Магадлалын онол ба түүний хэрэглээнд хоёр хэмжээст хэвийн тархалт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Хоёр хэмжээст хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал (X,Y) хэлбэртэй байна

Энд
- математикийн хүлээлт X ба Y хэмжигдэхүүнүүд;
- дундаж квадрат хазайлт X ба Y хэмжигдэхүүнүүд; r – X ба Y утгуудын корреляцийн коэффициент.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд харилцан хамааралгүй, өөрөөр хэлбэл r=0 гэж үзье. Дараа нь бидэнд байна:

(53)

Бид хоёр системийн тархалтын нягтыг олж мэдсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн(X,Y) нь X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягтын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь X ба Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Тиймээс дараахь зүйлийг нотолсон болно теорем: хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй байдлаас харахад тэдгээр нь бие даасан байна . Аливаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдал нь тэдгээр нь харилцан хамааралгүй болохыг илтгэдэг тул бид "харилцаагүй" болон "бие даасан" хувьсагчдын нэр томъёо нь хэвийн тархалтын тохиолдолд тэнцүү байна гэж дүгнэж болно.

Хэвийн тархалттай хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалын томьёог танилцуулъя. янз бүрийн бүс нутаггадаргуу дээр.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бие даасан санамсаргүй векторыг (X,Y) ердийн хуулийн дагуу (53) тараацгаая. Дараа нь тэгш өнцөгт рүү санамсаргүй цэг (X,Y) унах магадлал Р, талууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байгаа нь тэнцүү байна

Хаана
- Лаплас функц. Энэ функцийг хүснэгтэд үзүүлэв.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X,Y) системийн хэвийн хуулийн тархалтын нягтыг (52) хэлбэрээр өгье. Энэ нягтрал хадгалагдаж байгаа нь тодорхой тогтмол утгаэллипс дээр:

энд C нь тогтмол; Үүний үндсэн дээр ийм эллипс гэж нэрлэгддэг тэнцүү магадлалын эллипс. Зууван дотор (X,Y) цэг унах магадлалыг харуулж болно тэнцүү магадлалтэнцүү

(56)

Жишээ 10 . X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бие даасан бөгөөд хэвийн тархалттай бөгөөд санамсаргүй цэг (X,Y) цагираг руу унах магадлалыг ол.

Шийдэл: X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хамааралгүй байдаг тул r = 0. (C) -д орлуулснаар бид олж авна.

,

өөрөөр хэлбэл тэнцүү магадлалын эллипс нь тэнцүү магадлалын тойрог болж хувирсан байна. Дараа нь

Хариулт: 0,1242.

3.2. n хэмжээст хэвийн тархалтын ерөнхий тохиолдол

Системийн хэвийн тархалтын нягт n санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана - С матрицын тодорхойлогч - ковариацын матрицын урвуу;
- санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X i - i-р бүрэлдэхүүн хэсэг n -хэмжээт хэвийн санамсаргүй вектор.

-аас ерөнхий илэрхийлэлСанамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн аль ч төрлийн хамаарал болон ямар ч тооны хэмжигдэхүүнд ердийн хуулийн бүх хэлбэрүүд дагаж мөрддөг. Ялангуяа хэзээ n = 2 ковариацын матриц нь дараах хэлбэртэй байна.

(58)

түүний тодорхойлогч
; Ковариацын матрицаас урвуу C матриц хэлбэртэй байна

. (59)

Орлуулах болон матриц С-ийн элементүүд ерөнхий томъёо(57), бид хавтгай дээрх хэвийн тархалтын томъёог олж авна (52).

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн
бие даасан, дараа нь системийн тархалтын нягт
тэнцүү

n = 2-ын хувьд энэ томъёо нь (53) хэлбэрийг авна.

Магадлалын онол ба түүний хэрэглээнд хоёр хэмжээст хэвийн тархалт. Хоёр хэмжээст хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал (X,Y) хэлбэртэй байна

X ба Y утгуудын математикийн хүлээлт энд байна; - X ба Y утгын стандарт хазайлт; r – X ба Y утгуудын корреляцийн коэффициент.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд харилцан хамааралгүй, өөрөөр хэлбэл r=0 гэж үзье. Дараа нь бидэнд байна:

(53)

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X,Y) системийн тархалтын нягт нь X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягтын үржвэртэй тэнцүү байдгийг бид олж мэдсэн бөгөөд энэ нь X ба Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн үг юм.

Тиймээс дараахь зүйл батлагдсан теорем: хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй байдлаас харахад тэдгээр нь бие даасан байна . Аливаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдал нь тэдгээр нь харилцан хамааралгүй болохыг илтгэдэг тул бид "харилцаагүй" болон "бие даасан" хувьсагчдын нэр томъёо нь хэвийн тархалтын тохиолдолд тэнцүү байна гэж дүгнэж болно.

Хавтгай дээрх янз бүрийн мужид хэвийн тархсан хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалын томьёог танилцуулъя.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бие даасан санамсаргүй векторыг (X,Y) ердийн хуулийн дагуу (53) тараацгаая. Дараа нь тэгш өнцөгт рүү санамсаргүй цэг (X,Y) унах магадлал R,талууд нь параллель байна координатын тэнхлэгүүд, тэнцүү байна

y R d c x a b

(54)

Хаана - Лаплас функц. Энэ функцийг хүснэгтэд үзүүлэв.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X,Y) системийн хэвийн хуулийн тархалтын нягтыг (52) хэлбэрээр өгье. Эллипс дээр энэ нягтрал тогтмол хэвээр байгаа нь тодорхой байна.

энд C нь тогтмол; Үүний үндсэн дээр ийм эллипс гэж нэрлэгддэг тэнцүү магадлалын эллипс. Тэнцүү магадлал бүхий эллипс дотор (X,Y) цэг унах магадлал нь тэнцүү болохыг харуулж болно.

(56)

Жишээ 10. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бие даасан бөгөөд хэвийн тархалттай бөгөөд санамсаргүй цэг (X,Y) цагираг руу унах магадлалыг ол.

Шийдэл: X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хамааралгүй байдаг тул r = 0. (C) -д орлуулснаар бид олж авна.

өөрөөр хэлбэл тэнцүү магадлалын эллипс нь тэнцүү магадлалын тойрог болж хувирсан байна. Дараа нь

Хариулт: 0,1242.

3.2. n хэмжээст хэвийн тархалтын ерөнхий тохиолдол

Системийн хэвийн тархалтын нягт n санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах хэлбэртэй байна.

С матрицын тодорхойлогч хаана байна - ковариацын матрицын урвуу; - санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X i - i-р бүрэлдэхүүн хэсэг n -хэмжээт хэвийн санамсаргүй вектор.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлын дурын тооны хэмжигдэхүүн болон аливаа төрлийн хамаарлын хувьд ердийн хуулийн бүх хэлбэр нь ерөнхий илэрхийллээс дагалддаг. Ялангуяа хэзээ n = 2 ковариацын матриц нь дараах хэлбэртэй байна.

(58)

түүний тодорхойлогч ; Ковариацын матрицаас урвуу C матриц хэлбэртэй байна

. (59)

С матрицын элементүүдийг ерөнхий томъёонд (57) орлуулснаар хавтгай дээрх (52) хэвийн тархалтын томъёог олж авна.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бие даасан, дараа нь системийн тархалтын нягт тэнцүү

n = 2-ын хувьд энэ томъёо нь (53) хэлбэрийг авна.

3.2. Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн функцууд. Chi-square, Student, Fisher-Snedecor хуваарилалт

Ерөнхий тохиолдлыг авч үзье: хэвийн тархсан аргументуудын шугаман функц. n хэмжээст хэвийн тархалттай санамсаргүй векторыг өгье , санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y нь эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн шугаман функц юм:

(61)

Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь параметрүүдтэй хамт хэвийн тархсан болохыг харуулж болно

(62)

(63)

санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт - санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс - ба хоорондын корреляцийн коэффициент хаана байна.

Жишээ 11.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг бич , санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба параметртэй хэвийн тархалттай бол , , , тэдгээрийн корреляцийн коэффициент .

Шийдэл. Бодлогын нөхцлийн дагуу бид: n=2; . Томъёо (62) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. Томъёо (63) ашиглан бид дараахыг олж авна.

Тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн шаардлагатай тархалтын функц дараах хэлбэртэй байна.

Болъё - 0 математикийн хүлээлт, нэгж дисперстэй хэвийн тархалтад захирагдах бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд, өөрөөр хэлбэл стандарт хэвийн тархалт. Эдгээр утгуудын квадратуудын нийлбэр болох санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт

. (64)

гэж нэрлэдэг CI тархалт - n эрх чөлөөний зэрэгтэй квадрат ”.

CI – n=2 эрх чөлөөний зэрэгтэй квадратын тархалтын нягт нь тэнцүү байна

(65)

CI нягтрал – n зэрэгтэй эрх чөлөөний квадрат тархалт нь дараах хэлбэртэй байна.

(66)

Хаана - Эйлерийн гамма функц. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр тархалт нь ердийн тархалтын хуульд ойртдог ( n >30 тархалт нь ердийнхөөс бараг ялгаатай биш юм). Эрх чөлөөний n зэрэгтэй тархалтын математикийн хүлээлт нь n , мөн ялгаа нь 2 байна n .

n эрх чөлөөний зэрэгтэй оюутны тархалт St(n)санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт гэж тодорхойлогддог

Энд Z стандарт байна хэвийн утга, хуваарилалтаас хамааралгүй.

Чөлөөтийн n зэрэгтэй оюутны тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

(68)

at математикийн хүлээлт 0-тэй тэнцүү, дисперс нь At-тай тэнцүү, Оюутны тархалт хэвийн (аль хэдийн цагт) n >30 нь хэвийн тархалттай бараг давхцаж байна).

Фишер-Снедекорын хуваарилалт (эсвэл F-тархалт)ба чөлөөт хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт гэнэ

(69)

Энд ба эдгээр нь эрх чөлөөний зэрэгтэй тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

4. Бичсэн: Д.Т. Магадлалын онол, математик статистикийн лекцийн тэмдэглэл. - М .: Iris-press, 2004.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай үндсэн мэдээлэл, тэдгээрийг тодорхойлох аргууд. . 3

1.1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын функц ба түүний

шинж чанарууд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Тасралтгүй хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт ба түүний шинж чанарууд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. n санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарал ба бие даасан байдал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Тархалтын нөхцөлт хуулиуд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Хамааралтай байдлын тоон шинж чанар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хэвийн тархалт. . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Хоёр хувьсах хэвийн тархалт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. n хэмжээст хэвийн тархалтын ерөнхий тохиолдол. . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн функцууд. Хуваарилалт: CI - дөрвөлжин, Оюутан, Фишер - Snedecor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Ном зүй. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Эмхэтгэсэн: Вера Александровна Бобкова

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системүүд

УдирдамжУчир нь бие даасан ажилоюутнууд

Редактор Г.В

2010.03.02-нд хэвлүүлэхээр гарын үсэг зурсан. Формат 60x84. Бичгийн цаас. Жигнэх нөхцөл l.1.63.

Уч.-ред l.1.81. Гаралт 50 хувь.

Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага Иваново улсын химийн технологийн их сургууль

"ИХТИС" Улсын дээд мэргэжлийн боловсролын сургалтын байгууллагын Эдийн засаг, санхүүгийн тэнхимийн хэвлэх төхөөрөмж дээр хэвлэв.

153000, Иваново, Ф.Энгельсийн өргөн чөлөө, 7

Хоёр санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний системийг авч үзье. Энэ системийн хуваарилалтын хууль нь ердийн хуульХэрэв энэ системийн магадлалын нягтын функц нь хэлбэртэй байвал тархалт

. (1.18.35)

Эндээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, тэдгээрийн стандарт хазайлт, хувьсагчийн корреляцийн коэффициент байгааг харуулж болно. (1.18.31) ба (1.18.35) томъёог ашиглан тооцооллыг өгнө

. (1.18.36)

Хэрэв ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд харилцан хамааралгүй бол тэдгээр нь мөн бие даасан байна гэдгийг харахад хялбар байдаг.

.

Тиймээс хэвийн тархалтын хуулийн хувьд хамааралгүй, бие даасан байдал нь ижил утгатай ойлголт юм.

Хэрэв бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай болно. Нөхцөлт тархалтын хуулиудыг (1.18.20) томъёогоор тооцоолно.

. (1.18.37)

Хоёр хууль (1.18.37) нь хэвийн тархалтыг илэрхийлдэг. Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, харилцааны хоёр дахь (1.18.37) хэлбэрийг хувиргацгаая

.

Энэ бол үнэхээр хэвийн хуваарилалтын хууль юм нөхцөлт математикийн хүлээлт тэнцүү байна

, (1.18.38)

А нөхцөлт стандарт хазайлт томъёогоор илэрхийлнэ

. (1.18.39)

Тогтмол утгаар хэмжигдэхүүнийг хуваарилах нөхцөлт хуульд зөвхөн нөхцөлт математикийн хүлээлт энэ утгаас хамаардаг боловч тийм биш гэдгийг анхаарна уу. нөхцөлт хэлбэлзэл – .

Асаалттай координатын хавтгайхамаарал (1.18.38) нь шулуун шугам юм

, (1.18.40)

гэж нэрлэдэг регрессийн шугам дээр.

Бүрэн ижил төстэй байдлаар, хэмжигдэхүүнийг тогтмол утгаар нөхцөлт хуваарилах нь тогтоогдсон

, (1.18.41)

нөхцөлт математик хүлээлттэй хэвийн тархалт байна

, (1.18.42)

нөхцөлт стандарт хазайлт

. (1.18.43)

Энэ тохиолдолд регрессийн шугам иймэрхүү харагдаж байна

. (1.18.44)

Регрессийн шугам (1.18.40) ба (1.18.44) нь хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал шугаман байх үед л давхцдаг. Хэрэв хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байвал регрессийн шугамууд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байна.

Ажлын төгсгөл -

Энэ сэдэв нь дараахь хэсэгт хамаарна.

Математикийн магадлалын онолын математик статистикийн лекцийн тэмдэглэл

хэлтэс дээд математикболон компьютерийн шинжлэх ухаан.. лекцийн тэмдэглэл.. математикийн..

Хэрэв чамд хэрэгтэй бол нэмэлт материалЭнэ сэдвээр, эсвэл та хайж байсан зүйлээ олж чадаагүй бол манай ажлын мэдээллийн сангаас хайлтыг ашиглахыг зөвлөж байна.

Хүлээн авсан материалыг бид юу хийх вэ:

Хэрэв энэ материал танд хэрэгтэй байсан бол та үүнийг нийгмийн сүлжээн дэх хуудсандаа хадгалах боломжтой.

Энэ хэсгийн бүх сэдвүүд:

Магадлалын онол
Магадлалын онол нь санамсаргүй массын үзэгдлийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар юм. Санамсаргүй үзэгдэл гэж нэрлэдэг

Магадлалын статистик тодорхойлолт
Үйл явдал бол туршлагын үр дүнд (тодорхой бус үзэгдэл) гарч болох эсвэл харагдахгүй байж болох санамсаргүй үзэгдэл юм. Үйл явдлыг латин үсгээр томоор бич

Энгийн үйл явдлын орон зай
Зарим туршлагатай холбоотой олон үйл явдал байг, мөн: 1) туршлагын үр дүнд ганцхан зүйл гарч ирдэг.

Үйл явдал дээрх үйлдлүүд
Хоёр үйл явдлын нийлбэр ба

Дахин зохион байгуулалт
Элементүүдийн өөр өөр сэлгэлтийн тоог дараах байдлаар тэмдэглэнэ

Байршлуулалт
дагуу элементүүдийг байрлуулах замаар

Хослолууд
Элементүүдийн хослол

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёо
Теорем. Хоёрын нийлбэрийн магадлал үл нийцэх үйл явдлууднь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. (1

Дурын үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёо
Теорем. Хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн үржвэрийн магадлалгүйгээр эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Магадлалын үржүүлэх томъёо
Хоёр үйл явдал, өгөгдөх болтугай. Үйл явдлыг авч үзье

Нийт магадлалын томъёо
Тохиромжгүй үйл явдлуудын бүрэн бүлэг байг, тэдгээрийг таамаглал гэж нэрлэдэг. Зарим үйл явдлыг авч үзье

Таамаглалын магадлалын томьёо (Бэйс)
Дахин харцгаая - бүтэн бүлэгүл нийцэх таамаглал, үйл явдлууд

Асимптот Пуассоны томъёо
Туршилтын тоо их, үйл явдал тохиолдох магадлалтай тохиолдолд

Санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнүүд
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтыг давтах үед тэгш бус утгыг авах боломжтой хэмжигдэхүүн юм. тоон утгууд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дискрет гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй тасралтгүй хувьсагч
Хэрэв туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой сегментээс эсвэл бүхэлд нь ямар ч утгыг авч болно бодит тэнхлэг, дараа нь тасралтгүй гэж нэрлэдэг. Хууль

Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функц
Байцгаая. Нэг цэгийг авч үзээд нэмэгдэл өгье

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар
Санамсаргүй дискрет буюу тасралтгүй хувьсагчдыг тархалтын хуулиуд нь мэддэг бол бүрэн тодорхойлогдсон гэж үзнэ. Үнэн хэрэгтээ, түгээлтийн хуулиудыг мэддэг тул та цохих магадлалыг үргэлж тооцоолж болно

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоо
Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний эрэмбийн квантил

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний дундаж утгыг тодорхойлдог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгыг энэ утгын эргэн тойронд бүлэглэв. Эхлээд санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнийг авч үзье

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт ба тархалт
Эхлээд санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Тоон шинж чанарын горим, медиан, квантил ба математикийн хүлээлт

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний моментууд
Математикийн хүлээлт ба тархалтаас гадна магадлалын онол нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний момент гэж нэрлэгддэг дээд эрэмбийн тоон шинж чанарыг ашигладаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарын тухай теоремууд
Теорем 1. Санамсаргүй бус утгын математикийн хүлээлт нь энэ утгатай тэнцүү байна. Нотолгоо: Болъё

Бином тархалтын хууль

Пуассоны тархалтын хууль
Санамсаргүй дискрет хувьсагч утгыг авъя

Нэг төрлийн хуваарилалтын хууль
Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний тархалтын жигд хууль нь магадлалын нягтын функцийн хууль юм.

Ердийн тархалтын хууль
Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хууль нь нягтын функцийн хууль юм

Экспоненциал тархалтын хууль
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний экспоненциал эсвэл экспоненциал тархалтыг онол гэх мэт магадлалын онолын хэрэглээнд ашигладаг. дараалал, найдвартай байдлын онол

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системүүд
Практикт магадлалын онолын хэрэглээнд туршилтын үр дүнг нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр бус хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр нэгэн зэрэг тайлбарлах асуудал байнга тулгардаг.

Хоёр санамсаргүй дискрет хувьсагчийн систем
Хоёр санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнийг систем болгоё. Санамсаргүй утга

Хоёр санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний систем
Одоо системийг хоёр санамсаргүй байдлаар үүсгэе тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүд. Энэ системийн тархалтын хуулийг магадгүй гэж нэрлэдэг

Тархалтын нөхцөлт хуулиуд
Хамааралтай санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийг үзье

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар
Эхлэх мөчсанамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн дараалал

Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем
Санамсаргүй хоёр хэмжигдэхүүнтэй системийн хувьд олж авсан үр дүнгээс бүрдэх системийн тохиолдлуудад ерөнхийлж болно ямар ч тоосанамсаргүй хэмжигдэхүүн. Системийг олонлогоор үүсгэе

Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд
Магадлалын онолын гол зорилго нь санамсаргүй массын үзэгдлийн зүй тогтлыг судлах явдал юм. Дадлага нь нэгэн төрлийн массыг ажиглаж байгааг харуулж байна санамсаргүй үзэгдэлнээх

Чебышевын тэгш бус байдал
Математикийн хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье

Чебышевын теорем
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хосоороо бие даасан бөгөөд хязгаарлагдмал, нийтээр хязгаарлагдсан дисперстэй байвал

Бернуллигийн теорем
Туршилтын тоо хязгааргүй нэмэгдэхийн хэрээр үйл явдлын давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлалд нийлдэг.

Төвийн хязгаарын теорем
Ямар нэгэн тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэмэхдээ тархалтын хууль

Математик статистикийн үндсэн асуудлууд
Дээр дурдсан магадлалын онолын хуулиуд нь математик илэрхийлэлянз бүрийн санамсаргүй массын үзэгдлүүдэд байдаг бодит хэв маяг. Сурч байна

Энгийн статистик популяци. Статистикийн тархалтын функц
Тархалтын хууль нь тодорхойгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Туршлагад үндэслэн шаардлагатай

Статистикийн цуврал. баганат график
At их тооажиглалт (зуу зуун орчим) хүн амстатистикийн материалыг бүртгэхэд тохиромжгүй, төвөгтэй болдог. Тодорхой, нягт нямбай байдлын хувьд статистикийн материал

Статистикийн тархалтын тоон шинж чанар
Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний янз бүрийн тоон шинж чанаруудыг авч үзсэн: математикийн хүлээлт, тархалт, анхны болон төв цэгүүдянз бүрийн захиалга. Үүнтэй төстэй тоонууд

Моментийн аргыг ашиглан онолын тархалтыг сонгох
Аливаа статистик тархалт нь ажиглалтын хязгаарлагдмал тоотой холбоотой санамсаргүй байдлын элементүүдийг зайлшгүй агуулдаг. Олон тооны ажиглалтын тусламжтайгаар санамсаргүй байдлын эдгээр элементүүдийг жигдрүүлж,

Хуваарилалтын хуулийн хэлбэрийн талаархи таамаглал үндэслэлтэй эсэхийг шалгах
Өгөгдсөнийг зөвшөөрнө үү статистикийн тархалтзарим онолын муруйгаар ойролцоолсон буюу

Зөвшөөрлийн шалгуур
Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг сайн чанарын шалгууруудын нэг болох Пирсоны шалгуурыг авч үзье. Таагаарай

Үл мэдэгдэх тархалтын параметрүүдийн цэгийн тооцоо
pp. 2.1. – 2.7 Бид эхний болон хоёр дахь үндсэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар нарийвчлан судалсан математик статистик. Эдгээр нь туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох асуудал юм

Хүлээлт ба зөрүүний тооцоо
Үл мэдэгдэх математик хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Итгэлийн интервал. Итгэлийн магадлал
Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр цөөн тооны туршилт хийснээр ойролцоогоор орлуулах үл мэдэгдэх параметр

Санамсаргүй үзэгдлийг судлахын тулд хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг ашиглах шаардлагатай тохиолдолд XТэгээд ЮБид хамтдаа систем байдаг гэж хэлдэг ( X, Y) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Системийн боломжит утгууд ( X, Y) төлөөлөх санамсаргүй оноо (x, y) талбайд боломжит утгуудсистемүүд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний төрлөөс хамааран дискрет ба тасралтгүй системүүдийг ялгадаг.

Дискрет системийн тархалтын хуулийг хүснэгт эсвэл хуваарилалтын функц хэлбэрээр тодорхойлно.

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Системийн түгээлтийн хүснэгт{X, Y) олон тооны хэмжигдэхүүнийг агуулна xi, yjТэгээд П(xi,yj), Хаана П(xi,yj)=П(X=xi,Y=yj), н, м- санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо X, Y,тус тус.

Системийн түгээлтийн функц{X, Y) дараах хэлбэрээр өгөгдсөн.

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Тасралтгүй системийн тархалтын хууль ( X, Y) төлөөлж болно түгээлтийн функц F(x, y)эсвэл тархалтын нягт φ(x, y):

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Хувийн системийн хуваарилалт{X, Y) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүрийн тархалтын хуулиуд юм XТэгээд Ю.

Хэрэв XТэгээд Юнь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн, дараа нь магадлал П(xi) Мөн П(yj), тэдгээрийн тархалтын хуулиудыг олохын тулд дараахь томъёог ашиглан хуваарилалтын хүснэгтээс олно.

Учир нь тасралтгүй системүүд {X, Y) хэсэгчилсэн тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Нөхцөлт хуваарилалттодорхойлогддог:

нөхцөлт магадлал П(xi/yj), П(yj/xi) салангид системүүдийн хувьд ( X, Y) ба нөхцөлт тархалтын нягт ( x/y), (у/х) тасралтгүй системд ( X, Y}:

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдлын нөхцөл:

- салангид системүүдийн хувьд (8)

- тасралтгүй системүүдийн хувьд (9)

Эдгээр харилцаа биелсэн тохиолдолд дараах байдалтай байна.

(10) (11)

Тасралтгүй системийн боломжит утгуудад хүрэх магадлал{X, Y) бүс рүү ( Д) дараах томъёогоор тодорхойлогдоно.

(12)

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Жишээ 3.1

Системийн тархалтын хуулийг (X, Y) хүснэгтэд үзүүлэв.

Шаардлагатай:

a) X ба Y-ийн хэсэгчилсэн тархалтыг олох;

б) X= -1 үед Ү-ийн нөхцөлт тархалтын хууль;

в) X ба Y хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай эсэхийг тодорхойлох уу?

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Шийдэл:

a) X ба Y-ийн хэсэгчилсэн тархалтыг ол

b) X= -1 үед Ү-ийн нөхцөлт тархалтын хууль. X= -1 үед санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y байна дараагийн хуульхуваарилалт:

в) X ба Y хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай эсэхийг тодорхойлно уу?

Нөхцөлгүй ба нөхцөлт хуулиудад P(yj) ба P(yj / X = -1) магадлалын тархалтууд өөр байдаг тул X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай болно.

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Жишээ 3.2

|x|+|y| квадратад жигд тархсан (X, Y) систем өгөгдсөн1 (22-р зургийг үз).

Тодорхойлох: a) X ба Y-ийн тархалтын тодорхой хуулиуд; б) эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай юу?

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Шийдэл:

Хуваарилалтын хууль (X, Y) нь дараах хэлбэртэй байна.

|x|≤1-ийн нягтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Лекц 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хууль

Дараа нь (23-р зургийг үз):

Үүний нэгэн адил (y)-ийн хувьд бид дараахийг олж авна:

Тусгаар тогтнолын нөхцөл хангагдаагүй тул:

тэгвэл X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай болно.

Системийн тоон шинж чанарт ( X, Y) холбогдох:

• X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар:

mx, миний, Dx, Dy, σx, σy;

• нөхцөлт тархалтын тоон шинж чанар:

mx/y, миний/х, Dx/y, Dy/x, σx/y, σy/x;

• санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн холболтын тоон шинж чанар:

KxyТэгээд rxy

Лекц 7. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

Эхний бүлгийн тоон шинж чанарыг өмнө нь өгөгдсөн томъёогоор тодорхойлно.

Тасралтгүй системтэй холбоотой хоёр дахь бүлгийн тоон шинж чанарууд ( X, Y) дараах томъёогоор тодорхойлогддог.

Салангид системүүдийн хувьд ( X, Y) эдгээр томъёо нь тодорхой байна.

Лекц 7. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

Тоо хэмжээ KxyТэгээд rxyшугаман шинж чанарууд юм корреляцийн хамааралхооронд XТэгээд Ю; Эдгээр нь хамаарлаар тодорхойлогддог:

Хаана Kxy– хоорондын хамаарлын момент буюу холболтын мөч XТэгээд Ю;

– хоорондын хамаарлын коэффициент XТэгээд Ю, -1  rx  1. (16)

Корреляцийн коэффициентхоорондын шугаман хамаарлын зэргийг тодорхойлдог XТэгээд Ю.

Лекц 7. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

Доод корреляцийн хамааралИйм хамаарлыг жишээ нь нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөх үед ойлгодог X, бусад - Ютүүний математик хүлээлт өөрчлөгддөг ( миний/х).

Хэзээ | rxy|=1 хооронд шугаман функциональ хамаарал байна XТэгээд Ю, цагт rxy=0 санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Юхамааралгүй.

Хэрэв XТэгээд Юбие даасан, тэгвэл тэдгээр нь хамааралгүй болно. Хэрэв rxy=0, дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Юхамааралтай байж болно.

Лекц 7. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

Жишээ 3.3

Жишээ 3.1-ийн нөхцөлд. тодорхойлох: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Шийдэл:

Лекц 7. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

Жишээ 3.4

Жишээ 3.2-ын нөхцөлд. системийн тоон шинж чанарыг тодорхойлох (X, Y).

Шийдэл:

Лекц 7. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

интервал дахь жигд тархалтын нягт

(-(1-|x|), (1-|x|))

Үүнтэй адилаар та mx/y, Dx/y-ийн илэрхийлэл бичиж болно.

Ерөнхий тохиолдолд системд орсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ( X, Y), хамааралтай бол хэвийн тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

(17)

Хэсэгчилсэн хуваарилалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

(18)

(19)

Лекц 8. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хэвийн тархалтын хууль

Нөхцөлт нягтрал ( x/y) ба ( у/х) хэвийн тархалтын хэлбэртэй байна:

(20) (21)

Хаана

(22) (23)

(24) (25)

Лекц 8. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хэвийн тархалтын хууль

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Юбие даасан байвал нягтрал нь дараах хэлбэртэй байна.

Ердийн тархалттай системд цохилт өгөх магадлал (X,Y)(бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд XТэгээд Ю) координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ талуудтай тэгш өнцөгтийг дараах томъёоны дагуу Лаплас функцийг ашиглан тодорхойлно.

(27)

Лекц 8. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хэвийн тархалтын хууль

Жишээ 3.5

Төвийн координаттай тэгш өнцөгт хэлбэртэй бай руу сум тусах магадлалыг тодорхойл: xts = 10 м, yts = 5 м Тэгш өнцөгтийн талууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель бөгөөд тэнцүү: үхрийн тэнхлэгийн дагуу. 2 = 20 м, тэнхлэгийн дагуу: 2k = 40 м Онилсон цэгийн координат: mx=5m, my =5 м Үхэр ба тэнхлэгийн дагуух сумны тархалтын шинж чанарууд нь: σx=. 20 м, σy =10 м.

Шийдэл: Тэгш өнцөгтийн талбайг D гэж тэмдэглэе.

Дараа нь:

Сэдэв 4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцууд

Лекц 9. Нэг санамсаргүй аргументийн функцийн тархалтын хууль

Функцийн тархалтын хуулийг олох дараалал Y=y(X), Хаана X– жишээ 4.1-д үзүүлсэн дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Боломжтой бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд XТэгээд Юфункциональ хамаарлаар холбогдоно y=y(x), Хаана y(x) нь тасралтгүй ба дифференциал байх ба санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль мэдэгдэж байна X-, дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Y-тохиолдолд y(x) (1) томъёогоор илэрхийлэгдэх боломжит утгуудын хүрээнд монотон нэмэгдэж эсвэл буурдаг:

Томъёонд (1) x(y) урвуу функц байна.

Функц байх тохиолдолд y(x) Байгаа nбуурах ба нэмэгдүүлэх хэсгүүдийг дараа нь энэ томъёог (2) хэлбэрээр бичнэ.

Лекц 9. Нэг санамсаргүй аргументийн функцийн тархалтын хууль

Жишээ 4.1

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуультай:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол

Шийдэл: Функцийн боломжит утгыг ол

=0, 1, 2, 3 үед.

Эдгээр нь 1, 2, 1, 0-тэй тэнцүү байна. Тиймээс боломжит утгууд нь: 0, 1, 2 байна.

Лекц 9. Нэг санамсаргүй аргументийн функцийн тархалтын хууль

Бид эдгээр боломжит утгуудын магадлалыг олдог:

Y тархалтын хууль:

Лекц 9. Нэг санамсаргүй аргументийн функцийн тархалтын хууль

Жишээ 4.2

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг олоод X санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд жигд тархсан бол графикийг зур.

Шийдэл: Функцийн график

Зурагт үзүүлэв. 24.

Лекц 9. Нэг санамсаргүй аргументийн функцийн тархалтын хууль

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах тархалтын нягттай байна.

Урвуу функцийг олох нь(y)ба түүний дериватив:

Лекц 9. Нэг санамсаргүй аргументийн функцийн тархалтын хууль

Эцэст нь бид нягтын дараах илэрхийллийг олж авна

Энэ нягтын график

Зурагт үзүүлэв. 25.

Лекц 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тоон шинж чанар

Үндсэн томъёо:

Лекц 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тоон шинж чанар

Лекц 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тоон шинж чанар

Хаана Ши- бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

Лекц 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тоон шинж чанар

Лекц 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тоон шинж чанар

Учир нь nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, тоон шинж чанарыг хүн ам болон корреляцийн матрицаар тодорхойлно.

Гурвалжин матриц хэлбэрийн тэмдэглэгээ нь хүчинтэй, учир нь

Лекц 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тоон шинж чанар

Корреляцийн матрицыг хэвийн хэлбэрт оруулж болно, өөрөөр хэлбэл. Корреляцийн коэффициентийн матриц:

Лекц 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тоон шинж чанар

Жишээ 4.3

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг тодорхойлох

хэрэв

Шийдэл:

U санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь X, Y ба Z санамсаргүй аргументуудын шугаман функц юм. Тиймээс энэ хэсгийн (11) ба (17) томъёог ашиглан бид дараахийг олж авна:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийг бүрэн тодорхойлдог боловч практикт ашиглах нь нарийн төвөгтэй байдлаасаа болж үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Системийг бүрдүүлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай бөгөөд үүнд: математикийн хүлээлт M[X], M[Y], D[X], D[Y] дисперсүүд болон стандарт хазайлтууд орно. Тэдгээрийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн зөрүүг мөн богиносгосон томъёогоор тооцоолж болно

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний онолд чухал үүрэг нь корреляцийн момент (коварианс) юм. шугаман холболтсистемийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хооронд

Корреляцийн моментийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Учир нь салангид системүүдсанамсаргүй хэмжигдэхүүн

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тасралтгүй системүүдийн хувьд

-тай хамт корреляцийн моментхэмжээсгүй шинж чанарыг ашигладаг корреляцийн холболт- корреляцийн коэффициент

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний аливаа системийн хувьд

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг хамааралгүй гэж нэрлэдэг

Бие даасан хэмжигдэхүүнүүд нь үргэлж хамааралгүй байдаг.

Системд орсон санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нөхцөлт хууль нь өөр нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авсан тохиолдолд тооцсон түүний тархалтын хууль юм. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системүүдийн хувьд нөхцөлт хуулиудбүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нөхцөлт тархалтын нягтаар илэрхийлэгдэнэ

Үүнээс гадна (6.9)

Хаана

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн жигд ба хэвийн тархалтын хуулиуд

Нэгдмэл хууль. Хэрэв системд орсон санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд нь D мужид байрладаг бөгөөд системийн магадлалын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

дараа нь (X,Y) нь захирагдах болно нэгдсэн хуульхуваарилалт.

Ердийн хууль. Хэрэв системийн тархалтын нягтрал (X,Y) хэлбэртэй байна

математикийн хүлээлт хаана байна; - стандарт хазайлт, a нь корреляцийн коэффициент, тэгвэл систем нь хэвийн тархалтын хуульд захирагдана.

Харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хэвийн нягтралхуваарилалт

Жишээ 6.2. 3 аж ахуйн нэгжийг ажиллуулахаар төлөвлөж байна дахиад нэг жил. Систем (X,Y)

компанийн дугаар хаана байна

Хөрөнгө оруулалтын хэмжээ (мянган ердийн мөнгөн нэгжээр),

Хүснэгтээр тодорхойлогддог

X бүрэлдэхүүн хэсгийн хуваарилалтын хууль нь хөрөнгө оруулалтын хэмжээнээс үл хамааран эхний аж ахуйн нэгжид 0,3, хоёр дахь нь 0,2, гурав дахь нь 0,5 магадлалтай хөрөнгө оруулалт хийнэ гэсэн үг юм. Y бүрэлдэхүүн хэсэг нь хуваарилалтын хуультай тохирч байна

Энэ нь аж ахуйн нэгжийн дугаараас үл хамааран хөрөнгө оруулалтын хэмжээ 3 мянган ердийн нэгжтэй тэнцэх боломжтой гэсэн үг юм. дэн. нэгж 0.5 буюу 4 мянган ердийн мөнгөн нэгжийн магадлалтай. магадлал 0.5.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоон шинж чанарыг тодорхойлохын тулд бид X ба Y-ийн тархалтын хууль, салангид системийн тоон шинж чанарыг тодорхойлох томъёог ашиглана.

Хөрөнгө оруулалтын дундаж хэмжээ;

Хөрөнгө оруулалтын дундаж хэмжээнээс хазайх

Аж ахуйн нэгжийн тоо болон хөрөнгө оруулалтын хэмжээ хоорондын хамаарал

Жишээ 6.3. Тодорхой хугацаанд үйлдвэрлэлд хоёр төрлийн түүхий эд ашигласан. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь уламжлалт нэгжээр илэрхийлэгдсэн түүхий эдийн хэмжээ юм. Системийн магадлалын тархалтын нягт нь хэлбэртэй байна