taškus.
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lygiai taip pat lengvai sudaryti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Pastatytas? Palyginkime su tuo, ką turiu:

Ar manote, kad į šiuo atveju yra lygties šaknys? Teisingai! Koordinatės, gautos susikirtus dviem grafikams, ty:

Atitinkamai, šios lygties sprendimas yra toks:

ka tu sakai? Sutikite, šis sprendimo būdas yra daug lengvesnis nei ankstesnis ir netgi lengviau nei ieškoti šaknų per diskriminantą! Jei taip, pabandykite išspręsti šią lygtį naudodami šį metodą:

ką gavai? Palyginkime savo grafikus:

Grafikai rodo, kad atsakymai yra tokie:

Ar susitvarkei? Gerai padaryta! Dabar pažvelkime į lygtis šiek tiek sudėtingiau, būtent į sprendimą mišrios lygtys, tai yra lygtys, kuriose yra įvairių tipų funkcijos.

Mišrių lygčių grafinis sprendimas

Dabar pabandykime išspręsti šiuos klausimus:

Žinoma, galime atnešti viską bendras vardiklis, suraskite gautos lygties šaknis, nepamirštant atsižvelgti į ODZ, bet vėl bandysime ją išspręsti grafiškai, kaip ir visais ankstesniais atvejais.

Šį kartą sukurkime šiuos 2 grafikus:

1. - grafikas yra hiperbolė
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lengvai nubrėžti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Suprato? Dabar pradėkite statyti.

Štai ką aš gavau:

Žiūrėdami į šią nuotrauką, pasakykite man, kokios yra mūsų lygties šaknys?

Teisingai, ir. Štai patvirtinimas:

Pabandykite įjungti mūsų šaknis į lygtį. Ar pavyko?

Teisingai! Sutikite, tokias lygtis spręsti grafiškai – vienas malonumas!

Pabandykite grafiškai išspręsti lygtį patys:

Aš duosiu jums užuominą: perkelkite dalį lygties į dešinėje pusėje, kad abiejose pusėse būtų paprasčiausios konstruojamos funkcijos. Ar supratai užuominą? Imkitės veiksmų!

Dabar pažiūrėkime, ką gavote:

Atitinkamai:

1. - kubinė parabolė.
2. - įprasta tiesi linija.

Na, statykime:

Kaip jau seniai užsirašėte, šios lygties šaknis yra - .

Tai nusprendęs didelis skaičius pavyzdžius, esu tikras, kad supratote, kaip greitai ir lengvai galite išspręsti lygtis grafiškai. Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip tokiu būdu išspręsti sistemas.

Grafinis sistemų sprendimas

Grafinis sprendimas sistemos iš esmės nesiskiria nuo grafinio lygčių sprendimo. Taip pat sudarysime du grafikus, o jų susikirtimo taškai bus šios sistemos šaknys. Vienas grafikas yra viena lygtis, antrasis grafikas yra kita lygtis. Viskas nepaprastai paprasta!

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko – tiesinių lygčių sistemų sprendimo.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas

Tarkime, kad turime tokią sistemą:

Pirma, transformuokime jį taip, kad kairėje būtų viskas, kas yra susiję, o dešinėje - viskas, su kuo susiję. Kitaip tariant, parašykime šias lygtis kaip funkciją mūsų įprasta forma:

Dabar mes tiesiog statome dvi tiesias linijas. Koks sprendimas mūsų atveju? Teisingai! Jų susikirtimo taškas! Ir čia reikia būti labai labai atsargiems! Pagalvok, kodėl? Duodu užuominą: turime reikalą su sistema: sistemoje yra tiek, tiek... Supratote?

Teisingai! Spręsdami sistemą turime žiūrėti į abi koordinates, o ne tik kaip spręsdami lygtis! Kitas svarbus punktas- užsirašykite juos teisingai ir nesupainiokite, kur mes turime prasmę, o kur prasmė! Ar užsirašėte? Dabar palyginkime viską iš eilės:

Ir atsakymai: ir. Atlikite patikrinimą – pakeiskite rastas šaknis į sistemą ir įsitikinkite, ar teisingai išsprendėme grafiškai?

Netiesinių lygčių sistemų sprendimas

Ką daryti, jei vietoj vienos tiesios linijos turime kvadratinė lygtis? Viskas gerai! Jūs tiesiog pastatykite parabolę, o ne tiesią liniją! Netikite manimi? Pabandykite išspręsti šią sistemą:

Koks mūsų kitas žingsnis? Teisingai, užsirašykite, kad mums būtų patogu kurti grafikus:

O dabar viskas priklauso nuo smulkmenų – greitai sukurkite ir štai jūsų sprendimas! Mes statome:

Ar grafikai pasirodė vienodi? Dabar paveikslėlyje pažymėkite sistemos sprendinius ir teisingai surašykite nustatytus atsakymus!

Viską padarei? Palyginkite su mano užrašais:

Ar viskas gerai? Gerai padaryta! Jau spustelite panašias užduotis kaip riešutai! Jei taip, pateiksime jums sudėtingesnę sistemą:

Ką mes darome? Teisingai! Rašome sistemą taip, kad ją būtų patogu kurti:

Duosiu jums nedidelę užuominą, nes sistema atrodo labai sudėtinga! Kurdami grafikus kurkite jų „daugiau“, o svarbiausia – nesistebėkite susikirtimo taškų skaičiumi.

Taigi, eime! Iškvėptas? Dabar pradėkite statyti!

Taigi kaip? Gražus? Kiek susikirtimo taškų gavote? Aš turiu tris! Palyginkime savo grafikus:

Taip pat? Dabar atidžiai užrašykite visus mūsų sistemos sprendimus:

Dabar dar kartą pažvelkite į sistemą:

Ar įsivaizduojate, kad tai išsprendėte vos per 15 minučių? Sutikite, matematika vis tiek paprasta, ypač žiūrėdamas į išraišką nebijai suklysti, o tiesiog imk ir išspręsk! Tu šaunuolis!

Grafinis nelygybių sprendimas

Grafinis tiesinių nelygybių sprendimas

Po to paskutinis pavyzdys Tu gali susitvarkyti su viskuo! Dabar iškvėpkite – lyginant su ankstesniais skyriais, šis bus labai labai lengvas!

Pradėsime, kaip įprasta, nuo grafinio sprendimo tiesinė nelygybė. Pavyzdžiui, šis:

Pirmiausia atlikime paprasčiausias transformacijas – atidarykite skliaustus pilni kvadratai ir pateikti panašias sąlygas:

Nelygybė nėra griežta, todėl ji neįtraukiama į intervalą, o sprendimas bus visi taškai, esantys dešinėje, nes daugiau, daugiau ir tt:

Atsakymas:

tai viskas! Lengvai? Išspręskime paprastą nelygybę su dviem kintamaisiais:

Nubraižykime funkciją koordinačių sistemoje.

Ar gavote tokį tvarkaraštį? Dabar atidžiai pažiūrėkime, kokią nelygybę turime? Mažiau? Tai reiškia, kad dažome viską, kas yra mūsų tiesios linijos kairėje. O jei būtų daugiau? Tai tiesa, tada nudažytume viską, kas yra į dešinę nuo mūsų tiesės. Tai paprasta.

Visi sprendimai šios nelygybės"užtemdytas" oranžinė. Štai ir išspręsta nelygybė su dviem kintamaisiais. Tai reiškia, kad bet kurio taško koordinatės iš užtamsintos srities yra sprendiniai.

Kvadratinių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar mes suprasime, kaip grafiškai išspręsti kvadratines nelygybes.

Tačiau prieš pradėdami dirbti, peržvelkime medžiagą apie kvadratinę funkciją.

Už ką atsakingas diskriminantas? Tai tiesa, dėl grafiko padėties ašies atžvilgiu (jei to neprisimenate, būtinai perskaitykite teoriją apie kvadratines funkcijas).

Bet kokiu atveju, čia yra nedidelis priminimas:

Dabar, kai atnaujinome visą atmintyje esančią medžiagą, imkimės darbo – išspręskite nelygybę grafiškai.

Iš karto pasakysiu, kad yra dvi problemos sprendimo galimybės.

1 variantas

Savo parabolę rašome kaip funkciją:

Naudodami formules nustatome parabolės viršūnės koordinates (lygiai tokias pačias, kaip ir sprendžiant kvadratines lygtis):

Ar skaičiavai? ką gavai?

Dabar paimkime dar du skirtingus taškus ir apskaičiuokime jiems:

Pradėkime statyti vieną parabolės atšaką:

Mes simetriškai atspindime savo taškus kitoje parabolės šakoje:

Dabar grįžkime prie savo nelygybės.

Mums reikia, kad taip būtų mažiau nei nulis, atitinkamai:

Kadangi mūsų nelygybėje ženklas yra griežtai mažesnis nei, tada galutiniai taškai neįtraukiame - „išdurti“.

Atsakymas:

Ilgas kelias, tiesa? Dabar parodysiu jums paprastesnę grafinio sprendimo versiją, naudodamas tos pačios nelygybės pavyzdį:

2 variantas

Grįžtame prie savo nelygybės ir pažymime mums reikalingus intervalus:

Sutikite, tai daug greičiau.

Dabar parašykime atsakymą:

Apsvarstykime kitą sprendimą, kuris supaprastina algebrinę dalį, tačiau svarbiausia – nesusipainioti.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Pabandykite patys išspręsti šiuos dalykus kvadratinė nelygybė bet kokiu būdu jums patinka: .

Ar susitvarkei?

Pažiūrėkite, kaip pasirodė mano grafikas:

Atsakymas: .

Mišrių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar pereikime prie sudėtingesnių nelygybių!

Kaip jums tai:

Tai baisu, ar ne? Sąžiningai, aš neįsivaizduoju, kaip tai išspręsti algebriškai... Bet tai nėra būtina. Grafiškai čia nėra nieko sudėtingo! Akys bijo, bet rankos daro!

Pirmas dalykas, nuo kurio pradėsime, yra sudaryti du grafikus:

Nerašysiu kiekvienos lentelės - esu tikras, kad galite tai puikiai padaryti patys (oho, yra tiek daug pavyzdžių, kuriuos reikia išspręsti!).

Ar nudažėte? Dabar sukurkite du grafikus.

Palyginkime savo piešinius?

Ar pas jus tas pats? Puiku! Dabar sutvarkykime susikirtimo taškus ir naudodami spalvą nustatykime, kuris grafikas teoriškai turėtų būti didesnis, ty. Pažiūrėkite, kas atsitiko pabaigoje:

Dabar pažiūrėkime, kur mūsų pasirinktas grafikas yra aukštesnis už grafiką? Nedvejodami imkite pieštuką ir pieškite šią sritį! Ji bus mūsų sudėtingos nelygybės sprendimas!

Kokiais intervalais išilgai ašies esame aukščiau? Teisingai,. Tai atsakymas!

Na, dabar galite tvarkyti bet kokią lygtį, bet kokią sistemą ir juo labiau bet kokią nelygybę!

TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Lygčių sprendimo naudojant funkcijų grafikus algoritmas:

1. Išreikškime tai per
2. Apibrėžkime funkcijos tipą
3. Sukurkime gautų funkcijų grafikus
4. Raskime grafikų susikirtimo taškus
5. Parašykime atsakymą teisingai (atsižvelgdami į ODZ ir nelygybės ženklus)
6. Patikrinkime atsakymą (pakeiskite šaknis į lygtį arba sistemą)

Daugiau informacijos apie funkcijų grafikų sudarymą rasite temoje "".

>> 11 pamoka. Stulpeliai ir linijinės diagramos

Ryšys tarp dydžių gali būti vizualiai pavaizduotas juostelėmis arba segmentais.

Lentelėje parodytas laikas, kurį vaikai praleidžia kelyje iš namų į mokyklą.

Tai lengva išvesti iš diagramos skirtingos savybės dydžių santykiai. Pavyzdžiui, iš mūsų diagramos iš karto aišku, kad Igoris užtrunka ilgiausiai į mokyklą, o Tanya - greičiausiai, kad Olya ir Miša kelyje į mokyklą praleidžia tiek pat laiko - 15 minučių, o Sasha ir kelias į mokyklą. Igoris trunka daugiau nei 15 minučių ir pan.

1. Stebuklingą žemę sudaro penkios dalys: Rožinė žemė. Geltona, Mėlyna. Violetinis ir smaragdinis miestas.

a) Juostinė diagrama rodo kritulių kiekį per metus Mėlynojoje šalyje. Naudodamiesi diagrama, atsakykite į klausimus:

1) Kiek kritulių iškrito rugsėjį?
2) Kada kritulių iškrito mažiausiai, o kada daugiausia?
3) Kuriais mėnesiais iškrito tiek pat kritulių?
4) Kada iškrito 90 mm kritulių, o kada daugiau nei 90 mm?
5) Kada iškrito mažiau nei 60 mm kritulių?
b) Kiek mažiau kritulių iškrito rugpjūtį nei spalį?
7) Kiek kritulių iškrito per kiekvieną sezoną? Kiek kritulių iškrito per visus metus?

b) Remdamiesi lentelės duomenimis, sudarykite kritulių Smaragdo mieste per metus grafiką. Išanalizuokite tai.

c) Linijinėje diagramoje pateikiama informacija apie vaikų gimstamumą Rožinėje šalyje per metus. Naudodamiesi diagrama, atsakykite į klausimus:

1) Kiek vaikų gimė liepos mėnesį?
2) Kurį mėnesį gimė daugiausia vaikų, o kurį – mažiausiai?
3) Kiek vaikų gimė vasarą? Kiek vaikų gimė per metus?
4) Kiek daugiau vaikų gimė gegužę nei balandį?
5) Kuriais mėnesiais gimė 500 vaikų?
6) Kokiais mėnesiais gimė daugiau nei 600 vaikų?

Perbraukite nutrūkusi linija, nuosekliai sujungiant viršutinius diagramos segmentų galus ir nustatyti, kuriais mėnesiais vaikų gimstamumas didėjo, kuriais sumažėjo, o kada nekito.

d) Remdamiesi lentelės duomenimis, sudarykite linijinę vaikų gimstamumo diagramą Violetinė šalis. Išanalizuokite tai.

2. Nustatykite taškų A, B, C, D, E ir F koordinates ir raskite atkarpų AB, CD, EF ilgį.

3. Išspręskite lygtis:

4. „Blitz turnyras“.

a) Varna Kaggi-Karr nuskrido km per 4 valandas. Kiek toli jis nuskris per 7 valandas, jei skris tuo pačiu greičiu?

b) Ellie ėjo slėniu b km, o kalnų keliu - tik 24% šio atstumo. Kokiu greičiu Ellie ėjo kalnų keliu, jei įveikė jį per 3 valandas?

c) Oorfene Deuce armijoje buvo kapralų, kurie sudarė 15% jo armijos karių skaičiaus. Kiek daugiau karių nei kapralų buvo Oorfene Deuce armijoje?

d) Oorfene'as Deuce'as nusprendė savo armijai padaryti x medinius kareivius. Jis tai padaro kareiviams per dieną. Kiek jam liko karių po 9 dienų? dirbti ?

e) Jūreiviui Čarliui sukako 5 metai. Kiek jam bus po 4 metų?

5. Rožinėje šalyje gyvena 540 000 gyventojų, tai yra tiek pat gyventojų, kiek ir Mėlynojoje šalyje. 40% gyventojų gyvena Geltonojoje šalyje bendras skaičius Rožinės ir Mėlynos šalių gyventojų, o Purpurinėje šalyje gyvena 78 000 gyventojų daugiau nei Geltonojoje šalyje. Kiek gyventojų yra Smaragdo mieste, jei iš viso Magiškoje žemėje yra 3 000 000 gyventojų?

6. Užrašykite rinkinį natūralūs sprendimai nelygybės:

7*. Nupieškite stebuklingos žemės diagramą, jei žinote, kad mėlyna, violetinė ir rožinė šalys turi bendrą sieną su kitomis keturiomis dalimis. Geltona šalis ir Smaragdo miestas neturi vienas kito bendra siena, o Geltonąją šalį iš visų pusių supa Didžioji dykuma, skirianti stebuklinga žemė iš viso pasaulio.

Petersonas Liudmila Georgievna. Matematika. 4 klasė. 3 dalis. - M.: Leidykla Yuventa, 2005, - 64 p.: iliustr.

Paveikslėlyje paryškinti taškai rodo per parą iškritusių kritulių kiekį Š mieste nuo 1908 m. vasario 4 d. iki vasario 17 d. Mėnesio datos nurodomos horizontaliai, o atitinkamą dieną iškritęs kritulių kiekis milimetrais – vertikaliai. Aiškumo dėlei paryškinti taškai paveiksle yra sujungti linija. Iš nuotraukos nustatykite, kurią dieną tiksliai iškrito 2 milimetrai kritulių pirmą kartą.

Sprendimas

Parenkame tašką su 2 ordinatėmis ir mažiausia abscise. Matome, kad jo abscisė yra 8. Tai reiškia, kad vasario 8 dieną pirmą kartą iškrito 2 mm kritulių.

Atsakymas

Būklė

Grafike parodytas automobilio variklio pašildymo procesas. X ašyje rodomas laikas minutėmis, praėjęs nuo variklio užvedimo, o y ašyje – variklio temperatūra Celsijaus laipsniais. Iš grafiko nustatykite, kiek minučių variklis įkaito nuo temperatūros 30 ^(\circ)C iki temperatūros 70 ^(\circ)C.

Sprendimas

Ordinačių ašyje randame intervalą nuo 30 iki 70^(\circ)C.

Atsakymas

Jis abscisių ašyje atitinka laikotarpį nuo 1 iki 7 minučių. Tai yra, variklis įkaista šešias minutes. Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis

Būklė

“ Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Sprendimas

Grafike parodyta automobilio variklio sukimo momento priklausomybė nuo jo apsisukimų skaičiaus per minutę. Apsisukimų skaičius per minutę pavaizduotas ant abscisių ašies. Ordinačių ašyje yra sukimo momentas Nm. Kad automobilis pradėtų judėti, sukimo momentas turi būti ne mažesnis kaip 50 Nm. Koks mažiausias variklio apsisukimų skaičius per minutę reikalingas automobiliui užvesti?

Atsakymas

Parenkame tašką su ordinatėmis 50, esantį arčiausiai pradžios. Naudodamiesi paveikslu, grafike randame tašką, atitinkantį ordinates, iš jo nuleidžiame statmeną abscisių ašiai ir gauname tašką, kurio abscisė yra lygi 2000, tai yra mažiausias apsisukimų skaičius.

Būklė

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova. Šildytuvo galia automobilyje reguliuojama papildoma varža, kurią galima keisti sukant rankenėlę automobilio viduje. Kai varža mažėja, srovė didėja elektros variklis, dėl kurio šildytuvo variklis sukasi greičiau. Grafike parodyta srovės priklausomybė nuo varžos grandinėje. X ašyje rodoma varža (omais), o y ašyje rodoma srovė amperais. Šildytuvo rankena buvo pasukta taip, kad srovė grandinėje sumažėjo nuo 8 iki 4 amperų. Naudodami grafiką nustatykite, kiek omų padidėjo pasipriešinimas?

Sprendimas

Naudodamiesi paveikslu, ordinačių ašyje nustatome tarpą nuo 8 iki 4 amperų (srovė elektros variklio grandinėje mažėja), tai atitinka tarpą ant abscisės ašies nuo 1 iki 2,5 omo, tai yra, varža grandinė padidėjo 1,5 omo.

Atsakymas

Parenkame tašką su ordinatėmis 50, esantį arčiausiai pradžios. Naudodamiesi paveikslu, grafike randame tašką, atitinkantį ordinates, iš jo nuleidžiame statmeną abscisių ašiai ir gauname tašką, kurio abscisė yra lygi 2000, tai yra mažiausias apsisukimų skaičius.

Būklė

Oro uoste keleivių lagaminai konvejerio juosta keliami į bagažo atsiėmimo zoną. Leistinas diržo įtempimas tiesiogiai priklauso nuo konvejerio pasvirimo kampo į horizontą esant projektinei apkrovai. Ši priklausomybė pavaizduota grafike. Abscisių ašyje nurodytas konvejerio pakilimo kampas laipsniais, o ordinačių ašyje – diržo įtempimo jėga esant leistinai apkrovai (kilogramų jėga). Naudodami grafiką nustatykite, kokiu konvejerio pasvirimo kampu juostos įtempimo jėga bus 200 kgf? Atsakymą pateikite laipsniais.

Sprendimas

Ordinačių ašyje randame ženklą 200 kgf. Nubrėžkite tiesę, statmeną ordinatėms, kol ji susikirs su grafiku; nuo šio taško (grafike) nuleidžiame statmeną abscisių ašiai, atitinkama vertė yra 75. Konvejerio pasvirimo kampas į horizontą yra 75^(\circ) .

Atsakymas

Parenkame tašką su ordinatėmis 50, esantį arčiausiai pradžios. Naudodamiesi paveikslu, grafike randame tašką, atitinkantį ordinates, iš jo nuleidžiame statmeną abscisių ašiai ir gauname tašką, kurio abscisė yra lygi 2000, tai yra mažiausias apsisukimų skaičius.

Būklė

Per cheminė reakcija kiekis pradinė medžiaga(reagentas), kuris dar nesureagavo, laikui bėgant palaipsniui mažėja. Ši priklausomybė pavaizduota diagramoje. Abscisių ašyje rodomas laikas minutėmis, praėjęs nuo reakcijos pradžios, o ordinačių ašyje – likusios medžiagos masė gramais, kuri nesureagavo. Naudodami grafiką nustatykite, kiek gramų reagento sureagavo per pirmąją minutę.

McKinsey vizualinių koncepcijų direktorius Gene Zelazny žino viską apie savo darbą. Tai nenuostabu: per 55 gyvenimo metus, kuriuos jis skyrė diagramų ir kitų vizualizacijos metodų studijoms, jis sukaupė pakankamai patirties, kuria pasidalino knygoje „Kalbėk diagramų kalbą“.

Mūsų skaitytojams - mėnuo „Bookmate“ nemokamai: įveskite reklamos kredito kodą RUSBASE naudodami nuorodą http://bookmate.com/code.

3 veiksmas: nuo palyginimo iki diagramos – pasirinkite diagramos tipą

Kiekvienas palyginimo tipas atitinka tam tikro tipo diagramas. Pasirinkite vizualizacijos tipą pagal palyginimo tipą.

Idėjos formulavimas

Diagramų kūrimas prasideda nuo pagrindinės minties suformulavimo, kurią jos pagalba norima perteikti auditorijai. Pagrindinė mintis yra atsakymas į klausimą, ką tiksliai mums rodo duomenys ir kaip jie yra susiję vienas su kitu.

Paprasčiausias būdas jį įdėti pagrindinė idėja- įdėkite jį į diagramos pavadinimą.

Pavadinimas turi būti konkretus ir atsakyti į klausimą, kurį užduodate auditorijai. Rinkdamiesi žodžius naudokite kiekybinius ir kokybės charakteristikas ir stenkitės vengti dažnos frazės ir posakius.

Konkrečių ir bendrųjų antraščių pavyzdžiai

Nepamirškite pagrindinės taisyklės: viena diagrama – viena idėja. Nemėginkite visų rastų sąsajų ir minčių parodyti viename grafike. Tokios diagramos bus perkrautos ir sunkiai suprantamos.

Palyginimo tipo nustatymas

Bet kokia mintis ir idėja gali būti išreikšta vienu iš penkių palyginimo tipų. Jūsų užduotis yra pasirinkti tinkamą palyginimo tipą ir pasirinkti jam tinkamą diagramą.

Maža užuomina:

Palyginimas po gabalą – jūsų duomenys rodo tam tikrą proporciją visumos atžvilgiu.

Pozicijos palyginimas – norite parodyti, kaip duomenys yra susiję vienas su kitu.

Laiko palyginimas – parodote, kaip keičiasi duomenys laikui bėgant.

Dažnių palyginimas – norite parodyti, kiek objektų patenka į tam tikrą diapazoną.

Koreliacinis palyginimas – parodote, kaip duomenys priklauso vienas nuo kito.

Idealios diagramos pasirinkimas

Kiekvienas palyginimo tipas turi savo diagramos tipą. Tai buvo nuo jo teisingas pasirinkimas Priklauso nuo vizualizuotų duomenų suvokimo aiškumo.

Yra penkių tipų diagramos ir kai kurie jų variantai bei deriniai:

1. Skritulinė diagrama

Pažįstamas „pyragas“ yra dažniausiai naudojamas diagramos tipas. Pasak Jin, tai yra nepagrįsta, nes šis tipas yra mažiausiai praktiškas ir turėtų sudaryti šiek tiek daugiau nei 5% visų pristatymų diagramų.

2. Juostinė diagrama

Atskiros vertės šioje diagramoje pateikiamos skirtingo ilgio juostomis, išdėstytomis horizontaliai išilgai X ašies. Autoriaus nuomone, tai yra labiausiai neįvertinta diagrama, lankstiausias ir universaliausias tipas ir turėtų sudaryti 25% visų. naudojamos diagramos.

3. Histograma

Tam tikro rodiklio kiekybiniai ryšiai pateikiami stačiakampių pavidalu, kurių plotai yra proporcingi. Dažniausiai, kad būtų lengviau suvokti, stačiakampių plotis laikomas vienodu, o jų aukštis lemia rodomo parametro santykį.

4. Tvarkaraštis

Visiems pažįstamas iš mokyklos laikų linijiniai grafikai susideda iš koordinačių tinklelio taškų, sujungtų linijomis. Naudojamas variacijai, dinamikai ir santykiams apibūdinti. Kartu su histograma jie turėtų sudaryti pusę naudojamų diagramų.

5. Sklaidos brėžinys

Taip pat žinomas kaip sklaidos diagrama, jis naudojamas duomenų taškams išdėstyti horizontaliai ir vertikalioji ašis siekiant parodyti vieno kintamojo įtakos kitam laipsnį. Zelazny teigimu, jis turėtų būti naudojamas 10 proc.

Nepamiršk! Pagrindinis tikslas bet kokia diagrama – aiškiai parodykite duomenų ryšius ar priklausomybes. Jei iliustracija negali parodyti ryšių, geriau naudoti lenteles.

Dvigubas palyginimas

Kai kuriais atvejais viename grafike tampa būtina parodyti kelių tipų palyginamus duomenis ir ryšį tarp jų.

Tokiais atvejais būtina nustatyti pagrindinį palyginimo tipą ir pagal jį parinkti diagramą. Pavyzdžiui, jei norite parodyti atskirų padalinių indėlį į bendrąsias įmonės pajamas pagal mėnesius, laiko palyginimui geriau naudoti diagramų tipus: grafiką arba histogramą. Ir jei jus labiau domina konkretūs pasiekimai, o ne pokyčiai laikui bėgant, naudokite juostines diagramas.

Atminkite: jei viena diagrama negali paprastai ir aiškiai perteikti pagrindinės minties sujungiant duomenis, geriau naudoti du atskirus valdiklius.

Svarstyklės, legendos ir kiti užrašai

Ideali diagrama suprantama be papildomos informacijos ant jos. Tačiau tai nereiškia, kad negalite naudoti skalės ar legendos, kad suprastumėte savo mintį.

Pagrindinės taisyklės pridedant papildomos informacijos:

Jie neperkrauna diagramos.

Jie neatitraukia dėmesio nuo pagrindinio paveikslo.

Jie užbaigia diagramą.

Konkrečius kiekvieno palyginimo pavyzdžius ir diagramas galite rasti knygoje arba naudoti jų elektroninę versiją leidėjo svetainėje.