Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна.

\[\sqrtх\] тэмдгийг агуулсан тэгшитгэлийг квадрат язгууртай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Сөрөг бус тооны язгуур \ нь дараах байдалтай байна. сөрөг бус тоо, квадрат нь \-тэй тэнцүү байна.

\[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Үндэс тэмдгийн доорх тоо эсвэл илэрхийлэл нь үргэлж сөрөг биш байх ёстой. Байдагянз бүрийн арга замууд

Ийм тэгшитгэлийн шийдлүүд:

Тоог өөрөө үржүүлэх замаар тоог квадрат болгох; Боломжтой бол үндсийг нь арилгах замаар хялбарчлах;

бүрэн үндэс Хэрэглээтөсөөллийн тоо тоонуудын язгуурыг олохын тулд;

сөрөг дүр

Урт хуваах алгоритмын хэрэглээ;

Мөн бусад.

Тодорхой болгохын тулд квадрат язгууртай дараах тэгшитгэлийг шийдье.

\[\sqrt (x-5) =3\]

Радикалуудаас ангижрахын тулд бид тэгшитгэлийн тал бүрийг үржүүлнэ.

Одоо бидний өмнө дараах байдлаар шийдэж болох хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл байна.

Би онлайн алгебрийн тэгшитгэлийг хаанаас шийдэж болох вэ?

Та https://site сайтаас алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Унциклопедийн материал- P(x 1, ..., x n) = O хэлбэрийн тэгшитгэлүүд, энд P нь x 1, ..., x n хувьсагчид олон гишүүнт байна. Эдгээр хувьсагчдыг үл мэдэгдэх хувьсагч гэж нэрлэдэг. Хэрэв x 1-ийг 1-ээр, x 2-ыг 2-оор сольсон тохиолдолд (a 1, ..., a n) тоонуудын эрэмбэлэгдсэн багц нь энэ тэгшитгэлийг хангана. зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна (жишээлбэл, дараалсан гурвалсан тоо (3, 4, 5) нь x 2 + y 2 = z 2 тэгшитгэлийг хангана, учир нь 3 2 + 4 2 = 5 2). Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийг хангасан тоог уг тэгшитгэлийн үндэс гэнэ. Сэтгэл ханамжтай бүх тооны багц энэ тэгшитгэл, энэ тэгшитгэлийн олон шийдэл байдаг. Ижил шийдтэй хоёр алгебрийн тэгшитгэлийг эквивалент гэж нэрлэдэг. P олон гишүүнтийн зэргийг P(x 1, ..., x n) = 0 тэгшитгэлийн зэрэг гэнэ. Жишээ нь: 3x - 5y + z = c нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл, x 2 + y 2. = z 2 нь хоёр дахь зэрэг, х 4 нь 3х 3 + 1 = 0 - дөрөвдүгээр зэрэг юм. Эхний зэргийн тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг (Шугаман тэгшитгэлийг үзнэ үү).

Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл байна эцсийн тооүндэс, алгебрийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн багц их тооүл мэдэгдэх зүйлс илэрхийлж болно хязгааргүй олонлогтодорхой тооны багц. Тиймээс тэд ихэвчлэн n үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийг биш, харин тэгшитгэлийн системийг авч үздэг бөгөөд өгөгдсөн системийн бүх тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах тооны багцыг хайдаг. Эдгээр бүх багцын хослол нь системийн шийдлүүдийн багцыг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл, x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1 )).

Нэг үл мэдэгдэх 1-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийг аль хэдийн шийдсэн Эртний ЕгипетТэгээд Эртний Вавилон. Вавилоны бичээчид хэрхэн шийдэхээ мэддэг байсан квадрат тэгшитгэл, түүнчлэн хамгийн энгийн системүүд шугаман тэгшитгэлба 2-р зэргийн тэгшитгэл. Тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан тэд мөн 3-р зэргийн зарим тэгшитгэлийг шийдсэн, жишээ нь x 3 + x = a. IN Эртний Грекашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн геометрийн байгууламжууд. Грекийн математикч Диофант (III зуун) олон үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг боловсруулсан. рационал тоо. Жишээлбэл, тэрээр x 4 - y 4 + z 4 = n 2 тэгшитгэл, у 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3 гэх мэт тэгшитгэлийн системийг оновчтой тоогоор шийдсэн. (Диофантины тэгшитгэлийг үзнэ үү).

Зарим геометрийн асуудлууд: шоо хоёр дахин нэмэгдэх, өнцгийн гурвалсан хэсэг (харна уу. Сонгодог асуудлуудэртний), ердийн долоон өнцөгт барих - шийдэлд хүргэдэг куб тэгшитгэл. Шийдлийн явцад огтлолцох цэгүүдийг олох шаардлагатай байв конус хэсгүүд(эллипс, парабол ба гипербол). Давуу талыг ашиглаж байна геометрийн аргууд, Дундад зууны Дорнодын математикчид куб тэгшитгэлийн шийдлийг судалжээ. Гэсэн хэдий ч тэд үүнийг шийдэх томьёог гаргаж чадаагүй байна. Баруун Европын математикийн анхны томоохон нээлтийг 16-р зуунд олж авсан. куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо. Учир нь тэр үед сөрөг тоонуудөргөн тархаагүй байгаа тул x 3 + px = q, x 3 + q = px гэх мэт төрлийн тэгшитгэлүүдийг тусад нь шинжлэх шаардлагатай болсон.Италийн математикч С.Дель Ферро (1465-1526) x 3 тэгшитгэлийг шийдсэн. + px = q гэж үзээд өөрийн хүргэн, шавь A. M. Fiore-д шийдлийг нь хэлж өгсөн бөгөөд тэрээр өөрөө өөрийгөө сургадаг гайхалтай математикч Н. Тартаглиаг (1499-1557) математикийн тэмцээнд урьсан юм. Тэмцээн эхлэхээс хэдхэн хоногийн өмнө Тарталиа олсон ерөнхий аргакуб тэгшитгэлийг шийдэж, түүнд санал болгож буй 30 асуудлыг хурдан шийдэж чадсан. Гэсэн хэдий ч x 3 + px + q = 0 тэгшитгэлийг шийдэх Тартаглиагийн олсон томьёо.

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

Алгебрийн бэлгэдлийг бий болгох, хүртэлх тооны тухай ойлголтыг нэгтгэх нийлмэл тоо XVII-XVIII зууны үед зөвшөөрөгдсөн. судалгаа ерөнхий шинж чанаруудалгебрийн тэгшитгэл илүү өндөр зэрэгтэй, түүнчлэн нэг болон хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүдийн ерөнхий шинж чанарууд.

Хамгийн нэг нь чухал ажлууд 17-18-р зууны алгебрийн тэгшитгэлийн онол. 5-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх томьёог олж байв. 18-р зууны Францын эрдэмтний хүчин чармайлтаар олон үеийн алгебрчдын үр дүнгүй хайлтуудын дараа. Ж.Лагранж (1736-1813), Италийн эрдэмтэн П.Руффини (1765-1822), Норвегийн математикч Н.Абел нар XVIII сүүл - XIX эхэн үеВ. 5-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг зөвхөн арифметик үйлдлүүд болон үндсийг гарган авах замаар тухайн тэгшитгэлийн коэффициентээр илэрхийлэх томьёо байдаггүй нь батлагдсан. Эдгээр судалгааг Э.Галуагийн ажил гүйцэтгэсэн бөгөөд түүний онол нь аливаа тэгшитгэлийн үндэс нь радикалаар илэрхийлэгдсэн эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнээс өмнө ч К.Ф.Гаусс хэлээр илэрхийлэх асуудлыг шийдэж байжээ дөрвөлжин радикалууд x n - 1 = 0 тэгшитгэлийн үндэс, үүнд луужин ба захирагч ашиглан ердийн n-гоног байгуулах асуудал багасна. Ялангуяа эдгээр хэрэгслийг ашиглан ердийн долоон өнцөгт, есөн өнцөгт гэх мэтийг бүтээх боломжгүй юм. - n нь 2 2k + 1 хэлбэрийн анхны тоо эсвэл өөр үржвэр байх тохиолдолд л ийм бүтэцтэй байх боломжтой. анхны тоонуудэнэ төрлийн.

Шийдвэрлэх томьёо хайхын зэрэгцээ тодорхой тэгшитгэлаливаа алгебрийн тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх асуудлыг судалсан. 18-р зуунд Францын философич, математикч Ж.Д'Аламбер нийлмэл коэффициент бүхий тэг биш зэрэгтэй аливаа алгебрийн тэгшитгэл дор хаяж нэгтэй болохыг баталсан. цогц үндэс. Д'Аламберын нотолгоонд цоорхой байсан бөгөөд дараа нь түүнийг Гаусс дүүргэсэн n-р олон гишүүнтх-ийн хүчийг n шугаман хүчин зүйлийн үржвэр болгон задалдаг.

Одоогийн байдлаар алгебрийн тэгшитгэлийн системийн онол нь алгебрийн геометр гэж нэрлэгддэг математикийн бие даасан салбар болж хувирсан. Энэ нь ийм тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогддог илүү өндөр хэмжээст шугам, гадаргуу, олон талт байдлыг судалдаг.

Алгебрийн тэгшитгэл. Тодорхойлолт

Зарим А олонлог дээр f(x) ба μ(x) функцуудыг тодорхойл. Мөн эдгээр функцууд дээр ажиллах X олонлогийг олох шаардлагатай байг. тэнцүү утгууд, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдсан x-ийн бүх утгыг ол: f(x)= q(x).

Энэ томъёогоор энэ тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх х-тэй тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв үл мэдэгдэх зүйл дээр зөвхөн алгебрийн үйлдлүүд - нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, экспонентацилах, үндсийг гаргах зэрэг үйлдлүүд хийгдсэн бол тэгшитгэлийг алгебр гэж нэрлэдэг. байгалийн үзүүлэлт.

Алгебрийн тэгшитгэл нь зөвхөн алгебрийн функцуудыг (бүхэл тоо, рациональ, иррационал) агуулдаг. Алгебрийн тэгшитгэл ерөнхий үзэлБодит коэффициент бүхий n-р зэргийн олон гишүүнтээр төлөөлүүлж болно:

Жишээлбэл,

А олонлогийг олонлог (талбай) гэж нэрлэдэг. хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэЭнэ тэгшитгэлийн хувьд үл мэдэгдэх.

X олонлогийг шийдүүдийн олонлог гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний шийд бүр нь x=a нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь түүний бүх шийдийн олонлогийг олох эсвэл аль нь ч байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм.

Алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Олон шинжлэх ухаанд болон инженерийн асуудлуудхэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай

Энд f(x) нь өгөгдсөн тасралтгүй шугаман бус функц юм.

Аналитик байдлаар зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжтой. Ихэнх тохиолдолд тоон аргыг ашиглан (1) төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг.

(1) тэгшитгэлийн тоон шийдлийг ихэвчлэн хоёр үе шаттайгаар гүйцэтгэдэг. Эхний шатанд та зөвхөн нэг үндэс байрладаг x хувьсагчийн ийм өөрчлөлтийн интервалыг олох хэрэгтэй. Энэ асуудлыг ихэвчлэн графикаар шийддэг. Хоёр дахь шатанд хувь хүний ​​үндсийг тодруулна. Үүний тулд янз бүрийн аргыг ашигладаг.

Шийдлийн аргууд шугаман бус тэгшитгэлшууд ба давтагдах гэж хуваагддаг. Шууд аргууд нь үндэсийг томъёо хэлбэрээр бичих боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч практикт тохиолддог тэгшитгэлийг үргэлж шийдэж чадахгүй энгийн аргууд. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд бид ашигладаг давтагдах аргууд, өөрөөр хэлбэл дараалсан ойртуулах аргууд.

Шууд аргууд - шийдлийг урьдчилан олдог мэдэгдэж байгаа тоо арифметик үйлдлүүд, шийдвэр нь хатуу. Жишээ нь: Гауссын арга, арга квадрат язгуур, Крамерын дүрэм гэх мэт.

Давталтын аргууд гэдэг нь тэгшитгэлийг (системийг) өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар шийдвэрлэхэд шаардагдах арифметик үйлдлүүдийн тоог урьдчилан таамаглах боломжгүй дараалсан ойртох аргууд юм. Жишээ нь: арга энгийн давталт, Гаусс-Зайделийн арга, сегментийг хагасаар хуваах арга гэх мэт.

Энэхүү баримт бичиг нь давталтын энгийн арга, аргыг судалж, харьцуулсан болно хагас хуваагдалсегмент.

Алгебрийн тэгшитгэл - хэлбэрийн тэгшитгэл

хувьсагчийн олон гишүүнт хаана байна. Эдгээр хувьсагчдыг үл мэдэгдэх хувьсагч гэж нэрлэдэг. , гэх мэтээр солигдсон тоонуудын эрэмбэлэгдсэн багц нь энэ тэгшитгэлийг хангана. зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна (жишээлбэл, дараалсан гурвалсан тоо (3, 4, 5) тэгшитгэлийг хангаж байна, учир нь ). Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийг хангасан тоог уг тэгшитгэлийн үндэс гэнэ. Өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангасан бүх тооны багц нь энэ тэгшитгэлийн шийдүүдийн багц юм. Ижил шийдтэй хоёр алгебрийн тэгшитгэлийг эквивалент гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнтийн зэргийг тэгшитгэлийн зэрэг гэнэ. Жишээлбэл, - нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл, - хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл, ба - дөрөвдүгээр зэрэг. Эхний зэргийн тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг (Шугаман тэгшитгэлийг үзнэ үү).

Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл нь хязгаарлагдмал тооны язгууртай бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багц нь хязгааргүй тооны тодорхой тооны багц байж болно. Тиймээс тэд ихэвчлэн үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийг бус харин тэгшитгэлийн системийг авч үздэг бөгөөд өгөгдсөн системийн бүх тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах тооны багцыг хайж байдаг. Эдгээр бүх багцын хослол нь системийн шийдлүүдийн багцыг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь: .

Нэг үл мэдэгдэх 1-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийг Эртний Египт, Эртний Вавилонд аль хэдийн шийдэж байжээ. Вавилоны бичээчид квадрат тэгшитгэл, түүнчлэн шугаман тэгшитгэл, 2-р зэргийн тэгшитгэлийн хамгийн энгийн системийг шийдэж чаддаг байв. Тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан тэд жишээлбэл 3-р зэргийн зарим тэгшитгэлийг шийдсэн. Эртний Грекд квадрат тэгшитгэлийг геометрийн бүтцийг ашиглан шийддэг байв. Грекийн математикч Диофант (3-р зуун) алгебрийн тэгшитгэл, ийм тэгшитгэлийн системийг рационал тоон дахь үл мэдэгдэх олон тоогоор шийдвэрлэх аргуудыг боловсруулсан. Жишээлбэл, тэр тэгшитгэлийг рационал тоогоор шийдсэн , тэгшитгэлийн систем гэх мэт. (Диофантины тэгшитгэлийг үзнэ үү).

Зарим геометрийн асуудлууд: кубыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх, өнцгийг гурвалсан (Эртний сонгодог асуудлуудыг үзнэ үү), ердийн долоон өнцөгт барих - куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Уусмалын явцад конус огтлолын (эллипс, парабол, гипербол) огтлолцох цэгүүдийг олох шаардлагатай байв. Дундад зууны үеийн Дорнодын математикчид геометрийн аргыг ашиглан куб тэгшитгэлийн шийдлүүдийг судалжээ. Гэсэн хэдий ч тэд үүнийг шийдэх томьёог гаргаж чадаагүй байна. Баруун Европын математикийн анхны томоохон нээлтийг 16-р зуунд олж авсан. куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо. Тухайн үед сөрөг тоо өргөн дэлгэрч амжаагүй байсан тул , гэх мэт төрлийн тэгшитгэлүүдийг тусад нь шинжлэх шаардлагатай болсон.Италийн математикч С.Дель Ферро (1465-1526) тэгшитгэлийг шийдэж, шийдлийг хүүдээ тайлагнасан байна. -хууль, оюутан А.-М . Фиоре өөрөө өөрийгөө сургадаг гайхалтай математикч Н.Тартальяа (1499-1557) математикийн тэмцээнд урьсан. Тэмцээн эхлэхээс хэдхэн хоногийн өмнө Тарталиа куб тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий аргыг олж, түүнд санал болгосон 30 бодлогыг бүгдийг нь хурдан шийдэж, ялалт байгуулав. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд Тартаглиа олсон томъёо

17-18-р зуунд алгебрийн бэлгэдлийг бий болгож, тооны тухай ойлголтыг нийлмэл тоо хүртэл нэгтгэх боломжтой болсон. Өндөр зэрэглэлийн алгебрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шинж чанарууд, түүнчлэн нэг ба хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүдийн ерөнхий шинж чанарыг судлах.

17-18-р зууны алгебрийн тэгшитгэлийн онолын хамгийн чухал асуудлын нэг. 5-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх томьёог олж байв. 18-р зууны Францын эрдэмтний хүчин чармайлтаар олон үеийн алгебристуудын үр дүнгүй хайлтуудын дараа. 18-р зууны төгсгөл - 19-р зууны эхэн үед Ж.Лагранж (1736-1813), Италийн эрдэмтэн П.Руффини (1765-1822), Норвегийн математикч Н.Абел нар. 5-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг зөвхөн арифметик үйлдлүүд болон үндсийг гарган авах замаар тухайн тэгшитгэлийн коэффициентээр илэрхийлэх томьёо байдаггүй нь батлагдсан. Эдгээр судалгааг Э.Галуагийн ажил гүйцэтгэсэн бөгөөд түүний онол нь аливаа тэгшитгэлийн үндэс нь радикалаар илэрхийлэгдсэн эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнээс өмнө ч K.F. Гаусс тэгшитгэлийн язгуурыг квадрат радикалаар илэрхийлэх асуудлыг шийдсэн бөгөөд үүнд луужин ба захирагч ашиглан тогтмол гурвалжин байгуулах асуудлыг багасгасан. Ялангуяа эдгээр хэрэгслийг ашиглан ердийн долоон өнцөгт, есөн өнцөгт гэх мэтийг бүтээх боломжгүй юм. - маягтын анхны тоо эсвэл энэ төрлийн өөр анхны тоонуудын үржвэр байх тохиолдолд л ийм бүтэцтэй байх боломжтой.

Тодорхой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо хайхын зэрэгцээ аливаа алгебрийн тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх асуудлыг судалж үзсэн. 18-р зуунд францын гүн ухаантан, математикч Ж.Д'Аламбер 0 градусын нийлмэл коэффициент бүхий аливаа алгебрийн тэгшитгэл дор хаяж нэг цогц язгууртай болохыг баталжээ. Энэ теоремоос 0 зэрэгтэй олон гишүүнтийг шугаман хүчин зүйлийн үржвэр болгон задалж болно гэсэн дүгнэлт гарсан.

Одоогийн байдлаар алгебрийн тэгшитгэлийн системийн онол нь алгебрийн геометр гэж нэрлэгддэг математикийн бие даасан салбар болж хувирсан. Энэ нь ийм тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогддог илүү өндөр хэмжээтэй шугам, гадаргуу, олон талт байдлыг судалдаг.