Гэр Дэлхийн улс орнуудЮуны өмнө бид вектор гэдэг ойлголтыг ойлгох хэрэгтэй. Тодорхойлолтыг танилцуулах

геометрийн вектор

Сегмент гэж юу болохыг санацгаая. Дараахь тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Сегмент нь цэг хэлбэрээр хоёр хилтэй шугамын хэсэг юм.

Сегмент нь 2 чиглэлтэй байж болно. Чиглэлийг тодорхойлохын тулд бид сегментийн аль нэг хилийг эхлэл, нөгөө хилийг төгсгөл гэж нэрлэнэ. Чиглэлийг сегментийн эхлэлээс төгсгөл хүртэл зааж өгсөн болно.

Тодорхойлолт 2

Вектор эсвэл чиглүүлсэн сегмент нь тухайн сегментийн хилийн аль нь эхлэл, аль нь төгсгөл болох нь тодорхойлогдсон сегмент байх болно.

Тэмдэглэл: Хоёр үсгээр: $\overline(AB)$ – ($A$ нь эхлэл, $B$ нь төгсгөл).

Нэг жижиг үсгээр: $\overline(a)$ (Зураг 1).

Одоо векторын уртын тухай ойлголтыг шууд танилцуулъя.

Тодорхойлолт 3

$\overline(a)$ векторын урт нь $a$ сегментийн урт байх болно.

Тэмдэглэгээ: $|\overline(a)|$

Векторын уртын тухай ойлголт нь жишээлбэл, хоёр векторын тэгш байдал гэх мэт ойлголттой холбоотой байдаг.

Тодорхойлолт 4 Хоёр нөхцөл хангасан тохиолдолд бид хоёр векторыг тэнцүү гэж нэрлэнэ: 1. Тэдгээр нь кодиректортой; 1. Тэдний урт нь тэнцүү байна (Зураг 2).Векторуудыг тодорхойлохын тулд координатын системийг оруулж, оруулсан систем дэх векторын координатыг тодорхойлно. Бидний мэдэж байгаагаар дурын векторыг $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ хэлбэрээр задалж болно, энд $m$ ба $n$ байна.

бодит тоо

, болон $\overline(i)$ болон $\overline(j)$ нь $Ox$ ба $Oy$ тэнхлэг дээрх нэгж векторууд юм.

Тодорхойлолт 5

Оруулсан координатын систем дэх $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ векторын тэлэлтийн коэффициентийг бид энэ векторын координат гэж нэрлэнэ. Математикийн хувьд:

$\overline(c)=(m,n)$

Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?

Координатыг нь өгсөн дурын векторын уртыг тооцоолох томьёог гаргахын тулд дараах асуудлыг авч үзье.

Жишээ 1

Бидний бүтээсэн $\overline(OA)$ вектор нь $A$ цэгийн радиус вектор байх тул $(x,y)$ координаттай байх болно.

$=x$, $[OA_2]=y$

Одоо бид Пифагорын теоремыг ашиглан шаардлагатай уртыг хялбархан олох боломжтой

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Хариулт: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Дүгнэлт:Координат нь өгөгдсөн векторын уртыг олохын тулд эдгээр координатуудын нийлбэрийн квадратын язгуурыг олох шаардлагатай.

Жишээ даалгавар

Жишээ 2

Дараах координаттай $X$ ба $Y$ цэгүүдийн хоорондох зайг ол: $(-1.5)$ ба $(7.3)$ тус тус.

Аливаа хоёр цэгийг векторын тухай ойлголттой хялбархан холбож болно. Жишээ нь $\overline(XY)$ векторыг авч үзье. Бидний мэдэж байгаагаар ийм векторын координатыг координатаас хасах замаар олж болно төгсгөлийн цэг($Y$) харгалзах координат эхлэх цэг($X$). Бид үүнийг ойлгодог

Эцэст нь би энэ өргөн хүрээтэй, удаан хүлээсэн сэдвийг гартаа авлаа. аналитик геометр . Эхлээд бага зэрэг энэ хэсэг дээд математик…. Та одоо олон теорем, тэдгээрийн нотолгоо, зураг гэх мэт сургуулийн геометрийн хичээлийг санаж байгаа нь лавтай. Юуг нуух вэ, оюутнуудын нэлээд хэсэг нь дурладаггүй, ихэвчлэн бүрхэг байдаг. Аналитик геометр нь хачирхалтай нь илүү сонирхолтой, хүртээмжтэй мэт санагдаж магадгүй юм. "Аналитик" гэсэн нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ? "График шийдлийн арга" ба "График шийдлийн арга" гэсэн хоёр математикийн хэллэг тэр даруй санаанд орж ирдэг. аналитик аргашийдлүүд." График арга , мэдээжийн хэрэг, график, зураг зурахтай холбоотой. Аналитикэсвэл аргаасуудлыг шийдвэрлэхэд хамаарна голчлондамжуулан алгебрийн үйлдлүүд. Үүнтэй холбогдуулан аналитик геометрийн бараг бүх асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ил тод байдаг шаардлагатай томъёонууд- тэгээд хариулт бэлэн боллоо! Үгүй, мэдээжийн хэрэг, бид үүнийг зураггүйгээр хийх боломжгүй, үүнээс гадна материалыг илүү сайн ойлгохын тулд би тэдгээрийг шаардлагагүйгээр иш татахыг хичээх болно.

Шинээр нээгдсэн геометрийн хичээл нь онолын хувьд бүрэн дүүрэн дүр эсгэдэггүй, энэ нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэгддэг. Би лекцэндээ зөвхөн миний бодлоор практикийн хувьд чухал зүйлийг л оруулах болно. Хэрэв танд аль нэг дэд зүйлд илүү бүрэн тусламж хэрэгтэй бол би дараах нэлээн хүртээмжтэй ном зохиолыг санал болгож байна.

1) Хэд хэдэн үеийнхэнд танил болсон зүйл, хошигнол биш: Сургуулийн геометрийн сурах бичиг, зохиогчид - Л.С. Атанасян ба компани. Сургуулийн хувцас солих өрөөний энэ гогцоо аль хэдийн 20 (!) дахин хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хязгаар биш юм.

2) Геометр 2 боть. Зохиогчид Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Энэ бол уран зохиол юм ахлах сургууль, танд хэрэгтэй болно эхний боть. Ховор тохиолддог ажлууд миний нүднээс далд орж магадгүй, мөн сургалтын гарын авлагаүнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно.

Хоёр номыг онлайнаар үнэгүй татаж авах боломжтой. Үүнээс гадна та миний архивыг ашиглаж болно бэлэн шийдлүүд, үүнийг хуудаснаас олж болно Дээд математикийн жишээ татаж авах.

Хэрэгслийн дунд би дахин өөрийн хөгжлийг санал болгож байна - програм хангамжийн багцаналитик геометрийн чиглэлээр, энэ нь амьдралыг ихээхэн хялбарчилж, маш их цаг хэмнэх болно.

Уншигчид үндсэн зүйлийг мэддэг гэж үздэг геометрийн ойлголтуудба дүрсүүд: цэг, шулуун, хавтгай, гурвалжин, параллелограмм, параллелепипед, шоо гэх мэт. Зарим теоремуудыг санаж байхыг зөвлөж байна, ядаж Пифагорын теорем, давтагчдад сайн уу)

Одоо бид дараалсан байдлаар авч үзэх болно: векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат. Би цааш нь уншихыг зөвлөж байна хамгийн чухал нийтлэл Векторуудын цэгийн үржвэр, мөн түүнчлэн Векторуудын вектор ба холимог бүтээгдэхүүн. Энэ нь илүүдэхгүй байх болно орон нутгийн асуудал– Өгөгдсөн харьцаагаар сегментийг хуваах. Дээрх мэдээлэлд үндэслэн та эзэмшиж чадна хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл-тай шийдлийн хамгийн энгийн жишээ, энэ нь зөвшөөрөх болно геометрийн асуудлыг шийдэж сурах. Дараах нийтлэлүүд бас хэрэгтэй. Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл, Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгайн үндсэн бодлого, аналитик геометрийн бусад хэсгүүд. Мэдээжийн хэрэг, стандарт ажлуудыг замдаа авч үзэх болно.

Вектор ойлголт. Чөлөөт вектор

Эхлээд векторын сургуулийн тодорхойлолтыг давтъя. Вектордуудсан чиглүүлсэнтүүний эхлэл ба төгсгөлийг заасан сегмент:

IN энэ тохиолдолдсегментийн эхлэл нь цэг, сегментийн төгсгөл нь цэг юм. Вектор нь өөрөө . Чиглэлчухал бөгөөд хэрвээ та сумыг сегментийн нөгөө төгсгөл рүү зөөвөл вектор гарч ирэх бөгөөд энэ нь аль хэдийн болсон тэс өөр вектор. Физик биеийн хөдөлгөөнтэй векторын тухай ойлголтыг тодорхойлох нь тохиромжтой: та хүлээн зөвшөөрөх ёстой, институтын хаалгаар орох эсвэл хүрээлэнгийн хаалганаас гарах нь огт өөр зүйл юм.

Онгоц эсвэл орон зайн бие даасан цэгүүдийг гэж нэрлэх нь тохиромжтой тэг вектор. Ийм векторын хувьд төгсгөл ба эхлэл нь давхцдаг.

!!! Жич: Энд, цаашлаад векторууд нэг хавтгайд байрладаг эсвэл тэдгээрийг сансарт байрладаг гэж таамаглаж болно - танилцуулсан материалын мөн чанар нь хавтгай болон орон зайд хоёуланд нь хүчинтэй байна.

Тэмдэглэл:Олон хүн сумгүй савааг шууд анзаарч, дээд талд нь сум байгаа гэж хэлэв! Үнэн, та үүнийг сумаар бичиж болно: , гэхдээ энэ нь бас боломжтой миний ирээдүйд ашиглах оруулга. Яагаад? Энэ зуршил нь практик шалтгаанаар бий болсон нь миний сургууль, их сургуулийн харваачид хэтэрхий өөр хэмжээтэй, сэвсгэр байсан бололтой. Боловсролын уран зохиолд заримдаа тэд дөрвөлжин бичээстэй огтхон ч санаа зовдоггүй, харин тод үсгээр тэмдэглэдэг: , ингэснээр энэ нь вектор болохыг илтгэнэ.

Энэ бол стилистик байсан бөгөөд одоо вектор бичих аргуудын тухай:

1) Векторуудыг хоёр том латин үсгээр бичиж болно.
гэх мэт. Энэ тохиолдолд эхний үсэг Заавалвекторын эхлэлийн цэгийг, хоёр дахь үсэг нь векторын төгсгөлийн цэгийг заана.

2) Векторуудыг мөн жижиг латин үсгээр бичсэн:
Ялангуяа товчхон байхын тулд манай векторыг жижиг гэж дахин тодорхойлж болно Латин үсэг.

Уртэсвэл модульҮгүй тэг векторсегментийн урт гэж нэрлэдэг. Тэг векторын урт нь тэг байна. Логик.

Векторын уртыг модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ: ,

Хэсэг хугацааны дараа бид векторын уртыг хэрхэн олох талаар сурах болно (эсвэл бид үүнийг хэнээс хамаарч давтах болно).

Энэ бол бүх сургуулийн сурагчдад танил болсон векторуудын талаархи үндсэн мэдээлэл байв. Аналитик геометрийн хувьд гэж нэрлэгддэг үнэгүй вектор.

Энгийнээр хэлэхэд - векторыг дурын цэгээс зурж болно:

Бид ийм векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэж заншсан (тэнцүү векторуудын тодорхойлолтыг доор өгөх болно), гэхдээ зөвхөн математикийн цэгхарах нь Ижил ВЕКТОР эсвэл үнэгүй вектор. Яагаад үнэгүй гэж? Учир нь асуудлыг шийдвэрлэх явцад та энэ эсвэл өөр векторыг онгоц эсвэл орон зайн аль ч цэгт "хавсрах" боломжтой. Энэ бол маш гайхалтай онцлог юм! Дурын урт, чиглэлтэй векторыг төсөөлөөд үз дээ - үүнийг "клончлох" боломжтой хязгааргүй тооцаг хугацаа, сансар огторгуйн аль ч цэгт, үнэндээ энэ нь хаа сайгүй байдаг. Ийм нэгэн оюутны хэлсэн үг байдаг: Лектор бүр векторын талаар санаа тавьдаг. Эцсийн эцэст, энэ бол зүгээр нэг уран яруу яриа биш, бүх зүйл математикийн хувьд зөв - векторыг тэнд хавсаргаж болно. Гэхдээ баярлах гэж бүү яар, оюутнууд өөрсдөө ихэвчлэн зовж байдаг =)

Тэгэхээр, үнэгүй вектор- Энэ олон ижил чиглэсэн сегментүүд. Догол мөрний эхэнд өгөгдсөн векторын сургуулийн тодорхойлолт нь: "Чилтгэсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг ..." гэсэн утгатай. тодорхойХавтгай эсвэл орон зайн тодорхой цэгт холбогдсон өгөгдсөн багцаас авсан чиглэсэн сегмент.

Физикийн үүднээс авч үзвэл чөлөөт векторын тухай ойлголт байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй ерөнхий тохиолдолнь буруу бөгөөд векторын хэрэглээний цэг нь чухал юм. Үнэн хэрэгтээ, миний тэнэг жишээг хөгжүүлэхэд хангалттай хамар эсвэл духан дээр ижил хүчээр шууд цохилт өгөх нь өөр өөр үр дагаварт хүргэдэг. Гэсэн хэдий ч, эрх чөлөөгүйвекторууд нь вишматын явцад бас олддог (тэнд очиж болохгүй :)).

Вектортой үйлдэл. Векторуудын коллинеар байдал

IN сургуулийн курсгеометр, вектортой хэд хэдэн үйлдэл, дүрмийг авч үздэг. гурвалжны дүрмээр нэмэх, параллелограммын дүрмээр нэмэх, векторын ялгах дүрэм, векторыг тоогоор үржүүлэх, векторын скаляр үржвэр гэх мэт.Эхлэх цэг болгон аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд онцгой ач холбогдолтой хоёр дүрмийг давтан хэлье.

Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан вектор нэмэх дүрэм

Дурын тэг биш хоёр векторыг авч үзье ба:

Та эдгээр векторуудын нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Бүх векторуудыг үнэ төлбөргүй гэж үздэг тул бид векторыг хойш нь тавьдаг төгсгөлвектор:

Векторуудын нийлбэр нь вектор юм. Дүрмийг илүү сайн ойлгохын тулд үүнийг оруулахыг зөвлөж байна физик утга: зарим биеийг векторын дагуу, дараа нь векторын дагуу явуулна. Дараа нь векторуудын нийлбэр нь эхлэл нь явах цэг, төгсгөл нь хүрэх цэгтэй, үүссэн замын вектор юм. Үүнтэй төстэй дүрмийг дурын тооны векторын нийлбэрт томъёолсон болно. Тэдний хэлснээр бие нь зигзаг дагуу, эсвэл автомат нисгэгчээр - нийлбэрийн үр дүнд бий болсон векторын дагуу маш хазайж болно.

Дашрамд хэлэхэд, вектор нь хойшлогдсон бол эхэлсэнвектор, тэгвэл бид эквивалентыг авна параллелограммын дүрэмвектор нэмэх.

Нэгдүгээрт, векторуудын коллинеар байдлын тухай. Хоёр векторыг нэрлэдэг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал. Товчхондоо бид параллель векторуудын тухай ярьж байна. Гэхдээ тэдэнтэй холбоотойгоор "конлинеар" гэсэн нэр томъёог үргэлж ашигладаг.

Хоёр коллинеар векторыг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв эдгээр векторуудын сумнууд нэг чиглэлд чиглүүлсэн бол ийм векторуудыг дуудна хамтран найруулсан. Хэрэв сумнууд чиглэж байгаа бол өөр өөр талууд, тэгвэл векторууд байх болно эсрэг чиглэлүүд.

Тэмдэглэл:векторуудын уялдаа холбоог ердийн параллелизм тэмдгээр бичнэ: , харин дэлгэрэнгүй тайлбарлах боломжтой: (векторууд хамтран чиглэсэн) эсвэл (векторууд эсрэгээр чиглэсэн).

ажилТоон дээрх тэгээс ялгаатай вектор нь урт нь -тэй тэнцүү, ба векторууд нь -т хамт, эсрэгээр нь чиглэсэн вектор юм.

Векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг зургийн тусламжтайгаар ойлгоход хялбар болно.

Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье:

1) Чиглэл. Хэрэв үржүүлэгч сөрөг байвал вектор болно чиглэлийг өөрчилдөгэсрэгээр.

2) урт. Хэрэв үржүүлэгч нь эсвэл дотор агуулагдаж байвал векторын урт буурдаг. Тэгэхээр векторын урт нь векторын уртын тал юм. Хэрэв үржүүлэгчийн модуль нэгээс их бол векторын урт нэмэгддэгзаримдаа.

3) Үүнийг анхаарна уу бүх векторууд коллинеар байна, нэг вектор нь нөгөө вектороор илэрхийлэгддэг бол жишээлбэл, . Урвуу нь бас үнэн юм: хэрэв нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлэх боломжтой бол ийм векторууд заавал коллинеар байна. Тиймээс: Хэрэв бид векторыг тоогоор үржүүлбэл коллинеар болно(эх хувьтай харьцуулахад) вектор.

4) Векторууд хамтран чиглэгддэг. Векторууд мөн хамтран найруулдаг. Эхний бүлгийн дурын вектор нь хоёр дахь бүлгийн аль ч векторын эсрэг чиглэсэн байна.

Аль векторууд тэнцүү вэ?

Хоёр вектор ижил чиглэлд, ижил урттай байвал тэнцүү байна. Хамтарсан чиглэл нь векторуудын коллинеар байдлыг илэрхийлдэг гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид: "Хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай, нэгдмэл чиглэлтэй, ижил урттай бол тэнцүү байна" гэж хэлбэл энэ тодорхойлолт буруу (илүүдэл) байх болно.

Чөлөөт векторын үзэл баримтлалын үүднээс авч үзвэл тэнцүү векторууд нь өмнөх догол мөрөнд дурдсанчлан ижил векторууд юм.

Хавтгай болон орон зай дахь вектор координатууд

Эхний цэг бол хавтгай дээрх векторуудыг авч үзэх явдал юм. Декартыг төлөөлүүлье тэгш өнцөгт системкоординатууд ба координатын гарал үүслээс хойш бид хойшлуулдаг ганц биевекторууд ба:

Векторууд ба ортогональ. Ортогональ = Перпендикуляр. Би таныг нэр томъёонд аажмаар дасахыг зөвлөж байна: параллелизм ба перпендикуляр байдлын оронд бид үгсийг тус тусад нь ашигладаг. уялдаа холбооТэгээд ортогональ байдал.

Зориулалт:Векторуудын ортогональ байдлыг ердийн перпендикулярын тэмдгээр бичнэ, жишээ нь: .

Харж байгаа векторуудыг дуудна координатын векторуудэсвэл орц. Эдгээр векторууд үүсдэг суурьонгоцонд. Үндэслэл гэж юу вэ гэдэг нь олон хүнд ойлгомжтой байх гэж бодож байна дэлгэрэнгүй мэдээлэлнийтлэлээс олж болно Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэсЭнгийнээр хэлбэл, координатын үндэс, гарал үүсэл нь бүхэл бүтэн системийг тодорхойлдог - энэ нь бүрэн дүүрэн, баялаг геометрийн амьдрал буцалж буй нэг төрлийн суурь юм.

Заримдаа баригдсан суурь гэж нэрлэдэг ортонормальХавтгайн үндэс: "ortho" - координатын векторууд нь ортогональ байдаг тул "нормчилсан" гэсэн үг нь нэгж гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. суурь векторуудын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Зориулалт:суурь нь ихэвчлэн бичигдсэн байдаг хаалт, дотор нь В хатуу дараалал суурь векторуудыг жагсаасан, жишээ нь: . Координатын векторууд энэ нь хориотойдахин зохион байгуулах.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замдараах байдлаар илэрхийлсэн:
, Хаана - тоогэж нэрлэдэг вектор координатВ энэ үндсэн дээр. Мөн илэрхийлэл нь өөрөө дуудсан вектор задралүндсэн дээр .

Оройн хоол:

Цагаан толгойн эхний үсгээр эхэлье: . Зураг нь векторыг суурь болгон задлахдаа сая авч үзсэн зүйлсийг ашигладаг болохыг тодорхой харуулж байна.
1) векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм: ба ;
2) гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх: .

Одоо онгоцны өөр аль ч цэгээс векторыг оюун ухаанаар зур. Түүний ялзрал "түүнийг уйгагүй дагах" нь ойлгомжтой. Энд байна, векторын эрх чөлөө - вектор "бүх зүйлийг өөртөө авч явдаг". Энэ шинж чанар нь мэдээжийн хэрэг аливаа векторын хувьд үнэн юм. Суурь (чөлөөт) векторуудыг эхнээс нь зурах шаардлагагүй, жишээлбэл, зүүн доод талд, нөгөөг нь баруун дээд талд зурж болох бөгөөд юу ч өөрчлөгдөхгүй нь инээдтэй юм! Үнэн, та үүнийг хийх шаардлагагүй, учир нь багш бас өвөрмөц байдлыг харуулж, гэнэтийн газарт "зээл" авах болно.

Векторууд нь векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг яг таг харуулж байна, вектор нь үндсэн вектортой кодиректортой, вектор нь үндсэн векторын эсрэг чиглэсэн байна. Эдгээр векторуудын хувьд координатуудын нэг нь тэгтэй тэнцүү байна, та үүнийг дараах байдлаар нарийн бичиж болно.


Дашрамд хэлэхэд суурь векторууд нь иймэрхүү байна: (үнэндээ тэд өөрсдөө илэрхийлэгддэг).

Тэгээд эцэст нь: , . Дашрамд хэлэхэд, вектор хасах гэж юу вэ, яагаад би хасах дүрмийн талаар яриагүй юм бэ? Хаа нэгтээ шугаман алгебр, Хаана гэдгийг санахгүй байна, би хасах үйлдэл гэдгийг тэмдэглэсэн онцгой тохиолдолнэмэлт. Тиймээс "de" ба "e" векторуудын өргөтгөлүүдийг нийлбэр хэлбэрээр хялбархан бичдэг: , . Нөхцөлүүдийг дахин цэгцэлж, гурвалжны дүрмийн дагуу хуучин вектор нэмэх нь эдгээр нөхцөлд хэр сайн ажиллаж байгааг зураг дээрээс хараарай.

Маягтын задралыг авч үзсэн заримдаа вектор задрал гэж нэрлэдэг ort системд(жишээ нь нэгж векторын системд). Гэхдээ энэ нь вектор бичих цорын ганц арга биш юм:

Эсвэл тэнцүү тэмдэгтэй:

Үндсэн векторууд нь дараах байдлаар бичигдсэн байдаг: ба

Өөрөөр хэлбэл, векторын координатыг хаалтанд зааж өгсөн болно. Практик бодлогод тэмдэглэгээний гурван хувилбарыг бүгдийг нь ашигладаг.

Би ярих эсэхдээ эргэлзэж байсан ч би хэлэх болно: векторын координатыг өөрчлөх боломжгүй. Эхний ээлжинд хатуутохирох координатыг бичнэ үү нэгж вектор , хатуу хоёрдугаарт ордогБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. Үнэн хэрэгтээ, эдгээр нь хоёр өөр вектор юм.

Бид онгоцон дээрх координатуудыг олж мэдсэн. Одоо гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудыг харцгаая, энд бараг бүх зүйл ижил байна! Энэ нь дахиад нэг координат нэмэх болно. Гурван хэмжээст зураг зурахад хэцүү байдаг тул би зөвхөн нэг вектороор хязгаарлагдах бөгөөд үүнийг хялбарчлах үүднээс гарал үүслийг нь авч үзэх болно.

Ямар чвектор гурван хэмжээст орон зайЧадах цорын ганц арга зам ортонормаль суурь дээр өргөжүүлэх:
, энэ суурь дээрх векторын (тоо) координатууд хаана байна.

Зураг дээрх жишээ: . Энд векторын дүрэм хэрхэн ажилладагийг харцгаая. Эхлээд векторыг тоогоор үржүүлнэ: (улаан сум), (ногоон сум) ба (бөөрөлзгөнө сум). Хоёрдугаарт, хэд хэдэн, энэ тохиолдолд гурван вектор нэмэх жишээ энд байна: . Нийлбэр вектор нь хөдлөх анхны цэгээс (векторын эхлэл) эхэлж, эцсийн хүрэх цэг дээр (векторын төгсгөл) дуусна.

Гурван хэмжээст орон зайн бүх векторууд нь мэдээжийн хэрэг, векторыг өөр ямар ч цэгээс салгах гэж оролдох бөгөөд та түүний задрал "үүнтэй хамт үлдэх болно" гэдгийг ойлгох болно.

Бичихээс гадна хавтгай хайрцагтай төстэй хаалт бүхий хувилбарууд өргөн хэрэглэгддэг: аль нэг .

Хэрэв өргөтгөлд нэг (эсвэл хоёр) дутуу байвал координатын векторууд, дараа нь тэгийг оронд нь тавина. Жишээ нь:
вектор (нямбай ) - бичье;
вектор (нямбай ) - бичье;
вектор (нямбай ) - бичье.

Үндсэн векторуудыг дараах байдлаар бичнэ.

Энэ нь магадгүй аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардагдах хамгийн бага онолын мэдлэг юм. Маш олон нэр томьёо, тодорхойлолт байж магадгүй тул дамминуудыг дахин уншиж, ойлгохыг зөвлөж байна. энэ мэдээлэлдахин. Мөн энэ нь ямар ч уншигчдад лавлах нь ашигтай байх болно үндсэн хичээлматериалыг илүү сайн шингээхийн тулд. Коллинеар байдал, ортогональ байдал, ортонормаль суурь, векторын задрал - эдгээр болон бусад ойлголтыг ирээдүйд ихэвчлэн ашиглах болно. Би бүх теоремуудыг (мөн нотлох баримтгүйгээр) сайтар шифрлэдэг тул онолын шалгалт эсвэл геометрийн коллоквиумыг давахад сайтын материал хангалтгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. шинжлэх ухааны хэв маягтанилцуулга, гэхдээ энэ сэдвийг ойлгоход тань нэмэр болно. Нарийвчилсан онолын мэдээллийг авахын тулд профессор Атанасянд бөхийлгөнө үү.

Тэгээд бид практик хэсэг рүү шилжлээ:

Аналитик геометрийн хамгийн энгийн асуудлууд.
Координат дахь векторуудтай үйлдлүүд

Бүрэн автоматаар авч үзэх даалгавар, томъёог хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахыг зөвлөж байна цээжлэх, тусгайлан санах ч үгүй, тэд өөрсдийгөө санах болно =) Энэ нь маш чухал, учир нь хамгийн энгийнээр энгийн жишээнүүданалитик геометрийн бусад асуудлууд дээр үндэслэсэн бөгөөд үүнийг зарцуулах нь ядаргаатай байх болно нэмэлт цагломбард идэх зориулалттай. Цамцныхаа дээд товчийг товчлох шаардлагагүй;

Материалын танилцуулга нь онгоц болон орон зайн хувьд зэрэгцэн явагдана. Учир нь бүх томьёо... та өөрөө харах болно.

Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Энэ нь, векторын төгсгөлийн координатааста харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй векторын эхлэл.

Дасгал:Ижил цэгүүдийн хувьд векторын координатыг олох томъёог бичнэ үү. Хичээлийн төгсгөлд томъёо.

Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?

Онгоцны хоёр цэг өгөгдсөн ба . Вектор координатыг ол

Шийдэл:зохих томъёоны дагуу:

Эсвэл дараах оруулгыг ашиглаж болно.

Үүнийг гоо зүйчид шийднэ.

Би хувьдаа бичлэгийн эхний хувилбарт дассан.

Хариулт:

Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй (энэ нь аналитик геометрийн асуудлуудад тохиолддог) боловч даммигийн зарим зүйлийг тодруулахын тулд би залхуурахгүй.

Та мэдээж ойлгох хэрэгтэй цэгийн координат ба вектор координат хоорондын ялгаа:

Цэгийн координат- Эдгээр нь тэгш өнцөгт координатын систем дэх энгийн координатууд юм. Оноо тавь координатын хавтгай 5-6-р ангиасаа эхлэн хүн бүр хийж чадна гэж бодож байна. Цэг бүр онгоцонд хатуу байр суурь эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийг хаашаа ч зөөх боломжгүй.

Векторын координатууд– энэ бол энэ тохиолдолд суурийн дагуу түүний өргөтгөл юм. Аливаа вектор үнэ төлбөргүй байдаг тул шаардлагатай бол бид үүнийг онгоцны өөр цэгээс хялбархан холдуулж болно. Сонирхолтой нь, векторуудын хувьд тэнхлэг эсвэл тэгш өнцөгт координатын системийг огт барих шаардлагагүй, энэ тохиолдолд онгоцны ортонормаль суурь хэрэгтэй болно.

Цэгүүдийн координат ба векторуудын координатуудын бичлэгүүд ижил төстэй байх шиг байна: , болон координатын утгатуйлын өөр, мөн та энэ ялгааг сайн мэддэг байх ёстой. Энэ ялгааМэдээжийн хэрэг, орон зайн хувьд ч үнэн.

Ноёд хатагтай нар аа, гараа дүүргэцгээе:

Жишээ 2

a) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
б) Оноо өгдөг Мөн . векторуудыг олох ба .
в) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
d) Оноо өгдөг. Векторуудыг олох .

Магадгүй энэ нь хангалттай байх. Эдгээр нь жишээ юм бие даасан шийдвэр, тэднийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй, энэ нь үр дүнгээ өгөх болно ;-). Зураг зурах шаардлагагүй. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд юу чухал вэ?“Хоёр дээр нэмэх нь хоёр тэг” гэсэн гайхалтай алдаа гаргахгүйн тулд ОНЦ БОЛОМЖТОЙ байх нь чухал. Алдаа гаргасан бол шууд уучлалт гуйя =)

Хэсгийн уртыг хэрхэн олох вэ?

Уртыг аль хэдийн дурдсанчлан модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ.

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Жич: Харгалзах координатуудыг сольсон тохиолдолд томъёонууд зөв хэвээр байх болно: болон , гэхдээ эхний сонголт нь илүү стандарт юм

Жишээ 3

Шийдэл:зохих томъёоны дагуу:

Хариулт:

Тодорхой болгохын тулд би зураг зурах болно

Сегмент - энэ вектор биш, мөн мэдээж та үүнийг хаашаа ч хөдөлгөж чадахгүй. Үүнээс гадна, хэрэв та масштабаар зурвал: 1 нэгж. = 1 см (хоёр дэвтэр нүд), дараа нь үр дүнгийн хариултыг сегментийн уртыг шууд хэмжих замаар ердийн захирагчаар шалгаж болно.

Тийм ээ, шийдэл нь богино, гэхдээ үүнээс хэд хэдэн зүйл бий чухал цэгүүдБи тодруулах гэсэн юм:

Нэгдүгээрт, хариултанд бид "нэгж" хэмжигдэхүүнийг тавьдаг. Нөхцөл байдал нь ЮУ гэдгийг хэлээгүй, миллиметр, сантиметр, метр, километр. Тиймээс математикийн хувьд зөв шийдэл нь ерөнхий томъёолол байх болно: "нэгж" - "нэгж" гэж товчилсон.

Хоёрдугаарт, зөвхөн авч үзсэн даалгаварт хэрэг болохуйц сургуулийн материалыг давтан хэлье.

Анхаарна уу чухал техник – үржүүлэгчийг үндэс доороос нь арилгах. Тооцооллын үр дүнд бид үр дүнд хүрсэн бөгөөд математикийн сайн хэв маяг нь хүчин зүйлийг үндэснээс нь (боломжтой бол) хасах явдал юм. Илүү нарийвчилсан байдлаар процесс дараах байдалтай байна. . Мэдээжийн хэрэг, хариултыг байгаагаар нь үлдээх нь алдаа биш, гэхдээ энэ нь багшийн хувьд дутуу дулимаг, нухацтай маргаан болно.

Бусад нийтлэг тохиолдлууд энд байна:

Ихэнхдээ үндэс нь хангалттай байдаг их тоо, Жишээ нь . Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Тооцоологч ашиглан тухайн тоо 4-т хуваагдах эсэхийг шалгана: . Тиймээ, энэ нь бүрэн хуваагдсан тул: . Эсвэл энэ тоог дахин 4-т хувааж болох уу? . Тиймээс: . Дугаар дээр сүүлийн цифрсондгой, тиймээс гурав дахь удаагаа 4-т хуваах нь ажиллахгүй нь ойлгомжтой. Есөөр хуваахыг хичээцгээе: . Үүний үр дүнд:
Бэлэн.

Дүгнэлт:Хэрэв язгуур дор бид бүхэлд нь гаргаж авах боломжгүй тоог олж авбал бид язгуураас хүчин зүйлийг арилгахыг оролддог - тооцоолуур ашиглан энэ тоо дараах байдлаар хуваагдах эсэхийг шалгана: 4, 9, 16, 25, 36, 49 гэх мэт.

Шийдвэр гаргах явцад янз бүрийн даалгаварҮндэс нь нийтлэг байдаг тул багшийн тайлбар дээр тулгуурлан шийдлээ эцэслэн гаргахад бага үнэлгээ, шаардлагагүй асуудлаас зайлсхийхийн тулд үндэснээс хүчин зүйлийг гаргаж авахыг хичээ.

Мөн квадрат үндэс болон бусад хүчийг давтъя:

зэрэгтэй үйлдлийн дүрэм ерөнхий үзэлСургуулийн алгебрийн сурах бичгээс олж болно, гэхдээ өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад бүх зүйл эсвэл бараг бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон гэж би бодож байна.

Орон зай дахь сегмент бүхий бие даасан шийдэлд зориулсан даалгавар:

Жишээ 4

Оноо ба өгөгдсөн. Хэсгийн уртыг ол.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгай вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно.

Хэрэв орон зайн вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно .

Векторуудын нийлбэр. Вектор урт. Эрхэм найзууд аа, арын шалгалтын төрлүүдийн нэг хэсэг болгон вектортой холбоотой асуудал байдаг. Даалгаврууд нь нэлээд өргөн хүрээтэй (мэдэх нь чухал онолын үндэс). Ихэнх нь амаар шийдэгддэг. Асуултууд нь векторын урт, векторуудын нийлбэр (ялгаа), скаляр үржвэрийг олохтой холбоотой. Мөн векторын координаттай үйлдэл хийх шаардлагатай олон даалгавар байдаг.

Векторын сэдвийг тойрсон онол нь тийм ч төвөгтэй биш бөгөөд үүнийг сайн ойлгох ёстой. Энэ нийтлэлд бид векторын урт, мөн векторуудын нийлбэр (ялгаа) олохтой холбоотой асуудлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Зарим онолын цэгүүд:

Вектор ойлголт

Вектор нь чиглэсэн сегмент юм.

Ижил чиглэлтэй, ижил урттай бүх векторууд тэнцүү байна.

*Дээр дурдсан дөрвөн вектор бүгд тэнцүү байна!

Энэ нь хэрэв бид ашигладаг бол зэрэгцээ шилжүүлэгбидэнд өгсөн векторыг хөдөлгөвөл бид үргэлж анхны вектортой тэнцүү векторыг авах болно. Тиймээс хязгааргүй тооны тэнцүү вектор байж болно.

Вектор тэмдэглэгээ

Векторыг латинаар тэмдэглэж болно том үсгээр, Жишээ нь:

Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийн хувьд эхлээд векторын эхлэлийг, дараа нь векторын төгсгөлийг илэрхийлсэн үсгийг бичнэ.

Өөр векторыг нэг үсгээр тэмдэглэв Латин цагаан толгой(нийслэл):

Мөн сумгүй тэмдэглэгээ хийх боломжтой:

AB ба ВС хоёр векторын нийлбэр нь AC вектор болно.

Үүнийг AB + BC = AC гэж бичнэ.

Энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг - гурвалжингийн дүрэм.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бидэнд хоёр вектор байгаа бол тэдгээрийг нөхцөлт (1) ба (2) гэж нэрлэе, векторын төгсгөл (1) нь векторын (2) эхлэлтэй давхцаж байвал эдгээр векторуудын нийлбэр нь вектор байх болно. эхлэл нь векторын (1) эхлэлтэй, төгсгөл нь векторын (2) төгсгөлтэй давхцаж байна.

Дүгнэлт: Хэрэв бид хавтгай дээр хоёр вектор байгаа бол тэдгээрийн нийлбэрийг үргэлж олж чадна. Зэрэгцээ орчуулгыг ашигласнаар та эдгээр векторуудын аль нэгийг зөөж, түүний эхлэлийг нөгөөгийн төгсгөлд холбож болно. Жишээ нь:

Векторыг хөдөлгөцгөөе б, эсвэл өөрөөр хэлбэл тэнцүү нэгийг байгуулъя:

Хэд хэдэн векторын нийлбэрийг хэрхэн олох вэ? Үүнтэй ижил зарчмаар:

* * *

Параллелограммын дүрэм

Энэ дүрэм нь дээр дурдсан үр дагавар юм.

-тэй векторуудын хувьд нийтлэг эхлэлтэдгээрийн нийлбэрийг эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональаар илэрхийлнэ.

Вектор бүтээцгээе вектортой тэнцүү бИнгэснээр түүний эхлэл нь векторын төгсгөлтэй давхцдаг а, мөн бид тэдгээрийн нийлбэр болох векторыг барьж болно:

Жаахан илүү чухал мэдээлэласуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай.

Урт нь анхныхтай тэнцүү боловч эсрэг чиглэлтэй векторыг мөн тэмдэглэсэн боловч эсрэг тэмдэгтэй байна.

Энэ мэдээлэл нь векторуудын ялгааг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй. Таны харж байгаагаар векторын зөрүү нь өөрчлөгдсөн хэлбэрээр ижил нийлбэр байна.

Хоёр вектор өгье, тэдгээрийн ялгааг ол:

Бид b векторын эсрэг вектор байгуулж, ялгааг олсон.

Вектор координат

Векторын координатыг олохын тулд төгсгөлийн координатаас эхлэлийн харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй.

Өөрөөр хэлбэл вектор координатууд нь хос тоо юм.

Хэрэв

Мөн векторуудын координатууд дараах байдалтай байна.

Дараа нь c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Хэрэв

Дараа нь c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2 байна

Вектор модуль

Векторын модуль нь түүний урт бөгөөд дараах томъёогоор тодорхойлогддог.

Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координат нь мэдэгдэж байгаа бол түүний уртыг тодорхойлох томъёо:

Даалгавруудыг авч үзье:

ABCD тэгш өнцөгтийн хоёр тал нь 6 ба 8-тай тэнцүү. Диагональууд нь О цэгт огтлолцоно.АО ба BO векторуудын ялгааны уртыг ол.

AO–VO-ийн үр дүн болох векторыг олъё:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Энэ нь AO ба векторуудын ялгаа юм VO нь вектор байх болно AB. Мөн түүний урт нь найман юм.

Ромбын диагональууд ABCD 12 ба 16-тай тэнцүү. AB + AD векторын уртыг ол.

AD ба AB BC векторуудын нийлбэр нь AD вектортой тэнцүү байх векторыг олъё. Тэгэхээр AB +AD =AB +BC =AC

ABCD ромбын диагональууд цэг дээр огтлолцоно Оба 12 ба 16-тай тэнцүү. AO + BO векторын уртыг ол.

AO ба VO VO векторуудын нийлбэр нь OD вектортой тэнцүү байх векторыг олцгооё.

Пифагорын теоремын дагуу:

ABCD ромбын диагональууд нь О цэгт огтлолцох ба 12 ба 16-тай тэнцүү. AO – BO векторын уртыг ол.

AO–VO-ийн үр дүн болох векторыг олъё:

Пифагорын теоремын дагуу:

Талууд зөв гурвалжин ABC 3-тай тэнцүү байна.

AB –AC векторын уртыг ол.

Векторын зөрүүний үр дүнг олъё:

27663. a (6;8) векторын уртыг ол.

27664. АВ векторын уртын квадратыг ол.

Векторууд. Вектортой үйлдэл. Энэ нийтлэлд бид вектор гэж юу болох, түүний уртыг хэрхэн олох, векторыг тоогоор хэрхэн үржүүлэх, мөн хоёр векторын нийлбэр, ялгавар, скаляр үржвэрийг хэрхэн олох талаар ярилцах болно.

Ердийнх шиг, хамгийн шаардлагатай онолын бага зэрэг.

Вектор нь чиглэсэн сегмент, өөрөөр хэлбэл эхлэл ба төгсгөлтэй сегмент юм.

Энд А цэг нь векторын эхлэл, В цэг нь түүний төгсгөл юм.

Вектор нь урт ба чиглэл гэсэн хоёр параметртэй.

Векторын урт нь векторын эхлэл ба төгсгөлийг холбосон сегментийн урт юм. Векторын уртыг тэмдэглэв

Хоёр векторыг тэнцүү гэж нэрлэдэг, хэрэв тэдгээр нь ижил урттай, зэрэгцсэн байвал.

Хоёр векторыг нэрлэдэг хамтран найруулсан, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ шугамууд дээр хэвтэж, нэг чиглэлд чиглүүлсэн бол: вектор ба кодиректор:

Хоёр векторыг параллель шулуун дээр хэвтэж, эсрэг чиглэлд чиглүүлсэн бол эсрэг чиглэлтэй гэж нэрлэдэг: векторууд ба , мөн эсрэг чиглэлд чиглүүлсэн бол:

Зэрэгцээ шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар гэж нэрлэдэг: векторууд ба коллинеар байдаг.

Векторын бүтээгдэхүүнХэрэв title="k>0) бол тоог вектортой координаль вектор гэнэ">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

руу хоёр вектор нэмнэба, та векторын эхлэлийг векторын төгсгөлд холбох хэрэгтэй. Нийлбэр вектор нь векторын эхлэлийг векторын төгсгөлтэй холбодог.

Энэ вектор нэмэх дүрмийг гэж нэрлэдэг гурвалжингийн дүрэм.

Хоёр вектор нэмэхийн тулд параллелограммын дүрэм, та векторуудыг нэг цэгээс хойшлуулж, параллелограмм хүртэл барих хэрэгтэй. Нийлбэр вектор нь векторуудын эхлэх цэгийг холбодог эсрэг өнцөгпараллелограмм:

Хоёр векторын ялгаанийлбэрээр тодорхойлогддог: векторуудын зөрүү ба ийм вектор гэж нэрлэгддэг бөгөөд вектортой нийлбэрээр векторыг өгнө.

Үүнээс үүдэн гарч байна хоёр векторын ялгааг олох дүрэм: вектороос векторыг хасахын тулд эдгээр векторуудыг нэг цэгээс зурах хэрэгтэй. Ялгаа вектор нь векторын төгсгөлийг векторын төгсгөлд холбодог (өөрөөр хэлбэл хасахын төгсгөлийг хасах төгсгөлд):

олохын тулд вектор ба вектор хоорондын өнцөг, та эдгээр векторуудыг нэг цэгээс зурах хэрэгтэй. Векторууд байрлах туяанаас үүссэн өнцгийг векторуудын хоорондох өнцөг гэнэ.

Хоёр векторын скаляр үржвэр нь тоо юм бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаЭдгээр векторуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар:

-аас асуудлаа шийдэхийг санал болгож байна Нээлттэй банкзориулсан даалгавар , дараа нь ВИДЕО СУРГАЛТЫН тусламжтайгаар шийдлээ шалгана уу:

1. Даалгавар 4 (No 27709)

Тэгш өнцөгтийн хоёр тал ABCD 6 ба 8-тай тэнцүү ба векторуудын ялгааны уртыг ол.

2. Даалгавар 4 (No 27710)

Тэгш өнцөгтийн хоёр тал ABCD 6 ба 8-тай тэнцүү ба векторуудын скаляр үржвэрийг ол. (өмнөх даалгавраас зураг зурах).

3. Даалгавар 4 (No 27711)

Тэгш өнцөгтийн хоёр тал ABCD О. ба векторуудын нийлбэрийн уртыг ол.

4. Даалгавар 4 (No 27712)

Тэгш өнцөгтийн хоёр тал ABCD 6 ба 8-тай тэнцүү. Диагональууд нь цэг дээр огтлолцдог О. ба векторуудын ялгааны уртыг ол. (өмнөх даалгавраас зураг зурах).

5. Даалгавар 4 (No 27713)

Ромбын диагональууд ABCD 12 ба 16-тай тэнцүү байна.Векторын уртыг ол.

6. Даалгавар 4 (No 27714)

Ромбын диагональууд ABCD 12 ба 16-тай тэнцүү. + векторын уртыг ол.

7.Даалгавар 4 (No 27715)

Ромбын диагональууд ABCD 12 ба 16-тай тэнцүү. - .(өмнөх бодлогоос зурсан) векторын уртыг ол.

8.Даалгавар 4 (No 27716)

Ромбын диагональууд ABCD 12 ба 16-тай тэнцүү. - векторын уртыг ол.

9 . Даалгавар 4 (No 27717)

Ромбын диагональууд ABCDцэг дээр огтлолцоно Оба 12 ба 16-тай тэнцүү. + векторын уртыг ол.

10. Даалгавар 4 (No 27718)

Ромбын диагональууд ABCDцэг дээр огтлолцоно Оба 12 ба 16-тай тэнцүү. - .(өмнөх бодлогоос зурсан) векторын уртыг ол.

11.Даалгавар 4 (No 27719)

Ромбын диагональууд ABCDцэг дээр огтлолцоно Оба 12 ба 16-тай тэнцүү ба векторуудын скаляр үржвэрийг ол (өмнөх бодлогын дагуу).

12. Даалгавар 4 (No 27720)

ABCтэнцүү + векторын уртыг ол.

13. Даалгавар 4 (No 27721)

Ердийн гурвалжны талууд ABCтэнцүү байна 3. векторын уртыг ол (өмнөх бодлого).

14. Даалгавар 4 (No 27722)

Ердийн гурвалжны талууд ABC 3-тай тэнцүү ба векторуудын скаляр үржвэрийг ол. (өмнөх даалгавраас зураг зурах).

Таны хөтөч дэмжигдээгүй байж магадгүй. Дасгалжуулагч ашиглахын тулд " Улсын нэгдсэн шалгалтын цаг", татаж аваад үзээрэй
Firefox

Элсэлтийн түвшин

Координат ба векторууд. Цогц гарын авлага (2019)

Энэ нийтлэлд бид геометрийн олон асуудлыг энгийн арифметик болгон багасгах боломжийг олгодог нэг "шидэт саваа" -ын талаар ярилцаж эхлэх болно. Энэ "зөөгч" нь таны амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно, ялангуяа орон зайн дүрс, хэсэг гэх мэтийг бүтээхдээ итгэлгүй байгаа үед. Энэ бүхэн нь тодорхой төсөөлөл, практик ур чадвар шаарддаг. Бидний энд авч үзэх арга нь ямар ч төрлөөс бараг бүрэн хийсвэрлэх боломжийг танд олгоно геометрийн байгууламжуудболон үндэслэл. арга гэж нэрлэдэг "координатын арга". Энэ нийтлэлд бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Координатын хавтгай
2. Хавтгай дээрх цэг ба векторууд
3. Хоёр цэгээс вектор байгуулах
4. Векторын урт (хоёр цэгийн хоорондох зай).
5. Сегментийн дунд хэсгийн координатууд
6. Векторуудын цэгийн үржвэр
7. Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Координатын аргыг яагаад ингэж нэрлэдэгийг та аль хэдийн таасан байх гэж бодож байна? Тийм ээ, энэ нь геометрийн объектуудтай биш, харин тэдгээрийн тусламжтайгаар ажилладаг тул ийм нэрийг авсан тоон шинж чанар(координат). Геометрээс алгебр руу шилжих боломжийг олгодог өөрчлөлт нь координатын системийг нэвтрүүлэхээс бүрддэг. Хэрэв анхны зураг хавтгай байсан бол координат нь хоёр хэмжээст, хэрэв зураг гурван хэмжээст бол координат нь гурван хэмжээст байна. Энэ нийтлэлд бид зөвхөн хоёр хэмжээст тохиолдлыг авч үзэх болно. Мөн нийтлэлийн гол зорилго бол заримыг хэрхэн ашиглахыг танд заах явдал юм үндсэн техникүүдкоординатын арга (Тэд заримдаа улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсэгт планиметрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болдог). Энэ сэдвийн дараагийн хоёр хэсэг нь C2 (стереометрийн асуудал) асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын талаар хэлэлцэхэд зориулагдсан болно.

Координатын аргын талаар ярилцаж эхлэх нь хаанаас логиктой байх вэ? Координатын системийн тухай ойлголтоос л гарсан байх. Түүнтэй анх уулзаж байснаа санаарай. 7-р ангид байхдаа та оршихуйн тухай мэдсэн юм шиг надад санагддаг шугаман функц, Жишээ нь. Та үүнийг цэгээс нь босгосон гэдгийг сануулъя. Чи санаж байна уу? Та дурын тоог сонгоод, томъёонд орлуулж, ийм байдлаар тооцоолсон. Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл, хэрэв, тэгвэл гэх мэт.. Эцэст нь та юу авсан бэ? Мөн та координаттай оноо авсан: ба. Дараа нь та "загалмай" (координатын систем) зурж, түүн дээр масштабыг сонгов (та хэдэн нүдтэй байх вэ) нэг сегмент) мөн үүн дээр олж авсан цэгүүдийг тэмдэглээд дараа нь шулуун шугамаар холбосон шугам нь функцийн график юм.

Энд танд илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах хэд хэдэн зүйл байна:

1. Зурган дээр бүх зүйл сайхан, нягт нийцэхийн тулд та ая тухтай байдлын үүднээс нэг сегментийг сонгодог.

2. Тэнхлэг нь зүүнээс баруун тийш, тэнхлэг нь доороос дээш явдаг гэж хүлээн зөвшөөрдөг

3. Тэд зөв өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцох цэгийг эхлэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг захидлаар зааж өгсөн болно.

4. Цэгийн координатыг бичихдээ жишээлбэл, зүүн талд нь тэнхлэгийн дагуух цэгийн координатыг хаалтанд, баруун талд нь тэнхлэгийн дагуу тэмдэглэнэ. Ялангуяа, энэ нь зүгээр л цэг дээр гэсэн үг юм

5. Аливаа цэгийг тохируулахын тулд координатын тэнхлэг, та түүний координатыг зааж өгөх хэрэгтэй (2 тоо)

6. Тэнхлэг дээр хэвтэж буй аливаа цэгийн хувьд,

7. Тэнхлэг дээр байрлах аливаа цэгийн хувьд,

8. Тэнхлэгийг х тэнхлэг гэж нэрлэдэг

9. Тэнхлэгийг у тэнхлэг гэж нэрлэдэг

Одоо дараагийн алхамаа хийцгээе: хоёр цэгийг тэмдэглэ. Энэ хоёр цэгийг сегментээр холбоно. Бид сумыг цэгээс цэг рүү сегмент зурж байгаа мэт байрлуулна: өөрөөр хэлбэл бид сегментээ чиглүүлэх болно!

Өөр чиглэлтэй сегментийг юу гэж нэрлэдэгийг санаж байна уу? Энэ нь зөв, үүнийг вектор гэж нэрлэдэг!

Хэрэв бид цэгийг цэг рүү холбовол эхлэл нь А цэг, төгсгөл нь В цэг байх болно,Дараа нь бид векторыг авна. Чи бас 8-р ангидаа энэ бүтээн байгуулалтыг хийж байсныг санаж байна уу?

Векторуудыг цэгүүд шиг хоёр тоогоор тэмдэглэж болно: эдгээр тоог вектор координат гэж нэрлэдэг. Асуулт: Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатыг мэдэх нь координатыг нь олоход хангалттай гэж та бодож байна уу? Энэ нь тийм гэж харагдаж байна! Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:

Тиймээс векторын цэг нь эхлэл, цэг нь төгсгөл байдаг тул вектор нь дараах координаттай байна.

Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл векторын координатууд

Одоо эсрэгээр нь векторын координатыг олъё. Үүний тулд бид юуг өөрчлөх хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, та эхлэл ба төгсгөлийг солих хэрэгтэй: одоо векторын эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байх болно. Дараа нь:

Анхааралтай харна уу, векторуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Тэдний цорын ганц ялгаа нь координат дахь тэмдэг юм. Тэд эсрэг тэсрэг хүмүүс. Энэ баримтыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

Заримдаа, аль цэг нь векторын эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг тусгайлан заагаагүй бол векторуудыг хоёр том үсгээр биш, харин нэг жижиг үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: гэх мэт.

Одоо жаахан дадлага хийхДараах векторуудын координатыг өөрөө ол.

Шалгалт:

Одоо арай илүү хэцүү асуудлыг шийд:

Нэг цэг дээр эхлэлтэй вектор нь ко- or-di-na-yo-тэй байна. Abs-cis-su цэгүүдийг ол.

Бүгд ижил төстэй: Цэгийн координат байцгаая. Дараа нь

Би векторын координат гэж юу вэ гэсэн тодорхойлолт дээр үндэслэн системийг эмхэтгэсэн. Дараа нь цэг нь координаттай болно. Бид абсциссыг сонирхож байна. Дараа нь

Хариулт:

Та векторуудаас өөр юу хийж чадах вэ? Тийм ээ, бараг бүх зүйл ижил байна энгийн тоонууд(Та хуваах боломжгүй, гэхдээ та хоёр аргаар үржүүлж болно, тэдгээрийн аль нэгийг нь бид дараа нь хэлэлцэх болно)

1. Векторуудыг бие биедээ нэмж болно
2. Векторуудыг бие биенээсээ хасаж болно
3. Векторуудыг дурын тэг биш тоогоор үржүүлж (эсвэл хувааж) болно
4. Векторуудыг өөр хоорондоо үржүүлж болно

Эдгээр бүх үйл ажиллагаа нь маш тодорхой байна геометрийн дүрслэл. Жишээлбэл, гурвалжин (эсвэл параллелограмм) нэмэх, хасах дүрэм:

Векторыг тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваахад сунадаг, агшдаг эсвэл чиглэлээ өөрчилдөг.

Гэсэн хэдий ч, энд бид координат юу болох вэ гэсэн асуултыг сонирхох болно.

1. Хоёр векторыг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийн координатын элементийг элемент тус бүрээр нь нэмнэ (хасах). Энэ нь:

2. Векторыг тоогоор үржүүлэх (хуваах) үед түүний бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлнэ (хуваагдана).

Жишээ нь:

· co-or-di-nat зууны-to-ra хэмжээг ол.

Эхлээд вектор тус бүрийн координатыг олъё. Тэд хоёулаа ижил гарал үүсэлтэй байдаг - гарал үүслийн цэг. Тэдний төгсгөл нь өөр өөр байдаг. Дараа нь, . Одоо векторын координатыг тооцоолбол үүссэн векторын координатуудын нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо дараах асуудлыг өөрөө шийд.

· Векторын координатын нийлбэрийг ол

Бид шалгаж байна:

Дараах асуудлыг авч үзье: координатын хавтгайд хоёр цэг байна. Тэдний хоорондох зайг хэрхэн олох вэ? Эхний цэг, хоёр дахь нь байг. Тэдгээрийн хоорондох зайг үүгээр тэмдэглэе. Тодорхой болгохын тулд дараах зургийг хийцгээе.

Би юу хийсэн бэ? Юуны өмнө би холбогдсон цэгүүд ба, aмөн нэг цэгээс би тэнхлэгтэй параллель шугам, нэг цэгээс тэнхлэгтэй параллель шугам татсан. Тэд нэг цэг дээр огтлолцон, гайхалтай дүрс үүсгэсэн үү? Түүний юу нь тийм онцгой вэ? Тийм ээ, та бид хоёр бараг бүх зүйлийг мэддэг зөв гурвалжин. За, Пифагорын теорем нь гарцаагүй. Шаардлагатай сегмент нь энэ гурвалжны гипотенуз, сегментүүд нь хөл юм. Цэгийн координат хэд вэ? Тиймээ, тэдгээрийг зургаас олоход хялбар байдаг: Сегментүүд нь тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийн уртыг олоход хялбар байдаг: хэрвээ бид сегментүүдийн уртыг тус тусад нь тэмдэглэвэл, дараа нь

Одоо Пифагорын теоремыг ашиглая. Бид хөлний уртыг мэддэг тул гипотенузыг олох болно.

Иймд хоёр цэгийн хоорондох зай нь координатаас квадрат зөрүүний нийлбэрийн үндэс юм. Эсвэл - хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм.

Цэгүүдийн хоорондох зай нь чиглэлээс хамаардаггүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Дараа нь:

Эндээс бид гурван дүгнэлт гаргаж байна.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох талаар бага зэрэг дасгал хийцгээе.

Жишээлбэл, хэрэв, дараа нь ба хоорондын зай нь тэнцүү байна

Эсвэл өөр замаар явъя: векторын координатыг ол

Мөн векторын уртыг ол:

Таны харж байгаагаар энэ нь ижил зүйл юм!

Одоо өөрөө бага зэрэг дасгал хий:

Даалгавар: заасан цэгүүдийн хоорондох зайг ол:

Бид шалгаж байна:

Хэдийгээр арай өөр сонсогдож байгаа ч гэсэн ижил томъёог ашигласан хэд хэдэн асуудал энд байна:

1. Зовхины уртын квадратыг ол.

2. Зовхины уртын квадратыг ол

1. Мөн энэ нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм) Бид өмнө нь векторуудын координатыг олсон: . Дараа нь вектор координаттай байна. Түүний уртын квадрат нь дараахтай тэнцүү байна.

2. Векторын координатыг ол

Дараа нь түүний уртын квадрат нь байна

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү? Энгийн арифметик, өөр юу ч биш.

Дараах асуудлуудыг хоёрдмол утгагүй ангилж болохгүй; ерөнхий мэдлэгмөн энгийн зураг зурах чадвар.

1. Цэгийг абсцисса тэнхлэгтэй холбосон зүсэлтээс өнцгийн синусыг ол.

Тэгээд

Бид энд яаж цааш явах вэ? Бид тэнхлэг хоёрын хоорондох өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Бид синусыг хаанаас хайх вэ? Энэ нь зөв, тэгш өнцөгт гурвалжинд. Тэгэхээр бид юу хийх хэрэгтэй вэ? Энэ гурвалжинг бүтээ!

Цэгийн координатууд нь ба, тэгвэл хэрчим нь тэнцүү, ба хэрчим болно. Бид өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Синус бол харьцаа гэдгийг сануулъя эсрэг хөлдараа нь гипотенуз руу

Бидэнд юу хийх үлдэв? Гипотенузыг ол. Та үүнийг хоёр аргаар хийж болно: Пифагорын теоремыг ашиглан (хөл нь мэдэгдэж байна!) эсвэл хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан (үнэндээ эхний аргатай ижил зүйл!). Би хоёр дахь замаар явна:

Хариулт:

Дараагийн даалгавар танд илүү хялбар санагдах болно. Тэр цэгийн координат дээр байна.

Даалгавар 2.Цэгээс per-pen-di-ku-lyar нь ab-ciss тэнхлэг рүү доошилно. Най-ди-тэ абс-цис-су ос-но-ва-ния пер-пен-ди-ку-ла-ра.

Зураг зурцгаая:

Перпендикулярын суурь нь х тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэг бөгөөд миний хувьд энэ нь цэг юм. Зураг нь координаттай болохыг харуулж байна: . Бид abscissa буюу "x" бүрэлдэхүүн хэсгийг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт: .

Даалгавар 3.Өмнөх бодлогын нөхцөлд цэгээс координатын тэнхлэг хүртэлх зайны нийлбэрийг ол.

Хэрэв та цэгээс тэнхлэг хүртэлх зай ямар байхыг мэддэг бол даалгавар нь ерөнхийдөө энгийн зүйл юм. Та мэдэх үү? Би найдаж байна, гэхдээ би танд сануулах болно:

Тэгэхээр яг дээрх зурган дээрээ би ийм перпендикуляр зурсан уу? Аль тэнхлэг дээр байна вэ? Тэнхлэг рүү. Тэгээд түүний урт хэд вэ? Тэр тэнцүү. Одоо тэнхлэгт перпендикуляр зурж, уртыг нь ол. Энэ нь тэнцүү байх болно, тийм үү? Дараа нь тэдний нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт: .

Даалгавар 4. 2-р даалгаврын нөхцөлд цэгийн ординатыг ол. тэгш хэмтэй цэгабсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад.

Тэгш хэм гэж юу болох нь танд ойлгомжтой байх гэж бодож байна уу? Олон объектод байдаг: олон барилга, ширээ, онгоц, олон геометрийн хэлбэрүүд: бөмбөлөг, цилиндр, дөрвөлжин, ромбус гэх мэт Бүдүүнчлэн хэлбэл, тэгш хэмийг дараах байдлаар ойлгож болно: дүрс нь хоёр (эсвэл түүнээс дээш) ижил хагасаас бүрдэнэ. Энэ тэгш хэмийг тэнхлэгийн тэгш хэм гэж нэрлэдэг. Тэгвэл тэнхлэг гэж юу вэ? Энэ нь дүрсийг харьцангуйгаар тэнцүү хагас болгон "тайрах" боломжтой яг шугам юм (энэ зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг шулуун байна):

Одоо даалгавартаа буцаж орцгооё. Бид тэнхлэгт тэгш хэмтэй цэгийг хайж байгаагаа мэдэж байна. Тэгвэл энэ тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Энэ нь бид тэнхлэг нь сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах цэгийг тэмдэглэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Ийм цэгийг өөрөө тэмдэглэхийг хичээ. Одоо миний шийдэлтэй харьцуул:

Энэ нь танд яг адилхан үр дүнд хүрсэн үү? Сайн байна! Бид олсон цэгийн ординатыг сонирхож байна. Энэ нь тэнцүү юм

Хариулт:

Одоо надад хэлээч, хэдэн секунд бодсоны дараа ординаттай харьцуулахад А цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн абсцисса хэд байх вэ? Та ямар хариулт өгөх вэ? Зөв хариулт: .

Ерөнхийдөө дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

Абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

Ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

За, одоо энэ нь бүрэн аймшигтай болсон даалгавар: цэгийн эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгийн координатыг ол. Чи эхлээд өөрийнхөөрөө бодоод дараа нь миний зургийг хар!

Хариулт:

Одоо параллелограммын асуудал:

Даалгавар 5: Цэгүүд вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма гарч ирнэ. Тэр цэгийг олоорой.

Та энэ асуудлыг логик болон координатын арга гэсэн хоёр аргаар шийдэж болно. Би эхлээд координатын аргыг ашиглаад дараа нь яаж өөрөөр шийдэж болохыг хэлье.

Цэгийн абсцисса тэнцүү гэдэг нь тодорхой байна. (энэ нь цэгээс абсцисса тэнхлэг рүү татсан перпендикуляр дээр байрладаг). Бид ординатыг олох хэрэгтэй. Бидний зураг параллелограмм гэдгийг ашиглацгаая, энэ нь гэсэн үг юм. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан сегментийн уртыг олъё.

Бид цэгийг тэнхлэгт холбосон перпендикулярыг буулгана. Би огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ.

Сегментийн урт нь тэнцүү байна. (энэ цэгийг хэлэлцсэн асуудлыг өөрөө ол), тэгвэл бид Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно.

Сегментийн урт нь түүний ординаттай яг таарч байна.

Хариулт: .

Өөр нэг шийдэл (би үүнийг харуулсан зураг л өгнө)

Шийдлийн явц:

1. Зан төлөв

2. Цэг ба уртын координатыг ол

3. Үүнийг нотлох.

Бас нэг сегментийн урттай холбоотой асуудал:

Гурвалжны дээд талд цэгүүд гарч ирнэ. Түүний зэрэгцээ шугамын уртыг ол.

Энэ юу болохыг санаж байна уу дунд шугамгурвалжин? Тэгвэл энэ даалгавар таны хувьд энгийн зүйл юм. Хэрэв та санахгүй байгаа бол би танд сануулъя: гурвалжны дунд шугам нь дунд цэгүүдийг холбосон шугам юм. эсрэг талууд. Энэ нь суурьтай параллель бөгөөд хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь сегмент юм. Бид түүний уртыг эрт хайх хэрэгтэй байсан, энэ нь тэнцүү байна. Дараа нь дунд шугамын урт нь хагас том, тэнцүү байна.

Хариулт: .

Тайлбар: Энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд үүнийг бид дараа нь авч үзэх болно.

Энэ хооронд танд хэд хэдэн асуудал байна, тэдэн дээр дадлага хий, тэдгээр нь маш энгийн боловч координатын аргыг илүү сайн ашиглахад тусална!

1. Цэгүүд нь тра-пе-ционы дээд хэсэг юм. Дунд шугамын уртыг ол.

2. Оноо ба харагдах байдал вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Тэр цэгийг олоорой.

3. Цэгийг холбосон зүсэлтээс уртыг ол

4. Координат хавтгай дээрх өнгөт дүрсийн ард байгаа хэсгийг ол.

5. На-ча-ле ко-ор-ди-нат дахь төвтэй тойрог цэгээр дамжин өнгөрдөг. Түүнийг ra-di-us-г олоорой.

6. Тойргийн олд-ди-тэ ра-ди-ус, зөв ​​өнцгийн-но-ка-ийн талаар дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой нь ко-эсвэл -ди-на-чи маш хариуцлагатай байдаг.

Шийдэл:

1. Трапецын дунд шугам нь суурийнх нь нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Суурь нь тэнцүү, суурь нь. Дараа нь

Хариулт:

2. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн хялбар арга бол үүнийг тэмдэглэх явдал юм (параллелограммын дүрэм). Векторуудын координатыг тооцоолоход хэцүү биш: . Вектор нэмэх үед координатууд нэмэгддэг. Дараа нь координатууд байна. Векторын гарал үүсэл нь координаттай цэг тул цэг нь мөн эдгээр координатуудтай. Бид ординатыг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт:

3. Бид нэн даруй хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёоны дагуу ажиллана.

Хариулт:

4. Зургийг хараад сүүдэрлэсэн хэсэг нь аль хоёр дүрсийн хооронд “сэндвич” байгааг хэлнэ үү? Энэ нь хоёр квадратын хооронд хавчуулагдсан байна. Дараа нь хүссэн зургийн талбай нь том дөрвөлжингийн талбайгаас жижиг квадратын талбайг хассантай тэнцүү байна. Жижиг дөрвөлжингийн тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь юм

Дараа нь жижиг талбайн талбай байна

Бид том дөрвөлжинтэй ижил зүйлийг хийдэг: түүний тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь тэнцүү байна

Дараа нь том талбайн талбай байна

Хүссэн зургийн талбайг бид дараах томъёогоор олно.

Хариулт:

5. Хэрэв тойрог нь эхийг нь төв болгож, нэг цэгийг дайран өнгөрвөл түүний радиус нь хэрчмийн урттай яг тэнцүү байх болно (зураг зурж, энэ нь яагаад ойлгомжтой болохыг та ойлгох болно). Энэ сегментийн уртыг олъё:

Хариулт:

6. Тэгш өнцөгтийг тойруулан хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь түүний диагональ талтай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Хоёр диагональуудын аль нэгнийх нь уртыг олцгооё (эцсийн эцэст тэгш өнцөгт нь тэд тэнцүү байна!)

Хариулт:

За, чи бүх зүйлийг даван туулж чадсан уу? Үүнийг ойлгоход тийм ч хэцүү байгаагүй, тийм үү? Энд зөвхөн нэг дүрэм бий - визуал зураг хийж, түүнээс бүх өгөгдлийг "унших" боломжтой.

Бидэнд маш бага үлдлээ. Миний хэлэлцэхийг хүсч буй өөр хоёр зүйл байна.

Энэ энгийн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе. Хоёр оноо өгье. Сегментийн дунд цэгийн координатыг ол. Энэ асуудлын шийдэл нь дараах байдалтай байна: цэгийг хүссэн дунд нь байг, дараа нь координаттай болно.

Энэ нь: сегментийн дунд хэсгийн координат = сегментийн төгсгөлийн харгалзах координатуудын арифметик дундаж.

Энэ дүрэм нь маш энгийн бөгөөд ихэвчлэн оюутнуудад хүндрэл учруулдаггүй. Үүнийг ямар асуудал, хэрхэн ашиглахыг харцгаая.

1. Зүссэн хэсгээс олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту се-ре-ди-ны, цэгийг холбох ба

2. Цоонууд нь дэлхийн хамгийн дээд цэг мэт харагдаж байна. Түүний dia-go-na-ley-ийн per-re-se-che-niya олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту оноо.

3. Хай-di-te abs-cis-su дугуй төв, дүрслэх-сан-ной тухай тэгш өнцөгт-но-ка, ямар нэг зүйлийн орой хамтран эсвэл-ди-на-та маш хариуцлагатай-гэхдээ байна.

Шийдэл:

1. Эхний асуудал бол зүгээр л сонгодог. Бид сегментийн дунд хэсгийг тодорхойлохын тулд нэн даруй үргэлжлүүлнэ. Энэ нь координаттай. Ординат тэнцүү байна.

Хариулт:

2. Энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм (ромбус ч гэсэн!) гэдгийг харахад хялбар байдаг. Үүнийг талуудын уртыг тооцоолж, бие биентэйгээ харьцуулах замаар өөрөө баталж болно. Параллелограммын талаар би юу мэдэх вэ? Түүний диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагддаг! Тиймээ! Тэгэхээр диагональуудын огтлолцох цэг юу вэ? Энэ бол аль ч диагональуудын дунд юм! Би ялангуяа диагональ сонгох болно. Дараа нь цэг нь координаттай байна Цэгийн ординат нь тэнцүү байна.

Хариулт:

3. Тэгш өнцөгтийг тойрсон тойргийн төв нь юутай давхцаж байна вэ? Энэ нь түүний диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцдаг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ? Тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд огтлолцох цэг нь тэдгээрийг хагасаар хуваадаг. Даалгаврыг өмнөх ажил болгон бууруулсан. Жишээлбэл, диагональыг авч үзье. Хэрэв тойргийн төв бол дунд цэг болно. Би координат хайж байна: Абсцисса тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо бие даан бага зэрэг дадлага хий, би зүгээр л асуудал бүрийн хариултыг өгөх болно, ингэснээр та өөрийгөө туршиж үзээрэй.

1. Тойрог олох-ди-тэ ра-ди-ус, гурвалжны эргэн тойронд дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой дээр ко-ор-ди-on-you байна.

2. Тойргийн төвийг олоод орой нь координаттай-но-ка гурвалжны талаар-сан-нойыг дүрсэл.

3. Аб-цисс тэнхлэгт тохирох цэг дээр төвтэй тойрог ямар төрлийн ра-ди-у-са байх ёстой вэ?

4. Тэнхлэгийн дахин сэлэлтийн цэг ба зүсэлтээс, цэгийг холбох ба

Хариултууд:

Бүх зүйл амжилттай болсон уу? Би үнэхээр найдаж байна! Одоо - сүүлчийн түлхэлт. Одоо ялангуяа болгоомжтой байгаарай. Миний одоо тайлбарлах материал нь зөвхөн түүнтэй шууд холбоотой биш юм энгийн даалгаваруудБ хэсгээс координатын арга руу, гэхдээ C2 асуудлын хаа сайгүй олддог.

Би амлалтуудынхаа алийг нь хараахан биелүүлээгүй вэ? Би векторууд дээр ямар үйлдлүүдийг танилцуулна гэж амлаж, эцэст нь алийг нь нэвтрүүлсэнээ санаж байна уу? Би юу ч мартаагүй гэдэгт итгэлтэй байна уу? Мартсан! Вектор үржүүлэх гэж юу гэсэн үг болохыг тайлбарлахаа мартав.

Векторыг вектороор үржүүлэх хоёр арга бий. Сонгосон аргаас хамааран бид янз бүрийн шинж чанартай объектуудыг авах болно.

Загалмайн бүтээгдэхүүнийг нэлээд ухаалаг хийдэг. Үүнийг хэрхэн хийх, яагаад хэрэгтэй вэ гэдгийг бид дараагийн өгүүллээр хэлэлцэх болно. Мөн энэ хэсэгт бид скаляр бүтээгдэхүүн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий:

Таны таамаглаж байгаагаар үр дүн нь ижил байх ёстой! Тиймээс эхлээд эхний аргыг харцгаая:

Координатаар цэгэн бүтээгдэхүүн

Олно: - скаляр үржвэрийн нийтлэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ

Тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр = вектор координатын үржвэрийн нийлбэр!

Жишээ:

Хай-ди-тэ

Шийдэл:

Вектор тус бүрийн координатыг олъё.

Бид скаляр бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Хариулт:

Хараач, ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй!

За, одоо өөрөө үзээрэй:

· Зууны скаляр про-из-ве-де-ни болон

Та удирдаж чадсан уу? Магадгүй та бага зэрэг барьсныг анзаарсан уу? Шалгацгаая:

Өмнөх асуудлын нэгэн адил вектор координат! Хариулт: .

Координатын нэгээс гадна векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар дамжуулан скаляр үржвэрийг тооцоолох өөр нэг арга бий.

ба векторуудын хоорондох өнцгийг илэрхийлнэ.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Яагаад бидэнд энэ хоёр дахь томьёо хэрэгтэй байна вэ, хэрэв бидэнд эхнийх нь байгаа бол хамаагүй энгийн, ядаж косинус байхгүй. Энэ нь эхний болон хоёр дахь томьёоноос та бид хоёр векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдэхийн тулд шаардлагатай байна!

Дараа нь векторын уртын томъёог санаарай!

Дараа нь би энэ өгөгдлийг скаляр бүтээгдэхүүний томъёонд орлуулах юм бол би дараахь зүйлийг авна.

Гэхдээ нөгөө талаас:

Тэгэхээр та бид хоёр юу авсан бэ? Одоо бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг тооцоолох томьёотой боллоо! Заримдаа үүнийг товчлох үүднээс ингэж бичдэг.

Өөрөөр хэлбэл, векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Скаляр үржвэрийг координатаар тооцоол
2. Векторуудын уртыг олоод үржүүл
3. 1-р цэгийн үр дүнг 2-р цэгийн үр дүнд хуваана

Жишээн дээр дадлага хийцгээе:

1. Зовхи болон хоёрын хоорондох өнцгийг ол. Хариултыг grad-du-sah хэлээр өг.

2. Өмнөх бодлогын нөхцөлд векторуудын хоорондох косинусыг ол

Үүнийг хийцгээе: Би чамд эхний асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална, харин хоёр дахь асуудлыг өөрөө хийхийг хичээ! Зөвшөөрч байна уу? Дараа нь эхэлцгээе!

1. Эдгээр векторууд нь бидний эртний найзууд юм. Бид аль хэдийн тэдний скаляр үржвэрийг тооцоолсон бөгөөд энэ нь тэнцүү байсан. Тэдний координат нь: , . Дараа нь бид тэдгээрийн уртыг олно:

Дараа нь бид векторуудын хоорондох косинусыг хайна.

Өнцгийн косинус хэд вэ? Энэ бол булан.

Хариулт:

За, одоо хоёр дахь асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь харьцуулаарай! Би маш богино шийдлийг өгөх болно:

2. координаттай, координаттай.

Дараа нь векторуудын хоорондох өнцөг гэж үзье

Хариулт:

В хэсгийн шууд бодлогууд ба координатын арга В хэсэгт байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй шалгалтын хуудаснэлээд ховор. Гэсэн хэдий ч C2 асуудлын дийлэнх хэсгийг координатын системийг нэвтрүүлснээр хялбархан шийдэж болно. Тиймээс та энэ өгүүллийг бид шийдвэрлэх шаардлагатай нэлээд ухаалаг барилга байгууламжийг бий болгох үндэс суурь гэж үзэж болно. нарийн төвөгтэй даалгавар.

КОРДИНАТ БА ВЕКТОР. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Та бид хоёр координатын аргыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Сүүлийн хэсэгт бид цуврал гаргав чухал томъёонууд, энэ нь:

1. Вектор координатыг ол
2. Векторын уртыг ол (өөр нэг хувилбар: хоёр цэгийн хоорондох зай)
3. Векторуудыг нэмэх, хасах. Тэдгээрийг үржүүл бодит тоо
4. Сегментийн дунд цэгийг ол
5. Векторуудын цэгийн үржвэрийг тооцоол
6. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Мэдээжийн хэрэг, координатын бүх арга нь эдгээр 6 цэгт тохирохгүй. Энэ нь аналитик геометр гэх мэт шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог бөгөөд та үүнийг их сургуульд сурч мэдэх болно. Би зөвхөн нэг мужид асуудлыг шийдэх боломжтой суурийг бий болгомоор байна. шалгалт. Бид В хэсгийн даалгавруудыг гүйцэтгэсэн. Одоо өндөр чанартай руу шилжих цаг болжээ шинэ түвшин! Энэ нийтлэлийг координатын арга руу шилжүүлэх нь зүйтэй гэж үзсэн C2 асуудлыг шийдвэрлэх аргачлалд зориулах болно. Энэ үндэслэл нь тухайн асуудалд юуг олох шаардлагатай, ямар тоогоор тодорхойлогддог. Тиймээс, хэрэв асуултууд байвал би координатын аргыг ашиглах болно.

1. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг ол
2. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол
3. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол
4. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол
5. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол
6. Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг ол
7. Хоёр шугамын хоорондох зайг ол

Хэрэв асуудлын тайлбарт өгөгдсөн дүрс нь эргэлтийн бие (бөмбөг, цилиндр, конус ...) байвал

Координатын аргын тохиромжтой тоонууд нь:

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт)

Мөн миний туршлагаас координатын аргыг хэрэглэх нь зохисгүй:

1. Хөндлөн огтлолын талбайг олох
2. Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох

Гэсэн хэдий ч координатын аргын гурван "тааламжгүй" нөхцөл байдал практикт нэлээд ховор байдаг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнх ажилд энэ нь таны аврагч болж чадна, ялангуяа та тийм ч хүчтэй биш бол гурван хэмжээст барилга байгууламж(энэ нь заримдаа нэлээд төвөгтэй байж болно).

Миний дээр дурдсан бүх тоо юу вэ? Тэд хавтгай байхаа больсон, жишээ нь дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог гэх мэт, гэхдээ их хэмжээний! Үүний дагуу бид хоёр хэмжээст биш харин авч үзэх хэрэгтэй гурван хэмжээст системкоординатууд Үүнийг бүтээхэд маш хялбар: зүгээр л абсцисса ба ординатын тэнхлэгээс гадна бид өөр тэнхлэг болох хэрэглээний тэнхлэгийг нэвтрүүлэх болно. Зурагт тэдгээрийн харьцангуй байрлалыг бүдүүвчээр харуулав.

Тэд бүгд харилцан перпендикуляр бөгөөд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд бид үүнийг координатын гарал үүсэл гэж нэрлэх болно. Өмнөхтэй адил бид абсцисса тэнхлэг, ординатын тэнхлэгийг - , танилцуулсан хэрэглээний тэнхлэгийг - гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв өмнө нь хавтгай дээрх цэг бүрийг абсцисса ба ординат гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлдог байсан бол орон зайн цэг бүрийг абсцисса, ординат, аппликат гэсэн гурван тоогоор аль хэдийн тодорхойлсон байдаг. Жишээ нь:

Үүний дагуу цэгийн абсцисс тэнцүү, ординат нь , хэрэглүүр нь .

Заримдаа цэгийн абсциссыг цэгийн абсцисса тэнхлэг рүү, ордината - ординат тэнхлэг рүү чиглэсэн проекц, хэрэглээний тэнхлэг дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу, хэрэв цэг өгөгдсөн бол координат бүхий цэг:

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

Байгалийн асуулт гарч ирнэ: хоёр хэмжээст тохиолдлоор гаргаж авсан бүх томьёо нь орон зайд хүчинтэй юу? Хариулт нь тийм ээ, тэд шударга бөгөөд ижил дүр төрхтэй байдаг. Жижиг нарийн ширийн зүйлийн хувьд. Аль нь болохыг та аль хэдийн таасан байх гэж бодож байна. Бүх томъёонд бид хэрэглээний тэнхлэгийг хариуцах өөр нэг нэр томъёо нэмэх шаардлагатай болно. Тухайлбал.

1. Хоёр оноо өгвөл: , тэгвэл:

• Вектор координатууд:
• Хоёр цэгийн хоорондох зай (эсвэл векторын урт)
• Сегментийн дунд цэг нь координаттай

2. Хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба, тэгвэл:

• Тэдний скаляр үржвэр нь дараахтай тэнцүү байна.
• Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь дараахтай тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч орон зай нь тийм ч энгийн зүйл биш юм. Таны ойлгож байгаагаар дахин нэг координат нэмэх нь энэ орон зайд "амьдрах" дүрсүүдийн спектрт ихээхэн ялгаатай байдлыг бий болгодог. Цаашид өгүүлэхийн тулд би шулуун шугамын "ерөнхийлэл"-ийн заримыг танилцуулах хэрэгтэй болно. Энэ "ерөнхийлэл" нь онгоц байх болно. Та онгоцны талаар юу мэдэх вэ? Онгоц гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулахыг хичээгээрэй. Үүнийг хэлэхэд маш хэцүү. Гэсэн хэдий ч бид бүгд энэ нь юу болохыг зөн совингоор төсөөлдөг:

Бүдүүлэгээр хэлэхэд энэ бол огторгуйд шидэгдсэн нэгэн төрлийн эцэс төгсгөлгүй "хуудас" юм. "Хязгааргүй" гэдэг нь онгоц бүх чиглэлд сунадаг, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч энэхүү "гар"-ын тайлбар нь онгоцны бүтцийн талаар өчүүхэн ч гэсэн ойлголт өгөхгүй. Тэр бол биднийг сонирхох болно.

Геометрийн үндсэн аксиомуудын нэгийг санацгаая.

• Шулуун шугам нь хавтгай дээрх хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх ба зөвхөн нэг нь:

Эсвэл түүний сансар дахь аналог:

Мэдээжийн хэрэг, та өгөгдсөн хоёр цэгээс шугамын тэгшитгэлийг яаж гаргахаа санаж байгаа байх, энэ нь тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв эхний цэг нь координаттай бол: хоёр дахь нь шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Та үүнийг 7-р ангидаа авсан. Орон зайд шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна: координаттай хоёр цэг өгье: , тэгвэл тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, шугам нь цэгүүдийг дайран өнгөрдөг:

Үүнийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ? Үүнийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: хэрэв цэг нь координат нь дараах системийг хангаж байвал шулуун дээр байрладаг.

Шугамын тэгшитгэлийг бид тийм ч их сонирхохгүй, гэхдээ бид маш их анхаарал хандуулах хэрэгтэй чухал ойлголтчиглүүлэх вектор шулуун шугам. - өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор.

Жишээлбэл, хоёр вектор нь шулуун шугамын чиглэлийн векторууд юм. Шулуун дээр хэвтэж буй цэг, түүний чиглэлийн вектор байг. Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Дахин хэлэхэд, би шулуун шугамын тэгшитгэлийг тийм ч их сонирхохгүй, гэхдээ чиглэлийн вектор гэж юу болохыг санах хэрэгтэй байна! Дахин: Энэ нь шулуун дээр эсвэл үүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор юм.

Татаж авах өгөгдсөн гурван цэг дээр суурилсан хавтгайн тэгшитгэлЭнэ нь тийм ч энгийн зүйл байхаа больсон бөгөөд ихэвчлэн энэ асуудлыг хичээл дээр авч үздэггүй ахлах сургууль. Гэхдээ дэмий хоосон! Нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд координатын аргыг ашиглахад энэ техник нь амин чухал юм. Гэсэн хэдий ч та шинэ зүйл сурах хүсэлтэй байгаа гэж бодож байна уу? Түүгээр ч зогсохгүй аналитик геометрийн курст ихэвчлэн судалдаг техникийг хэрхэн ашиглахаа мэддэг болсон бол та их сургуулийн багшдаа сэтгэгдэл төрүүлэх боломжтой болно. Ингээд эхэлцгээе.

Хавтгайн тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлээс тийм ч их ялгаатай биш, тухайлбал дараахь хэлбэртэй байна.

зарим тоонууд (бүгд тэгтэй тэнцүү биш), харин хувьсагч, жишээлбэл: гэх мэт. Таны харж байгаагаар хавтгайн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэлээс (шугаман функц) тийм ч их ялгаатай биш юм. Гэсэн хэдий ч та бид хоёр юу маргаж байсныг санаж байна уу? Хэрэв бид нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгтэй бол тэдгээрээс онгоцны тэгшитгэлийг өвөрмөц байдлаар сэргээж болно гэж бид хэлсэн. Гэхдээ яаж? Би танд тайлбарлахыг хичээх болно.

Хавтгайн тэгшитгэл нь:

Мөн цэгүүд нь энэ хавтгайд хамаарах тул цэг бүрийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулахдаа бид зөв таних тэмдгийг олж авах ёстой.

Тиймээс үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байна! Дилемма! Гэсэн хэдий ч та үүнийг үргэлж таамаглаж болно (үүнийг хийхийн тулд та хуваах хэрэгтэй). Тиймээс бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг олж авна.

Гэсэн хэдий ч бид ийм системийг шийдэхгүй, харин үүнээс үүдэлтэй нууцлаг илэрхийлэлийг бичих болно.

Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(массив)) \баруун| = 0\]

Зогс! Энэ юу вэ? Зарим маш ер бусын модуль! Гэсэн хэдий ч таны өмнө харж буй объект нь модультай ямар ч холбоогүй юм. Энэ объектыг гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Одооноос эхлэн та хавтгай дээрх координатын аргыг судлахдаа эдгээр ижил тодорхойлогчтой байнга тулгарах болно. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ? Хачирхалтай нь энэ бол зүгээр л тоо. Тодорхойлогчтой ямар тодорхой тоог харьцуулахыг ойлгоход л үлдлээ.

Эхлээд гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг илүү ерөнхий хэлбэрээр бичье.

Зарим тоо хаана байна. Түүнээс гадна эхний индексээр бид мөрийн дугаарыг, индексээр баганын дугаарыг хэлнэ. Жишээлбэл, энэ нь тийм гэсэн үг юм өгсөн дугаархоёр дахь эгнээ, гурав дахь баганын огтлолцол дээр зогсож байна. Өмсгөөд үзье дараагийн асуулт: Ийм тодорхойлогчийг яг яаж тооцох вэ? Өөрөөр хэлбэл, бид үүнтэй ямар тодорхой тоогоор харьцуулах вэ? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд эвристик (харааны) гурвалжны дүрэм байдаг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

1. Үндсэн диагоналын элементүүдийн үржвэр (зүүн дээд булангаас баруун доод тал руу) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь үндсэн диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэгч элементүүдийн үржвэр юм. үндсэн диагональ
2. Хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэр (баруун дээд булангаас зүүн доод тал хүртэл) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь хоёрдогч диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр юм. хоёрдогч диагональ
3. Дараа нь тодорхойлогч зөрүүтэй тэнцүү байнаалхам дээр олж авсан утгууд ба

Хэрэв бид энэ бүгдийг тоогоор бичвэл дараах илэрхийлэл гарч ирнэ.

Гэсэн хэдий ч, та энэ хэлбэрээр тооцоолох аргыг санах шаардлагагүй, зөвхөн гурвалжингууд, юу нэмж, юунаас юуг хасах тухай санааг толгойдоо хадгалахад хангалттай).

Гурвалжингийн аргыг жишээгээр тайлбарлая.

1. Тодорхойлогчийг тооцоол:

Юу нэмж, юуг хасахаа олж мэдье.

Нэмэлт нэмсэн нөхцлүүд:

Энэ бол гол диагональ: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "үндсэн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Хоёрдахь гурвалжин, "гол диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Гурван тоог нэмнэ үү:

Хасах тэмдэгтэй ирдэг нэр томъёо

Энэ нь хажуугийн диагональ юм: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Хоёрдахь гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Гурван тоог нэмнэ үү:

Үлдсэн зүйл бол "хасах" нөхцлүүдийн нийлбэрээс "нэмэх" нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах явдал юм.

Тиймээс,

Таны харж байгаагаар гуравдагч эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолоход төвөгтэй, ер бусын зүйл байхгүй. Гурвалжны талаар санаж, арифметик алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. Одоо үүнийг өөрөө тооцоолж үзээрэй:

Даалгавар: заасан цэгүүдийн хоорондох зайг ол:

1. Үндсэн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
2. Үндсэн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
3. Нэмэх нэр томъёоны нийлбэр:
4. Хоёрдогч диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
5. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
6. Хасах нэр томъёоны нийлбэр:
7. Нэмэхтэй нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах нь хасахтай нөхцлүүдийн нийлбэр:

Энд хэд хэдэн тодорхойлогч хүчин зүйлүүд байна, тэдгээрийн утгыг өөрөө тооцоолж, хариулттай харьцуулна уу.

Хариултууд:

За, бүх зүйл давхцсан уу? Гайхалтай, тэгвэл та цаашаа явж болно! Хэрэв бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол: Интернет дээр тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох олон програмууд байдаг. Танд хэрэгтэй зүйл бол өөрийн тодорхойлогчийг гаргаж, өөрөө тооцоолж, дараа нь програмын тооцоолсон зүйлтэй харьцуулах явдал юм. Үр дүн нь давхцаж эхлэх хүртэл. Энэ мөч удахгүй ирэхгүй гэдэгт би итгэлтэй байна!

Одоо гурвыг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийн тухай ярихдаа миний бичсэн тодорхойлогч руу буцъя. оноо өгсөн:

Танд хэрэгтэй зүйл бол түүний утгыг шууд (гурвалжингийн аргыг ашиглан) тооцоолж, үр дүнг тэг болгох явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь хувьсагч учраас та тэдгээрээс хамаарах зарим илэрхийлэлийг авах болно. Яг энэ илэрхийлэл нь нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл байх болно!

Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая:

1. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуул

Бид эдгээр гурван цэгийн тодорхойлогчийг эмхэтгэдэг.

Хялбарчилъя:

Одоо бид гурвалжингийн дүрмийг ашиглан шууд тооцоолно.

\[(\left| (\begin(массив)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\төгсгөл(массив)) \ баруун|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Тиймээс цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл нь:

Одоо нэг асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй, дараа нь бид үүнийг хэлэлцэх болно:

2. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг ол

За, одоо шийдлийн талаар ярилцъя:

Тодорхойлогчийг үүсгэцгээе:

Мөн түүний утгыг тооцоолох:

Дараа нь онгоцны тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

Эсвэл бууруулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо өөрийгөө хянах хоёр даалгавар:

1. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг байгуул.

Хариултууд:

Бүх зүйл давхцсан уу? Дахин хэлэхэд, хэрэв тодорхой бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол толгойноосоо гурван оноо ав их хэмжээгээрТэд нэг шулуун дээр хэвтэхгүй байх магадлалтай), та тэдгээр дээр тулгуурлан онгоц бүтээдэг. Тэгээд та өөрийгөө онлайнаар шалгана уу. Жишээлбэл, сайт дээр:

Гэсэн хэдий ч тодорхойлогчдын тусламжтайгаар бид зөвхөн хавтгайн тэгшитгэлийг бий болгохгүй. Зөвхөн цэгэн үржвэр нь векторуудад тодорхойлогддоггүй гэдгийг би та нарт хэлснийг санаарай. Мөн вектор бүтээгдэхүүн, түүнчлэн холимог бүтээгдэхүүн байдаг. Хэрэв хоёр векторын скаляр үржвэр нь тоо бол хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор байх ба энэ вектор нь өгөгдсөн векторуудад перпендикуляр байх болно.

Түүнээс гадна түүний модуль байх болно талбайтай тэнцүүвекторууд дээр баригдсан параллелограмм ба. Энэ векторЭнэ нь цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолоход хэрэгтэй болно. Бид яаж тоолох вэ вектор бүтээгдэхүүнвекторууд ба тэдгээрийн координатууд өгөгдсөн бол? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч бидэнд дахин туслахаар ирлээ. Гэсэн хэдий ч, би вектор үржвэрийг тооцоолох алгоритм руу шилжихээсээ өмнө жижиг ухралт хийх хэрэгтэй.

Энэ хазайлт нь суурь векторуудад хамаатай.

Тэдгээрийг схемийн дагуу зурагт үзүүлэв:

Тэднийг яагаад үндсэн гэж нэрлэдэг гэж та бодож байна вэ? Гол нь:

Эсвэл зураг дээр:

Энэ томъёоны хүчин төгөлдөр байдал нь ойлгомжтой, учир нь:

Вектор урлагийн бүтээл

Одоо би хөндлөн бүтээгдэхүүнийг танилцуулж эхэлж болно:

Хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор бөгөөд үүнийг дараах дүрмийн дагуу тооцоолно.

Одоо хөндлөн үржвэрийг тооцоолох зарим жишээг өгье.

Жишээ 1: Векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол:

Шийдэл: Би тодорхойлогчийг бүрдүүлж байна:

Тэгээд би үүнийг тооцоолно:

Одоо суурь векторуудаар дамжуулан бичихдээ би ердийн вектор тэмдэглэгээ рүү буцах болно.

Тиймээс:

Одоо оролдоод үз.

Бэлэн үү? Бид шалгаж байна:

Уламжлал ёсоор хоёр хяналтын даалгавар:

1. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.
2. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.

Хариултууд:

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн

Надад хамгийн сүүлд хэрэгтэй зүйл бол гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн юм. Энэ нь скаляр шиг тоо юм. Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий. - тодорхойлогчоор, - холимог бүтээгдэхүүнээр.

Тухайлбал, бидэнд гурван вектор өгье:

Дараа нь гурван векторын холимог үржвэрийг дараах байдлаар тооцоолж болно.

1. - өөрөөр хэлбэл холимог үржвэр нь векторын скаляр үржвэр ба бусад хоёр векторын вектор үржвэр юм.

Жишээлбэл, гурван векторын холимог үржвэр нь:

Үүнийг вектор бүтээгдэхүүн ашиглан өөрөө тооцоолж, үр дүн нь таарч байгаа эсэхийг шалгаарай!

Дахин хэлэхэд бие даасан шийдлүүдийн хоёр жишээ:

Хариултууд:

Координатын системийг сонгох

Одоо бид геометрийн стереометрийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдлэгтэй болсон. Гэсэн хэдий ч, жишээнүүд болон тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритм руу шууд орохын өмнө дараахь асуултанд анхаарлаа хандуулах нь ашигтай байх болно гэж би бодож байна: яг яаж тодорхой дүрсийн координатын системийг сонгох.Эцсийн эцэст энэ бол сонголт юм харьцангуй байрлалСансар огторгуй дахь координатын систем, хэлбэрүүд нь эцсийн дүндээ тооцоолол хэр төвөгтэй болохыг тодорхойлох болно.

Энэ хэсэгт бид дараах тоон үзүүлэлтүүдийг авч үзэхийг сануулъя.

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Шулуун призм (гурвалжин, зургаан өнцөгт ...)
3. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин)
4. Тетраэдр (гурвалжин пирамидтай ижил)

Тэгш өнцөгт параллелепипед эсвэл шоо дөрвөлжин хэлбэртэй хэлбэрийн хувьд би танд дараахь зүйлийг хийхийг зөвлөж байна.

Өөрөөр хэлбэл, би дүрсийг "буланд" байрлуулна. Шоо болон параллелепипед бол маш сайн дүрс юм. Тэдний хувьд та түүний оройн координатыг үргэлж хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв (зурагт үзүүлсэн шиг)

Дараа нь оройнуудын координатууд дараах байдалтай байна.

Мэдээжийн хэрэг та үүнийг санах шаардлагагүй, гэхдээ шоо эсвэл тэгш өнцөгт параллелепипедийг хэрхэн хамгийн сайн байрлуулахаа санах нь зүйтэй.

Шулуун призм

Призм бол илүү хор хөнөөлтэй дүрс юм. Орон зайд янз бүрийн аргаар байрлуулж болно. Гэсэн хэдий ч дараахь сонголт надад хамгийн тохиромжтой гэж бодож байна.

Гурвалжин призм:

Өөрөөр хэлбэл, бид гурвалжны нэг талыг бүхэлд нь тэнхлэг дээр байрлуулж, нэг орой нь координатын эхлэлтэй давхцдаг.

Зургаан өнцөгт призм:

Өөрөөр хэлбэл, оройн аль нэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь тэнхлэг дээр байрладаг.

Дөрвөн ба зургаан өнцөгт пирамид:

Нөхцөл байдал нь шоотой төстэй: бид суурийн хоёр талыг координатын тэнхлэгүүдтэй уялдуулж, оройн аль нэгийг нь координатын гарал үүсэлтэй тэгшлэнэ. Цорын ганц бэрхшээл бол цэгийн координатыг тооцоолох явдал юм.

Зургаан өнцөгт пирамидын хувьд - зургаан өнцөгт призмтэй адил. Гол ажил бол оройн координатыг олох явдал юм.

Тетраэдр (гурвалжин пирамид)

Нөхцөл байдал нь гурвалжин призмийн хувьд миний өгсөнтэй маш төстэй юм: нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг.

За, одоо та бид хоёр асуудлыг шийдэж эхлэхэд ойрхон байна. Өгүүллийн эхэнд миний хэлсэн зүйлээс та дараах дүгнэлтийг хийж болно: С2 бодлогуудын ихэнх нь өнцгийн бодлого, зайны бодлого гэсэн 2 ангилалд хуваагддаг. Эхлээд бид өнцгийг олох асуудлыг авч үзэх болно. Тэдгээр нь эргээд дараахь ангилалд хуваагдана (тэдгээрийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэх тусам):

Өнцөг олох асуудал

1. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох
2. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

Эдгээр бодлогуудыг дараалан авч үзье: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох замаар эхэлье. За, санаж байна уу, та бид хоёр өмнө нь ижил төстэй жишээг шийдэж байгаагүй гэж үү? Та санаж байна уу, бидэнд аль хэдийн ижил төстэй зүйл байсан ... Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг хайж байсан. Хэрэв хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хамаарлаас олохыг танд сануулъя.

Одоо бидний зорилго бол хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох явдал юм. "Хавтгай зураг" -ыг харцгаая:

Хоёр шулуун огтлолцоход бид хэдэн өнцөгтэй болсон бэ? Хэдхэн зүйл. Үнэн бол тэдгээрийн хоёр нь л тэгш бус, бусад нь босоо байрлалтай (тиймээс тэдэнтэй давхцдаг). Тэгэхээр бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг аль өнцгөөр тооцох ёстой вэ: эсвэл? Энд дүрэм нь: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь үргэлж градусаас ихгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр өнцгөөс хамгийн жижиг өнцгийг сонгох болно градусын хэмжүүр. Өөрөөр хэлбэл, энэ зураг дээр хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг тэнцүү байна. Хоёр өнцгийн хамгийн жижигийг олох гэж төвөг удахгүйн тулд зальтай математикчид модуль ашиглахыг санал болгов. Тиймээс хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Анхааралтай уншигчийн хувьд танд өнцгийн косинусыг тооцоолоход шаардлагатай эдгээр тоог яг хаанаас авах вэ гэсэн асуулт гарч ирэх ёстой байсан. Хариулт: Бид тэдгээрийг шугамын чиглэлийн векторуудаас авах болно! Ийнхүү хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид 1-р томъёог ашигладаг.

Эсвэл илүү дэлгэрэнгүй:

1. Бид эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
2. Бид хоёр дахь шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
3. Бид тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний модулийг тооцоолно
4. Бид эхний векторын уртыг хайж байна
5. Бид хоёр дахь векторын уртыг хайж байна
6. 4-р цэгийн үр дүнг 5-р цэгийн үр дүнгээр үржүүлнэ
7. Бид 3-р цэгийн үр дүнг 6-р цэгийн үр дүнд хуваана. Шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг бид авна.
8. Хэрэв энэ үр дүн нь өнцгийг зөв тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог бол бид үүнийг хайж байна
9. Үгүй бол бид нуман косинусаар бичдэг

За, одоо асуудал руу шилжих цаг боллоо: Би эхний хоёрын шийдлийг нарийвчлан харуулах болно, би өөр нэг шийдлийг танилцуулах болно. товчхондоо, мөн сүүлийн хоёр асуудалд би зөвхөн хариулт өгөх болно, та бүх тооцоог өөрөө хийх ёстой.

Даалгаварууд:

1. Баруун тэт-ра-эд-рэ-д тет-ра-эд-рагийн өндөр ба дунд талын хоорондох өнцгийг ол.

2. Баруун гар талын зургаан өнцөгт пи-ра-ми-дэ, зуун ос-но-ва-ниас тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү, ба шугамын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун дөрвөн нүүрсний пи-ра-ми-дын бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол, хэрвээ зүсэлтээс авсан бол - та өгөгдсөн пи-ра-ми-ди-тэй байгаа бол цэг нь түүний бо-ко- хоёр дахь хавирга дээр се-ре-ди-байна.

4. Шоо дөрвөлжин ирмэг дээр шулуун ба хоорондын өнцгийг олох цэг байдаг

5. Цэг - шоо ирмэг дээр Шулуун ба хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

Би даалгавруудыг ийм дарааллаар зохион байгуулсан нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Та координатын аргыг ашиглаж эхлэх цаг болоогүй байгаа ч би өөрөө хамгийн "асуудалтай" тоон дээр дүн шинжилгээ хийж, хамгийн энгийн шоотой ажиллахыг танд үлдээх болно! Аажмаар та бүх тоонуудтай хэрхэн ажиллахаа сурах хэрэгтэй болно, би сэдвээс сэдэв рүү даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх болно.

Асуудлыг шийдэж эхэлцгээе:

1. Миний түрүүн санал болгосны дагуу тетраэдр зураад координатын системд байрлуул. Тетраэдр нь тогтмол байдаг тул түүний бүх нүүр (суурийг оруулаад) байдаг тогтмол гурвалжин. Бидэнд талын уртыг өгөөгүй тул би үүнийг тэнцүү гэж үзэж болно. Энэ өнцөг нь манай тетраэдр хэр их “суналтаас” хамаарахгүй гэдгийг та ойлгож байна гэж бодож байна уу? Би мөн тетраэдр дэх өндөр ба медианыг зурах болно. Замдаа би түүний суурийг зурах болно (энэ нь бидэнд бас хэрэгтэй болно).

Би хоёрын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй байна. Бид юу мэдэх вэ? Бид зөвхөн цэгийн координатыг л мэднэ. Энэ нь бид цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Одоо бид бодож байна: цэг нь гурвалжны өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиан) огтлолцох цэг юм. Мөн цэг бол өргөгдсөн цэг юм. Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид эцэст нь олох хэрэгтэй: цэгүүдийн координат: .

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе: цэгийн координат. Зургийг харна уу: Цэгийн хэрэглээ нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна (цэг нь хавтгай дээр байрладаг). Ординат нь тэнцүү байна (энэ нь медиан учраас). Түүний абсциссыг олох нь илүү хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнийг Пифагорын теорем дээр үндэслэн хялбархан хийж болно: Гурвалжинг авч үзье. Түүний гипотенуз нь тэнцүү ба нэг хөл нь тэнцүү Дараа нь:

Эцэст нь бидэнд: .

Одоо цэгийн координатыг олъё. Түүний хэрэглүүр дахин тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой бөгөөд ординат нь цэгийнхтэй ижил байна, өөрөөр хэлбэл. Түүний абсциссыг олцгооё. Хэрэв та үүнийг санаж байвал энэ нь маш энгийн зүйл юм өндөр тэгш талт гурвалжинуулзварын цэгийг пропорциональ байдлаар хуваана, дээрээс нь тоолж байна. Учир нь: , тэгвэл цэгийн шаардлагатай абсцисса байна урттай тэнцүүсегмент нь тэнцүү байна: . Тиймээс цэгийн координатууд нь:

Цэгийн координатыг олъё. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Мөн өргөдөл нь сегментийн урттай тэнцүү байна. - энэ бол гурвалжны хөлүүдийн нэг юм. Гурвалжны гипотенуз нь сегмент - хөл юм. Үүнийг тодоор тэмдэглэсэн шалтгааны улмаас хайж байна.

Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог санах хэрэгтэй.

Ингээд л бид чиглэлийн векторуудын координатыг хайж болно.

За, бүх зүйл бэлэн боллоо: бид бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Тиймээс,

Хариулт:

Та ийм "аймшигтай" хариултаас айх хэрэггүй: C2 асуудлын хувьд энэ нь нийтлэг практик юм. Энэ хэсэгт байгаа "сайхан" хариултыг хараад гайхах нь дээр. Таны анзаарсанчлан би Пифагорын теорем ба тэгш талт гурвалжны өндрийн шинж чанараас өөр зүйлд хандаагүй. Өөрөөр хэлбэл, стереометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд би хамгийн бага стереометрийг ашигласан. Үүний ашиг нь нэлээд төвөгтэй тооцооллоор хэсэгчлэн "унтарсан". Гэхдээ тэд маш алгоритмтай!

2. Зөвийг нь зурцгаая зургаан өнцөгт пирамидкоординатын систем, түүнчлэн түүний суурьтай хамт:

Бид ба шугамын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Тиймээс бидний даалгавар бол цэгүүдийн координатыг олох явдал юм. Бид сүүлийн гурвын координатыг жижиг зураг ашиглан олох бөгөөд цэгийн координатаар оройн координатыг олох болно. Хийх ажил их байгаа ч бид эхлэх хэрэгтэй!

a) Координат: түүний хэрэглээний болон ординат нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна. Абсциссыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Харамсалтай нь бид зөвхөн гипотенузыг мэддэг бөгөөд энэ нь тэнцүү юм. Бид хөлөө олохыг хичээх болно (учир нь хөлний урт нь хоёр дахин их байх нь бидэнд цэгийн абсцисса өгөх нь тодорхой юм). Бид үүнийг яаж хайх вэ? Пирамидын ёроолд ямар дүрс байгааг санацгаая? Энэ бол ердийн зургаан өнцөгт юм. Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бүх тал ба бүх өнцөг тэнцүү байна гэсэн үг юм. Бид нэг ийм өнцгийг олох хэрэгтэй. Ямар нэгэн санаа байна уу? Маш олон санаа байдаг, гэхдээ томъёо байдаг:

Энгийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь .

Тиймээс ердийн зургаан өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь өнцөг бүр нь тэнцүү байна:

Зургийг дахин харцгаая. Сегмент нь өнцгийн биссектрис гэдэг нь тодорхой байна. Дараа нь өнцөг нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь:

Тэгээд хаанаас.

Тиймээс координатууд байна

б) Одоо бид цэгийн координатыг хялбархан олох боломжтой: .

в) Цэгийн координатыг ол. Түүний абсцисса нь сегментийн урттай давхцаж байгаа тул энэ нь тэнцүү байна. Ординатыг олох нь бас тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв бид цэгүүдийг холбож, шугамын огтлолцлын цэгийг, жишээ нь, . (энэ нь өөрөө энгийн барилгын ажил). Дараа нь В цэгийн ординат нь хэрчмүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг дахин харцгаая. Дараа нь

Тэр цагаас хойш цэг нь координаттай болсон

d) Одоо цэгийн координатыг олъё. Тэгш өнцөгтийг авч үзээд цэгийн координатууд нь:

e) Оройн координатыг олоход л үлддэг. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Програмаа олцгооё. Түүнээс хойш. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Асуудлын нөхцлийн дагуу хажуугийн хавирга. Энэ бол миний гурвалжны гипотенуз юм. Дараа нь пирамидын өндөр нь хөл юм.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

За ингээд л болоо, миний сонирхсон бүх цэгийн координат надад байна. Би шулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын координатыг хайж байна.

Бид эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийг хайж байна.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд, энэ асуудлыг шийдэхдээ би ердийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн томьёо, мөн тэгш өнцөгт гурвалжны косинус, синусын тодорхойлолтоос өөр нарийн төвөгтэй аргыг ашиглаагүй.

3. Пирамидын ирмэгийн уртыг бидэнд дахин өгөөгүй тул би тэдгээрийг нэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. Тиймээс, зөвхөн хажуугийн ирмэгүүд биш, БҮХ ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү тул пирамидын ёроолд бид дөрвөлжин байна. хажуугийн нүүрнүүд- ердийн гурвалжин. Асуудлын текстэд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэж, ийм пирамид, түүний суурийг хавтгай дээр зурцгаая.

Бид хоёрын хоорондох өнцгийг хайж байна. Би цэгүүдийн координатыг хайхдаа маш товч тооцоолол хийх болно. Та тэдгээрийг "тайлах" хэрэгтэй болно:

б) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд:

в) Би гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно. Би үүнийг гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан олж чадна.

Координат:

d) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд нь

e) Вектор координат

f) Вектор координат

g) Өнцөг хайх:

Шоо - хамгийн энгийн зураг. Та үүнийг өөрөө шийднэ гэдэгт итгэлтэй байна. 4 ба 5-р асуудлын хариултууд дараах байдалтай байна.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох

За, энгийн оньсого хийх цаг дууслаа! Одоо жишээнүүд нь бүр ч төвөгтэй байх болно. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулна
   ,
   Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг ашиглан.
2. Хоёр цэгийг ашиглан бид шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг хайж байна.
3. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Таны харж байгаагаар энэ томьёо нь хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олоход ашигладаг томъёотой маш төстэй юм. Баруун талын бүтэц нь зүгээр л адилхан бөгөөд зүүн талд бид өмнөх шигээ косинус биш харин синусыг хайж байна. За, нэг муухай үйлдэл нэмсэн - онгоцны тэгшитгэлийг хайх.

Хойшлуулахаа больё шийдлийн жишээ:

1. Гол-гэхдээ-ва-ни-эм шууд призм-бид-ядуутай-рэн-гурвалжин-хоч-чи-ба-тэр призм-бид тэнцүү. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол

2. Баруун талаас тэгш өнцөгт хэлбэртэй par-ral-le-le-pi-pe-de-д Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

4. Мэдэгдэж байгаа хавирганы ос-но-ва-ни-эм бүхий баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ-д Саарал өнгөтөөр дамжин өнгөрч буй булангийн, ob-ra-zo-van - хавтгай суурь ба шулуун, тэгш өнцөгтийг ол. хавирга ба

5. Оройтой зөв дөрвөлжин пи-ра-ми-дигийн бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Хэрэв цэг нь пи-ра-ми-дигийн ирмэгийн дунд байгаа бол шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

Дахин хэлэхэд би эхний хоёр асуудлыг нэг бүрчлэн, гурав дахь асуудлыг товч, харин сүүлийн хоёрыг та өөрөө шийдэхийг үлдээе. Үүнээс гадна, та аль хэдийн гурвалжин болон шийдвэрлэх хэрэгтэй болсон дөрвөлжин пирамидууд, гэхдээ призмтэй - хараахан биш.

Шийдэл:

1. Призм болон түүний суурийг дүрсэлцгээе. Үүнийг координатын системтэй нэгтгэж, асуудлын мэдэгдэлд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэе.

Пропорцийг дагаж мөрдөөгүйд хүлцэл өчье, гэхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ нь үнэндээ тийм ч чухал биш юм. Онгоц бол зүгээр л миний призмийн "арын хана" юм. Ийм хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэж таахад хангалттай.

Гэхдээ үүнийг шууд харуулж болно:

Энэ хавтгай дээрх дурын гурван цэгийг сонгоцгооё: жишээлбэл, .

Хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя:

Танд зориулсан дасгал: энэ тодорхойлогчийг өөрөө тооцоол. Та амжилтанд хүрсэн үү? Дараа нь онгоцны тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Эсвэл зүгээр л

Тиймээс,

Жишээг шийдэхийн тулд шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг олох хэрэгтэй. Цэг нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байгаа тул векторын координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай давхцах болно.

Үүнийг хийхийн тулд гурвалжинг анхаарч үзээрэй. Оройноос өндрийг (мөн медиан ба биссектрис гэж нэрлэдэг) зуръя. Учир нь цэгийн ординат нь тэнцүү байна. Энэ цэгийн абсциссыг олохын тулд сегментийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Пифагорын теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

Цэг нь "босгосон" цэг юм:

Дараа нь вектор координатууд нь:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд хэцүү зүйл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, призм гэх мэт дүрсийн "шулуун байдал" нь процессыг арай хялбаршуулдаг. Одоо дараагийн жишээ рүү шилжье:

2. Параллелепипед зурж, дотор нь хавтгай ба шулуун шугамыг зурж, мөн түүний доод суурийг тусад нь зур.

Эхлээд бид хавтгайн тэгшитгэлийг олно: Түүнд байрлах гурван цэгийн координатууд:

(эхний хоёр координатыг тодорхой аргаар олж авсан бөгөөд та хамгийн сүүлийн координатыг зурган дээрээс хялбархан олох боломжтой). Дараа нь бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид тооцоолно:

Бид чиглүүлэгч векторын координатыг хайж байна: Түүний координат нь тухайн цэгийн координаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна, тийм үү? Координатыг хэрхэн олох вэ? Эдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгийн дагуу нэгээр өргөгдсөн цэгийн координатууд юм! . Дараа нь бид хүссэн өнцгийг хайж байна:

Хариулт:

3. Ердийн зургаан өнцөгт пирамид зурж, дараа нь хавтгай ба шулуун шугамыг зур.

Энэ асуудлыг шийдэх нь битгий хэл онгоц зурах нь ч хэцүү байдаг, гэхдээ координатын арга нь хамаагүй! Түүний олон талт байдал нь түүний гол давуу тал юм!

Онгоц гурван цэгийг дайран өнгөрдөг: . Бид тэдгээрийн координатыг хайж байна:

1) . Сүүлийн хоёр цэгийн координатыг өөрөө олж мэдээрэй. Үүний тулд та зургаан өнцөгт пирамидын асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно!

2) Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Бид векторын координатыг хайж байна: . (Гурвалжин пирамидын асуудлыг дахин үзнэ үү!)

3) Өнцөг хайх:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар эдгээр ажилд ер бусын хэцүү зүйл байдаггүй. Та зүгээр л үндэстэй маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Би зөвхөн сүүлийн хоёр асуудалд хариулт өгөх болно:

Таны харж байгаагаар асуудлыг шийдэх техник нь хаа сайгүй ижил байдаг: гол ажил бол оройн координатыг олж, тэдгээрийг тодорхой томъёонд орлуулах явдал юм. Бид өнцгийг тооцоолох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй, тухайлбал:

Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох

Шийдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид эхний хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
2. Бусад гурван цэгийг ашиглан бид хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
3. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Таны харж байгаагаар томьёо нь өмнөх хоёр томьёотой маш төстэй бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар бид шулуун шугам, шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг хайсан. Тиймээс үүнийг санах нь танд хэцүү биш байх болно. Даалгавруудын дүн шинжилгээ рүү шилжье:

1. Баруун гурвалжин призмийн суурийн тал тэнцүү, хажуугийн нүүрний диагональ тэнцүү байна. Призмийн тэнхлэгийн хавтгай ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

2. Баруун дөрвөн өнцөгт пи-ра-ми-дэ, бүх ирмэг нь тэнцүү, хавтгай ба хавтгай ясны хоорондох өнцгийн синусыг ол per-pen-di-ku- цэгээр дамжин өнгөрнө. лай - гэхдээ шулуун.

3. Энгийн дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Ирмэг дээр цэг байдаг нь-me-che-on тийм болохоор. ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол

4. Баруун дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Цэгээс ирмэг дээр цэг байдаг тул хавтгай хоорондын өнцгийг олох ба.

5. Шоо дөрвөлжинд ба хавтгайнуудын хоорондох өнцгийн ко-си нусыг ол

Асуудлын шийдэл:

1. Би зөв зурсан (суурь дээр тэгш талт гурвалжин бий) гурвалжин призмАсуудлын мэдэгдэлд гарч ирэх онгоцуудыг тэмдэглэ.

Бид хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй: Суурийн тэгшитгэл нь өчүүхэн: та гурван цэгийг ашиглан харгалзах тодорхойлогчийг зохиож болно, гэхдээ би тэр даруй тэгшитгэлийг зохиох болно.

Одоо тэгшитгэлийг олцгооё Цэг нь координаттай Цэг - Гурвалжны дундаж ба өндөр нь гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан амархан олно. Дараа нь цэг нь координаттай байна: Цэгийн хэрэглээний хэсгийг олъё

Дараа нь бид дараах координатуудыг авна: Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолно.

Хариулт:

2. Зураг зурах:

Хамгийн хэцүү зүйл бол энэ цэгээр перпендикуляр дамждаг ямар нууцлаг онгоц болохыг ойлгох явдал юм. За, гол нь юу вэ? Хамгийн гол нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм! Үнэн хэрэгтээ шугам нь перпендикуляр юм. Шулуун шугам нь мөн перпендикуляр байна. Дараа нь эдгээр хоёр шугамыг дайран өнгөрөх онгоц нь шулуунтай перпендикуляр байх бөгөөд дашрамд хэлэхэд, цэгийг дайран өнгөрнө. Энэ онгоц мөн пирамидын оройгоор дамжин өнгөрдөг. Дараа нь хүссэн онгоц - Тэгээд онгоцыг бидэнд аль хэдийн өгсөн. Бид цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Бид цэгээр дамжин тухайн цэгийн координатыг олно. -аас жижиг зурагЦэгийн координатууд дараах байдалтай байх болно гэдгийг дүгнэхэд хялбар байдаг: Пирамидын оройн координатыг олохын тулд одоо юу олох вэ? Та мөн түүний өндрийг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг Пифагорын ижил теорем ашиглан хийдэг: эхлээд үүнийг нотлох (суурь дээр квадрат үүсгэдэг жижиг гурвалжнуудаас). Нөхцөлөөр бид:

Одоо бүх зүйл бэлэн боллоо: оройн координатууд:

Бид онгоцны тэгшитгэлийг бүтээдэг:

Та аль хэдийн тодорхойлогчийг тооцоолох мэргэжилтэн болсон. Та ямар ч хүндрэлгүйгээр хүлээн авах болно:

Эсвэл өөрөөр (хэрэв бид хоёр талыг хоёрын үндэсээр үржүүлбэл)

Одоо онгоцны тэгшитгэлийг олъё:

(Бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн олж авдагийг та мартаагүй байна, тийм ээ? Хэрэв та энэ хасах нь хаанаас гарсныг ойлгохгүй байгаа бол онгоцны тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу буцаж ор! Миний онгоц гарал үүслийнх байсан!)

Бид тодорхойлогчийг тооцоолно:

(Онцгойн тэгшитгэл нь цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлтэй давхцаж байгааг та анзаарч магадгүй! Яагаад гэдгийг бодоорой!)

Одоо өнцгийг тооцоолъё:

Бид синусыг олох хэрэгтэй:

Хариулт:

3. Залхуу асуулт: энэ юу вэ? тэгш өнцөгт призм, Та яаж бодож байна вэ? Энэ бол зүгээр л таны сайн мэдэх параллелепипед юм! Тэр даруй зураг зурцгаая! Энд та суурийг тусад нь дүрслэх шаардлагагүй;

Онгоцыг бид өмнө нь тэмдэглэснээр тэгшитгэл хэлбэрээр бичсэн болно.

Одоо онгоц бүтээцгээе

Бид нэн даруй онгоцны тэгшитгэлийг үүсгэнэ.

Өнцөг хайж байна:

Одоо сүүлийн хоёр асуудлын хариултууд:

За, одоо жаахан завсарлага авах цаг нь болсон, учир нь та бид хоёр гайхалтай бөгөөд маш сайн ажил хийсэн!

Координат ба векторууд. Ахисан түвшний

Энэ нийтлэлд бид тантай координатын аргыг ашиглан шийдэж болох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх болно: зайны тооцооллын асуудлууд. Тухайлбал, бид дараах тохиолдлуудыг авч үзэх болно.

1. огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох.

Би эдгээр даалгаврыг улам хүндрүүлэхийн тулд захиалсан. Энэ нь олоход хамгийн хялбар юм цэгээс хавтгай хүртэлх зай, хамгийн хэцүү зүйл бол олох явдал юм огтлолцох шугам хоорондын зай. Хэдийгээр мэдээжийн хэрэг боломжгүй зүйл гэж байдаггүй! Хойшлуулахгүй, нэн даруй эхний ангиллын асуудлыг авч үзье.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Цэгийн координат

Тиймээс, шаардлагатай бүх өгөгдлийг хүлээн авмагц бид дараах томъёог хэрэглэнэ.

Бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн яаж байгуулдгийг та аль хэдийн мэдэж байх ёстой өмнөх ажлууд, би сүүлийн хэсэгт хэлэлцсэн. Даалгаврууддаа шууд орцгооё. Схем нь дараах байдалтай байна: 1, 2 - Би танд шийдвэр гаргахад тусална, зарим талаараа 3, 4 - зөвхөн хариулт, та шийдлийг өөрөө хийж, харьцуулна. Эхэлцгээе!

Даалгаварууд:

1. Шоо өгөгдсөн. Кубын ирмэгийн урт нь тэнцүү байна. Се-ре-ди-нагаас зүсэлтээс хавтгай хүртэлх зайг ол

2. Баруун дөрвөн нүүрсний pi-ra-mi-yes өгөгдсөн бол хажуугийн тал нь суурьтай тэнцүү байна. Се-re-di-on ирмэг дээр байгаа цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

3. Ос-но-ва-ни-эмтэй баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү, os-no-vania-н зуун-ро-он нь тэнцүү байна. Дээд талаас хавтгай хүртэлх зайг ол.

4. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Нэг ирмэгтэй шоо зурж, хэрчим ба хавтгайг барьж, сегментийн дунд хэсгийг үсгээр тэмдэглэ.

.

Эхлээд энгийн зүйлээс эхэлье: цэгийн координатыг олоорой. Түүнээс хойш (сегментийн дунд хэсгийн координатыг санаарай!)

Одоо бид гурван цэгийг ашиглан онгоцны тэгшитгэлийг зохио

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(массив)) \баруун| = 0\]

Одоо би зайг хайж эхэлж болно:

2. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн зургаар дахин эхэлдэг!

Пирамидын хувьд түүний суурийг тусад нь зурах нь ашигтай байх болно.

Би сарвуугаараа тахиа шиг зурсан нь ч энэ асуудлыг хялбархан шийдвэрлэхэд саад болохгүй!

Одоо цэгийн координатыг олоход хялбар боллоо

Тухайн цэгийн координатаас хойш

2. a цэгийн координатууд нь хэрчмийн дунд байдаг тул

Ямар ч асуудалгүйгээр бид хавтгай дээрх хоёр цэгийн координатыг олж болно.

\[\зүүн| (\left| (\begin(массив)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\төгсгөл(массив)) \баруун|) \баруун| = 0\]

Цэг нь координаттай тул зайг тооцоолно:

Хариулт (маш ховор!):

За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Миний бодлоор энд бүх зүйл өмнөх хэсэгт авч үзсэн жишээнүүдийн адил техникийн шинж чанартай юм шиг санагдаж байна. Тиймээс хэрэв та тэр материалыг эзэмшсэн бол үлдсэн хоёр асуудлыг шийдэхэд танд хэцүү байх болно гэдэгт би итгэлтэй байна. Би танд зөвхөн хариултуудыг өгөх болно:

Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга. Шулуун ба хавтгай хоёрыг бие биенээсээ хэрхэн байрлуулах вэ? Тэд огтлолцох, эсвэл шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байх цорын ганц боломж юм. Шулуун шугамаас энэ шулуун огтлолцох хавтгай хүртэлх зай ямар байх ёстой гэж та бодож байна вэ? Ийм зай тэгтэй тэнцүү байх нь энд ойлгомжтой юм шиг надад санагдаж байна. Сонирхолтой тохиолдол биш.

Хоёр дахь тохиолдол нь илүү төвөгтэй юм: энд зай аль хэдийн тэг биш байна. Гэсэн хэдий ч шугам нь хавтгайтай параллель байх тул шугамын цэг бүр энэ хавтгайгаас ижил зайд байна.

Тиймээс:

Энэ нь миний даалгавар өмнөх ажил руу буурсан гэсэн үг юм: бид шулуун шугамын аль ч цэгийн координатыг хайж, хавтгайн тэгшитгэлийг хайж, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолж байна. Үнэн хэрэгтээ Улсын нэгдсэн шалгалтад ийм даалгавар маш ховор байдаг. Би зөвхөн нэг асуудлыг олж чадсан бөгөөд үүн доторх өгөгдөл нь координатын арга нь тийм ч тохиромжтой биш байсан!

Одоо өөр зүйл рүү, илүү их зүйл рүү шилжье чухал ангидаалгавар:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолох

Бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Бидний зайг хайж буй цэгийн координатууд:

2. Шулуун дээр байрлах аливаа цэгийн координат

3. Шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатууд

Бид ямар томъёог ашигладаг вэ?

Энэ бутархайн хуваагч нь юу гэсэн үг вэ гэдэг нь танд ойлгомжтой байх ёстой: энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх векторын урт юм. Энэ бол маш төвөгтэй тоологч юм! Илэрхийлэл нь векторуудын вектор үржвэрийн модуль (урт) гэсэн үг бөгөөд вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох талаар бид ажлын өмнөх хэсэгт судалсан. Мэдлэгээ сэргээ, бидэнд одоо маш их хэрэгтэй болно!

Тиймээс асуудлыг шийдэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Бид зайг хайж буй цэгийн координатыг хайж байна:

2. Бид зайг хайж буй шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг хайж байна.

3. Векторыг байгуул

4. Шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг байгуул

5. Вектор үржвэрийг тооцоол

6. Бид үүссэн векторын уртыг хайна:

7. Зайг тооцоол:

Бидэнд хийх ажил их байгаа бөгөөд жишээнүүд нь нэлээд төвөгтэй байх болно! Тиймээс одоо бүх анхаарлаа төвлөрүүл!

1. Дээд тал нь зөв гурвалжин пи-ра-ми-да өгөгдсөн. Пи-ра-ми-ды үндсэн дээр зуун-ро- тэнцүү байна, та тэнцүү байна. Саарал ирмэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг олох ба энд цэгүүд нь саарал ирмэг ба мал эмнэлгийн цэг юм.

2. Ирмэгүүдийн урт ба шулуун өнцгийн-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da нь тэнцүү бөгөөд дээд талаас шулуун шугам хүртэлх зайг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү, цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн цэвэрхэн зураг зурдаг.

Бидэнд хийх ажил их байна! Юуны өмнө би юуг эрэлхийлж, ямар дарааллаар эрэлхийлэхээ үгээр тайлбарлахыг хүсч байна.

1. Цэгүүдийн координат ба

2. Цэгийн координат

3. Цэгүүдийн координат ба

4. Векторуудын координат ба

5. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүн

6. Векторын урт

7. Вектор үржвэрийн урт

8. хүртэлх зай

За, биднийг маш их ажил хүлээж байна! Ханцуй шамлан орцгооё!

1. Пирамидын өндрийн координатыг олохын тулд цэгийн координат нь тэгтэй тэнцүү, ординат нь түүний абсциссатай тэнцүү байна тэгш талт гурвалжны өндрийг оройноос эхлэн тоолох харьцаанд хуваана. Эцэст нь бид координатуудыг олж авлаа:

Цэгийн координат

2. - сегментийн дунд хэсэг

3. - сегментийн дунд хэсэг

Сегментийн дунд цэг

4. Координат

Вектор координат

5. Вектор үржвэрийг тооцоол:

6. Векторын урт: солих хамгийн хялбар арга бол сегмент нь гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь суурийн хагастай тэнцүү гэсэн үг юм. Тэгэхээр.

7. Вектор үржвэрийн уртыг тооцоол.

8. Эцэст нь бид зайг олно:

Өө, тэгээд л болоо! Би танд шударгаар хэлье: уламжлалт аргаар (барилга угсралтын замаар) энэ асуудлыг шийдэх нь илүү хурдан байх болно. Гэхдээ энд би бүх зүйлийг бэлэн алгоритм болгон бууруулсан! Шийдлийн алгоритм танд ойлгомжтой гэж бодож байна уу? Тиймээс үлдсэн хоёр асуудлаа өөрсдөө шийдээч гэж хэлье. Хариултуудыг харьцуулж үзье?

Дахин хэлэхэд би давтан хэлье: эдгээр асуудлыг шийдэхээс илүүтэйгээр барилга байгууламжаар дамжуулан шийдвэрлэх нь илүү хялбар (илүү хурдан) юм. координатын арга. Би зөвхөн "юу ч барьж дуусгахгүй" гэсэн бүх нийтийн аргыг харуулахын тулд энэхүү шийдлийн аргыг харуулсан.

Эцэст нь, асуудлын сүүлийн ангиллыг авч үзье.

огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох

Энд асуудлыг шийдэх алгоритм нь өмнөхтэй төстэй байх болно. Бидэнд байгаа зүйл:

3. Нэг ба хоёрдугаар шугамын цэгүүдийг холбосон дурын вектор:

Шугам хоорондын зайг хэрхэн олох вэ?

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тоолуур нь холимог үржвэрийн модуль (бид өмнөх хэсэгт танилцуулсан), хуваагч нь өмнөх томьёоны адил (шулуун шугамын чиглэлийн векторуудын вектор үржвэрийн модуль, тэдгээрийн хоорондох зай) юм. хайж байна).

Би танд сануулъя

Дараа нь зайны томъёог дахин бичиж болно:

Энэ нь тодорхойлогчоор хуваагдсан тодорхойлогч юм! Үнэнийг хэлэхэд надад энд хошигнох цаг алга! Энэ томъёо, үнэн хэрэгтээ, маш төвөгтэй бөгөөд нэлээд хүргэдэг нарийн төвөгтэй тооцоолол. Хэрэв би чиний оронд байсан бол эцсийн арга хэмжээ болгон л үүнийг хийх байсан!

Дээрх аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

1. Бүх ирмэг нь тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин призмд ба шулуунуудын хоорондох зайг ол.

2. Тэгш өнцөгт гурвалжин призм өгвөл суурийн бүх ирмэгүүд нь биеийн хавиргаар дамжин өнгөрөх хэсэгтэй тэнцүү бөгөөд се-ре-ди-худаг хавирга нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна. ба шулуун шугамын хоорондох зайг ол

Би эхнийхийг нь шийднэ, үүний үндсэн дээр та хоёрыг шийднэ!

1. Би призм зурж, шулуун ба тэмдэглэнэ

С цэгийн координат: тэгвэл

Цэгийн координат

Вектор координат

Цэгийн координат

Вектор координат

Вектор координат

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(массив)(*(20)(l))(\begin(массив)(*(20)(c))0&1&0\төгсгөл(массив))\\(\begin(массив)(*(20) (c))0&0&1\төгсгөл(массив))\\(\эхлэх(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\төгсгөл(массив))\төгс(массив)) \баруун| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Бид векторуудын хоорондох вектор үржвэрийг тооцоолно

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(массив)(l)\begin(массив)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(массив)\\\begin(массив) )(*(20)(c))0&0&1\төгсгөл(массив)\\\begin(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\төгсгөл(массив)\төгс(массив) \баруун| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Одоо бид түүний уртыг тооцоолно:

Хариулт:

Одоо хоёр дахь даалгавраа анхааралтай хийж үзээрэй. Үүний хариулт нь: .

Координат ба векторууд. Товч тайлбар ба үндсэн томъёо

Вектор нь чиглэсэн сегмент юм. - векторын эхлэл, - векторын төгсгөл.
Векторыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Үнэмлэхүй үнэ цэнэвектор - векторыг илэрхийлэх сегментийн урт. гэж тэмдэглэсэн.

Вектор координатууд:

,
векторын төгсгөлүүд хаана байна \displaystyle a .

Векторуудын нийлбэр: .

Векторуудын бүтээгдэхүүн:

Векторуудын цэгийн үржвэр: