Бид шийдэж эхлэхээс өмнө арифметик прогрессийн бодлого, энэ нь юу болохыг харцгаая тооны дараалал, учир нь арифметик прогресс байна онцгой тохиолдолтооны дараалал.

Тооны дараалал нь дугаар тогтоосон, элемент бүр өөрийн серийн дугаартай. Энэ олонлогийн элементүүдийг дарааллын гишүүд гэж нэрлэдэг. Дарааллын элементийн серийн дугаарыг индексээр тэмдэглэнэ:

Дарааллын эхний элемент;

Дарааллын тав дахь элемент;

- дарааллын "n" элемент, өөрөөр хэлбэл. n дугаарт "дараалалд зогсох" элемент.

Дарааллын элементийн утга болон түүний дарааллын дугаарын хооронд хамаарал байдаг. Тиймээс бид дарааллыг аргумент нь дарааллын элементийн дарааллын дугаар болох функц гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг хэлж чадна дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм:

Дарааллыг гурван аргаар тохируулж болно.

1 . Дарааллыг хүснэгт ашиглан тодорхойлж болно.Энэ тохиолдолд бид зүгээр л дарааллын гишүүн бүрийн утгыг тохируулна.

Жишээлбэл, Хэн нэгэн хувийн цагийн менежмент хийхээр шийдсэн бөгөөд эхлээд долоо хоногт ВКонтакте дээр хэр их цаг зарцуулж байгаагаа тоол. Хүснэгтэнд цагийг тэмдэглэснээр тэрээр долоон элементээс бүрдэх дарааллыг хүлээн авна.

Хүснэгтийн эхний мөрөнд долоо хоногийн өдрийн тоог, хоёр дахь нь минутаар цагийг заана. Даваа гаригт хэн нэгэн ВКонтакте дээр 125 минут, Пүрэв гарагт 248 минут, баасан гарагт ердөө 15 минут зарцуулсан гэдгийг бид харж байна.

2 . Дарааллыг n-р гишүүний томьёог ашиглан тодорхойлж болно.

Энэ тохиолдолд дарааллын элементийн утгын тооноос хамаарах хамаарлыг томьёоны хэлбэрээр шууд илэрхийлнэ.

Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь

Өгөгдсөн тоо бүхий дарааллын элементийн утгыг олохын тулд n-р гишүүний томъёонд элементийн дугаарыг орлуулна.

Хэрэв аргументийн утга мэдэгдэж байгаа бол функцийн утгыг олох шаардлагатай бол бид ижил зүйлийг хийнэ. Бид аргументын утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулна.

Хэрэв, жишээ нь, , Тэр

Дурын зүйлээс ялгаатай нь дарааллаар нь гэдгийг дахин нэг удаа тэмдэглэе тоон функц, аргумент нь зөвхөн натурал тоо байж болно.

3 . Дарааллыг n дарааллын гишүүний утгын өмнөх гишүүдийн утгуудаас хамаарлыг илэрхийлсэн томьёо ашиглан тодорхойлж болно.

Энэ тохиолдолд утгыг олохын тулд зөвхөн дарааллын гишүүний тоог мэдэх нь хангалтгүй юм. Бид дарааллын эхний гишүүн эсвэл эхний хэдэн гишүүнийг зааж өгөх хэрэгтэй. ,

Жишээлбэл, дарааллыг авч үзье Бид дарааллын гишүүдийн утгыг олох боломжтойнэг нэгээр нь

, гурав дахь хэсгээс эхлэн: Өөрөөр хэлбэл, дарааллын n-р гишүүний утгыг олох бүрт бид өмнөх хоёр руу буцна. Энэ дарааллыг тодорхойлох аргыг нэрлэдэгдавтагдах , -аас Латин үгдавтагдах

- буцаж ир. Одоо бид тодорхойлж болноарифметик прогресс

. Арифметик прогресс нь тооны дарааллын энгийн тусгай тохиолдол юм. Арифметик прогресс

нь тоон дараалал бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн ижил тоонд нэмэгдсэн өмнөхтэй тэнцүү байна. дугаарыг дуудаж байнаарифметик прогрессийн ялгаа

. Арифметик прогрессийн зөрүү нь эерэг, сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болно.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Хэрэв title="d>0)..

нэмэгдэж байна

Жишээлбэл, 2; 5; 8; 11;... Хэрэв бол арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага, прогресс нь байна.

буурч байна

Жишээлбэл, 2; -1; -4; -7;... Хэрэв , тэгвэл прогрессийн бүх гишүүн ижил тоотой тэнцүү бөгөөд прогресс нь байна.

суурин

Жишээлбэл, 2;2;2;2;...

Арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар:

Зургийг харцгаая.

Бид үүнийг харж байна

, мөн нэгэн зэрэг

.

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Тэгш байдлын хоёр талыг 2-т хуваая:

Тиймээс арифметик прогрессийн гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хоёр хөршийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Бид үүнийг харж байна

Түүнээс гадна, түүнээс хойш

, Тэр

, тиймээс">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Гарчиг="k>l) -ээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр

-р гишүүний томъёо.

Арифметик прогрессийн нөхцөлүүд дараах харилцааг хангаж байгааг бид харж байна.

тэгээд эцэст нь Бид авсан

n-р гишүүний томъёо.ЧУХАЛ!

Арифметик прогрессийн аль ч гишүүнийг багаар илэрхийлж болно. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та түүний аль ч гишүүнийг олох боломжтой.

Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэр.

Дурын арифметик прогрессийн хувьд туйлын нэгээс ижил зайд байгаа гишүүдийн нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийг авч үзье. Энэ прогрессийн n гишүүний нийлбэр нь -тэй тэнцүү байг.

Прогрессийн нөхцлүүдийг эхлээд тоонуудын өсөх дарааллаар, дараа нь буурах дарааллаар эрэмбэлье.

Хаалт бүрийн нийлбэр нь , хосын тоо n байна.

Бид авах:

Тэгэхээр, Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор олж болно.

Ингээд авч үзье арифметик прогрессийн бодлого бодох.

1 . Дарааллыг n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно. . Энэ дараалал нь арифметик прогресс гэдгийг батал.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүний зөрүү нь ижил тоотой тэнцүү гэдгийг баталцгаая.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүдийн ялгаа нь тэдний тооноос хамаардаггүй бөгөөд тогтмол гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс тодорхойлолтоор энэ дараалал нь арифметик прогресс юм.

2 . Арифметик прогресс өгөгдсөн -31; -27;...

a) Прогрессийн 31 гишүүнийг ол.

б) 41 тоо энэ прогрессод орсон эсэхийг тодорхойл.

A)Бид үүнийг харж байна;

Прогрессийнхээ n-р гишүүний томьёог бичье.

Ерөнхийдөө

Манай тохиолдолд , Тийм учраас

. Арифметик прогресс нь тооны дарааллын энгийн тусгай тохиолдол юм.тооны дарааллыг нэрлэх (прогрессийн нөхцөл)

Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө шинэ нэр томъёогоор ялгаатай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг алхам эсвэл дэвшлийн ялгаа.

Тиймээс, дэвшилтийн алхам болон түүний эхний гишүүнийг зааж өгснөөр та томъёог ашиглан түүний аль ч элементийг олох боломжтой

Арифметик прогрессийн шинж чанарууд

1) Хоёр дахь тооноос эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундаж юм.

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Прогрессийн зэргэлдээх сондгой (тэгш) гишүүдийн арифметик дундаж нь тэдгээрийн хооронд байрлах гишүүнтэй тэнцүү бол энэ тооны дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ мэдэгдлийг ашиглан ямар ч дарааллыг шалгахад маш хялбар байдаг.

Мөн арифметик прогрессийн шинж чанараар дээрх томьёог дараах байдлаар ерөнхийлж болно

Хэрэв та ижил тэмдгийн баруун талд нөхцөлийг бичвэл үүнийг шалгахад хялбар болно

Бодлогын тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг практикт ихэвчлэн ашигладаг.

2) Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог сайн санаарай, энэ нь тооцоололд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд амьдралын энгийн нөхцөл байдалд ихэвчлэн олддог.

3) Хэрэв та бүхэл нийлбэрийг биш, харин дарааллынх нь k-р гишүүнээс эхлэн хэсгийг олох шаардлагатай бол дараах нийлбэрийн томъёо танд хэрэг болно.

4) Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг k-р тооноос эхлэн олох нь практик сонирхол татдаг. Үүнийг хийхийн тулд томъёог ашиглана уу

Энэ дээр онолын материалдуусч, бид практикт нийтлэг асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжинэ.

Жишээ 1. 4;7;... арифметик прогрессийн дөчин гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Бидэнд байгаа нөхцөл байдлын дагуу

Явцын алхамыг тодорхойлъё

By алдартай томъёоПрогрессийн дөчин гишүүнийг ол

Жишээ 2.

Шийдэл:

Арифметик прогрессийг гурав, долоо дахь гишүүнээр нь өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн ба арвын нийлбэрийг ол.

Прогрессийн өгөгдсөн элементүүдийг томьёо ашиглан бичье

Бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасч, үр дүнд нь прогрессийн алхамыг олно

Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг олохын тулд олсон утгыг тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулна.

Бид прогрессийн эхний арван гишүүний нийлбэрийг тооцоолно Өргөдөл гаргахгүйгээрнарийн төвөгтэй тооцоо

Бид шаардлагатай бүх хэмжээг олсон.

Шийдэл:

Жишээ 3. Арифметик прогрессийг хуваагч болон түүний гишүүний аль нэгээр нь өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн, 50-аас эхэлсэн 50 гишүүний нийлбэр, эхний 100 гишүүний нийлбэрийг ол.

Прогрессийн зуу дахь элементийн томъёог бичье

тэгээд эхнийхийг нь олоорой

Эхнийх нь дээр үндэслэн бид прогрессийн 50 дахь гишүүнийг олдог

Прогрессийн хэсгийн нийлбэрийг олох

ба эхний 100-ийн нийлбэр

Явцын хэмжээ 250 байна.

Жишээ 4.

Дараах тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүний тоог ол.

Шийдэл:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Тэгшитгэлүүдийг эхний гишүүн болон прогрессийн алхамаар бичиж тодорхойлъё

Бид олж авсан утгыг нийлбэрийн томъёонд орлуулж, нийлбэр дэх нэр томъёоны тоог тодорхойлно

Бид хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг тэгээд шийднэ

квадрат тэгшитгэл

Олдсон хоёр утгын зөвхөн 8 тоо нь асуудлын нөхцөлтэй тохирч байна. Ийнхүү прогрессийн эхний найман гишүүний нийлбэр нь 111 байна.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг шийд

1+3+5+...+x=307. Шийдэл:Энэ тэгшитгэл

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг хараахан мэдэхгүй байгаа гэсэн дотоод баримт нотолгоо надад хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс би таныг урт удаан хугацааны танилцуулгаар зовоохгүй бөгөөд шууд гол руугаа орох болно.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• Нэгдүгээрт, хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг харцгаая:

$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$ Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал:.

Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө нэгээр их байна. Хоёр дахь тохиолдолд цуврал хоорондын ялгаааль хэдийн тавтай тэнцэж байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ямар ч үндэс байхгүй. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, мөн $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ба энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр ердөө $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг захиалсантоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Тоонуудыг өөрчлөх, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та сүнсэнд ямар нэг зүйлийг бичвэл (1; 2; 3; 4; ...) - энэ нь аль хэдийн байна төгсгөлгүй дэвшил. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь дахиад хэд хэдэн тоо байгааг илтгэж байх шиг байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь.

Прогресс нэмэгдэж эсвэл буурч болно гэдгийг би бас тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

За яахав: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Нэмж дурдахад "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, өөрөөр хэлбэл. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол дэвшил нэмэгдэнэ;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна. ижил тоо: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээр өгөгдсөн гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тооноос зүүн талд байгаа тоог хасахад хангалттай. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Бидний харж байгаагаар бүгдээрээ гурван тохиолдолялгаа нь үнэндээ сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага эсвэл бага хэмжээгээр олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогрессийн нөхцөл ба давталтын томъёо

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ олонлогийн бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоогоор заана: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, дэвшилтийн хөрш зэргэлдээ нөхцлүүд нь дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Энэ томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх тоог) мэдэх замаар ямар ч тоог олох боломжтой. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү зальтай томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томъёог аль хэдийн олж мэдсэн байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, асуудлын номонд өгөх дуртай. Ямар ч ухаалаг математикийн сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгавар №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба $d=-5$ прогрессийн зөрүүг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; −2)

Ингээд л болоо! Анхаарна уу: бидний ахиц дэвшил буурч байна.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-ийг орлуулах боломжгүй - эхний нэр томъёо нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч эв нэгдлийг орлуулснаар бидний томъёо эхний улиралд ч гэсэн үр дүнтэй гэдэгт бид итгэлтэй байсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгавар №2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Асуудлын нөхцөлийг танил хэллэгээр бичье.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Явцын зөрүүг олох нь ийм амархан! Үлдсэн зүйл бол олсон тоог системийн аль нэг тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: (−34; −35; −36)

Бидний нээсэн прогрессийн сонирхолтой шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон дэвшилтэт асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна.

Даалгавар №3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тиймээс $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Ингээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг нөхцөлийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, түүний эхний гишүүн сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нэр томъёо гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ элементүүдийг дараалан дамжуулж энэ мөчийг "толгой" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ бодлогуудыг томъёоллыг мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас цаас шаардагдахаар бичдэг - бид хариултаа олох зуураа зүгээр л унтдаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг илүү хурдан шийдвэрлэхийг хичээцгээе.

Даалгавар No4. Арифметик прогрессод хэдэн сөрөг гишүүн байна −38.5; -35.8; ...?

Шийдэл. Тиймээс $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, эндээс бид шууд ялгааг олно:

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгддэг гэдгийг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг тул хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Үүнийг олохыг хичээцгээе: хэзээ болтол (жишээ нь натурал тоо$n$) нэр томъёоны сөрөг тал хадгалагдана:

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрөнд зарим тайлбар шаардлагатай. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, бид зөвхөн тооны бүхэл утгуудад сэтгэл хангалуун байдаг (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн том зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$ бөгөөд ямар ч тохиолдолд 16 биш юм. .

Даалгавар №5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-ыг мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн ялгааг хялбархан олох боломжтой.

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний ба зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид аналогиар үргэлжлүүлнэ өмнөх даалгавар. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг олж мэдье.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл энэ тэгш бус байдлын тухай- 56 дугаар.

Анхаарна уу: сүүлчийн даалгавар дээр бүх зүйл бүтсэн хатуу тэгш бус байдал, тэгэхээр $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг судалж үзье, энэ нь бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөх арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын нэр томъёог тусгайлан тэмдэглэсэн бөгөөд $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Дахин давтагдах томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх нэр томъёонд бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр яах вэ? Мөн $((a)_(n-1))$ ба $((a)_(n+1))$ нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тэй тэнцүү байна. Бид хязгааргүй үргэлжлүүлж болох ч утгыг зургаар сайн харуулсан

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид маш сайн мэдэгдлийг олж авсан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнчлэн: бид $((a)_(n))$ цэгээсээ зүүн, баруун тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхамаар ухрах боломжтой бөгөөд томъёо зөв хэвээр байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практикт олон асуудлыг арифметик дундажийг ашиглахад тусгайлан тохируулсан байдаг. Хараад үзээрэй:

Даалгавар №6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ болон $14+4((x)^(2))$ гэсэн дараалсан нөхцлүүд болох $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Учир нь заасан тоонуудПрогрессийн гишүүд бол тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: төв элемент$x+1$-ийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үр дүн нь сонгодог квадрат тэгшитгэл юм. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: −3; 2.

Даалгавар №7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг $$-ын утгыг ол (энэ дарааллаар).

Шийдэл. Дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар дахин илэрхийлье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс байна: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та ямар нэгэн харгис хэрцгий тоо гаргаж ирвэл эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай техник байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод −3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$-г орлуулъя:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид −54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь асуудлыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө шийдэж байна хамгийн сүүлийн үеийн даалгавар, бид өөр нэгэнтэй таарлаа сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо ийм байвал хоёр дахь нь дунд байна эхлээд арифметикэцэст нь эдгээр тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь бидэнд шууд утгаараа "дизайн" хийх боломжийг олгоно. шаардлагатай дэвшил, асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө аль хэдийн яригдсан зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийг бүлэглэх, нэгтгэх

-руу буцаж орцгооё тооны тэнхлэг. Прогрессийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэе, тэдгээрийн хооронд магадгүй. бусад олон гишүүдэд үнэ цэнэтэй юм:

“Зүүн сүүл”-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, “баруун сүүл”-ийг $((a)_(k))$, $d$-аар илэрхийлэхийг хичээцгээе. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах хэмжээ тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх прогрессийн хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс алхам алхаж эхлэх юм бол. эсрэг талууд(бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээрээ холдох), дараа нь Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн тодорхой илэрхийлж болно:

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшинбидний дээр дурьдсанаас илүү хүндрэлүүд. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгавар №8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь боломжит хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс бид $d$-ийн явцын зөрүүг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул шийдлийг бүхэлд нь ялгааг тойруулан бүтээх болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би үүнийг гаргаж авсан нийтлэг үржүүлэгчХоёр дахь хаалтаас 11. Тиймээс шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. хэрвээ бид хаалтуудыг өргөжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн өндөр нэр томъёоны коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо, тиймээс бид үнэхээр дээш салбартай параболатай харьцаж байна:

хуваарь квадрат функц- парабол

Анхаарна уу: хамгийн бага утгаЭнэ парабола абсциссатай орой дээрээ $((d)_(0))$-г авдаг. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийг ашиглан тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ үүнийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \баруун)\cdot \left(d+6 \баруун)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисс нь дундаж утгатай тэнцүү байна арифметик тоо−66 ба −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоо бидэнд юу өгөх вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид хэзээ ч $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ, энэ тоо нь анхны прогрессоос ялгаатай, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгавар №9. $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac(1)(6)$ гэсэн тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар эдгээр тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үндсэндээ бид эхний болон сүүлчийн тоог аль хэдийн мэддэг таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэе:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас мөн $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)(6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол одоогоорБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санацгаая:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ болон бидний сая олсон $y=-\frac(1)(3)$ тоонуудын хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг хариултын эхний тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгавар №10. Хэрэв та оруулсан тоонуудын эхний, хоёр дахь, сүүлчийнх нь нийлбэр нь 56 гэдгийг мэдэж байгаа бол 2 ба 42 тоонуудын хооронд эдгээр тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна уу.

Шийдэл. Бүр илүү хэцүү даалгавар, гэхдээ үүнийг өмнөхтэй ижил схемийн дагуу арифметик дундажаар шийддэг. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулах шаардлагатайг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Иймд бүх зүйлийг оруулсны дараа яг $n$ тоо гарах бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж тодорхой бодъё. Энэ тохиолдолд шаардлагатай арифметик прогрессийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ ба $((a)_(n-1))$ тоонуудыг 2 ба 42 дугаарын ирмэг дээр бие бие рүүгээ нэг алхамаар олж авдаг гэдгийг анхаарна уу. өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дээр дурдсан илэрхийлэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-г мэдсэнээр бид явцын ялгааг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((а)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн нөхцлүүдийг олох л үлдлээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байв: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогресстэй үгийн асуудлууд

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй хэд хэдэн зүйлийг авч үзэхийг хүсч байна энгийн даалгаварууд. Маш энгийн: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудад эдгээр асуудлууд хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь OGE болон математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гардаг төрлийн асуудлууд тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгавар №11. Тус хамт олон 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөх сарынхаас 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэжээ. Арваннэгдүгээр сард баг хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар жагсаасан хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж буй арифметик прогрессийг илэрхийлэх болно. Үүнээс гадна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгавар №12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 4-өөр илүү ном хавсаргав. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүх зүйл адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Бид ахиц дэвшлийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн чухал, маш чухал зүйлийг судлах дараагийн хичээл рүү аюулгүйгээр шилжиж болно. ашигтай үр дагавартүүнээс.

Арифметик прогрессийн нийлбэр.

Арифметик прогрессийн нийлбэр нь энгийн зүйл юм. Утгын хувьд ч, томъёоны хувьд ч. Гэхдээ энэ сэдвээр бүх төрлийн даалгавар байдаг. Үндсэнээс нэлээд хатуу хүртэл.

Эхлээд дүнгийн утга, томьёог ойлгоцгооё. Тэгээд бид шийднэ. Өөрийнхөө таашаалд зориулж.) Хэмжээний утга нь моо шиг энгийн. Арифметик прогрессийн нийлбэрийг олохын тулд түүний бүх гишүүнийг анхааралтай нэмэх хэрэгтэй. Хэрэв эдгээр нэр томъёо цөөн бол та ямар ч томьёогүйгээр нэмж болно. Гэхдээ их, эсвэл их байвал ... нэмэх нь ядаргаатай.) Энэ тохиолдолд томъёо нь аврах ажилд ирдэг.

Хэмжээний томъёо нь энгийн:

Томъёонд ямар үсэг орсон болохыг олж мэдье. Энэ нь маш их зүйлийг тодруулах болно.

S n - арифметик прогрессийн нийлбэр. Нэмэлт үр дүн хүн бүргишүүд, хамт эхлээд By сүүлчийн.Энэ бол чухал. Тэд яг нийлдэг Бүгдгишүүд дараалан, алгасах, алгасахгүйгээр. Тэгээд яг тэрнээс эхлэн эхлээд.Гурав, найм дахь гишүүний нийлбэр, таваас хорь хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох зэрэг асуудалд - шууд програмтомъёонууд урам хугарах болно.)

a 1 - эхлээддэвшлийн гишүүн. Энд бүх зүйл ойлгомжтой, энгийн эхлээдэгнээний дугаар.

a n- сүүлчийндэвшлийн гишүүн. Сүүлийн дугаарэгнээ. Нэг их танил нэр биш, гэхдээ үнийн дүнгийн хувьд энэ нь маш тохиромжтой. Дараа нь та өөрөө харах болно.

n - сүүлчийн гишүүний дугаар. Томъёонд энэ тоог ойлгох нь чухал юм нэмэгдсэн нэр томъёоны тоотой давхцаж байна.

Үзэл баримтлалыг тодорхойлъё сүүлчийнгишүүн a n. Хэцүү асуулт: аль гишүүн байх вэ сүүлчийнх ньөгсөн бол эцэс төгсгөлгүйарифметик прогресс?)

Итгэлтэй хариулахын тулд та арифметик прогрессийн үндсэн утгыг ойлгох хэрэгтэй бөгөөд... даалгаврыг анхааралтай уншина уу!)

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг олох даалгаварт сүүлийн гишүүн үргэлж гарч ирдэг (шууд эсвэл шууд бус), хязгаарлах ёстой.Үгүй бол эцсийн, тодорхой хэмжээ зүгээр л байхгүй.Шийдлийн хувьд прогресс өгөгдсөн эсэх нь хамаагүй: төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй. Хэрхэн өгөгдсөн нь хамаагүй: цуврал тоо эсвэл n-р гишүүний томъёо.

Хамгийн гол нь томьёо нь прогрессийн эхний гишүүнээс эхлээд тоотой нэр томъёо хүртэл ажилладаг гэдгийг ойлгох явдал юм n.Үнэндээ томъёоны бүтэн нэр дараах байдалтай байна. арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр.Эдгээр хамгийн анхны гишүүдийн тоо, i.e. n, зөвхөн даалгавараар тодорхойлогддог. Даалгаврын хувьд энэ бүх үнэ цэнэтэй мэдээллийг ихэвчлэн шифрлэдэг, тийм ээ ... Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй, доорх жишээн дээр бид эдгээр нууцыг илчилдэг.)

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн даалгаврын жишээ.

Юуны өмнө, хэрэгтэй мэдээлэл:

Арифметик прогрессийн нийлбэртэй холбоотой даалгаврын гол бэрхшээл нь зөв тодорхойлолттомъёоны элементүүд.

Даалгаврын зохиогчид эдгээр элементүүдийг хязгааргүй төсөөллийн тусламжтайгаар шифрлэдэг.) Энд гол зүйл бол айх хэрэггүй. Элементүүдийн мөн чанарыг ойлгохын тулд тэдгээрийг зүгээр л тайлахад хангалттай. Хэд хэдэн жишээг нарийвчлан авч үзье. Жинхэнэ ТЕГ дээр үндэслэсэн даалгавраас эхэлье.

1. Арифметик прогрессийг a n = 2n-3.5 нөхцөлөөр тодорхойлно. Түүний эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.

Сайн ажил. Хялбар.) Томъёог ашиглан хэмжээг тодорхойлохын тулд бид юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Анхны гишүүн a 1, сүүлийн улирал a n, тиймээ сүүлчийн гишүүний дугаар n.

Сүүлийн гишүүний дугаарыг хаанаас авах вэ? n? Тийм ээ, яг тэнд, нөхцөлтэйгээр! Энэ нь: нийлбэрийг ол эхний 10 гишүүн.За, ямар дугаартай байх вэ? сүүлчийн,арав дахь гишүүн үү?) Та үүнд итгэхгүй байна, түүний тоо арав дахь!) Тиймийн тул, оронд нь a nБид томъёонд орлуулах болно а 10, оронд нь n- арав. Дахин хэлье, сүүлийн гишүүний тоо гишүүдийн тоотой давхцаж байна.

Үүнийг тодорхойлоход л үлдлээ a 1Тэгээд а 10. Үүнийг асуудлын тайлбарт өгөгдсөн n-р гишүүний томъёогоор хялбархан тооцдог. Үүнийг яаж хийхээ мэдэхгүй байна уу? Өмнөх хичээлд суу, үүнгүйгээр арга байхгүй.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

а 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Бид арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёоны бүх элементүүдийн утгыг олж мэдсэн. Үлдсэн зүйл бол тэдгээрийг орлуулж, тоолох явдал юм:

Ингээд л болоо. Хариулт: 75.

ТЕГ-т суурилсан өөр нэг даалгавар. Бага зэрэг төвөгтэй:

2. Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн бөгөөд ялгаа нь 3.7; a 1 =2.3. Түүний эхний 15 гишүүний нийлбэрийг ол.

Бид нэн даруй нийлбэрийн томъёог бичнэ.

Энэ томъёо нь ямар ч нэр томъёоны утгыг тоогоор нь олох боломжийг олгодог. Бид энгийн орлуулалтыг хайж байна:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёонд бүх элементүүдийг орлуулж, хариултыг тооцоолоход л үлддэг.

Хариулт: 423.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв нийлбэрийн томъёонд оронд нь a nБид зүгээр л n-р гишүүний томъёог орлуулаад дараахийг авна.

Ижил төстэйг нь авчиръя, бид авна шинэ томъёоАрифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр:

Таны харж байгаагаар энд шаардлагагүй n-р улирал a n. Зарим асуудалд энэ томьёо маш их тус болдог, тиймээ... Та энэ томъёог санаж болно. Энэ нь боломжтой юу зөв мөчэнд шиг харуулахад хялбар. Эцсийн эцэст та нийлбэрийн томъёо болон n-р гишүүний томъёог үргэлж санаж байх хэрэгтэй.)

Одоо богино шифрлэлтийн хэлбэрээр даалгавар):

3. Бүх эерэг зүйлийн нийлбэрийг ол хоёр оронтой тоо, гурвын үржвэр.

Хөөх! Чиний анхны гишүүн ч биш, сүүлчийнх ч биш, ахиц дэвшил ч биш... Яаж амьдрах вэ!?

Та толгойгоо бодож, нөхцөлөөс арифметик прогрессийн нийлбэрийн бүх элементүүдийг гаргаж авах хэрэгтэй болно. Хоёр оронтой тоо гэж юу байдгийг бид мэднэ. Тэд хоёр тооноос бүрдэнэ.) Ямар хоёр оронтой тоо байх вэ эхлээд? 10, магадгүй.) А сүүлчийнхоёр оронтой тоо? 99, мэдээжийн хэрэг! Гурван оронтой тоонууд түүнийг дагана...

Гуравын үржвэр... Хм... Эдгээр нь гуравт хуваагддаг тоонууд, энд! Арав нь гуравт хуваагддаггүй, 11 нь хуваагддаггүй... 12... хуваагддаг! Тэгэхээр ямар нэгэн зүйл гарч ирж байна. Асуудлын нөхцлийн дагуу та аль хэдийн цуврал бичиж болно.

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Энэ цуврал арифметик прогресс байх уу? Мэдээжийн хэрэг! Нэр томьёо бүр өмнөхөөсөө 3-аар ялгаатай байна. Хэрэв та нэр томъёонд 2 эсвэл 4-ийг нэмбэл үр дүн, i.e. шинэ тоо 3-т хуваагдахаа больсон. Та арифметик прогрессийн зөрүүг шууд тодорхойлж болно: d = 3.Энэ нь хэрэг болно!)

Тиймээс бид зарим дэвшилтийн параметрүүдийг аюулгүйгээр бичиж болно:

Тоо хэд байх вэ? nсүүлчийн гишүүн? 99 гэж бодсон хүн үхмээр эндүүрч байна... Тоонууд дандаа дараалан гардаг ч манай гишүүд гурваас дээш үсэрдэг. Тэд таарахгүй байна.

Энд хоёр шийдэл байна. Нэг арга зам бол хэт хөдөлмөрч хүмүүс юм. Та дэвшилт, бүхэл бүтэн цувралыг бичиж, гишүүдийн тоог хуруугаараа тоолж болно.) Хоёр дахь арга нь бодолтой хүмүүст зориулагдсан юм. Та n-р гишүүний томъёог санах хэрэгтэй. Хэрэв бид томьёог бодлогодоо хэрэглэвэл 99 нь прогрессийн гуч дахь гишүүн болохыг олж мэднэ. Тэдгээр. n = 30.

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог харцгаая.

Бид харж, баярлаж байна.) Бид асуудлын мэдэгдлээс дүнг тооцоход шаардлагатай бүх зүйлийг гаргаж авсан.

a 1= 12.

нь 30= 99.

S n = S 30.

Үлдсэн зүйл бол энгийн арифметик юм. Бид тоонуудыг томъёонд орлуулж, тооцоолно:

Хариулт: 1665

Өөр нэг алдартай оньсого:

4. Арифметик прогресс өгөгдсөн:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Хорь-оос гучин дөрөв хүртэлх гишүүний нийлбэрийг ол.

Бид дүнгийн томъёог хараад... бид бухимдаж байна.) Томъёо, танд сануулъя, дүнг тооцдог. эхний үеэсгишүүн. Мөн асуудалд та нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй хорьдугаар оноос хойш ...Томъёо ажиллахгүй.

Мэдээжийн хэрэг та бүх явцыг цувралаар бичиж, 20-оос 34 хүртэлх нөхцөлийг нэмж болно. Гэхдээ ... энэ нь ямар нэгэн байдлаар тэнэг бөгөөд удаан хугацаа шаарддаг, тийм үү?)

Илүү олон бий гоёмсог шийдэл. Цувралуудаа хоёр хэсэгт хуваацгаая. Эхний хэсэг нь байх болно эхний үеэс арван есдүгээр улирал хүртэл.Хоёр дахь хэсэг - хорин гучин дөрөв хүртэл.Хэрэв бид эхний хэсгийн нөхцлийн нийлбэрийг тооцвол тодорхой байна S 1-19, хоёрдугаар хэсгийн нөхцлийн нийлбэрээр нэмье S 20-34, бид эхний гишүүнээс гучин дөрөв хүртэлх прогрессийн нийлбэрийг авна S 1-34. Үүнтэй адил:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Үүнээс бид нийлбэрийг олохыг харж болно S 20-34энгийн хасах замаар хийж болно

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Баруун талд байгаа хоёр дүнг хоёуланг нь харгалзан үзнэ эхний үеэсгишүүн, өөрөөр хэлбэл тэдэнд нэлээд хамаатай стандарт томъёохэмжээ. Эхэлцгээе?

Бид асуудлын мэдэгдлээс явцын параметрүүдийг гаргаж авдаг:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Эхний 19 ба эхний 34 гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд бидэнд 19 ба 34 дэх гишүүн байх шаардлагатай. Бид тэдгээрийг 2-р асуудлын адил n-р гишүүний томъёогоор тооцоолно.

а 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

а 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Юу ч үлдсэнгүй. 34 гишүүний нийлбэрээс 19 гишүүний нийлбэрийг хасна.

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Хариулт: 262.5

Нэг чухал тэмдэглэл! Энэ асуудлыг шийдэхэд маш хэрэгтэй заль мэх бий. Шууд тооцоолохын оронд танд хэрэгтэй зүйл (S 20-34),бид тоолсон шаардлагагүй мэт санагдах зүйл - S 1-19.Тэгээд тэд шийдсэн S 20-34, бүрэн үр дүнгээс шаардлагагүй зүйлийг хаях. Иймэрхүү "чихээрээ хуурах" нь таныг муу асуудлаас авардаг.)

Энэ хичээлээр бид арифметик прогрессийн нийлбэрийн утгыг ойлгоход хангалттай асуудлуудыг авч үзсэн. За, та хэд хэдэн томъёог мэдэх хэрэгтэй.)

Практик зөвлөгөө:

Арифметик прогрессийн нийлбэртэй холбоотой аливаа асуудлыг шийдэхдээ би энэ сэдвийн үндсэн хоёр томьёог нэн даруй бичихийг зөвлөж байна.

n-р гишүүний томъёо:

Эдгээр томьёо нь асуудлыг шийдэхийн тулд юуг хайх, ямар чиглэлд бодохыг шууд хэлэх болно. Туслана.

Одоо бие даасан шийдвэрлэх ажлууд.

5. Гуравт хуваагддаггүй бүх хоёр оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.

Гайхалтай юу?) 4-р асуудлын тэмдэглэлд зөвлөгөө нуугдаж байна. За 3-р асуудал тус болно.

6. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Түүний эхний 24 гишүүний нийлбэрийг ол.

Ер бусын уу?) Энэ бол давтагдах томъёо юм. Та энэ тухай өмнөх хичээлээс уншиж болно. Холбоосыг үл тоомсорлож болохгүй, ийм асуудал Улсын Шинжлэх Ухааны Академид ихэвчлэн гардаг.

7. Вася баяраар мөнгө цуглуулсан. 4550 рубль хүртэл! Тэгээд би дуртай хүндээ (өөртөө) хэдэн өдрийн аз жаргал өгөхөөр шийдсэн). Өөрийгөө юуг ч үгүйсгэлгүй сайхан амьдар. Эхний өдөр 500 рубль зарцуулж, дараагийн өдөр бүр өмнөхөөсөө 50 рубль илүү зарцуулаарай! Мөнгө дуусах хүртэл. Вася хэдэн өдөр аз жаргалтай байсан бэ?

Хэцүү үү?) 2-р асуудлын нэмэлт томъёо нь туслах болно.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 7, 3240, 6.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Эрт дээр үед арифметик прогрессийн асуудлууд аль хэдийн гарч ирсэн. Тэд практик хэрэгцээтэй тул гарч ирээд шийдлийг шаардаж байсан.

Тиймээс, нэг папирус дээр Эртний Египетбайх математикийн агуулга, - Райндын папирус (МЭӨ 19-р зуун) - дараах даалгаварыг агуулна: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хуваа, хэрэв тэдгээрийн хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн наймны нэг байх ёстой."

Эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Тиймээс, Александрын Hypsicles (2-р зуун, энэ нь маш их байсан сонирхолтой даалгаварАрван дөрөв дэх номыг Евклидийн элементүүдэд нэмсэн тэрээр дараахь санааг томъёолжээ: "Арифметик прогрессийн хувьд. тэгш тоо 2-р хагасын нөхцлийн нийлбэр нь 1-р нөхцлийн нийлбэрээс гишүүний тооноос 1/2-ын квадратаар их байна."

Дараалал нь ангаар тэмдэглэгдсэн байна. Дарааллын тоог гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн энэ гишүүний серийн дугаарыг (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2th", "a 3rd" гэсэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг. гэх мэт).

Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ? Үүгээр бид өмнөх гишүүн (n)-ийг ижил тооны d-тэй нэмснээр олж авсан нэгийг хэлж байгаа бөгөөд энэ нь прогрессийн зөрүү юм.

Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 байвал энэ дэвшилт нэмэгдэж байна гэж үзнэ.

Арифметик прогрессийн эхний хэдэн гишүүнийг л авч үзвэл төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш их их хэмжээгээргишүүд аль хэдийн эцэс төгсгөлгүй дэвшил юм.

Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

an =kn+b, харин b ба k нь зарим тоо юм.

Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь дараахь шинж чанартай арифметик прогресс юм.

1. Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
2. Эсрэгээр: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм, өөрөөр хэлбэл. хэрэв нөхцөл хангагдсан бол энэ дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь ахиц дэвшлийн шинж тэмдэг бөгөөд иймээс үүнийг ихэвчлэн нэрлэдэг онцлог шинж чанардэвшил.
   Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль нэг гишүүний хувьд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.

Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.

Арифметик прогрессод шаардлагатай (N-р) гишүүнийг ашиглан олж болно дараах томъёо:

Жишээ нь: Арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн ба гуравтай тэнцүү, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцүү байна. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1+4(45-1)=177

a = ak + d(n - k) томъёо нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь тодорхойлох боломжийг олгодог.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр (1-р n гишүүнийг илэрхийлнэ хязгаарлагдмал прогресс) дараах байдлаар тооцоолно.

Sn = (a1+an) n/2.

Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол өөр томъёог тооцоолоход тохиромжтой.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тооцооллын томъёоны сонголт нь асуудлын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.

1,2,3,...,n,...- гэх мэт дурын тооны натурал цуваа хамгийн энгийн жишээарифметик прогресс.

Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометр прогресс байдаг.