Тооны модуль аэх цэгээс цэг хүртэлх зай юм А(а).
Энэ тодорхойлолтыг ойлгохын тулд хувьсагчийг орлуулъя адурын тоо, жишээ нь 3, дахин уншихыг оролдоно уу:
Тооны модуль 3 эх цэгээс цэг хүртэлх зай юм А(3 ).
Модуль нь энгийн зайнаас өөр зүйл биш гэдэг нь тодорхой болсон. Эхлэлээс А цэг хүртэлх зайг харахыг хичээцгээе( 3 )
Эх цэгээс А цэг хүртэлх зай( 3 ) 3-тай тэнцүү (гурван нэгж буюу гурван алхам).
Тооны модулийг хоёроор тэмдэглэнэ босоо шугамууд, Жишээ нь:
3-ын тооны модулийг дараах байдлаар тэмдэглэв: |3|
4-ийн тооны модулийг дараах байдлаар тэмдэглэв: |4|
5-ын тооны модулийг дараах байдлаар тэмдэглэв: |5|
Бид 3-ын тооны модулийг хайж, 3-тай тэнцүү болохыг олж мэдсэн. Тиймээс бид үүнийг бичнэ.
Унших нь: "Гуравын тооны модуль нь гурав"
Одоо -3 тооны модулийг олохыг хичээцгээе. Дахин хэлэхэд бид тодорхойлолт руу буцаж очоод -3 тоог орлуулна. Зөвхөн цэгийн оронд Абид ашигладаг шинэ цэг Б. Бүтэн зогсоол АБид эхний жишээн дээр аль хэдийн ашигласан.
Тооны модуль - 3 эхлэлээс цэг хүртэлх зай юм Б(—3 ).
Нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх зай нь сөрөг байж болохгүй. Тиймээс модуль нь дурын сөрөг тоо, зайтай байх нь бас сөрөг биш байх болно. -3 тооны модуль нь 3 тоо байх болно. Эхлэлээс B(-3) цэг хүртэлх зай нь мөн гурван нэгжтэй тэнцүү байна.
Унших нь: "Хасах гурвын модуль нь гурав юм."
0 координаттай цэг нь координатын эхлэлтэй давхцаж байгаа тул 0 тооны модуль нь 0-тэй тэнцүү байна. гарал үүслээс цэг хүртэлх зай O(0)тэгтэй тэнцүү:
"Тэг модуль тэгтэй тэнцүү»
Бид дүгнэлт гаргадаг:
- Тооны модуль сөрөг байж болохгүй;
- Эерэг тоо ба тэгийн хувьд модуль нь тухайн тоотой тэнцүү, сөрөг тооны хувьд - эсрэг тоо;
- Эсрэг тоонууд байна тэнцүү модулиуд.
Эсрэг тоо
Зөвхөн тэмдгээр ялгаатай тоонуудыг дуудна эсрэг. Жишээлбэл, −2 ба 2 тоо нь эсрэг утгатай. Тэд зөвхөн шинж тэмдгээр ялгаатай. −2 тоо нь хасах тэмдэгтэй, 2 нь нэмэх тэмдэгтэй боловч бид үүнийг олж харахгүй байна, учир нь бидний дээр дурдсанчлан нэмэх нь уламжлал ёсоор бичигддэггүй.
Эсрэг тоонуудын бусад жишээ:
Эсрэг тоо нь тэнцүү модультай. Жишээлбэл, −2 ба 2-ын модулиудыг олъё
Зураг нь гарал үүсэлээс цэг хүртэлх зайг харуулж байна A(−2)Тэгээд B(2)хоёр алхамтай тэнцүү байна.
Хичээл таалагдсан уу?
Манайд нэгдээрэй шинэ бүлэг VKontakte болон шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй
>>Математик: Тооны модуль (орос)
М цэгийн зай (- 6) O эхээс 6 нэгж сегменттэй тэнцүү байна (Зураг 63). 6 тоог -6 тооны модуль гэнэ.
Тэд бичдэг: |-6|=6.
Тооны модуль нь эхнээс нь хүртэлх зай (нэгж сегментээр) юм координатуудА (а) цэг рүү.
В (5) цэг нь эх цэгээс 5 зайд байгаа тул 5-ын тооны модуль нь 5-тай тэнцүү байна ганц сегментүүд.
Тэд бичнэ: |5|=5.
0 координаттай цэг нь O эхтэй давхцаж байгаа тул O тооны модуль нь 0-тэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл үүнийг 0 нэгж сегментээр арилгадаг (63-р зургийг үз). Тэд бичнэ: |0I=0.
Тооны модуль сөрөг байж болохгүй. Эерэг ба тэгийн хувьд энэ нь өөрөө тоотой тэнцүү, сөрөг нь эсрэг тоотой тэнцүү байна. Эсрэг тоо нь тэнцүү модультай: I-aI = |a|.
? Тооны модуль гэж юу вэ?
Эерэг тоо эсвэл тэгийн модулийг хэрхэн олох вэ?
Сөрөг тооны модулийг хэрхэн олох вэ?
Аливаа тооны модуль сөрөг тоо байж болох уу?
TO 934. Тоо тус бүрийн модулийг ол: 81, 1.3; -5.2;
Харгалзах тэгшитгэлийг бичнэ үү.
935. |х| илэрхийллийн утгыг ол, хэрэв x= -12.3;
936. Эх цэгээс цэг тус бүр хүртэлх зайг (нэгж хэрчмээр) ол: A (3.7), B (- 7.8), C (- 200),
937. Илэрхийллийн утгыг ол.
938. А цэг эхээс зүүн тийш 5,8 нэгж, В цэг баруун талд 9,8 нэгж зайд оршдог. Цэг бүрийн координат хэд вэ? Координат бүрийн модуль хэд вэ?
939. Олно уу:
a) модуль нь 25 сөрөг тоо; ; 7.4;
b) модуль нь 12 байх эерэг тоо; 1; ; 3.2.
940. Модультай бүх тоог бич.
941. IаI=7 гэдэг нь мэдэгдэж байна. |-тэй юу тэнцүү вэ -а|?
942. Хоёр тооноос модуль нь ихийг сонго.
П 943. Тоонууд дотроос хосыг заана уу: a) эсрэг тоо; б) харилцан тоо.
944. Амаар тооцоол.
945. Аль тоо нь баруун талд байрладаг: -2 эсвэл -1; - цохих - 7; 0 эсвэл -4.2; -15 байсан уу?
М 946. Зураг 64а-д конусыг үзүүлэв. Конусын суурь нь тойрог бөгөөд хажуугийн гадаргуугийн хөгжил нь салбар юм (64-р зургийг үз, b). Суурийн радиус eTo 3 см, хажуугийн гадаргуугийн хөгжил нь зөв өнцөгтэй салбар бол конусын гадаргуугийн талбайг тооцоолно уу, энэ секторын радиус нь 12 см байна асуудлын мэдэгдэл?
947. - k нь -3.5 бол k-ийн утгыг ол; 6.8; 
948. Тэгшитгэлийг шийд:
949. Нина дэлгүүрт 4,8 рубль зарцуулсан. Хэдэн мөнгөОля зарцуулсан, хэрэв Нина зарцуулсан нь мэдэгдэж байвал:
a) 0.3 урэх. илүү Оля;
б) 0.5 урэх. бага Оля;
в) Олягаас 2 дахин их;
г) Олягаас 1.5 дахин бага;
д) Оля юу зарцуулсан;
е) Оля юу зарцуулсан;
g) Олягийн зарцуулсан зүйлийн 0.2; Оля зарцуулсан;
з) Олягийн зарцуулсан хөрөнгийн 25%;
i) 25% -иар үүнээс гадна, Юу
и) Оля зарцуулсан зүйлийн 125%?
950. Илэрхийллийн утгыг ол.
951. Модулиуд нь 3-тай тэнцүү тоонуудыг координатын шулуун дээр тэмдэглэнэ; 8; 1; 3.5; 5.
952. Хоёр тооноос том модультайг нь сонго.
953. Эхний талбайн талбай нь хоёр дахь талбайн талбай юм. Энэ нь юутай тэнцүү вэ дөрвөлжинХоёр дахь талбай, хэрэв эхнийх нь талбай нь 12.6 га бол?
954. Ивановын нэрэмжит шагнал нь Сергеевийн шагналын 75% -ийг эзэлдэг. Ивановын нэрэмжит шагнал 73.2 рубль байвал Сергеевийн шагнал ямар хэмжээтэй тэнцэх вэ?
955. Ачааны машины хурд нь суудлын автомашины хурдтай ижил байв. Ачааны машины хурд машины хурдаас 22 км/цаг бага бол машины хурдыг ол.
956. Нэгдүгээр талбайн хөвөнгийн ургац хоёрдугаар талбайн ургацаас 12.5 хувиар бага байна. Хоёрдугаар талбайд нэг га-аас 28 цн хөвөн авсан бол эхний талбайд хөвөнгийн ургац ямар байх вэ?
957. Илэрхийллийн утгыг ол 
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов, 6-р ангийн математик, сурах бичиг ахлах сургууль
Сургуулийн сурагчдад зориулсан онлайн тусламж, 6-р ангийн математик татаж авах, хуанли, сэдэвчилсэн төлөвлөлт
Хамгийн нэг нь хэцүү сэдвүүдоюутнуудын хувьд энэ нь модулийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг шийдэж байна. Эхлээд энэ нь юутай холбоотой болохыг олж мэдье? Жишээлбэл, яагаад ихэнх хүүхдүүд квадрат тэгшитгэлийг самар шиг эвддэг, гэхдээ энэ нь хамгийн сайнаас хол байдаг вэ? нарийн төвөгтэй ойлголтМодуль яаж ийм олон асуудалтай байдаг вэ?
Миний бодлоор эдгээр бүх бэрхшээлүүд нь модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэм журам дутмаг байгаатай холбоотой юм. Тиймээс, шийдэж байна квадрат тэгшитгэл, оюутан эхлээд ялгах томьёо, дараа нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглах хэрэгтэй гэдгийг баттай мэддэг. Хэрэв тэгшитгэлд модуль олдвол яах вэ? Тэгшитгэл нь модулийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тохиолдолд шаардлагатай үйл ажиллагааны төлөвлөгөөг тодорхой тайлбарлахыг хичээх болно. Бид тохиолдол бүрийн хувьд хэд хэдэн жишээ өгөх болно.
Гэхдээ эхлээд санацгаая модулийн тодорхойлолт. Тиймээс, тоог модуль болгоно аэнэ тоог өөрөө if гэж нэрлэдэг асөрөг бус ба -а, хэрэв тоо а тэгээс бага. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
|а| = a хэрэв a ≥ 0 ба |a| = -a хэрэв a< 0
тухай ярьж байна геометрийн мэдрэмжмодулийн хувьд бодит тоо бүр тодорхой цэгтэй тохирч байгааг санах нь зүйтэй тооны тэнхлэг- түүнд 
зохицуулах. Тиймээс, модуль эсвэл үнэмлэхүй үнэ цэнэтоо нь энэ цэгээс тооны тэнхлэгийн эхлэл хүртэлх зай юм. Зайг үргэлж эерэг тоогоор зааж өгдөг. Тиймээс аливаа сөрөг тооны модуль нь эерэг тоо юм. Дашрамд хэлэхэд, энэ үе шатанд ч олон оюутнууд төөрөлдөж эхэлдэг. Модуль нь ямар ч тоог агуулж болох боловч модулийг ашигласны үр дүн үргэлж эерэг тоо байдаг.
Одоо тэгшитгэлүүдийг шийдвэрлэхэд шууд шилжье.
1. |x| хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье = c, энд c нь бодит тоо. Энэ тэгшитгэлийг модулийн тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болно.
Бүгд бодит тооҮүнийг гурван бүлэгт хуваая: тэр нь тэгээс их, тэгээс бага байх ба гурав дахь бүлэг нь 0 тоо. Шийдвэрийг диаграмм хэлбэрээр бичье.
(±c, хэрэв c > 0 бол
Хэрэв |x| = c, тэгвэл x = (0, хэрэв c = 0 бол
(хэрэв байгаа бол үндэс байхгүй< 0
1) |x| = 5, учир нь 5 > 0, дараа нь x = ±5;
2) |x| = -5, учир нь -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, дараа нь x = 0.
2. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = b, энд b > 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд модулийг арилгах шаардлагатай. Бид үүнийг дараах байдлаар хийдэг: f(x) = b эсвэл f(x) = -b. Одоо та үүссэн тэгшитгэл бүрийг тусад нь шийдэх хэрэгтэй. Хэрэв анхны тэгшитгэлд b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, учир нь 4 > 0, дараа нь
x + 2 = 4 эсвэл x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, учир нь 11 > 0, дараа нь
x 2 – 5 = 11 эсвэл x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 үндэс байхгүй
3) |x 2 – 5x| = -8, учир нь -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = g(x). Модулийн утгын дагуу ийм тэгшитгэл нь түүний баруун гар тал нь тэгээс их буюу тэнцүү байвал шийдлүүдтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл. g(x) ≥ 0. Дараа нь бид:
f(x) = g(x)эсвэл f(x) = -g(x).
1) |2х – 1| = 5x – 10. 5x – 10 ≥ 0 бол энэ тэгшитгэл үндэстэй болно. Эндээс ийм тэгшитгэлийн шийдэл эхэлнэ.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Шийдэл:
2x – 1 = 5x – 10 эсвэл 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Бид O.D.Z-г нэгтгэдэг. Үүний шийдэл нь бид дараахь зүйлийг олж авна.
X = 11/7 үндэс нь O.D.Z.-д тохирохгүй, 2-оос бага, харин x = 3 нь энэ нөхцлийг хангаж байна.
Хариулт: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2.
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Энэ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдье:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Шийдэл:
x – 1 = 1 – x 2 эсвэл x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 эсвэл x = 1 x = 0 эсвэл x = 1
3. Бид шийдэл болон O.D.Z.-г нэгтгэдэг:
Зөвхөн x = 1 ба x = 0 үндэс тохиромжтой.
Хариулт: x = 0, x = 1.
4. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = |g(x)|. Энэ тэгшитгэл нь хоёртой тэнцэнэ дараах тэгшитгэлүүд f(x) = g(x) эсвэл f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2х – 5|. Энэ тэгшитгэл нь дараах хоёртой тэнцүү байна.
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 эсвэл x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 эсвэл x = 4 x = 2 эсвэл x = 1
Хариулт: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Орлуулах аргаар шийдсэн тэгшитгэлүүд (хувьсагчийн орлуулалт). Энэ аргашийдлүүдийг тайлбарлахад хамгийн хялбар байдаг тодорхой жишээ. Тэгэхээр, модультай квадрат тэгшитгэл өгье.
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Модулийн шинж чанараар x 2 = |x| 2, тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Орлуулах |x|-г хийцгээе = t ≥ 0, тэгвэл бид дараах байдалтай байна:
t 2 – 6t + 5 = 0. Шийдвэрлэх өгөгдсөн тэгшитгэл, бид t = 1 эсвэл t = 5 гэдгийг олж авна. Орлуулах руу буцъя:
|x| = 1 эсвэл |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Хариулт: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Өөр нэг жишээг харцгаая:
x 2 + |x| – 2 = 0. Модулийн шинж чанараар x 2 = |x| 2, тиймээс
|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x|-г орлуулъя = t ≥ 0, тэгвэл:
t 2 + t – 2 = 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид t = -2 эсвэл t = 1 болно. Орлуулах руу буцъя:
|x| = -2 эсвэл |x| = 1
Үндэс байхгүй x = ± 1
Хариулт: x = -1, x = 1.
6. Өөр нэг төрлийн тэгшитгэл бол "нийлмэл" модультай тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлд "модуль доторх модультай" тэгшитгэлүүд орно. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг модулийн шинж чанарыг ашиглан шийдэж болно.
1) |3 – |x|| = 4. Бид хоёр дахь төрлийн тэгшитгэлтэй ижил аргаар ажиллах болно. Учир нь 4 > 0, дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг авна.
3 – |x| = 4 эсвэл 3 – |x| = -4.
Одоо тэгшитгэл болгонд x модулийг илэрхийлээд дараа нь |x| = -1 эсвэл |x| = 7.
Бид үүссэн тэгшитгэл бүрийг шийддэг. Эхний тэгшитгэлд үндэс байхгүй, учир нь -1< 0, а во втором x = ±7.
Хариулт x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийддэг.
3 + |x + 1| = 5 эсвэл 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 эсвэл x + 1 = -2. Үндэс байхгүй.
Хариулт: x = -3, x = 1.
Мөн модультай тэгшитгэлийг шийдэх бүх нийтийн арга байдаг. Энэ бол интервалын арга юм. Гэхдээ бид үүнийг дараа нь авч үзэх болно.
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.
Модуль бол хүн бүр сонссон мэт боловч бодит байдал дээр хэн ч ойлгохгүй байгаа зүйлүүдийн нэг юм. Тиймээс өнөөдөр байх болно агуу сургамж, модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан.
Би шууд хэлье: хичээл хэцүү биш байх болно. Ерөнхийдөө модуль нь харьцангуй энгийн сэдэв юм. "Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, энэ нь төвөгтэй биш юм! Энэ нь миний сэтгэлийг хөдөлгөж байна!" - гэж олон оюутнууд хэлэх болно, гэхдээ энэ бүх тархины эвдрэл нь ихэнх хүмүүсийн толгойд мэдлэг байхгүй, харин ямар нэгэн новшийн зүйл байдагтай холбоотой юм. Мөн энэ хичээлийн зорилго бол новшийг мэдлэг болгон хувиргах явдал юм :)
Бага зэрэг онол
За, явцгаая. Хамгийн чухал зүйлээс эхэлцгээе: модуль гэж юу вэ? Тооны модуль нь зүгээр л ижил тоо боловч хасах тэмдэггүйгээр авсан гэдгийг танд сануулъя. Жишээлбэл, $\left| -5 \right|=5$. Эсвэл $\left| -129.5 \right|=$129.5.
Ийм энгийн гэж үү? Тийм ээ, энгийн. Тэгвэл эерэг тооны абсолют утга хэд вэ? Энд бүр ч энгийн: эерэг тооны модуль нь энэ тоотой тэнцүү байна: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129.5 \right|=$129.5 гэх мэт.
Сонирхолтой зүйл болж хувирав: өөр өөр тооижил модультай байж болно. Жишээ нь: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129.5 \баруун|=\зүүн| 129.5\right|=$129.5. Эдгээр нь ямар төрлийн тоо, модулиуд нь адилхан болохыг харахад хялбар байдаг: эдгээр тоо нь эсрэгээрээ байна. Тиймээс бид эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү гэдгийг бид өөрсдөө тэмдэглэж байна.
\[\зүүн| -a \right|=\left| a\right|\]
Өөр чухал баримт: модуль нь хэзээ ч сөрөг байдаггүй. Эерэг эсвэл сөрөг аль ч тооноос үл хамааран түүний модуль нь үргэлж эерэг байдаг (эсвэл хамгийн сүүлчийн аргатэг). Ийм учраас модулийг ихэвчлэн тооны абсолют утга гэж нэрлэдэг.
Нэмж дурдахад, хэрэв бид эерэг ба сөрөг тооны модулийн тодорхойлолтыг нэгтгэвэл бүх тооны модулийн дэлхийн тодорхойлолтыг олж авна. Тухайлбал: Хэрэв тоо эерэг (эсвэл тэг) байвал тухайн тооны модуль нь тухайн тоотой тэнцүү, сөрөг байвал эсрэг тоотой тэнцүү байна. Та үүнийг томъёогоор бичиж болно:
Мөн тэгийн модуль байдаг, гэхдээ энэ нь үргэлж тэгтэй тэнцүү байдаг. Үүнээс гадна, тэг ганц бие, ямар ч эсрэг заалтгүй.
Тиймээс, хэрэв бид $y=\left| функцийг авч үзвэл x \right|$ гэж үзээд түүний графикийг зурахыг оролдвол та дараах зүйлийг авах болно.
Модулийн график ба тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ
Энэ зургаас харахад $\left| -m \right|=\left| m \right|$ байх ба модулийн график хэзээ ч х тэнхлэгээс доош буудаггүй. Гэхдээ энэ нь бүгд биш: улаан шугам нь $y=a$ шулуун шугамыг тэмдэглэдэг бөгөөд энэ нь эерэг $a$-ийн хувьд бидэнд нэгэн зэрэг хоёр үндэс өгдөг: $((x)_(1))$ болон $((x) _(2)) $, гэхдээ бид дараа нь ярих болно.
Цэвэрнээс гадна алгебрийн тодорхойлолт, геометр байдаг. Тооны шулуун дээр $((x)_(1))$ ба $((x)_(2))$ гэсэн хоёр цэг байна гэж бодъё. Энэ тохиолдолд илэрхийлэл $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ нь зүгээр л заасан цэгүүдийн хоорондох зай юм. Эсвэл хэрэв хүсвэл эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийн урт:
Модуль гэдэг нь тоон шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай юм Мөн энэ тодорхойлолт нь модуль нь үргэлж сөрөг биш байна гэсэн үг юм. Гэхдээ хангалттай тодорхойлолт, онол - бодит тэгшитгэл рүү шилжье.
Үндсэн томъёо
За, бид тодорхойлолтыг эрэмбэлсэн. Гэхдээ энэ нь илүү хялбар болгосонгүй. Яг энэ модулийг агуулсан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Тайвшир, зүгээр л тайвшир. Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе. Иймэрхүү зүйлийг авч үзье:
\[\зүүн| x\right|=3\]
Тэгэхээр $x$-ийн модуль 3. $x$ нь юутай тэнцүү байж болох вэ? За, тодорхойлолтоос харахад бид $x=3$-д сэтгэл хангалуун байна. Үнэхээр:
\[\зүүн| 3\баруун|=3\]
Өөр тоо байна уу? Cap байгаа юм шиг санагдаад байх шиг байна. Жишээ нь $x=-3$ нь мөн $\left| -3 \right|=3$, өөрөөр хэлбэл. шаардлагатай тэгш байдал хангагдсан байна.
Тэгэхээр хайгаад бодчихвол илүү олон тоо гарах болов уу? Гэхдээ үүнийг таслаарай: илүү тооҮгүй Тэгшитгэл $\left| x \right|=3$ нь зөвхөн хоёр үндэстэй: $x=3$ ба $x=-3$.
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. $f\left(x \right)$ функцийг $x$ хувьсагчийн оронд модулийн тэмдгийн доор байрлуулж, баруун талд гурвалсан оронд байрлуулна. дурын тоо$a$. Бид тэгшитгэлийг авна:
\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=a\]
Тэгэхээр бид үүнийг яаж шийдэх вэ? Танд сануулъя: $f\left(x \right)$ нь дурын функц, $a$ нь дурын тоо. Тэдгээр. Юу ч хамаагүй! Жишээ нь:
\[\зүүн| 2x+1 \баруун|=5\]
\[\зүүн| 10x-5 \баруун|=-65\]
Хоёр дахь тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулцгаая. Та түүний тухай шууд хэлж болно: түүнд үндэс байхгүй. Яагаад? Бүх зүйл зөв: модуль нь сөрөг тоотой тэнцүү байхыг шаарддаг бөгөөд энэ нь хэзээ ч тохиолддоггүй, учир нь модуль нь үргэлж эерэг тоо эсвэл онцгой тохиолдолд тэг байдаг гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг байсан.
Гэхдээ эхний тэгшитгэлээр бүх зүйл илүү хөгжилтэй байдаг. Хоёр сонголт байна: нэг бол модулийн тэмдгийн доор эерэг илэрхийлэл байна, дараа нь $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, эсвэл энэ илэрхийлэл сөрөг хэвээр, дараа нь $\left| 2х+1 \баруун|=-\зүүн(2х+1 \баруун)=-2х-1$. Эхний тохиолдолд бидний тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.
\[\зүүн| 2x+1 \баруун|=5\Баруун сум 2x+1=5\]
Тэгээд гэнэт $2x+1$ дэд модуль илэрхийлэл үнэхээр эерэг болох нь тодорхой болсон - энэ нь 5 тоотой тэнцүү байна. Бид энэ тэгшитгэлийг найдвартай шийдэж чадна - үр дүнд нь үндэс нь хариултын нэг хэсэг болно:
Ялангуяа итгэлгүй хүмүүс олсон үндсийг нь орлуулахыг оролдож болно анхны тэгшитгэлмодулийн доор үнэхээр эерэг тоо байгаа эсэхийг шалгаарай.
Одоо сөрөг дэд модуль илэрхийллийн тохиолдлыг харцгаая.
\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& \зүүн| 2x+1 \баруун|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\төгсгөх(эгцлэх) \баруун.\Баруун сум -2x-1=5 \Баруун сум 2x+1=-5\]
Өө! Дахин хэлэхэд бүх зүйл тодорхой байна: бид $2x+1 \lt 0$ гэж таамаглаж, үр дүнд нь $2x+1=-5$-ийг авсан - үнэхээр энэ илэрхийлэл тэгээс бага байна. Олдсон үндэс нь бидэнд тохирох болно гэдгийг аль хэдийн мэдэж байсан ч бид үүссэн тэгшитгэлийг шийддэг.
Нийтдээ бид $x=2$ ба $x=3$ гэсэн хоёр хариултыг дахин авсан. Тиймээ, тооцооллын хэмжээ нь маш энгийн $\left| тэгшитгэлээс арай том болсон. x \right|=3$, гэхдээ үндсэндээ юу ч өөрчлөгдөөгүй. Тэгэхээр бүх нийтийн алгоритм байдаг болов уу?
Тиймээ, ийм алгоритм байдаг. Тэгээд одоо бид дүн шинжилгээ хийх болно.
Модулийн тэмдгээс ангижрах
$\left| тэгшитгэлийг өгье f\left(x \right) \right|=a$, болон $a\ge 0$ (өөрөөр хэлбэл, бидний мэдэж байгаагаар үндэс байхгүй). Дараа нь та дараах дүрмийг ашиглан модулийн тэмдгээс салж болно.
\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=a\Баруун сум f\зүүн(x \баруун)=\pm a\]
Тиймээс модультай бидний тэгшитгэл хоёр хуваагдсан боловч модульгүй. Энэ бол бүх технологи! Хоёр тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээцгээе. Эндээс эхэлье
\[\зүүн| 5x+4 \баруун|=10\Баруун сум 5x+4=\pm 10\]
Баруун талд 10 нэмэх, хасах үед тус тусад нь авч үзье. Бидэнд:
\[\эхлэх(зохицуулах)& 5x+4=10\Баруун тийш 5x=6\Баруун сум x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Баруун сум 5x=-14\Баруун сум x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Ингээд л болоо! Бид $x=1.2$ ба $x=-2.8$ гэсэн хоёр үндэс авсан. Бүх шийдэл нь шууд утгаараа хоёр мөрийг авсан.
За, асуултгүй, арай илүү ноцтой зүйлийг харцгаая:
\[\зүүн| 7-5x\right|=13\]
Дахин бид нэмэх ба хасах модулийг нээнэ:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 7-5x=13\Баруун сум -5x=6\Баруун сум x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Баруун сум -5х=-20\Баруун сум x=4. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Дахин хэдэн мөр - хариулт бэлэн боллоо! Миний хэлсэнчлэн модулиудын хувьд төвөгтэй зүйл байхгүй. Та зөвхөн хэдэн дүрмийг санах хэрэгтэй. Тиймээс бид цаашаа явж, үнэхээр илүү төвөгтэй ажлуудаас эхэлдэг.
Баруун талын хувьсагчийн тохиолдол
Одоо энэ тэгшитгэлийг авч үзье:
\[\зүүн| 3x-2 \баруун|=2х\]
Энэ тэгшитгэл нь өмнөх бүх тэгшитгэлээс үндсэндээ ялгаатай юм. Яаж? Тэгш тэмдгийн баруун талд $2x$ гэсэн илэрхийлэл байгаа бөгөөд энэ нь эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг бид урьдчилан мэдэж чадахгүй.
Энэ тохиолдолд юу хийх вэ? Нэгдүгээрт, бид үүнийг нэг удаа, бүрэн ойлгох ёстой Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал сөрөг байвал тэгшитгэл нь үндэсгүй болно- модуль нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн.
Хоёрдугаарт, хэрэв баруун хэсэг нь эерэг хэвээр байвал (эсвэл тэгтэй тэнцүү бол) та өмнөх шигээ ажиллаж болно: модулийг нэмэх тэмдгээр тусад нь, хасах тэмдгээр тусад нь нээнэ үү.
Тиймээс бид $f\left(x \right)$ болон $g\left(x \right)$ дурын функцүүдийн дүрмийг томъёолдог:
\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& f\left(x \баруун)=\pm g\left(x \баруун) ), \\& g\left(x \баруун)\ge 0. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Бидний тэгшитгэлтэй холбоотойгоор бид дараахь зүйлийг олж авна.
\[\зүүн| 3x-2 \баруун|=2x\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зүүн)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\төгсгөл(зүүн) \баруун.\]
За, бид $2x\ge 0$ гэсэн шаардлагыг ямар нэгэн байдлаар даван туулах болно. Эцэст нь бид эхний тэгшитгэлээс олж авсан үндсийг тэнэг байдлаар орлуулж, тэгш бус байдал биелэх эсэхийг шалгаж болно.
Тэгэхээр тэгшитгэлийг өөрөө шийдье:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3x-2=2\Баруун тийш 3x=4\Баруун сум x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Баруун сум 3x=0\Баруун сум x=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
За, эдгээр хоёр үндэсийн аль нь $2x\ge 0$ шаардлагыг хангах вэ? Тиймээ хоёулаа! Тиймээс хариулт нь $x=(4)/(3)\;$ ба $x=0$ гэсэн хоёр тоо байх болно. Энэ бол шийдэл. :)
Зарим оюутнууд аль хэдийн уйдаж эхэлсэн байх гэж би хардаж байна? За, бүр илүү төвөгтэй тэгшитгэлийг харцгаая:
\[\зүүн| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \баруун|=x-((x)^(3))\]
Хэдийгээр энэ нь муухай харагдаж байгаа ч үнэн хэрэгтээ энэ нь "модуль нь функцтэй тэнцүү" хэлбэрийн ижил тэгшитгэл хэвээр байна:
\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
Мөн энэ нь яг ижил аргаар шийдэгддэг:
\[\зүүн| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \баруун|=x-((x)^(3))\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \баруун), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Бид дараа нь тэгш бус байдлын асуудлыг шийдэх болно - энэ нь ямар нэгэн байдлаар хэтэрхий муу зүйл юм (үнэндээ энэ нь энгийн, гэхдээ бид үүнийг шийдэхгүй). Одоогийн байдлаар үүссэн тэгшитгэлтэй харьцах нь дээр. Эхний тохиолдлыг авч үзье - энэ нь модулийг нэмэх тэмдгээр өргөтгөсөн үед юм.
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
За, та зүүн талаас бүх зүйлийг цуглуулж, ижил төстэй зүйлийг авчирч, юу болохыг харах хэрэгтэй гэдэг нь ухаалаг хэрэг биш юм. Тэгээд ийм зүйл болдог:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бид үүнийг гаргаж авдаг нийтлэг үржүүлэгч$((x)^(2))$ хаалтнаас гарсан бөгөөд бид маш энгийн тэгшитгэлийг олж авна:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \баруун)=0\Баруун сум \зүүн[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]
Энд бид ашигласан чухал өмчбүтээгдэхүүн, үүний тулд бид анхны олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон хуваасан: хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.
Одоо модулийг хасах тэмдгээр өргөжүүлэх замаар олж авсан хоёр дахь тэгшитгэлийг яг ижил аргаар авч үзье.
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \баруун); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \баруун)=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Дахин ижил зүйл: хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Бидэнд:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\ end(align) \right.\]
Бид $x=0$, $x=1.5$, $x=(2)/(3)\;$ гэсэн гурван үндэстэй болсон. За, энэ багцын аль нь эцсийн хариултанд орох вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид тэгш бус байдлын хэлбэрээр нэмэлт хязгаарлалттай гэдгийг санаарай.
Энэ шаардлагыг хэрхэн анхаарч үзэх вэ? Олдсон үндсийг орлуулаад эдгээр $x$-д тэгш бус байдал байгаа эсэхийг шалгая. Бидэнд:
\[\эхлэх(эгцлэх)& x=0\Баруун сум x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Баруун сум x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Баруун сум x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Тиймээс $x=1.5$ үндэс бидэнд тохирохгүй байна. Үүний хариуд зөвхөн хоёр үндэс байх болно:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Таны харж байгаагаар, энэ тохиолдолд ямар ч төвөгтэй зүйл байгаагүй - модультай тэгшитгэлийг үргэлж алгоритм ашиглан шийддэг. Та олон гишүүнт болон тэгш бус байдлын талаар сайн ойлголттой байх хэрэгтэй. Тиймээс бид илүү төвөгтэй ажлууд руу шилжиж байна - аль хэдийн нэг биш, хоёр модуль байх болно.
Хоёр модультай тэгшитгэл
Одоогоор бид хамгийн ихийг л судалсан энгийн тэгшитгэлүүд- нэг модуль, өөр зүйл байсан. Бид энэ "өөр зүйлийг" модулиас хол тэгш бус байдлын өөр хэсэг рүү илгээсэн бөгөөд ингэснээр эцэст нь бүх зүйл $\left| хэлбэрийн тэгшитгэл болж буурах болно. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ эсвэл бүр энгийн $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Гэхдээ цэцэрлэгдууссан - илүү ноцтой зүйлийг авч үзэх цаг болжээ. Ийм тэгшитгэлээр эхэлцгээе.
\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]
Энэ нь "модуль тэнцүү модуль" хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Үндсэндээ чухал цэгЭнэ нь бусад нэр томъёо, хүчин зүйл байхгүй байна: зүүн талд зөвхөн нэг модуль, баруун талд нэг модуль, өөр юу ч байхгүй.
Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь бидний өнөөг хүртэл судалж байснаас хамаагүй хэцүү гэж хэн нэгэн одоо бодох болно. Гэхдээ үгүй: эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд илүү хялбар байдаг. Энд томъёо байна:
\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Баруун сум f\зүүн(x \баруун)=\pm g\left(x \баруун)\]
Бүгд! Бид зүгээр л дэд модуль илэрхийллүүдийг тэдгээрийн аль нэгнийх нь өмнө нэмэх эсвэл хасах тэмдэг тавьж тэгшитгэдэг. Дараа нь бид үүссэн хоёр тэгшитгэлийг шийдэж, үндэс бэлэн боллоо! Ямар ч нэмэлт хязгаарлалт, тэгш бус байдал гэх мэт. Энэ бол маш энгийн.
Энэ асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе:
\[\зүүн| 2x+3 \баруун|=\зүүн| 2x-7 \баруун|\]
Бага анги, Ватсон! Модулиудыг өргөжүүлэх:
\[\зүүн| 2x+3 \баруун|=\зүүн| 2x-7 \баруун|\Баруун сум 2x+3=\pm \зүүн(2x-7 \баруун)\]
Тохиолдол бүрийг тусад нь авч үзье:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2х+3=-\зүүн(2х-7 \баруун)\Баруун сум 2х+3=-2х+7. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй. Яагаад гэвэл $3=-7$ хэзээ вэ? $x$-ийн ямар утгатай вэ? “Ямар чөтгөр вэ $x$? Чи чулуугаар шидсэн үү? Тэнд $x $ огт байхгүй" гэж та хэлэв. Мөн та зөв байх болно. Бид $x$ хувьсагчаас хамааралгүй тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүний зэрэгцээ тэгш байдал нь өөрөө буруу байна. Тийм учраас үндэс байхгүй. :)
Хоёрдахь тэгшитгэлийн хувьд бүх зүйл арай илүү сонирхолтой, гэхдээ бас маш энгийн:
Таны харж байгаагаар бүх зүйл шууд утгаараа хэд хэдэн мөрөнд шийдэгдсэн - бид шугаман тэгшитгэлээс өөр юу ч хүлээгээгүй.
Үүний үр дүнд эцсийн хариулт нь: $x=1$.
Тэгэхээр яаж? Хэцүү үү? Мэдээж үгүй. Өөр зүйл туршиж үзье:
\[\зүүн| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|\]
Дахин бидэнд $\left| хэлбэрийн тэгшитгэл байна f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Тиймээс бид нэн даруй модулийн тэмдгийг илчлээд дахин бичнэ.
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \баруун)\]
Магадгүй хэн нэгэн одоо "Хөөе, ямар утгагүй юм бэ? Яагаад "нэмэх хасах" гэж зүүн талд биш баруун гар талын илэрхийлэл дээр гарч ирдэг вэ?" Тайвшир, би одоо бүгдийг тайлбарлая. Үнэндээ бид тэгшитгэлээ дараах байдлаар дахин бичих ёстой байсан.
Дараа нь та хаалтыг нээж, бүх нэр томъёог тэнцүү тэмдгийн нэг тал руу шилжүүлж (учир нь тэгшитгэл нь хоёр тохиолдолд квадрат байх болно), дараа нь үндсийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ та санал нийлэх ёстой: "нэмэх, хасах" гэсэн гурван нэр томъёоны өмнө гарч ирэх үед (ялангуяа эдгээр нэр томъёоны аль нэг нь байвал) квадрат илэрхийлэл), энэ нь зөвхөн хоёр нэр томьёоны өмнө "нэмэх эсвэл хасах" гарч ирэх нөхцөл байдлаас илүү төвөгтэй харагдаж байна.
Гэхдээ анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичихэд юу ч саад болохгүй.
\[\зүүн| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|\Баруун сум \зүүн| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|=\зүүн| x-1 \баруун|\]
Юу болсон бэ? Онцгой зүйл байхгүй: тэд зүгээр л зүүн талыг сольсон баруун талзарим газар. Эцсийн эцэст бидний амьдралыг арай хялбар болгох бяцхан зүйл.
Ерөнхийдөө бид энэ тэгшитгэлийг нэмэх ба хасах хувилбаруудыг харгалзан шийддэг.
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Баруун сум ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\зүүн(x-1 \баруун)\Баруун сум ((x)^(2))-2x+1=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Эхний тэгшитгэл нь $x=3$ ба $x=1$ үндэстэй. Хоёр дахь нь ерөнхийдөө яг дөрвөлжин:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \баруун))^(2))\]
Тиймээс энэ нь зөвхөн нэг үндэстэй: $x=1$. Гэхдээ бид энэ үндсийг аль хэдийн олж авсан. Тиймээс эцсийн хариултанд зөвхөн хоёр тоо орно.
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Даалгавар биеллээ! Та тавиур дээрээс бялуу аваад идэж болно. 2 нь байгаа, дунд нь чинийх :)
Чухал тэмдэглэл. Бэлэн байдал ижил үндэсмодулийг өргөжүүлэх өөр өөр сонголтууд нь анхны олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйлээр ангилдаг гэсэн үг бөгөөд эдгээр хүчин зүйлсийн дунд нийтлэг нэг нь гарцаагүй байх болно. Үнэхээр:
\[\эхлэх(эгцлэх)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|; \\& \зүүн| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Модулийн шинж чанаруудын нэг: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүний модуль бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнамодулиуд), анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\[\зүүн| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \баруун|\]
Таны харж байгаагаар бидэнд үнэхээр нийтлэг хүчин зүйл бий. Одоо, хэрэв та бүх модулиудыг нэг талдаа цуглуулбал энэ хүчин зүйлийг хаалтаас гаргаж болно.
\[\эхлэх(эгцлэх)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \баруун|; \\& \зүүн| x-1 \баруун|-\зүүн| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \зүүн| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
За, одоо хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг санаарай.
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Ийнхүү хоёр модультай анхны тэгшитгэлийг хичээлийн эхэнд бидний ярьсан хамгийн энгийн хоёр тэгшитгэл болгон буурууллаа. Ийм тэгшитгэлийг хоёр мөрөнд шууд утгаар нь шийдэж болно.
Энэ тайлбар нь практикт шаардлагагүй, төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр та илүү олон зүйлтэй тулгарч магадгүй юм нарийн төвөгтэй даалгавар, бидний өнөөдрийн дүн шинжилгээ хийж байгаа зүйлсээс илүү. Тэдгээрийн дотор модулиудыг олон гишүүнттэй хослуулж болно. арифметик үндэс, логарифм гэх мэт. Мөн ийм нөхцөл байдалд, боломж бууруулах ерөнхий зэрэгямар нэг зүйлийг хаалтанд оруулах замаар тэгшитгэл нь маш ашигтай байж болно.
Одоо би эхлээд харахад галзуу мэт санагдаж болох өөр нэг тэгшитгэлийг хармаар байна. Модулийн талаар сайн ойлголттой гэж боддог хүмүүс хүртэл олон оюутнууд үүнд гацдаг.
Гэсэн хэдий ч, энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь бидний өмнө үзсэнээс ч хялбар юм. Хэрэв та учрыг нь ойлговол өөр заль мэх авах болно хурдан шийдэлмодультай тэгшитгэл.
Тэгэхээр тэгшитгэл нь:
\[\зүүн| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \баруун|=0\]
Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш: энэ нь модулиудын хоорондох нэмэлт зүйл юм. Мөн бид хоёр модулийн нийлбэр тэгтэй тэнцэх $x$-ийг олох хэрэгтэй.
Ямартай ч асуудал юу байна? Гэхдээ асуудал бол модуль бүр эерэг тоо, эсвэл онцгой тохиолдолд тэг юм. Хэрэв та хоёр эерэг тоог нэмбэл юу болох вэ? Мэдээжийн хэрэг дахин эерэг тоо:
\[\эхлэх(эгцлэх)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Сүүлийн мөр нь танд санаа өгч магадгүй: модулиудын нийлбэр тэг байх цорын ганц цаг бол модуль бүр тэг байх явдал юм.
\[\зүүн| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \баруун|=0\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \зүүн| x-((x)^(3)) \баруун|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0 \\\ end(align) \right.\]
Мөн модуль хэзээ тэгтэй тэнцэх вэ? Зөвхөн нэг тохиолдолд - дэд модуль илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байх үед:
\[((x)^(2))+x-2=0\Баруун сум \зүүн(x+2 \баруун)\зүүн(x-1 \баруун)=0\Баруун сум \зүүн[ \эхлэх(эгцлэх)& x=-2 \\& x=1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Тиймээс бид эхний модулийг тэг болгох гурван цэгтэй байна: 0, 1 ба -1; түүнчлэн хоёр дахь модулийг тэг болгож тохируулах хоёр цэг: −2 ба 1. Гэсэн хэдий ч бид хоёр модулийг нэгэн зэрэг тэг болгох шаардлагатай тул олсон тоонуудын дотроос бид үүнд багтсаныг сонгох хэрэгтэй. хоёулаа багц. Мэдээжийн хэрэг, ийм тоо ганц л байна: $x=1$ - энэ нь эцсийн хариулт байх болно.
Хагалах арга
За, бид аль хэдийн олон асуудлыг судалж, олон арга техникийг сурсан. Үүнийг л бодсон гэж бодож байна уу? Гэхдээ үгүй! Одоо бид эцсийн техникийг авч үзэх болно - тэр үед хамгийн чухал нь. Бид модультай тэгшитгэлийг хуваах талаар ярих болно. Бид юуны тухай ярих вэ? Бага зэрэг буцаж очоод энгийн тэгшитгэлийг харцгаая. Жишээ нь энэ:
\[\зүүн| 3x-5 \баруун|=5-3x\]
Зарчмын хувьд бид ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг аль хэдийн мэддэг, учир нь энэ нь $\left| хэлбэрийн стандарт бүтэц юм. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Гэхдээ энэ тэгшитгэлийг арай өөр өнцгөөс харахыг хичээцгээе. Илүү нарийвчлалтайгаар модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй. Ямар ч тооны модуль нь тухайн тоотой тэнцүү эсвэл энэ тооны эсрэг байж болохыг сануулъя.
\[\зүүн| a \right|=\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\төгсгөх(эгцлэх) \баруун.\]
Үнэндээ энэ хоёрдмол байдал нь бүхэл бүтэн асуудал юм: модулийн доорх тоо өөрчлөгддөг тул (энэ нь хувьсагчаас хамаарна) эерэг эсвэл сөрөг эсэх нь бидэнд тодорхойгүй байна.
Гэхдээ та эхлээд энэ тоо эерэг байхыг шаарддаг бол яах вэ? Жишээлбэл, $3x-5 \gt 0$ байхыг шаардацгаая - энэ тохиолдолд бид модулийн тэмдгийн дор эерэг тоо авах баталгаатай бөгөөд бид яг энэ модулиас бүрэн ангижирч чадна:
Тиймээс бидний тэгшитгэл нь шугаман болж хувирах бөгөөд үүнийг амархан шийдэж болно.
Үнэн бол эдгээр бүх бодол санаа нь зөвхөн $3x-5 \gt 0$ нөхцөлд л утга учиртай байдаг - модулийг хоёрдмол утгагүй илчлэхийн тулд бид өөрсдөө энэ шаардлагыг нэвтрүүлсэн. Иймд олсон $x=\frac(5)(3)$-г энэ нөхцөлд орлуулж шалгая:
Хэзээ гэдэг нь харагдаж байна заасан утга$x$ бидний шаардлага хангагдаагүй, учир нь илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү болсон бөгөөд бид тэгээс их байх шаардлагатай. Гунигтай :(
Гэхдээ зүгээр! Эцсийн эцэст $3x-5 \lt 0$ гэсэн өөр сонголт бий. Үүнээс гадна: $3x-5=0$ гэсэн тохиолдол бий - үүнийг бас анхаарч үзэх хэрэгтэй, эс тэгвээс шийдэл нь бүрэн бус байх болно. Тиймээс $3x-5 \lt 0$ гэсэн тохиолдлыг авч үзье.
Мэдээжийн хэрэг, модуль хасах тэмдгээр нээгдэнэ. Гэхдээ дараа нь үүсдэг хачин нөхцөл байдал: анхны тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд хоёуланд нь ижил илэрхийлэл гарч ирнэ:
$5-3x$ илэрхийлэл нь $5-3x$ илэрхийлэлтэй ямар $x$ тэнцүү байх бол гэж би гайхаж байна уу? Ахмад Обвиуснесс хүртэл ийм тэгшитгэлээс шүлсээ хахаж магадгүй, гэхдээ бид мэднэ: энэ тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн юм!
Энэ нь ямар ч $ x $ бидэнд тохирох болно гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч бидэнд хязгаарлалт бий:
Өөрөөр хэлбэл, хариулт нь нэг тоо биш, харин бүхэл бүтэн интервал байх болно:
Эцэст нь дахин нэг хэрэг үлдлээ: $3x-5=0$. Энд бүх зүйл энгийн: модулийн дор тэг байх болно, тэгийн модуль нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь тодорхойлолтоос шууд гардаг):
Харин дараа нь анхны тэгшитгэл $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ дараах байдлаар дахин бичигдэнэ.
Бид $3x-5 \gt 0$-ийн тохиолдлыг авч үзэхдээ дээрх үндсийг аль хэдийн олж авсан. Түүнээс гадна, энэ үндэс нь $3x-5=0$ тэгшитгэлийн шийдэл юм - энэ бол модулийг дахин тохируулахын тулд бидний оруулсан хязгаарлалт юм. :)
Тиймээс интервалаас гадна бид энэ интервалын төгсгөлд байгаа тоонд сэтгэл хангалуун байх болно.
Модуль тэгшитгэлийн үндэсийг нэгтгэх Нийт эцсийн хариулт: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Модультай нэлээн энгийн (үндсэндээ шугаман) тэгшитгэлийн хариултаас ийм тэнэг харагдах нь тийм ч түгээмэл биш, За, үүнд дасах уу: модулийн хүндрэл нь ийм тэгшитгэлийн хариултыг урьдчилан таамаглах аргагүй юм.
Өөр нэг зүйл бол илүү чухал юм: бид модультай тэгшитгэлийг шийдэх бүх нийтийн алгоритмд дүн шинжилгээ хийлээ! Мөн энэ алгоритм нь дараах алхмуудаас бүрдэнэ.
- Тэгшитгэлийн модуль бүрийг тэгтэй тэнцүүл. Бид хэд хэдэн тэгшитгэл авдаг;
- Эдгээр бүх тэгшитгэлийг шийдэж, тооны шулуун дээрх үндсийг тэмдэглэ. Үүний үр дүнд шулуун шугамыг хэд хэдэн интервалд хуваах бөгөөд тус бүрт бүх модулиудыг өвөрмөц байдлаар харуулах болно;
- Интервал бүрийн анхны тэгшитгэлийг шийдэж, хариултуудаа нэгтгэнэ үү.
Ингээд л болоо! Зөвхөн нэг асуулт үлдлээ: 1-р шатанд олж авсан үндсийг яах вэ? $x=1$ ба $x=5$ гэсэн хоёр үндэстэй гэж бодъё. Тэд тооны шугамыг 3 хэсэгт хуваана.
Тооны шугамыг цэгүүдийг ашиглан интервалд хуваах Тэгэхээр интервалууд юу вэ? Тэдгээрийн гурав нь байгаа нь тодорхой байна.
- Хамгийн зүүн талд: $x \lt 1$ — нэгж өөрөө интервалд ороогүй болно;
- Төв: $1\le x \lt 5$ - энд нэг нь интервалд орсон боловч тавыг оруулаагүй болно;
- Хамгийн баруун талд: $x\ge 5$ - зөвхөн тавыг энд оруулсан болно!
Та загварыг аль хэдийн ойлгосон гэж бодож байна. Интервал бүр нь зүүн талын төгсгөлийг багтаасан бөгөөд баруун талыг оруулаагүй болно.
Эхлээд харахад ийм оруулга нь эвгүй, логикгүй, ерөнхийдөө ямар нэгэн галзуу мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ надад итгээрэй: бага зэрэг дасгал хийсний дараа та энэ арга нь хамгийн найдвартай бөгөөд модулиудыг хоёрдмол утгагүйгээр нээхэд саад болохгүй гэдгийг олж мэдэх болно. Ийм схемийг ашиглах нь тухай бүр бодохоос илүү дээр юм: зүүн/баруун төгсгөлийг одоогийн интервалд өгөх эсвэл дараагийнх руу "шид".
