Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийг дүрслэхийн тулд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн математик хүлээлт, дисперсээс гадна бусад шинж чанаруудыг ашигладаг. корреляцийн мөчТэгээд корреляцийн коэффициент(T.8.p.8.6-ийн төгсгөлд товч дурдсан) .

Корреляцийн мөч(эсвэл ковариац,эсвэл холболтын мөч) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн X Тэгээд Ю m.o гэж нэрлэдэг. Эдгээр хэмжигдэхүүний хазайлтын үржвэр (8.6-р тэгш байдлын (5) заалтыг үзнэ үү):

Дүгнэлт 1.Корреляцийн моментийн хувьд r.v. X Тэгээд ЮДараахь тэгшитгэлүүд мөн хүчинтэй байна.

,

хаана харгалзах төвлөрсөн r.v. X Тэгээд Ю (8.6-р зүйлийг үзнэ үү).

Энэ тохиолдолд: хэрэв
нь хоёр хэмжээст d.s.v. бол ковариацыг томъёогоор тооцоолно

(8)
;

Хэрэв
нь хоёр хэмжээст n.s.v. бол ковариацыг томъёогоор тооцоолно

(9)

12.1-д заасан (6) томъёонд үндэслэн (8) ба (9) томъёог авсан. Тооцооллын томъёо байдаг

(10)

тодорхойлолт (9)-аас гаралтай бөгөөд MO-ийн шинж чанарт үндэслэсэн бөгөөд үнэндээ,

Үүний үр дүнд (36) ба (37) томъёог хэлбэрээр дахин бичиж болно

(11)
;

Корреляцийн момент нь хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлоход үйлчилдэг X Тэгээд Ю.

Корреляцийн моментийг доор харуулав тэгтэй тэнцүү, Хэрэв XТэгээд Ю байна бие даасан;

Тиймээс корреляцийн момент 0-тэй тэнцүү биш болXТэгээдЮхамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

Теорем 12.1.Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн моментXТэгээдЮтэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. бие даасан r.v.XТэгээдЮ,

Баталгаа.Учир нь X Тэгээд Юбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн, дараа нь тэдгээрийн хазайлт

Тэгээд

Тбас бие даасан. Үл хөдлөх хөрөнгийн давуу талыг ашиглах математикийн хүлээлт(бие даасан r.v.s-ийн үржвэрийн математик хүлээлт нь хүчин зүйлсийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна)
,
, Тийм учраас

Сэтгэгдэл.Энэ теоремоос хэрэв
дараа нь s.v. X Тэгээд Ю хамааралтай ба ийм тохиолдолд r.v. X Тэгээд Юдуудсан хамааралтай. Гэсэн хэдий ч үүнээс үүдэн
тусгаар тогтнолыг дагадаггүй r.v. X Тэгээд Ю.

Энэ тохиолдолд (
s.v. X Тэгээд Юдуудсан хамааралгүй,үүнээс үүдэн

тусгаар тогтнол дагадаг хамааралгүй; эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал байна (доорх жишээ 2-ыг үзнэ үү.)

Үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье корреляцийн мөч.

Cковариацын шинж чанарууд:

1. Ковариац нь тэгш хэмтэй, i.e.
.

Энэ нь (38) томъёоноос шууд гардаг.

2. Тэнцүү талууд байдаг: i.e. тархалт r.v. нь түүний өөртэйгөө ковариац юм.

Эдгээр тэгш байдал нь тархалт ба тэгш байдлын (38) тодорхойлолтоос шууд гардаг

3. Дараахь тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна.

Эдгээр тэгш байдал нь r.v-ийн дисперс ба ковариацын тодорхойлолтоос гаралтай.
Тэгээд , шинж чанар 2.

Тархалтын тодорхойлолтоор (r.v. төвлөрсөн байдлыг харгалзан үзнэ.
) бидэнд байна

Одоо (33) болон 2 ба 3-р шинж чанарууд дээр үндэслэн бид эхний (нэмэх тэмдэгтэй) шинж чанар 3-ыг олж авна.

Үүний нэгэн адил 3-р өмчийн хоёр дахь хэсэг нь тэгш байдлаас гаралтай

4. Болъё
тогтмол тоо,
Дараа нь тэгш байдал хүчинтэй байна:

Ихэвчлэн эдгээр шинж чанаруудыг аргумент дахь нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн, үечилсэн шинж чанарууд гэж нэрлэдэг.

Эхний тэгш байдлыг нотолж, m.o-ийн шинж чанарыг ашиглана.
.

Теорем 12.2.Үнэмлэхүй үнэ цэнэхоёр дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн моментXТэгээдЮтэдгээрийн хэлбэлзлийн геометрийн дунджаас хэтрэхгүй: i.e.

Баталгаа.Бие даасан r.v-ийн хувьд гэдгийг анхаарна уу. тэгш бус байдал (Теорем 12.1-ийг үзнэ үү). Тиймээс, r.v. X Тэгээд Ю хамааралтай. Стандарт r.v-ийг авч үзье.
Тэгээд
ба r.v-ийн тархалтыг тооцоолох.
3-р өмчийг харгалзан бид: нэг талаас
Нөгөө талд

Иймд гэдгийг харгалзан үзэж
Тэгээд - хэвийн (стандарчилсан) r.v., дараа нь тэдний хувьд м.о. тэгтэй тэнцүү, дисперс нь 1-тэй тэнцүү тул m.o-ийн шинж чанарыг ашиглана.
бид авдаг

тиймээс тэр баримтад тулгуурласан
бид авдаг

Үүнээс үзэхэд i.e.

=

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Ковариацын тодорхойлолт ба шинж чанараас харахад энэ нь r.v-ийн хамаарлын зэрэг ба тэдгээрийн нэг цэгийн тархалтыг хоёуланг нь тодорхойлдог
Ковариацын хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна XТэгээд Ю. Өөрөөр хэлбэл корреляцийн моментийн хэмжээ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн нэгжээс хамаарна. Энэ шалтгааны улмаас ижил хоёр хэмжигдэхүүнээр XТэгээд Ю, корреляцийн моментийн хэмжээ байх болно өөр өөр утгатайутгыг хэмжсэн нэгжээс хамаарна.

Жишээлбэл, XТэгээд Ю см-ээр хэмжсэн ба
; хэмжсэн бол XТэгээд Ю дараа нь миллиметрээр
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний янз бүрийн системийн корреляцийн моментуудыг харьцуулах нь хэцүү байдаг тул корреляцийн моментийн энэ шинж чанар нь энэ тоон шинж чанарын сул тал юм.

Энэ сул талыг арилгахын тулд шинэ тоон шинж чанарыг нэвтрүүлсэн - " корреляцийн коэффициент».

Корреляцийн коэффициент
санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тэгээд корреляцийн моментийг дундаж үзүүлэлтүүдийн үржвэрт харьцуулсан харьцаа гэнэ квадрат хазайлтэдгээр тоо хэмжээ:

(13)
.

Хэмжээнээс хойш
хэмжигдэхүүнүүдийн хэмжээсийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна
Тэгээд ,
хэмжээний хэмжээстэй
σ yхэмжээний хэмжээстэй , Тэр
зүгээр л тоо (жишээ нь." хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн"). Тиймээс корреляцийн коэффициентийн утга нь r.v.-ийн хэмжих нэгжийн сонголтоос хамаардаггүй, энэ нь давуу талкорреляцийн моментийн өмнөх корреляцийн коэффициент.

T.8-д. 8.3-т бид ойлголтыг танилцуулсан хэвийн болгосон s.v.
, томъёо (18) ба теорем нь батлагдсан
Тэгээд
(Теорем 8.2-г мөн үзнэ үү). Энд бид дараах мэдэгдлийг баталж байна.

Теорем 12.3.Учир нь дурын хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тэгээд тэгш байдал үнэн
.Өөрөөр хэлбэл корреляцийн коэффициент
ямар ч хоёртой.В.XТэгээдЮтэдгээрийн харгалзах нормчлогдсон корреляцийн моменттэй тэнцүү s.v.
Тэгээд .

Баталгаа.Нормчилсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолтоор
Тэгээд

Тэгээд
.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг харгалзан үзвэл: ба тэгш байдал (40) бид олж авна

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Корреляцийн коэффициентийн нийтлэг тохиолддог шинж чанаруудыг авч үзье.

Корреляцийн коэффициентийн шинж чанарууд:

1. Үнэмлэхүй утга дахь корреляцийн коэффициент нь 1-ээс хэтрэхгүй, i.e.

Энэ шинж чанар нь томъёо (41) - корреляцийн коэффициент ба теорем 13.5-ын тодорхойлолтоос шууд гардаг. (тэгш байдал (40)-г үзнэ үү).

2. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тэгээд бие даасан, одоогийн корреляцийн коэффициент нь тэг, өөрөөр хэлбэл.
.

Энэ шинж чанар нь тэгш байдал (40) ба теорем 13.4-ийн шууд үр дагавар юм.

Дараах шинж чанарыг тусдаа теорем болгон томъёолъё.

Теорем 12.4.

Хэрэв r.v.
Тэгээд шугаман функциональ хамаарлаар харилцан уялдаатай, өөрөөр хэлбэл.
Тэр
нэгэн зэрэг

Тэгээд эсрэгээр, хэрэв
, Тэр s.v.
Тэгээд шугаман функциональ хамаарлаар харилцан уялдаатай, өөрөөр хэлбэл. тогтмол байдаг
ТэгээдИнгэснээр тэгш байдал хадгалагдана

Баталгаа.Болъё
Дараа нь Ковариацын 4-р шинж чанарт үндэслэн бид байна

мөн оноос хойш, , тиймийн тул

Тиймээс,
. Нэг чиглэлд тэгш байдал бий болно. Цааш нь өгье
, Дараа нь

хоёр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй: 1)
ба 2)
Тиймээс эхний тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь тодорхойлолтоор
улмаар тэгш эрхээс
, Хаана
.
Манай тохиолдолд

=
,

, тиймээс тэгш байдлаас (Теорем 13.5-ын баталгааг үзнэ үү.)
бид үүнийг ойлгодог
, гэсэн үг
тогтмол байна. Учир нь
ба түүнээс хойш

.

үнэхээр,

.

Тиймээс,
Үүний нэгэн адил, энэ нь харуулж байна

,
.

явагдана (өөрөө шалгаарай!)

Зарим дүгнэлт:
Тэгээд 1. Хэрэв

бие даагч.в., тэгвэл
Тэгээд 2. Хэрэв r.v.
.

хоорондоо шугаман хамааралтай байдаг, тэгвэл
:

3. Бусад тохиолдолд
Тэгээд Энэ тохиолдолд тэд r.v. харилцан уялдаатайэерэг хамаарал,
Хэрэв
тохиолдолдсөрөг хамаарал
. Илүү ойр нэг рүү, theилүү олон шалтгаан
Тэгээд үүнийг авч үзье.v. холбогдсон.

шугаман хамаарал R.v-ийн системийн корреляцийн момент ба дисперсийг анхаарна уу. ихэвчлэн өгдөг:

.

корреляцийн матриц

Өмнө дурьдсанчлан, хэрэв хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн хамааралтай бол тэдгээр нь адилхан байж болно хамааралтай, тийм хамааралгүй.Өөрөөр хэлбэл, хоёр хамааралтай хэмжигдэхүүний корреляцийн момент байж болно тэгтэй тэнцүү биш, гэхдээ магадгүй тэгтэй тэнцүү.

Жишээ 1.Дискрет r.v-ийн тархалтын хуулийг хүснэгтээр үзүүлэв

Корреляцийн коэффициентийг ол

Шийдэл.Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хуулийг олох
Тэгээд :

Одоо m.o-г тооцоолъё. бүрэлдэхүүн хэсгүүд:

Эдгээр утгыг r.v түгээлтийн хүснэгтээс олж болно.

Үүний нэгэн адил,
өөрөө олоорой.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дисперсийг тооцоолж, тооцоолох томъёог ашиглана уу.

Хуваарилалтын хууль гаргая
, тэгээд бид олдог
:

Түгээлтийн хуулийн хүснэгтийг бүрдүүлэхдээ та дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

1) бүх боломжит бүтээгдэхүүний зөвхөн өөр утгыг үлдээх
.

2) өгөгдсөн утгын магадлалыг тодорхойлох
, хэрэгтэй

өгөгдсөн утга үүсэхийг дэмжсэн үндсэн хүснэгтийн уулзварт байрлах харгалзах бүх магадлалыг нэмнэ.

Бидний жишээнд r.v. зөвхөн гурван өөр утгыг авдаг
. Энд эхний утга (
) бүтээгдэхүүнтэй тохирч байна
хоёр дахь мөрөөс ба
эхний баганаас, тиймээс тэдний уулзвар дээр магадлалын тоо байна
адилхан

Энэ нь эхний мөр ба эхний баганын огтлолцол дээр байрлах магадлалын нийлбэрээс тус тус (0.15; 0.40; 0.05) ба нэг утгаас олно.
, хоёр дахь мөр ба хоёр дахь баганын огтлолцол дээр байгаа бөгөөд эцэст нь,
, энэ нь хоёр дахь эгнээ ба гурав дахь баганын огтлолцол дээр байрладаг.

Манай хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

Бид (38) томъёог ашиглан корреляцийн моментийг олно.

(41) томъёог ашиглан корреляцийн коэффициентийг ол.

Тиймээс сөрөг хамаарал.

Дасгал хийх.Дискрет r.v-ийн тархалтын хууль. хүснэгтээр өгсөн

Корреляцийн коэффициентийг ол

Хоёр байгаа жишээг харцгаая хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдбайж болно хамааралгүй.

Жишээ 2.Хоёр хэмжээст санамсаргүй хувьсагч
) нягтын функцээр өгөгдсөн

Үүнийг баталцгаая
Тэгээд хамааралтай , Гэхдээ хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Шийдэл.Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн урьд нь тооцоолсон тархалтын нягтыг ашиглая
Тэгээд :

Түүнээс хойш
Тэгээд хамааралтай хэмжигдэхүүнүүд. Батлахын тулд хамааралгүй
Тэгээд , үүнийг баталгаажуулахад хангалттай

Корреляцийн моментийг томъёогоор олъё.

Дифференциал функцээс хойш
тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй Өө, Тэр
адилхан
, тэгш хэмийн улмаас
тэнхлэгтэй харьцуулахад ҮХЭР. Тийм ч учраас,

тогтмол хүчин зүйлийг гаргаж авах

Дотоод интеграл нь тэгтэй тэнцүү (интеграл нь сондгой, интегралын хязгаар нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй), тиймээс,
, өөрөөр хэлбэл хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд
Тэгээд хоорондоо уялдаа холбоогүй байдаг.

Тиймээс хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлаас тэдгээрийн хамаарал гарч ирдэг боловч хамааралгүй байдлаас харахад эдгээр хувьсагчдыг бие даасан гэж дүгнэх боломжгүй хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч, хэвийн тархсан r.v. ийм дүгнэлт гарч байна бусадтэдгээр. -аас хамааралгүй хэвийн тархсан s.v. тэднийг гадагш урсгадаг тусгаар тогтнол.

Дараагийн догол мөрийг энэ асуудалд зориулав.

Бүгд Найрамдах АЗЕРБАЙЖАН УЛСЫН ШИНЖЛЭХ УХААН, ТЕХНОЛОГИЙН УЛСЫН ХОРОО.

БАКУ СУРГАЛТЫН ТӨВ

ХҮҮХДИЙН МАСАЛНЫ ТЭНХИЙН ТӨГСӨН СУРГАЛТЫН ОЮУТНУУД

Н.НАРИМАНОВЫН нэрэмжит АМУ

МУХТАРОВА ЭМИЛ ГАСАН оглы

ХАРИЛЦААНЫ МЭГЧҮҮД. ХАРИЛЦААНЫ КОЕФФИЦИЕНТ

ТАНИЛЦУУЛГА

Магадлалын онол Байна математикийн шинжлэх ухаан, санамсаргүй үзэгдлийн хэв маягийг судлах.

Санамсаргүй үзэгдэл гэж юу гэсэн үг вэ?

At шинжлэх ухааны судалгаафизик болон техникийн асуудлууд, бид ихэвчлэн үзэгдэлтэй тулгардаг тусгай төрөл, тэдгээрийг ихэвчлэн санамсаргүй гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй үзэгдэл - энэ нь ижил туршлага дахин давтагдах үед арай өөрөөр үргэлжилдэг үзэгдэл юм.

Санамсаргүй үзэгдлийн жишээг өгье.

Аналитик жин дээр ижил биеийг хэд хэдэн удаа жинлэнэ: давтан жинлэлтийн үр дүн нь бие биенээсээ арай өөр байна. Эдгээр ялгаа нь жинлэх ажиллагааг дагалддаг янз бүрийн жижиг хүчин зүйлсийн нөлөөлөл, тухайлбал төхөөрөмжийн санамсаргүй чичиргээ, багажийг уншихад алдаа гарсан гэх мэт.

Байгаль дээр нэг ч байхгүй нь ойлгомжтой физик үзэгдэл, ямар нэг хэмжээгээр тохиолдлын элементүүд байхгүй байх байсан. Туршилтын нөхцлийг хэчнээн нарийвчлалтай, нарийвчлан тогтоосон байсан ч туршилтыг давтан хийх үед үр дүн нь бүрэн бөгөөд яг таарч байгааг баталгаажуулах боломжгүй юм.

Байгалийн аливаа үзэгдлийг дагалддаг осол зайлшгүй гардаг. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн практик асуудлуудэдгээр санамсаргүй элементүүдоронд нь авч үзвэл үл тоомсорлож болно бодит үзэгдэлтүүний хялбаршуулсан диаграмм, өөрөөр хэлбэл. загвар, мөн өгөгдсөн туршилтын нөхцөлд үзэгдэл маш тодорхой замаар явагдана гэж үзвэл. Үүний зэрэгцээ, энэ үзэгдэлд нөлөөлж буй тоо томшгүй олон хүчин зүйлээс хамгийн чухал, үндсэн, шийдвэрлэх хүчин зүйлсийг онцлон тэмдэглэв. Бусад жижиг хүчин зүйлсийн нөлөөг зүгээр л үл тоомсорлодог. Тодорхой онолын хүрээнд хэв маягийг судлахдаа тухайн үзэгдэлд нөлөөлж буй гол хүчин зүйлсийг тухайн онолын үйл ажиллагаа явуулж буй ойлголт, тодорхойлолтод багтаасан болно.

Хөгжиж буй аливаа шинжлэх ухаан шиг ерөнхий онолаливаа үзэгдлийн хүрээ, магадлалын онол нь түүний үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн ойлголтыг агуулдаг. Мэдээжийн хэрэг, бүх үндсэн ойлголтуудыг хатуу тодорхойлж болохгүй, учир нь үзэл баримтлалыг тодорхойлох нь түүнийг бусад, илүү сайн мэддэг зүйл болгон багасгах гэсэн үг юм. Энэ үйл явц нь хязгаарлагдмал байх ёстой бөгөөд зөвхөн тайлбарласан үндсэн ойлголтуудаар төгсөх ёстой.

Магадлалын онолын анхны ойлголтуудын нэг бол үйл явдлын тухай ойлголт юм.

Доод үйл явдалтуршлагын үр дүнд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй аливаа баримтыг ойлгодог.

Үйл явдлын жишээг хэлье.

A - хүү эсвэл охин төрөх;

B - шатрын тоглоомын нэг буюу өөр нээлтийн сонголт;

C - нэг эсвэл өөр зурхайн ордонд хамаарах.

Дээрх үйл явдлуудыг авч үзвэл тэдгээр нь тус бүр нь тодорхой хэмжээний боломжуудтай болохыг бид харж байна: зарим нь илүү, бусад нь бага. Үйл явдлыг боломжийн хэмжээгээр нь бие биентэйгээ тоон байдлаар харьцуулахын тулд үйл явдал бүртэй уялдуулах нь ойлгомжтой. тодорхой тоо, аль нь их байх тусам үйл явдал болох боломжтой. Энэ тоог үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг. Тиймээс, үйл явдлын магадлал тоон шинж чанарградус объектив боломжүйл явдал.

Магадлалын нэгж нь магадлал юм найдвартай үйл явдал, 1-тэй тэнцүү бөгөөд аливаа үйл явдлын магадлалын өөрчлөлтийн хүрээ нь 0-ээс 1 хүртэлх тоо юм.

Магадлалыг ихэвчлэн P үсгээр тэмдэглэдэг.

Шекспирийн Гамлетын мөнхийн асуудлын жишээг авч үзье "байх уу, эс байх уу?" Үйл явдлын магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хүн, объект болон бусад аливаа үзэгдэл нь оршихуй ("байх") ба байхгүй ("байх") гэсэн хоёр төлөвийн аль нэгэнд байж болох нь тодорхой юм. Тэдгээр., боломжит үйл явдлуудхоёр, гэхдээ зөвхөн нэг л тохиолдож болно. Энэ нь жишээ нь оршин байх магадлал 1/2 гэсэн үг.

Үйл явдал, магадлалын тухай ойлголтоос гадна магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт юм.

Санамсаргүй хувьсагч туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгддэггүй.

Зөвхөн бие биенээсээ тусдаа утгыг авдаг, урьдчилан жагсааж болох санамсаргүй хувьсагчдыг нэрлэдэг. тасралтгүй эсвэл салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

Жишээ нь:

1. Амьд үлдсэн болон нас барсан өвчтөнүүдийн тоо.

2. Шөнөдөө эмнэлэгт хэвтсэн өвчтөнүүдийн нийт хүүхдийн тоо.

Боломжит утгууд нь тодорхой интервалыг байнга дүүргэдэг санамсаргүй хувьсагчдыг дууддаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Жишээлбэл, аналитик жингийн алдаа.

Үүнийг анхаарна уу орчин үеийн онолМагадлал нь "сонгодог" магадлалын онолын үндсэн дээр үндэслэсэн үйл явдлуудаас илүүтэйгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр ажилладаг.

ХАРИЛЦААНЫ МЭГЧҮҮД. ХАРИЛЦААНЫ КОЕФФИЦИЕНТ.

Корреляцийн момент, корреляцийн коэффициент - эдгээр нь дээр дурдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголттой, эсвэл илүү нарийвчлалтай санамсаргүй хэмжигдэхүүний системтэй нягт холбоотой тоон шинж чанарууд юм. Тиймээс тэдгээрийн утга, үүргийг танилцуулж, тодорхойлохын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголт, тэдгээрт хамаарах зарим шинж чанарыг тайлбарлах шаардлагатай байна.

Зарим үзэгдлийг дүрсэлсэн хоёр ба түүнээс дээш санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг систем буюу санамсаргүй хэмжигдэхүүний цогцолбор.

X, Y, Z, …, W хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийг ихэвчлэн (X, Y, Z, …, W) гэж тэмдэглэдэг.

Жишээлбэл, хавтгай дээрх цэгийг нэг координатаар биш, харин хоёр, орон зайд - бүр гурваар дүрсэлсэн байдаг.

Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанарууд нь системд багтсан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шинж чанаруудаар хязгаарлагдахгүй бөгөөд харилцан холболтууд(хамаарал) санамсаргүй хэмжигдэхүүн хоорондын. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийг судлахдаа хамаарлын шинж чанар, зэрэгт анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Энэ хамаарал нь их, бага хэмжээгээр тод томруун, ойр дотно байж болно. Бусад тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бие даасан шинж чанартай болдог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг Y гэж нэрлэдэг бие даасансанамсаргүй хэмжигдэхүүнээс, хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн тархалтын хууль X-ийн авсан утгаас хамаарахгүй бол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарал ба бие даасан байдал нь үргэлж харилцан үзэгдэл байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: хэрвээ Y нь X-ээс хамаардаггүй бол X утга нь Y-ээс хамаардаггүй. Үүнийг харгалзан бид өгч болно. дараах тодорхойлолтсанамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдал.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хууль нь нөгөө нь ямар утгыг авахаас хамаарахгүй бол тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол X ба Y утгуудыг дуудна хамааралтай.

Хуваарилалтын хууль Санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог тогтоодог аливаа харилцаа юм.

Магадлалын онолд хэрэглэгддэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний "хамаарал" гэсэн ойлголт нь математикт хэрэглэгддэг хувьсагчийн "хамаарал" гэсэн ердийн ойлголтоос арай өөр юм. Тиймээс математикч "хамаарал" гэдэг нь зөвхөн нэг төрлийн хамаарлыг илэрхийлдэг - бүрэн, хатуу, функциональ хамаарал гэж нэрлэгддэг. X ба Y хоёр хэмжигдэхүүнийг функциональ хамааралтай гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв та тэдгээрийн аль нэгнийх нь утгыг мэдэж, нөгөөгийнхөө утгыг нарийн тодорхойлж чадвал.

Магадлалын онолд арай өөр төрлийн хамаарал байдаг - магадлалын хамаарал. Хэрэв Y утга нь X-тэй магадлалын хамаарлаар хамааралтай бол X-ийн утгыг мэдэж байгаа тул Y-ийн утгыг нарийн зааж өгөх боломжгүй боловч X-ийн утга ямар утгатай байгаагаас хамааран түүний тархалтын хуулийг зааж өгч болно. авсан.

Магадлалын хамаарал нь илүү их эсвэл бага ойрхон байж болно; Магадлалын хамаарлын битүүмжлэл ихсэх тусам функциональд ойртож байна. Тиймээс функциональ хамаарлыг хамгийн ойрын магадлалын хамаарлын туйлын хязгаарлагдмал тохиолдол гэж үзэж болно. Өөр нэг онцгой тохиолдол бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн бие даасан байдал юм. Энэ хоёрын хооронд онцгой тохиолдолМагадлалын хамаарлын бүх зэрэглэл нь хамгийн хүчтэйгээс хамгийн сул хүртэл байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондох магадлалын хамаарал практикт ихэвчлэн тохиолддог. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y нь магадлалын хамааралтай бол энэ нь X-ийн утга өөрчлөгдөхөд Y-ийн утга бүрэн тодорхой байдлаар өөрчлөгдөнө гэсэн үг биш юм; Энэ нь зөвхөн X-ийн утга өөрчлөгдөхөд Y-ийн утга болно гэсэн үг юм

мөн өөрчлөгдөх хандлагатай байдаг (X нэмэгдэх тусам нэмэгдэх эсвэл буурах). Энэ хандлага зөвхөн онд ажиглагдаж байна ерөнхий тойм, мөн тус бүрд онцгой тохиолдолҮүнээс хазайх боломжтой.

Магадлалын хамаарлын жишээ.

Перитониттэй нэг өвчтөнийг санамсаргүй байдлаар сонгоцгооё. Т санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өвчний эхэн үеэс хойшхи хугацаа, санамсаргүй хэмжигдэхүүн O нь гомеостазын эмгэгийн түвшин юм. Эдгээр утгуудын хооронд тодорхой хамаарал байдаг, учир нь T утга нь O утгыг тодорхойлох хамгийн чухал шалтгаануудын нэг юм.

Үүний зэрэгцээ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь O санамсаргүй хэмжигдэхүүнд нөлөөлж байгаа боловч гол тодорхойлогч биш тул тухайн эмгэгийн нас баралтыг илэрхийлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн T болон санамсаргүй хэмжигдэхүүн M хоёрын хооронд сул магадлалын хамаарал байдаг.

Түүнээс гадна, хэрэв бид T ба B утгыг (мэс засалчийн нас) авч үзвэл эдгээр утгууд нь бараг бие даасан байдаг.

Одоогоор бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанаруудын талаар зөвхөн аман тайлбарыг л авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанарыг судлах тоон шинж чанарууд байдаг.

Ковариац ба корреляцийн коэффициент.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд функциональ эсвэл стохастик (магадлал) хамаарал байж болно. Стохастик хамаарал нь үүн дээр илэрдэг нөхцөлт хуульнэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь өөр санамсаргүй хэмжигдэхүүний авсан утгаас хамаарч өөрчлөгддөг. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний стохастик хамаарлын нэг шинж чанар ковариацсанамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Ковариацсанамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X,Ю) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хазайлтын үржвэрийн математикийн хүлээлттэй тэнцүү тоо юм XТэгээд Ютаны математикийн хүлээлтээс:

Заримдаа ковариац гэж нэрлэдэг корреляцийн мөчэсвэл хоёр дахь холимог төв цэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X,Ю).

Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Учир нь салангид хуваарилалт

Учир нь тасралтгүй хуваарилалт

At Ю= Xковариац нь дисперстэй ижил байна X.

Корреляцийн моментийн хэмжээ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн нэгжээс хамаарна. Энэ нь корреляцийн цэгүүдийг харьцуулахад хэцүү болгодог янз бүрийн системүүдсанамсаргүй хэмжигдэхүүн. Энэ сул талыг арилгахын тулд шинэ тоон шинж чанарыг нэвтрүүлсэн - корреляцийн коэффициент, энэ нь

хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн.

Үүнийг тооцоолохын тулд бид математикийн хүлээлтээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний хазайлтыг тэдгээрийн нормчлогдсон хазайлтаар солино.

Корреляцийн коэффициентийн шинж чанарууд:

Болъё т -утгаараа хувьсагч математик шинжилгээ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг авч үзье Д(Y - tX) хувьсагчийн функцээр т.

Тархалтын шинж чанарын дагуу. Энэ тохиолдолд ялгаварлагч нь тэгээс бага буюу тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл.

Бид хаанаас авах вэ?

2. Корреляцийн коэффициентийн модуль нь хэзээ өөрчлөгдөхгүй шугаман хувиргалтсанамсаргүй хэмжигдэхүүн: , энд , , дурын тоонууд.

3. , хэрэв зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Юшугаман холболттой, өөрөөр хэлбэл. ийм тоо байдаг а, б,Юу .

Хэрэв бол 1-р зүйлд авч үзсэн ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү, тиймээс зарим утгын хувьд . Тиймээс үнэ цэнэ мөн зарим хүмүүсийн хувьд ХАМТнотлох шаардлагатай тэгш байдал нь үнэн юм.

4. Хэрэв XТэгээд Юстатистикийн хувьд хараат бус байвал .

Properties 2.4-ийг шууд баталгаажуулна.

4.5.2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хамаарал ба хамаарал.

Шаардлагатай нөхцөлсанамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдал XТэгээд Юнь тэдгээрийн корреляцийн моментийн (эсвэл корреляцийн коэффициент) тэгтэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч тэгш байдал (эсвэл) нь бие даасан байдлын хувьд зайлшгүй шаардлагатай боловч хангалттай нөхцөл биш юм.

Жишээ 1.

Зураг дээр парабол дээр байрлах цэгүүдийг харуулав , А.

Үүнтэй холбогдуулан хамааралгүй (хэрэв ) эсвэл хамааралгүй (хэрэв ) санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нарийн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Тийм ч учраас санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдал нь хамааралгүй гэсэн үг юм() ба эсрэгээрээ хамаарал () – донтолт.

IN ерөнхий тохиолдол, үед (X,Y) цэгүүд шугамын эргэн тойронд тархах тусам илүү ойрхон байна. илүү том үнэ цэнэ. Тиймээс корреляцийн коэффициент нь тодорхойлогддог ямар ч бишхоорондын харилцаа XТэгээд Ю, А шугаман харилцааны битүүмжлэлийн зэрэгтэдний хооронд.

Тиймээс, ялангуяа, тэр ч байтугай -тэй, i.e. цагт бүрэн байхгүйхоорондын шугаман хамаарал XТэгээд ЮДурын хүчтэй статистик, бүр шугаман бус функциональ хамаарал байж болно (Жишээ 1-ийг үзнэ үү).

Үнэт зүйлсийн тухай ярихад эерэг хамааралхооронд XТэгээд Ю, энэ нь хоёр хувьсагч хоёулаа өсөх, буурах хандлагатай байна гэсэн үг. Тэд санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн өөрчлөлтийн эсрэг хандлагыг илэрхийлдэг сөрөг корреляцийн тухай ярихад XТэгээд Ю, өөрөөр хэлбэл нэг нь нэмэгдэж, нөгөө нь буурч, эсвэл эсрэгээр.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Юхэвийн тархсан байдаг, тэгвэл тэдгээрийн хамааралгүй байдал нь бие даасан байдлыг илэрхийлдэг

Хэрэв, тэгвэл.

Корреляцийн коэффициентийг тооцоолохын тулд §4.1-ээс 2-р жишээг үргэлжлүүлнэ. Томьёог ашиглацгаая

.

М(X× Ю)=(-200)×(-100)×0.2 + (-200)×0×0.1 + (-200)×(100)×0.05 + 0×(-100)×0.05 + 0×0×0.25 + 0 ×100×0,02 + 200×(-100)×0,01 + 200×0×0,02 + 200×100×0,3 = 8800 доллар;

; ;

.

Жишээ 2. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хуулийг тархалтын хүснэгтээр өгөв

Нэг хэмжээст (ахиу) тархалтын хуулийг ол XТэгээд Ю, тэдгээрийн математик хүлээлт, хэлбэлзэл, хоорондын корреляцийн коэффициент XТэгээд Ю.

Шийдэл. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын магадлал X, системд орсон, томъёогоор тодорхойлогдоно

, руу=1, 2, 3, 4.

Тиймээс хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст тархалт Xдараах хэлбэртэй байна

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт XТэгээд Ю:

М(X)=1,6; М(Ю)=0,18.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хэлбэлзэл XТэгээд Ю:

Д(X)=0,84; Д(Ю)=0,47.

хоорондын хамаарлын коэффициент XТэгээд Ютомъёогоор тооцоолно

; ;

; ;

Өөрийгөө шалгах асуултууд.

1. Олон хувьсагч санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба магадлалын тархалтын функцийг тодорхойлно уу.

2. Хоёр хэмжээст дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалт гэж юу вэ ( X,Ю)? Үүнийг хэрхэн бичсэн бэ?

3. Мэдэгдэж байгаагаар хамтарсан хуваарилалтхоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X,Ю) олох ахиу хуваарилалтбүрэлдэхүүн хэсгүүд XТэгээд Ю?

4. Бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт тархалт гэж юу вэ Xхоёр хэмжээст дискрет хэмжигдэхүүн ( X,Ю)?

5. Ковариац гэж юу вэ?

6. Корреляцийн коэффициент гэж юу вэ?

7. Корреляцийн коэффициентийн шинж чанарыг тодорхойл.

8. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент гэж юу вэ? XТэгээд Ю = 1 – 2X?

9. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний ковариац ямар утга болж хувирах вэ? XТэгээд Ю, Хэрэв X = Ю?

10. Хараат бус байдал, хамааралгүй гэсэн ойлголтууд ижил утгатай юу?

Даалгаврууд

4.1. Хотын хоёр өөр зах дээр гурван төрлийн машин зарагддаг ( A, B, C).Жилд зарагдсан автомашины тоог доор харуулав.

Дараах магадлалыг ол. Р(а, а), П(а, Б), П(a, C), П(б, А), П(б, Б), П(b,C), П(А), П(а/А), П(А/а). Хамтарсан магадлалын хүснэгтийг үүсгэ.

4.2. Тодорхой амралтын газарт амрагчид нь дүрмээр бол бизнес эрхлэгчид байдаг ( Б) эсвэл либерал мэргэжлийн хүмүүс ( П)(хуульч, зураач, эмч гэх мэт). Амралтын газрын эзэн өөрт нь нэг биш хоёр төрлийн сурталчилгаа хийх нь илүү ашигтай эсэхийг тодорхойлохыг хүсдэг. Үүний тулд тэрээр зар сурталчилгааны хэлтэстээ хоёр төрлийн зар сурталчилгаа бэлтгэхийг даалгасан - нэг нь бизнесменүүдэд (I төрөл), нөгөө нь либерал мэргэжлүүд (II төрөл). Зар сурталчилгаа бэлтгэж, боломжит үйлчлүүлэгчдэд материал илгээж, 800 өргөдөл хүлээн авсан. Тэдгээрийг дараах байдлаар тараав.

A). Магадлалыг ол П(Б, И); П(Б, II); П(I/B).

Хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг тодорхойлохын тулд засах момент ба корреляцийн коэффициентийг ашиглана.

Тодорхойлолт 2. Корреляцийн мөч X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний μ xy нь эдгээр хувьсагчийн хазайлтын үржвэрийн математик хүлээлт юм.

Корреляцийн моментийг тооцоолох салангид хэмжигдэхүүнүүдилэрхийлэлийг ашиглаж байна

(3.12)

ба үргэлжилсэн хүмүүсийн хувьд - илэрхийлэл

(3.13)

Тайлбар. Корреляцийн моментийг µ xy хэлбэрээр дахин бичиж болно

(3.14)

Үнэн хэрэгтээ, математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан (§§ 2.2; 2.6-г үзнэ үү) бид

Теорем. Х, Ү хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн момент тэгтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Тайлбарын дагуу

X ба Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн тул (§§ 2.2; 2.6-г үзнэ үү)

тэгэхээр µ xy =0 байна.

Корреляцийн моментийн тодорхойлолтоос харахад энэ нь хэмжээстэй байна бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна X ба Y хэмжигдэхүүний хэмжээсүүд, i.e. түүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн нэгжээс хамаарна. Тиймээс ижил хоёр хэмжигдэхүүнд хамаарлын моментийн хэмжээ нь хэмжигдэхүүнийг хэмжсэн нэгжээс хамаарч өөр өөр утгатай байж болно. Энэ дутагдлыг арилгахын тулд бид X ба Y хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлын (хамаарал) хэмжигдэхүүн болгон хэмжээсгүй хэмжигдэхүүнийг авахаар тохиролцсон.

Хаана σ x =σ(X), σ y =σ(Y),дуудсан корреляцийн коэффициент.

Жишээ 1. Хоёр хэмжээст дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (X,Y) тархалтын хуулиар тодорхойлъё.

улмаар,

Баганууд дахь магадлалыг нэмснээр бид Y-ийн боломжит утгуудын магадлалыг олно.

Тиймээс Y тархалтын хууль:

улмаар,

үнэхээр,

Тиймээс корреляцийн коэффициент

Теорем. Үнэмлэхүй үнэ цэнэХоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн момент нь тэдгээрийн стандарт хазайлтын үржвэрээс хэтрэхгүй байна.

Баталгаа. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг танилцуулж байна Хаана Түүний хэлбэлзлийг олцгооё. Бидэнд байна

(ямар ч хэлбэлзэл нь сөрөг биш). Эндээс

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн оруулах замаар , Үүнтэй адилаар бид олох болно

Үүний үр дүнд бидэнд бий

Тодорхойлолт 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xба Y-г хамааралгүй бол = 0, хэрэв корреляц гэж нэрлэдэг

Жишээ 1. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X баҮ нь хамааралгүй, учир нь хамаарлаас (3.12) = 0 байна.

Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзье XТэгээд Юшугаман хамаарлаар холбогдсон байна. корреляцийн коэффициентийг олъё. Бидэнд:

Тиймээс шугаман хамааралтай холбоотой санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент нь ±1-тэй тэнцүү байна (илүү нарийвчлалтай бол =1 бол A>0ба =-1 бол А<0).

Корреляцийн коэффициентийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.

1-р жишээнээс харахад дараах байдалтай байна.

1) Хэрэв X ба Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол корреляцийн коэффициент тэг болно.

Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал гэдгийг анхаарна уу. (Баталгаажуулахын тулд ажлыг үзнэ үү.)

2) Корреляцийн коэффициентийн үнэмлэхүй утга нь нэгдэлээс хэтрэхгүй байна:

Үнэн хэрэгтээ, тэгш бус байдлын хоёр талыг (3.16) бүтээгдэхүүнд хуваах нь , Бид хүссэн тэгш бус байдалд хүрнэ.

3) (3.14) томъёог харгалзан (3.15) томъёоноос харахад корреляцийн коэффициент нь математик хүлээлтийн бүтээгдэхүүнээс бүтээгдэхүүний математик хүлээлтийн хазайлтын харьцангуй хэмжээг тодорхойлдог. М(Х) М(Ү)тоо хэмжээ XТэгээд Ю.Энэ хазайлт нь зөвхөн хамааралтай хэмжигдэхүүнүүдэд тохиолддог тул бид үүнийг хэлж чадна Корреляцийн коэффициент нь X ба Y хоорондын харилцааны ойр байдлыг тодорхойлдог.

3. Шугаман хамаарал.Энэ төрлийн хамаарал нь нэлээд түгээмэл байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал X ба Yдуудсан шугаман хамаарал,хэрэв регрессийн функцууд хоёулаа шугаман байвал. Энэ тохиолдолд регрессийн шугам хоёулаа шулуун байна; тэднийг дууддаг шууд регресс.

Шууд регрессийн тэгшитгэлүүдийг гаргая Юдээр X,тэдгээр. шугаман функцийн коэффициентийг олъё

гэж тэмдэглэе M(X) = a, M(Y)= b, M[(X - a) 2 ]= , М[(Ү –б 2)]= . MO-ийн шинж чанарыг ашиглан (§§ 2.2; 2.6) бид дараахь зүйлийг олно.

M(Y) = М= M(AX + B) = AM(X) + B,

тэдгээр. b = Aa + B,хаана B=b-Aa.

М(XY)= M[Xg(X)\= M(AX 2 + BX) = AM(X 2) + BM(X)= AM(X 2) + (b- Aa)a,

эсвэл тархалтын 1-р шинж чанарын дагуу (§§ 2.3; 2.6),

Үүссэн коэффициентийг нэрлэнэ X дээрх регрессийн коэффициент Yба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Тиймээс урагшлах регрессийн тэгшитгэл Юдээр Xшиг харагдаж байна

Үүний нэгэн адил та X-ийн Y дээр шууд регрессийн тэгшитгэлийг авч болно

Та нэг үзэгдэл нөгөөтэй нь холбоотой гэсэн мэдэгдлийг хэр олон удаа сонссон бэ?

"Гэллапын санал асуулгын албаны мэргэжилтнүүдийн үзэж байгаагаар өндөр өсөлт нь сайн боловсрол, аз жаргалтай холбоотой."

"Газрын тосны үнэ ханштай шууд хамааралтай."

"Дасгал хийсний дараа булчин өвдөх нь булчингийн эсийн гипертрофитэй хамааралгүй."

“Харилцаа” гэдэг ойлголт шинжлэх ухаанд төдийгүй өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгдэх болсон бололтой. Корреляци нь санамсаргүй хоёр үзэгдлийн хоорондох шугаман хамаарлын зэргийг харуулдаг. Тэгэхээр нефтийн үнэ унаж эхлэхээр ам.долларын рубльтэй харьцах ханш өсөж эхэлдэг.

Дээр дурдсан бүхнээс бид хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тайлбарлахдаа математикийн хүлээлт, тархалт, стандарт хазайлт зэрэг сайн мэддэг шинж чанарууд заримдаа хангалтгүй байдаг гэж дүгнэж болно. Тиймээс тэдгээрийг тодорхойлоход өөр хоёр чухал шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг. ковариацТэгээд хамаарал.

Ковариац

Ковариац$X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний $cov\left(X,\ Y\right)$ нь $X-M\left(X\right)$ болон $Y-M\left(Y) санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэрийн математик хүлээлт юм. \right)$, энэ нь:

$$cov\left(X,\Y\баруун)=М\зүүн(\зүүн(X-M\зүүн(X\баруун)\баруун)\зүүн(Y-M\зүүн(Y\баруун)\баруун)\баруун). $$

$X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ковариацыг дараах томъёогоор тооцоолоход тохиромжтой.

$$cov\left(X,\Y\баруун)=М\зүүн(XY\баруун)-M\зүүн(X\баруун)М\зүүн(Y\баруун),$$

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан эхний томъёоноос гаргаж авч болно. Гол зүйлийг жагсаацгаая ковариацын шинж чанарууд.

1 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүний өөртэйгөө ковариац нь түүний дисперс юм.

$$cov\зүүн(X,\ X\баруун)=D\зүүн(X\баруун).$$

2 . Ковариац нь тэгш хэмтэй байдаг.

$$cov\left(X,\Y\баруун)=cov\зүүн(Y,\ X\баруун).$$

3 . Хэрэв $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал:

$$cov\left(X,\Y\баруун)=0.$$

4 . Тогтмол хүчин зүйлийг ковариацын тэмдэгээс гаргаж болно.

$$cov\left(cX,\ Y\right)=cov\left(X,\ cY\right)=c\cdot cov\left(X,\ Y\баруун).$$

5 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгэнд (эсвэл хоёр зэрэг) тогтмол утгыг нэмбэл ковариац өөрчлөгдөхгүй.

$$cov\left(X+c,\ Y\баруун)=cov\left(X,\ Y+c\баруун)=cov\left(X+x,\ Y+c\баруун)=cov\left( X,\Y\баруун).$$

6 . $cov\left(aX+b,\ cY+d\баруун)=ac\cdot cov\left(X,\ Y\баруун)$.

7 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|\le \sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\баруун))$.

8 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|=\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\баруун))\Зүүн баруун сум Y=aX+b$.

9 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэр дээр нэмэх нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний ковариацын хоёр дахин (хасах)-тай тэнцүү байна.

$$D\зүүн(X\pm Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)\pm 2cov\left(X,\Y\баруун).$$

Жишээ 1 . $\left(X,\ Y\right)$ санамсаргүй векторын корреляцийн хүснэгтийг өгөв. $cov\left(X,\Y\right)$ ковариацыг тооцоол.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline

\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0.05 & p_(22) & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end(массив)$

$\left(X=x_i,\ Y=y_j\right)$ үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул хүснэгтэд заасан $p_(ij)$ бүх магадлалын нийлбэр 1-тэй тэнцүү байх ёстой. Дараа нь $0,1 +0+0,2+0,05+p_(22)+0+0+0,2+0,05+0,1+0+0,1=1$, иймээс $p_(22)=0,2$.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X\буцах налуу зураас Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end(массив)$

$p_(i) =\sum _(j)p_(ij) $ томьёог ашиглан $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг олно.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X & -2 & 0 & 1 & 7 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.25 & 0.25 & 0.2 \\
\hline
\end(массив)$

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=-2\cdot 0.3+0\cdot 0.25+1\cdot 0.25+7\cdot 0 ,2=1.05.$ доллар

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2)=0.3\cdot ( \зүүн (-2-1.05\баруун))^2+0.25\cdot (\зүүн(0-1.05\баруун))^2+0.25\cdot (\зүүн(1-1, 05\баруун))^2+$$

$$+\ 0.2\cdot (\зүүн(7-1.05\баруун))^2=10.1475.$$

$$\сигма \зүүн(X\баруун)=\sqrt(D\зүүн(X\баруун))=\sqrt(10.1475)\ойролцоогоор 3.186.$$

$q_(j) =\sum _(i)p_(ij) $ томьёог ашиглан $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг олно.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
p_i & 0.25 & 0.4 & 0.35 \\
\hline
\end(массив)$

$$M\зүүн(Y\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(y_ip_i)=-6\cdot 0.25+0\cdot 0.4+3\cdot 0.35=-0.45 .$$

$$D\зүүн(Y\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(y_i-M\зүүн(Y\баруун)\баруун))^2)=0.25\cdot ( \зүүн (-6+0.45\баруун))^2+0.4\cdot (\зүүн(0+0.45\баруун))^2+0.35\cdot (\зүүн(3+0, 45\баруун))^2=11.9475. $$

$$\sigma \left(Y\баруун)=\sqrt(D\left(Y\баруун))=\sqrt(11.9475)\ойролцоогоор 3.457.$$

$P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0.1\ne 0.3\cdot 0.25$ тул $X,\ Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай болно.

$X,\ Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний $cov\ \left(X,\ Y\right)$ ковариацыг $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\) томъёогоор тодорхойлъё. баруун)-M\ зүүн(X\баруун)М\зүүн(Y\баруун)$. $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт дараахтай тэнцүү байна.

$$М\зүүн(XY\баруун)=\нийлбэр_(i,\ j)(p_(ij)x_iy_j)=0.1\cdot \left(-2\баруун)\cdot \left(-6\баруун) +0.2 \cdot \left(-2\right)\cdot 3+0.05\cdot 1\cdot 3+0.1\cdot 7\cdot \left(-6\right)+0.1\cdot 7\cdot 3=-1.95.$$

Дараа нь $cov\left(X,\Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)=-1.95-1.05\cdot \left(- 0.45\right)=-1.4775.$ Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал тэдгээрийн ковариац нь тэг болно. Манай тохиолдолд $cov(X,Y)\ne 0$.

Корреляци

Корреляцийн коэффициент$X$ ба $Y$ санамсаргүй хувьсагчдыг тоо гэж нэрлэдэг:

$$\rho \left(X,\Y\right)=((cov\left(X,\Y\right))\over (\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right) )))).$$

Гол зүйлийг жагсаацгаая корреляцийн коэффициентийн шинж чанарууд.

1 . $\rho \left(X,\ X\right)=1$.

2 . $\rho \left(X,\ Y\right)=\rho \left(Y,\ X\right)$.

3 . $\rho \left(X,\ Y\right)=0$ бие даасан санамсаргүй хувьсагчид $X$ ба $Y$.

4 . $\rho \left(aX+b,\ cY+d\right)=(sgn \left(ac\right)\rho \left(X,\ Y\right)\ )$, энд $(sgn \left() ac\right)\ )$ нь $ac$ бүтээгдэхүүний тэмдэг юм.

5 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|\le 1$.

6 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$.

Корреляцийн коэффициент $\rho \left(X,\ Y\right)$ нь $X$ ба $Y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний шугаман хамаарлын зэргийг илэрхийлдэг гэж өмнө нь хэлж байсан.

$\rho \left(X,\ Y\right)>0$ үед $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нэмэгдэхийн хэрээр $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн өсөх хандлагатай байна гэж дүгнэж болно. Үүнийг эерэг гэж нэрлэдэг корреляцийн хамаарал. Жишээлбэл, хүний ​​өндөр, жин нь эерэг хамааралтай байдаг.

$\rho \left(X,\Y\баруун) үед<0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению. Это называется отрицательной корреляционной зависимостью. Например, температура и время сохранности продуктов питания связаны между собой отрицательной корреляционной зависимостью.

$\rho \left(X,\ Y\right)=0$ үед $X$ болон $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг хамааралгүй гэж нэрлэдэг. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй шинж чанар нь тэдгээрийн статистикийн бие даасан байдлыг илэрхийлдэггүй, зөвхөн тэдгээрийн хооронд шугаман хамаарал байхгүй гэсэн үг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Жишээ 2 . Жишээ 1-ээс $\left(X,\ Y\right)$ хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний $\rho \left(X,\ Y\right)$ корреляцийн коэффициентийг тодорхойлъё.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн коэффициент $X,\Y$ нь $r_(XY) =(cov(X,Y)\sigma (X)\sigma (Y)) =(-1.4775\3.186\cdot-той тэнцүү байна. 3.457) =-0.134.$ $r_(XY)-аас хойш<0$, то с ростом $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению (отрицательная корреляционная зависимость).