Санамсаргүй функцийн тоон шинж чанар. Туршлагаас санамсаргүй функцийн шинж чанарыг тодорхойлох

Лекц 13 Санамсаргүй үйл явц Үндсэн ойлголтууд. Хуваарилалтын хууль ба. Хөдөлгөөнгүй, эргодик

Тодорхойлолт

Санамсаргүй үйл явцын ангилал

Санамсаргүй үйл явцын үндсэн шинж чанарууд

Санамсаргүй үйл явцын үндсэн шинж чанарууд

Санамсаргүй үйл явцын үндсэн шинж чанарууд

Санамсаргүй үйл явцын үндсэн шинж чанарууд

Санамсаргүй үйл явцын үндсэн шинж чанарууд

Санамсаргүй үйл явцын үндсэн шинж чанарууд

Тогтмол санамсаргүй үйл явц

Хөдөлгөөнгүй SP-ийн корреляцийн функцийн шинж чанарууд

Эргодик санамсаргүй үйл явц

Анхан шатны санамсаргүй үйл явц

Санамсаргүй үйл явц
БА ТЭДНИЙ ОНЦЛОГ

4.1. АЖЛЫН ЗОРИЛГО

4.2. ОНОЛЫН МЭДЭЭЛЭЛ

Санамсаргүй үйл явдлуудболон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

,

Хаана
. Хэрэв тархалтын функц тасралтгүй ба дифференциал бол бид тодорхойлж болно магадлалын нягтын функц(PDF), товчлолын хувьд магадлалын нягт гэж нэрлэдэг
(мөн заримдаа зүгээр л нягтрал):

, байхад
.

Мэдээжийн хэрэг, түгээлтийн функц нь шинж чанаруудтай сөрөг бус буурахгүй функц юм
,
. Тиймээс,
PDF нь хангасан сөрөг бус функц юм хэвийн болгох нөхцөл
.

Заримдаа хязгаарлагдмал байдаг тоон шинж чанарсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, ихэнхдээ мөчүүд. Бага ангимөч -р дараалал (эхний мөч)

,

хэвтээ шугам хаана байна ба
– интеграл операторын бэлгэдлийн тэмдэглэгээ чуулгын дундаж. Эхний эхлэх мөч
, дуудсан математикийн хүлээлтэсвэл түгээлтийн төв.

Төв-р эрэмбийн мөч (төв мөч)

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг төв мөч бол хоёр дахь төв мөч буюу тархалт

Тархалтын оронд тэд ихэвчлэн ажилладаг стандарт хазайлт(RMS) санамсаргүй хэмжигдэхүүн
.

^ Дунд талбай, эсвэл хоёр дахь анхны мөч
, тархалт ба математикийн хүлээлттэй холбоотой:

PDF-ийн хэлбэрийг тодорхойлохын тулд коэффициентийг ашиглана тэгш бус байдал
ба коэффициент илүүдэл
(заримдаа куртоз нь үнэ цэнээр тодорхойлогддог
).

PDF-тэй ердийн эсвэл Гауссын (Гауссын) тархалтыг ихэвчлэн ашигладаг

,

Хаана Тэгээд - түгээлтийн параметрүүд ( математикийн хүлээлтболон MSD тус тус). Гауссын тархалтын хувьд
,
.

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба онцлогтой хамтарсантүгээлтийн нягтрал
. Тоон шинж чанар үе мөчний нягтраланхан шатны болон төв үүрэг гүйцэтгэдэг холимогмөчүүд

,
,

хаана ба - дурын бүхэл тоо эерэг тоонууд;
Тэгээд - SV-ийн математикийн хүлээлт xТэгээд y.

Хоёр дахь эрэмбийн хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг холимог мөчүүд нь эхний ( харилцан хамааралмөч):

болон төв ( ковариацмөч, эсвэл ковариац)

.

Хос Гауссын санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хоёр хэмжээст хамтарсан PDF нь хэлбэртэй байна

Хаана , - стандарт хазайлт;
- математикийн хүлээлт; – корреляцийн коэффициент- нормчлогдсон ковариацын момент

.

Тэг корреляцийн коэффициенттэй бол энэ нь ойлгомжтой

,

өөрөөр хэлбэл хамааралгүйГауссын санамсаргүй хэмжигдэхүүн бие даасан.
^

Санамсаргүй үйл явц

.

Санамсаргүй үйл явцыг бүрэн тодорхойлсон гэж үздэг. хэн нэгний төлөө бол Та өөрийн хамтарсан PDF-ээ хүссэн үедээ бичиж болно
.

Ихэнхдээ санамсаргүй үйл явцыг дүрслэхдээ бид түүний холимог үйл явцыг бүхэлд нь хязгаарлаж болно анхны мөчүүд(хэрэв тэдгээр нь байгаа бол харгалзах интегралууд нийлдэг)

болон холимог төвийн мөчүүд

сөрөг бус бүхэл тоонуудын хувьд
болон ерөнхийдөө.

Ерөнхий тохиолдолд хамтарсан PDF-ийн моментууд нь цаг хугацааны тэнхлэг дээрх хэсгүүдийн байршлаас хамаардаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг. моментийн функцууд. Хоёр дахь холимог төвийн мөчийг ихэвчлэн ашигладаг.

,

автокорреляцийн функц эсвэл автокорреляцийн функц (ACF) гэж нэрлэдэг. Энд болон доороос цаг хугацааны хамаарлыг тодорхой заагаагүй, тухайлбал, цаг хугацааны функцууд байдаг гэдгийг санацгаая.
,
Тэгээд
.

Хоёр санамсаргүй үйл явцыг хамтад нь авч үзэж болно
Тэгээд
; Ийм анхаарал хандуулах нь хамтарсан олон хэмжээст PDF хэлбэрээр, түүнчлэн холимог мөчүүдийг багтаасан бүх мөчүүдийн багц хэлбэрээр тэдгээрийн тайлбарыг урьдчилан таамаглаж байна. Ихэнхдээ хоёр дахь холимог төвийн мөчийг ашигладаг.

,

хөндлөн хамаарлын функц гэж нэрлэдэг
.

Санамсаргүй бүх процессуудын дотроос бүх цаг хугацааны хэсгүүд ижил хэмжээгээр өөрчлөгдөхөд (шилжсэнээр) хамтарсан хэмжээст PDF өөрчлөгддөггүй SP-ууд ялгагдана. Ийм үйл явц гэж нэрлэдэг суурин явцуу утгаараа эсвэл хатуу хөдөлгөөнгүй.

Ихэнхдээ сул зогсонги шинж чанар бүхий санамсаргүй үйл явцын өргөн ангиллыг авч үздэг. хамтарсан үйлдвэр гэж нэрлэдэг суурин өргөн утгаараа , хэрэв хэсгүүдийг нэгэн зэрэг шилжүүлэхэд зөвхөн түүний моментууд өөрчлөгдөхгүй бол секундээс ихгүй байназахиалга. Практикт энэ нь SP нь тогтмол байвал өргөн утгаараа хөдөлгөөнгүй гэсэн үг юм дундаж(математикийн хүлээлт) ба тархалт
, ба ACF нь зөвхөн цаг хугацааны моментуудын ялгаанаас хамаардаг ба тэдний цаг хугацааны тэнхлэг дээрх байрлалаас хамаардаггүй.

1)
,

2) ,
.

Үүнийг анхаарна уу
, үүнээс тархалтын тогтмол байдал дагалддаг.

Нарийн утгаараа зогсонги үйл явц нь өргөн утгаараа мөн хөдөлгөөнгүй байдаг гэдгийг батлахад хэцүү биш юм. Өргөн утгаараа хөдөлгөөнгүй байдал нь явцуу утгаараа хөдөлгөөнгүй байдлыг илэрхийлдэг үйл явц байдаг ч эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал юм.

Уншлагын хамтарсан хэмжээст PDF
Цаг хугацааны хэсгүүдэд авсан Гауссын процесс нь хэлбэртэй байна

, (4.1)

Хаана - тодорхойлогч квадрат матриц, дээжийн хос корреляцийн коэффициентээс бүрдэх;
– алгебрийн нэмэлтэлемент энэ матриц.

Аливаа тохиолдлын хувьд хамтарсан Гауссын PDF нь математикийн хүлээлт, тархалт, дээжийн корреляцийн коэффициентүүд, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дарааллаас өндөргүй момент функцээр бүрэн тодорхойлогддог. Хэрэв Гауссын процесс нь өргөн утгаараа хөдөлгөөнгүй бол бүх математикийн хүлээлт ижил, бүх дисперсүүд (тиймээс стандарт хазайлт) хоорондоо тэнцүү байх ба корреляцийн коэффициентүүд нь зөвхөн цаг хугацааны хэсгүүдээс хэр хол зайд тусгаарлагдсанаар тодорхойлогддог. бие биенээ. Дараа нь бүх цагийн хэсгүүдийг ижил хэмжээгээр зүүн эсвэл баруун тийш шилжүүлбэл PDF (4.1) өөрчлөгдөхгүй нь ойлгомжтой. Үүнийг дагадаг Гауссын процесс, өргөн утгаараа хөдөлгөөнгүй, явцуу утгаараа хөдөлгөөнгүй(хатуу хөдөлгөөнгүй).

Хатуу хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын дотроос илүү нарийн ангиллыг ихэвчлэн ялгадаг эргодиксанамсаргүй үйл явц. Эргодик процессын хувьд чуулга дээр дунджаар олсон моментууд нь цаг хугацааны дундажаар олсон харгалзах моментуудтай тэнцүү байна.

,

(Энд – цаг дундажлах операторын бэлгэдлийн тэмдэглэгээ).

Ялангуяа эргодик процессын хувьд математикийн хүлээлт, дисперс болон ACF нь тэнцүү байна.

,

,

Санамсаргүй үйл явцын тоон шинж чанарыг бодитоор хэмжих (үнэлгээ хийх) боломжийг олгодог тул эргодик чанар нь маш их таалагддаг. Баримт нь ажиглагчдад санамсаргүй үйл явцын зөвхөн нэг (нэлээн урт ч байж магадгүй) хэрэгжүүлэх боломжтой байдаг. Эргодизм гэдэг нь үндсэндээ энэхүү өвөрмөц ухаарал юм бүхэл бүтэн чуулгын бүрэн төлөөлөгч.

Эргодик процессын шинж чанарыг хэмжих нь энгийн хэмжих хэрэгслийг ашиглан хийж болно; Тиймээс хэрэв процесс нь цаг хугацаанаас хамааралтай хүчдэл бол вольтметр соронзон цахилгаансистем нь түүний математик хүлээлт (тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг), тусгаарлах багтаамж (тогтмол бүрэлдэхүүн хэсгийг оруулахгүй) -ээр холбогдсон цахилгаан соронзон эсвэл дулааны цахилгаан системийн вольтметр - түүний үндсэн квадрат утгыг (RMS) хэмждэг. Төхөөрөмж, блок диаграмүүнийг Зураг дээр үзүүлэв. 4.1 нь автокорреляцийн функцийн утгыг өөр өөр утгыг хэмжих боломжийг танд олгоно . Шүүлтүүр бага давтамжуудЭнд интеграторын үүрэг гүйцэтгэдэг, конденсатор нь шууд гүйдлийн бүрэлдэхүүн хэсгийг дамжуулдаггүй тул процессыг төвлөрүүлдэг. Энэ төхөөрөмжийг нэрлэдэг коррелометр.

Цагаан будаа. 4.1

Хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын ergodicity хангалттай нөхцөл нь нөхцөл юм
, мөн түүнчлэн бага хүчтэй Слуцкийн байдал
.
^

Дискрет алгоритмуудхамтарсан үйлдвэрийн параметрүүдийг тооцоолох

,

Хаана
- процессын дээжийн дараалал ( дээжэзлэхүүн
). Тархалтын тооцоо нь түүврийн зөрүү , илэрхийллээр тодорхойлогддог

.

Автокорреляцийн функцийн тооцоо, өөрөөр нэрлэдэг коррелограмм, гэж олддог

.

SSP-ийн агшин зуурын утгын магадлалын тархалтын нягтын тооцоо гистограм. Үүнийг олохын тулд боломжит SP утгуудын хүрээг хуваана тэнцүү өргөнтэй интервалууд, дараа нь тус бүрийн хувьд -р интервал нь тоо түүнд орсон дээжийн дээж. Гистограм бол тоонуудын багц юм
, ихэвчлэн торны диаграм хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг. Өгөгдсөн түүврийн хэмжээний интервалын тоог тооцооллын нарийвчлал ба гистограмын нарийвчлал (нарийвчилсан зэрэг) хоорондын тохиролд үндэслэн сонгоно.
^

Санамсаргүй үйл явцын корреляци-спектрийн онол

,
.

Мэдээжийн хэрэг, SPM - сөрөг бусфункц. Хэрэв процесс нь тэгээс өөр математикийн хүлээлттэй бол энэ нэр томъёог PSD-д нэмнэ
.

Бодит процессын хувьд ACF болон SPM нь бодит функцууд юм.

Заримдаа та өөрийгөө тоон шинж чанараар хязгаарлаж болно - корреляцийн интервал ба үр дүнтэй спектрийн өргөн. ^ Корреляцийн интервал Янз бүрийн аргаар тодорхойлогддог, ялангуяа дараахь тодорхойлолтуудыг мэддэг.

Даалгавар курсын ажил

Өгөгдсөн: эхний таван мөч

А 1 = 1, а 2= 2, a 3= 2, a 4= 1, a 5 = 1 (µ Г = 0, µ 0 = 1).

Олно: таван төв цэг.

Таван эхний ба таван гол мөчийг эзэмшиж, утгыг тооцоолно уу:

A)математикийн хүлээлт;

б)тархалт;

V)стандарт хазайлт;

G)хэлбэлзлийн коэффициент;

г)тэгш бус байдлын коэффициент;

д)Куртозын коэффициент.

Хүлээн авсан өгөгдлийг ашиглан энэ үйл явцын магадлалын нягтыг чанарын хувьд тодорхойлно.

1. Онолын мэдээлэл

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт ба тархалтын функцууд

Тоон санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлалыг онцгойлон тодорхойлдог функц юм. утгыг тохируулахэсвэл өгөгдсөн интервалд хамаарах.

Эхнийх нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн авдаг бол эцсийн тооүнэт зүйлс. Дараа нь хуваарилалтыг функцээр өгнө P (X = x),хүн бүрт өгдөг боломжит утга Xсанамсаргүй хувьсагч Xмагадлал X = x.

Хоёр дахь нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй олон утгыг авдаг бол. Энэ нь зөвхөн үед л боломжтой магадлалын орон зай, дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон, бүрдэнэ хязгааргүй тоо анхан шатны үйл явдлууд. Дараа нь тархалтыг магадлалын багцаар өгнө R (аX бүх хос тооны хувьд а, бтиймэрхүү А Түгээлт гэж нэрлэгддэг зүйлийг ашиглан тодорхойлж болно. түгээлтийн функц F(x) = P (X<х), бүх бодит байдлыг тодорхойлох Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал X-аас бага утгыг авдаг X.Энэ нь ойлгомжтой

R (аX

Энэ хамаарал нь тархалтын функцээс тархалтыг тооцоолж болох ба эсрэгээр тархалтын функцийг тархалтаас тооцоолж болохыг харуулж байна.

Шийдвэр гаргах магадлал-статистик арга болон бусад хэрэглээний судалгаанд ашигладаг хуваарилалтын функцууд нь салангид, тасралтгүй эсвэл тэдгээрийн хослол юм.

Дискрет тархалтын функцүүд нь элементүүдийг натурал тоогоор дугаарлаж болох олонлогоос хязгаарлагдмал тооны утга эсвэл утгыг авдаг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна (ийм олонлогийг математикт тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг). Тэдний график нь шаталсан шат шиг харагдаж байна (Зураг 1).

Жишээ 1.Тоо XБагц дахь гэмтэлтэй зүйлс 0.3 магадлалаар 0 утгыг, 0.4 магадлалтайгаар 1-ийн утгыг, 0.2-ын магадлалаар 2-ын утгыг, 0.1-ийн магадлалтайгаар 3-ын утгыг авна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн график XЗурагт үзүүлэв. 1.

Цагаан будаа. 1. Гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тооны хуваарилалтын функцийн график.

Тасралтгүй түгээлтийн функцуудад үсрэлт байхгүй. Аргумент нэмэгдэхийн хэрээр тэд монотоноор нэмэгддэг - x→∞-ийн хувьд 0-ээс x→+∞-ийн хувьд 1 хүртэл. Тасралтгүй тархалтын функцтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Магадлал-статистикийн шийдвэр гаргах аргад хэрэглэгддэг тасралтгүй хуваарилалтын функцууд нь деривативтай байдаг. Эхний дериватив f(x)түгээлтийн функцууд F(x)магадлалын нягт гэж нэрлэдэг,

Магадлалын нягтыг ашиглан та түгээлтийн функцийг тодорхойлж болно.

Аливаа түгээлтийн функцийн хувьд

Түгээлтийн функцүүдийн жагсаасан шинж чанаруудыг шийдвэр гаргах магадлал ба статистик аргуудад байнга ашигладаг. Ялангуяа сүүлчийн тэгшитгэл нь доор авч үзэх магадлалын нягтын томъёонд тогтмол тодорхой хэлбэрийг агуулдаг.

Жишээ 2.Дараах түгээлтийн функцийг ихэвчлэн ашигладаг.

(1)

Хаана АТэгээд б-зарим тоо А Энэ тархалтын функцийн магадлалын нягтыг олъё.

(цэг дээр X = АТэгээд x = bфункцийн дериватив F(x)байхгүй).

Тархалтын функцтэй (1) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг “хэгж дээр жигд тархсан ».

Холимог хуваарилалтын функцууд, ялангуяа ажиглалтууд хэзээ нэгэн цагт зогсох үед үүсдэг. Жишээлбэл, найдвартай байдлын туршилтын төлөвлөгөөг ашиглан олж авсан статистик мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийхдээ тодорхой хугацааны дараа туршилтыг зогсоохыг заасан байдаг. Эсвэл баталгаат засвар хийх шаардлагатай техникийн бүтээгдэхүүний мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх үед.

Жишээ 3.Жишээлбэл, цахилгаан чийдэнгийн ашиглалтын хугацааг хуваарилах функцтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзье F(t),туршилтыг гэрлийн чийдэн ажиллахгүй болтол, хэрэв энэ нь туршилт эхэлснээс хойш 100-аас бага цагийн дотор явагдах хүртэл явагдана. т0 = 100 цаг. Болъё G(t) -энэ туршилтын үед сайн нөхцөлд гэрлийн чийдэнгийн ажиллах хугацааны хуваарилалтын функц. Дараа нь

Чиг үүрэг G(t)цэг дээр үсрэлт байна т0 , учир нь харгалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авдаг т0 магадлалаар 1-F(t0 )>0.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд.Шийдвэр гаргах магадлал-статистик аргад санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэд хэдэн шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд тархалтын функцууд болон магадлалын нягтралаар илэрхийлэгддэг.

Орлогын ялгааг тайлбарлахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын параметрүүдийн итгэлцлийн хязгаарыг олоход болон бусад олон тохиолдолд "захиалгын тоо хэмжээ" гэх мэт ойлголтыг ашигладаг. r",хаана 0 <р < 1 (тэмдэглэсэн Xr). Захиалгын тоо хэмжээ r- тархалтын функц нь утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга rэсвэл бага утгаас "үсрэх" байна rилүү их утга руу r(Зураг 2). Энэ нөхцөл нь энэ интервалд хамаарах x-ийн бүх утгын хувьд хангагдаж болно (өөрөөр хэлбэл тархалтын функц нь энэ интервал дээр тогтмол бөгөөд тэнцүү байна) p).Дараа нь ийм утга бүрийг "захиалгын тоо хэмжээ" гэж нэрлэдэг. r".Тасралтгүй хуваарилалтын функцүүдийн хувьд дүрмээр бол нэг квантил байдаг Xr захиалга r(Зураг 2), ба

F(xх)=х.(2)

Цагаан будаа. 2. Квантиль тодорхойлох Xr захиалга r.

Жишээ 4.Квантилыг олъё Xr захиалга rтүгээлтийн функцийн хувьд F(x)(1) -ээс.

0-д <р < 1 квантил Xr тэгшитгэлээс олно

тэдгээр. Xr= a+ p (b - a) = a (1-p) + br. At p = 0 ямар ч XАзахиалгын тоо хэмжээ юм х= 0. Захиалгын тоо хэмжээ r= 1 нь дурын тоо юм Xб.

Дискрет хуваарилалтын хувьд дүрмээр бол байхгүй Xr, хангасан тэгшитгэл (2). Илүү нарийн, санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг хүснэгтэд өгсөн бол. 1, хаана x1 < х 2 <… < х руу, дараа нь тэгшитгэл гэж үздэг тэгшитгэл (2). Xr, зөвхөн шийдэлтэй күнэт зүйлс p,тухайлбал,

p =p1

p =p1 +х2 ,

p = p1 +х2 +х3 ,

p = p1 +х2 + rТ, 3<т<к,

p = p, + p2 +… +хк

Хүснэгт 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт

Санамсаргүй хувьсагчийн х утгууд ХХ1 X2 …XкМагадлал P (X = x) P1 Р2 …Рк

Жагсаалтад орсон хүмүүсийн хувьд руумагадлалын утгууд rшийдэл Xr тэгшитгэл (2) нь өвөрмөц биш, тухайлбал,

F(x) =р, +р2 +… + РТ

хүн бүрт Xтиймэрхүү XТ < х < х t+1. Тэдгээр. Xr - интервалаас дурын тоо (XТ; xм+1). Бусад бүх хүмүүст rЖагсаалтад (3) ороогүй (0; 1) интервалаас бага утгаас "үсрэх" байна. rилүү их утга руу r.Тухайлбал, хэрэв

х1 +х2 +… + хТ 1 +х2 + … + хТ+хt+1,

Тэр xr=xt+1.

Дискрет хуваарилалтын шинж чанар нь тархалтын шинж чанарын ердийн тоон утгыг үнэн зөв хадгалах боломжгүй тул ийм хуваарилалтыг хүснэгтлэх, ашиглахад ихээхэн бэрхшээл учруулдаг. Ялангуяа энэ нь параметрийн бус статистик тестийн чухал утга, ач холбогдлын түвшинд үнэн юм (доороос үзнэ үү), учир нь эдгээр туршилтуудын статистикийн тархалт нь салангид байдаг.

Тоон дараалал нь статистикт чухал ач холбогдолтой p =½. Үүнийг медиан гэж нэрлэдэг (санамсаргүй хувьсагч Xэсвэл түүний хуваарилалтын функц F(x))болон томилогдсон Үслэг).Геометрийн хувьд "медиан" гэсэн ойлголт байдаг - гурвалжингийн оройг дайран өнгөрч, түүний эсрэг талыг хагасаар хуваадаг шулуун шугам. Математикийн статистикийн хувьд медиан нь гурвалжны талыг биш харин санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг хагасаар хуваадаг: тэгш байдал F(x0,5 ) = 0.5 гэдэг нь зүүн тийш цохих магадлал гэсэн үг x0,5 мөн баруун тийш гарах магадлал x0,5 (эсвэл шууд x0,5 ) хоорондоо тэнцүү ба тэнцүү байна ½ , тэдгээр.

Медиан нь түгээлтийн "төв"-ийг заана. Орчин үеийн ойлголтуудын нэг болох тогтвортой статистикийн процедурын онолын үүднээс авч үзвэл медиан нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс илүү сайн шинж чанар юм. Хэмжилтийн үр дүнг дараалсан масштабаар боловсруулахдаа (хэмжилтийн онолын бүлгийг үзнэ үү) медианыг ашиглаж болох боловч математикийн хүлээлт боломжгүй.

Мод гэх мэт санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанар нь тодорхой утгатай байдаг - тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын орон нутгийн максимум эсвэл салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын орон нутгийн хамгийн их утгатай тохирох санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга (эсвэл утгууд). .

Хэрэв X0 - нягтралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим f(x),мэдэгдэж байгаачлан

дифференциал тооцооноос,

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь олон горимтой байж болно. Тиймээс цэг бүрийг жигд хуваарилахын тулд (1). Xтиймэрхүү А< х < b, загвар юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь үл хамаарах зүйл юм. Шийдвэр гаргах магадлалын статистик аргууд болон бусад хэрэглээний судалгаанд ашигладаг ихэнх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нэг горимтой байдаг. Нэг горимтой санамсаргүй хувьсагч, нягтрал, тархалтыг unimodal гэж нэрлэдэг.

Хязгаарлагдмал тооны утга бүхий салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн математикийн хүлээлтийг "Үйл явдал ба магадлал" бүлэгт авч үзнэ. Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд Xматематикийн хүлээлт М(X)тэгш байдлыг хангадаг

Жишээ 5.Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт Xтэнцүү байна

Энэ бүлэгт авч үзсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд өмнө нь хязгаарлагдмал тооны утгатай салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд авч үзсэн математикийн хүлээлт, дисперсийн бүх шинж чанарууд үнэн юм. Гэсэн хэдий ч шийдвэр гаргах магадлал-статистикийн аргуудыг ойлгох, чадварлаг хэрэглэхэд шаардлагагүй математикийн нарийн ширийн зүйлийг гүнзгийрүүлэх шаардлагатай тул бид эдгээр шинж чанаруудын нотолгоог өгөхгүй байна.

Сэтгэгдэл.Энэхүү сурах бичиг нь хэмжигдэхүйц олонлог, хэмжигдэхүйц функц, үйл явдлын алгебр гэх мэт ойлголттой холбоотой математикийн нарийн ширийн зүйлсээс ухамсартайгаар зайлсхийдэг. Эдгээр ойлголтыг эзэмшихийг хүсч буй хүмүүс тусгай уран зохиол, ялангуяа нэвтэрхий толь бичигт хандах хэрэгтэй.

Математикийн хүлээлт, медиан, горим гэсэн гурван шинж чанар тус бүр нь магадлалын тархалтын “төв”-ийг тодорхойлдог. "Төв" гэсэн ойлголтыг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно - иймээс гурван өөр шинж чанар. Гэсэн хэдий ч хуваарилалтын чухал ангиллын хувьд тэгш хэмтэй unimodal - бүх гурван шинж чанар нь давхцдаг.

Түгээлтийн нягтрал f(x)- хэрэв тоо байгаа бол тэгш хэмтэй тархалтын нягт X0 тиймэрхүү

(3)

Тэгш байдал (3) нь функцийн графикийг хэлнэ у =f(x)тэгш хэмийн төвийг дайран өнгөрөх босоо шугамын тэгш хэмтэй x = x0 . (3)-аас тэгш хэмтэй тархалтын функц нь хамаарлыг хангаж байна

(4)

Нэг горимтой тэгш хэмтэй тархалтын хувьд математикийн хүлээлт, медиан ба горим давхцаж, тэнцүү байна. X0 .

Хамгийн чухал тохиолдол бол 0 орчим тэгш хэм юм, i.e. Xn = 0. Дараа нь (3) ба (4) тэнцүү болно

(5)

(6)

тус тус. Дээрх хамаарлаас харахад тэгш хэмтэй тархалтыг бүгдийг нь хүснэгтээр гаргах шаардлагагүй X, x-д зориулсан хүснэгтүүд байхад хангалттай X0 .

Шийдвэр гаргах магадлал-статистик арга болон бусад хэрэглээний судалгаанд байнга ашиглагддаг тэгш хэмтэй тархалтын өөр нэг шинж чанарыг тэмдэглэе. Тасралтгүй хуваарилалтын функцийн хувьд

P(a) = P (-a<Х a) = F(a) - F(-a),

Хаана Ф- санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц X.Хэрэв түгээлтийн функц Ф0 орчим тэгш хэмтэй байна, өөрөөр хэлбэл. (6) томъёо үүнд хүчинтэй байна

P(a) =2F(a) - 1.

Тухайн мэдэгдлийн өөр нэг томъёоллыг ихэвчлэн ашигладаг: if

Хэрэв Тэгээд - захиалгын тоо хэмжээ α ба 1- α үүний дагуу ((2)-ыг үзнэ үү) 0 орчим тэгш хэмтэй тархалтын функц, дараа нь (6)-аас дараахь зүйлийг гаргана.

Албан тушаалын шинж чанараас - математикийн хүлээлт, медиан, горим - санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын шинж чанарууд руу шилжье. X:

зөрүү , стандарт хазайлт σ ба хэлбэлзлийн коэффициент v. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсийн тодорхойлолт ба шинж чанарыг өмнөх бүлэгт авч үзсэн. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуурын сөрөг бус утга юм.

Вариацын коэффициент нь стандарт хазайлтыг математикийн хүлээлттэй харьцуулсан харьцаа юм.

үед хэлбэлзлийн коэффициентийг хэрэглэнэ M(X)>0.Энэ нь тархалтыг харьцангуй нэгжээр хэмждэг бол стандарт хазайлтыг үнэмлэхүй нэгжээр хэмждэг.

Жишээ 6.Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд XДисперс, стандарт хазайлт, вариацын коэффициентийг олъё. Энэ зөрүү нь:

Хувьсах солих бичих боломжтой болгодог:

Хаана c = (б- А)/2. Тиймээс стандарт хазайлт нь тэнцүү байна ба хэлбэлзлийн коэффициент нь:

Санамсаргүй хувьсагч бүрийн хувьд Xөөр гурван хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох - төвтэй Y,хэвийн болгосон Вмөн өгсөн У.Төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-нь өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний ялгаа юм Xба түүний математик хүлээлт М(X),тэдгээр. Y= X - M(X).Г төвтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт 0-тэй тэнцүү бөгөөд дисперс нь энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс юм. M(Y) =0, D(Y) = D(X).Түгээлтийн функц ФЮ(x)төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Ютүгээлтийн функцтэй холбоотой F(x)анхны санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхарьцаа:

ФЮ(x) =F (x + M(X)).

Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал нь дараах тэнцүү байна.

еЮ(x) =f (x + M(X)).

Нормчилсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн Внь өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний харьцаа юм Xруу түүний стандарт хазайлт σ , өөрөөр хэлбэл . Нормалжсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба дисперс Вшинж чанараараа илэрхийлэгддэг XТэгэхээр:

Хаана v- анхны санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьсах коэффициент X.Түгээлтийн функцийн хувьд Фv(x)ба нягтрал еv(x)нормчлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн Вбидэнд байна:

Хаана F(x)- анхны санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц X,а f(x) -түүний магадлалын нягт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бууруулсан U-Энэ нь төвлөрсөн ба нормчлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм:

Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд:

(7)

Нормчилсан, төвлөрсөн, бууруулсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг онолын судалгаа, алгоритм, програм хангамжийн бүтээгдэхүүн, зохицуулалт, техникийн болон зааварчилгааны баримт бичигт байнга ашигладаг. Ялангуяа, учир нь аргын үндэслэл, теоремын томъёолол, тооцооны томъёог хялбарчлах боломжтой болгох.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн болон илүү ерөнхий хэмжигдэхүүнүүдийн хувиргалтыг ашигладаг. Тэгэхээр, хэрэв Y= aX+ b,Хаана Аболон б - тэгвэл хэдэн тоо

(8)

Жишээ 7.Хэрэв Тэр U -өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн, томъёо (8) нь томъёо (7) болж хувирдаг.

Санамсаргүй хувьсагч бүртэй Xта олон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг холбож болно Y,томъёогоор өгөгдсөн У= aX+bөөр үед a>0Тэгээд б.Энэ багц гэж нэрлэдэг шилжилтийн гэр бүл,санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр үүсгэгдсэн X.Түгээлтийн функцууд ФЮ(x)хуваарилалтын функцээр үүсгэгдсэн хуваарилалтын масштабын шилжилтийн гэр бүлийг бүрдүүлнэ F(x).Оронд нь Y= aX+ bихэвчлэн бичлэг ашигладаг

(9)

Тоо -тайшилжилтийн параметр, тоо гэж нэрлэдэг г- масштабын параметр. Формула (9) нь үүнийг харуулж байна X -тодорхой хэмжигдэхүүнийг хэмжих үр дүн - Y-д орно - хэмжилтийн эхлэлийг цэг рүү шилжүүлсэн тохиолдолд ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих үр дүн -тай,дараа нь шинэ хэмжих нэгжийг ашиглана гөмнөхөөсөө хэд дахин том.

Хуваарийн шилжилтийн гэр бүлийн (9) хувьд X-ийн тархалтыг стандарт гэж нэрлэдэг. Шийдвэр гаргах магадлалын статистик аргууд болон бусад хэрэглээний судалгаанд стандарт хэвийн тархалт, стандарт Weibull-Gnedenko тархалт, стандарт гамма тархалт гэх мэтийг ашигладаг (доороос үзнэ үү).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бусад хувиргалтыг мөн ашигладаг. Жишээлбэл, эерэг санамсаргүй хувьсагчийн хувьд Xавч үзэж байна Y=g X,хаана lg X-тооны аравтын логарифм X.Тэгш байдлын гинж

СЕВАСТОПОЛИЙН УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ

ММ. Гашим, Т.В.Чернаутану

САНАМЖИЙН ОНЦЛОГ

Заавар

Зөвшөөрсөн

хүрээлэнгийн шинжлэх ухааны зөвлөл

Севастополь

Ghashim M.M., T.V.Cerneutanu

Санамсаргүй функцууд: боловсролын арга. тэтгэмж. - Севастополь: СевГУ, 2015.

Энэхүү гарын авлага нь “ ”, “ ”, “ “ гэсэн гурван үндсэн хэсгийг хамарна. Хэсэг бүрт онолын үндсэн асуултууд, ердийн жишээнүүдийн дүн шинжилгээ, тэдгээрийн хариулт бүхий бие даан ажиллах даалгаврууд орно.

"" сэдвийг судлахад гуравдугаар курсын оюутнуудад зориулагдсан.

Шүүгчид:

Доктор,

Доктор, дэд профессор

NK.Ph.S. дэд профессор

© SevGU хэвлэлийн газар, 2015 он

§ 1. Санамсаргүй функцийн тухай ойлголт…………………………………

§ 2. Санамсаргүй функцүүдийн шинж чанар……………………………

§ 3. Динамик системийн оператор…………………………….

§ 4. Санамсаргүй функцын шугаман хувиргалт ………………

§ 5. Тогтмол санамсаргүй үйл явц……………………

§ 6. Хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийн спектрийн тэлэлт………

§ 7. Тогтворгүй санамсаргүй функцүүдийн эргодик шинж чанар………….

Ердийн асуудлыг шийдвэрлэх ………………………………………………………………………

Бие даасан шийдвэрлэх асуудлууд………………………………

Уран зохиол…………………………………………………………

Санамсаргүй шинж чанарууд

Санамсаргүй функцийн тухай ойлголт.

Магадлалын онолын явцад судалгааны гол сэдэв нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байсан бөгөөд туршилтын үр дүнд тэд урьдчилж мэдэгдээгүй, гэхдээ зөвхөн нэг утгыг авсан гэдгээрээ онцлог байв. Өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй үзэгдлүүдийг "статик" хэлбэрээр, бие даасан туршилтын зарим тогтмол тогтмол нөхцөлд судалж үзсэн. Гэсэн хэдий ч практик дээр туршилтын явцад байнга өөрчлөгддөг санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, хөдөлж буй бай руу тасралтгүй чиглэх үед хар тугалганы өнцөг; Удирдах эсвэл чиглүүлэх үед чиглүүлсэн сумны чиглэлийн онолынхоос хазайх гэх мэт. Зарчмын хувьд автомат удирдлагатай аливаа систем нь холбогдох онолын үндэслэл болох автомат удирдлагын онол дээр тодорхой шаардлагыг тавьдаг. Тасралтгүй ажиллаж байгаа санамсаргүй эвдрэл эсвэл "хөндлөнгөөс" үргэлж тохиолддог хяналтын үйл явцыг зайлшгүй дагалддаг алдаануудыг шинжлэхгүйгээр энэ онолыг хөгжүүлэх боломжгүй юм. Эдгээр зөрчлүүд нь мөн чанараараа санамсаргүй үйл ажиллагаа юм. Тэгэхээр:

Тодорхойлолт . Санамсаргүй функц X(т) нь санамсаргүй бус аргументийн функц гэж нэрлэгддэг т, энэ нь аргументийн тогтмол утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Санамсаргүй функцээр авсан тодорхой хэлбэр X(т) туршлагын үр дүнд гэж нэрлэдэг хэрэгжилт санамсаргүй функц.

Жишээ . Агаарын зам дээр байгаа онгоц онолын хувьд тогтмол агаарын хурдтай байдаг В. Үнэн хэрэгтээ түүний хурд нь энэ дундаж нэрлэсэн утгын орчимд хэлбэлздэг бөгөөд цаг хугацааны санамсаргүй функц юм. Нислэгийг санамсаргүй үйл ажиллагаа явуулдаг туршилт гэж үзэж болно В(т) тодорхой хэрэгжилтийг хүлээн зөвшөөрдөг (Зураг 1).

Хэрэгжүүлэх хэлбэр нь туршлагаасаа хамааран өөрчлөгддөг. Хэрэв онгоцонд бичигч суурилуулсан бол нислэг бүрт санамсаргүй функцийн хэрэгжилтийг бусдаас ялгаатай, шинээр бүртгэх болно. Хэд хэдэн нислэгийн үр дүнд санамсаргүй функцийг хэрэгжүүлэх гэр бүлийг олж авах боломжтой В(т) (Зураг 2).

Практикт нэг аргументаас бус хэд хэдэн, жишээлбэл, агаар мандлын төлөв байдал (температур, даралт, салхи, хур тунадас) -аас хамаардаг санамсаргүй функцүүд байдаг. Энэ хичээлээр бид зөвхөн нэг аргументын санамсаргүй функцуудыг авч үзэх болно. Энэ аргумент нь ихэвчлэн цаг хугацаа байдаг тул бид үүнийг үсгээр тэмдэглэх болно т. Нэмж дурдахад бид санамсаргүй функцийг том үсгээр тэмдэглэхийг зөвшөөрч байна ( X(т), Ю(т), …) санамсаргүй бус функцээс ялгаатай нь ( x(т),y(т), …).

Зарим санамсаргүй функцийг авч үзье X(т). Тийм байсан гэж бодъё nбие даасан туршилтууд, үүний үр дүнд бид туршилтын тоогоор тэмдэглэсэн n хэрэгжилтийг олж авсан. x 1 (т), x 2 (т), …, x n(т). Хэрэгжилт бүр нь энгийн (санамсаргүй биш) функц болох нь ойлгомжтой. Тиймээс туршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй функц X(т) санамсаргүй бус функц болж хувирдаг.

Одоо аргументийн зарим утгыг засъя т. Энэ тохиолдолд санамсаргүй функц X(т) санамсаргүй хэмжигдэхүүн болж хувирна.

Тодорхойлолт. Хэсэг санамсаргүй функц X(т) нь санамсаргүй функцийн аргументын тогтмол утгатай харгалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Санамсаргүй функц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба функцийн шинж чанаруудыг нэгтгэдэг болохыг бид харж байна. Ирээдүйд бид ихэвчлэн ижил функцийг ээлжлэн авч үзэх болно X(т) өөрчлөлтийн бүх хязгаарт авч үзэх эсэхээс хамааран санамсаргүй функц эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тэсвэл түүний тогтмол үнэ цэнээр.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X(т) – мөчид санамсаргүй функцийн хөндлөн огтлол т. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тархалтын хуультай бөгөөд энэ нь ерөнхийдөө үүнээс хамаардаг т. Үүнийг тэмдэглэе е(x, т). Чиг үүрэг е(x, т) гэж нэрлэдэг нэг хэмжээст тархалтын хуульсанамсаргүй функц X(т).

Функц нь ойлгомжтой е(x, т) нь санамсаргүй функцийн бүрэн гүйцэд шинж чанар биш юм X(т), учир нь энэ нь зөвхөн хуваарилалтын хуулийг тодорхойлдог X(т) дур зоргоороо ч гэсэн өгөгдсөн зүйлийн хувьд тмөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлын тухай асуултад хариулдаггүй X(т) өөр т. Энэ үүднээс авч үзвэл санамсаргүй функцийн илүү бүрэн шинж чанар X(т) гэж нэрлэгддэг хоёр хэмжээст тархалтын хууль: е(x 1 , x 2 ; т 1 , т 2). Энэ бол хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль юм X(т 1), X(т 2), өөрөөр хэлбэл. санамсаргүй функцийн дурын хоёр хэсэг X(т). Гэхдээ энэ шинж чанар нь ерөнхий тохиолдолд бүрэн гүйцэд биш юм. Мэдээжийн хэрэг, онолын хувьд аргументуудын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлж, санамсаргүй функцийн улам бүр бүрэн шинж чанарыг олж авах боломжтой боловч олон аргументаас хамаардаг ийм төвөгтэй шинж чанаруудтай ажиллах нь туйлын хэцүү байдаг. Энэ хичээлийн хүрээнд бид тархалтын хуулиудыг огт ашиглахгүй, харин санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанаруудтай адил санамсаргүй функцүүдийн хамгийн энгийн шинж чанаруудыг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно.

Нийлмэл давхаргат функцийг функц гэж нэрлэдэг

З(т)=X(т)+Y(т)би,

Хаана X(т) Мөн Ю(т)-бодит аргументийн бодит санамсаргүй функцууд т.

Математикийн хүлээлт ба дисперсийн тодорхойлолтыг нарийн төвөгтэй санамсаргүй функцүүдийн хувьд ерөнхийд нь авч үзье, ялангуяа Y = 0 үед эдгээр шинж чанарууд нь бодит санамсаргүй функцүүдийн өмнө танилцуулсан шинж чанаруудтай давхцаж, жишээлбэл, шаардлагыг хангасан болно.

м з(т)=м x(т)(*)

Д з(т)=D x(т)(**)

Математик,хүлээж байна,нийлмэл санамсаргүй функц Z(т)=X(т)+Y(т)бинарийн төвөгтэй функц гэж нэрлэдэг (санамсаргүй бус)

m z ( т)=м x(т)+м y(т)би.

Ялангуяа Y=0-ийн хувьд бид авна t z(т)=t x(т), тэдгээр. шаардлага (*) хангагдсан байна.

Комплекс санамсаргүй функцийн дисперс Z(т) нь төвлөрсөн функцийн квадрат модулийн математик хүлээлт юм З(т):

Д з(т)=М[| (т)| 2 ].

Ялангуяа Y==0-ийн хувьд бид D z ( т)= М[| (т)|] 2 =D x(т), өөрөөр хэлбэл шаардлага (**) хангагдсан байна.

Нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна гэж үзвэл бид

Д з(т)=М[| (т)| 2 ]=М{[ (т)] 2 + [ (т) 2 ]}=М[ (т)] 2 +М[ (т) 2 ]=Dx(т)+D y(т).

Тэгэхээр, нийлмэл санамсаргүй функцийн дисперс нь түүний бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

D z ( т)=D x(т)+D y(т).

Бодит санамсаргүй функцийн корреляцийн функцийг мэддэг X(т) аргументуудын өөр өөр утгуудын хувьд хэлбэлзэлтэй тэнцүү байна Dx(т). Корреляцийн функцийн тодорхойлолтыг нийлмэл санамсаргүй функцүүдэд ерөнхийд нь авч үзье З(т) ингэснээр аргументуудын ижил утгатай байх болно т 1 =t 2 =tкорреляцийн функц К з(т,т) хэлбэлзэлтэй тэнцүү байсан Д з(т), өөрөөр хэлбэл, шаардлагыг хангасан байх ёстой

К з(т,т)=D z(т). (***)

Комплекс санамсаргүй функц Z-ийн корреляцийн функц(т) хөндлөн огтлолын корреляцийн момент гэж нэрлэдэг ( т 1) ба ( т 2)

К з(т 1 ,т 2)= М.

Ялангуяа аргументуудын ижил утгатай

К з(т,т)= М=М[| | 2 ]=Д з(т).

өөрөөр хэлбэл шаардлага (***) хангагдсан байна.

Хэрэв бодит санамсаргүй функцууд X(т) Мөн Ю(т) хамааралтай байна, тэгвэл

К з(т 1 ,т 2)= K x(т 1 ,т 2)+K y(т 1 ,т 2)+ [Rxy(т 2 ,т 1)]+ [Rxy(т 1 ,т 1)].

Хэрэв X(т) Мөн Ю(т) хамааралгүй байна

К з(т 1 ,т 2)= K x(т 1 ,т 2)+K y(т 1 ,т 2).

Кроскорреляцийн функцийн тодорхойлолтыг нийлмэл санамсаргүй функцүүдэд ерөнхийд нь авч үзье З 1 (т)=X 1 (т)+Ю 1 (т)биТэгээд З 2 (т)=X 2 (т)+Ю 2 (т)биингэснээр, ялангуяа, хэзээ Ю 1 =Y 2 = 0 шаардлагыг хангасан

Хоёр нийлмэл санамсаргүй функцийн хөндлөн хамаарлын функцфункцийг дуудах (санамсаргүй бус)

Ялангуяа хэзээ Ю 1 =Y 2 = 0 бид авна

өөрөөр хэлбэл шаардлага (****) хангагдсан.

Хоёр нийлмэл санамсаргүй функцийн хөндлөн хамаарлын функцийг тэдгээрийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн хөндлөн хамаарлын функцээр дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Даалгаврууд

1. Санамсаргүй функцүүдийн математик хүлээлтийг ол:

а) X(т)=Ут 2 хаана U-санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба М(У)=5 ,

б)X(т)=У cos2 t+Vt, Хаана УТэгээд V-санамсаргүй хэмжигдэхүүн, ба М(У)=3 ,М(В)=4 .

Төлөөлөгч a) m x (t)=5t 2; б) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. К х(т 1 ,т 2) санамсаргүй функц X(т). Санамсаргүй функцүүдийн корреляцийн функцийг ол:

а) Ю(т)=X(т)+t;б) Ю(т)=(т+1)X(т); V) Ю(т)=4X(т).

Төлөөлөгч a) K y (t 1 ,t 2) = K x (t 1 ,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); в) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.

3. Зөрчлийг тодорхойлсон Dx(т) санамсаргүй функц X(т). Санамсаргүй функцүүдийн дисперсийг ол: a) Ю(т)=X(т)+e t b)Ю(т)=tX(т).

Хариулах. а) Dy(т)=D x(т); б) Dy(т)=t 2 Dx(т).

4. Олно: a) математикийн хүлээлт; б) корреляцийн функц; в) санамсаргүй функцийн дисперс X(т)=Усин 2т, Хаана U-санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба М(У)=3 ,Д(У)=6 .

Хариулах. A) м x(т) =3нүгэл 2т;б) К х(т 1 ,т 2)= 6нүгэл 2т 1 нүгэл 2т 2 ; V) Dx(т)=6нүгэл 2 2т.

5. Санамсаргүй функцийн нормчлогдсон корреляцийн функцийг ол X(т), түүний хамаарлын функцийг мэдэх К х(т 1 ,т 2)=3cos(т 2 -т 1).

Төлөөлөгч ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Олно: a) харилцан хамаарлын функц; б) санамсаргүй хоёр функцийн хэвийнжүүлсэн хөндлөн хамаарлын функц X(т)=(т+1)У, ба Y( т)= (т 2 + 1)У, Хаана U-санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба Д(У)=7.

Хариулах. а) Rxy(т 1 ,т 2)=7(т 1 +л)( т 2 2 +л); б) ρ xy(т 1 ,т 2)=1.

7. Санамсаргүй функцууд өгөгдсөн X(т)= (т- 1)УТэгээд Ю(т)=т 2 У, Хаана УТэгээд V-хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн, ба М(У)=2, М(В)= 3,Д(У)=4 , Д(В)=5 . Олно: a) математикийн хүлээлт; б) корреляцийн функц; в) нийлбэрийн хэлбэлзэл З(т)=X(т)+Y(т).

Анхаарна уу. Өгөгдсөн санамсаргүй функцүүдийн харилцан хамаарлын функц нь тэгтэй тэнцүү байгаа эсэхийг шалгаарай. X(т) Мөн Ю(т) хамааралгүй.

Хариулах. A) м з(т)=2(т- 1)+3т 2 ; б) К з(т 1 ,т 2)=4(т 1 - л)( т 2 - 1)+6т 1 2 т 2 2 ; V) Д з(т)=4(т- 1) 2 +6t 4.

8. Математикийн хүлээлт өгөгдсөн м x(т)=т 2 +1 санамсаргүй функц X(т). Түүний деривативын математик хүлээлтийг ол.

9. Математикийн хүлээлт өгөгдсөн м x(т)=t 2 +3 санамсаргүй функц X(т). Санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийг ол Ю(т)=tX"(т)+t 3.

Төлөөлөгч m y (t)=t 2 (t+2).

10. Корреляцийн функцийг өгсөн болно К х(т 1 ,т 2)= санамсаргүй функц X(т). Түүний деривативын корреляцийн функцийг ол.

11. Корреляцийн функцийг өгсөн болно К х(т 1 ,т 2)= санамсаргүй функц X(т). Хөндлөн хамаарлын функцийг ол.