Бутархай шугаман функцийг хэрхэн графикаар зурах вэ. Хичээл “Бутархай шугаман функц ба түүний график

Энд коэффициентүүд байна XТэгээд чөлөөт гишүүдтоологч ба хуваарьт - өгөгдсөн бодит тоо. Бутархай шугаман функцийн график ерөнхий тохиолдолбайна гипербол.

Хамгийн энгийн бутархай шугаман функц у = -Та-

ажил хаялт урвуу пропорциональ хамаарал ; түүнийг илэрхийлэх гиперболыг курсээс сайн мэддэг ахлах сургууль(Зураг 5.5).

Цагаан будаа. 5.5

Жишээ. 5.3

Шугаман бутархай функцийн графикийг зур:

• 1. Энэ бутархай хэзээ нь утгагүй тул x = 3, Тэр X функцийн домэйнхоёр хязгааргүй интервалаас бүрдэнэ:
• 3) ба (3; +°°).

2. Тодорхойлолтын мужын зааг дээрх функцийн зан төлөвийг судлахын тулд (жишээ нь. X-»3 ба цагт X-> ±°°), хөрвүүлэх нь ашигтай энэ илэрхийлэлдараах хоёр нөхцлийн нийлбэрээр:

Эхний гишүүн нь тогтмол байдаг тул хил дээрх функцийн зан төлөв нь хоёр дахь хувьсах гишүүнээр тодорхойлогддог. Түүний өөрчлөлтийн үйл явцыг судалж үзээд, хэзээ X->3 ба X->±°°, бид тэгдэг дараах дүгнэлтхарьцангуй өгөгдсөн функц:

• a) x->3-ийн хувьд зөв(жишээ нь *>3 хувьд) функцийн утга хязгааргүй нэмэгддэг: цагт-> +°°: x->3-т зүүн(жишээ нь x y үед - Тиймээс хүссэн гипербол нь x = 3 тэгшитгэлтэй шулуун шугамд хязгааргүй ойртоно. (зүүн доодТэгээд баруун дээд)Тиймээс энэ шулуун шугам байна босоо асимптотгипербол;
• б) цагт x ->±°° хоёр дахь гишүүн хязгааргүй буурдаг тул функцийн утга нь эхний тогтмол гишүүнд хязгааргүй ойртдог, өөрөөр хэлбэл. үнэлэх у = 2. Энэ тохиолдолд функцийн график хязгааргүй ойртоно (зүүн доод ба баруун дээд) тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам руу у = 2; Тиймээс энэ шугам байна хэвтээ асимптотгипербол.

Сэтгэгдэл.Энэ хэсэгт олж авсан мэдээлэл нь хавтгайн алслагдсан хэсэгт байрлах функцийн графикийн үйл ажиллагааг тодорхойлоход хамгийн чухал юм (дүрслэлээр хэлбэл, хязгааргүйд).

• 3. l = 0 гэж үзвэл бид олно у = ~.Тиймээс хүссэн hy-

пербола тэнхлэгийг огтолж байна Өөцэг дээр М х = (0;-^).

• 4. Функц тэг ( цагт= 0) байх болно X= -2; тиймээс энэ гипербол тэнхлэгийг огтолж байна Өөцэг дээр M 2 (-2; 0).
• 5. Тоологч ба хуваагч ижил тэмдэгтэй бол бутархай эерэг, өөр өөр тэмдэгтэй бол сөрөг байна. Харгалзах тэгш бус байдлын системийг шийдэж, функц нь хоёр эерэг интервалтай болохыг олж мэдэв: (-°°; -2) ба (3; +°°) ба нэг сөрөг интервал: (-2; 3).
• 6. Функцийг хоёр гишүүний нийлбэрээр дүрслэх нь (2-р зүйлийг үз) буурах хоёр интервалыг илрүүлэхэд хялбар болгодог: (-°°; 3) ба (3; +°°).
• 7. Энэ функцэд хэт туйлшрал байхгүй нь ойлгомжтой.
• 8. Энэ функцийн утгуудын Y-г тохируулна уу: (-°°; 2) ба (2; +°°).
• 9. Мөн тэгш, сондгой, үе үе гэж байдаггүй. Мэдээлэл цуглуулсанхангалттай схемийн хувьд

гиперболыг дүрслэх графикаарэнэ функцийн шинж чанарыг тусгасан (Зураг 5.6).

Цагаан будаа. 5.6

Энэ хүртэл хэлэлцсэн функцуудыг дууддаг алгебрийн.Одоо авч үзэхийн тулд үргэлжлүүлье трансценденталфункцууд.

Хотын захиргаа боловсролын байгууллага

"Дундаж дунд сургууль№24"

Асуудалтай - хийсвэр ажил

алгебр ба шинжилгээний зарчмуудын талаар

Бутархай рационал функцүүдийн графикууд

11-р ангийн сурагчид А Наталья Сергеевна Товчегречко ажлын удирдагч Валентина Васильевна Паршева математикийн багш, дээд боловсролын багш мэргэшлийн ангилал

Северодвинск

Танилцуулга

Н.А. Вирченко, I.I. Ляшко, К.И. Швецов. Лавлах. Функцийн графикууд. Киев "Наукова Думка" 1979 В.С. Крамор. Дахин давтаж, системчил сургуулийн курсалгебр ба шинжилгээний эхлэл. Москва “Гэгээрэл” 1990 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебр - 8-р анги. Нэмэлт бүлгүүд сургуулийн сурах бичиг. Москва "Гэгээрэл", 1998 И.М. Гельфанд, Э.Г. Глаголева, Е.Е. Шнол. Функц ба график (үндсэн техник). MCNMO хэвлэлийн газар, Москва 2004 S.M. Никольский. М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, A.V. Шевкин. Алгебр ба анализын эхлэл: 11-р ангийн сурах бичиг.
Би графикуудыг харсан нарийн төвөгтэй функцууддериватив ашиглахгүйгээр бүтээж болно, i.e. энгийн аргаар. Тиймээс би эссенийхээ сэдвийг "Бутархай рационал функцүүдийн график" сонгосон.

Үндсэн хэсэг. Бутархай рационал функцүүдийн графикууд

1. Бутархай - шугаман функц ба түүний график

Цагаан будаа. 1

.

Энэ томьёоны баруун талд байгаа илэрхийлэлийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлье.

Энэ нь 2-р зурагт томъёогоор өгөгдсөн функцийн графикийг харуулсан гэсэн үг юм

.

Энэ бутархай нь х-тэй харьцуулахад шугаман хоёр гишүүн болох тоологч ба хуваагчтай. Ийм функцийг бутархай шугаман функц гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө функц томъёогоор өгөгдсөнтөрлийн
, Хаана
x нь хувьсагч, a,

.

Хэрэв bc-ad=0, с≠0, энэ тэгшитгэлээс b-г a, c, d-ээр илэрхийлээд томьёонд орлуулбал:

Тиймээс, эхний тохиолдолд бид шугаман функцийг авсан ерөнхий үзэл
, хоёр дахь тохиолдолд - тогтмол
. Одоо шугаман бутархай функцийг маягтын томьёогоор өгөгдсөн бол хэрхэн зурахыг үзүүлье
Жишээ 2.Функцийн графикийг зурцгаая
, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр танилцуулъя
: бид бутархайн бүх хэсгийг сонгоод, тоологчийг хуваагчаар хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

Тэгэхээр,
. Энэ функцийн графикийг y=5/x функцийн графикаас хоёр дараалсан шилжилтийг ашиглан олж авч болно: y=5/x гиперболыг баруун тийш 3 нэгжээр шилжүүлж, дараа нь үүссэн гиперболыг шилжүүлнэ.
2 нэгжээр дээшлэх Эдгээр шилжилтийн үед y = 5/x гиперболын асимптотууд бас хөдөлнө: x тэнхлэг 2 нэгж дээш, y тэнхлэг баруун тийш 3 нэгж. График байгуулахын тулд координатын хавтгайд асимптотуудыг тасархай шугамаар зурна: шулуун шугам y=2, шулуун шугам x=3. Гипербола нь хоёр салбараас бүрддэг тул тус бүрийг байгуулахын тулд бид хоёр хүснэгтийг зохиоё: нэг нь x-д зориулагдсан.<3, а другую для x>3 (өөрөөр хэлбэл, эхнийх нь асимптотуудын огтлолцох цэгийн зүүн талд, хоёр дахь нь баруун талд байна):

Би ямар ч бутархайд дуртай
ижил төстэй байдлаар бичиж, түүний хэсгийг бүхэлд нь тодруулж болно. Иймээс бүх бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь янз бүрийн аргаар зэрэгцээ шилжсэн гиперболууд юм. координатын тэнхлэгүүдба Ой тэнхлэгийн дагуу сунасан.

Жишээ 3.

Функцийн графикийг зурцгаая
.График нь гипербол гэдгийг бид мэдэж байгаа тул түүний салбарууд (ассимптотууд) ойртож буй шулуун шугамууд болон өөр хэдэн цэгийг олоход хангалттай. Эхлээд босоо асимптотыг олъё. 2x+2=0 байхад функц тодорхойлогдоогүй, өөрөөр хэлбэл. x=-1 үед. Тиймээс босоо асимптот нь x = -1 шулуун шугам юм. Хэвтээ асимптотыг олохын тулд аргумент нэмэгдэхэд функцийн утга ямар ойртож байгааг харах хэрэгтэй. үнэмлэхүй үнэ цэнэ), бутархайн хүртэгч ба хуваагч дахь хоёр дахь гишүүн
харьцангуй бага. Тийм ч учраас

.

Тиймээс, хэвтээ асимптот– шулуун шугам y=3/2. Гиперболынхоо координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлъё. x=0 үед бид y=5/2 байна. 3x+5=0 үед функц нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. x=-5/3 дээр (-5/3;0) ба (0;5/2) цэгүүдийг тэмдэглэж, олсон хэвтээ ба зурах. босоо асимптотууд, график байгуулъя (Зураг 4).

Ерөнхийдөө хэвтээ асимптотыг олохын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах шаардлагатай бөгөөд y=3/2+1/(x+1), y=3/2 нь хэвтээ асимптот болно.

2. Бутархай рационал функц

,

Үүнд тоологч ба хуваагч нь n-р ба олон гишүүнт байна mth зэрэг. Бутархайг зөв бутархай болгоё (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы хязгаарлагдмал тоо Q(x) бутархайн хуваагчийг бодит хүчин зүйлийн үржвэрт задлан хэлбэрийг нь тодорхойлох энгийн бутархай: Хэрэв:

Энд k 1 ... k s нь Q (x) олон гишүүнтийн үндэс бөгөөд m 1 ... m s үржвэртэй, гурвалсан гишүүн нь хосолсон хосуудтай тохирч байна. нарийн төвөгтэй үндэс Q (x) олон талт m 1 ... m t хэлбэрийн бутархай

Дуудсан анхан шатны рационал бутархай эхний, хоёр, гурав, дөрөв дэх төрөл. Энд A, B, C, k нь бодит тоонууд; m ба m - натурал тоо, m, m>1; x 2 +px+q бодит коэффиценттэй гурвалсан тоо нь төсөөлөлтэй язгууртай байх нь ойлгомжтой. Функцийн график

Бид 1/x m (m~1, 2, ...) функцийн графикаас олж авна зэрэгцээ шилжүүлэгх тэнхлэгийн дагуу баруун тийш │k│ масштабын нэгжээр. Маягтын функцийн график

Хэрэв та хуваагчийг сонговол бүтээхэд хялбар болно төгс дөрвөлжин, дараа нь 1/x 2 функцийн графикийн харгалзах хэлбэрийг гүйцэтгэнэ. Функцийн график дүрслэх

Энэ нь хоёр функцийн графикийн үржвэрийг бүтээхэд хүргэдэг.

y= Bx+ CТэгээд

Хаана a d-b c 0 ,
,

хаана n - натурал тоо, гүйцэтгэх боломжтой ерөнхий схемфункцийг судлах, заримд нь график зурах тодорхой жишээнүүдта тохирох график хувиргалтыг хийснээр графикийг амжилттай барьж чадна; хамгийн сайн аргааргуудыг өгнө дээд математик. Жишээ 1.Функцийн график зур

.

Бүхэл бүтэн хэсгийг нь тусгаарласны дараа бид байна

.

Бутархай
Үүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлье.

.

Функцийн графикуудыг байгуулъя:

Эдгээр графикуудыг нэмсний дараа бид өгөгдсөн функцийн графикийг олж авна.

Зураг 6, 7, 8-д функцийн график байгуулах жишээг үзүүлэв
Тэгээд
. Жишээ 2.Функцийн график дүрслэх
:

(1);
(2);
(3); (4)

(1);
(2);
(3); (4)

Дүгнэлт

Хаана n

Эдгээр функцүүдийн график зурах алгоритмыг бүтээсэн;

Функцуудыг зурах талаар туршлага хуримтлуулсан, тухайлбал:

;

Нэмэлт уран зохиол, материалтай ажиллах, шинжлэх ухааны мэдээлэл сонгох - Би компьютер дээр график ажил гүйцэтгэх туршлага олж авсан;

Тэмдэглэл. 21-р зууны босгон дээр бид мэдээллийн хурдны зам, технологийн эрин үеийн тухай эцэс төгсгөлгүй яриа, таамаглалаар бөмбөгдөж байсан.

21-р зууны босгон дээр бид мэдээллийн хурдны зам, технологийн эрин үеийн тухай эцэс төгсгөлгүй яриа, таамаглалаар бөмбөгдөж байсан.

1. Бутархай шугаман функц ба түүний график

P(x) ба Q(x) нь олон гишүүнт байх y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн функцийг бутархай рационал функц гэнэ.

Та рационал тооны тухай ойлголтыг аль хэдийн мэддэг болсон байх. Үүний нэгэн адил оновчтой функцууднь хоёр олон гишүүнтийн категори хэлбэрээр илэрхийлэгдэх функцууд юм.

Хэрэв бутархай рационал функц нь хоёр шугаман функцийн категори юм - нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн функц

y = (ax + b) / (cx + d), тэгвэл үүнийг бутархай шугаман гэж нэрлэдэг.

y = (ax + b) / (cx + d) функцэд c ≠ 0 (эсвэл функц шугаман y = ax/d + b/d болно) ба a/c ≠ b/d (өөрөөр бол функц тогтмол). Шугаман бутархай функц нь x = -d/c-ээс бусад бүх бодит тоонуудад тодорхойлогддог. Бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь таны мэдэх y = 1/x графикаас хэлбэрийн хувьд ялгаатай биш юм. y = 1/x функцийн график болох муруйг нэрлэнэ гипербол. Үнэмлэхүй утгаараа х хязгааргүй өсөхөд y = 1/x функц нь үнэмлэхүй утгаараа хязгааргүй буурч, графикийн хоёр салаа абсцисс руу ойртоно: баруун нь дээрээс, зүүн нь доороос ойртоно. Гиперболын мөчрүүд ойртож буй мөрүүдийг түүний гэж нэрлэдэг асимптотууд.

Жишээ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Шийдэл.

Бүх хэсгийг сонгоцгооё: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Одоо энэ функцын графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж авах нь хялбар юм: баруун тийш 3 нэгж сегментээр шилжих, Ой тэнхлэгийн дагуу 7 дахин сунах, 2-оор шилжих. нэгж сегментүүд дээшээ.

Аливаа бутархай y = (ax + b) / (cx + d) ижил төстэй байдлаар бичиж, "бүхэл хэсэг" -ийг тодруулж болно. Үүний үр дүнд бүх бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь координатын тэнхлэгийн дагуу янз бүрийн аргаар шилжиж, Ой тэнхлэгийн дагуу сунасан гиперболууд юм.

Дурын бутархай шугаман функцийн графикийг байгуулахын тулд энэ функцийг тодорхойлсон бутархайг хувиргах шаардлагагүй. График нь гипербол гэдгийг бид мэдэж байгаа тул түүний салбарууд ойртож буй шулуун шугамуудыг олоход хангалттай байх болно - гиперболын асимптотууд x = -d/c ба y = a/c.

Жишээ 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

Шийдэл.

Х = -1 үед функц тодорхойлогдоогүй байна. Энэ нь x = -1 шулуун шугам нь босоо асимптотын үүрэг гүйцэтгэдэг гэсэн үг юм. Хэвтээ асимптотыг олохын тулд аргумент х үнэмлэхүй утгаараа нэмэгдэхэд y(x) функцын утгууд ямар утгатай болохыг олж мэдье.

Үүнийг хийхийн тулд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг х-д хуваана.

у = (3 + 5/х) / (2 + 2/х).

x → ∞ хувьд бутархай нь 3/2 байх хандлагатай байна. Энэ нь хэвтээ асимптот нь шулуун шугам y = 3/2 гэсэн үг юм.

Жишээ 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Бутархайн "бүхэл хэсгийг" сонгоно уу:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Одоо энэ функцийн графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж болохыг хялбархан харж болно: зүүн тийш 1 нэгжээр шилжих, Ox-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дэлгэц, Ой тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж сегмент.

Domain D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Утгын хүрээ E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: c Oy: (0; 1); c Үхэр: (-1/2; 0). Функц нь тодорхойлолтын домэйны интервал бүрт нэмэгддэг.

Хариулт: Зураг 1.

2. Бутархай рационал функц

y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн бутархай рационал функцийг авч үзье, P(x) ба Q(x) нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтүүд юм.

Ийм оновчтой функцүүдийн жишээ:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) эсвэл y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Хэрэв y = P(x) / Q(x) функц нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй хоёр олон гишүүнтийн хуваалтыг илэрхийлж байвал түүний график нь дүрмээр илүү төвөгтэй байх бөгөөд заримдаа үүнийг үнэн зөв байгуулахад хэцүү байдаг. , бүх нарийн ширийн зүйлсийн хамт. Гэсэн хэдий ч, бидний дээр дурдсантай ижил төстэй техникийг ашиглах нь ихэвчлэн хангалттай байдаг.

Бутархайг зөв бутархай болгоё (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Мэдээжийн хэрэг, бутархай рационал функцийн графикийг энгийн бутархайн графикуудын нийлбэр хэлбэрээр авч болно.

Бутархай рационал функцүүдийн график зурах

Бутархай рационал функцийн график байгуулах хэд хэдэн аргыг авч үзье.

Жишээ 4.

y = 1/x 2 функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Бид y = x 2 функцийн графикийг ашиглан y = 1/x 2-ын графикийг байгуулж, графикуудыг "хуваах" аргыг ашигладаг.

Домэйн D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Утгын хүрээ E(y) = (0; +∞).

Тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй. Функц нь жигд байна. Бүх x-ийн хувьд (-∞; 0) интервалаас өснө, x-ийн хувьд 0-ээс +∞ хүртэл буурна.

Хариулт: Зураг 2.

Жишээ 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Домэйн D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Энд бид хүчин зүйлчлэл, бууралт, бууралтын аргыг шугаман функц болгон ашигласан.

Хариулт: Зураг 3.

Жишээ 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Тодорхойлолтын муж нь D(y) = R. Функц нь тэгш байх тул график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. График бүтээхээсээ өмнө илэрхийллийг дахин хувиргаж, бүх хэсгийг нь тодруулцгаая.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Бутархай рационал функцийн томьёо дахь бүхэл тоог тусгаарлах нь график байгуулахад хийх гол ажлуудын нэг гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв x → ±∞ бол y → 1, i.e. y = 1 шулуун шугам нь хэвтээ асимптот юм.

Хариулт: Зураг 4.

Жишээ 7.

y = x/(x 2 + 1) функцийг авч үзээд түүний хамгийн том утгыг үнэн зөв олохыг хичээцгээе. графикийн баруун тал дахь хамгийн өндөр цэг. Энэ графикийг үнэн зөв бүтээхийн тулд өнөөдрийн мэдлэг хангалттай биш байна. Мэдээжийн хэрэг, бидний муруй тийм ч өндөр "өсөх" боломжгүй, учир нь хуваагч нь тоологчийг хурдан "гүйцэж" эхэлдэг. Функцийн утга 1-тэй тэнцүү байж болох эсэхийг харцгаая.Үүний тулд x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Энэ тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Энэ нь бидний таамаг буруу байна гэсэн үг. Функцийн хамгийн том утгыг олохын тулд A = x/(x 2 + 1) тэгшитгэл аль хамгийн том А үед шийдтэй болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Анхны тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэлээр орлуулъя: Ax 2 – x + A = 0. Энэ тэгшитгэл нь 1 – 4A 2 ≥ 0 үед шийдэлтэй байна. Эндээс бид хамгийн том утгыг A = 1/2 олно.

Хариулт: Зураг 5, max y(x) = ½.

Асуулт хэвээр байна уу? Функцуудыг хэрхэн графиклахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энэ хичээлээр бид бутархай шугаман функцийг авч үзэх, бутархай шугаман функц, модуль, параметрийг ашиглан асуудлыг шийдэх болно.

Сэдэв: Давталт

Хичээл: Бутархай шугаман функц

Тодорхойлолт:

Маягтын функц:

Жишээ нь:

Энэ шугаман бутархай функцийн график нь гипербол гэдгийг баталъя.

Тоолуур дахь хаалтанд байгаа хоёрыг гаргаж аваад дараахийг авъя:

Бид тоологч болон хуваагч хоёуланд нь x байна. Одоо бид илэрхийлэл тоологч дээр гарч ирэхийн тулд хувиргаж байна:

Одоо бутархай гишүүнийг гишүүнээр нь багасгая:

Мэдээжийн хэрэг, энэ функцийн график нь гипербол юм.

Бид нотлох хоёр дахь аргыг санал болгож болно, тухайлбал тоологчийг баганад хуваагчаар хуваана:

Хүлээн авсан:

Шугаман бутархай функцийн графикийг хялбархан бүтээх, ялангуяа гиперболын тэгш хэмийн төвийг олох нь чухал юм. Асуудлыг шийдье.

Жишээ 1 - функцийн графикийг зурах:

Бид энэ функцийг аль хэдийн хөрвүүлсэн бөгөөд дараахыг авсан:

Энэ графикийг байгуулахын тулд бид тэнхлэгүүд эсвэл гиперболыг өөрөө шилжүүлэхгүй. Бид тогтмол тэмдгийн интервал байгаа эсэхийг ашиглан функцийн график байгуулах стандарт аргыг ашигладаг.

Бид алгоритмын дагуу ажилладаг. Эхлээд өгөгдсөн функцийг авч үзье.

Тиймээс бид тогтмол тэмдгийн гурван интервалтай байна: баруун талд () функц нь нэмэх тэмдэгтэй, дараа нь бүх үндэс нь эхний зэрэгтэй тул тэмдгүүд нь ээлжлэн солигдоно. Тэгэхээр интервал дээр функц сөрөг, интервал дээр функц эерэг байна.

Бид ODZ-ийн үндэс ба хугарлын цэгүүдийн ойролцоо графикийн ноорог зурдаг. Бидэнд: нэг цэг дээр функцийн тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг тул муруй нь эхлээд тэнхлэгээс дээш, дараа нь тэгээр дамжин өнгөрч, дараа нь x тэнхлэгийн доор байрлана. Бутархайн хуваагч бараг тэгтэй тэнцүү байвал аргументийн утга гурав руу чиглэх үед бутархайн утга хязгааргүйд хүрнэ гэсэн үг. Энэ тохиолдолд аргумент зүүн талын гурвалсанд ойртох үед функц нь сөрөг бөгөөд хасах хязгааргүй байх хандлагатай, баруун талд функц эерэг бөгөөд төгсгөлгүй дээр нэмэх нь үлдээдэг.

Одоо бид хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоо функцийн графикийн ноорог зурж байна, өөрөөр хэлбэл. аргумент нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед. Энэ тохиолдолд байнгын нэр томъёог үл тоомсорлож болно. Бидэнд:

Тиймээс бид хэвтээ асимптот ба босоо нэгтэй, гиперболын төв нь (3;2) цэг юм. Дүрслэн үзүүлье:

Цагаан будаа. 1. Гиперболын график жишээ нь 1

Бутархай шугаман функцтэй холбоотой асуудлууд нь модуль эсвэл параметр байгаа тул төвөгтэй байж болно. Жишээлбэл, функцийн графикийг бүтээхийн тулд та дараах алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой.

Цагаан будаа. 2. Алгоритмд зориулсан дүрслэл

Үүссэн график нь х тэнхлэгээс дээш, х тэнхлэгээс доош байрлах салбаруудтай.

1. Заасан модулийг хэрэглээрэй. Энэ тохиолдолд х тэнхлэгээс дээш байрлах графикийн хэсгүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх бөгөөд тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь х тэнхлэгтэй харьцуулахад толин тусгал болно. Бид авах:

Цагаан будаа. 3. Алгоритмд зориулсан зураг

Жишээ 2 - функцийг зурах:

Цагаан будаа. 4. Функцийн график жишээ нь 2

Дараах даалгаврыг авч үзье - функцийн графикийг байгуул. Үүнийг хийхийн тулд та дараах алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой.

1. Дэд модуль функцийг графикаар зур

Дараах графикийг олж авлаа гэж бодъё.

Цагаан будаа. 5. Алгоритмд зориулсан зураг

1. Заасан модулийг хэрэглээрэй. Үүнийг хэрхэн хийхийг ойлгохын тулд модулийг өргөжүүлье.

Тиймээс сөрөг бус аргументтай функцийн утгуудын хувьд өөрчлөлт гарахгүй. Хоёрдахь тэгшитгэлийн тухайд бид үүнийг y тэнхлэгт тэгш хэмтэй дүрслэх замаар олж авдаг гэдгийг бид мэднэ. Бидэнд функцийн график байна:

Цагаан будаа. 6. Алгоритмд зориулсан зураг

Жишээ 3 - функцийг зурах:

Алгоритмын дагуу та эхлээд дэд модуль функцийн графикийг бүтээх хэрэгтэй, бид үүнийг аль хэдийн барьсан (Зураг 1-ийг үз).

Цагаан будаа. 7. Функцийн график жишээ 3

Жишээ 4 - параметр бүхий тэгшитгэлийн язгуурын тоог ол:

Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх нь параметрийн бүх утгыг дамжуулж, тус бүрийн хариултыг зааж өгнө гэдгийг санаарай. Бид аргачлалын дагуу ажилладаг. Эхлээд бид функцийн графикийг бүтээдэг, бид үүнийг өмнөх жишээн дээр аль хэдийн хийсэн (Зураг 7-г үз). Дараа нь та графикийг өөр a-ийн шугамын бүлгээр задлан, огтлолцох цэгүүдийг олж, хариултыг бичих хэрэгтэй.

Графикийг хараад бид хариултыг бичнэ: хэзээ ба тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй; тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй үед; Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй үед.

“СУБАШИ СУУРЬ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛЬ” БАЛТАС ХОТЫН ДҮҮРЭГ

Бүгд Найрамдах Татарстан Улс

Хичээлийн хөгжил - 9-р анги

Сэдэв: Бутархай – шугаман функцtion

мэргэшлийн ангилал

ГарифуллинАТөмөр замIРифкатовна

201 4

Хичээлийн сэдэв: Бутархай нь шугаман функц юм.

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: Оюутнуудад ойлголтыг танилцуулахбутархай - шугаман функц ба асимптотын тэгшитгэл;

Хөгжүүлэх: Логик сэтгэлгээний арга барилыг бий болгох, хичээлийн сонирхлыг хөгжүүлэх; Бутархай шугаман функцийн тодорхойлолтын муж, утгын мужийг тодорхойлох, түүний графикийг бүтээх чадварыг хөгжүүлэх;

- урам зориг өгөх зорилго:Мэдлэг олж авах янз бүрийн хэлбэрийг ашиглан сурагчдын математикийн соёл, анхаарал халамжийг төлөвшүүлэх, тухайн сэдвийг судлах сонирхлыг хадгалах, хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж, уран зохиол: Зөөврийн компьютер, проектор, интерактив самбар, координатын хавтгай ба y= функцийн график , тусгалын зураг, мультимедиа үзүүлэн,Алгебр: суурь дунд сургуулийн 9-р ангийн сурах бичиг / Ю.Н. Makarychev, N.G ​​Mendyuk, K.I Neshkov, S.B. С.А.Теляковский найруулсан / М: "Просвещение", 2004 он нэмэлтээр.

Хичээлийн төрөл:

мэдлэг, ур чадвар, чадварыг сайжруулах хичээл.

Хичээлийн явц.

Би зохион байгуулалтын мөч:

Зорилтот: - аман тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;

шинэ сэдвийг судлахад шаардлагатай онолын материал, тодорхойлолтыг давтах.

Өдрийн мэнд Бид хичээлээ гэрийн даалгавраа шалгаж эхэлдэг.

Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай (слайд 1-4):

Даалгавар - 1.

Энэ функцийн графикийг ашиглан 3-р асуултанд хариулна уу (функцийн хамгийн том утгыг ол, ...)

( 24 )

Даалгавар -2. Илэрхийллийн утгыг тооцоолно уу:

- =

Даалгавар -3: Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын гурвалсан нийлбэрийг ол:

X 2 -671∙X + 670= 0.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэг байна.

1+(-671)+670 = 0. Тэгэхээр x 1 =1 ба x 2 = Тиймээс,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Одоо бүх 3 даалгаврын хариултыг цэгүүдийг ашиглан дараалан бичье. (12/24/2013.)

Үр дүн: Тийм ээ, тийм! Тэгэхээр өнөөдрийн хичээлийн сэдэв:

Бутархай нь шугаман функц юм.

Зам руу явахаасаа өмнө жолооч замын дүрмийг мэддэг байх ёстой: хориглох, зөвшөөрөх тэмдгүүд. Өнөөдөр та бид хоёр ч бас зарим хориотой, зөвшөөрөгдөх тэмдгүүдийг санаж байх хэрэгтэй. Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай! (Слайд-6 )

Дүгнэлт:

Илэрхийлэл нь ямар ч утгагүй;

Зөв илэрхийлэл, хариулт: -2;

зөв илэрхийлэл, хариулт: -0;

Та 0-ийг тэг хувааж болохгүй!

Анхаарна уу, бүх зүйл зөв бичигдсэн үү? (слайд - 7)

1) ; 2) = ; 3) =а .

(1) жинхэнэ тэгш байдал, 2) = - ; 3) = - а )

II. Шинэ сэдэв сурах: (слайд - 8).

Зорилтот: Бутархай шугаман функцийн тодорхойлолтын муж, утгын мужийг олох, абсцисса ба ордны тэнхлэгийн дагуу функцийн графикийг параллель шилжүүлэн суулгах замаар графикийг байгуулах ур чадварыг эзэмшүүлэх.

Координатын хавтгайд ямар функц графикаар дүрслэгдсэнийг тодорхойлно уу?

Координатын хавтгай дээрх функцийн графикийг өгөв.

Асуулт

Хүлээгдэж буй хариу

Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол, (Д( y)=?)

X ≠0, эсвэл(-∞;0]UUU

Бид функцийн графикийг Ox тэнхлэг (абсцисса) дагуу 1 нэгж баруун тийш параллель орчуулгыг ашиглан шилжүүлнэ;

Та ямар функцийг графикаар зурсан бэ?

Ой (ординат) тэнхлэгийн дагуу параллель орчуулгыг ашиглан функцийн графикийг 2 нэгжээр дээшлүүлнэ;

Одоо та ямар функцийг графикаар зурсан бэ?

x=1 ба y=2 шулуун шугамуудыг зур

Та яаж бодож байна? Та бид хоёр ямар шууд мессеж хүлээн авсан бэ?

Эдгээр нь шулуунууд юм, Функцийн графикийн муруйн цэгүүд хязгааргүйд ойртож очдог.

Тэгээд тэднийг дууддаг- асимптотууд.

Өөрөөр хэлбэл, гиперболын нэг асимптот нь у тэнхлэгтэй параллель түүний баруун талд 2 нэгжийн зайд, хоёр дахь асимптот нь түүнээс дээш 1 нэгжийн зайд х тэнхлэгтэй параллель гүйдэг.

Сайн байна! Одоо дүгнэж үзье:

Шугаман бутархай функцийн график нь гипербол бөгөөд y = гиперболоос олж авч болно.координатын тэнхлэгийн дагуу зэрэгцээ орчуулгыг ашиглан. Үүний тулд бутархай шугаман функцийн томъёог дараах хэлбэрээр үзүүлнэ: y=

Энд n нь гиперболыг баруун эсвэл зүүн тийш шилжүүлэх нэгжийн тоо, m нь гиперболыг дээш эсвэл доош шилжүүлэх нэгжийн тоо юм. Энэ тохиолдолд гиперболын асимптотууд x = m, y = n шулуун шугамууд руу шилждэг.

Бутархай шугаман функцийн жишээ энд байна.

; .

Бутархай шугаман функц нь y = хэлбэрийн функц юм , энд x нь хувьсагч, a, b, c, d нь зарим тоо, c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 базар- МЭӨ≠0, учир нь c=0 үед функц нь шугаман функц болж хувирдаг.

Хэрэвзар- МЭӨ=0, гарсан бутархай нь тэнцүү утгатай байна (жишээ нь тогтмол).

Бутархай шугаман функцийн шинж чанарууд:

1. Аргументийн эерэг утгууд нэмэгдэх тусам функцын утга буурч, тэг болох хандлагатай боловч эерэг хэвээр байна.

2. Функцийн эерэг утгууд нэмэгдэх тусам аргументын утга буурч, тэг болох хандлагатай боловч эерэг хэвээр байна.

III – хамрагдсан материалыг нэгтгэх.

Зорилтот: - илтгэх ур чадвар, чадварыг хөгжүүлэхБутархай шугаман функцийн томъёог дараах хэлбэрт оруулна.

Асимптот тэгшитгэл зохиох, бутархай шугаман функцийн график зурах ур чадварыг бэхжүүлэх.

Жишээ -1:

Шийдэл: Өөрчлөлтийн тусламжтайгаар бид энэ функцийг хэлбэрээр илэрхийлнэ .

= (слайд 10)

Биеийн тамирын минут:

(халаалтыг жижүүр удирдан явуулна)

Зорилтот: - оюутнуудын сэтгэцийн стрессийг арилгах, эрүүл мэндийг сайжруулах.

Сурах бичигтэй ажиллах: No184.

Шийдэл: Хувиргалыг ашиглан бид энэ функцийг y=k/(x-m)+n хэлбэрээр илэрхийлнэ.

= de x≠0.

Асимптот тэгшитгэлийг бичье: x=2 ба y=3.

Тэгэхээр функцийн график Үхрийн тэнхлэгийн дагуу түүнээс баруун тийш 2 нэгжийн зайд, Ой тэнхлэгийн дагуу түүнээс дээш 3 нэгжийн зайд хөдөлдөг.

Бүлгийн ажил:

Зорилтот: - бусдыг сонсох, нэгэн зэрэг санал бодлоо илэрхийлэх чадварыг хөгжүүлэх;

манлайлах чадвартай хүний ​​боловсрол;

оюутнуудад математикийн ярианы соёлыг төлөвшүүлэх.

Сонголт №1

Өгөгдсөн функц:

.

.

Сонголт №2

Функц өгсөн

1. Шугаман бутархай функцийг стандарт хэлбэрт оруулж асимптотуудын тэгшитгэлийг бич.

2. Функцийн мужийг ол

3. Функцийн утгуудын багцыг ол

1. Шугаман бутархай функцийг стандарт хэлбэрт оруулж асимптотуудын тэгшитгэлийг бич.

2. Функцийн мужийг ол.

3. Функцийн утгуудын багцыг ол.

(Ажлаа дуусгасан баг эхлээд самбар дээр бүлгийн ажлыг хамгаалахаар бэлтгэнэ. Ажлыг шинжилнэ.)

IV. Хичээлийг дүгнэж байна.

Зорилтот: - хичээл дээрх онолын болон практик үйл ажиллагаанд дүн шинжилгээ хийх;

Оюутнуудад өөрийгөө үнэлэх чадварыг бий болгох;

Оюутны үйл ажиллагаа, ухамсрын эргэцүүлэл, өөрийгөө үнэлэх.

Тиймээс, эрхэм оюутнууд минь! Хичээл дуусч байна. Та тусгалын картыг бөглөх ёстой. Санал бодлоо анхааралтай, гаргацтай бичээрэй

Овог, нэр ___________________________________________________

Хичээлийн алхамууд

Хичээлийн үе шатуудын нарийн төвөгтэй байдлын түвшинг тодорхойлох

Таны бид гурав дахин

Хичээл дэх таны үйл ажиллагааны үнэлгээ, 1-5 оноо

амархан

дунд зэргийн хүнд

хэцүү

Зохион байгуулалтын үе шат

Шинэ материал сурах

Бутархай шугаман функцийн график зурах чадварыг бий болгох

Бүлгийн ажил

Хичээлийн талаархи ерөнхий үзэл бодол

Гэрийн даалгавар:

Зорилтот: - энэ сэдвийг эзэмших түвшинг шалгах.

[10-р зүйл*, №180(а), 181(б)]

Улсын шалгалтанд бэлтгэх: (" дээр ажиллах"Виртуал сонголт" )

Дасгал хийх ТЕГ-ын цувралаас (No 23 - хамгийн их оноо):

Y= функцийн графикийг зурy=c шулуун шугам нь c-ийн ямар утгуудад графиктай яг нэг нийтлэг цэгтэй болохыг тодорхойлно.

Асуулт, даалгаврыг 14.00-14.30 цагийн хооронд нийтэлнэ.