MSS įprasta visas pajėgas suskirstyti į išorės Ir vidinis.
Išorinės jėgos atsiranda dėl nuolatinės terpės sąveikos su kitais kūnais. Tokios jėgos sukelia arba gali sukelti impulso pasikeitimą ir kinetinė energija paskirtas tūris. Tipiškas pavyzdys išorinė jėga objektams, esantiems netoli Žemės paviršiaus, yra gravitacinė jėga- gravitacija.
Vidinės jėgos atsiranda dėl nuolatinės terpės elementų sąveikos. Jie negali pakeisti šio tūrio judesio kiekio, todėl jo viduje kiekviena vidinė jėga yra subalansuota vienodo dydžio vidinė jėga turintys priešinga kryptimi. Tuo pačiu metu vidinių jėgų darbas gali pakeisti nagrinėjamo kūno tūrio kinetinę ir (ar) potencinę energiją. Vidinių jėgų pavyzdžiai yra slėgio jėga, veikianti paviršių, esantį tam tikro tūrio skysčio viduje; trinties jėga tarp judančio skysčio sluoksnių.
Išorinės ir vidinės jėgos gali būti tūrinis (masė) Ir paviršutiniškas .
Tūrinių (masės) jėgų dydis yra proporcingas skysčio ar dujų, kurią jos veikia, tūriui (masei). Tūrinės (masės) jėgos charakteristika yra šios jėgos pasiskirstymo tankis erdvėje. Tai vektorinis kiekis, kuri lygi jėgai, veikiančiai tūrio (masės) vienetą – pagreitį. Paimkime gravitaciją kaip pavyzdį. Jo pasiskirstymo tankis yra vektorius, lygus pagreičiui laisvasis kritimas. Jei x ir y ašis imsime horizontaliai ir z vertikaliai aukštyn, tai gravitacijos pasiskirstymo tankis, kur g = 9,81 m/s 2 - gravitacijos pagreitis. Šiuo atveju svorio tūris yra lygus:
. (1.5.1)
Fiziškai paviršiaus jėgas sukelia išilgai esančių molekulių trumpojo nuotolio sąveikos jėgos skirtingos pusės nuo atitinkamo paviršiaus ir molekulių pernešimas per šį paviršių jų terminio judėjimo metu. Charakteristikos paviršiaus jėga yra jo pasiskirstymas paviršiuje, kuris vadinamas įtampa.
Įtampa. Ištisinės terpės ruože ant savavališkai orientuoto ploto su normaliu veikia įtempių vektorius (1.10 pav.). Jis gali būti suskaidytas į du komponentus normalusįtampa ir - liestinėįtampa šioje svetainėje. Jei vieta yra normaliosios koordinačių ašies plokštumoje, tai įtampa nustatoma trimis dydžiais – projekcijomis į atitinkamas ašis (1.11 pav.). Įtempiai, esantys normaliose ašims, nustatomi pagal ryšį:
1.10 pav.1.11 pav
Apsvarstykime kontinuumas elementarus tūris yra jėgos tetraedras (1.12 pav.). Kurių trys veidai priklauso koordinačių plokštumos, o ketvirtas yra normalus. Veikiančią įtampą galima apibūdinti trimis projekcijomis p nx , p ny ir p nz on koordinačių ašys x, y ir z ir priklauso nuo srities, normalios į , krypties.
.
Pirmasis indeksas nurodo svetainės kryptį, antrasis - projektavimo ašį.
Taikykime antrąjį Niutono dėsnį (jėga = masės pagreitis):
Padalinkime viską iš ir pereidami iki ribos, atsižvelgdami į tai, ką gauname Koši formulės dėl įtempimo savavališkai orientuotame plote, einančioje pro šalį šį tašką:
(1.5.2)
Jėgos tetraedras. 1.12 pav
Atkreipkite dėmesį į tai ši išraiška yra tam tikro objekto, apibrėžto 3x3 matrica ir vienetinio normaliojo vektoriaus, sandauga. Šis objektas vadinamas streso tenzorius:
(1.5.3)
Sudarant tris pagrindines tetraedro pusiausvyros lygtis – tris momentų lygtis. Tai patogu daryti ašių, einančių per masės centrą, atžvilgiu - tašką su koordinatėmis. Šiuo atveju 12 įtempių lygtyse bus tik dvi liestinės, o likusios bus arba lygiagrečios pasirinktai ašiai, arba eis per ją. Kaip rezultatas, mes gauname
šios lygybės išreiškia tangentinių įtempių abipusiškumo dėsnį, o pats įtempių tenzorius yra simetriškas.
Taigi, ištisinės terpės įtempimo būseną bet kuriame taške vienareikšmiškai lemia šešios įtempių reikšmės, kurios sudaro simetrinį tenzorių.
Jeigu tetraedro veidas sutampa su paviršiumi kietas, tada įtempių vektoriaus projekcijos sutampa su išorinės apkrovos projekcijomis
(1.5.5)
Kadangi įtempių tenzorius yra simetriškas, visada galite pasirinkti koordinačių sistemą, kurioje jis turės įstrižainę. Norėdami tai padaryti, būtina nuspręsti būdingas (pasaulietinis) lygtis:
. (1.5.6)
Charakteristinės lygties sprendimas yra trys dydžiai, kurie vadinami pagrindiniai įtempiai, ir normaliųjų kryptys į sritis, kuriose jie veikia pagrindinės sistemos įtempių būsenos ašys.
Apsvarstykite be galo mažą segmentą dS(1.12 pav.), kurio projekcija ašyje Dekarto sistema koordinates dx, dy, dz. Tegul deformacijos metu pasislenka taškas M ir jo poslinkio projekcijos 
. Tamprumo teorija laiko deformacijas ir poslinkius, t.y. tokie kiekiai, kurių gaminių ir kvadratų galima nepaisyti. Tada taško M poslinkio projekcijos bus tokios:
(1.5.7)
Projekcijos dS*, į kurį patenka segmentas dS po deformacijos:
Apskaičiavę ir atmetę antros eilės terminus, gauname:
(1.5.9)
Šie šeši dydžiai visiškai apibūdina kūno deformacijos būseną ir sudaro deformacijos tenzorių:
(1.5.10)
Pažvelkime į fizinę šių dydžių reikšmę. Pateikiame santykinį atkarpos pailgėjimą
Tada mažoms deformacijoms
arba projekcijose
Taigi, įstrižainės komponentai yra lygūs dvigubam santykiniam begalinių atkarpų pailgėjimui, kurie prieš deformaciją buvo lygiagrečiai koordinačių ašims.
Panagrinėkime, kaip keičiasi kampai deformacijos metu. Skriskime lėktuvu 0zy(1.13 pav.) ir pažiūrėkite, kaip keičiasi iš pradžių stačiu kampu tarp atkarpų dy Ir dz. Galima pastebėti, kad, tiksliai iki begalinių antrosios eilės, šis kampas pasikeis į tai, kad yra į .
Taigi iš pradžių įstrižainės sudedamosios dalys yra pokyčio dydis stačiu kampu tarp atitinkamų be galo mažų segmentų po deformacijos. Paprastai vadinami kiekiai , pamainomis.
Čia yra galutinė deformacijos tenzoriaus forma:
(1.5.14)
Jei įvesime žymėjimą, gausime ryšio tarp poslinkių ir deformacijos tenzoriaus komponentų registravimo formą ( Košiniai santykiai):
. (1.5.15)
Įtempimo tenzorius ir įtampos tenzorius yra panašūs, tai leidžia mums nustatyti svarbios savybės deformuota būsena.
Tegul kūne susidaro deformacijoms proporcingi įtempiai,
(1.5.16)
Buvo parodyta, kad kiekviename įtemptos būsenos taške yra tokios sričių orientacijos, kuriose realizuojami pagrindiniai įtempiai. Tada:
(1.5.17)
Taigi deformuotame kūne yra trys kryptys, kurių poslinkiai lygūs nuliui. Tiesios linijos, nubrėžtos išilgai šių krypčių, vadinamos pagrindinės deformuojamosios būsenos ašysšiuo metu. Santykiniai pailgėjimai šiomis kryptimis vadinami pagrindiniai plėtiniai:
Atlikus pakeitimą in charakteristikos lygtis, gauname tą patį kubinė lygtis
(1.5.19)
Pasaulietinėje lygtyje vadinami koeficientai, nustatyti formulėmis (1.5.19). deformacijos tenzoriaus invariantai.
Ryšys tarp įtampos tenzoriaus ir deformacijos tenzoriaus lemia fizinis modelis kontinuumas (jo reologija). Visų pirma, izotropiniam modeliui elastingi kūnai, vyksta apibendrinto Huko dėsnio ryšiai, žinomi iš kurso apie medžiagų stiprumą. IN priimtus užrašusĮtempių ir deformacijų tenzorių komponentai yra tokie:
(1.5.20)
Čia E Ir G- Youngo modulis (išilginio tamprumo modulis) ir šlyties, n - Puasono koeficientas. Juos sieja gerai žinoma priklausomybė 
.
Sprendžiant tamprumo teorijos uždavinius, iškyla atvirkštinių ryšių poreikis, kai įtempiai išreiškiami deformacijomis. Šiuo atveju gauname
, (1.5.21)
Skysčių terpių atveju nėra jokio ryšio tarp įtempių ir deformacijų tenzorių. Taip pat atsižvelgiama į deformacijos greičio tenzorių:
O kontinuumo modelį lemia ryšys tarp įtempių tenzoriaus ir deformacijos greičio tenzoriaus. Taigi Niutono skysčiams naudojamas santykis, vadinamas apibendrintu Niutono dėsniu:
(1.5.23)
Paprasčiausias modelis yra „idealus“ skysčio modelis:
(1.5.24)
Eksperimentiniai duomenys ir bendrosios fizinės sąvokos rodo, kad adresu aukšta temperatūra ir slėgių, bet kuri terpė praktiškai turi idealaus skysčio savybes.
Laisvosios energijos pokytis izoterminio kristalo suspaudimo metu yra, kaip ir izotropiniuose kūnuose, kvadratinė funkcija deformacijos tenzorius. Skirtingai nuo to, kas nutiko izotropiniams kūnams, šią funkciją dabar sudaro ne du, o didesnis skaičius nepriklausomi koeficientai.
Bendra deformuoto kristalo laisvosios energijos forma yra
kur yra koks nors 4 rango tenzorius, vadinamas tamprumo modulio tenzoriumi. Kadangi deformacijos tenzorius yra simetriškas, sandauga nesikeičia, kai indeksai arba pora i, k yra keičiami su pora . Todėl akivaizdu, kad tenzorius gali būti apibrėžtas taip, kad jis turėtų tokias pačias simetrijos savybes indeksų permutacijos atžvilgiu:
Paprastu skaičiavimu galima įsitikinti, kad 4 rango tenzoriaus skirtingų komponentų, turinčių tokias simetrijos savybes, skaičius yra lygus bendras atvejis
Pagal laisvosios energijos išraišką (10.1), įtempių tenzoriaus priklausomybė nuo deformacijos tenzoriaus kristaluose turi formą (taip pat žr. išnašą 59 puslapyje)
Dėl vienos ar kitos kristalo simetrijos atsiranda priklausomybės tarp įvairių tenzoriaus komponentų, todėl jo nepriklausomų komponentų skaičius pasirodo mažesnis nei.
Apsvarstykime šiuos santykius visiems galimi tipai makroskopinė kristalų simetrija, t.y. visoms kristalų klasėms, paskirstant juos tarp atitinkamų kristalų sistemų (žr. V, § 130, 131).
1. Triklinikos sistema. Triklininė simetrija (klasės) nenustato jokių apribojimų tenzoriaus komponentams, o koordinačių sistemos pasirinkimas simetrijos požiūriu yra visiškai savavališkas. Šiuo atveju visi 21 tamprumo modulis yra lygūs nuliui ir nepriklausomi. Tačiau koordinačių sistemos pasirinkimo savavališkumas leidžia primesti tenzoriaus komponentus papildomos sąlygos. Kadangi koordinačių sistemos orientaciją kūno atžvilgiu lemia trys dydžiai (sukimosi kampai), tai tokios sąlygos gali būti trys; Pavyzdžiui, galima nagrinėti tris komponentus lygus nuliui. Tada nepriklausomi kiekiai, apibūdinantis kristalo elastines savybes, bus 18 nulinių modulių ir 3 kampai, kurie lemia ašių orientaciją kristale.
2. Monoklininė sistema. Panagrinėkime klasę ir parinksime koordinačių sistemą, kurios x, y plokštuma sutampa su simetrijos plokštuma. Kai atsispindi šioje plokštumoje, koordinatės transformuojasi: . Tenzoriaus komponentai transformuojami kaip atitinkamų koordinačių sandaugai. Todėl akivaizdu, kad su nurodyta transformacija visi komponentai, tarp kurių indeksų yra nelyginį (1 arba 3) kartų skaičių, pakeis savo ženklą, o likę komponentai liks nepakitę. Kita vertus, dėl kristalo simetrijos visi jo savybes apibūdinantys dydžiai (įskaitant visus komponentus) turi išlikti nepakitę, kai atsispindi simetrijos plokštumoje. Todėl aišku, kad visi komponentai su nelyginiu indeksų skaičiumi turi būti lygūs nuliui. Atitinkamai bendra išraiška nes monoklininės sistemos kristalo laisvoji tamprumo energija yra
Čia yra 13 nepriklausomų koeficientų. Ta pati išraiška gaunama klasei ir klasei, kurioje kartu yra abu simetrijos elementai. Tačiau aukščiau pateiktame samprotavime simetrijos svarstymai nustato tik vienos koordinačių ašių krypties pasirinkimą, o x, y ašių kryptys statmenai plokštumai likti savavališkai. Šią savivalę galima panaudoti norint paversti vieną iš komponentų į nulį, pasirinkus tinkamą ašį, tarkime, tada 13 dydžių, apibūdinančių kristalo elastines savybes, bus 12 nulinių modulių ir vienas kampas, lemiantis ašių orientaciją. x, y plokštumoje.
3. Rombinė sistema. Visose šios sistemos klasėse koordinačių ašių pasirinkimą vienareikšmiškai lemia simetrija, o laisvai energijai gaunama tos pačios formos išraiška. Apsvarstykite, pavyzdžiui, klasę ir pasirinkite koordinačių plokštumas trijose šios klasės simetrijos plokštumose. Atspindžiai kiekvienoje iš šių plokštumų yra transformacijos, kuriose viena iš koordinačių keičia ženklą, o kitos dvi nesikeičia. Todėl akivaizdu, kad iš visų komponentų tik tie indeksai, kurių kiekviena jų reikšmė yra, liks ne nulis. lyginis skaičius vieną kartą; visi kiti komponentai turėtų pakeisti ženklą, kai atsispindėtų vienoje iš simetrijos plokštumų. Taigi bendroji laisvosios energijos išraiška ortorombinėje sistemoje turi formą
Jame yra tik devyni tamprumo moduliai.
4. Ketkampinė sistema. Nagrinėkime klasę Mes pasirenkame koordinates, kurių ašis išilgai a ašies ir y ašis – statmena dviem vertikalioms simetrijos plokštumoms. Atspindžiai šiose dviejose plokštumose reiškia transformacijas, dėl to visi komponentai su nelyginiu identiškų indeksų skaičiumi išnyksta. Be to, pasukimas kampu aplink ašį yra r transformacija. Tai reiškia santykius
Likusios į klasę įtrauktos transformacijos prie šių sąlygų nieko neprideda. Taigi tetragoninės sistemos kristalų laisva energija turi formą
Jame yra šeši tamprumo moduliai.
Toks pat rezultatas bus gautas ir kitose tetragoninės sistemos klasėse, kuriose natūralų koordinačių ašių pasirinkimą lemia simetrija. Klasėse vienareikšmiškai pasirenkama tik viena ašis - išilgai ašies arba Šiuo atveju simetrijos reikalavimai leidžia egzistuoti (be (10.6) esančių) ir komponentų.
Tinkamai parinkus y ašių kryptis, šiuos komponentus galima paversti nuliu, o tada F vėl bus sumažintas į tą pačią formą (10.6).
5. Romboedrinė sistema. Panagrinėkime Cm klasę ir parinksime koordinačių sistemą, kurios ašis išilgai trečios eilės ašies ir y ašis statmena vienai iš vertikalių simetrijos plokštumų. Norint išsiaiškinti apribojimus, taikomus tenzoriaus komponentams dėl ašies, patogu atlikti formalią transformaciją įvedant sudėtingas „koordinates“ pagal apibrėžimą.
koordinatę paliekame nepakeistą. Mes taip pat transformuojame tenzorių į šias naujas koordinates; jo komponentuose indeksai dabar eina per reikšmes. Nesunku pastebėti, kad pasukus 120° aplink z ašį, nauji kintamieji transformuojami
Dėl kristalo simetrijos tik tie komponentai, kurie nesikeičia šios transformacijos metu, gali būti nuliniai. Akivaizdu, kad šią savybę turi tie komponentai, tarp kurių indeksai arba pasikartoja tris kartus (atkreipkite dėmesį, kad arba indeksas yra tiek pat kartų kaip (nes tai yra komponentai
Be to, atspindys simetrijos plokštumoje, statmenoje y ašiai, yra transformacija arba dydžiams?, nes su šia transformacija jis virsta tada šie du komponentai turi būti lygūs vienas kitam. Taigi, romboedrinės sistemos kristalai turi tik šešis tamprumo modulius. Norėdami parašyti laisvosios energijos išraišką, turime sudaryti sumą, kurioje indeksai eina per reikšmes, nes turime išreikšti F per deformacijos tenzoriaus komponentus koordinatėmis, tada turime per juos išreikšti komponentus. „koordinatėse“ Tai padaryti lengva, pasinaudojant tuo, kad tenzoriaus komponentai transformuojami kaip atitinkamų dviejų koordinačių sandaugai. Taip, nuo
iš to išplaukia
Dėl to randame tokią F išraišką:
Jame yra 6 nepriklausomi koeficientai. Toks pat rezultatas bus gautas ir klasėse. Klasėse, kuriose y ašių pasirinkimas išlieka savavališkas, simetrijos reikalavimai taip pat leidžia nulinį skirtumą
Tačiau jį galima sumažinti iki nulio tinkamai pasirinkus x, y ašis.
6. Šešiakampė sistema. Apsvarstykime klasę ir parinksime koordinačių sistemą su ašimi išilgai 6 eilės ašies. Dar kartą įveskime koordinates (10,7). Pasukus kampu aplink ašį, jie transformuojasi
Iš to matome, kad tik tie komponentai, tarp kurių yra indeksai ), yra nuliniai tas pats numeris vieną kartą. Tai yra
Kiti galimi šešiakampės sistemos simetrijos elementai šių apribojimų neprideda. Taigi yra tik penki tamprumo moduliai. Nemokama energija atrodo kaip
Pažymėtina, kad deformaciją x, y plokštumoje (deformacija su ne nulinėmis reikšmėmis) lemia tik du tamprumo moduliai, kaip ir izotropiniam kūnui; kitaip tariant, šešiakampio ašiai statmenoje plokštumoje šešiakampio kristalo elastinės savybės yra izotropinės. Dėl šios priežasties ašių krypčių pasirinkimas šioje plokštumoje paprastai nėra svarbus ir jokiu būdu neturi įtakos F formai. Išraiška (10.9) taikoma visoms šešiakampės sistemos klasėms.
7. Kubinė sistema. Nukreipkime x, y, z ašis išilgai trijų 4 eilės kubinės sistemos ašių. Jau dėl tetragoninės simetrijos (su 4 eilės ašimi išilgai z ašies) skirtingų tenzoriaus komponentų skaičius buvo apribotas iki šių šešių:
Sukant 90° aplink x ir y ašis atitinkamai susidaro transformacijos. Dėl jų iš šešių rašytinių komponentų pirmasis ir antrasis, trečiasis ir ketvirtasis bei penktasis ir šeštasis yra lygūs.
Taip lieka tik trys skirtingi tamprumo moduliai. Kubinės sistemos kristalų laisvoji energija turi formą
Dar kartą užrašykime klasių nepriklausomų parametrų (tamprumo modulių arba kampų, nulemiančių ašių orientaciją kristale) skaičių. įvairios sistemos;
Minimalus nulinių modulių skaičius, kurį galima pasiekti tinkamai pasirinkus koordinačių ašis, yra vienodas visoms kiekvienos sistemos klasėms:
Žinoma, visa tai, kas išdėstyta pirmiau, galioja pavieniams kristalams. Polikristaliniai kūnai, kurių sudėtyje esantys kristalai yra pakankamai maži, gali būti laikomi izotropiniais kūnais (nes mus domina deformacijos didelėse srityse, palyginti su kristalitų dydžiu). Kaip ir bet kuris izotropinis kūnas, polikristalas pasižymi tik dviem tamprumo moduliais. Iš pirmo žvilgsnio galima pamanyti, kad šiuos modulius galima gauti iš atskirų kristalitų tamprumo modulių, paprastai apskaičiuojant vidurkį. Tačiau iš tikrųjų taip nėra. Jei svarstysime polikristalo deformaciją dėl jame esančių kristalitų deformacijos, tai iš esmės reikėtų išspręsti visų šių kristalitų pusiausvyros lygtis, atsižvelgiant į atitinkamą ribines sąlygas jų sąsajose.
Tai rodo, kad ryšys tarp kristalo elastinių savybių, žvelgiant į visumą, ir jį sudarančių kristalitų savybių priklauso nuo konkrečios kristalitų formos ir nuo jų tarpusavio orientacijų koreliacijos. Todėl nėra bendra priklausomybė tarp polikristalų tamprumo modulių ir vieno kristalo (tos pačios medžiagos).
Izotropinio polikristalo modulių skaičiavimas iš vienakristalinių modulių gali būti atliktas labai tiksliai tik esant silpnai monokristalo elastinių savybių anizotropijai. Kaip pirmasis apytikslis variantas, polikristalo tamprumo moduliai gali būti lygūs tiesiog vieno kristalo tamprumo modulių „izotropinei daliai“. Tada, sekančiame apytikslyje, atsiranda terminai, kurie yra kvadratiniai mažoje šių modulių „anizotropinėje dalyje“. Pasirodo, šie pataisos nariai nepriklauso nuo kristalitų formos ir nuo jų orientacijų koreliacijos ir gali būti apskaičiuojami bendra forma.
Galiausiai pažvelkime į kristalų šiluminį plėtimąsi. Izotropiniuose kūnuose šiluminis plėtimasis visomis kryptimis vyksta vienodai, todėl laisvo šiluminio plėtimosi deformacijos tenzorius turi tokią formą (žr. § 6)
kur a yra koeficientas šiluminis plėtimasis. Turite rašyti kristalais
(10,11)
kur yra koks nors antrojo rango tenzorius, simetriškas indeksų t, k atžvilgiu. Išsiaiškinkime skirtingų nepriklausomų šio tenzoriaus komponentų skaičių kristaluose skirtingos sistemos. Paprasčiausias būdas tai padaryti yra panaudoti gerai žinomą faktą iš tenzorių algebros, kad kiekvienas antrojo rango simetriškas tenzorius gali būti susietas su kokiu nors, kaip sakoma, tenzoriniu elipsoidu. Atsižvelgiant į simetriją, iš karto akivaizdu, kad esant triklininei, monoklininei ir ortorombinei simetrijai, elipsoidas paprastai yra triašis (tai yra, visų jo ašių ilgiai yra skirtingi). Su tetragonine, romboedrine ir šešiakampe simetrija elipsoidas turi būti sukimosi elipsoidas (su ašimi išilgai simetrijos ašių arba ). Galiausiai, kubinė simetrija veda prie elipsoido degeneracijos į rutulį.
Tačiau triašį elipsoidą lemia trys nepriklausomi dydžiai (ašių ilgiai), sukimosi elipsoidas – du, o rutulys – tik vienas (spindulys). Taigi nepriklausomų tenzorinių komponentų skaičius įvairių sistemų kristaluose yra:
Pirmųjų trijų sistemų kristalai vadinami dviašiais, o antrųjų trijų – vienaašiais. Atkreipkime dėmesį į tai, kad kubinės sistemos kristalų šiluminį plėtimąsi lemia tik vienas dydis, t.y., kad jie elgiasi savo šiluminio plėtimosi atžvilgiu kaip izotropiniai kūnai.
Dabar, norėdami apibūdinti deformacijas, turime jas susieti vidines jėgas- su įtempimais medžiagoje. Darome prielaidą, kad Huko dėsnis galioja bet kokiai medžiagai, tai yra, kad įtempiai visur yra proporcingi deformacijai. Sk. 31 mes apibrėžėme įtempių tenzorių kaip jėgos, veikiančios vienetinį plotą, statmeną ašiai, komponentą. Huko dėsnis sako, kad kiekvienas komponentas yra tiesiškai susijęs su kiekvienu įtampos komponentu. Tačiau kadangi juose yra devyni komponentai, medžiagos elastingumo savybėms apibūdinti reikia viso galimo koeficiento. Jei medžiaga yra vienalytė, tada visi šie koeficientai bus pastovūs. Juos žymime apibrėždami lygtį
, (39.12)
kur kiekvienas simbolis , , ir gali turėti reikšmes 1, 2 arba 3. Kadangi koeficientai sieja vieną tenzorių su kitu, jie taip pat sudaro tenzorių – šį kartą ketvirto rango tenzorių. Tai galime vadinti elastingumo tenzoriumi.
Tarkime, kad visi yra žinomi ir kad tam tikras kūnas laisva forma prisegėme sudėtingos jėgos. Tokiu atveju atsiras visokių deformacijų – kūnas kažkaip išsikreips. Kokie bus judesiai? Tu supranti, kad tai gražu sunki užduotis. Jei žinote deformacijas, tai iš (39.12) lygties galite rasti įtempius ir atvirkščiai. Tačiau bet kuriuo metu atsirandantys įtempiai ir deformacijos priklauso nuo to, kas vyksta visoje likusioje medžiagos dalyje.
Paprasčiausias būdas atlikti tokią užduotį yra galvoti apie energiją. Tarkime, kai jėga proporcinga poslinkiui, tada bet kurio poslinkio darbas yra lygus. Panašiai energija, sukaupta bet kuriame deformuotos medžiagos tūrio vienete, yra lygi
. (39.13)
Visas darbas, skirtas viso kūno deformacijai, bus viso jo tūrio integralas:
. (39.14)
Todėl tai yra potenciali energija, saugomi vidiniuose medžiagos įtempiuose. Kai kūnas yra pusiausvyroje, tai vidinė energija turėtų būti minimalus. Taigi kūno deformacijų nustatymo problemą galima išspręsti visame kūne suradus tokius poslinkius, kuriems esant jis yra minimalus. Sk. 19 (6 leidimas) Aš jums papasakojau apie kai kuriuos bendros idėjos variacijų skaičiavimas, naudojamas sprendžiant tokio pobūdžio mažinimo problemas. Tačiau kol kas daugiau šios užduoties nenagrinėsime.
Dabar mus daugiausia domina tai, ką galima pasakyti apie bendras elastingumo tenzoriaus savybes. Visų pirma, aišku, kad jame iš tikrųjų nėra 81 skirtingo parametro. Kadangi ir yra simetriški tenzoriai, kurių kiekvienas apima tik šešis įvairių elementų, tada susideda daugiausia iš 36 skirtingų komponentų. Paprastai jų būna daug mažiau.
Panagrinėkime ypatingą kubinio kristalo atvejį. Jo energijos tankis yra toks:
(39.15)
y., tik 81 terminas! Tačiau kubinis kristalas turi tam tikrą simetriją. Visų pirma, jei kristalas pasukamas 90°, visos jo fizinės savybės išliks tokios pačios. Pavyzdžiui, jis turi turėti tokį patį tempimo standumą tiek ašine, tiek ašine kryptimis. Todėl, jei pakeisime koordinačių ašių apibrėžimus ir (39.15) lygtį, energija neturėtų keistis. Todėl kubiniam kristalui
. (39.16)
Taip pat galime parodyti, kad komponentai, tokie kaip , turi būti lygūs nuliui. Kubinis kristalas turi savybę, kad jis yra simetriškas, kai atsispindi bet kurios plokštumos, statmenos vienai iš koordinačių ašių, atžvilgiu. Jei pakeisime , niekas neturėtų pasikeisti. Tačiau pakeitimas keičiasi į , nes judėjimas kryptimi dabar bus judėjimas kryptimi . Kad energija nesikeistų, ji turi patekti į . Tačiau atspindėtas kristalas bus toks pat kaip ir anksčiau, todėl jis turi būti toks pat kaip . Tai gali įvykti tik tada, kai abu yra lygūs nuliui.
Bet jūs galite pasakyti: „Remiantis tuo pačiu samprotavimu, jūs taip pat galite padaryti! Tai netiesa. Juk čia turime keturis žaidėjus. Kiekvienas keičia ženklą, o keturi minusai daro pliusą. Jei tai kartojasi du ar keturis kartus, tada tokie komponentai neturi būti lygūs nuliui. Tik tie komponentai, kurie atsiranda vieną arba tris kartus, yra lygūs nuliui. Taigi, kubinio kristalo atveju tik tie, kuriuose tas pats simbolis pasitaiko lyginį skaičių kartų, yra nulis. (Mūsų samprotavimas galioja ir , ir .) Taigi išliks tik , , ir tt tipo komponentai. Tačiau mes jau parodėme, kad jei viską pakeisime į ir atvirkščiai (arba viską į ir tt). , tada kubiniam kristalui turėtume gauti tą patį skaičių. Tai reiškia, kad liko tik trys skirtingos nulinės galimybės:
(39.17)
Kubinio kristalo energijos tankis atrodo taip:
Izotropinė, ty nekristalinė, medžiaga turi dar didesnę simetriją. Skaičiai turi būti vienodi bet kokiam koordinačių ašių pasirinkimui. Šiuo atveju, kaip paaiškėja, tarp koeficientų yra dar vienas ryšys:
. (39.19)
Tai matyti iš toliau pateiktų bendrų svarstymų. Įtempių tenzorius turi būti susietas visiškai nepriklausomu nuo koordinačių ašių krypties, t.y. turi būti susietas tik naudojant skaliarinius dydžius. „Tai labai paprasta“, - sakote jūs. “ Vienintelis būdas gauti iš – pastarąjį padauginkite iš skaliarinės konstantos. Rezultatas yra tik Huko dėsnis: 
“ Tačiau tai nėra visiškai tiesa. Be to, čia galime įterpti vieneto tenzorių, padaugintą iš kai kurių skaliarų, tiesiškai susietų su . Vienintelis invariantas, kurį galima sudaryti ir kuris yra tiesinis , yra . (Jis transformuojasi kaip , o tai reiškia, kad tai yra skaliaras.) Taigi, labiausiai bendra forma lygtis, jungianti su for izotropinė medžiaga, valia
Koeficientai gali būti išreikšti bet kuriomis dviem anksčiau naudotomis elastingumo konstantomis, tokiomis kaip Youngo modulis ir Puasono santykis. Palieku jums tai parodyti
(39.22)
Streso tenzorius
Deformacijos tenzorius apibūdina kūno deformaciją kinematikos požiūriu, tai yra, nepriklausomai nuo ją sukėlusių priežasčių. Norint įvertinti šias priežastis (kūną veikiančias jėgas), būtina apibrėžti įtempio sąvoką kaip jėgos, veikiančios dalies skerspjūvio ploto vienetą. Panagrinėkime plokščią deformuojamo kūno pjūvį, einantį per tašką P su normaliu n. Leiskite f- jėga, veikianti nedidelę plokštumos A dalį, kurioje yra taškas P.
Tada riba egzistuoja ir vadinama įtempimu taške P palei vektorių n. Norint nustatyti įtempį savavališka kryptimi, naudojamas įtempių tenzorius, kuris nustato įtempį savavališka kryptimi n Kaip tn = n. Daugumos medžiagų tenzorius nurodomas simetriška matrica. Fizinė prasmėĮtempių tenzorius iliustruojamas pjūvių, lygiagrečių koordinačių plokštumoms, pavyzdžiu (31 pav.).
Apibendrintas Huko dėsnis, standumo ir elastingumo matricos
Ankstesnėje paskaitoje pažvelgėme į nedeformuojamo standaus kūno judėjimo dinamiką. Kaip žinoma, jis apibūdinamas Niutono-Eulerio lygtimis (remiantis antruoju Niutono dėsniu), kurios siejasi su tiesiniu ir kampinis pagreitis kūnas su jį veikiančiomis jėgomis per masę ir inercijos tenzorių. Panašų vaidmenį elastingumo teorijos problemose atlieka apibendrintas Huko dėsnis. XVII amžiuje anglų matematiko Huko atrastas plono strypo tempimo dėsnis yra F = kx, kur F yra strypą veikianti jėga, x yra tempimo vertė, o k yra elastingumo koeficientas. Tamprumo koeficiento reikšmę galima susieti su fiziniai matmenys strypas taip: k = ES/L, kur S yra strypo skerspjūvio plotas, L yra jo ilgis, o E yra Youngo modulis. Įvedus santykinio pailgėjimo x/L ir normalaus įtempio sąvokas skerspjūvis= F/S Huko dėsnis įgauna formą E. Kaip jau žinome, bendruoju atveju įtempį ir deformaciją lemia simetriniai 3x3 dydžio tenzoriai. Nepaisant to, tarp šių tensorinių objektų galioja tas pats tiesinis ryšys, kaip ir tarp skaliarinių, vadinamas apibendrintu Huko dėsniu: . Tenzoras ketvirta tvarka Cšioje formulėje nurodytas 81 koeficientas (34), bet kadangi jis jungia simetriškas 3x3 matricas, kurių kiekviena nustatoma šešiais skaliariniai dydžiai, tada gali būti pavaizduota kaip 6x6 standumo matrica D, kuris jungia deformacijos vektorių su įtempių vektoriumi
Šis tiesinis ryšys galioja mažoms deformacijoms. Atvirkštinė matrica prie standumo matricos ( D-1) vadinama elastingumo matrica. Atkreipkite dėmesį, kad standumo (elastingumo) matricą visiškai lemia medžiagos savybės ir ji nepriklauso nuo konkrečių kūno apkrovų. Medžiagos tamprumo savybes galima apibūdinti naudojant du parametrus, išmatuotus nurodytomis kryptimis: Youngo modulį E, kuris lemia įtempių ir vidinės deformacijos santykį, ir Puasono santykį n, apibūdinantį santykinio skersinio susitraukimo ir santykinio išilginio pailgėjimo santykį. Linijiškai elastingoms izotropinėms medžiagoms (pavyzdžiui, metalams, stiklui, polipropilenui ir polietilenui, gumai – esant mažoms deformacijoms) Youngo modulis ir Puasono santykis yra konstantos, kurios nepriklauso nuo matavimo krypties ir taško, o standumo matrica turi sekančią formą.
Dabar, norėdami apibūdinti deformacijas, turime jas susieti su vidinėmis jėgomis – su įtempiais medžiagoje. Darome prielaidą, kad Huko dėsnis galioja bet kokiai medžiagai, tai yra, kad įtempiai visur yra proporcingi deformacijai. Sk. 31 apibrėžėme įtempių tenzorių S ij kaip j ašiai statmeną vienetinį plotą veikiančios jėgos dedamoji. Huko dėsnis sako, kad kiekvienas komponentas S ij tiesiškai susiję su kiekviena streso komponentas. Bet kadangi S Ir l yra po devynis komponentus, tai iš viso medžiagos tamprumo savybėms apibūdinti reikia 9X9 = 81 galimo koeficiento. Jei medžiaga yra vienalytė, tada visi šie koeficientai bus pastovūs. Pažymėsime juos C ijkl nustatoma pagal lygtį
kur kiekviena piktograma i, j, k Ir l gali būti 1, 2 arba 3. Kadangi koeficientai SU ijkl sujungti vieną tenzorių su kitu, jie taip pat sudaro tenzorių – šį kartą tenzorių ketvirtas rangas. Galime vadinti elastingumo tenzorius.
Tarkime, kad visi C ijkl yra žinomi ir kad mes pritaikėme sudėtingas jėgas tam tikros formos kūnui. Tokiu atveju atsiras visokių deformacijų – kūnas kažkaip išsikreips. Kokie bus judesiai? Jūs suprantate, kad tai gana sudėtinga užduotis. Jei žinote deformacijas, tai iš (39.12) lygties galite rasti įtempius ir atvirkščiai. Tačiau bet kuriuo metu atsirandantys įtempiai ir deformacijos priklauso nuo to, kas vyksta visoje likusioje medžiagos dalyje.
Paprasčiausias būdas atlikti tokią užduotį yra galvoti apie energiją. Kai galia F proporcingas poslinkiui X, tarkim F = kx, yra darbas, skirtas bet kokiam judėjimui X, lygus kx 2 /2. Lygiai taip pat ir energija w, saugomi bet koks tūrio vienetas deformuota medžiaga pasirodo lygi
Tai pilnas darbas W, išleista viso kūno deformacijai bus integralas w visame tūryje:
Vadinasi, tai potenciali energija, sukaupta vidiniuose medžiagos įtempiuose. Kai kūnas yra pusiausvyroje, ši vidinė energija turi būti minimalus. Taigi kūno deformacijų nustatymo problemą galima išspręsti visame kūne surandant tokius judesius, kurių metu W minimalus. Sk. 19 (6 leidimas) Papasakojau apie kai kurias bendras variacijų skaičiavimo idėjas, naudojamas sprendžiant tokio pobūdžio mažinimo problemas. Tačiau kol kas daugiau šios užduoties nenagrinėsime.
Dabar mus daugiausia domina tai, ką galima pasakyti apie bendras elastingumo tenzoriaus savybes. Visų pirma, aišku, kad iš tikrųjų C ijkl esančios Ne 81 skirtingas parametras. Nes S ij Ir e ij yra simetriški tenzoriai, kurių kiekvienas apima tik šešis skirtingus elementus, tada C ijkl susideda daugiausia iš 36 skirtingų komponentų. Paprastai jų būna daug mažiau.
Panagrinėkime ypatingą kubinio kristalo atvejį. Energijos tankis w nes tai pasirodo taip:
y., tik 81 terminas! Tačiau kubinis kristalas turi tam tikrą simetriją. Visų pirma, jei kristalas pasukamas 90°, tada visos jo fizinės savybės išliks tokios pačios. Pavyzdžiui, jis turi turėti tokį patį tempimo standumą abiem ašies kryptimis y, ir ašies kryptimi X. Todėl, jei pakeisime savo koordinačių ašių apibrėžimus X Ir adresu lygtyje (39.15), tada energija neturėtų keistis. Todėl kubiniam kristalui
C xxxx =SU oho = C zzzz . (39.16)
Taip pat galime parodyti, kad komponentams patinka SU xxx , turi būti nuliai. Kubinis kristalas turi savybę, kad jis yra simetriškas atspindys bet kurios plokštumos, statmenos vienai iš koordinačių ašių, atžvilgiu. Jei pakeisime adresu su -y, tada niekas neturėtų keistis. Bet keisti adresuįjungta - adresu pokyčius e xy įjungta - e xy , nuo judėjimo + kryptimi adresu dabar judės ta kryptimi - u. Kad energija nepasikeistų, SU xxx turėtų eiti į - SU xxx Tačiau atspindėtas kristalas bus toks pat kaip ir anksčiau, taigi SU xx xy turi būti tas pats patinka - SU xxx . Tai gali įvykti tik tada, kai abu yra lygūs nuliui.
Bet jūs galite pasakyti: „Taip pat argumentuodami galime padaryti C yyyy =0!» Tai netiesa. Juk čia mes turime keturižaidimas. kas adresu pakeičia ženklą, o keturi minusai duoda pliusą. Jeigu adresu susitinka du arba keturi kartų, tada tokie komponentai neturėtų būti lygūs nuliui. Tik tie komponentai, kuriems adresu pasitaiko arba vienas, arba trys kartų. Taigi kubiniam kristalui tik tie SU, kurios turi tą pačią piktogramą porinį skaičių kartų.(Motyvavimas, dėl kurio mes atlikome y, taip pat galioja X o z.) Taigi tik tipo komponentai SU xhuu , SU huhu , SU oi tt Tačiau mes jau parodėme, kad jei viską pakeisime Xįjungta adresu Ir atvirkščiai(arba visi z x ir tt), tada kubiniam kristalui turėtume gauti tą patį skaičių. Tai reiškia, kad jie išlieka tik trys skirtingi nenulinės galimybės:
Kubinio kristalo energijos tankis atrodo taip:
Izotropinė, ty nekristalinė, medžiaga turi dar didesnę simetriją. Skaičiai SU turi būti vienodi bet koks pasirenkant koordinačių ašis. Tuo pačiu metu, kaip paaiškėja, tarp koeficientų yra ir kitas ryšys SU:
C xxxx =C xhuu +C huhu (39.19)
Tai matyti iš toliau pateiktų bendrų svarstymų. Streso tenzorius S ij turi būti siejamas su e ij tokiu būdu, kuris visiškai nepriklauso nuo koordinačių ašių krypties, t.y. turi būti sujungtas tik skaliarinis kiekiai „Tai labai paprasta“, - sakote jūs. „Vienintelis būdas gauti S ij iš e ij - pastarąjį padauginkite iš skaliarinės konstantos. Rezultatas yra tik Huko dėsnis: S ij = (Pastovi) Xе ij ". Tačiau tai nėra visiškai tiesa. Be to, galite įterpti čia vieneto tenzorius ij, padauginta iš kai kurių skaliarų, tiesiškai susietų su e ij . Vienintelis invariantas, kurį galima sudaryti ir kuris yra tiesinis e,- tai e jj . (Jis transformuojasi kaip X 2 +y 2 +z 2 , todėl yra skaliarinis.) Taigi, bendriausia lygties forma, susijusi su S ij Su e ij izotropinei medžiagai bus
(Pirmoji konstanta paprastai rašoma kaip 2; šiuo atveju koeficientas yra lygus šlyties moduliui, kurį apibrėžėme ankstesniame skyriuje.) Konstantos (, ir ) vadinamos elastinės Lame konstantos. Palyginus lygtis (39.20) su lygtimi (39.12), matote, kad
Taigi, mes įrodėme, kad (39.19) lygtis iš tikrųjų yra teisinga. Taip pat matote, kad izotropinės medžiagos elastines savybes, kaip minėta ankstesniame skyriuje, visiškai lemia dvi konstantos.
Šansai SU gali būti išreikštas bet kuriomis dviem tampriosiomis konstantomis, kurios buvo naudojamos anksčiau, pavyzdžiui, Youngo moduliu Y ir Puasono santykiu . Palieku jums tai parodyti
