Магадлалын онолын хоёр үндсэн теорем болох нэмэх ба үржүүлэх теоремуудын үр дагавар нь томьёо юм. бүрэн магадлалболон Bayes томъёо.

Үйл явдлын алгебрийн хэлээр , , ¼ олонлогийг нэрлэдэг үйл явдлын бүрэн бүлэг, Хэрэв:

1. Үйл явдал нь хосоороо нийцэхгүй, i.e. , , ;.

2. Бүх зүйл нийлдэг магадлалын орон зай .

Теорем 5 (Нийт магадлалын томъёо).Хэрэв үйл явдал Аүйл явдлын аль нэг нь (таамаглал) гарч ирвэл л тохиолдож болно, ,¼,, үүсэх бүтэн бүлэг, дараа нь үйл явдлын магадлал Атэнцүү

Баталгаа.,¼, таамаглал нь цорын ганц боломжит таамаглал бөгөөд үйл явдал юм Атеоремын нөхцлийн дагуу зөвхөн аль нэг таамаглалтай хамт тохиолдох боломжтой бол . Таамаглалуудын үл нийцэх байдлаас үл нийцэх байдлыг дагадаг .

Бид магадлалын нэмэх теоремыг (6) хэлбэрээр хэрэглэнэ.

Үржүүлэх теоремоор. Орлуулах энэ танилцуулга(13) томъёонд бид эцэст нь: , үүнийг батлах шаардлагатай байна.

Жишээ 8.Экспорт импортлогч компани нь хөдөө аж ахуйн тоног төхөөрөмж нийлүүлэх гэрээ байгуулах гэж байна хөгжиж буй орнууд. Хэрэв компанийн гол өрсөлдөгч нь нэгэн зэрэг гэрээ байгуулах санал ирүүлээгүй бол гэрээг хүлээн авах магадлалыг 0.45 гэж тооцно; бусад тохиолдолд - 0.25. Компанийн мэргэжилтнүүдийн үзэж байгаагаар өрсөлдөгч нь гэрээ байгуулах саналыг дэвшүүлэх магадлал 0.40 байна. Гэрээ байгуулах магадлал хэд вэ?

Шийдэл. А -"компани гэрээ байгуулна", - "өрсөлдөгч саналаа дэвшүүлнэ", - "өрсөлдөгч саналаа гаргахгүй". Асуудлын нөхцлийн дагуу , . Пүүсийн гэрээ байгуулах нөхцөлт магадлал , . Нийт магадлалын томъёоны дагуу

Үржүүлэх теорем ба нийт магадлалын томъёоны үр дагавар нь Бэйсийн томъёо юм.

Бэйсийн томъёоүйл явдал болсон тохиолдолд таамаглал бүрийн магадлалыг дахин тооцоолох боломжийг танд олгоно. (Энэ нь үйл явдал болох үед хамаарна А, үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг таамаглалуудын зөвхөн нэг нь гарч ирж болох нь тохиолдсон бөгөөд туршилтаас өмнө мэдэгдэж байсан эдгээр таамаглалуудын априори магадлалыг тоон хувьд дахин үнэлэх шаардлагатай, i.e. таамаглалын арын (туршилтын дараа олж авсан) нөхцөлт магадлалыг олох шаардлагатай) , ,…, .

Теорем 6 (Бэйсийн томъёо).Хэрэв үйл явдал Аболсон, дараа нь таамаглалын нөхцөлт магадлал Байесийн томъёог ашиглан тооцоолно.

Баталгаа.Шаардлагатай томьёог олж авахын тулд бид үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг бичнэ Аба хоёр хэлбэрээр:

хаана Q.E.D.

Бэйсийн томъёоны утга нь үйл явдал тохиолдох үед гэсэн үг юм А,тэдгээр. хүлээн авснаас хойш шинэ мэдээлэл, бид тест хийхээс өмнө дэвшүүлсэн таамаглалыг шалгаж, тохируулах боломжтой. Bayesian гэж нэрлэгддэг энэ арга нь тохируулах боломжтой болгодог удирдлагын шийдвэрүүдэдийн засаг, үнэлгээ үл мэдэгдэх параметрүүдонд судлагдсан шинж чанаруудын тархалт Статистикийн дүн шинжилгээгэх мэт.

Даалгавар 9.Тус групп нь онц сурдаг 6, сайн сурдаг 12, дунд зэргийн 22 сурагчаас бүрддэг. Онц сурлагатан 5 ба 4 секундэд хариулдаг тэнцүү магадлал, сайн сурагч 5, 4, 3-т тэнцүү магадлалтайгаар хариулдаг бол дундаж сурагч 4, 3, 2-т тэнцүү магадлалтайгаар хариулдаг. Санамсаргүй түүврээр сонгогдсон сурагч хариулав 4. Дунд зэргийн сайн сурагчийг дуудсан байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Гурван таамаглалыг авч үзье:

Асууж буй үйл явдал. Асуудлын мэдэгдлээс энэ нь мэдэгдэж байна

, , .

Таамаглалуудын магадлалыг олцгооё. Бүлэгт ердөө 40, онц сурдаг 6 оюутан байдаг болохоор тэр . Үүний нэгэн адил, , . Нийт магадлалын томъёог ашигласнаар бид олдог

Одоо бид Бэйсийн томьёог таамаглалд хэрэглэнэ.

Жишээ 10.Эдийн засагч-шинжээч улс орны эдийн засгийн байдлыг нөхцөлт байдлаар “сайн”, “дунд”, “муу” гэж хувааж, тэдгээрийн магадлалыг үнэлдэг. энэ цаг мөчидцаг 0.15; 0.70 ба 0.15 тус тус байна. Зарим индекс эдийн засгийн байдалнөхцөл байдал "сайн" үед 0.60 магадлалаар нэмэгддэг; нөхцөл байдал дунд зэргийн үед 0.30, нөхцөл байдал “муу” үед 0.10 магадлалтай. Оруул одоогоорэдийн засгийн байдлын индекс өссөн. Улс орны эдийн засаг үсрэнгүй хөгжих магадлал хэд вэ?

Шийдэл. А= “улсын эдийн засгийн байдлын индекс өснө”, H 1= « эдийн засгийн байдалулсад "сайн" H 2= “Улс орны эдийн засгийн байдал “дунд” байна”, N 3= "Улс орны эдийн засгийн байдал "муу" байна." Нөхцөлөөр: , , . Нөхцөлт магадлал: ,, . Та магадлалыг олох хэрэгтэй. Бид үүнийг Bayes-ийн томъёогоор олдог.

Жишээ 11. IN худалдааны компаниГурван ханган нийлүүлэгчээс 1:4:5 харьцаатай зурагт хүлээн авсан. Дадлагаас харахад 1, 2, 3-р ханган нийлүүлэгчдээс ирж буй телевизорууд баталгаат хугацаанд засвар үйлчилгээ шаарддаггүй нь 98%, 88%, 92%.

Үйл явдлын хэлбэр бүтэн бүлэг, хэрэв тэдгээрийн ядаж нэг нь туршилтын үр дүнд гарах нь гарцаагүй бөгөөд хосоороо таарахгүй байвал.

Үйл явдал болсон гэж бодъё АЗөвхөн хэд хэдэн хосын аль нэгтэй нь хамт тохиолдож болно үл нийцэх үйл явдлууд, бүрэн бүлэг бүрдүүлэх. Бид үйл явдлуудыг дуудах болно ( би= 1, 2,…, n) таамаглалнэмэлт туршлага (apriori). А үйл явдал тохиолдох магадлалыг томъёогоор тодорхойлно бүрэн магадлал :

Жишээ 16.Гурван сав байна. Эхний саванд 5 цагаан, 3 хар, хоёр дахь нь 4 цагаан, 4 хар, гурав дахь нь 8 цагаан бөмбөлөгтэй. Нэг савыг санамсаргүй байдлаар сонгосон (энэ нь жишээлбэл, 1, 2, 3 дугаартай гурван бөмбөг агуулсан туслах савнаас сонголт хийсэн гэсэн үг юм). Энэ савнаас санамсаргүй байдлаар бөмбөг сугалж авдаг. Хар өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Үйл явдал А– хар бөмбөгийг арилгасан. Бөмбөгийг аль савнаас татсан нь мэдэгдэж байсан бол хүссэн магадлалыг тооцоолж болно сонгодог тодорхойлолтмагадлал. Бөмбөгийг авахын тулд аль савыг сонгосон талаарх таамаглалуудыг (таамаглал) танилцуулъя.

Бөмбөгийг эхний савнаас (таамгаар) эсвэл хоёр дахь (таамгаар), гурав дахь (таамгаар) дээрээс зурж болно. Нэгэнт савны аль нэгийг нь сонгох боломж тэгш байдаг .

Үүнийг дагадаг

Жишээ 17.Цахилгаан чийдэнг гурван үйлдвэрт үйлдвэрлэдэг. Эхний үйлдвэр 30% үйлдвэрлэдэг нийт тооцахилгаан чийдэн, хоёр дахь - 25%,
гурав дахь нь - үлдсэн хэсэг нь. Эхний үйлдвэрийн бүтээгдэхүүн нь гэмтэлтэй цахилгаан чийдэнгийн 1%, хоёр дахь нь - 1.5%, гурав дахь нь - 2% -ийг агуулдаг. Дэлгүүр нь бүх гурван үйлдвэрээс бүтээгдэхүүн авдаг. Дэлгүүрт худалдаж авсан чийдэн гэмтэлтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Гэрлийн чийдэнг аль үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн талаар таамаглал хийх ёстой. Үүнийг мэдсэнээр бид гэмтэлтэй байх магадлалыг олж чадна. Үйл явдлын тэмдэглэгээг танилцуулъя: А– худалдан авсан цахилгаан чийдэн нь гэмтэлтэй болсон, – дэнлүүг нэгдүгээр үйлдвэр үйлдвэрлэсэн, – чийдэнг хоёрдугаар үйлдвэр үйлдвэрлэсэн,
– чийдэнг гуравдугаар үйлдвэр үйлдвэрлэсэн.

Нийт магадлалын томъёог ашиглан бид хүссэн магадлалыг олно.

Бэйсийн томъёо. Хосоор үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлэг (таамаглал) байг. А- санамсаргүй үйл явдал. Дараа нь,

Таамаглал үүссэний дараа магадлалыг дахин тооцоолох боломжийг олгодог сүүлчийн томъёо мэдэгдэж байгаа үр дүнА үйл явдал тохиолдоход хүргэсэн туршилтыг гэнэ Бэйсийн томъёо .

Жишээ 18.Дунджаар энэ өвчнөөр өвчилсөн өвчтөнүүдийн 50% нь нарийн мэргэжлийн эмнэлэгт хэвтдэг TO, 30% - өвчинтэй Л, 20 % –
өвчинтэй М. Өвчний бүрэн эдгэрэх магадлал Көвчний хувьд 0.7-тай тэнцүү байна ЛТэгээд Мэдгээр магадлал нь тус тус 0.8 ба 0.9 байна. Эмнэлэгт хэвтэн эмчлүүлсэн өвчтөн эрүүл саруул гарсан байна. Энэ өвчтөн өвчнөөр өвчилсөн байх магадлалыг ол К.

Шийдэл.Таамаглалыг танилцуулъя: - өвчтөн өвчтэй байсан TO Л, – өвчтөн өвчин туссан М.

Тэгвэл асуудлын нөхцөлийн дагуу бид . Нэг үйл явдлыг танилцуулъя А– Эмнэлэгт хэвтэн эмчлүүлсэн өвчтөн эрүүл саруул гарсан. Нөхцөлөөр

Нийт магадлалын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Бэйсийн томъёоны дагуу.

Жишээ 19.Цонхонд таван бөмбөг байх ёстой бөгөөд цагаан бөмбөгний тооны талаархи бүх таамаг адил боломжтой. Бөмбөгийг савнаас санамсаргүй байдлаар аваад цагаан өнгөтэй болжээ. Савны анхны найрлагын талаар ямар таамаглал хамгийн их магадлалтай вэ?

Шийдэл.Ууранд цагаан бөмбөлөг байдаг гэсэн таамаглал байг , өөрөөр хэлбэл, зургаан таамаглал дэвшүүлж болно. Тэгвэл асуудлын нөхцөлийн дагуу бид .

Нэг үйл явдлыг танилцуулъя А- санамсаргүй байдлаар авсан цагаан бөмбөг. Тооцоолъё. Үүнээс хойш Бэйсийн томъёоны дагуу бид:

Тиймээс хамгийн их магадлалтай таамаглал нь .

Жишээ 20.Тооцоолох төхөөрөмжийн бие даасан гурван элементийн хоёр нь бүтэлгүйтсэн. Нэг, хоёр, гурав дахь элементийн эвдрэлийн магадлал 0.2 бол эхний ба хоёрдугаар элемент бүтэлгүйтэх магадлалыг ол; 0.4 ба 0.3.

Шийдэл.-ээр тэмдэглэе Аүйл явдал - хоёр элемент амжилтгүй болсон. Дараах таамаглалыг дэвшүүлж болно.

– эхний болон хоёр дахь элемент бүтэлгүйтсэн боловч гурав дахь элемент ажиллаж байна. Элементүүд бие даасан үйл ажиллагаа явуулдаг тул үржүүлэх теоремыг хэрэглэнэ.

Тэдний магадлал болон түүнд харгалзах нөхцөлт магадлалыг мэдэгдье. Дараа нь үйл явдлын магадлал нь:

Энэ томъёог гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо. Сурах бичигт үүнийг теорем болгон томъёолсон бөгөөд үүний нотолгоо нь энгийн зүйл юм: дагуу үйл явдлын алгебр, (үйл явдал болсон Тэгээд эсвэлүйл явдал болсон Тэгээднэгэн үйл явдал болсны дараа эсвэлүйл явдал болсон Тэгээднэгэн үйл явдал болсны дараа эсвэл …. эсвэлүйл явдал болсон Тэгээдүйл явдал болсны дараа). Таамаглалаас хойш нийцэхгүй, үйл явдал нь хамааралтай, дараа нь дагуу үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем (эхний алхам)Тэгээд хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем (хоёр дахь алхам):

Эхний жишээний агуулгыг олон хүн таамаглаж байгаа байх =)

Хаана ч шүлсээ хаядаг сав байдаг:

Асуудал 1

Гурван ижил сав байна. Эхний саванд 4 цагаан, 7 хар бөмбөлөг, хоёр дахь нь зөвхөн цагаан, гурав дахь нь зөвхөн хар бөмбөлөгтэй. Нэг савыг санамсаргүй байдлаар сонгож, түүнээс бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Энэ бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл: үйл явдлыг авч үзье - санамсаргүй байдлаар сонгосон савнаас хар бөмбөг сугалах болно. Энэ үйл явдал дараах таамаглалуудын аль нэгний үр дүнд үүсч болно.
– 1-р савыг сонгоно;
– 2-р савыг сонгоно;
– 3-р урна сонгогдоно.

Савыг санамсаргүй байдлаар сонгосон тул гурван савны аль нэгийг нь сонгоно адил боломжтой, иймээс:

Дээрх таамаглалууд үүсдэг болохыг анхаарна уу үйл явдлын бүрэн бүлэг, өөрөөр хэлбэл, нөхцөлийн дагуу хар бөмбөг зөвхөн эдгээр савнаас гарч болох бөгөөд жишээлбэл, бильярдны ширээнээс гарч болохгүй. Энгийн завсрын шалгалтыг хийцгээе:
, За, цаашаа явцгаая:

Эхний саванд тус бүр 4 цагаан + 7 хар = 11 бөмбөг байна сонгодог тодорхойлолт:
– хар бөмбөг зурах магадлал үүнийг өгсөн, 1-р урна сонгогдоно.

Хоёр дахь урна нь зөвхөн цагаан бөмбөлөг агуулдаг тул сонгосон болхар бөмбөгний дүр төрх болно боломжгүй: .

Эцэст нь, гурав дахь урна нь зөвхөн хар бөмбөлөг агуулдаг бөгөөд энэ нь харгалзах гэсэн үг юм нөхцөлт магадлалхар бөмбөгийг гаргаж авах болно (үйл явдал найдвартай).

– санамсаргүй байдлаар сонгосон савнаас хар бөмбөг сугалах магадлал.

Хариулах:

Шинжилсэн жишээ нь НӨХЦӨЛ-ийг судлах нь хичнээн чухал болохыг дахин харуулж байна. Урсгал ба бөмбөлөгтэй ижил асуудлуудыг авч үзье - гаднах ижил төстэй байдлаас үл хамааран шийдвэрлэх аргууд нь огт өөр байж болно: хаа нэгтээ та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй. магадлалын сонгодог тодорхойлолт, хаа нэгтээ үйл явдал бие даасан, хаа нэгтээ хамааралтай, мөн хаа нэгтээ бид таамаглалын тухай ярьж байна. Үүний зэрэгцээ шийдлийг сонгох тодорхой албан ёсны шалгуур байдаггүй - та энэ талаар бараг үргэлж бодох хэрэгтэй. Ур чадвараа хэрхэн сайжруулах вэ? Бид шийднэ, бид шийднэ, бид дахин шийднэ!

Асуудал 2

Буудлагын талбай нь янз бүрийн нарийвчлалтай 5 буутай. Тухайн шидэгчийн бай онох магадлал 0.5-тай тэнцүү байна; 0.55; 0.7; 0.75 ба 0.4. Хэрэв буудагч санамсаргүй байдлаар сонгосон винтовоос нэг сум хийвэл бай онох магадлал хэд вэ?

Түргэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Ихэнх тохиолдолд сэдэвчилсэн даалгавартаамаглалууд нь мэдээжийн хэрэг адил магадлал биш юм:

Асуудал 3

Пирамид 5 винтов байдаг бөгөөд тэдгээрийн гурав нь оптик хараагаар тоноглогдсон байдаг. Дурангийн хараатай винтов буугаар буудах үед буудагч бай онох магадлал 0.95; оптик хараагүй винтовын хувьд энэ магадлал 0.7 байна. Буудагч санамсаргүй байдлаар авсан винтовоос нэг удаа буудсан тохиолдолд бай оногдох магадлалыг ол.

Шийдэл: энэ асуудалд винтовын тоо өмнөхтэй яг ижил байна, гэхдээ зөвхөн хоёр таамаглал байна:
- буудагч оптик хараатай винтовыг сонгоно;
– буудагч оптик хараагүй винтовыг сонгоно.
By магадлалын сонгодог тодорхойлолт: .
Хяналт:

Үйл явдлыг авч үзье: - буудагч санамсаргүй байдлаар авсан винтовоор байг ононо.
Нөхцөлөөр: .

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:

Хариулах: 0,85

Практикт даалгаврыг форматлах богиносгосон арга нь таны мэддэг бөгөөд үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой.

Шийдэл: сонгодог тодорхойлолтын дагуу: – оптик хараатай болон хараагүй винтовыг сонгох магадлал.

Нөхцөлөөр, - харгалзах төрлийн винтовын байг онох магадлал.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:
– буудагч санамсаргүй байдлаар сонгосон винтовоор байг онох магадлал.

Хариулах: 0,85

Дараагийн даалгавар бие даасан шийдвэр:

Асуудал 4

Хөдөлгүүр нь ердийн, албадан, сул зогсолт гэсэн гурван горимд ажилладаг. Сул зогсолтын үед түүний бүтэлгүйтлийн магадлал 0.05, хэвийн горимд - 0.1, албадан горимд - 0.7 байна. Хөдөлгүүрийн 70% нь хэвийн горимд, 20% нь албадан горимд ажилладаг. Ашиглалтын явцад хөдөлгүүр эвдрэх магадлал хэд вэ?

Магадлалын утгыг авахын тулд хувь хэмжээг 100-д ​​хуваах ёстой гэдгийг сануулъя. Маш болгоомжтой байгаарай! Миний ажигласнаар хүмүүс нийт магадлалын томьёотой холбоотой асуудлын нөхцөлийг төөрөгдүүлэхийг ихэвчлэн оролддог; мөн би энэ жишээг тусгайлан сонгосон. Би чамд нэг нууц хэлье - би бараг л андуурчихлаа =)

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл (богино хэлбэрээр форматлагдсан)

Бэйсийн томъёог ашиглах асуудал

Материал нь өмнөх догол мөрийн агуулгатай нягт холбоотой. Таамаглалуудын аль нэгийг хэрэгжүүлсний үр дүнд үйл явдал тохиолдох болтугай . Тодорхой таамаглал гарсан магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Үүнийг харгалзан үзвэлтэр үйл явдал аль хэдийн болсон, таамаглалын магадлал хэтрүүлсэнАнглийн тахилч Томас Бэйсийн нэрийг хүлээн авсан томъёоны дагуу:

- таамаглал гарсан байх магадлал;
- таамаглал гарсан байх магадлал;
…
– таамаглал гарсан байх магадлал.

Эхлээд харахад энэ нь үнэхээр утгагүй мэт санагдаж байна - хэрэв таамаглал нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа бол яагаад магадлалыг дахин тооцоолох ёстой гэж? Гэхдээ үнэндээ ялгаа бий:

- Энэ априори(тооцоолсон өмнөтестүүд) магадлал.

- Энэ a posteriori(тооцоолсон дараатуршилт) ижил таамаглалын магадлалыг "шинээр нээсэн нөхцөл байдал" -тай холбогдуулан дахин тооцоолсон - үйл явдлыг харгалзан үзнэ. гарцаагүй болсон.

Энэ ялгааг харцгаая тодорхой жишээ:

Асуудал 5

Агуулахад 2 багц бүтээгдэхүүн ирсэн: эхнийх нь - 4000 ширхэг, хоёр дахь нь - 6000 ширхэг. Эхний багцад стандарт бус бүтээгдэхүүний дундаж хувь 20%, хоёр дахь нь 10% байна. Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь стандарт бүтээгдэхүүн болж хувирав. Энэ нь: а) эхний багцаас, б) хоёр дахь багцаас байх магадлалыг ол.

Эхний хэсэг шийдлүүднийт магадлалын томъёог ашиглахаас бүрдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, туршилтыг хийсэн гэсэн таамаглалаар тооцооллыг хийдэг хараахан үйлдвэрлээгүй байнаболон үйл явдал "Бүтээгдэхүүн нь стандарт болсон"Хараахан болоогүй.

Хоёр таамаглалыг авч үзье:
- санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь 1-р багцаас байх болно;
– санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь 2-р багцаас байх болно.

Нийт: 4000 + 6000 = 10000 ширхэг нөөцтэй. Сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
.

Хяналт:

Ингээд авч үзье хамааралтай үйл явдал: – агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн болноСтандарт.

Эхний багцад 100% - 20% = 80% стандарт бүтээгдэхүүн, тиймээс: үүнийг өгсөнэнэ нь 1-р этгээдэд харьяалагддаг.

Үүний нэгэн адил, хоёр дахь багцад 100% - 10% = 90% стандарт бүтээгдэхүүн ба – агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн стандарт байх магадлал үүнийг өгсөнэнэ нь 2-р этгээдэд харьяалагддаг.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:
– агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн стандарт байх магадлал.

Хоёрдугаар хэсэг. Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь стандарт болж хувирдаг. Энэ хэллэг нь нөхцөл байдалд шууд илэрхийлэгддэг бөгөөд энэ нь үйл явдал болохыг илтгэнэ болсон.

Бэйсийн томъёоны дагуу:

a) сонгосон стандарт бүтээгдэхүүн нь 1-р багцад хамаарах магадлал;

b) сонгосон стандарт бүтээгдэхүүн 2-р багцад хамаарах магадлал.

Дараа нь дахин үнэлгээтаамаглалууд нь мэдээжийн хэрэг хэвээр байна бүтэн бүлэг:
(шалгалт;-))

Хариулах:

Мэргэжлээ дахин сольж, үйлдвэрийн захирал болсон Иван Васильевич таамаглалыг дахин үнэлэхийн утгыг ойлгоход бидэнд тусална. Өнөөдөр 1-р цех 4000, 2-р цех 6000 бүтээгдэхүүн агуулахад ачуулсан гэдгийг тэр мэдэж, үүнийг шалгахаар ирдэг. Бүх бүтээгдэхүүн ижил төрлийн, нэг саванд байна гэж бодъё. Мэдээжийн хэрэг, Иван Васильевич түүний одоо хяналтад авах гэж байгаа бүтээгдэхүүнийг 1-р цех, магадгүй хоёрдугаарт үйлдвэрлэсэн байх магадлалтай гэж урьдчилан тооцоолсон. Гэхдээ сонгосон бүтээгдэхүүн нь стандарт болсны дараа тэрээр: "Ямар сайхан боолт вэ! "Энэ нь 2-р семинараас илүү гарсан." Тиймээс хоёр дахь таамаглалын магадлалыг хэтрүүлсэн байна илүү сайн тал, мөн эхний таамаглалын магадлалыг дутуу үнэлдэг: . Мөн энэ дахин үнэлгээ нь үндэслэлгүй биш юм - эцэст нь 2-р цех нь илүү их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлээд зогсохгүй 2 дахин сайн ажилладаг!

Цэвэр субъективизм гэж та хэлж байна уу? Зарим талаараа - тийм ээ, үүнээс гадна Бэйс өөрөө тайлбарласан a posterioriмагадлал зэрэг итгэлцлийн түвшин. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч энгийн биш - Байесийн хандлагад объектив үр тариа бас байдаг. Эцсийн эцэст, бүтээгдэхүүн нь стандарт байх магадлал (1, 2-р семинарт 0,8 ба 0,9 тус тус)Энэ урьдчилсан(а априори) ба дундажүнэлгээ. Гэхдээ философийн үүднээс хэлэхэд бүх зүйл урсаж, бүх зүйл өөрчлөгддөг, тэр дундаа магадлал. Энэ нь бүрэн боломжтой юм судалгаа хийх үедилүү амжилттай болсон 2-р цех нь стандарт бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэсэн хувийг нэмэгдүүлсэн (ба/эсвэл 1-р семинар багассан), хэрэв та шалгавал их хэмжээнийэсвэл бүх 10 мянган бүтээгдэхүүн нөөцөд байгаа бол хэт үнэлэгдсэн үнэ цэнэ нь үнэнд илүү ойр байх болно.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв Иван Васильевич стандартын бус хэсгийг гаргаж авбал эсрэгээрээ тэр 1-р цехийг илүү "сэжиглэж", хоёр дахь нь бага байх болно. Би танд үүнийг өөрөө шалгахыг санал болгож байна:

Асуудал 6

Агуулахад 2 багц бүтээгдэхүүн ирсэн: эхнийх нь - 4000 ширхэг, хоёр дахь нь - 6000 ширхэг. Эхний багцад стандарт бус бүтээгдэхүүний дундаж хувь 20%, хоёр дахь нь 10% байна. Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь болж хувирав ҮгүйСтандарт. Энэ нь: а) эхний багцаас, б) хоёр дахь багцаас байх магадлалыг ол.

Нөхцөл байдал нь хоёр үсгээр ялгагдах бөгөөд үүнийг би тодоор тэмдэглэсэн. Асуудлыг шийдэж болно" цэвэр шифер", эсвэл өмнөх тооцооллын үр дүнг ашиглана уу. Миний хийсэн дээж дээр бүрэн шийдэл, гэхдээ 5-р даалгавар, үйл явдалтай албан ёсоор давхцахгүйн тулд "Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн стандарт бус байх болно"-аар заасан.

Магадлалыг дахин тооцоолох Bayesian схем нь хаа сайгүй байдаг бөгөөд үүнийг янз бүрийн төрлийн луйварчид идэвхтэй ашигладаг. Иргэдээс хадгаламж татдаг, хаа нэгтээ хөрөнгө оруулалт хийдэг, тогтмол ногдол ашиг өгдөг гэх мэт нэр хүндтэй гурван үсэгтэй хувьцаат компанийг авч үзье. Юу болоод байна? Өдөр, сар, сар өнгөрөх тусам зар сурталчилгаа, амнаас ам дамжсан шинэ баримтууд улам бүр нэмэгдсээр байна. санхүүгийн пирамид (өнгөрсөн үйл явдлуудын улмаас Байесын дахин тооцоолол!). Өөрөөр хэлбэл, хөрөнгө оруулагчдын нүдээр ийм магадлал байнга нэмэгдэж байна "Энэ бол ноцтой компани"; харин эсрэг таамаглалын магадлал ("эдгээр бол илүү луйварчид"), мэдээжийн хэрэг, буурч, буурдаг. Дараах нь ойлгомжтой гэж би бодож байна. Олж авсан нэр хүнд нь зөвхөн боолтгүй төдийгүй өмдгүй үлдсэн Иван Васильевичээс амжилттай нуугдах цагийг зохион байгуулагчдад олгож байгаа нь анхаарал татаж байна.

Хэсэг хугацааны дараа бид ижил сонирхолтой жишээнүүд рүү буцах болно, гэхдээ одоогоор дараагийн алхам нь гурван таамаглал бүхий хамгийн нийтлэг тохиолдол байж магадгүй юм.

Асуудал 7

Цахилгаан чийдэнг гурван үйлдвэрт үйлдвэрлэдэг. 1-р үйлдвэр нь нийт чийдэнгийн 30%, 2-р - 55%, 3-р үйлдвэр нь үлдсэн хэсгийг үйлдвэрлэдэг. 1-р үйлдвэрийн бүтээгдэхүүн нь гэмтэлтэй чийдэнгийн 1%, 2-р - 1.5%, 3-р - 2% -ийг агуулдаг. Дэлгүүр нь бүх гурван үйлдвэрээс бүтээгдэхүүн хүлээн авдаг. Худалдан авсан чийдэн нь гэмтэлтэй болсон. 2-р үйлдвэр үйлдвэрлэсэн байх магадлал хэд вэ?

Байесийн томьёо дээрх асуудлуудад нөхцөл байдалд байгааг анхаарна уу Заавалтодорхой байдаг юу боловүйл явдал, онд энэ тохиолдолд- чийдэн худалдаж авах.

Үйл явдал нэмэгдсэн, мөн шийдэлҮүнийг "хурдан" хэв маягаар зохион байгуулах нь илүү тохиромжтой.

Алгоритм нь яг адилхан: эхний алхамд бид худалдаж авсан чийдэнгийн магадлалыг олдог Энэ нь болж байнагэмтэлтэй.

Анхны өгөгдлийг ашиглан бид хувь хэмжээг магадлал болгон хувиргадаг.
– чийдэнг 1, 2, 3-р үйлдвэрүүд тус тус үйлдвэрлэсэн байх магадлал.
Хяналт:

Үүний нэгэн адил: - холбогдох үйлдвэрүүдэд гэмтэлтэй чийдэн үйлдвэрлэх магадлал.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:

– худалдан авсан чийдэн гэмтэлтэй байх магадлал.

Хоёрдугаар алхам. Худалдан авсан чийдэнг гэмтэлтэй болгоё (үйл явдал болсон)

Бэйсийн томъёоны дагуу:
– худалдан авсан гэмтэлтэй чийдэнг хоёр дахь үйлдвэр үйлдвэрлэсэн байх магадлал

Хариулах:

Дахин үнэлгээ хийсний дараа 2-р таамаглалын эхний магадлал яагаад нэмэгдсэн бэ? Эцсийн эцэст, хоёр дахь үйлдвэр нь дундаж чанарын чийдэнг үйлдвэрлэдэг (эхнийх нь илүү сайн, гурав дахь нь муу). Тэгвэл яагаад нэмэгдэв a posterioriГэмтэлтэй чийдэн 2-р үйлдвэрийнх байж болох уу? Үүнийг "нэр хүнд"-ээр тайлбарлахаа больсон, харин хэмжээ. 2-р үйлдвэрээс хамгийн их олон тоонычийдэн, дараа нь тэд түүнийг буруутгадаг (ядаж субъектив байдлаар): "Энэ гэмтэлтэй чийдэн тэндээс байх магадлалтай".

1 ба 3-р таамаглалын магадлалыг хүлээгдэж буй чиглэлд хэтрүүлэн үнэлж, тэнцүү болсон нь сонирхолтой юм.

Хяналт: , үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Дашрамд хэлэхэд дутуу үнэлэгдсэн, хэтрүүлсэн тооцооллын талаар:

Асуудал 8

IN оюутны бүлэг 3 хүн байна өндөр түвшинсургалт, 19 хүн – дундаж, 3 – бага. Магадлал амжилттай дуусгахЭдгээр оюутнуудын шалгалт нь дараахтай тэнцүү байна: 0.95; 0.7 ба 0.4. Зарим оюутан шалгалтанд тэнцсэн нь мэдэгдэж байна. Үүний магадлал хэд вэ:

а) тэр маш сайн бэлтгэгдсэн;
б) дунд зэргийн бэлтгэлтэй байсан;
в) бэлтгэл муутай байсан.

Тооцооллыг хийж, таамаглалыг дахин үнэлэх үр дүнд дүн шинжилгээ хийх.

Даалгавар нь бодит байдалд ойрхон бөгөөд багш нь тухайн оюутны чадварын талаар бараг ямар ч мэдлэггүй байдаг хагас цагийн оюутнуудын хувьд үнэмшилтэй байдаг. Энэ тохиолдолд үр дүн нь гэнэтийн үр дагаварт хүргэж болзошгүй юм. (ялангуяа 1-р улирлын шалгалтын хувьд). Бэлтгэл муутай сурагч тасалбар авах азтай бол багш нь түүнийг сайн оюутан гэж үзэх магадлалтай. хүчтэй оюутан, энэ нь ирээдүйд сайн ногдол ашиг авчрах болно (мэдээжийн хэрэг, та "хэмжээг өргөж", өөрийн дүр төрхийг хадгалах хэрэгтэй). Оюутан 7 хоног, 7 шөнө суралцаж, чихэж, давтсан ч зүгээр л азгүй байсан бол цаашдын үйл явдлуудхамгийн муу хэлбэрээр хөгжиж болно - олон тооны муллиганууд, устах ирмэг дээр тэнцвэрждэг.

Нэр хүнд бол хамгийн чухал хөрөнгө гэдгийг хэлэх нь илүүц биз ээ, олон корпорациуд 100-200 жилийн өмнө бизнесийг удирдаж, өө сэвгүй нэр хүндээрээ алдаршсан үүсгэн байгуулагч эцгийнхээ нэрийг авч явдаг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Тийм ээ, Bayesian ойртож байна тодорхой хэмжээгээрсубьектив, гэхдээ ... амьдрал ийм л байдаг!

Материалыг үйлдвэрлэлийн эцсийн жишээгээр нэгтгэж үзье, үүнд би шийдлийн өнөөг хүртэл үл мэдэгдэх техникийн нарийн ширийн зүйлийн талаар ярих болно.

Асуудал 9

Үйлдвэрийн гурван цех нь ижил төрлийн эд анги үйлдвэрлэдэг бөгөөд угсрах зорилгоор нийтлэг саванд илгээдэг. Эхний цех нь 2 удаа үйлдвэрлэдэг нь мэдэгдэж байна Илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийгхоёрдугаар цехээс, гуравдугаар цехээс 4 дахин их. Эхний цехэд гэмтэл 12%, хоёрдугаарт 8%, гуравдугаарт 4% байна. Хяналтын хувьд нэг хэсгийг савнаас авдаг. Энэ нь гэмтэлтэй байх магадлал хэд вэ? Олборлосон гэмтэлтэй хэсгийг 3-р цех үйлдвэрлэсэн байх магадлал хэд вэ?

Иван Васильевич дахиад л морь уналаа =) Кинонд байх ёстой аз жаргалтай төгсгөл =)

Шийдэл: Бодлого №5-8-аас ялгаатай нь энд асуултыг тодорхой тавьсан бөгөөд үүнийг нийт магадлалын томъёогоор шийддэг. Гэхдээ нөгөө талаас нөхцөл байдал нь бага зэрэг "шифрлэгдсэн" бөгөөд энгийн тэгшитгэл зохиох сургуулийн ур чадвар нь энэ тааврыг шийдвэрлэхэд тусална. "X" гэж андуурахад тохиромжтой. хамгийн бага утга:

Гуравдугаар цехийн үйлдвэрлэсэн эд ангиудын хувь хэмжээ гэж үзье.

Нөхцөл байдлын дагуу нэгдүгээр цех гуравдугаар цехээс 4 дахин их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг тул 1-р цехийн эзлэх хувь .

Түүнчлэн нэгдүгээр цех хоёрдугаар цехээс 2 дахин их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бөгөөд энэ нь сүүлийнх нь: .

Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:

Ийнхүү: – савнаас гаргаж авсан хэсгийг 1, 2, 3-р цех тус тус үйлдвэрлэсэн байх магадлал.

Хяналт:. Нэмж дурдахад энэ хэллэгийг дахин харах нь гэмтэхгүй “Анхны цех 2 удаа бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг нь мэдэгдэж байна секундээс илүүцех, гуравдугаар цехээс 4 дахин том"олж авсан магадлалын утгууд нь энэ нөхцөлтэй яг тохирч байгаа эсэхийг шалгаарай.

Эхний ээлжинд 1-р эсвэл 2-р цехийн хувийг "X" гэж авч болно - магадлал нь ижил байх болно. Гэхдээ нэг талаараа хамгийн хэцүү хэсгийг даван туулж, шийдэл нь зам дээр байна:

Нөхцөл байдлаас бид олж мэдсэн:
- харгалзах цехүүдэд гэмтэлтэй эд анги үйлдвэрлэх магадлал.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:
– савнаас санамсаргүй байдлаар салгасан хэсэг нь стандарт бус болох магадлал.

Хоёрдугаар асуулт: олборлосон гэмтэлтэй хэсгийг 3-р цех үйлдвэрлэсэн байх магадлал хэд вэ? Энэ асуултхэсэг нь аль хэдийн хасагдсан бөгөөд гэмтэлтэй болсон гэж үздэг. Бид Байесийн томъёог ашиглан таамаглалыг дахин үнэлнэ.
- хүссэн магадлал. Бүрэн хүлээгдэж буй - эцэст нь гурав дахь цех нь зөвхөн хамгийн бага хэмжээний эд анги үйлдвэрлэдэг төдийгүй чанарын хувьд тэргүүлдэг!

Энэ тохиолдолд шаардлагатай байсан дөрвөн давхар фракцыг хялбарчлах, та үүнийг Bayes томъёог ашиглах асуудалд байнга хийх ёстой. Харин энэ хичээлБи ямар нэгэн байдлаар энгийн бутархайгүйгээр олон тооны тооцоолол хийж болох жишээг санамсаргүй олж авлаа.

Нөхцөл байдал нь "a" ба "be" цэгүүдийг агуулаагүй тул хариултыг текстийн тайлбараар өгөх нь дээр.

Хариулах: – савнаас гаргаж авсан хэсэг нь гэмтэлтэй байх магадлал; – олборлосон гэмтэлтэй хэсгийг 3-р цех үйлдвэрлэсэн байх магадлал.

Таны харж байгаагаар нийт магадлалын томьёо болон Бэйсийн томьёотой холбоотой асуудлууд нь маш энгийн бөгөөд магадгүй энэ шалтгааны улмаас тэд өгүүллийн эхэнд дурдсан нөхцөл байдлыг улам хүндрүүлэхийг оролддог.

Нэмэлт жишээнүүд-тэй файлд байна F.P.V.-д зориулсан бэлэн шийдлүүд. болон Bayes томъёо, үүнээс гадна бусад эх сурвалжид энэ сэдвээр илүү гүнзгий танилцахыг хүсч буй хүмүүс байх болно. Мөн сэдэв нь үнэхээр сонирхолтой юм - энэ нь ямар үнэ цэнэтэй вэ? Бэйсийн парадокс, энэ нь үүнийг зөвтгөдөг дэлхийн зөвлөгөөХэрэв хүн ховор тохиолддог өвчтэй гэж оношлогдвол түүнийг давтан эсвэл бүр хоёр удаа бие даасан үзлэгт оруулах нь утга учиртай юм. Тэд зөвхөн цөхрөнгөө барсандаа үүнийг хийж байгаа юм шиг санагдаж байна ... - гэхдээ үгүй! Гэхдээ гунигтай зүйлийн талаар ярихаа больё.

A) – шалгалтанд тэнцсэн оюутан маш сайн бэлтгэгдсэн байх магадлал. Бараг үргэлж зарим "дундаж" оюутнууд асуултанд азтай байж, маш хүчтэй хариулдаг тул объектив анхны магадлалыг хэт өндөр үнэлдэг бөгөөд энэ нь төгс бэлтгэлийн алдаатай сэтгэгдэл төрүүлдэг.

б) – шалгалтанд тэнцсэн оюутны бэлтгэл дундаж байх магадлал. Анхны магадлалыг бага зэрэг хэтрүүлсэн байна, учир нь Дундаж бэлтгэлтэй оюутнууд ихэвчлэн дийлэнх байдаг, үүнээс гадна энд багш амжилтгүй хариулсан "онц" оюутнуудыг, хааяа тааруухан, тасалбарын азтай оюутнуудыг оролцуулна.

V) – шалгалт өгсөн оюутны бэлтгэл тааруу байх магадлал. Анхны магадлалыг хэтрүүлэн үнэлсэн хамгийн муу тал. Гайхах зүйлгүй.

Нийт магадлалын томъёо. Бэйсийн томъёо. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Мэдэгдэж байгаагаар, А үйл явдлын магадлал А үйл явдал үүсэхийг дэмжсэн туршилтын үр дүнгийн m тооны харьцааг нэрлэнэ нийт тооБүх адил боломжтой нийцэхгүй үр дүнгийн n: P(A)=m/n.

Түүнээс гадна, А үйл явдлын нөхцөлт магадлал (В үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд А үйл явдлын магадлал) нь P B (A) = P (AB) / P (B) тоо бөгөөд A ба B нь хоёр байна. санамсаргүй үйл явдалижил тест.

Үйл явдлыг нийлбэр болон үржвэрээр илэрхийлж болох тул ийм байдаг магадлалыг нэмэх дүрэм үйл явдал, үүний дагуу магадлалыг үржүүлэх дүрэм . Одоо нийт магадлалын тухай ойлголтыг өгье.

А үйл явдал зөвхөн таамаглал гэж нэрлэгддэг хосоороо үл нийцэх H1, H2, H3, ..., Hn үйл явдлуудын аль нэгтэй нь хамт тохиолдох боломжтой гэж үзье. Дараа нь үнэн юм нийт магадлалын томъёо :

Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+…+ Р(Нn)*Р Нn (А) = ∑Р(Н) би) *Р Н би(A),

тэдгээр. А үйл явдлын магадлал нь таамаглал тус бүрийн энэ үйл явдлын нөхцөлт магадлалын үржвэрийн нийлбэр ба таамаглалуудын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв А үйл явдал аль хэдийн болсон бол таамаглалуудын магадлал ( өмнөх магадлал) хэтрүүлэн үнэлж болно (арын магадлал). Бэйсийн томъёо :

“Нийт магадлалын томьёо” сэдвээр бодлого шийдвэрлэх жишээ

Асуудал 1 .

Бэйсийн томъёо"

Шийдэл.

• Угсралт нь гурван машинаас эд ангиудыг хүлээн авдаг. Эхний машин нь согогийн 3%, хоёр дахь нь 2%, гурав дахь нь 4% -ийг өгдөг нь мэдэгдэж байна. Нэгдүгээр машинаас 100, хоёр дахь машинаас 200, гурав дахь машинаас 250 ширхэг ирсэн тохиолдолд гэмтэлтэй хэсэг угсралтад орох магадлалыг ол.
• А үйл явдал = (гажигтай хэсэг нь угсралтад ордог);
• таамаглал H1 = (энэ хэсэг нь эхний машинаас), P(H1) = 100/(100+200+250) =100/550=2/11;
• таамаглал H2 = (энэ хэсэг нь хоёр дахь машинаас), P(H2) = 200/(100+200+250) = 200/550=4/11;

2. Тухайн эд анги гэмтэлтэй байх нөхцөлт магадлал нь P H1 (A) = 3% = 0.03, P H2 (A) = 2% = 0.02, P H3 (A) = 4% = 0.04.

3. Нийт магадлалын томьёог ашиглан бид олно
P(A)= P(H1)*P H1 (A)+ P(H2)*P H2 (A)+P(H3)*P H3 (A) = 0.03*2/11 + 0.02* 4/11 + 0.04*5/11 = 34/1100 ≈ 0.03

Асуудал 2 .

Хоёр ижил сав байна. Эхнийх нь 2 хар, 3 цагаан бөмбөлөг, хоёр дахь нь 2 хар, 1 бөмбөг агуулдаг цагаан бөмбөг. Нэгдүгээрт, ургамлыг санамсаргүй байдлаар сонгож, дараа нь нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Цагаан бөмбөг сонгогдох магадлал хэд вэ?

Шийдэл. 1. Дараах үйл явдал, таамаглалыг авч үзье.

• A = (дурын савнаас цагаан бөмбөг зурсан);
• H1 = (бөмбөг нь эхний урнад хамаарна), P (H1) = 1/2 = 0.5;
• H2 = (бөмбөг нь хоёр дахь урнад хамаарна), P (H2) = 1/2 = 0.5;

2. Цагаан бөмбөлөг эхний урнад хамаарах нөхцөлт магадлал R H1 (A) = 3/(2+3) = 3/5, цагаан бөмбөг хоёрдугаар саванд хамаарах нөхцөлт магадлал R H2 (A) = 1/( 2+1)=1/3;

3. Нийт магадлалын томьёог ашиглан бид P(A) = P(H1)*P H1 (A)+P(H2)*P H2 (A) = 0.5*3/5 + 0.5*1/3 = 3-ыг авна. /10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0.47

Асуудал 3 .

Хоосон цутгах нь хоёр худалдан авалтын цехээс ирдэг: эхний цехээс - 70%, хоёрдугаар цехээс - 30%.

Шийдэл. 1. Дараах үйл явдал, таамаглалыг авч үзье.

• Эхний цехээс цутгах нь 10%, хоёр дахь цутгамал нь 20% гэмтэлтэй байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хоосон зай нь гэмтэлгүй болсон. Анхны цехээр үйлдвэрлэх магадлал хэд вэ?
• А үйл явдал = (гажиггүй хоосон);
• таамаглал H1 = (хоосон хэсгийг эхний цехээр үйлдвэрлэсэн), P(H1) = 70% = 0.7;

таамаглал H2 = (хоёр дахь цех үйлдвэрлэсэн хоосон зай), P(H2) = 30% = 0.3.
2. Нэгдүгээр цехийн цутгамал нь 10% -ийн согогтой тул эхний цехийн үйлдвэрлэсэн хоосон зайны 90% нь согоггүй, өөрөөр хэлбэл. R H1 (A) = 0.9.

Хоёрдахь цехийн цутгамал нь 20% -ийн согогтой, дараа нь хоёрдугаар цехийн үйлдвэрлэсэн хоосон зайны 80% нь ямар ч согоггүй, өөрөөр хэлбэл. R H2 (A) = 0.8.

0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

3. Bayes-ийн томъёог ашиглан R A (H1) -ийг олно.

Хоёр үндсэн теоремын үр дагавар болох магадлалыг нэмэх теорем ба магадлалыг үржүүлэх теорем нь нийт магадлалын томьёо гэж нэрлэгддэг зүйл юм.

Үйл явдлын аль нэгтэй хамт тохиолдох зарим үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай.

үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлэх. Бид эдгээр үйл явдлуудыг таамаглал гэж нэрлэх болно.

, (3.4.1)

Энэ тохиолдолд үүнийг нотолж үзье

тэдгээр. үйл явдлын магадлалыг таамаглал тус бүрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэр ба энэ таамаглал дахь үйл явдлын магадлалын нийлбэрээр тооцно.

Томъёо (3.4.1)-ийг нийт магадлалын томъёо гэнэ.

Баталгаа. Таамаглалууд нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул үйл явдал нь зөвхөн эдгээр таамаглалын аль нэгтэй хослуулан гарч ирж болно. бас таарахгүй; Тэдгээрт нэмэх теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үйл явдалд үржүүлэх теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

,

Q.E.D.

Жишээ 1. Ижил төстэй гурван сав байна; эхний сав нь хоёр цагаан, нэг хар бөмбөг агуулсан; хоёр дахь нь - гурван цагаан, нэг хар; гурав дахь нь хоёр цагаан, хоёр хар бөмбөг байна. Хэн нэгэн савны аль нэгийг нь санамсаргүй байдлаар сонгож, тэндээс бөмбөг зурдаг. Энэ бөмбөг цагаан байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Гурван таамаглалыг авч үзье:

Эхний саналын хайрцгийг сонгож байна

Хоёр дахь савыг сонгох

Гурав дахь савыг сонгох

мөн үйл явдал нь цагаан бөмбөг харагдах явдал юм.

Асуудлын нөхцлийн дагуу таамаглал нь адилхан боломжтой тул

.

Эдгээр таамаглалын дагуу үйл явдлын нөхцөлт магадлал нь тэнцүү байна:

Нийт магадлалын томъёоны дагуу

.

Жишээ 2. Онгоц руу гурван удаа буудсан. Эхний цохилтонд цохилт өгөх магадлал 0.4, хоёр дахь нь 0.5, гурав дахь нь 0.7 байна. Гурван цохилт нь онгоцыг идэвхгүй болгоход хангалттай байх нь ойлгомжтой; Нэг цохилтоор онгоц 0.2, хоёр цохилтоор - 0.6 магадлалтайгаар бүтэлгүйтдэг. Гурван удаагийн цохилтын үр дүнд онгоц идэвхгүй болох магадлалыг ол.

Шийдэл. Дөрвөн таамаглалыг авч үзье:

Онгоцонд нэг ч сум тусаагүй,

Нэг сум онгоцыг онож,

Онгоц хоёр суманд оногдов.

Онгоц гурван суманд оногджээ.

Нэмэх ба үржүүлэх теоремуудыг ашиглан бид эдгээр таамаглалын магадлалыг олно.

Эдгээр таамаглалын дагуу үйл явдлын нөхцөлт магадлал (нисэх онгоцны эвдрэл) дараах байдалтай тэнцүү байна.

Нийт магадлалын томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Нийт магадлалын томьёоны харгалзах нэр томъёо алга болсон тул эхний таамаглалыг авч үзэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь үл нийцэх таамаглалуудын бүрэн бүлгийг бус зөвхөн тэдгээрийн таамаглалыг харгалзан үзэхэд нийт магадлалын томьёог хэрэглэх үед ихэвчлэн хийдэг зүйл юм. энэ үйл явдалМагадгүй.

Жишээ 3. Хөдөлгүүрийн ажиллагааг хоёр зохицуулагчаар удирддаг. Хөдөлгүүрийг асуудалгүй ажиллуулахын тулд тодорхой цаг хугацааг харгалзан үздэг. Хэрэв хоёр зохицуулагч байгаа бол хөдөлгүүр ажиллахгүй байх магадлалтай, хэрэв зөвхөн эхнийх нь ажиллаж байвал - магадлалаар, хоёр дахь нь ажиллаж байвал - хоёр зохицуулагч ажиллахгүй байх магадлалтай. Зохицуулагчдын эхнийх нь найдвартай, хоёр дахь нь -. Бүх элементүүд бие биенээсээ үл хамааран бүтэлгүйтдэг. Хөдөлгүүрийн нийт найдвартай байдлыг (бүтэлгүй ажиллах магадлал) ол.