Улирал

гэр Дэлхийн улс орнууд Хэрэв натурал тоо бүрийн хувьд n бодит тоотой таарна a n :

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 , , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 2 , , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 3 , . . . , тооны дараалал , . . . .

а a nТэгэхээр,

тооны дараалал , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 - байгалийн аргументийн функц. Тоо дуудсан , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 2 — дарааллын эхний гишүүн , тоо , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 3 — дарааллын хоёр дахь гишүүн , тоо n - байгалийн аргументийн функц. гурав дахьгэх мэт. Тоо n-р улирал дараалал — , мөн натурал тоо .

n тооны дараалал түүний дугаар тооны дараалал +1 Хоёр зэргэлдээ гишүүнээс тооны дараалал +1 - байгалийн аргументийн функц. Тэгээд дарааллын гишүүн n дараагийн n — ( зүг дарааллын гишүүн тооны дараалал +1 ).

), А

өмнөх Дараалалыг тодорхойлохын тулд та дарааллын гишүүнийг дурын тоогоор олох боломжийг олгох аргыг зааж өгөх хэрэгтэй. Ихэнхдээ дарааллыг ашиглан зааж өгдөг

n-р хугацааны томьёо

, өөрөөр хэлбэл дарааллын гишүүнийг дугаараар нь тодорхойлох томьёо. Жишээлбэл,эерэг дараалал

тооны дараалал= 2сондгой тоо 1,

томъёогоор өгч болно 1 n- -1 болон ээлжлэн солих дараалал

Тэгээд- томьёо = (-1)б +1 . ◄

n n, Дарааллыг тодорхойлж болно

n-р хугацааны томьёо

давтагдах томъёо , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 = 1 өөрөөр хэлбэл, өмнөх (нэг ба түүнээс дээш) гишүүдээр дамжуулан заримаас эхлэн дарааллын аль нэг гишүүнийг илэрхийлэх томъёо юм. тооны дараалал +1 = тооны дараалал + 5

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 = 1,

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 2 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 3 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 4 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 5 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Хэрэв , А= 1, Хэрэв = 1, тооны дараалал +2 = тооны дараалал + тооны дараалал +1 , a 1

a 2 = 1,

Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно. = 1,

a 1 = a 2 + Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно. = 1 + 1 = 2,

a 2 = Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно. + a 1 = 1 + 2 = 3,

a 3 = a 1 + a 2 = 2 + 3 = 5,

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 6 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 4 + , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 5 = 3 + 5 = 8,

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 7 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 5 + , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 6 = 5 + 8 = 13. ◄

a 4 а 5 түүний дугаар Дараалал байж болно .

эцсийн эцэс төгсгөлгүй Дараалал гэж нэрлэдэг эцсийнхэрэв түүнд байгаа бол эцсийн тоо гишүүд. Дараалал гэж нэрлэдэг

n-р хугацааны томьёо

эцэс төгсгөлгүй

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

, хэрэв энэ нь хязгааргүй олон гишүүнтэй бол.

Хоёр оронтой натурал тооны дараалал:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

эцсийн. ◄

Анхны тоонуудын дараалал: эцэс төгсгөлгүй. Дараалал гэж нэрлэдэг

Анхны тоонуудын дараалал: нэмэгдэх , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө их байвал.

n-р хугацааны томьёо

2, 4, 6, 8, . . . , 2дараалал, . . . буурч байна

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /б, . . . , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө бага байвал. ◄

- нэмэгдүүлэх дараалал; - дараалал буурах. .

Элементүүд нь тоо нэмэгдэх тусам багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дарааллыг гэнэ.

нэг хэвийн дараалал

Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна. гэдэг нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй нь тэнцүү байх дараалал бөгөөд түүнд ижил тоо нэмэгдэнэ.

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 , , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 2 , , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 3 , . . . , тооны дараалал, . . .

хэрэв байгаа бол арифметик прогресс байна натурал тоо Дэлхийн улс орнууд нөхцөл хангагдсан:

тооны дараалал +1 = тооны дараалал + г,

Хаана г - тодорхой тоо.

Тиймээс өгөгдсөн зүйлийн дараагийн болон өмнөх нөхцлүүдийн хоорондын ялгаа арифметик прогрессүргэлж тогтмол:

Хэрэв - , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 = a 3 - , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 2 = . . . = тооны дараалал +1 - тооны дараалал = г.

тооны дараалал г - байгалийн аргументийн функц. арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийг тодорхойлохын тулд түүний эхний гишүүн ба ялгааг зааж өгөхөд хангалттай.

n-р хугацааны томьёо

давтагдах томъёо , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 = 3, г = 4 , дараа нь бид дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

a 2 =3,

Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно. = a 2 + г = 3 + 4 = 7,

a 1 = Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно. + г= 7 + 4 = 11,

a 2 = a 1 + г= 11 + 4 = 15,

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 5 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

Эхний гишүүнтэй арифметик прогрессийн хувьд , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 ба ялгаа г түүнийг Дэлхийн улс орнууд

тооны дараалал = a 2 + (дараалал- 1)г.

n-р хугацааны томьёо

арифметик прогрессийн гучин гишүүнийг ол

1, 4, 7, 10, . . .

a 2 =1, г = 3,

нь 30 = a 2 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 2 + (дараалал- 2)г,

тооны дараалал= a 2 + (дараалал- 1)г,

тооны дараалал +1 = , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 + nd,

тэгвэл ойлгомжтой

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

a, b, c тоонууд нь тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө хоёрын арифметик дундажтай тэнцүү байх тохиолдолд зарим арифметик прогрессийн дараалсан гишүүн болно.

n-р хугацааны томьёо

тооны дараалал = 2дараалал- 7 , нь арифметик прогресс юм.

Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

тооны дараалал = 2дараалал- 7,

a n-1 = 2(сондгой тоо 1) - 7 = 2дараалал- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2дараалал- 5.

Тиймээс,

◄

Тэрийг тэмдэглэ Дэлхийн улс орнууд Арифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 , гэхдээ өмнөх ямар ч байсан a k

тооны дараалал = a k + (дараалал- к)г.

n-р хугацааны томьёо

Учир нь , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 5 бичиж болно

a 3 = a 2 + 4г,

a 3 = Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно. + 3г,

a 3 = a 1 + 2г,

a 3 = a 2 + г. ◄

тооны дараалал = a n-k + кд,

тооны дараалал = a n+k - кд,

тэгвэл ойлгомжтой

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн аль ч гишүүн нь энэ арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа арифметик прогрессийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

n-р хугацааны томьёо

арифметик прогрессоор

1) , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 9 + , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 11 )/2;

2) 28 = а 10 = a 1 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, учир нь

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ тооны дараалал,

эхлээд Дэлхийн улс орнууд Арифметик прогрессийн гишүүд нь туйлын гишүүн ба гишүүний тооны нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.

Эндээс, тухайлбал, хэрэв та нөхцлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол энэ нь дараах байдалтай байна

a k, a k +1 , . . . , тооны дараалал,

Дараа нь өмнөх томьёо нь бүтэцээ хадгална:

n-р хугацааны томьёо

арифметик прогрессоор 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Хэрэв арифметик прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 , тооны дараалал, г, дараалалТэгээдС Дэлхийн улс орнууд хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс хэрэв гурвын утгаЭдгээр хэмжигдэхүүнүүдийг өгөгдсөн бол бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг эдгээр томъёоноос тодорхойлж, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэнэ.

Арифметик прогресс нь монотон дараалал юм. Үүнд:

• давтагдах томъёо г > 0 , дараа нь энэ нь нэмэгдэж байна;
• давтагдах томъёо г < 0 , дараа нь буурч байна;
• давтагдах томъёо г = 0 , дараа нь хөдөлгөөнгүй байх болно.

Геометрийн прогресс

Геометрийн прогресс гэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй нь ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байх дараалал юм.

Тэгээд 1 , Тэгээд 2 , Тэгээд 3 , . . . , б н, . . .

ямар нэгэн натурал тооны хувьд геометр прогресс байна Дэлхийн улс орнууд нөхцөл хангагдсан:

б н +1 = б н · q,

Хаана q ≠ 0 - тодорхой тоо.

Тиймээс өгөгдсөн геометрийн прогрессийн дараагийн гишүүний өмнөхтэй харьцуулсан харьцаа нь тогтмол тоо юм.

Тэгээд 2 / Тэгээд 1 = Тэгээд 3 / Тэгээд 2 = . . . = б н +1 / б н = q.

тооны дараалал q - байгалийн аргументийн функц. геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийг тодорхойлохын тулд түүний эхний гишүүн болон хуваагчийг зааж өгөхөд хангалттай.

n-р хугацааны томьёо

давтагдах томъёо Тэгээд 1 = 1, q = -3 , дараа нь бид дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,

б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,

Тэгээд 5 = Тэгээд 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

Тэгээд 1 ба хуваагч q түүнийг Дэлхийн улс орнууд 2-р нэр томъёог дараах томъёогоор олж болно.

б н = Тэгээд 1 · qn -1 .

n-р хугацааны томьёо

геометр прогрессийн долоо дахь гишүүнийг ол 1, 2, 4, . . .

Тэгээд 1 = 1, q = 2,

Тэгээд 7 = Тэгээд 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = б 1 · qn -2 ,

б н = б 1 · qn -1 ,

б н +1 = Тэгээд 1 · qn,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н -1 · б н +1 ,

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн геометрийн дундажтай (пропорциональ) тэнцүү байна.

Эсрэг заалт нь бас үнэн тул дараахь мэдэгдэлд нийцнэ.

a, b, c тоонууд нь зарим геометр прогрессийн дараалсан гишүүн бөгөөд хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь квадрат байвал л болно. бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнанөгөө хоёр нь, өөрөөр хэлбэл нэг тоо нь нөгөө хоёрын геометрийн дундаж юм.

n-р хугацааны томьёо

Томъёогоор өгөгдсөн дараалал гэдгийг баталъя б н= -3 2 б , нь геометрийн прогресс юм. Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

б н= -3 2 б,

б н -1 = -3 2 б -1 ,

б н +1 = -3 2 б +1 .

Тиймээс,

б н 2 = (-3 2 б) 2 = (-3 2 б -1 ) · (-3 · 2 б +1 ) = б н -1 · б н +1 ,

Энэ нь хүссэн мэдэгдлийг баталж байна. ◄

Тэрийг тэмдэглэ Дэлхийн улс орнууд Геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно Тэгээд 1 , гэхдээ өмнөх гишүүн ч байсан б к , үүний тулд томъёог ашиглахад хангалттай

б н = б к · qn - к.

n-р хугацааны томьёо

Учир нь Тэгээд 5 бичиж болно

б 5 = б 1 · q 4 ,

б 5 = б 2 · q 3,

б 5 = б 3 · q 2,

б 5 = б 4 · q. ◄

б н = б к · qn - к,

б н = б н - к · q k,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н - к· б н + к

Хоёр дахь үеэс эхлэн геометр прогрессийн аль ч гишүүний квадрат нь энэ прогрессийн тэнцүү зайтай гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа геометр прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

б м· б н= б к· б л,

м+ дараалал= к+ л.

n-р хугацааны томьёо

геометрийн прогрессоор

1) Тэгээд 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = Тэгээд 5 · Тэгээд 7 ;

2) 1024 = Тэгээд 11 = Тэгээд 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) Тэгээд 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = Тэгээд 4 · Тэгээд 8 ;

4) Тэгээд 2 · Тэгээд 7 = Тэгээд 4 · Тэгээд 5 , учир нь

Тэгээд 2 · Тэгээд 7 = 2 · 64 = 128,

Тэгээд 4 · Тэгээд 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= Тэгээд 1 + Тэгээд 2 + Тэгээд 3 + . . . + б н

эхлээд Дэлхийн улс орнууд хуваагчтай геометр прогрессийн гишүүд q ≠ 0 томъёогоор тооцоолно:

Тэгээд хэзээ q = 1 - томьёоны дагуу

S n= Nb 1

Хэрэв та нөхцлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол гэдгийг анхаарна уу

б к, б к +1 , . . . , б н,

Дараа нь томъёог ашиглана:

n-р хугацааны томьёо

геометрийн прогрессоор 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Өгөгдсөн бол геометрийн прогресс, дараа нь тоо хэмжээ Тэгээд 1 , б н, q, дараалал n- S n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын аль нэгийн утгыг өгсөн бол бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг эдгээр томъёоноос тодорхойлж, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэнэ.

Эхний гишүүнтэй геометр прогрессийн хувьд Тэгээд 1 ба хуваагч q дараах үйл явдал болно монотон байдлын шинж чанарууд :

• Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил нэмэгдэнэ.

Тэгээд 1 > 0 Тэгээд q> 1;

Тэгээд 1 < 0 Тэгээд 0 < q< 1;

• Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд явц буурна.

Тэгээд 1 > 0 Тэгээд 0 < q< 1;

Тэгээд 1 < 0 Тэгээд q> 1.

Хэрэв q< 0 , дараа нь геометрийн прогресс нь ээлжлэн солигдоно: сондгой тоотой гишүүний эхний гишүүнтэй ижил тэмдэгтэй, тэгш тоотой гишүүний эсрэг тэмдэгтэй байна. Хувьсах геометрийн прогресс нь монотон биш гэдэг нь ойлгомжтой.

Анхны бүтээгдэхүүн Дэлхийн улс орнууд Геометр прогрессийн нөхцөлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

П н= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) дараалал / 2 .

n-р хугацааны томьёо

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Хязгааргүй буурах геометр прогресс

Хязгааргүй буурах геометр прогресс хуваарийн модуль нь бага байдаг хязгааргүй геометр прогресс гэж нэрлэдэг 1 , тэр бол

|q| < 1 .

Хязгааргүй буурч буй геометрийн прогресс нь буурах дараалал биш байж болохыг анхаарна уу. Энэ нь тухайн нөхцөл байдалд тохирсон

1 < q< 0 .

Ийм хуваагчтай бол дараалал нь ээлжлэн солигддог. Жишээлбэл,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр эхнийхүүдийн нийлбэр хязгааргүй ойртох тоог нэрлэнэ үү Дэлхийн улс орнууд тооны хязгааргүй өсөлт бүхий прогрессийн гишүүд Дэлхийн улс орнууд . Энэ тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ

n-р хугацааны томьёо

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Арифметик ба геометр прогрессийн хамаарал

Арифметик ба геометрийн прогрессууд хоорондоо нягт холбоотой. Хоёрхон жишээг авч үзье.

, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 1 , , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 2 , , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг 3 , . . . г , Тэр

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .

n-р хугацааны томьёо

1, 3, 5, . . . - ялгавартай арифметик прогресс 2 Тэгээд

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - хуваагчтай геометр прогресс 7 2 . ◄

Тэгээд 1 , Тэгээд 2 , Тэгээд 3 , . . . - хуваагчтай геометр прогресс q , Тэр

log a b 1, бүртгэл a b 2, бүртгэл a b 3, . . . - ялгавартай арифметик прогресс бүртгэл аq .

n-р хугацааны томьёо

2, 12, 72, . . . - хуваагчтай геометр прогресс 6 Тэгээд

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ялгавартай арифметик прогресс lg 6 . ◄

Эсвэл арифметик гэдэг нь шинж чанарыг нь судалдаг эрэмбэлэгдсэн тоон дарааллын нэг төрөл юм. сургуулийн курсалгебр. Энэ нийтлэлд арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуултыг дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Энэ ямар дэвшил вэ?

Асуултанд шилжихээсээ өмнө (арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ) бидний юу ярьж байгааг ойлгох нь зүйтэй.

Аливаа дараалал бодит тоо, өмнөх тоо бүрээс зарим утгыг нэмэх (хасах) замаар олж авахыг алгебрийн (арифметик) прогресс гэж нэрлэдэг. Энэхүү тодорхойлолтыг математик хэл рүү орчуулбал дараах хэлбэртэй байна.

Энд i нь a i мөрийн элементийн серийн дугаар юм. Тиймээс, зөвхөн нэг эхлэлийн дугаарыг мэдсэнээр та бүхэл бүтэн цувралыг хялбархан сэргээж чадна. Томъёоны d параметрийг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг.

Харгалзан үзэж буй тоонуудын хувьд дараахь тэгш байдлыг хангаж байгааг хялбархан харуулж болно.

a n = a 1 + d * (n - 1).

Өөрөөр хэлбэл, n-р элементийн утгыг дарааллаар нь олохын тулд эхний a элемент дээр d-ийн зөрүүг 1 n-1 удаа нэмэх хэрэгтэй.

Арифметик прогрессийн нийлбэр хэд вэ: томьёо

Заасан дүнгийн томъёог өгөхөөс өмнө энгийн зүйлийг авч үзэх нь зүйтэй онцгой тохиолдол. 1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын прогрессийг өгвөл тэдгээрийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Прогресс (10)-д нэр томьёо цөөхөн байгаа тул асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг дарааллаар нь нэгтгэх боломжтой.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Нэг зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй сонирхолтой зүйл: гишүүн бүр дараагийнхаас ижил утгаараа d = 1 ялгаатай тул эхнийх нь арав, хоёр дахь нь ес, гэх мэтийг хосоор нь нийлбэрлэвэл ижил үр дүн гарна. Үнэхээр:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Таны харж байгаагаар эдгээр нийлбэрүүдийн ердөө 5 нь байгаа бөгөөд энэ нь цувралын элементүүдийн тооноос яг хоёр дахин бага юм. Дараа нь нийлбэрийн тоог (5) нийлбэр бүрийн үр дүнд (11) үржүүлснээр та эхний жишээнд олж авсан үр дүнд хүрнэ.

Хэрэв бид эдгээр аргументуудыг нэгтгэвэл дараах илэрхийлэлийг бичиж болно.

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Энэ илэрхийлэл нь дараалсан бүх элементүүдийг нэгтгэх шаардлагагүй гэдгийг харуулж байна, энэ нь эхний a 1 ба сүүлчийн a n утгыг мэдэхэд хангалттай юм нийт тоо n нэр томъёо.

Гаусс өгөгдсөн асуудлын шийдлийг хайж байхдаа энэ тэгш байдлын талаар хамгийн түрүүнд бодсон гэж үздэг. сургуулийн багшдаалгавар: эхний 100 бүхэл тоог нийлбэр.

m-ээс n хүртэлх элементүүдийн нийлбэр: томъёо

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёо нь арифметик прогрессийн нийлбэрийг (эхний элементүүд) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулдаг боловч ихэнхдээ асуудалд прогрессийн дундуур хэд хэдэн тооны нийлбэр хийх шаардлагатай байдаг. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Энэ асуултанд хариулах хамгийн хялбар арга бол эргэцүүлэн бодох явдал юм дараагийн жишээ: m-ээс n-р хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай байг. Асуудлыг шийдэхийн тулд өгөгдсөн сегментийг m-ээс n хүртэлх прогрессийн шинэ тооны цуваа хэлбэрээр харуулах хэрэгтэй. Ийм-д m-р төлөөлөл a m нэр томъёо нь эхнийх байх ба a n нь n-(m-1) гэж дугаарлагдана. Энэ тохиолдолд нийлбэрийн стандарт томъёог ашигласнаар дараах илэрхийлэл гарна.

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Томьёог ашиглах жишээ

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд дээрх томъёог ашиглах энгийн жишээг авч үзэх нь зүйтэй.

Доорх тоон дараалал байна, та 5-аас эхлээд 12-р хүртэл нөхцлүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Өгөгдсөн тоонууд нь d-ийн зөрүү 3-тай тэнцүү байгааг харуулж байна. n-р элементийн илэрхийлэлийг ашиглан та прогрессийн 5 ба 12-р гишүүний утгыг олох боломжтой. Энэ нь харагдаж байна:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Өгөгдсөн төгсгөлд байгаа тоонуудын утгыг мэдэх алгебрийн прогресс, мөн тэд эгнээнд ямар тоо эзэлж байгааг мэдэхийн тулд та өмнөх догол мөрөнд олж авсан дүнгийн томъёог ашиглаж болно. Энэ нь гарах болно:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Энэ утгыг өөрөөр авч болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: эхлээд эхний 12 элементийн нийлбэрийг дараах байдлаар олоорой. стандарт томъёо, дараа нь ижил томъёог ашиглан эхний 4 элементийн нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь эхний нийлбэрээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Эрт дээр үед арифметик прогрессийн асуудлууд аль хэдийн гарч ирсэн. Тэд практик хэрэгцээтэй тул гарч ирээд шийдлийг шаардаж байсан.

Тиймээс, нэг папирус дээр Эртний Египетбайх математикийн агуулга, - Райндын папирус (МЭӨ 19-р зуун) - дараах даалгаварыг агуулна: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хуваа, хэрэв тэдгээрийн хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн наймны нэг байх ёстой."

Эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Тиймээс, Александрын Hypsicles (2-р зуун, энэ нь маш их байсан сонирхолтой даалгавар 14 дэх номыг Евклидийн элементүүдэд нэмсэн тэрээр дараах бодлыг томъёолсон: "Тэгш тооны гишүүнтэй арифметик прогрессийн 2-р хагасын гишүүний нийлбэр нь 1-р гишүүний нийлбэрээс квадратаар их байна. нэр томьёоны 1/2 нь."

Дараалал нь ангаар тэмдэглэгдсэн байна. Дарааллын тоог гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн энэ гишүүний серийн дугаарыг (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2th", "a 3rd" гэсэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг. гэх мэт).

Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ? Үүгээр бид өмнөх гишүүн (n)-ийг ижил тооны d-тэй нэмснээр олж авсан нэгийг хэлж байгаа бөгөөд энэ нь прогрессийн зөрүү юм.

Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 байвал энэ дэвшилт нэмэгдэж байна гэж үзнэ.

Арифметик прогрессийн эхний хэдэн гишүүнийг л авч үзвэл төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш их их хэмжээгээргишүүд аль хэдийн төгсгөлгүй дэвшил.

Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

an =kn+b, харин b ба k нь зарим тоо юм.

Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь дараахь шинж чанартай арифметик прогресс юм.

1. Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
2. Эсрэгээр: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм, өөрөөр хэлбэл. хэрэв нөхцөл хангагдсан бол энэ дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь ахиц дэвшлийн шинж тэмдэг бөгөөд иймээс үүнийг ихэвчлэн нэрлэдэг онцлог шинж чанардэвшил.
   Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль нэг гишүүний хувьд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.

Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.

Арифметик прогрессод шаардлагатай (N-р) гишүүнийг ашиглан олж болно дараах томъёо:

Жишээ нь: Арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн ба гуравтай тэнцүү, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцүү байна. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) томъёо нь тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог n-р улиралмэдэгдэж байгаа тохиолдолд түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр (1-р n гишүүнийг илэрхийлнэ хязгаарлагдмал прогресс) дараах байдлаар тооцоолно.

Sn = (a1+an) n/2.

Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол өөр томъёог тооцоолоход тохиромжтой.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тооцооллын томъёоны сонголт нь асуудлын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.

1,2,3,...,n,...- гэх мэт дурын тооны натурал цуваа хамгийн энгийн жишээарифметик прогресс.

Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометр прогресс байдаг.

Бид шийдэж эхлэхээс өмнө арифметик прогрессийн бодлого, Арифметик прогресс нь тооны дарааллын тусгай тохиолдол учраас тооны дараалал гэж юу болохыг авч үзье.

Тооны дараалал нь дугаар тогтоосон, элемент бүр өөрийн серийн дугаартай. Энэ олонлогийн элементүүдийг дарааллын гишүүд гэж нэрлэдэг. Дарааллын элементийн серийн дугаарыг индексээр тэмдэглэнэ:

Дарааллын эхний элемент;

Дарааллын тав дахь элемент;

- дарааллын "n" элемент, өөрөөр хэлбэл. n дугаарт "дараалалд зогсох" элемент.

Дарааллын элементийн утга болон түүний дарааллын дугаарын хооронд хамаарал байдаг. Тиймээс бид дарааллыг аргумент нь дарааллын элементийн дарааллын дугаар болох функц гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг хэлж чадна дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм:

Дарааллыг гурван аргаар тохируулж болно.

1 . Дарааллыг хүснэгт ашиглан тодорхойлж болно.Энэ тохиолдолд бид зүгээр л дарааллын гишүүн бүрийн утгыг тохируулна.

Жишээлбэл, Хэн нэгэн хувийн цагийн менежмент хийхээр шийдсэн бөгөөд эхлээд долоо хоногт ВКонтакте дээр хэр их цаг зарцуулж байгаагаа тоол. Хүснэгтэнд цагийг тэмдэглэснээр тэрээр долоон элементээс бүрдэх дарааллыг хүлээн авна.

Хүснэгтийн эхний мөрөнд долоо хоногийн өдрийн тоог, хоёр дахь нь минутаар цагийг заана. Даваа гаригт хэн нэгэн ВКонтакте дээр 125 минут, Пүрэв гарагт 248 минут, баасан гарагт ердөө 15 минут зарцуулсан гэдгийг бид харж байна.

2 . Дарааллыг n-р гишүүний томьёог ашиглан тодорхойлж болно.

Энэ тохиолдолд дарааллын элементийн утгын тооноос хамаарах хамаарлыг томьёоны хэлбэрээр шууд илэрхийлнэ.

Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь

Өгөгдсөн тоо бүхий дарааллын элементийн утгыг олохын тулд n-р гишүүний томъёонд элементийн дугаарыг орлуулна.

Хэрэв аргументийн утга мэдэгдэж байгаа бол функцийн утгыг олох шаардлагатай бол бид ижил зүйлийг хийнэ. Бид аргументын утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулна.

Хэрэв, жишээ нь, , Тэр

Дурын зүйлээс ялгаатай нь дарааллаар нь гэдгийг дахин нэг удаа тэмдэглэе тоон функц, аргумент нь зөвхөн натурал тоо байж болно.

3 . Дарааллыг n дугаар дарааллын гишүүний утгын өмнөх гишүүдийн утгаас хамаарлыг илэрхийлсэн томьёо ашиглан тодорхойлж болно.

Энэ тохиолдолд утгыг олохын тулд зөвхөн дарааллын гишүүний тоог мэдэх нь хангалтгүй юм. Бид дарааллын эхний гишүүн эсвэл эхний хэдэн гишүүнийг зааж өгөх хэрэгтэй. ,

Жишээлбэл, дарааллыг авч үзье Бид дарааллын гишүүдийн утгыг олох боломжтойдарааллаар

, гурав дахь хэсгээс эхлэн: Өөрөөр хэлбэл, дарааллын n-р гишүүний утгыг олох бүрт бид өмнөх хоёр руу буцна. Энэ дарааллыг тодорхойлох аргыг нэрлэдэгдавтагдах , -аас Латин үгдавтагдах

- буцаж ирэх.

Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна. нь тоон дараалал бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн ижил тоонд нэмэгдсэн өмнөхтэй тэнцүү байна.

дугаарыг дуудаж байна арифметик прогрессийн ялгаа. Арифметик прогрессийн зөрүү нь эерэг, сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болно.

Хэрэв title="d>0).">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} нэмэгдэх.

Жишээлбэл, 2; 5; 8; арван нэгэн;...

Хэрэв бол арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага, прогресс нь байна буурч байна.

Жишээлбэл, 2; -1; -4; -7;...

Хэрэв , тэгвэл прогрессийн бүх гишүүн ижил тоотой тэнцүү бөгөөд прогресс нь байна суурин.

Жишээлбэл, 2;2;2;2;...

Арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар:

Зургийг харцгаая.

Бид үүнийг харж байна

, мөн нэгэн зэрэг

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

.

Тэгш байдлын хоёр талыг 2-т хуваая:

Тиймээс арифметик прогрессийн гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хоёр хөршийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Түүнээс гадна, түүнээс хойш

, мөн нэгэн зэрэг

, Тэр

, Тиймээс

Гарчиг="k>l) -ээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

-р гишүүний томъёо.

Арифметик прогрессийн нөхцөлүүд дараах харилцааг хангаж байгааг бид харж байна.

мөн эцэст нь

Бид авсан n-р гишүүний томъёо.

ЧУХАЛ!Арифметик прогрессийн аль ч гишүүнийг багаар илэрхийлж болно. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та түүний аль ч гишүүнийг олох боломжтой.

Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэр.

Дурын арифметик прогрессийн хувьд туйлын нэгээс ижил зайд байгаа гишүүдийн нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийг авч үзье. Энэ прогрессийн n гишүүний нийлбэр нь -тэй тэнцүү байг.

Прогрессийн нөхцлүүдийг эхлээд тоонуудын өсөх дарааллаар, дараа нь буурах дарааллаар эрэмбэлье.

Хосоор нэмье:

Хаалт бүрийн нийлбэр нь , хосын тоо n байна.

Бид авах:

а Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор олж болно.

Ингээд авч үзье арифметик прогрессийн бодлого бодох.

1 . Дарааллыг n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно. . Энэ дараалал нь арифметик прогресс гэдгийг батал.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүний зөрүү нь ижил тоотой тэнцүү гэдгийг баталцгаая.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүдийн ялгаа нь тэдний тооноос хамаардаггүй бөгөөд тогтмол гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс тодорхойлолтоор энэ дараалал нь арифметик прогресс юм.

2 . Арифметик прогресс өгөгдсөн -31; -27;...

a) Прогрессийн 31 гишүүнийг ол.

б) 41 тоо энэ прогрессод орсон эсэхийг тодорхойл.

A)Бид үүнийг харж байна;

Прогрессийнхээ n-р гишүүний томьёог бичье.

Ерөнхийдөө

Манай тохиолдолд , Тийм учраас

Бид авах:

б) 41 тоо нь дарааллын гишүүн гэж бодъё. Түүний дугаарыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг шийдье:

Бид авсан байгалийн үнэ цэнэ n, тиймээс тийм, 41 тоо нь прогрессийн гишүүн юм. Хэрэв n-ийн олсон утга нь натурал тоо биш байсан бол 41 тоо нь прогрессийн гишүүн БИШ гэж хариулна.

3 . a) 2 ба 8 тоонуудын хооронд 4 тоог оруулаад эдгээр тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэдэг.

б) Үүссэн прогрессийн гишүүний нийлбэрийг ол.

A) 2 ба 8 тоонуудын хооронд дөрвөн тоог оруулъя:

Бид 6 гишүүнтэй арифметик прогрессийг авсан.

Энэ дэвшлийн ялгааг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид n-р гишүүний томъёог ашиглана:

Одоо тоонуудын утгыг олоход хялбар боллоо:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

б)

Хариулт: a) тийм; б) 30

4. Уг машин нь 240 тонн жинтэй буталсан чулууг тээвэрлэж, тээвэрлэлтийн хурдыг өдөр бүр тэр хэмжээгээр тонноор нэмэгдүүлж байна. Эхний өдөр 2 тонн буталсан чулуу тээвэрлэсэн нь мэдэгдэж байна. 15 хоногийн дотор бүх ажлыг дуусгасан бол арван хоёр дахь өдөр хэдэн тонн буталсан чулууг тээвэрлэснийг тодорхойл.

Асуудлын нөхцлөөр ачааны машин тээвэрлэж буй дайрга өдөр бүр тэр хэмжээгээр нэмэгддэг. Тиймээс бид арифметик прогрессийг авч үзэж байна.

Энэ асуудлыг арифметик прогрессоор томъёолъё.

Эхний өдөр 2 тонн буталсан чулуу тээвэрлэсэн: a_1=2.

Бүх ажил 15 хоногийн дотор хийгдсэн: .

Ачааны машин нь 240 тонн жинтэй буталсан чулууг тээвэрлэж байна.

Бид олох хэрэгтэй.

Эхлээд дэвшлийн зөрүүг олъё. Прогрессийн n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглая.

Манай тохиолдолд:

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг хараахан мэдэхгүй байгаа гэсэн дотоод баримт нотолгоо надад хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс би таныг урт удаан хугацааны танилцуулгаар зовоохгүй бөгөөд шууд гол руугаа орох болно.

Нэгдүгээрт, хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг харцгаая:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө нэгээр их байна. Хоёр дахь тохиолдолд цуврал хоорондын ялгаа байнгын тооаль хэдийн тавтай тэнцэж байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ямар ч үндэс байхгүй. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, мөн $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ба энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр ердөө $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Тэгээд нэгэн зэрэг хос чухал сэтгэгдэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг захиалсантоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Тоонуудыг өөрчлөх, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та сүнсэнд ямар нэгэн зүйл бичвэл (1; 2; 3; 4; ...) - энэ нь аль хэдийн хязгааргүй дэвшил юм. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь дахиад хэд хэдэн тоо байгааг илтгэж байх шиг байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь.

Прогресс нэмэгдэж эсвэл буурч болно гэдгийг би бас тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Нэмж дурдахад "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, өөрөөр хэлбэл. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол дэвшил нэмэгдэнэ;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна. ижил тоо: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээр өгөгдсөн гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тооноос зүүн талд байгаа тоог хасахад хангалттай. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Бидний харж байгаагаар бүгдээрээ гурван тохиолдолялгаа нь үнэндээ сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага эсвэл бага хэмжээгээр олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогрессийн нөхцөл ба давталтын томъёо

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ олонлогийн бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоогоор заана: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, дэвшилтийн хөрш зэргэлдээ нөхцлүүд нь дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Энэ томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх тоог) мэдэх замаар ямар ч тоог олох боломжтой. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү зальтай томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томъёог аль хэдийн олж мэдсэн байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, асуудлын номонд өгөх дуртай. Ямар ч ухаалаг математикийн сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгавар №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба $d=-5$ прогрессийн зөрүүг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; −2)

Тэгээд л болоо! Анхаарна уу: бидний ахиц дэвшил буурч байна.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-ийг орлуулах боломжгүй - эхний нэр томъёо нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч эв нэгдлийг орлуулснаар бидний томъёо эхний улиралд ч гэсэн үр дүнтэй гэдэгт бид итгэлтэй байсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгавар №2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Асуудлын нөхцөлийг танил хэллэгээр бичье.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Явцын зөрүүг олох нь ийм амархан! Үлдсэн зүйл бол олсон тоог системийн аль нэг тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: (−34; −35; −36)

Бидний нээсэн прогрессийн сонирхолтой шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон дэвшилтэт асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна.

Даалгавар №3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тиймээс $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг нөхцөлийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, түүний эхний гишүүн сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нэр томъёо гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ элементүүдийг дараалан дамжуулж энэ мөчийг "толгой" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ бодлогуудыг томъёоллыг мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас цаас шаардагдахаар бичдэг - бид хариултаа олох зуураа зүгээр л унтдаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг илүү хурдан шийдвэрлэхийг хичээцгээе.

Даалгавар No4. Арифметик прогрессод хэдэн сөрөг гишүүн байна −38.5; -35.8; ...?

Шийдэл. Тиймээс $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, эндээс бид шууд ялгааг олно:

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгддэг гэдгийг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг тул хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл ямар натурал тоо $n$ хүртэл) үлдэхийг олж мэдье.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрөнд зарим тайлбар шаардлагатай. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, бид зөвхөн тооны бүхэл утгуудад сэтгэл хангалуун байдаг (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн том зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$ бөгөөд ямар ч тохиолдолд 16 биш юм. .

Даалгавар №5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-ыг мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн ялгааг хялбархан олох боломжтой.

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний ба зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид аналогиар үргэлжлүүлнэ өмнөх даалгавар. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг олж мэдье.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл энэ тэгш бус байдлын тухай- 56 дугаар.

Анхаарна уу: сүүлчийн даалгавар дээр бүх зүйл бүтсэн хатуу тэгш бус байдал, тэгэхээр $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг судалж үзье, энэ нь бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөх арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын нэр томъёог тусгайлан тэмдэглэсэн бөгөөд $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Дахин давтагдах томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх нэр томъёонд бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Мөн $((a)_(n-1))$ ба $((a)_(n+1))$ нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тэй тэнцүү байна. Бид хязгааргүй үргэлжлүүлж болох ч утгыг зургаар сайн харуулсан

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид маш сайн мэдэгдлийг олж авсан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнчлэн: бид $((a)_(n))$ цэгээсээ зүүн, баруун тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхамаар ухрах боломжтой бөгөөд томъёо зөв хэвээр байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практикт олон асуудлыг арифметик дундажийг ашиглахад тусгайлан тохируулсан байдаг. Энийг хар даа:

Даалгавар №6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ болон $14+4((x)^(2))$ гэсэн дараалсан нөхцлүүд болох $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Учир нь заасан тоонуудПрогрессийн гишүүд бол тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: төв элемент$x+1$-ийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сонгодог болсон квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: −3; 2.

Даалгавар №7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг $$-ын утгыг ол (энэ дарааллаар).

Шийдэл. Дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар дахин илэрхийлье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс байна: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та ямар нэгэн харгис хэрцгий тоо гаргаж ирвэл эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай техник байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод −3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$-г орлуулъя:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид −54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь асуудлыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө шийдэж байна хамгийн сүүлийн үеийн даалгавар, бид өөр нэгэнтэй таарлаа сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо ийм байвал хоёр дахь нь дунд байна эхлээд арифметикэцэст нь эдгээр тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь бидэнд шууд утгаараа "дизайн" хийх боломжийг олгоно. шаардлагатай дэвшил, асуудлын нөхцөл байдалд үндэслэн. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө аль хэдийн яригдсан зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийг бүлэглэх, нэгтгэх

-руу буцаж орцгооё тооны тэнхлэг. Прогрессийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэе, тэдгээрийн хооронд магадгүй. бусад олон гишүүдэд үнэ цэнэтэй юм:

“Зүүн сүүл”-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, “баруун сүүл”-ийг $((a)_(k))$, $d$-аар илэрхийлэхийг хичээцгээе. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах хэмжээ тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх прогрессийн хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс алхам алхаж эхлэх юм бол. эсрэг талууд(бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээрээ холдох), дараа нь Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн тодорхой илэрхийлж болно:

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшинбидний дээр дурьдсанаас илүү хүндрэлүүд. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгавар №8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь боломжит хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс бид $d$-ийн явцын зөрүүг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул шийдлийг бүхэлд нь ялгааг тойруулан бүтээх болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би үүнийг гаргаж авсан нийтлэг үржүүлэгчХоёр дахь хаалтаас 11. Тиймээс шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. хэрвээ бид хаалтуудыг өргөжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн өндөр нэр томъёоны коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо, тиймээс бид үнэхээр дээш салбартай параболатай харьцаж байна:

хуваарь квадрат функц- парабол

Жич: хамгийн бага утгаЭнэ парабола абсциссатай орой дээрээ $((d)_(0))$-г авдаг. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийг ашиглан тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ үүнийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \баруун)\cdot \left(d+6 \баруун)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисс нь дундаж утгатай тэнцүү байна арифметик тоо−66 ба −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоо бидэнд юу өгөх вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид хэзээ ч $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ, энэ тоо нь анхны прогрессоос ялгаатай, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгавар №9. $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac(1)(6)$ гэсэн тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар эдгээр тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үндсэндээ бид эхний ба гэсэн таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй сүүлийн дугаараль хэдийн мэдэгдэж байна. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэе:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас мөн $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)(6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол Энэ мөчБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санацгаая:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ болон бидний сая олсон $y=-\frac(1)(3)$ тоонуудын хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг хариултын эхний тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгавар №10. Хэрэв та оруулсан тоонуудын эхний, хоёр дахь, сүүлчийнх нь нийлбэр нь 56 гэдгийг мэдэж байгаа бол 2 ба 42 тоонуудын хооронд эдгээр тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна уу.

Шийдэл. Өшөө илүү хэцүү даалгавар, гэхдээ үүнийг өмнөхтэй ижил схемийн дагуу арифметик дундажаар шийддэг. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулах шаардлагатайг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Иймд бүх зүйлийг оруулсны дараа яг $n$ тоо гарах бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж тодорхой бодъё. Энэ тохиолдолд шаардлагатай арифметик прогрессийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ ба $((a)_(n-1))$ тоонуудыг 2 ба 42 дугаарын ирмэг дээр бие бие рүүгээ нэг алхамаар олж авдаг гэдгийг анхаарна уу. өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дээр дурдсан илэрхийлэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-г мэдсэнээр бид явцын ялгааг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((а)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн нөхцлүүдийг олох л үлдлээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байв: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогресстэй үгийн асуудлууд

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй хэд хэдэн зүйлийг авч үзэхийг хүсч байна энгийн даалгаварууд. Маш энгийн: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудад эдгээр асуудлууд хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь OGE болон математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гардаг төрлийн асуудлууд тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгавар №11. Тус хамт олон 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөх сарынхаас 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэжээ. Арваннэгдүгээр сард баг хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар жагсаасан хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж буй арифметик прогрессийг илэрхийлэх болно. Үүнээс гадна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгавар №12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 4-өөр илүү ном хавсаргав. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Бид ахиц дэвшлийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн чухал, маш чухал зүйлийг судлах дараагийн хичээл рүү аюулгүйгээр шилжиж болно. ашигтай үр дагавартүүнээс.